Příklady k přednášce
3 - Póly, nuly a odezvy
Michael Šebek
Automatické řízení 2015
3-3-15
Nuly přenosu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro přenos G ( s ) =
( s + 1) ( s + 2) s pólem s = −2 a nulou z = −1
porovnejme odezvy
• Systém v klidu a vstupní signál u (t ) =×
2 1(t ) → u ( s ) =
2 s
s +1 2
1
1
=
+
y=
(t ) e −2t + 1(t )
s+2 s s+2 s
odezva má obvyklou přirozenou a nucenou složku
Systém v klidu a vstupní signál
u (t ) =e − zt =e − t → u ( s ) =1 ( s + 1)
y=
(s)
•
1
s +1 1
=
y(s) =
s + 2 s +1 s + 2
y (t ) = e −2t
nucená složka chybí a tedy vstupní frekvence je blokována
• Stejný vstupní signál a ještě u (0− ) = 0, y (0− ) = −1
=
y(s)
s +1
1
s +1 1
1
u (s) +
=
y (0−)
=
−
0
s+2
s+2
s + 2 s +1 s + 2
výstup je nulový při nenulovém vstupu
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
2
Příklad: Blokování vstupu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Blokování sinusovky
Nepřesné krácení
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
3
Systém 1. řádu: časová konst. a doba náběhu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
a
1
Klasické specifikace
G
=
( s) =
Časová konstanta (time constant) = převrácená
s + a 1 + Ts
hodnota záporně vzatého reálného pólu
• systém se ustálí se za 3-4 T
1 e −3T T =−
1 e −3 =
0.9502
h(T ) =−
− 4T T
−4
=−
1 e
1 e =
0.9817
h(T ) =−
• za T dosáhne cca 63%
h(T ) =−
1 e −T T =−
1 1e=
0.6321
• Vzorec
T=
2%
1
0.9
1
a
63%
0.5
T = 2.2T T = 4T
Doba náběhu (rise time) = čas mezi y = 0.1 a y = 0.9
0.1
0
• délka přechodového jevu,
3T
0
4T
T
2T
Tr= t2 − t1
• čas, za který se dostane „do blízkosti“
t
t
−2
−2
ustálené hodnoty
T
T
=−
e
→
e
=
−T ln 0.1 ≈ 2.31T
0.9
1
0.1 → t2 =
• Vzorec:
t
t
r
Tr ≈ 2.2T
Michael Šebek
0.1 =−
1 e
−
1
T
→e
Pr-ARI-03-2015
−
1
T
s
=
−T ln 0.9 ≈ 0.11T
0.9 → t1 =
4
5T
Systém 1. řádu - doba ustálení (regulace)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro přenos
−a
a
1
G
=
(s) =
s + a 1 + Ts
je odezva na jednotkový skok
= −1 T
Im
Re
−4 −3 −2 −1
1 − e − at
a
Doba ustálení (regulace) :
je čas, za který se odezva přiblíží ustálené
hodnotě na vzdálenost p , tedy 1 − e − aT =
1− p
Im
Re
s
Z toho
e − aTs = p
Ts =
−aTs =
ln p
A čitatel je
>>
>>
>>
>>
p=0.01;
p=0.02;
p=0.03;
p=0.05;
Michael Šebek
k
k
k
k
=
=
=
=
-log(p)=
-log(p)=
-log(p)=
-log(p)=
4.6052
3.9120
3.5066
2.9957
Pr-ARI-03-2015
T=
s
− ln p
a
4
= 4T
a
5
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu pro 1. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro systém 1. řádu vyjádříme požadavky na časovou odezvu polohou pólu:
• Požadovaná doba náběhu
Tr < τ r ⇔ s1 = −a < −
2.2
τr
s1 = −a < −
Im
• Požadovaná doba ustálení
Ts < τ s ⇔ s1 = −a < −
2.2
τr
Re
k%
τs
s1 = −a < −
k%
τs
Re
• Požadovaná doba
náběhu a ustálení současně
Im
 2.2 k% 
,− 
Ts < τ s ∧ Tr < τ r ⇔ s1 < min −
τs 
 τr
Michael Šebek
Im
Pr-ARI-03-2015
 2.2 k% 
s1 < min −
,− 
τs 
 τr
Re
6
2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
0
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
7
2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Vliv tlumení na časový průběh
ζ =0
ζ =0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
Vliv tlumení a přirozené frekvence netlumeného systému na polohu pólů
ωn = 1, ζ ∈ [ 0, ∞ )
ζ = 0.5
ζ = 0.2
ζ = 0.1 ζ = 0
ζ =0
ζ = 0.8
ζ =1
∞ ←ζ
ζ =1
ζ →∞
ωn = 10
ζ =0
Michael Šebek
ωn = 0
Pr-ARI-03-2015
8
2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• častým požadavkem zákazníka je maximální překmit. Ten si obvykle
převádíme na požadované tlumení a to pomocí vzorečku
− ln(%OS 100)
ζ =
• z obrázku nebo z grafu
2
2
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
0
=0
= 0.1
= 0.2
= 0.3
= 0.4
= 0.5
= 0.6
= 0.7
= 0.8
= 0.9
= 1.0
π + ln (%OS 100)
%OS
= 100 × e −ζπ
Pozor: funkce
je klesající
Tedy
překmit max. x
x=0:.01:1
znamená
plot(x,100*exp(-pi.*x./sqrt(1-x.^2)))
tlumení min. f(x)
%OS
>>
>>
5%
• Vzorec platí pro podtlumený systém.
• Blízko meze aperiodicity a na ní přestává platit
Michael Šebek
1−ζ 2
Pr-ARI-03-2015
ζ
0.7
9
2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Podtlumený systém 2. řádu má póly
s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ
0
2
Tr ≈
ζ ∈ ( 0,1)
1.8
ωn
cos θ = ζ
k%
k% =
k1% 4.6,
=
k2% 4,
• Doba ustálení je =
Ts  =
ζωn σ =
k3% 3.5,
=
k5% 3
takže stejnou
dobu ustálení mají systémy,
se stejnými reálnými částmi pólů
π
π
• Okamžik prvého maxima je=
Tp =
2
ωd
1
ω
ζ
−
n
takže ho mají stejný systémy
se stejnými imaginárními částmi pólů
• Stejné tlumení a tedy stejný překmit mají
systémy s póly ležícími na přímkách θ = arccos ζ
procházejících počátkem pod úhlem cos θ = ζ
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
ζ2
ζ1
Tp2 < Tp1
Ts2 < Ts1
%OS1 < %OS 2
ζ1 > ζ 2
10
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
Pro systém 2. řádu vyjádříme požadavky
na časovou odezvu polohou pólů:
• Požadovaná doba náběhu:
Velmi přibližně
s1,2= ωn >
Tr < τ r ⇔ s1,2 = ωn >
1.8
τr
1.8
Im
τr
Re
Im
• Požadovaná doba ustálení
Ts < τ s ⇔ Re s1,2 = −σ < −
Re s1,2 = −σ
k%
<−
τs
k%
τs
Re
Im
• Okamžik prvního maxima
Tp < τ p ⇔ Im s1,2
Michael Šebek
π
= ωd >
τp
Pr-ARI-03-2015
Im s1,2
= ωd >
π
τp
Re
11
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pro systém 2. řádu vyjádříme požadavky
na časovou odezvu polohou pólů:
• Požadovaný maximální překmit
%OS < pmax ⇔ ζ > ζ min =
s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
− ln ( pmax 100 )
π 2 + ln 2 ( pmax 100 )
Im
θ < arccos ζ min
Re s1,2 σ
⇔
> ζ min ⇔ θ < arccos ζ min
s1,2 ωn
Typické jsou kombinované požadavky, např.
• Požadovaný maximální překmit a současně
• maximální doba ustálení
(Ts < τ s ) ∧ ( %OS < pmax ) ⇔
Im
θ < arccos ζθmin
−

k% 
 Re s1,2 < −  ∧ (θ < arccos ζ min )
τs 

Michael Šebek
Re
Pr-ARI-03-2015
k%
τs
> Re s1,2
Re
12
2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
roste frekvence, ale
obálka zůstává stejná
5
klesá obálka, ale
frekvence zůstává stejná
Im
4
3
2
1
−σ
Re
1
0
Im
ωd
2
5 4 3 2 1
3
Re
4
5
roste frekvence, ale
překývnutí je stejné
4
3
=
ζ 1 1 + ωd2 σ 2
= konst.
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
Im
2
1
Re
13
Podtlumený systém 2. řádu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Skoková odezva podtlumeného systému 2. řádu
ζ <1
( s + ζωn ) +
ζ
ωn 1 − ζ 2
1− ζ 2
k 2 s + k3
ωn2
1 k1
1
=
+
=
−
h( s ) =
2
s 2 + 2ζωn s + ωn2 s s s 2 + 2ζωn s + ωn2 s
( s + ζωn ) + ωn2 (1 − ζ 2 )
s + ζωn )
ωn 1 − ζ 2
(
1
ζ
=
−
−
2
2
s ( s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 )
1 − ζ 2 ( s + ζωn ) + ωn (1 − ζ 2 )
1−
h(t ) =
1
1− ζ
2
(
e −ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + ϕ
)
 ζ

ϕ arccos
ζ , φ arctg 
=
=
2 
ζ
−
1


ζ


2
sin ωn 1 − ζ 2 t 
= 1 − e −ζωnt  cos ωn 1 − ζ t +
1− ζ 2


1−
=
Michael Šebek
ζ
1− ζ
2
(
e −ζωnt cos ωn 1 − ζ 2 t − φ
)
Pr-ARI-03-2013
14
Doba prvního maxima - odvození
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Najdeme čas, kdy je poprvé derivace skokové odezvy = 0
• Derivaci výhodně vypočteme v L-transformaci
ωn
1− ζ 2
ω
n
2
2
1
ζ
−
ω
n
(t )} sh
(s)
=
=
L − {h=
2
s + 2ζωn s + ωn2 ( s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 )
=
h(t )
ωn
1− ζ 2
ζ <1
0 ⇒ ωn 1 − ζ 2 t nπ
e −ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t ≈=
n= 0→t = 0
1 → ωn 1 − ζ 2 t =
n=
π
Tp =
Michael Šebek
π
ωn 1 − ζ 2
Pr-ARI-03-2015
15
Překmit - odvození
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Z definice je
• Přitom
ζ <1
hmax − h(∞)
=
%OS
× 100
h (∞ )
−ζπ
−ζπ
ζ


1−ζ 2
sin π  =
+
1 − e 1−ζ  cos π +
1
hmax =
h(Tp ) =
h(t ) =
e
1− ζ 2


h (∞) = 1
2
• Takže po dosazení
−ζπ
%
=
OS e
1−ζ 2
× 100
• a z toho opačně
ζ =
Michael Šebek
− ln ( %OS 100 )
π 2 + ln 2 ( %OS 100 )
Pr-ARI-03-2015
16
Doba ustálení pro 2. řád - odvození
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Musíme najít čas, kdy skoková odezva dosáhne
pás ±2% kolem ustálené hodnoty a zůstane v něm
• Amplituda (obálka) tlumené sinusovky dosáhne 0.02, když
ζ
1− ζ 2
e
−ζωn t
= 0.02
Ts =
(
− ln 0.02 1 − ζ 2
ζ <1
)
ζωn
• To je velmi konzervativní odhad, neboť předpokládá, že v čase t
(okamžiku dosažení pásma ustálení) bude právě cos (ωn 1 − ζ 2 t − φ ) = 1
• Výpočtem zjistíme, že se při změně
(
)
ζ ∈ [ 0, 0.9] ⇒ − ln 0.02 1 − ζ 2 ∈ [3.91, 4.74]
• Dohodněme se na odhadu
nezávislém na tlumení
Ts =
Michael Šebek
4
ζωn
Pr-ARI-03-2015
17
Doba náběhu pro 2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vztah mezi dobou náběhu a tlumením nelze najít analyticky
• Postupným dosazováním různých hodnot do
ζ <1
ζ


2
sin ωn 1 − ζ 2 t 
h(t ) = 1 − e −ζωnt  cos ωn 1 − ζ t +
1− ζ 2


a „měřením“ Tr dostaneme graf
• Polynomiální aproximací (fce polyfit
v Matlabu) lze dostat třeba vztahy (Nise)
Tr =
1.76ζ 3 − 0.417ζ 2 + 1.039ζ + 1
ωn
ζ = 0.115 (ωnTr ) − 0.883 (ωnTr ) + 2.504 (ωnTr ) − 1.738
3
2
• Někteří (Franklin) požívají velmi přibližný vzorec
1.8
T
≈
r
získaný pro „průměrnou hodnotu“ ζ = 0.5
ωn
(ospravedlněný jen názorem, že se t v závislosti na ζ „moc nemění“)
• Dokonce i definice se liší. Někdo používá dobu 0%-100% pro podtlumené,
5%-95% pro kriticky tlumené and 10%-90% pro přetlumené systémy 2. řádu
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
18
Vliv dalších pólů – Dominantní póly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
bc
A
Bs + C
D
y(s) =
=
+
+
2
s ( s 2 + as + b ) ( s + c ) s s + as + b s + c
−c 2 − ca
−c 2 a + ca 2 − bc
−b
=
=
A 1,=
B 2
,=
C
,
D
c + b − ca
c 2 + b − ca
c 2 + b − ca
lim A = 1,
− c →−∞
lim B =
−1, lim C =
− a,
− c →−∞
− c →−∞
lim D = 0
c↑
− c →−∞
y(s) =
y(s) =
Michael Šebek
1
1
s2 + s + 1 s
Pr-ARI-03-2015
c
1
( s 2 + s + 1) ( s + c ) s
19
Příklad – dominantní póly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Můžeme zanedbat reálný pól v těchto přenosech ?
T1 =
245.42
( s 2 + 4s + 24.542 ) ( s + 10 )
T2 =
T=
24.542
s 2 + 4 s + 24.542
73.626
( s 2 + 4s + 24.542 ) ( s + 3)
T=24.542/(s^2+4*s+24.542)
T1=245.42/(s+10)/(s^2+4*s+24.542)
T2=73.626/(s+3)/(s^2+4*s+24.542)
Tstep=partial(T/s)
[omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]...
=secorder(Tstep(2))
T1step=partial(T1/s)
[omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]...
=secorder(T1step(3))
T2step=partial(T2/s)
[omegan,dzeta,omegad,sigma,A,B,mag,phirad,phideg]...
=secorder(T2step(3))
y (t ) = 1 − 1.09e −2t cos(4.53t − 23.81 )
y1 (t ) =
1 − 1.19e −2t cos(4.53t − 53.34 ) − 0.29e −10t
y2 (t ) = 1 − 0.71e −2t cos(4.53t + 86.63 ) − 1.1e −3t
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
dominantní
póly
20
Příklad: Vliv přidané nuly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
2
( s + 1)( s + 2)
je aperiodický
3s + 2
( s + 1)( s + 2)
• a tedy odezva na skok nemá překmit
2
( s + 1)( s + 2)
2
1
2
1
1
=
−
+
+
ystep ( s ) =
( s + 1)( s + 2) s
s +1 s + 2 s
−2e − t + e −2t + 1
ystep (t ) =
• Přidáme-li nulu
3s + 2
( s + 1)( s + 2)
pak odezva na skok překmit má
ystep ( s ) =
3s + 2
1
1
2
1
=
−
+
( s + 1)( s + 2) s s + 1 s + 2 s
ystep (t ) =
e − t − 2e −2t + 1
Obecně
• I odezva „aperiodického přenosu“ (tj. s reálnými póly)
může mít vlivem nul konečný počet kmitů!
• Nemůže ale kmitat do nekonečna, k tomu je třeba „periodický přenos“,
tj. dvojice komplexně sdružených pólů.
Michael Šebek
Pr-ARI-03-2015
21
Download

Příklady k přednášce 3