DIGITALNI FILTRI
Predavač:
dr Milan Sečujski
Asistent:
mr Nikša Jakovljevid
UVOD
Diskretni sistem
• Transformacija T{} kojom se ulazni signal x(n) preslikava
u izlazni signal y(n):
T{ x(n)} = y(n)
x(n)
T{ }
y(n)
• S matematičkog stanovišta, diskretni sistem je
preslikavanje skupa svih diskretnih signala DR u samog
sebe, definisano operatorom T{}.
3
Osobine diskretnih sistema
Linearnost
∀x1 (n), x2 (n) ∈ DR , ∀a, b ∈ R,
T{ax1 (n) bx 2 (n)} aT{ x1 (n)} bT{ x2 (n)}
Vremenska nepromenljivost
∀x(n) ∈ DR , ∀k ∈ Z ,
T{ x(n)} y(n) ⇒T{ x(n k)} y(n k)
 Linearne vremenski nepromenljive sisteme nazivamo filtrima
4
Impulsni odziv
• Odziv na δ-impuls, i ujedno signal koji na jedinstven način
identifikuje filtar
• Signal čije osobine ukazuju na osobine filtra
 Ako je impulsni odziv kauzalan, i filtar je kauzalan
 Ako je impulsni odziv apsolutno sumabilan, filtar je stabilan
• Za svaku pobudu filtra x(n) i odgovarajudi odziv y(n) važi
y(n) x(n) h(n)
• Od posebnog praktičnog interesa su filtri kod kojih su ulaz i izlaz
vezani linearnom diferencnom jednačinom sa konstantnim
koeficijentima:
N
M
ai y(n i)
i 0
bi x(n i)
aN
0, a0 1
i 0
5
FIR filtri (Finite Impulse Response)
• RUI ima sve koeficijente ai jednake 0 (osim a0 = 1)
N
y(n)
0
M
ai y(n i)
i 1
bi x(n i)
i 0
M
y(n)
M
bi x(n i)
i 0
h(n)
bi δ(n i)
i 0
• Koeficijenti bi su upravo vrednosti odbiraka impulsnog
odziva FIR filtra
y(n) h(0)x(n) h(1)x(n 1) ... h(M)x(n M)
• U principu, FIR filtri su svi filtri čiji je impulsni odziv
konačnog trajanja, ne mora početi baš u trenutku n=0
6
Blok-šema realizacije FIR filtra
M
y(n)
bi x(n i)
i 0
b0
x(n)
z−1
z−1
b1
b2
...
...
bM−1
z−1
y(n)
bM
7
IIR filtri (Infinite Impulse Response)
• RUI ima bar jedan koeficijent ai različit od 0 (osim a0)
N
y(n)
M
ai y(n i)
bi x(n i)
i 1
i 0
N
M
h(n)
ai h(n i)
i 1
bi δ(n i)
i 0
• Oblik impulsnog odziva nije mogude dobiti direktno iz
koeficijenata RUI
• U principu, IIR filtri su svi filtri čiji je impulsni odziv
beskonačnog trajanja, ne mora početi baš u trenutku
n=0
8
Blok-šema realizacije IIR sistema
b0
x(n)
a1
amax{M,N}−1
amax{M,N}
z−1
z−1
b1
b2
bmax{M,N}−1
...
...
a2
z−1
...
−
y(n)
bmax{M,N}
9
Frekvencijska karakteristika
• FTD impulsnog odziva filtra predstavlja njegovu
frekvencijsku karakteristiku
H(ω)
h(n)e
jωn
H(ω) e jΦ(ω)
n
H(ω) − amplitudska karakteristika
Φ(ω) − fazna karakteristika
• Uslov postojanja FTD u opštem slučaju je
x(n)
n
• Kod frekvencijske karakteristike ovaj uslov se svodi
na uslov stabilnosti filtra
10
Frekvencijska selektivnost
• Odziv filtra na prostoperiodični signal je takođe
prostoperiodični signal iste učestanosti
• Izlazni signal ne može imati
|X(ω)|
frekvencijske komponente na
2π
učestanostima na kojima ih nije
bilo u ulaznom signalu
ω
• Direktna posledica linearnosti i
|Y(ω)|
vremenske nepromenljivosti
|H(ω)|
ω
0
|H(ω)|
y(n) x(n) h(n)
Y (ω) X (ω)H(ω)
2π|H(ω0)|
ω0
ω
11
Fazno kašnjenje
• Odziv na prostoperiodičan signal je, dakle:
T {sin( ω0 n)}
H(ω0 ) sin( ω0 n Φ(ω0 ))
H(ω0 ) sin( ω0 (n τ φ (ω0 )))
τ φ (ω)
Φ(ω)
fazno kašnjenje
ω
• Fazno kašnjenje sistema na učestanosti ω0 predstavlja
vremenski pomeraj prostoperiodičnog signala na
učestanosti ω0 pri prolasku kroz sistem
12
Grupno kašnjenje
• Parametar koji postaje relevantan kada se posmatra
kompozitni signal s više prostoperiodičnih komponenata
koje nisu obavezno u harmonijskom odnosu
τ g (ω)
Φ(ω)
grupno kašnjenje
ω
• Primera radi, ako je pobuda sinusoida sa sporo
promenljivom amplitudom, x(n) = A(n)sin(ω0n + φ0), odziv
je y(n) = |H(ω0)|A(n − τg)sin(ω0(n − τφ) + φ0)
• Ukoliko je fazna karakteristika sistema Ф(ω) linearna,
fazno i grupno kašnjenje su međusobno jednaka i
konstantna
13
Grupno kašnjenje (primer)
x(n) A cos(ωmn) cos(ω0 n)
A
A
cos(ωl n)
cos(ωu n)
2
2
ωm
ωl
ω0 (uskopojasni signal)
ω0 ωm , ωu
Ako za sistem važi da je |H(ω)| ≈ 1 na opsegu ωl
y(n)
ω0 ωm
ω
ωu :
A
A
cos( ωl n Φ(ωl ))
cos( ωu n Φ(ωu ))
2
2
Φ(ωu ) Φ(ωl )
Φ(ωu ) Φ(ωl )
A cos ω0 n
cos ωm n
2
2
14
Grupno kašnjenje (primer)
y(n) A cos ω0 n
Φ(ωu ) Φ(ωl )
Φ(ωu ) Φ(ωl )
cos ωm n
2
2
A cos( ω0 n Φ(ω0 )) cos ωm n
Φ(ωu ) Φ(ωl )
2ωm
Φ(ω0 )
A cos ω0 n
ω0
Φ(ωu ) Φ(ωl )
n
ωu ωl
cos ωm
A cos( ω0 (n τ φ (ω0 ))) cos ωm n
Φ(ω)
ω
ω ω0
Kašnjenje nosioca je τφ, a kašnjenje obvojnice (anvelope) je:
τ g (ω0 )
Φ(ω)
ω
ω ω0
15
Grupno kašnjenje (primer)
16
Uticaj nula i polova prenosne funkcije na H(ω)
• Neka prenosna funkcija ima jedan pol i jednu nulu
Im
z1 = rz e jωz
p1 = rp e
jω p
z = e jω
|H(ω)|
p1
z1
ω
1
Re
ωz
ωp
ω
17
Uticaj nula i polova prenosne funkcije na H(ω)
• Nule smanjuju vrednost amplitudske karakteristike u
blizini učestanosti na kojoj se nalaze, i to utoliko više
što su bliže jediničnoj kružnici
• Polovi uvećavaju vrednost amplitudske karakteristike u
blizini učestanosti na kojoj se nalaze, i to utoliko više
što su bliži jediničnoj kružnici
• Poznavanje ovog uticaja koristi se kod tzv. ad-hoc
metoda za projektovanje filtara
 Direktno postavljanje nula i polova radi ostvarivanja željenog
ponašanja amplitudske karakteristike
18
Idealni filtri
• Iako se ne mogu ostvariti u praksi, često se koriste kao
polazna tačka u projektovanju filtara
HNF (ω)
HVF (ω)
e
jωτ
,
0,
e
jωτ
0,
,
ω ωg
drugde
ω ωg
drugde
1
−π
−ωg
|HNF(ω)|
ωg
π
ω
|HVF(ω)|
1
−π
−ωg
ωg
π
ω
• Član e jωτ ovde modeluje kašnjenje, koje se kod
idealnih filtara smatra konstantnim
19
Idealni filtri
HPO (ω)
HNO (ω)
e
jωτ
, ωg1
0,
0,
e
jωτ
ω ωg2
drugde
ωg1
,
ω ωg2
drugde
1
−π −ωg2 −ωg1
ωg1 ωg2
1
−π −ωg2 −ωg1
π
ω
|HNO(ω)|
ωg1 ωg2
1
HAP (ω) e
|HPO(ω)|
π
ω
|HAP(ω)|
jωτ
−π
• Filtri projektovani u praksi moraju imati odstupanja od
idealne karakteristike manja od unapred zadatih
π
ω
20
Idealni filtri
Diferencijator
|HD(ω)|
• Koristi se za simulaciju procesa
diferenciranja analognog signala
 FM demodulacija
HD (ω)
jωe
jωτ
−π
−ωg
ωg
Hilbertov transformator
• Koristi se za dobijanje analitičkih
signala, čime se omogudava
efikasnije korišdenje spektra
Im{HHT(ω)}
1
−π
π
ω
(α=0)
π
ω
−1
 AM-1BO modulacija
HHT (ω)
je jωτ ,
je jωτ ,
0 ω π
π ω 0
j(sgnω)e
jωτ
21
FIR filtar koji vrši usrednjavanje
• Jednostavan primer FIR filtra
N 1
1
x(n k)
Nk 0
1N 1
δ(n k)
Nk 0
y(n)
h(n)
z−1
N–1
n
...
...
...
0
y(n)
z−1
h(n)
1
N
1/N
x(n)
z−1
22
FIR filtar koji vrši usrednjavanje
1N 1
H (z )
z
Nk 0
k
1 1 z
N 1 z
1 1 e jNω
H(ω)
N 1 e jω
N
1
Nω
sin
1
2 e
N sin ω
2
j
N 1
ω
2
• Ovaj filtar ima amplitudsku karakteristiku koja
odgovara skromnom NF filtru
23
FIR filtar koji vrši usrednjavanje
H (z )
Y (z)(1 z 1 )
y(n) y(n 1)
y(n)
Y (z ) 1 1 z N
X (z ) N 1 z 1
1
X (z)(1 z N )
N
1
(x(n) x(n N))
N
1
y(n 1)
(x(n) x(n N))
N
• Ovaj filtar se može jednostavnije realizovati rekurzivno
 Generalno, ako je impulsni odziv konačne dužine (FIR filtar), to ne
znači da u nekoj realizaciji filtra ne može biti povratnih sprega
24
FIR filtar koji vrši usrednjavanje
y(n)
y(n 1)
1/N
x(n)
1
(x(n) x(n N))
N
y(n)
1/N
x(n)
_
z
−1
z−1
y(n)
_
−1
z
−1
z
z−1
...
...
z−1
z−1
25
All-pass filtar
• U širem smislu, svaki filtar za koji važi |H(ω)|=1, dakle ne samo onaj za
koji je H(ω) = e−jωα
• All-pass filtri po pravilu obuhvataju parove polova i nula koji su na istim
učestanostima a na odgovarajudim rastojanjima od jedinične kružnice
tako da se njihovi uticaji u potpunosti poništavaju
 Ako se pol nalazi na z re jφ, nula se nalazi na z (1 / r)e jφ
 Primer: all-pass filtar reda N = 2
(re jφ z 1 )(re jφ z 1 )
HAP (z)
(1 re jφ z 1 )(1 re jφ z 1 )
HAP (z) 1
r 2 (2r cos φ)z 1 z 2
1 (2r cos φ)z 1 r 2 z 2
z
N
N( z)
N(z 1 )
Im
ФAP(ω)
π
|HAP(ω)|
φ
Re
ω
1
π
ω
−2π
26
All-pass filtar reda N = 1
HAP (z)
z 1 a
,
1
1 az
r e jφ , r
a
1
N
All-pass filtar reda N imao bi karakteristiku HAP (z)
i 1
HAP (ω)
e jω a
1 a e jω
e
jω
e
jω
1 r e j (ω φ )
1 r e j (ω φ)
HAP (ω)
1, Φ AP (ω)
τ APg (ω)
Φ AP (ω)
ω
z 1 ai
.
1
1 ai z
1 a e jω
1 a e jω
1 r cos( ω φ) jr sin( ω φ)
e
1 r cos( ω φ) jr sin( ω φ)
r sin(ω φ)
ω 2 arctg
1 r cos( ω φ)
jω
1 r2
1 2r cos( φ ω) r 2
0
27
Notch filtar
• Namenjen je uklanjanju komponente na određenoj učestanosti (ili više
njih) iz ulaznog signala
• Notch filtri po pravilu obuhvataju parove polova i nula koji su na istim
učestanostima, pri čemu se nula nalazi na jediničnoj kružnici, a pol je u
unutrašnjosti, blizu jedinične kružnice
 Ako se pol nalazi na z re jφ , nula se nalazi na z e jφ
 Primer: notch filtar reda N = 2
(1 e jφ z 1 )(1 e jφ z 1 )
HN (z)
(1 re jφ z 1 )(1 re jφ z 1 )
1 (2 cos φ)z 1 z 2
1 (2r cos φ)z 1 r 2 z 2
N( z 1 )
N(rz 1 )
Im
|H(ω)|
φ
Re
1
φ
π
ω
28
Primer notch filtra (I)
• Projektovati diskretni notch filtar koji bi trebalo da ukloni sve frekvencijske
komponente na celobrojnim umnošcima 50 Hz iz ulaznog signala koji se
diskretizuje učestanošdu odabiranja 500 Hz.
Analognoj učestanosti f1 = 50 Hz odgovara učestanost diskretnog signala:
2πf1
fs
ω1
2π 50
500
0.2π
Iz ulaznog signala, dakle, treba potisnuti komponente na učestanostima:
ωk
kω1
k 0.2π , k
0, 1,..., 9
To su učestanosti na kojima treba da se nalaze nule, pa je brojilac
prenosne karakteristike jednak:
1
9
N(z )
(1 e jωk z 1 ) 1 z
10
k 0
29
Primer notch filtra (I)
Samim tim je određen i imenilac, pa je prenosna karakteristika:
H (z)
N( z 1 )
N(rz 1 )
1 z 10
,
1 r 10 z 10
pri čemu se r bira tako da polovi budu dovoljno blizu jedinične kružnice,
kako bi uticaj filtra na učestanosti u okolini ωk bio što manji.
Im
|H(ω)|
ω1
Re
1
π
ω
30
Primer notch filtra (II)
• Projektovati diskretni notch filtar koji bi trebalo da ukloni sve frekvencijske
komponente na celobrojnim umnošcima 50 Hz iz ulaznog signala koji se
diskretizuje učestanošdu odabiranja 500 Hz, osim komponenata na
učestanostima 0 i 250 Hz.
Analognim učestanostima 0 i 250 Hz odgovaraju učestanosti diskretnog
signala ω = 0 i ω = π.
Za razliku od prethodnog primera, sada ne treba potisnuti komponente
na učestanostima k∙0.2π za svako k = 0, 1,..., 9, ved samo za k = 1, 2, 3, 4 i
k = 6, 7, 8, 9. Dve nule, dakle, treba izostaviti, a one se nalaze u tačkama
z = 1 i z = −1.
31
Primer notch filtra (II)
9
1
N( z )
H (z )
(1 e jωk z 1 )
k 0
(1 z 1 )(1 z 1 )
N( z 1 )
N(rz 1 )
1 z 10
1 z 2
1 z 2 z
1 r 2z 2 r 4 z
4
4
1 z
2
z 6
r 6z
z
6
z
4
z
6
z
8
8
r 8z
8
Im
|H(ω)|
ω1
Re
1
π
ω
32
Diskretni rezonator
• Namenjen je izdvajanju jedne učestanosti φ iz ulaznog signala
• Ima jedan par konjugovano kompleksnih polova na toj učestanosti
G
G
(1 re jφ z 1 )(1 re jφ z 1 ) 1 (2r cos φ)z
G
H(ω)
(1 re jφ e jω )(1 re jφ e jω )
H (z)
H(φ)
1
G
1
r 2z
2
(1 r ) 1 2r cos 2φ r 2
Im
|H(ω)|2
1
φ
3 dB
Re
0.5
Δω
φ
π
ω
33
Diskretni rezonator
• Kako dovesti u vezu širinu 3 dB opsega sa parametrom r ? Na granici
tog opsega, u tački A, vrednost amplitudske karakteristike je 2 puta
manja od maksimalne vrednosti u tački Q.
H(ωA )
20 log
H(φ)
H (z A )
H ( zQ )
H (z A )
H ( zQ )
H(ωA )
H(φ)
3 dB
H (z A )
H ( zQ )
zA
G
p zA
zQ
G
p zQ
p
zQ
p zQ
p
zQ
p
zA
p zA
p
zA
p
p
, p
re
1
2
Im
A
P
jφ
Q
B
Δω
PQ
PA
1
2
φ
Re
Iz ovoga se može zaključiti da je ΔAPQ jednakokraki pravougli, pa je:
Δω
AB
2 AQ
2 PQ
2 (1 r)
34
Diskretni rezonator
G n
h(n)
r sin(φn φ)u(n)
sinφ
G
Y (z ) H ( z ) X ( z )
1 (2r cos φ)z
(1 (2r cos φ)z
1
1
2
r z
2
X ( z)
r 2 z 2 )Y (z) G X (z)
y(n) Gx(n) (2r cos φ)y(n 1) r 2 y(n 2)
x(n)
G
y(n)
−
−2rcosφ
2
r
z−1
z−1
35
Primer diskretnog rezonatora
• Projektovati diskretni rezonator čija je rezonantna učestanost φ = 0.1π, a
širina 3 dB opsega iznosi Δω = 0.02. Posle koliko odmeraka de obvojnica
impulsnog odziva opasti na ε = 1% svoje početne vrednosti?
Δω 2 (1 r )
r
0.99
G (1 r ) 1 2r cos 2φ r 2
H (z )
G
1 (2r cos φ)z
1
r 2z
0.0062
2
0.0062
1 1.8831 z 1 0.9801 z
2
Ponašanje obvojnice diktira član r n u impulsnom odzivu.
rn
n
ε
ln ε
ln r
458.2 odmerka
Ako je, na primer, fs = 1 kHz, to znači da de obvojnica opasti na 1% svoje
početne vrednosti za τ = 458.2 ms.
36
Sistemi minimalne faze
• Sistemi kod kojih se svi polovi i sve nule prenosne funkcije nalaze
unutar jedinične kružnice
 Da bi kauzalan sistem bio stabilan, polovi se svakako moraju nalaziti
unutar jedinične kružnice
• Svaka prenosna funkcija može se predstaviti u vidu kaskadne
veze jedne prenosne funkcije minimalne faze i jedne prenosne
funkcije koja odgovara all-pass filtru
 Pretpostavimo da H(z) nije prenosna funkcija minimalne faze, i neka,
primera radi, ima jednu nulu z = 1/a*, |a| < 1, van jedinične kružnice.
1/a*
H(z) Hmin (z) (1 a* z)
Hmin (z)( z a)
1/a*
a
a
Hmin
' (z)
HAP(z)
1 az
z a
*
Hmin (z)HAP (z)
H(z)
37
Sistemi minimalne faze
• Za svaki sistem H(z) postoji sistem minimalne faze koji ima istu
amplitudsku karakteristiku kao dati sistem
H(z) Hmin (z)HAP (z)
H(ω) Hmin (ω)HAP (ω)
H(ω)
1
Hmin (ω) HAP (ω)
Hmin (ω)
Φ(ω) Φmin (ω) Φ AP (ω)
τ (ω) τ min (ω) τ AP (ω) τ min (ω)
• Od svih sistema sa istom amplitudskom karakteristikom najmanje
grupno kašnjenje ima sistem minimalne faze
• Ako za kauzalni sistem H(z) treba realizovati sistem 1/H(z) (sistem
koji poništava dejstvo H(z)), sistem 1/H(z) de biti stabilan samo ako
je H(z) sistem minimalne faze
38
Postupak projektovanja filtara
• Cilj projektovanja: ostvariti ekonomičan sistem koji de zadovoljiti
postavljene zahteve
• Faze projektovanja:
 Postavljanje specifikacija
• Rezultat: dijagram tolerancija (gabarita)
 Aproksimacija
• Rezultat: stabilna racionalna funkcija prenosa
 Realizacija
• Rezultat: blok dijagram realizacije sa vrednostima svih konstanata množenja
 Analiza efekata konačne dužine kodne reči
• Rezultat: odgovor na pitanje da li de sa datom konačnom dužinom kodne reči biti
zadovoljene specifikacije postavljene u prvoj fazi
 Implementacija (hardverska ili softverska)
• Rezultat: realizovan sistem
• U slučaju potrebe, kroz ovaj postupak može se prodi i više puta
39
Download

DF 1 - Uvod.pdf