Vladimir Božanović
BROJNI SISTEMI
sa primerima
Priručnik za učenike III godine Sportske gimnazije
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Brojni sistemi
1. Nepozicioni
Svojstvo cifre ne zavisi od pozicije na kojoj se nalazi
Primer: rimski brojevi
 XI
 IX
U oba slučaja cifra I ima vrednost 1
2. Pozicioni ili težinski
Pozicioni brojni sistemi su oni u kojima se težina cifre (njen udeo u
celokupnoj vrednosti broja) određuje na osnovu njene pozicije u broju (što
veća pozicija, to je veći i udeo u vrednosti broja)
Primer: arapski brojevi
 Npr. broj 11 ima dve cife 1 koje su različite težine. Što je pozicija cifre
više levo, težina cifre je veća.
Pozicioni brojni sistemi mogu biti
1.
2.
Sa osnovom
Bez osnove
Osnova - naziv brojnog sistema
2 - binarni
8 - oktalni
10 - decimalni
16 – heksadekadni (heksadecimalni)
Prof. Vladimir Božanović
strana 2
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Naziv
binarni
oktalni
decimalni
heksadecimalni
Osnova
2
8
10
16
Cifre
0,1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F
Prevođenje brojeva u dekadni brojni sistem
11(10)= 1*101 + 1*100 = 10+1= 11(10)
11(2) = 1*21 + 1*20 = 2+1 = 3(10)
11(8) = 1*81 + 1*80 = 8+1 = 9(10)
11(16) = 1*161 + 1*160 = 16+1 = 17(10)
Dekadni brojni sistem
Primer 1.
1863(10) = 1000 + 800 + 60 + 3
=1*1000 + 8*100 + 6*10 + 3*1
=1*103 + 8*102 + 6*101 + 3*100
Primer 2.
1357,25(10) = 1000 + 300 + 50 + 7 + 0,2 + 0, 05
= 1*103 + 3*102 + 5*101 + 7*100 + 2*10-1 + 5*10-2
Oktalni brojni sistem
1234,25(8)=1*83 + 2*82 + 3*81 + 4*80 + 2*8-1 + 5*8-2 = 512 + 128 + 24 + 4 + ¼
+ 5/8 = 668,875(10)
Prof. Vladimir Božanović
strana 3
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Heksadekadni brojni sistem
19AB,2D(16) = 1*163 + 9*162 + 10*161 + 11*160 + 2*16-1 + 13*16-2 = 4096 +
2304 + 160 + 11 + 2/16 + 13/256 = 6571,0176(10)
Binarni brojni sistem
1101,01(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4
= 13,25(10)
Primer 1.
Prevođenje iz osnova 2, 16, 13 i 8 u osnovu 10:
1101(2) = X(10)
1101(16) = X(10)
F9A (16) = X(10)
642(13) = X(10)
642(8) = X(10)
Rešenje:
1101(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 13(10)
1101(16)=1*163 + 1*162 + 0*161 + 1*160 = 4096 + 256 + 1 = 4353(10)
F9A (16)=F*162 + 9*161 + A*160 = 15*162 + 9*161 + 10*160 = 3994(10)
642(13)=6*132 + 4*131 + 2*130 = 1068(10)
642(8)= 6*82 + 4*81 + 2*80 = 418(10)
Prof. Vladimir Božanović
strana 4
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 2.
Koji je dekadni ekvivalent binarnog broja 1011011?
Rešenje:
1011011(2)=1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 64 + 16 + 8 + 2 +
1 = 91 (10)
Primer 3.
0,1101(2)= 0*20 + 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4 = 0,6875(10)
Primer 4.
1,01(2)= 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 = 1*20 + 1*2-2 =1,2522(10)
Primer 5.
Prebacite sledeće brojeve u dekadni brojni sistem
10111,01(2) = X(10)
ACA,5(16) = X(10)
734,25(8) = X(10)
Rešenje:
10111,01(2) = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 + 0*2-1 +1*2-2 =
16 + 4 + 2 + 1 + ¼ = 23,25(10)
ACA,5(16) = A*162 + C*161 + A*160 + 5*16-1 = 10*162 + 12*161 + 10*160 +
5*16-1 =2762,3125(10)
734,28(8) = 7*82 + 3*81 + 4*80 + 2*8-1 + 8*8-2 = 476,375(10)
Prof. Vladimir Božanović
strana 5
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Iz dekadnog u binarni brojni sistem (10 → 2)
Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traženi binarni broj koji treba
čitati obrnuto, tj. zadnja dobijena cifra je najznačajnija cifra, a prva dobijena
cifra je najmanje značajna cifra.
Primer 1.
Treba pretvoriti dekadni broj 43(10) u binarni.
Rešenje:
43(10) = X(2)
Postupak je sledeći:
43 : 2 = 21 → ostatak 1
21 : 2 = 10 → ostatak 1
10 : 2 = 5 → ostatak 0
5 : 2 = 2 → ostatak 1
2 : 2 = 1 → ostatak 0
1 : 2 = 0 → ostatak 1
Smer čitanja
43(10) = 101011(2)
Tabela 2n n=0..10
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
Prof. Vladimir Božanović
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
211 = 2048
strana 6
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 2.
35(10) = X(2)
Rešenje:
35 : 2
17 1
8
1
4
0
2
0
1
0
0
1
Smer
čitanja
35(10) = 100011(2)= 1*25 + 0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 32 + 2 + 1
Iz dekadnog u binarni brojni sistem 10 → 2 (Pretvaranje razlomljenog
dela broja)
Dekadni brojevi koji su manji od 1pretvaraju se u binarne brojeve primenom
sledećeg postupka:
1. Pomnožiti dekadni broj brojem 2
2. Ako je dobijeni proizvod >1, iza tačke u binarnom broju se piše 1 i taj
broj se oduzima od dobijenog proizvoda.
3. Ako je dobijeni proizvod <1, iza tačke u binarnom broju se piše 0.
Postupak se ponavlja sa delom umnoška iza decimalne tačke dok se
ne dobije cifra 0. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traženi
binarni broj koji treba čitati odozgo na dole, tj. poslednja dobijena cifra
je najmanje značajna cifra, a prva dobijena cifra je najznačajnija cifra.
Primer 1.
Pretvoriti dekadni broj 0,625(10) u binarni.
Rešenje:
Prof. Vladimir Božanović
strana 7
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Postupak je sledeći:
0,625 * 2 = 1,25 → piše se 1
1,25 = 1 + 0,25
0,25 * 2 = 0,5 → piše se 0
0,5 * 2 = 1,0 → piše se 1
0,625(10) = 0,101 (2)
smer čitanja
Primer 2.
Odrediti binarni zapis broja 0,203125(10) = X(2)
Rešenje:
0,
0,
0,
1,
1,
0,
1,
203125 * 2 smer
čitanja
40625*2
8125*2
625*2
25*2
5*2
0
0,203125(10) = 0,001101 (2)
Primer 3.
Odrediti binarni zapis broja 0,84375(10) = X(2)
Rešenje:
0,
1,
1,
0,
1,
1,
84375 * 2 smer
čitanja
6875*2
375*2
75*2
5*2
0
0,84375 (10) = 0,11011 (2)
Prof. Vladimir Božanović
strana 8
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 4.
Odrediti binarni zapis broja X = 0,17(10) na 4 decimale.
Rešenje:
0,
0,
0,
1,
0,
17 * 2 smer
34*2 čitanja
68*2
36*2
72*2
0,17 (10) = 0,0010 (2)
Primer 5.
Odrediti binarni zapis broja X = 0,27(10) na 5 decimala.
Rešenje:
0,
0,
1,
0,
0,
0,
27 * 2 smer
54*2 čitanja
08*2
16*2
32*2
64
0,84375 (10) = 0,01000 (2)
Iz dekadnog u oktalni brojni sistem (10 → 8)
Prilikom pretvaranja dekadnog broja u oktalni primenjuje se isti algoritam
kao u slučaju pretvaranja dekadnog broja u binarni, sa tom razlikom što se
u ovom slučaju deli brojem 8. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju
Prof. Vladimir Božanović
strana 9
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
traženi binarni broj koji treba čitati obrnuto, tj. zadnja dobijena cifra je
najznačajnija cifra, a prva dobijena cifra je najmanje značajna cifra.
Primer 1.
Pretvoriti dekadni broj 127(10) u oktalni.
Rešenje:
Postupak je sledeći:
127 : 8 = 15 → ostatak 7
15 : 8 = 1 → ostatak 7
1:8 = 0 → ostatak 1
127(10) = 177(8)
Smer čitanja
Primer 2.
181(10)= X(8)
Rešenje:
181 : 8
22 5
2
6
0
2
Smer
čitanja
181(10) = 265(8) = 2*82 + 6*81 + 5*80 = 128 + 48 + 5
Iz dekadnog u oktalni 10 → 8 (Pretvaranje razlomljenog dela broja)
Dekadni brojevi koji su manji od 1 pretvaraju se u oktalne brojeve primenom
sledećeg postupka:
1. Pomnožiti dekadni broj brojem 8.
2. Celobrojni deo proizvoda napisati.
3. Ostatak se množi brojem 8 i ponavlja se gore pomenuti postupak, sve
dok se ne dobije 0 kao rezultat iza decimalne tačke. Ostaci deljenja
koji su zapisani predstavljaju traženi oktalni broj koji treba čitati
Prof. Vladimir Božanović
strana 10
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
odozgo, tj. poslednja dobijena cifra je najmanje značaja cifra, a prva
dobijena cifra je najznačajnija cifra.
Primer 1.
Pretvoriti dekadni broj 0,3125(10) u oktalni.
Rešenje:
Postupak je sledeći:
0,3125 * 8 = 2,5 → piše se 2
0,5 * 8 = 4 → piše se 4
0,3125(10) = 0,24(8)
Smer čitanja
Ako postoji realni dekadni broj koji je > 1, onda on može da se pretvori u
oktalni broj tako što se pretvaraju posebno celobrojni deo (levo od
decimalne tačke) i deo iza decimalne tačke i dobijeni oktalni brojevi se
pripajaju jedan drugom. Procedura je identična kao kod binarnih brojeva.
Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem (10 → 16)
Prilikom pretvaranja dekadnog broja u heksadekadni primenjuje se isti
algoritam kao u slučaju pretvaranja dekadnog broja u binarni, sa tom
razlikom što se u ovom slučaju deli brojem 16. Ostaci deljenja koji su
zapisani predstavljaju traženi binarni broj koji treba čitati odozdo, tj.
poslednja dobijena cifra je najznačajnija cifra, a prva dobijena cifra je
najmanje značajna cifra.
Primer 1.
Pretvoriti dekadni broj 127(10) u heksadekadni.
Rešenje:
Postupak je sledeći:
Prof. Vladimir Božanović
strana 11
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
127(10) = X(16)
127 : 16 = 7 → ostatak 15 → F
7:16 = 0 → ostatak 7
127(10) = 7F(16)
Smer čitanja
Primer 2.
181(10)= X(16)
Rešenje:
181 : 16
11 5
0
11
(B)
Smer
čitanja
181(10) = B5(16)= 11*161+5*160= 176+5
Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem 10 → 16 (Pretvaranje
razlomljenog dela broja)
Dekadni brojevi koji su manji od 1 pretvaraju se u heksadekadne brojeve
primenom sledećeg postupka:
1. Pomnožiti dekadni broj brojem 16
2. Celobrojni deo proizvoda napisati.
3. Ako je dobijeni proizvod < 1, iza tačke u binarnom broju se piše 0.
4. Ostatak se množi brojem 16 i ponavlja se gore pomenuti postupak,
sve dok se ne dobije 0 kao rezultat iza decimalne tačke. Ostaci
deljenja koji su zapisani predstavljaju traženi binarni broj koji treba
čitati odozgo, tj. poslednja dobijena cifra je najmanje značaja cifra, a
prva dobijena cifra je najznačajnija cifra.
Primer 1.
Pretvoriti dekadni broj 0,015625(10) u heksadekadni.
Prof. Vladimir Božanović
strana 12
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Rešenje:
Postupak je sledeći:
0,015625 * 16 = 0,25 → piše se 0
0,25 * 16 = 4 → piše se 4
0,015625(10) =0,04(16)
Smer čitanja
Binarni zapisi oktalnih cifara
Oktalna cifra
0
1
2
3
4
5
6
7
Binarni zapis
000
001
010
011
100
101
110
111
Iz oktalnog u binarni broj – direktno (8 → 2)
Pretvaranje oktalnog u binarni broj vrši se pojedinačnim pretvaranjem svake
oktalne cifre u grupu od 3 binarne cifre po tabeli binarnih zapisa oktalnih
cifara.
Primer 1.
147(8)=X(2)
Rešenje:
1(8)=011(2)
4(8)=100(2)
7(8)=111(2)
147 (8) = 011 100 111 (2)
Prof. Vladimir Božanović
strana 13
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 2.
Prevesti broj 67 iz oktalnog u binarni sistem.
Rešenje:
67(8) =X(2)
6(8) =110(2)
7(8) =111(2)
67(8) =110111(2)
Primer 3.
Prevesti broj 54,12 iz oktalnog u binarni sistem.
Rešenje:
54,12(8) =X(2)
5=101
4=100
1=001
2=010
54,12(8) =101100,001010 (2)
Iz binarnog u oktalni broj – direktno (2 → 8)
Binarne cifre se grupišu u grupe od po 3 cifre, počev od bitova najmanje
težine. Ako ukupan broj bitova nije deljiv sa tri, dopisuje se potreban broj
vodećih nula.
Primer 1.
11111010001010(2)
Rešenje:
11111010001010(2)=
Prof. Vladimir Božanović
strana 14
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
izdvajamo binarne cifre u grupe po 3, počevši od cifre sa najmanjom
težinom, odnosno od prve cifre sa desne strane, ne računajući cifre nakon
decimalnog zareza. Ukoliko grupa najveće težine nema 3 cifre, po potrebi
dodati vodeće nule.
= 011 111 010 001 010(2)
Svaku grupu od 3 cifre očitati pomoću tabele binarnih zapisa oktalnih cifara
= 37212(8)
Primer 2.
Odredite oktalni zapis sledećeg binarnog broja 11010100100(2)
Rešenje:
11010100100(2)= 011 010 100 100(2)= 3244(8)
Iz heksadekadnog u binarni broj – direktno (16 → 2)
Binarni zapisi heksadekadnih cifara
binarni
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
heksadekadni
0
1
2
3
4
5
6
7
binarni
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
heksadekadni
8
9
10
11
12
13
14
15
Pretvaranje heksadecimalnog u binarni broj vrši se jednostavnom zamenom
odgovarajuća četiri bita iz tabele za svaku heksadecimalnu cifru u broju.
Primer 1.
Prevesti broj 67 iz heksadecimalnog u binarni sistem.
Rešenje:
Prof. Vladimir Božanović
strana 15
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
67(10)=0110 0111(2)
Primer 2.
Prevesti broj A3(16) iz heksadecimalnog u binarni sistem.
Rešenje:
A3(16) =1010 0011(2)
Iz binarnog u heksadekadni broj – direktno (2 → 16)
Binarne cifre se grupišu u grupe od po 4 cifre, počev od bitova najmanje
težine. Ako ukupan broj bitova nije deljiv sa 4, dopisuje se potreban broj
vodećih nula.
Primer 1.
Odredite heksadekadni zapis sledećeg binarnog broja
1001111000111000(2)
Rešenje:
1001111000111000(2)=X(16)
= 1001 1110 0011 1000(2)= 9E38(16)
Iz heksadekadnog u oktalni broj (16 → 2 →8)
Ako je neophodno vršiti konverziju broja iz heksadecimalne u oktalnu brojnu
prezentaciju, lakše je koristiti binarnu prezentaciju kao međukorak. Svaka
heksadekadna cifra ispiše se u binarnom obliku u grupama po 4 binarne
cifre, a zatim se cifre pregrupišu u grupe od po 3 binarne cifre. Zatim se
svaka grupa od 3 cifre iščita oktalno. Vodeće nule celobrojnog dela broja
dopisuju se sa leve strane, a vodeće nule razlomljenog dela broja se
dopisuju sa desne strane.
Primer 1.
Prof. Vladimir Božanović
strana 16
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
21A8E,2(16) = X(8)
Rešenje:
= 0010 0001 1010 1000 1110, 0010(2)
= 000 100 001 101 010 001 110, 001 000 (2)
= 415216,1(8)
Iz oktalnog u heksadekadni broj (8 → 2 →16)
Konverzija broja iz oktalnog u heksadecimalni može se izvršiti preko
binarne konverzije. Svaka oktalna cifra ispiše se u binarnom obliku u
grupama po 3 binarne cifre, a zatim se cifre pregrupišu u grupe od po 4
binarne cifre. Zatim se svaka grupa od 4 cifre iščita heksadekadno. Vodeće
nule celobrojnog dela broja dopisuju se sa leve strane, a vodeće nule
razlomljenog dela broja se dopisuju sa desne strane.
Primer 1.
1702,5(8) = X(16)
Rešenje:
11702,34(8) = 001 001 111 000 010, 101(2)
= 0001 0011 1100 0010, 1010(2)
= 13C2,A(16)
Binarno sabiranje
Binarno sabiranje obavlja se isto kao i decimalno sabiranje, osim što se
prenos na sledeće značajno mesto obavlja nakon postignutog zbira (1+1).
Prof. Vladimir Božanović
strana 17
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 1.
prenos
1001011(2) = 75(10)
+ 110100(2) = 52(10)
1111111(2) =127(10)
jer je
 1+0=1
 0+1=1
Primer 2.
1111
prenos
1111001(2) = 121(10)
+ 1011110(2) = 94(10)
11010111(2) = 215(10)
jer je
 1+0=1
 0+1=1
 1+1=0 i prenosi se 1
Binarno oduzimanje
Binarno oduzimanje obavlja se kao i decimalno oduzimanje, osim što se
pozajmljuje 1 od bita veće težine.
Prof. Vladimir Božanović
strana 18
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 1.
0111(2) = 7(10)
- 0101(2) = 5(10)
0010(2) = 2(10)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.




1–1=0
1–0=1
1–1=0
0–0=0
Primer 2.
Ako od broja 10(2) = 2(10) oduzimamo 01 (2) = 1(10)
1
zajam
01
zajam
10(2) = 2(10)
- 01(2) = 1(10)
Počinjemo od desne kolone.
 0-1
neophodna nam je pozajmica. Pozajmljujemo jedinicu iz
susedne kolone levo. U koloni iz koje pozajmljujemo 1 ostaje 0.
Precrtamo 1 i dopišemo 0. U dvocifrenom broju 10 jedinica ima
vrednost 1*21=2. Kada je prenesemo u levu kolonu, dvojka postaje
dve jedinice, koje obeležavamo kao 1*20+1*20, odnosno 1+1.
Prof. Vladimir Božanović
strana 19
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Tada oduzimamo sa desna na levo:
 2-1=1
 0-0=0
1
zajam
01
zajam
10(2) = 2(10)
- 01(2) = 1(10)
01
Primer 3.
Ako od broja 100(2) = 4(10) oduzimamo 001 (2) = 1(10)
100(2) = 4(10)
- 001 (2) = 1(10)
Počinjemo od krajnje desne kolone.
 0-1
neophodna nam je pozajmica. Pozajmljujemo jedinicu iz
susedne kolone levo. U susednoj koloni je 0, tako da pozajmljujemo 1
iz prve sledeće kolone u kojoj postoji 1. To je treća kolona zdesna. U
koloni iz koje pozajmljujemo 1 ostaje 0. Precrtamo 1 i dopišemo 0. U
trocifrenom broju 100 jedinica ima vrednost 1*22=4. Kada je
prenesemo u srednju kolonu, četvorka postaje dve dvojke, koje
obeležavamo kao 1*21+1*21, odnosno 1+1.
Jedna dvojka ostaje u srednjoj koloni, a druga se pozajmljuje koloni
sa desne strane kao 1*20+1*20
11
zajam
011
zajam
100(2) = 4(10)
- 001 (2) = 1(10)
011(2) = 3(10)
Nakon obavljene pozajmice, oduzimamo počevši od krajnje desne kolone:
 2-1=1
Prof. Vladimir Božanović
strana 20
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
 1-0=1
 0-0=0
Rezultat je 011(2) = 3(10)
Primer 4.
1
zajam
11
zajam
01
zajam
11011101(2) = 221(10)
- 1111000(2) = 120(10)
01100101(2) = 101(10)
U koloni iz koje je izvršen zajam (obeleženo crvenim fontom), nakon zajma
vrednost cifre nije više 1 nego 0.
Nakon obavljene pozajmice, oduzimamo počevši od krajnje desne kolone:
Rezultat je 1100101(2) = 101(10)
Primer 5.
11 1
zajam
01101
zajam
1001011(2) = 75(10)
- 110100(2) = 52(10)
0010111(2) = 23(10)
Primer 6.
1111 zajam
1111 zajam
1111001(2) = 121(10)
- 1011110(2) = 94(10)
0011011(2) = 27(10)
Komplement broja
Komplement je pojam koji se često koristi kada se govori o brojnim
sistemima. Praktični smisao uviđa se prilikom prikazivanja negativnih
Prof. Vladimir Božanović
strana 21
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
brojeva i oduzimanja brojeva, odnosno prilikom realizacije ove operacije
kroz operaciju sabiranja.
Najopštija, uprošćena definicija komplementa bila bi da je to dopuna datog
broja do neke unapred definisane vrednosti.
U dekadnom brojnom sistemu postoje devetični i desetični komplementi.
U binarnom brojnom sistemu definisana su samo dva komplementa i oba
su od praktičnog značaja. Komplement jedinice (kao komplement najveće
cifre) i komplement dvojke (kao komplement osnove sistema).
Dekadno oduzimanje – komplementarna tehnika
U dekadnom brojnom sistemu postoje devetični i desetični komplementi.
Primer 1. - Devetični complement
82(10)
- 21(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
broj koji oduzimamo (umanjilac)
Devetični komplement broja 21 dobijamo kad od maksimalnog dvocifrenog
broja 99 oduzmemo 21.
99(10)
- 21(10)
78(10)
maksimalni dvocifreni dekadni broj
broj koji oduzimamo (umanjilac)
devetični komplement broja 21
Sabiranjem umanjenika i devetičnog komplementa dobijamo nepotpuni
rezultat.
82(10)
+ 78(10)
160(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
devetični komplement
nepotpuni rezultat
Iz nepotpunog rezultata izdvajamo cifru najveće težine (koja je premašila
dvocifren broj) prenosimo iz krajnjeg levog bita u krajnji desni i sabiramo i
dobijamo konačan zbir, odnosno razliku.
Prof. Vladimir Božanović
strana 22
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
60 (10)
+ 1(10)
61(10)
nepotpuni rezultat bez cifre najveće težine
cifra najveće težine prebačena u kolonu najmanje težine
konačan rezultat
Primer 2. - Desetični komplement
82(10)
- 21(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
broj koji oduzimamo (umanjilac)
Desetični komplement broja 21 dobijamo kad od minimalnog trocifrenog
broja 100 oduzmemo 21.
100(10)
- 21(10)
79(10)
maksimalni dvocifreni dekadni broj
broj koji oduzimamo (umanjilac)
desetični komplement broja 21
Sabiranjem umanjenika i desetičnog komplementa dobijamo nepotpuni
rezultat.
82(10)
+ 79(10)
161(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
devetični komplement
nepotpuni rezultat
Iz nepotpunog rezultata izbacujemo cifru najveće težine (koja je premašila
dvocifren broj) i dobijamo konačan zbir, odnosno razliku.
161(10)
61(10)
Binarno oduzimanje – komplementarna tehnika
U binarnom brojnom sistemu postoje jedinični i dvojični komplement.
Jedinični komplement se dobija prostom zamenom u svakom
pojedinačnom bitu jedinica nulama i obrnuto.
Dvojični komplement se dobija zamenom cifara i sabiranjem sa brojem 1.
Primer 1.
Prof. Vladimir Božanović
strana 23
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Jedinični komplement broja 111000(2) je 000111(2).
Primer 2.
Dvojični komplement broja 111000 je:
000111(2) =
+
1(2) =
1000(2) =
jedinični komplement
1
dvojični komplement
7(10)
1(10)
8(10)
Primer 1.
Klasično oduzimanje
00111001(2) = 57(10)
- 00011110(2) = 30(10)
00011011(2) = 27(10)
Oduzimanje jediničnim komplementom
11111111(2) = 255(10)
- 00011110 (2) = 30(10)
11100001(2) = 225(10)
maksimalni osmocifreni binarni broj
broj koji oduzimamo (umanjilac)
jedinični komplement
00111001(2) = 57(10)
+ 11100001(2)= 225(10)
100011010(2) = 282(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
jedinični komplement
nepotpuni rezultat
Iz nepotpunog rezultata izdvajamo cifru najveće težine (koja je premašila
osmocifren broj) prenosimo iz krajnjeg levog bita u krajnji desni i sabiramo i
dobijamo konačan zbir, odnosno razliku.
00011010(2)
+
1(2)
00011011(2)
100011010(2)
Prof. Vladimir Božanović
00011011(2) = 27(10)
strana 24
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Primer 2.
Klasično oduzimanje
00111001(2) = 57(10)
- 00011110(2) = 30(10)
00011011(2) = 27(10)
Oduzimanje dvoičnim komplementom
100000000(2) = 256(10)
- 00011110(2) = 30(10)
11100010(2) = 226(10)
minimalni devetocifreni binarni broj
broj koji oduzimamo (umanjilac)
dvoični komplement
00111001(2) = 57(10)
+ 11100010 (2)= 226(10)
100011011 (2) = 283(10)
broj od koga oduzimamo (umanjenik)
dvoični komplement
nepotpuni rezultat
Iz nepotpunog rezultata cifru koja je premašila osmocifren broj odbacujemo
i dobijamo konačan zbir, odnosno razliku.
100011011(2)
00011011(2) = 27(10)
Binarno množenje
Koristi se tehnika „pomeri i saberi“. Množenje u oktalnom brojnom sistemu
obavlja se množenjem svake cifre jednog broja sa svim ciframa drugog
broja. Rezultati množenja se potpisuju pomeranjem za jedno mesto udesno
ili ulevo.
Primer 1.
Prof. Vladimir Božanović
strana 25
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
1100(2)* 1101(2) =
1100
00000
110000
+ 1100000
10011100
vodeće nule
Binarno deljenje
Za binarno deljenje važe ista pravila kao i za dekadno:
 nulom nije dozvoljeno
 jedinicom - trivijalno
Primer 1.
Broj 1100(2) podeliti sa 11(2).
Kada delimo, deljenik pišemo sa desne strane, a delilac sa leve:
11(2) / 1100(2) =
S obzirom da je delilac dvocifren, gledamo prve dve cifre deljenika. Ako su
prve dve cifre veće ili jednake od cifara delioca, u rezultatu pišemo 1 u
drugoj koloni, a ako nisu veće ili jednake pišemo 0. Zatim od deljenika
oduzimamo delilac i dopisujemo nulu iz sledeće kolone
1
11(2) / 1100(2) =
- 11
00
rezultat
Sada delimo 00 sa 11. Rezultat je 0 što upisujemo iznad treće kolone.
Ponovo oduzimamo delioc od deljenika i ponavljamo proces.
10
11(2) / 1100(2) =
- 11
00
- 11
000
Prof. Vladimir Božanović
rezultat
strana 26
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Kada dođemo do poslednje kolone, deljenje je završeno. Rezultat je 0 što
upisujemo iznad četvrte kolone.
100
11(2) / 1100(2) =
- 11
00
- 11
000
rezultat
11(2) / 1100(2) = 100(2)
Primer 2.
Broj 110101(2) podeliti sa 101(2).
101(2) / 110101(2) =
S obzirom da je delilac trocifren, gledamo prve tri cifre deljenika. Prve tri
cifre su veće od cifara delioca (110 je veće od 101), tako da u rezultatu
pišemo 1 u trećoj koloni. Zatim od deljenika oduzimamo delilac i
dopisujemo cifru 1 iz sledeće kolone.
1
101(2) / 110101(2) =
- 101
0011
rezultat
Sada delimo 011 sa 101. Rezultat je 0 što upisujemo iznad četvrte kolone.
Dopisujemo cifru 0 iz sledeće kolone.
10
101(2) / 110101(2) =
- 101
00110
Prof. Vladimir Božanović
rezultat
strana 27
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Delimo 110 sa 101. Rezultat je 1 što upisujemo iznad pete kolone. Od 110
oduzimamo 101 i pišemo rezultat 001. Dopisujemo cifru 1 iz sledeće,
poslednje kolone.
1010
101(2) / 110101(2) =
- 101
00110
-101
0011
rezultat
Delimo 011 sa 101. Rezultat je 0 što upisujemo iznad šeste kolone.
101(2) / 110101(2) = 1010(2)
Primer 3.
Broj 101101(2) podeliti sa 110(2).
110(2) / 101101(2) =
S obzirom da je delilac trocifren, gledamo prve tri cifre deljenika. Prve tri
cifre su manje od cifara delioca (101 je manje od 110), tako da moramo da
koristimo četvrtu cifru 1 iz sledeće kolone. Cifra 1011 je veća od cifre 110,
pa kao rezultat pišemo 1 iznad četvrte kolone. Zatim oduzimamo 110 od
1011 i dobijamo rezultat 101.
1
110(2) / 101101(2) =
- 110
101
rezultat
Dopisujemo cifru 0 iz sledeće kolone.
1
110(2) / 101101(2) =
- 110
1010
Prof. Vladimir Božanović
rezultat
strana 28
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Delimo 1010 sa 110. Rezultat je 1 što upisujemo iznad pete kolone. Zatim
oduzimamo 110 od 1010 i dobijamo rezultat 100.Dopisujemo cifru 1 iz
sledeće, poslednje kolone.
11
110(2) / 101101(2) =
- 110
1010
- 110
1001
rezultat
Delimo 1001 sa 110. Rezultat je 1 što upisujemo iznad šeste kolone.
111
110(2) / 101101(2) =
- 110
1010
- 110
1001
rezultat
110(2) / 101101(2) = 111(2)
Sabiranje oktalnih brojeva
Sabiranje oktalnih brojeva vrši se kao i sabiranje dekadnih. Ukoliko zbir
prelazi vrednost 7, u levu kolonu se prenosi 1.
Primer 1.
17(8)
+ 13(8)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.
 7 + 3 = 10 = 8 + 2, pišemo 2 a prenosimo 1
 1+1+1=3
Prof. Vladimir Božanović
strana 29
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
17(8)
+ 13(8)
32(8)
Primer 2.
1750(8)
+ 377(8)
2347(8)




0+7=7
5 + 7 = 12 = 8 + 4, pišemo 4 a prenosimo 1
7 + 3 + 1 = 11 = 8 + 3, pišemo 3 a prenosimo 1
1+1=2
Primer 3.
2754(8)
+ 3721(8)
6675(8)




4+1=5
5+2=7
7 + 7 = 14 = 8 + 6, pišemo 6 a prenosimo 1
2+3+1=6
Oduzimanje oktalnih brojeva
Oduzimanje oktalnih brojeva vrši se kao i oduzimanje dekadnih. Ukoliko je
umanjilac veći od umanjenika, pozajmljujemo 1 iz leve kolone.
Primer 1.
Od 213(8) oduzeti 17(8)
Rešenje:
-
213(8)
17(8)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.
Prof. Vladimir Božanović
strana 30
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
 3 - 7 ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u trećoj
koloni postaje 8. U drugoj koloni nakon pozajmice ostaje 0.
 0 - 1 ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj
koloni postaje 8. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 1.
-
88
10
213(8)
17(8)
pozajmica
ostatak
Nakon završene pozajmice možemo da oduzimamo:
 8+3-7=4
 8+0-1=7
 1-0=1
-
88
10
213(8)
17(8)
174(8)
pozajmica
ostatak
Primer 2.
1035(8)
- 536(8)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.
 5 - 6 ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz treće kolone, koja u četvrtoj
koloni postaje 8. U trećoj koloni nakon pozajmice ostaje 2.
Prof. Vladimir Božanović
strana 31
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
8
2
1035(8)
- 536(8)
pozajmica
ostatak
 2 - 3 ne može. Ne možemo da pozajmimo iz druge kolone, jer je tu 0.
Zato pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj koloni
postaje 8. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 0.
8 8
0 2
1035(8)
- 536(8)
pozajmica
ostatak
 Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u trećoj koloni postaje 8.
U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 7.
888
072
1035(8)
- 536(8)
pozajmica
ostatak
Nakon završene pozajmice možemo da oduzimamo:
 8+5-6=7
 8+2-3=7
 7-5=2
888
072
1035(8)
- 536(8)
277(8)
Prof. Vladimir Božanović
pozajmica
ostatak
strana 32
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Množenje oktalnih brojeva
Oktalne brojeve je moguće množiti na dva načina.
1. množenjem jednog broja svim pojedinačnim ciframa drugog broja
2. množenjem svih pojedinačnih cifara oba broja
Primer 1. – prvi način
25(8) * 16(8) =
Rešenje:
 Množimo 25 sa 6:
6 * 5 = 30 : 8 = 3 i ostatak 6
Ostatak pišemo, a 3 prenosimo u levu kolonu.
6 * 2 = 12 + prenos 3 = 15 : 8 = 1 i ostatak 7
Ostatak pišemo, a u levu kolonu prenosimo 1.
smer čitanja
25(8) * 6(8) = 176(8)
 Množimo 25 sa 1:
25(8) * 1(8) = 25(8)
 Rezultat množenja sa 1 i množenja sa 6 sabiramo. Rezultat množenja
sa 1 je veće težine, tako da ga prilikom sabiranja pomeramo za jedno
mesto ulevo.
Prof. Vladimir Božanović
strana 33
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
25(8) * 16(8) =
176
25
+ 1
446(8)
25(8) * 16(8) = 446(8)
množenje sa 6
množenje sa 1
prenos (7+5=12=8+4
4 pišemo, 1 prenosimo)
Primer 1. – drugi način
25(8) * 16(8) =
Rešenje:
 Množimo sve pojedinačne cifre:
2*1=2
2 * 6 = 12
5*1=5
5 * 6 = 30
 Rezultate možemo podeliti u 3 težinske grupe:
težina
81 80
prvi broj 2 5
drugi broj 1 6
1. Prvoj grupi pripada proizvod cifara iz kolone najveće težine (81),
odnosno
2*1=2
2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona različite težine,
odnosno
2 * 6 = 12
5*1=5
3. Trećoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje težine (80),
odnosno
5 * 6 = 30
 Saberemo sve proizvode iste težine:
2
+
2
12
5
17
30
30
Prof. Vladimir Božanović
strana 34
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
 Ispod svakog broja dopisujemo najveći broj deljiv sa 8:
2
+
2
-
12 30
5
17 30
16 24
 U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 8. Saberemo broj i
prenos i oduzmemo dopisan broj:
2
+
2
+ 2
4
12
5
17
3
16
4
30
30
prenos
24
6
25(8) * 16(8) = 446(8)
Primer 2. – prvi način
42(8) * 36(8) =
Rešenje:
 Množimo 42 sa 6:
6 * 2 = 12 : 8 = 1 i ostatak 4
Ostatak pišemo, a 1 prenosimo u levu kolonu.
6 * 4 = 24 + prenos 1 = 25 : 8 = 3 i ostatak 1
Ostatak pišemo, a u levu kolonu prenosimo 3.
smer čitanja
42(8) * 6(8) = 314(8)
 Množimo 42 sa 3:
Prof. Vladimir Božanović
strana 35
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
3 * 2 = 6 : 8 = 0 i ostatak 6
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
3 * 4 = 12 : 8 = 1 i ostatak 4
Ostatak pišemo, a u levu kolonu prenosimo 1.
smer čitanja
42(8) * 3(8) = 146(8)
 Rezultat množenja sa 3 i množenja sa 6 sabiramo. Rezultat množenja
sa 3 je veće težine, tako da ga prilikom sabiranja pomeramo za jedno
mesto ulevo.
42(8) * 36(8) = 314
+ 146
1774
množenje sa 6
množenje sa 1
42(8) * 36(8) = 1774(8)
Primer 2. – drugi način
42(8) * 36(8) =
Rešenje:
 Množimo sve pojedinačne cifre:
4 * 3 = 12
4 * 6 = 24
2*3=6
2 * 6 = 12
 Rezultate možemo podeliti u 3 težinske grupe:
Prof. Vladimir Božanović
strana 36
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
težina
81 80
prvi broj 4 2
drugi broj 3 6
1. Prvoj grupi pripada proizvod cifara iz kolone najveće težine (81),
odnosno
4 * 3 = 12
2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona različite težine,
odnosno
4 * 6 = 24
2*3=6
3. Trećoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje težine (80),
odnosno
2 * 6 = 12
 Saberemo sve proizvode iste težine:
12
+
12
24
6
30
12
12
 Ispod svakog broja dopisujemo najveći broj deljiv sa 8:
12
+
12
- 8
24
6
30
24
12
12
8
 U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 8. Saberemo broj i
prenos i oduzmemo dopisan broj:
12
+
12
+1 3
- 8
1 7
Prof. Vladimir Božanović
24
6
30
1
24
7
12
12
prenos
8
4
strana 37
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
25(8) * 16(8) = 1774(8)
Sabiranje heksadekadnih brojeva
Sabiranje heksadekadnih brojeva vrši se kao i sabiranje dekadnih. Ukoliko
zbir prelazi vrednost 15, u levu kolonu se prenosi 1.
Primer 1.
19(16)
+ 18(16)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.
 9 + 8 = 17 = 16 + 1, pišemo 1 a prenosimo 1
 1+1+1=3
19(16)
+ 18(16)
31(16)
Primer 2.
1F4C(16)
+ 2E83(16)
4DCF(16)




C (12) + 3 = 15 = F
4 + 8 = 12 = C
F (15) + E (14) = 29 = 16 + 13 (D), pišemo D, a prenosimo 1
1+2+1=4
Primer 3.
4AC2D(16)
+ 3BE2(16)
4E80F(16)
Prof. Vladimir Božanović
strana 38
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI





D (13) + 2 = 15 = F
2 + E (14) = 16 = 16 + 0, pišemo 0, a prenosimo 1
C (12) + B (11) + 1 = 24 = 16 + 8, pišemo 8, a prenosimo 1
A (10) + 3 + 1 = 14 = E
4+0=4
Oduzimanje heksadekadnih brojeva
Oduzimanje heksadekadnih brojeva vrši se kao i oduzimanje dekadnih.
Ukoliko od manjeg broja treba oduzeti veći, iz leve kolone se pozajmljuje 1.
Primer 1.
-
152(16)
84(16)
Počinjemo od krajnje desne kolone i završavamo sa krajnjom levom
kolonom.
 2 - 4 ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u trećoj
koloni postaje 16. U drugoj koloni nakon pozajmice ostaje 4.
16
-
4
152(16)
84(16)
pozajmica
ostatak
 4 - 8 ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj
koloni postaje 16. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 0.
1616
-
04
152(16)
84(16)
pozajmica
ostatak
Nakon završene pozajmice možemo da oduzimamo:
Prof. Vladimir Božanović
strana 39
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
 16 + 2 - 4 = 14 = E
 16 + 4 - 8 = 12 = C
 0-0=0
1616
-
-
04
152(16)
84(16)
CE
pozajmica
ostatak
152(16)
84(16)
CE(16)
Primer 2.
2E83 (16)
- 1F4C (16)
 3 - C ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz treće kolone, koja u četvrtoj
koloni postaje 16. U trećoj koloni nakon pozajmice ostaje 7.
pozajmica
16
7
ostatak
2E83 (16)
- 1F4C (16)
 E - F ne može. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj
koloni postaje 16. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 1.
16 16
1 7
2E83 (16)
- 1F4C (16)
pozajmica
ostatak
Nakon završene pozajmice možemo da oduzimamo:
Prof. Vladimir Božanović
strana 40
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI




16 + 3 – C (12) = 7
7-4=3
16 + E (14) – F (15) = 15 (F)
1-1=0
16 16
1 7
2E83 (16)
- 1F4C (16)
F37(16)
pozajmica
ostatak
Množenje heksadekadnih brojeva
Heksadekadne brojeve je moguće množiti na dva načina.
1. množenjem jednog broja svim pojedinačnim ciframa drugog broja
2. množenjem svih pojedinačnih cifara oba broja (važi za dvocifrene
brojeve)
Primer 1. – prvi način
A5(16) * 3F(16) =
Rešenje:
 Množimo A5 sa F:
15 * 5 = 75 : 16 = 4 i ostatak 11 (B)
Ostatak pišemo, a 4 prenosimo u levu kolonu.
15 * 10 = 150 + prenos 4 = 154 : 16 = 9 i ostatak 10 (A)
Ostatak pišemo, a u levu kolonu prenosimo 9.
smer čitanja
A5(16) * F(16) = 9AB(16)
Prof. Vladimir Božanović
strana 41
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
 Množimo A5 sa 3:
3 * 5 = 15 : 16 = 0 i ostatak 15 (F)
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
3 * 10 = 30 : 16 = 1 i ostatak 14 (E)
Ostatak pišemo, a u levu kolonu prenosimo 1.
smer čitanja
A5(16) * 3(16) = 1EF(16)
 Rezultat množenja sa 3 i množenja sa A sabiramo. Rezultat
množenja sa 3 je veće težine, tako da ga prilikom sabiranja
pomeramo za jedno mesto ulevo.
9AB(16)
1EF (16)
1
+1
289B(16)
množenje sa 15
množenje sa 3
prenos (A+F=25=16+9
prenos (9+E+1=24=16+8
9 pišemo, 1 prenosimo)
8 pišemo, 1 prenosimo)
A5(16) * 3F(16) = 289B(16)
Primer 1. – drugi način
A5(16) * 3F(16) =
Prof. Vladimir Božanović
strana 42
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Rešenje:
 Množimo sve pojedinačne cifre:
A * 3 = 10 * 3 = 30
A * F = 10 * 15 = 150
5 * 3 = 15
5 * F = 5 * 15 = 75
 Rezultate možemo podeliti u 3 težinske grupe:
težina
161 160
prvi broj A
5
drugi broj 3
F
1. Prvoj grupi pripada proizvod cifara iz kolone najveće težine (161),
odnosno
A * 3 = 10 * 3 = 30
2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona različite težine,
odnosno
A * F = 10 * 15 = 150
5 * 3 = 15
3. Trećoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje težine (160),
odnosno
5 * F = 5 * 15 = 75
 Saberemo sve proizvode iste težine:
30
+
30
150
15
165
75
75
 Ispod svakog broja dopisujemo najveći broj deljiv sa 16:
30
+
-
30
16
150
15
165
160
75
75
64
Prof. Vladimir Božanović
strana 43
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 16. Saberemo broj i
prenos i oduzmemo dopisan broj:
30
+
30
+1 10
- 16
1 24
150
15
165
4
160
9
75
75
prenos
64
11
Rezultat (1 24 9 11) nije konačan. Kao i sa svakim brojem koji
prekorači 15, broj 24 treba posmatrati kao 24 = 16 + 8
pišemo 8 i u
levu kolonu prenosimo 1
1+1=2
A5(16) * 3F(16) = 289B(16)
Primer 2. – prvi način
115(16) * 24(16) =
Rešenje:
 Množimo 115 sa 4:
4 * 5 = 20 : 16 = 1 i ostatak 4
Ostatak pišemo, a 1 prenosimo u levu kolonu.
4 * 1 = 4 + prenos 1 = 5 : 16 = 0 i ostatak 5
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
4 * 1 = 4 : 16 = 0 i ostatak 4
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
smer čitanja
Prof. Vladimir Božanović
strana 44
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
115(16) * 4(16) = 454(16)
 Množimo 115 sa 2:
2 * 5 = 10 : 16 = 0 i ostatak 10 (A)
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
2 * 1 = 2 : 16 = 0 i ostatak 2
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
2 * 1 = 2 : 16 = 0 i ostatak 2
Ostatak pišemo, nulu nema potrebe prenositi.
smer čitanja
115(16) * 2(16) = 22A(16)
 Rezultat množenja sa 2 i množenja sa 4 sabiramo. Rezultat množenja
sa 2 je veće težine, tako da ga prilikom sabiranja pomeramo za jedno
mesto ulevo.
115(16) * 24(16) = 454
+ 22A
26F4
množenje sa 4
množenje sa 2
115(16) * 24(16) = 26F4 (16)
Primer 2. – drugi način
15(16) * 24(16) =
Rešenje:
 Množimo sve pojedinačne cifre:
Prof. Vladimir Božanović
strana 45
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
1*2=2
1*4=4
5 * 2 = 10
5 * 4 = 20
 Rezultate možemo podeliti u 3 težinske grupe:
težina
161 160
prvi broj 1
5
drugi broj 2
4
1. Prvoj grupi pripada proizvod cifara iz kolone najveće težine (161),
odnosno
1*2=2
2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona različite težine,
odnosno
1*4=4
5 * 2 = 10
3. Trećoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolone najmanje težine (160),
odnosno
5 * 4 = 20
 Saberemo sve proizvode iste težine:
2
+
4 20
10
2 14 20
 Ispod svakog broja dopisujemo najveći broj deljiv sa 16:
2
+
-
4 20
10
2 14 20
0 0 16
 U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 16. Saberemo broj
i prenos i oduzmemo dopisan broj:
Prof. Vladimir Božanović
strana 46
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
2
+
+
-
4 20
10
2 14 20
1
0 0 16
2 15 4
prenos
15(16) * 24(16) = 2F4(8)
Prof. Vladimir Božanović
strana 47
Sportska gimnazija Beograd
Računarstvo i informatika BROJNI SISTEMI
Sadržaj:
Brojni sistemi
Dekadni brojni sistem
Oktalnii brojni sistem
Heksadekadni brojni sistem
Binarni brojni sistem
Iz dekadnog u binarni brojni sistem
Iiz dekadnog u oktalni brojni sistem
Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem
Iz oktalnog u binarni broj – direktno
Iz binarnog u oktalni broj – direktno
Iz heksadekadnog u binarni broj – direktno
Iz binarnog u heksadekadni broj – direktno
Iz heksadekadnog u oktalni broj
Iz oktalnog u heksadekadni broj
Binarno sabiranje
Binarno oduzimanje
Komplement broja
Dekadno oduzimanje – komplementarna tehnika
Binarno oduzimanje – komplementarna tehnika
Binarno množenje
Binarno deljenje
Sabiranje oktalnih brojeva
Oduzimanje oktalnih brojeva
Množenje oktalnih brojeva
Sabiranje heksadekadnih brojeva
Oduzimanje heksadekadnih brojeva
Množenje heksadekadnih brojeva
Prof. Vladimir Božanović
2
3
3
4
4
6
9
11
13
14
15
16
16
17
17
18
21
22
23
25
26
29
30
33
38
39
41
strana 48
Download

бројни системи са примерима