3 - Póly, nuly a odezvy
Michael Šebek
Automatické řízení 2015
23-2-15
Póly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Póly přenosu
• jsou kořeny jmenovatele
• pro g ( s ) = b( s ) a( s ) jsou to komplexní čísla si : a ( si ) = 0
• pokud přenos nemá stejnou nulu (na rozdíl od matematiky): g ( si ) = ∞
• Odpovídají módům přirozené odezvy
• Patří mezi póly systému
Póly přenosu ⊆ Póly systému
Póly systému
• kořeny charakteristického polynomu (společného jmenovatele všech přenosů)
det ( sI − A )
• vlastní čísla matice systému ve stavovém popisu λi ( A )
• charakterizují vnitřní dynamiku systému, jeho vnitřní rezonance
• jsou rovny komplexním frekvencím, které je systém schopen
sám generovat (módy odezvy na jeho počáteční stav)
• nezávisí na vstupní matici B ani na výstupní matici C , tedy
nezávisí na umístění aktuátorů a senzorů (v otevřené smyčce)
Michael Šebek
ARI-03-2015
2
Nuly přenosu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nuly přenosu (přenosové nuly) jsou
• kořeny jeho čitatele
• pro
g (s) =
b( s )
a( s)
jsou to komplexní čísla si : b( si ) = 0
Význam pro řízení
• nuly přenosu jsou komplexní frekvence,
pro které je přenos mezi vstupem a výstupem blokován
• mění odezvu a tím komplikují návrh řízení (viz dále)
Michael Šebek
ARI-03-2015
3
Nuly systému
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
a ( s ) det( sI − A)
• jsou nuly přenosu b( s ) a( s ) „před vykrácením“ tj. když =
• přesněji jsou to kořeny polynomu
Schurův doplněk
C adj( sI − A)B + det( sI − A)D =
 sI − A B 
−1
=
det( sI − A) C( sI − A ) B + D  =
det 
D 
 −C
• oproti nulám přenosovým jsou tu navíc
• vstupní nuly
(rovné pólům neřiditelné části), tj.
zi :rank [ zi I − A B ] < n
 zi I − A 
zi :rank 
<n

 C 
• výstupní nuly (rovné pólům
nepozorovatelné části), tj.
Význam pro řízení
• nuly systému charakterizují, jak je systém spojen s okolím
• závisí na B, C, D, tedy na poloze senzorů a aktuátorů
• nestabilní nuly ztěžují řízení, někdy je dokonce nutno soustavu „předělat“
Michael Šebek
ARI-03-2015
4
Póly a nuly v nekonečnu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pól v nekonečnu má neryzí racionální funkce (přenos)
• Tedy, když je stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele
• Např.
s
G ( s )= s=
1
lim G ( s ) = ∞
s →∞
• Takový systém nemůže samostatně
existovat, jen zapojení s jinými - zesiloval by i nekonečné frekvence
Nula v nekonečnu má striktně ryzí racionální funkce (přenos)
• Tedy, pokud je stupeň čitatele ostře menší než stupeň jmenovatele
• Např.
1
G (s) =
s
lim G ( s ) = 0
s →∞
• takové jsou všechny fyzikální systémy, blokují nekonečné frekvence
• Počítáme-li s násobnostmi a nekonečnými nulami a póly, tak má
každý přenos stejný počet nul a pólů
Michael Šebek
ARI-03-2015
5
Systém 1. řádu bez nul
( s)
G
=
a
1
=
s + a 1 + Ts
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Impulzní odezva
(impulzní charakteristika)
1 − Tt
− at
g (t ) ae
e
=
=
T
Skoková odezva
(přechodová charakteristika)
1− e
h(t ) =
g (0+) =−a =−1 T
1− e
=
Doba
náběhu
Tr ≅
0.37a
2.2T
0
T =1 a
Michael Šebek
t
T
Im
Re
2%
1
0.9
2
0.63
0
−
h(0+) = a = 1 T
a
2
− at
−a
Doba
ustálení
Ts = 4T
0.1
0
2T
3T
4T
5T
0
ARI-03-2015
T
2T
3T
4T
5T
6
Systém 2. řádu bez nul (stabilní)
G (s) =
b
s 2 + as + b
a≥0
b>0
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ωn2
ωn2
ωn2
ωn2
G (s) =
=
=
2
2
s + 2ζωn s + ωn ( s + σ − jωd )( s + σ + jωd ) ( s + ζωn ) 2 + ωn2 (1 − ζ 2 ) ( s + σ ) 2 + ωd2
Tradičně označujeme
• přirozenou frekvenci (natural frequency)
oscilací netlumeného systému ωn = b
• frekvenci exponenciálního útlumu
(exponential decay frequency) σ = a 2
obálka 1 ± e−σ t
• poměrný útlum, tlumení (damping ratio)
ζ
=
σ
1 Tn a 2
=
= = cos θ
ωn 2π Tσ ωn
• frekvenci tlumených oscilací (damped
frequency)
ωd = ωn 1 − ζ 2 =
Michael Šebek
b 1 − (a (2 b )) 2
ARI-03-2015
7
Systém 2. řádu bez nul - zajímavé případy
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
σ 0,=
ωn ω=
0
Netlumený systém =
d ,ζ
ωn
2
ωn2
G ( s) = 2
s + ωn2
g (t ) = ωn sin ωn t
h(t ) = 1 − cos ωn t
Podtlumený systém
Im
ωd = ωn
0
Re
−ωd
ζ < 1, σ = ζωn , ωd = ωn 1 − ζ 2
ωn2
G (s) = 2
s + 2ζωn s + ωn2
Im
=
ωd ωn 1 − ζ 2
ωn2
=
( s + σ − jωd )( s + σ + jωd )
−σ =−ζωn
−ωd
1
Re
0
g (t ) = (ωn2 ωd )e −σ t sin ωd t
h(t ) =
1 − e −σ t [ cos ωd t + (σ ωd ) sin ωd t ]
Michael Šebek
ARI-03-2015
8
Systém 2. řádu bez nul - zajímavé případy
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ζ 1,=
σ 1,2 ωn=
, ωd 0
Kriticky tlumený systém =
ωn2
G (s) =
( s + ωn ) 2
1
Im
−σ 1,2 =
−ωn
g (t ) = ωn2te−ωnt
Re
1 − e−ωnt − ωnte−ωnt
h(t ) =
0
Přetlumený systém
ζ ≥ 1:
σ1 =
ζωn + ωn ζ 2 − 1
ωn2
G (s) = 2
s + 2ζωn s + ωn2
=
g (t ) =
1
σ2 =
ζωn − ωn ζ 2 − 1
ωn2
( s + σ 1 )( s + σ 2 )
ωn
2 ζ −1
2
Im
( e −σ t − e −σ t )
2
1
−σ 1
−σ 2
σ 1 − σ 2 + σ 2 e −σ t − σ 1e −σ t
h(t ) =
σ1 − σ 2
1
Michael Šebek
2
Re
0
ARI-03-2015
9
Systém 2. řádu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Všechny případy v jednom obrázku
Avšak pozor: Je to přesně tak jen když systém nemá nuly!
Michael Šebek
ARI-03-2015
10
Systém 2. řádu: vzorce pro podtlumený případ
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Doba ustálení (settling time)
Ts =
4
ζωn
Doba 1. maxima (peek time)
π
Tp =
ωn 1 − ζ 2
Překmit, překývnutí (overshoot)
−(ζπ 1−ζ )
%OS = 100e
2
ζ =
− ln ( %OS 100 )
π 2 + ln 2 ( %OS 100 )
Doba náběhu Tr : rozumný vzorec není,
jen graf ze simulací. Přesto někteří užívají
„velmi přibližný“ odhad
Michael Šebek
Tr ≈
ARI-03-2015
1.8
ωn
11
Vliv dalších pólů – Dominantní póly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Někdy můžeme systém s více póly aproximovat systémem s dvojicí
dominantních pólů
• A pak můžeme vzorečky pro 2. řád aplikovat na tu dvojici
2
−
+ ca
c
• Např. pro systém s dvojicí komplexních pólů a ještě
=
A 1,=
B
c 2 + b − ca
třetím reálným pólem je odezva na skok
−b
bc
A
Bs + C
D
D= 2
=
+ 2
+
y(s) =
c + b − ca
2
s s + as + b ( s + c ) s s + as + b s + c
−c 2 a + ca 2 − bc
C=
• Je-li -c blízko dvojice, zanedbat ho nemůžeme!
c 2 + b − ca
• Je-li hodně daleko nalevo, má vliv zanedbatelný
− c → −∞ : A → 1, B → −1, C → − a, D → 0
• „Pravidlo 5“:
Třetí pól zanedbáme, je-li aspoň 5× víc nalevo od
imaginární osy než reálná část dominantní dvojice
• Někdo používá „Pravidlo 10“
• Raději to vždy ještě ověříme simulací
(
Michael Šebek
)
ARI-03-2015
12
Vliv nuly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme k systému s přenosem g ( s ) a odezvou y ( s ) nulu v −a , což
změní přenos na (1 + s a) g ( s ) a odezvu na (1 + s a ) y ( s )
• Odezva nového systému bude složená z původní a násobku její derivace
y (s) =
(1 + s a ) y ( s ) =
y(s) + ( s a ) y(s)
• Je-li nula „hodně“ stabilní (tj. a je velké kladné), má člen s derivací
( s a ) y ( s) zanedbatelný vliv a odezva se skoro nezmění
• Je-li to nula stabilní „méně“ (tj. a menší kladné),
je vliv derivace významný!
y= (1 + s ) y
• Skoková odezva má typicky na počátku
1
y=
derivaci kladnou, tedy člen s derivací
( s + 2) 2 + 9
se přičte a způsobí větší první překmit
• Bude-li nula nestabilní (záporné a ),
má derivace opačné znaménko
sy
a odezva je zpočátku dokonce obrácená
• Nuly neovlivňují typ módů, ale jejich relativní vliv,
neboť v rozkladu na parciální zlomky ovlivňují jen čitatele (rezidua)
Michael Šebek
ARI-03-2015
13
Download

null