Vanja Alendar
PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH
ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA
KROZ PRIMERE
Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise
Vežbe u okviru kursa
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 2
na IX semestru odseka za konstrukcije
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu
Institut za materijale i konstrukcije
Beograd, novembar 2004.
PREDGOVOR drugom izdanju
Pet godina je prošlo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebalo
za odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne četri godine moglo je puno toga da
se uradi, ali nije. A onda nam se pridružio naš mladi asistent Ivan Ignjatović, koji se ponudio da
prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlučeno da
se nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno.
Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u
'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao,
trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija.
Šta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim što je prekucan, tekst drugoga dela - Primeri je
i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su prerađene, dodate su i nove, kao i fotografije koje
ilustruju efekte dogođenih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima.
Uz fotografije na žalost nije naveden izvor, što je osnovni red. Izvinjavam se autorima, biće
urađeno u sledećem izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama,
potpuno je prerađen, dopunjen i uključen u tekst kao Primer 4.
Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilagođen raspoloživom vremenu od
četrnaest nedelja nastave. U međuvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno,
po sedam nedelja, studentima izlažu problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa.
Takođe, deo problema koji je ranije izlagan na vežbama, sada je deo predavanja. Tekst skripti
ipak nije skraćen, ali se može čitati na razne načine. Obavezni deo obuhvata:
- Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod u
Evrokod 8;
- Deo - B - Primeri proći ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima 1-3, koja
zahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8.
To je minimun, koji još uvek ima smisla. Time se narušava prvobitna koncepciju, ali je
dovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena važećih domaćih propisa iz ove oblasti.
Godišnji zadatak i pismeni ispit se ionako rade isključivo prema važećim domaćim propisima.
Šta još pročitati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporučuje da se i
ostali delovi pročitaju, bar kao priča. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objašnjava
suština domaćih propisa i filozofija projektovanja.
Na kraju, želim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatoviću, koji me je doveo u situaciju da
ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo?
Beograd, novembar 2004.
Vanja Alendar
PREDGOVOR prvom izdanju
U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom
semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz `elje da studenti sa fakulteta ponesu
vi{e "papira" i znanja nego {to se to mo`e zapisati kredom na tabli, u 14 nedelja nastave. @elja da
tekst mo`da bude interesantan i in`enjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne i
preteranom obimu.
Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 1999., nebi li se stiglo
za po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se da
ima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovine
kursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadr`i probrane primere sa razradom pojedinih
delova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Ako
me ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji.
Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg se
razumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija.
Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz `elje da
se na jednom mestu pove`u u zaokru`en koncept.
Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i va`e}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlo
jednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat slo`ene konstrukcije uz pomo} nekog od softvera iz
ove oblast". Me|utim, propisi su pisani 1981. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a o
aseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me|uvremenu su se
nepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje in`enjera u
praksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda i
koncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}e
evropske propise, ~iji se prednacrt u me|uvremenu pojavio.
Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao i priprema unapred. Na ~asovima }e se
prvenstveno ukazati na bitne stvari sadr`ane u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~a
i zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadr`ano je u tekstu, tabla }a slu`iti samo za adhok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja,
studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju ili
ne, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske.
O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakim
pojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore na
pojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su mu
otvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okru`enju.
Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam se
da nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.M.A}i}u zahvaljujem na podr{ci pri
pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izra`avam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao,
podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onu
da mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne slo`i,
neka ka`e, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju.
Beograd, oktobar 1999.
Vanja Alendar
[email protected] uz Deo A
1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA 1-1
1.1 OPIS ZEMLJOTRESA 1-1
1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI 1-3
2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-1
2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 2-1
2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-5
3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-1
3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-1
3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-2
3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-4
3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA 3-6
3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-7
3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA 3-8
4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM
U ARMIRANOM BETONU 4-1
4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-1
4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA 4-3
4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA 4-6
4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA
PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA 4-7
4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA 4-8
5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-1
5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-1
5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA 5-2
5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5
5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" 5-6
5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM 5-7
5.6 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8
6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA
- UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-1
6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-1
6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 6-2
6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA 6-2
6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA 6-3
6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA
- FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 6-4
6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA 6-5
6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE 6-6
6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE 6-7
6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI 6-7
6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU 6-8
6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA 6-9
6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA 6-11
6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA 6-12
6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA 6-12
6.15 PRERASPODELA UTICAJA 6-13
6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI 6-13
6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA
I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI 6-14
6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE 6-14
6.18.1 Faktor preoptere}enja 6-14
6.18.2 Zidovi 6-15
6.18.3 Grede 6-15
6.18.4 Stubovi 6-16
6.18.5 ^vorovi okvira 6-16
6.18.6 Konstrukcijski sistem 6-17
6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE 6-18
6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ? 6-20
6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM 6-20
6.22 [email protected] KONSTRUKCIJE 6-20
6.23 FUNDIRANJE 6-20
7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA 7-1
7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-1
7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA 7-1
7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81 7-3
8. LITERATURA uz Deo A
1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA
O ZEMLJOTRESIMA
UVOD
U uvodnom delu izlo`eni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u prostoru, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni period zemljotresa kao i opis
efekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini{u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za in`enjerski opis zemljotresa na nekoj
lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i
njihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat
je primer efekata zemljotresa u Mionici 1998. na lokaciji teritorije Beograda.
1.1 OPIS ZEMLJOTRESA
Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u delu
zemljine kore - `ari{tu (hipocentar), na dubini H - `ari{na dubina, slila 1.1 Zemljotresi sa
`ari{nom dubinom H<70 km smatraju se plitkim zemljotresima. Oblast na vertikalnoj
projekciji `ari{ta na povr{inu zemlje naziva se epicentar. Rastojanje objekta od `ari{ta
odnosno epicentra naziva se `ari{no - R odnosno epicentralno - Re rastojanje , slika 1.1.
Re - epicentralno rastojanje
Epicentar
Likvefakcija
Lokalno tlo
Osnovna stena
R
-`
ari
{no
ras
t
H - `ari{na dubina
Klizi{te
oja
nje
@ari{te (hipocentar)
Slika 1.1 Zemljotres - prostorni opis
Seizmi~ki talasi izazivaju kretanje osnovne stene ispod objekta, propagiraju kroz
lokalno tlo do temelja objekta i izazivaju kretanje temelja i objekta. Lokalna tla u kojima
se pri zemljotresu mogu pojaviti likvefakcija ili klizi{te, nazivaju se dinami~ki nestabilnim
tlom. Objekti fundirani u takvom tlu nisu predmet narednih razmatranja, pretpostavlja
se da je objekat fundiran u stabilnom tlu, bez zna~ajnije interakcije konstrukcije i tla.
Mera ja~ine zemljotresa naziva se magnituda zemljotresa - M. Prema Richteru /1/,
veza oslobo|ene energije E u `ari{tu i magnitude M glasi
log10 E=4,8 + 1,5M
(Joul-a)
(1.1)
Zemljotres magnitude M , 32 puta je "ja~i" od zemljotresa magnitude M-1, 1000
puta ja~i od zemljotresa magnitude M-2 itd. Za zemljotrese magnitude M<5 smatra se
da prakti~no ne izazivaju {tete, dok sa porastom magnitude raste zahva}ena povr{ina kao
i intenzitet (El Centro 1940. M=6,6 ; Skoplje 1963. M=6,0 ; Crna gora 1979. M=7,0 ;
1-1
Maljen-Mionica 1998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9
(Lisabon 1755. M=8,6 ).
Prose~an vremenski interval Tp (godina) izme|u pojave dva zemljotresa iste ja~ine
naziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga|aju se
re|e, sa du`im povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od Tp=50
godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 100 godina itd.
Recipro~na vrednost povratnog perioda, P=1/Tp, predstavlja verovatno}u pojave
zemljotresa odre|ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini.
Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema
prihvatljivom riziku za odre|eni objekat /2/ :
P=0,02 (Tp=50 godina) - o{te}enja koja ne zahtevaju popravku,
P=0,002 (Tp=500 godina) - o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv. projektni
zemljotres,
P=0,0002 (Tp=5000 godina) - nepopravljiva o{te}enja.
Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp u vremenskom
intervalu od T godina iznosi Pt=1-(1-P)T . Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim
periodom Tp=500 godina u narednih T=10 godina iznosi P10=1-(1-1/500)10 = 0,02 =
1/50. U periodu od T=Tp godina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom
Tp iznosi PTp = 0,63 (P50=P500=P5000).
Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitet
zemljotresa - I na odre|enoj lokaciji. Gradacija posledica izra`ava se skalama intenziteta,
koje mogu da budu opisne (..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...)
ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Na
osnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo|ena {teta, ali za analizu efekata
zemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv.
U Jugoslaviji se koristi MSK-64 skala, sa dvanaest stepeni intenziteta zemljotresa.
Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritoriji
Jugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500
godina iznosi devet stepeni. Mada izme|u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slaba
korelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornje
granice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla ag pretpostavlja:
intenzitet VII-og stepena:
ag £ 0,10 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta)
intenzitet VIII-og stepena: ag £ 0,20 g
intenzitet IX-og stepena:
ag £ 0,40 g
2
gde je g=9,81 m/s ubrzanje zemljine te`e. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgovara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku /1/, za vezu magnitude M i intenziteta
zemljotresa I u epicentru, za teritoriji Jugoslavije mo`e da se usvoji relacija
I = 1,5M - 0,5
(1.2)
Za odre|enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa
razli~itim povratnim periodima Tp vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analize
lokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, `ari{nih dubina i epicentralnih
rastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim `ari{tima. Rejonizacija
mo`e da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije,
prema kojoj se u Beogradu mo`e o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnim
periodom Tp=500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u
obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to je
ubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon
1-2
seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sa
povratnim periodom Tp=500 godina usvojeno je ag = 1,18 m/s 2 = 0,12g , {to je znatno
manje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonu od 0,20g.
1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI
Ubrzanje tla - ag(t)
Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se mo`e opisati sa tri
translacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresa
obi~no su izra`ene sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcije
udaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanost
konstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}e
zanemaruju i vertikalna ubrzanja tla usled zemljotresa.
Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja" konstrukcija, naj~e{}e se
njegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj
horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra.
Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme|u ostalog, i na zapisima
ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa Tg
akcelerogramima, koji se registruju pomo}u
ure|aja akcelerografa. Za ocenu efekata
zemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci:
maksimalno registrovano ubrzanje tla - max ag (na
tD
dalje - ag ), trajanje jakog dela zemljotresa - tD ,
max ag
predominantni period oscilovanja tla - Tg , slika
Vreme - t (s)
1.2. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~ki
Slika 1.2 Karakteristike zapisa
se mogu dobiti zapisi promene brzine tla - vg
ubrzanja tla
odnosno pomeranja tla - dg u toku vremena, slika
1.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijaju
nakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo,
dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kako
postupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresa
El Centro iz 1940. godine.
Prema Naumoskom /1/, maksimalno ubrzanje tla ag (cm/s 2) zemljotresa magnitude M , na lokaciji sa `ari{nim rastojanjem R - atenuacijska formula, mo`e da se oceni
prema relaciji
ag = 654e 0,54 M/(R+20) 1,33
(1.3)
maksimalna o~ekivana brzina tla vg (cm/s) iznosi
vg = 4,43e 0,94 M/(R+20) 1,38
(1.4)
a maksimalno o~ekivano pomeranje tla dg (cm) mo`e da se oceni pomo}u relacije
dg = 0,060e 1,20 M/(R+20) 1,34
(1.5)
Prema Paulay /2/, veza maksimalnog ubrzanja tla ag (m/s 2) i intenziteta zemljotresa I na jednoj lokaciji mo`e da se prika`e u obliku
ag = 10 - 2,40 + 0,34 I odnosno
(1.6)
I = (log10 ag + 2,40)/0,34
(1.7)
1-3
0.0
-0.2
0
5
-0.4
10
15
20
25
30
Ubrzanje (g)
0
0
5
-400
10
20
25
30
5
10
15
0
-0.2
5
10
15
20
25
30
Ulcinj '79
ag=0,24g
e.
0.2
0.0
-0.2
0
5
10
0.4
0
-50 0
0.0
15
20
25
30
25
30
-0.4
El Centro '40
dg=214mm
c.
50
15
Petrovac '79
ag=0,30g
0.2
0.4
200
-200
d.
-0.4
El Centro '40
vg=361mm/s
b.
20
25
Ubrzanje (g)
Brzina (mm/s)
Ubrzanje (g)
Ubrzanje (g)
0.2
400
Pomeranje(mm)
0.4
El Centro '40
ag=0,32g
a.
0.4
30
-100
-150
Beograd '98
ag=0,023g
f.
0.2
0.0
-0.2
0
5
10
15
20
-0.4
-200
Vreme - (s)
Vreme (s)
-250
Slika 1.3 Zapisi zemljotresa: a)El Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 1940.,
komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)Petrovac (Crna Gora
1979., komponenta EW, M=7,0), e)Ulcinj (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0),
f)Beograd (Mionica 29.09.1998., komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje Re=74
km, dubina `ari{ta H=16 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima
("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu.
0.5
1.0
M=8
0.4
1.0
0.3
0.8
M=6
Period Tg (s)
M=7
0.6
ag (g)
ag (g)
0.8
1.2
0.2
0.4
70 km
0.2
a.
b.
0.1
0.0
50
100
R (km)
150
200
M=7
0.6
M=6
0.4
0.2
0
0
M=8
70 km
c.
0.0
5
6
7
Intenzitet - I
8
9
0
100
200
R (km)
300
Slika 1.4 (a) atenuacijska kriva prema (1.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (1.6); (c)
predominantni period oscilovanja tla Tg u zavisnosti od magnitude i `ari{nog rastojanja /1/
Prema Watabe-u /1/, trajanje jakog dela zemljotresa tD (s) mo`e da se proceni
prema relaciji
tD = 10 (M-2,5)/ 3,23
1-4
(1.8)
Prema Seed-u /1/, predominantni period sopstvenih oscilacija tla Tg na nekoj
lokaciji raste sa porastom magnitude M, ali i sa pove}anjem `ari{nog rastojanja R, slika
1.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija.
Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme|u ostaloga i
zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina,
intenziteta na primer.
Primer 1.1 ..........
Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine `ari{ta H=16 km zemljotresa u
Mionici 1989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji
Beograd, R~Re=74 km.
Prema (1.2), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 1998.
godine iznosio je
I = 1,5x5,6-0,5 = 7,9
{to se dobro sla`e sa registrovanim o{te}enjima na terenu.
Prema (1.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi
ag= 654e 0,54x5,6/(74+20)1,33=31,9cm/s 2 = 0,032g
dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,023g, slika
1.3.f.
Prema (1.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi
vg = 4,43e 0,94x5,6/(74+20)1,38 = 1,62 cm/s
dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost vg = 0,85 cm/s.
Prema (1.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi
dg=0,060e 1,20x5,6/(74+20)1,34 = 0,11 cm
dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost dg = 0,07 cm.
Prema (1.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi
I=(log10 0,032x9,81 + 2,40)/0,34 = 5,6
dok se ocene kre}u u granicama I=5-5,5.
Prema (1.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi
tD = 10 (5,6-2,5)/3,23 = 9,1 s
{to se sla`e sa merenjima.
Prema slici 1.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama
Tg = 0,25 - 0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krute
konstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija.
Ukupni utisak je da predlo`eni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatrane
veli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentrom
u Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinim
starijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panika
u visokim objektima.
1-5
Generalno, zemljotresi ~ija je du`ina trajanja jakog dela tD<10 sekundi, kod kojih
je predominantni period oscilacija tla Tg<1 sekunde i kod kojih je odnos ubrzanja i
brzine tla ag /vg >1, spadaju u zemljotrese visoke frekvence, kratkog trajanja i niske energije.
Takav je bio i mioni~ki zemljoters (ag / vg =0,023x981/0,85 = 26,5 1/s > 1).
Prema va`e}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a
Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinih
gra|evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beograda
precenjeni. Ako je `ari{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, u
Beogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,02g na steni, postavlja se pitanje koje je to `ari{te,
i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,2g, sa povratnim periodom
od Tp=500 godina?
Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnih
dobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr|ivanju karata ubrzanja tla
treba izvr{iti ozbiljne analize.
Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav
zemljotres!". [ta mo`e da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da procene
seizmolozi. Za gra|evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. I
slab zemljotres mo`e da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja.
1-6
2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH
SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
UVOD
Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje
tla pri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realne
konstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}e
dominantan, i predstavlja osnovu ve}ine propisa u ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnih
pojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednim
stepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku,
re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra|evinskih konstrukcija,
formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja .
2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA
IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA
Za opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju
potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno od
dispozicije konstrukcije, rasporeda masa kao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla,
broj nezavisnih komponenti pomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, i
naziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase u
ravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnim
pomeranjem mase d(t) u toku vremena, slika 2.1.
D
d
H
F
W
aH
d1
W
W
d3
d2
W
W
W
M,Q
a
h
d
=
D
+
N
aH
+
Dh
k
M,Q
b
d1
+
d2
+
d3
Slika 2.1 Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode
Pri dejstvu spoljne stati~ke sile F, horizontalno pomeranje d mase u op{tem slu~aju
posledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja d usled klizanja temelja, pomeranja
aH usled rotacije temelja za ugao a, pomeranje d1 i d3 usled deformacija savijanja i smicanja i pomeranja d2 usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika 2.1
d = D + aH + d1 + d2 + d3 = dF = F/k
(2.1)
Ukupno pomeranje d usled jedini~ne sile F=1 , naziva se fleksibilnost konstrukcije
("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=1/d naziva krutost konstrukcije na
pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk-
2-1
cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovu krutosti EI
preseka na savijanje.
Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d"g(t), problem postaje dinami~ki, jer se u
konstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period
sopstvenih oscilacija sistema
T=2pÖ(m/k) = 2pÖ(md)
(2.2)
odnosno kru`na frekvenca sopstvenih oscilacija
w = 2p/T = Ö(k/m)
(2.3)
gde je m - masa sistema.
M
M
FI
M
FC
M
Pef
FK
H
W
k,C
k,C
a.
b.
c.
d.
F
FC K
d"g
dt
=
dg
+
d
d
Slika 2.2 Osnovni parametri dinami~kog modela
Ukupno pomeranje d t mase u odnosu na po~etni polo`aj u prostoru jednako je zbiru
pomeranja dg konstrukcije kao krutog tela zajedno sa tlom, slika 2.1.b, i relativnog pomeranja
d mase u odnosu na temelj, slika 2.1.c. Totalno, apsolutno ubrzanje mase u prostoru iznosi
d t" = d"g + d".
Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d"g (t) mo`e da se
odredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanja mase konstrukcije sa nepomerljivim
temeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silom u centru mase Pef =-md"g slika 2.1.d.
U svakom trenutku vremena t , rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" zbir efektivne Pef i inercijalne sile FI = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnote`i je sa
unutra{njim silama konstrukcije, otporu elasti~ne konstrukcije pomeranjima - FK=kd, i sili
prigu{enja kretanja FC=cd', gde je c - viskozno prigu{enja a d' - relativna brzina kretanja, slika
2.1.d
Pef - FI - Fk - Fc = 0
odnosno
md" + cd' + kd = -md"g
(2.4)
(2.5)
Podeljena sa masom m, jedna~ina (2.5) glasi
d" + 2xwd' + w 2d = -d"g
(2.6)
gde je x=c/2mw koeficijent prigu{enja, a A(t)=w 2d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~ine
koeficijenta prigu{enja x<0,10, pseudo ubrzanje, koje odre|uje iznos naprezanja
konstrukcije prakti~no je jednako totalnom ubrzanju, koje uti~e kako na ljude, tako i na
opremu objekta, (d"g + d") » w 2d.
2-2
U slu~aju kretanja tla, re{enje
jedna~ine (2.6) mo`e da se odredi u obliku
FK(t)=Kd(t)
FK(t)
Duhamel-ovog integrala, ili se primenjuju
numeri~ke metode, kao {to je Njumarkova
metoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/.
Ulazni podatak je promena ubrzanja tla u
toku vremena d"g(t), definisana zapisima
ubrzanja
tla - akcelerogramima, slika 1.3.
a.
b.
^esto se umesto registrovanih vrednosti ubrzanja koriste skalirane vrednosti
Slika 2.3 Interpretacija rezultata analize
ubrzanja tla. Oblik zapisa se zadr`ava, ali
se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom ag / maxd"g(t) , tako da maksimalno
ra~unsko ubrzanje tla bude jednako `eljenoj vrednosti ag .
Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otpora
konstrukcije Fk(t)=mA(t)=mw 2d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika
2.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativno
pomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti k
konstrukcije, slika 2.3.b.
d(t)
d(t)
El Centro
ag=0,2g
T=0,5s
a.
0
0
5
10
15
20
25
30
-100
-150
-150
-200
80
-200
T~ 0,5s
60
40
10
15
66,2
20
25
30
20
25
30
T~ 1,5s
20
0
-20 0
5
10
15
20
25
30
35,7
-40
0
-20 0
5
10
15
-40
-60
0.6
0,58
f.
0.6
Pseudo ubrzanje
Ubrzanje tla
0.4
Pseudo ubrzanje
Ubrzanje tla
0.4
0.2
0.2
0.0
-0.6
5
e.
40
20
-0.4
0
80
b.
60
-60
Ubrzanje (g)
-50
-100
-0.2
Pomeranje tla
Pomeranje konstr.
50
0
-50
d.
100
Pomeranje tla
Pomeranje konstr.
50
Relativno pomeranje (mm)
Apsolutno pomeranje (mm)
100
T=1,5s
0.0
0
5
c.
10
15
20
25
30
-0.2
-0.4
-0.6
Vreme t (sec)
0
5
10
15
0,12
Vreme t (sec)
Slika 2.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro
2-3
20
25
30
Primer 2.1......
Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom
slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici 1.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla
ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s
odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.
Na slici 2.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde:
ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl.2.4.a i d), relativna
pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno
pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.4.c i f).
Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, i nizom impulsa ubrzanja u toku vremena izaziva
sopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~aja
izaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodima
oscilovanja T=0,5 odnosno T=1,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manja
relativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise,
ali ne i pravilo.
U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,2g, ali se kod kru}e konstrukcije,
sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikuju na iznos 0,58g, dok je u
slu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,12g manje od ubrzanja tla. Vrednost
faktora amplifikacije - odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi b0 = 0,58g/0,2g
= 2,9 (T=0,5s) odnosno b0 = 0,12g/0,2g = 0,6 (T=1,5s).
Primer 2.2.....
Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom
slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici 1.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla
ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s
odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.
Petrovac
ag=0,2g
T=0,5 s
a.
Relativno pomeranje (mm)
60
40
40
20
20
0
-20
5
10
15
20
25
-40
30,3
-20
0
5
10
15
20
25
-40
-60
-60
60,5
-80
-80
0,97
b.
Pseudo ubrzanje
Ubrzanje tla
0.5
1.0
Pseudo ubrzanje
Ubrzanje tla
d.
0.5
0.0
0.0
0
5
10
15
-0.5
-1.0
c.
0
0
1.0
Ubrzanje (g)
60
T=1,5 s
20
25
0
-0.5
Vreme t (sec)
-1.0
5
10
15
0,054
Vreme t (sec)
Slika 2.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac
2-4
20
25
Na slici 2.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde:
relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tla
odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl.2.5.b i d).
U ovom slu~aju konstrukcija sa ni`om periodom ima ve}a relativna pomeranja.
Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju
mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g.
Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznos
maksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla Tg , slika 1.4.c kao i
frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, za
isti zapis, odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama sopstvenih oscilacija se razlikuje.
2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA
Za isti zapis ubrzanja tla d"g(t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno
kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija w (m/k=const) i prigu{enjem x pona{aju se
identi~no u toku trajanja zamljotresa, i dosti`u iste ekstremne vrednosti relativnih
pomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinate
ubrzanja tla pomno`e, normalizuju faktorom a, u istom odnosu promeni}e se i
odgovoraju}e ekstremne vrednosti.
Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{u
maksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datoj
lokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag , ali ne i tok,
frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisi
dogo|enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije - sintetizovani zapisi ubrzanja
tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag .
Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisa Z ubrzanja
tla na konstrukcije sa razli~itim priodama Ti mogu da se sistematizuju u obliku spektra
odgovora, koji prikazuju maksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji
je algoritam prikazan na slici 2.6.
x=5%
d(t)
Ti
D=max d(t)
T1
Pomeranje D
Tn
Z1
Zj
Zm
D1(T1)
Dn(Tn)
Di(Ti)
Period T
Start
Novi zapis ubrzanja tla - Z
V=wD
A=w2D
Slika 2.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora
Za izabrani zapis Z (El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava se
odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T1 -Tn. Za svaku od perioda Ti , registruje se
2-5
maksimalno sra~unato pomeranje sistema D=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram,
spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina i
totalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=wD odnosno pseudo
ubrzanja A=w 2D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase.
Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija
familija spektra odgovora, koji se obi~no normalizuju ili na ubrzanje zemljine te`e g, ili na
maksimalno o~ekivano ubrzanje tla ag .
Primer 2.3.....
Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre
pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,02 - 3,0s, prigu{enje x=5%.
Na slici 2.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanje
tla ag . Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera 2.1 i 2.2.
Op{ti trend je da sa produ`enjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost
maksimalnih ubrzanja ali i raste vrednost maksimalnih pomeranja konstrukcije.
Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali na
razli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, koji
mogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - `ari{ta
zemljotresa.
5
Ulcinj
Petrovac
3
0.125
D( ag ) = D/ag (s)
4
A (ag ) = A/ag
0.150
4,85
Beograd
2,87
2
Ulcinj
2,18
1,97
1
0.100
0,031
0,018
0,012
0.075
El Centro
0.050
0,034Petrovac
El Centro
0,59
0,27
Beograd
0,124
0.025
0,015
Petrovac
0
Beograd
0.000
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
Period (s)
0.5
1.0
1.5
2.0
Period (s)
2.5
3.0
Slika 2.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema
Primer 2.4.....
Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=1,5s, odrediti maksimalno
relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim
ubrzanjem tla ag = 0,2g.
Prema slici 2.7.b, maksimalno pomeranje iznosi
D = ag D(ag ) = 0,2g x 0,034 = 0,2x9810x0,034 = 66,7 mm.
Prema slici 2.7.a, maksimalno ubrzanje iznosi
A = ag A(ag ) = 0,2g x 0,59 = 0,118g (=w 2D /g = (2p /1,5) 2x66,7/9810)
2-6
Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskog
seizmi~kog optere}enja F iznosi
F = mA = 0,118mg
Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno
M=FH.
Primer 2.5.....
Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kN, odrediti
potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu
El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od ag=0,2g pomeranje vrha konzole D bude
jednako 1% od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=250 GPa.
Masa konstrukcije iznosi
m = W/g=300/9,81 = 30,58 kNs 2/m
Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi
maxD=1%H = 0,01 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno
maxD/ag = 0,0667/0,2x9,81 = 0,034 s
Prema slici 2.7.b, za zapis El Centro i vrednost D(ag )= 0,034 s, sledi da konstrukcija
treba da ima period oscilovanja od T=1,15s. Kako je T=2pÖ(md), to pomeranje vrha
konzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile d=1H 3/3EI treba da iznosi
d = (T/2p) 2/m = (1,5/2p) 2/30,58 = 1,86 10 -3 m
pa je
potI = H 3/3Ed = 6,67 3/3 x 2,5 10 7 x 1,86 10 -3 = 2,12 10 -3 m4.
Potrebna dimenzija b stuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi
b=(12 x potI) 1/4 = (12 x 2,12 10 -3) 1/4 = 0,40 m.
2-7
3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH
SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
UVOD
Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa mo`e, u slu~aju izuzetno
zna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enje konstrukcije pri zemljotresu, ili da
se kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se na
dopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja
konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema,
ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze
raspolo`ive duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kog
optere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izlo`en je op{ti algoritam
projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim
jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija pri
monotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga za
definisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorija
deformacija konstrukcije pri zemljotresu.
3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA
OD ZEMLJOTRESA
Ubrzanje (g)
Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcija obi~no je izuzetno
visok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo|enje viskoznog
prigu{enja od x = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ubla`ilo efekte zemljotresa, slika 3.1 pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine te`e.
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
Prigu{enje 0%
Prigu{enje 5%
Prigu{enje 20%
5
10
15
20
25
Vreme (s)
Slika 3.1 Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s
Slika 3.2 "Stabilan sistem" pri
kretanju
Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao i
uvek - ulo`iti sredstva pri gra|enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti rizik
o{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalno
adaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanih
pomeranjem tla koje ne mo`emo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kim
pojavama mogu}i i konstrukcijski sistemi - privremeni mehanizmi koji su "stabilni" dok traje
kretanje, slika 3.2. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistema
pre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformaciju sistema.
Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenju
seizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima
3-1
usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre|enog nivoa o{te}enja
konstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od
5% tako|e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina.
Paradoks ?
Manja sila - ve}a o{te}enja
Fe
W
W
Elasti~an odgovor
konstrukcije
a.
b.
W
W
W
F < Fe !?
Neelasti~an odgovor
konstrukcije
a.
O{te}enja
Slika 3.3 Tradicionalni koncept
gra|enja i za{tite od zemljotresa
b.
c.
Slika 3.4 Savremeni koncepti gra|enja i
za{tite od zemljotresa
Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F<Fe ima ve}a
o{te}enja, slika 3.3.b, ali redosled je obrnut, optere}enje je ni`e jer je upravo pojavom
o{te}enja sni`ena krutost konstrukcije, tipi~no za uticaje prinudnih pomeranja.
Ako se ne mo`e spre~iti pomeranje tla, konstrukcijski je mogu}e u horizontalnoj
ravni prese}i, izolovati temelj konstrukcije od kretanja tla, konceptualni primer savremene
za{tite konstrukcija - ku}a "na to~kovima" na slici 3.4.a. Ovaj koncept je efikasan u slu~aju
krutih konstrukcija, produ`ava se period oscilovanja i smanjuje se efektivna sila Pef .
Ono {to je bitno, treba ubla`iti pobu|ivanje kretanja mase usled propagiranja
oscilacija kroz konstrukciju. Ako je glavna masa konstrukcije visoko, stubovi mogu da se
za{tite postavljanjem dinami~ke izolacije ispod mase, primer konstrukcija krovova velikih
raspona na neoprenskim le`i{tima na vrhu stubova, konceptualno re{enje prema slici 3.4.c.
U oba navedena slu~aja, relativna pomeranja mase konstrukcije u odnosu na podlogu smicanje le`i{ta ~esto je merodavan kriterijum za realizaciju za{tite.
Za{tita konstrukcija mo`e da se ostvari i intervencijama koje modifikuju prigu{enje
kretanja. Efekti prigu{enja mogu da se poja~aju dodavanjem posebnih "dampera" prigu{iva~a, slika 3.4.b, sistem pogodan u slu~aju fleksibilnih konstrukcija.
Tradicionalni na~in gra|enja i za{tite jo{ uvek preovla|uje, i u propisima pa i u
praksi, tako da se naredne analize odnose na ovaj koncept. Ako pri prinudnim pomeranjima treba ograni~iti nivo naprezanja nelinearnim odgovorom konstrukcije, tada je elastoplasti~an model odgovora konstrukcije svakako najjednostavniji.
3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH
SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
Na slici 3.5 ilustrovan je sistem sa jednom masom m za koji se pretpostavlja da je
konstrukcijskim merama obezbe|ena elasto-plasti~na veza sile F i pomeranja d vrha
konstrukcije.
Pri prinudnom pomeranju vrha dm , reakcija elasti~nog sistema sa kruto{}u k iznosila
bi Fe= kdm, ta~ka I na slici 3.5.b. Pri pomeranju dm , akumulirana potencijalna energija
jednaka je zbiru povr{ina Ee1 + Ee2 + Eh , slika 3.5.b. Ukoliko se sistem oslobodi oslonca,
nastupi}e oscilacije du` prave I-II, sa periodom oscilovanja T=2pÖ(m/k), uz stalnu izmenu
3-2
F/(ma g)
Pomeranje (mm)
kineti~ke i potencijalne energije. Ukoliko nema prigu{enja,
F
I
amplitude oscilacija jednake su
Fe
M
E
EP
po~etnom pomeranju dm - elask Ee1
ti~an sistem "se se}a" stanja iz
Fy
6
2
3
koga je izveden i reaguje
dp
Eh
-dm
d
1
"koleri~no".
dy
dp dm
dm
Pretpostavimo da je ela5
-Fy
4
Ee2
k (x=0)
sti~ni nivo optere}enja Fe konk
strukcijski neprihvatljiv, i da
-Fe
II
a.
b. `elimo da ga smanjimo na iznos Fy = Fe /R, gde je R usvoSlika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema
jena vrednost faktora redukcije
elasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju dm , elasto-plasti~an sistem (EP - sistem)
sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b.
Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{ini Ee2 , jer je znatan
deo unete energije Eh nepovratno izgubljen proizvo|enjem trajne deformacije dp .
Osloba|anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenim
ubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme|u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kako
su masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak periodu
oscilovanja elasti~ne konstrukcije.
Zavisno od nosivosti Fy odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistem
akumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptira
se trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no".
R=1,0
Ukoliko je u pitanju monotoni stati0,2g
R=2,5
4
a.
R=5,0
~ki opit cikli~nih deformacija, pri "rastere}eR=10
3
nju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnom
0,1s
2
smeru, odgovor EP sistema opisan je
1
"putem" 3-4-5-6 itd.
0
Primer 3.1.....
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1
Za sistem sa jednom masom i periodom
oscilovanja
T=0,5s, odrediti odgovor sis-2
tema na impuls ubrzanja tla koji linearno
-3
raste od ag(t=0)=0 do ag (t=0,1s)=0,2g ,
Vreme (s)
-4
R=1,0
slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije
0.3
R=2,5
b.
R=5,0
usvojiti R=1 (elasti~an sistem), 2,5, 5 i 10, a
R=10
0.2
za prigu{enje x = 0.
Fy=maxFe/R
Za re{enje nelinearnog dinami~kog
0.1
problema upotrebljen je program DIANA TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenom
0
Njumarkove metode integracije i modifi0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-0.1
kovane Njutn-Rapsonove iterativne procedure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su rela-0.2
tivna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enje
odgovaraju}e konstrukcije, normalizovano
-0.3
na proizvod mase i maksimalnog ubrzanja
tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {to
Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impuls
je i nagove{teno, nakon prestanka kretanja
ubrzanja tla
3-3
tla (t=0,1s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenim
ubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistema Fy .
3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH
SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na dati
zapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enje Fe i relativno pomeranje de , slika 3.7.
Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja dm EP sistema sa istom
inicijalnom kruto{}u k , ali sa redukovanom nosivo{}u Fy=Fe /R i odgovaraju}im
pomeranjem dy na granici dostizanja nosivosti tj.
granici elasti~nosti.
F
Fe
I
Odnos md = dm /dy naziva se potrebna duktilnost
pomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost konstrukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije du treba da
E
R
je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja dm pri
zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{k
}e je utvr|ivanje potrebne duktilnosti pomeranja pri
usvojenoj redukciji nosivosti sistema.
Fy =
4
3
2
EP
Fe/R
Lom
Jedna~ine kretanja (2.6) i dalje va`e na
d
d
d
po~etnom delu 1-2, dok na delu 2-3 glasi
d
u
1
y
e
m
d
dm=m ddy
Slika 3.7 Osnovni parametri EP
modela
md" + cd' + Fy = -md"g
(3.1)
a na delu 3-4, slika 3.5.b
md" + cd' + k(d-dp)= -md"g
(3.2)
Primer 3.1
Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa
periodom oscilovanja T=0,5, 1,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=2,5, 5 i 10.
Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti ag=0,2g.
U prvom koraku odre|eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema Fe , i
potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu na
zahtevanu nosivost elasti~nog sistema Fe . U Tabeli 1 dat je prikaz rezultata analiza za sve
zapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije sa
periodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R=1 predstavlja odgovor
elasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici 2.4.
Tabela 1
El Centro
Petrovac
Ulcinj
R
1.0
2.5
5.0
10.0
1.0
2.5
5.0
10.0
1.0
2.5
5.0
10.0
0.50
A/ag
2.87
1.15
0.58
0.29
4.85
1.95
0.97
0.49
1.97
0.79
0.40
0.20
0.50
D/ag
0.018
0.013
0.014
0.017
0.031
0.019
0.012
0.015
0.012
0.029
0.052
0.071
0.50
md
1.76
3.89
9.31
0.50
DM
0.00
0.96
1.35
2.05
1.54
1.88
4.75
0.92
0.90
1.12
5.91
20.80
57.30
3.01
6.64
9.43
1.50
A/ag
0.59
0.24
0.12
0.06
0.27
0.11
0.05
0.03
2.18
0.87
0.44
0.22
3-4
Period T
1.50
1.50
D/ag
md
0.034
0.032
2.40
0.037
5.42
0.055 16.30
0.015
0.022
3.61
0.011
3.57
0.010
6.42
0.124
0.100
2.02
0.098
3.94
0.127 10.20
1.50
DM
0.00
1.21
1.77
2.85
1.68
1.42
1.88
0.98
1.06
1.40
3.00
A/ag
0.39
0.15
0.08
0.04
0.11
0.04
0.02
0.01
0.34
0.20
0.10
0.05
3.00
D/ag
0.088
0.073
0.054
0.078
0.024
0.019
0.014
0.016
0.115
0.125
0.087
0.062
3.00
md
2.08
3.03
8.88
3.00
DM
0.00
1.05
0.92
1.35
2.02
2.85
6.85
0.98
0.90
1.29
2.72
3.80
5.42
1.23
0.97
0.91
40
El Centro
ag=0,2g T=0,5s
Pomeranje (mm)
a.
30
R=1
R=2,5
R=5
R=10
20
10
0
-10
0
-20
5
10
25.0
-30
33,1
35,6
15
20
25
27,7
30
Trajna deformacija
-40
3
El Centro
ag=0,2g T=0,5s
Sila/mag
b.
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
2,87/2,5
-2
-3
2,87
5.0
c.
El Centro
ag=0,2g T=0,5s
Duktilnost pomeranja m d
2.5
0.0
0
-2.5
1,76 R=2,5
5
10
15
20
25
30
3,89 R=5
-5.0
-7.5
9,31 R=10
-10.0
Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro
Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~an
sistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=2,5
(25,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a.
Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanu
nosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano na mag.
Deljenjem pomeranja d(t) u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}u
pomeranja na granici elasti~nosti dy za svaki od EP modela, dobija se tok promene faktora
duktilnosti pomeranja md(t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebna
duktilnost pomeranja EP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja
R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe|enje post-elasti~nih
deformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja md relativno
su bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enja R, razlike su do 30%.
U Tabeli 1, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno
pseudo ubrzanje A/ag i pomeranje D/ag normalizovani na maksimalno ubrzanje tla
3-5
ag = 0,2g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja md , prikazane su i vrednosti
indeksa o{te}enja DM konstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6.
Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(ag ) konstrukcije u funkciji
perioda oscilovanja i faktora redukcije R za zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za tri
perioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje
konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcije R kao i sa porastom perioda T.
18
3.0
2.87
a.
2.5
1.15
5.42
4
0.29
0.24
0.12
0.06
0.0
0.0
8.88
6
0.59
1.0
2.0
R=10,0
8
R=10,0
0.58
R=5,00
9.31
d
A (ag)
10
R=5,00
0.5
R=2,50
12
R=2,50
1.5
b.
14
R=1,00
2.0
1.0
16.30
16
0.39
0.15
0.08
0.04
3.0
3.89
3.03
2.08
2.40
2
1.76
0
0.0
1.0
2.0
3.0
Period (s)
Period (s)
Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja
Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja md u funkciji
faktora redukcije R i perioda oscilovanja T za zapis El Centro. U podru~ju perioda du`ih od
t=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da
vrednost potrebne duktilnosti pomeranja te`i usvojenoj vrednosti faktora redukcije R.
Izneta zapa`anja va`e i za zapis Petrovac, Tabela 1, dok odgovor konstrukcije sa
periodom T=0,5s na zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje.
3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA
U praksi je obi~no poznata obezbe|ena vrednost faktora duktilnosti pomeranja md , a
tra`i se dozvoljena vrednost faktora redukcije optere}enja R, inverzan problem.
Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne
krive R(md ,T), crtkaste linije na slici 3.10.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~itih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodne
aproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici
3.10.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije md =2,5, 5 i 10.
U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T1 , vrednost faktora
redukcije iznosi R=1, za sve obezbe|ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakih
ubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se moraju
projektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije.
3-6
10
3
md =10
9
8
7
A (ag)
6
R
md=1,0
2
md=5
5
md=2,5
4
md=5,0
1
md =2,5
3
b.
md=10
2
1
a.
T1
0
a.
T2
0
0
1
2
3
0.0
1.0
Period (s)
2.0
3.0
Period (s)
Slika 3.10 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe|ene duktilnosti pomeranja;
b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije
U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T1 -T2 , dozvoljena vrednost faktora
redukcije R mo`e da se aproksimira izrazom
R=(md -1) 1/2
(3.3)
U podru~ju du`ih perioda, T>T2 , za vrednost faktora redukcije mo`e da se usvoji da
je jednaka vrednosti obezbe|enog faktora duktilnosti pomeranja
Fe
a.
R=md
Fy=
Fe/R
d
dy
d=de=m ddy
Fe
b.
R=(md -1)1/2
Fy=
Fe/R
d
dy
de
R=md
(3.4)
d=m ddy
Slika 3.11 Interpretacija
faktora redukcije R
deformacija".
Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja
(R=1) podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije
R(md ,T), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanja
konstrukcije , primer za zapis El Centro na slici 3.10.b.
Na slici 3.11 prikazana je uobi~ajena interpretacija
navedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagrama F-d, mo`e da
se zaklju~i da identitet R=md ustvari zna~i da je pomeranje
EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom
po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e se
zasnivati propisi, slika 3.11.a.
Prema slici 3.11.b, relacija R=(md -1) 1/2 mo`e da se
interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagrama F-d
elasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija
3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORA^UNA SISTEMA
SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE
Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, mo`e da se uspostavi koncept prora~una
odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim
spektrima odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici 3.12.
3-7
Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao i
maksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla ag , projektant mo`e da sra~una period oscilovanja
T1 . Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi|enih
detalja armiranja, usvaja se obezbe|ena duktilnost pomeranja md , recimo md =5. Na osnovu
sra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se
vrednost ubrzanja konstrukcije A(ag ), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase,
ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja, Fd =(Fy )=mag A.
3
W
m=W/g
md =1,0
b,d,MB
k
T1=2p(m/k)1/2
Procena md (= 5,0)
A (ag)
H
2
ag
md=5,0
1
md=10
T1
0
0.0
Konstruis. detalja
Obezbe|enje md
Dimenzionisanje
preseka
Kontrola pomeranja
md=2,5
W
M,Q,N,d
Fd
Stati~ki
prora~un
1.0
2.0
3.0
Period (s)
Projektno seizmi~ko
optere}enje
Fd = (Fy) = m agA
Slika 3.12 Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra
ubrzanja konstrukcije
Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre|uju se naprezanja
delova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije pri
zemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanje
detalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije.
U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan je
razmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izlo`eni algoritam se
principijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, koji
bolje opisuje realni odgovor konstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta
je da, za poznatu duktilnost pomeranja konkretne konstrukcije, nosivost nelinearnog sistema
mo`e da se redukuje u odnosu na maksimalni odgovor elasti~nog sistema.
3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I
EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA
Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elastoplasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje dm odnosno potrebna duktilnost pomeranja md , definisana kao odnos maksimalnog pomeranja dm nelinearnog sistema pri zemljo3-8
tresu i pomeranja dy pri dostizanju nosivosti nelinearnog sistema. Me|utim, koliki treba da
bude kapacitet pomeranja konstrukcije du pri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivo
o{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, `eljenim granicama? - nije
definisan kriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcije pri zemljotresu.
Kao najjednostavniji kriterijum mo`e da se usvoji odnos maksimalnog pomeranja dm
pri zemljotresu i obezbe|enog kapaciteta pomeranja du konstrukcije pri monotonom stati~kom
prinudnom pomeranju, slika 3.13. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi
DM=dm /du = md /mu < 1
(3.5)
gde je mu=du /dy duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivosti
konstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednost DM=1, konstrukcija
je dovedena u stanje kolapsa. Projektant mo`e da uti~e na nivo za{tite konstrukcije od
o{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti du .
Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izra`enim
pomeranjem preko granice elasti~nosti dy , i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enja zbog
ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija.
Me|utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa postelasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku du`eg trajanja jakog dela zemljotresa
mo`e da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~esto
se usvaja kombinovana vrednost indeksa o{te}enja u obliku
F
Fe
DM =
Monotoni opit
Eh
dm
SE h
+b
du
Fy d u
(3.6)
k
gde je SEh integral potro{ene energije histerezisne krive EP sistema, slika 3.13, ~ija vred-du
nost raste sa du`inom trajanja zemljotresa odnodm de d
dy
u
sno sa brojem ciklusa, Fy je nosivost sistema, dok
5
4
-Fy
je prvi ~lan dm /du ve} definisan izrazom (3.5.).
Slika 3.13 Indeks o{te}enja DM
Vrednost faktora b utvr|uje se eksperimentalno,
a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstrukcija mo`e da se usvoji b=0,15 /6/. Kao i ranije, vrednost DM=1 defini{e potpuno iscrpljenje
nosivosti konstrukcije.
Primer 3.2.......
Na slici 3.14 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku
Fy
6 1
2
3
3
"Lom"
d
2
T=1,5;R=10
T=0,5;R=10
2
T=1,5;R=10
DM
DM
T=1,5;R=5
T=1,5;R=5
1
1
T=3,0;R=2,5
T=0,5;R=2,5
T=3,0;R=5
a.
0
b.
0
0
5
10
15
20
25
30
Vreme (s)
0
5
10
15
20
25
30
Vreme (s)
Slika 3.14 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de
3-9
trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag=0,2g. Dijagram 3.14.a dobijen je uz pretpostavku da je kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju upravo jednak maksimalnom ostvarenom pomeranju de odgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, du = de .
U tom slu~aju je mu=R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari
izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksa DM rasla u toku trajanja zemljotresa.
Predvi|eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>1), po pravilu u slu~ajevima
ve}ih stepena redukcije optere}enja R, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi
~lan izraza 3.6, slika 3.13. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije du u
ovom slu~aju treba korigovati.
Na slici 3.14.b prikazana je promena indeksa DM za korigovanu konstrukciju, kod
koje je za kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju usvojeno: du = 1,5de u
slu~aju R=2,5, du = 1,8de u slu~aju R=5 i du = 2,4de u slu~aju R=10. Kao {to se vidi,
vrednosti indeksa DM prakti~no su svedene u granice DM=1, osim za slu~aj konstrukcije sa
periodom T=1,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=10 u ovom slu~aju
prevelika.
2
2
T=1,5;R=10
T=1,5;R=2,5
T=1,5;R=5
T=3,0;R=10
T=1,5;R=2,5
DM
DM
T=0,5;R=10
1
1
a.
b.
0
0
0
5
10
15
Vreme (s)
20
25
0
5
10
15
Vreme (s)
20
25
Slika 3.15 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de
10
4
T=0,5;R=10
9
T=0,5;R=10
T=0,5;R=5,0
8
3
T=0,5;R=5,0
7
DM
DM
6
5
4
T=0,5;R=2,5
3
T=0,5;R=2,5
2
a.
b.
1
2
1
0
0
0
5
10
15
Vreme (s)
20
25
0
5
10
15
Vreme (s)
20
25
Slika 3.16 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) du = de ; b) du > de
Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je
na slikama 3.15 odnosno 3.16. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" u
Ulcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima.
3-10
Potreban kapacitet dukt.m u
Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebno
obezbediti ne{to ve}i potreban kapacitet duktilnosti pomeranja mu pri monotonom optere}enju
od zahtevane duktilnosti pomeranja md pri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno
mu =
20
DM=1
a=0,10
md (1 + amd )
DM
(3.7)
gde se za vrednost faktora a mo`e kvalitativno
usvojiti
a=0,10. Za vrednost DM=1,0, relacija 3.7
a=0
10
prikazana je na slici 3.17, za dve vrednosti parametra a.
^emu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno,
md
5
m u=
smatra se da su u slu~aju kada je DM<0,5, o{te}enja
5
0
konstrukcije posle zemljotresa popravljiva, da sa
0
2
4
6
8
10
porastom vrednosti DM nivo o{te}enja raste, da bi pri
Zahtevana duktilnostm d
vrednosti DM=1 nastupio kolaps konstrukcije /7/.
Projektant na~elno mo`e da bira nivo o{te}enja
Slika 3.17 Potreban kapacitet
konstrukcije,
pri ~emu se kriterijum o{te}enja mo`e
duktilnosti pomeranja
formulisati i po drugim veli~inama: obrtanju preseka,
relativnom spratnom pomeranju, rotacijama preseka, izdu`enju armature, {irini prslina itd.
Koncept je ilustrovan na primeru kriti~nog preseka, ali se mo`e generalizovati na element
konstrukcije, sprat i konstrukciju u celini.
Razvoj propisa kre}e se u pravcu formulisanja koncepta projektovanja na bazi
kontrole nekog od bitnih parametara koji opisuju pona{anje i o{te}enje objekata "performance based design".
15
3-11
4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM
U ARMIRANOM BETONU
UVOD
U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elastoplasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nog
preseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina preseka
odnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitet
nelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijske
mere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je dat
prikaz jednog ispitivanja kao i savremenih postupaka modeliranja AB konstrukcija.
4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE
Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kako
realizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenom
slobode, konzola na slici 4.1.a.
Da bi se postigla elasto-plasti~na veza sila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da je
bar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina
preseka M-k , slika 4.1.b.
dy
W
md
E
E
R
Me
b.
H
EP
a.
My=Me/R
mk
Krivina
ke
km=m kky
90
Pomeranje
Hp
EP
100
ky
Potrebna dukt.krivine - mk
F
dm=m ddy
m d=10
80
70
m d=5,0
60
50
m d=2,5
40
c.
30
20
10
0
0
0.05
0.1
0.15
Du`ina plast. zgloba - Hp/H
0.2
Slika 4.1 Obezbe|enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje
Primer 4.1........
Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment Me=FH u
uklje{tenju, pomeranje vrha dm i krivina preseka u uklje{tenju ke slika 4.1.a-b. Za zahtevanu
vrednost duktilnosti pomeranja md i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=md ,
potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost My=Me
/R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI .
Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka My=Me /R
odre|ena je i krivina na granici elasti~nosti ky=My /EI , slika 4.1.b. Prema Morovoj analogiji,
pomeranje dy vrha konzole na granici elasti~nosti iznosi
d y = 0,5k y H
2
2H k y H
=
3
3
4-1
(4.1)
Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa dm realizova}e se konstruisanjem
plasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}e
koncentrisane na du`ini plasti~nog zgloba Hp , sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u
krivine preseka km = mk ky , slika 4.1.b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostaje
u oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za du`inu Hp plasti~nog zgloba okvirno mo`e da
se usvoji polovina dimenzije d preseka elementa u ravni savijanja.
Pomeranje d vrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti
na du`ini plasti~nog zgloba Hp iznosi
d = (k m - k y ) H p ( H -
Hp
2
) = k y ( mk - 1) H p2 (
H
- 0,5)
Hp
(4.2)
Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole dm , treba da je zadovoljen uslov
d = dm - dy = dy(md -1)
(4.3)
Uvr{}enjem (4.1) i (4.2) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine mk na du`ini
plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole md
mk =
km
md - 1
= 1+
Hp
Hp
ky
3
H
(1 - 0,5
H
(4.4)
)
Na slici 4.1.c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine mk u funkciji du`ine
plasti~nog zgloba Hp i zahtevane duktilnosti pomeranja md . Veza va`i za bilo koji materijal,
~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima
realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja md = 5 i du`ini plasti~nog zgloba Hp /H =
0,10, potrebna duktilnost krivine iznosi mk=15, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB
konstrukcija.
Primer 4.2.........
Na slici 4.2 prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri
pomeranju vrha od dm , na slici 4.2.b prikazana je raspodela krivina, koja se mo`e interpretirati
kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi
km
0,5md - 1
= 1+
Hp
Hp
ky
dm/2
dm
H
3
Ekvivalentna
konzola
dm/2
(1 - 0,5
ky
km
H
a.
H
Hp
mk =
Slika 4.2 EP smi~u}i okvir
4-2
b.
H
(4.5)
)
Pri zahtevanoj duktilnosti
pomeranja md =5, i du`ini plasti~nog zgloba Hp /2H = 0,10,
potrebna duktilnost krivine iznosi mk=3,8 {to je u slu~aju AB
konstrukcija lako ostvarljivo.
Da bi se ostvarila
potrebna duktilnost pomeranja
konstrukcije, i konstrukcijski
sistem igra zna~ajnu ulogu.
4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA
U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka k posti`e se dilatacijama
skra}enja usled pritiska u betonu - ec i izdu`enja ~elika es , slika 4.3.a
k = (ec + es )/h
(4.5)
Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona i
armature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje
}e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizuje krivinama preseka, a ne rotacijom ili
"skakutanjem" temelja.
F
300
a.
f
b.
250
es
H
Moment (kNm)
h
Hp
ec
k
m=
1%
n=0,50
200
n=0,20
n=0,80
b=40
n=0,10
150
ku
ku/ky=4-5
100
ku
ky
n=0
max es = 4%
max es = 1%
50
40
d
Detalj
0
Pouzdano sidrenje
armature i fundiranje !
400
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Krivina (1/m)
300
n=0,20
max es = 4%
m=4%
350
N=656 kN
m=1%
max es=4%
250
250
Moment (kNm)
c.
m=2%
300
Moment (kNm)
0
m=1%
200
150
d.
200
MB30
MB40
150
MB50
n=Nu/bdbb
100
m
100
50
50
MB30
MB50
m
0
0
0
0.01
0.02
Krivina (1/m)
0.03
0
0.04
0.01
0.02
Krivina (1/m)
0.03
0.04
Slika 4.3 Nelinearni odgovor AB stuba
Primer 4.3.........
Pri dimenzionisanju nosivosti preseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su
propisima ograni~ene na ec <0,0035 u betonu odnosno es< 0,010 u ~eliku, ~ime je
ograni~ena i maksimalna vrednost krivine preseka za uobi~ajene slu~ajeva optere}enja.
Me|utim, ni taj iznos krivine preseka ~esto nije mogu}e dosti}i, jer iznos aksijalnog
optere}enja preseka bitno uti~e na sposobnost post-elasti~nih deformacija preseka, primer
stuba kvadratnog popre~nog preseka, MB30, slika 4.3.b.
4-3
Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagrami M-n-k (n=N/b 2bB) sa dilatacijama
~elika ograni~enim na 0,010 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnog
optere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija
~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri ni`im nivoima aksijalnog
optere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi
4 - 5 (es< 0,010) odnosno 8 - 10 (es< 0,040), {to ne obe}ava, slika 4.1.c.
Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enja n = 0,20 duktilnost krivine preseka
pove}a pove}anjem procenta armiranja m , slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e dati
zadovoljavaju}e rezultate.
Postavlja se pitanje mo`e li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, mogu
li se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uz
smanjenu nosivost preseka?
Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom 1, dok
linije 2 prikazuju "po`eljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na
dijagramu s-e ~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepo`eljna, ~elik treba da poseduje
osobinu oja~anja - linija 2, kako bi se obezbedila ve}a du`ina plasti~nog zgloba, postepenim
propagiranjem dilatacija te~enja armature du` elementa.
s
s
ft
bb
2
1
2
1
fy
"Lom"
3
"Lom"
bbu
"Lom"
"Lom"
0,2
a.
0,35
e (%)
1,5?
"g+p"
b.
1,0
6,0?
e (%)
"g+p"
Zemljotres
Zemljotres
Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika
70
fc'=60
fc'=50
50
fc'=40
40
fc'=30
30
10
0
0.000
a.
fc'=20
20
Napon (MPa)
Napon (MPa)
60
b.
0,0035
0.001
0.002
0.003
Dilatacija
0.004
0.005
Dilatacija (%)
Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/
Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se u
slu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 10%, slika 4.5.b, dotle
su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om fc' u granicama definisanim propisma.
4-4
Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno,
potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona.
Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Na
rezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~una
preseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona
prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama,
"jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pri
pove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enja
suprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c.
b.
5
4
0
4
.7
9
3
5
2
B3
.0
5
2
0
2
34
B3
B3
0,004
0
3
19.
B1
B1
b0=34
lw
Napon (MPa)
40
B2
5
3
B1
5
1
.
0
1
0
1
5
0.0
0
0
F=
fusv
a.
0,0022
0.005
0.01
d.
bw
B1-B3?
c.
0.015
atcijD
l
Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama
Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija.
Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja
~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridr`ane - poduprte" uzengijama,
slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnuto jezgro preseka dimenzija b0 prema slici 4.6.b.
Moment (kNm)
Primer 4.4.......
Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i
deformabilnosti postoje razli~iti predlozi,
jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a /2/.
250
Utegnut ceo presek - (B3)
Kriva B1 predstavlja paraboli~nu aproksi2
maciju rezultata opita sa slike 4.5.a za fc'=25
200
3
MPa, a linija B2 se odnosi na isti beton, ali
Utegnuto jezgro preseka
utegnut uzengijama Rf10/10 prema slici
- jezgro (B3)
150
4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je
- za{titni sloj (B1)
va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnosti
je pove}an.
100
Za dalje ra~unske analize, pret1
postavljen
je ne{to ni`i efekat utezanja 50
beton B3 , sa pove}anom ~vrsto}om od fc'=35
Neutegnut presek - (B1)
MPa koja se dosti`e pri dilataciji betona od
0
0,004, slika 4.6.a.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Na slici 4.7 prikazani su rezultati
Krivina (1/m)
prora~una moment - krivina preseka prema
Slika 4.7 Efekat utezanja betona
4-5
slici 4.6.b, za iznos normalne sile od N=0,2fc'b 2=0,2x2,5x40 2=800kN. Kriva 1 predstavlja
odgovor neutegnutog preseka, model betona B1 sa slike 4.6.a. Linija 2 predstavlja odgovor
preseka uz pretpostavku da je ceo popre~ni presek utegnut, model betona B3 . Pri
pove}anim dilatacijama pritiska nastupa odvajanje, "oljuskavanje" za{titnog sloja preseka, i
svo|enje nosivog preseka na presek utegnutog jezgra. Linija 3 prikazuje odgovor preseka
kod koga je za jezgro usvojen model utegnutog betona B3 , a za za{titni sloj model
neutegnutog betona B1 , slika 4.6.b.
U oba slu~aja, utezanje preseka znatno pove}ava grani~ne dilatacije pri dostizanju
loma preseka, samim tim i maksimalne krivine odnosno kapacitet deformacija.
Isti princip va`i za bilo koju pritisnutu zonu slo`enih preseka, kao {to je zid T preseka na slici 4.6.d, kod koga je potrebno pove}ati duktilnost krivine preseka utezanjem
{rafiranih "skrivenih stubova". U zoni spoja rebra i flan{e zida uvek se postavljaju uzengije,
ali eventualno ra~unski potrebno utezanje nije uvek potrebno.
Svi prora~uni moment - krivina ura|eni su programom RESPONSE, koji se na
disketi distribuira uz ud`benik /9/.
4.3 PO^ETNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA
Pri dosada{njim analizama teorijskih elasto-plasti~nih modela odgovora konstrukcija
na dejstvo zemljotresa, formiranju nelinearnih spektara odgovora na primer,
pretpostavljeno je da je inicijalna, po~etna krutost k elasti~ne i EP konstrukcije identi~na.
Postavlja se pitanje kako odrediti prora~unsku krutost preseka i konstrukcije sa kojom se
potom formira dinami~ki model konstrukcije?
Moment (kNm)
A (ag)
Moment
20
300
Primer 4.5.......
Na slici 4.8.a prikazan je popre~ni presek slo`enog AB zida. Uz pretpostavku da je
centri~ni napon pritiska usled gravitacionog optere}enja s0=1,5 MPa (N0=Acs0 = 2580 kN, Ac
- povr{ina bruto preseka betona), i da je zid armiran minimalnom koli~inom armatute prema
YU seizmi~kim propisima /10/, izvr{iti analizu prora~unskih krutosti preseka konstrukcije.
Ako se za
krutost preseka na
300
10000
a.
1
c.
savijanje EI usvoji
2
My=8000 kNm
MB30
krutost EI0 bruto I20
8000
Ec=250GPa
preseka slo`enog zi6000
0,75My = 6000 kNm
da prema slici 4.8.a,
veza moment - kriEI0=5,5EIef
4000
10000
vina prikazana je liDetalj
EIef=6000/0,0005
nijom 1 na slici
=1,2 107 kNm2
2000
b.
4.8.c.
0,0005
Veza mome0,03
0
Krivina
nt-krivina
odre|ena
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
Krivina (1/m)
modeliranjem armiF
ranog preseka preSlika 4.8 Slo`eni zid, prora~unska krutost preseka
ma postupku iz
prethodnog primera, prikazana je na slici 4.8.b, pri ~emu je modelirano i oja~anje ~elika.
Maksimalna krivina preseka zida iznosi skoro 3%. Detalj dijagrama, do vrednosti krivina od
0,2% prikazan je na slici 4.8.c. Elasto-plasti~na aproksimacija dijagrama moment-krivina
prikazana je linijom 2 na slici 4.8.c, koja prolazi kroz karakteristi~nu ta~ku ra~unskog
dijagrama za koju se naj~e{}e usvaja nivo od 75% momenta nosivosti My=8000 kNm. Sa
4-6
odgovaraju}om krivinom od 0,0005 1/m, efektivna krutost preseka iznosi EIeff = 1,2 10 7 kNm
2
, {to je 5,5 puta manje od krutosti EI0 bruto I - preseka zida.
Moment (kNm)
Primer 4.6.......
U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka
slo`enih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na
zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti
preseka, osim armature u ovom zonama.
Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nema
flan{e tako|e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutosti EIef , manju od krutosti bruto
preseka EI0 , {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj.
Na slici 4.9 prikazani su dijagrami
3000
1
moment-krivina pravougaonog zida, rebra
2
2500 My=2400 kNm
zida na slici 4.8.a, sa istim normalnim
naponom od gravitacionog optere}enja i
2000
0,75My = 1800kNm
istim minimalnim procentom armiranja.
1500
Efektivna krutost preseka iznosi EIef
EI0=4,1EIef
= 2,8 10 6 kNm 2 , linija 2, {to je ~ak 4,1 puta
1000
manje od krutosti bruto pravougaonog
EIef=1800/0,00065
=2,8 106 kNm2
500
preseka EI0 , linija 1 na slici 4.9.
0,00065
Usvajanje sni`ene krutosti zida I 0
preseka i pune krutosti zida pravougaonog
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
Krivina (1/m)
preseka za posledicu ima poreme}aj
relativnih krutosti elemenata konstrukcije,
Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida
{to ima uticaja na prora~unske uticaje
slo`enih sistema, poglavlje 6.11.
4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH
KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA
Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~no
opisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko
je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me|utim, pri cikli~nim deformacijama usled
zemljotresa, fenomeni su slo`eniji i modeliraju se drugim, slo`enijim vezama moment krivina ili sila - pomeranje.
Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elastoplasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenja
s
krive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom od
6
2
1
elasto-plasti~nog odgovora, slika 4.10.
Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja AB
5
konstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imaju
7
e
laboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnih
konstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4.11 prikazana
3
je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenih
na ETH - Cirih /8/.
4
Slika 4.10 Cikli~ne
deformacije ~elika
4-7
Model zida trospratne zgrade
u razmeri 1:3, sa tri mase od po 120
kN, testiran je zadavanjem ubrzanja
"AB zid"
vibracionoj platformi pomo}u prese
R=1:3
"Mase"
- aktuatora, prema sintetizovanom
3x120 kN
akcelerogramu. Efekat gravitacionog
Vibraciona
optere}enja simuliran je vertikalnim
platforma
prethodnim naprezanjem.
Aktuator
Na slici 4.12 prikazani su
rezultati opita cikli~nog monotonog
optere}enja dva zida, razli~ito
armirana. Zid na slici 4.12.b pokazuje dobar - po`eljan odgovor za AB
Slika 4.11 Dispozicija opita /8/
konstrukcije.
Elastoplasti~ni
dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa
od elasto-plasti~nog modela (EP), su`en je i pokazuje tendenciju pada krutosti u toku
ciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela,
samim tim i koli~ina potro{ene energije.
Pad nosivosti
Monotoni opit
Beton
EP
Moment u uklje{tenju (kNm)
Sila aktuatora (kN)
Monotoni opit
Sila aktuatora (kN)
Pad krutosti
Moment u uklje{tenju (kNm)
"N-sila"
Kablovi
b.
Horizontalno pomeranje vrha (mm)
a.
Slika 4.12 Histerezisne krive /8/
Zid na slici 4.12.a pokazuje nepo`eljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osim
pada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivni
lom pri relativno malom broju ciklusa.
Horizontalno pomeranje vrha (mm)
1
Fy
2
9
4.5 MODELIRANJE AB
KONSTRUKCIJA
10
k0
kn
dy
7
8
kr
dy
3
4
6
5
Fy
Slika 4.13 Model F-d sa uticajem
akumulacije o{te}enja na krutost
d
Sve do pojave rezultata opita na
modelu realne AB konstrukcije iz prethodnog
poglavlja, teorija zasnovana na elastoplasti~nom modelu odgovora konstrukcije je
"lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcije
od betona stvarno izvode, i to uglavnom
prema Propisima, zna~i da re{enje ipak
postoji. Pre napu{tanja razmatranja efekata
zemljotresa na primeru najjednostavnije
konstrukcije, konzole sa jednom masom,
potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton"
4-8
h
sa slike 4.12.b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5.
Ako elasto-plasti~ni model F(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka) ne opisuje
korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.13
kvalitativno je prikazan ra~unski model odgovora kakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi
AB konstrukcija izlo`enih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k0 kao i nosivost Fy (pri
~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre|eni monotonim opitom formiraju kostur
krive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutost
sistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima se
odre|uju krutosti kn , kr itd. pojedinih grana, histerezisna pravila, utvr|uju se usagla{avanjem
sa eksperimentalno utvr|enim rezultatima, prema slici 4.12 na primer.
Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija,
princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su u
konstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tih
zona mo`e da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostale
Konzola
delove konstrukcije mo`e usvojiti da se pona{aju elasti~no koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima
{tapova modela konstrukcije.
k3
Danas je popularan koncept "makroskopskog
k1 k2
modeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modelira
vi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k1 -kn
mo`e da ima svoje histerezisno pravilo, tako da ukupni efekat
bude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika 4.14.
Slika 4.14 Vi{eslojni model
nelinearnih opruga
Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela",
Strana 1
7
Strana 2
40
35
6
30
C30/37
15
10
Elasti~no
7x3000=21000
Ecm =31935
-1
1
fctm =2.9
e (0/00)
2.2
2
3
4
c.)
3000
14x200=2800
Strana 2
Neelasti~no
F2
1
R2
e=200
F1
2800
2
13x200=2600
3
fc=30
20
W/2
W/2
4
fcm =38
25
+Pomeranje
5
f (MPa)
R1
Strana 1
F1
R1
a.)
b.)
Slika 4.15 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida,
b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona
4-9
koji su trenutno jedino racionalno re{enje za modeliranje
konstrukcija objekata u celini,
metod kona~nih elemenata se
uglavnom
koristi
za
nelinearnu seizmi~ku analizu
delova ili detalja AB konstrucija - "mikroskopsko modeliranje".
Na slici 4.15 prikazan
je model sedmospratnog
armiranobetonskog slo`enog
zida, kod koga su prva dva
sprata, beton i sva armatura
modelirani nelinearno, a za
ostatak konstrukcije je usvojen idealno elasti~an model
/11/. Ukupna masa konstrukcije koncentrisana je u visini
petoga sprata, nivou "rezultante" seizmi~kog optere}enja. Napon u betonu usled
1500
250
qd=1
d (mm)
2
1000
2000
qd=4.2
3
4
1500
1
BAB87
1000
0
500
500
-250
0
Numeri~ka
gre{ka
0
50
100
150 200 250
-500
ZID Z3-2
-1000
DIANA
Sila (kN)
-250 -200 -150 -100 -50
-100 -80
-1500
-40
-1000
d=-75.3
F=1500
Pomeranje (mm)
Slika 4.16 Odgovor sila-pomeranje pri
monotonom cikli~nom opitu
-20
0
20
40
60
-500
BAB87
a.)
-60
a2.)
ZID Z3-2
El Centro-0,4g
80
100
Sila (kN)
0
-1500
-2000
Pomeranje (mm)
Slika 4.17 Odgovor sila-pomeranje pri zapisu
El Centro du`ine 8 sekundi
Pomeranje (mm)
gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi 2,0MPa, dok ujedna~eni procenat
armiranja vertikalnom armaturom iznosi 1,2%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analiza
ura|ene su programom DIANA-TNO /5/.
Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.16, prvo je
definisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonom
cikli~nom optere}enju, slika 4.16. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od
250mm i duktilnosti pomeranja qd =4,2, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 150mm,
prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.18.
Pre dinami~ke analize utvr|en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sa
bruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}u
period produ`ava na T=1,2s. Seizmi~ka analiza ura|ena je za sekvencu od prvih osam
sekundi zapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla ag=0,40g. U slu~aju
elasti~ne konstrukcije, u toku ove
120
karakteristi~ne sekvence trajanja pojavljuju
DIANA
100
se ekstremi svih veli~ina - pomeranja i
Elasti~no T=0,6s
80
Elasto-plasti~no
ubrzanja. Odgovor sistema prikazan je na
60
slici 4.17, dok je tok pomeranja za tri
40
razli~ita koncepta modeliranja prikazan na
20
slici 4.18.
0
Na kraju ovog informativnog pregle0
1
2
3
4
5
6
7
8
- 20
da, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata
- 40
posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli
- 60
uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u
- 80
praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora
- 100
redukcije optere}enja i obezbe|ene duktilnosti
ZID Z3-2
El
Centro-0,4g
- 120
pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za
AB konstrukcije prema "jednostavnom"
- 140
Vreme (s)
algoritmu na slici 3.15.
- 160
Slika 4.18 Pomeranje u toku zemljotresa
4-10
5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE
UVOD
Sva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode.
Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor
ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva na
principu superpozicije uticaja. Me|utim, u nelinearnim problemima princip superpozicije
ne va`i. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenom
slobode se generalizuju i na slo`enije sisteme, pod odre|enim uslovima. U nastavku,
analiziraju se elasto-plasti~ni modeli slo`enih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao i
koncept obezbe|enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog
pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearne
stati~ke analize.
5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ
DINAMIKE KONSTRUKCIJA
U realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se mo`e
govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode.
Nakon {to je realna masa konstrukcije koncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u
ravni na slici 5.1.a predstavlja model sa 12 stepeni slobode. Ako se elimini{u nebitni stepeni
slobode - vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepena
slobode - horizontalne translacije, slika 5.1.b.
m2
d2
k2
m1
d1
n=12
a.
n=4
b.
n=2
c.
k1
d.
ag
Slika 5.1 Redukcija broja stepeni slobode
dYM
Ukoliko su grede okvira i tavanica kruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste
eta`e jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika
5.1.c-d. Broj stepeni slobode jednak je broju eta`a
fM
konstrukcije.
U slu~aju prostornih konstrukcija zgrada, ukoliko
CM'
su tavanice dovoljno krute u svojoj ravni, pomeranja svih
R
elemenata vezanih sa tavanicom mogu da se izraze preko
A'
tri komponenete pomeranja, dve translacije i rotacija neke
CM
karakteristi~ne ta~ke u ravni tavanice, obi~no centra mase
dXM
A
CM, slika 5.2. Ukoliko objekat ima n - eta`a, i ukoliko se
masa objekta koncentri{e samo u nivou tavanica, ukupan
Slika 5.2 Pomeranja krute
broj stepeni slobode prostorne konstrukcije iznosi samo
tavanice
N=3n.
5-1
Da broj stepeni slobode mo`e da zavisi i od pravca dejstva pobu|iva~a, ilustrovano je
na slici 5.3. Ukoliko ubrzanje tla deluje u ravni simetrije, kretanje sistema mo`e da se opi{e
jednim pomeranjem dx , slika 5.3.a. Ukoliko je smer pobude u pravcu y - ose sistema, za
opisivanje kretanja potrebna su dve veli~ine, translacija dy i rotacija mase f. U op{tem
slu~aju, slika 5.3.c, za opisivanje kretanja jedne mase potrebne su tri komponenete
pomeranja - stepena slobode.
y
n=1
(dx)
y
n=2
(dy, f)
dy
m
dx
f
m
x
y
n=3
(dx,dy,f)
dy
x
f
m
x
dx
a.
b.
ag
a
g
ag
c.
Slika 5.3 Uticaj pravca pobude na broj stepeni slobode
Elasti~ni sistemi sa vi{e stepeni slobode u praksi se naj~e{}e re{avaju primenom
multi-modalne analize, sa uzimanjem u obzir uticaja vi{e relevantnih tonova oscilacija.
Ukupni rezultati dobijaju se kombinovanjem rezultata uticaja pojedinih tonova, primenom
SRSS metode ("kvadratni koren sume kvadrata") na primer.
5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA
U slu~aju konstrukcija ~ija je dispozicija regularna kako u osnovi tako i po visini,
ve}ina propisa pojednostavljuje problem dozvoljavanjem primene upro{}ene modalne
analize. Osnovna pretpostvaka je da ukupna masa sistema osciluje samo u prvom, osnovnom
tonu, ~iji period i oblik oscilovanja dovoljno ta~no opisuju kretanje sistema, slika 5.4.a.
3
d2
F2
dekv
Fb
W1
W=W1+W2
F1
H1
a.
md =2,5
c.
md =5,0
1
Hekv
H2 = H
d1
md=1,0
2
A (ag)
W2
md =10
b.
0
ag
ag
0.0
T1
1.0
2.0
3.0
Period (s)
Slika 5.4 Upro{}ena modalna analiza
Realni sistem sa vi{e masa, te`ina spratova Wi koji osciluje u prvom tonu, slika 5.4.a,
mo`e da se zameni ekvivalentnim sistemom sa jednim stepenom slobode, ~ija je masa m
jednaka ukupnoj masi realnog sistema, i koji ima isti period oscilovanja T1 , slika 5.4.b.
5-2
Kako su periodi i masa jednaki, oba sistema imaju jednako prora~unsko pseudo ubrzanje
A(ag ) . Ukupna seizmi~ka sila Fb tako|e je identi~na
Fb = m ag A(ag ) = W ag A / g
(5.1)
Ubrzanja Ai pojedinih masa realnog sistema se razlikuju, najve}a pseudo ubrzanja
ima masa na vrhu, sa najve}im pomeranjem d
Ai = w 2di
(5.2)
Da bi pri istoj krutosti EI na savijanje, a sa masom jednakom ukupnoj masi objekta
m, ekvivalentni sistem imao isti period oscilovanja T1 , visina Hekv ekvivalentnog sistema
mora da je manja od ukupne visine realne konstrukcije H, i okvirno se kre}e u granicama
Hekv » 0,7H. Zbog toga pomeranje dekv ekvivalentnog sistema nije jednako pomeranju vrha
realne konstrukcije, koje je pribli`no 50% ve}e. O ovome treba voditi ra~una kod upotrebe
spektra pomeranja, slika 2.7.b.
Period oscilovanja u prvom tonu mo`e da se pribli`no odredi preko
pojednostavljene Rejlijeve relacije /13/
T1 = 2Ö(dW)
(5.3)
gde je dW pomeranje, u metrima, vrha konstrukcije usled optere}enja horizontalnim
silama jednakim te`inama spratova Wi , slika 5.5.a-b.
dW
W3
W2
a.
W1
W5
W2
W4
F2
W2
d1
F1
W1
W2
F2
d1
W3
zn = H
W4
d2
z
F1
W1
z1
W5
d2
W1
b.
c.
Fb=SFi
Fb=SFi
d.
Slika 5.5 Period oscilovanja i raspodela seizmi~kog optere}enja
Raspodela ukupne seizmi~ke sile Fb po pojedinim masama - eta`ama mo`e da se
izvr{i prema pomeranjima di pojedinih spratova, slika 5.5.c.
Fi = Fb
Wi d i
å Wj d j
(5.4)
j
Me|utim, u fazi prora~una seizmi~kog optere}enja, pomeranja spratova jo{ uvek
nisu odre|ena. Dovoljno je ta~no ako se usvoji oblik pomeranja koji fizi~ki ima smisla korektni konturni uslovi, ili poznati dijagram pomeranja od nekog drugog optere}enja,
recimo od te`ina spratova prema slici 5.5.b.
Imaju}i u vidu ukupnu ta~nost postupka, dozvoljava se i pretpostavka da se
pomeranja menjaju linearno sa visinom, slika 5.5.d, u kom slu~aju sile spratova iznose
Fi = Fb
Wi z i
å Wj z j
j
5-3
(5.5)
gde su z vertikalne koordinate spratova u odnosu na uklje{tenje modela.
Primer 5.1........
Sra~unati period oscilovanja konstrukcije sa dva AB zida, slika 5.6.a. Te`ine svih eta`a
su jednake W=3924 kN. Debljina zidova bW=15cm. Moduo elasti~nosti Eb=3 10 7 kNm 2.
H=5h = 5x3,5=17,5m
Kruta
tavanica
W4
W3
W2
Z1
Z2
W1
3,0
m5
W5
m4
W4
m3
W3
E(I1+I2)
m2
m1
W2
W1
a.
4,5
dW
qi=Wi /hi
W5
b.
c.
d.
Slika 5.6 Odre|ivanje perioda a) dispozicija, b) dinami~ki model c)
fiktivno optere}enje d) prora~unski model
I1=0,15x3 3/12=0,3375 m 4
I2=0,15 x4,5 3 /12 = 1,139 m 4
SI=I1+I2 = 0,3375 + 1,139 =1,476 m 4
Wj=W=3924 kN
q = W / h = 3924/3,5 = 1121,1 kN/m
dW = qH 4 /8ESI = 1121,1x17,5 4 /8 x3x10 7
x 1,476 = 0,296 m
T=2Ö 0,296 = 1,08 s
Primer 5.2............
Uz pretpostavku da je ukupno sezimi~ko optere}enje 5% te`ine objekta iz prethodnog
primera, odrediti raspodelu ukupnog optere}enje po visini: prema pomeranjima usled te`ina
spratova i prema linearnoj raspodeli.
Nivo - j
z
x = 1-z/H
m
Wj
dj
Wjdj
Fj
Vj
Mj
kN
m
kNm
kN
kN
kNm
466.7
0.0
5
17.5
0.00
3924
0.296
1161.5
466.7
4
14.0
0.20
3924
0.217
852.4
342.5
809.3
1633.6
3
10.5
0.40
3924
0.141
551.9
221.8
1031.1
4466.1
2
7.0
0.60
3924
0.072
282.5
113.5
1144.6
8074.9
1
3.5
0.80
3924
0.021
81.2
32.6
1177.2
12080.9
0
0.0
1.00
3924
0.000
0.0
0.0
1177.2
16201.1
2929.5
1177.2
S=
23544
17.5
17.5
14.0
14.0
10.5
10.5
7.0
Ukupna sila
(kN)
2
1
Nivo
Nivo
Tabela 5.1
a.
3.5
0.0
Ukupni
moment (kNm)
7.0
2
3.5
b.
1
0.0
0
100
200
300
400
500
0
5000
10000
15000
20000
Slika 5.7 a) Raspodela sila i b) dijagrami momenata savijanja
5-4
Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema pomeranjima prikazani su u
Tabeli 5.1 i na slici 5.7, linija 1. Pomeranja konzole usled podeljenog optere}enja q iznosi
d(x)=dW /3(3-4x+4x 4) gde je dW pomeranje vrha iz Primera 5.1.
Nivo - j
z
m
kN
kNm
5
17.50
3924
68670
4
14.00
3924
54936
313.9
3
10.50
3924
41202
2
7.00
3924
27468
1
3.50
3924
13734
0
0.00
S=
Wj
Wjzj
3924
Fj
0
23544.0
206010
Vj
Mj
kN
kN
kNm
392.4
392.4
0
706.3
1373.4
235.4
941.8
3845.52
157.0
1098.7
7141.68
78.5
1177.2
10987.2
0.0
1177.2
15107.4
1177.2
Tabela 5.2
Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema linearnoj aproksimaciji prikazani
su u Tabeli 5.2 i na slici 5.7, linija 2.
Raspodela ukupnog seizmi~kog optere}enja na pojedine zidove prema krutostima
na pomeranje u ovom slu~aju mo`e da se izvr{i proporcionalno krutosti EI preseka zidova
na savijanje.
5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE
Pri razmatranjima sistema sa jednim stepenom slobode usvojeno je da se sva
nelinearna deformacija sistema - rotacije usled momenata savijanja odvijaju u oblasti
uklje{tenja konzole, u plasti~nom zglobu konstrukcije, slika 5.8.a.
dm
Fb
dm
dm
Fb
Fb
Fb
q
q
H
q
dm
W
q
a.
b.
c.
d.
Slika 5.8 Plasti~ni mehanizmi konstrukcija
Da bi se ograni~ilo ukupno seizmi~ko optere}enje Fb slo`enijih konstrukcija,
neophodno je da se formira elasto-plasti~ni mehanizam konstrukcije. Kod sistema zidova
koji deluju kao konzole, mehanizam se formira u nivou uklje{tenja svih zidova - konzola,
slika 5.8.a.
Kod sistema okvira, po`eljno je da se plasti~ni zglobovi formiraji na krajevima greda i
u uklje{tenju stubova, slika 5.8.b.
Kod sistema povezanih zidova, sa pre~kama - veznim gredama, osim u uklje{tenju
samih zidova, plasti~ni zglobovi treba da se otvore i u veznim gredama, slika 5.8.c. Zavisno
od proporcija veznih greda i nivoa optere}enja transverzalnim silama, mogu}e je formiranje
5-5
ili zglobova na oba kraja vezne grede, ili formiranje transverzalnog plasti~nog zgloba prema
slici 5.8.c.
Navedeni primeri su idealni slu~ajevi, kod kojih pomeranja konstrukcije nakon
stvaranja mehanizma rastu proporcionalno visini. Ugao rotacije mehanizma definisan je
odnosom maksimalnog pomeranja pri zemljotresu i visine objekta, q = dm / H.
Kod konstrukcija sa "mekim" ili fleksibilnim prizemljem, slika 5.8.d iznos prinudnog
pomeranja dm pri zemljotresu ostvaruje se dominantno deformacijama prizemlja. U ovom
slu~aju, rotacija mehanizma q je znatno ve}a, pa su i deformacije krajeva stubova, zahtevi
za duktilno{}u znatno pove}ani. Konstrukcija je osetljiva i na efekte drugoga reda, pa se
kod ovih sistema ne dozvoljava zna~ajnija redukcija seizmi~kog optere}enja, ili se pak
zabranjuju propisima.
5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA
KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE"
Koncept sni`avanja seizmi~kog optere}enja formiranjem plasti~nog mehanizma
limitirane nosivosti podrazumeva da je projektant prethodno odabrao mesta formiranja
plasti~nih zglobova. U konstrukciji koja se "sastoji" od oblasti plasti~nih zglobova i oblasti
"elasti~nog pona{anja", plasti~ni zglobovi su "osigura~i" konstrukcije od preoptere}enja
elasti~nih zona, "najslabiji" delovi konstrukcije, ali sa kontrolisanim pona{anjem,
projektovani na `eljeni nivo momenata savijanja. Osim obezbe|enja zahtevane duktilnosti
plasti~nih zglobova, pouzdan mehanizam podrazumeva i slede}e:
- da se plasti~ni zglobovi formiraju u `eljenim presecima, a ne nekim drugim,
nekontrolisano, i
- da ostali, na zglobove priklju~eni delovi konstrukcije, od kojih se o~ekuje da se
pona{aju elasti~no, mogu da izdr`e najve}e uticaje koji se mogu javiti u plasti~nim
zglobovima pri pomeranjima usled zemljotresa.
"Ne znaju}i za namere projektanta", prinudna pomeranja konstrukcije i rotacije
preseka usled zemljotresa vrlo verovatno }e u plasti~nim zglobovima izazvati momente
jednake kapacitetu nosivosti preseka na savijanje, a oni mogu zna~ajno da se razlikuje od
prora~unskih momenata nosivosti.
Da bi se priklju~eni delovi konstrukcije pona{ali elasti~no, o~igledno da moraju biti
dimenzionisani na realni kapacitet nosivosti plasti~nih zglobova pri datim pomeranjima. Pri
tome, potrebno je obezbediti da se plasti~ni mehanizam formira upravo rotacijama zglobova, a ne nekim drugim, nepo`eljnim formama mehanizma, kao {to je gubitak stabilnosti u
~eli~nim konstrukcijama, ili krti lomovi usled transverzalnih sila u AB konstrukcijama.
Obezbe|enje ostatka konstrukcije od preoptere}enja usled pobu|ivanja realne
nosivosti plasti~nih zglobova naziva se konceptom programiranog pona{anja (izvorno capacity design). Na projektantu je da obezbedi hijerarhiju nosivosti konstrukcije, da "ka`e
konstrukciji kako }e da se pona{a pri zemljotresu".
Primer 5.3.........
Za prora~unsko seizmi~ko optere}enje konzolnog zida na slici 5.9.a usvojena je ukupna
seizmi~ka sila Fb (=Fe /R). Presek u uklje{tenju - plasti~ni zglob dimenzionisan je na moment
savijanaja M=FbHF i transverzalnu sili Q=Fb . Na koje uticaje treba dimenzionisati
konstrukciju, ako je realno izvedena nosivost plasti~nog zgloba na savijanje Mu=aM ?
Odgovor elasti~ne konstrukcije prikazan je linijom 1, a o~ekivani, prora~unski
odgovor konstrukcije sila-pomeranje prikazan je linijom 2 na slici 5.9.b.
5-6
Uz pretpostavku da je stvarno
pomeranje pri zemljotresu jednako
ra~unskom pomeranju dm elasti~ne
F
konstrukcije, u plasti~nom zglobu }e
Fe
Fb
se indukovati moment savijanja
Mu=aM>M, zavisno od realne kolieW
1
~ine ugra|ene armature i njenih karakteristika, u slu~aju AB konstrukcija
M
3
F
cd
Q
na primer.
4
W
U tom slu~aju promeni}e se i
Fb
ukupno
seizmi~ko optere}enja, Fcd =Mu
2
Qt
/HF = aM/HF . Realan odgovor konMt
strukcije prikazan je linijom 3 na slici
d
a
5.9.b.
dy
dycd
Za pona{anje objekta u celini,
a.
b.
dm
realno ve}a nosivost plasti~nog zgloba
Slika 5.9 Koncept programiranog pona{anja
~ak je i povoljna, jer }e nelinearne deformacije nastupiti kasnije, pri pomeranju dycd , o{te}enja }e biti manja. Me|utim, oblast plasti~nog zgloba treba obezbediti na
realnu transverzalnu silu Q=Fcd , a vi{i deo konstrukcije i na realni moment aM.
Pri zemljotresu, od temelja se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, ako nije druga~ije
pretpostavljeno u analizi. Pri realnim uticajima u plasti~nom zglobu, potrebno je i temelj i
{ipove na slici 5.9 sra~unati na uticaje Qt=Fcd i Mt=aM.
U AB konstrukcijama, pri zemljotresu vi{ak armature ne mora da bude na strani
sigurnosti, jer je optere}enje tipa "prinudne deformacije"!
Ukolika su pomeranja konstrukcije zna~ajna, ukupno seizmi~ko optere}enje mo`e
da opadne, jer se deo kapaciteta nosivosti plasti~nog zgloba anga`uje na uravnote`enju
momenata usled gravitacionog optere}enja - efekti drugoga reda, Fb=(Mu - WeW )/HW , linija
4 na slici 5.9.
dm
Hp
HF
dy
5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA
NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM
Osim za istra`ivanja, ponekada je i u praksi potrebno odrediti nosivost konstrukcije
na horizontalna optere}enja, tok i kapacitet deformacija konstrukcije koja je prethodno
dimenzionisana, i ~iji su detalji poznati, slika 5.10.
f
d
6
F
"g+p/2"
k
Fy
4
2
+
M
3
a.
F
5
M-u
7
4
u
ks
0,75My
8
q
q
b.
1
8
Slika 5.10 "Pushover" analiza
5-7
"Lom"
c.
1
md
dy
dp
dm
d
du
Sa poznatim detaljima armature, mo`e da se odredi kapacitet nosivosti plasti~nih
zglobova, ~ija je dispozicija prethodno usvojena - pretpostavljena, slika 5.10.b. Ako nije
unapred jasno koji mehanizam ima najni`u nosivost, potrebno je ispititati sve potencijalno
opasne mehanizme, jer su velike {anse da zemljotres aktivira upravo najslabiji.
Uz pretpostavku da seizmi~ko optere}enje F ima u svim fazama isti oblik raspodele
po visini, {to nije ta~no, konstrukcija se "horizontalno gura" postepeno pove}avaju}i nivo
ukupnog optere}enja F - tzv. "pushover analiza". Kada u nekom od preseka prognoziranih
plasti~nih zglobova vrednost momenta savijanja dostigne kapacitet nosivosti, kruta veza
elemenata zamenjuje se umetanjem "plasti~nog zgloba" sa parom momenata savijanja na
priklju~enim elementima.
U toku analize prati se razvoj formiranja mehanizma, redosled otvaranja zglobova,
oznake 1-8 na slici 5.10.b. Za definisanje po~etne krutosti k usvaja se trenutak otvaranja
prvog plasti~nog zgloba, ta~ka 1 na slici 5.10.c, ili karakteristi~na ta~ka pri 75% nosivosti
konstrukcije. Sa porastom optere}enja, konstrukcija se "para", do formiranja kompletnog
mehanizma pri pomeranju dp i optere}enju, kapacitetu nosivosti Fy , slika 5.10.c. Najranije
otvoreni plasti~ni zglobovi ima}e i najve}e post-elasti~ne deformacije, pa i najve}e zahteve
za obezbe|enjem potrebne duktilnosti, tako da se na nivou konstrukcije u celini mo`e
govoriti o "prose~noj potrebnoj duktilnosti" md .
Nosivost mehanizma Fy i vrednost o~ekivanog pomeranja dm pri zemljotresu defini{u
efektivnu sekantnu krutost ks , na kojoj se zasnivaju moderni koncepti prora~una pomeranja
nelinearne konstrukcije na zamenjuju}em modelu.
Nakon formiranja plasti~nog mehanizma, rad spoljnog optere}enja F na dodatnim
pomeranjima usled rotacije q jednak je radu momenata nosivosti plasti~nih zglobova Mu na
rotacijama krajeva greda q.
5-8
6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA
- UVOD U EVROKOD 8 (EC8)
UVOD
Prethodna razmatranja se u ovom poglavlju sistematizuju u formi savremenih
propisa, za ~iji je "uzorak" usvojen predlog budu}ih evropskih propisa Evrokod 8 /13/.
6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA
Na osnovu prethodnih op{tih razmatranja treba oformiti korektan, ali i dovoljno
jednostavan koncept i detalje propisa za primenu u svakodnevnoj praksi.
Ulazni seizmi~ki podaci
- zna~aj objekta - gI
- ubrzanje na steni - a g
- lokalno tlo - S
Elasti~ni spektar
Konstrukcijski sistem,
primenjeni materijali
- duktilnost pomeranja
- faktor redukcije opt. q=R
ag, S
q
Op{ti deo, zajedni~ki za sve
materijale i sisteme
Specifi~no za beton, ~elik i konstr.
sisteme (zid, okvir.)
Nelinearni spektar
Projektno optere}enje
Fb
gI
Sile u presecima
Pomeranja
Deformacije
Dimenzionisanje i
detalji plasti~nih
zglobova
Kontrola pomeranja,
funkcionalnost
Funkcionalnost,
o{te}enja
Tp < 475 godina
Koncept programiranog
pona{anja
Nosivost
Tp = 475 godina
Analiza
- upro{}ena modalna
- multimodalna
Slika 6.1 Algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija
6-1
Uva`avaju}i ~injenicu da je zemljotres samo jedno od dejstava na konstrukciju, a da
sva ostala (stalno, korisno,....) in`enjeri u praksi modeliraju kao spoljno optere}enje
konstrukcije, ve}ina propisa, pa i EC8 efekte zemljotresa na konstrukcije interpretira kao jo{
jedan slu~aj spoljnog optere}enja, slika 2.3.a. U tom slu~aju, iznos projektnog optere}enja, uz
uslov da je obezbe|en duktilan nelinearan odgovor konstrukcije generalno se odre|uje prema
op{tem algoritmu prikazanom na slici 3.12. Imaju}i u vidu specifi~nosti konstrukcija u
pogledu primenjenih materijala, tehnologija gra|enja i konstrukcijskih re{enja objekata dispozicija, op{ti algoritam se naravno modifikuje. Usvajaju}i dodatno i koncept
programiranog pona{anja kao meru obezbe|enja pouzdanosti plasti~nog mehanizma
konstrukcije u celini, algoritam prema EC8 prikazan je na slici 6.1.
6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI
Prema EC8, nacionalna teritorija se deli na "seizmi~ka podru~ja", zavisno od
"lokalnog hazarda". Za povratni period referentnog zemljotresa usvaja se Tp=475 godina.
Kao referentni podatak za opisivanje efekata zemljotresa usvaja se maksimalno
ubrzanje tla ag na nivou osnovne stene, slika 1.1. Za primenu u praksi, seizmi~ke karte
intenziteta treba zameniti kartama ubrzanja osnovne stene. Oblasti sa ubrzanjima ag>0,10g
smatraju se oblastima visoke seizmi~nosti. U oblastima sa ubrzanjima ag<0,04g nije potrebna
posebna analiza za uticaje zemljotresa.
Klasifikacija lokalnog tla, vr{i se prema brzini prostiranja smi~u}ih talasa kroz tlo. Za
razli~ite klase tla defini{e se multiplikator S ubrzanja ag osnovne stene:
Klasa A
stena
brzina talasa Vs>800 m/s
S = 1,0
Klasa B
zbijene naslage
brzina talasa Vs>200 m/s
S = 1,0
Klasa C
rastresite naslage
brzina talasa Vs<200 m/s
S = 0,9
6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA
Efekti dejstva zemljotresa na elasti~an sistem sa jednim stepenom slobode i
periodom oscilovanja T opisuju se elasti~nim spektrima ubrzanja, sa prigu{enjem od 5%.
Se (T) = ag S A(ag)
(6.1)
Funkcija A(ag ) za kategoriju tla B prikazana je crtkastom linijom na slici 6.2. Kriva
dobro opisuje efekte zemljotresa El Centro, ali ne i na{e lokalne zemljotrese, o ~emu
eventualno treba voditi ra~una pri dono{enju budu}ih nacionalnih propisa.
Elasti~ni spektri ubrzanja definisani su relacijama (6.2-5), gde je b0 faktor
amplifikacije ubrzanja konstrukcije, TB , TC i TD karakteristi~ne periode, S parametar lokalnog
tla, a m korekcioni faktor za slu~aj prigu{enja razli~itih od 5% (za x=5%, m=1,0 ). U tabeli
6.1 prikazane su vrednosti parametara zavisno od kategorije lokalnog tla.
0 £ T £ TB
TB £ T £ TC
TC £ T £ TD
TD £ T
é
ù
T
S e (T ) = a g S ê1 + (hb0 - 1)ú
ë TB
û
S e (T ) = a g Shb0
S e (T ) = a g Shb0 (
S e (T ) = a g Shb0 (
TC k1
)
T
TC k1 TD k 2
) ( )
TD
T
6-2
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
5
Kat.
tla
A
B
C
Beograd
Petrovac
4
EC8 - q=1,0
EC8-Sd (C)
Tabela 6.1
S
b0
k1
k2
TB
TC
TD
1,0
1,0
0,9
1,0
1,0
1,0
2,0
2,0
2,0
0,10
0,15
0,20
0,40
0,60
0,80
3,0
3,0
3,0
2,5
2,5
2,5
EC8-Sd (B)
3
A (ag)
El Centro
EC8-Sd (A)
Ulcinj
2
2,5ag
EC8-Se (B)
A (a g)
1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
ag
TB=0,15
TC =0,60
0
0.0
Kategorija tla B
Prigu{enje 5%
3.0
TD =3,00
T(s)
Period (s)
Slika 6.3 Parametri spektra
Slika 6.2 Elasti~an spektar ubrzanja
Za kategoriju tla B, na slici 6.3 ilustrovane su karakteristi~ne vrednosti elasti~nog
spektra ubrzanja, pri ~emu je A(ag ) = Se (T)/ag S . Za krute konstrukcije, sa niskim periodama sopstvenih oscilacija, ubrzanje konstrukcije je prakti~no jednako ubrzanju tla ag . U
oblasti srednjih perioda T<TC , ubrzanja konstrukcije su 2,5 puta ve}a od ubrzanja tla.
6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA
Elasti~ni odgovor konstrukcije je teorijska gornja granica optere}enja konstrukcijskog
sistema. Me|utim, svaka armiranobetonska konstrukcija poseduje izvestan kapacitet
nelinearnih deformacija, kako zbog pojave prslina, tako i zbog ~injenice da dimenzionisanje
preseka sa dilatacijama ~elika od 0,010 ili vi{e, obezbe|uje izvestan minimalni kapacitet
nelineranih deformacija - najni`u realnu duktilnost konstrukcije.
Pri redukciji elasti~nog odgovora do nivoa prihvatljivog, projektnog optere}enja tako|e
postoji granica. Ni`e sile podrazumevaju ve}i udeo nelinearnih deformacija koje
konstrukcija treba da izdr`i bez zna~ajnijeg pada nosivosti. Pored toga, rano otvaranje
plasti~nih zglobova, pri malim horizontalnim silama, sni`ava op{tu stabilnost konstrukcije
za dejstva gravitacionih optere}enja i vetra. Zbog toga se, za razli~ite vrste konstrukcijskih
sistema ograni~ava najni`a vrednost projektnog optere}enja, odnosno najvi{a prihvatljiva
duktilnost konstrukcije.
Nezavisno od vrste konstrukcijskog sistema, EC8 nudi izbor izme|u tri nivoa
projektnog optere}enja, nazvana klasom duktilnosti: klasa visoke duktilnosti sa oznakom
DCH (najni`i iznos projektnog optere}enja), klasa srednje duktilnosti - DCM i klasa niske
duktilnosti - DCL (najvi{i iznos projektnog optere}enja). Za svaku od klasa duktilnosti,
definisani su i odgovaraju}i uslovi za konstruisanje detalja koji treba da obezbede zahtevano
pona{anje konstrukcije.
Projektanti se u praksi sve ~e{}e susre}u sa slo`enim arhitektonskim zahtevima, koji
za posledicu imaju nejasna konstrukcijska re{enja sa stanovi{ta pona{anja u uslovima
zemljotresa, koja se ne uklapaju u "idealne konstrukcijske sisteme" na koje se eksplicitno
odnose stavovi EC8. Ovakvi sistemi se ~esto nazivaju sistemima ograni~ene duktilnosti, za
koje se dokaz sigurnosti vr{i sa pove}anim seizmi~kim uticajima.
6-3
6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE
OPTERE]ENJA - FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8
^injenicu da raspolo`iva duktilnost pomeranja realnih konstrukcija zavisi od
raspolo`ive duktilnosti krivina preseka elemenata kao i konstrukcijskog sistema, EC8
uva`ava definisanjem promenljive vrednosti faktora redukcije optere}enja R , koji se u EC8
naziva faktor pona{anja q :
q=q0 kD kR kW ( 1,5 £ q £ q0)
(6.6)
gde su
q0
osnovna vrednost faktora pona{anja, zavisna od vrste konstrukcijskog sistema,
definisana u Tabeli 6.2;
kD
faktor koji uzima u obzir usvojenu klasu duktilnosti, jednak: =1,00/0,75/0,50 za klase
duktilnosti DCH/DCM/DCL, respektivno;
kR
faktor koji uzima u obzir pravilnost konstrukcije po visini, jednak: 1,00/0,80 za
regularne odnosno neregularne konstrukcije, respektivno;
kW
faktor koji uzima u obzir "preovla|uju}u vrstu loma konstrukcijskih sistema sa
zidovima", zavisno od toga da li su zidovi vitki ili kratki. Za okvirne sisteme je kW =1,
dok za sisteme zidova i dvojne sisteme zidova, njegova vrednost zavisi od
preovla|uju}ih proporcija zidova, i manja je od 1,0 kada je odnos visine prema {irini
zida manji od 3.
Tabela 6.2: Osnovne vrednosti faktora pona{anja q0
Minimalna vrednost faktora pona{anja ograni~ena je na 1,5,
VRSTA KONSTRUKCIJSKOG SISTEMA
q0
iz ~ega treba zaklju~iti da "bilo
Okvirni sistem
5,0
kakva " armiranobetonska konsa dominantnim okvirima
5,0
strukcija, dimenzionisana prema
sa dominantnim zidovima, 5,0
Dvojni sistem
sa povezanim zidovima
grani~nim stanjima nosivosti,
sa dominantnim zidovima, 4,5
poseduje minimalnu duktilnost,
sa nepovezanim zidovima
tako da nivo optere}enja mo`e da
Sistem zidova
sa povezanim zidovima
5,0
se obori na 1/1,5 (67%) punog
sa nepovezanim zidovima
4,0
elasti~nog optere}enja.
Sistem sa jezgrom
3,5
To
{to
je
za
dve
Sistem obrnutog klatna
2,0
konstrukcije usvojena ista klasa
duktilnosti, ne mora da zna~i da }e i nivo optere}enja biti isti, slika 6.4. Vodotoranj, tzv.
sistem obrnutog klatna visoke duktilnosti projektuje se na 2,5 puta ve}e seizmi~ko
Fe
F
d
Fe
maxFb=Fe/1,5
Fb
DCH
minFb=Fe/2
Fb=SdW
DCM
DCH
d
(DCL)
DCM maxF =F /1,5
b
e
DCL
Fb
F
minFb=Fe/5
Okvir
q0=5,0
Fb=SdW
"Obrnuto
klatno"
q0=2,0
a.
d
dy
dm
dy
dm
Slika 6.4 Klase duktilnosti: konstrukcijski sistem - projektno optere}enja
6-4
b.
d
optere}enje od okvira tako|e visoke duktilnosti.
Izborom klase duktilnosti i vrednosti faktora pona{anja, projektant uti~e na nivo
projektnog optere}enja usled zemljotresa, pri kome }e da nastupi formiranje plasti~nog
mehanizma konstrukcije. Ni`e projektno optere}enje podrazumeva potrebnu ve}u
NOSIVOST
OPTIMALAN
DUKTILNOST
BALANS
duktilnost, ve}i iznos nelinearnih deformacija i stro`ije uslove za konstruisanje detalja.
Prema tome, na projektantu je da izabere optimalno re{enje, balansiraju}i izme|u
nosivosti i duktilnosti.
6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA
A (a g)
Prema EC8, za usvojenu klasu duktilnosti, vrednost faktora pona{anja q je konstantna
vrednost . Uticaj perioda oscilovanja, videti sliku 3.10.a, EC8 aproksimira razli~itim definisanjem projektnog spektra u podru~ju kra}ih odnosno du`ih perioda oscilovanja.
Sa druge strane, nepouzdanost upro{}ene
3.0
modalne analize u podru~ju du`ih perioda, gde su
2.5
q=1,00 - Elastic
uticaji vi{ih tonova obi~no zna~ajniji, EC8
popravlja korekcijom eksponenata k1 i k2 funkcije
2.0
q=2,50 - DCL
elasti~nog spektra (6.4-5). Ordinate projektnog
1.5
q=3,75 - DCM
spektra Sd (q,T) za vrednost faktora pona{anja
q=5,00 - DCH
q=1,0 ("korigovani elasti~ni odgovor konstruk1.0
cije") prikazane su na slici 6.2 za sve tri kategorije
0.5
tla.
Ordinate tako koncipiranog projektnog
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
spektra
definisane su izrazima (6.7-10). Da bi se
Period (s)
ukupna seizmi~ka sila Fb izrazila kao proizvod
Slika 6.5 Projektni spektar ubrzanja
Fb=Sd W ( W - ukupna te`ina konstrukcije),
umesto ubrzanja osnovne stene ag pojavljuje se odnos a = ag /g :
é
ù
T b0
S d (T ) = a S ê1 +
( - 1)ú
ë TB q
û
(6.7)
TB £ T < TC
S d (T ) = a Sb0 / q ( = S e (T ) / gq )
(6.8)
TC £ T £ TD
S d (T ) = a S
0 £ T < TB
TD £ T
S d (T ) = a S
b0 TC
(
q TD
b0 TC
( ) kd 1 ³ 0,20a
q T
) kd 1 (
TD kd 2
) ³ 0,20a
T
(6.9)
(6.10)
gde je kd1 = 2/3 a kd2=5/3.
Za kategoriju tla B, na slici 6.5 prikazan je nelinearni, projektni spektar ubrzanja za
razli~ite vrednosti faktora pona{anja q.
6-5
6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE
e
1
Q
+
2
Q
l
w
e
z
Za pouzdano pona{anje konstrukcije pri zemljotresu, jedna od najefikasnijih mera je
obezbe|enje regularnosti konstrukcije, kako u osnovi tako i po visini, slika 6.6.
Konstrukcije
HM
koje su stabilne za
Lift
uticaje gravitacionih
Pasarela
optere}enja, mogu u
toku zemljotresa da
bw
postanu nestabilne i
CM
da do`ive kolaps,
Fbx
Fbx
slika 6.6.a. Radijalno
a.
b.
raspore|eni zidovi
H
=
M
CK
konstrukcije hotela
Fbx e/z
mogu da prime hori2
3
zontalne
uticaje
F
prakti~no samo u
svojoj ravni. Rezultanta sila zidova proM2
M1
Q
lazi kroz centar kruQ1
2
tosti - CK, na eksc.
e.
d.
centricitetu e u od1
M2/lw
nosu na centar mase
- CM. Konstrukcija
Slika 6.6 Regularnost konstrukcije
je uslovno stabilna
samo u slu~aju horizontalnih uticaja u upravnom pravcu, kada rezultanta seizmi~kih sila
koje deluju u centru mase prolazi kroz centar krutosti. Pri dejstvu zemljotresa u popre~nom
pravcu, stvara se neuravnote`eni moment torzije u osnovi Fbx e koji mo`e lako dovesti do
kolapsa.
Dodavanje vertikalnog liftovskog {ahta, povezanog pasarelom sa tavanicom objekta,
formalno re{ava problem torzije, jer se moment torzije osnove mo`e prihvatiti spregom sila
HM =Fbx e/z, slika 6.6.b.
Betonska konstrukcija liftovskog jezgra verovatno da mo`e da prihvati predvi|ena
optere}enja, ali problem fundiranja je u ovakvim slu~ajevima ponekada te{ko re{iv. Naime,
zna~ajne horizontalne sile prenete su na element ~ije je gravitaciono optere}enje
nesrazmerno, pa je te{ko spre~iti preturanje konstrukcije, bez povezivanja sa temeljima
susednih elemenata koji imaju zna~ajniju normalnu sili.
Na slici 6.6.c prikazan je primer konstrukcije tako|e hotela, sa dva AB zida
oslonjena na re{etkasti okvir. Za uticaje gravitacionih optere}enja konstrukcija je stabilna,
mo`e da bude stabilna i u slu~aju zemljotresa, samo je nejasno koji nivo optere}enja
usvojiti, kolika je vrednost faktora pona{anja, i kako izgleda plasti~ni mehanizam odnosno
raspored plasti~nih zglobova? U "uklje{tenju" {estoeta`nih nose}ih zidova elasti~no
"fundiranih" na okviru, sigurno ne mogu da se realizuju plasti~ni zglobovi.
Tehni~ki je izvodljivo, ali ipak treba izbegavati komplikovane "migracije" horizontalni sila naglom promenom konstrukcijskog sistema u jednoj eta`i, slika 6.6.d. Prenos
seizmi~kog optere}enja bo~nih zidova mora u nivou najni`e tavanice da se reorganizuje, da
se momenti do temelja sprovedu spregom sila stubova, {to mo`e da ugrozi stubove, a da se
transverzalne sile preko tavanice prevedu na srednji zid.
6-6
Kona~no, "sitni detalji" mogu da izmene pretpostavljeno pona{anje konstrukcije.
Konstrukcija okvira na slici 6.6.e. mo`e pri zemljotresu da se blokira prisustvom stepenica,
detalj 1. Naknadno umetanje pregradnih zidova u ravni okvira mo`e da izazove skra}enje
visine stuba i lom transverzalnim silama, detalj 2. Ako je povr{ina ispune zna~ajna a ispuna
intimno spojena sa okvirom, detalj 3, velika je verovatno}a da }e se umesto sistema sa dve
mase, konstrukcija pona{ati kao sistem sa fleksibilnim prizemljem, i da }e se sva deformacija
obaviti u okviru prizemlja, {to je vrlo neprijatno i nepo`eljno, prema EC8 prakti~no
zabranjeno.
6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE
B
kyO
ky
ky
b
B
kyO
b
ky
ky
Pri razmatranju stabilnosti konstrukcija usled samo gravitacionih optere}nja, obi~no
se ne proverava torziona krutost i stabilnost objekta u celini, otpornost na uvrtanje oko
vertikalne ose usled gravitacionih optere}nja. Pri zemljotresu, torzione oscilacije,
deformacije i naprezanja postaju zna~ajni, pri ~emu torziona krutost objekta uti~e ~ak i na
dozvoljenu maksimalnu vrednost redukcije optere}enja, faktora pona{anja q.
Na slici 6.7.a prikazana je osnova poslovkxO
nog objekta, sa ~etri AB
kx
kx
zida, bez izra`enih okvira.
Torziona krutost konstrukcije najve}a je ako su
zidovi na fasadi, a=L/2,
kx
kx
b=B/2. Ako su zidovi
a
a
kxO
koncentrisani ka centru
osnove i konstrukcija preL
L
b.
lazi u "sistem sa jezgrom",
a.
tada bi ve}e dopu{tene
Slika 6.7 Torziona krutost
nelinearne
deformacije
zidova uz rotacije tavanice mogle u ravni fasade da izazovu neprijatne posledice, prevelika
ukupna pomeranja. U konkretnom slu~aju, kada je a=L/4 (b=B/4), torziona krutost
objekta prema EC8 postaje niska, i sistem treba tretirati kao sistem sa jezgrom, sa sni`enom
osnovnom vredno{}u faktora pona{anja q0 = 3,5.
U ovakvim situacijama, potrebno je konstruisati okvire po obimu objekta, ~est
koncept konstrukcije u slu~aju visokih objekata, slika 6.7.b.
Za prizemlje konstrukcije na slici 6.6.d tako|e se mo`e re}i da je torziona krutost
problemati~na.
6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI
Da bi vertikalni nose}i elementi mogli da prihvate inercijalne sile masa tavanica,
moraju pre svega da budu pouzdano povezani sa tavanicama. Sa druge strane, da bi se
obezbedila prora~unska pretpostavka da tavanice diktiraju pomeranja priklju~enih
vertikalnih elemenata, moraju konstrukcije tavanica u svojoj ravni da budu dovoljno krute,
slika 6.8.a.
U suprotnom, mo`e do}i ~ak i do nezavisnog oscilovanja pojedinih vertikalnih
elemenata sa pripadaju}im masama tavanica, pa i do kolapsa sistema, ukoliko su dva dela
konstrukcije pojedina~no torziono nestabilni, delovi A i B na slici 6.8.b.
6-7
a.
b.
CKB
CM
CKB
CMA
B
CKA
CMB
A
A
CK A
B
CKA
A
B
A
B
Slika 6.8 Krutost tavanica
6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU
Ako je dispozicija konstrukcije usvojena, potrebno je odlu~iti koji od raspolo`ivih
konstrukcjskih elemenata treba uklju~iti u prora~unski model za prijem horizontalnih
optere}enja. Na~elno, treba uklju~iti sve elemente ~ije prisustvo zna~ajnije uti~e na
dinami~ko pona{anje konstrukcije, na period oscilovanja i iznos optere}enja i pomeranja.
Na slici 6.9 prikazana je osnova objekta koji sadr`i okvire i dva zida u x - pravcu, za koju je
usvojeno da se projektuje kao konstrukcija klase visoke duktilnosti - DCH. Zbog potpune
simetrije, centar masa CM i krutosti CK se poklapaju, slika 6.9.a.
Y
DCH
CM=CK
Fx (q=4,0)
X
X
ex
Okvir 1
B
Zid
Y
b.
a.
Fy (q=5,0)
Y
Okvir 2
X
ey
c.
L
Slika 6.9 Osnovni nose}i sistem
Za kontrolu objekta za uticaje zemljotresa u x - pravcu, obi~no se za osnovni nose}i
sistem usvajaju samo zidovi, slika 6.9.b. Za uticaj zemljotresa u y - pravcu nema dileme, tri
okvira su nose}i sistem.
Objekat u celini svrstan je u klasu visoke duktilnosti, ali vrednost faktora pona{anja
pa ni projektnog optere}enja nije ista za oba pravca, jer se razlikuje konstrukcjski sistem. Za
nepovezane zidove je q0 =4,0, a za okvire je q0 =5,0.
Prikazana dispozija name}e jo{ jedno pitanje. Formalno, zbog poklapanja centra
masa i krutosti, pri horizontalnim uticajima nema torzionih naprezanja. Me|utim, bilo zbog
razli~itih kvaliteta materijala (razli~ito Eb), bilo zbog razli~itog stanja prslina (razli~ita
krutost), bilo zbog odstupanja rasporeda optere}enja od pretpostavljenog, torzioni efekti
uvek postoje, i treba ih uzeti bar u minimalnom iznosu - tzv. slu~ajni ekscentricitet. Za
ilustraciju, red veli~ine koji se ~esto primenjuje je iznos od 5% odgovaraju}e dimenzije
objekta, ex = 0,05B, odnosno ey=0,05L prema slici 6.9. b-c.
Izbor zidova za osnovni sistem u x - pravcu ne zna~i da se okviri u tom slu~aju mogu
u potpunosti zaboraviti - zanemariti. Okviri moraju da prate deformacije osnovnog sistema
- zidova, sa nepoznatim ra~unskim uticajima jer nisu uklju~eni u prora~un. Prema nekim
propisima, okvire ipak treba prora~unati na deo ukupne sile, recimo 25% od Fx . Prema
6-8
EC8, okviri u ovom slu~aju pripadaju konstrukciji klase visoke duktilnosti, pa detalje
armature svakako treba prilagoditi visokim zahtevima za tu klasu.
Na slici 6.10. ilustrovan je odgovor dvojnog
d
Okvir 2
Zid
sistema konstrukcije, okvira i zida pri zemljotresu.
F
Odgovor samostalnog zida na uticaj sile F prikazan je
linijom Z, odgovor samo okvira linijom O a odgovor
kompletnog sistema okvira i zida linijom Z+O, slika
6.10.b. (O pona{anju dvojnih sistema, videti /15/, /16/).
Ako se za osnovni nose}i sistem usvoji samo zid,
a.
F
Fe
~est slu~aj u praksi, prora~unski mehanizam
konstrukcije se formira pri optere}enju Fd i pomeranju
Z+O
dyZ , linija 1 na slici 6.10.b. Budu}i da se i okvir pomera,
Z
odgovor
realne konstrukcije pribli`no je prikazan
2
1
3
2
F
linijom 2 (period, ukupno optere}enje i pomeranje dm
1
ne}e biti ba{ isti). Ukoliko pri pomeranjima dyO i okviri
Fd
b.
O
pre|u u mehanizam, ostvaren je potpuni mehanizam
d
konstrukcije. Prema tome, izostavljanje okvira iz
dyZ
dyO dm
osnovnog sistema ne osloba|a projektanta obaveze da
Slika 6.10 Dvojni sistem
oceni i obezbedi pouzdano pona{anje okvira. U
ovakvim slu~ajevima, naprezanje okvira mo`e da se proceni naknadno, zadavanjem modelu
okvira sra~unatog iznosa i oblika pomeranja osnovnog sistema, prema poglavlju 5.6.
6.11 PRORA^UNSKA KRUTOST ELEMENATA
Tendencija propisa je da se seizmi~ka pouzdanost konstrukcije osigurava
prvenstveno dobrim detaljima i konceptom konstrukcije, a manje slo`enim numeri~kim
modelima i numeri~kim analizama. Me|utim, i jednostavni numeri~ki algoritmi zahtevaju
pa`ljiv izbor ulaznih parametara, od kojih je krutost elemenata jedan od najva`nijih, jer
direktno uti~e na veli~inu perioda oscilovanja, vrednost ukupnog optere}enja, relativnu
raspodelu optere}enja izme|u vertikalnih elemenata kao i iznos ukupnih i relativnih
pomeranja.
Prema EC8, krutosti elemenata mogu da se usvoje na osnovu
bruto dimenzija elemenata bez uticaja prslina i armature, "osim kada su
pomeranja merodavna"? Pri tome, nema uputstva kako odrediti krutosti
+d
u tom slu~aju, prakti~no u svim slu~ajevima. Kao {to je zbrka u
propisima, tako je i u praksi.
U praksi se prora~unske krutosti greda obi~no usvajaju na osnovu
dimenzija rebra, sa zanemarenjem efekta T-preseka zbog prisustva
plo~e tavanice. Analogno va`i za stubove. U slu~aju zidova, naj~e{}e se
prora~unski moment inercije i samostalnih i slo`enih zidova sa flan{ama
odre|uje samo na osnovu bruto dimenzija pravougaonog preseka rebra
zida. Koliko je to opravdano, vide}e se.
Stvar se u me|uvremenu dodatno zakomplikovala pojavom
komercijalnih softvera za prostornu analizu konstrukcija na bazi
Slika 6.11 Model kona~nih elemenata, gde projektant ima su`ene mogu}nosti intervencije
zida
jer program automatski obuhvata uticaj ne samo flan{i slo`enih zidova,
nego i tavanica, slika 6.11.
7
6
W/2
5
4
3
7x3000=21000
W/2
2
1
6-9
Primer 6.1............
Za presek slo`enog zida iz primera 4.5, izvr{iti analizu posledica razli~itih prora~unskih
krutosti preseka konstrukcije konzole na odgovor konstrukcije pri seizmi~kim optere}enjima.
Masa sistema odre|ena je tako da, sa kruto{}u EI0 bruto preseka slo`enog zida, period
oscilovanja iznosi T1=0,6s
A (ag)
Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI0 bruto I - preseka
slo`enog zida, elasti~ni odgovor konstrukcije, za vrednost faktora pona{anja q=1,0 i tlo
klase B prema EC8, prikazan je linijama 1 na slici 6.12.
Prakti~no isti reFe
3
zultat dobi}e se i modeFe1=1.6Fe2
liranjem konstrukcije
a.
b.
EC8 - Kat.tla B
kona~nim elementima,
2
q=1,0
slika 6.11, postupak
Fe2
k1=5.5k2
koji u principu daje
1
1
2
najkru}e prora~unske
1
k2
modele o ~emu treba
T1 =0,6 T2=1,4
2
de
0
voditi ra~una.
de1
de2=3.1de1
0.00
1.00
2.00
3.00
Sa 5,5 puta maPeriod - T (s)
njom
prora~unskom
Slika 6.12 Slo`eni zid, analiza efekata prora~unskih krutosti
kruto{}u EIef odre|enom na osnovu elasto-plasti~ne aproksimacije, period oscilovanja iznosi T2 =1,4s (T1 /T2
=Ö(EI2 /EI1 )), a odgovor konstrukcije prikazan je linijama 2 na slici 6.12. Ukupno optere}enje je 1,6 puta manje (F1 /F2 =(T2 /T1 ) 2/3 ), ali je i pomeranje 3,1 puta ve}e (d1 /d2 =F1 xEI2
/F2 x EI1 ) nego u slu~aju modeliranja krutosti na osnovu bruto preseka zida.
Ve}i nivo optere}enja zahteva vi{e armature, ako mo`e da se smesti, plasti~ni
mehanizam }e kasnije da se formira i o{te}enja }e verovatno biti manja. Me|utim, na
osnovu prora~unskog pomeranja de1 ne mo`e da se zaklju~i da li su pomeranja u redu, jer je
prora~unska krutost nerealno visoka. Sra~unate vrednosti bi trebalo korigovati, pri ~emu
navedena relacija d1 /d2 =F1 xEI2 /F2 x EI1 mo`da mo`e da se usvoji kao gornja granica
faktora korekcije ra~unskih pomeranja.
Krutost preseka sra~unata samo sa dimenzijama rebra 20/300cm u ovom slu~aju
prakti~no se poklapa sa ra~unskom efektivnom kruto{}u, ali ne treba zaboraviti da ona
zavisi od nivoa normalne sile kao i koli~ine i rasporeda armature. Oba parametra su u
navedenom primeru na donjoj granici uobi~ajenih vrednosti.
Usvajanje u praksi samo karakteristika rebra za prora~un krutosti preseka slo`enih
preseka zidova zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na
zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti
preseka, osim armature u ovom zonama. Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za
krutost jednostavnog zida pravougaonog preseka, koji nema flan{e, tako|e usvojiti efektivnu
krutost preseka, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj. Usvajanje sni`ene krutosti zida I-preseka
zida, i pune krutosti zida pravougaonog preseka, za posledicu ima poreme}aj relativnih
krutosti i promenu centra krutosti konstrukcije {to dovodi do nerealnih torzionih momenata i
preraspodele seizmi~kog optere}enja po pojedinim zidovoma.
6-10
6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA
Kretanje konstrukcije pri zemljotresu je prostorno, primer zapisa Petrovac na slici
6.13.a gde su zajedno prikazani uticaji obe istovremeno registrovane komponenete ubrzanja
tla na relativno kretanje mase. Spektar ubrzanja prikazuju maksimalni odgovor sistema u
ravni, pri o~ekivanom ubrzanju tla.
100
a.
y
dmy
50
0,30dmy
X-zemljotres
0
0
dmx
0,30dmx
x
100
NS
-50
c.
dmy
dmx x
Y-zemljotres
-100
y
b.
EW
-100
Slika 6.13 Prostorno dejstvo zemljotresa
Kako se maksimalna ubrzanja tla ne mogu istovremeno javiti u dva ortogonalna
pravca, to se prostorno dejstvo zemljotresa prema EC8 mo`e pribli`no uzeti u obzir
kombinacijom maksimalnog dejstva u jednom pravcu, sa 30% istovremenog dejstva u
upravnom pravcu, slike 6.13.b-c, gde je prikazano prora~unsko pomeranje konstrukcije u
osnovi. Za obe istovremene komponente va`i isti projektni spektar ubrzanja. Ako su
pomeranja elasti~nog i nelinearnog sistema pribli`no jednaka, pri vrednosti faktora
pona{anja q=4-5 konstrukcija }e pre}i u plasti~ni mehanizam i pri 30% maksimalnog
pomeranja dmx ili dmy . Posledice iznetog zahteva su koso savijanje stubova, pri verovatnom
istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova greda priklju~enih na stub
iz dva pravca.
Primer 6.2.............
Na slici 6.14 prikazana je osnova prizemnog objekta sa tri nose}a zida.
Pri dejstvu zemljotresa u X - pravcu, ukupna sila deli se na dva zida Z1, slika 6.14.a.
Pri dejstvu zemljotresa u Y - pravcu, usled nepoklapanja centra masa CM i centra krutosti
CK, javlja se i moment torzije u osnovi, koji mo`e da bude prihva}en samo spregom sila
zidova Z1, slika 6.14.b, tako da je u sva tri zida sila jednaka Fby .
U na{oj praksi i propisima, objekat treba proveriti ili za jedan, ili za drugi slu~aj
dejstva zemljotresa. Prema EC8, ova dva slu~aja se kombinuju, tako da zidove treba
Z2
L/4
Z2
L/4
Fbx /2
Fbx /2 + 0,3Fby
0,3Fbx /2 + Fby
Z1
Fby
Z1
Fby
Z1
max
Fby
CK
Z1
Z2
CM
L
CK
Fby
Fby
L
CM
Fbx
Z1
Fbx /2
L/4
L/4
Z1
L/2
L/2
a.
L/2
L/2
b.
Slika 6.14 Koncept odre|ivanja prora~unskih uticaja zidova
6-11
c.
dimenzionisati prema optere}nju prikazanom na slici 6.14.c.
Primer na slici 6.14 ukazuje na jo{ jedno
pitanje,
a to je koji je ugao dejstva zemljotresa f
0F m
Fx
0,3
merodavan. Obi~no se dejstvo zemljotresa ispituje u
pravcima glavnih osa konstrukcije objekta. U principu, svaki pojedina~ni element konstrukcije Z1 treba
Y
pouzdano da izdr`i bilo koji pravac ortogonalnog
Z1
para istovremenih seizmi~kih dejstava. Naj~e{}e su
objekti konstruisani u ortogonalnom sistemu, kao i
f
X
svi primeri do sada. Ako nije o~igledno, onda treba
ortogonalni par vektora dejstva postaviti u vi{e
polo`aja, slika 6.15.
Slika 6.15 Dejstvo pod uglom
6.13 PRORA^UN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA
Za regularne i umereno vitke konstrukcije (T1<2s prema EC8), analiza se naj~e{}e
vr{i upro{}enom modalnom spektralnom analizom, na bazi samo osnovnog tona oscilovanja.
Uticaji vi{ih tonova oscilovanja obi~no se uvode korekcijom spektralnih krivih u podru~ju
du`ih perioda, kao i korekcijom sra~unatih dijagrama momenata i transverzalnih sila zidova
uvo|enjem prora~unskih anvelopa.
Savremeni propisi vi{e pa`nje poklanjaju dobroj dispoziji, konstruisanju i obradi
detalja, uz primenu koncepta programiranog pona{anja. Stav je da konstrukciju treba
dobro pripremiti za o~ekivana pomeranja, koja je ionako te{ko ta~no predvideti, pogotovo
kada se dogodi zemljotres "mimo propisa", koji se ne uklapa u propisane spektralne krive,
primer zapisa Ulcinj. U sportskom `argonu, zglobove konstrukcije treba dobro banda`irati.
6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA
U praksi se efekti drugoga reda naj~e{}e ne analizraju, niti komentari{u, izme|u
ostalog i zbog toga {to nije postojao jednostavan postupak njihove kontrole. Ovi efekti
mogu biti posebno zna~ajni kod konstrukcija sa fleksibilnim prizemljem ili spratom, slika
6.16. Prema EC8, efekte drugoga reda ne treba uzeti u obzir ako je za sve spratove
zadovoljen uslov
q = Ptot dr /Vto t h £ 0,10
dr
Vtot
h
Ptot
Slika 6.16 Uticaji drugoga
reda
(6.11)
gde je Vtot
rezultuju}a seizmi~ka sila u nivou
posmatranog sprata, Ptot suma gravitacionog optere}enja u
nivou sprata, h spratna visina a dr stvarno relativno
pomeranje - smicanje sprata. Ukoliko uslov (6.11) nije
zadovoljen, uticaji drugoga reda obuhvataju se jednostavnim
uve}anjem sra~unatog horizontalnog optere}enja Fb .
Prema (6.11), ako je seizmi~ko optere}enje 5%
gravitacionog, Vtot /Ptot = 0,05, efekti drugoga reda su
zanemarljivi ukoliko je relativna rotacija sprata dr /h £
0,10x0,05 = 0,005. Pri visini sprata od h=3000mm, spratno
pomeranje treba da je manje od dr £ 15 mm.
6-12
6.15 PRERASPODELA UTICAJA
HF
Na slici 6.17 prikazana su dva zida, u op{tem slu~aju razli~ite krutosti na savijanje EI
i normalnih sila N usled gravitacionoh optere}enja.
dm
dm
Pri jednakim pomeranjima dm ,
svaki od zidova prihvata svoj deo
a.
b.
seizmi~kog optere}enja ~ija je rezultanta
1
2
F1
F2
F1+2 , slika 6.17.a, na visini HF od temelja.
F1+2
M
Na slici 6.17.b prikazani su momenti
savijanja zidova, proizvod sile i kraka
EI1
EI2
sila.
F1R HF
F2R HF
Za primer, pretpostavlja se da je
N1
DM
N2
moment inercije zidova isti, ali da zid 2
ima
znatno
ve}e
gravitaciono
F1HF
F2HF
optere}enje N2>N1 . U tom slu~aju,
F1+2 HF
horizontalno optere}enje zidova je
jednako, F1=F2 , pa su i momenti
Slika 6.17 Preraspodela optere}enja
jednaki. Zbog manje normalne sile, zid 1
zahteva}e vi{e armature, a i temelji }e biti nepovoljnije optere}eni. To zna~i i da }e zid 1
imati izra`enije prsline, pa realna krutost dva zida istih nominalnih dimenzija ne}e biti ista.
Savremeni propisi dozvoljavaju da se u ovakvim slu~ajevima umanji optere}enje
kriti~nog zida 1, ali da se razlika momenata DM, a to zna~i i deo horizontalnih sila prebaci
na zid 2, tako da ostane sa~uvana rezultanta F1+2 kao i "moment preturanja" F1+2 HF .
Zavisno od klase duktilnosti, vrednost momenta preraspodele DM se ograni~ava na 20-30%.
6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI
Prema jugoslovenskim propisima, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u
kombinaciji u slu~aju zemljotresa iznosi g = 1,3. Na prvi pogled, budu}i da se multiplikuju
optere}enja, reklo bi se da se zahteva sigurnost od pojave plasti~nih zglobova. Savremeni
propisi znatno jasnije defini{u problem.
EC8 na primer, razlikuje koeficijente sigurnosti za materijal gM od koeficijenata
sigurnosti gF za optere}enja. Ordinate radnog dijagrama
s
betona,
definisanog ~vrsto}om cilindra fck , tako|e
fck
1
parabola i prava, dele se koeficijentom sigurnosti za
fcd =
beton gc=1,50, linija 2 na slici 6.18.a. U slu~aju ~elika,
fck/g c
2
EC8 tako|e ograni~ava dilatacije na 1% ako se modelira
i oja~anje ~elika, linija 1 na slici 6.18.b. Ukoliko se koristi
bilinearni model sa horizontalnom granom, dilatacije
e(%)
a.
~elika nisu ograni~ene, linija 2. U svakom slu~aju,
0,2
0,35
ordinate napona se dele sa koeficijentom sigurnosti za
s
~elik gs=1,15, linija 3 na slici 6.18.b.
1
fyk
2
Prema EC8, koeficijent sigurnosti za sva
3
fyd =
optere}enja u slu~aju zemljotresa jednak je gF =1, jer mi
fyk/g s
upravo `elimo da se pri tom optere}enju formira
mehanizam, ne {titimo se od njegove pojave.
Uticaji usled dejstva zemljotresa ustvari se mno`e
e (%)
b. Es=200 kN/mm2
1,0
sa koeficijentom zna~aja objekta gi , ali tu je u pitanju
Slika 6.18 Modeli betona i ~elika korekcija povratnog perioda zemljotresa za va`nije
6-13
objekate, da sa istom pouzdano{}u izdr`e zemljotres sa povratnim periodom Tp > 475
godina.
6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA
I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI
bw
Da bi se obezbedila zahtevana duktilnost pomeranja konstrukcije i opravdao ~itav
algoritam, potrebno je da se na nivou preseka elemenata obezbedi odgovaraju}a duktilnost
krivine. Zavisno od klase duktilnosti, EC8 postavlja odre|ene zahteve u vezi armiranja
preseka, minimalnih i maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, utezanja preseka
uzengijama, nastavljanja armature itd.
b0
Za svaku od klasa duktilnosti, za stubove je definisana zahtevana minimalna vrednost tzv. konvencionalnog
fu/s
faktora duktilnosti krivine - CCDF. Umesto dokaza CCDF,
EC8 dozvoljava da se zahtevani CCDF smatra zadovoa.
b.
ljenim ako je obezbe|ena vrednost mehani~kog
zapreminskog procenta armiranja - utezanja uzengijama
c.
w wd =
lw/10
Vh f yd
V0 f cd
(6.12)
bw
gde je Vh zapremina sloja uzengija na ramaku s, a
V
zapremina
utegnutog jezgra betona visine s. Prema
0
d.
slici 6.19.b, zapremina uzengija iznosi Vh=8fu b0 , a
zapremina utegnutog jezgra V0 = sb 20 .
0,15lw
Presek stuba i kraja zida na slici 6.19.a,c je prema
Slika 6.19 Utezanje preseka
EC8 prakti~no neutegnut, neduktilan, jer su uzengije
usidrene u za{titnom sloju betona koji ima tendenciju otpadanja, pa }e se uzengije
"razmotati", kao i zbog toga {to su samo ~etri ugaone podu`ne {ipke armature bo~no
pridr`ane uzengijama, usidrene u jezgro preseka betona.
Isti principi va`e i za pritisnute krajeve zidova, koji se tretiraju kao skriveni stubovi
aksijalno optere}en tzv. efektivnom normalnom silom.
6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE
548/400=1,37
515/400=1,28
462/400=1,15
Napon (MPa)
6.18.1 Faktor preoptere}enja
Oblast plasti~nih zglobova dimenzioni{e se na prora~unsku vrednost momenata
savijanja MSd dobijenu analizom. Me|utim,
600
realan moment nosivosti MRd koji se mo`e
2
javiti pri pomeranjima usled zemljotresa,
500
odre|uje se na osnovu stvarno ugra|ene i
1
400
anga`ovane armature preseka, kao i uz
300
pretpostavku da su stvarne karakteristike
~elika ve}e od nominalnih, uz eventualno
200
zala`enje dilatacija ~elika u zonu oja~anja.
100
Ve}a nosivost ~elika obuhvata se faktorom
0
preoptere}enja gRd ~ija vrednost se kre}e u
0
50
100
150
200
250
Dilatacija (0/00)
granicama 1,15-1,25. Sa vredno{}u momenta
6.20 Opit kidanja RA400/500
6-14
preoptere}enja MRd treba sra~unati uticaje u priklju~enim elementima na plasti~ni zglob.
Na slici 6.20 prikazani su rezultati opita kidanja rebraste armature RA400/500
izvr{eni u IMK - GF-a, linija 2, kao i nominalni radni dijagram rebraste armature, linija 1.
Nazna~eni odnos stvarnih i nominalnih karakteristika potvr|uje predlo`ene iznose faktora
preoptere}enja gRd .
H/3
Faktor uve}anja
2H/3
e
6.18.2 Zidovi
U slu~aju zidova, stav o obezbe|enju "elasti~nog dela zida" na uticaje jednake
kapacitetu nosivosti na savijanje plasti~nog zgloba, uz preoptere}enje ~elika i efekte vi{ih
tonova dovodi do
>0,5VSd
dramati~nih posle7
Tlo klase B
MRd /MSd = 1
dica, slika 6.21.
6
DCH q=4 g Rd =1,25
Ra~unske transDCM q=3 g Rd =1,15
5
3
verzalne sile zida
e = 4,0
4
V'sd, linija 1 na
2
e = 3,0
DCH
slici 6.21.b, treba
3
1
multiplikovati fakDCM
2
e = 1,3
torom uve}anja e,
DCL
1
a.
b. ~ime se dobija proT=0,6s
0
ra~unska vrednost
V'Sd
0
1
2
3
transvrezalnih sila
VSd =eV'Sd
Period (s)
Vsd, linija 2, na
Slika 6.21 Faktor uve}anja transverzalnih sila zida
osnovu koje se
formira prora~unska anvelopa, linija 3. Vrednost faktora uve}anja e definisana je izrazom
e=q (
g Rd M Rd
q M Sd
) 2 + 0,1(
S e (TC ) 2
) £q
S e (T1 )
(6.13)
Na slici 6.21.a prikazane su vrednosti faktora uve}anja e za tri klase duktilnosti. Za
periode oscilovanja konstrukcija sa zidovima du`e od 1,6 sekundi, sra~unate transverzalne
sile treba znatno uve}ati, prakti~no vratiti na nivo elasti~nog odgovora konstrukcije.
6.18.3 Grede
Za prelazak konstrukcije u plasti~ni mehanizam,
MBg
VAg
2
Asd
VBg
3
2
1
1
MAd
MAg
Asg
a.
c.
b.
d.
"Kosa armatura"
1
1
2
MBd
VAd
3
2
VBd
Slika 6.22 Programirano pona{anje greda: 1) "g+p/2", 2)
"g+p/2" + zemljotres, 3) prora~unski dijagram
transverzalnih sila V
6-15
potrebno je da se u svakom
rasponu greda okvira pojave dva
plasti~na zgloba. Ako su uticaji
usled zemljotresa veliki u
odnosu
na
uticaje
usled
gravitacionih
optere}enja,
najve}i ukupni momenti javi}e
se na krajevima greda, i prema
njima se odre|uje potrebna
gornja Asg i donja Asd armatura
plasti~nih zglobova greda, slika
6.22.a-b. U op{tem slu~aju,
jedan od maksimuma momenata
savijanja mo`e da se javi i polju
grede, pa se polo`aj plasti~nih
zglobova projektuje pa`ljivim konstruisanjem anvelope nosivosti podu`ne armature.
U slu~aju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti, osiguranje greda od krtog loma
"smicanjem" vr{i se prema najve}im mogu}im vrednostima transverzalnih sila greda koje
uop{te mogu da se pojave pri pomeranjima usled zemljotresa - dostizanju kapaciteta
nosivosti na savijanje plasti~nih zglobova, sa realno ugra|enom armaturom, uklju~uju}i i
deo armature iz plo~e (T - presek) i uz preoptere}enje ~elika, linija 3 na slici 6.22.c-d.
Ukoliko pri zemljotresu mogu da se pojave velike transverzalne sile promenljivog
znaka, osiguranje oblasti plasti~nog zgloba od proloma vertikalnim klizanjem preseka po
ukr{tenim prslinama zahteva}e postavljanje ukr{tene kose armature.
6.18.4 Stubovi
Po`eljno je da u plasti~nom mehanizmu konstrukcije stubovi "participiraju" samo
jednim plasti~nim zglobom, u uklje{tenju stuba.
Usled gravitacionog optere}enja, unutra{nji stubovi okvira obi~no imaju zanemarljive momente savijanja, slika 6.23.a - "~ekaju zemljotres". Pri pomeranjima dm usled zemljotresa i dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova priklju~enih greda u ~voru okvira,
MA i Mg na slici 6.23.b, ukupna nosivost gornjeg i donjeg preseka stuba stuba treba da je
ve}a od rezultuju}eg momenta greda Mg
Ms = Msg + Msd > f Mg
(6.14.)
Mg
Mg
gde je f dodatni faktor korekcije. Vrednost "ulaznog momenta" Mg je poznata jer je
limitirana fizi~kim parametrima, ali raspodela ovog momenta na gornji, Msg i donji, Msd
presek stuba u slu~aju zemljotresa prili~no je neizvesna. Naime, raspodela ulaznog
momenta bitno zavisi i od oblika deformacija stuba, relativnih pomeranja dva kraja stuba,
zbog ~ega treba nekako
dm
dm
proceniti uticaje vi{ih tonova MA
"g+p/2"
formi oscilacija. Razli~iti propisi sadr`e razli~ita re{enja,
pitanje merodavnih uticaja za
dimenzionisanje stubova je
"g+p/2"
Mg
stalno otvoreno.
Iako se u stubovima
Msg
konceptualno ne predvi|a
Msg
Msd
Msd
MS
pojava plasti~nih zglobova,
MS
MB
prora~unske transverzalne sile
a.
b.
c.
D1
D2
stuba odre|uju se analogno
slu~aju
greda
visoke
Slika 6.23 Programirano pona{anje stubova
duktilnosti,
iz
kapaciteta
nosivosti na savijanje krajeva stuba.
O~igledna je `elja da se krti lom "smicanjem" bilo kog elementa konstrukcije spre~i,
pri bilo kojem iznosu i obliku pomeranja konstrukcije pri zemljotresu.
6.18.5 ^vorovi okvira
Tradicionalno, "dimenzionisanjem" je obuhva}en prora~un greda i stubova, dok se
~vorovi potom konstrui{u. Iskustva dogo|enih zemljotresa pokazuju da kolaps konstrukcije
mo`e da nastupi i zbog otkazivanja nosivosti oblasti betona na ukr{tanju stuba i grede ~vorova okvira. Konceptualno, oblast ~vora treba razmatrati kao deo stuba, slika 6.24.
6-16
D1
D3
Pomeranja usled zemljotresa izazivaju momente
suprotnog znaka na krajevima priklju~enih greda.
Horizontalna armatura greda je sa jedne strane stuba
"vu~ena", a sa druge strane "gurana" kroz ~vor, tako da
4
mo`e da nastupi lom usled proklizavanja armature
1
grede kroz ~vor, detalja 1 na slici 6.24. Obezbe|enje od
D4
2
proklizavanja svodi se na ograni~enje maksimalnog
pre~nika armature grede u zavisnosti od {irine grede.
3
Problem je nagla{eniji kod krajnjih stubova, sa
D2
gredom samo sa jedne strane stuba.
1
Ako je proklizavanje spre~eno, tada je
obezbe|eno formiranje mehanizma re{etke sila kojim
se trajektorije pritisaka skre}u kroz ~vor, sa jedne na
drugu stranu grede odnosno stuba, sile Di na slici 6.24.
Ukoliko je pritisak u rezultuju}em dijagonalnom
Slika 6.24 ^vor okvira
pravcu prevelik, mo`e da nastupi, izme|u ostalog, lom
betona bo~nim cepanjem i otvaranjem prslina, detalj 2 na slici 6.24. Uzengije - 3 i podu`na
armatura stuba - 4 treba da dopune mehanizam prenosa sila kroz ~vor, tako da ~vor postaje
"nova pozicija stait~kog prora~una".
MBC
6.18.6 Konstrukcijski sistem
Razmatran na nivou elemenata konstrukcije, koncept programiranog pona{anja
deluje vrlo jednostavno, "in`enjerski". U praksi se stvari naravno komplikuju.
Na slici 6.25 prikazan je ~est slu~aj okvira ve}ih raspona, sa velikim uticajima gravitacionog optere}enja, kod koga ra~unski momenti usled zemljotresa ne uspevaju da "obrnu"
znak momenta savijanja MBC
iznad srednjeg stuba. Osim {to
u polju BC nedostaje jedan
plasti~ni zglob do stvaranja
1
2
potpunog mehanizma, postavlja
se pitanje na koje uticaje treba
dimenzionisati stub, da li je u
A
B
C
pitanju
"raspad"
koncepta
programiranog pona{anja?
Slika 6.25 Gde je drugi plasti~ni zglob ?
Jedno od re{enja je da se
ipak dozvoli pojava plasti~nih zglobova i u stubovima, ali samo unutra{njim, stub B na slici
6.25. Krajnji stubovi A i C "{tite konstrukciju" od pojave fleksibilnog sprata. Generalno,
ono {to treba apsolutno spre~iti kod okvirnih konstrukcija je istovremena pojava plasti~nih
zglobova na oba kraja svih stubova sprata.
Ukupan rezultat restriktivnih uslova za obezbe|enje `eljenog plasti~nog mehanizma
i duktilnosti mogu da budu pora`avaju}i za konkurentnost i atraktivnost primene betona u
oblastima povi{enog seizmi~kog rizika. Dana{nje tehnologije materijala i gra|enja
omogu}avaju izvo|enje stubova malih dimenzija preseka uz veliku aksijalnu nosivost, na
primer. Me|utim, zahtevi za obezbe|enje pouzdanog pona{anja AB konstrukcije pri
zemljotresu ~esto ne dozvoljavaju iskori{}enje mogu}nosti materijala. Rezultat je pove}ana
masa i cena konstrukcije kao i "unesre}eni arhitekta", koji je o~ekivao "pau~inastu"
konstrukciju. Sve to, da bi na kraju, posle zemljotresa jo{ imali i o{te}enja, jer sve vreme
razmatramo klasi~an, pasivan koncept za{tite od zemljotresa.
6-17
Osim samo nagove{tenog
savremenog koncepta za{tite od
zemljotresa, poglavlje 3.1, uvek
ima mesta i "kompromisnim"
re{enjima, slika 6.26, na primer.
Konstrukcija tavanice je tanka
prethodno napregnuta plo~a
Slika 6.26 Savremeni koncept AB konstrukcije-studija
direktno oslonjena na stubove.
Stubovi su zglobno vezani na oba kraja - "pendel stubovi", izvedeni od betona povi{enih
~vrsto}a (MB100 na primer) ili spregnuti, eventualno izvedeni monta`no. Horizontalnu
stabilnost obezbe|uje AB zid, prema konceptu "ako problem ne mo`e da se re{i na
zadovoljavaju}i na~in, mo`da mo`e da se elimini{e".
Konstrukcija ima jednostavnu oplatu, korisna visina spratova je velika, lako se vode
instalacije ispod tavanice, tavanice i stubovi su konstruisani sa maksimalnim iskori{}enjem
mogu}nosti betona, izbegnuto je neprijatno pogor{anje uslova proboja tavanice pri
pomeranjima objekta usled zemljotresa, zidovi {tite konstrukciju od velikih pomeranja i
pojave fleksibilnog sprata, a i sama konstrukcija zidova bi se mogla "doterati", bitno je da se
ne vidi "{ta je unutra".
6.19 KONTROLA POMERANJA
KONSTRUKCIJE
Sa usvojenim ra~unskim seizmi~kim optere}enjem Fb , za povratni period
zemljotresa od Tp=475 godina, vr{i se analiza naprezanja i deformacija linearno elasti~nog
modela konstrukcije sa kruto{}u k - "stati~ki prora~un".
[to se ti~e pomeranja, rezultat prora~una je pomeranje dy na granici elasti~nosti
odnosno formiranja plasti~nog mehanizma. U praksi se ~esto previ|a da "realno" pomeranje
elasti~ne konstrukcije iznosi de a nelinearne, realne konstrukcije dm , slika 6.27. Prema EC8,
realno pomeranje pri projektnom zemljotresu mo`e da se usvoji u iznosu
dm = q dy
(6.15)
Kako je Fb / Fe ~ q, sledi da su pomeranja pri linearnom i nelinearnom odgovoru
konstrukcije jednaka, dm = de - tzv. "koncept jednakih pomeranja".
Ako je to tako, prora~un konstrukcije za nivo optere}enja Fe elasti~nog odgovora
konstrukcije, q = 1,0, kao rezultat daje "ta~na pomeranja pri zemljotresu", ali i prevelike,
neredukovane sile u presecima. Ovaj stav pru`a razli~ite korisne mogu}nosti primene u
praksi.
Sra~unato maksimalno pomeranje dm koje
F
mo`e
da
se dogodi jedanput u 475 godina
Fe
merodavno je za odre|ivanje {irine dilatacije izme|u
objekata, da bi se izbeglo sudaranje konstrukcija,
k
slika 6.28. Ako se to ne mo`e izbe}i, bar treba izbe}i
da tavanica jednoga objekta udari i prelomi stubove
Fy=Fb
drugog objekta. Samu veli~inu pomeranja sa
=SdW
povratnim periodom od 475 godina EC8 na primer
direktno ne ograni~ava, naprezanja sa efektima
d
drugoga reda su limitiraju}i faktor.
dy
de
dm
Slika 6.27 "Jednaka pomeranja"
6-18
A
1
2
dm1
da
dm2
Slika 6.28 Sudar konstrukcija
Do ovoga trenutka pa`nja je bila usmerena na
pitanja obezbe|enja nosivosti konstrukcije. Projektante, a
jo{ vi{e investitore interesuje i kako }e konstrukcija da se
pona{a pri "obi~nom" zemljotresu, koji mo`e da se pojavi
svakih 50 godina na primer, 2-3 puta u toku eksploatacije
objekta. Ako }e tom prilikom sva stakla, pregradni zidovi i
skupocena oprema da budu upropa{}eni, sve to mo`da
bez o{te}enja nose}e konstrukcije ~ija je cena ina~e reda
veli~ine 25% ukupne cene objekta, onda je koncept
nepotpun.
Da bi se obim o{te}enja objekta pri zemljotresu sa
ve}om verovatno}om pojave sveo u prihvatljive granice,
EC8 ograni~ava relativna spratna pomeranja usled
zemljotresa sa povratnim periodom od Tp=475 godina na
dr,i / n £ 0,004 hi
dr,i / n £ 0,006 hi
(krute pregrade)
(6.16)
(fleksibilne pregrade)
(6.17)
gde je dr,i relativno pomeranje - smicanje sprata i , hi visina sprata i , a n faktor koji
ra~unska pomeranja usled projektnog zemljotresa prevodi na slu~aj zemljotresa sa kra}im
povratnim periodom Tp . Za obi~ne zgrade, vrednost faktora iznosi n = 2 .
Pomeranje jednako polovini ra~unskog pomeranja pri zemljotresu sa povratnim
periodom od Tp=475 godina izazva}e zemljotres sa povratnim periodom od pribli`no
Tp=50 godina, sa duplo manjim ubrzanjem tla, slika 6.29.c. I u tom slu~aju konstrukcija
mo`e da za|e u nelinearnu oblast, ali sa manjim o{te}enjima, slika 6.29.c.
Odnos dr / h pribli`no je jednak uglu nagiba sprata a. Ako se realni oblik
deformacija aproksimira parabolom, kriti~an nivo je prizemlje i donje eta`e u slu~aju
dr
h
F
Fe
(Tp=475)
a
k
Fe
(Tp=50)
a
c.
Fb
(Tp=475)
h
dr
a.
Tp=50
b.
Tp=475
d
dy
dm/n
dm
Slika 6.29 Koncept dozvoljenih pomeranja
okvirnih konstrukcija, odnosno najvi{i delovi u slu~aju konstrukcija zidova.
Treba uo~iti da navedeni kriterijumi prakti~no defini{u minimalnu potrebnu krutost
konstrukcije objekta, o ~emu treba voditi ra~una ve} kod usvajanja dispozicija konstrukcija.
6-19
6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ?
Uobi~ajeno je u praksi da se merodavno optere}enje ocenjuje pore|enjem vrednosti
sila u presecima - prema kriterijumu nosivosti. Najve}i "konkurent" zemljotresu je vetar, pa
se postavlja pitanje u kom slu~aju zemljotres "nije merodavan".
Ako su za odre|ivanje dimenzija preseka ili koli~ine armature merodavni grani~ni
uticaji usled vetra gv Fv >ge Fb , tada je vetar merodavan za definisanje nosivosti konstrukcije.
Pri realnom optere}enju vetrom Fv ,
dm
F
pomeranje }e iznositi dv , konstrukcija
Fe
2
dv
se na vetru pona{a "elasti~no", slika
6.30.b.
k
Fb , Fv
Pri projektnom zemljotresu
g vFv
(T
=475
godina), konstrukcija te`i
5
p
g eFb
3
pomeranju dm , pa }e se plasti~ni
4
Fb
F
a.
b.
mehanizam formirati pri ra~unskoj
v
1
nosivosti odre|enoj prema uticajima
Zemljotres
vetra. Prema tome, izvestan nivo
Vetar
d
duktilnosti pomeranja mora da se
dv
dy
dm
obezbedi, a treba proveriti i relativna
Slika 6.30 Vetar - zemljotres
spratna pomeranja prema (6.16-17).
Zemljotres definitivno nije merodavan jedino ako je optere}enje vetrom ve}e i od
nivoa elasti~nog odgovora konstrukcije na zemljotres, Fv > Fe .
Osim uticaja vetra, i druga optere}enja mogu da izazovu pomeranje i savijanje
stubova - gravitaciona optere}enja, temperatura, skupljanje betona, potisci tla itd. ^est
slu~aj u praksi je da pri dimenzionisanju preseka kombinacija sa uklju~enim zemljotresom
"nije merodavna", ili da je potreban minimalni procenat armiranja. U takvim situacijama
razmi{ljanje o zemljotresu kao prinudnom pomeranju, pribli`no jednakom pomeranju
elasti~ne konstrukcije je za preporuku. Ono {to }e pri zemljotresu da se dogodi to su
pomeranja, naprezanja mo`e ali i ne mora da bude.
6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM
Na slici 6.6 ilustrovani su problemi koji mogu da nastanu usled prisustva pregradnih
zidova. Nije tema ovoga kursa, ali se iz metodolo{kih razloga skre}e pa`nja da savremeni
propisi obi~no sadr`e dodatne odredbe za ovakve slu~ajeve, pa i EC8.
6.22 [email protected] KONSTRUKCIJE
U praksi je uobi~ajeno da se prakti~no ne pravi razlika izme|u livenih i monta`nih
AB konstrukcija. Sve do sada izlo`eno odnosi se na livene armiranobetonske konstrukcije,
kod kojih postoji kontinuitet armature i betona.
Nije redak slu~aj da projekat konstrukcije, predvi|en za izvo|enje u livenom betonu,
izvo|a~ preradi na delimi~nu ili ~ak potpunu monta`u. To jeste mogu}e, ali onda treba
pogledati i dodatne delove propisa koji se odnose na specifi~ne probleme monta`nih
konstrukcija i veze elemenata. Ova pitanja tako|e nisu predmet ovoga kursa.
6.23 FUNDIRANJE
Fundiranje je geomehani~ki ali i konstrukcijski problem. Problemi pona{anja tla pri
zemljotresu obi~no pripadaju posebnoj oblasti pa i propisima. [to se ti~e konstrukcija
zgrada, pretpostavka prethodnih izlaganja je da su naprezanja tla u granicama elasti~nosti,
6-20
bez trajnih deformacija ili nestabilnosti tla, niti izra`enijih neravnomernih sleganja delova
konstrukcije pri zemljotresu. [to se ti~e konstrukcije temelja, ona treba da obezbedi
pretpostavljeni odgovor kosntrukcije na zemljotres, pri ~emu se nelinearni odgovor
konstrukcije mo`e delom realizovati i u okviru temeljne konstrukcije. Me|utim, ni to nije
predmet ovoga kursa.
6-21
7. SEIZMI^KI PRORA^UN PREMA YU PROPISIMA (YU81)
UVOD
U prvom delu ovoga poglavlja dat je rezime jugoslovenskih propisa (na dalje YU81)
u ovoj oblasti /10/, sa tuma~enjem nekih stavova koji su se pokazali nejasni u praksi. U
drugom delu, data je delimi~na uporedna analiza jugoslovenskih propisa i EC8, sa
prvenstvenim ciljem da se stavovima jugoslovenskih propisa da savremeno obja{njenje i
tuma~enje, koje ina~e nedostaje propisima.
7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI
Teritorija Jugoslavije podeljena je na seizmi~ka podru~ja, sa kartama o~ekivanog
intenziteta zemljotresa sa povratnim periodima Tp=50 - 10000 godina. Za zna~ajnije objekte,
zahteva se sprovo|enje seizmi~ke mikrorejonizacije.
Prema lokalnim uslovima, tla su svrstana u tri kategorije tla: I (~ A - EC8), II (~ B EC8), III (~ C - EC8).
7.2 ELEMENTI PRORA^UNA SEIZMI^KIH UTICAJA
Upro{}ena modalna spektralna analiza prema EC8 ovde se naziva metoda
ekvivalentnog stati~kog optere}enja.
Za slo`enije objekte, zahteva se metoda linearne i nelinearne dinami~ke analize.
Na{i propisi ne spominju multimodalnu analizu, koja se danas ~esto primenjuje u
praksi, nakon pojave komercijalnih softvera iz ove oblasti.
Ukupna seizmi~ka sila S, defini{e se kao
S=kG
(7.1)
gde je G ukupna te`ina objekta iznad gornjeg ruba uklje{tenja (temelj ili gornja ivica
krutih podrumskih konstrukcija), a k - ukupni seizmi~ki koeficijent
k = k0 ks kd kp ³ 0,02
(7.2)
Prema zna~aju, objekti se dele u kategorije : van kategorije (elektrane...), I kategorija
(ve}i skupovi ljudi..., koeficijent kategorije objekta ko=1,5 ) i II kategorija (stambene zgrade...,
koeficijent kategorije objekta ko=1,0 ).
Za objekte II-ge kategorije za projektovanje je merodavan intenzitet zemljotresa sa
povratnim periodom Tp=500 godina (EC8 - Tp=475 godina).
Koeficijent seizmi~kog intenziteta ks vezan je za o~ekivani intenzitet zemljotresa u
datom seizmi~kom podru~ju
Stepen MSK-64
ks
ag /g
VII
0,025
£ 0,10
VIII
0,050
£ 0,20
(7.3)
IX
0,100
£ 0,40
Vrednosti ag / g u (7.3) predstavljaju gornju granicu maksimalnih o~ekivanih ubrzanja
tla, ako ne postoje podaci seizmi~ke mikrorejonizacije, pa se veza koeficijenta sezimi~kog
intenziteta i maksimalnog o~ekivanog ubrzanja tla mo`e izraziti kao
ks = 0,25 ag / g
(7.4)
Za stanicu "Beograd Centar" u Prokopu, na osnovu seizmi~ke mikrorejonizacije
utvr|eno je o~ekivano ubrzanja tla od ag=118 cm/s 2 sa povratnim periodom Tp=500
7-1
godina, pa je ks = 0,25x118/981 = 0,03, ~emu pribli`no odgovara VII zona seizmi~kog
intenziteta.
Koeficijent dinami~nosti kd zavisi od kategorije tla i perioda oscilovanja osnovnog
tona T
Kategorija tla
kd
I
0,33 £ kd = 0,5/T £ 1,0
II
0,47 £ kd= 0,7/T £ 1,0
(7.4)
III
0,60 £ kd=0,9/T £ 1,0
Hi
Hi
Koef.dinami~nosti - Kd
Na slici 7.1 prikazane su vrednosti koeficijenata dinami~nosti, sa preklopljenim
odgovaraju}im krivama spektra ubrzanja prema EC8, normalizovanim na maksimalnu
vrednost 1,0.
Koeficijent duktiliteta i prigu{enja kp se
1.0
za sve "savremene armiranobetonske konstruk0.9
cije" usvaja da je jednak kp = 1,0. Za kon0.8
strukcije od "armiranih zidova" - kp=1,30. Za
0.7
vitke konstrukcije, sa periodom T>2 sekunde,
Kategorija
tla
III
0.60
0.6
kp = 1,6. Za konstrukcije sa "fleksibilnim priKategorija tla II
0.5 0.47
zemljem odnosno naglom promenom krutosti",
0.4
0.33
Kategorija tla I
k
p = 2,0.
0.3
0.9
Naziv koeficijent duktiliteta nije ba{
0.7
0.2
0.5
1.5
najbolji,
i brojno nema veze sa vrednostima
0.1
duktilnosti pomeranja iz prethodnih izlaganja.
0.0
O~igledno da je ekvivalent faktoru pona{anja
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Period (s)
q prema EC8 ugra|en u formulu (7.2), a da se
"faktorom duktiliteta" samo koriguje osnovna
Slika 7.1 Koeficijent dinami~nosti
vrednost.
Zbog nepotpunosti odredbe, u praksi se prakti~no svaka AB konstrukcija smatra
"savremenom", i usvaja najni`a vrednost kp . Prakti~no, ve}ina AB konstrukcija se projektuje
na isti nivo seizmi~kog optere}enja, {to je neopravdano.
Nije redak slu~aj da se u praksi za armiranobetonske zidove usvoji kp=1,3, {to je
nesporazum. "Armirani zidovi" su zidovi od opeke, oja~ani armaturom.
Jedan od razloga pove}anja seizmi~kog optere}enja za konstrukcije sa periodama
du`im od dve sekunde je obuhvatanje efekata vi{ih tonova oscilacija, analogno korekciji
spektralnih krivih prema EC8.
Procena da li konstrukcija te`i "fleksibilnom spratu" ili poseduje "naglu promenu
krutosti" ostavljena je projektantima. EC8 prakti~no zabranjuje fleksibilna prizemlja ili
spratove.
0,15S Gn
Raspodela ukupne seizmi~ke sile prema (7.1 ) vr{i se
Sn
linearno kao u EC8 za objekte do pet spratova, dok se za
vi{e objekte 85% ukupne sile raspodeljuje linearno, a
Gn
0,85S
ostatak od 15% se postavlja na vrh objekta, da bi se
G
Gi
Si
obuhvatili i efekti vi{ih tonova, slika 7.2.
i
Si
Prema YU81, uticaji zemljotresa se ra~unaju bez
kombinovanja istovremenih uticaja iz dva pravca.
Koeficijent sigurnosti za sva optere}enja koja ulaze u
a.
b.
S
S
seizmi~ku kombinaciju optere}enja je jedinstven i iznosi
g =1,3, bez obzira na iznos dilatacija armature. Ukoliko
Slika 7.2 Raspodela sile
7-2
stalno optere}enje deluje povoljno, treba proveriti i kombinaciju sa sni`enom vredno{}u
koeficijenta sigurnosti za stalno optere}enje g =1,0. Nije redak slu~aj u praksi da se
seizmi~ka dejstva tretiraju kao "ostala optere}enja" prema BAB-u /16/, {to je naravno
pogre{no.
Seizmi~ka kombinacija optere}enja obuhvata dejstvo stalnog, 50% korisnog i
optere}enje snegom, bez vetra. Propisi ne ukazuju da li se dejstva "ostalih optere}enja"
prema BAB-u /16/- temperatura, skupljanje betona, sleganje oslonaca itd. kombinuju sa
dejstvom zemljotresa. U praksi se obi~no ne kombinuju, ali ima argumenata i za i protiv, pri
~emu treba razlikovati problem kapaciteta nosivosti preseka od potrebnog kapaciteta
pomeranja, neoprenskih le`i{ta mostova, na primer.
Ovde su izlo`eni samo podaci potrebni za naredne analize. Ostali detalji prora~una i
konstruisanja bi}e prikazani uz primere, u Delu B.
7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81
Primer 7.1..........
Za lokaciju jednog objekta u Beogradu, nestandardnog okvirnog sistema, seizmi~kom
mikrorejonizacijom utvr|ena je vrednost maksimalnog o~ekivanog ubrzanja temeljnog tla, ag =
118 cm/sec 2 (12% ubrzanja zemljine te`e - g) za povratni period zemljotresa od 500 godina.
Objekat je druge kategorije kao i tlo. Sra~unati vrednost ukupnog seizmi~kog optere}enja prema
YU81 i EC8 ako je period oscilovanja konstrukcije u prvom tonu T=0,4 sekunde.
YU81
S=kG=ko ks kd kp G ³ 0,02G
ko=1,0 (druga kategorija objekta)
ks=0,25ag / g=0,25 x 118/981 = 0,03
kd=0,7/T=0,7/0,4=1,75>1
usvojeno kd =1,0, II-ga kategorija tla
kp=1,0 ("savremena armiranobetonska konstrukcija")
k=1,0x0,03x1,0x1,0=0,03
S=0,03G >0,02G
EC8
Kategorija tla B
T=0,4s < Tc = 0,6 s.
Fb = Sd W = aSb0 W/q ³ 0,2aW
a = ag /g = 118/981 = 0,12
S = 1,0 (kategorija tla B)
b0=2,5
(faktor
amplifikacije
ubrzanja tla)
Sd = 0,12x1,0x2,5/q = 0,30/q
a) Klasa visoke duktilnosti - DCH
kD = 1,0
q=5,0 x 1,0 = 5,0
Sd = 0,3/5,0 = 0,06 > 0,2a = 0,2 x
0,12 = 0,024
Fb = 0,06W ( = 2 x YU81)
b) Klasa niske duktilnosti - DCL
kD = 0,5
q=5,0 x 0,5 = 2,5
Sd = 0,3/2,5 = 0,12
Fb = 0,12W ( = 4 xYU81)
Okvirni sistem
q=q0 kD kR kW
q0 = 5,0
kR = kW = 1,0
q = 5 kD
7-3
Na slici 7.3 ilustrovan je nivo ukupnih seizmi~kih sila, prema EC8 i YU81, sa
oznakama prema YU81. Pretpostavljeno je da je elasti~ni odgovor konstrukije identi~an
prema oba propisa.
Uop{tenije, na slici 7.4 prikazane su vredS
d
Se
nosti ukupnog seizmi~kog koeficijenta prema oba
propisa /12/. Bez obzira na konceptualne, kao i
razlike u detaljima, nivo ukupnog projektnog
seizmi~kog optere}enja prema EC8 i YU81 je
uporedljiva veli~ina.Usvojene su slede}e vredDCL
nosti parametara prema EC8 (YU81):
S
DCM
kategorija zna~aja III (kategorija objekta
DCH
II); kategorija tla B (II); ag /g=0,20 (Ks=0,05).
YU81
S
Vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU81
d
potm d
iznosi Kp=1,0 (T1 £ 2s), odnosno Kp=1,6 (T1>2s).
dy
dm
Propis YU81 ne defini{e eksplicitno vrednost
Slika 7.3 Optere}enje prema EC8 i YU81
"faktora pona{anja" q, a nivo projektnog
optere}enja prakti~no je jedinstvena vrednost za sve "savremene armiranobetonske
konstrukcije".
0.6
12
0.5
Fb/W - Odnos EC8/YU81
Fb / W
0.4
q=2,50-DCL
q=3,75-DCM
0.3
q=1,00-"Elastic"
10
q=1,00-"Elastic"
q=5,00-DCH
0.2
q=? YU-81
0.1
q=2,50-DCL
8
q=3,75-DCM
6
q=5,00-DCH
4
2
0
0.0
0
1
2
Period (s)
3
a.
0
4
1
2
Period (s)
3
4
b.
Slika 7.4 a) Ukupni seizmi~ki koeficijent, b) odnos EC8/YU81
Zavisno od usvojene klase duktilnosti, projektno seizmi~ko optere}enje prema EC8
je dva (visoka duktilnost - DCH, q=5,0 ) do ~etiri puta (niska duktilnost - DCL, q=2,5 )
ve}e nego prema YU81, osim u podru~ju du`ih perioda, u kojem pove}ana vrednost
"koeficijenta prigu{enja" prema YU81, umanjuje razlike. Uz pretpostavku da je prema oba
propisa odgovor elasti~ne konstrukcije identi~an (q=1,0 prema EC8), "ekvivalentna
vrednost faktora pona{anja" ugra|ena u YU81 propise isnosi oko qYu81=10, "crtkasta" kriva
na slici 7.4.b.
Ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 svakako da podrazumeva
obezbe|enje visoke duktilnosti konstrukcije, vi{e nego prema EC8. U slu~aju konstrukcija
koje realno mogu da razviju visoku duktilnost (q=5-10 ), duplo ni`e projektno optere}enje
prema YU81 ne mora unapred da bude razlog za zabrinutost. Posledice su ne{to ve}i iznos
post-elasti~nih deformacija, samim tim i o{te}enja u zoni "plasti~nih zglobova". Prema
YU81, u pitanju je koncept "ni`eg standarda" obezbe|enja konstrukcija od o{te}enja pri
zemljotresu, sa manjim inicijalnim ulaganjima pri gra|enju, primeren ekonomskoj snazi
7-4
dru{tva. Me|utim, ni`i nivo projektnog optere}enja prema YU81 u odnosu na EC8 trebalo
bi da bude propra}en i stro`ijim konstrukcijskim zahtevima za obezbe|enje zahtevane
duktilnosti {to, po svemu sude}i nije slu~aj. Osim nekoliko zahteva u vezi detalja armiranja,
kao i izgleda dobro ocenjenog ograni~enja nivoa normalne sile u stubovima, s0 /bB £ 0,35,
na{i propisi daju na~elne stavove u vezi obezbe|enja duktilnog pona{anja konstrukcije, tako
da je, strogo uzev, samo vrlo obrazovan specijalista razumeo su{tinu propisa, i imao {ansu
da konstrui{e korektan objekat.
Problem je i to {to, prema YU81, ista vrednost faktora pona{anja, kao i isti
konstrukcijski zahtevi za obezbe|enje duktilnosti va`e za prakti~no sve konstrukcijske
sisteme zgrada, kao i sve nivoe aksijalnog naprezanja, - za "sve savremene armiranobetonske konstrukcije".
Deluje zbunjuju}e, i izaziva sumnju da YU81 propis nije "izbalansiran" u svim svojim
delovima, to {to je nivo optere}enja koji YU81 zahteva za "konstrukcije sa fleksibilnim
prizemljem ili spratom" (Kp=2,0 ), pribli`no jednak iznosu projektnog optere}enja za
konstrukcije visoke duktilnosti prema EC8. Pri tome treba imati u vidu da ovakve
"konstrukcijske sisteme" EC8 prakti~no zabranjuje. Najvi{i nivo projektnog optere}enja
prema YU81 zahtevan za "neregularne konstrukcije", jednak je najni`em nivou projektnog
optere}enja prema EC8, dozvoljenom za "savr{ene", regularne konstrukcije.
Primer 7.2..........
Uporediti kriterijume dozvoljenih pomeranja konstrukcija prema EC8 i YU81
H
Prema YU81, ra~unsko pomeranje d vrha zgrade pri projektnom zemljotresu, sa
povratnim periodom od 500 godina treba da je jednako ili manje od H/600, slika 7.5 /12/.
Uz pretpostavku paraboli~nog oblika deformacije, dozvoljeno pomeranje vrha zgrade od
H/600 defini{e maksimalni spratni nagib od tgb=1/300, slika 7.5. Ako vrednost faktora
pona{anja prema YU81 iznosi oko q=10, tada je realno pomeranje vrha zgrade deset puta
ve}e, tgb = 1/30.
Pri pribli`no dva puta manjem
d
d
d < H/600
ubrzanju i pomeranju, usled zemljotresa
sa povratnim periodom od 50 godina,
nagib iznosi pribli`no tgb=1/60, {to je oko
S
S
2 - 3 puta vi{e od nagiba dozvoljenog
prema EC8, tgb=0,004-0,006.
Manji iznos dozvoljenih pomea
a
ranja prema EC8 svakako da zna~i i
manja o{te}enja fasada i pregradnih zidova. Me|utim, ako se ima u vidu da iznos
pomeranja pri zemljotresu dominantno
a.
b.
zavisi od inicijalne krutosti "elasti~ne
konstrukcije", to posledice ovakvog zahteSlika - 7.5 Koncept dozvoljenih pomeranja prema va mogu biti dramati~ne - minimalna dozYU81.
voljena krutost konstrukcija prema EC8
je pribli`no dva puta ve}a nego prema YU81.
Za razliku od EC8, YU81 ne ukazuje eksplicitno kolika su "realna" pomeranja
konstrukcija pri zemljotresu, pa nisu retki slu~ajevi da se ra~unska pomeranja de na granici
elasti~nosti smatraju i realnim pomeranjima. Verovatno da u jugoslovenskoj praksi ima
propusta pri proceni realnih pomeranja, pri odre|ivanju potrebnih visina neoprenskih
le`i{ta, na primer.
7-5
LITERATURA uz Deo A
/1/
D.Ani~i}, P.Fajfar, B.Petrovi}, A.Szavits-Nossan, M.Toma`evi~, Zemljotresno
in`enjerstvo - visokogradnja, Gra|evinska knjiga, Beograd, 1990.
/2/
T. Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry
Buildings, John Wiley & Sons, New York, 1992.
/3/
B.]ori}, S.Rankovi}, R.Salati}, Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu,
1998.
/4/
A.K.Chopra, Dynamics of Structures - Theory and Applications to Earthquake
Engineering, Prentice Hall International, New Jersey, 1995.
/5/
Diana Finite Element Analysis, User's Manual, Release 7, TNO, Delft, 1998.
/6/
P.Fajfar, T.Vidic, M.Fischinger, On Energy Demand and Supply in SDOF Systems,
Nonlinear Seismic Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings, P.Fajfar,
H.Krawinkler editors, Workshop, Bled, Slovenia 1992., Elsevier Applied Science, London
1992.
/7/
E.Cosenza, G.Manfredi, A Seismic Design Method Including Damage Effects, 11th
European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 1998.
/8/
H.Bachman, A.Dazio, P.Lestuzzi, Developments in the Seismic Design of Buildings
with RC Structural Walls, 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema,
Rotterdam, 1998.
/9/
M.P.Collins, D.Michell, Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, New Jersey,
1991.
/10/ Pravilnik o tehni~kim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmi~kim
podru~jima, Slu`beni list SFRJ, Beograd, 1981, sa naknadnim dopunama
/11/ N.Stojanovi}, V.Alendar, M.A}i}, Seizmi~ki odgovor AB zidova slo`enog preseka,
Me|unarodni simpozijum povodom 30 godina Banjalu~kog zemljotresa, Banja Luka,
Republika Srpska, 26-27. oktobar 1999. g
/12/ V.Alendar, M.A}i}, "EC8 zemljotres" potresa Jugoslaviju, ~asopis Izgradnja, Beograd,
oktobar 1999., u {tampi.
/13/ Evrokod 8, Projektovanje seizmi~ki otpornih konstrukcija, Deo 1-1 do 1-3, R.Foli}
editor, Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997.
/14/ M.A}i}, M.Uli}evi}, S.Jankovi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog
betona, Gra|evinski kalendar 1998.
/15/ M.A}i}, M.Uli}evi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona - II
deo, Gra|evinski kalendar 1999.
/16/ Pravilnik o tehni~kim normativima za beton i armirani beton, Slu`beni list br. 07719/1, Beograd, 13.02.1986.
Vanja Alendar
PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH
ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA
KROZ PRIMERE
Deo B - Primeri sa komentarima
Vežbe u okviru kursa
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 2
na IX semestru odseka za konstrukcije
školske 2004/2005 godine
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu
Institut za materijale i konstrukcije
Beograd, novembar 2004.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 1
Simetrična okvirna konstrukcija temelja teške opreme sastoji se od armiranobetonske
platforme - roštilja greda, zglobno oslonjene na četri ugaona konzolna stuba. Za uticaje gravitacionih opterećenja, stubovi su centrično opterećeni relativno značajnim normalnim silama.
Rezultat formalnog proračuna prema YU81 propisima, za objekat u zoni niskog seizmičkog intenziteta je da računska armatura stuba nije potrebna, pa je usvojen minimalni
procenat armiranja.
U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori" analizira se šta se može realno
očekivati pri dejstvu zemljotresa. Primer je tako koncipiran da ukaže na važnu činjenicu da
nivo seizmičkog opterećenja nije determinisana veličina, analogna uticajima vetra na primer,
već da zavisi od odgovora konstrukcije na pomeranja tla.
U okviru ovoga primera prikazan je i koncept obezbeđenja potrebne duktilnosti
stubova prema EC8, utezanjem jezgra stuba uzengijama. Pored toga, ilustrovan je i pojam
efekata drugoga reda, kao i postupak realizacije koncepta programiranog ponašanja prema
EC8.
U okviru primera samo se ukazuje na dodatne zahteve koje YU81 ne sadrži, a deo su
regularne procedure prema EC8: pitanje torzionih efekata kod nominalno simetričnih
konstrukcija, kao i pitanje kombinovanja istovremenih dejstava zemljotresa iz dva upravna
pravca. Kako u ovom, tako i u ostalim primerima, nije prikazana numerička analiza ovih
efekata prema EC8, jer je složena a nije bitna za razumevanje osnovnih pojmova u vezi
odgovora armiranobetonskih konstrukcija na dejstvo zemljotresa.
1-1
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 1
Dimenzionisati stubove POS S okvirne konstrukcije platforme - temelja fiksirane opreme.
Proračun i konstruisanje detalja izvršiti preme domaćim pravilnicima /1/ i /2/.
A
0,40
0,40
5,0
S
5,0
5,0
5,0
5,0
0,40
5,0
15,0
Oprema
S
Oprema
H=2,25
0,40
dp=0,25
L=15,0
CM, CK
0,40
d=1,50
S
0,40
S
Presek A-A
Osnova
B=15,0
Slika 1.1 - Dispozicija konstrukcije (u metrima)
Podaci:
Ukupna težina opreme P= 1600kN
Objekat II kategorije
Tlo II kategorije
Područje VII stepena intenziteta zemljotresa
Uticaje vetra zanemariti (zatvoren objekat)
1.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE
H
Hp
Zm
Zk
Zo
em
Uz pretpostavku simetričnog rasporeda opreme u osnovi, geometrijske karakteristike
konstrukcije kao i raspored masa su dvoosno simetrični u osnovi. Zbog poklapanja centra
masa CM i centra krutosti CK, torzioni efekti u osnovi pri zemljotresu se zanemaruju /1/.
Uz pretpostavku zglobne veze platforme i stuba, horizontalnu stabilnost konstrukcije
obezbeđuju četri konzolna stuba, krutošću na savijanje. Konstrukcija je regularna u pogledu
rasporeda konstrukcijskih nosećih elemenata („rasporeda krutosti“) kao i masa u osnovi i po
visini. Prema Pravilniku YU81 /1/, analiza uticaja zemljotresa može da se izvrši metodom
„ekvivalentnog statičkog opterećenja“,
Ns
pretpostavljajući da zemljotres deluje u
CMo
Ns
d
S
d
CM
pravcu jedne, ili druge glavne ose konm S
strukcije objekta. Nivo naprezanja konCMk
strukcije pri zemljotresu kontrolisan je
'Plastični
nosivošću 'plastičnog zgloba' visine Hp,
zglob'
slika 1.2.
B
Pomeranje d mase određeno je deformacijom
savijanja stuba visine H, dok se
Slika 1.2 - Dinamički model konstrukcije
platforma i oprema translatorno pomeraju
CM0 , Z0 - centar mase opreme
CMk , Zk - centar mase konstrukcije
za isti iznos, slika 1.2.
CM, Zm - centar ukupne mase objekta
Uz pretpostavku da su AB platforma i
1-2
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
oprema jedinstveno kruto telo, horizontalna inercijalna sila S koja deluje u centru CM ukupne
mase m, izaziva promenu aksijalnog opterećenja stuba, NS=±Sem /B, koja se u ovom slučaju
zanemaruje. Dinamički model je konzola sa ukupnom masom m u vrhu stubova, slika 1.2.
1.2 ANALIZA OPTEREĆENJA I MASA
Sopstvena težina konstrukcije (zanemareni stubovi):
Ploča (dp= 25cm)
0,25´15,402´25
= 1482,3 kN
Grede (b/d= 40/150cm)
8´0,40(1,50-0,25)15´25 = 1500,0 kN
„odbijena ploča“↑
G= 2982,3 kN
Oprema
P= 1600,0 kN
Komentar: S obzirom da je oprema fiksirana, usvaja se da je u slučaju zemljotresa na
konstrukciji prisutno ukupno korisno opterećenje P.
Ukupna težina:
W=G+P= 2982,3+1600,0=4582,3 kN
Ukupna masa konstrukcije i opreme:
m= W/g= 4582,3/9,81= 467,1 kNs2/m
Aksijalno opterećenje stubova
Stalno opterećenje:
Ng= G/4= 2982,3/4 = 745,6 kN
Korisno opterećenje:
Np= P/4=1600,0/4 = 400,0 kN
Totalno opterećenje:
Nw= W/4= 4582,3/4 = 1145,6 kN
1.3 KONTROLA STUBOVA ZA UTICAJE GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA
Usvojeno: b/d= 40/40, MB 30 (βB= 20,5 MPa)
Vitkost stuba: λ= lk /imin= 2´2,25 12 /0,40= 39
0,688
0,349
0,454
Uticaji drugog reda sa efektima početne imperfekcije i tečenja betona stuba
u ovom slučaju se mogu zanemariti.
Granični uticaji u preseku stuba:
Nu=1,9Ng+2,1Np =
1,9´745,6+2,1´400,0 = 2256,6 kN
Mu ≈ 0
n= Nu /(bdβB)=
2256,6/(40´40´2,05)=0,688
C
B
m=
0
0,064
Dijagram interakcije br.115 /3/, tačka
A
„A“ na Dijagramu 1.1, → μ=0 .
Odgovara minimalni procenat armiDijagram 1.1 - Dijagram interakcije simetrično armiranog ranja μ≥0,6%(usvojeno), odnosno 4RØ19
pravougaonog preseka, a/d=0,1, sv=400MPa
(Fa= 11,32 cm2, μ= 0,71%> 0,6%).
1.4 DEJSTVO ZEMLJOTRESA
1.4.1 Kontrola uslova duktilnosti u oblasti plastičnog zgloba
Prema članu 61 Pravilnika /1/, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti u oblasti plastičnog zgloba, ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova:
σ0 /βB≤ 0,35 gde je σ0= N/F; βB= 0,7 βk
(1.1)
N≈Nw=1145,6 kN
- normalna sila usled gravitacionog opterećenja
F= b´d= 40´40=1600 cm2 - površina preseka betona
βk=30 MPa
- čvrstoća betona ~ MB
2
σ0=1145,6/1600=0,72 kN/cm
1-3
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
σ0 /βB= 0,72/(0,7´3,0)= 0,34< 0,35 - Uslov je zadovoljen
1.4.2 Računsko seizmičko opterećenje konstrukcije - S
Da bi se ograničio iznos nelinearnih, post-elastičnih deformacija konstrukcije pri zemljotresu, potrebna nosivost sistema na horizontalne uticaje prema članu 21 /1/ treba da je najmanje jednaka „ukupnoj horizontalnoj seizmičkoj sili S“:
S= KW
(1.2)
gde je:
W= 4582,3 kN
- ukupna težina objekta
K= k0 ks kp kd
- „ukupni seizmički koeficijent“
k0= 1,0
- „koeficijent kategorije objekta“ (II kategorija)
ks= 0,025
- „koeficijent seizmičkog intenziteta“ (VII zona)
kp= 1,0
- „koeficijent duktiliteta“ (savremena AB konstrukcija)
kd= 0,7/T
- „koeficijent dinamičnosti“ (II kategorija tla)
d
EI
H
m
P=1,0
Slika 1.3 - Određivanje
perioda oscilovanja
Period oscilovanja T, slika 1.3:
T= 2p md
m= 467,1 kNs2/m (ukupna masa)
d= 1´H3/(3EI)
pomeranje mase usled jedinične horizontalne sile P=1
MB30→E= 3,15´107 kN/m2
Četri stuba: b/d= 40/40→I= 4´0,404/12= 8,53´10-3 m4
EI= 3,15´107´8,53´10-3= 2,688´105 kNm2
H= 2,25 m
d= 1´2,253/(3´2,688´105)= 1,412´10 -5 m
T= 2p 467,1 ´ 1, 412 ´ 10-5 = 0,51 s
Koeficijent dinamičnosti
Kd= 0,7/0,51> 1,0 → usvojeno Kd= 1,0
Ukupni seizmički koeficijent K:
K= 1,0´0,025´1,0´1,0= 0,025> minK=0,02 (član 23)
Ukupna projektna seizmička sila S:
S= 0,025´4582,3= 114,6 kN
(1.3)
(1.4)
(<2,0 s član 27)
1.4.3 Kontrola „pomeranja“ konstrukcije pri zemljotresu
Računsko „pomeranje“ pri zemljotresu iznosi:
d= Sd = 114,6´1,412´10 -5= 1,6´10 -3 m< H/600= 2,25/600= 3,75´10 -3 m
Komentar: S obzirom da konstrukcija nema pregradnih zidova i fasada koje bi se mogle
oštetiti pri zemljotresu, navedeni dokaz je u ovom slučaju verovatno formalan (član 16).
Voditi računa da su sračunata 'pomeranja' samo uporedna veličina, i ne pretstavljaju realna
pomeranja pri zemljotresu, koja su znatno veća. Otuda i znaci navoda.
1.4.4 Dimenzionisanje preseka stuba
Presek stuba b/d= 40/40; MB30; RA400/500
Komentar: glatka armatura GA danas se uglavnom koristi za uzengije
Aksijalno opterećenje:
N= Nw= 1145,6 kN
Moment savijanja u uklještenju jednog stuba usled zemljotresa:
Ms= SH/4= 114,6´2,25/4= 64,5 kNm
1-4
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Granični uticaji (član 15, γ= 1,30)
Kombinacija 1, Nw deluje 'nepovoljno'
Nu= 1,3Nw= 1,3´1145,6= 1489,3 kNm
Mu= 1,3Ms= 1,3´64,5= 83,8 kNm
n= Nu / bdbB=1489,3/40232,05= 0,454
m= Mu /bd2bB=83,8´102/40332,05= 0,064
Kombinacija 2, Nw deluje 'povoljno'
Nu= 1,0Nw= 1,0´1145,6= 1145,63 kNm
Mu= 1,3Ms= 83,8 kNm
n= 1145,6/40232,05= 0,349
m= 0,064
Potreban „mehanički procenat armiranja“ iznosi μ=0 !
Usvojeno: 4RØ19 (μ= 0,71%)
Tačka B na Dijagramu 1.1
Tačka C na Dijagramu 1.1
1.4.5 Kontrola uticaja transverzalnih sila
Transverzalna sila jednog stuba
Qs= S/4=114,6/4 =28,6 kN
Granična vrednost transverzalne sile (γ=1,3)
Qu= γQs= 1,3´28,6= 37,2 kN
Najveća dozvoljena vrednost transverzalne sile prema BAB-u, član 92 /2/, ograničena je
dozvoljenom vrednošću „nominalnog napona smicanja“ τn preseka, koji treba da je manji od
vrednosti 5τr.
MB30→τr=1,1 MPa
(BAB, član 89 /2/)
tn= Qu /(bz)= 37,2/(40´32,0)= 0,03 kN/cm2= 0,3 MPa< 5τr =5,5 MPa
Komentar: Ograničenjem „napona smicanja“ u stvari se ograničava maksimalna
dozvoljena veličina transverzalne sile, kako bi se sprečio lom pritisnute dijagonale modela
rešetke. U slučaju stubova, normalna sila pritiska stuba u ovom slučaju deluje nepovoljno, što
algoritam BAB-a ne uvažava.
Proračunske uzengije stuba Četiri, do sada poznata razloga zbog čega su uzengije stubova korisne, su:
-osiguranje od loma usled transverzalnih sila;
-utezanje preseka betona i povećenje duktilnosti;
-„podupiranje“ vertikalne armature i sprečavanje njenog izvijanja;
-„poprečno armiranje“ nastavaka vertikalne armature.
Tri poslednja efekta su sadržana u BAB-u /2/, odnosno Yu81 /1/ u vidu pravila za armiranje (maksimalni razmak, odnosno minimalni dozvoljeni prečnik uzengija), dok je prvi razlog nejasno naveden u članu 63 Yu81 /1/: „ako se analiza sistema konstrukcije vrši dinamičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim zglobovima pokriva se isključivo
poprečnom armaturom“.
Komentar: Član 63 odnosi se na okvirne konstrukcije i naveden je nakon dva člana koji
se odnose na stubove. Zanemarenje nosivosti betona bez obzira na veličinu nominalnog napona smicanja tn (videti BAB, slučaj tr <tn< 3tr...) tipično je za osiguranje oblasti plastičnih
zglobova greda visoke duktilnosti (što je implicitno ugrađeno u Yu81). U ovom primeru,
zahtev stava 63 usvojen je za oblast plastičnog zgloba-uklještenja stuba, iako nije primenjen
„dinamički postupak“ analize.
Dužina Hp plastičnog zgloba je reda veličine Hp ≈ 0,5d, dok se posebni zahtevi za
armiranje u stvari odnose na nešto širu „kritičnu oblast“ dužine hcr, sl. 1.4. Prema Yu81, hcr=
1,0 m, član 62.
1-5
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Mu
Qu
mfusv
s
~z
Nu
45
Hp
mfusv
hcr
mfusv
Za
a=4,5
Db
z
h=35,5
d=40,0
Slika 1.4.a - Ilustracija loma stuba
usled zemljotresa
Slika 1.4 - Osiguranje od loma
transverzalnim silama
7x15=105
URf8/15
225
2,5
40
13x7,5=97,5
URf8/7,5
4Rf19
20
Uz pretpostavku pojave kose prsline pod uglom q= 45°, potrebna proračunska horizontalna armatura iznosi, slika 1.4:
ΣX= 0 → (mfuσv)z/s= Qu
(1.5)
gde su:
z ≈ 0,9h= 0,9´35,5= 32,0 cm
- krak unutrašnjih sila
m= 2
-„sečnost uzengija“
2
fu= 0,5 cm
-površina preseka
uzengije (RØ8)
σv= 400 MPa
-granica razvlačenja
čelika (RA)
Qu= 37,2 kN
-granična vrednost
transverzalne sile
Maksimalni razmak uzengija RØ8 (m=2):
s £ zmfuσv /Qu= 32,0´2´0,5´40,0/37,2= 34,4 cm
Prema članu 62, maksimalni razmak uzengija iznosi 15 cm,
dok se „u blizini čvorova, na dužini 1,0 m, razmak dvostruko
smanjuje“.
Usvojeno: URØ8/15 (7,5)
Uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka-član 62
Yu81 /1/. Videti i komentar 6.17-deo A.
Komentar: Prema članu
65
Yu81, „armatura se
a0=2,5
4Rf19
nastavlja
van područja
URf8
plastičnih zglobova“, videti i član 191 BAB-a! S ob40
zirom na malu visinu stuba, podužna armatura se
Slika 1.6 - Armatura stuba
Slika 1.5 - Armatura stuba - presek
1-6
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
može izvesti bez nastavljanja, POS 1 na slici 1.6.
Nastavljanje armature van plastičnih zglobova, praktično na polovini visine stuba je komplikovano za izvođenje, konačno, osim na vezi sa temeljom, plastični zglobovi u stubovima se
izbegavaju (teorija). U praksi se ovaj zahtev često ignoriše, ili se 50% armature nastavlja u
jednom presku. EC8 podržava ovakva rešenja, ali zahteva odgovarajuće poprečno armiranje
uzengijama u zoni nastavka vertikalne armature.
1.5 PITANJA I ODGOVORI
1.5.1 Zbog velike normalne sile i malog momenta usled seizmičkog opterećenja, nije potrebna
proračunska armatura, poglavlje 1.4.4. Šta bi se desilo da je usvojen nearmiran stub, i šta će da
se dogodi sa ovako armiranom konstrukcijom pri zemljotresu?
Ukratko, nearmirana konstrukcija će možda da se sruši, dok će realno seizmičko opterećenje armirane konstrukcije biti veće od propisima zahtevanog, izraz (1.2) na str. 1-4. Seizmičko opterećenje nije determinisana veličina, ono zavisi od odgovora konstrukcije na pomeranja tla.
Kako bi na zemljotres odgovorila nearmirana konstrukcija koja ima dovoljnu nosivost da
prinudna pomeranja usled zemljotresa izdrži u granicama elastičnog ponašanja materijala?
Prema EC8 /4/, uslovima ovoga zadatka odgovara tlo kategorije B (S= 1,0), objekat III
kategorije (faktor značaja γI = 1,0), dok za maksimalno ubrzanje tla u zoni VII stepena intenziteta od ag= 0,10g, vrednost odnosa a iznosi α =ag /g= 0,10.
Za sračunatu vrednost perioda oscilovanja
Se (T)
T= 0,51s, ordinata elastičnog spektra ubrzanja
iznosi, slika 1.7:
aSb0
Prigušenje 5%
Se(T)= αSβ0= 0,10´1,0´2,5 =0,25
Tlo kategorije B
a seizmičko opterećenje pri elastičnom odgovoru konstrukcije iznosi:
Fe=SeW=0,25´4582,3=1145,5 kN
= 10´S(Yu81)!, (poglavlje 1.4.2)
„Realno“
maksimalno pomeranje elastične konaS
strukcije iznosi:
de=Fed =1145,5´1,412´10-5= 0,016 m
T=0,51
T (s)
gde je d pomeranje usled „jedinične sile“, poTb=0,15
Tc=0,60
glavlje 1.4.2. Transverzalna sila i momenat savijanja jednog stuba iznose:
Slika 1.7 - Elastični spektar
Qse= Fe /4= 1145,5/4= 286,4 kN
(videti i sl.6.2, 6.3 - deo A)
Mse= QseH= 286,4´2,25= 644,3 kNm
Pri normalnoj sili u preseku Nw=1145,6 kN (poglavlje 1.2), ekscentricitet iznosi
e= Mse /Nw= 644,3/1145,6= 0,56 m > d/2= 0,40/2= 0,20m (sila je van preseka)
Nearmirani stub bi se srušio, ili bi se, nakon iscrpljenja nosivosti betona na zatezanje i
faktičkog loma preseka, oformio „krti“ mehanizam zasnovan na trenju. Prema tome, stub
mora da bude armiran, jer je to preduslov formiranja duktilnog mehanizma.
Šta će se „stvarno“ dogoditi pri zemljotresu? Ako se usvoji „koncept jednakih pomeranja“ (strana 6-18, deo A), onda konstrukcija treba da izdrži sračunato pomeranje de= 16 mm.
Na slici 1.8 prikazan je dijagram moment-krivina preseka prema slici 1.5 (4RØ19,
μ=0,71 %, Nu=1145,6 kN, maxεa= 30‰). Moment nosivosti preseka iznosi Mu= 217,1 kNm.
Seizmičko opterećenje konstrukcije, pri istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti
plastičnih zglobova četri stuba iznosi:
1-7
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
FCD= 4Mu /H= 4´217,1/2,25= 386,5 kN
(= 0,084W=3,37S, poglavlje 1.4.2)
Odgovarajuća transverzalna sila jednog stuba iznosi
Qu= 386,5/4= 96,6 kN
što je još uvek manje od nosivosti uzengija URØ8/7,5
Qm =zmfuσv /s= 32,0´2´0,5´40/7,5= 136,5 kN
M(kNm)
F(kN)
Mu=217,1
1145,5
75%Mu
=163
2
k(1/m)
ky~0,0090
386,5
3
114,5
YU81 1
ku=0,02028
Slika 1.8 - Moment-krivina preseka
1,6
d(mm)
16,0
Slika 1.9 - Odgovor konstrukcije, sila-pomeranje
H=2,25m
Hp~0,20m
Računski odgovor konstrukcije, „prema propisima“, prikazan je linijom 1, odgovor elastične konstrukcije linijom 2, a „realni“ odgovor linijom 3 na slici 1.9.
Može li konstrukcija da izdrži pomeranje de= 16mm,
dm
ako su dilatacije betona odnosno čelika ograničene na
εb=3,5 ‰ odnosno εa=30‰ (usvojeno, jer se u slučaju
F
zemljotresa dozvoljavaju povećane dilatacije čelika)?
Prema slici 1.8, maksimalna krivina preseka iznosi κu=
Tok krivina
0,02028
1/m, a krivina „na granici elastičnosti“ (uz bilipreseka-k
nearnu aproksimaciju) κy= 0,009 1/m. Sa dužinom plastičnog zgloba Hp≈0,5d=0,5´0,40=0,2 m, slika 1.10, pomeranje vrha pri dostizanju kapaciteta deformacija iznosi
dm= (0,5 κyH)´2H/3+Hp(κu- κy) (H-0,5Hp)=
(0,5´0,009´2,25)2´2,25/3+
0,20(0,02028-0,009)(2,25-0,5´0,20)
=0,0076+0,0048=0,012
m=12 mm< de= 16mm
ky
ku
Kapacitet deformacija je nedovoljan. Treba povećati ili
nosivost (κy) ili duktilnost krivine (κu /κy) - na projektantu
Slika 1.10 - Deformacija konstrukcije
je da utvrdi „optimalni balans nosivosti i duktilnosti“.
1.5.2 Ako je, uz minimalni procenat armiranje, nosivost konsturkcije veća od propisima zahtevane (FCD>S), može li se izbeći „utezanje preseka“ i obezbediti „elastični odgovor“ minimalno
armirane konstrukcije pri zemljotresu?
Prema EC8, minimalna vrednost realno obezbeđenog faktora ponašanja iznosi
odnosno, nivo seizmičkog opterećenja nema potrebe usvajati većim od
maxFd£ maxSdW= SeW/mnq= SeW/1,5= 0,67SeW
U konkretnom slučaju
Fd=0,67´0,25´4582,3= 767,5 kN
Normalna sila i momenat jednog stuba tada iznose:
1-8
minq=1,5,
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Nw= 1145,6 kN
Ms= 767,5´2,25/4= 431,7 kN
Sa vrednostima koeficijenata sigurnosti γ= 1,0 za normalnu silu, i γ= 1,3 za moment
savijanja, potrebna ukupna armatura preseka 40/40 cm, armiranog ravnomerno po obimu
iznosi potFa= 100 cm2, μ= 6,25%. Prema BAB- u, član 189, maksimalni dozvoljeni procenat
armiranja je 6%, dok savremeni seizmički propisi procenat armature pritisnutih elemenata
ograničavaju na oko 4,0%. Prema tome, potrebna nosivost za elastični odgovor konstrukcije
ne može da se obezbedi sa usvojenom armaturom, pa ni sa eventualno maksimalno dozvoljenom armaturom u preseku.
1.5.3 Pa dobro, jesu li uzengije URØ8/7,5 prema slici 1.5 dovoljne da obezbede potrebno utezanje preseka i povećenje kapaciteta deformacija?
Na ovo pitanje Yu81 ne daje odgovor, pa da vidimo šta kaže EC8, na primer /4/.
Rešetka vertikalne armature i uzengija sprečava jezgro betona da ne „iscuri“, ali samo u
čvorovima u kojima rezultanta zatezanja uzengija „podupire“ vertikalnu armaturu - „gura je
prema jezgru“. Između čvorova se formira svod. Na slici 1.11, takvih čvorova ima n=8. Ako
bi presek imao samo uzengiju POS 1, tada je n=4, manja je „globalna efikasnost utezanja
uzengijama“- α. Za nešrafiranu, neutegnutu masu betona pretpostavlja se da može da otpadne
nakon par ciklusa visokih dilatacija betona, slika 1.11.b.
2
1
bc
bi
n=8
b0
a0
d0
dc
a.
b.
Slika 1.11 - Mehanizam utezanja betona
Ako stub treba da zadovolji traženu vrednost „konvencionalnog faktora duktilnosti
krivine-CCDF“, potrebno je da su istovremeno obezbeđeni sledeći uslovi:
αwwd≥ k0μ1/rνdεsy,d(0,35AC/AO+0,15)-10εcu
(1.6a)
wwd≥ wwd,min
(1.6b)
gde je:
V f
wwd= h yd
- mehanički zapreminski koeficijent armiranja uzengijama
V0 f cd
Vh
- zapremina sloja uzengija na razmaku s
V0
- zapremina utegnutog jezgra betona visine s
fyd= fyk /γs
- projektna granica tečenja čelika (videti 6.16- deo A)
fcd= fck /γc
- projektna čvrstoća betona (videti 6.16- deo A)
wwd,min
-minimalna dozvoljena vrednost wwd
(= 0,13/0,09/0,05 za DCH/M/L)
1-9
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
νd= Nsd /(ACfcd)
- normalizovana proračunska aksijalna sila
(νd£ 0,55/0,65/0,75 za DCH/M/L)
μ1/r
- zahtevana vrednost CCDF
= 13/9/5 za stubove DCH/M/L
= q2 za 'samostalne zidove' (q - faktor ponašanja)
= 0,8q2 za 'spojene zidove'
εsy,d
- proračunska vrednost dilatacije zatezanja čelika na granici
tečenja
(za RA 400/500, εsy,d ≈ 0,02/γs; γs=1,15)
AC= bcdc
- ukupna površina preseka betona
AO= b0d0
- površina preseka utegnutog jezgra
εcu= 0,0035
- nominalna granična dilatacija betona
k0
- koeficijent (= 55/60/65 za DCH/M/L)
α=αnαs
- 'globalna efikasnost utezanja uzengijama'
Za pravougaoni presek, vrednost parametara a iznosi
αn= 1 - å b 2i / 6 Ao
i
bi
s
αs= (1-s/2b0 )2
- rastojanje uzastopnih „pridržanih“ podužnih šipki armature,
slika 1.11.a
- razmak uzengija
bc=40
b0=34,2
Konačno, primer.
b0= d0= 40-2(2,5+0,8/2)= 34,2 cm
bi= 40-2(2,5+0,8+1,9/2)= 31,4 cm
uRf8/7,5
MB30 prema BAB-u približno odgovara
C25/30 po EC2. /5/
4Rf19
a0=2,5
Domaći propisi podrazumevaju konstrukciju visoke duktilnosti (videti 7.3-deo A). Odgovara klasa visoke duktilnosti-DCH prema EC8.
DCH → wwd,min= 0,13
Obezbeđeno wwd :
bi=31,4
4,3
4,3
fyd= fyk /γs= 400/1,15= 342,8 MPa
d0=34,2
fcd= fck /γc= 25/1,50= 16,67 MPa
Vh= 4´34,2´0,5= 68,4 cm3 (RØ8, fu= 0,5 cm2)
dc=40
V0= 34,22´7,5= 8772,3 cm3
Slika 1.12 - Varijanta utezanja uzengijama
68, 4 342,8
wwd=
= 0,16> wwd,min= 0,13
8772,3 16, 67
Obezbeđeno wwd veće je od minimalnog, izraz 1.6.b, ali, da li je dovoljno, izraz 1.6.a?
AC= 402= 1600 cm2
A0= 34,22= 1169,64 cm2
4 ´ 31, 4 2
αn= 1 = 0,438
6 ´ 1169, 64
7,5
αs= (1 )2 = 0,793
2 ´ 34, 2
α= 0,438´0,793= 0,347
Nsd= 1145,5 kN (γ=1,0)
1-10
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
bc=40
bi
bc=40
bi=34,2/2=15,7
b0=34,2
4
~2
νd= 1145,5/(1600´1,67)= 0,43 < 0,55 (DCH)
(Zadovoljeno)
DCH → k0= 55; μ1/r= 13
εsy,d= 0,002/1,15= 0,0017
(1.6.a)→
0,347´wwd≥ 55´13´0,43´0,0017(0,35´1600/1169,6+0,15)-10´0,0035≥ 0,294
wwd≥ 0,294/0,347= 0,847> 0,16!
(Nedovoljno utezanje!)
Jedna uzengija nije dovoljna. Da bi se povećao broj uzengija, treba promeniti koncept
armiranja podužnom armaturom, slika 1.13, Fa= 12,32 cm2, μ= 0,77% - 8RØ14
8 ´ 15, 7 2
αn= 1 = 0,719
6 ´ 1169, 64
uRf/7,5
αs= 0,793 (s=7,5)
α= 0,719´0,793= 0,570
wwd≥ 0,294/0,57= 0,516> 0,16
8Rf14
Ovo počinje da nervira, može li se povećati
prečnik uzengija, na istom razmaku s= 7,5 cm?
f (4 ´ 34, 2 + 4 ´ 24, 0) 347,8
wwd= u
= 4,155 fu /s
16, 67
s ´ 34, 22
d0=34,2
4,155fu /s≥ 0,516 odnosno, fu /s> 0,124
dc=40
za s= 7,5 cm → potfu= 0,124´7,5= 0,93 cm2
odgovara: 2URØ12/7,5
Slika 1.13 - Varijanta utezanja uzengijama
Najveći prečnik uzengije ne bi trebalo usvajati
veći od Ø12, bar ne kod standardnih preseka elemenata konstrukcija zgrada. Da bi se smanjio prečnik, treba povećati broj uzengija, ali i podužnih
šipki, slika 1.14!
Fa= 13,56 cm2, μ= 0,847%, 12RØ12
12Rf12
(Ø12 je minimalni dozvoljeni prečnik
podužne armature stubova)
12 ´ 10, 47 2
= 0,813
αn= 1 6 ´ 1169, 64
αs= 0,793 (s=7,5)
bi=31,4/3=10,47
α= 0,813´0,793= 0,644
dc=40
wwd≥ 0,294/0,644= 0,456> 0,16
Slika 1.14 - Varijanta utezanja uzengijama
f u (8 ´ 34, 2 + 4 ´ 10, 47) 347,8
= 5,627fu /s> 0,456
16, 67
s ´ 34, 22
→ fu /s≥ 0,081
za s= 7,5 → fu≥ 0,60 cm2 (> 0,5 cm2; RØ8)
Ima mišljenja da su zahtevi EC8 prestrogi (?), pa se konačno usvaja: 3URØ8/7,5 (do
daljeg). Prema EC8, visina hcr „kritične oblasti stuba“ iznosi
Hcr= max{1,5dc; lcl /5; 600 mm}
= max{1,5´40; 225/5; 60 }= 60 cm
gde je lcl - čista visina stuba, između greda/temelja.
wwd ≈
1.5.4 Domaći pravilnik Yu81 /1/ podrazumeva da je konstrukcijskim detaljima obezbe đena
visoka duktilnost konstrukcije (DCH prema EC8). U konkretnom primeru, rezultat je stub prevelike nosivosti (malo proračunsko seizmičko opterećenje), ali i sa visokim zahtevima za obezbe1-11
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
đenje pretpostavljene duktilnosti (visoki nivo aksijalnog opterećenja). Da li koncept EC8 možda
dozvoljava povoljnija rešenja detalja armature?
Za razliku od Yu81, EC8 projektantu nudi tri nivoa projektnog seizmičkog opterećenja,
za tri nivoa obezbeđene duktilnosti konstrukcije- DCH/M/L. Viša klasa duktilnosti dozvoljava
niži nivo seizmičkog opterećenja, ali su zahtevi za konstruisanje detalja armature strožiji.
U konkretnom primeru, nivo proračunskog opterećenja je nizak, pa je armatura usvojena
na osnovu kriterijuma minimalnog procenta armiranja- nosivost preseka stuba i konstrukcije
je znatno veća od zahtevane, videti i sl. 1.9. Veća nosivost podrazumeva i nižu potrebnu duktilnost, efekat je isti kao da je konstrukcija svesno dimenzionisana za viši nivo opterećenja,
odnosno da je usvojena niža klasa duktilnosti. Ako je tako, onda se mogu ublažiti i problemi
sa obezbeđenjem zahtevane duktilnosti utezanjem preseka. Možda se nosivost i duktilnost
mogu pametnije izbalansirati?
Prema EC8, proračunsko seizmičko opterećenje Fd (analogno S prema Yu81), za konstrukcije sa periodom oscilovanja TB< T= 0,51 s< TC iznosi, slika 1.7
Fd= Fe /q= αsβ0W/q
(1.7)
gde je q - „faktor ponašanja“, čija vrednost zavisi od obezbeđene duktilnosti konstrukcije
q= q0 kD kR kW (videti 6.5- deo A)
Za okvirne konstrukcije q0= 5,0 („osnovna vrednost“), dok je u konkretnom slučaju kR= 1,0 i
kw= 1,0 (videti 6.5-deo A)
a.) Varijanta DCH- klasa visoke duktilnosti
kD= 1,0 → q= 5,0´1,0= 5,0
(α= 0,10; s= 1,0; β0= 2,5)
Fd= 0,1´1,0´2,5´4582,3/5,0= 0,05´4582,3= 229,1 kN (= 2´SYu 81)
Uticaji u jednom stubu
NW= 1145,6 kN
Qs= 229,1/4= 57,3 kN
Ms= 57,3´2,25= 128,8 kNm
Na osnovu uticaja prema EC8, za dimenzionisanje je usvojen, jednostavnosti radi,
BAB- koncept (nije bitno za razumevanje osnovne teme - uticaji zemljotresa).
Nu= 1,0´1145,6= 1145,6 kN
(Nw - deluje „povoljno“)
Mu= 1,3´128,8= 167,4 kNm
n= 1145,6/4022,05= 0,349
m= 167,4´102/4032,05= 0,127
B
0,171
→ tačka A, Dijagram 1.2
A
pot μ=0,052
0,127
0,349
potμ= m f B
Dijagram 1.2 - Dijagram interakcije simetrično armiranog
pravougaonog preseka, a/d=0,1, sv=400MPa
/sv =
0,052´20,5/400= 0,0027= 0,27%
Prema EC8, minimalni procenat armiranja stubova konstrukcija u seizmičkim područjima je minμ= 1,0%.
Odgovara: 8RØ16
(Fa= 16,08 cm2, μ≈1%)
b.) Varijanta DCM- klasa srednje duktilnosti
kD= 0,75 → q= 5,0´0,75= 3,75
Fd= 0,1´1,0´2,5´4582,3/3,75= 0,067´4582,3= 307,0kN (= 2,67´SYu 81)
1-12
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
0,349
Uticaji u jednom stubu
NW= 1145,6 kN
Qs= 307,0/4= 76,2 kN
Ms= 76,7´2,25= 172,7 kNm
Mu= 1,3´172,7= 224,5 kNm
n= 0,349
m= 224,5´102/4032,05= 0,171
→ tačka B, dijagram 1.2
pot μ=0,195 → potμ= m f B / s v = 0,195´20,5/400= 0,01= 1%
Odgovara: 8RØ16 (Fa= 16,08 cm2, μ≈1%)
c.) Varijanta DCL- klasa niske duktilnosti
kD= 0,5 → q= 5,0´0,5= 2,5
Fd=0,1´1,0´2,5´4582,3/2,5=
0,1´4582,3= 458,2kN (= 4´SYu 81)
Uticaji u jednom stubu
NW= 1145,6 kN
Qs= 458,2/4= 114,6 kN
Ms= 114,6´2,25= 257,7 kNm
Mu= 1,3´257,7= 335,1 kNm
A
0,255
n= 0,349
m= 335,1´102/4032,05= 0,255
→ tačka A, dijagram 1.3.
pot μ=0,5 → potμ= m f B / s v =
0,5´20,5/400= 0,026=2,6 %
Dijagram 1.3 - Dijagram interakcije simetrično armiranog
Odgovara: 12RØ22
pravougaonog preseka, a/d=0,1, sv=400MPa
(Fa= 45,6 cm2, μ≈2,85%)
Obezbeđenje zahtevane duktilnosti preseka- parametarska analiza
Postupkom prikazanim u delu 1.5.3, sračunata je i na slici 1.15 prikazana zavisnost potrebnog mehaničkog procenta utezanja uzengijama wwd u zavisnosti od nivoa normalizovane
aksijalne sile νd= Nsd /(ACfcd) kao i klase duktilnosti konstrukcije, za tri sheme armiranja
preseka.
Zapreminski procenat armiranja - wwd
1.4
DCH
DCM
DCL
1.2
1.0
1
1
1
0,847
0.8
0.6
0,516
0.4
0,456
2
3
2
2
3
0.2
0,130,09
0,55
0,05
0.0
0.1
1
2
3
0.2
0.3
0,43
0.4
0.5
0.6
Normalizovana sila - nd
0,65
0.7
0,75
0.8
Slika 1.15 - Potrebno wwd za presek 40/40; C25/30; S400
1-13
3
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
bc=40
uRf10/9
dbL
8Rf16
dc=40
Slika 1.16 - Shema armiranja - DCM
Za definitivno rešenje detalja armature stuba
usvaja se shema armiranja 2 na slici 1.15, kao i nivo
seizmičkog opterećenja srednje klase duktilnostiDCM, slika 1.16.
Za νd=1145,6/1600´1,67= 0,43 → pot wwd=0,37
Prema EC8, maksimalni razmak uzengija u
kritičnoj oblasti stuba klase DCM iznosi
s= min{b0/3; 150 mm; 7dbL}
= min{400/3; 150; 7´16}= 112 mm
dok je dužina kritične oblasti
lcr= max{1,5dc; lcl /6; 450 mm}
= max{1,5´400; 2250/6; 450 }= 600 mm
Za shemu armiranja prema sl. 1.16 već je sračunata
potrebna vrednost wwd
wwd= 4,155fu /s≥ potwwd= 0,37
za URØ12 (fu= 1,13 cm2) → s£ 12,7 cm
za URØ10 (fu= 0,79 cm2) → s£ 8,9 cm
Usvojeno: 2URØ10/9
1.5.5 Pa zar konstrukcija iz ovog primera nije upravo primer 'fleksibilnog sprata' ili 'mekog
prizemlja', što EC8 'praktično zabranjuje', videti 5.3- deo A?
Pa jeste, ali u ovom slučaju i nema drugog rešenja da se smanji nivo seizmičkog opterećenja, osim putem formiranja upravo mehanizma „fleksibilnog sprata“!
Fleksibilni sprat
d(t)
G
Fleksibilni sprat
G
Fleksibilni sprat
Fleksibilni sprat
a.
Fleksibilni sprat
Fleksibilni sprat
c.
b.
A.
B.
Slika 1.17 - Plastični mehanizmi sa zglobovima na oba kraja svih stubova jednog sprata. Prema EC8, prva tri
slučaja su dozvoljena, ali ne i slučajevi A i B
H
S obzirom da su u pitanju ciklična pomeranja a ne uticaj determinisane statičke sile u
jednom smeru, mehanizam „smicanja sprata“ je dozvoljen, ali treba proveriti efekte „drugog
reda“! (videti 6.14- deo A).
Za slučaj konstrukcije klase duktilnosti DCM prema EC8, prethodni primer:
Ptot
Ptot= W= 4582,3 kN
d
Vtot= Fd= 307,0 kN
Vtot
δ= de= 16 mm
H= 2250 mm
gde je δ „realno“ spratno pomeranje (videti i 6.19- deo A)
Slika 1.18 - Efekti II reda prema EC8
1-14
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
((6.11)- deo A)→
θ= Ptot´ δ/( Vtot´H)= 4582,3´16/(307,0´2250)= 0,11> 0,10
Prema EC8, kada je vrednost „koeficijenta osetljivosti sprata na relativno pomeranje“- θ
veća od 0,10, potrebno je u proračun uvesti i efekte drugog reda, uvećanjem proračunskog
opterećenja Fd*> Fd
Fd*= Fd /(1-θ) (0,1< θ£ 0,2)
(1.8)
maxθ= 0,3
Fd*= Fd /(1-0,11)= 1,12Fd=1,12´307,0=345,0 kN
Ceo postupak dimenzionisanja konstrukcije trebalo bi ponoviti sa uvećanim seizmičkim
opterećenjem, prema tome ovaj kriterijum treba proveriti na samom početku proračuna.
Slika 1.19-Velika oštećenja konstrukcije usled efekta
fleksibilnog prizemlja (Japan 1995)
Slika 1.20-Kolaps konstrukcije usled efekta fleksibilnog
prizemlja (Turska 1999)
Na slikama 1.19-1.21 prikazani su primeri efekata zemljotresa na konstrukcije sa
fleksibilnim prizemljem/spratom. Fleksibilno
prizemlje je slučaj konstrukcija koje u prizemlju imaju samo stubove, dok je gornji deo
konstrukcije krući, zbog prisustva zidova.
Ovakva rešenja tipična su za objekte sa višestrukom namenom - prizemlja su otvorena
zbog obezbeđenja poslovnog prostora ili garaža, dok su gornji delovi stambeni, sa mnoštvom zidova. Ovakvi slučajevi se mogu reaSlika 1.21-Kolaps četvrtog sprata usled efekta
lizovati, ali uz pažljiviju analizu, koja prevafleksibilnog sprata (Japan 1995)
zilazi uputstva data u standardnim propisima.
U suprotnom, mogu da nastanu velika oštećenja prizemlja, zbog 'klizanja' gornjeg dela
objekta po prizemlju kao 'velikom kliznom ležištu', slika 1.19. Nije redak slučaj da pri
povećanim deformacijama-smicanjima prizemlja, dođe do iscrpljenja nosivosti stubova na
gravitaciona opterećenje, i da gornji deo objekta zdrobi prizemlje, slika 1.20. Ovaj katastrofalni efekat može da se javi i na višim spratovima, usled značajno manje krutosti nekog
sprata u odnosu na susedne spratove-efekat 'fleksibilnog sprata'. Na slici 1.21 prikazan je
slučaj potpunog kolapsa jedne etaže, zdrobljene težinom gornjeg dela objekta.
1-15
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
1.5.6
A šta je sa „konceptom programiranog ponašanja“ prema EC8?
lCl
Ovaj koncept (videti 5.4- deo A) u konkretnom primeru nije ni primenjen, jer pravilnik
Yu81 /1/ to ne zahteva. U konkretnom slučaju, koncept programiranog ponašanja prema EC8
obuhvata sledeće (samo za klase duktilnosi konstrukcija DCM i DCH!):
a) definisanje plastičnog mehanizma konstrukcije i položaja plastičnih zglobova;
Ovaj zahtev je implicitno ispunjen, jer u ovom slučaju i nije bilo dileme,
plastični zglobovi su u uklještenju stubova;
b) dimenzionisanje nosivosti plastičnih zglobova na proračunski momente savijanja
dobijene na osnovu seizmičkog opterećenja definisanog propisima;
Pa to smo i uradili, presek u uklještenju je dimenzionisan na savijanje prema
seizmičkom opterećenju, čiji je intenzitet određen prema pravilniku Yu81.
c) usvajanje detalja armature plastičnih zglobova, broja i rasporeda šipki podužne
armature stuba, uz obezbeđenje potrebne duktilnosti utezanjem uzengijama;
I to je urađeno, pri čemu je u nekim varijantama usvojena armatura veća od
računski potrebne, videti primer na sl. 1.9.
d) proračun realnih momenata savijanja plastičnih zglobova pri pomeranjima usled
zemljotresa-proračun „kapaciteta nosivosti“ plastičnih zglobova na savijanje na osnovu
stvarno angažovane armature preseka;
Tako nešto je i urađeno, ali kasnije, u delu 1.5.1 i drugim povodom. Tom
prilikom konstatovano je sledeće:
Proračunsko ukupno seizmičko opterećenje prema Yu81 iznosi S= 114,6 kN, a
proračunski moment savijanja odnosno transverzalna sila jednog stuba iznose
Ms= 64,5 kNm odnosno Qs= 28,6 kN;
Moment nosivosti preseka b/d= 40/40 (MB 30), armiranog sa 4RØ19 (μ=
0,71%, σv= 400 MPa) pri aksijalnoj sili pritiska od Nu= Nw= 1145,6 kN iznosi
Mu= 217,1 kNm> γMs= 1,3´64,5= 83,8 kNm, slika 1.8.
e) proračun „realnih“ transverzalnih sila stubova koje će se indukovati pri dostizanju
kapaciteta nosivosti na savijanje plastičnih zglobova. To nije urađeno.
Ukupno indukovano seizmičko opterećenje pri pomeranjima usled zemljotresa iznosi FCD= 386,5 kN, a tranNu
sverzalna sila jednog stuba Qu= 96,6 kN (deo 1.5.1).
B
Prema EC8, vrednost transverzalne sile stuba, stačunatu uz
pretpostavku dostizanja kapaciteta nosivosti plastičnih
MBu
QCd
zglobova na oba kraja stuba, treba pomnožiti faktorom γRd
(=1,35 za DCH odnosno =1,20 za DCM) koji može da se
QCd
MAu
shvati kao dodatni faktor sigurnosti od loma preseka stuba.
Proračunska vrednost transverzalne sile stuba iznosi (slika
1.22)
A
QCD= γRd(MBU+MAU)/lCL
(1.9)
gde su MBU i MAU momenti nosivosti krajeva stuba.
U konkretnom slučaju, uz pretpostavku klase visoke dukSlika 1.22 - Računska
tilnosti, korigovana proračunska transverzalna sila stuba iznosi
transverzalna sila stuba
QCD= γRd´Qu= 1,35´96,6= 130,4 kN. Sa ovom vrednošću
transverzalne sile treba proveriti nosivost preseka stuba.
f) sve elemente konstrukcije, „priključene“ na plastične zglobove, treba dimenzionisati na
uticaje koje se u konstrukciji javljaju pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje
plastičnih zglobova.
1-16
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U konkretnom slučaju, temelj konstrukcije treba dimenzionisati na moment
nosivosti plastičnog zgloba Mu= 217,7 kNm i odgovarajuću transverzalnu silu Qu=
96,6 kN, slika 1.23.
Treba uočiti bitnu razliku u odnosu na veličinu uticaja na koje bi se temelj dimenzionisao prema konceptu Yu81. Prema Yu81, moment u uklještenju stuba iznosi Ms=
64,5 kNm, a transverzalna sila Qs= 28,6 kN, što su 3,37 puta manji uticaji, za stub
prema slici 1.6.
d=16mm
H
NW=1145,6 kN
Qu=296,6 kN
Mu=217,1 kNm
Qt
Mt
Slika 1.23 - Računski uticaji na temelj
Slika 1.24 - Preturanje objekta usled popuštanja temelja
Na slici 1.24 prikazan je slučaj preturanja objekta zbog popuštanja temelja. Ovakav slučaj
može da se pojavi kada je nosivost konstrukcije veća od nosivosti temelja, pa nema uslova da
se 'plastični zglobovi' pojave u konstrukciji, već se oni sele u temelje kao najslabiju kariku.
Do preturanja dolazi ili zbog velikih deformacija tla, ili usled sloma tla ili usled izvlačenja
zategnutih šipova koji ne mogu da prihvate indukovana aksijalna opterećenja.
1.5.7 Ima li još nešto što nedostaje Yu81 u odnosu na EC8, u konkretnom slu čaju?
Ima. Prema EC8, i u ovom slučaju bi morao da se uzme u obzir uticaj „slučajnih
torzionih efekata“, jer nema idealno simetričnih konstrukcija. Rezultat bi bio za približno
30% veći momenti savijanja stubova.
I to nije sve! Trebalo bi u obzir uzeti i istovremeno dejstvo zemljotresa u dva ortogonalna
pravca, što za posledicu ima koso savijanje stubova (videti 6.12- deo A).
Oba zahteva nisu bitna za razumevanje odgovora betonskih konstrukcija na zemljotres,
pa se neće ovom prilikom ni izlagati.
1-17
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 2
Da bi se ilustrovali problemi i postupak analize složenijih okvirnih konstrukcija prema
YU81, izabran je primer simetrične sedmoetažne okvirne konstrukcije, sa nejednakim
rasponima greda.
U uvodnom delu izloženi su osnovni pojmovi u vezi računskog modeliranja ove
složene prostorne konstrukcije. Rezultat kvalitativne analize očekivanog ponašanja
konstrukcijskog sistema pri dejstvu zemljotresa je da se problem može pojednostaviti, i svesti
na razmatranje i proračun samo jednog od okvira sa pripadajućim delom ukupnog opterećenja
objekta.
U okviru primera prikazana je kompletna statička analiza jednog okvira prema YU81,
koja se ne može izvesti bez primene računara, pa se od studenata i ne očekuje da mogu da reše
i ovakve primere na ispitu.
Nakon određivanja veličine uticaja u presecima, dimenzionisanje granične nosivosti
preseka greda i stubova se prema YU81 vrši kao za bilo koje drugo opterećenje, vodeći
računa samo o specifičnim konstrukcijskim zahtevima u vezi armiranja.
U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori", ilustrovan je koncept dozvoljenih
pomeranja kao i proračuna efekata drugog reda prema EC8.
Svakako najznačajniji deo za razumevanje ponašanja armiranobetonskih konstrukcija
pri zemljotresu obuhvaćen je analizama i komentarima koji se odnose na obezbeđenje
formiranja željenog plastičnog mehanizma konstrukcije, kao i obezbeđenje programiranog
ponašanja konstrukcije prema EC8. Obim analiza prilagođen je nivou ovoga kursa, i treba
samo da ilustruje suštinu kao i da ukaže na razlike koncepta YU81 i EC8: da problem
aseizmičkog projektovanja nije uobičajeno određivanje granične nosivosti preseka, već da
projektant treba da ima jasan koncept, kao i da obezbedi uslove za formiranje plastičnog
mehanizma konstrukcije u celini, sposobne da pouzdano izdrži predviđena pomeranja pri
dejstvu zemljotresa.
Analizirani primer je karakterističan po tome što računski efekti zemljotresa nisu
dovoljno izraženi u odnosu na uticaje gravitacionih opterećenja, pa relativno jednostavni
koncept obezbeđenja plastičnog mehanizma konstrukcije u ovakvim slučajevima i nije tako
jednostavno realizovati.
2-1
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 2
Za AB konstrukciju poslovnog objekta uraditi odgovarajuće analize i dimenzionisati
jednu karakterističnu gredu i stub.
Y
30/60
+19,60
0
40
15
60
50
40
IV
30
III
II
7x2,80=19,6 m
40/40
30/60
2
30/50
30/50
Po
30
30/60
3
V
5x4,0=20,0 m
4
30/50
30/50
30/60
VI
s1
0
30/60
5
VII
30
6
I
X
30/60
1
A
B
8,0
4,0
C
D
8,0
Osnova
0,00
A
8,0
B 4,0 C
8,0
20,0 m
20,0 m
D
Presek
Slika 2.1 - Dispozicija konstrukcije
7x2,80=19,6 m
15
60
50
Gabarit objekta u osnovi je 20´20 m. Objekat ima sedam etaža spratne visine h= 2,80 m.
Svi stubovi su konstantnog kvadratnog preseka 40/40. Dimenzije greda u podužnom, Xpravcu su 30/60, a u poprečnom, Y- pravcu 30/50. Debljina ploče dp= 15 cm.
Objekat se nalazi u IX zoni seizmičkog intenziteta. U odnosu na zemljotres, dejstvo vetra
je zanemarljivo.
Konstrukcija je plitko fundirana, tlo III kategorije.
Za težinu pregradnih zidova, podova i instalacija usvojiti 2,50 kN/m2, korisno
opterećenje 2,0 kN/m2, a težina staklene fasade je 1,0 kN/m2 fasade. Za ukupnu težinu krovne
ploče usvojiti težinu tipske tavanice. Sve proračune i konstruisanja uraditi prema domaćim
pravilnicima /1/ i /2/.
2.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE
'Plastični zglobovi'
Slika 2.2 - 'Idealan' plastični mehanizam
konstrukcije
Konstrukcija objekta je okvirna („ramovska“) u
oba ortogonalna glavna pravca. Konstrukcija je simetrična, tako da se centar krutosti nalazi u težištu
osnove, i ne menja se po visini.
Za poslovne objekte kancelarijskog tipa (p= 2,0
kN/m2) analiza se obično vrši za slučaj korisnog
opterećenja prisutnog na celoj osnovi sprata. Uz
pretpostavku da je i dodatno stalno opterećenje
(pregradni zidovi...) takođe uniformno po osnovi,
tada se centar masa svih spratova nalazi u težištu
osnove, i poklapa se sa centrom krutosti. Prema
Yu81 /1/, efekti torzije u osnovi se mogu zanemariti.
2-2
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Konstrukcija je regularna u osnovi i po visini, pa analiza dejstva zemljotresa može da se
izvrši „metodom ekvivalentnog statičkog opterećenja“. Za dejstvo zemljotresa se pretpostavlja da deluje ili u pravcu podužne, X- ose, ili u pravcu poprečne, Y- ose.
Za konstrukcije tavanica se pretpostavlja da su dovoljno krute u svojoj ravni, tako da se
za dinamički model konstrukcije može usvojiti konzola sa sedam masa koncentrisanih u nivou
tavanica. Zanemarujući vertikalna pomeranja i rotacije masa, dinamički model ima sedam
stepeni slobode- horizontalnih pomeranja spratova.
Konstrukcijskim merama poželjno je obezbediti da se pri dejstvu zemljotresa „plastični
mehanizam konstrukcije“ oformi pojavom plastičnih zglobova samo u gredama i uklještenju
stubova, slika 2.2. U svakom slučaju, pojava „fleksibilnog sprata“ nije dozvoljena.
2.2 PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE
Prostornu AB konstrukciju formiraju ploče, grede, stubovi i temelji. Proračunski model
konstrukcije zavisi od geometrijskih karakteristika konstrukcije (dispozicije i krutosti
elemenata konstrukcije), karaktera i rasporeda opterećenja kao i od cilja analize.
Za složene konstrukcije često se formiraju dva nezavisna proračunska modela:
- komletniji i tačniji statički model, za analizu
G,P
uticaja gravitacionih opterećenja, uticaja
V,S
vetra...
- pojednostavljeni dinamički model, za proračun seizmičkog opterećenja, čiji se efekti poa.
tom analiziraju na tačnijem statičkom modeb.
lu, uz kombinovanje sa uticajima usled drugih
opterećenja.
Kao jednostavni, a za proračune uticaja
G,P
G,P
zemljotresa dovoljno tačni dinamički modeli
najčešće se koriste tzv. kvazi-trodimenzionalni modeli. U konkretnom slučaju okvirne
konstrukcije, prostorna krutost i stabilnost na
horizonstalna dejstva obezbeđena je sa 6
d.
c.
okvira (u osama 1-6) u podužnom, X- pravcu,
Slika 2.3 - Proračunski modeli: a) kompletan
trodimenzionalan model konstrukcije, metoda konačnih i 4 okvira (u osama A-C) u poprečnom, Yelemenata (program TOWER- „Radimpex“ Beograd
pravcu.
/6/.); b) podkonstrukcija okvira u osi 4 za analizu utiAko se pretpostavi da svaki okvir prima
caja gravitacionih i seizmičkih dejstava; c) „spratni
horizontalne
uticaje samo u svojoj ravni
model“ sa modeliranjem i krutosti stubova;d.) „lokalni
(„dvodimenzionalna“ konstrukcija), kvazimodel“- za proračun grede okvira;
trodimenzionalan model konstrukcije sastoji
se od ravanskih okvira složenih u osnovi i povezanih u nivou svakog sprata krutom tavanicom, slika 2.4.
Ako se pri analizi horizontalnih dejstava mogu zanemariti efekti torzije u osnovi (kao u
ovom primeru), model se može još pojednostaviti, slika 2.5.
U ovom primeru biće prikazana samo analiza dejstva zemljotresa u podužnom, X- pravcu,
slika 2.5.a.
S obzirom da svi podužni okviri (R1-R6, slika 2.5.a.) zbog efekta krute tavanice imaju
ista horizontalna pomeranja u nivou jedne tavanice, model sa slike 2.5.a. može da se
interpretira kao povezani niz okvira u ravni, slika 2.6. Pri istim pomeranjima δ, nivo
seizmičkog opterećenja Si okvira i, proporcionalan je krutosti na pomeranje ki okvira i.
2-3
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Y
b.
Ram 6
6
Ram 5
5
A
B
D
C
c.
Y - Okviri
(ramovi)
RamA-RamD
X
Ram 1
1
B
M
Ram 2
2
S
A
Ram D
Ram 3
Ram C
Ram B
3
ta
ru a
K anic
Ram 4 tav
Ram A
4
X - Okviri
(ramovi)
Ram1-Ram6
D
C
Osnova
1
a.
2
3
4
5
6
Slika 2.4 - Kvazi-trodimenzionalni dinamički model konstrukcije
Y
dy
Y
Ram 5
Ram 3
3
Y-zemljotres
dx
X-zemljotres
Ram B
4
Ram A
ta
ru a
K anic
Ram 4 tav
ta
ru a
K anic
v
ta
Ram C
5
Ram D
Ram 6
6
Ram 2
2
X
Ram 1
1
X
A
a.
B
C
b.
D
Slika 2.5 - Proračunski modeli simetrične konstrukcije sa zanemarljivim efektima torzije (centar mase i centar
krutosti se poklapaju). Dejstvo zemljotresa izaziva samo pomeranje u jednom pravcu- translaciju δx , odnosno δy
Kruti štapovi-efekat
krute tavanice
S
S1
Ram1
S2
S3
S4
S5
Ram2
Ram3
Ram5
Ram4
Slika 2.6 - Niz okvira u ravni za analizu uticaja zemljotresa u X-pravcu
2-4
dVII
S6
Ram6
dIV
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U konkretnom primeru, krutost „unutrašnjih okvira“ R2-R5 principijelno se razlikuje od
krutosti „fasadnih okvira“ R1 i R6: zbog različite krutosti greda (nije ista aktivna širina ploče
Г i T - preseka), kao i realne krutosti stubova (presek jeste isti 40/40, ali aksijalno opterećenje
i količina armature nisu isti).
Principijelno, proračunska krutost greda i stubova za analizu dejstava gravitacionih
opterećenja odnosno zemljotresa se razlikuje. Pri zemljotresu se dopuštaju veće rotacije,
krivine i prsline preseka, pa je i krutost elemenata niža.
U ovom primeru, za krutost svih greda usvojena je krutost samo pravougaonog rebra
30/60, dok je za krutost svih stubova usvojena krutost bruto betonskog preseka 40/40.
Pri modeliranju krutosti elemenata, treba imati u vidu dva sledeća efekta:
- veća krutost za posledicu ima viši nivo seizmičkog opterećenja (ali dimenzije
preseka i količina armature mogu da pređu prihvatljivu meru), i niža računska
pomeranja pri zemljotresu. Nerealno usvojena visoka proračunska krutost može za
posledicu da ima zabludu o zadovoljenju kriterijuma dozvoljenih pomeranja, i
nedozvoljena oštećenja pregradnih zidova i fasada pri zemljotresu;
- nerealno procenjen odnos krutosti pojedinih elemenata i delova konstrukcije, za
posledicu ima nerealnu preraspodelu računskih uticaja, a kod prostornih modela i
nerealne torzione efekte, jer se menja položaj centra krutosti.
S obzirom da je isvojeno da svi okviri imaju istu krutost, za definitivni dinamički model
konstrukcije može da se usvoji jedan okvir ( u osi 4, na primer) sa pripadajućom masom u
iznosu od 1/6 ukupne mase objekta. Na istom modelu izvršiće se i analiza gravitacionih
uticaja.
2.3. ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA
Stalno opterećenje tavanice
Sopstvena težina ploče (dp= 25cm)
Dodatno stalno opt. (pregrade, podovi...)
0,15´25
= 3,75 kN/m2
= 2,5 kN/m2
g= 6,25 kN/m2
Korisno opterećenje tavanice
p= 2,50 kN/m2
Opterećenje tipske grede okvira R4 u X-pravcu određeno je prema „pripadajućim
površinama“, slika 2.7.a-osnova, i slika 2.7.b-presek.
Pripadajuće površine
F1= 0,5(8,0+4.85)2= 12,85 m2
F2= 0,5´4,0´2,0= 4,0 m2
F3= 0,5´4,0´1,15= 2,3 m2
↑(= 2,0 / tg60 0)
Raspon A-B (C-D)
- stalno sa ploče
6,25´2F1/8,0= 6,25´2´12,85/8,0= 20,1 kN/m’
Sopstvena težina grede
≈ 0,30´0,60´25
= 4,5 kN/m’
g1= 24,6 kN/m’
- korisno sa ploče
2,0´2F1´/8,0= 2,0´2´12,85/8,0=
p1= 6,4 kN/m’
2-5
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Raspon B-C
- stalno sa ploče
6,25´2F2/4,0= 6,25´2´4,0/4,0
=12,5 kN/m’
- sopstvena težina grede
= 4,5 kN/m’
g2= 17,0 kN/m’
- korisno sa ploče
2,0´2F2´/4,0=2,0´2´4,0/4,0
p2= 4,0 kN/m’
Y
6
4
F1450
F1
F3
F2 F
F
F2 2
2,0
600
F2F2 F
2
2,0
F3
2
F2
5x4,0=20,0 m
5
3
1,15
4,85
2
2,0
2,0
X
1
A
B
8,0
D
C
4,0
a.
8,0
20,0 m
(G,P)A
g1,p1 (G,P) B
g1,p
(G,P)C
g1,p1
(G,P)D
II
2
I
0,00
A
8,0
B 4,0 C
8,0
D Presek
b.
20,0 m
Slika 2.7 - Analiza opterećenja tipske grede u osi 4
- korisno sa ploče
2,0´2F2= 2,0´2´4,0
Ukupna težina tipskog sprata
Ploča 0,15´25´20´20
Grede u X- pravcu
6´0,30(0,60-0,15)25´20
Grede u Y- pravcu
4´0,30(0,50-0,15)25´20
Dodatno stalno (zidovi, podovi..)
2,5´20´20
Težina stubova
6´4´0,42´25´2,8
Fasada
4´20´2,8´1,0
Koncentrisane reakcije greda okvira iz poprečnog, Y- pravca:
Osa A
- stalno sa ploče
6,25´F3= 6,25´2,30=14,4 kN
- sopstvena težina grede iz Y- pravca
≈ 0,30´0,50´25´4,0 = 15,0 kN
- težina stuba
0,402´2,8´25,0 = 11,2 kN
- pripadajuća težina fasade
1,0´4,0´2,8
= 11,2 kN
GA= 51,8 kN (= GD )
- korisno sa ploče
2,0´F3= 2,0´2,30
PA= 4,6 kN (= PD )
Osa B
- stalno sa ploče
6,25´2F2=6,25´2´4,0=50,0 kN
- sopstvena težina grede iz Y- pravca
+ stub
= 26,2 kN
GA= 76,2 kN (= GC )
PB= 16,0 kN (= PC )
= 1500 kN
= 405 kN
= 210 kN
= 1000 kN
= 268,8 kN
= 224 kN
G= 3607,8 kN
prosečno g = 3607,8/(20´20)= 9,0 kN/m2
2-6
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Korisno
2,0´20´20
P= 800 kN
Za analizu dejstva zemljotresa usvojeno
G+P/2= 3607,8+800/2= 4007,8 kN/spratu
Ukupna težina objekta za analizu dejstva zemljotresa
W≈7´4007,8= 28055 kN
2.4. ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA (okvir R4)
Pripadajuća težina jednog okvira
Wi= (G+P/2)/6= 4007,8/6= 668,0 kN/spratu
Proračun osnovnog perioda oscilovanja okvira R4
T  2 dw
dw- pomeranje vrha [m] usled gravitacionih opterećenja usmerenih u horizonWi=668 kN
talnom
pravcu (videti 5.2- deo A)
Wi
mi
mi
Usvojeno MB 40; Eb= 3,4´107 kN/m2
Proračun pomeranja dw vrha konstrukcije izvršen je programom SAN /7/
dw= 0,275 m
T  2 0, 275 = 1,05 s
b.
a.
Ukupno seizmičko opterećenje okviA
D
B C
ra
R4
:
Slika 2.8 - Proračun osnovnog perioda oscilovanja T
S= K´W
W= 7´Wi= 7´668,0= 4676 kN - ukupna težina (sedam spratova)
K= k0 ks kp kd
- ukupni seizmički koeficijent
k0= 1,0
- „koeficijent kategorije objekta“ (II kategorija)
ks= 0,10
- „koeficijent seizmičkog intenziteta“ (IX zona)
kp= 1,0
- „koeficijen „duktiliteta“ (savremena AB konstrukcija)
kd= 0.9/T
-„koeficijent dinamičnosti“ (III kategorija tla)
dW
Zi
7x2,8=19,6 m
dW
kd= 0,9/1,05= 0,86< 1,0
K= 1,0´0,10´1,0´0,86= 0,086 (> minK= 0,02)
S= 0,086´4676= 402,1 kN
S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu81 /1/ 85% ukupnog opterećenja S
raspoređuje se po tavanicama prema relaciji
W ´ Zi
(videti 5.2- deo A)
Si = S 7 i
åW j ´ Z j
j =1
dok se 15% S postavlja na nivo poslednje tavanice.
0,85S= 0,85´402,1= 341,7 kN
0,15S= 0,15´402,1= 60,4 kN
Proračun opterećenja dat je u Tabeli 2.1, dok je raspodela seizmičkog opterećenja po
visini objekta prikazana na slici 2.9.
2-7
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
60,4
85,4
73,2
Nivo
6
61,0
4
36,6
Zi
3
24,4
7x2,8=19,6 m
5
mi
48,8
7
6
5
4
3
2
1
2
12,2
A
Tabela 2.1
7
1
B
D
C
b.
Zi
Wi
WiZi
m
kN
kNm
19.6
16.8
14.0
11.2
8.4
5.6
2.8
668
668
668
668
668
668
668
0,85 S
Wi ´ Z i
åW j ´ Z j
13092.8
85.4
11222.4
73.2
9352.0
61.0
7481.6
48.8
5611.2
36.6
3740.8
24.4
1870.4
12.2
åW j ´ Z j = 52371.2 (S=341.6 kN)
Slika 2.9 - Raspodela ukupnog seizmičkog opterećenja
2.5 STATIČKI PRORAČUN OKVIRA R4
Statički proračun za uticaje gravitacionih opterećenja (prema shemi na slici 2.7), odnosno
uticaja zemljotresa (prema shemi na slici 2.9) urađena je programom SAN /7/.
Na slikama 2.10-2.12 prikazani su karakteristični rezultati statičkog proračuna. Normalne
sile stubova su ukupne sile, obuhvataju uticaje gravitacionog opterećenja iz oba pravca, videti
sliku 2.7.
d. M-korisno (p)
a. M-stalno (g)
b. N-stalno (g)
e. N-korisno (p)
Slika 2.10 - Uticaji usled gravitacionih opterećenja
2-8
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
b. N-stalno (g)
e. N-korisno (p)
c. Q-stalno (g)
f. Q-korisno (p)
Slika 2.10 nastavak - Uticaji usled gravitacionih opterećenja
a. M-seizmika x (Sx)
b. N-seizmika x (Sx)
c. Q-seizmika x (Sx)
d. dx-seizmika x (Sx)
Slika 2.11 - Uticaji usled zemljotresa
2-9
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
g+p
g+p/2
+Sx
a.
g+p/2
b.
Slika 2.12 - Momenti savijanja usled
kombinacije dejstava:
a.) stalno x 1,6 + korisno x 1,8
b.) stalno x 1,3 + 1/2 korisno x 1,3 + seizmika x 1,3
c.) stalno x 1,3 + 1/2 korisno x 1,3 - seizmika x 1,3
-Sx
c.
2.6. KONTROLA 'POMERANJA' PRI ZEMLJOTRESU
Konstrukcija objekta mora da poseduje dovoljnu krutost kako bi se ograničila pomeranja
pri zemljotresu.
Prema Yu81, pomeranje vrha konstrukcije usled projektnog opterećenja S treba da je
manje od H/600 (H-visina objekta), videti 7.3- deo A i sliku 7.5.
Prema sl. 2.11.d, pomeranje vrha konstrukcije iznosi
δ= (dx )= 31,3 mm < H/600= 1960/600= 32,7 mm (zadovoljeno)
2.7 KONTROLA AKSIJALNOG OPTEREĆENJA STUBOVA
Prema članu 61 pravilnika Yu81 /1/, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka,
ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova usled gravitacionog opterećenja
σ0 /βB£ 0,35 gde je σ0= N/F; βB= 0,7 βk
Prema sl. 2.10.b: maxNg= 1464 kN (stub u osi B, prizemlje)
Prema sl. 2.10.e: maxNp= 347 kN (stub u osi B, prizemlje)
N= Ng+ Np= 1464+347=1811 kN
MB 40→ βB= 0,70´40= 28 MPa
σ0=1811/402= 1,13 kN/cm2= 11,3 MPa
σ0 /βB= 11,3/28= 0,40> 0,35
U svim ostalim presecima ovaj kriterijum je zadovoljen. Problem „nedovoljne duktilnosti“ centralnih stubova u prizemlju može da se reši ili povećanjem marke betona ( MB45
odgovara), ili, što je bolje, povećanjem preseka stuba (odgovara b/d= 45/45, σ0 /βB= 0,32<
0,35)
Za prizemlje u osama B,C usvojeno: b/d= 45/45 MB40
2-10
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2.8 DIMENZIONISANJE GREDE OKVIRA NA SAVIJANJE
Za ilustraciju je izabrana greda druge tavanice, na nivou z= 5,6m. Dijagrami uticaja usled
kombinacija dejstava prikazani su na slikama 2.13 i 2.14.
g+p
a.
g+p/2
+Sx
b.
g+p/2
-Sx
c.
Anvelopa momenata Mu
A
C
B
D
d.
Slika 2.13 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60, momenti usled kombinacija dejstava:
a.) Stalno x 1,6 + korisno x 1,8
b.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 + zemljotres x 1,3
c.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 - zemljotres x 1,3
d.) Anvelopa graničnih momenata savijanja za kombinacije a -b-c.
Prema Yu81, preseci grede se dimenzionišu uobičajenim postupcima, za merodavnu
kombinaciju opterećenja. S obzirom da je lom preseka greda obično sa dilatacijama čelika ve2-11
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
ćim od 3‰, kao i da su obično normalne sile greda male, anvelopa momenata savijanja za
nepovoljan uticaj stalnog opterćenja (γg= 1,6; γp= 1,8), odnosno alternativnog dejstva zemljotresa (γ= 1,3 za sva opterećenja) je indikator potreba za podužnom armaturom (ili „linija
zatežućih sila“)
g+p
a.
g+p/2
+Sx
b.
g+p/2
-Sx
c.
Anvelopa transverzalnih sila Qu
d.
A
B
C
D
Slika 2.14 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60,transverzalne sile usled kombinacija
dejstava:
a.) Stalno x 1,6 + korisno x 1,8
b.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 + zemljotres x 1,3
c.) Stalno x 1,3 + ½ korisno x 1,3 - zemljotres x 1,3
d.) Anvelopa graničnih transverzalnih sila za kombinacije a-b-c.
Na slici 2.15 prikazan je dijagram potrebne podužne armature grede, određen modulom
za automatsko dimenzionisanje programa SAN /7/, prema Yu81 i BAB- u. Osim kratke donje
2-12
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
zone u rasponu A-B, merodavni su uticaji kombinacije opterećenja sa zemljotresom (crtkaste
linije).
8Rf19
(22,64 cm2; 1,26 %)
8Rf19
(22,64 cm2; 1,26 %)
25
+5,60
20
A
C
D
4Rf19
(0,63 %)
4Rf19
(0,63 %)
Ko
mb
:
5
a
b ,c
g+p/2+Sx
b:
m
Ko
g+p
a
Ko
mb
:
10
b,c
:
mb
Ko
Armatura Fa (cm2)
15
B
L (m)
0
0
-5
1
Ko
mb
:b
2
3
Ko
mb
:a
4
5
6
7
8
b
om
K
,c
-10
A
-15
9
4Rf19
(11,32 cm2; 0,63 %;
50% Fa nad osloncima)
10
,c
:b
2Rf19
(0,31 %)
B
Slika 2.15 - Anvelopa računski potrebne, i usvojene podužne armature preseka grede na koti +5,60
okvira R4 u osi 4 (b/d = 30/60)
Usvojena armatura (debela puna linija) 8RØ19 nad osloncima-stubovima u osama A i B,
odnosno 4RØ19 (2RØ19) u polju formalno zadovoljava zahteve Yu81 i BAB-a:
- minimalni procenat armiranja greda je 0,2%;
- za maksimalni procenat armiranja usvojeno je 1,6% (BAB i Yu81 ne definišu ovu
vrednost);
- pritisnuta armatura u zoni oslonca grede mora biti najmanje jednaka 50% zategnute
armature u istom preseku(μ’ ≥ 0,5μ), radi obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka
greda u zoni potencijalnih plastičnih zglobova - uz stubove.
Usvojena armatura grede prema sl. 2.15 određena je uobičajenim postupkom - na osnovu
obezbeđenja nosivosti preseka za proračunske kombinacije opterećenja i naprezanja. Anvelopa potrebne armature može da se „pokrije“ na različite načine ali, da li pri tome treba voditi
računa i o obezbeđenju uslova za formiranje optimalnih plastičnih zglobova odnosno plastičnog mehanizma konstrukcije? Treba, naravno, ali koncept i zahtevi pravilnika Yu81 /1/ su nepotpuni, tako da se u praksi o tome jednostavno uglavnom ne razmišlja. Načelni zahtevi
članova 56-58 Yu81, da se plastični zglobovi moraju „projektovati“ (znači svesno predvideti)
na krajevima greda u praksi se ne proveravaju. Iako deluje korektno, ni koncept armiranja
grede na sl. 2.15 (donja armatura) nije usaglašen sa navedenim načelnim stavovima.
2.9 OSIGURANJE GREDE OD TRANSVERZALNIH SILA
Na sl. 2.14 prikazana je anvelopa graničnih vrednosti transverzalnih sila grede.
2-13
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
- oslonac u osama B,C
maxQu= 204,6 kN
b/d= 30/60; a ≈ 4,5 cm → h ≈ 60-4,5= 55,5 cm
MB 40; τr= 1,3 MPa
τn=Qu /(bz)= 204,6/(30´0,9´55,5)= 0,137kN/cm2 = 1,37 MPa » τr= 1,3 MPa
Usvaja se minimalni procenat armiranja uzengijama. Prema BAB-u, član 94, minimalni
procenat armiranja uzengijama iznosi
mfu
100 ³ 0, 2%
min mu =
bs
Za dvosečne uzengije (m=2) RØ8 (fu= 0,5 cm2), na razmaku s =15 cm
μu=2´0,5´100/(30´15)= 0,22%> 0,2%
'Uzengija
preklopljena po
kraćoj strani'
Detalj
40
uRf8/15
uRf8/10
uRf8/10
uRf8/15
8x10=80
60
16x10=160
2,5
2,5
0,2 x8,0 = 1,60
0,2 x4,0 = 0,80
8,0
B
4,0
Slika 2.16 - Shema armiranja grede uzengijama
Komentar: Uobičajeno je u praksi da se osiguranje od transverzalnih sila i u slučaju kada
je zemljotres merodavna kombinacija opterećenja vrši u svemu prema BAB-u. To znači da se
u slučajevima kada je
τr<τn<3τr
deo „sile smicanja“ poverava betonu, a deo armaturi. Prema članu 60 Yu81, maksimalni razmak uzengija greda iznosi maxs = 20 cm, dok se u zoni oslonaca, na dužini 0,2l razmak dvostruko smanjuje. Na slici 2.16 prikazano je rešenje armiranja uzengijama koje zadovoljava sve
navedene zahteve. Na dužini 0,2l uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka, prema
članu 60 Yu81, mada je pitanje da li je to neophodno, s obzirom da se uzengije sidre u zoni
ploče, pa je mala verovatnoća da se mogu 'otvoriti', kao u slučaju stubova.
Kako protumačiti član 63 Yu81: „Ako su u pitanju objekti visokogradnje kod kojih se
analiza sistema konstrukcije vrši dinamičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim
zglobovima pokriva se isključivo poprečnom armaturom“ (zanemaruje se udeo nosivosti
betona i u oblasti τr<τn<3τr )? U ovom primeru nije izvršena analiza „dinamičkim postupkom“ (šta god da je to), pa deluje kao da je ovaj zahtev formalno zadovoljen. Ali otkuda ideja
da se zanemari nosivost betona, jer zemljotres izaziva šta izaziva, bez obzira na vrstu
računske analize?
Danas preovladava stav, da u slučaju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti (DCH-M
prema EC8), nosivost botona u prijemu transverzalnih sila treba zanemariti u kritičnim
2-14
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
oblastima greda. Nivo seizmičkog opterećenja prema Yu81 podrazumeva visoku ostvarenu
duktilnost, tako da bi bilo bolje kompletnu transverzalnu silu poveriti armaturi:
mfusvz/s ³ Qu
Usvojena armatura URØ8/10 na dužini 0,2l u konkretnom slučaju skoro da zadovoljava i
ovaj uslov, slučajno
2´0,5´40´0,9´55,5/10=199,8 kN » Qu=204,6 kN (3% razlika)
2.10 DIMENZIONISANJE STUBA NA SAVIJANJE
Dimenzionisanje preseka stubova okvira vrši se u svemu prema BAB-u, videti i Primer 1.
Za ilustraciju primene dijagrama interakcije /3/ i programa tipa Microsoft-Excel, izabran je
donji presek stuba druge etaže u osi B.
Vrednosti uticaja M,N u tabeli očitane su sa dijagrama, sl. 2.10 i sl. 2.11.
Za shemu armiranja preseka stuba usvojen je presek ravnomerno armiran po obimu, zbog
mogućeg dejstva zemljotresa iz oba ortogonalna pravca.
Za dimenzionisanje preseka stuba usvojeno je 8 kombinacija uticaja, uzimajući u obzir
povoljno/nepovoljno dejstvo stalnog opterećenja.
Često je jednostavnije (pogotovu u slučajevima kosog savijanja) da se, zbog velikog broja
kombinacija uticaja, primena dijagrama interakcija automatizuje.
Stub S4B
40
40
s02 (MPa) =
Stalno
Povremeno
Zemljotres u X-pravcu
M
kNm
41
11
184
N
kN
1254
297
-203
Kombinacija
1,6g + 1,8p
(1,9g + 2,1p)
1,0g + 1,8p
(1,2g + 2,1p)
1,3g+1,3p/2+1,3ZX
1,3g+1,3p/2-1,3ZX
1,0g+1,3p/2+1,3ZX
1,0g+1,3p/2-1,3ZX
85.4
101.0
60.8
72.3
299.7
-178.8
287.4
-191.1
Širina preseka b(cm)=
Visina preseka d(cm)=
Slučaj
Osnovno opt.
g
p
ZX
fB (MPa) =
25.5
400
2541.0
3006.3
1788.6
2128.5
1559.4
2087.2
1183.2
1711.0
n
0.623
0.737
0.438
0.522
0.382
0.512
0.290
0.419
m
0.052
0.062
0.037
0.044
0.184
0.110
0.176
0.117
Dijagram interakcije - pravo savijanje (Broj 139 /3/ )
n
-0.2
0.12
0.4
m (m=0,20)
0
0.13
0.175
0.6
0.165
1.2
0
n
m (m=0,30)
0.6
0.192
1.3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.3
0
0.12
0.16
0.4
0.205
Slika 2.17 - Formular za dimenzionisanje preseka stuba programom tipa Excel
2-15
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
0.25
m=Mu/bd2 fB
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-0.5
0
0.5
1
1.5
n=Nu/bdfB
Slika 2.17 nastavak - Formular za dimenzionisanje preseka stuba
programom tipa Excel
40
Odgovarajući dijagram interakcije, u ovom slučaju broj 139 /3/ aproksimira se sa par tačaka, slika 2.17, za par procenata armiranja ( m = 0, 2 i 0,3, sl.2.17). Proračun kombinacija, za
data tri slučaja osnovnih opterećenja, kao i ucrtavanje odgovarajućih vrednosti (n,m) prepušta
se programu „Excel“.
Prema sl. 2.17, kritična je kombinacija 7Rf19
Rf19
povoljno dejstvo stalnog opterećenja pri zemljotresu „u desnu stranu, +X“. Potreban mehanički procenat armiranja ocenjen je u iznosu
m = 0, 26 →potμ= m βB /σv=
8Rf16
0,26´25,5/400= 1,66% (MB 40)
b/d= 40/40
uRf8/15(7,5)
2
pot Fa= 1,66´40´40/100= 26,52 cm
Usvojeno: 4RØ19+8RØ16
2
stvFa= 27,4 cm , slika 2.18.
Rf19
Rf19
Imajući u vidu iskustva sa utezanjem pre40
seka u Primeru 1, slika 1.14, kao i visok nivo
aksijalnog opterećenja na ovoj etaži, pretpoSlika 2.18 - Usvojena armatura stuba
stavljene su uzengije 3URØ8/15(7,5)
2.11 DIMENZIONISANJE STUBOVA NA TRANSVERZALNE SILE
Merodavna je transverzalna sila u kombinaciji sa zemljotresom
Slika 2.10 i 2.11 →
Qu= 1,3Qg+1,3Qp+1,3Qs
= 1,3´28+1,3´7/2+1,3´130= 214,5 kN
b/d= 40/40 a= 4,5 cm
h=40-4,5= 35,5 cm
τn= Qu /(0,9bz)= 214,5/(0,9´35,5´40)= 0,17 kN/cm2= 1,7 MPa
2-16
> τr = 1,3 MPa
< 3τr= 3,9 MPa
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U stubovima viših etaža ne predviđa se pojava plastičnih zglobova. U ovom slučaju ima
smisla da se deo granične transverzalne sile poveri betonu, u svemu prema BAB- u, za slučaj
τr< τn<3τr. U konkretnom slučaju, nosivost pretpostavljenih uzengija 3URØ8/7,5 iznosi
mfusvz/s =4´0,50´40´0,9´35,5/7,5=340,8 kN > Qu=214 kN
Nosivost uzengija je veća od granične transverzalne sile, i bez sadejstva betona, ali treba
imati u vidu da je količina uzengija kod stubova prvenstveno posledica zahteva za utezanjem
preseka betona.
2.12 SHEMA ARMIRANJA
Prema članu 62 Yu81, progušćene uzengije stubova (s= 7,5 cm) postavljaju se na dužini
od 1,0 m od čvora, u ovom slučaju praktično celom visinom. Prema članu 64 Yu81, uzengije
stuba produžavaju se kroz čvorove, slika 2.19.
Nastavak 50%
arm.stuba
220
uRf8/7,5
ls
+8,40
2
2Rf19
1
4Rf19
+5,60
3
4Rf19
Nastavak 50%
arm.stuba
B
A
160
uRf8/10
4
2Rf19
5
2Rf19
uRf8/15
5
160
uRf8/10
1
15
Rf19
80
4
uRf8/10
uRf8/15
Nastavak
armature
Rf19
60
2
uRf8/10
5
uRf8/7,5
Detalj
Rf19
4
30
40
8Rf16
Rf19
40
Presek A
Presek B
Slika 2.19 - Shema armiranja grede i stuba
2-17
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
ILUSTRACIJE PONAŠANJA RAMOVSKIH KONSTRUKCIJA PRI ZEMLJOTRESU
Slika 2.20 - Velika oštećenja ramovske konstrukcije
(Turska 1999.)
Slika 2.21 - Kolaps montažne ramovske konstrukcije
(Spitak-Jermenija 1988.)
Slika 2.22 - Velika oštećenja-lom ramovske
konstrukcije (Turska 1999.)
Slika 2.23 - Praktično neoštećena ramovska
konstrukcija u izgradnji (Turska 1999.)
2-18
A
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Slika 2.25 - Otvaranje uzengija neusidrenih u masu
jezgra stuba (kuke pod 90 0)
B
Slika 2.24 - Lom čvorova i greda ramovske
konstrukcije (Tajvan 1999.)
2.13 PITANJA I ODGOVORI
2.13.1 Da li pomeranja konstrukcije zadovoljavaju kriterijume EC8?
h3
Uz pretpostavku da su pregradni zidovi fleksibilno vezani za glavnu noseću konstrukciju,
pomeranja prema EC8 treba da zadovolje uslov (videti 6.19 - deo A)
dr,i /ν£ 0,006hi
(2.1)
dmax=31
na svim spratovima konstrukcije.
Na slici 2.26 a-b prikazana su
2
pomeranja usled proračunskog opte4
rećenja S, prema propisima (videti sl.
4
Pregradni
6.29- deo A)- pomeranja dy na granici
zidovi
5
formiranja plastičnog mehanizma
d3=16
konstrukcije.
6
d2=10
Uz pretpostavku da su realna po6
meranja pri zemljotresu jednaka po4 dr (mm)
meranjima elastične konstrukcije,
tada su stvarna pomeranja približno
A
D
B
a.
C
b.
jednaka (videti 6.19 - deo A)
Slika 2.26 - Pomeranja (mm) usled proračunskog opterećenja
dm= qdy
zemljotresom: a.) apsolutna; b.) relativna spratna, pra ćena
gde je q - „faktor ponašanja“ (redukdeformacijama i oštećenjima pregradnih zidova
cije opterećenja).
Ako je (videti 7.3 - deo A)
2-19
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
vrednost faktora ponašanja konstrukcije projektovane prema Yu81 čak qYu81 ≈ 10,0, realna
pomeranja pri projektnom zemljotresu su 10 puta veća od proračunskih na slici 2.26. Kolika
je ekvivalentna vrednost faktora ponašanja konstrukcija izgrađenih prema Yu81 propisima,
stvar je ipak detaljnije analize.
Maksimalno realno spratno pomeranje dr,i pri projektnom zemljotresu tada iznosi
maxdr,i = dr,3 = qYu 81´(d3-d2)= 10(16-10)= 60 mm
Pri „češćem zemljotresu“, sa kraćim povratnim periodom (TP≈50 godina), i približno
duplo manjim ubrzanjem tla u odnosu na projektni zemljotres (TP ≈ 475 godina), pomeranja
su približno duplo manja- ν≈2.
maxdr,i(TP=50)= maxdr,i(TP=475)/n = 60/2= 30 mm.
Za visinu sprata hi= 2,8 m= 2800 mm, EC8 uslov (2.1) nije zadovoljen, jer je
dr,i /ν= 30 mm> 0,006 hi= 0,006´2800= 16,8 mm,
pomeranja su približno dva puta veća od dozvoljenih, odnosno krutost konstrukcije je
nedovoljna. Potrebno je ukrutiti konstrukciju, dodavanjem zidova ili povećanjem dimenzija
stubova i greda. Usvojena dispozicija zadovoljila bi u oblasi VIII stepena intenziteta, sa duplo
manjim ubrzanjem tla u odnosu na IX zonu.
2.13.2 Ako su nosivost i duktilnost konstrukcije u redu, i ako se investitor složi sa većim oštećenjima usled povećanih pomeranja, da li prema EC8 treba proračunom obuhvatiti i efekte
drugog reda?
Ptot
dr
Vtot
h
2
A
B
C
D
Slika 2.27 - Efekti II reda na nivou druge etaže
Vtot=
7
åS
i
Prema EC8, vrednost „koeficijenta osetljivosti sprata na relativna pomeranja“ θ iznosi
θ= Ptot dr /(Vtot h)
(2.2)
„Realno“ spratno pomeranje
druge etaže, pri projektnom zemljotresu (TP = 475 godina) iznosi:
dr= 60 mm
h= 2800 mm.
Ukupno gravitaciono opterećenje u nivou razmatranog sprata
iznosi (videti 2.4):
Ptot= 6Wi= 6´668,0
= 4008 kN
Ukupna seizmička smičuća sila
za posmatranu tavanicu (videti
sliku 2.9)
= 24,4+36,6+48,8+61,0+73,2+85,4+60,4= 389,8 kN
2
θ= 4008´60/(389,8´2800)= 0,22 > 0,20
* 0,30 (apsolutni dozvoljeni maksimun)
Prema EC8, efekti drugog reda moraju da se uzmu u obzir, jer je θ>0,1. Ukoliko je
θ<0,2, dozvoljava se približna ocena ovih efekata (videti 1.5.5). Ako je pak 0,2<θ<0,3, valjda treba primeniti tačnije postupke, eto problema.
2-20
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2.13.3 U komentaru uz shemu armiranja na slici 2.19 stoji da 'usvojeni koncept armiranja nije
usaglašen sa stavovima u vezi formiranja plastičnih zglobova greda'. S obzirom da EC8 insistira
na konceptu „programiranog ponašanja“, da li su data i uputstva u vezi načina- koncepta armiranja greda kako bi se obezbedio kontrolisani položaj plastičnih zglobova greda?
Takvih uputstava nema, od projektanta se očekuje da razume problem i da ga rešava od
slučaja do slučaja. Koncept je u principu jednostavan, ali se u praksi stvari naravno
komplikuju:
a) poželjan plastični mehanizam konstrukcije, sl. 2.2 treba da ima plastične zglobove
na oba kraja greda, i u uklještenju stubova;
b) pri porastu momenata savijanja greda usled pomeranja pri zemljotresu, plastični
zglob je presek u kome se najpre dostiže moment nosivosti preseka, koji zavisi od količine
armature u preseku;
c) grede treba tako armirati da „se plastični zglobovi jave u željenim presecimakontrolisano“.
Izloženi principi „lepo funkcionišu“ u slučajevima kada su uticaji zemljotresa dominantni, naglašeni. Da se stvari u praksi komplikuju, ilustrovano je na sl. 2.28, primer grede iz
ovog zadatka (ponovljeni dijagram momenata sa slike 2.13).
Kraća greda u polju B-C je primer „idealnog slučaja“, ekstremi momenata se javljaju uz
stubove, pa su to preseci u kojima je lako projektovati plastične zglobove.
g+p/2
+Sx
4
2
1
6
3
qAB
5
a.
g+p/2
-Sx
9
7
11
10
12
8
Slika 2.28 - Problem obezbeđenja položaja plastičnih zglobova greda;1-12 - preseci sa ekstremnim momentima
kao potencijalni plastični zglobovi - kako armirati?
Duži rasponi, polja A-B odnosno C-D su problem, jer maksimum pozitivnih momenata
(zatežu donju stranu) nije uz stub, već je pomeren u polje grede. Vodeći računa o potrebama
preseka za armaturom, kao i o uslovu μ’>0,5μ, teško da se zglob može „naterati“ uz stub.
Potrebna je mala ekvilibristika u vođenju i ukidanju donje armature grede, da bi se zglob
isprojektovao ne preterano daleko od stuba, što bi bilo loše rešenje! Toliko, samo za
ilustraciju koncepta i problema pratećih.
2-21
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2.13.4 Osim definisanja i obezbeđenja položaja plastičnih zglobova, da li koncept programiranog
ponašanja podrazumeva još nešto u vezi greda okvira?
U slučaju greda konstrukcija visoke duktilnosti, (DCH), konstruisanje armature obuhvata
tri nivoa:
a) dimenzionisanje potrebne armature prethodno lociranih plastičnih zglobova, prema
proračunskim momentima dobijenim analizom;
b) usvajanje podužne armature oblasti plastičnih zglobova - „kritičnih oblasti“ prema
EC8;
c) osiguranje od „krtog loma“ (transverzalne sile) ostatka grede za situaciju dostizanja
realnog kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova pri pomeranjima usled zemljotresa (videti i
6.8.13- deoA).
g=17,0 kN/m
p/2=2,0kN/m
VB
Zemljotres
MuB=240 kNm
Detalj
VC
MuC=470 kNm
l=4,0m
C
B
a.
B
C
g=17,0 kN/m
p/2=2,0kN/m
VB
VC
Plastični
zglob
g,p
8Rf19
a.
8Rf19
Zemljotres
4Rf19
l=4,0m
4Rf19
B
MuC=240 kNm
MuB=470Nm
b.
l=4,0m
B
C
b.
C
Armatura ploče?
15
8Rf19
V (kN)
226,9
128,1
MB40
RA400/500
226,9
60
~4,0 ~7,5
+Mu
128,1
c.
4Rf19
30
c.
Slika 2.30 - Opterećenje grede B-C pri zemljotresu
Slika 2.29 - Presek i armatura grede u polju B-C
Primer kraće grede u polju B-C.
Shema usvojene armature (videti sliku 2.19) grede data je na sl. 2.29. Zanemarujući
normalne sile grede, momenti nosivosti preseka grede u zoni plastičnih zglobova iznose:
2-22
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
M -u= -470 kNm (zategnuta gornja armatura)
M+u= 240 kNm (zategnuta donja armatura)
Pri pomeranjima i rotacijama preseka u toku zemljotresa, za očekivati je da se na
krajevima greda pojave momenti jednaki realnoj nosivosti preseka plastičnih zglobova moguća stanja opterećenja grede B-C prikazana su na sl. 2.29. a-b.
U slučaju a) transverzalne sile- reakcije grede iznose
VB= 1,3´(17+2,0)´4/2-(470+240)/4,0=
= 49,4-177,5= -128,1 kN> 80 kN (sl. 2.14)
VC= 49,4+177,5= 226,9 kN> 179 kN (sl. 2.14)
U slučaju b) transverzalne sile iznose
VB= 226,9 kN
VC= -128,1 kN
Transverzalne sile koje se mogu javiti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih
zglobova sa stvarno ugrađenom armaturom znatno su veće od proračunskih vrednosti, slika
2.14. Međutim, ni to nije sve. Prema slici 6.20- deo A, stvarna granica razvlačenja ugrađene
armature može da bude veća od propisane nominalne (σv= 400 MPa u ovom primeru), a pri
većim pomeranjima i dilatacijama zategnute armature, čelik može da zađe u oblast ojačanja,
slika 4.4 i 4.5- deo A. Zbog toga EC8 zahteva da se sračunati momenti nosivosti pomnože
„faktorom preopterećenja“ γRd= 1,25 (DCH samo!). Maksimalne-računske vrednosti
transvezalnih sila koje se mogu pojaviti tada iznose
VB= 49,4-1,25´177,5= -172,5 kN
VC= 49,4+1,25´177,5= 271,3 kN
E da je to sve! Ako treba proceniti vrednost maksimalnih momenata koji se mogu javiti
na krajevima grede, tada i deo armature ploče može da bude deo „aktivnog preseka“ na
savijanje, slika 2.29.c!
Usvojene uzengije URØ8/10 prema sl. 2.19 ne mogu da prenesu transverzalnu silu od
271,3 kN! Zaključak, preseci prearmirani na savijanje mogu da ugroze nosivost grede na
trasverzalne sile- višak armature ne mora da bude na strani sigurnosti pri zemljotresu!
Detalj
Ciklično
savijanje
Vertikalna
'zbirna' prslina
l=4,0 m
B
l=4,0 m
a.
C
B
b.
C
Slika 2.31 - Osiguranje od loma transverzalnim silama: a.) uobi čajeno; b.) neuobičajeno
Kada pri zemljotresu transverzalna sila značajnije menja znak u preseku, kose X-prsline
mogu da se „sliju“ u jednu vertikalnu, koja prolazi između uzengija, sl. 2.31.b. Tada jedino
pomaže kosa ukrštena armatura, u kombinaciji sa uzengijama. „Krti lom“ je neprijatelj broj 1!
2-23
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2.13.5 Prema momentima savijanja pri seizmičkom opterećenju definisanom propisima dimenzionisana je nosivost plastičnih zglobova greda. Na osnovu momenata nosivosti plastičnih zglobova izvršeno je potom osiguranje greda od krtog loma transverzalnim silama. Šta koncept programiranog ponašanja zahteva od stubova?
Nivo seizmičkog opterećenja S može da se shvati kao mera pomeranja pri kojem će
konstrukcija iz stanja mirovanja (d= 0) preći u plastični mehanizam (d=dy, slika 2.32.b)
„popuštanjem greda“ na krajevima. Nakon toga, konstrukcija se pomera bez prirasta
opterećenja, do maksimalnog iznosa d≈dm, slika 2.32.b.
S
dm
Se
dy
1
S
Ky
K0
S
A
3
B
2
d
dy
a.
dm
b.
Slika 2.32 - Karakteristična stanja pomeranja konstrukcije: K 0 -nominalna-početna krutost
konstrukcije; Ky -sekantna krutost; 1 - elastični odgovor konstr.; 2 - aproksimacija nelinearnog odgovora konstr.; 3-realno-postepeno otvaranj e plastičnih zglobova i pad krutosti
U stanju plastičnog mehanizma konstrukcije prema sl. 2.32, naprezanje stubova zavisi od
poznatih momenata nosivosti plastičnih zglobova greda, „poznatog“ maksimalnog pomeranja
konstrukcije kao i od oblika deformacija stuba - promene pomeranja po visini, na šta znatan
Ns=1183 kN
ax287
1 Detalj
a.
C
287
gRdMgdu=gRdx271
60
B
gRdMglu=gRdx470
188
ax223
4Rf19
40
322
233
8Rf19
b.
c.
B
'Plastični
zglob'
B
Slika 2.33 - Programirano ponašanje stuba: b.) računski momenti za merodavnu komb. broj 7; c.)
proračunski momenti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plast. zglobov a greda
2-24
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
uricaj mogu da imaju viši tonovi oscilacija kod vitkih konstrukcija. EC8 ovaj problem rešava
naizgled logično i jednostavno, sl. 2.33.
Za primer je izabran stub u osi B, dimenzionisan u delu 2.10. Momenti savijanja za slučaj
merodavne kombinacije broj 7 (1,0g+1,3p/2+1,3zx) dati su na slici 2.33.b. Za usvojenu
armaturu 8RØ19 odnosno 4RØ19, nosivost plastičnih zglobova grede je sračunata u delu
2.13.4, Mglu= 470 kNm odnosno Mgdu= 271 kNm, slika 2.33.c. Prema EC8, korigovani uslov
ravnoteže momenata u čvoru glasi
ΣMS*= γRdΣMgu(£ q ΣMS)
(2.3)
Suma korigovanih računskih momenata gornjeg i donjeg preseka stuba u čvoru (ΣMS*)
treba da je najmanje jednaka sumi momenata nosivosti plastičnih zglobova greda (ΣMgu),
uvećanoj „faktorom preopterećenja“- γRd (= 1,35/1,2 za DCH/DCM). Korigovana vrednost ne
treba da bude veća od računske vrednosti dobijene analizom prema propisima (ΣMS)
pomnožene faktorom ponašanja- q (što je praktično elastičan odgovor konstrukcije).
Za konkretan primer čvora u osi B:
ΣMgu= Mgdu+ Mglu= 271+470= 741 kNm
ΣMS*= γRdΣMgu= 1,35´741= 1000,4 kNm.
Kako ovaj „ulazni moment greda“ raspodeliti na donji i gornji presek stuba u čvoru?
Prema EC8 prosto, srazmerno već sračunatim vrednostima (ΣMS) za opterećenje prema
propisima, slika 2.33.b:
α(ΣMS)= γRdΣMgu
U konkretnom slučaju, slika 2.33.b
ΣMS = 223+287= 570 kNm
α= γRdΣMgu / ΣMS= 1000,4/570= 1,76
Prema slici 2.33.c, gornji presek stuba treba dimenzionisati na moment Mu= αMSu=
1,76´287= 505,1 kNm, a donji presek na moment Mu= 1,76´223= 392 kNm!
Usvojena armatura gornjeg preseka prema sl. 2.18 je nedovoljna da stub prihvati moment
Mu= 505,1 kNm, videti deo 2.10 i dijagram interakcije sl. 2.17.
Stub u osi B dimenzionisan je za bezdimenzionalne vrednosti uticaja n= 0,290 i m=
0,176, sl. 2.17. Pri istoj normalnoj sili i korigovanom momentu savijanja,
m*= αm= 1,76´0,176= 0,309
potrebna vrednost m* je van opsega dijagrama 2.17, ali je možete pronaći na dijagramu 1.3,
Primer 1. Potrebna armatura iznosi:
n= 0,290, m*= 0,309 → m ≈ 0,7
potμ= 0,7´25,5/400= 0,045= 4,5% < maxμ= 6% Yu81
> maxμ= 4% EC8
Koncept deluje prosto, ali je možda i najslabiji deo EC8. Polemike su u toku, ovoliko
samo za ilustraciju logike koncepta programiranog ponašanja.
Analogno obezbeđenju greda visoke duktilnosti (DCH) od transverzalnih sila, videti
2.13.4, isti postupak treba ponoviti i kod stubova! Iako se pojava plastičnih zglobova na
krajevima stubova (osim na vezi sa temeljom) konceptualno ne dozvoljava, EC8 zahteva da se
stub proveri na transverzalne sile pri dostizanju kapaciteta krajeva stuba na savijanje! Ima tu
raznih problema, očigledno.
Nakon što su grede i stubovi konstruisani, vreme je da se provere i čvorovi, veza greda i
stuba, da nebi nastupio lom čvora - videti slike 2.22 i 2.24. I tu je konačno kraj, projekat jedne
grede i stuba je gotov.
2-25
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2.13.6 Sve smo pobrkali! Može li mali rezime koncepta Yu81 i EC8, kada su u pitanju okvirne
konstrukcije visoke duktilnosti?
Osim razlike u nivou projektnog seizmičkog opteterećenja (što nije toliko bitno), značajnija je razlika u konceptu obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcije pri zemljotresu, kao
i u zahtevima za konstruisanje detalja. Dodajmo tome i različita dopuštena pomeranja pri
zemljotresu, od čega zavisi minimalna dozvoljena krutost konstrukcije, o čemu bi trebalo
voditi računa već pri usvajanju dispozicije objekta.
Ulazni podaci
Seizmičko opterećenje
YU81
'Statički proračun'
Dimenzionisanje svih preseka
svih elemenata prema
računskim uticajima
EC8
Dimenzionisanje plastičnih
zglobova greda prema
računskim momentima
Kraj YU81 proračuna
Korekcija proračunskih
momenata savijanja
stubova
Kapacitet nosivosti realnih
plastičnih zglobova
Dimenzionisanje preseka
stubova
Korekcija proračunskih
transverzalnih sila greda
Kapacitet nosivosti na
savijanje krajeva stubova
Dimenzionisanje greda
prema verovatnim
transverzalnim silama
Korekcija proračunskih
transverzalnih sila stubova
Dimenzionisanje stubova
prema verovatnim
transverzalnim silama
Kraj EC8 proračuna
Slika 2.34 - Koncept Yu81 i EC8 obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcija pri zemljotresu
2-26
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Prema Yu81, svi preseci elemenata se dimenzionišu za seizmičku kombinaciju opterećenja, kao da je u pitanju bilo koje drugo opterećenje. Algoritam ne obezbeđuje kontrolu lokacije plastičnih zglobova, mogu da se jave bilo gde. Pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova, van kontrole je eventualno preopterećenje priključenih elemenata.
Prema EC8, uticaji usled seizmičke kombinacije opterećenja definišu potrebnu nosivost
plastičnih zglobova na savijanje. Nakon usvajanja armature plastičnih zglobova, svi ostali elementi se dimenzionišu prema kapacitetu nosivosti plastičnih zglobova-obezbeđuje se hijerarhija nosivosti elemenata konstrukcije. Za razliku od Yu81, algoritam EC8 je teško automatizovati primenom računara, što nije mali nedostatak.
2-27
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 3
Konstrukciji iz prethodnog primera dodata su po četri armiranobetonska zida u oba
ortogonalna pravca - formirana je mešovita konstrukcija okvira i zidova.
U uvodnom delu izložen je koncept analize ovakvih konstrukcijskih sistema, i
obrazloženo usvajanje samo zidova za osnovni noseći sistem. Svođenjem proračunskog
modela samo na konzolne zidove, problem se pojednostavljuje u meri da ga i studenti mogu
rešiti na ispitu, bez primene računara.
S obzirom na nesimetričan raspored zidova u osnovi, efekti torzije su analizirani prema
YU81. Studentima verovatno poznata metodologija približne analize torzionih efekata na bazi
pojma centra krutosti (centra rotacije) ovde je ponovljena, da bi se povezala sa specifičnim
zahtevima YU81.
U delu "Pitanja i odgovori", ilustrovani su samo dva zahteva EC8 u vezi obezbeđenja
pouzdanog ponašanja zida pri zemljotresu: obezbeđenje potrebne duktilnosti pritisnutih
krajeva zida, kao i određivanje proračunskih transverzalnih sila zida prema konceptu
programiranog ponašanja. Ova dva zahteva su prilično iznenađenje za našu praksu.
Analize pokazuju da približno određivanje potrebne armature zida uobičajeno u
praksi može da ima neugodne posledice, kako zbog smeštaja potrebne računske armatura,
tako i zbog nepotrebne prevelike nosivosti zida na savijanje.
Na kraju, dat je komentar i kvalitativna analiza posledica izbora samo zidova za
osnovni noseći sistem, uz zanemarenje krutosti okvira. Kvalitativno je analiziran odgovor
realne konstrukcije na dejstvo zemljotresa. I ovaj primer pokazuje da je dimenzionisanje
nosivosti konstrukcije na dejstvo seizmičkog opterećenja prema propisima praktično samo
procena nivoa pomeranja konstrukcije pri kojem se želi stvaranje plastičnog mehanizma
konstrukcije, a ne klasično obezbeđenje nosivosti - osiguranje od loma preseka. Procena
iznosa očekivanih pomeranja kao i efektivne krutosti elemenata konstrukcije pri tim
pomeranjima su najvažniji koraci u analizi.
3-1
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 3
Svi podaci su kao u Primeru 2, osim što su konstrukcijskom sistemu dodata po četri
armiranobetonska zida u X odnosno Y- pravcu. Presek zidova je pravougaoni, 20/430,
konstantan po visini. Dimenzionisati zid Z1 prema domaćim propisima Yu 81/1/,BAB/2/.
20
Y
A
B
8,0
30/50
ZA1
Z3
8,0
III
ZD1
430
II
20
Osnova
A
8,0
B 4,0 C
20,0 m
20,0 m
Slika 3.1
IV
7x2,80=19,6 m
20
15
20
60
V
X 0,00
D
C
4,0
20
I
40/40
Z1
VII
VI
5x4,0=20,0 m
30/50
30/60
1
30
Z3
30/50
ZA1
2
30/60
0
ZD2
30/60
30/60
3
0
s1
Po
Z5
30
ZD1
4
30/60
20
30/50
ZA2
5
+19,60
Z6
50
30/60
6
8,0
D
Presek
- Dispozicija konstrukcije
Komentar:
Dispozicija konstrukcije jeste moguća, ali nisu svi detalji „idealni“. To se pre svega
odnosi na usvojeni oblik zidova. Zbog oslanjanja i ukrštanja greda tavanica, obično se na
krajevima zidova formiraju ojačanja u vidu stubova. Prikazano rešenje usvojeno je, za
početak, iz metodoloških razloga.
3.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE
H
Prema klasifikaciji Yu81 /1/, deo XII, konstrukcija je mešovita - „okvirna konstrukcija u
kombinaciji sa armirano-betonskim (dijafragmama) ili jezgrima“. Prema članu 77, „distribucija seizmičkih proračunskih sila vrši se prema deformacionim karakteristikama svakog elemenata osnovnog sistema konstrukcije“. Pored toga, „okviri se moraju proračunati na za
najmanju vrednost od 25% ukupne poprečne seizmičke sile u osnovi“.
Gravitaciona opterećenja prihvataju zidovi i stubovi. Pri horizontalnim pomeranjima,
stabilnost konstrukcije obezbeđuju okviri i zidovi, opterećeni srazmerno svojoj krutosti na
horizontalna pomeranja.
lw
+19,60
+19,60
U osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja treba uključiti sve elemente
Xi
Xi
konstrukcije koji značajnije doprinose
krutosti na pomeranje. Osim površine zidova u osnovi, krutost zidova na savijanje bitno zavisi i od visine objekta-od
0,00
0,00
vitkosti zidova H/lw. Zbog različitog
A
A
D a.
D b.
B
B
C
C
karaktera deformacija okvira i konzolSlika 3.2 - Usaglašavanje deformacija okvira i zida
nog zida, u nižim delovima zid 'pridrža3-2
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
e
va' okvir silama Xi , dok u višim delovima okvir 'pridržava' zid, slika 3.2. U ovakvim slučajevima, zanemarenje krutosti okvira često može da proizvede pogrešne zaključke o ponašanju
zida. U konkretnom primeru, odnos visine H i dužine lw zida je H/lw= 19,6/4,3=4,5(>2, uslov
Yu81, član 68). S obzirom na broj zidova u osnovi, kao i na proporcije zida koji je pre „zdepast“ nego vitak, procenjeno je da je u krutosti na horizontalna pomeranja dominantan uticaj
zidova, koji su usvojeni za osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja. Za orijentaciju,
zidovi vitkosti manje od 9-10 (poželjno 6-7) poseduju značajnu krutost za prijem horizontalnih uticaja. Naravno, važan je i broj takvih zidova u osnovi, u X odnosno Y-pravcu.
U podužnom, X-pravcu, konstrukcija je
nesimetrična, pa je za uticaj zemljotresa u
ovom pravcu potrebno uzeti u obzir i uticaje
torzije u osnovi, slika 3.3. Zemljotres u XSx CK
CK
pravcu izaziva translaciju δ i rotaciju φ tačaka
Mt=Sxe
Sx
tavanice oko centra krutosti CK, pomeranje taCM
CM
vanice opisano je sa dva stepena slobode.
j
Prema članu 34 Yu81, efekti torzije ne moraju
d
je
se sračunavati eksplicitno. Dozvoljava se analiza samo efekata translacije d, kao da je
konstrukcija simetrična, uz naknadnu približnu
procenu efekata torzije. Proračunski model
Slika 3.3 - Pomeranje tavanice usled translacije i
rotacije oko centra krutosti - CK
konstrukcije u oba glavna pravca X odnosno Y
je konzola sa sedam masa, kao u Primeru 1.
S obzirom da osnovni sistem čine konzolni zidovi, plastični mehanizam osnovne konstrukcije formira se pojavom plastičnih zglobova u uklještenju zidova, slika 3.4.a. Okviri u
svakom slučaju treba da budu konstruisani tako da mogu da prate pomeranja konstrukcije, čiji
iznos dm i oblik dominantno zavisi od krutosti zidova, videti i 6.10-deo A. Uslovi za konstruisanje okvira mogu da se ublaže, jer zidovi sprečavaju pojavu fleksibilnog sprata. Ako je krutost zidova dovoljna, okviri se mogu izvesti i sa montažnim stubovima, sa zglobnim vezama
greda-stub, videti 6.18.6-deo A. Kapacitet krivljenja preseka zida ku treba da je veći od maksimalnih očekivanih krivina km pri zemljotresu. Da bi zid bio pouzdan, potrebno je sprečiti
rani-krti lom zida, tačka B1 na slici 3.4.c. U nelinearnim analizama, obično se područje plastičnog zgloba modelira koncentrisanom nelinearnom oprugom, sa odgovarajućom nelinearnom vezom moment(M)-rotacija(qp), slika 3.4.d.
dm
+19,60
dm
M(kNm)
My A
B
C
Oblast D
'plastičnog zgloba'
km
ku
a.
c.
H
ky
qp
M(qp)
b.
Slika 3.4 - Plastični mehanizam osnovnog sistema konstrukcije
3-3
km ku
d
Hp
H
Tok krivina
preseka-k
Hp
A
D
k(1/m)
ky
0,00
C
B1
S
S
B
d.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
3.2 PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE
Z5
Sx
CK
dx
CM
R3
Z5
a.
Z1
CK
Mt=Sxe
CM
Z3
Z3
RD1
X
Z6
ZD2
R5
Y
X
j
Slika 3.6 - Proračunski modeli konstrukcije: a.) za uticaj zemljotresa u Y-pravcu;
b.) za uticaj pomeranja-translacije usled zemljotresa u X-pravcu;
c.) za uticaj rotacije f od momenta torzije M t usled zemljotresa u X-pravcu
3-4
X
Z1
b.
R1
ZD1
ZD1
RD2
Z6
ZA1
RA1
dy
ZA1
Sy
CM
R6
e
CK
ZD2
ZA2
Y
ZA2
ZD1
ZA1
Y
RA2
5x4,0=20,0 m
ZD2
b=20
ZA2
Gravitaciona opterećenja sa tavanica prihvataju okviri ali i zidovi. Za detalje analize
gravitacionih opterećenja, videti 2.2 u Primeru 2. Za prijem horizontalnih uticaja, proračunski
model obuhvata samo elemente osnovnog sistema, ukupno osam konzolnih zidova, sl. 3.5.
Dimenzije preseka svih zidova su
Y
iste, b/lw= 20/430 cm. To ne znači i da
Z6
6
je krutost preseka na savijanje ista, ona
u principu zavisi od količine armature i
lw=430
00
1
nivoa aksijalnog opterećenja zida, videti
Z5
s
5
Po
4.3 i 6.1-deo A. Fasadni zidovi na slici
3.5 imaju približno duplo manju nor4
malnu silu od unutrašnjih zidova, Z3 i
Z5. U našoj praksi se o ovim “finesaZ3
ma“ retko vodi računa, pa se i ovde us3
20/430
vaja da je krutost svih zidova ista, određena na osnovu karakteristika bruto bet2
onskog prekeka zida b/lw, zanemarujući
efekte prslina. (Videti komentar uz 2.2).
X
Z1
Za dinamički model za analizu uti1
caja zemljotresa u X ili Y pravcu usvaja
A
D
B
C
Osnova se konzola sa zbirnom krutošću svih
8,0
4,0
8,0
zidova koji se suprotstavljaju pomeranju
20,0 m
usled zemljotresa. Zanemarujući krutost
preseka zida upravno na osu zida
Slika 3.5 - Osnovni sistem konstrukcije
(lw/b3/12<<blw3/12), za pravougaone zidove se obično usvaja pretpostavka da opterećenja prihvataju samo u svojoj ravni, slika 3.6.
Krutost na horizontalna pomeranja zavisi od karakteristika preseka pojedinih elemenata, ali i
od konfiguracije prostornog sistema elemenata. U slučaju sistema konzolnih zidova istih
visina, odnos krutosti na pomeranje zavisi od momenata inercije preseka zidova, koji se u
daljim analizama pojavljuju kao karakterističan parametar krutosti na pomeranje.
S obzirom da se prema Yu81 nivo seizmičkog opterećenja S može približno odrediti
samo na osnovu krutosti na translaciju, to je Sx= Sy (ista je krutost zidova u oba pravca, slika
3.6.a odnosno 3.6.b). Momente torzije Mt= Sxe, usled opterećenja Sx koje deluje u centru
mase-CM na ekscentricitetu e u odnosu na centar krutosti CK, prihvataju svi elementi osnovnog sistema koji doprinose torzionoj krutosti konstrukcije u osnovi. Torzija objekta u osnovi
prihvata se savijanjem zidova u svojoj ravni, slika 3.6.c.
c.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
3.3 ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA
Usvojeno kao u Primeru 2, deo 2-3. U pojedinim rasponima, u ovom slučaju oslonac ploče je zid, umesto grede kao u Primeru 2.
3.4 ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA
Zbog iste krutosti osnovnog sistema na translaciju u X odnosno Y-pravcu, osnovni period
oscilovanja T i proračunsko seizmičko opterećenje su isti za oba pravca dejstva zemljotresa.
Dalje analize se odnose na slučaj uticaja zemljotresa u podužnom, X-pravcu, sa efektima
torzije.
Težina jednog sprata
Wi= Gi+P/2= 4007,8 kN/spratu
(videti str. 2-7)
Ukupna težina objekta
W ≈ 7´4007,8= 28055 kN
(Korektnije je obračunati i težinu AB zidova!)
Kruti štapoviefekat krute tavanice
dW
Z5
Z6
W3
W2
W2
W4
Moment
inercije
=I1
=I3
=I5
=I6
a.
I
W1
W1
b.
H=19,60 m
Z3
W5
W4
W3
hi=2,80
7x2,80=19,60 m
W6
W5
W6
w=Wi/hi
W7
W7
Z1
dW
c.
I
d.
Slika 3.7 - Proračun perioda oscilovanja: a.) osnovni sistem, zidovi aksijalno povezani krutim tavanicama; b.)
dinamički model; c.) model za proračun perioda prema uprošćenoj modalnoj analizi, videti 5.2-deo A;
d.) uprošćenje modela sa slike 3.7.c.
Proračun perioda oscilovanja T1 u prvom-osnovnom tonu
Krutost zidova na savijanje
b/lw= 20/430 cm → I1= I3= I5= I6= I= 0,20´4,33/120 =1,325 m4
Zbirna krutost osnovnog sistema
MB30 → E= 3´107 kN/m2
I = ΣI= 4´1,325= 5,3 m4
E I = 3´107´5,3= 1,59´10 8 m2
Podeljeno horizontalno opterećenje usled težina spratova Wi, slika 3.7.c-d
Wi= 4007,8 kN= const.
hi= 2,8 m= const.
w = Wi /hi= 4007,8/2,8= 1431,4 kN/m’
T1= 2 d w
Izraz (5.3)- deo A, gde je dw pomeranje vrha u metrima
usled težina Wi , slika 3.7.c.
4
dw= w H /(8E I )= 1431,4´19,64/(8´1,59´108)= 0,166 m
T1= 2 0,166 = 0,82 s
Komentar: Period oscilovanja okvirne konstrukcije iznosio je T1= 1,05 s, strana 2.7. Da
je za efektivnu krutost zidova usvojena redukovana, manja vrednost zbog efekata prslina,
razlika perioda bila bi još manja. Približno, krutost četri zida ekvivalentna je krutosti šest
okvira (u ovom slučaju!).
3-5
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Proračun ukupne seizmičke sile S
S= KW
K= k0 ks kp kd
(Za objašnjenje koeficijenata,videti i stranu 2.7)
k0= 1,0
ks= 0,10
kp= 1,0
kd= 0.9/T1= 0,9/0,82>1,0 → kd=1,0
K= 1,0´0,10´1,0´1,0= 0,1 (>0,02)
W= 28055 kN
(str. 3-5)
Sx= 0,1´28055= 2805,5 kN
S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu81 85% ukupnog opterećenja S
raspodeljuje se po tavanicama prema relaciji
W ´ Zi
Si= S 7 i
(videti 5.2- deo A)
åW j ´ Z j
j =1
dok se 15% sile S postavlja na nivo poslednje tavanice. Sile deluju u centru mase odgovarajuće tavanice.
0,85S= 0,85´2805,5= 2384,6 kN
0,15S= 0,15´2805,5= 420,8 kN
Tabela 3.1
Z1
Z3
Z5
Z6
z
7x2,80=19,60
596,2
511,0
425,8
340,6
255,5
170,3
420,8
85,2
Moment
=I
inercije 1
=I3
=I5
=I6
Slika 3.8 - Raspored računskog seizmičkog opterećenja
Nivo
Zi
Wi
WiZi
7
6
5
4
3
2
1
m
kN
kNm
19.6
16.8
14.0
11.2
8.4
5.6
2.8
4007.8
4007.8
4007.8
4007.8
4007.8
4007.8
4007.8
0,85S
Wi ´ Z i
åW j ´ Z j
78553
596.2
67331
511.0
56109
425.8
44887
340.7
33666
255.5
22444
170.3
11222
85.2
å W j ´ Z j = 314212 (S=2384.6 kN)
Proračun seizmičkog opterećenja i njegova raspodela po visini konstrukcije prikazani su
u Tabeli 3.1 i na slici 3.8
3.5 STATIČKI PRORAČUN
3.5.1 Uticaj gravitacionih opterećenja
Reakcije tavanice, slika 3.9.a približno su jednake opterećenju sračunatom u Primeru 2
Stalno opterećenje
Reakcija grede A-B (C-D) (g1= 24,6 kN/m’)
=246,0 kN
2(5´24,6´8,0)/8
Reakcija u polju B-C (g2= 17,0 kN/m’)
= 68,0 kN
17,0´4,0
Sopstvena težina zida po spratu
b/lw= 20/430 h= 2,8 m (0,2´4,30´2,8)25 = 60,2 kN
Reakcija grede iz upravnog pravca
U osama B,C (G= 76,2 kN)
2´76,2
= 152,4 kN
Prirast normalne sile po spratu
DNg= 526,6 kN
3-6
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Korisno opterećenje
(p1= 6,4 kN/m’)
2´(5´6,4´8,0)/8
= 64,0 kN
= 16,0 kN
(p2= 4,0 kN/m’)
4,0´4,0
(p= 16 kN/m’)
2´16,0
= 32,0 kN
DNp= 112,0 kN
Prirast normalne sile po spratu
+19,60
526,6
g1,p1
g2,p2
112,0
526,6
g1,p1
112,0
Ng
0,00
R=5/8ql
A
8,0
Np
3686,2 kN
B 4,0 C
D
8,0
a.
784,0 kN
c.
b.
Slika 3.9 - Gravitaciono opterećenje zida Z3
Dijagrami normalnih sila zida Z3 dati su na slici 3.9. Za fasadni zid Z1 u osi 1, usvajaju
se vrednosti u iznosu od ≈50% opterećenja zida Z3.
3.5.2 Uticaji usled zemljotresa u X- pravcu
Seizmičko opterećenje Sj tavanice „j“ deluje u centru mase CM tavanice „j“, slika 3.10.a.
Tavanica 'j'
CK
Sj
CM
yCM
yCK
Sj
Y
e
Y
Mtj=Sje
CM
X
xCM
X
xCK
a.
Slika 3.10 - Seizmičko opterećenje u nivou tavanice 'j' : a.) inercijalna sila S j u centru mase CM;
b.) inercijalna sila S j redukovana na centar krutosti - CK
3-7
b.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Za određivanje opterećenja zida usled seizmičkog opterećenja Sj tavanice „j“, korisno je
da se opterećenje Sj redukuje na silu Sj i moment torzije Mtj= Sj e, koji deluju u centru krutosti
CK, slika 3.10.b.
ZD1
d
yCK
Ky~0
RD1=KyD1d
CK
Z3
R1=Kx1d
CK
ZA1
R3=Kx3d
R
ZD2
Z5
d
R
ZA2
Z6
RA2=KyA2d
R5=Kx5d
RD2=KyD2d
Y
R6=Kx6d
RA1=KyA1d
Y
X
Z1
X
xCK
a.
b.
Slika 3.11 - Odredjivanje centra krutosti CK: a.) pri translaciji tavanice u X- pravcu, položaj rezultante R
reakcija svih zidova definiše koordinatu y CK centra krutosti - CK; b.) pri translaciji tavanice u Y-pravcu,
položaj rezultante R reakcija svih zidova definiše koordinatu x CK centra krutosti - CK
Određivanje koordinata centra krutosti CK
a) Stanje translacije tavanice u X- pravcu za iznos δ (sl. 3.11.a)
Reakcija zida „i“
Riδ= δKxi
gde je Kxi krutost zida „i“ na pomeranje u X- pravcu
Rezultanta reakcija zidova
Rδ=Σ Riδ=δΣKxi
Položaj rezultante ΣM0= 0 (oko koordinatnog početka)
RδyCK= Σ Riδyi
gde je yi koordinata y zida „i“
(3.1) (3.2) (3.3) →
yCK= å K xi yi / å K xi
i
(3.1)
(3.2)
(3.3)
i
Ako u centru krutosti deluje sila Sx u pravcu X- ose, pomeranje tavanice δ i opterećenje Si
zida „i“ iznose:
(3.2) →
δ= Sx /ΣKxi
(3.4)
(3.1) (3.4) → Si=SxKxi / ΣKxi
(3.5)
odnosno, seizmičko opterećenje tavanice se raspodeljuje na pojedine zidove proporcionalno
krutosti zida na pomeranje.
b) Stanje translacije tavanice u Y- pravcu za iznos δ (sl. 3.11.b)
Analogno prethodnom izvođenju
xCK= ΣKyi xi /ΣKyi
(3.6)
gde je Kyi krutost zida „i“ na pomeranje u Y- pravcu. Analogno (3.5),
Si= SyKyi / ΣKyi
(3.7)
c) Stanje rotacije tavanice oko centra krutosti zaugao φ (sl. 3.11.c)
Pomeranje zida „i“
δiφ= φri
(voditi računa o definiciji i znaku ri)
(3.8)
3-8
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
ZD2
r6
Ta
va
nic
a
-ni
vo
'j'
r1
ZA2
r
K yA2j A2
r D2
Rj A2=
K 2j
Rj D2= yD
gde je ri normalno rastojanje ravni zida od centra krutosti - „krak“ zida.
Reakcija zida „i“
(3.9)
Riφ= δiφKi
Y
(3.8)
(3.9)
→
jr 6
Rj 6=K x6
(3.10)
Riφ= φKiri
gde je Ki krutost zida „i“
Z6
Rezultujući moment torzije oko CK
(3.11)
Mt= ΣRiφri= φΣKiri2
K
C
CK
j
Ako
u
centru
krutosti
deluje
poznati
M t
r D2
moment torzije Mt, obrtanje tavanice φ i
opterećenje
zida „i“ iznose:
r A2
(3.11) →
j
(3.12)
φ= Mt / ΣKiri2
(3.12)→(3.10)→
(3.13)
Siφ= Mt Kiri / ΣKiri2
X
1
Z
Ukoliko
se
dimenzije
zidova
ne
mer
j =K x1j 1
c.
njaju po visini, i ukoliko su zidovi doR 1
voljno vitki tako da preovladavaju deforSlika 3.11 nastavak - c.) pri rotaciji tavanice oko centra
macije savijanja, tada se u prethodnim
krutosti CK za ugao j , rezultanta reakcija svih zidova je
j
izrazima umesto krutosti Ki može uvesti
samo moment torzije M t (zbog preglednosti, nisu
moment inercije Ii preseka zida „i“.
prikazani izrazi za sile svih zidova)
Ki Û Ii
(3.14)
Što važi za tavanicu „j“, važi i za ostale. Izrazi (3.5), (3.7) i (3.13) za prerespodelu uticaja
usvajaju se za svaku od tavanica- nivoa konstrukcije, ukupno „m“, slika 3.12.
U odnosu na osu koja spaja centre krutosti,
Sm
„CK-osa“
na sl. 3.12, na svakom nivou „j“ deluje
Mtm
seizmička sila sprata Sj i moment torzije sprata Mtj=
Sj´e.
Sjim
Sdim
Opterećenje zida „i“ na nivou „j“ usled translacije Sijδ i rotacije Sijφ može da se odredi na prikazani
način. Uočiti da se torzija konstrukcije prihvata savijanjem zidova. Sa poznatim „dijagramom optereCK
Sj
ćenja“ zida Sij= Sijδ+ Sijφ, mogu da se odrede tranMtj
sverzalne sile Qij i momenti savijanja Mij zida 'i' na
CM
d
spratu 'j' usled zemljotresa, kao za konzolni stub Sjij
S ij
rezultanta uticaja svih tavanica iznad posmatranog
nivoa- preseka zida.
'CK-osa'
Zid 'i'
Racionalnije je i preglednije da se prvo odrede
globalni uticaji konstrukcije u celini, prema sračuS1
natoj raspodeli ukupnog seizmičkog opterećenja po
Mt1
z
visini objekta, slika 3.8.
Sjij
Sdij
y
- Transverzalna sila zida „i“ u nivou sprata „j“
m
m
Qij=
x
åS
k = j +1
Slika 3.12 - Seizmičko opterećenje zida 'i'
ik
=
å
(Sikφ+ Sikδ)=
k= j+1
m
= å (SkIi / å I i +SkeIiri / å I i ri 2 )
k= j+1
3-9
i
i
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
m
=( Ii / å I i +e Iiri / å I i ri 2 ) å Sk
i
odnosno
k= j+1
i
Qij= αiQ0j
(3.15)
m
gde je: ai= Ii / å I i +e Iiri / å I i ri 2 ); Q0j = å Sk
i
k= j+1
i
- Moment savijanja zida „i“ u nivou sprata „j“
m
m
åS
Mij=
k = j +1
ik
(zk-zj)=
å
(Sikφ+ Sikδ) (zk-zj)= αi
k= j+1
m
å
Sk(zk-zj)
k= j+1
m
Mij= αiM0j , gde je M0j = å Sk(zk-zj)
odnosno:
(3.16)
k= j+1
m=7
S7
Q07=S7
Q0j
S1
M0j
j
Qij
Qij=aiQ0j
j
Mij
j
a.
j
zj
2
1
Mij=aiM0j
H
Sj
h=2,80
S2
Q0j
j
SJ
M0j
z
Q01
Q0
b.
c.
M0
d.
e.
Slika 3.13 - Odredjivanje uticaja u zidu 'i' : a.) seizmičko opterećenje objekta - prema slici 3.7.a; b.) ukupna
transverzalna sila sprata Q 0j ; c.) ukupni moment savijanja - 'preturanja' M 0j u nivou sprata 'j' ;
d.) transverzalna sila zida u nivou sprata 'j' - Q ij = ai Q0j ; e.) moment savijanja zida 'i' u nivou sprata 'j'
Mij = ai M0j , gde je ai - 'koeficijent participacije' zida 'i' u ukupnoj nosivosti
Prema Yu81, član 34, momente torzije Mt= S´e sračunate iz čisto statičkih razmatranja
treba uvećati faktorom KT = 1,50, zbog „spregnutosti bočnih i torzionih vibracija“ sistema sa
dva stepena slobode (ili tri) po spratu. To znači da treba korigovati i izraz (3.13) za Siφ,
odnosno koeficijent participacije αi zida „i“:
αi= Ii / å I i +KT e Iiri / å I i ri 2
(3.17)
i
i
Nastavak primera, konačno.
- Centar krutosti
Moment inercije svih zidova je isti, Ii= 1,325 m4 (str. 3-5)
xCK= ΣKyi xi /ΣKyi= (IA1´0,0+ IA2´0,0+ ID1´20,0+ ID2´20,0)/( IA1+ IA2+ ID1+ ID2)=
= 40´I/4´I= 10,0 m
yCK= ΣKxi yi /ΣKxi= (I1´0,0+ I3´8,0+ I5´16,0+ I6´20,0)/( I1+ I3+ I5+ I6)=
= 44´I/4´I= 11,0 m
- Centar mase (uz pretpostavku jednako raspodeljene mase u osnovi)
xCM= 10,0 m
yCM= 10,0 m
- Ekcentricitet centra mase u odnosu na centar krutosti
e= xCK - xCM= 11,0-10,0= 1,0 m
3-10
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
- Globalni uticaji konstrukcije u celini
Za raspodelu seizmičkog opterećenja prema sl. 3.8, dijagram ukupne transverzalne sile
Q0j i momenata savijanja-preturanja objekta M0j dati su na sl. 3.14.
- Uticaji u zidu Z1
r1= yCK-y1= 11,0-0,0= 11,0 m
(voditi računa o definiciji i znaku r)
I1 / å I i =I1/( I1+ I3+ I5+ I6)= I/4´I= 0,25 (samo zidovi sa krutošću u X- pravcu)
i
I1r1 / å I i ri 2 = I1r1 /( I1r12+ I3r32+ I5r52+ I6r62+ IA1rA12+ IA2rA22+ ID1rD12+ ID2rD22)
i
= I´11,0/(I( 11,02+3,02+5,02+9,02+10,02+10,02+10,0210,02)
= 11,0´I/636´I= 0,0173 1/m
α1= I1/ å I i + KT e I1r1 / å I i ri 2 = 0,25+1,5´1,0´0,0173= 0,2759
i
i
1017,0
Q0j(kN)
2847
M0j(kNm)
1528,0
Dijagrami uticaja Q1j= α1Q0j odnosno
M1j= α1M0j dobijaju se množenjem odgovarajućih vrednosti sa slike 3.14 faktorom
α1.
- Uticaji u zidu Z3
r3= yCK-y3= 11,0-8,0= 3,0 m
I3 / å I i =I/4´I= 0,25
7126
1953,8
12596
2294,4
19021
2549,9
i
I3r3 / å I i ri 2 = 3,0´I/636´I= 0,004717
26161
2720,2
i
33777
2805,4
41632
a.
b.
Slika 3.14 - Ukupna transverzalna sila i moment
savijanja-preturanja spratova konstrukcije u celini
α3= 0,25+1,5´1,0´0,004717= 0,2571
- Uticaji u zidu Z6
r6= yCK-y6= 11,0-20,0= -9,0 m
I6 / å I i =I/4´I= 0,25
i
I6r6 / å I i ri 2 = -9,0´I/636´I= -0,01415
i
α6= 0,25-1,5´1,0´0,01415= 0,2287
Voditi računa gde torzija povećava, a gde smanjuje uticaje u zidovima!
- Uticaji u zidu ZD1
rD1= xCK-xD1= 10,0-20,0= -10,0 m
KxD1/ΣKxi= 0
Usled zemljotresa u X- pravcu, ovaj zid ima uticaje samo usled torzije!
2
KxD1 rD1 / ΣKiri = ID1rD1/ å I i ri 2 = -10,0´I/636´I= -0,01572
i
αD1= -0,01572´KT´e= -0,01572´1,50´1,0= -0,02358
2.5.3 Uticaji usled zemljotresa u Y- pravcu
Sve isto kao za X- pravac, jedino nema torzionih uticaja jer je konstrukcija simetrična,
e=0. Četri zida u Y-pravcu primaju po 25% opterećenja, αi= 0,25.
3.6 KONTROLA 'POMERANJA' KONSTRUKCIJE
Yu81 nije eksplicitan u slučaju dispozicija sa torzionim deformacijama, da li treba
proveriti translaciju centra mase („težište objekta“), ili je u pitanju pomeranje kritičnog zida,
kod koga translacija+rotacija daju najveća pomeranja - zid Z1 u ovom slučaju. S obzirom da
je u pitanju kriterijum oštećenja pregrada i fasada, za kontrolu se usvajaju pomeranja zida Z1.
3-11
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
H
Pomeranje vrha zida može da se odredi na osnovu njegovog pripadajućeg opterećenjadijagrama momenata savajanja M1j= α1M0j. Dovoljno je tačno (na ispitu, u fazi idejnog projekta) ako se pomeranja odrede na osnovu ukupnog seizmičkog opterećenja zida (= transverzalnoj sili u uklještenju), i to 85% raspodeljeno linearno promenljivo, a 15% postavljeno u
vrhu zida, sl. 3.15.
α1= 0,2759
(slika 3.14)
maxQ0j= 2805,4 kN
d1
d2
d
=*
+
S1= α1 maxQ0j
q
15%Si
= 0,2759´2805,4= 774,0 kN
Si
0,85S1= 0,85´774,0= 658,0 kN
85%Si
0,15S1= 0,15´774,0= 116,0 Kn
0,5q*H= 658,0 →
Zi
Zi
Zi
q*= 658,0/(0,5´19,6)= 67,2 kN/m’
(sl. 3.15.b)
EIi
EIi
EIi
7
MB 30 → EI1= 3´10 ´1,325=
a.
c.
b.
3,975´107 kNm2
Slika 3.15 - Odredjivanje 'pomeranja' vrha zida
δ1= 11q*H4/120EI1=
11´67,2´19,64/(120´3,975´107)= 0,023 m
δ2= 0,15SiH3/3EI1= 116,0´19,63/(3´3,975´107)= 0,007 m
δ= δ1+ δ2= 0,023+0,007= 0,030 m < H/600= 19,6/600= 0,033 m
Pomeranja su kao u slučaju okvira, Primer 2.
3.7 KONTROLA DUKTILNOSTI ZIDA Z1
Prema Yu81, član 73, iznos aksijalnog naprezanja zida usled gracitacionog opterećenja je
ograničen:
σ0 /βB≤ 0,20 gde je σ0= N/F
βB= 0,7 βK
zid Z3, slika 3.9 N= Ng+0,5Np= 3686,2+0,5´784,0= 4078 kN
zid Z1
N1≈0,5´4078= 2039 kN
MB 30 → βB= 0,7´30= 21 MPa
b/lw= 20/430 → F= 20´430= 8600 cm2
σ0= N/F= 2039/8600= 0,24 kN/cm2= 2,4 MPa
σ0 /βB= 2,4/21= 0,11< 0,20
Uočiti da je u slučaju zida Z3 ovaj uslov prekoračen, treba podebljati zid u donjim etažama, ili povećati marku betona.
3.8 DIMENZIONISANJE ZIDA Z1 NA SAVIJANJE
Maksimalni uticaji u uklještenju zida
Stalno opterećenje Mg≈0
(sl. 3.9.b)
Ng≈ 0,5´3686,2= 1843,1 kN
Korisno opterećenje Mg≈0
Np≈ 0,5´784,0= 392,0 kN
(sl. 3.9.c)
Zemljotres
Merodavan je slučaj zemljotresa u X- pravcu, sa efektima torzije
Ns≈ 0
Ms≈ α1M0j= 0,2759´41632= 11486 kNm (slika 3.14)
Zbog promenljivog znaka momenata savijanja zida pri zemljotresu, zidovi se armiraju
simetrečno.
3-12
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
m=0,15%
m=0,15%
minm=0,15%
min
b
min
lw/10
lw/10
a.
lw
Fa1
Fa0
b
Fa1
a1
a1
lw
Za1
b.
Nu
Za0
Mu
Da0
Da1
z~0,8lw
Db
c.
Slika 3.16 - Koncept armiranja zida
~9 cm
18Rf25
20
Fa0
a.
lw/10~45
18Rf25
40
20
Fa0
b.
40
Prema Yu81, član70, minimalni
procenat armiranja ivičnom armaturom (Fa1 na sl. 3.16.b) iznosi:
μ1= Fa1´100/blw≥ 0,15% (3.18)
S obzirom na izduženi presek, zid
se armira i srednjom armaturom (Fa0
na sl.3.16.b), čiji minimalni procenat
iznosi takođe
m0= Fa0´100/blw≥ 0,15% (3.19)
Ukupni minimalni procenat prema tome iznosi 0,45 %, s tim da se
ivična armatura (po 0,15 %) raspoređuje na krajevima zida, na dužini
0,10lw, slika 3.16.a.
Korektan algoritam za dimenzionisanje preseka zida treba da obuhvati sve unutrašnje sile preseka, sl.
3.16.c. (videti programirano ponašanje-deo A): za usvojenu srednju armaturu zida (Fa0), treba odrediti potrebnu
ivičnu armaturu simetrično armiranog
zida (2Fa1).
U praksi, pogotovu u fazi idejnih
rešenja (i na ispitu!), obično se potrebna armatura proračunava kao za
jednostruko armirani presek, pa se usvaja jednaka na oba kraja zida (pretpostavka- lom „po čeliku“).
Granični uticaji- seizmička kombinacija:
N= Ng+0,5Np
= 1843,1+0,5´392,0= 2039,1 kN
Moment oko zategnute armature
Mau= γMMs+γNN(lw /2-a1)
(pretpostavka εb< 3,5‰)
Za određivanje nosivosti preseka–potrebne zategnute armature, pretpostavlja se povoljno dejstvo gravitacionih opterećenja
γM= 1,3
γN= 1,0
Mau=1,3´11486
+1,0´2039,1(4,3/20,43/2))=18877kNm
↑ 0,10l w /2
400
RA 400/500; σv= 400 MPa
lw= 4,3 m z≈0,8lw= 0,8´4,30= 3,44 m
Slika 3.17 - Armiranje kraja zida
potFa1 ≈
Mau / σvz-γNN/ σv= 18877´10 2/(40,0´344)-1,0´2039,1/40,0= 86,21 cm2
3-13
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Za prečnik vertikalne armature, kod zidova se obično usvaja
Øv≤ (1/8−1/10)b
= (1/8−1/10)200≈Ø25−Ø20
Usvojeno: 18RØ25 (stvFa= 88,2 cm2; μ1= 88,2/20´430= 1,03%)
Na slici 3.17.a prikazan je detalj (pre)armiranja kraja zida, prema Yu81 pravilniku. Bolje
rešenje je da se na krajevima zida formira „stub“, kako zbog smeštaja i utezanja armature
uzengijama, tako i zbog oslanjanja greda (u ovom slučaju), slika 3.17.b.Yu81 ni u jednom
stavu ne definiše utezanje krajeva zida, čak ni kao pojam!
Lokalni procenat armiranja ivičnog stuba
m= 88,2´100/402= 5,5<6% (Yu 81)
3.9 ZID Z1- OSIGURANJE OD LOMA TRANSVERZALNIM SILAMA
s
~z
Maksimalni uticaji u uklještenju zida
Q1= α1Q0j= 0,2759´2805,4= 774,0 kN
Prema BAB-u, ograničena je veličina maksimalnog „nominalnog napona smicanja“ τm
τm= γ Q1 /bz≤ 5 τr
MB 30 → τr= 1,1 MPa
τm= 1,3´774,0/(20´334)= 0,15 kN/cm2= 1,5 MPa<5 τr
Prema Yu81, član 71, 'računska sizmička poprečna sila zida isključivo se pokriva horizontalnom armaturom, sa minimalnim procentom armiranja μ= 0,20% površine vertikalnog
preseka zida!'
Ako je („model rešetke“) nagib pritisnute
dijagonale θ= 450 (ugao prsline ~450), ukupna
Fav
horizontalna armatura FaH koja 'premošćuje'
Tavanica
prslinu visine h ≈ z iznosi, slika 3.18:
ΣX= 0 → FaH σv= γQ= Qu
ili, na metar dužni visine zida
Qu
faH= FaH /z ≈ Qu /0,8lw σv (cm 2/cm) (3.20)
Nu
faH= 1,3´774,0/(40´344)= 0,073 (cm2/cm)
mfusv
Fah
μ= faH /b= 0,073/20= 0,36%> minμ= 0,2%
usvojeno: ± RØ10/20
mfusv
RØ10 → fu= 0,59 cm2
mfusv
q
e= 20 cm (razmak)
stvμ=2 fu /be=2´0,79/(20´20)
= 0,395%> potμ= 0,36%
D
Vertikalna
armatura Fa0 srednjeg delaz
rebra zida (FaV na sl. 3.18) obično se usvaja
lw
jednaka horizontalnoj
Z
usvojeno: ± RØ10/20
Slika 3.18 - Obezbedjenje od loma 'rebra' zida
3.10 KONSTRUISANJE ARMATURE ZIDA Z1
Prema Yu81, član74: „srednja armatura (rebra) nastavlja se na preklop, a na krajevima
(ivična armatura) zavarivanjem, ili se armatura vodi kroz dva sprata, čime se 50% nastavlja
preklapanjem na svakom spratu“. Plan armature zida prikazan je na slici 3.19.
3-14
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
20
uRf8/20
+8,40
2a
9Rf25
5
9Rf25
4
2a
uRf8/20
3
7
6
M*
d.
7
uRf8/10
20
5
6
ls1
ls2
+2,80
gM
hcr~2,80
9Rf25
5
1a
9Rf25
uRf8/10
4
1a
5
20
6
7
+5,60
uRf8/10
6
7
3
9Rf25
2
9Rf25
7
1
9Rf25
1
9Rf25
0,00
5 uRf8/10(20)
7 uRf8/10(20)
6 uRf8/10(20)
±Rf10/20
a.
40
3
20
±Rf10/20
40
4
400
40
40
20
ls2
ls1
5
4
2
6
3
40
360
Detalj A
b.
Slika 3.19 - Shema armiranja zida Z1
3-15
1 9Rf25
2 9Rf25
40
Detalj A
c.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Za ivičnu armaturu zida, u okviru stubova, usvojen je koncept vodjenja armature kroz dva
sprata, tako da se u jednom nivou nastavlja 50% armature. Srednja armatura zida može da se
vodi od sprata do sprata. Izvodjačima najviše odgovara da se za svu vertikalnu armaturu iz
temelja ispuste samo ankeri, što treba izbegavati, osim ako se ne obezbedi 'fino' armiranje
nastavka 100% ivične armature (recimo prema Evrokodu 2), ili zavarivanje.
Na višim spratovima može da se proredi ivična armatura zida, dozvoljeno je 'pokrivanje'
dijagrama momenata savijanja zida prema modifikovanoj liniji zatežućih sila na slici 3.19.d.
(videti BAB).
3.11 UTICAJ VETRA NA KONSTRUKCIJU
Iako je glavna tema ovoga primera analiza uticaja zemljotresa, u okviru izrade godišnjeg
rada, a i na pismenom delu ispita potrebno je uraditi i analizu uticaja usled dejstva vetra na
objekat, i noseće elemente konstrukcije dimenzionisati prema 'merodavnim uticajima'. Zadaci
se rade na nivou 'idejnog rešenja', pa se u ovom poglavlju data kratka uputstva za ocenu
uticaja usled dejstva vetra. Postupak potiče iz ranijih propisa, i nije saglasan sa važećim
propisima za opterećenje vetrom, ali ga verovatno i danas stariji inženjeri primenjuju u fazi
idejnih rešenja, jer je jednostavan a i poznato je da uobičajene betonske konstrukcije nisu
preterano osetljive na dejstva vetra.
Zavisno od očekivanih maksimalnih dejstava vetra, teritorija zemlje podeljena je na 'zone'
sa definisanim nominalnim pritiskom vetra - 'osnovnim dejstvom vetra - w0 (kN/m2)'. Za
betonske konstrukcije na području Beograda, nekada se usvajalo w0 = 0,75 kN/m2, na primer.
CK
eVx
4
-0,4w0
L/2
+0,8w0
5
6
00
s1
o
P
VXi
L/2
3
2
L=5x4,0=20,0 m
6
5
00
s1
o
P
CK
4
3
B/2
B/2
2
X
1
A
-0,4w0
L=5x4,0=20,0 m
Y
Y
B
C
B=20,0 m
D
VYi
1
Osnova
a.
A
B
X
C
+0,8w0
D
Osnova
b.
B=20,0 m
Slika 3.20 - Dejstvo vetra na objekat izraženo kao 'pritisak', odnosno 'sisanje' u X, odnosno Y - pravcu.
Za uobičajene četvorougaone oblike osnova objekata, efekat vetra se na fasadi direktno
izloženoj vetru manifestuje kao pritiskujuće dejstvo u iznosu +0,8w0, a na naspramnoj strani
kao istovremeno 'sišuće' dejstvo vetra u iznosu -0,4w0 , slika 3.20. Maksimalno dejstvo vetra
usvaja se da deluje ili u pravcu X (slika 3.20.a), ili u pravcu Y (slika 3.20.b), ali ne i
istovremeno iz oba pravca. Vetar duva na fasadu koja svoje reakcije prenosi na tavanice, tako
da se u nivou tavanice 'i' javlja rezultujuća 'spratna sila' vetra Vi = (0,8w0 + 0,4w0)lhi , gde je l
- širina fasade upravno na pravac dejstva vetra (l=L za pravac X, slika 3.20.a, odnosno l=B za
pravac Y, slika 3.20.b), a hi - spratna visina.
3-16
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
VII
Y
Z6
VI
III
II
A
B
C
20,0 m
D
ZA1
I
0,00
ZD2
CK
ZA2
IV
Z5
7x2,80=19,6 m
VXi
-0,4w0
+0,8w0
V
VXi
Mt=VXieVx
Z3
j
Z1
ZD1
+19,60
X
Presek
Slika 3.21 - Približno dejstvo vetra po visini nižih
objekata
Slika 3.22 - Torzija objekta u osnovi usled dejstva
vetra
Intenzitet vetra se menja po visini objekta, ali se za uobičajene visine objekata u fazi
idejnih rešenja može usvojiti da je konstantan po visini, slika 3.21.
Ukoliko pravac spratne rezultante vetra V ne prolazi kroz centar krutosti sprata CK, kao i
slučaju dejstva zemljotresa nastupiće uvrtanje konstrukcije usled dejstva torzionih momenata
Mt , slika 3.20.a i slika 3.22. Poreklo sila je različito, i različito se odredjuju, ali se njihov
'statički efekat' na konstrukciju računa na identičan način, već prikazan u delu o dejstvu
zemljotresa, izraz 3.17. S obzirom da se pri dejstvu vetra na uobičajene objekte ne očekuju
izraženiji dinamički efekti, to se pri analizi dejstva vetra za vrednost koeficijenta KT u izrazu
3.17 usvaja KT = 1,0, odnosno αi= Ii / å I i +e Iiri / å I i ri 2 .
i
i
U slučaju prikazanom na slici 3.20,
ekscentricitet spratnih rezultanti usled
vetra odnosno zemljotresa je identičan,
jer rezultanta vetra deluje kroz centar
Z2
mase tavanice CM. To ne mora uvek da
je slučaj, slika 3.23 na primer. Oblik
osnove i raspored nosećih zidova Z1-Z4
VXi
CK
u osnovi je takav da rezultanta vetra
prolazi kroz centar krutosti CK, tako da
Z4
nema dopunskih torzionih dejstava
CM
usled vetra. Za razliku od spratne sile
Z1
vetra koja je rezultanta pritisaka na
Z3
fasadu, spratna sila usled zemljotresa je
X
inercijalna, i njena rezultanta deluje u
centru mase CM, čiji položaj zavisi od
B=6 x 6,00=36,00 m
oblika osnove i rasporeda masa. U sluSlika 3.23 - Slučaj kada spratne rezultante usled vetra
čaju prikazanom na slici 3.23, dejstvo
odnosno zemljotresa ne deluju u istim napadnim ta čkama
zemljotresa izaziva i torzione efekte, za
razliku od dejstva vetra, slika 3.24.a. U slučaju prikazanom na slici 3.24.b, oba dejstva
izazivaju torzione efekte, ali sa različitim ekscentricitetom u odnosu na centar krutosti CK.
L=6 x 6,00=36,00 m
-0,4w0
L/2
L/2
+0,8w0
Y
3-17
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Y Y
Y
VX
CM
L/2
SX
CM
Z1
SX
Z2
eVx
Z4
L/2
Z4
eSx
L
CK
eSx
VX
L
L
L/2
L/2
Z2
Z1
CK
Z3
X
Z3
X
B
a.
B
b.
Slika 3.24 - Rezultujuće spratne sile usled vetra - V, odnosno zemljotresa - S
U slučaju nepravilnih osnova zgrada, efekti vetra mogu da budu složeni, posebno kada su
u pitanju lokalna dejstva na pojedine elemente ili zone objekta. Za ocenu globalnog ponašanja
konstrukcije i utvrdjivanje potrebne nosivosti glavnih nosećih elemenata - zidova u ovom slučaju, dovoljno je tačno da se na nivou idejnog rešenja efekat vetra razmatra kao dejstvo na
'projekciju fasade', uz zanemarenje lokalnih nepravilnosti osnove, slika 3.25.
CK
Vazdušni
prostor
Z3 VYi
B/2
B
Z1
Z1
Z2
Z2
B/2
CK
Z1
Z1
Vazdušni
prostor
Z2
Z2
a.
Z3
L
VXi
Z3
-0,4w0
L
L/2
Z3
L/2
+0,8w0
-0,4w0
+0,8w0
B
b.
Slika 3.25 - Ocena dejstva vetra za kontrolu nosivosti objekata sa nepravilnim osnovama
3.12 SLUČAJEVI SLOŽENIH OBLIKA NOSEĆIH AB ZIDOVA
Sva dosadašnja razmatranja odnosila su se na osnovni oblik 'pravougaonog preseka' zida,
sa eventualnim ojačanjima-'stubovima' na krajevima, u kom slučaju može da se govori o Ipreseku nosećeg zida. Pored toga, položaj zidova u osnovi u svim primerima je takav da se
pravac pružanja svih zidova poklapa sa pravcima 'glavnih osa inercije' konstrukcije - na ortogonalnoj osnovi usvojen je i ortogonalni pravac pružanja zidova, u X i Y-pravcu. U praksi,
zidovi se pojavljuju sa različitim oblicima preseka kao i položajima u konstrukciji, slika 3.26.
3-18
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Kvadratni oblik osnove objekta sugeriše da se dejstva zemljotresa analiziraju u
ortogonalnom X-Y sistemu, kao i u svim
prethodnim primerima. Kosi položaj
jednog zida - Z1 na primer, sa rotiranim
sopstvenim osama inercije u odnosu na X-Y
Z4
Z2
sistem dovoljan je da i 'glavne ose inercije'
konstrukcije u celini ne budu paralelne X-Y
osama, pa bi u principu trebalo analizirati
dejstva zemljotresa u pravcima glavnih osa
inercije konstrukcije. Na projektantu je da
odluči o računskom pravcu delovanja
horizontalnih dejstava. U okviru ovoga
Z3
Z1
kursa, ovakvi se slučajevi ne razmatraju, pa
se i ne pojavljuju u godišnjim zadacima,
X
odnosno pismenom delu ispita. To važi i za
sve ostale primere oblika zidova na slici
6x5,00=30,00 m
3.26.
Tretman složenog T-preseka zida Z2
Slika 3.26 - Različiti oblici preseka i položaja zidova
na slici 3.26 u praksi zavisi od primenjene
metode analize. Ako se radi 'peške', kao u
prethodnom primeru, tada 'rebro'- duži deo zida (sa eventualnim efektom sadejstvujuće širine
flanše na krutost u X-pravcu) može da se razmatra kao 'zid u X-pravcu', a da se flanša zida
razmatra kao poseban zid u Y-pravcu, svako sa svojim položajem u odnosu na X-Y ose. Isto
važi i za odredjene vrste softvera za analizu uticaja zemljotresa, kao što je 'TABS', na primer.
Ako se koriste softveri na bazi metode konačnih elemenata, stvari mogu značajno da odstupe
od očiglednosti pa i od pretpostavki propisa.
Slično slučaju zida Z2, L-presek zida Z3 se u praksi često razmatra kao slučaj dva
posebna zida u X odnosno Y-pravcu, bar pri proračunu uticaja. Problem može da nastane pri
dimenzionisanju, jer je u pitanju ipak jedinstven presek. Pravilnije je vektorski sabrati uticaje
dobijene u pojedinim 'krilima' L-preseka, i potom dimenzionisati jedinstveni presek, nego
svaki deo zida dimenzionisati sa svojim računskim uticajima.
U slučaju sandučastih preseka zidova tipičnih za liftovska jezgra, zid Z4 na slici 3.26 na
primer, u praksi se koriste različiti modeli, što zavisi od primenjene metode analize, ali i od
vitkosti jezgra - odnosa visine jezgra prema najvećoj dimenziji preseka u osnovi. Što je vitkost veća, ponašanje jezgra sandučastog preseka sve se više približava ponašanju stuba sandučastog preseka. U tom slučaju, sandučasti presek jezgra može da se modelira sa dva odvojena
konzolna elementa u X odnosno Y-pravcu, sa odgovarajućom krutošću za svaki pravac. Sa
dobijenim uticajima, vitko jezgro se dimenzioniše kao stub sandučastog preseka.
U slučaju niskih - 'zdepastih' jezgara, obično se za krutost jezgra u X odnosno Y-pravcu
usvajaju samo zidovi koji se pružaju u razmatranom pravcu, sa ili bez efekta flanši zbog
prisustva zidova u ortogonalnom prvacu. Ako se koriste softveri na bazi konačnih elemenata,
treba pažljivo interpretirati rezultate imajući u vidu pretpostavke u vezi ponašanja betonskih
elemenata u slučaju zemljotresa.
Ponovimo, slučajevi sa slike 3.26 nisu predmet ovoga kursa.
6x5,00=30,00 m
Y
3-19
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
3.13 PITANJA I ODGOVORI
3.13.1 Osim ograničenja aksijalnog naprezanja (σ0< 0,2βB), Yu81 ne postavlja druge zahteve za
obezbeđenje duktilnosti zidova. Šta zahteva EC8, na primer?
maxe/lw
b
Da bi se ostvarila potrebna krivina preseka zida, potrebno je povećati kapacitet dilatacija
pritisnutih krajeva zida.
Kraj zida na dužini lc= 0,15lw, EC8
tretitra kao „skriveni stub“, opterećen
centrično „efektivnom normalnom si'Skriveni stub'
lom“ effNu. Za ovaj „stub“ važe ista pravila i postupci za obezbeđenje potrebne
e
duktilnosti kao i za normalne stubove,
slika 3.27- videti i Primer 1.
NSd
effNSd
Prema EC8:
(3.21)
effNsd= 0,5(Nsd /2+Msd /z)
Bezdimenzionalna efektivna normalna sila
effνd= effNsd /Acfcd
(videti 1.6, str. 1-9)
lc
lc
a.
Ac= blc= 0,15 blw
lw
Za konstrukciju određene klase duktilnosti
(DCH u ovom slučaju, prema
Slika 3.27 - 'Skriveni stub' na krajevima zida
Yu81), ograničava se effνd i zahteva se
odgovarajuće utezanje uzengijama preseka „skrivenog stuba“.
Ilustracija na primeru zida Z1
Nsd= γN= 2039,1 kN
(γ= 1,0, prema EC8)
Msd= γMs= 11486 kNm
(γ= 1,0, prema EC8)
z≈ lw-lc= lw-0,15 lw= 0,85 lw= 0,85´4,3= 3,65 m
effNsd= 0,5(2039,1/2+11486/3,65)= 2083 kN
C 25/30 → fcd= fck /γc= 25/1,5=16,67 MPa (videti Primer 1)
Ac= blc= 0,15blw= 0,15´20´430= 1290 cm2
effνd= effNsd /Ac fcd= 2083/(1290´1,667)= 0,97>maxνd= 0,55 (DCH)
Pritisak na kraju zida je prevelik i ne može da se realizuje potrebna duktilnost zida! U
ovom slučaju je moment savijanja zida prevelik. U našoj praksi, veličina momenta savijanja
koji zid može da prenese limitirana je ili nosivošću zida, ili uslovima smeštaja zategnute arma5
ture.
Kriterijum
Prema EC8, uslov obezbeđenja duktilnosti
effnd<0,55
4
pritisnutog kraja zida postaje merodavan!, slika
Kriterijum
3.28. Za dati nivo aksijalnog opterećenja ukupnog
3
m*1=4%
preseka zida νd, EC8 praktično ograničava maksi2
malni dozvoljeni ekscentricitet
e= Msd / Nsd
1
izražen na slici 3.28 u odnosu na dužinu zida e/lw.
Prema EC8, (ako se ne varamo), procenat
armiranja u bilo kom delu zida ne sme da bude
0,10
0,20
veći od 4 % (kao za stubove). U tom slučaju, i
nd=Nsd/bwlc
„lokalni procenat armiranja“ skrivenog stuba
Slika 3.28 - Ograničenje veličine momenata
kraja zida treba da je manji od 4 %.
savijanja zida
μ1*= Fa1 /blc≤ 4 %
3-20
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U ovom primeru, Fa= 88,2 cm2 (sl. 3.17.a)
μ1*= 88,2/(0,15´20´430)= 6,8%> 4 %
Da li proširenje kraja zida i formiranje stuba reševa problem prema EC8?
b/d= 40/40 → effνd≈ 2083/(402´1,667)= 0,78> 0,55
b/d= 50/50 → effνd≈ 2083/(502´1,667)= 0,50< 0,55 Ok.
Proračun uzengija za utezanje betona u svemu kao u Primeru 1, sa normalnom silom
2
2
effNsd , i sa μ1/r= q = 4 = 16 („samostalni zid“)
3.13.2 Realni kapacitet nosivosti na savijanje preseka zi da Z1 u uklještenju verovatno da je veći
od računski potrebnog, Ms= 11486 kNm: zbog zanemarenja nosivosti srednje armature F a0 (usvojeno ± RØ10/20), zbog zanemarenja efekta pritisnute armature a možda i zbog konzervativne procene kraka unutrašnjih sila z= 0,8l w. Kako se to odražava na „programirano ponašanje“ zida i
konstrukcije u celini (videti 6.18- deo A)?
Dijagram moment-krivina za usvojenu armatru preseka zida Z1 i normalnu silu N= 2039
kN dat je na slici 3.29.
M (kNm)
15743
Početak
tečenja
armature
Početak
tečenja
armature
N=2039 kN
N=2039 kN
18Rf25
12Rf25
Pojava
prslina
430
k (1/m)
0,00407
12Rf25
40
Pojava
prslina
±Rf10/20
40
±Rf10/20
20
18Rf25
20
19323,6
M (kNm)
40
360
40
440
k (1/m)
0,00734
Slika 3.29 - Računski dijagram moment-krivina zida bez, i sa ojačanjima na krajevima pri
' monotonom opitu' - savijanju u jednom pravcu
Realni kapacitet na savijanje iznosi, slika 3.29.a
Mu= 19323,6 kNm
(> 1,3 Ms= 1,3´11486= 14932 kNm)
Presek je nepotrebno prearmiran. Tačniji proračun pokazuje da potrebna armatura iznosi
12RØ25 (μ1*= 4,5 %)
Mu= 14980 kNm≈ 1,3 Ms
U slučaju preseka zida Z1 sa ojačanjem na krajevima – stubovima, nosivost preseka
armiranog sa 12RØ25 na krajevima je, slika 3.29.b, iznosi
Mu= 15743,7 kNm
(veći krak sila), ali je i maksimalna krivina preseka
maxκ= 0,00734
znatno veća nego u slučaju pravougaonog preseka sa istom armaturom, slika 3.29.b.
Već kada je reč o teorijskoj vezi moment-krivina preseka zida, izgled fragmenata zidova
nakon statičkog ispitivanja savijanjem u jednom pravcu prikazan je na slici 3.30. Zidovi su
dostigli maksimalnu nosivost na savijanje i nastupilo je razvlačenje zategnute armature, uz
pojavu prslina pa i pukotina, uz naglašen uticaj transverzalnih sila.
3-21
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Slika 3.30 - Slika prslina pri savijanju u jednom pravcu - 'motoni opit'
Slučaj na slici 3.30 nije tipičan za efekte uobičajenih zemljotresa, mada je moguć, u
slučaju zemljotresa sa jednim izraženim impulsom i deformacijom konstrukcije praktično u
jednom smeru, nalik monotonom statičkom opitu. Mere koje zahtevaju propisi obično
podrazumevaju da će zid u toku zemljotresa morati pouzdano da izdrži 5-6 ciklusa značajnih
alternativnih deformacija, uz veliki broj ciklusa sa malim amplitudama pomeranja.
a.
b.
Slika 3.31 - Slika prslina u uklještenu zida nakon cikličnog opita i histerezisni dijagram
Slika prslina i veza 'sila u vrhu - pomeranje vrha' stuba nakon opita cikličnih deformacija
prikazani su na slici 3.31.a. Karakteristične su ukrštene X-prsline, uz tendenciju njihovog
spajanja u veće prsline-pukotine, slika 3.31.a. Za dijagram sila-pomeranje, tzv. 'histerezisni
dijagram', karakteristična je pojava razmicanja pozitivne i negativne grane - pojava tzv.
'uštinuća' dijagrama. Nakon dostizanja maksimalne amplitude pomeranja u jednom smeru i
otvaranja pratećih prslina, pri povratku u suprotnom smeru zid ima tendenciju da 'prokliza'
preko ukrštenih prslina koje se još nisu zatvorile, i formirale 'pritisnutu' zonu betona. Ova
3-22
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
pojava je izraženija kod 'zdepastih' zidova, kod kojih dominantna deformacija usled smicanja
zida.
b.
a.
d.
c.
e.
Slika 3.32 - Ciklični opit AB zida
Drugi primer opita zida pri cikličnim deformacijama prikazan je na slici 3.32. Naglašena
je pojava spajanja ukrštenih prslina, slika 3.32.b, praćena 'uštinućem' histerezisne krive silarotacija, slika 3.32.e. Pri malim amplitudama cikličnih deformacija zid se ponaša 'elastično',
slika 3.32.c. Sa porastom amplituda deformacija, nastaje degradacija betona u zoni uklještenja
praćena klizanjem zida, slika 3.32.e.
Prema konceptu „programiranog ponašanja“, proračunske transverzalne sile zida treba
korigovati, uskladiti sa „realnom“ nosivošću na savijanje, slika 6.21- deo A.
Presek u uklještenju zida Z1 dimenzionisan je na računske uticaje
Qs= 774 kNm (=S)
Ms= Sz= 11486 kNm.
Pri realnoj nosivosti na savijanje
Mu= 19323,6 kNm (sl. 3.9.a)
i istom kraku z rezultante, pri pomeranjima usled zemljotresa, rezultanta S seizmičkog
opterećenja će da bude veća, proporcionalno nosivosti na savijanje „plastičnog zgloba“. Zbog
efekata viših tonova oscilacija, raspodela seizmičkog opterećenja odstupa od računski
pretpostavljene (trougaone) raspodele, tako da rezultanta S* može da ima manji krak z* u
odnosu na uklještenje, slika 3.33. Maksimalna transverzalna sila iznosi
Q*= Mu /z*
što sve zajedno EC8 obuhvata „faktorom uvećanja transverzalnih sila“- ε.
3-23
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
2
2
1
1
z*
z
S*
H
H
S
Oblast plastičnog
zgloba
Qmax
Mu
eQmax
Slika 3.33 - Računsko i 'proračunsko' opterećenje zida
2
Oblast plastičnog
zgloba
Slika 3.34 - Računski i korigovani dijagram
transverzalnih sila zida
2
æg M ö
æ S (T ) ö
ε= q ç Rd u ÷ + 0,1ç e c ÷ <q
è q Ms ø
è Se (T1 ) ø
*
Q = εQ
q= 4,0 - faktor ponašanja za zidove bez otvora
γRd= 1,25 - faktor preopterećenja
Mu /Ms= 19323,6/14912= 1,29- odnos realne i potrebne nosivosti na savijanje plastičnog
zgloba
TC= 0,8 s - karakteristična perioda spektra ubrzanja za pretpostavljeno tlo kategorije „C“,
sl. 6.3- deo A.
T1= 0,82 s - računski period
Se(TC)/ Se(T1)≈ 1-odnos ordinata elastičnog spektra ubrzanja, izraz 6.3-A deo A.
2
æ 1, 25
ö
ε= 4,0 ç
1, 29 ÷ + 0,1´ 1, 02 =2,05< q= 4,0
è 4, 0
ø
Zid Z1 trebalo bi proveriti za uticaj maksimalne transverzalne sile
Q*= 2,05´774= 1586,7 kN (dva puta veća transv.sila od računske sile S!)
Faktor uvećanja ε ne treba usvajati veći od vrednosti faktora ponašanja q, jer vrednost
transverzalne sile q´Q pretstavlja približno
„elastičan odgovor konstrukcije“. Proračunska anvelopa transverzalnih sila koriguje se
prema slici 3.24.
Za ilustraciju, značajna oštećenja zida
u zoni uklještenja - 'plastičnog zgloba' pri
zemljotresu u Kobe-u (Japan) 1995. godine
prikazana su na slici 3.35.
Prekomerna oštećenja zidova pri zemljotresu u Turskoj prikazana su na slici
3.36. Uočiti širinu prslina-pukotina, i čoveka koji provlači šaku kroz raspukli zid! Ovo
svakako nije primer dobrog ponašanja AB
Slika 3.35 - Oštećenja zida nakon zemljotresa
3-24
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
zida pri zemljotresu. I pored svega, zid je zadržao dovoljnu nosivost za gravitaciona
opterećenja, tako da nije nastupio potpuni kolaps konstrukcije.
Slika 3.36 - Prekomerna oštećenja zidova pri zemljotresu u Turskoj
3.13.3 A šta je sa zahtevom Yu81 da okvire treba dimenzionisati na 25 % ra čunskog seizmičkog
opterećenja?
U praksi, na projektantu je da proceni da li će za osnovni sistem za prijem horizontalnih
uticaja da usvoji samo zidove, ili zidove i deo (ili sve) okvire, slika 3.37.
Ukoliko se usvoje samo zidovi, tada se u praksi po pravilu ignoriše izneti zahtev, jer je
komplikovan za primenu. Okviri su obično „isprepletani“ sa zidovima, grede se oslanjaju i na
zidove itd. Ako se proceni da krutost okvira značajnije utiče na seizmički odgovor konstrukcije, tada je jednostavnije, i korektnije, u osnovni sistem na samom početku uključiti i okvire,
slika 3.37.b, videti i 6.10- deo A.
Ukoliko se, kao u ovom primeru, za
osnovni sistem izaberu samo zidovi, tada
projektant gubi informacije o uticajima
zemljotresa na stubove i grede. Ovi elementi se dimenzionišu prema uticajima
gravitacionih opterećenja. S obzirom da okviri moraju da prate pomeranja konstrukcije, čiji je računski iznos definisan krutošću osnovnog sistema- zidova, to detalji
a.
b.
Zid Z1
greda i stubova moraju da budu konstruiSlika 3.37 - Osnovni sistem konstrukcije: a.) samo zidovi; sani sa potrebnim kapacitetom deformacija,
b.) zidovi+okviri (Program Tower - Radimpex, Beograd) iako je nosivost okvira određena samo na
osnovu uticaja gravitacionih opterećenja.
Zato EC8 zahteva da „grede i stubovi koji pripadaju konstrukciji određene klase duktilnosti“
treba da poseduju zahtevanu duktilnost- kapacitet post- elastičnih deformacija.
Kao ilustracija posledica izbora različitih osnovnih sistema za prijem uticaja zemljotresa,
izvršena je analiza različitih modela, slika 3.37. Proračun je izvršen metodom konačnih
elemenata- program TOWER, „Radimpex“, Beograd. Analizirana su tri modela osnovnog
sistema konstrukcije, sva tri opterećena računskim seizmičkim opterećenjem prema slici 3.8.
Za debljinu tavanice usvojeno je d*= 5 cm, da bi se smanjila krutost na savijanje, koja nije
obuhvaćena „ručnim analizama“. Nekakva tavanica je u ovom modelu ipak neophodna, kako
bi se sačuvala krutost tavanice u svojoj ravni.
3-25
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
M~50 kNm
M~80 kNm
a.
Q=323 kN
b.
M=5803 kNm
Slika 3.38 - Model zid+okviri: a.) momenti u osi 1; b.) momenti u osi 4
A) Osnovni sistem- samo zidovi, slika 3.37.a
Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 37,7 mm, što se slaže sa rezultatima približne analize,
δ= 33,0 mm, str. 3.12. Isto važi i za iznos M,Q, zida Z1.
B) Osnovni sistem- zidovi pravougaonog preseka 20/430+svi okviri, slika 3.37.b.
Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 16,6 mm, a dijagrami uticaja prikazani su na slici 3.38.
Pomeranje vrha i uticaji u uklještenju zida Z1, za isto spoljno opterećenje, su približno dva
puta manji. Krutost okvira očigledno nije zanemarljiva.
Za razliku od okvirne konstrukcije iz Primera 2, momenti savijanja greda okvira u osi 4
veći su u višim delovima konstrukcije, slike 3.38.a i 3.38.b. U sistemu sa zidovima, momenti
greda na koti +5,60 približno su tri puta manji, zbog različitog iznosa i oblika deformacija
konstrukcija.
C) Osnovni sistem- zidovi sa stubovima na krajevima + svi okviri
Pomeranje vrha zida Z1 iznosi δ= 10,3 mm
Sve do sada izneto ostavlja utisak „proizvoljnosti“, kao da ne postoji jasan koncept
projektovanja konstrukcija za uticaje zemljotresa?
Elastični odgovor konstrukcije koja bi stvarno imala samo zidove (Z), odnosto „realne“
konstrukcije sa zidovima i okvirima (Z+O) prikazan je na slici 3.39.c. S obzirom da je u oba
slučaja period T1 praktično u granicama T≤TC ukupno seizmičko opterećenje Se elastičnog
sistema je praktično isto, sl. 3.39.b. Kako je „realan“ sistem (Z+O) približno duplo krući,
pomeranja dZ+O su približno duplo manja od pomeranja dZ konstrukcije samo sa zidovima.
Zidovi su dimenzionisani tako da pređu u plastični mehanizam pri pomeranju vrha zida
Z1 od δ≈ 37,7 mm, i ukupnom seizmičkom opterećenju S= 2805,5 kN, linija 1 na slici 3.39.c.
Pri kom će pomeranju dy*, i ukupnom opterećenju Sy* „realna“ konstrukcija zidova i
okvira (Z+O) preći u mehanizam, zavisi od nosivosti potencijalnih plastičnih zglobova okvira,
linija 2 na sl. 3.39.c. U svakom slučaju, može se očekivati da „realna“ pomeranja dZ+O pri
zemljotresu budu manja, pa samim tim i zahtevi za potrebnom duktilnošću zidova. Usvojena
računska nosivost zidova praktično predstavlja željeni nivo opterećenja (i pomeranja) pri
kome će početi formiranje mehanizma, dok bi se potpun mehanizam ukupne konstrukcije
3-26
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
ostvario pri daljem prirastu pomeranja, kada i svi okviri pređu u plastični mehanizam. Do toga
uopšte i ne mora da dođe.
d
+19,60
S (kN)
S
Se
a.
0,00
A
B
C
Z
Z+O
D
O
S*y
Se (T)
ab0W
2
Z+O
aW
Z
T1=0,82
TB=0,15 TC=0,80
b.
S=
2805,5
c.
1
d (mm)
d*y
T (s)
16,6
37,7
dZ+O
dZ
Slika 3.39 - Odgovor konstrukcije na zemljotres: a.) ukupno seizmičko opterećenje S i pomeranje vrha d; b.)
elastična spektralna kriva prema EC8; c.) ukupno optere ćenje-pomeranje vrha zida
Z-samo zidovi; O-samo okviri; Z+O-zidovi i okviri
U ovom slučaju, bilo bi racionalno uključiti i okvire u osnovni sistem, kako zbog
potrebne armature, tako i zbog realnije ocene pomeranja.
3-27
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 4
U prethodnom izdanju ovaj primer nije bio uključen u sadržaj, papiri pisani rukom deljeni
su studentima na času. Naime, industrijske hale trebalo je da su obrađene na prethodnom
kursu betona, da su studentima poznati svi pojmovi, tako da se u okviru ovoga kursa samo
preciziraju neki pojmovi u vezi zemljotresa. Na žalost, te godine je zbog bombardovanja
nastava bila prekinuta, tako da su studenti ostali uskraćeni za osnovne pojmove u vezi hala. U
takvoj situaciji, studentima je pripremljeno desetak strana osnovnih pojmova o halama, sa
uputstvima za izradu zadatka na ispitu.
Pripremajući kompletno 'elektronsko izdanje' skripti, prva ideja je bila da se i jedna hala
uradi kao kompletan brojni primer. Međutim, u želji da se studentima pruži što više
raznovrsnih informacija, zadržan je originalni koncept, pa su različiti problemi i primeri hala
izloženi kroz 'priču'. Primer započinje postavkom jednog jednostavnog ispitnog zadatka, ali se
potom priča odvija svojim tokom. Iako nemaju brojni primer, studenti imaju sve potrebne
informacije potrebne za razumevanje materije i uspešnu izradu godišnjeg zadatka kao i
polaganje pismenog dela ispita, to potvrđuje i iskustvo iz proteklih pet godina.
Naravno da je prvobitni tekst ovom prilikom proširen, a delom i izmenjen. Konstrukcije
hala su detaljnije objašnjene, neki pojmovi su preciznije formulisani, i dosledno je krutost
stubova i okvira opisana krutošću na pomeranje, umesto sa krutošću preseka na savijanje EI,
na šta se problem svodi u posebnim slučajevima. Detalji i pravila armiranja ovom prilikom
nisu posebno prikazani, studenti se upućuju na Primere 1 i 2 gde mogu da nađu odgovarajuća
uputstva i primere armiranja stubova i greda.
4-1
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
PRIMER 4
Podužni okvir
Poprečni okviri
Kalkan
B=15,0 m
Kalkan
POS2
(glavni nosač)
Za AB okvirnu konstrukciju industrijske hale potrebno je uraditi idejno rešenje konstrukcije objekta, prema sledećim podacima:
- čista visina hale, od poda do donje ivice konstrukcije krova - H0= 12,0 m;
- da bi se omogućilo naknadno produžavanje hale, kalkani su nezavisne čelične konstrukcije postavljene uz krajnje poprečne okvire, u vrhu bočno pridržane AB konstrukcijom krova;
- u ravni podužnih okvira, hala je zatvorena horizontalnim fasadnim panelima koji se
kače za stubove
rov
1 (k
S
PO
S1 (stub)
)
L=7l=7x5,0=35,0 m
Slika 4.1 - Dispozicija hale - osnova
Za proračun usvojiti sledeće podatke:
- težina izolacije krova
- težina fasadnih panela
- sneg
- vetar, “osnovno dejstvo”
- zemljotres:
qi= 1,50 kN/m2
qf= 1,20 kN/m2
s= 1,00 kN/m2
w0= 0,70 kN/m2
VIII zona
tlo I kategorije
Plitko fundiranje: dopušteni napon σ0= 0,3 MPa za osnovna opterećenja odnosno, σz=
0,4 MPa u slučaju zemljotresa.
1.- Usvojiti rešenje konstrukcije i skicirati dispoziciju sa pretpostavljenim dimenzijama
elemenata.
2.- Izvršiti potrebne proračune i dimenzionisati stub POS S1.
3.- Odrediti potrebne dimenzije temelja stuba POS S1.
4.- Skicirati plan armature stuba POS S1.
4.1 KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE
“Idejnim rešenjem” treba definisati dispoziciju konstrukcije objekta: konstrukcijski materijal (u ovom slučaju beton); prostorni koncept konstrukcije koji treba da obezbedi pouzdan i
jasan prijem vertikalnih i horizontalnih opterećenja-prostornu stabilnost; veze pojedinih elemenata kao i način građenja (montaža, izrada livenjem na licu mesta), iz čega proističe
statički sistem elemenata, kao i konstrukcije u celini.
U zadatku je definisan položaj stubova, njihov osovinski razmak u poprečnom (B) i podužnom pravcu (λ), kao i čista visina unutar hale - rastojanje od poda do najniže donje kote
4-2
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
POS2
DH0
dk
konstrukcije - H0, slika 4.2. Korisnik objekta ili projektant tehnologije hale propisuje potrebne
gabarite, B0´H0 ili B´H0. Od svih mogućih konstrukcijsih rešenja, na ispitu se treba odlučiti
za ono koje je korektno, i koje se može rešiti u datom vremenu. U konkretnom slučaju, kao
globalni concept konstrukcije usvojen je sistem horizontalne konstrukcije krova (krov može
da ima nagib gornje konture zbog odvodnjavanja, pri čemu se nagib usvaja prema
karakteristikama odvodnjavanja izabranog krovnog pokrivača) oslonjene na vertikalne
stubove - za prenos vertikalnih opterećenja, kao i grupe poprečnih i podužnih okvira - za
prijem horizontalnih opterećenja, slike 4.1 i 4.2.b.
H=H0+dp+DH0
POS FG
H0
H0
POS S1
B
B0
KP
ds
ds
~KP-dp
dp
dp
df
ds
B
a.
b.
Slika 4.2 - Gabarit hale (a), i poprečni okvir hale (b)
4.1.1 Konstrukcija krova i poprečnih okvira
d
B
B
Poželjno je da je konstrukcija krova kruta u svojoj ravni, da bi se uticaji vetra i
zemljotresa raspodelili na sve stubove, kao i da bi se izbeglo 'gužvanje' konstrukcije krova u
svojoj ravni i lom oslonačkih veza elemenata, slika 4.3.a. U ovom primeru, kao i kursu u
celini, podrazumeva se da je na odgovarajući način obezbeđena krutost konstrukcije krova u
svojoj ravni. U obzir dolaze sva poznata rešenja - montažna, livena na licu mesta ili mešovita.
Da bi se obezbedila krutost krova, rešenja sa rožnjačama obično zahtevaju postavljanje
spregova u ravni krova (zavisi od krovnog pokrivača), slika 4.3.b.
L
a.
L
Slika 4.3 - Fleksibilan (a), i ukrućen krov u svojoj ravni (b)
4-3
b.
H0
POS S1
ds
b.
dp
a.
POS S1
ds
dp
dp
H0
POS S1
ds
POS IG
POS FG
d
POS IG
POS FG
c.
POS S1
ds
H0
POS IG
POS FG
POS FG
POS2
dp
POS IG
a
POS1
POS2
d
POS2
a
d
POS2
POS1
a
H0
POS1
d
POS1
d1
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
d.
Slika 4.4 - Varijante glavnih nosača POS2 - 'rigli' poprečnog ovira: a.) monolitna konstrukcija plo če sa
gredama; b.) rešetka, rožnjače i krovni pokrivač;c.) prethodno napregnuti nosač, rožnjače i krovni pokrivač; d.)
dvopojasni nosač, rožnjače i krovni pokrivač
Pri izboru konstrukcije krova i poprečnog okvira, na ispitu je najracionalnije pretpostaviti
da je glavni nosač krova POS2 greda - 'rigla' zglobno vezana sa stubovima, slika 4.4. Poprečni okvir formiraju dva konzolna stuba i glavni nosač POS2. Poprečni okviri u praksi mogu da
budu i ramovske konstrukcije, sa krutim vezama stubova i greda, ali ovi sistemi zahtevaju više
vremena za analizu, i zbog toga se ne preporučuju za usvajanje na ispitu. U ravni upravnoj na
poprečni okvir, vrhovi stubova obično se povezani fasadnom gredom - POS FG na slici 4.4.
Da bi se zatvorila hala, obezbedila bočna stabilnost glavnih nosača POS2 i oformio oluk za
odvodnjavanje, u ovom primeru postavljena je i ivična greda - POS IG na slici 4.4, koja je deo
konstrukcije krova, i nije vezana za stubove hale.
U idejnom rešenju na ispitu je dovoljno da se usvoji konstrukcijsko rešenje i računom
odredi potrebna visina rožnjače ili debljina ploče (d1 na sl. 4.4.a), odnosno visina glavnog
nosača d i dimenzije gornjeg i donjeg pojasa, u slučaju rešetkastih nosača. Proračun u preseku
maxM je dovoljan. Cilj analiza je procena dimenzija nosača, kako bi se definisala njihova
težina potrebna za analizu uticaja zemljotresa.
Rešenjem konstrukcije krova definisano je gravitaciono opterećenje stubova, kao i glavni
deo mase konstrukcije. Pored toga, utvrđena je i visina stubova - H, odnosno statičke dimenzije poprečnog okvira B´H na slici 4.2.b, koji prihvataju sva horizontalna opterećenja koja
deluju u ravni poprečnih okvira.
4.1.2 Podužni okviri
Horizontalna dejstva upravna na poprečne okvire prihvataju se konstrukcijom podužnih
okvira, slika 4.1 i 4.5. U praksi, podužni okviri koji su ujedno i fasada - 'fasadni podužni
okviri' mogu da se izvedu na različite načine, slika 4.5.a. Stubovi poprečnih okvira ujedno su i
stubovi podužnih okvira. Da bi se problem pojednostavio, u ovom kursu se pretpostavlja da su
stubovi podužnih okvira povezani gredama samo u vrhu - POS FG na slici 4.4 i 4.4, a da je
zatvaranje fasada izvršeno montažnim 'fasadnim panelima' postavljenim horizontalno, slika
4.5.b, ili vertikalno, slika 4.5.c. Ukoliko se paneli postavljaju horizontalno, bočnim vezivanjem za stubove, tada se sopstvena težina panela gp (kN/m2) prenosi kontinualno na stubove,
slika 4.5.b. Linijsko opterećenje stuba po visini od težine panela iznosi g0 = gp ´ l . Ukoliko
4-4
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
se paneli postavljaju vertikalno, u jednom komadu, tada se težina panela prenosi na temeljnu
gredu POS TG, slika 4.5.c
G,P
POS FG
V,S
POS FG
g0
gp
gp
POS TG
g0
l
l
l
a.
l
l
l
b.
l
l
l
c.
Slika 4.5 - Elementi konstrukcije podužnih okvira
Hi
dg
H
Iako se paneli obično postavljaju ispred stubova, kao na slici 4.5.b, na ispitu se može
pretpostaviti da su paneli centrisani u osama stubova - ne unose momente u stubove. Moguća
su rešenja i sa oslanjanjem horizontalnih panela na temeljnu gredu - paneli leže jedan na
drugom i bočno su pridržani stud
G,P
G,P
POS FG
bovima da se spreči preturanje.
Proizvođač panela definiše potrebV,S
ne veze, koje projektant konV,S
strukcije treba da obezbedi i statički interpretira.
Statički sistem podužnih okvibs
bs
ra definisan je usvojenim vezama
stubova i temelja, odnosno stubol
l
l
l
l
l
a.
b.
va i fasadnih greda. Pretpostavlja
se da su paneli fleksibilno vezani
Slika 4.6 - Podužni okvir sa montažnim fasadnim gredama u vrhu
za konstrukciju i da ne u ukrućuju
podužne okvire. U ovome primeru
i kursu usvojeno je da su stubovi
d
G,P
G,P
POS FG
kruto vezani - uklješteni u temelje.
Ukoliko je veza fasadnih greda i
V,S
V,S
stubova zglobna (slučaj montažnih
fasadnih greda, slika 4.6), statički
sistem podužnog okvira je niz
konzolnih stubova u vrhu aksijalbs
bs
no povezanih gredama koje obezbeđuju jednaka pomeranja d vrhol
l
l
l
l
l
a.
b.
va svih stubova, slika 4.6.b. DužiSlika 4.7 - Podužni okvir sa monolitnim krutim fasadnim
na izvijanja stubova u ravni podugredama u vrhu
žnog okvira iznosi 2´H .
Ukoliko je veza fasadnih greda i stubova kruta, slika 4.7, statički sistem podužnog okvira
je pomerljiv ramovski sistem. U slučaju da je krutost fasadne grede znatno veća od krutosti
stubova (krutost je funkcija momenta inercije preseka ali i raspona elementa), tada su vrhovi
stubova praktično uklješteni u 'beskonačno krutu' pomerljivu fasadnu gredu, slika 4.7.b.
Dužina izvijanja stubova u ravni podužnog okvira isnosi H1 . Dva navedena primera su
ekstremi, zgodni za analizu u idejnim rešenjima i na ispitu. U raealnosti, moguća su sva
rešenja između ova dva - sa 'fleksibilnim vezama'.
4-5
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.1.3 Kalkani
Kalkanima se obično nazivaju konstrukcije koje zatvaraju čela hale. Izbor materijala i
konstrukcije kalkana zavisi i od uslova eksploatacije objekta. Ako se hala gradi u svom definitivnom obimu, tada se kalkani obično formiraju kao složene ramovske konstrukcije sa međustubovima i završnom fasadnom riglom, koja zamenjuje glavni poprečni nosač POS2.
4
Izolacija
Krovni pokrivač
Rožnjače
2
1 Kalkan
6
3
Temelj
kalkana
l
5
l
l
l
a.
l
l
b.
Slika 4.8 - Konstrukcija demontažnog, privremenog kalkana: 1 - kalkan; 2 - bočna veza kalkana i krova; 3 glavni nosač poprečnog okvira; 4 - krovni pokrivač sa rožnjačama; 5 - stub; 6 - fasadna greda
Ukoliko se predviđa naknadno produženje hale, obično se hala završava uobičajenim
poprečnim okvirom, koji treba jednoga dana da primi dodatak opterećenja usled produžavanja
konstrukcije. U tom slučaju kalkani se izvode kao privremene, demontažne konstrukcije, i
mogu da se postave ispred završnog poprečnog okvira, slika 4.8. Konstrukcija kalkana sama
nosi svoju težini, oslonjena na nezavisne temelje kalkana, slika 4.8.a. Da bi se sprečilo preturanje, konstrukcija kalkana se u vrhu bočno vezuje za krutu konstrukciju krova hale, detalj 2
na slici 4.8.a, pri čemu se obično formira vertikalna dilatacija, da bi se sprečilo naslanjanje
konstrukcije krova na kalkana pri dejstvu snega, na primer. Ako se kalkan bočno oslanja na
nedovoljno krutu konstrukciju krova, tada treba postaviti spreg u prvom polju hale, ili
obezbediti poseban spreg kalkanskoj konstrukciji oslonjen bočno na podužne okvire, itd.
U stvarnosti, konstrukcije kalkana se posebno analiziraju, od slučaja do slučaja. Kruta
konstrukcija kalkana u svojoj ravni može da proizvede efekat zida - 'šajbne' na krajevima
hale, sa tendencijom da sva horizontalna opterećenja u pravcu poprečnog okvira gravitiraju ka
kalkanima kao najkrućim elementima u tom pravcu. Jednostavnosti radi, u ovom primeru
(preporuka i za ispit) usvojeno je da je konstrukcija kalkana nezavisna - 'samostojeća', i da ne
utiče na ponašanje glavne konstrukcije hale pri gravitacionim i horizontalnim opterećenjima.
Uloga kalkana je samo da prihvati dejstvo vetra i da ga prenese na glavnu konstrukciju hale.
4.1.4 Procena dimenzija stubova bs /ds
Na dimenzije preseka stubova utiču: normalna sila od gravitacionih opterećenja (poznata,
prethodno određena); vitkost stuba (poznata je dužina izvijanja l0 = 2H u ravni poprečnog
okvira, tj. l0 = 2H, odnosno l0 = H u ravni podužnih okvira, slika 4.6 odnosno 4.7); momenti
savijanja usled dejstva vetra (poznati, jer zavise od gabarita objekta), ili momenti savijanja
usled dejstva zemljotresa (nepoznati, jer zavise od krutosti stubova čije dimenzije za sada ne
4-6
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
znamo). Pored toga, ne zna se unapred da li je za određivanje dimenzija stubova merodavan
slučaj opterećenja usled vetra ili zemljotresa. U principu problem se rešava u iteracijama.
Iako je dozvoljena vitkost stubova λ≤125, na ispitu se dozvoljava, i preporučuje, da se
pretpostave dimenzije preseka stuba tako da vitkost iznosi λ≤75, da bi mogli da se primene
jednostavni dokazi efekata drugoga reda - metoda dopunske ekscentričnosti prema BAB-u. Da
bi stub poznate dužine izvijanja l0 imao traženu vitkost l, potrebna dimenzija stuba b u ravni
izvijanja iznosi b=l0 12 /l . Na žalost, te dimenzije ne moraju da budu dovoljne i za
obezbeđenje nosivosti pri vetru odnosno zemljotresu, ali su obično dobra pretpostavka za
polaz. Voditi računa da se efekti drugoga reda proveravaju samo za dejstva gravitacionih
opterećenja i vetra, ali ne i u slučaju zemljotresa. Ovi efekti postoje i pri pomeranjima usled
zemljotresa, ali algoritam propisa Yu81 ne daje potrebna rešenja za određivanje pomeranja i
efekata drugoga reda u slučaju zemljotresa.
Budući da po Yu81 stubovi moraju da zadovolje uslov duktilnosti
P/(0,7βk F)≤ 0,35 → Fmin= bs ds ≥ P/(0,7βk 0,35)
gde je: P - aksijalna sila usled gravitacionog opterećenja pri zemljotresu; bk - marka betona,
to su i minimalne dimenzije preseka stuba limitirane, i treba ih unapred proveriti, pre prelaska
na analizu uticaja vetra i zemljotresa.
Ako se usvoji da su stubovi konzolni i u ravni podužnog okvira, slika 4.6, tada bi praktično ista vitkost sugerisala izbor kvadratnog preseka stuba, pa bi pri istim krutostima stubova
seizmičko opterećenje u oba pravca bilo isto. To se obično ne radi, jer se u ravni podužnih
okvira stubovi uvek mogu ukrutiti fasadnom gredom, a i uticaji vetra su izraženiji u
poprečnom pravcu, jer je veća izložena površina. Prema tome, pravougaoni presek je bolje
rešenje, u kom slučaju se, na ispitu, preporučuje dispozicija podužnog okvira prema sl. 4.7, sa
krutom fasadnom riglom POS FG. Lako se rešava, i koliko-toliko simulira povećanu krutost
podužnih okvira. Uslov vitkosti λ≤75 primenjen na obe ravni izvijanja u tom slučaju daje ds=
2bs.
4.2 PRORAČUN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA
S obzirom da su krutost konstrukcije i raspored masa dvoosno simetrični u osnovi, centar
mase CK i centar krutosti CK se poklapaju - prema Yu81 nema torzionih uticaja usled dejstva
zemljotresa, slika 4.9.
Y
POS
2
POS FG
B
Sx
Sy
Fasadni
paneli
X
A
1
2
3
4
5
6
7
my
H/2
CM
CK
ky
ds
H
B
POS S1
8
a.
L
A
Slika 4.9 - Poklapanje centra mase CM i centra krutosti
CK u slučaju simetrične konstrukcije hale
b.
B
Slika 4.10 - Računska masa m y konstrukcije i
dinamički model u ravni poprečnog okvira
U opštem slučaju, pomeranja bilo koje tačke krute konstrukcije krova u svojoj ravni
mogu da se opišu sa tri parametra, dve translacije i rotacija - sistem ima tri stepena slobode
4-7
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
kretanja. S obzirom da nema efekata rotacije, uticaji zemljotresa mogu da se analiziraju kao
dva vremenski nezavisna slučaja: translacija u podužnom X-pravcu, odnosno translacija u
poprečnom Y-pravcu. Za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u
poprečnom Y-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom my koncentrisanom u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje ky u Y-pravcu,
slika 4.10. Svaka 'čestica' mase osciluje pri zemljotresu, pa tako i masa fasadnih panela
osciluje zajedno sa kontinualnom masom stubova. Za ocenu pomeranja i naprezanja stubova,
dovoljno je tačno da se masa fasada i stubova sa gornje polovine visine objekta H/2 pripiše
dominantnoj masi krova na visini H, slika 4.10.
kx
bs
1
l
8
a.
~H
~H/2
mx
b.
Slika 4.11 - Računska masa m x konstrukcije i dinamički model u ravni podužnog okvira
Analogno, za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u podužnom X-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom mx koncentrisanom
u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje kx u X-pravcu, slika 4.11.
Krutost sistema u X/Y pravcu obično nije ista k x ¹ k y , pa će se i ukupno seizmičko
opterećenje u ova dva pravca razlikovati. Za oba događaja masa je ista, mx =my =m, ali se
relativnim pomeranjima ukupne mase pri zemljotresu u poprečnom Y-pravcu suprotstavlja n=
8 poprečnih okvira, a pri zemljotresu u podužnom X-pravcu pomeranjima se suprotstavljaju
n= 2 podužna okvira u osama A i B.
Odgovarajući period oscilovanja može da se sračuna preko poznatih izraza:
m
T1= 2π
; T1= 2π md ; T1≈ 2 d
k
gde su: m-masa; k-krutost na pomeranje; d-pomeranje usled jedinične sile ('fleksibilnost
konstrukcije'); d-pomeranje (u metrima) usled težine g´m usmerene horizontalno. Poslednja
dva izraza su opštija i pogodnija za proračun. Uočiti da treći izraz u slučaju konzolne
konstrukcije daje:
QH 3
mgH 3
=2
=2 g
3EI
3EI
g = 3,132≈ π
T1= 2 d = 2
gde je g= 9,81 m/s2 →
m
1´ H 3
≈ 2π md
3EI
4.2.1 Poprečni, Sy - zemljotres:
Ukupno seizmičko opterećenje Sy u Y- pravcu iznosi
Sy= = k0 ks kp kd Q
gde su:
Q
ukupna računska težina (=m´g)
k0 = 1,0
koeficijent kategorije objekta, objekat II kategorije
kp = 1,0
T1< 2,0 s
(koeficijent duktilnosti, član 27 Yu81)
= 1,6
T1≥ 2,0 s
4-8
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
ks= 0,025
koeficijent seuzmičnosti, VII zona
Napomena: Ukoliko je zadatkom zadato ubrzanje tla ag na
osnovnoj steni sa povratnim periodom 500 godina, tada je:
ks ~ 0,25ag /g
koeficijent dinamičnosti, tlo I kategorije
kd= 0,5/T1≤ 1,00
≥ 0,33
d
dy
bs
Y
3
4
B
ky
X
Sy
2
H
ds
CM
CK
m
1
my= m
P=1
B
A
5
6
7
8
a.
b.
L
Slika 4.12 - Proračun efekata zemljotresa u poprečnom Y-pravcu
Od parametara koji definišu ukupno seizmičko opterećenje Sy, svi su jedonoznačno definisani propisima za date uslove zadatka, osim vrednosti koeficijenta dinamičnosti kd, koji je
funkcija nepoznate vrednosti perioda oscilovanja u prvom tonu T1.
Vrednost perioda oscilovanja T1 može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase
my=m i ukupne, zbirne krutosti ky konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi
stubovi (ukupno n=16 stubova) istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i , sa
momentom inercije preseka Ii =bs ds3/12 i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu
P=1, jednako
δi= 1´Hi3/3EIi
Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje
jednaka
kiy = 1 / di = 3EIi / Hi3
Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova
ky=
16
åk
i =1
iy
pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2π
m
, gde je m ukupna masa.
ky
U opštem slučaju, pomeranje d vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom
krutošću ky usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi
1
1
d = 1/ k y = 16
= 16
3EI
å1 ki y å1 H 3i
i
4-9
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je
d = 1/ k y =
1
=
16
åk
iy
1
H3
1
=
16
3EI 16 ´ 3EI
å1 H 3i
i
odnosno, T1= 2π md ,gde je m ukupna masa.
Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T1 određuje se vrednost koeficijenta dinamičnosti kd , odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja Sy.
Generalno, pri istim pomeranjima δy vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile
Sy na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kiy . Svaki stub i
prima deo sile Siy
Siy = Sy kiy / ky
U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti
na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je
16
Siy= Sy Ii / å I i
i =1
U konkretnom slučaju, Siy= Sy /16, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 16 stubova.
Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile Sy :
16
δy= Syd=Sy H3/(3EI å I i )≤ H/600?
i =1
Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δy>H/600, na ispitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati.
U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i
konstrukcije fasada.
4.2.2 Podužni, Sx - zemljotres:
Ako je krutost fasadnih panela i njihovih veza sa stubovima zanemarljiva, pomeranjima u
X-pravcu opire se opet svih 16 stubova, ali organizivanih u dva podužna okvira, slika 4.13.
Masa sistema je ista kao za Y-pravac, ali krutost sistema nije ista: razlikuje se moment inercije
preseka stuba oko druge ose, i razlikuju se konturni uslovi krajeva stuba - usvojeno je da su
vrhovi stubova kruto vezani za 'beskonačno krutu' fasadnu gredu. Zbog različite krutosti,
razlikovaće se i računsko seizmičko opterećenje Sx u X-pravcu.
bs
Sx/2
B
Sx
Is1
m
Is2
3
4
5
6
7
8
Is8
l
A
2
Is3
bs
X
1
dx
dx
B
ds
CM
CK
m/2
H
Y
a.
L
Slika 4.13 - Proračun efekata zemljotresa u podužnom X-pravcu
4-10
b.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=16 stubova) istog sistema (pomerljiva, obostrano
uklještena greda), to je pomeranje bilo kog stuba i , sa momentom inercije preseka Ii =dsbs3/12
i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu P=1 , jednako
δi= 1´Hi3/12EIi
Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost stuba i na pomeranje jednaka
kix = 1 / di = 12EIi / Hi3
Obostrano uklješten stub je četri puta krući od konzolnog stuba. Krutost ukupne konstrukcije
na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova
kx=
16
åk
ix
i =1
m
, gde je m ukupna masa.
kx
pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2π
U opštem slučaju, pomeranje d vrha konstrukcije obostrano uklještenih stubova sa
ukupnom krutošću k usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi
d = 1/ k x =
1
=
16
åk
ix
1
1
12 EI
å1 H 3 i
i
16
U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je
d = 1/ k x =
1
=
16
åk
1
ix
1
H3
=
16
12 EI 16 ´ 12 EI
å1 H 3 i
i
odnosno, T1= 2π md , gde je m ukupna masa. Sa poznatom vrednošću perioda oscilovanja
T1, potrebno je odrediti odgovarajuću vrednost koeficijenta dinamičnosti kd, i računskog seizmičkog opterećenja Sx za X-pravac dejstva zemljotresa.
Pri istim pomeranjima δx vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile Sx na
pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kix . Svaki stub i prima
deo sile Six
Six = Sx kix / kx
U slučaju stubova istih konturnih uslova, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti
na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je
16
Six= Sx Ii / å I i
i =1
U konkretnom slučaju, Six= Sx /16, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 16 stubova.
Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile Sx :
16
δx= Sxd=Sx H3/(12EI å I i )≤ H/600?
i =1
U prethodnoj analizi, krutost sistema određena je kao za Y-pravac, na bazi pojedinačnih
krutosti stubova. Ako se konstrukcija posmatra kao dva podužna okvira istih krutosti, tada
svakom podužnom okviru pripada pola mase m/2 , odnosno polovina ukupne seizmičke sile Sx /2.
Period oscilovanja jednog podužnog okvira iznosi T1= 2π mx d (isti je i za drugi okvir,
naravno), gde je mx= m/2 (m= Q/g- ukupna masa objekta). Na osnovu prethodno prikazanih
4-11
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
opštijih izraza, pomeranje jednog okvira
koga čini osam identičnih stubova usled
jedinične sile u vrhu iznosi
d
Si
M=SiH /2
8
δ= 1´H3/(12E å I i )
i =1
H
Q=Si
gde je
8
åI
i =1
i
=8Is , u ovom slučaju.
Usled sile Si na jednom stubu, uticaji
u stubu prikazani su na slici 4.14. U
principu, u stubovima podužnog okvira
Slika 4.14 - Statika podužnog okvira
pojavljuju se i aksijalne sile usled zemljotresa, koje su u srednjem delu podužnok okvira u ovom primeru zanemarene.
M=SiH /2
4.3 PRORAČUN UTICAJA VETRA
Kao i u Primeru 3, deo 3.11, u ovom kursu se za potrebe izrade idejnog rešenja konstrukcije hale koriste jednostavni stavovi starih propisa za vetar. Opterećenje vetrom definisano je
tzv. 'osnovnim dejstvom - w0', slika 4.15, koje je definisano za teritoriju države, slično
seizmičkoj rejonizaciji. U zadatku je data vrednost „osnovnog dejstva vetra“- w0= 0,7 kN/m2.
w0
a.
b.
L
Slika 4.15 - Dejstvo vetra na objekat, prema starim propisima
Pritisak na direktno izloženu površinu iznosi
w+= 0,8w0= 0,8´0,7= 0,56 kN/m2
Podpritisak, ili „sišuće dejstvo“ na naspramnu površinu iznosi, slika 4.15.
w-= 0,4w0= 0,4´0,7= 0,28 kN/m2
POS2
POS FG
H
0,4w0l
aw0l
0,8w0l
POS FG
POS S1
B
S1
l
1
l
2
l
4
a.
b.
Slika 4.16 - Dejstvo vetra na horizontalne fasadne panele podu žnog okvira
4-12
B
L
w-= 0,4w0
Objekat-podužni presek
w+= 0,8w0
Sisanje
w-= 0,4w0
H
w+= 0,8w0
Pritisak
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Osim intenziteta vetra, opterećenje elemenata konstrukcije zavisi i od načina prenosa sila
vetra sa fasade na konstrukciju. U slučaju horizontalnih fasadnih panela podužnog okvira, sile
vetra se sa panela prenose direktno na stubove, kao podeljeno opterećenje po visini stuba,
slika 4.16.
POS2
POS FG
~aw0H/2
0,8w0lH/2
0,4w0lH/2
POS FG
H
H
S1
POS S1
POS TG
B
0,4w0lH/2
0,8w0lH/2
l
l
1
~aw0H/2
l
b.
a.
2
Slika 4.17 - Dejstvo vetra na vertikalne fasadne panele podu žnog okvira
0,8w0
Rw+
l
l
2
1
Slika 4.18 - Dejstvo vetra na kalkan
U slučaju vertikalnih fasadnih panela podužnog
okvira, stubovi nisu direktno izloženi vetru, čije se
reakcije prenose delom u ravan krova, a delom u nivo
temelja, slika 4.17. Svaki poprečni okvir prihvata deo
vetra iz ravni krova na dužini l , slika 4.17.b.
U ovome primeru usvojeno je da je konstrukcija kalkana takva da se dejstvo vetra na konstrukciju hale prenosi kao i u slučaju vertikalnih panela, delom na temelje
kalkana a delom u ravan krova, slika 4.18 i 4.19.
Konstrukcija kalkana opterećenje vetra predaje krutoj
krovnoj ravni na rasponu B, da bi se potom sile vetra iz
ravni krova unele u podužne okvire, i preko njih u
temelje. Isti mehanizam prenosa važi kako za pritiskujuće
dejstvo vetra, tako i za 'sišuće'.
4.3.1 Uticaji vetara u podužnom, X- pravcu
S obzirom na simetriju, po pola reakcije vetra sa kalkana prihata svaki od podužnih
okvira A odnosno B, slika 4.19.
Pw /2
Pw /2
B
Okvir B
B
RwRw+
Okvir A
1
2
3
4
5
L
Pw /2
6
7
A
8
Is1
Is2
Is3
bs
X
l
a.
Slika 4.19 - Dejstvo vetra u podužnom X-pravcu
4-13
Is8
H
Y
b.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Uz pretpostavku da su stubovi kalkana uklješteni u svoje temelje, i zglobno oslonjeni na
krov, reakcije kalkana u ravni krova iznose:
Rw+≈ 3w+H/8= 3´0,8w0H/8 (= 0,30w0H kN/m’ )
Rw- ≈ 3w-H/8 = 3´0,4w0H/8 (= 0,15w0H kN/m’ )
Rezultanta vetra na ceo krov iznosi
Pw= (Rw++ Rw-)B= (3/8)(0,8+0,4)w0HB (kN)
Uticaji u stubovima određuju se kao i u slučaju zemljotresa (Pw↔ Sx), razmatrajući
konstrukciju sastavljenu od 16 pojedinačnih stubova, ili kao slučaj dva podužna okvira. U
odnosu na zemljotres, razlika je samo u poreklu opterećenja, na dalje se statički proračun
zasniva na istim principima.
4.3.2 Uticaji vetra u poprečnom, Y- pravcu
B
Za analizu je jednostavniji slučaj zatvaranja fasade vertikalnim panelima, prema slici
4.17. U ovome primeru usvojeno je da opterećenje usled vetra horizontalni paneli prenose na
glavne stubove poprečnih okvira, sa pripadajuće širine l → qw± = w±λ, prema slici 4.16.
Uticaji u stubovima od vetra u popY
rečnom pravcu, slika 4.20, posledica su dva
0,4w0
stanja: direktnog dejstva vetra na stub sa
B
pripadajuće širine l, slika 4.21.b, i uticaja
usled pomeranja vrhova stubova zbog
pomeranja krova kao krute ploče, slika
4.21.c.
U terminima 'metode deformacija',
X
direktni
uticaji vetra na stub dobijaju se
A
analizom 'nepomerljivog sistema', kome je
0,8w0
privremeno dodat horizontalni oslonac u
ravni krova, slika 4.21.b. U ovom koraku
3
1
2
4
5
6
7
8
L
treba odrediti momente i transverzalne sile
stuba-grede uklještene u temelj, i zglobno
Slika 4.20 - Dejstvo vetra u poprečnom Y-pravcu
oslonjene o ravan nepomerljivog krova.
Moment u uklještenju stuba u osi A, izloženog pritiskujućem dejstvu vetra iznosi
Msw1=(0,8w0l)H2/8
slika 4.22.a, dok je reakcija stuba u ravni krova
Rw= 3(0,8w0l)H/8
B
A
B
a.
=
0,4w0l
SIB
0,8w0l
H
SIA
Pw=SRw
Rw
0,4w0
0,8w0
EF ® ¥
A
B
b.
SIA
+
A
SIB
B
c.
Slika 4.21 - Određivanje uticaja od vetra u stubovima popre čnog okvira: a.)dispozicija; b.) lokalno dejstvo vetra
na jedan okvir; c.) sumarno dejstvo vetra u ravni krova na konstrukciju u celini
4-14
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Momenti, odnosno reakcije naspramnog stuba u osi B, usled 'sišućeg' dejstva vetra iznose
50% uticaja u osi A. Ukupna reakcija oba stuba jednog poprečnog okvira u ravni
nepomerljivog krova iznosi Rw= 3(0,8+ 0,4)w0lH/8.
Da je konstrukcija krova stvarno nepomerljiva, horizontalno pridržana krutim kalkanima,
na primer, to bi bili i jedini efekti vetra na stubove poprečnog okvira. Pošto nagomilanu
ukupnu reakciju SRw svih poprečnih okvira u ravni krova nema ko da prihvati, krov će da se
pomeri za iznos 'deformacijski nepoznate veličine-horizontalnog pomeranja d ', i da se
oslobodi neuravnotežene reakcije SRw.
Do istog rezultata se dolazi ako se zamisli da oslonac u ravni
Hwi
krova stvarno postoji, ali je privremen. Kada se taj oslonac ukloni,
akumulirana ukupna reakcija Pw= SRw mora da se preraspodeli na
sve stubove poprečnih okvira, slika 4.21.c. Zadatak se rešava kao i
w
+
u slučaju preraspodele seizmičkog opterećenja - srazmerno
Is
Is
krutostima stubova, deo 4.2.1. Na jedan stub deluje dodatna sila
vetra usled pomeranja
Msw2
Msw1
Hwi = Pw kiy / ky
Slika 4.22 - Komponenete
U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih
savijanja stuba direktno
poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos
izloženog vetru
momenata inercije poprečnih preseka, pa je
16
Hwi= Pw Ii / å I i = Pw /16
i =1
Moment savijanja u uklještenju stuba u osi A iznosi Msw2=HwiH, slika 4.22.b.
Ukupni uticaji u stubu direktno izloženom vetru dobijaju se superpozicijom lokalnog
dejstva vetra direktno na stub, i uticaja usled pomeranja krova, Msw=Msw1+Msw2.
Izloženi algoritam je samo predlog kako da se problem reši 'peške'. Problem je jasan, sva
poznata i priznata rešenja dolaze u obzir.
4.4 MERODAVNA KOMBINACIJA OPTEREĆENJA-DIMENZIONISANJE STUBA
Za tipičan stub S1 treba nacrtati dijagrame M,N,Q usled stalnog opterećenja, snega,
zemljotresa i vetra, za oba pravca dejstva.
S obzirom da su dejstva vetra i zemljotresa alternativna, stubovi se armiraju simetrično.
Usvojena armatura treba da je dovoljna da stub sa zahtevanim koeficijentom sigurnosti
pouzdano izdrži sva moguća stanja opterećenja koja se mogu pojaviti u fazi građenja i
eksploataciji. U slučaju stubova hala, obično nije moguće samo na osnovu veličine uticaja
usled vetra odnosno zemljotresa zaključiti koja je kombinacija opterećenja merodavna za
proračun potrebne armature: nisu isti koeficijenti sigurnosti, a za uticaje usled vetra u analizu
treba uvesti i efekte drugoga reda. Najjednostavnije je da se potrebna armatura sračuna
posebno za oba slučaja opterećenja, za oba pravca dejstva opterećenja, i da se usvoji veća od
sračunatih. Na ispitu je dovoljno da se proračun izvrši samo u preseku u uklještenju stuba.
Ukoliko se ispostavi da su pretpostavljene dimenzije stuba nedovoljne za smeštaj armature uz
poštovanje maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, u principu bi trebalo promeniti
dimenzije preseka i ponoviti proračun, jer je promenjena krutost sistema i nivo seizmičkog
opterećenja, a i vitkost stuba se menja, pa i time i uticaji drugoga reda u kombinaciji sa
vetrom. S obzirom da se radi o 'idejnom rešenje', na ispitu se dozvoljava da se usvoje koriguju
dimenzije preseka, bez ponavljanja statičkih proračuna.
Komentar: „Merodavna kombinacija“ uticaja definiše kapacitet nisivosti preseka u
uklještenju. Za razumevanje ponašanja konstrukcija, treba imati u vidu razliku u filozofiji
dimenzionisanja potrebne nosivosti preseka u slučaju dejstva vetra odnosno zemljotresa.
4-15
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Se
d
H
H
d
H
H
Hw
d
H
H
2
1,8Hw
Hw
1,3Sd
Sd
Se
1,3Sd
2
1
dmaxw
dmaxs
d
Sd
1,8Hw
Hw
Se
1
2
dmaxw
dmaxs
a.
d
b.
1
dmaxs
dmaxw
d
c.
Slika 4.23 - Merodavna opterećenja: a.) vetar merodavan za nosivost; b.) zemljotres merodavan za nosivost;
c.) zemljotres zanemarljiv
U slučaju dejstva vetra, iznos opterećenja je determinisana veličina, koja ne zavisi od
ponašanja konstrukcije, bar u slučaju uobičajenih objekata (kod vitkih konstrukcija to nije baš
tako). U eksploataciji se očekuje da se pri dejstvu vetra konstrukcija ponaša elastično, bez
oštećenja, sa maksimalnim pomeranjem dmaxw pri opterećenju Hw, slika 4.23.a. Potrebna
nosivost elemenata i preseka konstrukcije određuje se tako da kapacitet nosivosti bude bude
veći od uticaja očekivanih u eksploataciji, 1,8Hw na primer. Od konstrukcije se uopšte ne
očekuje da u eksploataciji dostigne kapacitet nosivosti, pa obično nije ni bitno da li do loma
preseka dolazi iscrpljenjem nosivosti armature ili betona - da li je lom preseka duktilan ili krt.
Za razliku od vetra, opterećenje konstrukcije usled zemljotresa bitno zavisi od odgovora
konstrukcije pri pomeranjima. Ukoliko bi se konstrukcija pri zemljotresa ponašala elastično,
bez oštećenja, maksimalno pomeranje bi bilo reda veličine dmaxs pri opterećenju Se , slika
4.23.a. Obično su to znatna opterećenja, pa se uobičajeni objekti projektuju tako da kapacitet
nosivosti pri zemljotresu bude niži od elastičnog odgovora, Sd < Se , slika 4.23.a-b. Pri
dostizanju kapaciteta nosivosti, konstrukcija prelazi u plastični mehanizam otvaranjem
potrebnog broja plastičnih zglobova. Zbog različitih nepouzdanosti analize, nosivost se
određuje uvođenjem koeficijenata sigurnosti, 1,3Hw prema Yu81, na primer. Prema konceptu
jednakih pomeranja, videti 3.4-deo A, maksimalna očekivana pomeranja pri zemljotresu dmaxs
su istog reda veličine, bez obzira da li se konstrukcija ponaša elastično ili nelinearno, linija 1
na slikama 4.23.a-b. Usvajanjem nižeg kapaciteta nosivosti Sd , u konstrukciju je ugrađen
'osigurač' koji treba da je zaštiti od preopterećenja, ali je neophodno obezbediti i potreban
kapacitet post-elastičnih deformacija - duktilnost, tako da konstrukcija izdrži očekivana
pomeranja dmaxs bez ugrožavanja sigurnosti ljudi ili opreme.
Prema tome, u slučaju vetra konstrukcija se obezbeđuje da se ne dostigne kapacitet
nosivosti preseka, dok se u slučaju zemljotresa upravo očekuje da konstrucija dostigne
kapacitet nosivosti i pređe u plastični mehanizam. U slučaju kada je opeterećenje vetrom
merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti, 1,8Hw > 1,3Sd , rezultat može da bude da će
pri zemljotresu konstrukcija preći u plastični mehanizam, ali pri kapacitetu nosivosti
određenom na bazi uticaja vetra, linija 2 na slici 2.23.a. U ovom slučaju zemljotres nije
merodavan za određivanje kapaciteta nosivosti, ali je potrebno da se detalji konstrukcije ipak
obrade tako da se obezbedi izvestan kapacitet post-elastičnih deformacija. U slučaju kada je
projektno opterećenje usled zemlotresa merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti, stvar
je jasna, slika 4.23.b. Zemljotres definitivno nije merodavan ni za određivanje nosivosti, niti
za obezbeđenje kapaciteta post-elastičnih deformacija (duktilnosti) u slučaju kada je nivo
elastičnog odgovora konstrukcije pri zemljotresu niži od opterećenja vetrom, Se < Hw , slika
4.23.c, što je čest slučaj kod visokih i vitkih konstrukcija.
4-16
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5 RAZLIČITI SLUČAJEVI KONSTRUKCIJA HALA
4.5.1 Jednobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u podužnim okvirima
Često se u ravni podužnih
Poprečni okviri
okvira postavljaju spregovi za
Kalkan
ukrućenje i prijem horizontalnih
dejstava usled vetra,
Z1 (zid)
zemljotresa, sila kočenja krana
)
itd. Kada su u pitanju armiraov
(kr
1
nobetonske konstrukcije, moS
PO
guće je napraviti i rešetkasti
spreg, kao u čeličnim konZ1 (zid)
strukcijama, ali je jednostavnije u nekom polju podužnog
okvira postaviti konzolni AB
S1
L=7l=7x5,0=35,0 m
zid, zid Z1 na slikama 4.244.25. Stubovi hale se obično
Slika 4.24 - Dispozicija-osnova hale
zadržavaju, zbog oslanjanja
glavnih krovnih nosača POS2,
kao i potrebne krutosti poprečnih okvira u Y-pravcu. Ivični stubovi i zid debljine dz izvode se
monolitno, tako da u ravni podužnog okvira AB zid Z1 radi kao simetrični I-presek.
Podužni okvir
dZ
B=15,0 m
POS2
(glavni nosač)
dZ
Kalkan
R2
Z1
1
l
R2
R2
mx
bs
8
l
lZ
a.
kZ
H
H
~H
R2
b.
Slika 4.25 - Podužni okvir i dinamički model
Što se tiče analize uticaja vetra i zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, sve je isto kao u
prethodnom primeru, krutost hale obezbeđuje 16 konzolnih stubova, dok se krutost na savijanje rebra zida Z1 debljine dz oko slabije ose zanemaruje, kao da ga nema.
U ravni podužnih okvira, prisustvo zida-sprega bitno menja ponašanje i naprezanja stubova. Konzolni AB zid dužine lz i visine H obično je znatno krući na pomeranja od zbirne
krutosti stubova, tako da se može usvojiti da sva horizontalna opterećenja u ravni podužnog
okvira prihvata konzolni AB zid Z1. Krutost 'beskonačno krute' grede u vrhu je dovoljna da
vitak stub bude praktično uklješten u vrhu, ali ne i zid Z1 koji se deformiše praktično kao
konzola. Dinamički model je konzola sa jednom masom, sa krutošću na pomeranje kz
jednakoj krutosti samo konyolnog zida, slika 4.25.b. Za potrebe proračuna perioda
oscilovanja, za računski presek mogu da se usvoje karakteristike I-preseka, a isto tako i
karakteristike pravougaonog preseka dz / lz gde je 'visina' preseka preseka lz=l+bs . Zbog
pojave prslina pri zemljotresu, efektivna krutost preseka pada, pa je aproksimacija samo
pravougaonim delom preseka uobičajena u praksi. Prema tome, analiza efekata vetra i
4-17
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
zemljotresa u ravni podužnih okvira vrši se uz zanemarenje prisustva ostalih stubova u toj
ravni. Pri određivanju aksijalnog opterećenja zida Z1, voditi računa da na jedan zid padaju
dve reakcije R2 glavnih nosača POS2, slika 4.25.a.
U ravni podužnih okvira, ostali stubovi prihvataju samo uticaje gravitacionih opterećenja.
Stubovi su preko fasadnih greda vezani za vrh krutog zida, pa se može smatrati da su vrhovi
stubova za uticaje gravitacionih opterećenja praktično nepomerljivi u ravni podužnog okvira.
Vitkost stuba u ravni podužnih okvira zavisi i od ostvarene veze stuba i fasadne grede u vrhu,
slika 4.25. Ako je veza zglobna, dužina izvijanja može da se usvoji u iznosu 0,7H, a ako su
stubovi u vrhu uklješteni u fasadnu gredu 'beskonačne krutosti', dužina izvijanja teorijski
Y
Fax/2
±M x
Fax/2
±M x
d
d
X
Fax/2
Fax/2
l
b
b
V,S
4
5
±Rf10/20
d
d
±Rf10/20
(Fax /2)
20
(Fax /2)
DFay - dodatna
armatura
V,S
(Fax /2)
a.
±M y
l
b
DFay
b
(Fax /2)
b.
Slika 4.26 - Supepozicija potrebne armature za savijanje u dve ravni
iznosi 0,5H, ali se preporučuje da se usvoji 0,7H, slika 4.25.
S obzirom da računski vetar ili zemljotres prema našim pravilnicima ne deluju
istovremeno iz dva upravna pravca, ista armatura zida Z1 prihvata uticaje iz dva pravca. Usled
dejstva vetra ili zemljotresa u ravni poprečnog okvira, u Y-pravcu, potrebna armatura Fax
ivičnih stubova zida usvaja se i raspoređuje simetrično u okviru preseka stubova, slika 4.26.a.
Za uticaje vetra i zemljotresa u ravni podužnih okvira, u X-pravcu, usvojena armatura Fax je
deo armature flanši I-preseka, i potrebno je samo sračunati dodatnu armaturu DFay , tako da
ukupna armatura flanši Fax + DFay bude jednaka sračunatoj za obezbeđenje nosivosti Ipreseka, slika 4.26.b. Rebro zida debljine dz i dužine lz treba proveriti na dejstvo
transverzalnih sila i armirati prema pravilima za armiranje AB zidova, Primer 3.
4-18
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5.2 Dvobrodna hala sa stubovima
Dispozicija konstrukcije dvobrodne hale prikazana je na slikama 4.27 i 4.28.
Podužni okvir C
S1 (stub)
Podužni okvir B
Kalkan
S2 (stub)
B=15,0 m
POS2
(glavni nosač)
C
Kalkan
B
B=15,0 m
Podužni okvir A S1 (stub)
POS FG
Fasadni
paneli
d
A
2
3
POS SG
POS FG
1,5d
Fasadni
paneli
d
POS S2
POS S1
POS S1
8
d
1
b
POS2
POS2
POS2
(glavni nosač)
b
1,5d
S1 )
O
P ro v
(k
A
C
B
L=7l=7x5,0=35,0 m
B
Slika 4.27 - Dispozicija dvobrodne hale, osnova
B
Slika 4.28 - Dispozicija dvobrodne hale, presek
Za konstrukciju glavnih nosača POS2 usvojene su dve montažne proste grede, mada su
moguća rešenja i sa kontinualnim nosačem preko dva polja raspona B. Kao i u slučaju
jednobrodne hale, stabilnost na horizontalne uticaje u poprečnom Y-pravcu obezbeđuje osam
poprečnih okvira sa ukupno 3´8=24 stuba. U ovom primeru, dimenzije fasadnih stubova POS
S1 u osama A i C iznose b/d, dok su za središnji red stubova POS S2 u osi B usvojene veće
dimenzije b/1,5d , zbog većih aksijalnih opterećenja središnjih stubova, na primer. U ravni
podužnih okvira postavljene su fasadne grede POS FG, odnosno središnje grede POS SG,
koje, zajedno sa stubovima formiraju podužne okvire.
d
m
P=1
EF ® ¥
IsB
IsA
d
IsC
d
1,5d
B
B
m
C
a.
ky
H
P=1
EF ® ¥
A
d
d
H
d
b.
B
Slika 4.29 - Dinamički model u ravni poprečnog okvira
Kao i u slučaju jednobrodne hale, deo 4.2.1, vrednost perioda oscilovanja T1 u poprečnom
pravcu može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase my=m i ukupne, zbirne krutosti ky
konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=24 stuba)
4-19
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i , sa momentom inercije preseka Ii
=bs ds3/12 i visine Hi , usled delovanja jedinične sile u vrhu P=1 , jednako
δi= 1´Hi3/3EIi
Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje
jednaka
kiy = 1 / di = 3EIi / Hi3
Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova
ky=
24
åk
iy
i =1
m
, gde je m ukupna masa.
k
U opštem slučaju, pomeranje d vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom
krutošću ky usled dejstva jedinične sile P=1 u vrhu iznosi
pa je period oscilovanja u prvom tonu T1= 2π
d = 1/ k y =
1
=
24
åk
iy
1
1
3EI
å1 H 3i
i
24
odnosno, T1= 2π md ,gde je m ukupna masa.
Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T1 određuje se vrednost koeficijenta dinamičnosti kd , odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja Sy.
Pri istim pomeranjima δy vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile Sy na
pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje kiy . Svaki stub i prima
deo sile Siy
Siy = Sy kiy / ky
U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti
na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je
24
Siy= Sy Ii / å I i
i =1
Krući središnji stubovi u osi B prihvatiće i veći deo horizontalnih opterećenja.
Prema Pravilniku Yu81, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile Sy :
δy= Syd ≤ H/600?
Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δy>H/600, na ispitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati.
U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i
konstrukcije fasada.
Pw=Rw
EF ® ¥
EF ® ¥
0,4w0l
H
0,8w0l
EF ® ¥
d
A
B
B
d
C
a.
B
d
1,5d
A
B
B
Slika 4.30 - Proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira
4-20
SIC
SIB
SIA
+
d
1,5d
EF ® ¥
H
Rw
C
B
b.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
U odnosu na slučaj jednobrodne hale, proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira je
principijelno isti, slika 4.30. Razlika je samo u tome što u krutost sistema treba uključiti i
središnje stubove u osi B, koji nisu izloženi direktnim uticajima vetra.
Pw=Rw
MAw1
A
MCw1
B
B
MAw2
a.
C
+
B
H
0,4w0l
H
0,8w0l
Rw
MBw2
A
MCw2
B
B
B
C
b.
Slika 4.31 - Komponente uticaja vetra na stubove popre čnog okvira
B=15,0 m
B=15,0 m
Fasadni stubovi u osama A i C primaju direktne uticaje vetra, slika 4.31.a, dok svi stubovi, pa
i središnji stubovi u osi B primaju deo uticaja vetra usled pomeranja konstrukcije krova pri
vetru, slika 4.31.b.
Što se tiče analize uticaja vetra i
zemljotresa
u podužnom X-pravcu, poY
stupak je isti kao i za jednobrodnu konC
strukciju hale, deo 4.2.2, samo što u
analizu treba uključiti još jedan podužni
okvir, središnji okvir u osi B, slika 4.32.
Zbog potpune simetrije, centar mase i
CM
centar krutosti se poklapaju u oba
CK
Sx
pravca, tako da prema Yu81 ne treba
B
analizirati efekte rotacije odnosno torzim
je hale u osnovi.
dx
Na ispitu je najjednostavnije pretpostaviti da su sva tri podužna okvira
konstruisana na isti način, sa krutim
X
vezama stubova POS S2 i središnjih
A
greda POS SG, na primer, slika 4.33a-c.
3
8
U tom slučaju konturni uslovi krajeva
1
2
svih stubova su isti, pa je i definicija
L=7l=7x5,0=35,0 m
krutosti na pomeranje kix pojedinačnih
Slika 4.32 - Analiza uticaja u podužnom X-pravcu
stubova i ista
kix = 1 / di = 12EIi / Hi3
Ukupna krutost na pomeranje nekog podužnog okvira jednaka je sumi krutosti svih
pojedinačnih stubova koji pripadaju razmatranom okviru
kAx=
kBx=
kCx=
8
åk
iAx
åk
iBx
i =1
8
i =1
8
åk
i =1
iCx
4-21
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
gde je kAx, kBx, kCx - zbirna krutost okvira u osama A, B i C, a kiAx, kiBx , kiCx - krutost
pojedinačnih stubova u osam A, B i C. Ukupna krutost sva tri okvira u podužnom X-pravcu
jednaka je zbiru krutosti pojedinih okvira
kx = kAx + kBx + kCx
odnosno, jednaka je zbirnoj krutosti svih pojedinačnih stubova
24
24
12 EI i
kx= å kix = å
H i3
i =1
1
l
bs
bs
SB
b.
b1.
dx
SA
H
IsA
IsB
l
dx
bs
c1.
dx
bs
SA
IsC
l
H
IsB
l
l
c.
dx
SB
H
H
IsC
H
bs
dx
SC
bs
a.
l
IsA
H
dx
SC
a1.
Slika 4.33 - Različita rešenja podužnih okvira: a., a1 - okviri u osi A; b, b1 - okviri u osi B, c, c1 - okviri u osi C
U slučaju da su fasadni stubovi u osama A i C uklješteni u fasadne grede, a da su središnji
stubovi POS S2 u osi B zglobno vezani za montažne središnje grede POS SG , krutost
fasadnih i središnjih stubova se razlikuje, o čemu treba voditi računa, slika 4.33.a1-c1. Zbirna
krutost svih podužnih okvira tada iznosi
24
16
8
12 EI i
3EI
kx= å kix = å
+ å 3i
3
Hi
Hi
i =1
1
1
gde se prva suma odnosi na 16 fasadnih, obostrano uklještenih stubova, dok se druga suma
odnosi na 8 središnjih stubova, zglobno vezanih u vrhu.
Problem određivanja efekata drugoga reda pri dejstvu vetra je u ovom slučaju malo
složeniji nego u primeru jednobrodne hale. U slučaju jednobrodne hale, svi su stubovi imali
isti presek i iste konturne uslove u vrhu. U tom slučaju dovoljno je tačno pretpostaviti da se
svaki pojedinačni stub 'izvija' sa svojom aksijalnom silom, pa se analiza vrši za razmatrani
izolovani stub. Ako se krutost pojedinih stubova razlikuje, kao u ovom slučaju dvobrodne
hale, i/ili konturni uslovi krajeva svih stubova nisu isti, kao na slici 4.33.a1-c1, za ocenu
efekata drugoga reda pri dejstvu vetra korektnije je primeniti stavove BAB-a u vezi 'prosečne
vitkosti stubova istog sprata pomerljivog okvira', knjiga 2, strana 210 /2/. Za prosečnu 'vitkost
sprata', u ovom slučaju prizemne hale može da se usvoji vrednost
li = 12d1 As / H
gde su: li - prosečna vitkost stubova hale, jednaka za sve stubove; d1 - pomeranje krova u
razmatranom pravcu usled dejstva jedinične sile H=1 koja deluje u ravni krova, sračunato za
4-22
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
vrednost modula elastičnosti betona Eb=1 ; As - ukupna površina svih stubova hale, ukupno 24
stuba u ovom primeru; H - visina stubova, jednaka za sve stubove. Pomeranje d usled
jedinične sile, ali za punu vrednost modula elastičnosti betona sračunato je ranije, pa je
1
1
d 1 = 1/ k y ( Eb = 1) = 24
= 24
= Ebd
3I i
å1 kiy ( Eb = 1) å1 H 3
i
Stubovi manje krutosti podložniji su 'izvijanju', pa ih krući stubovi donekle pridržavaju,
što sve otežava ocenu vitkosti pojedinačnog izolovanog stuba, što se prevazilazi primenom
prosečne vitosti svih stubova. Na ispitu se, kao približno rešenje prihvata da se analizira
pojedinačni stub sa svojim aksijalnim opterećenjem i imperfekcijom, ali se više ceni i
nagrađuje primena postupka prosečne vitkosti sprata, koja je predmet ranijih kurseva
betonskih konstrukcija.
4-23
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5.3 Dvobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u fasadnim podužnim okvirima
Podužni okvir C
d
B=15,0 m
POS2 1,5d
POS2
B=15,0 m
Ovaj slučaj trebalo bi da je
jasan na osnovu svega do sada
C
Z1 (zid)
iznetog. Podsetimo, osnovna pretS1
postavka analize je da je konKalkan
strukcija krova kruta u svojoj ravni,
pa se raspodela horitontalnih opteS2
rećenja vrši srazmerno krutostima
Kalkan Podužni okvir B
pojedinih elemenata-stubova.
B
Kao i ranije, može da se pretb
postavi da sve uticaje u podužnom
S1 )
X-pravcu primaju samo dva AB
P O ro v
zida POS Z1, dok uticaje u pop(k
rečnom Y-pravcu primaju ukupno
S1
Podužni okvir A
24 stuba, slika 4.34.
Z1 (zid)
A
Komentar: Krutost zida znatno
b
je veća od krutosti jednoga stuba,
3
8
1
2
ali sa povećanjem broja stubova
L=7l=7x5,0=35,0 m
njihova ukupna krutost uopšte ne
mora da bude zanemarljiva, niti
Slika 4.34 - Dispozicija dvobrodne hale sa zidovima za ukru ćenje
mala u odnosu na zidove. Za
vežbu, proveriti ovaj primer. U
ovom primeru (preporuka i za ispit), za osnovni noseći sistem u podužnom X-pravcu usvojeni
su samo zidovi Z1, i dimenzionisani kao da će sami morati da prime sva opterećenja. Zbog
prisustva znatnog broja stubova, realna nosivost i krutost konstrukcije su veći, videti i analizu
u Primeru 3, deo 3.13.3.
4-24
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5.4 Nesimetrična dvobrodna hala sa zidovima u fasadnim podužnim okvirima
POS2
B=15,0 m
POS2
B=15,0 m
U slučaju nesimetričnih konstrukcija
hala u osnovi, po pravilu se ne poklapaju
Y
centar masa i centar krutosti, pa je potrebno
na neki način uvesti u analizu i rotaciju
C
Kalkan
Z1 (zid)
odnosno torziju hale u osnovi, primer na
S1
slici 4.35. Ukoliko bi hala imala samo
stubove, bez dodatnih vertikalnih spregovaAB zidova Z1, tada bi stubovi prihvatali
S2
Kalkan
sve uticaje, usled translacije kao i usled
B
rotacije krova, što za posledicu ima koso
Kalkan
savijanje stubova. Rešenje je moguće, ali
ne i na ispitu, mada se uz pomoć dijagrama
interakcije /3/ i dimenzionisanje na koso
S1
savijanje može savladati.
X
Z1 (zid)
Zadržavajući pretpostavku da u slučaju
A
zajedničkog pomeranja krutih AB zidova i
3
8
1
2
stubova praktično sve uticaje prihvataju
L=7l=7x5,0=35,0 m
kruti zidovi kao osnovni sistem, problem se
može pojednostaviti, i uraditi na ispitu,
Slika 4.35 - Dispozicija nesimetrične hale u osnovi
slika 4.35 i 4.36. Centar krutosti CK određuje se na osnovu krutosti dva zida u podužnom X-pravcu, i krutosti dvadeset stubova u poprečnom Y-pravcu.
Pri dejstvu zemljotresa u podužnom X-pravcu, redukcijom inercijalne sile sa centra masa
CM na centar krutosti CK, kao rezultujuće dejstvo dobija se seizmička sila Sx i moment torzije
Mx=Sxex , gde je ex ekscentricitet u X-pravcu centra mase u odnosu na centar krutosti, slika
4.36.a. Uz pretpostavku da se sila Sx raspodeljuje samo na dva zida Z1 u osama A i C, uticaji u
zidovima usled translacije krova iznose Sx /2. Moment torzije u osnovi mogu da prime i okviri, kao niz spregova sila naspramnih okvira, ali je u ovom primeru dosledno usvojeno da
Y
Y
RCx =Sx /2-Mx /2B
RCy =My /2B
C
C
Z1 (zid)
CK
My=Syey
Mx=Sxex
CK
B
ey
Sy
ex
CM
Z1 (zid)
A
1
2
3
RAx =Sx /2+Mx /2B
B
8
CM
ey
B
B
ex
Sx
B
B
Z1 (zid)
Z1 (zid)
X
X
A
1
a.
L=7l=7x5,0=35,0 m
2
3
RAy =My /2B
8
L=7l=7x5,0=35,0 m
Slika 4.36 - Koncept prijema uticaja zemljotresa u podužnom X , i poprečnom Y-pravcu
4-25
b.
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
moment torzije Mx primaju samo zidovi Z1 kao najkrući elementi. U tom slučaju, opterećenje
zidova usled torzije iznosi Mx /2B. Ukupni uticaji u zidovima su zbir uticaja translacije i torzije, slika 4.36.a.
Pri dejstvu zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, može da se usvoji da komponentu
translacije Sy prihvata 21 stub kao da je hala simetrična, a da moment torzije My=Sy´ey opet
prihvataju zidovi Z1, slika 4.36.b.
Analogno se rešava i problem prijema vetra, samo što rezultanta vetra ne prolazi kroz
centar mase, pa su i odgovarajući ekscentriciteti rezultante vetra u krovu u odnosu na centar
krutosti različiti.
4-26
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5.5 Opšti slučaj jednog nepravilnog okvira
U opštem slučaju, stubovi okvira mogu da imaju različite poprečne preseke odnosno
momente inercije, različite visine kao i različite konturne uslove na krajevima-na vezama sa
temeljima odnosno fasadnim gredama, slika 4.37.
G,P
G,P
V,S
Zglob
I4
I5
I1
I6
I2
I3
I4
I6
I5
H
H2
I3
H
H2
I2
H1
I1
H1
V,S
d
Zglob
1
2
3
4
5
a.
6
1
2
3
4
5
6
b.
Slika 4.37 - Dispozicija jednog nepravilnog okvira
Mada je to već prikazano kroz prethodne primere, ovde se daje pregled-rezime postupka
analize okvira na dejstva horizontalnih sila usled vetra (V) odnosno zemljotresa (S).
Pretpostavlja se da je gornja fasadna greda 'beskonačne krutosti' na savijanje.
Krutost pojedinih stubova na pomeranje prema slici 4.37.b iznosi:
k1 =
12EI1
H13
k2 =
12EI 2
H13
k3 =
3EI 3
H3
k4 =
12EI 4
H3
k5 =
3EI 5
H 23
k6 =
3EI 6
H 23
Za visinu stubova 1-4 usvojeno je rastojanje do težišne linije fasadne grede, a za stubove
5-6 je usvojena realna visina stuba do zgloba u vrhu. Sasvim je prihvatljivo da se za sve
stubove usvoji rastojanje do težišne linije fasadne grede.
Ukupna krutost okvira k na pomeranje jednaka je sumi parcijalnih krutosti pojedinih
stubova
k=
6
åk
i =1
i
Sa poznatom krutošću i masom, moguće je odrediti period oscilovanja, vrednost
koeficijenta dinamičnosti kd kao i seizmičkog opterećenja S. Pri jednakim pomeranjima
vrhova stubova za iznos d, raspodela poznate sile vetra V odnosno zemljotresa S po pojedinim
stubovima vrši se srazmerno krutostima na pomeranje
Si = S´ ki /k
Za proračun efekata drugoga reda pri dejstvu vetra više ne pomaže ni postupak 'prosečne
vitkosti stubova istoga sprata', razlikuju se visine kao i konturni uslovi stubova. Problem se
može rešiti primenom 'približnog P-D postupka' za analizu pomerljivih okvira, videti BAB,
knjiga 2, strana 243 /2/.
4-27
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4.5.6 Okviri kao osnovni elementi konstrukcije
yCK =
B=15,0 m
k8
k6
k5
k2
k1
B=15,0 m
U slučaju nepravilnih osnova, često je preglednije i jasnije da se kao osnovni element
konstrukcije hale usvoji kompletan okvir stubova i greda u istoj ravni. Takav koncept koriste i
tradicionalni softveri kao što je 'TABS', na primer.
Konfiguracija stubova jednog
okvira
može da bude proizvoljna, kao
Y
kC
na slici 4.37. Jedini uslov je da su
C
vrhovi stubova vezani za krutu konstrukciju krova na istoj koti - da krov
leži u jednoj horitontalnoj ravni. Za
svaki od 11 okvira 1-8, A-C prema
slici 4.38, na prethodno prikazani
kB
način može da se odredi krutost okvira
'i' na pomeranje ki (kN/m) u
B
njegovoj
ravni.
Sa
poznatim
pojedinačnim krutostima, okviri
mogu da se izbace i da se zamene sa
po jednom elastičnom oprugom u
ravni
krova, čija je krutost jednaka
kA
X
krutosti okvira ki, slika 4.28. Za
A
položaj opruge bitno je da se nalazi u
3
8
1
2
ravni odgovarajućeg okvira, u bilo
5
6
kojoj tački na datom pravcu. Prema
L=7l=7x5,0=35,0 m
slici 4.38, ukupna krutost opruga u Xpravcu iznosi
Slika 4.38 - Koncentrisane opruge kao zamena za okvire
kx=kA +kB +kC
dok je ukupna krutost opruga u Ypravcu
ky=k1 +k2 +k3 +k4 +k5 +k6 +k7 +k8
Položaj centra krutosti definisan je uobičajenim izrazima
å k yi xi = å k yi xi
xCK =
ky
å k yi
åk y = åk
k
åk
xi
xi
i
xi
yi
x
Sa poznatim pojedinačnim krutostima opruga, kao i ukupnim krutostima u X/Y pravcu,
dalja analiza je u svemu analogna analizi prikazanoj u Primeru 3, kao da je svaka od opruga
prizemni AB zid odgovarajuće krutosti. Rezultat analize je naprezanje pojedinih opruga okvira. Raspodela naprezanja okvira na pojedine stubove okvira vrši se na već prikazani
način, prema krutostima pojedinih stubova.
4-28
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
5 Ilustracije ponašanja okvira pri zemljotresu
Primer oštećenja jedne montažne hale u izgradnji prikazan je na slici 4.39. Uočljivo je
krivljenje stubova, razvoj oštećenja - plastičnih zglobova u dnu stubova, kao i oštećenja veza
stubova i rigli-nosača krova.
Slika 4.39 - Oštećenja hale u izgradnji (Turska 1999.)
Slika 4.40 - Oštećenje veze stuba i grede
Za montažne konstrukcije hala tipično je
oštećenje veze stubova i glavnih krovnih
nosača, slika 4.40, često i veza rožnjača i glavnih krovnih nosača. U ekstremnom slučaju
može da dođe do kidanja veza i pada
horizontalnih elemenata konstrukcije, slika 4.41.
4-29
Slika 4.41 - Pad horizontalnih konstrukcija zbog
kidanja veza sa okvirima (SAD 1994.)
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
Slika 4.42 - Detalj povijenog fasadnog okvira nakon pada tavanica (SAD 1994.)
Na slici 4.42 prikazan je detalj fasadnog okvira označenog strelicom na slici 4.41. Nakon
kidanja veza i propadanja tavanica, prvobitno vertikalni fasadni okvir se dramatično povio ka
unutrašnjosti objekta. Na stubovima prizemlja uočljive su naglašene prsline-pukotine, ali
konstrukcija deluje 'žilavo', mada je neupotrebljiva. Zahtev da tavanice budu krute nije samo
radi 'elegantne' analize, krute tavanice koje pouzdano povezuju sve vertikalne noseće
elemente su osnovni preduslov pouzdanog ponašanja konstrukcija pri zemljotresu.
4-30
V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere
4-31
LITERATURA uz Deo B
/1/
Pravilnik o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim
područjima, Službeni list SFRJ, Beograd, 1981, sa naknadnim dopunama
/2/
Pravilnik o tehničkim normativima za beton i armirani beton, Službeni list br. 07-719/1,
Beograd, 13.02.1986.
/3/
D.Najdanović, V.Alendar, D.Ješić, Dijagrami za dimenzionisanje armirano betonskih
preseka prema graničnoj nosivosti, Građevinska knjiga, Beograd, 1989.
/4/
Evrokod 8, Projektovanje seizmički otpornih konstrukcija, Deo 1-1 do 1-3, R.Folić editor,
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1997.
/5/
Evrokod 2, Proračun betonskih konstrukcija, Deo 1, Ž.Perišić editor, Građevinski fakultet
Univerziteta u Beogradu, 1994.
/6/
Tower - program za statičku i dinamičku analizu prostornih konstrukcija, Verzija 3.2,
Radimpex, Beograd, 1999.
/7/
SAN - program za statičku i dinamičku analizu prostornih konstrukcija, Vrezija 3.0,
B.Tepavčević i drugi, Beograd, 1999.
Download

projektovanje seizmički otpornih armiranobetonskih