2
-P
av
el
M
áš
a
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti
X3
1
EO
EO2 – Přednáška 8
Pavel Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
ÚVODEM
-P
av
el
M
áš
a
• Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak s řešením přechodných dějů 1. řádu.
• Nyní se tedy budeme podrobně zabývat řešením přechodných dějů 2. řádu.
• Z předchozích přednášek již víme, že přechodné děje vyšších řádů se liší pouze v počtu exponencielních funkcí / exponencielně tlumených harmonických funkcí, takže můžeme naše zkoumání skončit právě druhým řádem.
RLC defibrilátor
X3
1
EO
2
Je nejjednodušším příkladem obvodu druhého řádu
Jaký časový průběh má proud, protékající tělem?
Jak jednotlivé parametry obvodu (L, C, R) ovlivní tento časový průběh?
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
ŘEŠENÍ PŘECHODNÉHO DĚJE 2. ŘÁDU V ČASOVÉ OBLASTI
1. Obvodové rovnice
• Na rozdíl od obvodů 1. řádu, v obvodech 2. řádu není preferována žádná metoda
F Můžeme zvolit libovolnou metodu (MSP, MUN)
t
i(¿ ) d¿ ¡ uC (0) = 0
0
M
Z
Obvod, na kterém je ilustrován postup řešení – RLC defibrilátor
-P
av
el
1
di(t)
+ Ri(t) +
L
dt
C
áš
a
V tomto případě je výhodnější metoda smyčkových proudů
2. Separace proměnných
zde máme pouze jedinou proměnnou, tento krok můžeme vynechat
3. Obvodovou rovnici zderivujeme (pokud jsme ovšem neprovedli separaci proměnných v kroku 2)
EO
2
d2i(t) R di(t)
1
+
+
i(t) = 0
dt2
L dt
LC
X3
1
4. Řešení hledáme metodou variace konstant
s nulovou pravou stranou, tedy bez zdrojů
¸2 +
R
1
¸+
=0
L
LC
( Tvar obecného řešení bude záviset na kořenech kvadratické rovnice
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Kořeny reálné, různé
i(t) = K1 e¸1t + K2 e¸2t + ip(t)
Příklad:
¸2 + 4000¸ + 106 = 0
)
¸1;2 = ¡2000 §
p
áš
a
i(t) = K1 e¡3732:1t + K2 e¡267:9t + ip (t)
20002 ¡ 106 = ¡2000 § 1732:1 = ¡3732:1
= ¡267:9
M
Kořen reálný, dvojnásobný
-P
av
el
i(t) = (K1 + K2 t) e¸t + ip(t)
Příklad:
2
6
)
¸1;2
2
¸ +2000¸+10 = 0
p
= ¡1000§ 10002 ¡ 106 = ¡1000§0 = ¡1000
EO
i(t) = (K1 + K2 t) e¡1000t + ip(t)
X3
1
Kořeny komplexně sdružené ¸1;2 = ¡® § j
p
!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!
i(t) = (K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t)
Příklad:
2
6
¸ +1000¸+10 = 0
p
)
¸1;2 = ¡500§
5002
¡
106
p
= ¡500 § j
10002 ¡ 5002 = ¡500§866j
i(t) = (K1 cos(866t) + K2 sin(866t)) e¡500t + ip(t)
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
5. Vypočítáme partikulární řešení
Ustálený stav v obvodu, po odeznění přechodné složky
Dle charakteru zdrojů v obvodu SUS / HUS / PNUS analýza
V uvedeném příkladu RLC defibrilátoru:
iL(0) = 0 A
1
50
¸2 + ¸+
=0
0:3 0:3 ¢ 45 ¢ 10¡6
M
)
q
2
¸ = ¡83:3§ 83:3 ¡ 74074 = ¡83:3§259:1j
áš
a
uc(0) = 4216 V
-P
av
el
i(t) = (K1 cos(259:1 t) + K2 sin(259:1 t)) e¡83:3t + i(p)
ip (t) = 0
Nyní již zbývá „pouze“ najít integrační konstanty K1, K2
EO
2
• Máme pouze jednu obvodovou rovnici, ale dvě integrační konstanty K1, K2
X3
1
• Nestačí dosadit za t = 0, tím dostaneme pouze jednu rovnici
6. Zderivujeme celkové řešení
tvar opět vychází z kořenů kvadratické rovnice
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Kořeny reálné, různé
i
dh
0
¸1 t
¸2 t
i (t) =
K1 e + K2 e + ip(t) = K1¸1e¸1t + K2¸2e¸2t + ip(t)
dt
0
Příklad:
0
0
áš
a
i (t) = ¡3732:1 K1 e¡3732:1t ¡ 267:9 K2 e¡267:9t + ip (t)
Kořen reálný, dvojnásobný
M
´
d³
0
¸t
(K1 + K2 t) e + ip(t) = K2 e¸t + (K1 + K2 t) ¸e¸t + ip(t)
i (t) =
dt
-P
av
el
0
Příklad:
0
0
i (t) = K2 e¡1000t + (K1 + K2 t) (¡1000)e¡1000t + ip (t)
!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!
EO
2
Kořeny komplexně sdružené ¸1;2 = ¡® § j
p
i
dh
(K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t) =
i (t) =
dt
i
h
0
= ! (¡K1 sin !t + K2 cos !t) ¡ ® (K1 cos !t + K2 sin !t) e¡®t + ip(t)
X3
1
0
Příklad:
h
¤
0
0
i (t) = 866 (¡K1 sin(866t) + K2 cos(866t))¡500 (K1 cos(866t) + K2 sin(866t)) e¡500t +ip (t)
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Pokud ale do zderivované rovnice dosadíme za t = 0, potřebujeme znát její hodnotu v tomto čase
7. Matematická počáteční podmínka
v tomto kroku se vracíme zpět k původní rovnici, do které dosadíme
•
t=0
•
energetické počáteční podmínky
Z
0
i(¿ ) d¿ ¡uC (0) = 0
0 {z
}
0
i (0) =
uC (0) ¡ RiL (0)
L
M
=0
)
áš
a
1
Li (0)+RiL (0)+
C
|
0
-P
av
el
Tvar řešení matematické počáteční podmínky závisí na rovnici (rovnicích), popisující konkrétní obvod
8. Do úplného řešení a jeho derivace dosadíme t = 0, počáteční podmínky a řešíme lineární soustavu rovnic
EO
2
Kořeny reálné, různé
)
0
X3
1
i(0) = K1 + K2 + ip(0)
0
i (0) = K1¸1 + K2¸2 + ip(0)
!
¡
¢
0
0
i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸2 i(0) ¡ ip(0)
K1 =
¸1 ¡ ¸ 2
¢
¡
0
0
i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸1 i(0) ¡ ip(0)
K2 =
¸2 ¡ ¸ 1
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Kořen reálný, dvojnásobný
)
i(0) = K1 + ip(0)
0
K1 = i(0) ¡ ip(0)
!
0
¡
¢
0
0
K2 = i (0) ¡ ip(0) ¡ ¸ i(0) ¡ ip(0)
i (0) = K2 + K1¸ + ip (0)
Kořeny komplexně sdružené
áš
a
K1 = i(0) ¡ ip(0)
)
i(0) = K1 + ip(0)
¡
¢
0
0
i (0) ¡ ip(0) + ® i(0) ¡ ip(0)
K2 =
!
i (0) = !K2 ¡ ®K1 + ip(0)
M
!
0
-P
av
el
0
Nyní dokončíme řešení našeho defibrilátoru:
2
i(t) = (K1 cos(259:1 t) + K2 sin(259:1 t)) e¡83:3t + 0
i
EO
0
0
i (0) =
X3
1
i (t) = 259:1 (¡K1 sin 259:1t + K2 cos 259:1t)¡83:3 (K1 cos 259:1t + K2 sin 259:1t) e¡83:3t
4216 ¡ 50 ¢ 0
= 14053
0:3
0 = K1 + 0
K1 = 0
)
!
14053 = 259:1K2 ¡ 83:3K1
K2 =
14053 + 83:3 ¢ 0
= 54:24
259:1
i(t) = 54:24 sin(259:1 t) ¢ e¡83:3t A
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Časový průběh přechodného děje 2. řádu – RLC defibrilátor
M
áš
a
U [V]
Průběh napětí na rezistoru
-P
av
el
Průběh proudu
EO
2
I [A]
X3
1
p [W]
Okamžitý výkon dodaný do rezistoru
t[s]
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
CO OVLIVŇUJE ČASOVÝ PRŮBĚH?
... a její kořeny
¸1;2
¡R
§
=
2L
¸2 +
sμ
R
2L
R
1
¸+
=0
L
LC
¶2
¡
-P
av
el
>
1
LC
Aperiodický děj
• čím větší R, tím delší časová konstanta
¾ S rostoucím R trvá přechodný děj déle
2
¶2
EO
R
2L
X3
1
μ
M
Pokud:
1
LC
áš
a
Máme charakteristickou rovnici:
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
R=2
L
C
Mez aperiodicity
¾ Přechodný děj trvá nejkratší možnou dobu
áš
a
Mez aperiodicity
Aperiodický děj
Kvaziperiodický děj
M
)
-P
av
el
1
LC
2
=
r
EO
R
2L
¶2
X3
1
μ
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
μ
R
2L
¶2
1
LC
¡R
=
§
2L
sμ
Kvaziperiodický děj
• S klesajícím R klesá činitel tlumení obvodu α
¾ Doba ustálení přechodného děje opět roste
R
2L
¶2
p
1
¡
= ¡® § ®2 ¡ !r2
| {z }
LC
j!
® Činitel tlumení obvodu
! Frekvence vlastních kmitů obvodu
!r Rezonanční frekvence
Co ovlivní:
X3
1
EO
2
-P
av
el
M
áš
a
¸1;2
<
R
Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I
L
Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I (ω v K2) a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci)
C
Amplitudu proudu I (ω v K2) a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci)
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
( Co by se stalo, kdyby pacient nekladl ten správný odpor...
Typický odpor lidského těla při defibrilaci je 50 Ω
Při síťovém napětí je udávaný odpor lidského těla v rozmezí 500 Ω – 10 kΩ, průměrná hodnota je 2 kΩ
Příliš velký odpor –
aperiodický přechodný děj, velký proud, protékající po dlouhou dobu, povrchové popáleniny – je nutné zabránit i přechodovým odporům
2
-P
av
el
M
áš
a
Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 2 kΩ
X3
1
EO
Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 10 Ω
Příliš malý odpor –
kvaziperiodický přechodný děj, opakovaná stimulace, fibrilace
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
RLC S HARMONICKÝM BUZENÍM
Nyní budeme zkoumat sériový RLC obvod, ke kterému připojíme harmonický zdroj napětí
R = 100 Ω
C = 1 μF
L=1H
áš
a
předpokládejme malé tlumení obvodu (malý odpor R), tak že obvod má kvaziperiodickou odezvu
u(t) = 1 sin(1000 t)
iL(0) = 0 A
M
uC (0) = 0 V
-P
av
el
Obvodová rovnice a její derivace
Z
1 t
di(t)
+ Ri(t) +
L
i(¿ ) d¿ + uC (0) = Um sin(!z t + ')
dt
C 0
EO
2
d2 i(t) R di(t)
1
+
+
i(t) = Um !z cos(!z t + ')
dt2
L dt
LC
obvod kmitá na frekvenci ωv
R
1
¸ + ¸+
=0
L
LC
2
6
X3
1
Charakteristická rovnice a její kořeny
2
¸ + 100¸ + 10 = 0
¸1;2 = ¡® § j
¸1;2
Odezvou obvodu na změnu jsou exponenciálně tlumené harmonické kmity; ty nemají nic společného s charakterem zdroje
p
!r2 ¡ ®2 = ¡® § j!v
p
= ¡50 § j 10002 ¡ 502 = ¡50 § 998:75j
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Partikulární řešení
^ = Um ej'
U
^I =
^
U
= IpejÃ
1
R + j(!z L ¡ !z C )
^I =
1
= 0:01 A
100 + j(1000 ¡ 1000)
)
ip (t) = Ip sin(!z t + Ã)
)
-P
av
el
V řešeném příkladu je RLC obvod v rezonanci
ip (t) = 0:01 sin(1000t)
áš
a
)
M
u(t) = Um sin(!z t + ')
Řešení diferenciální rovnice
2
i(t) = (K1 cos !v t + K2 sin !v t) e¡®t + Ip sin(!z t + Ã)
X3
1
EO
Zatímco obvod v reakci na připojení zdroje kmitá na frekvenci ωv, ustálený stav je HUS,
v něm jsou jeho kmity vnuceny harmonickým zdrojem s frekvencí ωz
i(t) = (K1 cos(998:75 t) + K2 sin(998:75 t)) e¡50t + 0:01 sin(1000t)
Při nenulovém tlumení je frekvence vlastních kmitů vždy menší, nežli rezonanční frekvence
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Derivace řešení a matematická počíteční podmínka
h
0
i
i (t) = !v (¡K1 sin !v t + K2 cos !v t)¡® (K1 cos !v t + K2 sin !v t) e¡®t +Ip !z cos(!z t+Ã)
1
Li (0)+RiL (0)+
C
|
0
Z
0
i(¿ ) d¿ +uC (0) = Um sin(')
0 {z
}
)
0
i (0) =
¡uC (0) ¡ RiL (0) + Um sin(')
L
i
998:75 (¡K1 sin(998:75t) + K2 cos(998:75t)) ¡ 50 (K1 cos(998:75t) + K2 sin(998:75t)) e¡50t
M
h
0
i (t) =
áš
a
=0
i (0) = 0
t=0
)
K1 = i(0) ¡ Ip sin(Ã)
2
i(0) = K1 + Ip sin(Ã)
-P
av
el
+0:01 ¢ 1000 cos(1000t)
0
!
EO
0
X3
1
i (0) = !v K2 ¡ ®K1 + Ip!z cos(Ã)
K2
¡
¢
0
i (0) ¡ Ip !z cos(Ã) + ® i(0) ¡ Ip sin(Ã)
=
!v
Řešení přechodného děje:
¸
¾
½ ·
1
i(t) = Ip ¡
(® sin à + !z cos Ã) sin !v t + sin à cos !v t e¡®t + sin(!z t + Ã)
!v
μ
¶
¡1000
¡50t
¢ sin(998:75 t) e
i(t) = 0:01
+ sin(1000t)
998:75
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Časový průběh proudu pro uvedený příklad
-P
av
el
M
áš
a
Ip
1
®
Časový průběh proudu – stejný obvod, kde ale R = 20 Ω ⇒ α = 10
Ip
1
X3
1
EO
2
®
Obvod je v rezonanci – napětí na L a C mají 1000× větší amplitudu (tedy 10, resp. 50 voltů) a jsou fázově posunuta o +90°, resp. ‐ 90° (tedy o čtvrtinu periody). Čím vyšší je ale činitel jakosti obvodu (menší α), tím déle trvá, nežli rezonanční obvod dosáhne ustáleného stavu
Q=
1 !r
¢
® 2
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Zázněje
• Uvažujme případ, kdy frekvence zdroje bude málo odlišná od rezonanční frekvence
:
=
M
X3
1
EO
2
=
¾
1
(® sin à + !z cos Ã) sin !v t + sin à cos !v t e¡®t + sin(!z t + Ã)
Ip ¡
!v
¶
μ
¶
μ
(!r + ¢!)t ¡ !r t
!r t + (!r + ¢!)t
¢ sin
Ip f¡ sin !r t + sin(!r + ¢!)tg = 2Ip cos
2
2
¶ ¸
·μ
¢!t
¢!
t ¢ sin
2Ip cos !r +
2
2
-P
av
el
i(t) =
áš
a
V tomto případě lze předchozí výsledek značně zjednodušit:
9 Činitel tlumení musí být malý, pro zjednodušení uvažujme ® ! 0
9 Důsledkem předchozí podmínky je frekvence vlastních kmitů !v ! !r
9 V rezonanci je fázový posun mezi napětím zdroje a proudem nulový, Ã ! 0
9 Frekvence zdroje se liší od rezonanční frekvence o kmitočet Δω, !z = !r + ¢!
Pak:
¸
½ ·
® = 10
®=2
Význam: v akustice – ladění nástrojů
X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu
Download

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti