ANALIZA SISTEMA U
KOMPLEKSNOM DOMENU
 Laplasova transformacija
 Inverzna Laplasova transformacija
 Primena Laplasove transformacije na određivanje odziva sistema
 Funkcija prenosa linearnih, stacionarnih sistema
 Povezivanje sistema i ekvivalentne transformacije
 Funkcija prenosa multivarijabilnih sistema
 Funkcije prenosa sistema sa raspodeljenim parametrima
 Zavisnost odziva sistema od rasporeda polova i nula funkcije
prenosa
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (LT)
LT je moćan alat za analizu i sintezu linearnih stacionarnih sistema koji su
opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima.
Vrste LT: dvostrana i jednostrana
DVOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
F ( s )  L  f (t ) 


 st
f (t )e dt

Dvostrana LT = granice su  i  (ima teorijski značaj)
Jednostrana LT = granice su 0 i  (ima praktični značaj, proučava se kasnije)
f  t  - original
s    j - kompleksna promenljiva
F  s  - kompleksni lik
Napomena. U MATLABu je umesto dvostrane LT definisana jednostrana LT:
F ( s )  L  f (t ) 


f (t )e  st dt
0
Eksponencijaln član e
 st
Integral bez člana e
u LT ima prigušnu ulogu
 st

f (t )  h(t ),
:
1dt  
0
Integral sa članom e
 st
(LT):
ne postoji konačna vrednost integrala!

f (t )  h(t ), F ( s )  L h(t )   1e dt  1 / s - postoji L 
 st
0
Laplasova transformacija se ne može odrediti za sve funkcije
Primer. funkcije
t
t ,e
t2
ne poseduju Laplasovu transformaciju
Većina funkcija za koje ne postoju LT retko se sreću u praksi.
Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće kauzalne funkcije (funkcije
koja traje za pozitivno vreme):
f (t )  e  at h(t )
f (t )  e
a>0
 at
f (t )  e at
1
a<0
1
t
t
f t   e h t 
 at
f  t   e  at h  t 
1
1
a0
a0
t
t
F ( s )  F (  j)  L e  at h(t ) 

 0!!!!!

 ( a  )t  jt
1
e
e
a    j
t 0
t 

t 0



0
 at
 (  j) t
 ( a  j) t
e
h
(
t
)
e
dt

e
dt


1
1
1
0

1


 
a    j
a    j s  a
Oblast konvergencije LT: a    0     a  Re s   a
j
j
Re s  a
a0
-a<0

Re s  a
a0
-a>0

MATLAB program
% Brisanje radnog prostora, grafika i komandnog prozora
clear all, close all, clc
% Definisanje simbolickih promenljivih
syms a t s f(t) F(s)
f(t)=exp(-a*t)*heaviside(t)
% Odredjivanje LT
F(s)=laplace(f(t),t,s)
pretty(F(s))
Rezultat:
f(t) = exp(-a*t)*heaviside(t)
F(s) = 1/(a + s)
1
----a + s
Primer. Laplasova transformacija nekauzalne funkcije (funkcije koja traje za
negativno vreme)
f (t )  e  at h(t )
f  t   e at h  t 
f  t   e  at h  t 
t
a0
t
-1
-1
a0

F ( s )    e h(t )e dt 

 at
 st
0
e
 a  jt

1
1
1

 0  1 
a    j
a    j s  a
 0!!!!!

 ( a  )t  jt
1
dt 
e
e
a    j
t 0
t 0

t 
Oblast konvergencije: a    0    a  Re s  a
j
j
Re s  a
a0
Re s  a
a0
-a<0

-a>0

Napomena. Pošto je za pozitivno vreme funkcija f  t   e  at h  t  jednaka 0,
to će MATLAB za LT dati vrednost 0.
F ( s )  L  f (t ) 


0

f (t )e  st dt   0e  st dt  0
0
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TIPIČNIH FUNKCIJA
Jedinična impulsna funkcija

( s )  L (t ) 
 st
 st

(
t
)
e
d
t

e


(t )  ( s)  1,
t 0
 st
 st

(
t


)
e
dt

e


(t  )  e  s ,
s
s

(t  ) 
 e  s 0  1,
t 
 e  s ,
s
s
Jedinična odskočna funkcija
H ( s )  L h(t ) 

 h(t )e
 st

h(t )  H ( s )  1 / s,

dt   e dt  
 st
0
Re s  0
e
 st 
s
s 0
1
 , Re s  0
s
Jedinična nagibna funkcija

 st t 

te
 st
 st
R( s )  L r (t )   th(t )e dt   te dt  
s

0
t 0, 0

 st t 
te
s
t 0

 st t 
e
s2
t 0

t e t e  jt

s
t 
t 0 , 0
t 0
e  st

dt
0 s

e t e  jt

s2
t 0

t 
t 0
 0e  0e 0   e  e 0 
1 1



   2  2   0   0  2   2 , Re s    0
s   s
s 
s  s

 s
Re s  0
r (t )  R( s)  1 / s 2 ,
Eksponencijalna funkcija (videti prethodni primer)
L e  at h(t ) 



0
 at  st
 ( sa )t
e
e
dt
e
dt 



1
, Re s  a
sa
DIJAGRAM NULA I POLOVA KOMPLEKSNOG LIKA LT
Za većinu realnih kontinualnih funkcija f (t ) , njihovi kompleksni likovi F ( s )
0
mogu se pre i dstavi u sledećoj formi:
Bm (s)
F ( s) 
An ( s )
Bm ( s ) i An ( s ) su polinomi kompleksne promenljive s
n , m su redovi odgovarajućih polinoma
Nule kompleksnog lika LT su koreni polinoma Bm ( s ) :
Bm ( s )  0  s  zi ,
i  1, 2, ., m
Polovi kompleksnog lika LT su koreni polinoma An ( s )
An ( s )  0  s  pi ,
i  1, 2, ., n
Napomena. Ukoliko su koreni polinoma kompleksni oni se javljaju u parovima
se jednakim realnim delovima ( zi , j  a  jb ili pi , j  a  jb )
Napomena. Neka je zi  p j ,
An ( zi )  0, Bm ( pi )  0 . Tada važi:
Bm ( zi )
0
F ( zi ) 

0,
An ( zi ) An ( zi )
Nule se mogu nalaziti u oblast konvergencije LT
Bm ( pi ) Bm ( pi )
F ( pi ) 

 
An ( pi )
0
Polovi leže van oblasti konvergencije LT
Napomena. Svaki polinom je zadat svojim korenima do nivoa konstante an .
Pn ( s )  an s n    a1s  a0  an  s  p1   s  pn 
Zapisivanjem nula i polova definisana je funkcija F ( s ) do nivoa nepoznate
konstante K  bm an (tzv. pojačanja)
m
Bm ( s ) bm s    b1s  b0 bm
F (s) 


n
Am ( s ) an s    a1s  a0 an
m
 (s  z )
i
i 1
n
 (s  p )
Dijagram nula i polova kompleksnog
lika nastaje ucrtavanjem nula i
polova u s-ravni pomoću simbola "o"
i "x".
Imaginarna osa - granica između
poluravni
 (s  z )
i
i 1
n
 (s  p )
i
i 1
„leva
poluravan“
jIm( s )  j
p1
p4
z1
x
x
„desna
poluravan“
z3
Leva poluravan s-ravni
Desna poluravan s-ravni
K
i
i 1
S-ravan je ravan koju određuju realni
i imaginarni deo kompleksne
promenljive.
m
z2
x
p2
x
p3
Re( s )  
Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće funkcije i nacrtati njene nule
i polove
f  t   e 2t h  t   e 5t h  t 
Rešenje.
L  f (t )  L e2t h  t   L e6t h  t 

1
1

, Re s  2  Re s  6
s2 s6
2s  8
B1 (s)
F (s) 

, Re s  max 2, 6  2
 s  2  s  6  A2 ( s)
nula:
polovi:
B1 (s)  2 s  8  0
Re s  2
j
Oblast
konverg. LT
 z1  4
X ( s )  A2 ( s )   s  2  s  6   0

p1  2, p2  6
p2 z1
x
-6 4
x
p1
-2

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f  t   cos(0t ) h  t  i nacrtati
njene nule i polove F ( s ) za 0  0.5 rad / s .


1
 st
F ( s )   cos  0t  h(t )e dt   e j0t  e  j0t  e  st dt
20



1  s j0 t
1  s j0 t
 e
dt   e
dt
20
20
1 1
1 
 


2  s  j0 s  j0 
s
 2
, Re s  0
2
s  0
Za 0  0.5 rad / s
s
F (s)  2
s  0.52
z1  0 , p1  j 0.5 , p2   j 0.5
j
j0.5 X p1
Re s  0
z1

j0.5 X p2
MATLAB PROGRAM
% Brisanje radnog prostora, grafika i komandnog prozora
clear all, close all, clc
% Definisanje simbolickih promenljivih
syms w0 t s f(t) F(s)
f(t)=cos(w0*t)*heaviside(t)
% Odredjivanje LT
F(s)=laplace(f(t),t,s)
pretty(F(s))
% Zamena w0 sa 0.5
F1(s)=subs(F(s),w0,0.5);
% Oderdjivanje brojioca i imenioca
[Bs,As]=numden(F1(s));
% Odredjivanje koeficijenata polinoma
B=sym2poly(Bs);
A=sym2poly(As);
% Crtanje dijagrama nula i polova
pzmap(B,A)
Rezultat:
f(t) = cos(t*w0)*heaviside(t)
F(s) = s/(s^2 + w0^2)
s
-------2
2
s + w0
Pole-Zero Map
0.8
Imaginary Axis (seconds-1)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.5
0
Real Axis (seconds -1)
0.5
1
JEDNOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
U praksi smo zainteresovani za buduće ponašanje neke promenljive sistema
f (t ) u odnosu na neki usvojeni trenutak vremena (najčešće t  0 ).
Stanje linearnih sistema u trenutku t  0 , neposredno pre trenutka t  0 ,
iskazuje se pomoću početnog uslova promenljive f (0  ) .

f (0 )
f (t )

f (0 )
f (t )
f (t ) t  0  0
t
t
Jednostrana Laplasova transformacija (donja granica je t  0 )
F ( s )  L1  f (t ) 


0
f (t )e  st dt
L1 se dobija iz L zamenom
donje granice sa t  0
Napomena. Ukoliko se posmatraju kauzalni signali, f (t ) t 0  0 , onda nema
razlike u primeni dvostrane i jednostrane LT.
Napomena. U LT , t  0 omogućava da se obuhvate početni uslovi promenljivih.
Napomena. Ako se umesto t  0 , usvoji t  0 ili t  0 , onda je L1  (t )  0 (delta
funkcija je van granica integracije jednostrane LT).
OSOBINE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Redni
broj
f  t , t  0
F s
1.
af (t )
aF ( s )
2.
f1 (t )  f 2 (t )  f3 (t )  ...
F1 ( s )  F2 ( s )  F3 ( s )  ...
k 1

d
f
(0
) nk
n
s F ( s)  
s
k 1
dt
k 1
n
3.
4.
d n f (t )
dt n
t
t
0
0
n

f
(
t
)
dt
 
Napomena. Drugi član ne postoji kod
dvostrane LT.
F (s)
, n  0,1, 2,...
n
s
5.
f (t )e  at
F ( s  a)
6.
f (t  a )
e  as F ( s )
7.
n
d
F (s)
(1) n
ds n
t n f (t )
t
8.
f1  f 2   f1 () f 2 (t  ) d 
F1 ( s ) F2 ( s )
0
lim sF ( s ) ,
s 0
9.
lim f (t )
Uslovi: Re  pi   0 i/ili
t 
pi  0 je jednostruki pol,
gde pi označava polove F ( s )
10.
lim f (t )
t 0
lim sF ( s )
s 
TABILCA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Redni
broj
1.
f  t , t  0
F s
(t )
1
2.
h(t )
3.
h(t  ) , zakašnjanjena h(t )
4.
s (t )  th(t )
5.
t n 1
, n je prirodan broj
(n  1)!
6.
h(t )  h(t  ) , pravougaoni impuls
7.
e  at , eksponencijalna funkcija
8.
1
(1  e  at )
a
1
s
1 s
e
s
1
s2
1
sn
1
(1  e s ) s
s
1
sa
1
s( s  a)
 at
9.
te
10.
t n 1e  at
, n je prirodan broj
(n  1)!
11.
sin t
12.
cos t
13.
1
(1  cos t )
2

14.
e  at sin t
15.
e  at cos t
1
(s  a)2
1
(s  a)n
2
s 2  2
s2
s 2  2
1
s ( s 2  2 )

( s  a ) 2  2
sa
( s  a ) 2  2
INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (ILT)
f (t )  F ( s ) direktna Laplasova transformacija
F ( s )  L  f (t ) 


f (t )e  st dt

F (s) 
f (t ) inverzna Laplasova transformacija
f (t )  L -1  F ( s ) 
 j

F ( s )e st ds
 j
Zahteva integraciju kompleksne funkcije.
ILT se teško određuje na osnovu definicije.
Za praktično određivanje inverzne Laplasove transformacija koristimo
tablicu Laplasove transformacije.
Ukoliko F ( s ) nije tablični slučaj  uprošćavanje F ( s )
Kod većine realnih signala:
m
B ( s ) bm s    b1s  b0
F (s) 

K
n
A( s ) an s    a1s  a0
m
 (s  z )
i 1
n
i
 (s  p )
i 1
i
F ( s ) se može predstaviti u obliku zbira prostijih racionalnih funkcija, tj.
činioca. Na primer:
Kn
K1
B ( s ) bm s m    b1s  b0
F (s) 


 
A( s )  s  p1   s  pn  s  p1
s  pn
Broj i oblici činioca F ( s ) funkcije zavise isključivo od karaktera polova
F (s) .
Razlikujemo četiri karakteristična slučaja:
1. Svi polovi F ( s ) su realni i prosti
2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a ako postoje realni, oni su prosti
3. Funkcija F ( s ) ima višestruke realne korene
4. Funkcija F ( s ) ima višestruke konjugovano kompleksne polove.
1. Svi polovi funkcije F ( s ) su realni i prosti
Pretpostavka:
an s n    a1s  a0   s  p1   s  pn 
Razvoj funkcije
Kn
B ( s ) bm s m    b1s  b0
K1
F (s) 


 
A( s )  s  p1   s  pn  s  p1
s  pn
Koeficijenti

B( s) 
K i   s  pi 
, i  1, 2, , n

A( s )  s pi

Inverzija
n
L -1 F ( s)  f (t )   K i e p t
i
i 1
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
3s 2  4 s  7
F (s) 
 s  1 s  5 s  8
Rešenje:
 realni i prosti polovi: p1  1, p2  5, p3  8
K3
K1
K2
F (s) 


s 1 s  5 s  8
3s 2  4 s  7
3
K1   s  1 F ( s ) s 1 

 s  5 s  8 s 1 14
K 2   s  5  F ( s ) s 5
3s 2  4 s  7
31


6
 s  1 s  8 s 5
K 3   s  8  F ( s ) s 8
3s 2  4 s  7
167


 s  1 s  5 s 8 21
3  t 31 5t 167 8t
f (t )  e  e 
e
14
6
21
2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a ako postoje realni, oni su prosti
Pretpostavka:
an s n    a1s  a0   s  p1  s  p1   s  p3   s  pn 
p1    j
p2  p1    j konjugovano kompleksni polovi,
p3 , p4 , ..., pn
su realni i prosti
Razvoj funkcije
bm s m    b1s  b0
B( s)
F (s) 

A( s )  s  p1  s  p1   s  p3   s  pn 
Kn
Kn
K1
K1



 
s  p1 s  p1 s  p3
s  pn
p2  p1

K1  a  jb, K 2  K1  a  jb
Koeficijenti

B( s) 
K1   s  p1 
 a  jb

A( s )  ss1*
,

K 2  K1  a  jb

B( s) 
K i   s  pi 
, i  3, 4, , n

A( s )  s pi

n
Ki
a  jb
a  jb
F (s) 


 s     j  s     j i3 s  si

2a  s     2b
s  
2
 2
n
 s  () 
Ki

F ( s )  2a
 2b

2
2
2
2
 s  ()    i3 s  si
 s  ()   
Inverzija
n
L -1 F ( s )  f (t )  2aet cos  t   2bet sin  t    K i e s t
i
i 3
Ki

i 3 s  si
n
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
3s  7
F (s)  2
 s  2s  2   s  3 s  3
Rešenje:
s
2
 2 s  2   s  3 s  3  0 
p1,2   1  j 1    j ,
p3  3 , p4  3
  1
 1
K3
K1
K1
K4
F (s) 
,



s  (
1  j ) s  (
1  j) s  ( 
3)
3) s  ( 


K 2  K1
3s  7
K1   s  (1  j ) 
 s  (1  j )  s  (1  j )  s  3 s  3
19
a
170
42
b
170
p1

p1
p3
19  j 42
19
42
 
j
 a  jb
170
170
170
p4
s 1 j
19
42
K 2  K1  a  jb  
j
170
170
K 3   s  3 F ( s ) s 3
K 4   s  3  F ( s ) s 3
3s  7
 2
 s  2 s  2   s  3
3s  7
 2
 s  2 s  2   s  3
s 3
s 3
1

15
8

51
n
f (t )  2ae cos  t   2be sin  t    K i e si t
t
t
i 3
19 1t
42 1t
1 3t 8 3t
2
e cos1t  2
e sin 1t  e  e
15
51
170
170
19
42
1
8
  e  t cos t   e  t sin t  e 3t  e3t
85
85
15
51
ALTERNATIVA:
Metode neodređenih koeficijenata
3s  7
As  B
C
D
 2


F (s)  2
 s  2s  2   s  3 s  3 s  2s  2 s  3 s  3
 A  C  D  s3   B  C  5D  s 2  8D  9 A  4C  s   6 D  9 B  6C 

 s 2  2s  2   s  3 s  3
 A  C  D  s3   B  C  5D  s 2  8D  9 A  4C  s   6 D  9 B  6C   3s  7
sistem jednačina:
AC  D  0
B  C  5D  0
9 A  4C  8 D  3
9 B  6C  6 D  7
19
61
, B ,
85
85
1
8
C , D
15
51
A
1 19 s  61
1 1
8 1
F (s)  


2
2
85  s  1  1 15 s  3 51 s  3
61
s
19
1 1
8 1
19



2
2
85  s  1  1 15 s  3 51 s  3
42
s 1
19
1 1
8 1
19



2
2
85  s  1  1 15 s  3 51 s  3
s 1
1 1
8 1
19
42
1




2
2
2
2
85  s  1  1 85  s  1  1 15 s  3 51 s  3
 1
s  1  42 1 
19 1 
1
8 1  1 
1  1 
f (t )   L 
 L 

 L 
 L 
2
2
2
2
85
 s  3  51
 s  3
  s  1  1  15
  s  1  1  85
19  t
42  t
1 3t 8 3t
  e cos t   e sin t  e  e
85
85
51
15
3. Funkcija F ( s ) ima višestruke realne korene
an s n    a1s  a0   s  p1   s  p4   s  pn 
3
Pretpostavka:
p1  p2  p3 - realan pol višestrukosti 3
p4 , … , pn - realni i jednostruki polovi
Razvoj funkcije
F (s) 

bm s m    b1s  b0
 s  p1   s  p4   s  pn 
3
K11
 s  p1 
3

K12
 s  p1 
2
K13
Kn
K4


 
s  pn
 s  p1  s  p4
Koeficijenti (višestrukost 3)
1
3 B( s) 
K11   s  p1 
,

A( s )  s p1
0! 
1d
3 B( s) 
K12    s  p1 
A( s )  s p1
1!  ds
1  d2
3 B( s) 
K13   2  s  p1 

2!  ds
A( s )  s p
1
Opšta formula (višestrukost  )
1  d j 1
 B( s) 
K ij 
 j 1  s  pi 
 ,
A( s )  s p
 j  1!  ds
i
j  1, 2, , 
Inverzija
1
f (t )  K11 t 2 e p1t  K12 t e p1t  K13e p1t 
2
n
p1t
K
e
 i
i 4
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
F (s) 
4s  9
 s  2   s  3
3
Rešenje:
F (s) 
K11
 s  2
3

K12
 s  2
2
K13
K4


 s  2 s  3
4s  9
3


K11   s  2  F ( s )

1

 s 2 s  3 s 2
3
3
d


K12    s  2  F ( s ) 
2
ds

 s 2  s  3
3
s 2

1  d2
3
 3
K13   2  s  2  F ( s ) 
2  ds
 s 2
K 4   s  3 F ( s )
F (s) 
1
 s  2
3

s 3

4s  9
 s  2
3
 s  2
2

3
3
s 3
3
3

 s  2 s  3
1 2 2t
f (t )  t e  3te 2t  3e 2t  3e 3t
2
ALTERNATIVA:
F ( s)  F ( s) 
Metode neodređenih koeficijenata
4s  9
 s  2   s  3
3

A
 s  2
3

B
 s  2
2
C
D


 s  2 s  3
C  D  s 3   B  7C  6 D  s 2   A  5 B  16C  12 D  s   3 A  6 B  12C  8 D 


3
 s  2   s  3
 C  D  s3   B  7C  6 D  s 2   A  5B  16C  12 D  s
  3 A  6 B  12C  8 D   4 s  9
sistem jednačina:
CD0
B  7C  6 D  0
A  5 B  16C  12 D  4
3 A  6 B  12C  8 D  9
A  1, B  3,
C  3, D  3
4. Funkcija F ( s ) može imati i višestruke kompleksne polove.
Rešenje:
1. kombinacija ranije izvedenih rezultata (komplikovano rešavanje)
2. primena teoreme konvolucije u vremenskom domenu kada F ( s ) sadrži
samo dvostruki kompleksne polove.
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: F ( s ) 
Rešenje: Polovi: p1,2  j,
kompleksnih polova
s
p3,4   j, par dvostrukih konjugovano
Primena integrala konvolucije:


1
1
1 


1 

=
f (t )  F ( s )  L1 
L  2
2
2
2
2
2
2




s
s


  s    
  1 1
1 1  
 2L  2
 2
 2 L  F1  s   F1  s 
2
2 

s   
 s 
1
2

2 2

L1  F1  s   sin  t   L1  F1  s   F1  s   sin  t   sin  t 
1
1
f (t )  2 sin  t   sin  t    2


t

0




sin((t  )) sin()


cos    cos   cos   t  2     cos  t 

2
2
t
1
 2  cos    t  2    cos  t   d 
2 0
1
22
t

0
1
 2
2
t
1
cos    t  2    d   2  cos  t  d 

2 0
smena  t  2   , d 2 d  ,
 t , t 
t

t
t
d
1
cos   
 2 cos  t  
 0
2 2
d
f (t ) 



1
43
1
43
1
43
1
23
t
t
cos  t 
2
t
2
t
sin  t   sin  t    2 cos  t 
2
t
 2sin  t    3 cos  t 
2
sin   

sin  t   t cos  t  
Primer. Data je sledeća racionalna funkcija:
F (s) 
2s  1
( s 2  3s  2)( s 2  2 s  3)
Koristeći MATLAB odrediti:
a. nacrtati polove i nule
b. razvoj ove funkcije u zbir prostijih funkcija,
c. inverznu Laplasovu transformaciju i vrednost funkcije za t  2 .
Rešenje. Može se pokazati da važi:
1
0.2500  j 0.3536
0.2500  j 0.3536
0.5
F (s) 



s  2 s  (1.0000  j1.4142) s  (1.0000  j1.4142) ( s  1)
1
0.5s  0.5 0.5

 2

s  2 s  2 s  3 ( s  1)
a) b = [2 1]; a1 = [1 3 2]; a2 = [1 2 3]; % proizvod polinoma a = conv(a1,a2); % razvoj u sabirke [r,p,k] = residue(b,a) % dodatni razvoj 2. I 3. Člana [pp,qq]=residue(r(2:3),p(2:3),[])
Rezultat. n = ‐0.5000 p = ‐1.0000 + 1.4142i ‐1.0000 ‐ 1.4142i ‐2.0000 + 0.0000i ‐1.0000 + 0.0000i 1.5
1
Imaginary Axis (seconds-1)
n=roots(b), p=roots(a)
pzmap(b,a), grid
Pole-Zero Map
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-2
-1.5
-1
Real Axis (seconds -1)
-0.5
0
r = 1.0000 ‐0.2500 ‐ 0.3536i ‐0.2500 + 0.3536i ‐0.5000 p = ‐2.0000 ‐1.0000 + 1.4142i ‐1.0000 ‐ 1.4142i ‐1.0000 k = [] pp = ‐0.5000 0.5000 qq = 1.0000 2.0000 3.0000 1
0.2500  j 0.3536
F (s) 


s  2 s  (1.0000  j1.4142)
0.2500  j 0.3536
0.5

s  (1.0000  j1.4142) ( s  1)
1
0.5s  0.5 0.5

 2

s  2 s  2 s  3 ( s  1)
b)
B=poly2sym(b,s); % konverzija polinoma u simboločki polinom A=poly2sym(a,s); F(s)=B/A f(t)=ilaplace(F(s)) % inverzna LT pretty(f(t)) f2=double(f(2)) % prevođenje u numeričku vrednost Rešenje. F(s) = (2*s + 1)/(s^4 + 5*s^3 + 11*s^2 + 13*s + 6) f(t) = exp(‐2*t) ‐ exp(‐t)/2 ‐ (exp(‐t)*(cos(2^(1/2)*t) ‐ 2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t)))/2 1/2 1/2 1/2 exp(‐t) exp(‐t) (cos(2 t) ‐ 2 sin(2 t)) exp(‐2 t) ‐ ‐‐‐‐‐‐‐ ‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 2 2 f2 = 0.0445 PRIMENA JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA
REŠAVANJE LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA SA
KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
d k y (t ) m
d k u (t )
  bk
ak

k
k
dt
dt
k 0
k 0
n
Rešenje: primena jednostrane Laplasove transformacije.
d k y (t ) m d k u (t )
  bk
ak

k
dt
dt k
k 0
k 0
n
/ L
d k f (t )
k
k 1
k  2 (1)


( k  2)

( k 1)

s
F
s
s
f
s
f
sf
f

(
)

(0
)

(0
)



(0
)

(0
)
k
dt
Algebarska jednačina
n
a s
m
 Y ( s) 
Rn1 ( s )
  bk s U ( s )

k 0


 POLINOM KOJI ZAVISI OD POČETNIH k 0
k
k
k
USLOVA f (0 ),, f (n 1) (0 )
POTIČE ODPOBUDE
n
m
k 0
k 0
Y ( s )   ak s k   bk s k  U ( s )  Rn1 ( s )
m
Y ( s) 
k
b
s
k
k 0
n
U ( s) 
1
 R ( s )  YP ( s )  Y0 ( s )
n
k
a
s

k
k 0



k
a
s

k
k 0



YP
Y0
Y ( s )  YP ( s )  Y0 ( s )
y  t   L1 YP ( s )  Y0 ( s )  yP  t   y0  t 
YP ( s ) - rešenje usled pobude
Y0 ( s ) - rešenje usled početnog
stanja
POSTUPAK ODREĐIVANJA ODZIVA SISTEMA PRIMENOM LT
Diferencijalna
jednačina
L
Algebarska
jednačina
ODZIV y(t)
1
L
Rešenje Y(s)
Primer. Odrediti odziv sistema
d 2 y (t )
dy (t )
7
 12 y (t )  u (t ),
2
dt
dt
y (0)  2, y (0)  4
u (t )   2  e  t  h(t )
Rešenje.

y (t )  7 y (t )  12 y (t )  u (t )
/ L
 s 2Y ( s )  sy (0 )  y (0 )   7  sY ( s )  y (0 )   12Y ( s )  U ( s )
2
1
s Y ( s )  7 sY ( s )  12Y ( s )  sy (0 )  7 y (0 )  y (0 )  
s s 1
2



3s  2
 s 2  7 s  12)  Y ( s )  sy (0 )  7 y (0 )  y (0 ) 
s  s  1
3s  2
s  s  1
sy (0 )  7 y (0 )  y (0 )

Y ( s)  2
s  7 s  12
s 2  7 s  12
2 s  10
3s  2


 YP ( s )  Y0 ( s )
s  s  1 s  3 s  4   s  3 s  4 
Ukupni odziv:
B s
2 s 3  12 s 2  13s  2
Y ( s )  YP ( s )  Y0 ( s ) 

s  s  1 s  3 s  4  A  s 
B s  0 
p1  0, p2  1, p3  3, p4  4,
A
B
C
D
Y (s)  


s s 1 s  3 s  4
2 s 3  12 s 2  13s  2
1
As

s  s  1 s  3 s  4  s 0 6
2 s 3  12 s 2  13s  2
1
B   s  1

s  s  1 s  3 s  4  s 1 6
2 s 3  12 s 2  13s  2
17
C   s  3

s  s  1 s  3 s  4  s 3 6
2 s 3  12 s 2  13s  2
7
D   s  4

s  s  1 s  3 s  4  s 4 6
1
y (t )  1  e  t  17e 3t  7e 4t  h(t )
6
Odziv usled pobude
YP ( s ) 
yP (t ) 
3s  2
11 1 1
7 1
5 1




s  s  1 s  3 s  4  6 s 6 s  1 6 s  3 6 s  4
1
1  e  t  7e 3t  5e 4t  h(t )
6
Odziv usled početnih uslova
2 s  10
4
2
Y0 ( s ) 


 s  3 s  4   s  3  s  4 
y0 (t )   4e 3t  2e 4t  h(t )
Ukupni odziv:
y (t )  yP (t )  y0 (t ) 
1
1  e  t  7e 3t  5e 4t  h(t )   4e 3t  2e 4t  h(t )
6
1
 1  e  t  17e 3t  7e 4t  h(t )
6
(isto kao prethodno rešenje)
Rešenje pomoću MATLAB programa
d 2 y (t )
dy (t )
t




7
12
y
(
t
)
2
e
h(t ),


2
dt
dt
y (0)  2, y (0)  4
clc clear all R=dsolve('D2y+7*Dy+12*y = (2 + exp(‐t))','y(0)=2','Dy(0)=‐4'); R=simplify(R) Rezultat: R = exp(‐t)/6 + (17*exp(‐3*t))/6 ‐ (7*exp(‐4*t))/6 + 1/6 FUNKCIJA PRENOSA LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA
DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO IPULSNOG ODZIVA SISTEMA
Lineran, kontinualan, stacionarn
SISO sistem sa impulsnim odzivom
u (t )
y (t )
g (t )
g (t )

y (t )   u ( )  g (t   )  d   u (t )  g (t )

/ L
L  y (t )  L u (t )  g (t )  L  g (t ) L u (t )  G ( s )U ( s )
Y ( s )  G ( s )U ( s )
G ( s ) - Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva sistema.
Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definisana je sa

G( s) 

g (t )e  st dt

gde je g (t ) jedinični impulsni odziv sistema.
 Ukoliko je sistem kauzalan onda se prethodna definicija funkcije prenosa može
zameniti sa

G ( s )   g (t )e  st dt
0
 Funkcija prenosa predstavlja model sistema u kompleksnom domenu.
 G ( s ) je izvedena iz g (t ) (modela sistema u vremenskom domenu).
 Poznajući funkciju prenosa možemo jednostavno odrediti odziv sistema na
proizvoljnu pobudu:
Y ( s )  G ( s )U ( s )
DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
Diferencijalna jednačina sistema (nulti početni uslovi):
d n y (t )
d n-1 y (t )
dy (t )




 a0 y (t ) 
a
a
n -1
1
n
n -1
dt
dt
dt
d mu (t )
d m-1u (t )
 bm
 bm-1
   b0u (t )
m
dt
dt
/ L
Algebarska jednačina:
s
n
 an 1s n 1    a1s  a0  Y ( s )   bm s m  bm 1s m 1    b1s  b0  U ( s )
Količnik:
Y ( s ) bm s m  bm1s m1    b1s  b0
, nm
G s 
 n
n 1
U (s)
s  an1s    a1s  a0
Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao
odnos Laplasove transformacije izlazne i ulazne veličine, uz pretpostavku da
su svi početni uslovi jednaki nuli.
KARAKTERISTIČNI POLINOM I SOPSTVENE VREDNOSTI SISTEMA
bm s m  bm1s m1    b1s  b0 Bm ( s )
G s  n

n 1
s  an1s    a1s  a0
An ( s )
Karakteristični polinom
f ( s )  An ( s )  s  an1s
n
n 1
n
   a1s  a0   ak s k , an  1
k 0
Red sistema = n
Sopstvene vrednosti sistema = nule svi karakterističnog polinoma f  s  :
f ( s )  s n  an1s n1    a1s  a0  0  sv1 , sv 2 ,  , svn
Broj sopstvenih vrednosti sistema odgovara redu sistema.
NULE I POLOVI FUNKCIJE PRENOSA
m
m
m 1
bm s  bm 1s    b1s  b0
G( s)  n

n 1
s  an 1s    a1s  a0
m
s
b
s
k
k 0
n
s
a
s
 k
K
k 0
 (s  z )
i 1
n
i
 (s  p )
i 1
i
K - faktor pojačanja sistema
s  zi i s  pi - faktori polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa
Nule prenosne funkcije ( zi )
prenosne funkcije.
bm s  bm 1s
m
m 1
odgovaraju korenima polinoma u brojiocu
m
m
   b1s  b0   bk s   ( s  zi )  0
s
k 0
i 1
Polovi prenosne funkcije ( pi ) odgovaraju korenima polinoma u imeniocu
prenosne funkcije.
s  an 1s
n
n 1
n
n
   a1s  a0   ak s   ( s  pi )
k 0
s
i 1
Skraćivanje nula i polova sistema
U funkciji prenosa dozvoljeno je skraćivanje parova jednakih nula i polova
ukoliko su oni locirani u levoj poluravni s-ravni.
Tada se odziv usled pobude ne menja
15 ( s  10)
15

 G1 ( s )
G( s) 
( s  1) ( s  10) ( s  20) ( s  1)( s  20)
Nakon izvršenog skraćivanja nule i pola, broj polova redukovanog modela
sistema se smanji za 1.
Odnos između sopstvenih vrednosti sistema i njegovih polova
Skup sopstvenih vrednosti sistema jednak je skupu polova sistema ukoliko nije
izvršeno skraćivanje nula i polova sistema. Inače broj polova je manji od broja
sopstvenih vrednosti sistema.
svi    pi 
3.6.4. PREDSTAVLJANJE POLOVA U KOMPLEKSNOJ RAVNI
p1,2  Re  p1,2   j Im  p1,2     j ,
p1,2  n e  j , n  p1,2   2   2 ,
 
3
 
  arg  p1,2    arctg ,
2
2

p1,2  n e  j  n e
 j   
 n e  j e  j
 n e  j  n cos   jn sin 
j Im( s )
„s-ravan“
jn 1   2
p1 X
n
 0
 0

n


0
Re( s )
p1,2  n  jn 1   2 ,   cos 
s    j
Za   0 polovi se nalaze levo od Im-ose,
za   0 desno od Im –ose.
Za   0 polovi se nalaze na Im-osi.
p2 X
 jn 1   2
Položaja polova (X) u kompleksnoj ravni u zavisnosti od vrednosti relativnog
koeficijenta prigušenja  za konstantno n
Smer porasta 
0   1
  cos
 1
p1
X
X
0   1
Smer porasta 
X
jn
X
X
 0
X
  1 X
X
X
X
p2
Smer opadanja 
X
 1

X X X XX X X X
n
j
 0
0
 1
X
 0
X X X XX X X X
  1
X
X
X
X
X
 jn
  1
X

n
 0
Smer opadanja 
FUNKCIJE PRENOSA NEKIH SISTEMA
Čisto transportno kašnjenje
y (t )  u (t  )  Y ( s )  U ( s )e  s  G ( s )  e  s , s
Diferencijator
y (t ) 
dy (t )
 Y ( s )  sU ( s )  G ( s )  s , s
dt
m>n
ne može se fizički realizovati !
 G ( s) 
s
realni diferencijator n = m
Ts  1
Integrator
t
1
1
y (t )   u (t )dt  Y ( s )  U ( s )  G ( s )  , Re s  0
s
s

ULOGA PRENOSNE FUNKCIJE U ODREĐIVANJU ODZIVA
SISTEMA
1. Odredi se Laplasov lik ulaznog signala
U  s   L u (t )
2. Odredi odziv sistema u obliku
Y  s   G  s U  s 
3. Naći inverznu Laplasovu transformaciju
y (t )  L1 Y ( s )  L1 G ( s )U ( s )
Primer. Dat je sistema svojom funkcijom prenosa:
G (s) 
s5
 s  2  s
2
 s  1
.
a) Odrediti impulsni odziv sistema.
b) Vrednost ovog odziva kad t   .
y  0   1?
c) Koliki je odziv sistema usled početnih uslova y  0   y  0   0 , 
Rešenje. 1.a) Polovi i nule: z1  5 , p1  2 , p2,3  0.5  j 3 / 2
s5
A
Bs  C
G (s) 

 2
2
 s  2   s  s  1  s  2   s  s  1


s5
3

A   s  2 
 1
2
 s  2   s  s  1  s 2 3

1
Bs  C
s 2  s  1  ( s  2)( Bs  C )
G (s) 
 2

2
 s  2   s  s  1
s

2
s

   s  1
s 2  s  1  ( s  2)( Bs  C )  s  5
(1  B) s 2  (1  2 B  C ) s  1  2C  s  5
1  B  0 , 1  2C  5
s
Bs  C
2

 s  1

 s  1 / 2
B  1, C  2
s2
 s  1 / 2
s 1/ 2
2



3/2

2
2


3/2

2
s  1 / 2  5 / 2


2
2
 s  1 / 2   3 / 2
5 2
3/2

2 3  s  1 / 2 2  3 / 2


2
1
1

 t

3
5 2t
3 
1
2 t
2
g (t )  L G ( s)  e  e cos
t
e sin
t  h(t )
2
2 
3

1.b)
1
1
 2t
 t
 t
3
5
3 
2
2
lim g (t )  lim e  e cos
t
e sin
t  h(t )  0
t 
t 
2
2 
3

1.c)
Y (s)
G (s) 
R( s)
 
y  3 
y  3 y  2 y  r  5r
 s 3Y  s 2 y (0)  sy (0)  
y (0)   3  s 2Y  sy (0)  y (0) 
 3 sY  y (0)   2YRs  5 R
3
2
s

3
s
 3s  2  Y  1   s  5  R

s5
1
Y 3
R 3
2
s  3s  3s  2
s  3s 2  3s  2
1
1
YPU ( s )  3

2
2
s  3s  3s  2

 s  2   s  1 / 2  

yPU (t ) 
1
 2  1 / 2

2


3/2

 2  1 / 2
2



2 t
e
2
1
3
2

3/2 

3/2

2
e
 3

1 2t 2  12 t
yPU (t )  e  e sin 
t  
3
3
 2

3/2
3
    arctg
 arctg
 30
2 1 / 2
3
1
 t
2
 3

t  
sin 
 2

2
Primer. Dat je sistem svojom funkcijom prenosa:
8s 2  18s  32
G (s)  3
s  6 s 2  14 s  24
Odrediti odskočni i impulsni odziv sistema, kao i odziv na periodičnu povorku
pravougaonih impulsa
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
Step Response
1.8
close all
clear all
clc
% Definicija funkcije prenosa
H = tf([8 18 32],[1 6 14 24]);
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
%Grafici
figure
step(H) % odskocni odziv
figure
impulse(H)
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
Time (seconds)
Impulse Response
8
% impulsni odziv
7
6
5
%
Amplitude
[u,t] =
gensig('square',20,40,0.1);
generisanje kvadratne pobude
figure
lsim(H,u,t) % odziv na
proizvoljnu pobudu
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
Time (seconds)
3
4
Linear Simulation Results
2
Amplitude
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
Time (seconds)
30
35
40
POVEZIVANJE SISTEMA
ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE BLOKOVA
1. Paralelna veza dva sistema
Y ( S )  G1 ( s ) U
(
s
)

G
(
s
)
U
(
s
)

G
(
s
)

G
(
s
)
U
(
s
)


2
1
2

 

U1
U1
G(s)
 
Y1
Y2
2. Redna veza dva sistema


Y ( S )  G2 ( s ) G1 ( s ) U
( s )   G1 ( s )G2 ( s ) U ( s )




U1 
G(s)



U2



Y Y2
3. Povratna sprega
E ( s )  R( s )  H ( s )Y ( s )
Y ( S )  G ( s ) E ( s )  G ( s ) R( s )  G ( s ) H ( s )Y ( s )
Y ( S ) 1  G ( s ) H ( s )   G ( s ) R ( s )
G ( s)
Y (s) 
R( s)
1  G ( s) H ( s)



G(s)
Funkcija spregnutog prenosa
G(s)
WS ( s ) 
1  G(s) H (s)
Funkcija povratnog prenosa
W  s   G (s) H (s)
Primer. Odrediti funkciju prenosa sistema sa slike:
a) primenom algebre blok dijagrama,
b) analitički
c) primenom MATLAB programa
G1 ( s )  5
10 s  1
1
, G2 ( s ) 
,
s 1
s 1
1
1
,
G3  , G4 ( s ) 
s
s ^ 2  s 1
H1 ( s ) 
1
2
, H 2 (s) 
,
s 1
s2
1
H 3 (s) 
s 1
Rešenje. a) Čvor između blokova G3 i G4 može se premestiti iza bloka G4
Funkcija prenosa sistema iznosi
G1G2G3G4
Y (s)
G (s) 

U ( s ) 1  G3G4 H1  G2G3 H 2  G1G2G3G4 H 3
b) Analitički
 

Y 
Y ( s )  G4G3  G2  G1 U  H 3Y   H 2
  H1Y 
G4 
 

Y
 G1G2G3G4 U  H 3Y   G2G3 G4 H 2
 G3G4 H1Y
G4
 G1G2G3G4U  G1G2G3G4 H 3Y  G2G3 H 2Y  G3G4 H1Y
Y ( s ) 1  G3G4 H1  G2G3 H 2  G1G2G3G4 H 3   G1G2G3G4U
G1G2G3G4
Y (s)
G (s) 

U ( s ) 1  G3G4 H1  G2G3 H 2  G1G2G3G4 H 3
c) Pomoću MATLABa
s=tf('s');
G1=5*(10*s+1)/(s+1);
G2=1/(s+1);
G3=1/s; G4=1/(s^2+s+1);
H1=1/(s+1); H2=2/(s+2); H3=1/(s+1);
% Izracunavanje Ge za date vrednosti funkcija prnosa koristeci izraz
dobijen pod a) ili b)
Ge1=G1*G2*G3*G4/(1-G3*G4*H1+G2*G3*H2+G1*G2*G3*G4*H3);
Ge1=minreal(Ge1)
% redukcija modela
% MATLAB I nacin (APPEND+CONNECT)
% -----------------------G5=1; % Jedinicna funkcija prenosa za ulaz
% Redni brojevi podsistema
%
1
2
3
4
5
6
7
8
G = append (G1, G2, G3, G4, H1, H2, H3, G5);
% Definisanje matrice veza
Q =[1 8 -7
2 1 -6
3 2 5
4 3 0
5 4 0
6 3 0
7 4 0];
% Definisanje ulaza i izlaza
Ulaz = 8;
Izlaz = 4;
% Povezivanje podsistema
Ge2 = connect (G, Q, Ulaz, Izlaz);
Ge2=minreal(Ge2)
% redukcija modela
% MATLAB II nacin (CONNECT)
% -------------------------G1.u = 'e1'; G1.y = 'x1';
G2.u = 'e2'; G2.y = 'x2';
G3.u = 'e3'; G3.y = 'x3';
G4.u = 'x3'; G4.y = 'x4';
H1.u = 'x4'; H1.y = 'x5';
H2.u = 'x3'; H2.y = 'x6';
H3.u = 'x4'; H3.y = 'x7';
Sum1 = sumblk('e1 = r - x7');
Sum2 = sumblk('e2 = x1 - x6');
Sum3 = sumblk('e3 = x2 + x5');
Ge3 = connect(G1,G2,G3,G4,H1,H2,H3,Sum1,Sum2,Sum3,'r','x4');
Ge3=minreal(Ge3)
% redukcija modela
Rezultat.
Ge1 = 50 s^3 + 155 s^2 + 115 s + 10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^7 + 6 s^6 + 15 s^5 + 23 s^4 + 23 s^3 + 63 s^2 + 108 s + 10 Ge2 = 50 s^3 + 155 s^2 + 115 s + 10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^7 + 6 s^6 + 15 s^5 + 23 s^4 + 23 s^3 + 63 s^2 + 108 s + 10 Ge3 = From input "r" to output "x4": 50 s^3 + 155 s^2 + 115 s + 10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^7 + 6 s^6 + 15 s^5 + 23 s^4 + 23 s^3 + 63 s^2 + 108 s + 10 FUNKCIJA PRENOSA MULTIVARIJABILNIH SISTEMA
Posmatra se linearan, stacionaran sistem sa r ulaza i m izlaza, prikazan na
slici
y1
u1
G(s)
ur
ym
Sistem je linearan  teorema superpozicije
Yi ( s )  Gi1 ( s )U1 ( s )  Gi 2 ( s )U 2 ( s )  Gir ( s )U r ( s )
Yi ( s )
Gij ( s ) 
U j (s)
U k 0, k  j
 Y1 ( s )   G11 ( s )  G1r ( s )  U1 ( s ) 
   

   

 


Ym ( s )  Gm1 ( s )  Gmr ( s )  U r ( s ) 
Y ( s )  G ( s )U ( s )
Matrica G  s  - matrica funkcija prenosa multivarijabilnog sistema
dim G  s   r  p
broj vrsta G  s  = broj izlaza sistem ima izlaza
broj kolona G  s  = broj ulaza u sistema
Primer. Odrediti matricu funkcija
prenosa multivarijabilnog sistema
prikazanog na slici pomoću: a) algebre
blok dijagrama, b) analitički i koristeći
MATLAB.
a) Algebra blok dijagrama
Prema definiciji matrica funkcija prenosa će biti u
obliku
 Y1 ( s )  W11 ( s ) W12 ( s )  U1 ( s ) 
Y ( s )   W ( s ) W ( s )  U ( s )  ,
 2   21
 2 
22
Yi ( s )
Wij ( s ) 
U j (s)
U k 0, k  j
10 s  1
G1 ( s )  5
s 1
1
G2 ( s ) 
s 1
1
G3 
s
1
G4 ( s ) 
s ^ 2  s 1
Posmatramo izlaz Y1 ( s )
Y1 ( s )
W11 ( s ) 
U1 ( s )
U 2 0
Y1 ( s )
W12 ( s ) 
U 2 (s)
U1  0
U 2  0  W11
U1  0  W12
Posmatramo izlaz Y1 ( s )
Y2 ( s )
W21 ( s ) 
U1 ( s )
Y2 ( s )
W22 ( s ) 
U 2 (s)
,
U 2 0
U1  0
U 2  0  W21
U1  0  W22
 Y1 
1
Y   1  G G G G
 2
1 2 3 4
G1 ( s )
G1 ( s )G3 ( s )G4 ( s )  U1 ( s ) 

 G ( s )G ( s )G ( s )
 U ( s ) 
G
(
s
)
2
4
4
 1
 2 
b) Analitički
Y1  G1 U1  G3Y2  , Y2  G4 U 2  G2Y1 
Y1  G1 U1  G3G4 U 2  G2Y1  
Y2  G4 U 2  G2G1 U1  G3Y2  
Y1  G1U1  G1G3G4U 2  G1G2G3G4Y1
Y2  G4U 2  G1G2G4U1  G1G2G3G4Y2
Y1 1  G1G2G3G4   G1U1  G1G3G4U 2
Y2 1  G1G2G3G4   G4U 2  G1G2G4U1
G1G3G4
G1
Y1 
U1 
U 2  W11U1  W12U 2
1  G1G2G3G4
1  G1G2G3G4
G1G2G4
G4
Y2 
U1 
U 2  W21U1  W22U 2
1  G1G2G3G4
1  G1G2G3G4
c) Primena MATLABa
clc
clear all
s=tf('s');
G1=5*(10*s+1)/(s+1);
G2=1/(s+1);
G3=1/s;
G4=1/(s^2+s+1);
% I nacin: Izracunavanje Ge na osnovu algebre blok dijagrama
D=(1-G1*G2*G3*G4);
W11=G1/D;
W12=-G1*G3*G4/D;
W21=-G1*G2*G4/D;
W22=G4/D;
W=[W11 W12; W21 W22];
W=minreal(W)
% MATLAB povezivanje
% ----------------------------G1.u = 'e1'; G1.y = 'x1';
G2.u = 'x1'; G2.y = 'x2';
G3.u = 'x4'; G3.y = 'x3';
G4.u = 'e2'; G4.y = 'x4';
Sum1 = sumblk('e1=u1-x3');
Sum2 = sumblk('e2=u2-x2');
G = connect(G1,G2,G3,G4,Sum1,Sum2,{'u1', 'u2'},{'x1', 'x2'})
Rezultat.
W = From input 1 to output... 50 s^5 + 105 s^4 + 110 s^3 + 60 s^2 + 5 s 1: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 ‐50 s^2 ‐ 5 s 2: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 From input 2 to output... ‐50 s^2 ‐ 55 s ‐ 5 1: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 s^3 + 2 s^2 + s 2: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 G = From input "u1" to output... 50 s^5 + 105 s^4 + 110 s^3 + 60 s^2 + 5 s x1: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 50 s^4 + 55 s^3 + 55 s^2 + 5 s x2: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 From input "u2" to output... ‐50 s^2 ‐ 55 s ‐ 5 x1: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 ‐50 s ‐ 5 x2: ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 3 s^2 ‐ 49 s ‐ 5 FUNKCIJE PRENOSA SISTEMA SA KAŠNJENJEM
Linearni kontinualni stacionarni sistemi sa kašnjenjem po ulaznoj promenljivoj
u (t  )
d n y (t )
d n-1 y (t )
dy (t )
 an-1
   a1
 a0 y (t ) 
n
n-1
dt
dt
dt
d mu (t  )
d m-1u (t  )
 bm
 bm-1
   b0u (t  )
m
dt
dt
bm s m  bm1s m1    b1s  b0  s
G s  n
e
n 1
s  an1s    a1s  a0
 G0 ( s )e  s
Primer. Prenos materijala trakastim transporterom
qi (t )  qu (t  ) ,
Qi ( s )
 G ( s )  e s
Qu ( s )

L
- transportno kašnjenje
v
T (t )
Primer. Kotao za centralno grejanje
T ( s )  G ( s )e  s
u (t )
Qg
T (t ) (OC), u (t ) (mm)
90
80
T (t )

u(t), T(t)
70
60
50
40
30
20
0
50
100
150
Vreme
(min)
Vreme
(seconds)
200
Qv
ANALIZA FUNKCIJE PRENOSA SISTEMA SA KAŠNJENJEM
Funkcija prenosa linearnog stacionarnog sistema sa vremenskim kašnjenjem
nije racionalna funkcija kompleksne promenljive s zbog eksponencijalnog
člana:
G ( s )  G0 ( s ) e s
Eksponencijalni član se može predstaviti na sledeći način:
G( s)  e
s
1
 s 
e
1
1


1
k
A ( s )
 s 

k 0 k !
Polinom A ( s ) je polinom beskonačnog reda.
Zaključak. Sistemi sa kašnjenjem imaju beskonačni red.
Aproksimacije eksponencijalnog člana
e
e
s
s
1
 s 
e

e

e
s
2
s
2
1
1


n
n
An ( s )
 s 
 s 
lim 1  
1  
n
n
n


s 

1  
 2n 
1
n
Bn ( s )


n
An ( s )
s 

1  
 2n 
Pade-ova aproksimacija kašnjenja
e s 
e

e
s
2
s
2
1

 
n
n
 s 
 
Bn ( s )
n!  2 


2
n
An ( s )
1  s 
s 1  s 
1       
2 2!  2 
n!  2 
1
s 1  s 
  
2 2!  2 
2
ZAVISNOST ODZIVA SISTEMA OD RASPOREDA POLOVA I
NULA FUNKCIJE PRENOSA
ODZIV SISTEMA DRUGOG REDA
BEZ KONAČNIH NULA
Funkcija prenosa sistema II reda:
jn 1   2
p1 X
n
2n
G( s)  2
s  2n s  2n
 0
 0

Polovi funkcije prenosa:
p1,2  n   jn 1  
j
2
n


0

Nule funkcije prenosa:
ne postoje
p2 X
 jn 1   2
Odskočni odziv ovog sistema sa konjugovano kompleksnim polovima:
2



1


n
s (t )  L -1 W ( s )   L -1 

2
2 
s

 s  s  2n s  n  
 A0

A1s  A2
L   2
,
2 
 s s  2n s  n 
-1
A0  1, A1  1, A2  2n


nt
2
s (t )  1  e
cos n 1   
e nt sin n 1   2
1  2



e nt
2
 1 
sin n 1      h(t ), cos   
2
1 









 h(t )

s(t)
Odskočni odziv sistema drugog reda
nt
e


12
100% ,
preskok sistema
UTICAJ RASPOREDA POLOVA SISTEMA NA NJEGOV ODSKOČNI ODZIV
Oscilacije sa opadajućim
amplitudama
X
X
X
X
Oscilacije sa
konstantnim
amplitudama
j
X
Oscilacije sa
rastućim
amplitudama
2  1
X
1
X
X

X
Aperiodični
opadajući
odziv
X
X
X
0
Aperiodični
rastući
odziv
konstantan
odziv
ODZIV SISTEMI DRUGOG REDA SA JEDNOM KONAČNOM NULOM
Sistem sa dva pola ima i jednu nulu u tački –z:
2n
sz
Gz ( s ) 
z s 2  2n s  2n
2n
2n
2n
sz
s
Gz ( s ) 
 2
 2
2
2
2
z s  2n s  n s  2n s  n z s  2n s  2n
s
 G ( s)  G ( s)
z
1 s
1
 1
1 
sz (t )  L Gz   L G ( s )  G ( s ) 
s z
s
 s

1 d
 s (t ) 
s (t )
z dt
1
1d
s(t )
sz (t )  s (t ) 
z dt
d
:
1. Uticaj izvoda
dt
d
Uticaj nule je zanemarljiv u stacionarnom stanju jer je
s (t )  0 .
dt
Nula utiče samo na prelazni režim tako što:
 smanjuje vreme uspona (ubrzava sistem)
 povećava preskok.
2. Uticaj nule z :
Uticaj nule biva sve manji ukoliko je se ona udaljava od imaginarne ose.
Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi tri različita sistema, bez
nule i sa konačnim nulama z  1, z  5 .
4
W (s)  2
,
s  2s  4
W ( s) 
4  s  1
s  2s  4
2
, W ( s) 
0.8  s  5 
s 2  2s  4
Odskočni odziv sistema
Dodatna nula:
Sa nulom
Sa nulom
z  1
1. ubrzava odziv
sistema
2. povećava
preskok
z  5
-5
Bez nule
vreme
-1
SISTEM NEMINIMALNE FAZE
Sistem koji ima nulu u desnoj poluravni s-ravni.
PODBAČAJ u odskočnom odzivu.
Primer. Na slici su prikazani
odskočni odzivi sistema funkcije
prenosa:
G( s) 
4  s  1
s 2  2s  4
i sistem neminimalne faze funkcije
prenosa:
G( s) 
Odskočni odziv sistema
Sistem neminimalne faze
4 1  s 
s 2  2s  4
vreme
SISTEMI TREĆEG REDA SA DVA KONJUGOVANO
KOMPLEKSNA I JEDNIM REALNIM POLOM
4
Primer. Posmatrajmo sistem 2. reda G1 ( s )  2
, i sistem 3. reda
s  2s  4
4p
sa dva kompleksna i jednim realnim polom G2 ( s ) 
.
2
( s  p)  s  2s  4 
Odskočni odzivi sistema:
1
4
1
s  2
S1 ( s )  G1 ( s ) 
  2
2
s s ( s  2 s  4) s
s  2s  4
1
4p
1
As  B
C
  2

S 2 ( s )  G2 ( s ) 
2
s ( s  p) s  s  2s  4  s
s  2s  4
s p
 p2  2 p
2 p 2
4
A 2
, B 2
, C 2
p 2p  4
p 2p  4
p 2p  4
p
 p2  2 p
A 2
p 2p  4
2 p 2
B 2
p 2p  4
4
C 2
p 2p  4
 1
p 
 2
p 
0
p 
1
s  2
0

 S1 ( s )  0  S1 ( s )
S2 ( s)   2
s s  2s  4 s  p
Za velike vrednosti realnog pola, njegov uticaj na odskočni odziv
sistema se može zanemariti.
Primer.
4
G1 ( s )  2
s  2s  4
4p
,
G2 ( s ) 
2
( s  p)  s  2s  4 
p  1,  5
Odskočni odziv sistema
Dodatni pol:
1. usporava odziv
sistema,
2. smanjuje
vrednost
preskoka.
Sa dodatnim polom -1
Sa dodatnim polom -5
Bez dodatnog pola
-5
vreme
-1
POLOVI I NULE ČIJI SE UTICAJ NA PRELAZNI PROCES MOŽE
ZANEMARITI
Dominantni polovi - par konjugovano kompleksnih polova koji su najbliži
imaginarnoj osi u s-ravni.
Polovi koji se mogu zanemariti – polovi sa velikom realnim negativnim
delom čiji je moduo bar 6 puta veći od modula dominantnih polova.
j
Polovi koji se
mogu zanemariti
x
x
x
x
x
6r
x
x
x
r
x
x
Dominantni
polovi

Dipol - Pol i nula jednakih vrednosti.
Uticaj dipola na odziv je neznatan ukoliko se oni nalaze u levoj poluravni sravni.
Dipoli u funkciji prenosa se mogu „skratiti“.
Polovi i nule sa približno jednakim vrednostima mogu se aproksimativno
smatrati dipolom.
j
Potpuno skraćivanje
pola i nule
X
X
X
Približno skraćivanje
pola i nule
X
X

X
Primer.
G1 ( s ) 
4

,
s
1,2  1  j 3
2
 s  2s  4 
 s  4
18
G2 ( s ) 
4  s  4.5   s 2  2 s  4 


18  4
4  4.5  s  2 s  4 
Približno
skraćivanje pola
2
s
4
2
 2s  4 

s1,2
 1  j 3 ,
 G1 ( s )
s3  4.5 ,
z1  4
o
*
5 4

*
1
*
j 3

j 3
2
s
  4s  10 
38
38 10

G3 ( s ) 
10  s 2  4 s  9.5   s 2  2 s  4  10  9.5  s 2  2 s  4 

s
4
2
 2s  4 
 G1 ( s )
Odskočni odziv sistema za G1, G2 i G3
vreme
Napomena. Skraćivanje pola i nule može se izvesti samo ukoliko su
prethodno ispunjeni sledeći uslovi:
1. Skraćeni pol mora biti lociran u levoj poluravni.
2. Za određivanje odziva usled početnih uslova treba koristiti
„neskraćenu“ funkciju prenosa iz koje se može rekonstruisati
diferencijalna jednačina.
3. Za određivanje odziva usled usled pobude sasvim svejedno da
li je izvršeno skraćivanje pola i nule u funkciji prenosa.
PREDNOSTI I OGRANIČENJA FUNKCIJE PRENOSA KAO MODELA
SISTEMA
Prednosti:
1. Ne zavisi od oblika ulaznog signala.
2. U potpunosti opisuje U/I transformacije linearnih stacionarnih sistema.
3. Operacije nad funkcijama prenosa jednog složenog sistema su relativno
jednostavne.
4. Iz funkcije prenosa mogu se dobiti tzv. frekventni modeli sistema.
Ograničenja:
1. Definiše se samo za linearne stacionarne sisteme.
2. Daje U/I zavisnost i ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi i
ponašanju sistema.
3. Funkcija prenosa ne uzima u obzir početne uslove sistema.
Download

ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU