Elektrotechnika 2
Pracovní sešit k přednáškám
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
ÚSTAV TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ ELEKTROTECHNIKY
© Jiří Sedláček, Miloslav Steinbauer 2012
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Komplexní čísla
Komplexní čísla
Komplexní číslo zobrazujeme jako bod v komplexní (Gaussově) rovině. Pro jeho zápis je možné použít dvou tvarů:
Im
Složkový tvar:
A
b
A   a  jb
a je reálná část a = Re{A}, b je imaginární část b = Im{A}
A
Polární tvar:

a
A  Ae j
A je absolutní hodnota (modul)  je fázový úhel (argument)
Re
Komplexní číslo značíme tučným písmem
nebo také pomocí znaku „stříška“:
A
Aˆ
2
Tvary komplexních čísel
Složkový tvar
Exponenciální tvar
A   a  jb 
A  A e j
Komplexní

číslo A
A  A cos   j A sin 
Goniometrický tvar
A  A 
Verzorový
(Kenellyho) tvar
Poznámka:
Eulerův vztah
e j  cos   jsin 
3
1
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Převod tvaru komplexních čísel
Im
Složkový tvar
A   a  jb
Exponenciální tvar
A
b
A  A e j
A

a
a  A  cos 
b  A  sin 
Re
A  a2  b2
b
  arctan
a
180  π rad
Pozor na jednotky úhlu na kalkulačce (rad, deg)!
4
Funkce arctan(x)
Im
2
C
A
Funkce arctan (x) má obor hodnot:
<‐/2; /2> nebo <‐90°; 90°>, tedy 2 kvadranty!
Správně lze proto pomocí uvedeného vztahu převést pouze čísla z pravé části komplexní poloroviny
(zeleně vyznačeno).

2 Re Číslo C = ‐2+2j se po převodu do polárního tvaru -2
zobrazí na číslo B!
 2 
 2 
arctan    arctan  
 2 
 2 
D
-2
B

 Im 
 arctan  Re  pro Re  0



 
arctan  Im   180 pro Re < 0



 Re 
Obdobně číslo D = ‐2 ‐2j se zobrazí na číslo A.
 2 
2
arctan    arctan  
 2 
2
Proto je potřeba při převodu čísel z levé komplexní poloroviny (se zápornou reálnou částí) přičíst k výslednému úhlu  (180°).
5
Operace s komplexními čísly
A1  A1 e j1   a1  jb1 
A 2  A2 e j 2   a2  jb2 
• Pro sčítání a odečítání se používá složkový tvar
A  A1  A 2   a1  jb1    a2  jb2    a1  a2   j  b1  b2 
• Pro násobení a dělení se používá polární tvar:
A  A1  A 2  A1e j1  A2 e j 2   A1  A2  e 
j 1  2 
A
fáze = součet fází
j1
A j
A1 A1e

 1 e 1  2 
A 2 A2 e j 2 A2
fáze = rozdíl fází
• Pro umocňování platí Moivreova věta:
A n  An  e jn
6
2
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Úvod do harmonických veličin
v elektrických obvodech,
fázory, imitance
Harmonický průběh
• jedná se o nejdůležitější souměrný střídavý periodický průběh, který nalézá uplatnění v praxi i při teoretických úvahách
• matematicky se dá popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus
• např. harmonický průběh proudu pomocí funkce sinus:
i  t   I m  sin t  
• Im je maximální hodnota (A)
•  je úhlový kmitočet; jednotka radián za sekundu (rad.s‐1)
  2πf 
•
2π
T
 je počáteční fáze; jednotka radián (rad)
• protože platí cos(x) = sin(x+/2), dojde při vyjádření harmonické funkce pomocí kosinu jen ke změně fáze o /2 rad.
8
Harmonický průběh
T ‐ doba periody
 ‐ úhlový kmitočet (rad/s) 
U

okamžitá hodnota
2π
 2πf
T
počáteční fáze
u  t   U m  sin t   U 
maximální hodnota
fázový úhel
9
3
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Harmonický ustálený stav ‐ HUS
•
•
Existuje pouze v lineárních obvodech
Budicí zdroje ‐ harmonické funkce sin(t+) mající shodný kmitočet 
–
•
proto všechny veličiny v HUS (proudy, napětí, toky, …) jsou harmonickými funkcemi
Ustálené amplitudy ‐ stav po odeznění přechodných jevů (po připojení, přepnutí, změně hodnot …)
HUS ‐ důležitý stav
• pro silnoproudou elektrotechniku (výroba a rozvod energie, točivé i netočivé stroje)
• pro slaboproudou elektrotechniku (přenos informace, měření …)
• z hlediska analýzy vlastností obvodů (symbolická analýza) – podobnost s SUS (stejnosměrné obvody)
10
Fázory
Časový průběh
Gaussova rovina
Im
Im
i(t)
Reálný svět
Matematický model
i Im
t
i
0

i  i

Re
 i   i
Fázor proudu
Okamžitá
hodnota
i  t   I m sin t  i 
I m  I m  e j i
I  I  e j i 
Im
2
v měřítku
maximálních hodnot
v měřítku
efektivních hodnot
11
Symbolická metoda řešení obvodu v HUS
u  t   U m  sin t   U 
V symbolické metodě definujeme
komplexní okamžitou hodnotu napětí (komplexor) u t   U me 
j  t  u 
alternativní značení „stříškou“
uˆ  t 
Imaginární část komplexní okamžité hodnoty napětí u(t) představuje okamžitou hodnotu napětí
u  t   Im u  t 
V čase t = 0 je hodnota napětí u(t) daná komplexním číslem Um ‐ tzv. komplexní maximální hodnotou, stručněji fázorem maximální hodnoty
U m  U m e j u
alternativní značení
ˆ
U
m
12
4
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Fázory ‐ transformace
Časový průběh
Gaussova rovina
i(t)  Im
i  t   I m sin t  i 
I m  I m  e j i
i(t)  Im
Fázor (maximální hodnoty)
Komplexor
i  t   I m  e j t  I m  e j i e j t 
 Im  e 
j  t+ i 
i  t   Im i m  t   Im I m e jt 

 I m   cos  t+ i   j sin  t+ i  
Příklad
I m  2,5  e-j1,2   0,906  j2, 33 A
i  t   2,5sin  314t  1, 2  A
I
Im
 1, 77  e-j1,2   0, 641  j1, 65  A
2
13
Fázor
Fázor
• komplexní číslo, vyjadřující v komplexní rovině reálný harmonický časový průběh (napětí, proudu)
• vyjadřuje maximální (resp. efektivní) hodnotu a počáteční fázi (fázový posun)
• je to matematický model ‐ symbol používaný v symbolické metodě řešení obvodů v HUS
• Používá se zápis ve složkovém i exponenciálním (nebo verzorovém) tvaru, např.:
I  12  j35  A
I m  12e j0,52 A
U  230e j120 V
14
Fázorové diagramy
Im
u(t)
Um
Im
i(t)
t
Um

Im
u
ui i
u
i
Re
 i   i
 u   u
   u  i
Posuv  je definován rozdílem
počáteční fáze napětí u a proudu i.
15
5
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Souvislost komplexoru a fázoru
s harmonickým průběhem
Gaussova rovina
Časový průběh
t
u
u

komplexor (komplexní okamžitá hodnota)
Rotující fázor u(t) u  t   u  j u  U m  e jt  U m  e j u  e jt  U m  e 
j t  u 
U m  U m  e j
fázor v měřítku maximální hodnoty
16
Sčítání a odčítání
Základní operace symbolického počtu
A   a  ja 
C
c
b
B
Sčítání:
C  A  B   c  jc  
  a  ja    b  jb  
a 
b
A
d
  a  b   j  a  b 
a c
b
d 
B
B   b  jb 
Odčítání:
D  A  B   d   jd    A   B 
D
  a  ja    b  jb  
b
  a  b   j  a  b 
17
Násobení a dělení
C  A B
Základní operace symbolického počtu
Násobení:
C
C  A  B  C e j   A  B  e 
j   
C   a  ja    b  jb  
A
 ab  jab  ajb  j2 ab 
  
D
B
D  A/ B

  
A   a  ja   A e j
B   b  jb   B e j
  ab  ab   j  ab  ab 
A
A j  
 De j  e  
B
B
 a  ja .  b  jb 
D
 b  jb  b  jb
Dělení:

D
 ab  ab  j  ab  ab
 b
2
 b2 
18
6
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Násobení a dělení „j“
Základní operace symbolického počtu
A  A e j
Násobení j:
j  1 e jπ/ 2
C  jA  A e
jπ / 2
 Ae 
j   π / 2
otočení o /2 C
A
π/2
1/j   j, tj. j2  1
Dělení j:
 90
D

A
  jA  A e  jπ/2  A e j  π/2
j
-π/2  90
otočení o ‐/2 D
19
Základní operace symbolického počtu
Derivace a integrace
i t   Im e 
j  t  
di  t 
Derivace:
t
dt
 I m e jt

i t 
d i (t )
 j I m e jt  j i  t 
dt
I
π/2  90
násobení j
= násobení  + posun o /2

-π/2  90
I /
Integrace:
 i  t  dt
 i  t  dt  I  e
j t
m
dt 
1
1
I m e j t 
i t 
j
j
dělení j
= dělení  + posun o ‐/2
20
Vztah mezi u(t) a i(t)
u základních lineárních obvodových prvků
• vztah mezi dominantními obvodovými veličinami popisuje lineární rovnice s konstantou úměrnosti (R, G, L, C, …)
Rezistor
Induktor
NESETRVAČNÉ
Kapacitor
SETRVAČNÉ
i(t)
i(t)
u(t)
R
u  R i
L
i(t)
u(t)
uL
C
u(t)
q  C u
  L i
di
dt
iC
du
dt
21
7
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Základní obvodové prvky v HUS
u t   ?
u  R i
i (t)
Rezistor
Um
Im
u(t)
R
u(t)
i(t)
~  i  u
i  t   I m sin  t   i 
u  t   U m sin  t   u   R  I m sin  t   i 
Im
 u  i
Um  R  Im
Im
   u  i  0
I
Um
 0
U
Re
22
Základní obvodové prvky v HUS
i (t)
u(t)
L
uL
Induktor
u t   ?
di
dt
u(t) I
m
Um
i(t)
~ u
~ i
i  t   I m sin  t   i 
u  t   U m sin  t   u 
u t   L
d
 I m sin  t  i     LI m sin  t  i  π2 
dt

 Im
U m   LI m  u   i  π / 2
  π/2 Im
Um
   u  i  π / 2
I U
Re
23
Základní obvodové prvky v HUS
i (t)
L
Induktor
Um
u(t)
=

2
U
induktivní reaktance X L  L
Im
I
U m   LI m  X L I m
   u  i  π / 2
uL
di
dt
u t   L
d
i  t   j L i  t 
dt
U m  j L I m
24
8
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Poznámka k HUS
Harmonický průběh (HUS)
i (t)
u(t)
L
uL
u(t)
Neharmonický průběh
i(t)
u(t)
i(t)
~ u
~ i
di
dt
Nejedná se o HUS!
d sin t 


  cos t    sin  t  
dt
2

Nedochází k posunu, ale ke změně tvaru!
Im
Fázový posun je důsledkem vlastnosti harmonické funkce!
Um
U Im
I
Nelze použít
symbolické analýzy!
Re
25
Základní obvodové prvky v HUS
i(t)
u(t)
u
Kapacitor
u t   ?
1
id t
C
u(t) Um
Im
i(t)
C
i  t   I m sin  t   i 
~ i
u  t   U m sin  t   u 
u t  
Im
1
I
π

I m sin t   i  dt  m sin  t   i  
C 
C
2
1
Um 
I
C m
~ u
I
 u  i  π / 2
Im
   π/2
Re
U
   u  i  π / 2
Um
26
Kapacitor
Základní obvodové prvky v HUS
i(t)
= 
u(t)
C
Um

2
Im
I
kapacitní reaktance XC 
1
C
Um 
1
C
U
Im  X C Im
   u  i   π/2
u
1
id t
C
u t  
1
1
i  t  dt 
i t 
C
j C
Um 
1
Ιm
j C
27
9
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Impedance Z
U m  U m  e j u I m  I m  e j  i
složkový tvar
polární tvar
U U
U j  
Z   m  m e  u i   Z  e j   R  j X 
I
Im
Im
Z je komplexní konstanta !
rezistance

reaktance
Induktor
U m  j L I m  Z L  j L
Kapacitor
Um 
1
1
1
I m  ZC 
 j
C
jC
j C
28
Imitance prvků v obvodu v HUS
Impedance
Admitance
rezistor
ZR  R
induktor
Z L  j L
ZC 
kapacitor
1
G
R
1
YL 
j L
YR 
1
jC
YC  jC
Z
Vzájemný vztah mezi impedancí a admitancí: 1
Y
29
Impedance
Z
Určete impedance prvků pro kmitočet
f = 50 Hz a jejich kmitočtovou závislost.
R = 20 , L = 31,8 mH, C = 212 F
ZL roste lineárně s kmitočtem
ZR nezávisí
na kmitočtu
  2πf  2π  50  314,16 rad  s-1
0
Z R  R  20 

ZC klesá hyperbolicky
s kmitočtem
Z L  j L  j314,16  31,8  103  j10 
ZC 
1
1

  j15 
j C j314,16  212  106
30
10
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Impedance ‐ příklad
Určete impedanci Z sériového obvodu pro kmitočet f = 50 Hz.
R = 20 , L = 31,8 mH, C = 212 F
  2πf  2π  50  314,16 rad  s-1
Z R  R  20 
Z L  j L  j314,16  31,8  103  j10 
1
1
ZC 

  j15 
j C j314,16  212  106
Z  Z R  Z L  ZC   20  j5  
31
Symbolická analýza (obvodu v HUS)
Oblast proměnné t
Komplexní proměnná
Lineární transformace
u t   R  i t  
di  t 
1 t
i   d  L
C 0
dt
U  I   ZR  ZC  ZL 
Harm. veličiny u(t), i(t), …
Komplexory u(t), i(t), …
Poč. hodnoty veličin u(0), i(0),…
Fázory U, I, …
Impedance ZR, ZL, ZC
Hodnoty R, L, C
(Charles Proteus Steinmetz 1893)
32
Časté chyby při výpočtech symbolickou metodou
• Komplexní čísla v prezentacích i skriptech jsou v souladu s normou sázeny tučně, v ručně psaném textu je označujte „stříškou“:
Z AB  Z AB  e j
• Rozlišujte fázor:
– Im v měřítku maximálních hodnot
– I v měřítku efektivních hodnot
Zˆ AB  Z AB  e j
ˆI  2  ˆI
m
• Nelze kombinovat oblast časovou a komplexní!
ˆI  I   I sin t  
m
m
i
m
i
ˆI  I   i  t   I sin t  
m
m
i
m
i
• Komplexní čísla ve složkovém tvaru důsledně závorkujte:
Zˆ AB  15  e j60   7,5  j13 
• Používejte paměti kalkulačky pro ukládání mezivýsledků, ušetříte čas a vyvarujete se chyb daných přepisováním čísel.
• Pozor na jednotky úhlů (rad × deg) při dosazování do kalkulačky.
33
11
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Poznámka k impedancím Z vs. reaktancím X
polární tvar
složkový tvar
U U j  
Z   e  u i   Z  e j    R  jX 
I
I

Impedance Z je komplexní číslo.
Reaktance X je reálné číslo!
(je to imaginární složka impedance)
Nelze proto psát Z je komplexní konstanta !
X L  j L
Rezistance
Reaktance
Kapacitor
Induktor Z L  jX L  j L
Z C   jX C 
X L  L
XC 
Induktivní
reaktance
1
C
1
jC
Kapacitní
reaktance
34
Analýza
jednofázových obvodů v HUS
Symbolická metoda řešení obvodu v HUS
Časový průběh
Gaussova rovina
Schéma
Symbolické schéma
iC  t   C
iL  t  
d
 uC 
dt
1
u L dt
L
UC
 j C U C
ZC
U
U
IL  L  L
Z L j L
IC 
36
12
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Základní zákony v symbolickém tvaru
Kirchhoffovy zákony v symbolickém tvaru
– Pro uzel (I. K.z.)
I
n
0
– Pro uzavřenou smyčku (II. K.z.)
U
n
0
Ohmův zákon v symbolickém tvaru
U  ZI
I
U
 UY
Z
37
Spojování imitancí
Sériové spojení
n
U  U1  U 2    U n  I  Z1  Z 2    Z n   I  Z
Z  Zj
j1
Z  Z1  Z 2    Z n
38
Spojování imitancí
Paralelní spojení
Zkrácené značení:
Z  Z1 || Z 2 || ... || Z n
1
n
Y   Yj Z 
j 1
Z  1/ Y
Y1  1 / Z1
Yn  1 / Z n
Y2  1 / Z 2
n
1
Z
j 1
j
Speciálně pro 2 impedance:
Z  Z1 || Z 2 
Z1Z 2
Z1  Z 2
I  I1  I 2    I n  U  Y1  Y2    Yn   U  Y
Y  Y1  Y2    Yn
39
13
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Spojování zdrojů
Sériové řazení zdrojů napětí
U  U1  U 2  ........  U n
Paralelní řazení zdrojů proudu
I  I1  I 2  .......  I n
40
Dělič napětí
U1 =? U2 = ?
Celková impedance obvodu je
a proud obvodem
proto napětí
U1  I  Z1  U
Z  Z1  Z 2
I
U
U

Z Z1  Z 2
Z2
Z1
U 2  I  Z2  U
Z
Z1  Z 2
1  Z2
41
Dělič proudu
I1 =? I2 = ?
Protože jsou proudy větvemi:
U  IZ  I
Z1Z 2
Z1  Z 2
I1 
U
Z2
Y1
I
I
Z1
Z1  Z 2
Y1  Y2
I2 
U
Z1
Y2
I
I
Z2
Z1  Z 2
Y1  Y2
42
14
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Symbolická metoda
Komplexní (Gaussova) oblast
Časová oblast
Schéma reálného obvodu Symbolické schéma ZR  R
Z L  j L
transformace
ZC 
2. K.z. :
 u t   0
U m sin t   R  i  t   L
U  0
2. K.z. :
u z  t   u R  t   u L  t   uC  t 
di  t 
dt
1
j C
U z  U R  UL  U C  Z R  I  Z L  I  ZC  I

1
i  t  dt  U C0
C
Zpětná
transformace
i  t   I m sin t  
UZ
Z R  Z L  ZC
Řešení komplexní algebraické rovnice
Řešení integrodiferenciální rovnice
Výsledek
I
I  I 
Obraz výsledku
(fázor)
43
Základní metody analýzy elektrických obvodů
S využitím symbolické metody můžeme aplikovat na obvody v HUS
stejné metody analýzy, jako na obvody SUS.
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ metoda postupného zjednodušování
‐ metoda úměrných veličin
‐ transfigurace
‐ princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ metoda uzlových napětí (MUN)
‐ modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
44
Metody pro speciální případy
‐ metoda postupného zjednodušování
• Princip ‐ postupné zjednodušování obvodu až na obvod obsahující jeden zdroj a jednu imitanci
• Postupná náhrada
• sériově řazených prvků
• paralelně řazených prvků
Klady:
• jednoduchá metoda
• použití zákl. matem. operací
• vhodné pro „ruční výpočty“ Zápory:
• zdlouhavá a pracná metoda
• analýza pouze jednodušších obvodů s jediným zdrojem
• postup řešení je „individuální “
(vyžaduje zkušenost )
• některé obvody nelze takto řešit (vyžadují např. aplikaci metody transfigurace obvodu)
45
15
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
PŘÍKLAD
Metoda postupného zjednodušování
Postupným zjednodušováním určete celkovou impedanci Z dvojpólu
podle obrázku při kmitočtu 50 Hz. Hodnoty prvků obvodu jsou:
R1 = 120 , R2 = 200 , L = 250 mH, C = 2 F.
  πf  314 rad  s-1 ,
Z R1  120 
Z R2  200 ,
Z L  j L  j78,54 ,
ZC 
Z  Z R1  Z L 
1
  j1592 .
j C
1
R2
Z R2  Z C
j C
 R1  j L 
  316,9  j53,8   321, 49, 64 
1
Z R2  Z C
R2 
jC
46
Reálné zdroje, dualita zdrojů
Reálný zdroj I
Reálný zdroj U
Vzájemné přepočty
zdrojů
1
Zi 
Yi
Ui  Ii Zi
U  Ui   U  Ui  Zi I
Yi 
1
Zi
Ii 
Ui
Zi
U
Ii  I
Yi
Parametry se určí ze stavu zdroje: napětí naprázdno U0 a proud nakrátko Ik
Ui  U0
Zi 
U0
Ik
Ii  I k
Yi 
Ik
U0
47
Metoda náhradního zdroje
i2  t   ?
Z L  j L  j10 , ZC =
Ui ze stavu naprázdno 1
  j10 , U  100 V
j C
Zi po vyřazení zdrojů
 L  10 , 1/C  10 ,
R1 =R 2  10 ,
u  t   10 2 sin t  V
Ui  U C  U
 10
ZC

R1  ZC
 j10
  5  j5  V
10  j10
Z i  j L 
 j10 
R1  Z C

R1  Z C
10   j10  10

  5  j5  
10  j10 1  j
I2 
Ui
Zi  R2
I2 
5  j5
 0, 4472  63,43 A i2  t   0, 4472 2  sin  t  63, 43  A
5  j5  10
48
16
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Metoda náhradního zdroje
U  100 V
u  t   10 2 sin t  V
I 2   0, 2  j0, 4   0, 4472  63, 43 A
i2  t   0, 4472 2  sin t  63, 43  A
0
0,2
U
Um  10 2
Re
u(t)
Im  0,4472 2
63, 43
t
0
-0,4
I2
63,43
T
360
Im
i(t)
49
PŘÍKLAD
Příklad – náhradní zdroj
Určete parametry náhradních zdrojů (napěťového – Théveninova věta
i proudového – Nortonova věta) pro obvod dle obrázku. Hodnoty prvků obvodu
jsou: u  t   100sin  628t  V , R = 1 k, C1 = 1 F, C2 = 4,7 F.
U  100 / 2  70, 710 V
1
Z C2 
  j338,8 
j C 2
Ui  U
Z C2
 j338,8
 70, 71

R  Z C2
1000  j338,8
  7, 281  j21, 49   22, 69  71, 28 V
Zi 
R  Z C2 1000    j338,8 


1000  j338,8
R  Z C2
Ii 
U i 22, 69  71, 28

 70, 710 mA
Z i 320,9  71, 28
Yi 
1
 1  j2, 952   3,11671, 28 mS
Zi
 103  j303,9   320,9  71, 28 
50
PŘÍKLAD
Příklad – realizace náhradního zdroje
Zi  103  j303,9  
U i  22, 69  71, 28 V
Varianta sériové kombinace (Z)
ui  t   Im Ui  e jt  
ui(t)
 22, 69 2 sin  628t  71, 28  V
Ri  Re Zi   103 
U
Ri
Ci
1
 jIm Zi    j303,9 
jCi
Ci 
1
 52, 4  F
628  303,9
51
17
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
PŘÍKLAD
Příklad – realizace náhradního zdroje
Z i  103  j303,9  
U i  22, 69  71, 28 V
Varianta paralelní kombinace (Y)
ui  t   Im U i  e jt  
 22, 69 2 sin  628t  71, 28  V
Yi 
1
1

= 1  j2,952  mS
Z i 103  j303,9 
Ri 
1
1

 1 k
Re Yi  1 103
jCi  jIm Yi   j2,952 mS
2,952 103
 4, 7  F
628
Ci 
52
Metoda úměrných veličin
u  t   U m sin t   10 2 sin  t 
u2(t) =?
L = 10 ,
1/C = 10 , R1 = R2 = 10 
Volíme
U2  1  1  j0  V
I2  U2 / R 2  1 / 10   0 ,1  j0  A
UL  I2  jωL  j10  0 ,1   0  j V
UC  U2  UL  1  j  V
IC 
I  I2  IC  0,1  0,1  0,1j  0,1j A
UR1  IR1  10  j0,1   0  j V
U  UR1  UC  j  1  j  1  j2  V
k
UC
1  j  0,1  j0,1 A



1/jωC    j10 
10
U

  2  j4 
U 1  j2 
U 2  k  U2   2  j4  1   2  j4   4, 4721e j63,43 V
Obdobně pro další obvodové veličiny
u2  t   U m sin t   u   4, 4721 2 sin t  63, 43  V
53
Metoda smyčkových proudů (MSP)
 L  10 , 1/C  10 , R1 =R 2  10 ,
u  t   10 2 sin t  V
 Z  I    U 
i2  t   ?
U  100 V
 R1  1/  jC 
1/  jC 
  IS1   U 



R2  j L  1/  jC    IS2   0 
 1/  jC 
10  j10 j10   IS1  10 


 j10
10   IS2   0 

10  j10 j10 
 10  j10   10   j10    j10    200  j100 

10 
 j10

 j100
 0, 4472  63,43 A
I 2  IS2  2 
10  j10 10 
 200 - j100
2  


j100

j10
0


i2  t   0, 4472 2 sin t  63,43  A
54
18
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Metoda smyčkových proudů (MSP)
U  100 V
u  t   10 2 sin t  V
I 2   0, 2  j0, 4   0, 4472  63, 43 A
i2  t   0, 4472 2  sin t  63, 43  A
0
0,2
U
Um  10 2
Re
Im  0,4472 2
63, 43
u(t)
t
0
-0,4
I2
63,43
T
360
Im
i(t)
55
Metoda uzlových napětí (MUN)
 L  10 , 1/C  10 , R1 =R 2  10 ,
u  t   10 2 sin t  V
 Y    U   I 
u1  t   ?
u2  t   ?
U  100 V
G1  jC  1 /  j L 
1 /  j L    U10   I 



G2  1 /  j L    U 20   0 
1 /  j  L 

I
U 10
  1 A
R1 10
j0,1   U10  1 
 0,1
 j0,1 0,1  j0,1   U   0 

  20   
j0,1 
 0,1 1 
1
1  
   0,1  j0,1  2   j0,1 0    j0,1


0 0,1  j0,1
j0,1 
 0,1

  0,1   0,1  j0,1   j0,1   j0,1   0,02  j0,01
 j0,1 0,1  j0,1
56
Metoda uzlových napětí (MUN)
 L  10 , 1/C  10 , R1 =R 2  10 ,
u  t   10 2 sin t  V
u1  t   ?
u2  t   ?
   0,02  j0,01 1   0,1  j0,1  2   j0,1
U10 
1
0,1  j0,1

 6,325  18,43 V
 0, 02  j0,01
U 20 
2
 j0,1

 4, 472  63,43 V
 0, 02  j0,01
U 2  U 20   2  j4   4, 472  63,43 V
U1 ‐ z původního schématu!
u2  t   4, 472 2 sin t  63, 43  V
U1  U  U10   4  j2   4, 47226,57 V
u1  t   4, 472 2 sin t  26,57  V
57
19
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Metoda uzlových napětí (MUN)
U  100 V
u  t   10 2 sin t  V
U1   4  j2   4, 47226,57 V
u1  t   4, 472 2  sin t  26,57  V
U 2   2  j4   4, 472  63, 43 V
u2  t   4, 472 2  sin t  63, 43  V
U m  10 2
U1m  4, 472 2
26,57
U 2m  4, 472 2
63, 43
26,57
T
360
63, 43
T
360
58
Vázané cívky
Vložením magnetického obvodu vznikne vazba
Cívky bez vzájemné magnetické vazby (nesdílejí magnetický tok)
Cívky magneticky vázané v HUS
M12
I1
12
U2
L1
L2

U 2  j M 12I1
Použití:
• transformátory
• vázané obvody s galvanickým oddělením
12 sdílený magnetický tok
12  i1  t 
Faradayův indukční zákon
u2  t  
d12
di
 M 12 1
dt
dt
59
Vázané cívky v HUS
Náhrada vzájemné indukčnosti M zdroji indukovaných napětí
(v nevázaných induktorech)
U1  j L1I1 +j M 12I 2
U 2  j L2I 2 +j M 12I1
Činitel (konstanta) vazby k
k
M 12
L1L2
k  0,1
U1  U L1  U12
U 2  U L2  U 21
U L1  j L1I1
U L2  j L2I 2
U12  j M 12I 2
U 21  j M 12I1
60
20
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vázané cívky v HUS
Obrácená orientace vinutí cívek
M12
I1
I2
U2
U1
L1
L2
U1  j L1I1 - j M 12I 2
U 2  j L2I 2 - j M 12I1
U1  U L1  U12
U 2  U L2  U 21
U L1  j L1I1
U L2  j L2I 2
U12  j M 12I 2
U 21  j M 12I1
61
Vázané cívky v HUS – příklad MSP
Vypočítejte proudy I1, I2, I3
U1  j M 12I 3  j M 12IS2
U 2  j M 12 I 2  j M 12  IS1  I S2 
 R1  R2  j L1

   R 2  j L1 

  R 2  j L1 
R2  j L1  j L2 

U  j M 12I S2
U  j M 12 IS2
 

  I S1   U  U1   
1    

 

I S2   U 2  U1   j M 12  I S1  IS2   j M 12I S2   j M 12 IS1  2 j M 12I S2 
jC 
 R1  R2  j L1

   R 2  j L1 

1


I S2  2

I S1 
I1  I S1
I 2  I S1  I S2
I 3  I S2
  R 2  j L1 
R2  j L1  j L2 

U  j M 12IS2

  I S1   U  U1   
1    

 
IS2
 U 2  U1   j M 12IS1  2 j M 12I S2 
jC   
R1  R2  j L1

  R 2  j L1  j M 12 


   IS1    U 
   R 2  j L1  j M 12  R2  j L1  j L2  1  2 j M 12  IS2   0 
j C


62
Výkon v HUS
21
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Výkon v HUS
u  t   U m sin  t   u 
Zjednodušení:
i  t   I m sin  t   i   u  0

   u  i
 i  
u  t   U m sin  t 
okamžitý výkon i  t   I m sin  t   
p  t   U m I m sin  t   sin  t   
p t   u t   i t 
použitím : sin  sin   0,5  cos      cos     
p t  
Um Im
 cos   cos  2t    
2
U m  2U , I m  2 I
p  t   UI cos   UI cos  2t   
64
Výkon v HUS
u, i, p
p  t   U  I cos   U  I cos  2t   
R: cos = 1
p(t)
R
stálá (konstantní)
složka
kmitavá složka
i(t)
t
u(t)
u, i, p
U∙I ∙ cos
U∙I
stálá složka = U.I
= amplituda kmitavé složky
L a C: cos = 0
p(t)
u, i, p
i(t)
t
i(t)

p(t)
C
t
u(t)
okamžitý výkon p t   u t   i t 
u(t)
stálá složka = 0
L
65
Výkon v HUS
Rozklad okamžitého výkonu p(t) na činnou pč(t) a jalovou pj(t) složku:
p  t   U m I m sin t   sin t     UI 1  cos  2t   cos   sin  2t  sin   
cos
 1  cos  2t    UI
sin
 sin  2t   pč  t   p j  t 
 UI




P
Q
P  U  I cos 
(W) činný výkon
Q  U  I sin 
(var,VAr) jalový výkon
S U I
(VA) zdánlivý výkon
p
pč(t)
p(t)
pj(t)
Pro výkony platí tzv. trojúhelník výkonů
S 2  P2  Q2
Účiník
cos  
t

P U  I  cos 

S
U I
66
22
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Výkon v HUS
•
Účinnost přeměny dodávaného výkonu na výkon činný vyjadřuje účiník
Činný výkon P koná práci (mění se na mechanickou, tepelnou nebo jinou formu užitné energie)
Směr toku P se nemění, směřuje od zdroje ke spotřebiči, pulsuje v čase s kmitočtem 2f.
•
cos  
P
P

S U I
P
Q
P
 2
• P1 Jalový výkon Q nekoná ve spotřebiči práci, ale •
vytváří pole (magnetické v induktoru, elektrické v kapacitoru)
Směr toku Q se mění s kmitočtem 2f.
67
Komplexní výkon
S  U  I
U  U  e j u I  I  e j i I   I  e  j i
 U  e j u  I  e j i  U  I  e j( u  i )  U  I  e j 
 U  I  cos   jsin    P  jQ
P  Re S , Q  Im S , S  S
1
S  U  I   U m  I*m
2
Při výpočtu z maximálních hodnot.
 U  U 2
S  U  I  U        U 2  Y
Z  Z
Pozn.: U∙U* = U2
S  U  I  Z  I  I  Z  I 2
68
Příklad 1
Výkon
I
Pasivním dvojpólem protéká
U
proud
I   5  j3 A
a
vytváří
na
něm
napětí
U   80  j60  V . Určete činný výkon P, jalový výkon Q, zdánlivý výkon S a komplexní
výkon S a dále účiník cos .
Z
S  U  I   80  j60    5  j3   220  j540   583,1135,7 VA
P  ReS  220 W
S  S  583,1 VA
Q  Im S  540 var
cos 
P 220

 0,377
S 583,1
69
23
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Výkonové přizpůsobení Zi
U
Ui
Z
I
Z =R+jX
Obecná zátěž
Zi=Ri+jXi
Vnitřní impedance zdroje
Přenos maximálního výkonu P ze zdroje do zátěže?


Z  U i  
P  Re S  Re U  I*  Re Ui

 


Z
Z
Z
Z
i
 i
 


R  jX

 Re U i2

R

R

j
X

X

R

R

j
X

X












i
i  
i
i 
 

2
Ui  R


 0,
0

R
X


2
2
 R  R    X  X      R  Ri , X   X i 
i

P
P
i

R
 0,5
Ri  R
Pmax 
Z  Z*i
U i2
4 Ri
70
Kompenzace jalového výkonu
• Jalový výkon Q nekoná užitnou práci
• Jalový proud ovšem zatěžuje přenosovou soustavu, kde způsobuje ztráty
 Q je nutno minimalizovat pomocí kompenzace
Příklad: zářivkové svítidlo
71
Kompenzace jalového výkonu
Většinou jde o induktivní zátěž (Q kladné) a kompenzuje se kapacitami (Q záporné).
I1  I 2  I 3  min.
P

S
Bez kompenzace
P=S
P

QL
QL‐QC=0
QL‐QC
S
QC
Částečná kompenzace:
QL – QC 0 cos   1
Optimální kompenzace:
QL – QC = 0 cos  = 1
72
24
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 2
Kompenzace jalového výkonu Zářivkové svítidlo napájené ze sítě 230V/50Hz má spotřebu 38 W a účiník cos  = 0,65. Určete:
a) odebíraný proud I1 a jalový výkon Q
b) vhodnou velikost kompenzačního C pro cos = 1,
c) proud I2 odebíraný při kompenzovaném zapojení.
a)
P  U  I1 cos 
Q
b)
U  I1 
2
 I1 
 P2 
 230  0,254 
2
 382  44,37 VAr
Kompenzační C musí mít stejný jalový výkon (s opačným znaménkem) QC 
ZC 
c)
P
38

 0,254 A
U cos  230  0,65
U2
ZC
U2
1
Q
44,37

 C  C2 
 2,67 μF
U
QC C
2π  50  2302
Při optimální kompenzaci je Q=0 (cos  = 1) a platí: I 2 
P 38

 0,165 A
U 230
73
Centrální kompenzátor jalového výkonu
Regulátor ovládající
připojování kondenzátorů
dle aktuálního cos 
Jištění
Stykače
3fáz. kondenzátory
různých hodnot C
74
Pasivní lineární obvody
1. a 2. řádu
(RC, RL a RLC články)
25
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
OPAKOVÁNÍ BEL1
Dvojbrany
I1
I2
U1
Admitanční rovnice dvojbranu:
 I1   y11 y12   U1 
I    y
 
 2   21 y 22   U 2 
U2
Impedanční rovnice dvojbranu:
 U1   z11 z12  I1 
U   z
 
 2   21 z 22  I 2 
Hybridní rovnice dvojbranu:
 U1   h11 h12  I1 
 I   h
 
 2   21 h 22   U 2 
Dvojbran:
• Má vstupní bránu a výstupní bránu
• Lze chápat jako „černou krabičku“ s dvěma dvojicemi svorek
• Dvojbran je popsán vztahy mezi U a I na branách, popisuje se maticovou rovnicí (např. admitanční Y, impedanční Z,…)
76
OPAKOVÁNÍ BEL1
Výpočet pomocí MUN
Výpočet přenosu napětí naprázdno KU0:
KU 
K U0 
U VÝST
U VST
2
U 20

   2
U10 1 1

U10 
1

U 20 
2

K U0 
2
1
Výpočet vstupní impedance naprázdno Zvst0:
Z VST 
U VST
I VST
Z VST0 
U10
I
U10 
1

Z VST0 
U10 1 1
 
I
I 
1 
Z VST0   1
I 
77
Pasivní lineární setrvačné obvody
Setrvačné obvody
Vložené
Setrvačné obvody
(dvojbrany)
Parazitní
1. řádu
Použití: Úprava signálu (kmitočtově závislé děliče)
2. řádu
vyšších řádů
(dáno počtem akumulačních prvků, tedy řádem dif. rovnice)
RC
CR
LR
RL
PRO
SRO
78
26
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vlastnosti základních pasivních
lineárních obvodů 1. řádu (RC, RL)
Setrvačný (integrační) článek RC
Z rovnice pro kapacitor:
u2  t  
u2  t  
i1  t  
1
u1  t  dt
RC 
u1  t   u2  t 
R
u2  t   u1  t 
u t 
i1  t   1
R
  R C
časová konstanta
1
i1  t  dt
C
Použití:
‐ získání integrálu časového průběhu
‐ odstranění šumu ze signálu (vyhlazení)
80
Setrvačný (integrační) článek RC
u2  t  
Harmonický průběh
1

 u  t  dt
1
Neharmonický průběh
u1(t)
u2 << u1
u2(t)
u1(t)
u2 << u1
u2(t)
Není‐li u2 << u1, je u2(t) nutno řešit pomocí diferenciální rovnice.
Analýza je jednoduchá jen pro harmonický ustálený stav.
81
27
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vlastnosti článku RC pro HUS
u1  t   U1m sin t 
u2  t   U 2m sin t   u 
i  t   I m sin t  i 
I1 
U1
R  ZC
U 2  Z C I1 
ZC
U1
R  ZC
Napěťový přenos RC článku:
1
ZC
j C
1



K U   
1  j RC
U1   R  Z C R  1
jC
K U   
U 2  
1
1  j
U 2    K U    U1  
82
Fázorový diagram RC článku
U1
U1

R  ZC R  1
j C
I
U1  U R  U C  R  I 
1
I
j C
I
I

UR
UC
 U1
UR
U1
  90
UC
 → 0
 → ∞
Oblast přenosu
Oblast „kvaziintegrace“
83
Hodograf RC článku
K U   
K U    
K U   0 
U 2  
U1   

1
1  j RC
0

 KU  1
 KU  0
  mez 
K U   mez 
K U  mez  
1
1

RC 
1
1
1 j


  0,5  j0,5 
1  jmez RC 1  j
2
84
28
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pracovní oblasti RC článku
OBLAST INTEGRACE
OBLAST PŘENOSU
K U   0 
K U    
K U   mez 
K U    mez 
2
K U    mez 
mez 
1 1
K Umez    j   K Umez  e j
2 2
2
1
1 1
 0, 707
K Umez       
2
2 2
  45
1
1

RC 
U 
K Umez(dB)  20 log  2   3, 0103 (dB)
 U1 
85
Modulová a fázová charakteristika RC článku
K U   
0
K u   
1
1  j RC
0,5
1
  
U1  

1
j 
 K U    e  
1  j RC
Modulová kmitočtová charakteristika
Hodograf ‐
komplexní
kmitočtová charakteristika
K U   
U 2  
Re
Argumentová (fázová) kmitočtová charakteristika
1
1  ( RC ) 2
    arctan   RC 
  
K u  
K u  
-j0,5
Im

mez
mez

mez
86
Logaritmické charakteristiky RC článku
 U   
K U(dB)    20 log  K U      20log  2

 U1    
0
K u dB  
-5
(dB)
Bodeho asymptoty
3 dB
-10
-15
Log. modulová -20
kmitočtová charakteristika
-25
-30
‐20 dB/dek
-35
  
log 

 mez 
-40
-45
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
87
29
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Logaritmické charakteristiky RC článku
 U   
K U(dB)    20 log  K U      20log  2

 U1    
(dB)
0
  
-10
Log. argumentová kmitočtová charakteristika
-20
-30
-40
45
-50
-60
Bodeho asymptoty
-70
  
log 

 mez 
-80
-90
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
88
RC článek ‐ shrnutí
Filtr typu dolní propust (DP)
0
K u dB   
-5
KU(dB) ()
3 dB
-10
-15
K U   
-20
U 2  
1

 K U    e j  
U1   1  j
K U(dB)    20 log  K U   
  R C
-25
Pásmo
propustnosti
-30
-35
  
log 

 mez 
-40
(dB)
-45
-2
10
  mez 
1
1

RC 
0
10
1
10
2
10
0
  
-10
()
-20
-30
  mez
u2  t  
-1
10
-40
45
-50
1
u  t  dt

1
u2  t   u1  t 
-60
-70
  
log 

 mez 
-80
-90
-2
10
-1
10
10
0
1
10
10
2
89
Vazební (derivační) článek CR
u2  t   R  i1  t 
Z rovnice pro kapacitor:
i1  t   C
du t 
u2  t   RC 1
dt
i1  t   C
d  u1  t   u2  t  
dt
d u1  t 
dt
u2  t   u1  t 
  R C
časová konstanta
Použití:
‐ získání derivace časového průběhu
‐ odstranění stejnosměrné složky signálu
90
30
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vazební (derivační) článek CR
u2  t   
Harmonický průběh
d u1  t 
dt
Neharmonický průběh
u1(t)
u1(t)
u2 << u1
u2 << u1
u2(t)
u2(t)
Není‐li u2 << u1, je u2(t) nutno řešit pomocí diferenciální rovnice.
Analýza je jednoduchá jen pro harmonický ustálený stav.
91
Vlastnosti CR článku pro HUS
u1  t   U1m sin t 
u2  t   U 2m sin t  u 
i  t   I m sin t  i 
I1 
U1
R  ZC
U 2  RI1 
R
U1
R  ΖC
Napěťový přenos CR článku:
K U   
U 2  
U1  

R
R
j RC


1  j RC
R  ZC R  1
j C
K U   
j
1  j
U 2     K U     U1   
92
Fázorový diagram CR článku
I
U1
U1

R  ZC R  1
j C
U1  U C  U R 
1
I  R I
jC

UR
I

U1
UC
 → 0
I
UR
UC
  90
U1
 → ∞
Oblast přenosu
Oblast „kvaziderivace“
93
31
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Hodograf CR článku
K U   
U 2  
j RC

U1   1  j RC
K U    mez 
0
 KU  0

 KU 1
  mez 
1
1

RC 
K U    
K U   0 
K U mez  
j 1  j
jmez RC
j


  0, 5  j0,5 
1  jmez RC 1  j
2
94
Pracovní oblasti CR článku
OBLAST DERIVACE
OBLAST PŘENOSU
K U    mez 
K U   mez 
K U    mez 
K U    
1
1
K Umez    j   K Umez  e j
2 2
K U   0 
2
mez
2
1
1 1
 0, 707
K Umez       
2
2 2
  45
1
1


RC 
U 
K Umez(dB)  20log  2   3, 0103 (dB)
 U1 
95
Modulová a fázová charakteristika CR článku
K U   
j RC
1  j RC
U1  

j RC
j 
 K U    e  
1  j RC
Modulová kmitočtová charakteristika
Hodograf ‐
komplexní
kmitočtová charakteristika
K U   
U 2  
K u ( ) 
Argumentová (fázová) kmitočtová charakteristika
 RC
 1 

  RC 
    arctan 
1  ( RC ) 2
  
K u  
1
2
+45°
  

mez

mez
96
32
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Logaritmické charakteristiky CR článku
 U   
K U(dB)    20 log  K U     20 log  2
 U   
 1

(dB)
0
K u  dB  
3 dB
-5
Bodeho asymptoty
-10
-15
Log. modulová -20
kmitočtová charakteristika
-25
-30
+20 dB/dek
-35
  
log 

 mez 
-40
-45
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
97
Logaritmické charakteristiky CR článku
 U   
K U(dB)    20 log  K U     20 log  2
 U   
 1

(dB)
90
  
80
Log. argumentová kmitočtová charakteristika
70
60
50
45
40
30
20
Bodeho asymptoty
  
log 

 mez 
10
0
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
98
CR článek – shrnutí
Filtr typu horní propust (HP)
0
K u dB   
-5
KU(dB) ()
3 dB
-10
-15
Pásmo
propustnosti
-20
K U   
U 2  
j RC

 K U     e j   
U1   1  j RC
K U(dB)    20 log  K U   
  R C
-25
-30
-35
-45
-2
10
  mez 
1
1

RC 
-1
10
0
10
1
10
2
10
90
  
()
80
70
60
  mez
u2  t   
  
log 

 mez 
-40
(dB)
50
45
40
d u1  t 
u2  t   u1  t 
dt
30
20
  
log 

 mez 
10
0
-2
10
-1
10
0
10
10
1
10
2
99
33
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Články LR a RL
Derivační RL článek
Integrační LR článek
K U   
R
1

R  j L 1  j
K U   

časová konstanta
j L
j

R  j L 1  j
L
R
Problémy s reálnou cívkou ‐ omezené Q, parazitní C
100
Shrnutí vlastností základních článků 1.řádu
Vazební (derivační)
článek CR
Setrvačný (integrační)
článek RC
K U   
U 2  
U1  
j 
 K U    e  
101
Shrnutí vlastností základních článků 1.řádu
Setrvačný (integrační)
článek RC
Vazební (derivační)
článek CR
K U   
U 2  
U1  

Z2
Z1  Z 2
U 2    K U    U1  
K U   
OBLAST
INTEGRACE
1
1  j RC
OBLAST
PŘENOSU
mez 
1
RC
K U   
j RC
1  j RC
  mez
  mez
OBLAST DERIVACE
OBLAST
PŘENOSU
102
34
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Setrvačný (integrační)
článek RC
Vazební (derivační)
článek CR
HODOGRAF ‐ komplexní
  
kmitočtová charakteristika
K u  
K u dB  
K U   
Log. modulová kmitočtová charakteristika
0
-5
3 dB
-10
‐20 dB/dek
-15
1
j RC
K U   
1  j RC
1  j RC
  
0
-5
3 dB
-10
+20 dB/dek
-15
K U   
-20
-20
K U(dB)    20log  K U     (dB)
-25
1
-30
-35
1   RC 
-40
-45
-2
10
-1
10
0
  
log 

 mez 
2
1
10
0
0º → ‐90º
-20
-45
-2
10
10
-10
-30
-30
 RC
1   RC 
Log. argumentová
kmitočtová charakteristika
2
  
log 

 mez 
-40
2
10
-25
-35
  
K U   
-1
10
0
1
10
2
10
10
90
80
+90º → 0º
70
60
    arctan   RC 
-40
45-50
-60
45
50
40
30
-70
  
log 

 mez 
-80
-90
-2
10
10
-1
0
10
10
1
2
10
 1 

  RC 
    arctan 
20
  
log 

 mez 
10
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
103
Článek RC – souvislost KU a časových průběhů
oblast přenosu
  mez
1
 0,707
2
  -45°
KU 
KU(dB) ()
  mez
oblast integrace
  mez
()
104
Článek CR – souvislost KU a časových průběhů
oblast přenosu
  mez
KU(dB) ()
KU 
1
 0,707
2
  +45°
  mez
oblast derivace
  mez
()
105
35
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Fourierova harmonická analýza
(rozklad na harmonické složky)
SPEKTRUM periodického signálu
Periodický signál:
f t   f t  k  T 
k  0,  1,  2,...
1  2πf1

f  t     ck sin  k1t   k  
k 0
106
Přenos neharmonického signálu
Výstupní signál
Obdélníkový signál
1. harmonická

3. harmonická


5. harmonická


další harmonické
n
U1 k  
1
 U 2  k 
1  jk RC

n
107
Přenos neharmonického signálu
U1
AMPLITUDOVÉ
SPEKTRUM
U1   k   K U   k   U 2   k 
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
k
-20
(k)
-30
FÁZOVÉ
SPEKTRUM
-40
-70
-80
-90
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
AMPLITUDOVÉ
SPEKTRUM
1
K U  k  
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
U2
k
1
3
0
1
-10
1  jk RC
-30
-20
FÁZOVÉ
SPEKTRUM
-40
-50
-50
-60
Výstupní signál
KU
0
-10
c(k)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
U1 k   K U k   U 2 k 
(k)
c(k)
Obdélníkový signál
Všechny nulové
-60
1 k   KU k    2 k 
-70
-80
-90
108
36
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Neharmonické signály v setrvačných obvodech
RC (integrační)článek
t
oblast přenosu
  mez
  mez
oblast integrace
  mez
109
Neharmonické signály v setrvačných obvodech
CR (derivační) článek
t
oblast derivace
  mez
  mez
oblast přenosu
  mez
110
Všepropustný článek
 roste
UR
U2
U1/2
U C  U1
1
1
jC
 U1
1
1  j RC
j C
U R  U1
R
R
R
1
jC
 U1
UC
U2
j RC
1  j RC
U1/2
UR
U2
U
U U 1  j RC
1
U 2  U C  1  U1
 1  1

2
1  j RC 2
2 1  j RC

2
 jarctan   RC 
U1 1   RC   e
U

 1  e2 jarctan RC 
2
2
2
1   RC   e jarctan  RC 
K U   
U 2  
U1  
 0,5  e 
j 2 arctan  RC  
UC
Použití: Jako tzv. „fázovací článek“
111
37
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Využití CR článku
Vazební článek (oddělení ss složky)
Derivační článek
(získání krátkého spouštěcího impulsu)
112
Využití CR článku
Zapojení 3stupňového zesilovače
s vazebními články
Totéž zapojení, výpočtové schéma pro střídavé signály
113
Využití CR a RC článků
CR jako vazební článek
resp. filtr HP
RC jako filtr DP
Kaskádní řazení článků
Oddělovač synchronizačních impulzů v televizoru Salermo
114
38
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vlastnosti pasivních
lineárních obvodů 2. řádu
(rezonanční obvody RLC)
Kmitavý obvod LC a RLC
• Kmitavý obvod LC: Energie se přelévá z elektrického pole C do magnetického pole L a zpět  kmitavý děj (harmonický)
• Vložením R vznikne exponenciálně tlumený kmitavý děj (část energie se umořuje v R ve formě tepla)
116
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
Z  Z   e
j   
 R  j L 
Impedance
Z    R 2   L  1/ C 
Z  
0
90
   0

1
1 
 R  j  L 
 C 
j C

Z  r   R


1 
 r L 
0
r C 

r
r L 
1
r C
REZONANCE
(Thomsonův vzorec)
  r   0
r 
90
2
  L  1/ C 
    arctan 

R


1
1
, fr 
2 LC
LC
117
39
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
U
U
Z  
I   
Ir  U / R
I  
Rezonanční
křivka
Ir
2
Při rezonanci =0
Ir 
proud je maximální
B  mh  md
 md
90
 I  
1
j 
 I   e I  
1 

R  j  L 

C 

 md

 mh
I  
Ir
B
Mezní kmitočty
45
U
R
i
0
45
r
90
Hodograf
 mh
šířka pásma propustnosti B (rad/s, Hz)
118
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
I   
U

Z  
U
1 

R  j L 
C 

r 
1
U/R
I   
LC
1 j
Ir
I   
Ir
2

Ir
1  jQS F
činitel jakosti SRO
Rezonanční křivka
I  
r L   r 
  
R  r  
r L
QS 
1  QS2 F 2

R
1
rCR

1 L
R C
činitel rozladění
F
QS roste
 r f f r

 
r  f r f
fr
QS
B 
B klesá s QS

Empirický vztah,
platí pro QS > cca 5
šířka pásma
119
Fázorový diagram SRO
Z  R  j L 
1
1 

 R  j  L 
C 
jC

UR  UC  UL  U  0
Ir 
Rezonance:
U
,
R
U R  U,
U Lrez  jr L I r  j
U Crez
r L
R
U  j QS U
UL
1
I
j C
U
UL+UC
  r
1
U Lrez  jQS U
I
U Crez   jQS U
U  UR  UC  UL
U R  R  I , U L  j L  I , U C 
1

 Ir   j
 U   jQS U
jr C
r RC
UR = U

Napětí na C a L
je při rezonanci maximální a je
Q‐násobkem U!
Praktické důsledky – využití jevu rezonance
I
UR
UC
UL
UR
I
UL+UC
UC
RL
  r
RC
U
120
40
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
Y  Y   e
j  
1
1 

 G  j  C 
j L
 L 

 G  j C 
Admitance
Y    G 2  C  1/  L 
Y  
2
 C  1/  L 
    arctan 

G


0
90

1 
 r C 
0
r L 


Y r   G
1
1
, fr 
2 LC
LC
r 
90
1
r L
REZONANCE
(Thomsonův vzorec)
  r   0
   0
r C 
r
121
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
U   
Ur  I / G
U  
Rezonanční
křivka
Ur
2
1
j 
 U   e U  
1 

G  j  C 
 L 

Při rezonanci =0
Ur 
napětí je maximální
 md
90
 md
Im
B  mh  md
 U  
I
I
Y  

 mh
U  
j0,5
Ur
B
Mezní kmitočty
45
U
0
0,5
I
1
0
45
r
90
I
G
-j0,5
Hodograf
 mh
šířka pásma propustnosti B (rad/s, Hz)
Re
122
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
U   
I

Y  
I
1 

G  j  C 
 L 

r 
1
U   
LC
1 j
Rezonanční křivka
U  
U   
Ur
2
I/G
r C   r
 
G  r 

Ur
1  jQP F
činitel jakosti PRO
r C
QP 
Ur



G
1  QP2 F 2

1
r LG

1 C
G L
činitel rozladění
F
QP roste
 r f
f

  r
r  f r f
B 
B klesá s QP

fr
QP
Empirický vztah,
platí pro QP > cca 5
šířka pásma
123
41
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Fázorový diagram PRO
YG
1
1 

 jC  G  j  C 
j L
 L 

IG  IC  I L  I  0

I  IG  IC  IL
1
I G  G  U , I C  j C  U , I L 
U
I
rezonance :
j L
Ur  , IG  I
G
IC
C
I
I Crez  jr C U r  j r I  jQP I
IL+IC
 
G
I Lrez
1
1

 Ur   j
I r   jQP I
r LG
jr L
IG
IL
r
RC
U
I Crez  jQP I
U
IC
IG
Proud procházející C a L
je při rezonanci IL+IC
maximální a je
Q‐násobkem proudu I!
IG = I
I Lrez   jQP I
U
  r
RL
I
IL
124
Paralelní rezonanční obvod RLC
Teoretická varianta zapojení
Praktická varianta zapojení
Z
1
j C
1
R  j L 
j C
 R  j L 
Ideální induktor!
U    I
G
1/ G
1  jQP F
Reálná cívka (ztrátová)
CR
L
Porovnáním
U    I  Z  I
Přepočet z praktické varianty zapojení
U    I
1
L
R

j C
C j C
I
1
1 

R  j L 
R  j  L 
j C
C 

 R  j L 
1
L

CR jC
1  jQP F
V praxi je  
R
L
125
Použití RLC v zapojení jako dvojbran
jako kmitočtové filtry 2. řádu typů: DP, HP, PP, PZ (podle zapojení a parametrů)
DP – dolní propust
K U   
U 2  
Z2

U1   Z1  Z 2
Logaritmická modulová KU (db)
kmitočtová charakteristika
40
KU (db)
40
Q=20
20
Q=3
Q=20
20
± 40 dB/dek
0
Q=1
‐20
‐40
‐40
0.1
 (°)
0
1
Q=3
‐30
/ r
10
Q=1
1
Q=3
150
120
Semilogaritmická argumentová
90
kmitočtová charakteristika
‐120
/ r
10
/ r
10
Q=20
Q=1
60
‐150
‐180
0.1
 (°)
180
Q=20
‐90
Q=3
0
Q=1
‐20
‐60
HP – horní propust
30
0.1
1
/ r
10
0
0.1
1
126
42
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Použití RLC v zapojení jako dvojbran
PP – pásmová propust
PZ – pásmová zádrž
U  
Z2

K U    2
U1   Z1  Z 2
KU (db)
10
0
Logaritmická modulová KU (db)
kmitočtová charakteristika
10
Q=5
0
Q=3
‐20
‐20
Q=20
‐40
Q=20
Q=1
‐40
Q=200
‐60
0.1
 (°)
90
Q=20
60
‐60
0.1
 (°)
Semilogaritmická argumentová
90
kmitočtová charakteristika
60
/ r
1
Q=200
10
Q=3
30
30
0
0
‐30
‐30
‐60
‐60
‐90
0.1
/ r
1
10
‐90
1
/ r
10
1
/ r
10
Q=20
Q=5
Q=1
0.1
127
Praktické případy použití rezonančních obvodů
Příklad využití DP a HP
Reproduktorové výhybky (zde dvoupásmová soustava)
128
Praktické případy rezonančních obvodů
Příklad PZ‐pásmové zádrže
Příklad PP‐pásmové propusti
Příklad PRO ‐ kompenzace účiníku
129
43
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Praktické případy rezonančních obvodů
Příklad laděných PP ‐ pásmových propustí
130
Praktické případy rezonančních obvodů
Typické zapojení dvoustupňového mf zesilovače
131
Praktické případy rezonančních obvodů
Ideální případ DP 2. řádu Rezonance sériová
Rezonance paralelní
Technická cívka
132
44
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Trojfázové obvody
Vznik vícefázové soustavy
Jednofázová soustava Zátěž
(Spotřebič)
Zdroj
Trojfázová soustava
u1(t)
R1
u2(t)
R2
Vedení
u1  t  , u2  t  , u3  t 
Fáze
u1(t)
R1
u2(t)
R2
u3(t)
R3
Stejný kmitočet a amplituda
u3(t)
R3
a) nevázaná – 6 vodičů
b) vázaná – 3 (4) vodiče
134
Vícefázové soustavy
Výhody
• výroba – generátory (jednoduchost, nižší hmotnost)
• rozvod – transformace, menší ztráty v rozvodu
• užití – snadné vytvoření točivého magnetického pole (pro realizaci jednoduchých, levných indukčních motorů)
Typy soustav
• Trojfázová (běžná rozvodná soustava)
• Dvoufázová (jednofázové točivé stroje s rozběhovým vinutím …)
• Šestifázová (usměrňovače pro trakce)
• Vícefázové
(krokové motory …)
135
45
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Nikola Tesla (1856‐1943)
Narozen 10.6.1856 v Smiljanu (Rakousko – Uhersko)
Studium:
• ve Štýrském Hradci (Graz)
• v Praze na Karlo‐Ferdinandově univerzitě, prof. Domalípa
(1880)
• v Budapešti (1881)
Práce:
• Paříž, Edisonovy továrny
• Štrasburg – sestrojil asynchronní stroj
• 1884 odcestoval do Ameriky, Edisonovy továrny
(stejnosměrné stroje)
• 1886 zakládá Tesla Electric Co.
• 1888 – dvoufázový asynchronní motor
• spolupráce s G. Westinghousem, Pittsburg
(střídavý proud),
prodává své patenty za 1 mil USD + 1 USD / 1 HP
• 1889 Colorado Springs (laboratoř VN)
136
Trojfázová soustava ‐ fázory fázory UU, UV, UW
uU(t), uV(t), uW(t)
uU  t   U m sin  t   
UU
U V  U U  e j120
uV  t   U m sin  t  120   
U W  U U  e +j120
uW  t   U m sin  t  120   
uW  t 
uV  t 
souměrná
soustava
12
0
120
uU  t 
0
12
137
Trojfázová soustava SOUSTAVA NESOUMĚRNÁ
SOUSTAVA VYVÁŽENÁ
SOUSTAVA SOUMĚRNÁ

120

120

120

u U  t   uV  t   u W  t   0
U U  UV  U W  0
UU
U V  U U  e  j120
U W  U U  e+j120
138
46
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Operátor natočení
Operátor natočení a
fázory UU, UV, UW
a  e j120 =e
0
a2  e
12
0
120
120
0
12
12
12
0
j
UW  UU  e
2π
3
+j
2π
3
 a2  U U
 a  UU
4π
3
e
j
1
3
  j
2
2
2π
3
1
3
 j
2
2
1
a j
2
1
a2    j
2
1  1  j0
U U  U U 1
UV  UU  e
j
2
j π
3
3
2
3
2
a2+a+1=0 Souměrná trojfázová soustava je vždy vyvážená
139
Vznik trojfázového střídavého napětí
uU  t 
uV  t 
uW  t 
Časový průběh
Generátor
140
Trojfázová soustava ‐ zapojení
Nevázaná trojfázová soustava Vázaná trojfázová soustava Zapojení do hvězdy

120
120

Zapojení do trojúhelníka
120
141
47
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Popis trojfázové soustavy
UZ = US
UZ = Uf
IZ = If
fázová napětí Uf
U10, U20, U30 (U1N, U2N, U3N) nebo UU, UV, UW
sdružená napětí Us
U12, U23, U31 nebo UUV, UVW, UWU
fázové proudy If
napětí zátěže UZ
I1, I2, I3 nebo IU, IV, IW
proudy zátěže IZ
142
Trojfázový zdroj – zapojení Y
Spojení do hvězdy
Zapojení YN
nebo Y (nevyveden bod 0)
fázová napětí Uf
UU, UV, UW
sdružená (síťová) napětí Us
UUV, UVW, UWU
Aplikací I.K.z. na bod 0 :
IU  IV  IW  IN
143
Vztah mezi Uf a Us
UUV = UU – UV
UVW = UV – UW
Sdružené napětí je rozdílem fázových napětí
UWU = UW – UU
144
48
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vztah mezi Uf a Us
U UV  U U  U V  U U  a 2 U U  U U 1  a 2   3U U e j30
 1
3 3
3

1 a 1   j
  j
2  2
2
 2
2
3e
o
j 30 
Sdružená napětí
U UV  U U  U V  3U U e j30
30
U VW  U V  U W  3U U e  j90
U WU =U W  U U  3U U e j150
Fázová napětí
ZÁVĚR: Sdružená napětí jsou √3krát větší než fázová a jsou pootočena o +30º
U S  3U f
  30
145
Symetrická a nesymetrická zátěž Y
Nesymetrická zátěž
Symetrická zátěž
I1  I 2  I 3  0
I1  I 2  I 3  I N
Pro souměrnou soustavu (zdroj i zátěž) IN = 0 Střední vodič nemusí být.
146
Trojfázový zdroj – zapojení 
Spojení do trojúhelníka
Trojfázový zdroj  musí být vyvážený!
Sdružené proudy Is
IUV, IVW, IWU
Fázové proudy If
IU, IV, IW
147
49
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vztah mezi IS a If pro 
Fázové proudy 30
Sdružené proudy
I U  I WU  I UV
Fázové proudy tvoří
vyváženou soustavu
I V  I UV  I VW
I W  I VW  I WU
ZÁVĚR : I f  3 IS
IU  IV  IW  0
  30
148
Rozvodná síť TN‐S – značení vodičů a svorek
L1
L2
L3
N
PE
U
E
Uzemnění
sítě
V
W
N PE
U
3f spotřebič tř. I 3NPE
Trojfázový spotřebič tř. I
3 NPE
do hvězdy –
3x230V
V
W PE
U
3f spotřebič tř. I 3PE
Trojfázový spotřebič tř. I
3 PE
do hvězdy –
3x230V
N PE
1f spotřebič tř. I
Jednofázový
spotřebič tř. I
1 NPE
1NPE – 1x230V
149
Značení vodičů barvami, připojení zásuvek
Střídavá soustava, izolované vodiče
Vodič, žíla kabelu L Fázový nebo krajní Poznávací barva černá, hnědá nebo šedá N Nulový (střední) PE Ochranný zelená / žlutá PEN Vodič PEN zelená / žlutá (+ světlemodrá) světlemodrá L
PE
N
L1
L2
L3
L1
N
PE
L2
L3
PE
150
50
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Výkon v trojfázových obvodech
Výkon trojfázové soustavy (OBECNÁ) NESOUMĚRNÁ SOUSTAVA
I1
I2
U1
Z1
U2
Z2
p  t   p1  t   p2  t   p3  t 
okamžitý výkon
komplexní výkon
S  S1  S2  S3  U1I1*  U 2I*2  U3I*3
činný výkon
P  Re S  P1  P2  P3  W 
I3
U3
Z3
P  Re S  U1 I1 cos  Z1  U 2 I 2 cos  Z2  U 3 I 3 cos  Z3
Q  Im S  Q1  Q2  Q3  VAr 
jalový výkon
Q  Im S  U1 I1 sin  Z1  U 2 I 2 sin  Z2  U 3 I 3 sin  Z3
 VA 
SS
zdánlivý výkon
152
Výkon trojfázové soustavy SOUMĚRNÁ SOUSTAVA
I1
I2
U1
Z
U2
Z
I1  I 2a  I 3a 2
( Z   Z1   Z2   Z3 )
U1  U 2a  U3a2
komplexní výkon
I3
Z
Z  Z1  Z 2  Z3
S  S1  S 2  S3  U1I1*  U1a2  I1a 2   U1a  I1a 
*
U3
*
a  a*  1 , a2   a   1
2 *
S  3Ui I*i
 VA 
i = 1, 2 nebo 3
P  Re S  3U i I i cosi
W
Q  Im S  3U i I i sini  VAr 
S  S  3U i I i  VA 
153
51
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Okamžitý výkon v 3fázové soustavě
p  t   pU  t   pV  t   pW  t 
p  t   uU  t  iU  t   uV  t  iV  t   uW  t  iW  t 
Okamžitý výkon lze vyjádřit obdobně jako u jednofázové soustavy
p  t   Re S  DP e j2 t   P  DP cos  2 t   
S komplexní výkon
U souměrných obvodů je pulsační výkon nulový
Dp komplexní pulsační výkon
p  t   P  3 UI cos 
D P  DP e j
p
 Re
t
P činný výkon
DP

DP
S
P

Im
0
Q
t
154
Porovnání zapojení Y a  pro stejné Z
Zapojení do hvězdy
Zapojení do trojúhelníka
IfY
UZ = Uf
IZ = If
Z
N
Z
Z
Přepojením zátěže z Y do  se ztrojnásobí výkon na zátěži
i proudy fázových vodičů!
3  SY  S
3  I fY  I f
U Z  Uf
S ZY 
2
Z
U
IZ  Z
Z
2
f
U
U

Z
Z
I fY  I Z 
Uf
Z
U Z  US  3U f e j30
S Z 
I f  3I Z e- j30  3
U Z2 3U f2

Z
Z
US - j30
3U f e j30 - j30
U
e
e
 3
3 f
Z
Z
Z
155
Přepínač Y/
Poloha 0
Poloha Y
Poloha 
Výkon P = 0 Výkon P = 1/3 Pmax
Výkon P = Pmax
Využití: rozběh indukčních motorů vyšších výkonů
• 3× menší výkon při rozběhu
• menší proudový a mechanický ráz
S  3  SY
I f  3  I fY
156
52
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Poznámka k výpočtu výkonu souměrné soustavy
Zapojení do hvězdy
Zapojení do trojúhelníka
Známe (např. změříme)
napětí a proud fází Uf a If
Počítáme‐li výkon souměrné soustavy z fázových napětí a fázových proudů, nezáleží na tom, zda je zátěž zapojena do Y nebo D
(ZY není samozřejmě rovno Z)
S  3U f I*f
U Z  Uf
I Z  If
U Z  US  3U f e j30 I Z  IS 
S Z  U Z I*Z  U f I*f
I f -j30
e
3
S Z  U Z I*Z  U f I*f
SY  S
S Y  3S Z  3U I
*
f f
S   3S Z  3U f I*f
157
Porovnání ztrát při přenosu energie
Jednofázová soustava
P  UI1f cos 
P, cos 
I1f 
P1f  2 R1f I1f2 
Trojfázová soustava
P  3U Z I 3f cos  I 3f 
P, cos 
UZ 
U
3
P
U cos 
2 R1f P 2
U 2 cos 2 
P
3U cos 
P3f  3R3f I 3f2 
R3f P 2
U 2 cos 2 
Závěr: Pokud R1f = R3f jsou celkové ztráty v 3f soustavě poloviční!
Naopak lze odvodit, že při stejných povolených ztrátách P3f a P1f vystačíme u 3f soustavy se 75%
objemu materiálu vodičů (R3f > R1f).
158
Neharmonický odběr proudu
Řízené usměrňovače
(tyristory, triaky)
Impulsní napájecí zdroje
u  t   U m sin t 
i  t   I m sin t   
Proudy (a tím i napětí na zátěži) jsou NEHARMONICKÉ !
Z, S, P, Q, S, cos 
NELZE DEFINOVAT!
PROBLÉMY s měřením výkonu, odběru, …
159
53
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Výkon neharmonického proudu
n
U
U
i 0
I 
n
I
i 0
zdánlivý výkon
2
i
S U I
n
n
U   I
S
2
i
2
i
i 0
i 0
2
i
Skutečné efektivní hodnoty (TRMS)
n
P   U i I i cos i  činný výkon
i 0
n
p (t )  u (t ).i(t )
2
2
S  P Q
2
2
Q   U i I i sin i  jalový výkon
2
2
S  P  Q  Pdef
i 0
2
Pdef  f U i  I j 
Pdef
S
i j
deformační výkon
Ui, Ii ……. efektivní hodnoty i‐té harmonické složky
Q
P
160
Výkon neharmonického proudu
Deformační výkon vzniká vzájemným působením neodpovídajících si harmonických složek proudů a napětí.
Deformační výkon je nulový:
• pro harmonický průběh napětí a proudu
• pro neharmonické průběhy v případě odporové zátěže
Pdef  f U i  I j 
Pro posouzení obsahu vyšších harmonických se zavádí THD (Total Harmonic Distortion):
• podíl efektivního napětí 2. a vyšší harmonické
k 1. harmonické složce
• existují i jiné definice
• nezahrnuje vliv ss složky
n
THD 
U
i 2
i j
2
i
U1
161
Výkon neharmonického proudu v 3f soustavě
n
Účiník se počítá pouze z 1. harmonické
cos  
Opravdový účiník (P.F. – Power Factor) zahrnuje všechny harmonické složky
P   U i I i cos i
i 0
P1
S1
S
n
n
U   I
i 0
2
i
i 0
n
2
i
P
P

 
S U I
cos   
U
 PV  PW
 S  SU  SV  SW
Ekvivalentní 3f.
opravdový účiník

P
i 0
i
 I i  cos i
n
Q  Q
U
 QV  QW
n
U   I
i 0
P  P
Ekvivalentní výkony 3f sítě:
U
2
i
i 0
2
i
činný
zdánlivý
jalový
S
162
54
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad měření parametrů sítě ‐ Analyzátor 3f sítě
Je použit v laboratorní úloze 2B
Analyzátor sítě DMK 40 je číslicový TRMS
multimetr řízený mikroprocesorem, určený pro
měření parametrů 1f a 3f soustav. Měří:
• Uf skutečnou efektivní hodnotu fázových napětí • US skutečnou efektivní hodnotu sdružených napětí
• If skutečnou efektivní hodnotu fázových proudů
• P činný výkon v jednotlivých fázích
• Q jalový výkon v jednotlivých fázích
• S zdánlivý výkon v jednotlivých fázích
• f kmitočet
• opravdový účiník v jednotlivých fázích (P.F.)
• účiník v jednotlivých fázích (cos )
• harmonické složky napětí a proudů do 22. harmonické
• odebrané i dodané energie
163
Elektrické stroje
Elektrické stroje
Točivé stroje
Netočivé stroje
165
55
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Motor
166
Točivé magnetické pole
Pokusy s „motory“
• Francois Arago 1825
• Walter Baily 1879
• Galileo Feraris 1885 ‐Turino
Volba kmitočtu:
125 Hz, 133 Hz
25, 30 Hz
60 (50) Hz
Asynchronní motor (Nikola Tesla)
• 1882 idea
• 1888 patent (dvoufázový motor)
Tzv. „Válka proudů“ ‐ Westinghouse versus Edison
Vítězství koncepce střídavého proudu
• 1893 – vodní elektrárna Niagara (2× 3725 kW)
• 10 dvoufázových generátorů po 500 HP
167
Z historie
N. Tesla: ukázka z knihy o vícefázových proudech – dvoufázový indukční stroj
168
56
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Z historie
Ukázka z přednášek prof. Domalípy, u něhož N. Tesla v Praze studoval experimentální fyziku
169
Vznik točivého magnetického pole motoru
3 cívky po 120°
170
Animace vzniku točivého pole
Točivé magnetické pole
i3
i2
Vzájemnou záměnou dvou libovolných vinutí (např. 2 a 3) se změní smyl otáčení pole!
i1
171
57
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Asynchronní motor
Rotor s vinutím nakrátko
Momentová charakteristika
Synchronní otáčky
172
Motor
173
Motory
174
58
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Kompenzace jalového výkonu
P
Q
Q
•
•
Přidáním kompenzačního prvku s opačnou reaktancí k zátěži se zmenší Q procházející napájecím vedením  snížení přenosových ztrát
Energie jalového výkonu se akumuluje v kompenzačním prvku
175
Kompenzace jalového výkonu
Jalový výkon je přenášen přenosovou soustavou a zvyšuje ztráty,
proto je nutné jej minimalizovat  kompenzace jalového výkonu.
176
Kompenzace jalového výkonu
Kompenzace pomocí lokálních prvků (kompenzační C) nebo centrálních kompenzátorů.
177
59
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Centrální kompenzátor jalového výkonu
•
•
•
Umístění v rozvodně objektu
Obsahuje baterie kompenzačních C
Připojování C řídí jednotka podle aktuální hodnoty účiníku
178
Účinnost
Příklad výpočtu
(ze štítkových údajů motoru)
Příkon motoru:
P1  3U f I f cos   3 
400
 8,3  0,83 
3
 4773 W
Výkon motoru:
P2  4000 W
Účinnost motoru:

P2 4000

 0,84
P1 4773
179
Trojfázové tranformátory
180
60
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Šestifázová soustava
LU1
L2
L3
L4
u
L5
L6
12
0
Usměrněný průběh
(malé zvlnění)
t
0
Časový průběh
3f síť

60
U
L1=U
L2=-W
L3=V
L4=-U
L5=W
L6=-V
V
W
Použití:
výkonové usměrňovače
(např. železniční trakce)
Fázorový diagram
6f síť
Zapojení zátěže:
• hvězda YY,
• šestiúhelník,
• dvojitý trojúhelník DD
Transformátor Yy
181
Analýza trojfázových obvodů
Analýza trojfázových obvodů v HUS
A) Nesouměrný zdroj a/nebo nesouměrná zátěž YN (obecný případ) Z1  Z 2  Z3
Pozn.: Případné impedance fázových vodičů se přičtou
k impedancím zátěže
Metody řešení :
• Kirchoffovy rovnice
• MSP
• MUN Postup analýzy:
1.výpočet UN, IN
2.výpočet napětí na zátěžích
3.výpočet proudů zátěží
4.výpočet výkonů (pomocí S)
183
61
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Analýza trojfázových obvodů v HUS
1) Výpočet UN a IN Přepočítáme zdroje
I10 
U10
U
U
, I 20  20 , I 30  30
Z1
Z2
Z3
184
Analýza trojfázových obvodů v HUS
1) Výpočet UN a IN Y  UN  I
 YN  Y1  Y2  Y3   U N   U10 Y1  U 20 Y2  U30 Y3 
UN 
U10 Y1  U 20 Y2  U 30 Y3
YN  Y1  Y2  Y3
I N  YN  U N
Pozn.: Pro zapojení Y (bez středního vodiče)
je YN = 0
185
Analýza trojfázových obvodů v HUS
2) Výpočet napětí na zátěžích
Z II.K.z. vyplývá:
U1  U10  U N
U 2  U 20  U N
U 3  U 30  U N
3) Výpočet proudů zátěží (tedy i fázových proudů)
I1  U1 / Z1
I 2  U 2 / Z2
I 3  U3 / Z3
4) Výpočet výkonů
S1  U1I1*
Pn  Re S n 
S2  U I
Qn  Im S n 
S 3  U 3I*3
S n  Sn
*
2 2
186
62
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Analýza trojfázových obvodů v HUS
B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže) Porucha:
a) zkrat 1. fáze
Z1 =0 (U1 = 0)
b) vodič 1 přerušen
Z1  ∞
Z II. K.z.:
U 3  U 30  U10  0
U10  U
U 3  U 30  U10
U 20  a 2  U
U 2  U 20  U10  0
U 30  a  U
U 2  U 20  U10
187
Analýza trojfázových obvodů v HUS
Závěr: Při zkratu fáze se napětí na zbývajících impedancích √3× zvětší!
U1  0
U 2  U 20  U10  a 2 U  U  U  a 2  1  3Ue-j150
U 3  U 30  U10  a U  U  U  a  1  3Ue j150
1
3
a  1 e j120    j
2
2
1
3
a2 1    j
 1  3  e  j150
2
2
1
3
a 1    j
 1  3  e j150
2
2
188
Analýza trojfázových obvodů v HUS
B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže) Porucha:
a) zkrat 1. fáze
Z1 =0 (U1 = 0)
b) zátěž 1 přerušena
Z1  ∞
U10  U
U 20  a 2  U
I1  0
Z I. K.z.:
Z II. K.z.:
U1  U10  U 20  U 2
I 2  I 3
U 30  a  U
189
63
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Analýza trojfázových obvodů v HUS
U1  1,5  U
U2   j
3
U
2
U 3  U 2 =j
U 20  U30
Z2  Z3
Z2  Z3
3
U
2
U 20  U 30
2Z
U1  U10  U 20  U 2  U  a 2 U  0,5U  a 2  a   1,5  U
I
I
U 2  I  Z  0,5  U 20  U 30   0,5  a 2 U  aU   0,5U  a 2  a 
a2  a   j 3
Závěr: Při přerušení fáze se na ní napětí zvýší na 1,5násobek (!)
a napě na zbývajících impedancích se zmenší 0,5√3 = 0,866krát.
190
Analýza trojfázových obvodů v HUS
C) Nesouměrný zdroj – nesouměrná zátěž  (obecný případ) Metody řešení :
• Kirchoffovy rovnice
• MSP
Postup analýzy:
1. výpočet napětí na zátěžích 2. výpočet proudů zátěží
3. výpočet fázových proudů
4. výpočet výkonů (pomocí S)
191
Analýza trojfázových obvodů v HUS
Pro souměrný zdroj:
30
U12  3U1e j30
U 23  a 2 U12
U 31  aU12
1) Výpočet napětí
na zátěžích
U12  U10  U 20
U 23  U 20  U 30
U 31  U30  U10
3) Výpočet fázových proudů
I1  I12  I 31 , I 2  I 23  I12 , I 3  I 31  I 23
4) Výpočet výkonů
2) Výpočet proudů zátěží
(sdružených proudů)
I12  U12 / Z1
I 23  U 23 / Z 2
I 31  U 31 / Z3
*
S1  U12 I12
Pn  Re S n 
S 2  U 23I*23
Qn  Im S n 
S 3  U31I*31
S n  Sn
192
64
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Analýza trojfázových obvodů v HUS
D) Souměrný zdroj – souměrná zátěž (Y nebo ) Výpočet se zjednoduší – počítáme pouze pro 1 fázi!
Z1  Z 2  Z3  Z U N  0
Lze doplnit nulový vodič, opticky vzniknou 3 jednofázové obvody.
U10
Z
I 2  a 2 I1 , I 3  a I1
I1 
S  3  S1  3  U10 I1*
Postup výpočtu:
• Vypočteme potřebné veličiny pro jednu fázi (např. 1.)
• Veličiny ve zbývajících fázích získáme pouhým natočením pomocí operátoru a2 resp. a
Stejně postupujeme i pro zapojení 
• Celkový komplexní výkon je S = 3∙S1
193
Příklad
Spotřebič je zapojen do hvězdy, impedance Z1 = Z2 = Z3 = Z = (10 + j25) . Je napájen souměrným
zdrojem o sdružených napětích US = 400 V.
( U12= 400ej 0, U23 = 400e‐j120, U31 = 400ej120).
Vypočtěte proudy, celkový komplexní, činný, jalový a zdánlivý výkon spotřebiče.
Souměrná napájecí soustava i zátěž I1 
U1
Z
I 2  a 2 I1
I3  a I1
30
UN  0
U
U1  12 e  j30  231  30  V 
3
194
Příklad
I1 
U1 231  30

 8,577  98, 20  A 
Z
10  j25
I 2  a 2 I1  I1e  j120  8,577141,80  A 
I 3  aI1  I1e j120  8,57721,80  A 
S  3  S1  3  U1I1  3  Z1 I12 
  2097  j5241  564568, 20  VA 
P  Re S  2097  W 
Q  Im S  5241  VAr 
S  S  5645  VA 
195
65
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Alternativně pomocí MSP
MSP
 2Z  Z   IS1   U12 
  Z 2Z    I    U 

  S2   23 
400
 20  j50 10  j25  IS1  

 10  j25 20  j50   I    400 120

  S2  

I1  I S1
I 2  I S2  I S1
I 3  I S2
196
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky
UU = Ua + Ub + U0
UV = a2Ua + aUb + U0
UW = aUa + a2Ub + U0
Souměrné složky napětí a proudu lze fyzikálně interpretovat a jsou přímo měřitelné.
Nesouměrná soustava
Sousledná (synchronní) soustava
Zpětná (inverzní) soustava
UaU = Ua
UaV = a2Ua
UaW = aUa
UbU = Ub
UbV = aUb
UbW = a2Ub
Nulová (netočivá) soustava
U0U = U0
U0V = U0
U0W = U0
197
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky
Nesouměrná soustava
činitel nesouměrnosti U
 b
Ua
Sousledná soustava
Zpětná soustava
Nulová soustava
činitel nevyváženosti 
U0
Ua
Při U0 = 0 je soustava vyvážená
Používají se např. pro posouzení kvality přenosu elektrické energie.
198
66
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky
Nesouměrná soustava
Výkon nesouměrné trojfázové soustavy
vyjádřený souměrnými složkami
S  3(U a I*a  U b I*b  U 0 I*0 )
Proud IN je způsoben nulovou složkou,
při I0 = 0 je IN = 0, soustava je vyvážená
IU  Ia 
Ib  I0
IV  a 2Ia  a Ib  I0
IW  a Ia  a 2Ib  I0
Rozklad na souměrné složky ‐ důležitý v teorii točivých elektrických strojů
199
Přechodné děje
v lineárních obvodech
1. a 2. řádu
Úvod k analýze přechodných dějů
Analýza lineárních obvodů
V ustáleném stavu
Stacionárním
Obvody v SUS
(pouze R)
V přechodném stavu
(setrvačné prvky L, C)
Periodickém
Harmonickém
Neharmonickém
Přechodné děje
Obvody v HUS (R, L, C)
Harmonická analýza (Fourierův. rozklad)
Východiska analýzy přechodných dějů
• Ohmův zákon
• Kirchhoffovy zákony
• Princip superpozice
201
67
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Přechodný děj
i t 
Ustálený
stav před
I1
t = 0+
t = 0‐
I2
Přechodný děj
Ustálený
stav po
0
t
202
Význam analýzy přechodných dějů
Vznik přechodných dějů
• Náhlou změnou v obvodu
– připojení, odpojení či zkratování části obvodu
– změna hodnoty prvku obvodu
• Budicím signálem obecného průběhu
– zapnutí/vypnutí zdroje či změna jeho hodnoty
– vstupní obecný signál
– úder blesku do vedení …
203
Význam analýzy přechodných dějů
Projevy přechodných dějů v praxi
ENERGETICKÉ SOUSTAVY
vznik nadproudů
tepelné a dynamické účinky ničí zařízení
vznik přepětí
ohrožuje izolaci
klesá životnost
elektronických součástek
ELEKTRONIKA
spolehlivost VÝZNAM analýzy přechodných dějů
204
68
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Analýza přechodných dějů
Analýza obvodů s OBECNÝMI PRŮBĚHY časových veličin
Přechodné děje vznikají pouze v setrvačných obvodech (L, C)
Metody řešení:
• Klasická metoda (řešení diferenciálních rovnic)
• Operátorová metoda (Laplaceova transformace)
• Duhamelův (konvoluční) integrál
• Metoda stavové proměnné
• Numerické metody
205
Klasická metoda řešení
Klasická metoda řešení přechodných dějů
Formulace diferenciálních rovnic obvodu Kirchhoffovy rovnice
prvkové rovnice i(t) = f [u(t)] Induktor
Rezistor
Kapacitor
i(t)
i(t)
R
u  R i
i(t)
u(t)
u(t)
L
uL
u(t)
C
di
dt
iC
du
dt
Rovnici sestavujeme pro obvod PO ZAČÁTKU přechodného děje (tedy pro t  0+)
207
69
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad – sestavení diferenciální rovnice obvodu
uR  t   uL  t   U  0
di  t 
dt
uR  t   R i  t 
uL  t   L
Ri  t   L
di  t 
U  0
dt
di  t 
L
 Ri  t   U
dt
Obecně pro n‐tý řád – nehomogenní diferenciální rovnice řádu n s konst. koeficenty:
an
dn x t 
d n 1 x  t 
dx  t 
 an 1
 ...  a1
 a0 x  t   y  t 
n
dt
dt n 1
dt
konstanty závislé na parametrech obvodu
uvažovaná obvodová veličina (napětí, proud, náboj, tok)
pravá strana rovnice (nezávislé zdroje) 208
Řešení diferenciální rovnice obvodu v časové oblasti
an
dn x  t 
dt
n
 an 1
d n 1x  t 
dt n 1
 ...  a1
dx  t 
dt
 a0 x  t   y  t 
x  t   x0  t   xp  t 
Výsledek:
partikulární řešení (partikulární integrál) obecné řešení homogenní rovnice ustálený stav
po přechodném ději
přechodný děj
Výpočtem homogenní rovnice
an
d n x0
d n 1 x
dx
 an 1 n 10  ...  a1 0  a0 x0  0
dt n
dt
dt
Výpočtem ustáleného stavu
‐ SUS
‐ HUS
209
Obecné řešení homogenní rovnice
an
d n x0
d n 1 x
dx
 an 1 n 10  ...  a1 0  a0 x0  0
n
dt
dt
dt
Formální náhradou
dostaneme charakteristickou rovnici
d n x0
  n a n  n  a n 1 n 1 ... a1  a 0  0
dt n
Pro jednoduché (nenásobné) kořeny je výsledek tvaru:
K1, K2, …, Kn ‐ integrační konstanty
n
x0  t    K k ek t
Integrační konstanty se určí z počátečních podmínek
(tj. ustáleného stavu před přechodným dějem)
Počet počátečních podmínek = řád obvodu
k 1
1.řád
x0  t   Ke
2.řád
t
x0  t   K1e1t  K 2e2t
210
70
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Přechodný děj
x (t )
Přechodný děj
Ustálený
stav před
0
Ustálený
stav po
n
x  t    K k ek t  xp  t 
t
k 1
Počáteční podmínky pro výpočet integračních konstant
Výpočet partikulárního řešení
‐ SUS
‐ HUS
211
Obvody 1. řádu
uC(t) a iL(t) jsou stavové veličiny
‐ určují energetický stav prvku
‐ energie je spojitá veličina
 stavové veličiny jsou SPOJITÉ!
 uC, iL se nemohou změnit skokově
Energetický stav obvodu
1
wC  t   CuC2  t 
2
wL  t  
1 2
LiL  t 
2
Obsahují JEDEN akumulační prvek
 jsou popsané diferenciální rovnicí 1. řádu x  t   x0  t   xp  t 
x0  t   Ket
212
Určení počáteční pomínky
Příklad obvodu
SUS
Určení počáteční podmínky v SUS
Vycházíme ze stavu pro t<0
• nahradíme:
‐ induktory zkratem
‐ kapacitory rozpojením
• vypočteme počáteční podmínku pro stavovou veličinu (uC , iL)
iL  0  
U
R1  R2
uC  0   U
R2
R1  R2
213
71
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 1.
Obvod RL
uR  t   uL  t   U  0
L  stav. veličina i(t)
di  t 
uL  t   L
dt
Ri  t   L
počáteční podmínka:
stav před přech. dějem
iL(0) = 0 (implicitní podm.)
Obecné řešení
z homogenní rovnice
ip  t   iL  t    
i  t   i0  t   ip  t 
Charakteristická rovnice R
0
L
di  t  R
U
 i t  
L
L
dt
Partikulární řešení z ustáleného stavu
po odeznění přechodného děje
di0  t  R
 i0  t   0
L
dt

di  t 
U  0
dt

R
L
t
i0  t   Ke
R
 t
L
i  t   Ke  
U
R
U
R
L
R

214
Pokračování příkladu 1
t
i  t   Ke  
U
R
Nalezení integrační konstanty z počáteční podmínky iL(0) = 0
pro t = 0:
0
i  0  0  K e  
U
R
K
U
R
t

U t U U 
i  t    e     1  e   t  0;  
R
R R

Pozor: tato funkce i(t) platí pouze pro t  0
i t  
U
R
0
t

U

1  e 
R

t
215
Pokračování příkladu 1
i t   
t

U t U U 
e   1  e  
R
R R

t


uR  t   R iL  t   U  1  e  


t
t


uL  t   U  uR  t   U  U  1  e    U e 


nebo také:
uL  t   L
di  t 
dt
L
t
U d   t RL 
  e   U e 
R dt 

U
t
Rovněž funkce uR a uL platí pouze pro t  0
Všimněme si, že uL(t)
není spojitou funkcí!
t


uR  t   U  1  e  


uL  t   Ue 
0
t
216
72
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Průběhy exponenciálních funkcí
y  t   et
y
Při řešení přechodných dějů 1. řádu jsou výsledkem exponenciální funkce y  t   1  et
rostoucí funkce
(např. nabíjení C)
1
y  t   et
klesající funkce
(např. vybíjení C)
t
0
217
Příklad 2.
Obvod RC
Ri  t   uC  t   U  0
C  stav. veličina uC(t)
i t   C
duC  t 
dt
RC
duC0  t 
dt

dt
duC  t 
nulová poč. podmínka:
stav před přech. dějem
uC(0) = 0 (zadáno !)
Obecné řešení
z homogenní rovnice
duC  t 
dt

 uC  t   U  0
1
U
uC  t  
RC
RC
Partikulární řešení z ustáleného stavu
po odeznění přechodného děje
1
uC0  t   0
RC
uCp  t   uCp  t     U
uC  t   uC0  t   uCp  t 
Charakteristická rovnice 
1
0
RC

1
1


RC
uC0  t   Ke

t

t
u C  t   Ke   U
  RC
218
Pokračování příkladu 2
t
uC  t   Ke   U
Nalezení integrační konstanty z explicitní počáteční podmínky uC(0) = 0
pro t = 0:
0
uC  0   0  K e   U
K  U
t
t


uC  t   U e   U  U 1  e  


t


uC  t   U  1  e  


U
0
t
219
73
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pokračování příkladu
t
t


uC  t   U e   U  U 1  e  


i t   C
duC  t 
dt
 CU 
t

d

1  e  
dt 


1 t  U t
e  e
 CU  0 
RC

 R
t


uC  t   U  1  e  


U
nebo také:
U
R
Všimněme si, že
u R  t  U  uC  t 


i (t) = iC(t) není R
R
spojitou funkcí!
t


U  U 1  e RC 
t

  U e

R
R
i t  
i t  
U t
e
R
0
t
220
Nabíjení kapacitoru s nenulovou počáteční podmínkou
nenulová poč. podmínka:
stav před přech. dějem
uC(0) = U0 (zadáno !)
Obecné řešení stejné
t
u C  t   Ke   U
uC0  t   Ke

t

uCp  t   uCp  t     U
Partikulární řešení stejné
U
Změní se integrační konstanta
z explicitní počáteční podmínky uC(0) = U0
0
uC  0   U 0  K e  U
U0  0
K  U0 U

U0  0
0


uC  t   U 0  U  e   U  U 1  e    U 0 e 


t
t
t
t
U0  0
221
Příklad 3.
Vybíjení kapacitoru
poč. podmínka explicitní:
uC(0) = U0 (zadáno !)
duC  t 
dt
1

uC  t   0
RC
C  stav. veličina uC(t)
Obecné řešení
z homogenní rovnice
duC0  t 
dt


du C  t 
uC  t    RC
dt
duC  t 
dt
uCp  t   uCp  t     0
1
uC0  t   0
RC
1
0
RC
i  t   C
Partikulární řešení z ustáleného stavu po
odeznění přechodného děje
uC  t   uC0  t   Ke
Charakteristická rovnice 
uC  t   u R  t   R i  t 
1
1


RC
uC0  t   Ke


t

t

222
74
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pokračování příkladu 3
t
uC  t   Ke 
  RC
Nalezení integrační konstanty z explicitní počáteční podmínky uC(0) = U0
pro t = 0:
0
uC  0   U 0  K e 
K  U0
U0
t
uC  t   U 0 e 
i t  
uC  t  U 0 t

e
R
R
t
U0
R
uC  t   U 0 e 
0
i t  
U 0 t
e
R
t
223
Pokračování příkladu 3
uC  t   U 0
U0
t
uC  t   U 0 e 
t
uC  t   U 0 e 
U 0 e1  0,368U 0
pro t = 
0

t
i t  
0
U 0 t
e
R
t0
uC(t) je spojitou funkcí
i t   0
U0
R
t0
i t  
t0
t
U0 
e
R
t0
i (t)= iC(t) není spojitou funkcí!
t
224
Příklad 4.
Vypínání proudu induktorem
wL  t  
1 2
LiL  t 
2
iL(t) ‐ stavová proměnná = spojitá
Implicitní počáteční podmínka:
iL  0   iL  0  
U
R2
225
75
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pokračování příkladu 4
uR2  t   uL  t   uR1  t   0
II.Kz. :
U
iL  0  
R2
diL
 R1iL  0
dt
diL R1  R2
iL  0

L
dt
R2iL  L
iL  t     0
Partikulární řešení je nulové
iL  0  
U
R2
iL  t  
U t
e
R2
t
R1  R2
R  R2
1
0   1


L
L

Char. rovnice:
K
iL  t   Ket  Ke 
U
R2

uL  t   L
L
R1  R2
diL
R  R2 t
U  1  t
 L    e   U 1
e
dt
R2   
R2
226
Pokračování příkladu 4
iL  t  
U t
e
R2
uL  t   L
diL
R  R2 t
e
 U 1
dt
R2
10 A
t
iL  t   10e 
0
t
0
Např:
U  100 V
R1  90 
t
t
uL  t   1000e 
1000 V
R2  10 
Závěr :
Při vypínání L mohou vznikat velká přepětí !
227
Přechodný děj v obvodu
s harmonickým napětím
L
Příklad 5.
di
 R i  U m sin  t  
dt
t
i0  t   Ke  ,  
řešení homogenní rovnice:
L
R
Partikulární řešení ‐ pomocí symbolické metody
u  t   U m sin t   
i 0  0
Im 
Um
Z
t
i  t   i0  t   ip  t   Ke  
i  0  0
K 
Um
sin    
Z
ip  t  
Um
sin  t     ,
Z
 L 
Z  R 2   2 L2 ,   arctan 

 R 
Um
sin  t    
Z
i t  
t

Um 

 sin  t       sin     e 
Z 

228
76
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pokračování příkladu 5
i t 
t
   0
i t  
t

Um 

 sin  t       sin     e 
Z 

ustálená složka
0
i t 
přechodná složka
Závěr k řešení přech. dějů s harm. zdrojem:
Přechodná složka
‐ řešení pomocí diferenciální rovnice
‐ exponenciální průběh
Ustálená složka
‐ řešení symbolickou metodou (HUS)
‐ harmonický průběh t
3 0
  
2
i t 
t
  

0
2
229
Vypínání proudu induktorem
Praktické využití
Využití tzv. zhášecí diody pro vybití energie akumulované v induktoru:
• dioda vede jen po rozpojení spínače, nezatěžuje napájecí zdroj
• omezuje napěťové špičky při rozpínaní induktivní zátěže prakticky na nulu
Dioda nevede
Dioda se skokem otevírá a vede proud, energie z L se umoří v R
230
Vypínání proudu induktorem
Praktické využití
Využití tzv. zhášecí diody pro vybití energie akumulované v induktoru:
• dioda vede jen po rozpojení spínače, nezatěžuje napájecí zdroj
• omezuje napěťové špičky při rozpínaní induktivní zátěže prakticky na nulu
Dioda nevede
Dioda se skokem otevírá a vede proud, energie z L se umoří v R
231
77
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Obvody 2. řádu
Obsahují 2 akumulační prvky (L+C, C+C, L+L)
 jsou popsány diferenciální rovnicí 2. řádu
Výsledek je tvaru:
x0  t   K1e1t  K 2e2t
Rozmanitější charakter přechodných dějů
příklad obvodu 2.řádu
uC1  t 
uC2  t 
0
t
232
Příklad 6.
Obvody 2. řádu
i t   C
duC  t 
Ri  t   L
dt
di  t 
dt
 uC  t   U
duC  t 
d 2uC  t 
 LC
 uC  t   U
dt
dt 2
2
d uC  t  R duC  t  1
U


uC  t  
dt 2
L dt
LC
LC
RC
Homogenní diferenciální rovnice:
Charakteristická rovnice:
d 2 uC  t 
du  t 
 2 C
 02uC  t   0
dt 2
dt

R
2L
0 
1
LC
 2  2  02  0 1,2     2  02
činitel tlumení
uC  t   A1e1t  A2 e2t  U
rezonanční kruhový kmitočet
i t   C
duC  t 
dt
233
Obvody 2. řádu ‐ pokračování
1,2     2  02
  0
  0
1,2    
1,2  
i t  
U  t
e sinh   t 
L
Aperiodický děj i t 
0
i t  
platí při R  2
L
C
  0
1.2    jV
U  t
te
L
i t   
Kriticky tlumený děj
(mez aperiodicity) U
V L
e  t sin V t 
Periodický děj
Nejrychlejší ustálení!
t
234
78
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Řešení přechodných dějů
pomocí operátorové metody
(Laplaceovy transformace)
Analýza přechodných dějů
Analýza obvodů s OBECNÝMI PRŮBĚHY časových veličin
Metody řešení:
• Klasická metoda (řešení diferenciálních rovnic)
• Operátorová metoda (Laplaceova transformace)
• Duhamelův (konvoluční) integrál
• Metoda stavové proměnné
• Numerické metody
236
Laplaceova transformace
Časová oblast
f (t)
originály
Zpětná transformace (originál):
f t   L
f t  
1
F  p 
  jh
1
lim
F  p  e p t dp
2πj h  jh
Zpětná transformace: • pomocí slovníku
• rozkladem
• numericky
L.T.
I.L.T.
Oblast proměnné p
F(p)
obrazy
Přímá transformace (obraz):
F  p   L  f  t 
F  p   lim
h
f t  e
h  
 pt
dt
0
f(t) musí být časová funkce, tedy:
f  t   0 pro t  0
p    j
237
79
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Motivace – využití L.T. pro řešení přechodných dějů
Oblast proměnné p
Časová oblast
Uz
p
L.T.
1
pC
Schéma reálného obvodu Operátorové schéma Řešení integrodiferenciální rovnice
Řešení algebraické rovnice
 U p   0
 u t   0
U z  uR  t   uL  t   uC  t 
Uz
 UR p   UL p   UC p  
p
di  t  1
  i  t  dt
dt
C
- řešení char. rovnice, partikulární řešení,
U z  R  i t   L

1 
 I  p    R  pL 

pC 

hledání konstant
Obraz výsledku
Výsledek

I p  
I.L.T.

i  t   A1e1t  A2 e2t  1
UZ

1 
p  R  pL 
pC 

238
Jednotkový skok (Heavisideova funkce)
0 t  0 
1t   

1 t  0
Jednotkový skok
Funkce f(t) není L. transformovatelná!
f t 
1t 
1
0
t
1t   f t 
Časová funkce
Význam jednotkového skoku:
F  p   lim
h 
h
 f t  e
 pt
dt
0
f  t   0 pro t  0
Funkce 1(t)· f(t) splňuje definici Laplaceovy transformace.
239
Časové omezení funkcí
1  t   sin t 
1
1  t  t0 
0
1  t  t0   sin t 
t0
t
sin t 
1  t   sin   t  t0  
sin   t  t0  
1  t  t0   sin   t  t0  
240
80
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
L.T. matematických operací
Operace
Časová oblast
F p 
A  f t 
A  F p 
f  at 
1 p
F 
a a
1  t  t0   f  t  t 0 
e  p t0  F  p 
Násobení konstantou
Změna měřítka
Posuv v čase
Oblast proměnné p
1 t   f t 
Časová funkce
e
Posuv v p
 at
 f t 
F p  a 
d
f t 
dt
p F  p   f  0 
 f   d
1
 F p 
p
f1  t   f 2  t    f1    f 2  t    d
F1  p   F2  p 
1. derivace
t
Určitý integrál
0
t
Konvoluce
0
241
Slovník L.T.
Poznámka
Časová oblast
Oblast proměnné p
Jednotkový impuls (Diracova f.)
 t 
1
Jednotkový skok (Heavisideova f.)
1 t 
1
p
A
p
1
p2
1
pa
a
p p  a 
1
A 1 t 
Konstanta (násobená skokem)
t 1  t 
Rampová funkce
Klesající exponenciála
e  at 1  t 
Rostoucí exponenciála
1  e  1  t 
 at
t  e  at 1  t 
Harmonická funkce
sin t  1  t 
Harmonická funkce
cos  t  1  t 
p  a 
2

p2   2
p
p2   2
242
Příklady přímé L.T. ‐ obrazy budicích signálů
Originál
Obraz
u t   U 0  1t 
U p   U 0
1
p
U0
Všimněte si, že původní funkce spínače je „schována“ ve zdroji jednotkového skoku.
0
t
243
81
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklady přímé L.T. ‐ obrazy budicích signálů
Originál
Obraz
u  t   u1  t   u2  t 
U  p   U1  p   U 2  p  
U0


0

U 0 U 0  p U 0
e
1  e  p


p
p
p

t
U1  p  
u1  t   U 0  1  t 
U0
0
U2 p   
t
u2  t   U 0  1  t   
protože L 1  t  
U0
p
1
p
U 0  p
e
p
protože L  f  t     ep  F  p 
‐U0
244
Příklady přímé L.T. ‐ obrazy budicích signálů
u  t   u1  t   u2  t   u3  t 
Originál
U0
Obraz
U  p   U1  p   U 2  p   U3  p  

/2
0

t

4U 0
 p2
e
p

2

2U 0
 p2
ep 

p 
2U 0 
1  e 2 


2U 0
t 1t 
U1  p  
u3  t  
2U 0
t   1t  
U3  p  
u2  t  
4U 0      
t  1 t 
  2   2 
U2 p  


2
 p 2 
u1  t  
U0
0
2U 0
 p2
2U 0
 p2
2U 0
 p2
e  p
t
4U 0
p
2
e
p

2
‐2U0
245
Zpětná L.T.
f  t   L 1 F  p 
f t  
  jh
1
lim
F  p  e p t dp
2πj h  jh
Transformovaný obraz musí být
ve tvaru ryze lomené racionální funkce:
F p  
Qm p 
Pn  p 
mn
Pokud je v čitateli zlomku obrazové funkce F(p) polynom vyššího nebo stejného stupně (m  n), upravíme jej dělením polynomu polynomem.
Zpětná Laplaceova transformace (I.L.T): • podle definice – obtížné (nevlastní integrál funkce komplexní proměnné)
• pomocí slovníku L.T.
• rozkladem pomocí Heavisideova vzorce
• numericky – N.I.L.T
246
82
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Zpětná L.T. pomocí slovníku
  
L 1  2
 sin t   1
2
p   
Příklad :
F  p   20
p  500
p 2  106
 p 
L 1  2
 cos t   1
2
p   
Zlomek je třeba rozložit na součet parciálních zlomků vhodného tvaru:
F  p   20
p
104
p
103
 2
 20
 10
2
2
6
6
p  10 p  10
p 2  103 
p 2  103 
2
f  t   L 1 F  p 
f  t    20  cos 103 t   10  sin 103 t    1
247
Zpětná L.T. pomocí rozkladu
(Heavisideův rozklad)
Transformovaný obraz F(p)
• musí být ve tvaru ryze lomené racionální funkce (m < n)
• musí být vykrácený
(kořeny jmenovatele (póly) a čitatele (nuly) musí být různé)
Určíme n pólů funkce F(p)
(kořeny jmenovatele):
Pn  p   0
F p  
Qm p 
Pn  p 
Póly (kořeny jmenovatele):
p1 , p 2 , ..., p n
Pro nenásobné póly platí jednoduchý vztah
(z teorie reziduí):
 Q  p   n Q m  pi  pi t
f  t  = L 1  m
e

 Pn  p   i 1 P  p i 
P  p i  
dPn  p 
dp
p p i
Pro násobné póly platí poněkud složitější vztah, který lze najít v matematické literatuře.
248
Zpětná L.T. pomocí rozkladu
(Heavisideův rozklad)
F p  
Příklad :
F p  
Qm  p 
Pn  p 
p4
2p 2  5p  3
Q p  p  4
P  p   2p  5p  3
2
Určíme póly:
Pn  p   0
f t  
Q  p1 
P  p1 
2p 2  5p  3  0, p1,2 
ep1t 
Q  p1   1  4  3
Q  p2 
P  p 2 
P  p  
dP  p 
dp
 4p  5
5  25  24  1

4
 1,5
ep 2t  3et  2,5e1,5t   1
Q  p 2   1,5  4  2,5
P  p1   4   1  5  1 P  p 2   4   1,5   5  1
249
83
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Operátorové imitance
i(t)
u(t)
C
R
i(t)
u(t)
L
u t  
u t   R  i t 
U p   R  I p 
i(t)
u(t)
t
1
i  t  dt
C 0
u t   L
di  t 
dt
U  p   pL  I  p 
1
U p 
I p 
pC
Operátorová impedance
Operátorová admitance
U  p   Z  p  I  p  Pro nulové počáteční podmínky! Y  p   1/ Z  p 
R
1
G
R
1
pC
I(p)
U(p)
I(p)
U(p)
pL
1
pL
pC
250
Základní zákony v operátorovém tvaru
Kirchhoffovy zákony v oblasti operátoru p
– Pro uzel (I. K.z.)
 I p   0
n
– Pro uzavřenou smyčku (II. K.z.)
 U p  0
n
Ohmův zákon v oblasti operátoru p
I(p)
U(p)
Z(p)
U p   Z p I p
I p   Y p  U p 
251
Základní metody analýzy operátorovou metodou
Metody analýzy
operátorovou metodou (pomocí L.T.)
Pro speciální případy
‐ metoda postupného zjednodušování
‐ metoda úměrných veličin
‐ transfigurace
‐ metoda superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ metoda smyčkových proudů
‐ metoda uzlových napětí
‐ modif. metoda uzlových napětí 252
84
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Řešení přechodných dějů operátorovou metodou
Oblast proměnné p
Časová oblast
Uz
p
L.T.
1
pC
Schéma reálného obvodu Operátorové schéma Řešení integrodiferenciální rovnice
Řešení algebraické rovnice
 U p   0
 u t   0
U z  uR  t   uL  t   uC  t 
Uz
 UR p   UL p   UC p  
p
di  t  1
  i  t  dt
dt
C
- řešení char. rovnice, partikulární řešení,
U z  R  i t   L

1 
 I  p    R  pL 

pC 

hledání konstant
Obraz výsledku
Výsledek

I p  
I.L.T.

i  t   A1e1t  A2e2t  1
UZ

1 
p  R  pL 
pC 

253
Výhody řešení přechodných dějů operátorovou metodou
Klasická metoda
Operátorová metoda
• Diferenciální rovnice (‐)
• Kroky řešení(‐):
• Algebraické rovnice (+)
• Řešení najdeme v celku (+)
– řešení homogenní rovnice
– hledání partikulárního integrálu
– hledání integračních konstant
• Problém s I.L.T. (‐)
Nemusíme sestavovat výchozí diferenciální rovnice a ty pak transformovat, ale popíšeme prvky ve schématu operátorovými charakteristikami a sestavíme přímo rovnice v obrazech
Další výhody operátorové metody:
• řešení odezvy obvodu na libovolný obecný tvar budicího signálu
• řešení odezvy obvodu na periodický signál
254
Srovnání SKM a operátorové metody
Symbolicko‐komplexní
metoda
Operátorová metoda
(použití Laplaceovy transformace)
Originál (téměř) libovolná funkce:
Originál harmonická funkce:
u t 
u  t   U m sin  t  
Obraz – komplexor, fázor
u  t   U m e j t  
t   ,  
U  U m e j
u  t   2 sin t 
UL
 j L
IL
Obraz :
U p    u t  e
U 1
t  0,  
 pt
dt
0
Stejný obraz
Impedance má fyzikální význam poměru fázorů U a I, je měřitelná.
Z L   

U p  1
u t    t 
Operátorová impedance nemá fyzikální význam.
j  p
Formální podobnost
ZL p  
UL p 
 pL
IL p 
Formální podobnosti lze využít – metody řešení známé z SUS a HUS
zůstanou v platnosti, mění se pouze význam proměnných.
255
85
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 7.
Obvod RL
i t   ?
uR  t   ?
U0
p
uL  t   ?
L.T.
I p 
U0
U
p
 0
R  pL p
1
R

Lp  
L


U0
L
a


 at
L 1 
1
  1 e
 p  p  a  

Z  p   R  pL
R
R
U
L
L  0
R R
R
R 

pp  
pp  
L L
L



1
i t  
I.L.T.
I p 
U p 
Z p 
R
t 
U0 
. 1  e L   1

R 


256
Příklad 7.
Pokračování příkladu 7
I p 
U0
p
U0
p
1
R

Lp  
L

 1   at
L 1 
  e 1
p  a 


a


 at
L 1 
1
  1 e
 p  p  a  

U L  p   I  p   pL 
U0
p
U
UR p   I p   R  0
p
1
pL
 U0
R
R

p
Lp  
L
L

R
R

Lp  
L

 U0

i t  
R
t 
U0 
. 1  e L   1

R 


uL  t   U 0 e
t
R
L
1
R

t 
uR  t   U 0  1  e L   1




uR  t 
U0
i t 
U0
R
R
L
uL  t 
R

pp  
L

0
t
257
Příklad 8.
Obvod RC
i t   ?
uC  t   ?
U0
p
1
pC
L.T.
uC(0) = 0
Z p  R 
U0
p
U 0C
U 0C
U
pC
1
I p 



 0
1 pC pRC  1
1
1  R

p
R

RC  p 

pC
CR
CR 

 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
I.L.T.
i t  
I p 
1
pC
U p 
Z p 
t
U 0 RC
e 1
R
258
86
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 8.
Pokračování příkladu 8
I p 
U0
p
1
pC
UC  p  
U0
1
.
R p 1
CR
i t  
t

uC  t   U 0 1  e RC


a


 at
L 1 
1
  1 e
 p  p  a  


1
1
1 U0
1
CR


 U0
I p 
1 
pC
pC R p  1

pp 

CR
CR 

t
U 0 RC
e 1
R

 1


U0
uC  t 
U0
R
i t 
0
t
259
Příklad 9.
Složitější obvody
I(p)
R1  20 
R2  30 
U0
p
R2
L  0, 3H
U 0  120 V
i  t   ?,
pL
uL  t   ?
a) postupným zjednodušováním
I p  
UL(p)
R1
Z  p   R1 
R2pL
R2  pL
U0
120
120
30  0,3p
1200  12p
p
p



.
R2pL
9p
p 20  30  0,3p   9p 5p 2  200p
R1 
20 
30  0,3p
R2  pL
UL p   I p 
R2pL
1200  12p
9p
72



R2  pL 5p 2  200p 30  0,3p p  40
260
Příklad 9.
Pokračování příkladu 9
I(p)
R1  20 
R2  30 
U0
p
R2
L  0, 3H
U 0  120 V
UL p  
I p  
72
p  40
1200  12p
5p 2  200p
Q  p   12p  1200,
P  p   5p 2  200p,
P  p   10p  200
 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
UL(p)
R1
pL
 72 
40 t
uL  t   L 1 
  72e  1  V 
 p  40 

 n Q m  p i  pi t
 1200  12p 
1  Q m  p  
i  t   L 1  2
e
L 

 Pn  p   i 1 P  pi 
 5p  200p 
Póly funkce I(p):
p  5p  200   0
p1  0, p 2  40

Q  p1   1200 , Q  p 2   720
P  p1   200 , P  p 2   200

 1200 0t 720 40 t 
40 t
e 
e
i t   
1  A
  1  6  3, 6e
200
 200

261
87
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 9.
Pokračování příkladu 9
R1  20 
R2  30 
U0
p
UL(p)
R1
R2
L  0, 3H
U 0  120 V
pL
b) určení uL(t) pomocí MUN

U0
1 
G1
 G1  G2 
 UL  p  
pL 
p

1
pL
U0
G1
p
 1
1
1 
6
  
 UL  p  
p
 20 30 0,3p 
6
60p
6  60
72
p
UL p  



 1

1
1  60p
200  p  40
p3 2 
 20  30  0,3p 

p 



 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
 72 
40 t
uL  t   L 1 
  72e  1  V 
 p  40 
262
Příklad 9.
Pokračování příkladu 9
R1  20 
R2  30 
U0
p
UL(p)
R1
R2
L  0, 3H
U 0  120 V
pL
c) určení uL(t) pomocí Thèveninovy věty
Ui  p  
U 0 R2
72
V

p R1  R2 p
U L  p   Ui  p 
Zi 
R1R2
 12 
R1  R2
pL
72 0,3p
72


Zi  pL p 12  0,3p p  40
 72 
40 t
uL  t   L 1 
  72e  1  V 
 p  40 
 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
263
Příklad 9.
Pokračování příkladu 9
R1  20 
R2  30 
L  0, 3H
U 0  120 V


uL  t   72e 40t  1  V 
i  t   6  3, 6e40 t  1 


  2, 4  3, 6 1  e40 t   1  A 


6A
i t 
72 V
2, 4 A
0
uL  t 
t
0
t
264
88
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Řešení přechodných dějů
pomocí operátorové metody
‐ nenulové počáteční podmínky
Model C s nenulovými počátečními podmínkami
iC(t)
uC(t)
C
UC  p  
u 0 
1
IC p   C 
pC
p
1
pC
uC  0  
p
q  t   C  uC  t 
uC  t  
t
1
iC  t  dt  uC  0 
C 0
I C  p   p CU C  p   CuC  0  
CuC  0  
Počáteční podmínka
pC
266
Model L s nenulovými počátečními podmínkami
iL(t)
uL(t)
L
IL p  
i 0 
1
UL p   L 
pL
p
iL  0  
p
1
pL
  t   L  iL  t 
iL  t  
t
1
uL  t  dt  iL  0 
L 0
Počáteční podmínka
U L  p   pLI L  p   LiL  0 
pL
LiL  0 
267
89
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Modely prvků s nenulovými počátečními podmínkami
Časová oblast
Oblast operátoru p
iC(t)
uC(t)
C
1
pC
uC  0 
CuC  0 
uC  0 
pC
p
Počáteční stav je při operátorové metodě zahrnut přímo v modelech.
iL(t)
uL(t)
iL  0  
pL
1
pL
p
L
LiL  0 
iL  0 
268
Modely prvků s nenulovými počátečními podmínkami
1
pC
I p  
uC  0 
p
U p

Z p 
uC  0  
p
 C  uC  0  
1
pC
CuC  0 
pC
Přepočet zdrojů (dualita zdrojů)
iL  0  
p
pL
1
pL
U p   I p  Z p  
iL  0 
p
 pL  LiL  0 
LiL  0 
269
Příklad 10.
Vybíjení kapacitoru
1
pC
L.T.
U0
p
poč. podmínka uC(0+) = U0
i t  
U0
e
R
t
RC
1
I p  
I.L.T.
U0
p
R
1
pC

U0
U0
U
1

 0
R p 1

1  pR  1
p R 

C
RC
pC 

 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
uC  t   U 0 e

t
RC
1
I.L.T.
U C  p   RI  p   U 0
1
p
1
RC
270
90
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 10.
Pokračování příkladu 10
U0
uC  t   U 0 e
i t  

t
RC
t
1
uC  t   U 0 e  1
U0
R
t
U 0 RC
e 1
R
0
i t  
U 0 t
e 1 t
R
271
Příklad 11.
Určení počáteční pomínky
U 0  20 V, R1  3kΩ ,
R2  1kΩ , L  5 H
iL  0   iL  0  
U0
20

 5  mA 
R1  R2 4000
Určení počáteční podmínky
Vycházíme ze stavu pro t<0
• pro SUS nahradíme:
‐ induktory zkratem
‐ kapacitory rozpojením
• vypočteme poč. podmínku pro stavovou veličinu (uC , iL)
272
Příklad 11.
Pokračování příkladu 11
U 0  20 V, R1  3kΩ ,
R2  1kΩ , L  5 H
U0
p
LiL  0 
L.T.
poč. podmínka
iL  0   5  mA 
U0
20
 LiL  0 
 5  5 103
25 103 p  20 5 103 p  4
p
p
I p  


 2
pL  R2
5p  1000
p  200p
5p 2  1000p
U L  p   pL  I  p   LiL  0   5p

5 103 p  4
p 2  200p
5  5 103 p  5  4  25 103  p  200 
p  200

 5  5 103 
15
p  200
273
91
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 11.
Pokračování příkladu 11
I p  
5 103 p  4
p 2  200p

Q p 
P p 
P  p   2p  200
Určíme póly funkce I(p):
 Q  p1  p t Q  p 2  p t 
i  t   
e1 
e 2   1 
P  p 2 
 P  p1 

3 200t 
 4 0t


1
e 
e

200
 200

i t 
20 mA

uL  t   L
uL  t 
0

i  t   0, 02  0, 015e200t  1  A 
15 V
5 mA
p 2  200p  0
p1  0, p 2  200


di
 15e200t 1  V 
dt
Alternativně z obrazu:
UL p  
t
15
p  200
 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
274
Přechodná a impulsová
odezva lineárního dvojbranu
Odezva dvojbranu na standardní vstupní signály
vstupní signál U1
Dvojbran
KU
K U   
U2
j 
 K U   e  
U1
K U p  
U2 p 
U1  p 
výstupní signál U2
Ze známé odezvy na standardní signály lze určit odezvu na libovolný jiný vstupní signál.
Odezva obvodu
v kmitočtové
oblasti
Standardní signály
harmonický
signál
v časové oblasti
jednotkový
skok 1(t)
jednotkový
impuls (t)
276
92
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Jednotkový skok 1(t) a jednotkový impuls (t)
(Heavisideova a Diracova funkce)
0 t  0 
1t   

1 t  0
Jednotkový skok
1
L 1  t  
p
Jednotkový impuls
1(t)
1
(t)
t0  0
 0

f t 0  t    t / t0
 1

t
0  t  t0
t  t0
 0
d

ft 0  t    1/ t0
dt
 0

1/t02
1/t01
t02 t01
ft0  t 
Plocha = mohutnost = 1
1
0
d
0
t
t 0
  t   lim
t0 0 dt
1  t   lim f t0  t 
0
d
1t 
dt
 t  
L   t   1
0
t
t0
0  t  t0
t  t0
S = 1
t
t02 t01
277
Přechodná a impulsová charakteristika
u1
1
h(t) ‐ přechodná
charakteristika
Jednotkový skok 1(t)
0
d
1t 
dt
vstupní signál u1
u2  h  t 
0
t
 t  
u1
1
Dvojbran
KU
výstupní signál u2
ODEZVA
t
g t  
d
h t 
dt
t
h  t   h  0     g  t  dt
0
u1
u1
0
t
Jednotkový impuls (t)
g(t) ‐ impulsová
charakteristika
u2  g  t 
0
t
278
Přechodná a impulsová charakteristika
Jednotkový skok 1(t)
1
0
U 2  p   H  p   U1  p  K U  p  
Dvojbran
KU(p)
1
U1  p  
p
t
K U p 
p
Přechodná charakteristika
 K p  
h  t   L 1 H  p   L 1  U

 p 
Jednotkový impuls (t)
U 2  p   G  p   U1  p  K U  p   K U  p 
0
U1  p   1
t
Dvojbran
KU(p)
Impulsová charakteristika
g  t   L 1 G  p   L 1 Κ U  p 
279
93
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Příklad 12.
Určení přechodné a impulsové charakteristiky
h(t)=? , g(t)=?
K U p  
1
1
1/ 
pC
,


1
1  pRC p  1/ 
R
pC
a


 at
L 1 
1
  1 e
 p  p  a  
u1  t   1
1
0
t
u2  t   g  t 
0

 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
u1  t     t 


t
 1/ 

 K p 
 
1 
h  t   L 1  U
L 
  1  e    1

1/

p
p
p






 
u2  t   h  t 
1
  RC
 1/   1 t
g  t   L 1 K U  p   L 1 
  e 1
 p  1/   
t
280
Příklad 13.
Určení přechodné charakteristiky
Odvoďte obecný výraz pro obraz napěťového přenosu KU(p),
vyčíslete ho pro uvedené parametry obvodu, vypočtěte odezvu
obvodu na jednotkový skok h(t) a uveďte její hodnoty pro t = 0,
t  ∞, t = 1 ms.
L = 2 H, R1 = 2 kR2 = 3 k
K U p  
pL  R2
2p  3000

pL  R1  R2 2p  5000
H p 
K U p 
Q p 
2p  3000


p
p  2p  5000  P  p 
 Q p  
Q  pi  pi t
h  t   L 1 H  p   L 1 
e 

 P  p   i P  pi 
Q  p1  p1t Q  p 2  p2t

e 
e
P  p1 
P  p 2 
h t  
P  p   p  2p  5000   0
P  p   4p  5000
 p1  0, p 2  2500
Q  p1   30 00, Q  p 2   2000
P  p1   5000 , P  p 2   5000
h  0   1, h     0, 6 V
3000 0t 2000 2500 t
  0, 6  0, 4e2500 t  1  V 
e 
e
5000
5000
h 1ms   0, 6328 V
281
Řešení periodického ustáleného stavu pomocí L.T.
Pomocí L.T. lze analyzovat odezvu obvodu na periodické neharmonické buzení.
Obecný periodický signál f(t) lze rozložit na opakující se impulzy délky T (perioda).
f
f2
f1
f3
f  t   f1  t   f 2  t   f3  t   ...
f4
Obraz prvého impulsu
0
T
T
T
T
t
L
 f1  t   F1  p 
Obraz periodického průběhu
f 2  t   f1  t  T   1  t  T 
F2  p  = L  f 2  t   F1  p  epT
f3  t   f1  t  2T   1  t  2T 
F3  p  = L  f3  t   F1  p  e2pT
L
F p  
 f  t   F  p   F1  p   F2  p   F3  p   ...  F1  p  1  epT  e2pT  ... 
F1  p 
1  e  pT
F1  p 
1  epT
Součet nekonečné geometrické řady s koeficientem e‐pT
282
94
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Řešení odezvy obvodu na libovolný průběh
U1  p  
1
p
vstupní signál U1
KU(p)
K U p  
U 2  p   H  p   U1  p  K U  p  
výstupní signál U2
Dvojbran
U2 p
Přechodná ch.
U1  p 
 K p  
h  t   L 1 H  p   L 1  U

 p 
Jednotkový skok
U1  p   1
vstupní signál U1
U1  p   F1  p 
KU(p)
vstupní signál U1
Impulsová ch.
U2 p
g  t   L 1 G  p   L 1 K U  p 
U1  p 
U 2  p   K U  p  U1  p 
výstupní signál U2
Dvojbran
u2  t   L 1 K U  p  F1  p   L 1 G  p  F1  p 
KU(p)
K U p  
U 2  p   G  p   U1  p  K U  p   K U  p 
výstupní signál U2
Dvojbran
K U p  
Jednotkový impuls
K U p
p
U2  p
U1  p 
t
u2  t   g  t   u1  t    g   u1  t    d
Obecný průběh
0
283
(Duhamelův) konvoluční integrál
U1  p   L u1  t 
vstupní signál U1
KU(p)
K U p  
Obecný průběh
g t  
U 2  p   K U  p  U1  p 
výstupní signál U2
Dvojbran
u2  t   L 1 K U  p  U1  p   L 1 G  p  U1  p 
U2  p
U1  p 
t
u2  t   g  t   u1  t    g   u1  t    d
0
Konvoluce
d
h  t   h  t 
dt
t
u2  t   g  t   u1  t    g   u1  t    d 
0
t
f 2  t   h  0  f1  t    g   f1  t    d 
t

0
t
 h  t  f1  0    h   f1 t    d 
0
t
d
d
h   u1  t    d   h  t    u1   d
dt 0
dt 0
Závěr:
známe‐li f1(t) a g(t) nebo h(t) dvojbranu, můžeme určit f2(t), tj. odezvu obvodu na obecný signál pomocí konvolučního
(Duhamelova) integrálu.
t
 h  0  f1  t    g  t    f1   d 
0
t
 h  t  f1  0    h  t    f1  d
0
284
Příklad 14.
Odezva na libovolný signál
Určete odezvu derivačního článku RL na vstupní signál
u1(t) tvaru rampové funkce.
a) Pomocí operátorového přenosu
U1  p  
U
u1  t   t 1
T
UL
TR
0
R
T
K U p  
pL
p

R  pL p  R / L
U
p


p 2T p  R / L
1
U
UL
R/L


T p  p  R / L  TR p  p  R / L 
U 2  p   U1  p   K U  p  
 t
UL 
1  e L 
u2  t  

TR 


U
U 1
T p2
t


a
 at
L 1 
1
  1 e
 p  p  a  


R
 t 
R/L
UL
 UL 
L
u2  t   L 1 

1  e   1

 TR p  p  R / L   TR 
285
95
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Pokračování příkladu 5
Určete odezvu derivačního článku RL na vstupní signál
u1(t) tvaru rampové funkce.
b) Pomocí konvolučního integrálu
Vybereme například tento tvar:
t
u1  t  
U
t 1
T
u2  t   h  t  u1  0    h  t    u1   d
p
KU  p  
pR/ L
0
 K p  
 Rt
1
1 
h  t   L 1  U
L 
  e L 1
p  R / L 
 p 
t
t
0
0
u2  t   h  t  u1  0    h  t    u1   d   e

u1  0   0,
R
t  
L
u1  t  
du1  t  U

dt
T
t
R
 t 
U
UL   RL  t    UL 
L
 1d 
 1 e
1  e   1
 
T
TR 
 0 TR 

286
Příklad 15.
Impulsová charakteristika
Pro obvod na obrázku vypočtěte impulsovou odezvu (charakteristiku) g(t) a načrtněte její průběh.
R1 = 1 k, R2 = 2,2 k, C = 15 F.
K U p  
R2 
R2
33p  2200

R1 1 / pC 33p  3200
R1  1/ pC
 33p  2200 
g  t   L 1 K U  p   L 1 

Pozor – není ryze lomená funkce (m=n)!
 33p  3200 
 před aplikací Heavisideova rozkladu musíme 33p
2200
K U p  


rozložit na zlomky a vydělit.
33p  3200 33p  3200
3200
2200
1000
 t 
 1

 1
33p  3200 33p  3200
33p  3200
K U p  1
30,3
p  96,97
L 1 1    t 
 1   at
L 1 
  e 1
p  a 
0

30,3 
96,97 t
g  t   L 1 1 
 1
    t   30,3e
 p  96,97 
t
30,3
287
Odezva obvodu na velmi krátký impuls
libovolného tvaru
vstupní signál U1
KU(p)
K U p  
Impulsová char.
výstupní signál U2
Dvojbran
U2  p
U1  p 
g  t   L 1 K U  p 
t
f 2  t    g   f1  t    d
0
Pro g(t) = konst. během Ti
Ti
f 2  t   g  t   f1   d  g  t   M
0
Závěr: Odezva obvodu na velmi krátký impuls libovolného tvaru
= impulsová odezva × mohutnost (plocha impulsu) M
 není třeba realizovat Diracův impuls, stačí velmi krátký impuls libovolného tvaru
288
96
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Nulové body a póly přenosové funkce
vstupní signál
výstupní signál
z1 , z 2 ,... z m
Dvojbran
KU(p)
K U p 
nulové body
p1 , p 2 ,... p n
y
póly
1
Q m  p  bmp m    b1p  b0 bm  p  z1  p  z 2  ...  p  z m 


Pn  p  an p n    a1p  a0 an  p  p1  p  p 2  ...  p  p n 
impulsová odezva
n
g  t  = L 1 K  p   
i 1
STABILITA lineárního obvodu:
Stabilní
i  0
Mez stability
i  0
y t eat
y t eat
t
0
Q m  p i  pi t
e   A  p i  ei t e ji t
Pn  p i 
i 1
n
p i   i  ji
t
0
Stabilní
Nestabilní
289
Přenosová vedení ‐ úvod
L
Elektromagnetické vlnění
EMG vlnění je příčné
(E i H kolmé na směr šíření)
291
97
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Obvody se soustředěnými a rozprostřenými parametry


vf
f
 délka vlny (m)
vf rychlost šíření vlny (m∙s‐1)
f kmitočet (Hz)
l
se
SOUSTŘEDĚNÝMI
parametry
Obvody
s
ROZPROSTŘENÝMI
parametry
délka vlny  je daleko větší než rozměry prvků
•  l
• řešení založené na obvodových zákonech
• teorie elektrických obvodů
délka vlny  srovnatelná s geometrickými rozměry prvků
•  l
• řešení založené na Maxwellových rovnicích
• teorie elektromagnetického pole
292
Přenosová vedení
napětí a proudy Přenosové vedení
jsou funkcí t a x
parciální derivace
293
Šíření vln na vedení
Vedení nekonečné nebo přizpůsobené
(bude vysvětleno dále)
vf
Vlny (napětí a proudu)
se šíří podél vedení
fázovou rychlostí vf
294
98
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Přenosová vedení – primární parametry
Náhrada vedení
kaskádou dvojbranů
Primární parametry vedení
C0 [F/m]
L0 [H/m]
R0 [/m]
G0 [S/m]
měrná kapacita
měrná indukčnost
podélný odpor
příčná (svodová) vodivosti
295
Příklady vedení
Koaxiální kabel
Dvojlinka
296
Výpočet primárních parametrů vedení
(užitím Maxwellových rovnic)
Typ vedení
Dvojlinka
Koaxiální kabel
Primární parametr
Měrná kapacita C0
Měrná indukčnost L0
Měrná vodivost G0
Měrný odpor R0
Vodič na plošném spoji
h - tloušťka Cu
π
ln  a / r 
2π
ln  r2 / r1 
π
ln  2d / w 
0 ln  a / r 
0 ln  r2 / r1 
0 ln  2d / w 
π
π
ln  a / r 
2π
2π
ln  r2 / r1 
π
π
ln  2d / w 
2

2
πr12
wh
πr 2
 - permitivita dielektrika  - měrná vodivost dielektrika
0 - magnetická konstanta
 - měrná rezistivita vodiče
297
99
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Základní rovnice vedení
Pro dx (element vedení) platí:
i  x, t 

u  x, t 
x
dx

i  x, t 
x
dx
u  x, t 
i  x, t  
u  x, t  
i  x, t 
dx
x
u  x, t 
x
dx
Základní rovnice vedení

u  x, t 
i  x, t 
i  x, t 
u  x, t 

 G0u  x, t   C0
 R0i  x, t   L0
x
t
x
t
298
Počáteční a okrajové podmínky
Pro získání jednoznačného řešení potřebujeme znát:
Počáteční podmínky:
u  x, 0 
i  x, 0 
pro t = 0
Okrajové podmínky:
u  0, t   u1  t  , u  , t   u2  t  ,
i  0, t   i1  t  , i  , t   i2  t 
u  x, t 
i  x, t 
  R0i  x, t   L0
x
t
i  x, t 
u  x, t 
 G0u  x, t   C0
x
t
pro x = 0 resp. x = l
299
Telegrafní rovnice vedení
A:
u  x, t 
i  x, t 
  R0i  x, t   L0
x
t
B:
i  x, t 
u  x , t 
 G0u  x, t   C0
x
t
Derivací A podle x:
Derivací B podle t:
 2 u  x, t 
i  x, t 
 2 i  x, t 
  R0
 L0
x 2
x
t x
 2 i  x, t 
u  x, t 
 2 u  x, t 
 G0
 C0
xt
t
t 2
Obdobně derivací A podle t a B podle x dostaneme druhý výraz.
Telegrafní rovnice
 2 u  x, t 
 2 u  x, t 
u  x, t 
 L0C0
  R0C0  L0G0 
 R0G0u  x, t 
x 2
t 2
t
 2i  x, t 
 2i  x, t 
i  x, t 
 L0 C 0
  R0 C 0  L0 G0 
 R0 G 0 i  x , t 
x 2
t 2
t
300
100
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Přenosová vedení ‐ řešení operátorovou metodou
Řešení dějů na vedení pomocí L.T.
Základní rovnice
Laplaceova transformace
 x  t  
L 
  p  X p 
 t 
Platí pro nulové
počáteční podmínky!
u  x, t 
i  x, t 
  R0i  x, t   L0
x
t
i  x, t 
u  x, t 
 G0u  x, t   C0
x
t
dU  x , p 
  R0 I  x, p   pL0 I  x, p     R0  pL0  I  x, p 
dx
dI  x , p 
 G0 U  x, p   pC0 U  x, p     G0  pC0  U  x, p 
dx
302
Řešení dějů na vedení pomocí L.T.
Telegrafní rovnice
Laplaceova transformace
 2 u  x, t 
 2 u  x, t 
u  x , t 
 L0C0
  R0C0  L0G0 
 R0G0u  x, t 
x 2
t 2
t
 2 i  x, t 
 2 i  x, t 
i  x, t 
 L0C0
  R0C0  L0G0 
 R0G0i  x, t 
x 2
t 2
t
d 2 U  x, p 
 p 2 L0C0 U  x, p   p  R0C0  L0G0  U  x, p   R0G0 U  x, p 
dx 2
 x  t  
L 
  p  X p 
 t 
Platí pro nulové
počáteční podmínky!
Obdobně z druhé rovnice pro proud:
γ2
d 2 U  x, p  
  R0  pL0  G0  pC0  U  x, p   γ 2  p  U  x, p 
dx 2
(p) – operátorová
γ  p    R0  pL0  G0  pC0 
konstanta šíření
d 2 I  x, p 
 p 2 L0C0 I  x, p   p  R0C0  L0G0  I  x, p   R0G0I  x, p 
2
dx
d 2 I  x, p 
  R0  pL0  G0  pC0  I  x, p   γ 2  p  I  x, p 
dx 2
303
101
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Odvození obecných vztahů
Konstanta šíření (operátorová)
γ p  
 R0  pL0  G0  pC0 
Telegrafní rovnice
(v operátorovém tvaru)
d 2 U  x, p 
 γ 2  p  U  x, p   0
dx 2
Řešení telegrafních rovnic je:
U  x, p   U P  p  e
d I  x, p 
 γ 2  p  I  x, p   0
dx 2
2
 γp x
 γp x
I  x, p   I P  p  e  γ  p  x  I O  p  e  γ  p  x
 2  γ 2 p   0
Řešení:
 UO p  e
ODRAŽENÁ vlna
1,2  γ  p 
POSTUPNÁ vlna
304
Odvození obecných vztahů
Dosazením řešení U(x,p)
do základní rovnice:
U  x, p   U P  p  e  γ  p  x  U O  p  e  γ  p  x
dU  x, p 
   R0  pL0  I  x, p 
dx
 γ  p  U P  p  e γ  p  x  γ  p  U O  p  e γ  p  x    R0  pL0  I  x, p 
I  x, p  

γ p
γ p x
γ p x
UP  p  e    UO  p  e   
R0  pL0



1
γ p x
γ p x
UP  p  e    UO  p  e  
ZV  p 

Vlnová impedance (operátorová)
ZV  p  
R0  pL0

γ
R0  pL0
 R0  pL0  G0  pC0 

R0  pL0
 
G0  pC0
305
Odvození obecných vztahů
Obrazy napětí a proudu na konci
vedení (dosazením x = l):
I 2  p   I  , p  

1
U P  p  e  γ  p   U O  p  e  γ  p  
ZV  p 

U 2  p   U  , p   U P  p  e γ  p   U O  p  e γ  p 
Řešením těchto dvou rovnic dostaneme postupnou UP a odraženou UO vlnu napětí:
UP p  
U  x, p   U P  p  e  γ  p  x  U O  p  e  γ  p  x
UO p  
I  x, p  

1
U P  p  e  γ p x  U O  p  e γp x
ZV p 

Obraz napětí a proudu ve vzdálenosti y=l‐x od konce vedení:
Použitím:
y x
U  y, p  
U2 p   ZV p  I 2 p 
2
U2 p   ZV p  I2 p 
Mezi U a I na konci vedení (zátěži) platí:
I  y, p  
2
e  γ  p 
e  γ  p 
U2 p 
 Z2  p 
I2 p 
U2 p 
U2 p 
 I2 p 
 I2 p 
ZV  p 
Z p 
γ p y
γ p y
e   V
e 
2
2
U 2  p   Z V  p  I 2  p   γ p y U 2  p   Z V  p  I 2  p   γp y

e
e
2
2
306
102
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Odraz vln na vedení nakrátko
Vedení zakončené zkratem
up(x,t),
uo(x,t)
x
307
Odraz vln na vedení naprázdno
Vedení zakončené naprázdno
up(x,t),
uo(x,t)
x
308
Přenosová vedení v HUS
L
103
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Řešení vedení v HUS
Formální náhradou p = j
dostaneme rovnice pro HUS
Sekundární parametry
 R0  j L0  G0  jC0 
γ
ZV 
Telegrafní rovnice
(pro HUS)
R0  j L0
Z


γ
G0  jC0
d2U  x 
dx 2
d I  x
2
dx 2
-1
 Np  m 
  R0  j L0  G0  jC0  U  x   γ 2 U  x 
  R0  j L0  G0  jC0  I  x   γ 2 I  x 
310
Řešení vedení v HUS
Rozložení napětí a proudu podél vedení při známé hodnotě U2 a I2:
cosh   
e  e
2
sinh   
e  e
2
Měříme od konce vedení ‐ y
U  y 
U 2  Z V I 2  γy U 2  Z V I 2  γy
e 
e  U 2 cosh  γy   Z V I 2 sinh  γy 
2
2
I y 
U2
U2
 I2
 I2
ZV
Z
U
e  γy  V
e  γy  2 sinh  γy   I 2 cosh  γy 
2
2
ZV
U2
 Z2
I2
311
Řešení vedení v HUS
Rozložení napětí a proudu podél vedení při známé hodnotě U1 a I1:
U1
 Z vst
I1
Záměnou indexů 1 a 2, záměnou y  ‐x
Měříme od začátku vedení ‐ x
U  x 
U1  Z V I1  γx U1  Z V I1 γx
e 
e  U1 cosh  γx   Z V I1 sinh  γx 
2
2
I  x 
U1
U1
 I1
 I2
ZV
Z
U
e  γx  V
e γx   1 sinh  γx   I1 cosh  γx 
2
2
ZV
312
104
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Animace odrazu vln
U  x   U P e  γx  U O e  γx
up(x,t),
uo(x,t)
x
313
Animace odrazu vln
Ztrátové vedení
e  x
U  x   U P e  γx  U O e  γx
up(x,t),
uo(x,t)
x
fázová rychlost obou vln je stejná
vf
měrný útlum
konstanta
šíření
vf
vf 


měrný posuv
γ    j 
 R0  j L0  G0  jC0 
 Np  m -1 
314
Bezeztrátové vedení
ZV 
R0  j L0
G0  jC0
γ    j 
Z V  RV 
 R0  j L0  G0  jC0 
   c  T .... ve vakuu
délka vlny na vedení
  vf T 
 T 2π



činitel zkrácení
k
 vf

 c
L0
C0
γ  j  j L0C0  j

vf
fázová rychlost
vf 

1


L0C0
měrné časové zpoždění
 m  L0 C0
315
105
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Animace odrazu vln
Bezeztrátové vedení
U  x   U P e  γx  U O e  γx
up(x,t),
uo(x,t)
x
konstanta
šíření
γ  j  j L0C0 ,   0
316
Vznik stojaté vlny
Bezeztrátové vedení
Stojatá vlna
U  x   U P e  j x  U O e  j x
up(x,t),
uo(x,t)
x
Stojatá vlna – součet (superpozice) postupné a odražené vlny
317
Zatížené vedení, činitel odrazu
UP 
U2  ZVI 2
U  ZVI2
, UO  2
2
2
up(x,t),
uo(x,t)
U2
 Z2
I2
x
Činitel odrazu na konci vedení
ρ2 
UO U 2  ZV I 2 Z2  ZV


U P U 2  ZV I 2 Z2  ZV
318
106
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Činitel odrazu na konci vedení
Činitel odrazu
na konci vedení
ρ2 
UO Z2  ZV

UP Z2  ZV
Poměr stojatých vln
PSV 
U max 1  ρ2

U min 1  ρ2
PSV se označuje často také jako SWR z anglického "standing wave ratio" a udává se také jednotkách decibel (dB).
Nepřizpůsobení zátěže na koncích vedení vzniká stojaté vlnění.
PSV – je mírou kvality impedančního přizpůsobení zátěže k vedení.
319
Činitel odrazu na začátku a na konci vedení
Činitel odrazu na konci vedení
ρ2 
Z2  ZV
Z2  ZV
ρ
UO
UP
Činitel odrazu na začátku vedení
ρ1 
Zi  Z V
Zi  Z V
Snahou je vedení na obou koncích přizpůsobit: Zi = Z2 = Zv
‐ nedochází k odrazům na vedení a ke vzniku stojatých vln
Extrémní případy nepřizpůsobení (totální odraz vln):
a) Vedení nakrátko:
Z2 = 0
= ‐1
U0 = ‐UP
b) Vedení naprázdno:
Z2 = ∞
2 = 1
U0 = UP
320
Vstupní impedance vedení v HUS
Vstupní impedance vedení je:
Z  Z V tanh  γ 
Z1  Z V 2
Z V  Z 2 tanh  γ 
‐ Mění se periodicky s délkou l
‐ Závisí na sek. parametrech Zv a 
‐ Závisí na zátěži vedení Z2
I1 
U2
 Z2
I2
Ui
Z i + Z1
U1 = I1  Z1
U  y   U 2 cosh  γy   Z V I 2 sinh  γy 
I y 
Z1 
U2
sinh  γy   I 2 cosh  γy 
ZV
U2
 Z V tanh  γ 
U1 U    U 2 cosh  γ   Z V I 2 sinh  γ 
I


 2
U
U
1
I1
I 
2
sinh  γ   I 2 cosh  γ 
1 2
tanh  γ 
ZV
I2 ZV
321
107
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vstupní impedance bezeztrátového vedení
  j
U1  U 2 cosh  γ   RV I 2 sinh  γ  cosh  jx   cos  x 
 
 
U1  U 2 cos  2π   RV I 2 sin  2π 
 
 
sinh
j
x

jsin
x
 
 
U
U
 
 
I1  2 sinh  γ   I 2 cosh  γ 
I1  2 sin  2π   I 2 cos  2π 
RV
2π
RV
 
 


Vstupní impedance bezeztrátového vedení:
s použitím:
U 2  Z 2I 2
 
 
 
 
Z 2 cos  2π   jRV sin  2π 
Z 2 cos  2π   jRV sin  2π 
U
 
 R
 
 
Z1  1 
V
Z
I1
 
 
 
 
j 2 sin  2π   cos  2π 
RV cos  2π   jZ 2 sin  2π 
RV
 
 
 
 
322
Vstupní impedance pro zvláštní případy vedení
Z1  RV
 
 
Z 2 cos  2π   jRV sin  2π 
 
 
 
 
RV cos  2π   jZ 2 sin  2π 
 
 


Z vst  f  Z 2 , RV , 


1) Přizpůsobené vedení
Z 2  RV
Z1  RV
Vstupní impedance přizpůsobeného vedení:
• je rovna vlnové impedanci
• nezávisí na délce vedení l
323
Vstupní impedance pro zvláštní případy vedení
Z1  RV
 
 
Z 2 cos  2π   jRV sin  2π 
 
 
 
 
RV cos  2π   jZ 2 sin  2π 
 
 
2) Vedení naprázdno
Z2  
 
Z10   jRV cot  2π 
 
3) Vedení nakrátko
Z2  0
 
Z1k  jRV tan  2π 
 
324
108
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Vstupní impedance pro zvláštní případy vedení
4) vedení zatížené reaktancí
Z1
Kousek konce vedení nakrátko
délky y má impedanci:
Z2
 y 
Z 2  j Z V tan  2π

 

Poměry na vedení se nezmění, když konec vedení nakrátko y nahradíme impedancí Z2 .
Z opačného pohledu: zatížíme‐li vedení namísto zkratu impedancí Z2, chová se jako vedení delší resp. kratší.
Induktivní zátěž vedení elektricky prodlužuje, kapacitní zkracuje o y.
y  
y

Náhrada konce y
impedancí Z2
Z1
Z2
  y
 Z 
arctan  2 
2π
 j Zv 

325
Vstupní impedance pro zvláštní případy vedení
Z1  RV
 
 
Z 2 cos  2π   jRV sin  2π 
 
 
 
 
RV cos  2π   jZ 2 sin  2π 
 
 
Z1
Z2

5) Vedení délky /2


Z1  RV
2
Z 2 cos  π   jRV sin  π 
RV cos  π   jZ 2 sin  π 
 Z2
Vstupní impedance půlvlnného vedení je rovna impedanci zátěže Z2
6) Vedení délky /4


4
 impedanční invertor
Z1  RV
Z 2 cos  π / 2   jRV sin  π / 2 
RV cos  π / 2   jZ 2 sin  π / 2 

RV2
Z2
Vstupní impedance čtvrtvlnného vedení je úměrná reciproké hodnotě Z2
326
Vstupní impedance krátkého vedení
Vstupní imitance pro krátké vedení:
Z1k  jRV tan     jRV   j
L0
 L0C0   j L0 
C0
      
2π

0
Z Taylorova rozvoje:
Y10  j
C
1
1
tan     j    j 0  L0C0   jC0
RV
RV
L0
tan  x  x0  x
Možnost určení primárních parametrů měřením na krátkém vedení (l << )
Změřením indukčnosti L
vedení nakrátko zjistíme L 0:
L0 
L Z1k

 j 
C Y
Změřením kapacity C vedení C0   10
naprázdno zjistíme C0:
 j 
Změřením R vedení nakrátko
R
G
zjistíme R0 , změřením G
R0  , G0 
vedení naprázdno zjistíme 

G 0.
327
109
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Nezkreslující vedení (Heavisideova podmínka)
Zaveďme podmínku:
R0 G 0

L0 C 0
Vlnová impedance:
 R0

 R0

  j 
  j 
R0  j L0
L0  L0
  L0  L0
  L0  konst. Z  konst.

V
G0  jC0
C0  G0
C0  R0
C0


 j 

  j 
 C0

 L0

Konstanta šíření:
  konst.
R
 G

γ      j   R0  j L0  G0  jC0   L0  0  j  C0  0  j  
    konst.
 L0
  C0

Z V   
R
 R

R

 L0C0  0  j   0  j   L0C0  0  j   R0G0  j L0C0



 L0
  L0

 L0
 


vf 

 konst.

Zv nezávislá na kmitočtu  přizpůsobení je stejné pro všechny harmonické složky
 nezávislé na kmitočtu  všechny harmonické složky mají stejné tlumení vf nezávislá na kmitočtu  všechny harmonické složky se šíří stejně rychle
328
Nezkreslující vedení (Heavisideova podmínka)
R0 G 0

L0 C 0
Příklad přenosu obdélníkového impulsu (oboustranně přizpůsobeným) vedením
Z V  konst.
  konst.
u1
u2 Vedení nezkreslující
 e  

vf   konst.

u2
0
t
0
Vedení zkreslující
 t
td 

Závěr: Při přenosu nezkreslujícím vedením nedochází ke změně tvaru časového průběhu signálu, pouze k jeho útlumu a zpoždění.
329
Příklad 1.
Příklad
Homogenní vedení s primárními parametry G0 = 0 [S/m], R0 = 55 [m/m], C0 = 100 [pF/m],
L0 = 0,25 [H /m] o délce = 50 m pracuje na kmitočtu f = 200 MHz a je zatíženo vlnovou impedancí Z2 = ZV. Vypočtěte:
a) sekundární parametry vedení (, ZV), délku vlny na vedení 
b) vstupní napětí a vstupní proud, je‐li napětí na výstupu u2  t   2  50  sin   t   V 
 R0  j L0  G0  jC0    5,5 104  j6, 2832   6, 28389,89 m 1
γ
ZV 
R0  j L0
  50  j4,377 103   500 
G0  jC0
  vf T 

2π
2π

 1, 0 m
T

 Im γ
U 2  50 V
U1  U 2 cosh  γ   Z V I 2 sinh  γ   U 2  cosh  γ   sinh  γ    U 2  e γ 
  51,39  j6,193 105  V  51,390 V
I1 
U1 U1

 1, 0280 A
Z1 ZV
u1  t   72, 68sin t  V
i1  t   1, 454sin t  A
330
110
BEL2 ‐ přednášky
Verze 2012
Skládání vln na vedení – výklad k laboratorní úloze 6B
Vedení zakončení naprázdno
2 
td 

   L0 C0
vf
UO
 1
UP
Vedení zakončení nakrátko
2 
UO
 1
UP
331
TDR – Time Domain Reflectometry
Praktické využití
Princip „radaru“
• TDR vyšle impuls a přijme odraženou vlnu
• ze zpoždění mezi vysláním a příjmem se při známé vf určí vzdálenost k místu poruchy.
• přesnost lokalizace může být velmi vysoká (např. lepší než 1m u podmořských kabelů)
• stejný princip se používá i u optických kabelů ‐
OTDR
Místo poruchy
vedení (kabel)
Vlna na vedení
332
Konec
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
Czech Republic
Tel.: 541 149 521
Fax: 541 149 512
e‐mail: [email protected]
333
111
Download

Elektrotechnika 2 (BEL2) - pracovní sešit pro přednášky