Obrada signala 1
2013-2014
2013
2014
25.09.2013.
Opšte napomene
• Predavači
– Prof. Dragana
g
Šumarac Pavlović,,
[email protected], soba 17
– Doc.
Doc Jelena Ćertić
Ćertić, [email protected],
[email protected] bg ac rs soba 68
• Saradnik
– Draško Mašović, [email protected], soba 17
• Sajt
– http://telekomunikacije.etf.rs/lab54/os1/
Opšte napomene
• Predavanja i vežbe, sreda 16:00 – 20:00, sala
(povremeno će časovi biti organizovani
g
u
310 (p
RC-u, o čemu će studenti biti na vreme
obavešteni)
• Laboratorijske vežbe, ukupno 4, sala 69
• Domaći zadaci
Formiranje ocene
• Laboratorijske
b
ij k vežbe,
žb 20%
% ((radi
di se test na
kraju svake vežbe koji nosi 5 %) – nema
“praga”
• Kolokvijum
j
iz MATLAB-a,, 20% (samostalno
(
se
radi jedan zadatak, organizuje se u decembru)
– nema praga
p g
• Ispit, 60%, (4 zadatka, po 2 iz svakog dela
gradiva) - potrebno je “položiti”
položiti bar jedan
zadatak iz svakog dela gradiva
“Bonus”
Bonus poeni
• Na časovima predavanja i vežbi se povremeno
j zadaci kojima
j
se mogu
g osvojiti
j “bonus”
daju
poeni, ukupno 10 u toku semestra
• Na lab.
lab vežbama se daju zadaci kojima se
mogu osvojiti “bonus” poeni, ukupno 4 u toku
semestra
• U januarskom i februarskom ispitnom roku
postoje “bonus” poeni na samom ispitu
Obrada signala i IEEE
Obrada signala i IEEE
Obrada signala i IEEE
Telekomunikacije i IEEE
Osnovni pojmovi
Kontinualni signali
• Signal je neprekidna
funkcija vremena, x(t)
• Kružna frekvencija Ω (rad/s)
Diskretni signali
• Signal je definisan samo za
diskretne vrednosti
nezavisne promenljive
vremena,x(nΔT), ili x(n)
• Ako je signal kvantizovan i
po amplitudi, naziva se
digitalni signal
• K
Kružna
ž frekvencija
f k
ij ω (rad)
( d) ili
(rad/odbirak)
Odabiranje
• Proces kojim se od kontinualnog signala dobija
predstavljaju
j j diskretan signal
g
niz odbiraka kojij p
xc (t ) → xd (nΔT )
xc (t ) = cos(Ωt )
xd (nΔT ) = cos(ΩnΔT ) = cos(n(ΩΔT ))
Ω
ω = ΩΔT =
fs
ω je kružna
frekvencija
diskretnog signala
-π≤ω≤π
Ω je kružna
frekvencija
kontinualnog signala
0≤Ω≤∞
Odabiranje
Različiti
kontinualni signali
1
f1=100,fs1=1000
0.5
f2=200,ffs2=2000
0
-0.5
-1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
1
Jednaki diskretni
signali
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
n
60
70
80
90
100
Odabiranje
1
Različiti
kontinualni signali
f1=100,fs1=1000
0.5
f2=900,fs2=1000
0
-0.5
-1
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
t
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
1
Jednaki diskretni
signali
0.5
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
10
n
12
14
16
18
20
Diskretni signali
• Diskretni signali mogu biti konačne ili
beskonačne dužine
{x(n )},
N1 ≤ n ≤ N 2
• M
Matrična
ič fforma ((vektor-kolona),
k
k l
) za signale
i l
konačne dužine
x N = [x0
x1  x N ]T
Elementarni signali
•
•
•
•
Jedinični impuls
Jedinični odskočni niz
Kosinusni i sinusni nizovi
Kompleksni ekponencijalni niz
Jedinični impuls (primer 1)
%% primer 1 - jedinični impuls duzine 10
clear all, close all
N=10;
% definisanje duzine niza
n=(0:N-1)';
% vremenska osa kod diskretnih nizova
x=zeros(size(n));
( i ( ))
%d
definisanje
fi i j niza
i kkojiji iima sve nule
l
x(1)=1;
% def. dirakovog impulsa u nuli
stem(n,x);
% naredba za crtanje diskretnih nizova
1
0.9
0.8
0.7
1, n = 0
δ (n ) = 
0, n ≠ 0
0.6
0.5
0.4
03
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pomeren jedinični impuls
(zakašnjen za n0) (primeri 2 i 3)
1
0.9
08
0.8
0.7
1, n = n0
δ (n − n0 ) = 
0, n ≠ n0
0.6
0.5
0.4
0.3
n0=4
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pomeren jedinični impuls
(zakašnjen za n0) (primeri 2 i 3)
%% primer 2 - pomeren jedinični impuls x(n-4)
clear all, close all
N=10;
M=4;
% kasnjenje niza
n=(0:N-1)';
x=zeros(size(n));
x(M+1)=1;
% definisanje pozicije dirakovog impulsa
stem(n,x);
%% primer 3 - pomeren jedinični impuls, drugi način
clear
l
all,
ll close
l
allll
N=10;
M=-4;
n=(-N:N-1)';
( N N 1)'
x=n==M;
% x ima vrednost 1 samo kada je n=M a za sve ostale vrednosti je 0
stem(n,x);
Jedinični impuls
• Jedinični impuls ima osobinu selektivnosti pa
pomoću pomerenog
p
g jjediničnogg impulsa
p
se, p
može predstaviti bilo koji niz u formi:
x(n ) =
∞
 x(k )δ (n − k )
k = −∞
Jedinični odskočni niz (primeri 4 i 5)
1, n ≥ 0
u (n ) = 
0, n < 0
u (n ) =
u (n ) =
n
 δ (k )
k = −∞
∞
 δ (n − k )
k =0
=0
1
0.9
0.8
07
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-8
%% p
primer 4 - odskočni jjedinični niz
clear all, close all
N=10;
n=(-N:N-1)';
x=n>=0;
% niz x ima vrednosti 1 za n > ili = 0
stem(n,x);
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Kosinusni i sinusni signali
• Diskretni kosinusni i sinusni signali ne moraju
p
biti periodični
• Periodičnost sa periodom N x(n) = x(n + N )
• Uslov
U l periodičnosti
i dič
i kkosinusnog
i
signala
i l
2kπ
cos(ω0 n ) = cos(ω0 (n + N )) = cos(ω 0 n + ω0 N )  ω0 =
N
Kosinusni i sinusni signali
• Primer
i
6 – kolika
k lik je
j perioda
i d diskretnih
di k
ih signala
i l
x1 i x2?
• Primer 7 – ako bi se posmatrali diskretni nizovi
beskonačne dužine sa zadatim kružnim
frekvencijama bili bi zadovoljeni uslovi
periodičnosti (odrediti
p
(
p
periode),
), ako se
posmatraju nizovi konačne dužine N=10, niz x1
je dobar “model”
model periodičnog signala a niz x2
nije dobar “model” periodičnog signala
Kosinusni i sinusni signali
• Primer 8 – niz x2 nije periodičan, kolika je
perioda niza x1?
p
Kompleksni eksponencijani niz
(primer 9)
x(n ) = e jωn = cos(ωn ) + j sin (ωn )
Za kompleksan eksponenicjalni niz važe isti
k i ij i periodičnosti
kriterijumi
i dič
i kao
k i za sinusne
i
i
kosinusne nizove.
Diskretni sistemi
• Predstavlja postupka preslikavanja jedan
g u drugi,
g ulazno izlazna relacija
j
diskretna signal
označava se kao:
y (n ) = Φ{x(n )}
Diskretni sistemi - osobine
•
•
•
•
Linearnost
Vremenska invarijantnost
Stabilnost
Kauzalnost
Linearnost
y1 (n ) = Φ{x1 (n )}
y 2 (n ) = Φ{x2 (n )}
Φ{a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )} = a1 y1 (n ) + a 2 y 2 (n )
Linearnost zadovoljena (primer 10)
y (n ) = Φ{x(n )} =
1
[x(n ) + x(n − 1)]
2
clear all, close all
x1=(1:10)';
40
x2=randn(10,1);
x2
randn(10,1);
a1=2;
20
a2=5;
0
0
x=a1*x1+a2*x2;;
y1(1)=0;
40
y2(1)=0;
20
y3(1)=0;
0
for br=2:10
0
y1(br)=(x1(br)+x1(br-1))/2;
x 10
2
y2(br)=(x2(br)+x2(br-1))/2;
0
y(br)=(x(br)+x(br-1))/2;
end;
-2
0
figure,subplot(3,1,1),stem(0:9,a1*y1+a2*y2),
subplot(3,1,2),stem(0:9,y),
b l (
)
(
)
subplot(3,1,3),stem(0:9,a1*y1+a2*y2-y);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-15
Numerička
greška
Linearnost nije zadovoljena (primer
11)
y (n ) = Φ{x(n )} = x 2 (n )
400
%% primer - nelinearnost
200
clear all, close all
x1=(1:10)';;
x1=(1:10)
0
0
x2=randn(10,1);
1000
a1=3;
a2=2;
500
x=a1*x1+a2*x2;
0
0
y1=x1.^2;
500
y2=x2.^2;
y2
x2. 2;
0
y=x.^2;
figure,subplot(3,1,1),stem(0:9,a1*y1+a2*y2),-500
-1000
subplot(3,1,2),stem(0:9,y),
p ( , , ),
( ,y),
0
subplot(3,1,3),stem(0:9,a1*y1+a2*y2-y);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Razlika !!!
Vremenska invarijantnost
Φ{x(n )} = y (n )
Φ{x(n − n0 )} = y (n − n0 )
Vremenska invarijantnost –
zadovoljena (primer 12)
Φ{x(n )} = x 2 (n )
15
10
5
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
300
200
%% primer - vremenska invarijantnost
100
clear all,
all close all
0
x=(1:20)';
5
n=(5:15)';
150
n0=3;
n0
3;
100
y=x.^2;
50
yp=x(n-n0).^2;
0
figure,subplot(3,1,1),stem(n,[x(n)
g , p ( , , ),
( ,[ ( ) x(n-n0)]),
(
)]), 5
subplot(3,1,2),stem(n,[y(n) yp]);
subplot(3,1,3),stem(n,[y(n-n0) yp]);
X= 8
Y= 25
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Vremenska invarijantnost – nije
zadovoljena (primer 13)
Φ{x(n )} = x(2n )
15
10
5
0
10
30
%% p
primer - vremenska invarijantnost
j
20
clear all, close all
10
x=(1:40)';
n=(10:15)';
0
10
n0=3;
30
for br=3:15
20
y(br,1)=x(2*br);
10
yp(br,1)=x(2*br-n0);
0
10
end;
figure,subplot(3,1,1),stem(n,[x(n) x(n-n0)]),
subplot(3,1,2),stem(n,[y(n)
b l (3 1 2)
( [ ( ) yp(n)]);
( )])
subplot(3,1,3),stem(n,[y(n-n0) yp(n)]);
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
10 5
10.5
11
11 5
11.5
12
12 5
12.5
13
13 5
13.5
14
14 5
14.5
15
13
13.5
14
14.5
15
X= 12
Y= 21
10.5
11
11.5
12
12.5
Stabilnost
Sistem je stabilan ako i samo ako ograničen
ulazni niz daje na izlazu ograničen izlazni
niz.
Kauzalnost
Sistem
Si
t
je
j kauzalan
k
l ako
k signal
i
l na izlazu
il
za
n=n0 zavisi samo od onih vrednosti
ulaznog signala za koje je n≤n0.
Linearni vremenski invarijantni sistemi
LTI
• Primer
i
14 - odziv
d i LTI sistema
i
na zadatu
d
pobudu može da se odredi kao konvolucija
pobude i impulsnog odziva
• Primer 15 – odziv sistema kojij nije
j linearan NE
može da se odredi kao konvolucija pobude i
p
g odziva
impulsnog
• Primer 15a – odziv modifikovanog sistema iz
primera 15 (promenjen tako da je LTI) može da
se odredi preko konvolucije
Linearni vremenski invarijantni sistemi
LTI
• Primer 16 – odziv sistema koji nije vremenski
j
NE može da se odredi kao
invarijantan
konvolucija pobude i impulsnog odziva
• Primer 16a – odziv modifikovanog sistema iz
primera 16 (promenjen tako da je LTI) može da
se odredi preko
k konvolucije
k
l
Download

Obrada signala 1