Aktivni filtri
Glava 6
AKTIVNI FILTRI
6.1 GRADIVNI BLOKOVI AKTIVNIH RC FILTARA
Posmatrajmo linearne, vremenski invarijantne filtre sa koncentrisanim
parametrima.
Primarni gradivni blokovi ovakvih filtara su otpornik, kondenzator, kalem i
operacioni pojačavač.
V = RI
V = LsI
I1 = I 2 = 0
V = I Cs
Z in → ∞
V0 = A (V2 − V1 ) , A → ∞
Sekundarni gradivni blokovi se dobiju kombinovanjem primarnih gradivnih
blokova i njihov broj sve više raste sa napretkom tehnologije.
129
Analogni filtri
6.1.1 Kontrolisani izvori
Naponom kontorlisan naponski izvor (NKNI)
a) invertujući
V1 = R1 I
V2 = − R2 I
R
V2 = − 2 V1
R1
Slika 6.1 Naponom kontorlisan naponski izvor (a) blok šema, (b)
inverujući, (c) neinverujući
b) neinvertujući
V1 = R1 I
V2 = ( R1 + R2 ) I
V2 =
130
R1 + R2
V1
R1
Aktivni filtri
Naponom kontorlisan strujni izvor (NKSI)
Slika 6.2 Naponom kontorlisan strujni izvor (a) blok šema, (b) sa
uzemljenim opterećenjem, (c) sa neuzemljenim
opterećenjem
a) sa uzemljenim opterećenjem
Uz pretpostavku da je
R1 R3 = R2 R4 , imamo:
V1 = R1 I1 + R2 I 2
R4 I1 + R3 (I 2 − I ) = 0
I1 =
R3
R
I − 3 I2
R4
R4
R4V1 = R1 R3 I − R1 R3 I 2 + R2 R4 I 2
I=
R4
V
V1 ⇒ I = 1
R1 R3
R2
b) sa neuzemljenim opterećenjem
V1 = R1 I1
R2 I1 = R3 (I − I1 )
(R2 + R3 )I 1 = R3 I ⇒ I =
R 2 + R3
I1
R3
V1
R1
R + R3
I= 2
V1
R1 R3
I1 =
131
Analogni filtri
Strujom kontorlisan naponski izvor (SKNI) i strujom kontorlisan
strujni izvor (SKSI)
Realizacija strujom kontrolisanih izvora se izvodi ubacivanjem otpornika
RA male otpornosti, u granu sa kontrolišućom strujom da se ostvari pad napona,
a zatim se realizuju naponom kontrolisani izvori.
Ovo su nerecipročne mreže sa dva para krajeva.
Slika 6.3 Strujom kontorlisan naponski izvor (SKNI) i njegova realizacija, te
strujom kontorlisan strujni izvor (SKSI) i njegova realizacija
6.1.2 Žirator
Žirator je mreža sa dva para krajeva opisana sa
 I1   0
 I  = − g
 2  2
g1  V1 
⋅
0  V2 
i može se realizovati pomoću dva NKSI, kao na slici.
Slika 6.4 Žirator – blok šema i realizacija
128
Aktivni filtri
Pokažimo da mreža na slici zaista predstavlja žirator:
− V1 + RI 4 + V2 = 0
(1)
I 1 = I 3 + I 4 ⇒ I 4 = I1 − I 3 = I 1 +
V1 = RI 5 ⇒ I 5 =
V1
R
V1
R
RI 3 + RI 5 = 0 ⇒ I 3 = − I 5 = −
V1
R
I2 = I7 − I4 ⇒ I2 = I6 − I4 …
(5)
RI 6 = RI 7 ⇒ I 7 = I 6
− V1 − RI 5 + RI 6 + V2 = 0 …
(7)
(1) ⇒ −V1 + RI 1 + V1 + V2 = 0 ⇒ I 1 = −
V2
R
V1
R
(7) ⇒ −V1 − V1 + RI 2 + RI 4 + V1 + V2 = 0
(5) ⇒ I 6 = I 2 + I 4 = I 2 + I 1 +
− V1 + RI 2 − V2 + V2 = 0 ⇒ I 2 =

 I1   0
I  =  1
 2 
R
V1
R
1
R  ⋅ V1 
  
0  V2 

−
Iz rezultujuće matrice vidimo da se radi o žiratoru gdje je g1 = g 2 = −
1
.
R
Pri realizaciji aktivnih filtara žirator se koristi da zamijeni kalem.
I1 = −
I 1 = gV2
I 2 = − gV1
I 2 = −CsV2
⇒
g
I2
Cs
g2
V1
Cs
C 
Z ul =  2  s = Ls
g 
I1 =
129
Analogni filtri
Slika 6.5 Realizacija uzemljenog kelema pomoću žiratora
Zbog toga što se žirator realizuje sa uzemljenim krajevima 1’ i 2’ dobili
smo uzemljeni kalem.
Tipična realizacija lebdećeg kalema je data na sljedećoj slici.
Slika 6.6 Realizacija lebdećeg kelema pomoću žiratora
Pokažimo da su mreže na Slici 6.6 ekvivalentne:
Za drugu mrežu koja prikazuje lebdeći kalem vrijedi:
I1 = − I 2
V1 − V2 = LsI1
Iz jednačina žiratora za prvu mrežu imamo:
I1 = gV1'
I1' = gV2
I = − gV1 I 2 = − gV
`
2
'
2
V2' = V1' = −
(
1 '
I 1 + I 2'
Cs
)
I1 = − I 2
I 1' + I 2' = g (V2 − V1 ) = −CsV2' = −
130
C 
Cs
C
I 1 ⇒ V1 − V2 =  2  sI 1 ⇒ L = 2
g
g
g 
Aktivni filtri
6.1.3 Negativni konvertor impedanse (NIC)
V1  1 0  V2 
 I  = 0 k  ⋅  I 
  2
 1 
Slika 6.7 Negativni konvertor impedanse: simbol i šema za odreñivanje ulazne
impedanse
Pronañimo ulaznu impedansu negativnog konvertora impedanse:
V1 = V2
I1 = kI 2
V2 = − Z L I 2
V
V
Z
Z1 = 1 = 2 = − L
I1 kI 2
k
Negativni konvertor impedanse se može realizovati ka na Slici 6.8.
Slika 6.8 Realizacija negativnog konvertora impedanse
Za mrežu na Slici 6.8 vrijedi:
131
Analogni filtri
R1 I1 = R2 I 2
V1 = V2
R2
R
I2 ⇒ k = 2
R1
R1
te ona zaista realizuje negativni konvertor impedanse.
I1 =
6.1.4 Generalisani konvertor impedanse
Generalisani konvertor impedanse je mreža sa dva para krajeva opisana
jednačinama:
0  V 
V1  k
2

=
I  0 − 1  ⋅ I 
 1  
f (s )  2 
Slika 6.9 Generalisani konvertor impedanse: simbol i šema za odreñivanje
ulazne impedanse
Odredimo ulaznu impedansu
opterećenog impedansom Z L :
V1 = kV2
I
I1 = − 2
f (s )
V2 = − Z L I 2
⇒
Z1 =
generalisanog
konvertora
impedanse
V1
V
= − kf (s ) 2
I1
I2
Z 1 = kf (s )Z L
Dakle, ulazna impedansa je proizvod opteretne impedanse i neke
unutrašnje impedanse. f (s ) je impedansna transformaciona funkcija, k se
najčešće normalizuje na 1.
132
Aktivni filtri
Na Slici 6.10. je data realizacija generalisanog konvertora impedanse sa
k = 1 i f (s ) =
Z2Z4
.
Z3Z5
Slika 6.10 Generalisani konvertor impedanse
Iz jednačina koje opisuju mrežu se vidi da se zaista radi o generalisanom
konvertoru impedanse:
V1 = V2
Z 2 I1 = − Z 3 I 3 ⇒ I 3 = −
Z4 I3 = Z5I2 ⇒ I3 =
Z2
I1
Z3
Z5
I2
Z4
Z5
Z
I 2 = − 2 I1
Z4
Z3
I1 = −
Z3Z5
I2
Z2Z4
1
i ako su sekundarni
C5 s
RRR
Z1 = 2 4 6 C5 s . Dakle,
R3
Ako je Z 2 = R2 , Z 3 = R3 , Z 4 = R4 , Z 5 =
krajevi zatvoreni otpornikom
R6
imamo
133
Analogni filtri
generalisanim
konvertorom
impedanse
realizujemo
uzemljeni
kalem
RRRC
induktivnosti L = 2 4 6 5 , Slika 6.11.
R3
Slika 6.11 Realizacija uzemljenog kalema pomoću generalisanog konvertora
impedanse
6.1.5 Frekvencijski zavisan negativni otpornik (FDNR)
Ovo je mreža sa jednim parom krajeva sa impedansom Z (s ) =
1
, gdje
s D
2
je D pozitivna konstanta, dimenzije F 2 . U ustaljenom prostoperiodičnom
režimu impedansa Z (s ) od FDNR postaje
Z ( jω ) = −
1
ω 2D
što je ekvivalentno otporniku negativne otpornosti koja zavisi od učestanosti.
Realizuje se tako što se primarni krajevi GIC-a opterete kondenzatorom:
134
Aktivni filtri
Slika 6.12 Frekvencijski zavisan negativni otpornik
Za GIC sa Z 2 = R2 , Z 3 = R3 , Z 4 = R4 , Z 5 =
1
vrijedi
C5 s
0
1

V1  
 ⋅ V2 
=
R
 I  0 −
3
  I2 
 1 
 
R
R
C
s
2 4 5 


V1 = −
Z2 =
1
I1
C1s
V2
I2
Z2 =
1
( R2 R4C1C5 / R3 ) s 2
Poznato je da se kalemovi veoma teško realizuju u obliku integrisanih kola.
Uzemljeni kalem se može projektovati sa žiratorom i kondenzatorom, bez
mnogo problema, ali lebdeći kalem koji se tako realizuje aktivno je veoma
nestabilan, osjetljiv i nije mnogo praktičan.
Jedan od načina da se izbjegnu kalemovi u kolu je mehanizam skaliranje
impedanse, skalirajućim faktorom 1 s . Ovaj metod se svodi na sljedeće: u
zadatoj funkciji mreže, koja bi trebalo da se realizuje kao RLC kolo, svaki
kalem se zamijeni otpornikom otpornosti L[Ω] , svaki otpornik kondenzatorom
( )
kapacitivnosti 1 R [F ] , a svaki kondenzator sa FNDR impedanse 1 s 2 C .
Tako dobijamo mrežu bez kalemova. Prenosne funkcije transmitanse napona ili
struja su bezdimenzionalne veličine tako da ovo skaliranje ne utiče na oblik
prenosne funkcije, tj. polazna prenosna funkcija i prenosna funkcija ovako
dobijene mreže su jednake.
135
Analogni filtri
6.1.6 Integrator
Za invertujući integrator sa slike 6.13 vrijedi:
Slika 6.13 Integrator
Vi = RI
1
⇒ V0 = −
Vi
1
RCs
I + V0 = 0
Cs
V
za RC = 1 ⇒ V0 = − i
s
6.1.7 Diferencijator
Za invertujući diferencijator sa slike 6.14 vrijedi:
Slika 6.14 Diferencijator
136
Aktivni filtri
1
I
⇒ V0 = − RCsVi
Cs
RI + V0 = 0
za RC = 1 ⇒ V0 = − sVi
Vi =
6.1.8 Sabirač
Ovo je mreža sa više izvoda, čiji je izlaz težinska suma ulaza.
Slika 6.15 Sabirač
Vk − V
=I
∑
Rk
k =1
m
Ek − V
=0
rk
k =1
n
∑
V0 − V + R f I = 0
Označimo g =
n
m
n
n
Ek
Ek
1
1
,
G
=
,
pa
je
=
⇒
=
,
gV
V
∑
∑
∑
∑
k =1 Rk
k =1 grk
k =1 rk
k =1 rk
m
m
Vk
Vk
=
I
+
GV
⇒
I
=
− GV .
∑
∑
k =1 Rk
k =1 Rk
137
Analogni filtri
n R G
m R
n 1+ R G
m R
Ek
f
f
f
f
+∑
Ek − ∑ Vk = ∑
Ek − ∑ Vk
grk
k =1 grk
k =1 grk
k =1 Rk
k =1
k =1 Rk
n
V0 = V − R f I = ∑
Ako je E n = 0 , tj. ako je posljednji otpornik vezan za masu kao na
Slici 6.16, što je često slučaj, imamo:
n −1
1+ Rf G
k =1
grk
V0 = ∑
V0 = −
Rf
g=
R1
V1 −
Rf
R2
m
Rf
k =1
Rk
Ek − ∑
V2 +
Vk
1+ Rf G
gr1
E1 ,
1 1
1
1
+ , G=
+
r1 r2
R1 R2
Slika 6.16 Jedna izvedba sabirača
138
Aktivni filtri
6.2 REALIZACIJE AKTIVNIH FILTARA
Aktivni filtri se mnogo koriste u komunikacionim sistemima, TV, radiju,
telefoniji, primarno u niskofrekvencijskoj oblasti aplikacija gdje primjena
kalemova nije pogodna zbog ogromne veličine i lošeg kvaliteta.
Kao i pasivni, i aktivni filtri aproksimiraju željenu funkciju prenosa
H (s ) =
N (s ) a m s m + a m−1s m−1 + ⋯ + a1 s + a0
=
, m≤n
D (s )
s n + bn−1s n−1 + ⋯ + b1 s + b0
koja se može predstaviti preko proizvoda prenosnih funkcija prvog i drugog
reda
ai 2 s 2 + ai1 s + ai 0
ai1 s + ai 0
i H i (s ) =
H i (s ) =
s + bi 0
s 2 + bi1 s + bi 0
Postoje dva pristupa realizaciji aktivnih filtara:
1. direktni metod,
2. kaskadni metod.
Direktna realizacija podrazumijeva da se realizuje kompletna funkcija. To
je moguće izvesti na nekoliko načina. Jedan od njih se zasniva na postupku koji
se koristi pri realizaciji pasivnih mreža. Od ostalih metoda, zadržaćemo se na
metodi varijabli stanja.
Kaskadnim metodom se realizuje funkcija prenosa kaskadnim vezivanjem
sekcija prvog i drugog reda.
6.2.1 DIREKTNA REALIZCIJA PREKO PASIVNIH MREŽA
Željena funkcija prenosa se prvo razmatra kao da će biti realizovana
pasivnim mrežama, a zatim se koristi simulacija induktiviteta ili metod
skaliranja impedanse.
139
Analogni filtri
Simulacija induktiviteta
Svaki kalem u pasivnoj mreži se realizuje preko kombinacije žiratorkondenzator. Kao element imamo ljestvičasti filtar male strukturalne
osjetljivosti. U praksi se primjenjuje samo ako su svi kalemovi uzemljeni.
Primjer:
Realizovati VP Butterworth-ov filtar petog reda sa graničnom učestanošću
1 Krad / s zatvoren sa obe strane otpornicima Rs = 1KΩ i Re = 1KΩ .
Prvo realizujemo normalizovani pasivni NP (NP prototip) Butervortov
filtar petog reda Darlingtonovom procedurom:
Slika 6.17 NP prototip
Frekvencijskom transformacijom NP u VP dobijamo filtar na Slici 6.18:
Slika 6.18 Normalizovani VP filtar
Slika 6.19 VP filtar
140
Aktivni filtri
Primijetimo da su vrijednosti induktiviteta velike, a radi se o tipičnoj
operaciji za niske učestanosti. Realizujući kalem preko žiratora i kondenzatora,
odabirajući g = 10 −3 ( L = C g 2 [H ] ) dobijamo aktivni VP filtar prikazan na
Slici 6.20.
Slika 6.20 VP aktivni filtar
Druga moguća realizacija kalemova preko GIC ( Z1 =
R2 R4 R6
C5 s ) sa
R3
R2 = R4 = R3 = 1KΩ , i C5 = 1µF prikazana je na sljedećoj slici.
GIC
GIC
GIC
Slika 6.21 Aktivni VP filtar
141
Analogni filtri
Metod skaliranja impedanse
Metod skaliranja impedanse se zasniva na dijeljenju svake impedanse
pasivne RLC mreže sa s , što znači da svaki kalem od L[H ] mijenjamo
otpornikom od L[Ω ] , otpornik od R[Ω ] kondenzatorom od 1 / R[F ] , a
[ ]
kondenzator od C [F ] sa FDNR od C F 2 . FDNR koji se realizuje preko
GIC-a čiji su primarni krajevi zatvoreni kondenzatorom je uzemljena
komponenta, pa se ovaj metod može koristiti samo ako su svi kondenzatori
uzemljeni.
Primjer:
Realizovati NF Butterworth-ov filtar petog reda sa graničnom učestanošću
od 1 Krad / s .
NP Butervortov filtar petog reda se realizuje kao pasivni filtar, a zatim se
skaliranjem impedanse sa s dobije mreža bez kalemova, sa FDNR. Da bismo
dobili razumljive vrijednosti elemenata uvodi se dodatno skaliranje impedanse
sa 10 6 . Dobijena mreža je prikazana na Slici 6.22.
Slika 6.22 Aktivni NP Butervortov filtar petog reda realizovan pomoću
FDNR
Često je nepoželjno da se na izlazu mreže nalazi kondenzator. Da bi ovo
izbjegli, posmatrajmo mrežu na Slici 6.23, odnosno GIC opterećen na
sekundarnim krajevima sa Z L .
142
Aktivni filtri
Slika 6.23 GIC opterećen sa Z L
Z2Z4
ZL .
Z3Z5
Pretpostavimo da su elementi GIC-a: Z 2 = R2 , Z 3 = R3 , Z 4 = 1 C 4 s ,
Ulazna impedansa ove mreže je Z ul =
Z 5 = R5 , tako da je ulazna impedansa
R2
k
.
Z ul = Z L , k =
s
R3 R5C4
Sada je jasno da kondenzator možemo realizovati tako da sekundarne
krajeve GIC-a sa Slike 6.23 opteretimo otpornikom.
143
Analogni filtri
Slika 6.24 Realizacija kondenzatora putem GIC-a
Za
realizaciju
C = 1 kRL ⇒
kondenzatora
C = 1 ⋅10 −6 F
treba
biti
R3C4 R5
= 10 −6 .
R2 RL
Slika 6.25 Aktivni NP Butervortov filtar petog reda realizovan pomoću
FDNR i opterećen otpornikom
Z ul = ksZ L , k =
R2 C3 R4
R5
Z 2 = R2 , Z 4 = R4 , Z 5 = R5 , Z 3 = 1 C3 s ⇒ Z ul =
144
R2 C3 R4
s ⋅ Z L = ksZ L
R5
Aktivni filtri
6.2.2 DIREKTNA REALIZACIJA PREKO VARIJABLI STANJA
Posmatrajmo kolo na slici, gdje svi označeni naponi predstavljaju napone
čvorova prema masi. Pretpostavimo da je n neparan cio broj. Ako je n parno,
tada se otpornik Rn vezuje na čvor B umjesto na čvor A.
Slika 6.26 Struktura aktivnog filtra koja se dobije metodom varijabli
stanja
Jednačine koje opisuju kolo su:
Vk = − RCsVk +1 = (− 1)
n−k
(RCs )n−k Vn , k = 1,2,3,…, n − 1
V
V
V 
Va = − Ra  2 + 4 + ⋯ + n−1 
Rn −1 
 R2 R4
V
V V V
V 
C1 sV1 + a + i +  1 + 3 + ⋯ + n  = 0
Ra R0  R1 R3
Rn 
C1 = RC
Na osnovu toga je
Vn
G0
=−
,
n
n −1
n−2
Vi
( RCs ) + G1 ( RCs ) + G2 ( RCs ) + ⋯ + Gn
dalje je Gi =
1
, i = 0,1,2,…, n .
Ri
145
Analogni filtri
Primijetimo da funkcija prenosa ne zavisi od Ra , tako da Ra može
poprimiti proizvoljnu konačnu vrijednost različitu od nule.
Ako Vn uzimamo kao izlazni napon, tada kolo na slici predstavlja NF filtar
koji možemo koristiti za realizciju Butterworth-ovih, Chebyshev-ljevih ili
Bessel-ovih NF filtara. Ali, ako posmatramo relacije izmeñu Vk , k = 1,2,…, n i
Vi imamo
(− 1) G0 (RCs )
V
,
H (s ) = k = −
n
Vi
(RCs ) + G1 (RCs )n−1 + G2 (RCs )n−2 + ⋯ + Gn
kada je n neparno.
n−k
∧
n −k
Ako je n parno, Rn se vezuje na čvor B i rezultujuća prenosna funkcija je
(− 1) G0 (RCs )
Vk
, k = 1,2,…, n .
=−
n
Vi
(RCs ) + G1 (RCs )n−1 + G2 (RCs )n−2 + ⋯ + Gn
n−k
n− k
Primijetimo da su nazivnici identični za svako k = 1,2,…, n . Prema tome,
da bi smo realizovali proizvoljnu funkciju
am s m + am−1s m−1 + ⋯ + a1 s + a0
H (s ) =
s n + bn−1s n−1 + ⋯ + b1s + b0
potrebno je dodati samo kolo za sumiranje.
146
Aktivni filtri
Primjer:
Realizovati filtar sa jednolikim oscilacijama u PO sa sljedećim zahtjevima:
1. propusni opseg do 1
krad
s
2. maksimalno slabljenje unutar PO je 0.1dB
3. minimalno slabljenje za ω ≥ 6
krad
je 40dB .
s
Rješenje:
Postavljene zahtjeve zadovoljava Čebiševljev filtar sa n = 3 , pa je
prenosna funkcija željenog filtra data sa
H (s ) =
1.6381
(s 10 ) + 1.9388(s 10 )
3 3
3 2
(
)
+ 2.6296 s 103 + 1.6381
Jednostavnim poreñenjem sa prenosnom funkcijom filtara koji se realizuju
metodom varijabli stanja, uz n = 3 imamo:
C1 = RC = 10−3 F
G0 = 1.6381 ili R0 = 0.6105 Ω
G1 = 1.9388 ili R1 = 0.5158 Ω
G2 = 2.6296 ili R2 = 0.3803 Ω
G3 = 1.6381 ili R0 = 0.6105 Ω
Da
izbjegnemo
veliko
rasijanje
vrijednosti
otpornika,
izaberimo
Ra = 0.5Ω , R = 0.5Ω , C = 2 ⋅10 −3 F .
Rezultujuće kolo je prikazano na Slici 6.27, a na Slici 6.28 je kolo koje se
dobije skaliranjem impedanse faktorom 10K. Napomenimo da su prenosne
funkcije oba kola jednake.
147
Analogni filtri
Slika 6.27 NP Čebiševljev filtar trećeg reda realizovan metodom varijabli
stanja
Slika 6.28 Filtar sa Slike 6.27 nakon skaliranja impedanse faktorom 10K
148
Aktivni filtri
6.2.3 KASKADNA REALIZACIJA
Prenosna funkcija se realizuje kaskadnim vezivanjem niza filtarskih sekcija
prvog i drugog reda. Na ovaj način se problem realizacije opšte prenosne
funkcije svodi na realizaciju bikvadratne funkcije:
H (s ) =
a 2 s 2 + a1 s + a0
s 2 + b1 s + b0
Da bi zadovoljili zahtjeve za korektnim kaskadnim vezivanjem, svaka
sekcija mora imati veliku ulaznu, a malu izlaznu impedansu. To se obezbjeñuje
korištenjem operacionih pojačavača.
Slika 6.29 Kaskadna realizacija
Prenosne funkcije filtara drugog reda
Posebno važna klasa aktivnih mreža realizuje prenosne funkcije drugog
reda
H (s ) =
a 2 s 2 + a1 s + a0 a 2 (s + z1 )(s + z 2 )
=
.
(s + p1 )(s + p2 )
s 2 + b1 s + b0
Pod zajedničkim nazivom bikvadratne funkcije one služe kao osnovni
gradivni blokovi za širok dijapazon aktivnih filtara.
Ako se radi o realnim koeficijentima, polovi p 2 = p1* i nule, z 2 = z1*
dolaze u konjugovano – kompleksnim parovima, pa možemo pisati
ω
s 2 + z s + ω z2
s 2 +  2 Re ( z1 )  s + Re 2 ( z1 ) + Im 2 ( z1 )
qz
.
H (s) = K 2
=K
2
2
ωp
s +  2 Re ( p1 )  s + Re ( p1 ) + Im ( p1 )
2
2
s +
s + ωp
qp
149
Analogni filtri
Poslednja notacija je stantardna notacija bikvadratnih funkcija jer jasno
identificira važne parametre filtra. Pojačanje jednosmjerne komponente i
asimptotsko pojačanje za ω → ∞ su dati sa
 ω2
20 log10 H ( j 0 ) = 20 log10  K z2
 ω
p

20 log10 H ( j∞ ) = 20 log10 K




Funkcija pojačanja dostiže svoj maksimum približno na frekvenciji pola
ω p = Re( p1 )2 + Im( p1 )2
što je radijalna udaljenost od ishodišta do lokacije pola.
Frekvencija ω z odreñuje približno tačku u kojoj funkcija pojačanja ima
minimum
ω z = Re ( z1 )2 + Im ( z1 )2
što je radijalna udaljenost od ishodišta do lokacije nule.
Visina maksimuma na ω p odreñena je faktorom kvaliteta pola q p , koji je
definisan sa
qp =
ωp
Re( p1 ) + Im( p1 )
ωz
Re( z1 ) + Im( z1 )
2
2
,
=
2 Re( p1 )
2 Re( p1 )
a dubina minimuma na ω z je odreñena faktorom kvaliteta nule
qz =
2 Re( z1 )
2
=
2 Re( z1 )
2
.
Faktor kvaliteta pola odgovara oštrini pika u frekvencijskoj karakteristici.
Pri oštrijim pikovima trajanje prelaznog procesa je duže zbog malih vrijednosti
realnog dijela pola.
U mnogim slučajevima imamo q z = ∞ , tj., Re ( z1 ) = 0 i ω z = Im (z1 ) je
učestanost na kojoj imamo nulto pojačanje (beskonačno slabljenje).
150
Aktivni filtri
Nekoliko specijalnih slučajeva opšte bikvadratne funkcije je od posebne
važnosti:
- ako je a 2 = a1 = 0 , H (s ) je NP filtar drugog reda sa funkcijom prenosa
oblika
K ω 2p
H NP ( s ) =
ω
s 2 + p s + ω p2
qp
Napomenimo da H NP ( s ) ima dvostruku nulu za s → ∞ , DC pojačanje
H NP ( j 0 ) = K , i da za ω >> ω p
H NP ( jω ) opada sa faktorom 1 ω 2 ili
40dB po dekadi.
M = Kq p
1 − 1 4q 2p
ωM = ωP 1 − 1 2q 2p
Slika 6.30 NP filtar
- ako je a1 = a0 = 0 , H (s ) dobivamo prenosnu funkciju VP filtra
HVP ( s ) =
Ks 2
s2 +
ωp
qp
s + ω p2
gdje je K pojačanje kad ω → ∞ .
H ( jω ) raste na niskim frekvencijama kao ω 2 , dakle 40dB po dekadi.
M = Kq p
1 − 1 4q 2p
151
Analogni filtri
ωM = ωP
1 − 1 2q 2p
Slika 6.30 VP filtar
- ako je a 2 = a0 = 0 dobijemo propusnik opsega
K
H PO (s ) =
s2 +
ωp
qp
ωp
qp
s
s + ω 2p
gdje je K = H PO ( jω ) pojačanje u sredini propusnog opsega.
H PO (s ) ima jednostruke nule za s = 0 i s = ∞ , tako da za ω << ω p raste
a za ω >> ω p pada sa 20dB po dekadi i ima bekonačno slabljenje za s = 0 i
s = ∞.
Za velike vrijednosti q faktora, tj. q p >> 1 , H PO ( jω ) je približno
simetrično oko ω p .
152
Aktivni filtri
Slika 6.31 Filtar propusnik opsega
- ako je a1 = 0 dobijemo nepropusnik opsega
H NO (s ) =
a2 s 2 + a0
s2 +
ωp
qp
s + ω 2p
=
(
K s 2 + ω z2
s2 +
ωp
qp
)
s + ω 2p
gdje je K = H NO ( j∞ ) visokofrekvencijsko pojačanje.
Primijetimo da NO ili “notch” filtar ima beskonačno slabljenje (nulu
transmisije) za ω = ω z , i da su oštrina ureza kao i visina susjedne izbočine
kontrolisani sa q p . Za ω z > ω p imamo niskopropusni “notch”, za ω z < ω p
visokopropusni, a za ω z = ω p simetrični “notch” filtar.
153
Analogni filtri
Slika 6.32 Filtri nepropusnici opsega
M ≈ Kq p 1 − (ω z ω p ) , ωM ≈ ωP 1 +
1
2
(
1 − ω ω
z
p

)  2q
2
.
2
p
Ako želimo ekvilizator faze, odnosno kašnjenja, trebamo odrediti
koeficijente tako da je
ωp
1
sn + 1
qp
qp
H SO (s ) = K
=K
ωp
1
2
2
s n2 +
sn + 1
s +
s +ω p
qp
qp
s2 −
s + ω p2
s n2 −
gdje je K frekvencijski nezavisno pojačanje, a s n = s ω p normalizovana
frevkencija. Faza i kašnjenje su dati sa
φ SO (ω n ) = −2arctg
τ n , SO (ω n ) = ω pτ SO (ω n ) =
2
⋅
q p 1 − ω n2
(
ωn qp
1 − ω n2
1 + ω n2
) + (ω
2
qp )
2
n
, ωn =
ω
.
ωp
Faza i kašnjenje zavise od q p . Maksimalno glatka kriva kašnjenja se
postiže sa q p = 1
3 i predstavlja dobru aproksimaciju konstantnog kašnjenja
u opsegu 0 ≤ ω n < 1 , a za q p > 1
154
3 krive kašnjenja imaju pik na
Aktivni filtri
ω n ≈ 1 − 1 4q 2p vrijednosti τ SO ,max ≈ 4 q p ω p . Može se pokazati da je
τ n , NF (ω n ) = τ n ,VF (ω n ) = τ n , PO (ω n ) = τ n , NO (ω n ) = 0.5τ n ,SO (ω n ) .
Slika 6.33 Svepropusnik opsega
155
Analogni filtri
Slika 6.34 Grupno kašnjenje ( q p je parametar)
Sa Slike 6.34 je vidljivo da za veliko q p imamo velika izobličenja,
odnosno znatna odstupanja od željenog konstantnog kašnjenja. Svrha
ekvilizatora kašnjenja je da unesu dodatno kašnjenje tako da ukupno kašnjenje
bude što više glatko u frekventnom području od interesa. Za ove proračune je
najčešće potrebna pomoć računara, a za mala odstupanja ∆τ τ ≈ 10 − 20%
može pomoći i dijagram.
156
Aktivni filtri
Realizacija bikvadratne funkcije
Posmatrajmo mrežu na Slici 6.35.
Slika 6.35 Realizacija bikvadratne funkcije
Prenosne funkcije ove mreže su:
Tk ,l ( s ) =
Vk N k ,l ( s )
=
, k = c, d ; l = a , b
Vl
D0 ( s )
Jednostavnom analizom dobijamo:
1
V0 = [Tda ( s ) − Tca ( s )]Vi + [Tdb ( s ) − Tcb ( s )]Vo
A(s)
H (s) =
Vo
Tda ( s ) − Tca ( s )
=
Vi T ( s ) − T ( s ) + 1
cb
db
A( s )
Iz poslednje jednačine se jasno vidi da nam treba RC mreža drugog reda da
realizujemo bikvadratnu prenosnu funkciju H(s).
Primijetimo da su nule prenosne funkcije odreñene direktnim putem kroz
RC mrežu, dok polove odreñuje povratna veza.
Generisanje nula prenosne funkcije
Sopstvene učestanosti mreže (polovi) H(s) se pronalaze iz jednačine:
157
Analogni filtri
Tcb ( s ) − Tdb ( s ) +
1
=0
A( s )
i ne zavise od priključka a, tj. od od dovedenog ulaza Vi. Podsjetimo se da smo
polove tražili pod uslovom da je Vi=0, dok nule prenosne funkcije zavise od
mjesta gdje dovedemo ulazni signal (brojnik H(s) zavisi od priključka a). Stoga:
-nule prenosne funkcije se mogu kreirati bez narušavanja polova, dovodeći
ulazni signal na bilo koji priključak koji je prethodno bio vezan na masu.
U praksi to znači sljedeće: ako pronañemo mrežu sa željenim polovima
možemo kreirati nule transmisije uklanjajući (djelimično ili potpuno) vezu
nekog elementa sa mase i dovoñenjem ulaza na novoformirani priključak.
Generisanje polova prenosne funkcije
Razdvojimo RC mrežu na dvije mreže kao Slici 6.36.
Slika 6.36 Generisanje polova prenosne funkcije
Lako se pokaže da je:
1
VO = T fe ⋅ VO − Tcb ⋅ VO ⇒
A(s)
Tcb ( s ) − T fe ( s ) +

D1 ( s ) D2 ( s ) 
1
1
=
 N cb ( s ) ⋅ D2 ( s ) − N fe ( s ) ⋅ D1 ( s ) +
 = 0, ( *)
A ( s ) D1 ( s ) D2 ( s ) 
A( s)

Gdje su Ti , j prenosne funkcije mreža sa dva para krajeva. Ovo svoñenje mreže
sa 3 para krajeva na 2 mreže sa dva para krajeva ima za posljedicu povećanje
reda polinoma u nazivniku, tako da sada imamo 4 pola. Čak i ako se mreže
158
Aktivni filtri
projektuju da budu jednake, u praksi to nikad nije moguće postići i uvijek je
D1 ≠ D2 . Zbog toga, da bi dalje pojednostavili postupak biramo da jedna
mreža, recimo RC 2 , bude nezavisna od učestanosti, kao što je prikazano na
Slici 6.37.
Slika 6.37 ENF konfiguracija
Sada je:
Tcb ( s ) −
D (s)
K −1
K −1
1
1 
D1 ( s ) + 1
+
=
 N cb ( s ) −
=0
K
A ( s ) D1 ( s ) 
K
A(s) 
Ovako ostvarena povratna sprega, kao što ćemo kasnije vidjeti, utiče na
poboljšanje Q faktora. Pošto se dovodi na «-» ulaz, ovakvu konfiguraciju
nazivamo poboljšana negativna povratna sprega (enhancement negative
feedback, ENF).
Ako umjesto mreže RC 2 pretpostavimo da mreža RC1 ne zavisi od
učestanosti, imamo poboljšanu pozitivnu povratu spregu (EPF- enhancement
positive feedback), prikazanu na Slici 6.38.
159
Analogni filtri
Slika 6.38 EPF konfiguracija
Teorem:
Polovi mreže koja se sastoji od jednog OPAMP-a i RC mreže neće se
promijeniti ako istovremeno zamijenimo ulazne priključke OPAMP-a, te izlaz
OPAMP-a i masu.
Ovaj proces se naziva koplementarna transformacija, a dobijena mreža
komplementarna mreža.
Provjerimo teorem na mreži datoj na Slici 6.39.
Slika 6.39 Komplementarna transformacija
160
Aktivni filtri
T fg ( s ) − Tcg ( s ) +
T fg =
Tcg =
V fe
=
Vge
1
=0
A( s)
V fg + Vge
Vge
= 1−
V fg
Veg
= 1 − T fe
V
Vcb Vcg + Vgb
=
= 1 − cg = 1 − Tcb (**)
Vgb
Vgb
Vbg
T fg ( s ) − Tcg ( s ) +
1
1
1
= 1 − T fe ( s ) − (1 − Tcb ( s ) ) +
= Tcb ( s ) − T fe ( s ) +
A( s)
A( s)
A(s)
Dakle, krakteristične jednačine ove dvije mreže su jednake.
Mreža na Slici 6.38 dobijena je komplementarnom transformacijom mreže
na Slici 6.37. Dakle, ENF i EPF konfiguracija imaju jednake sopstvene
učestanosti.
Struktura RC mreže
Zadržaćemo se sada na strukturi RC mreže. Posmatraćemo ENF
konfiguraciju. Pošto razmatramo filtre drugog reda prenosna funkcija RC mreže
mora biti oblika:
Tcb ( s ) =
a2 s 2 + a1s + a0
s2 +
ω1
qp
s + ω12
=
N cb ( s )
D1 ( s )
gdje je qp<0.5 jer polovi RC mreže moraju biti jednostruki i ležati na
negativnom dijelu realne ose u s -ravni.
Polovi cijele mreže su nule funkcije:
T cb ( s ) −

 1
 K −1
K −1
1
1 
+
=  N cb ( s ) − 
−
 D1 ( s ) 
K
A ( s ) 
A( s ) 
 D1 ( s )
 K
Uz prepostavku da pojačanje operacionog pojačavača ne zavisi od
učestanositi i oznaku:
161
Analogni filtri
k0 =
K −1 1
−
K
A
imamo:
N cb ( s ) − k0 D1 ( s )
=
D1 ( s )

=
a2 s 2 + a1s + a0 − k0 s 2 − k0
( a2 − k0 ) s 2 +  a1 − k0

a1 − k0
s2 +
=
D1 ( s )
ω1 
 s + ( a0 − k0ω1 )
q p 
D1 ( s )
ω1
qp
s − k0ω12
=
2
=
ω1
qp
a − k ω2
ω
s + 0 0 1 s 2 + 0 s + ω02
a2 − k 0
a2 − k 0
Q
.
=
D1 ( s )
D1 ( s )
a 2 − k0
a2 − k 0
Mijenjajući nazivnik funkcije prenosa prethodnim izrazom, dobijamo:
H ( s) =
N ( s)
Tda ( s ) − Tca ( s )
=
=
D ( s ) T ( s) − T ( s) + 1
cb
db
A
1
[T ( s) − Tca ( s)] D1 ( s )
a2 − k0 da
s2 +
ω0
Q
s + ω02
.
Kako je pojačanje OPAMP-a A parametar visoke varijabilnosti potrebno je
ω0 učiniti nezavisnim od A. Kako se poreñenjem iz prethodnih jednačina vidi da
je:
ω 02 =
a0 − k0ω12
,
a2 − k0
to je moguće na dva načina.
Prvi način, ako postavimo a2=a0=0 tako da Tcb bude propusnik opsega,
dovodi do toga da su polovi polinoma D(s) u desnoj poluravni i ENF filtar neće
biti stabilan.
Zato biramo drugu mogućnost: a0 = a2ω12 , tako da je:
162
Aktivni filtri
Tcb ( s ) = a2
ω0
Q
s2 +
s +
a1 − k0
=
2
qz
ω1
qp
s + ω12
s +ω
,
2
1
ω1
qp
a2 − k 0
ω1 = ω0 , a1 = a2
Q=
ω1
ω1
qz
qz
q
, q = z −1
k0
qp
q
1−
a2 − k 0
Primijetimo da uslov Q>0, uz a2>k0 , zahtjeva da bude:
qk0
< 1 , odnosno:
a2 − k0
qp
qp
1
1
> 1 − − a2
≈ 1 − a2
K
A
qz
qz
Ova razmatranja izvedena su pod pretpostavkom da pojačanje OPAMP-a A
ne zavisi od učestanosti, što je daleko od onog što imamo u praksi.
Primijetimo da je frekvencija pola ω0 identična frekvenciji pola ω1 RC
mreže, te je odreñena samo pasivnim komponentama. Svi dobri aktivni filtri
treba da budu projektovani tako da imaju ove osobine.
Slična analiza se može sprovesti i za EPF konfiguraciju:
Tcg ( s ) =
N cg ( s )
D1 ( s )
D ( s ) = Tcg ( s ) −
=
a2 s 2 + a1s + a0
s2 +
ω1
qp
s + ω12

 1
1
1
1
1 
−
=  N cg ( s ) −  +
 D1 ( s ) 
K A ( s ) 
 D1 ( s )
 K A(s) 
163
Analogni filtri
1 1
+
K A
a − k ω2
ω 02 = 0 1 1
a2 − k1
k1 =
birajući a2=a0=0 imamo:
ω1
Tcg ( s ) =
qz
s2 +
ω1
qp
s
s + ω12
ω 0 = ω1 , Q = qz
1
1 − k1
q−
k1
Za stabilnost je potrebno Q>0, tj. q>(1-k1)/k1, ili:

q 
 ≈ K < z 
qp 

Ako bi izabrali a0 = a2ω12 može se pokazati da iz uslova stabilnosti Q>0
1 1 qp
+ >
K A qz
dobijamo:
1 1
q
+ < a2 z
K A
qp
Kako prilikom dovoñenja napajanja A raste od 0 do neke velike vrijednosti
očito je da prethodnu jednačinu nije moguće trenutno zadovoljiti (kolo može
prooscilovati). Prema tome, EPF konfiguracije realizujemo RC mrežama tipa
propusnika opsega.
REALIZACIJA RC MREŽE
Za realizaciju bikvadratne funkcije RC mreže:
T (s) =
N (s)
D1 ( s )
=
a2 s 2 + a1s + a0
s2 +
ω1
qp
s + ω12
prilikom realizacije aktivnih filtara biramo a0 = a2ω12 ili a2=a0=0
164
Aktivni filtri
Uvedimo pojam opterećene premoštene T mreže koja je ”komplementarna
sama sebi”, tj. mreža i njen komplement koji se dobiju zamjenom izlaza i mase
imaju istu topologiju, datu na Slici 6.40.
Slika 6.40 Premoštena T mreža
Prenosne funkcije su:
Tcb ( s ) =
Tcg ( s ) =
N cb ( s )
Y2Y3 + Y4 (Y1 + Y2 + Y3 )
=
D( s )
(Y1 + Y2 + Y3 )(Y4 + Y5 ) + Y3 (Y1 + Y2 )
N cg ( s )
D (s)
=
Y1Y3 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 )
(Y1 + Y2 + Y3 )(Y4 + Y5 ) + Y3 (Y1 + Y2 )
Za generisanje nula prenosne funkcije bikvadratne sekcije potrebno je
ukloniti dijelove admitansi sa mase kao što je prikazano na Slici 6.41.
165
Analogni filtri
Slika 6.41 Generisanje nula
Odgovarajuće prenosne funkcije su:
Tca ( s ) =
Tca ( s ) =
β1Y1Y3 + β 5Y5 (Y1 + Y2 + Y3 )
Vc
|Vb = 0 =
Va
(Y1 + Y2 + Y3 )(Y4 + Y5 ) + Y3 (Y1 + Y2 )
β 2Y2Y3 + β 4Y4 (Y1 + Y2 + Y3 )
Vc
|Vg =0 =
Va
(Y1 + Y2 + Y3 )(Y4 + Y5 ) + Y3 (Y1 + Y2 )
Kako bismo ralizovali prenosnu funkciju ENF aktivnog filtra:
Tcb ( s ) = a2
166
s2 +
s2 +
ω1
qz
ω1
qp
s + ω12
s + ω12
Aktivni filtri
moraju koeficijetni uz najviše stepene polinoma u brojniku Ncb(s) i nazivniku
D(s) biti jednaki. Razumljivo je prihvatiti Y5=0 jer ta impedansa utiče samo na
D(s). Uz Y5=0 imamo dvije opcije za generisanje Tcb(s):
A)
Y1 = G1 , Y2 = C2 s, Y3 = C3 s, Y4 = G4
Tcb ( s ) =
Tca ( s ) =
C2C3 s 2 + ( C2 + C3 ) G4 s + G1G4
C2C3 s 2 + ( G1 + G4 ) C3 + G4C2  s + G1G4
β1G1C3 s
C2C3 s + ( G1 + G4 ) C3 + G4C2  s + G1G4
2
Poredeći sa izrazom za ENF bikvadratnu funkciju:
Tcb ( s ) = a2
s2 +
s2 +
ω1
qz
ω1
qp
s + ω12
s + ω12
imamo:
a2 = 1, ω12 =
q=
G1 / G4
G1 / G4
G1G4
, qz =
, qp =
C2C3
C2 / C3 + C3 / C2
C2 / C3 + C3 / C2 (1 + G1 / G4 )
qz
G1 / G4
−1 =
qp
1 + C2 / C3
K
1 − Tca
V0
α
α
H (s) = = −
Vi
K −1 1 − K T
cb
K −1
 1
1 
KG 

s 2 +  +  G4 + 1 − β1  1  s + ω 02
α  C2 

 C2 C3 
H (s) = α
ω
s 2 + 0 s + ω 02
Q
qz
ω 0 = ω1 , Q =
1 − ( K − 1) q
167
Analogni filtri
Slika 6.42 ENF filtar
B)
Y1 = C1s, Y2 = G2 , Y3 = G3 , Y4 = C4 s
Tcb ( s ) =
Tca ( s ) =
C1C4 s 2 + ( G2 + G3 ) C4 s + G2G3
C1C4 s 2 + ( G2 + G3 ) C4 + C1G3  s + G2G3
β1C1G3 s
C1C4 s + ( G2 + G3 ) C4 + C1G3  s + G2G3
2
U ovom slučaju imamo:
168
Aktivni filtri
a2 = 1, ω12 =
q=
C1 / C4
C1 / C4
G2G3
, qz =
, qp =
C1C4
G2 / G3 + G3 / G2
G2 / G3 + G3 / G2 (1 + C1 / C4 )
qz
C1 / C4
−1 =
qp
1 + G2 / G3
H (s) = −
H (s) = α
α
1−
K
α
Tca
K −1 1 − K T
cb
K −1
 G + G3 
K G 
s2 +  2
+ 1 − β1  3  s + ω 02
α  C4 

 C1
ω 0 = ω1 , Q =
s2 +
ω0
Q
s + ω 02
qz
1 − ( K − 1) q
169
Analogni filtri
Slika 6.43 ENF konfiguracija
170
Aktivni filtri
Razmotrimo sada realizaciju EPF prenosne funkcije propusnika opsega. Uz
Y5=0 imamo:
Tcg ( s ) =
N cg ( s )
D (s)
=
Y1Y3
(Y1 + Y2 + Y3 ) Y4 + (Y1 + Y2 ) Y3
β Y Y + β 4Y4 (Y1 + Y2 + Y3 )
Vc
|Vg =0 = 2 2 3
Va
(Y1 + Y2 + Y3 ) Y4 + (Y1 + Y2 ) Y3
Tca ( s ) =
Opet postoje dvije mogućnosti za kreiranje prenosne funkcije filtra:
A)
Y1 = G1 , Y2 = C2 s, Y3 = C3 s, Y4 = G4
Tcg ( s ) =
C3G1s
C2C3 s + ( C2 + C3 ) G4 + G1C3  s + G1G4
Tca ( s ) =
β 2C2C3 s 2 + β 4G4 ( C2 + C3 ) s + G1 
Vc
|Vg =0 =
Va
C2C3 s 2 + ( C2 + C3 ) G4 + G1C3  s + G1G4
ω12 =
q=
2
G4 / G1
G4 / G1
G1G4
1
, qz =
, qp =
C2C3
C3 / C2
C3 / C2 1 + ( G4 / G1 )(1 + C2 / C3 )
qz
G  C 
− 1 = 4 1 + 2 
qp
G1  C3 
H (s) =
η =α
V0
= −K
Vi
 1
1 
G 
+  G4 (η − β 4 ) + η 1  s + (η − β 4 ) ω 02
C2 
 C2 C3 
(η − β 2 ) s 2 + 
s2 +
ω0
Q
s + ω 02
K −1
K
ω 0 = ω1
Q=
qz
q +1− K
171
Analogni filtri
Slika 6.44 EPF filtar
172
Aktivni filtri
B)
Y1 = C1s, Y2 = G2 , Y3 = G3 , Y4 = C4 s
Tcg ( s ) =
C1G3 s
C1C4 s + ( G2 + G3 ) C4 + C1G3  s + G2G3
2
β 4 C1C4 s 2 + ( G2 + G3 ) C4 s  + β 2G2G3
Vc
Tca ( s ) = |Vg =0 =
Va
C1C4 s 2 + ( G2 + G3 ) C4 + C1G3  s + G2G3
ω12 =
q=
G2 / G3
G2 / G3
G2G3
1
, qz =
, qp =
C1C4
C1 / C4
C1 / C4 1 + ( C4 / C1 )(1 + G2 / G3 )
qz
C  G 
− 1 = 4 1 + 2 
qp
C1  G3 
H (s) =
V0
= −K
Vi
ω 0 = ω1 , η = α
 G2 + G3
G 
(η − β 4 ) + η 3  s + (η − β 2 ) ω02
C4 
 C1
(η − β 4 ) s 2 + 
s2 +
ω0
Q
s + ω 02
K −1
qz
,Q=
K
q +1− K
173
Analogni filtri
Slika 6.45 EPF filtar
174
Aktivni filtri
6.3 OSJETLJIVOST
Sinteza mreže obuhvata:
(1) izbor odgovarajuće konfiguracije mreže, gdje, posebno kod
projektovanja aktivnih filtara, postoje brojne mogućnosti;
(2) izračunavanje nominalnih vrijednosti elemenata;
(3) selekcija, iz mnoštva raspoloživih konfiguracija, one konfiguracije koja
će u praksi, sa realnim komponentama, najmanje odstupati od nominalnih
vrijednosti (fabričke tolerancije, odstupanja sa temperaturom, hemijske
promjene tokom godina...).
Budući da svi koeficijenti, pa prema tome i nule i polovi prenosne funkcije
H (s ) , zavise od elemenata kola, očekivati je da filtar odstupa od onog što je
projektovano. Veličina greške zavisi od toga kolike su tolerancije komponenti i
od toga kako su performanse kola osjetljive na te tolerancije.
Neka je x jedna od komponenti. Bilo koji kriterij performansi P zavisi od
x , tj. P = P (x ) . Ako se mjera performansi odnosi na funkciju H (s )
(magnitudu ili fazu), onda je P funkcija učestanosti P = P (s , x ) . Intuitivno
prihvatljiv matematički metod za odreñivanje odstupanja P prouzrokovanog
greškom dx = x − x0 dat je razvojom u Tejlorov red P (s, x ) oko nominalne
vrijednosti komponente x0 :
P (s , x ) = P (s , x 0 ) +
∂P(s, x )
1 ∂ 2 P (s, x )
(dx )2 + ⋅ ⋅ ⋅
dx +
2
∂x x0
2 ∂x
x
0
Ako podrazumijevamo da je dx / x0 << 1 i da zakrivljenost P (s, x ) u
okolini x0 nije ”suviše velika”, možemo zanemariti drugi i više izvode u
razvoju u red pa imamo:
∆P(s, x0 ) = P(s, x0 + dx ) − P(s, x0 ) ≈
∂P(s, x )
dx
∂x x0
U većini situacija više nas zanima relativna promjena nego apsolutna
promjena ∆P prouzrokovana apsolutnom promjenom dx .
Zato normalizujemo
∆ P (s , x 0 )
x0
∂P (s, x ) dx
≈
⋅
P (s , x 0 ) P (s , x 0 )
∂x x0 x 0
gdje član
175
Analogni filtri
∂P
d ( ln P )
= P
=
∂x
d ( ln x ) x
x0
0
x x0
nazivamo osjetljivošću na male promjene jednog parametra.
S xP nam neposredno daje relativnu promjenu
∂P ( s , x )
x0
S xP =
⋅
P ( s , x0 )
∂x
∆P
dx
≈ S xp
P
x
često označenu kao varijabilnost nekog kriterija performansi P .
Dakle relativna promjena P je S xP puta veća od relativne promjene
parametra x od koga P zavisi.
Evidentno je da ”dobra” kola imaju malu osjetljivost na svoje elemente, pa
se mogu ugraditi jeftiniji elementi sa većim tolerancijama.
Primjer:
Kolo na slici 3.48. realizuje PO drugog reda sa centralnom učestanošću
f 0 = 3kHz i faktorom kvaliteta Q = 20 . Izračunaj osjetljivost S xω 0 , S kQ i
H
S k , gdje x označava bilo koju pasivnu komponentu, a K je naponsko
pojačanje.
Slika 6.46 Aktivni filtar propusnik opsega
176
Aktivni filtri
Rješenje:
H (s ) =
V2
K
=−
⋅
V1
K −1
s τ1
 2 1
1 
1
 +
s + s − ⋅
 τ 2 τ 1 K − 1  τ 1τ 2
τ 2 = CR2 .
, τ 1 = CR1 ,
2
Centralna frekvencija je
1
ω0 =
τ 1τ 2
=
1
C 2 R1 R2
a faktor kvaliteta
Q=
Primijetimo da ω 0
S Rωi0 =
r
2−r
2
(K − 1)
, r 2 = R2 R1 .
ne zavisi od pojačanja
Ri ∂ω 0
1
C ∂ω 0
⋅
= − , S Cω 0 =
⋅
= −1 .
ω 0 ∂Ri
2
ω 0 ∂C
Da su kondenzatori bili različiti ( C1 ≠ C2 , ω 0 =
K , pa je S kω0 ≡ 0 ,
1
) imali bi
R1C1 R2C 2
S Cωi0 = −0.5 . Korisno je primjetiti da ω 0 mora biti obrnuto proporcionalno
kvadratnom korijenu iz proizvoda dvije vremenske konstante. Prema tome 0.5
je minimalna vrijednost osjatljivosti ω 0 na pasivne komponente u bilo kom
aktivnom filtru.
Vratimo se na izraz za Q . Kako r i K mogu biti proizvoljno izabrani
uvešćemo ograničenje K > 0.5r 2 + 1 jer Q mora biti pozitivno.
K −1
, i K − K 0 = 15125 za Q = 20 .
2K − 3
K ∂Q
K
S KQ = ⋅
=−
= −115
(K − 1)(2 K − 3) K 0
Q ∂K
Ako izaberemo r = 1 ⇒ Q =
tako da vrlo mala promjena pojačanja od recimo 0.25% rezultuje u
promjeni Q za 29% ! Ova situacija je potpuno neprihvatljiva jer se u praksi
teško postiže dobra stabilnost pojačanja.
Napomenimo da je osjetljivost funkcija nominalnih vrijednosti elemenata.
U našem slučaju R je u zavisnosti od r kojeg smo proizvoljno postavili na 1.
Ostavljajući da r bude slobodan parametar, izračunajmo osjetljivost
177
Analogni filtri
S KQ = −rQ
K
(K − 1)2
uz napomenu da su K i r vezani relacijom
1
2
1
= 2−
K −1 r
rQ
te je
S KQ = 1 +
4
1 2Q 
2
−
−
1 + 2  .
2
r
rQ r  r 
Sad vidimo da se mnogo bolji rezultati postižu sa većim vrijenostima r ,
npr. za r = 6 ⇒ S KQ ≈ −5.9 .
Da bi dovršili projektovanje, biramo r = 6 , f 0 = 3kHz i C = 5nF , pa
imamo:
R1 =
1
, R 2 = r 2 R1 = 63.66kΩ , K = 22.18 .
πf 0C
Pojačanje je povećano, ali još uvijek lako realizibilno.
H
Konačno, računamo S k :
(ωω 0 Q )
−1
+
S KQ
K − 1 ω 02 − ω 2 2 + (ωω 0 Q )2
2
Sk =
H
(
)
što se mora tačno izračunati u frekventnom području od interesa.
Iako osjetljivost performansi na jedan parametar S xR zanemaruje uticaj
ostalih parametara, ipak je korisno da se odredi najkritičnija (i najmanje
kritična) komponenta kola.
Dok je osjetljivost data sa
x dP d ( ln P )
⋅
=
P dx d ( ln x )
semirelativna mjera osjetljivosti data je sa
Sx ( ) =
P x
QxP ( x ) = x
dP
dx
i često je vrlo korisna, recimo, kad nas ne zanima relativna, već apsolutna
promjena P , kao što je slučaj kod pomjeraja polova i nula u s-ravni.
178
Aktivni filtri
Važne osobine:
P( x ) = P1 (x ) ⋅ P2 (x ) ⇒ S xP1P2 = S xP1 + S xP2
P ( x ) = P1 ( x ) P2 ( x ) ⇒ S xP1
P2
S xP (Y ( x )) = S YP ⋅ S xY
= S xP1 − S xP2
Npr. ako nula ω z ”notch” filtra zavisi od proizvoda otpornika R i
kondenzatora C čije vrijednosti zavise od temperature, osjetljivost nule od
tepmerature je
STω z = S Rω z ⋅ STR + SCω z ⋅ STC .
Primjer:
Pronaći relaciju izmeñu temperaturnih koeficijenata otpornika α R i
kondenzatora α C , tako da pri projektovanju aktivnog filtra tehnologijom tankog
filma frekvencija pola ω 0 = 1
temperature.
R1C1 R2 C 2 bude neosjetljiva na varijacije
Rješenje:
U opštem slučaju, za ω 0 = ω 0 Ri , C j
STω0
(
)
= ∑Sω ⋅ S + ∑Sω
0
Ri
Ri
T
0
Cj
i
⋅ ST j
C
j
Kako se svi otpornici u ovoj tehnologiji rade na istom substratu i istim
materijalima, svi otpornici imaju istu temperaturnu zavisnost
Ri = Ri 0 [1 + α R (T − T0 )].
Slično vrijedi za kondenzatore
Ci = Ci 0 [1 + α C (T − T0 )]
gdje je T0 nominalna radna temperatura.
Prema tome
S TRi =
pa je
T dRi
⋅
Ri dT
= α R T0 , S TCi = α C T0 ,
T0
STω 0 = α RT0 ∑ S Rωi0 + α C T0 ∑ S Cωj0 ⇒ α R = −α C .
i
j
179
Analogni filtri
Dakle, treba odabrati materijal takav da temperaturni koeficijenti otpornika
i kondenzatora zadovoljavaju uslov α R = −α C , i tada je promjena
dω 0 dT = 0 .
OSJETLJIVOST FUNKCIJE PRENOSA
N ( s ) am s m + am −1s m −1 + ... + a1s + a0
=
D( s)
s n + bn −1s n −1 + ... + b1s + b0
Ako pretpostavimo da oba polinoma N i D zavise od elementa kola x ,
H ( s) =
onda je:
S xH = S xN − S xD = x(
1 ∂N 1 ∂D
−
)
N ∂x D ∂x
Na primjer, ako samo jedan koeficijent, recimo bi zavisi od x , onda je:
S xH = − S xD = − SbDi S xbi
1 i
bi s
D
1
x ∂bi x ∂bi i
S xD = bi s i ⋅
=
s
D
bi ∂x D ∂x
SbDi =
Ako više koeficijenata zavisi od parametra x , vrijedi:
S xH =
x
N
∂a j
∑ ∂x
j
sj −
∂bi i
x
s (*)
∑
D i ∂x
gdje sumiramo po svim koeficijentima koji zavise od x .
Vidjeli smo da osjetljivost funkcije prenosa na neki od elemenata
možemo računati preko osjetljivosti koeficijenata polinoma. Osim toga,
možemo se pitati kakav je uticaj pomijeranja polova i nula na osobine funkcije
prenosa. Pronañimo logaritam unkcije prenosa yapisane u faktorizovanom
obliku:
180
Aktivni filtri
m
n
i =1
i =1
ln H = ln K + ∑ ln ( s − zi ) −∑ ln ( s − pi ) , K = am / bn
gdje K , zi i pi zavise od x . Deriviranjem i množenjem sa x :
m
S xH = S xK − ∑
i =1
n
Qxzi
Q pi
+∑ x
s − zi i =1 s − pi
što nam pokazuje da je uticaj pomijeranja nula i polova na funkciju mreže
najveći na učestanostima koje su bliske nulama i polovima.
Primijetimo da S XH ima polove na svim mjestima gdje su polovi i nule
prenosne funkcije, te da poslednji izraz predstavlja razvoj S XH na parcijalne
razlomke sa rezidumima QXzi i QXpi .
S XH → ∞ za fizičke učestanosti zi = jωZi , a isto je jako velika u blizini
polova sa velikim faktorom kvaliteta Q , jer su takvi polovi blizu jω ose pa je
| jω − pi | malo.
OSJETLJIVOST KORIJENA FUNKCIJE PRENOSA
Vidjeli smo da se osjetljivost funkcije prenosa može izraziti preko
semirelativne osjetljivosti nula i polova:
Qxpi = x
∂pi
∂z
, Qxzi = x i
∂x
∂x
Za polinome reda višeg od četiri teško je eksplicitno izraziti zi i pi u
zavisnosti od elemenata kola.
Izjednačavajući ranije odreñene izraze za S XH dobijamo:
m
Qxzi
Qxpi
1 ∂N 1 ∂D
S −∑
+∑
= S xN − S xD = x (
−
)
N ∂x D ∂x
i =1 s − zi
i =1 s − pi
m
K
x
pa je:
Qxpi
1 ∂N 1 ∂D
lim x (
−
) = lim
s → pi
s → pi s − p
N ∂x D ∂x
i
gdje smo koristili činjenicu da je Qxpi
( s − pi ) dominantan član u razvoju.
Ako se sjetimo da je p i nula polinoma D ( s ) , tada (1/ D ) ∂D / ∂x dominira
nad (1/ N ) ∂N / ∂x pa imamo:
181
Analogni filtri
 x ∂D Qxpi 
lim 
+
=0
s → pi D ∂x
s
p
−
i



1 ∂D ( s , x ) 
Qxpi = lim  x ( s − pi )

s → pi
D ( s, x )
∂x 

U nekim situacijama, računanje se može još više pojednostaviti sa:
lim
s → pi
D ( s, x )
s − pi
= lim
s → pi
∂D ( s, x )
∂s
tako da je:
 ∂D ( s, x ) / ∂x 
Qxpi = − lim  x

s → pi
 ∂D ( s, x ) / ∂s 
Slično odreñujemo osjetljivost nula:
 ∂N ( s, x ) / ∂x 

1 ∂N ( s, x ) 
= − lim  x
Qxzi = − lim  x ( s − zi )


s → zi
s → zi
N ( s, x)
∂x 

 ∂N ( s, x ) / ∂s 
Ako je x jedan od koeficijenata polinoma D (s ) , x = b j , imamo specijalni
slučaj ∂D / ∂b j = s j i

Q = − lim b j s j
s → pi


Qbzji = − lim  a j s j
s → Zi

pi
bj
bj s j
s − pi 
 = − lim
s → pi ∂D s , b
D ( s, b j ) 
( j ) / ∂s
ajs j
s − zi 
 = − lim
s → zi ∂N s , a
N ( s, a j ) 
( j ) / ∂s
Ovo vrijedi samo za jednostruke korijene.
Višestruki korijeni se u filtrima rijetko javljaju izuzev s = 0 i s = ∞ pa to
nećemo ni razmatrati.
Jednom kad je poznata osjetljivost može se aproksimativno odrediti
pomak korijena. Neka je Qxp0 poznato, tada je nova lokacija pola:
p1 = p0 + dp0 ≈ p0 + Qxp0
182
dx
x
Aktivni filtri
Primjer:
Data je funkcija mreže NF filtra
H (s) =
1.4314 ( s 2 + 2 )( s 2 + 3)
s 5 + 4.5817 s 3 + 14.473s 2 + 11.210 s + 8.5883
sa polovima:
p1 = −2.63759 p2,3 = −0.184484 ± j1.33914
p4,5 = −0.787586 ± j1.33914
Ako se funkcija realizuje kao aktivni filtar i ako koeficijenti uz s 4 i s 2
zavise od pojačanja K OPAMP-a kao:
K 

4.5817 = 23.67211 −

 1.24 
14.473 = 38.08684 (1 − 0.62 K )
sa nominalnom vrijednošću K = K 0 = 1 , odrediti osjetljivost pola sa
najvećim faktorom kvaliteta i njegovu novu lokaciju kad se K mijenja za ±3%
u odnosu na svoju nominalnu vrijednost.
Rješenje:
Pol p 2 je najbliži ishodištu pa ima najveći Q:
∂D ( s , K )
23.6721 4
=−
s + 38.08684 ⋅ 062 s 2
∂K
1.24
∂D ( s , K )
= 5s 4 + 18.3268s 3 + 28.4151s 2 + 28.946 s + 11.210
∂s
Izračunavajući ove vrijednosti za s = p20 = −0.18448 + j1.14676
∂D ( p20 , K )
= 2.33984 − j10.7035
∂K
∂D ( s, K )
| p20 = −9.99696 + j1.09942
∂s
tako da je:
 ∂D ( s, K ) / ∂K 
QKp2 = − lim  K
 = 0.3476 − j1.0323
s → p2
∂
D
s
,
K
/
∂
s
(
)


dK
a nova lokacija p2 = p20 + dp2 ≈ p20 + QKp2
K
183
Analogni filtri
pa za:
dK K = 0.03, K = 1.03 ⇒ p 2 = −0.174 + j1.116
dK K = −0.03, K = 0.97 ⇒ p 2 = −0.195 + j1.178
MULTIPARAMETARSKA OSJETLJIVOST
Da bi dobili realniju sliku o ponašanju filtra pod uticajem tolerancija
elemenata, moramo uzeti u obzir da funkcija mreže zavisi od mnogo parametara
odnosno elemenata xi , i = 1, 2,..., K , koji svi istovremeno utiču na ponašanje
filtra.
Ako mjera performansi P zavisi od K parametara i ako je:
X = { x1 x2 ... xk } ,
T
onda je:
K
dP = ∑
i =1
k
 x ∂P  dxi
∂P
|xi 0 ⋅dxi = P ∑  i

∂xi
i =1  P ∂xi  x xi 0
i0
dP K P dxi
≈ ∑ Sx
P i =1 i xi 0
gdje se osjetljivosti računaju oko nominalne tačke
X 0 = { x10 x20 ... xk 0 }
T
Definišući vektore:
{
S PX = S xP1 S xP2 ... S xPK
}
T
ˆ =  dx1 dx2 ... dxK 
dX
 x10 x20 xK 0 
možemo pisati u kompaktnoj formi:
T
dP
ˆ
≈ ( S PX ) ⋅ dX
P
184
Aktivni filtri
6.3.1 PROIZVOD POJAČANJA I OSJETLJIVOSTI
Pojačanje operacionog pojačavača u otvorenoj petlji je veoma veliko i
sa velikom varijabilnošću dA A . Zbog toga se pri projektovanju filtara koriste
pojačavači sa povratnom spregom koja smanjuje pojačanje na neku manju
vrijednost µ sa manjom varijabilnošću d µ µ .
Varijabilnost pojačanja kola povratne veze ENF i EPF filtara je manja
od varijabilnosti pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi.
Posmatrajmo prvo pojačavač sa povratnom spregom kod ENF filtra
prikazan na Slici 6.47.
−
Vul
Vizl
+
R
( K − 1) R
Slika 6.47 Pojačavač sa povratnom spregom kod ENF filtra
Pojačanje ovog pojačavača je:
µ1 =
Vizl ( s )
Vul ( s )
=
KA
.
( K − 1) A − K
Znajući da je u praksi K ≪ A , pojačanje je približno jednako:
K
µ1 ≈
.
K −1
Osjetljivost pojačanja pojačavača sa povratnom spregom na promjenu
pojačanja operacionog pojačavača je:
A ∂µ1 A
−K 2
A µ 
µ
K A
.
⋅
= ⋅
= − ⋅ 1  = − 1 ≈ −
2
µ1 ∂A µ1 ( K − 1) A − K 
µ1  A 
A
K −1


2
S Aµ1 =
Varijabilnost pojačanja povratne sprege iznosi:
185
Analogni filtri
d µ1
µ1
= S Aµ1
dA
dA
K dA
.
= − µ1 2 ≈ −
A
A
K − 1 A2
Dakle, uz uslov K<<A koji je u praksi uvijek zadovoljen, varijabilnost
pojačanja pojačavača sa povratnom spregom je manja od varijabilnosti
pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi.
Uz pretpostavku da neki kriterij performansi filtra P zavisi od pojačanja
povratne sprege, osjetljivost tog kriterija performansi na promjenu pojačanja
operacionog pojačavača A se može izraziti preko njegove osjetljivosti na
promjenu pojačanja u povratnoj sprezi:
S AP = S µP1 S Aµ1 = −
µ1
S µP ,
A 1
pa je varijabilnost posmatranog kriterija performansi:
dP
dA
dA
dA
dA
= S AP
= S µP1 S Aµ1
= − µ1S µP1 2 = −Γ µP1 2 .
P
A
A
A
A
Dakle, varijabilnost je proporcionalna faktoru Γ Pµ1 = µ1 S µP1 koji nazivamo
proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana dA A 2
koji zavisi samo od
upotrijebljenog operacionog pojačavača. Zato se Γ µ1 koristi kao mjera za
P
poreñenje različitih struktura filtara, pri čemu se smatra da je bolja ona
realizacija koja ima manju apsolutnu vrijednost proizvoda pojačanja i
osjetljivosti.
Varijabilnost se može izraziti i preko umnoška faktora Γ PK = KS KP i člana
dA A 2 :
(
)
(
)
dP
dA
dA
dA
= S AP
= − µ1 S µP1 2 = − µ1 S KP S µK1 2 =
P
A
A
A
P dA
P dA
= ( KS K ) 2 = Γ K 2 .
A
A
Vrijedi da je Γ µP1 = Γ PK , te se pri optimizaciji ENF filtara umjesto Γ µP1
može koristiti Γ PK .
Za pojačavač sa povratnom spregom kod EPF filtra prikazan na Slici 6.48,
uz K ≪ A , odgovarajuće pojačanje i njegova osjetljivost na promjenu
pojačanja operacionog pojačavača su:
186
Aktivni filtri
µ2 =
S Aµ2 =
Vizl
K
=
≈K,
Vul 1 + K / A K ≪ A
A ∂µ 2
A
K2
A
⋅
=
⋅
=
2
µ 2 ∂A µ 2 ( K + A )
µ2
µ
K
µ 
⋅ 2  = 2 ≈ .
A A
 A
2
Varijabilnost pojačanja pojačavača sa povratnom spregom kod EPF filtara
je manja od varijabilnosti pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi i
iznosi:
d µ2
dA
dA
dA
= S Aµ 2
= µ2 2 ≈ K 2 .
A
A
A
µ2
Osjetljivost nekog kriterija performansi filtra P na promjenu pojačanja
operacionog pojačavača A izražena preko njegove osjetljivosti na promjenu
pojačanja µ 2 pojačavača sa povratnom spregom je:
S AP = S µP2 S Aµ2 =
µ2
A
SµP2 ,
te je varijabilnost jednaka umnošku faktora Γ µP2 = µ 2 S µP koji nazivamo
2
2
proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana dA A :
dP
dA
dA
dA
dA
= S AP
= S Aµ2 S µP2
= µ 2 SµP2 2 = Γ µP2 2 .
P
A
A
A
A
+
Vul
−
Vizl
( K − 1) R
R
Slika 6.48 Pojačavač sa povratnom spregom kod EPF filtra
Kod pojačavača koji se koristi kod EPF filtra, vodeći računa da je S µK2 = 1 ,
varijabilnost se može izraziti i preko umnoška faktora Γ PK = KS KP i člana
dA A 2 :
187
Analogni filtri
(
)
(
)
dP
dA
dA
dA
dA
dA
= S AP
= KS µP2 2 = KS KP S µK2 2 = ( KS KP ) 2 = Γ KP 2
P
A
A
A
A
A
pa je, prema tome:
Γ µP2 = Γ PK .
Dakle, apsolutna vrijednost varijabilnosti je proporcionalna faktoru
Γ = K S KP koji nazivamo proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana dA A 2
P
K
koji zavisi samo od upotrebljenog OPAMP-a. Zato se proizvod pojačanja i
osjetljivostu koristi kao mjera za poreñenje različitih filtarskih struktura.
Na primjer, pretpostavimo da imamo OPAMP sa A = 104 i
dA / A = 60% . Neka jedan filtar ima osjetljivost S µP = 6 uz potrebno pojačanje
µ = 95 , a drugi filtar ima veću osjetljivost S µP = 38 , ali je potrebno manje
pojačanje, µ = 4 . Varijabilnosti su:
dP
1)
= 95 ⋅ 6 ⋅ 0.6 ⋅10−4 = 3.4%
P
dP
2)
= 4 ⋅ 38 ⋅ 0.6 ⋅10 −4 = 0.91%
P
što pokazuje da je drugi filtar pogodniji iako ima 6 puta veću osjetljivost.
Da bi smanjili varijabilnost potrebno je izabrati OPAMP sa što većim
pojačanjem. (zbog dA A 2 )
Pri projektovanju filtara potrebno je voditi računa da osjetljivosti budu što
manje. Budući da postoji odreñen stepen slobode pri izboru vrijednosti
elemenata pri projektovanju ENF i EPF filtara, vrši se optimizacija tako da se
minimizira proizvod pojačanja i osjetljivosti, pri čemu se vodi računa i o
osjetljivostima na pasivne komponente.
Izborom a0 = a2ω12 kod ENF i a0 = a2 = 0 kod EPF filtra je postignuto da
frekvencija pola ω 0 ne zavisi od pojačanja operacionog pojačavača A i odnosa
otpornika K u otpornom dijelu pasivne mreže, te su odgovarajuće osjetljivosti
jednake nuli: S ωA 0 = 0, S Kω0 = 0 . Osjetljivost frekvencije pola ω 0 na promjenu
vrijednosti neke od pasivnih komponenti filtra, označene sa x , je S xω0 = 0.5
ako otpornici, odnosno kondenzatori, imaju različite vrijednosti, a S xω0 = 1 u
slučaju jednakih vrijednosti otpornika, odnosno kondenzatora.
188
Aktivni filtri
6.4 AKTIVNI R-FILTRI
Amplitudna karkteristika operacionog pojačavača nije nezavisna od
učestanosti. Ona opada na visokim frekvencijama, te se, posebno za
visokofrekventne aplikacije, moraju uzeti u obzir neidealne osobine
operacionog pojačavača. ModelirajućI OPAMP sa
A(s ) =
A0ω a ω t
≈
s + ωa
s
primijetimo da prenosna funkcija OPAMPA uključuje efekat RC mreže sa
jednim kondenzatorom što nas navodi na zaključak da možemo projektovati
bikvadratno kolo sa otpornicima i dva operaciona pojačavača, bez
kondenzatora. Ova klasa filtara nazivaju se aktivni R filtri. Uvedeni su najviše
radi pojednostavljivanja realizacije filtra u obliku integrisanih kola, te
poboljšanih niskofrekventnih performansi jer je realniji model OPAMP-a
direktno uključen u projektovanje.
Jedna od realizacija aktivnog R filtra, pomoću koje se, pogodnim
postavljanjem parametara, realizuje NF ili PO filtarska funkcija prikazana je na
sljedećoj slici.
Slika 6.49 Aktivni R-filtar
189
Analogni filtri
Prenosne funkcije su:
G1 2
ωt
VNF
G4
G
=−
⋅
,
G3G4
V1
G4 + G5 2 G2
2
s +
ωt s +
ωt
G
G (G4 + G5 )
G1
ωt s
VPO
G
=−
,
G3G4
G2
V1
2
2
s + ωt s +
ωt
G
G (G4 + G5 )
G = G1 + G2 + G3
Frekvencija pola i Q faktor su dati sa:
ω0 = ωt
G3 G 4
G3 G 4 G
, Q=
.
G (G 4 + G5 )
G 4 + G5
ω
Sve pasivne osjetljivosti su veoma male i Sωt0 = 1 .
190
Download

aktivni filtri