Glava 1
Elementi elektriˇcnih kola
Analiza elektriˇcnih kola podrazumjeva uvodenje
odgovaraju´cih matematiˇckih
¯
modela fiziˇckih elemeata koji cˇ ine elektriˇcna kola i dodjeljivanje matematiˇckih
funkcija kontinulanim veliˇcinama, struji i naponu. ovoj glavi c´ e kroz primjere biti
opisane osnovne karakteristike elementa elektriˇcnih kola sa jednim i dva pristupa,
koji se najviše koriste prilikom analize kola.
7
1.1. LINEARNOST I VREMENSKA INVARIJANTNOST
1.1 Linearnost i vremenska invarijantnost
Zadatak 1. Ako je ulazni signal elektriˇcnog kola x(t) i ako je izlazni signal jednak
y(t) = dx(t)/dt + 3x(t) ispitati da li se radi o linearnom i vremenski invarijantnom
kolu.
Rješenje. Ukoliko je na ulaz elektriˇcnog kola prikljuˇcen proizvoljan generator
odredenog
talasnog oblika, koji može biti i strujni i naponski generator, kolu se
¯
predaje odredena
koliˇcina energije. Manifestacija prisustva energije u kolu jeste
¯
pojava elektriˇcnih struja i razlika potencijala, tj. napona. Analiza elektriˇcnog kola
podrazumjeva nalaženje analitiˇckih izraza za trenutne struje i napone u kolu koji
predstavljaju odzive na energiju. Dakle, svakom vremenskom obliku eksitacije se
može pridružiti neki vremenski oblik odziva, pa elektriˇcno kolo praktiˇcno realizuje
preslikavanje:
y(t) = H (x(t))
(1.1)
U teoriji elekriˇcnih kola su od velike važnosti linearna i vremenski nepromjenljiva
kola. Linearna elektriˇcna kola zadovoljavaju osobine homogenosti i aditivnosti.
Ove osobine se mogu objasniti na jednostavnom primjeru. Ukoliko npr. posmatramo otpornik kroz koji je propuštena struja odredenog
intenziteta, na krajevima
¯
tog otpornika c´ e se razviti odredena
razlika potencijala. Osobina homogenosti kaže
¯
da c´ e n puta ve´ca eksitacija dati n puta ve´ci odziv. Osobina aditivnosti je korisna
ukoliko postoji više od jednog generatora i kaže da je odziv na više generatora jednak zbiru odziva na svaki generator pojedinaˇcno. Elektriˇcno kolo ili neki element
elektriˇcnog kola je linearan ako je ispunjen uslov:
H (ax1 (t) + bx2 (t)) = aH (x1 (t)) + bH (x2 (t))
(1.2)
Prema postavci zadatka, operator H je d/dt + 3 i važi jednakost:
H (ax1 (t) + bx2 (t)) = a dxdt1 (t) + 3x1 (t)+
b dxdt2 (t) + 3x2 (t) = aH (x1 (t)) + bH (x2 (t))
(1.3)
Iz jednaˇcine (1.3) vidimo da je zadovoljen uslov linearnosti, tj. elektriˇcno kolo
modelovano diferencijalnom jednaˇcinom y(t) = dx(t)/dt + 3x(t) je linearno.
Ukoliko je elektriˇcno kolo vremenski invarijantno, vremenski oblik odziva ne
zavisi od trenutka ukljuˇcenja eksitacije. Vremenska invarijantnost elektriˇcnog kola
se može iskazati sa:
y(t) = H (x(t)) → y(t − t0 ) = H (x(t − t0 ))
(1.4)
Dakle, ukoliko eksitacija odredenog
talasnog oblika x(t) daje odziv talasnog oblika
¯
y(t), onda c´ e eksitacija identiˇcnog talasnog oblika pomjerenog za neki vremenski
8
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
interval x(t −t0 ) dati isti odziv pomjeren za isti vremenski interval y(t −t0 ). Ukoliko
u jednaˇcini (1.1) zamjenimo t sa t − t0 i uvrstimo izraz za operator H, dobija se:
H (x(t − t0 )) =
dx(t − t0 )
+ 3x(t − t0 ) = y(t − t0 )
dt
(1.5)
pa je elektriˇcno kolo vremenski invarijantno.
Zadatak 2. Na ulaz linearnog i vremenski invarijantnog elektriˇcnog kola se dovodi
napon u(t) cˇ iji je talasni oblik prikazan na Slici 1.1a. Izalazna struja u tom sluˇcaju je
data na Slici 1.1b. Odrediti talasni oblik izalzne struje, ako je talasni oblik ulaznog
napona u1 (t) dat na Slici 1.1c.
u(t)
i(t)
u1 (t)
2U0
U0
I0
U0
t
(a) Talasni oblik napona u(t).
t
(b) Odziv na napon u(t).
T
t
(c) Talasni oblik napona u1 (t).
Slika 1.1
Rješenje. Da bi se dobio traženi odziv, talasni oblik eksitacije u1 (t) je potrebno
predstaviti na odgovaraju´ci naˇcin i iskoristiti cˇ injenicu da je elektriˇcno kolo linearno i vremenski invarijantno. Napon u1 (t) se može predstaviti kao:
u1 (t) = 2u(t) + u(t − t0 )
(1.6)
kao što je prikazano na Slici 1.2.
Pošto je elektriˇcno kolo linearno, odziv na eksitaciju 2u(t) (Slika 1.2b) c´ e biti
jednak 2i(t), a pošto je elektriˇcno kolo vremenski invarijantno odziv na eksitaciju
u(t − t0 ) (Slika 1.2c) c´ e biti jednak i(t − t0 ). Traženi odziv je:
i1 (t) = 2i(t) + i(t − t0 )
i prikazan je na Slici 1.3c.
9
(1.7)
ˇ
1.2. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM
u1 (t)
2u(t)
2U0
2U0
U0
U0
T
t
u(t − t0 )
U0
T
(a) Talasni oblik napona u1 (t).
t
(b) Talasni oblik napona 2u(t).
T
t
(c) Talasni oblik napona u(t−t0 ).
Slika 1.2
2i(t)
2I0
i(t − t0 )
i1 (t)
I0
I0
2I0
t
(a) Talasni oblik napona 2i(t).
t
(b) Talasni oblik napona i(t−t0 ).
T
t
(c) Talasni oblik napona i1 (t).
Slika 1.3
1.2 Elementi elektriˇcnih kola sa jednim pristupom
Zadatak 3. Odrediti uslov pasivnosti idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog otpornika otpornosti R.
Rješenje. Element elektriˇcnog kola je pasivan ako je zbir akumulisane energije u
trenutku t0 i energije koja se ulaže u element od trenutka t0 do trenutka t ve´ci ili
jednak od nule:
w(t) = wa (t0 ) + wu (t0 , t) ≥ 0
(1.8)
Energija koja se ulaže u element se može odrediti preko ulazne snage, koja odreduje
¯ brzinu prijema energije. Ulazna snaga se raˇcuna kao proizvod trenutne struje
koja protiˇce kroz otpornik i(t) i napona na krajevima otpornika u(t), za usaglašene
referentne smjerove. Na Slici 1.4 je prikazan otpornik otpornosti R sa usaglašenim
referentnim smjerovima struje kroz otpornik iR i napona na krajevima otpornika
uR . U teoriji elektriˇcnih kola se u opštem sluˇcaju, otpornik modeluje implicitnom
funkcijom oblika:
F(i, u, t) = 0
(1.9)
10
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
+ uR
iR
R
Slika 1.4 Otpornik otpornosti R sa usaglašenim referentnim smjerovima struje i
napona.
Iz jednaˇcine 1.9 vidimo da je karakteristika rezistivnih elemenata daje odnos izmedu
¯ struje i napona, u nekom vremenskom trenutku ili tokom nekog vremenskog
intervala. Ukoliko se jednaˇcina (1.9) može predstaviti eksplicitno preko napona
u = r(i, t), radi se o otporniku kontrolisanim strujom, u suprotnom, ako se može
izvesti jednaˇcina oblika i = g(u, t) radi se o otporniku kontrolisanim naponom.
Jednaˇcina (1.9) definiše familiju krivih u (i, u) ravni (Slika 1.5a), koja zavisi od
vremena. U sluˇcaju vremenski nepromjenljivih otpornika, familija krivih se svodi
na jednu krivu, nepromjenljivu u vremenu. Statiˇcka otpornost se definiše za DC
režim rada kao odnos jednosmejernog napona i jednosmjerne struje R s = U0 /I0
u radnoj taˇcki Q (Slika 1.5b). Dinamiˇcka otpornost se definiše za AC režim pri
cˇ emu se napon i struja mjenjaju unutar opsega svojih amplituda. Stoga, ukoliko
(i, u) karakteristika nije linearna, treba uzeti u obzir i njene lokalne promjene u AC
režimu. Dinamiˇcka otpornost se definiše kao odnos lokalnog priraštaja napona ∆u
i struje ∆i u okolini radne taˇcke Q (Slika 1.5b).
u(t)
t1
t2
t3
u(t)
U0
Q
•
∆u
∆i
I0
i(t)
i(t)
(b) Statiˇcka i dinamiˇcka otpornost.
(a) Opšta karakteristika otpornika.
Slika 1.5
Pošto je idealizovani otpornik strogo rezistivan, uslov pasivnosti dat sa jedna11
ˇ
1.2. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM
cˇ inom (1.8) možemo pisati kao:
w(t) = wu (t0 , t) =
Zt
p(τ)dτ =
t0
Zt
u(τ)i(τ)dτ
(1.10)
t0
Iz jednaˇcine (1.10) vidimo da bi w(t) bilo ve´ce od nule, potrebno je da napon
i struja budu istog znaka, tj. karakteristika otpornika mora da prolazi kroz prvi i
tre´ci kvadrant u (i, u) ravni. U sluˇcaju da je otpornik kontrolisan strujom:
w(t) =
Zt
Ri(τ)i(τ)dτ = R
t0
Zt
i2 (τ)dτ
(1.11)
t0
pa pošto je podintegralna funkcija pozitivna, uslov pasivnosti je ispunjen ako je
R ≥ 0.
Ako je otpornost otpornika veoma velika, tj. ako teoretski teži beskonaˇcnosti,
struja kroz otpornik je jednaka nuli, pa napon može imati bilo koju konaˇcnu vrijednost. Tada otpornik prelazi u otvorenu vezu. Ukoliko je otpornost otpornika
zanemarivo mala, tj. ako je jednaka nuli, radi se o kratkom spoju kroz koji može
da teˇce struja bilo koje konaˇcne vrijednosti.
Zadatak 4. Odrediti uslov pasivnosti idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog kondenzatora kapacitivnosti C.
+ uC
iC
C
Slika 1.6 Kondenzator kapacitivnosti C sa usaglašenim referentim smjerovima
struje i napona.
Rješenje. U teoriji elektriˇcnih kola, u opštem sluˇcaju, kondenzator se modeluje
implicitnom funkcijom oblika:
F(q, u, t) = 0
(1.12)
odnosno, kondenzatori daju odnos izmedu
¯ koliˇcine naelektrisanja i napona u nekom vremenskom trenutku ili u toku odredenog
vremenskog intervala. Definiše se
¯
statiˇcka kapacitivnost, za DC režim rada, i dinamiˇcka kapacitivnost, za AC režim
12
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
t1
t2
t3
q(t)
q(t)
Q0
Q
•
∆q
∆u
U0
u(t)
u(t)
(b) Statiˇcka i dinamiˇcka kapacitivnost.
(a) Opšta karakteristika kondenzatora.
Slika 1.7
rada (Slika 1.7). Statiˇcka kapacitivnost je C s = Q0 /U0 u radnoj taˇcki Q, dok je
dinamiˇcka otpornost jednaka odnosu priraštaja koliˇcine naelektrisanja ∆q i napona
∆u u okolini radne taˇcke.
Pošto jaˇcina struje predstavlja brzinu protoka naelektrisanja, tj. i(t) = d (q(t)) /dt,
u sluˇcaju vremenski nepromjenljivog kondenzatora kapacitivnosti C, dobija se odnos:
du(t)
d
(1.13)
i(t) = (Cu (t)) = C
dt
dt
Kondenzator je reaktivan element, pa je uslov pasivnosti dat sa:
w(t) = wa (t0 ) + wu (t0 , t) =
Zt0
p(τ)dτ +
w(t) =
p(τ)dτ =
−∞
w(t) =
Zt
−∞
du(τ)
dτ =
u(τ)C
dτ
Zu(t)
Zt
p(τ)dτ
(1.14a)
t0
−∞
Zt
Zt
u(τ)i(τ)dτ
(1.14b)
−∞
Cu(τ)d(u(τ)) =
u(−∞)
C 2
u (t) − u2 (−∞)
2
(1.14c)
Napon u trenutku t = −∞ se može protumaˇciti kao napon na krajevima kondenzatora koji bi inicijalno postojao prilikom konstrukcije samog kondenzatora. Stoga
se može da se usvoji da je u(−∞) = 0, pa je
1
w(t) = wa (t0 ) + wu (t0 , t) = Cu2 (t)
2
13
(1.15)
ˇ
1.2. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM
a pošto je u2 (t) ≥ 0, ∀t, potreban uslov da linearan i vremenski nepromjenljiv
kondenzator bude pasivan jeste C ≥ 0.
Zadatak 5. Odrediti uslov pasivnosti idealizovanog, linearnog i vremenski nepromjenljivog kalema induktivnosti L.
+ uL
iL
L
Slika 1.8 Kalem induktivnosti L sa usaglašenim referentim smjerovima struje i
napona.
Rješenje. Sliˇcno kao u prethodnom primjerima (Zadatak 3 i Zadatak 4), opšta
karakteristika kalema se definiše implicitnom funkcijom:
F(Φ, i, t) = 0
(1.16)
odakle vidimo da je kalem element koji daje vezu izmedu
¯ fluksa i struje u nekom
vremenskom trenutku ili tokom nekog vremenskog intervala. U sluˇcaju linearnog i
vremenski nepromjenljivog kalema, analizom priraštaja energije se pokazuje da je
potreban uslov pasivnosti kalema L ≥ 0.
Zadatak 6. Dokazati da je napon na kondenzatoru u(t) neprekidna funkcija vremena, ako je struja kroz kondenzator konaˇcna.
Rješenje. Teorema o neprekidnosti napona na kondenzatoru govori da u sluˇcaju
ograniˇcenih struja kroz kondenzator, napon na kondenzatoru ne može da se mjenja
skokovito, tj. neprekidna je funkcija vremena i važi u(t−0 ) = u(t+0 ), ∀t. Promjena
napona na krajevima kondenzatora od ∆u je srazmjerna promjeni koliˇcine naelektrisanja ∆q na njegovim elektrodama:
∆u =
1
1
∆q = (q(t + ∆t) − q(t))
C
C
(1.17)
uvrštavanjem veze izmedu
¯ promjene koliˇcine naelektrisanja i struje, dobija se:
t+∆t
Z
∆u =
i(τ)dτ
t
14
(1.18)
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
i(τ)
u(τ)
R t+∆t
t
t
i(τ)dτ
t + ∆t
τ
t
(a) Struja u funkciji vremena.
t + ∆t
τ
(b) Napon u funkciji vremena.
Slika 1.9
Iz jednaˇcine (1.18) se vidi da ako je podintegralna funkcija ograniˇcena, tj. ako
struja kroz kondenzator ima konaˇcnu vrijednost, vrijednost integrala teži nuli za
∆t→0.
Teorema o neprekidnosti napona na kondenzatoru ilustruje efekat konaˇcne brzine prostiranja energije. Naime, da bi došlo do trenutne promjene napona na kondenzatoru, moralo bi do´ci do trenutne promjene koliˇcine naelektrisanja na ploˇcama
kondenzatora, za šta je potrebna struja beskonaˇcne jaˇcine. Kako je brzina kretanja elektrona konaˇcna, ovaj uslov je praktiˇcno uvijek ispunjen. Medutim,
u teoriji
¯
elektriˇcnih kola se koriste idealizovani modeli, pa je postoji mogu´cnost trenutne
promjene napona na kondenzatoru, na šta posebno treba obratiti pažnju.
Zadatak 7. Dokazati da je struja kroz kalem neprekidna funkcija vremena, ako je
napon na krajevima kalema ograniˇcen.
Rješenje. Sliˇcno kao u prethodnom primjeru, teorema o neprekidnosti struje kroz
kalem ilustruje efekat konaˇcne brzine prostiranja energije. Medutim,
pošto se u
¯
teoriji elektriˇcnih kola koristi idealizovani model kalema, potrebno je pokazati koji
uslovi treba da budu zadovoljeni da struja kroz kalem bude neprekidna. Induktivnost predstavlja koeficijent srazmjernosti izmedu
¯ struje i fluksa, pa se može pisati
da je promjena struje kroz kalem jednaka:
1
1
∆i = (Φ(t + ∆t) − Φ(t)) =
L
L
t+∆t
Z
u(τ)dτ
(1.19)
t
Teorema o neprekidnosti struje kroz kalem kaže da ako je napon na krajevima
kalema ograniˇcena funkcija vremena da ∆i→0 kada ∆t→0.
15
ˇ
1.2. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA JEDNIM PRISTUPOM
Zadatak 8. Koliku koliˇcinu energije treba predati linearnom i vremenski nepromjenljivom kondenzatoru, kapacitivnosti C, da bi napon na njegovim krajevima
postao tri puta ve´ci od poˇcetnog napona U0 ?
Rješenje. U poˇcetnom trenutku t0 , napon na krajevima kondenzatora iznosi U0 .
Energija koja se od trenutka t0 do trenutka t preda kondenzatoru je jednaka:
w(t0 , t) =
Zt
p(τ)dτ = C
t0
Zu(t)
u(τ)d(u(τ))
(1.20a)
u(t0 )
1 1 2 u(t)
= C u2 (t) − u2 (t0 )
w(t0 , t) = Cu (t)
2
2
u(t0 )
(1.20b)
Prema uslovu zadatka je u(t0 ) = U0 , a u odredenom
trenutku napon treba da bude
¯
tri puta ve´ci, pa je u(t) = 3U0 . Stoga je ukupna energija koju treba predati kondenzatoru jednaka:
1 (1.21)
w(t0 , t) = C 9U02 − U02 = 4CU02
2
Zadatak 9. Linearan, vremenski promjenljiv otpornik, cˇ ija je otpornost odredena
¯
izrazom R(t) = R0 t/T, 0 ≤√t ≤ 3T , prikljuˇcen je na krajeve prostoperiodiˇcnog
strujnog generatora ig (t) = 2I cos(ωt), ω = 2π/T (Slika 1.10). Odrediti trenutnu
ulaznu snagu otpornika i energiju koja se u otporniku pretvara u toplotu u vremenskim intervalima [0, T ], [T, 2T ] i [2T, 3T ].
iR
ig (t)
√
2I
+
ig (t)
R
uR
T
(a) Serijska veza strujnog generatora i otpornik promjenljive otpornosti.
t
(b) Struja generatora u funkciji vremena.
Slika 1.10
16
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
Rješenje. Trenutna snaga je odredena
proizvodom trenutne vrijednosti struje i tre¯
nutne vrijednosti napona, a pošto kroz otpornik protiˇce struja odredena
strujnim
¯
generatorom, tj. otpornik je kontrolisan strujom, može se pisati:
t
(1.22)
cos2 (ωt) , 0 ≤ t ≤ 3T
T
Idealan otpornik svu primljenu energiju pretvara u toplotu, pa je koliˇcina energije
potrošena od strane otpornika od trenutka t0 do trenutka t jednaka:
p(t) = u(t)i(t) = R(t)i2 (t) = 2R0 I 2
w(t0 , t) =
Zt
p(τ)dτ =
t0
Zt
2I 2 R
τ cos2 (ωt) dτ
T
(1.23a)
t0
I2R
w(t0 , t) =
T
Zt
τ (1 + cos (2ωt)) dτ
(1.23b)
t0
parcijalnom integracijom i uvrštavanjem granica se dobija:
#t
"
I 2 R τ2
τ
1
cos (2ωτ) , 0 ≤ t ≤ 3T
w(t0 , t) =
+
sin (2ωτ) +
T 2
2ω
4ω2
t0
(1.24)
Uvrštavanjem odgovaraju´cih vrijednosti za tražene vremenske intervale u jednacˇ inu 1.24 dobija se:
w(0, T ) = I 2 RT/2
w(T, 2T ) = 3I 2 RT/2
(1.25)
2
w(2T, 3T ) = 5I RT/2
1.3 Elementi elektriˇcnih kola sa dva pristupa
Zadatak 10. Ukoliko na drugi pristup idealnog transformatora prikljuˇcimo kompleksnu impedansu Z, odrediti ulaznu impedansu prvog pristupa.
Rješenje. Idealni transformator predstavlja graniˇci sluˇcaj savršenog transformatora, koji pored zanemarive termogene otpornosti i rasipanja fluks ima i zanemarivo malu magnetnu otpornost. Jednaˇcine idealnog transformatora u kompleksnom
domenu su:
U 1 = mU 2
(1.26)
I 1 = m1 I 2
Ukoliko na drugi pristup idealnog transformatora prikljuˇcimo kompleksnu impedansu Z (Slika 1.12), u skladu sa naznaˇcenim referentnim smjerovima je:
U 2 = Z I2
17
(1.27)
ˇ
1.3. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA DVA PRISTUPA
I1
I2
+
+
m:1
• •
U1
U2
Slika 1.11 Idealni transformator.
Kombinovanjem jednaˇcina (1.26) i (1.27) se dobija tražena ulazna impedansa:
Zi =
U1
= m2 Z
I1
(1.28)
Ukoliko kompleksnu impedansu Z zamjenimo sa rednom vezom otpornika otpornosti R, kondenzatora kapacitivnosti C i kalema induktivnosti L, u tom sluˇcaju je
ulazna impedansa jednaka:
!
1
m2
2
Z i = m R + jωL +
(1.29)
= m2 R + jωm2 L +
jωC
jωC
Vidimo da se otpornik otpornosti R preslikava u otpornik otpornosti m2 R, da se
kalem induktivnosti L preslikava u kalem induktivnosti m2 L i da se kondenzatora kapacitivnosti C preslikava u kondenzator kapacitivnosti C/m2 . Dakle idealni
transformator je element sa dva pristupa kojim je mogu´ce skalirati parametre impedanse a da se pri tome ne mijenja njihova priroda, dakle idealni transformator
ima osobinu pozitivnog konvertovanja impedanse .
I1
I2
m:1
• •
+
U1
Z
m:1
• •
+
Z
U2
Zi
(a) Idealni transformator optere´cen
impedansom.
(b) Referentni smjerovi struje i napona.
Slika 1.12
18
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
Zadatak 11. Izraˇcunati ulaznu otpornost idealnog žiratora, ako je na njegov drugi
kraj vezan otpornik otpornosti R, ako je vezan kondenzator kapacitivnosti C i ako
je vezan kalem induktivnosti L. Pretpostaviti da je režim prostoperiodiˇcan.
Rješenje. Na Slici 1.13 su prikazana šematski simboli dva tipa žiratora u sluˇcaju
strujnog kontrolisanja. Tipovi žiratora se razlikuju po naˇcinu realizacije i jednaˇcinama kojima se opisuju. Parametar r ima dimenziju otpornosti i naziva se unutrašnja žiratorska otpornost.
I1
I2
I1
I2
r
r
+
+
+
+
U1
U2
U1
(a) Prvi tip idealnog žiratora.
U2
(b) Drugi tip idealnog žiratora.
Slika 1.13
Za prvi tip idealnog žiratora, važi sistem jednaˇcina:
U 1 = −rI 2
(1.30a)
U 2 = rI 1
(1.30b)
dok za drugi tip idealnog žiratora važe jednaˇcine:
U 1 = rI 2
(1.31a)
U 2 = −rI 1
(1.31b)
Ukoliko se koristi prvi tip idealnog žiratora i ako se na njegov drugi pristup
veže otpornik otpornosti R, prema referentnim smjerovima sa Slike 1.14b može se
napisati sljede´ca jednaˇcina:
(1.32)
U 2 = −RI 2
Kombinovanjem jednaˇcina (1.30a) i (1.32), dobija se ulazna impedansa:
Zi =
U 1 r2
=
I1
R
(1.33)
Dakle, ukoliko na drugi pristup žiratora vežemo otpornik otpornosti R, ulazna impedansa je ekvivalenta otporniku otpornosti r2 /R.
19
ˇ
1.3. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA DVA PRISTUPA
I1
r
r
I2
+
U1
R
+
R
U2
Zi
(b) Referentni smjerovi struje i napona.
(a) Žirator optere´cen otpornikom.
Slika 1.14
Ukoliko da drugi pristup žiratora vežemo kondenzator kapacitivnosti C, kao
što je prikazano na Slici 1.15, vidimo da je napona na drugom pristupu jednak:
U2 = −
1
I
jωC 2
(1.34)
Kombinovanjem jednaˇcina (1.30a) i (1.34) dobija se ulazna impedansa:
Zi =
U1
= jωr2C
I1
(1.35)
Jednaˇcina (1.35) kaže da kompleksni napon U 1 fazno prednjaˇci u odnosu na kompleksnu struju I 1 , tako da je ulazna impedansa inudktivnog karaktera, pri cˇ emu je
ekvivalentna induktivnost Lek = r2 C.
I1
I2
r
r
+
+
U
U2
C
C
1
Zi
(a) Žirator optere´cen kondenzatorom.
(b) Referentni smjerovi struje i napona.
Slika 1.15
U sluˇcaju kada je na drugi pristup žiratora prikljuˇcen kalem induktivnosti L
(Slika 1.16) napon na drugom pristupu je:
U 2 = − jωLI 2
20
(1.36)
ˇ
GLAVA 1. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA
I1
r
r
I2
+
U1
L
+
L
U2
Zi
(a) Žirator optere´cen kalemom.
(b) Referentni smjerovi struje i napona.
Slika 1.16
Kombinovanjem jednaˇcina (1.30a) i (1.36) dobija se ulazna impedansa:
Zi =
U1
r2
=
I1
jωL
(1.37)
U ovom sluˇcaju, ulazna impedansa je kapacitivnog karaktera i njena ekvivalentna
kapacitivnost iznosi Cek = L/r2 .
Dakle, žirator je element sa dva pristupa kojim je mogu´ce transformaisati prirodu reaktivnih elemenata, tj. žirator ima svojstvo invertovanja impedanse. Posebno je pogodan za simulaciju velikih induktvnosti, pomo´cu kondenzatora male
kapacitivnosti.
Zadatak 12. Idealizovani operacionog pojaˇcavaˇca, cˇ ije je naponsko pojaˇcanje jednako µ predstaviti preko ekvivalentnog naponski kontrolisanog naponskog generatora. Analizu izvršiti u vremenskom domenu.
Rješenje. Operacioni pojaˇcavaˇc predstavlja naponsko kontrolisani naponski generator. Realni operacioni pojaˇcavaˇc ima takve karakteristike koje ga cˇ ine pogodnim
za realizaciju osnovnih matematiˇckih funkcija, ima veliku ulaznu otpornost, malo
izlaznu otpornost i veliko naponsko pojaˇcanje. Medutim,
ne smiju se zanemariti
¯
njegove frekventne karaktersitike, jer koeficijenat naponskog pojaˇcanja opada sa
porastom frekvencije.
Idealni operacioni pojaˇcavaˇc ima veliku ulaznu otpornost Ri → ∞, veoma malo
izlaznu otpornost Ro → 0 i konstantno naponsko pojaˇcanje µ = const., kao što je
prikazano na Slici 1.17b. Ukoliko se posebno naglasi, idealni operacioni pojaˇcavaˇc
ima beskonaˇcno veliko naponsko pojaˇcanje µ → ∞. Pošto je u ovom graniˇcnom
sluˇcaju izlazni napon operacionog pojaˇcavaˇca konaˇcan, s obzirom na beskonaˇcno
pojaˇcanje, ulazni napon mora biti jednak nuli.
u1 (t) = 0
21
(1.38)
ˇ
1.3. ELEMENTI ELEKTRICNIH
KOLA SA DVA PRISTUPA
i1 (t)
+
+
+
+ µ
−
+
u2 (t)
u1 (t)
−
+
u1 (t)
i2 (t)
µu1 (t) u2 (t)
(b) Ekvivalentna šema idealizovanog operacionog pojaˇcavaˇca.
(a) Idealizovani operacioni pojaˇcavaˇc.
Slika 1.17
Vrijednost napona na izlazu može biti bilo koja konaˇcna vrijednost, koja se dobija
iz Kirhofovih zakona postavljenih za ostatak kola. Ukoliko je napon izmedu
¯ dvije
taˇcke u kolu jednak nuli u bilo kojem vremenskom trenutku (1.38), te dvije taˇcke se
nalaze u kratkom spoju. Medutim,
ulazni prikljuˇcci operacionog pojaˇcavaˇca nisu
¯
fiziˇcki kratko spojeni, pa se kaže da su virtuelno kratkospojeni. Pored jednaˇcine
(1.38), za operacioni pojaˇcavaˇc sa konaˇcnim naponskim pojaˇcanjem u vremenskom
domenu (Slika 1.17b) važi:
u2 (t) = µu1 (t)
(1.39)
Na Slici 1.17b je prikazana ekvivalentna šema idealizovanog operacionog pojaˇcavaˇca, koji je prikazan kao naponski kontrolisan naponski gnerator. Njegova ulazna
teži beskonaˇcnosti i predstavljena je otvorenom vezom, dok je izlazna otpornost
zanemarivo mala i predstavlja kratak spoj. Izlazni napon u2 (t) je kontrolisan ulaznim naponom u1 (t) i odreden
¯ je naponskim poja
vcanjem µ.
22
Download

Glava 1 Elementi elektriˇcnih kola