Literatura
1. Leonhart F., Prednapregnuti beton u praksi, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1968.
2.
Djurdjevi} M., Uticaj prethodnog naprezanja u stati~ki neodredjenim nosa~ima, 1997.
3. Peri{i} @., Alendar V., Prethodno napregnuti beton - Primeri za ve`be, Gradjevinski
fakultet - Beograd, Nau~na knjiga - Beograd, III izdanje, Beograd, 1984.
4. Savremene betonske konstrukcije, Monografija posve}ena sedamdesetogodi{njici `ivota
Prof.dr Milorada Ivkovi}a, Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1994.
5. Institut IMS, SPB Super sistem za prednaprezanje.
6. Pravilnik o tehni~kim merama i uslovima za prednapregnuti beton (PNB71), Slu`beni list
SFRJ, 51/71.
7. SDGKJ, Nacrt pravilnika o tehni~kim normativima za prethodno napregnute
armiranobetonske elemente i konstrukcije, Simpozijum '85, Dubrovnik 1985.
8. Evrokod 2, Prora~un betonskih konstrukcija, Deo 1: Op{ta pravila i pravila za prora~un
zgrada, Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1994.
9. Beton i armirani beton prema BAB87, Univerzitetska {tampa, Beograd, 2000.
10. Nilson A.H., Design of Prestressed Concrete, John Wiley&Sons, New York, 1987.
11. Leonhardt F., Vorlesungen ber Massivbau, Fnfter Teil, Spannbeton, Springer-Verlag,
Newe York, 1980.
12. Collins M.P., Mitchell D., Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, New Jersey, 1991
(sa uputstvom za program Response, ref. 15 ).
13. Lin T.Y., Burns N.H., Design of Prestressed Concrete Structures, John Wiley&Sons, New
York, 1982.
14. Nawy E.G., Prestressed Concrete, A Fundamental Aproach, Prentice Hall, 2003.
15. Evans C.B., Response 2000, Reinforced Concrete Sectional Analysis using the Modified
Compression Field Theory, Version 1.0.5, Toronto, 2000,
www.ecf.utoronto.ca/~bentz/home.shtml
16. Freyssinet Group, prezentacija kompanije,
http://www.freyssinet.com/intranet/internetFI.nsf/web/indexus.htm
17. VSL International, prezentacija kompanije, http://www.vsl-intl.com/
18. Dywidag-Systems International, prezentacija kompanije,
http://www.dywidag-systems.com/docs/dsi_index.php
Predgovor
U toku planiranja sadr`aja ve`bi na predmetu Projektovanje i gradjenje betonskih konstrukcija
2, na IX-om semestru odseka za konstrukcije 2003 godine, zaklju~ili smo da bi studentima
trebalo uraditi bar neki primer iz analize napona, kao i kontrole koeficijenta sigurnosti od
loma prethodno napregnutih preseka. Naime, ve} du`e vreme, Prethodno napregnuti beton
kao samostalni predmet ne postoji na Gradjevinskom fakultetu u Beogradu, ve} studenti
parcijalno ~uju po ne{to u okviru ~etri kursa, u rasponu od 2-3 godine, ako redovno upisuju
narednu godinu. Rezultat je nikakav, naravno.
Deo studenata za diplomski radi konstrukcije prethodno napregnutih mostova, i nedostatak
osnovnog obrazovanja iz ove oblasti nadoknadjuje li~nim trudom, uz na{u saradnju. Sa druge strane, ako beton `eli da ostane konkurentan na tr`i{tu, prethodno naprezanje je tehnologija koju }e na{e kompanije morati jednoga dana da usvoje, i da nude. Naravno, misli se na
vreme velikih i pravih poslova.
S obzirom da mi je ova tema 'mladala~ka ljubav', nije mi bilo te{ko da nadjem motiv da
studentima pripremim jedan celovitiji savremeniji tekst. Zaboravio sam da za to treba i
snage, al' izdr`alo se. Tekst je pisan paralelno sa ve`bama, i deljen studentima, u toku
sedam-osam nedelja nastave. Rezultat je skoro dve stotine strana, 'nek' se nadje'. Te{ko da
je u tako kratkom vremenu i pod pritiskom, sve ispalo kako treba ili kako sam `eleo. Verovatno da se to ose}a i iz teksta, ali nemogu}a situacija u kojoj se trenutno nalazi ova tema u
na{oj praksi i propisima, uslovila je silne konceptualne probleme - {ta i kako prikazati. Na{i
va`e}i propisi iz 1971. godine uveliko su zastareli, poku{aj njihove inovacije u medjuvremenu
nije uspeo, a na vratima je ve} Evrokod 2, sa potpuno novim konceptom. Re{enje je da se
izri~ito ne vezuje ni za jedne propise, i da se problem suzi na prethodno napregnute konstrukcije bez prslina. To je polje koje pokrivaju na{i va`e}i propisi, a ni Evrokod nema
ni{ta protiv toga. Prema na{im propisima, osnovni pojam je napon, dok }e kod Evrokoda to
biti prslina, al' svodi se na isto. Be`e}i od propisa, tekst je morao da poprimi jedan intuitivni,
in`enjerski pristup, {to bi trebalo da bude kvalitet, ako sam uspeo. U svakom slu~aju, dok se
ne pojavi ne{to bolje, ovaj tekst bi trebalo da nadoknadi nedostatak literature na na{em
jeziku, i da poslu`i kao most ka Evrokodu. Koliko pratim te stvari, i svetska univerzitetska
literatura tek treba da se inovira.
'Sobnim koleginicama' Sne{ki i Vesni zahvaljujem na zdu{nom navijanju.
U Beogradu, novembra 2003.
Vanja Alendar
Sadr`aj
1. UVOD
1.1 OSNOVNA IDEJA I POJMOVI
PRETHODNOG NAPREZANJA
1.2 ^ELIK ZA PRETHODNO NAPREZANJE
1.3 TEHNOLO[KI DETALJI
1.4 PRIMERI PRIMENE PRETHODNOG NAPREZANJA
2. 'IDEALNI' EFEKTI
PRETHODNOG NAPREZANJA
2.1 STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
2.1.1 Karakteristi~ni slu~ajevi - koncept 'ekvivalentnog optere}enja'
2.1.2 Nepredvidjeni otpori prethodnom naprezanju
2.1.3 Prethodno naprezanje kao 'sila u preseku'
2.1.4 Osnovi koncepta 'balansiranja spoljnih optere}enja'
2.2 STATI^KI NEODREDJENE KONSTRUKCIJE
2.2.1 Efekat spre~enih slobodnih deformacija - 'sekundarni uticaji'
2.2.2 Izbor oblika trase kablova
2.2.3 'Linearne transformacije' trase kablova
2.2.4 Oblikovanje realnih trasa kablova
2.2.5 Spolja{nje prethodno naprezanje
2.2.6 Razli~ita konstrukcijska re{enja trasa kod linijskih sistema
2.2.7 Osnovni pojmovi u vezi prethodnog naprezanja plo~a
2.3 PRIMERI
3. STVARNI EFEKTI
PRETHODNOG NAPREZANJA
3.1 GUBICI SILE U TOKU PRETHODNOG NAPREZANJA
3.1.1 Gubici sile usled trenja
3.1.2 Gubici sile usled elasti~nih deformacija
konstrukcije u toku prethodnog naprezanja
3.1.3 Gubici sile pri zaklinjavanju-ukotvljenju kablova
3.2 PO^ETNI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA (t=0)
3.3 TRAJNI - KONA^NI EFEKTI
PRETHODNOG NAPREZANJA (t®:)
3.3.1 Procena veli~ine trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt = w Nk0
3.3.2 Trajni efekti prethodnog naprezanja
3.3.3 Ukupan trajni ugibi konstrukcije
3.3.4 Pribli`an prora~un trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt
3.4 [TA SE DOGADJA U BETONSKIM KONSTRUKCIJAMA
USLED TE^ENJA I SKUPLJANJA BETONA, ODNOSNO
RELAKSACIJE ^ELIKA?
3.4.1 Pona{anje nearmiranog betona bez prslina u toku vremena
3.4.2 Pona{anje nearmiranog prethodno napregnutog
betona bez prslina u toku vremena
3.4.3 Razli~ita porekla otpora slobodnim deformacijama betona i zaklju~ak
3.5 PRIMERI
4. DOKAZ POUZDANOSTI
PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA
4.1 ISTORIJA
4.2 POUZDANOST KONSTRUKCIJA
4.2.1 Prora~unske situacije - 'merodavna stanja'
4.2.2 Dva koncepta dokaza nosivosti
4.3 DOKAZ (GRANI^NOG) STANJA NAPONA
4.3.1 Pravo savijanje preseka bez prslina
4.3.2 Glavni naponi zatezanja
4.4 DOKAZ GRANI^NOG STANJA LOMA SAVIJANJEM
4.4.1 Kapacitet nosivosti na savijanje prethodno napregnutih preseka
4.4.2 Kapacitet deformacija-rotacija prethodno napregnutih preseka
4.4.3 Lom stati~ki odredjenih konstrukcija
4.4.4 Lom stati~ki neodredjenih konstrukcija
4.5 DOKAZ GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA
4.6 DOKAZ GRANI^NOG STANJA PRSLINA
4.6.1 Teorija dopu{tenih napona
4.6.2 Teorija grani~nih stanja
4.7 ZONE UVODJENJA SILE PRETHODNOG NAPREZANJA
4.7.1 Prethodno naprezanje na stazi
4.7.2 Naknadno prethodno naprezanje
4.7.3 Du`ina uvodjenja
4.8 PRIMERI
5. PROJEKTOVANJE
PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA
5.1 DEFINICIJA PROBLEMA
5.2 PRETPOSTAVLJENJE OBLIKA I DIMENZIJA
POPRE^NIH PRESEKA
5.3 PRETHODNO NAPREZANJE KAO
'SILA U JEZGRU PRESEKA'
5.3.1 Stati~ki odredjeni nosa~i
5.3.2 Stati~ki neodredjeni nosa~i
5.4 ALGORITAM ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
NA BAZI KONTROLE IVI^NIH NAPONA ZATEZANJA
5.3.1 Uticaj razli~itih odnosa dodatnih optere}enja
prema sopstvenoj te`ini nosa~a
5.3.2 Preseci sa neiskori{}enim naponima pritiska u eksploataciji
5.5 ALGORITMI ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
NA BAZI KONTROLE SVIH IVI^NIH NAPONA
5.6 VODJENJE TRASE
REZULTANTE PRETHODNOG NAPREZANJA
5.6.1 Vodjenje krivolinijske trase
5.6.2 Vodjenje pravolinijske trase rezultante prethodnog naprezanja
5.7 KONTROLA GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI
5.8 KONTROLA GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA
5.9 OD GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI,
KA DOPU[TENIM NAPONIMA
5.10 IMA LI SVE OVO POKRI]E U EVROKODU?
5.11 PRIMERI
GRADJEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU
INSTITUT ZA MATERIJALE I KONSTRUKCIJE
Vanja Alendar
PRETHODNO NAPREGNUTI BETON
[email protected] NA IX-OM SEMESTRU
ODSEKA ZA KONSTRUKCIJE
[KOLSKE 2003/2004 GODINE
Beograd
Oktobar 2003.
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
1. UVOD
U ovom delu daje se prikaz osnovne ideje prethodnog naprezanja, obja{njenje osnovnih
pojmova, prikaz tehnologija izvodjenja kao i primeri primene prethodnog naprezanja.
1.1 OSNOVNA IDEJA I POJMOVI PRETHODNOG NAPREZANJA
Pretpostavimo da je potrebno da se uradi projekat armiranobetonskog (AB) cilindri~nog
rezervoara za vodu, unutra{njeg pre~nika R, slika 1.1 Za analizu je izabran prsten cilindra
na dubini h, visine 1,0m, koji je dovoljno udaljen od krajeva rezervoara tako da se stanje
naprezanja mo`e analizirati na bazi 'membranskog re{enja', bez efekata savijanja usled
eventualno spre~enih slobodnih deformacija krajeva cilindra. Radijalni pritisak vode na
dubini h iznosi p=gh.
U horizontalnoj ravni, radijalni pritisak vode p
izaziva sile zatezanja u segmentu zida rezervoara
Zatezanje
Z=pR
visine 1,0m, ~iji je iznos, prema tzv. 'kotlovskoj
formuli' Z=pR (kN/m).
Nije uobi~ajeno, ali zid cilindra mo`e teorijski da
se izradi i od nearmiranog betona. Za razliku
od armiranobetonskih konstrukcija, u ovom slup
~aju karakteristi~no je da je pojava prslina ujedno i stanje loma preseka odnosno konstrukcije.
Prslina
d
Izborom marke betona MB i debljine zida cilinArmatura
dra d , potrebno je obezbediti da je:
gZ*Fb fbzm (prora~un prema 'grani~noj
nosivosti'), ili,
Slika 1.1 Naprezanje zida AB rezervoara
Z*Fbszdop (prora~un prema 'dozvoljenim naponima') gde su:
g - koeficijent sigurnosti od loma (recimo 1,80); fbzm - ~vrsto}a betona na aksijalno zatezanje
(red veli~ine 3,0MPa); szdop - dozvoljeni napon zatezanja (red veli~ine 0,5MPa); Fb - povr{ina ra~unskog preseka betona.
R
Ukoliko se konstrukcija izvodi od armiranog betona, potrebna 'prstenasta armatura' Fa
(cm2/m) u horizontalnoj ravni mo`e da se odredi iz uslova obezbedjenja grani~ne nosivosti
preseka zida: gZ*Fa s02 , gde je s02 - granica velikih izdu`enja ~elika (400MPa u slu~aju
rebraste armature RA400/500). Treba uo~iti da debljina zida d kao i kvalitet betona MB
prema primenjenom konceptu ne uti~u na grani~nu nosivost aksijalno zategnutog zida cilindra - osiguranje od loma obezbedjuje se samo zategnutom armaturom. Osim grani~nog stanja nosivosti, u ovom slu~aju je neophodno proveriti i grani~no stanje upotrebljivosti
odnosno, treba proveriti {irinu prslina u eksploataciji (pri 'radnim optere}enjima'). U
ovom slu~aju, za odredjivanje debljine zida, marke betona, koli~ine, pre~nika i rasporeda
armature u preseku naj~e{}e je merodavno upravo obezbedjenje prihvatljive {irine prslina. Zid rezervoara ne bi trebalo da propu{ta vodu, a prihvatljiva {irina prslina zavisi i od
predvidjene obrade zidova, da li se predvidja elasti~na izolacija na primer, koja se ne}e
pocepati usled pove}anih dilatacija na mestu prslina.
1-2
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Za klasi~ne armiranobetonske konstrukcije karakteristi~an je koncept tzv. 'pasivne armature' - naprezanja armature pojavi}e se tek sa razvojem deformacija betona: usled skupljanja betona pre oslobadjanja od skele, pri oslobadjanju od skele, pri daljem prirastu spoljnih optere}enja ili usled 'te~enja betona', na primer. Pri promeni spoljnih ili unutra{njih
optere}enja, deformacije konstrukcije pa i dilatacije/naponi armature se dodatno, prakti~no
stalno menjaju, sve dok se u konstrukciji ne formira unutra{nje stanje napona/sila koje }e
biti u ravnote`i sa trenutnim optere}enjima. O~ekivani kona~ni, ukupni ugibi greda/plo~a
mogu da budu preveliki, zbog ~ega se u takvim slu~ajevima grede/plo~e izvode sa nadvi{enjem, kako bi se obezbedio prihvatljiv rezultuju}i ugib, obi~no definisan propisima u zavisnosti od namene objekta. Nadvi{avanje elemenata konstrukcije predstavlja izvodjenje konstrukcije u deformisanom obliku, bez unetih po~etnih napona. Ukoliko se pojave preveliki
ugibi elementa konstrukcije, ponekad je mogu}e da se zate~eni ugibi potiskivanjem presama koriguju, da se potom u korigovanom polo`aju pove}a krutost elementa, i da se onda
otpuste prese i oslobodi konstrukcija - slu~aj naknadne 'prinudne deformacije' konstrukcije.
Osnovna ideja tzv. 'prethodnog naprezanja' elemenata/konstrukcija je da se ve} pri
gradjenju, unapred izazovu prinudne deformacije elemenata/konstrukcije i time obezbedi njeno povoljnije pona{anje u eksploataciji. Na primer, pri izradi drvenih buradi, vertikalni elementi se bo~no 'ute`u' navla~enjem ~eli~nih prstenova-obru~a. Time se ostvaruje
bo~ni pritisak na vertikalnim spojnicama elemenata i spre~ava procurivanje usled unutra{njih pritisaka te~nosti koji te`e da razmaknu elemente - 'da otvore vertikalnu prslinu na
spojnicama' (~uveni primer jednog od zaslu`nih in`enjera u ovoj oblasti - T.Y.Lin-a).
Na~elno je mogu}e i zid rezervoara koji se razmatra utegnuti - 'prethodno napregnuti' na
sli~an na~in. U tom slu~aju potrebno je umesto cilindri~nog zida - sa vertikalnim spoljnim
izvodnicama, izvesti konusnu spoljnu povr{inu, sa pove}anjem spoljnog pre~nika sa dubinom rezervoara. Navla~enjem ~eli~nih prstenova-obru~a na konus, nasilno se pove}ava
pre~nik obru~a i time izazivaju naponi zatezanja u ~eliku, odnosno naponi pritiska u zidu
rezervoara. Bilo bi po`eljno da prethodno uneti naponi pritiska u betont budu ve}i od
o~ekivanih napona zatezanja usled unutra{njih pritisaka vode, tako da u toku eksploatacije
rezultuju}e stanje napona u zidu rezervoara bude uvek neki minimalni pritisak, recimo oko
1,0MPa. Postupak prinudnog deformisanja konstrukcije, recimo presama, je jedan od
najstarijih postupaka 'prethodnog naprezanja' i
u razli~itim oblicima primenjuje se i danas.
Pritisak
D=qkRk=Nk
Rk
qk = Nk/Rk
Utezanje
krajeva
kablova
d
Nk
Nk
Kablovi
Slika 1.2 Uticaji usled prethodnog
naprezanja zida rezervoara
Pod 'prethodnim naprezanjem' se u ovom kursu, a i u praksi, podrazumeva primena specijalnih ~eli~nih proizvoda (`ica, {ipki, u`adi, kablova, sajli...) koji su ve} pri ugradjivanju na odgovaraju}i na~in unapred - prethodno zategnuti.
U slu~aju razmatranog rezervoara, ukoliko uspemo da ~eli~nu `icu ugradimo i zategnemo do
sile Nk , ostvari}e se radijalni pritisci qk , odnosno
sila pritiska u zidu D=Nk , slika 1.2. Izborom
veli~ine sile prethodnog naprezanja Nk , mogu}e je u zidu rezervoara posti}i rezultuju}e
stanje sila N=D-Z, odnosno napona u betonu,
1-3
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
d
koji }e i u najnepovoljnijem slu~aju u eksploataciji jo{ uvek da budu pritisci. Time se spre~ava pojava prslina, pove}ava pouzdanost i trajnost objekta i otvara mogu}nost u{tede na
izolacionim materijalima. Treba uo~iti da sila pritiska u zidu ne zavisi od polupre~nika
kabla Rk , kablovi mogu da budu i sa spolja{nje strane zida. Spiralno obmotavanje kru`nih
rezervoara specijalnim `icama visokih ~vrsto}a, sa odredjenim razmakom - hodom, uz
istovremeno njihovo zatezanje je '50-tih godina pro{log veka patentirala ameri~ka firma
'Preload', i izvela na hiljade objekata.
Raznolikost efekata prethodnog
naprezanja prikazana je i na ~estom
q=g+p
Te`i{na linija
primeru primene - prethodnom
naprezanju nosa~a sistema proste
grede optere}enog jednako podeljenim optere}enjem, slike 1.3-5. Pod
dejstvom ukupnog optere}enja q ,
Armatura
Prsline
klasi~no armirana greda postigla bi
Slika 1.3 Klasi~no armirana greda ravnote`no stanje uz ugib d , uz
koncept 'pasivne armature'
verovatnu pojavu prslina, slika 1.3.
Kako izvesti prethodno naprezanje
ovog nosa~a? Pretpostavimo da je
Kotva
Kotva
Presa
sg0
pre betoniranja elementa, u oplatu
Nk
ugradjena paraboli~na cev, sa streNk
lom f u odnosu na te`i{nu liniju eleqk=8Nkf/L2
sd0
menta, slika 1.4. Cev, u ovom priKabl
Te`i{na linija
meru, na krajevima prolazi kroz
Cev
L
te`i{te popre~nog preseka. Nakon
{to beton o~vrsne, kroz cev se proSlika 1.4 Prethodno naprezanje grede vla~e ~eli~na u`ad, tzv. 'kabl', koji
koncept 'aktivne armature'
se na jednom kraju fiksira tzv.
'kotvom'. Dok je element jo{ na
Kotva
Kotva
p
skeli, sa drugog kraja se kabl zate`esgt
izvla~i pomo}u 'prese', do postizanja `eljene sile Nk u kablu. Paraboli~no zakrivljena 'trasa' kabla
sdt
pri sili u kablu Nk izaziva vertikalni
Injektirana cev
potisak, tzv. 'skretno optere}enje'
sa kablom
qk , slika 1.4. Kada potisak qk nadvlada sopstvenu te`inu g , element
Slika 1.5 Prethodno naprezanje grede se odlepljuje i potom odi`e od skele
rezultuju}e stanje u eksploataciji
za iznos d0 - ugib u 'fazi prethodnog naprezanja'. Zbog 'prinudnog deformisanja' i odizanja nosa~a u fazi prethodnog
naprezanja, rezultuju}e stanje napona u preseku u sredini raspona je pritisak sdo na donjoj ivici, i znatno manji pritisak ili zatezanje sgo na gornjoj ivici preseka. Ukoliko se pretera
sa silom zatezanja kabla, mogu}a je i pojava prslina sa gornje strane nosa~a, u krajnjem slu~aju ~ak i lom preseka. Sile kojima kablovi deluju na beton u fazi prethodnog naprezanja
nazivaju se 'ekvivalentno optere}enje' i u ovom slu~aju podrazumevaju: jednako podeljeno skretno optere}enjem qk koje deluje na gore, kao i koncentrisane sile Nk na mestu kotvi
koje deluju pod uglom, u pravcu ose kabla, slika 1.4. Efekti prethodno naprezanja - sile,
dt
d0
f
g
1-4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
naponi i ugibi mogu da se analiziraju kao slu~aj proste grede optere}ene ekvivalentnim
optere}enjem.
Po zavr{etku utezanja kablova, formira se anker-kotva i na kraju sa koga je vr{eno utezanje,
i uklanja presa. Klasi~an na~in prethodnog naprezanja podrazumeva da se pre nano{enja
ostalih optere}eja izvr{i 'injektiranje' cevi cementnom emulzijom, ~ime se ostvaruje kontinualni spoj kabla i betona - 'prethodno naprezanje sa spojem'. Pri daljem prirastu spoljnih optere}enja do iznosa p , kabl se pona{a kao klasi~na armatura, ali sa unetim po~etnim
naponom - koncept 'aktivne armature'. Pri ukupnom optere}enju q=g+p , prethodno
napregnuti element ima}e znatno manji ugib dt , napon pritiska sgt na gornjoj ivici odnosno
napon pritiska ili napon zatezanja sdt na donjoj ivici preseka u sredini raspona, slika 1.5.
Ukoliko se prethodnim naprezanjem elimini{u naponi zatezanja u svim fazama `ivota konstrukcije, spre~ena je i pojava prslina u betonu. U ve}ini slu~ajeva, prethodno napregnuti
elementi se dodatno armiraju i bar minimalnom klasi~nom, 'prethodno nezategnutom
armaturom' zbok kontrole napona zatezanja, prslina, regulisanja grani~ne nosivosti itd.
z
z
Izneti primer ilustruje kako se primenom postupka prethodnog naprezanja mo`e izvr{iti
korekcija - 'balansiranje' deformacija, prslina i napona konstrukcije. Zavisno od prihvatljivih minimalnih napona sgo na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja, odnosno napona
sdt na donjoj ivici u fazi eksploatacije, razlikuju se tri koncepta - 'nivoa prethodnog
naprezanja':
- 'potpuno prethodno naprezanje' - ne dozovoljava se pojava napona zatezanja,
osim eventualnih prolaznih, privremenih napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja;
- 'ograni~eno prethodno naprezanje' - dozvoljava se pojava limitiranih napona
zatezanja u betonu, ali ne i pojava prslina;
- 'parcijalno prethodno naprezanje' - dozvoljava se i pojava prslina, ali limitirane
{irine.
Parcijalno prethodno napregnuti elementi mogu
q
da se shvate i kao klasi~no armirani elementi
'potpomognuti delimi~nim prethodnim napreDb=Nk
zanjem'. Pojavom prslina u prethodno napregnutom nosa~u kod koga je ostvaren spoj kablova
i betona, do}i }e do porasta-skoka dilatacija ~eNk=FkEkek = qL2/8z
lika kablova u zoni prslina, kao {to je to slu~aj i
sa dilatacijama armature klasi~no armiranih
ek
nosa~a, slika 1.6. Dilatacija ~elika koji prolazi
kroz prslinu u sredini raspona }e da raste do
Slika 1.6 Prethodno naprezanje
sa spojem kablova i betona
iznosa ek , potrebnog da se obezbedi ravnote`a
preseka optere}enog na savijanje, putem sprega
q
unutra{njih sila u betonu Db i kablovima Nk na
kraku z , slika 1.6. Van zone prslina, promena
Db
dilatacija kabla prati promenu krivina preseka,
odnosno tok dijagrama momenata savijanja.
Nk
ek
Slika 1.7 Prethodno naprezanje
bez spoja kablova i betona
Injektiranje cevi treba prvenstveno da obezbedi
pouzdanu za{titu kablova od korozije, {to za
posledicu ima opisani model zajedni~kog rada
~elika i betona. Danas se za{tita od korozije re{ava i na druge na~ine, bez injektiranja, tako da
1-5
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
nema ni spoja kablova i betona. Kablovi mogu da klize kroz beton, i u ovom slu~aju se
govori o 'prethodnom naprezanju bez spoja' kablova i betona. Budu}i da nema spoja, ni
promene dilatacija kabla i betona u istom preseku pri promeni spoljnih optere}enja nisu
vi{e jednake. U idealnom slu~aju bez trenja kabla i betona, dilatacije kabla bez spoja su
jednake celom du`inom kabla, pa i nakon pojave prslina - dolazi do 'uprose~avanjarazmazivanja dilatacija' ~elika, slika 1.7. Kao i u prethodnom slu~aju, da bi se obezbedila
ravnote`a preseka u sredini raspona, dilatacija kabla nakon pojave prslina mora da poraste
do pribli`no iste vrednosti ek . Budu}i da su dilatacije kabla jednake celom du`inom,
ukupno izdu`enje kabla bez spoja je ve}e nego u slu~aju kablova sa spojem, a to zna~i da i
ugibi nosa~a nakon pojave prslina moraju biti ve}i. Nevolja je {to i {irina prslina naglo
raste, i vrlo brzo nakon pojave prsline dolazi i do loma preseka - ukoliko ne postoji i
dodatna klasi~na armatura! Prethodno naprezanje bez spoja (ne zaboravimo - i bez
zametnog injektiranja!) danas se naj~e{}e primenjuje kod prethodnog naprezanja plo~a, ali
uz obavezno dodavanje klasi~ne armature radi kontrole prslina i sigurnosti od loma.
Za do sada opisane primere karakteristi~no je da je utezanje kablova izvr{eno nakon o~vr{}avanja betona, pa se ova tehnologija obi~no naziva 'naknadno prethodno naprezanje'
(engl. - post-tensioning). Za proizvodnju nekih elemenata konstrukcija razvijeni su posebni,
racionalniji postupci prethodnog naprezanja, kod kojih se prvo izvr{i zatezanje ~elika, pa se
tek nakon toga vr{i betoniranje elementa. Koliko je engleski naziv za ovaj postupak
dosledan - 'pre-tensioning', toliko bi naziv 'prethodno-prethodno naprezanje' bio ~udan, pa
se ovaj postupak kod nas naj~e{}e naziva opisno - 'prethodno naprezanje na stazi', jer je
potrebno izraditi tzv. 'stazu za prethodno naprezanje', slika 1.8.
Oporac
Kotve
Budu}i betonski
element
Budu}i betonski
element
Kabl
Oporac
Nk
Kotve
Nk
a)
Pod
Te`i{na linija
Nk0
e
Nk0
Prese
Nk0
Nk0
b)
Nk20
e
Nk20
Nk20
l0
l0
Nk10
l0
Nk20
l0
D
c)
Nk10 Nk10
e
Nk10
d)
Slika 1.8 Prethodno naprezanje na stazi -'adheziono prethodno napreazanje'
1-6
Pomerljivi
blok
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Postupak prethodnog naprezanja obuhvata slede}e operacije:
- zatezanje i ukotvljenje u`adi izmedju dva oporca na krajevima staze, slika 1.8a;
- betoniranje elemenata oko prethodno zategnutih u`adi. S obzirom da u`ad i staza
mogu da budu velikih du`ina, i preko 100m, obi~no se vr{i serijsko prethodno naprezanje
vi{e elemenata u nizu, slika 1.8a;
- presecanje u`adi nakon {to beton dovoljno o~vrsne. U`ad imaju tendenciju da se
skrate, vrate na prvobitnu du`inu, i time izazivaju sile pritiska Nk0 u betonskom elementu
koji se opire skra}enju u`adi, slika 1.8b. Za ovaj postupak bitno je da postoji dobar spoj
u`adi i betona da u`ad nebi proklizala kroz beton, otuda i ~est naziv 'adheziono prethodno naprezanje'. S obzirom da je obi~no u pitanju serijska proizvodnja velikog broja
elemenata, bilo bi neracionalno da se presecanje u`adi vr{i 28 dana nakon betoniranja,
kada beton posti`e svoje nominalne karakteristike, staza je u tom slu~aju neupotrebljiva
skoro mesec dana. Zbog toga se obi~no vr{i zaparivanje betona, kako bi se ubrzalo
njegovo o~vr{}avanje i {to pre oslobodila staza za izradu novih elemenata.
Za ovaj na~in prethodnog naprezanja najlogi~nija je pravolinijska trasa u`adi kao i kontinualni spoj betona i u`adi celom du`inom elementa, sa konstantnim ekscentricitetom e u odnosu na te`i{nu liniju elementa. Kod sistema prostih greda, bilo bi pak po`eljno da je ekscentricitet sile prethodnog naprezanja najve}i u sredini raspona, gde su i najve}i momenti, i da se smanjuje ka osloncima, gde bi rezultantu prethodnog naprezanja trebalo
uvesti u jezgro preseka, ukoliko `elimo da izbegnemo napone zatezanja u zoni oslonaca.
U okviru ove tehnologije, promenljiv ekscentricitet se mo`e posti}i na dva na~ina:
- elementi obi~no imaju ve}i broj u`adi, od kojih se jedan deo u zoni oslonaca na
du`ini l0 mo`e izolovati od betona, pomo}u navu~enih plasti~nih cevi, na primer, slika 1.8c.
S obzirom da je za uno{enje sile prethodnog naprezanja neophodan spoj u`adi i betona,
neizolovana u`ad po~e}e da unose silu Nk10 na ~elu nosa~a, dok }e izolovana u`ad po~eti da
unose svoj deo sile Nk20 tek u preseku pomerenom za du`inu l0 , slika 1.8c. Izolovanjem
najni`eg reda u`adi u zoni oslonaca, pomera se rezultanta navi{e, ka jezgru preseka;
- nakon {to se izvr{i uobi~ajeno zatezanje pravolinijske trase u`adi, vr{i se potezanje
u`adi na dole za `eljeni iznos D posebnim uredjajima, trasa se prelama preko medjuoporaca i prilagodjava stati~ki povoljnijem obliku, slika 1.8d.
Za sve do sada navedene tehnologije prethodnog naprezanja karakteresti~no je da se
Presa
kablovi nalaze unutar preseka betona, tzv.
Nk
'unutra{nje prethodno naprezanje'. Iako
Nk
se o~ekuje da su time kablovi za{ti}eni od
korozije, praksa je pokazala da to ponekada
i nije pouzdana za{tita, ukoliko su radovi
Devijator
Kabl
izvedeni nekvalitetno, na primer. Sa druge
strane, o~igledno je da je efekat prethodVk
nog naprezanja ve}i ukoliko se postigne
L
ve}i ekscentricitet kablova. Da bi kablovi bili
Slika 1.9 Koncept spolja{njeg
dostupni kontroli, pa i eventualnoj zameni,
prethodnog naprezanja
kao i da bi se postigao ve}i ekscentricitet sile
prethodnog naprezanja, danas se za odredjene tipove konstrukcija, posebno za mostove,
sve vi{e primenjuje tzv. 'spolja{nje prethodno naprezanje', slika 1.9. Kablovi se delom
vode kroz beton ali bez spoja, delom slobodno-'kroz vazduh', uz prelamanje trase kablova
preko tzv. 'devijatora', slika 1.9. U fazi prethodnog naprezanja, kablovi deluju na kond0
f
g
1-7
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
strukciju ekvivalentnim optere}enjem: silama Nk na mestu kotvi i skretnom silom Vk na
mestu devijatora. S obzirom da je strela trase f ve}a nego kada su kablovi unutar preseka
betona, to je i efekat prethodnog naprezanja ve}i, sa manjom silom mogu se posti}i ve}i
vertikalni potisci. Kada se kablovi nalaze unutar preseka betona, varijacije naprezanja usled
promene spoljnih optere}enja su obi~no do 5% inicijalne sile u kablu. S obzirom da kablovi
imaju relativno malu povr{inu i ekscentricitet, doprinos kablova krutosti elementa na savijanje obi~no se zanemaruje. U slu~aju spolja{njeg prethodnog naprezanja sa izra`enijom
strelom f , kablovi su deo konstrukcijskog sistema, kao neka vrsta donjeg pojasa u razmatranom primeru. ^esto se ovakvi sistemi i nazivaju 'dvopojasni sistemi', za koje se stati~ki
prora~un vr{i modeliranjem svih elemenata konstrukcije: greda, devijatora i kablova.
Prethodno
naprezanje
Klasi~nounutra{nje
Na stazi
Spolja{nje
Naknadno
Rezime savremenih postupaka
prethodnog naprezanja koji se
naj~e{}e primenjuju prikazan je
na slici 1.10. Podsetimo i da se,
zavisno od `eljenih minimalnih
napona u betonu, nivoi prethodnog naprezanja dele na:
potpuno, ograni~eno i parcijalno prethodno naprezanje.
Ve} du`e vreme ista`uju se i
druge mogu}nosti, tzv. 'inteligentno prethodno naprezaSa spojem
Bez spoja
nje', na primer. Ideja je da se
utezanje kablova ne izvr{i
Slika 1.10 Postupci prethodnog naprezanja
odmah do neke kona~ne sile,
ve} da se formira 'mehanizam'
koji ~ine: konstrukcija, kablovi, automatske prese, kompjuter i senzori. Senzori kontinualno
prate promene deformacija konstrukcije, ugibe krova sportske dvorane, na primer. Ako
ugibi po~nu da rastu, zna~i da verovatno pada sneg, ili se pove}ava optere}enje usled ka~enja neke opreme, zvu~nika za koncert, na primer. Program na kompjuteru obradjuje podatke i, u jednom trenutku aktivira stalno prisutne prese koje po~inju da dodatno zate`u kablove i koriguju deformacije ali i naprezanja elemenata konstrukcije. Koncept je prost i
racionalan: nije potrebno da je konstrukcija sve vreme 'nabildovana' zbog toga {to }e
jednoga dana mo`da da se pojavi predvidjeno merodavno ra~unsko optere}enje. Ako se
pak pojavi, pa obezbedi}emo se da se 'slabija' ali racionalnija konstrukcija adaptira novonastaloj situaciji.
1.2 ^ELIK ZA PRETHODNO NAPREZANJE
Postupak prethodnog naprezanja podrazumeva da su na raspolaganju ~elici i ~eli~ni proizvodi koji poseduju osobine potrebne za realizaciju racionalnog i pouzdanog prethodnog naprezanja konstrukcija. Sa klasi~nom armaturom, GA240/360 odnosno RA400/500 ne mo`e
ni{ta zna~ajnije da se postigne, osim eventualnog pritezanja-'{panovanja' putem dvostrukog
navoja, kada je armatura postavljena van preseka kao zatega. Razvoj prethodnog naprezanja prakti~no po~inje uvodjenjem u upotrebu ~elika visokih karakteristika, sa granicama
velikih izdu`enja od 1000MPa i vi{e. Visokovredni ~elici za prethodno naprezanje primenjuju se u razli~itim oblicima: kao glatke `ice, kao krute orebrene {ipke (sa granicama veli1-8
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
kih izdu`enja od oko 1000MPa), kao u`ad od upredenih, obi~no sedam glatkih `ica mehani~ki medjusobno spojenih, itd. Tipi~na u`ad za prethodno naprezanje su nominalnog
pre~nika f15,2 i f15,8(ili 16)mm. Zbog bolje veze sa betonom, pri prethodnon naprezanju
na stazi ~esto se primenjuju ne{to tanja u`ad, f12 na primer.
Na slici 1.11 prikazano je
Mast-za{tita od
standarno u`e od upredenih
korozije
glatkih `ica, bez, i sa za{titom
od korozije. Ukoliko je u pitanju prethodno naprezanje sa
spojem ~elika i betona,
Polietilenska
primenjuju se 'gola' u`ad. U
U`e
cev
slu~aju prethodnog naprezaSlika 1.11 U`ad za prethodno naprezanje
nja bez spoja, u`e se premasa/bez spoja
zuje specijalnom ma{}u i spolja {titi polietilenskom cevi, kako bi se obezbedilo proklizavanje u`eta, ali i za{tita od
korozije. ^esto se ~elik prethodno prema`e jo{ i epoxy-premazom. Naj{iru primenu danas
imaju kablovi za prethodno naprezanje - snop paralelnih u`adi (stariji kablovi formirali
su se kao snop paralelnih glatkih `ica, pre~nika od oko 7mm) koja se ute`u i ukotvljavaju
kao celina, skupno.
s
1860
s Ds
860
1860
U`e fpk=1860
670
1670
Napon [MPa]
1670
A0
Napon [MPa]
s0= 1000
RA 400/500
400
e
50
100
Dilatacija x 103
150
Slika 1.12 Radni dijagrami ~elika
Promene u
eksploataciji
"^elik 670/860"
De
Uneto prethodnim
zatezanjem ~elika
e
A
5
25
Dilatacija x 103
50
Slika 1.13 Idealizovani radni dijagram u`adi za
prethodno naprezanje
Na slici 1.12 prikazani su radni dijagrami klasi~ne rebraste armature RA400/500, i tipi~nog
u`eta za prethodno naprezanje sa granicom kidanja u`eta od ~ak 1860MPa. U`ad imaju
znatno vi{e ~vrsto}e od klasi~ne armature, ali su i 'krtija', do prekida u`eta dolazi pri ni`im
dilatacijama, reda veli~ine 50 0/00. Moduo elasti~nosti u`eta takodje je ne{to ni`i, i obi~no
iznosi oko 195 GPa. Ukoliko je u`e prethodno zategnuto do napona od 1000MPa i dilatacije od oko 5 0/00, tada je za promene napona u eksploataciji do dostizanja granice velikih
izdu`enja od oko 1670MPa ostalo jo{ oko 670MPa, slika 1.13. U slu~aju prethodnog naprezanja sa spojem betona i ~elika, ponekada se prethodno uneti naponi u`adi interpretiraju
kao 'spolja{nje optere}enje', dok se promene napona, zaklju~no sa dostizanjem loma
1-9
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
preseka razmatraju kao slu~aj klasi~no armiranog preseka sa 'fiktivnim ~elikom' karakteristika 670/860 MPa, slika 1.13.
1.3 TEHNOLO[KI DETALJI
U osnosu na klasi~no armirane konstrukcije, prethodno naprezanje je sofisticirana tehnologija. Kablovi i ostala oprema ne mogu da se nabave 'na otpadu', oprema za prethodno
naprezanje nabavlja se od proverenih proizvodja~a. Na slici 1.14. prikazana je tipi~na trasa
kablova jednog kontinualno nosa~a preko dva polja, naknadno prethodno napregnutog
mosta uradjenog iz dve faze, na primer. U slu~aju sandu~astih preseka konstrukcije kao u
ovom primeru, kablovi za naknadno prethodno naprezanje naj~e{}e se vode kroz rebra
preseka, kako bi se omogo}ilo njihovo krivolinijsko vodjenje sa promenljivim ekscentricitetom - racionalno balansiranje spoljnih optere}enja, deformacija, napona i prslina. Jedan
kabl sastoji se obi~no od vi{e u`adi (1-50 i vi{e) koja se vode kroz za{titnu cev prethodno
ubetoniranu.
D - Dreniranje
V - Ozra~ivanje
G - Injektiranje
C - Kuplovanje, nastavak
S - Utezanje
P - Naknadno injektiranje
Druga faza gradjenja
Prva faza gradjenja
Radni nastavak
Slika 1.14 Tipi~na trasa kablova za prethodno naprezanje
Za{titna cev za vodjenje kablova za prethodno naprezanje postavlja se u oplatu zajedno sa
klasi~nom armaturom, i podupire se s mesta na mesto posebnim dr`a~ima, 'stolicama' od
klasi~ne armature, slika 1.15. Zavisno od broja u`adi u kablu, pre~nik za{titnih cevi je reda
veli~ine 25-160mm. Cevi su obi~no ~eli~ne, a da bi se obezbedila njihova fleksibilnost,
formiraju se od namotanih ~eli~nih traka, nalik metalnom crevu za tu{ - tzv. orebrene
za{titne cevi. Za{titne cevi cevi mogu da imaju
cev~ice za dreniranje vode koja prodre u cev u
fazi betoniranja, slika 1.14. Armaturni sklopovi kao
i za{titne cevi na svojim dr`a~ima moraju da budu
dovoljno kruti, da ne dodje do prevelikog deformisanja ili ~ak njihovog obru{avanja pri betoniranju.
Nakon o~vr{}avanja betona, kroz za{titne cevi se
provla~e kablovi, ru~no kod kra}ih du`ina, ili ma{inski kod duga~kih trasa (i do 300m u slu~aju
mostova).
Slika 1.15 Dr`a~i cevi i kablova
1-10
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Na krajevima kablova postavljaju se ankeri -'kotve', dve kotve u prvoj fazi gradjenja, i jo{
jedna kotva na kraju nosa~a i druge faze gradjenja, u primeru na slici 1.14. Tip kotve zavisi
od usvojene tehnoloje prethodnog naprezanja: normalna ili aktivna kotva, ako se sa tog
kraja vr{i utezanje kablova; nastavna kotva, ako se predvidja nastavljanje-'kuplovanje'
kablova, fiksna ili 'mrtva ' kotva, ako se taj kraj kabla samo sidri unutar betona.
Podlo`na plo~a
Ankerna plo~a
U`e
Trodelni klin
Nk
Reakcija
betonskog
elementa
d
Slika 1.16 Princip konstrukcije aktivne kotve
Slika 1.17 U`e i rasklopljeni trodelni klin
Princip ukotvljenja jednog u`eta, kao i delovi konstrukcije aktivne kotve prikazani su na
slici 1.16 i 1.17. U`e vu~eno silom Nk povla~i za sobom tzv. trodelni konusni klin koji
kliza i delimi~no se uvla~i u ankernu plo~u za iznos d , dok svojim 'zubima' ne zarobi u`e i
blokira njegovo dalje klizanje - uvla~enje klina pra}eno zaklinjavanjem u`eta. Uvla~enje klina izaziva skra}enje kabla i pad prethodno unetih napona u u`etu, o ~emu se vodi
ra~una pri projektovanju.
Slika 1.18 Aktivna kotva za kabl sa vi{e u`adi (VSL International)
Veli~ina ankerne plo~e zavisi od broja u`adi u kablu, primer aktivne kotve sa dvanaest u`adi na slici 1.18. Sila zatezanja kabla prenosi se na beton konstrukcije preko podlo`ne
plo~e, obi~no kvadratnog ili pravougaonog oblika, slika 1.16 i 1.18. Na mestu uvodjenja
1-11
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
sile prethodnog naprezanja, ispod podlo`ne plo~e, dozvoljavaju se veliki lokalni naponi
pritiska, koji opet izazivaju zna~ajne lokalne popre~ne napone zatezanja - 'cepanja betona'.
Zbog toga je sastavni deo kotve i posebna, obi~no spiralno formirana armatura, tzv. 'spirala', koja se navla~i na kabl, sa ciljem da utegne beton u zoni kotve, i time pove}a nosivost
betona na pritisak kao i da spre~i bo~no cepanje betona ispod kotve. Na slici 1.18 ova armatura nije prikazana, ali treba pogledati i sliku 1.20, gde je ova armatura prikazana.
U primeru sa slike 1.14, sve tri kotve su aktivne, omogu}avaju utezanje kablova. Specifi~na
je nastavna kotva nad srednjim osloncem, jer dozvoljava da se putem nje izvr{i utezanje
prve faze konstrukcije, da se potom kabl nastavi, i da se na kraju utegne sa desnog kraja
kompletne konstrukcije, sa ili bez promene sile u delu kabla u prvom polju. Aktivne kotve
postavljene na oba kraja kabla omogu}avaju razli~ite redoslede utezanja:
- utezanje samo sa jednoga kraja;
- istovremeno utezanje sa oba kraja sa dve prese;
- utezanje prvo sa jedne strane, pri ~emu kotva na drugom kraju trenutno ima ulogu
fiksne kotve, i potom se presa prenosi na drugi kraj kabla. S obzirom da su se, pri utezanju
kabla sa jednoga kraja u`ad na drugom kraju zaklinila, potrebno je prvo presom izvr{iti
rasklinjavanje u`adi - njihovo izvla~enje zajedno sa klinom iz ankerne plo~e, i tek potom
nastaviti utezanje do `eljene sile, koje je pra}eno izdu`enjem, izvla~enjem kabla u okviru
prese. Pri vr{enju utezanja kablova, obi~no se vr{i i merenje izdu`enja kabla - hoda prese,
jer je to indikator ispravnosti utezanja.
Slika 1.19 Faze utezanja kablova presama (VSL International)
1-12
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Postupak utezanja kablova prikazan je na slici 1.19 i obuhvata slede}e operacije:
- navla~enje ankerne plo~e i klinova na u`ad, koja moraju da imaju potrebnu slobodnu du`inu, da bi ~eljust prese mogla da ih uhvati (podlo`na plo~a je ve} ubetonirana);
- navla~enje prese na u`ad do kontakta - oslanjanja prese na ankernu plo~u;
- hvatanje u`adi ~eljustima prese i izvla~enje, zatezanje u`adi do `eljene sile ili
`eljenog izdu`enja - izvla~enja kabla;
- odr`avanje postignutog izdu`enja kablova uz utiskivanje svih klinova posebnim
klipom prese-zaklinjavanje;
- otpu{tanje i skidanje prese sa u`adi;
- se~enje, skra}enje u`adi, ako se ne planira naknadno-dodatno utezanje u nekoj
od narednih faza gradjenja;
Prese su hidrauli~ke, vezane za pumpe. Merenje ostvarene sile obi~no vr{i se indirektno,
putem merenja ostvarenog pritiska u presi. Na osnovu poznatog pritiska i povr{ine klipa
prese, mo`e da se izra~una trenuta sila na presi. Obi~no se pre utezanja vr{i ba`darenje
prese u laboratorijskim uslovima, direktnim merenjem sile pomo}u umetnutog pouzdanog
dinamometra. Za svaki spareni komplet pumpa-presa, formira se dijagram pritisak-sila,
tzv. dijagram ba`darenja prese, koji je merodavan za ocenu uspe{nosti izvr{enog prethodnog naprezanja. Ako se pri utezanju konstatuje da je `eljena sila ostvarena, ali je istovremeno registrovano i neo~ekivano malo izdu`enje kabla-hod prese, to je indikacija da su
otpori izvla~enju - trenje kabla o zidove za{titne cevi preveliki, ili da je ~ak do{lo do zaglavljivanja-blokiranja kabla. Treba imati na umu da je prethodno naprezanje prinudna
deformacija konstrukcije i kabla, i da ako se ne ostvare o~ekivane deformacije, to zna~i
da u sistemu postoje nepredvidjeni otpori. Osim izdu`enja kablova, pri prethodnom naprezanju kompleksnih konstrukcija obi~no se mere i promene deformacija konstrukcije.
Ako se konstatuje zna~ajnije odstupanje u odnosu na o~ekivane deformacije, tada, ili je
gre{ka u proceni sopstvene te`ine konstrukcije, ili u proceni i modeliranju njene krutosti ili
se konstrukcija jednostavno negde nepredvidjeno zaka~ila-zapela. Da bi se ostvarili `eljeni
efekti prethodnog naprezanja, neophodno je da se obezbedi neometana deformacija
konstrukcije! U suprotnom, mo`e do}i i do havarije, do o{te}enja objekta-prepreke koja
spre~ava slobodnu deformaciju, ali i do o{te}enja konstrukcije koja se 'nepriridno' deformi{e.
Po zavr{etku prethodnog naprezanja kabla, vr{i se injektiranje za{titnih cevi, utiskivanjem obi~no cementne emulzije pod pritiskom, kroz prethodno ostavljene cev~ice za
injektiranje, slika 1.14. Injektiranje se obi~no vr{i sa najni`ih ta~aka za{titnih cevi ili kroz
same kotve, ~ime se potiskuje navi{e zaostala voda, vazduh i ne~isto}e nakupljene u cevi,
~ije se izbacivanje van cevi vr{i kroz cev~ice za ozra~ivanje, slika 1.14.
Cev za injektiranje
Cev za ozra~ivanje
Cev za injektiranje
Spirala
Spirala
Utezanje
presom
Normalna ("aktivna") kotva
Trenje
Fiksna ("mrtva") kotva
Slika 1.20 Tipi~na trasa kablova za prethodno naprezanje
sa fiksnom kotvom na jednom kraju
1-13
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Jo{ jedan primer trase kablova kontinualne
konstrukcije preko dva polja, izvedene monolitno, bez nastavaka, prikazan je na slici 1.20.
Utezanje kablova predvidjeno je samo sa levog
kraja, ne kome je ugradjena 'aktivna kotva' dok
je na desnom kraju postavljena 'fiksna kotva'.
Dva primera tipi~nih konstrukcija fiksnih kotvi
prikazani su na slici 1.21. Zbog problema sa
odr`avanjem i za{titom konstrukcija, danas je
trend da se koristi {to manje aktivnih kotvi, koje
nakon prethodnog naprezanja treba za{tititi,
plombirati. Otuda i trend primene duga~kih
kablova, sa {to vi{e ubetoniranih fiksnih kotvi,
kao na slici 1.20. Obe kotve prikazane su sa
dodatnom spiralnom armaturom za osiguranje
zone uno{enja sile prethodnog naprezanja, o
~emu je prethodno bilo re~i. Na istoj slici
Slika 1.21 Dva tipa fiksnih kotvi (VSL
prikazani su i vektori skretnog optere}enja, sile
International)
kojima kablovi deluju na beton konstrukcije, ali
ovaj put uklju~uju}i i sile trenja pri utezanju kabla, o ~emu do sada nije bilo re~i. Uvek
prisutno trenje pri utezanju smanjuje efekte prethodnog naprezanja, o ~emu se vodi
ra~una pri projektovanju.
Slika 1.22 Kotve kablova bez spoja za prethodno naprezanje plo~a (VSL International)
Pri prethodnom naprezanju plo~a, takodje
mogu da se koriste prikazani sistemi kablova za
prethodno naprezanje sa spojem uz injektiranje
za{titnih cevi. Medjutim, u svetu se danas ~e{}e
koristi postupak sa kablovima bez spoja, ~ime se
isbegava injektiranje. S obzirom da su plo~e malih debljina, svi vode}i proizvodja~i sistema za
prethodno naprezanje nude posebno dizajnirane
kotve, sa manjim brojem u`adi rasporedjenih u
horizontalnoj ravni, tako da i podlo`na plo~a
dobija izdu`eni oblik, pogodniji za ugradjivanje u
tanke elemente, slika 1.22. Detalj kotve kablova
Slika 1.23 Detalj kotvi u plo~i, sa armaturom
plo~e prikazan je na slici 1.23.
za obezbedjenje lokalnih napona
1-14
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.24 Deo kataloga doma}eg sistema za prethodno naprezanje IMS
sa podacima o normalnim-aktivnim kotvama
1-15
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Rmin, Lmin (m)
Deo kataloga doma}eg sistema za prethodno naprezanje- 'IMS' prikazan je na slici 1.24, sa
podacima o u`adima i aktivnim-normalnim kotvama.
Minimalna sila kidanja kabla (MN)
Slika 1.25 Minimalni polupre~nici krivljenja R i minimalne du`ine
pravog dela kabla u zoni kotve L (VSL International)
Krivolinijsko vodjenje trase kablova ne mo`e da se vr{i naglim, o{trim prelomima cevi i
kablova. Proizvodja~i kablova defini{u minimalne dozvoljene radijuse krivina kablova Rmin u
zavisnosti od njihove krutosti, tj. broja u`adi odnosno sile kidanja-nosivosti kabla, slika
1.26. S obzirom da je neophodno da kabl izadje upravno na kotvu, defini{u se i minimalne
du`ine Lmin pravog dela na ulasku kabla u kotvu, slika 1.25.
Kotve na kraju nosa~a
30-50
b
30-50
f
max (f, 50)
a
Kablovi u sredina nosa~a
b
max (f, 40)
a
Slika 1.26 Minimalni dozvoljeni razmaci (mm) cevi odnosno kotvi kablova (IMS)
Raspored kablova i kotvi u okviru preseka takodje je definisan ili propisima, ili posebnin
uputstvima proizvodja~a, da bi se obezbedio sme{taj elemenata i kvalitetno betoniranje.
Dozvoljeni osovinski razmak cevi je naravno manji nego u slu~aju kotvi, jer kotve imaju
ve}e dimenzije, slika 1.26. Ukoliko je debljina rebra grede taman dovoljna da se za{titne
cevi smeste na minimalnim medjusobnim razmacima, tada je neophodno da se nosa~ na
krajevima pro{iri, kako bi mogle da se smeste kotve. To za posledicu ima i delimi~no bo~no
krivolinijsko vodjenje trase pojedinih kablova, kako se kablovi pribli`avaju kotvama.
1-16
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Osim {to su u`ad za prethodno naprezanje ista, sistemi za spolja{nje prethodno naprezanje imaju posebno razradjene sve ostale detalje, kao i odgovaraju}a uputstva za projektovanje. Na slici 1.27 shematski su prikazani osnovni elementi sistema VSL International. Svi
elementi su tako koncipirani da se kabl, u slu~aju potrebe mo`e jednoga dana zameniti.
U`ad za prethodno naprezanje obi~no se na pravcima vode kroz polietilenske cevi, dok se
na krivinama-devijatorima, kao i u zoni ukotvljenja koriste ~eli~ne cevi.
1.4 PRIMERI PRIMENE PRETHODNOG NAPREZANJA
Prethodno naprezanje danas se primenjuje kako u proizvodnji velikih serija jednostavnih
monta`nih elemenata (tavanice, krovni nosa~i, `elezni~ki pragovi, {ipovi itd.), tako i za gradjenje nesvakida{njih konstrukcija (veliki rasponi, specijalne tehnologije gradjenja,
rezervoari, vodotornjevi, posebni uslovi za{tite kao u slu~aju posuda nuklearnih reaktora,
mostovi, tavanice poslovnih zgrada velikih povr{ina, konstrukcije krovova velikih raspona,
aerodromske piste itd.). Za primenu u geotehnici razvijeni su posebni sistemi ankera za
osiguranje i stabilizaciju kosina, ankerovanje objekata koji mogu da isplivaju zbog
hidrostati~kog potiska itd.
Slika 1.28 Prethodno naprezanje rezervoara
1-17
Slika 1.29 Prethodno napregnuta
konstrukcija 'mostovskih' eta`a
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.30 Sistem prethodno napregnutih o{upljenih tavanica/panela - 'Morava-Kru{ce'
1-18
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.31 Prethodno naprezanje medjuspratnih i temeljnih plo~a kablovima bez spoja
Slika 1.32 Segmentno gradjenje mosta
1-19
Slika 1.33 Spolja{nje prethodno naprezanje mosta
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.34 Spolja{nje prethodno naprezanje konstrukcija (prema Dywidag)
Slika 1.36 Trasa kablova cilindra
Slika 1.35 Prethodno napregnuti cilindar i platforma
vodotornja 'Progar'
1-20
Slika 1.37 Trasa kablova platforme
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.38 Sanacija ramova poduhvatanjem greda-spolja{nje prethodno naprezanje
Slika 1.39 Spolja{nje prethodno naprezanje mosta
Slika 1.40 Prethodno napregnute liftovane tavanice,
sistem Trudbenik
1-21
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 1.41 Spolja{nje prethodno naprezanje glavnih
nosa~a krova raspona 136m - hangar JAT-a u Sur~inu
Slika 1.43 Glavni nosa~i hangara JAT-a
u Sur~inu u fazi gradjenja
Slika 1.42 Krovni nosa~ hangara JAT-a u Sur~inu
Slika 1.44 Dispozicija 'Beogradske Arene'
Slika 1.46 Detalj gornjeg pojasa, kablova, stolica i
devijatora 'Beogradske Arene'
Slika 1.45 Spolja{nje prethodno napregnuta
konstrukcija krova 'Beogradske Arene'
1-22
2. 'IDEALNI' EFEKTI
PRETHODNOG NAPREZANJA
Da bi se analiziralo stanje neke konstrukcije od homogenog elasti~nog materijala - sile u
presecima, deformacije, naponi u presecima itd., primenjuje se neka od metoda statike
konstrukcija ili otpornosti materijala. Optere}enja konstrukcije usled prethodno naprezanje su 'unutra{nja optere}enja' konstrukcije, analogna dejstvu temperature ili skupljanja
betona. Unutra{nja optere}enja karakteri{e da izazivaju deformacije konstrukcije, ali da u
slu~aju kada slobodne deformacije nisu spre~ene (spolja{nje stati~ki odredjene konstrukcije), ne izazivaju reakcije oslonaca. U ovom delu prikazan je postupak kako da se unutra{nja optere}enja kojima kablovi za prethodno naprezanje deluju na konstrukciju, zamene
'ekvivalentnim optere}enjem' usled prethodnog naprezanja. 'Efekti prethodnog naprezanja' - sile u presecima, deformacije itd. odredjuju se za uticaje ekvivalentnog optere}enja shva}enog kao spolja{nje optere}enje, nekom od metoda statike konstrukcija. Sva
razmatranja odnose se na 'idealan slu~aj', u realnosti neostvarljiv - da je sila u kablu
konstantna celom du`inom kabla, i jednaka sili na presi kojom je kabl utegnut. Zbog razli~itih neizbe`nih efekata, sila u kablu - sila prethodnog naprezanja menja se du`inom
nosa~a ve} u toku utezanja kabla, a po~etne realizovane sile menjaju se i u toku vremena, o
~emu }e biti re~i u narednom poglavlju. Analiza 'idealnih' efekata prethodnog naprezanja ima svoj zna~aj kako zbog shvatanja prirode dejstava prethodnog naprezanja, tako i
pri po~etnim pribli`nim - koncepcijskim analizama, koje prethode detaljnim analizama
konstrukcije.
Ekvivalentna optere}enja i efekti prethodnog naprezanja odredjuju se polaze}i od usvojenog postupka prethodnog naprezanja, razmatranjem stanja sila i deformacija konstrukcije u
fazi utezanja kablova, kada se formira po~etno stanje sila i deformacija koje je osnova
za sve naknadne analize. Nezavisno od toga da li je konstrukcija stati~ki odredjena ili
neodredjena, zategnuti kabl na proizvoljno betonsko telo konstrukcije deluje:
- koncentrisanim silama na mestu kotvi;
- koncentrisanim skretnim silama u pravcu simetrale ugla, na mestru o{trog
preloma trase kabla;
- podeljenim skretnim optere}enjem u pravcu centra krivine na delu kabla u
krivini.
Efekti prethodnog naprezanja dodatno zavise i od ekscentriciteta kotvi na krajevima nosa~a, od oblika te`i{ne linije konstrukcije kao i od toga da li je konstrukcija spolja{nje
stati~ki odredjena ili neodredjena.
2.1 STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
U slu~aju stati~ki odredjenih konstrukcija, u u`em smislu - u slu~aju spolja{nje stati~ki
odredjenih konstrukcija, prethodno naprezanje ne izaziva reakcije oslonaca. Svi principi
ilustrovani na narednim primerima konstrukcija sistema prostih greda, slike 2.1-2, va`e za
sve stati~ki odredjene konstrukcije.
2- 1
TL i Kabl
Nk
Nk
Nk
Nk
a)
a)
R
TL
qk
f f
Nk
a
b)
Nk
Nkcosa
Nkcosa
L
qk
a2
Nk
Nksina1
Nksina2
M
e2
f
qk
Nksina
M
b)
TL
Nk
Nksina
a1
c)
Qk
a2
a1
q=a1+a2
Nksina1
Nksina2
M
Nkcosa1
d)
Hk
a
Mk2=
Nkcosa2*e2
Nkcosa2
L
Nk
M
Nk
Nk
Nk
fTL
fTL
qTL
TL
Vk
Nk
e2
Nk
a
qk
c)
TL
d)
Nkcosa2
Nkcosa1
L
Mk2=
Nkcosa2*e2
e1)
L
e)
M
Nk
e2)
qTL
qTL
Nk
Nk
qk
Nk
Nk
qk=qTL
f)
L
f)
qTL
fTL=fk
TL i kabl
Nk
TL
g)
a
f1
Nk2
L
Nk2
Mk1
a
g)
Slika 2.1 Nosa~ i trasa kablova
Nk2
Nk1
Nk1
f2
Nk1
Mk2
a
M
Nk1
Nk2
Mk2
Mk1
a
Slika 2.2 Stati~ki sistem, ekvivalentno optere}enje i
dijagram momenata savijanja
2- 2
2.1.1 Karakteristi~ni slu~ajevi - koncept 'ekvivalentnog optere}enja'
Prav kabl zategnut silom Nk unosi u konstrukciju samo koncentrisane sile na mestu kotvi,
slika 2.1a Ukoliko se osa kabla - trasa kabla poklapa sa te`i{nom linijom nosa~a TL,
ekvivalentno optere}enje su dve sile Nk na mestima kotvi, element je aksijalno pritisnut
slika 2.1b.
Krivolinijska trasa kabla na betonsko telo konstrukcije deluje kocentrisanim silama Nk
na mestu kotvi, kao i skretnim podeljenim optere}enjem qk du` trase kabla, slika 2.1b.
Na delu kabla polupre~nika krivine R zategnutog silom Nk , intenzitet skretnog optere}enja
je qk=Nk/R - 'kotlovska formula'. Za ~est slu~aj trasa kabla oblika kvadratne parabole,
R=L2 / 8f , gde su: L - du`ina parabole; f - strela parabole, pa je qk = 8Nk f/ L2, slika 2.1b.
Skretno optere}enje deluje ka centru krivine kabla, ali se u slu~aju 'plitkih trasa' kablova - pribli`no f/L<12, kao dovoljno ta~no usvaja da podeljeno optere}enje deluje upravno
na osu nosa~a, slika 2.2b. Koncentrisane sile na mestu kotvi deluju pod uglom a (tga = 4f/L)
u pravcu tangente na osu kabla odnosno, upravno na kotvu, i mogu da se razlo`e na normalnu silu Nk cosa , odnosno transverzalnu silu Nk sina na mestu kotve, slika 2.2b. U slu~aju plitkih trasa kablova ( cosa @ 1 ), za analizu se obi~no usvaja da je normalna sila usled
prethodnog naprezanja dovoljno ta~no jednaka Nk . Ekvivalentno optere}enje - jednako
podeljeno optere}enje du` nosa~a i sile na krajevima, izazivaju savijanje nosa~a, sa maksimalnom vredno{}u momenta savijanja u sredini raspona M=qk L2 / 8 = Nk f .
Ukoliko kotva na kraju nosa~a nije postavljena u te`i{te preseka - 'nije centrisana', normalna sila Nk cosa koja deluje na ekscentricitetu e2 , izaziva moment savijanja na kraju nosa~a
Nk cosa*e2 @ Nk e2 , slika 2.2c.
Na mestu o{trog prelom trase kabla, pod skretnim uglom q =a1+a2 , kabl zategnut silom
Nk deluje na konstrukciju koncentrisanom skretnom silom Qk = 2Nk sin q/2 , koja deluje
u pravci simetrale skretnog ugla q , slika 2.1d. U slu~aju plitkih trasa kablova i malih skretnih uglova, obi~no se za analizu usvaja da skretna sila deluje vertikalno, Vk @ Qk , dok se
horizontalna komponenta Hk zanemaruje, slika 2.2d.
U slu~aju nosa~a sa krivolinijskom ili poligonalnom te`i{nom linijom TL, pravolinijski
kabl izaziva momente savijanja usled ekscentriciteta kabla u odnosu na osu, slika 2.1e.
Uticaji prethodnog naprezanja mogu da se odrede u stati~kom sistemu sa realnom zakrivljenom te`i{nom linijom, slika 2.2e1, ili da se usvoji 'ispravljena' - pravolinijska osa
nosa~a i ekvivalentno optere}enje usled krivine ose qTL = 8Nk fTL/L , slika 2.2e2. Momenti
savijanja i ugibi usled prethodnog naprezanja u slu~aju greda prema slikama 2.1b i 2.1e su
identi~ni, ukoliko su iste odgovaraju}e strele, fk = fTL.
Ako se trasa kabla u svim presecima nosa~a poklapa sa te`i{nom linijom preseka, tada je
efekat prethodnog naprezanja aksijalno optere}en element silom Nk , bez obzira na oblik
ose, slika 2.1f odnosno 2.2f. S obzirom da su strele ose kabla fk i te`i{ne linije fTL jednake,
skretna optere}enja usled krivine kabla qk jednaka su skretnim optere}enjima usled krivine
ose qTL , ali suprotnog znaka - rezultat je da nema savijanja nosa~a.
Konstrukcije se obi~no prethodno napre`u sa vi{e kablova, koji ne moraju svi da budu zavr{eni - 'ukotvljeni' u istom preseku nosa~a, slika 2.1g. Svaki od kablova na mestu svoje
2- 3
kotve unosi koncentrisanu silu, bez obzira na njen polo`aj unutar mase betona konstrukcije, slika 2.1g i 2.2g.
S obzirom na u~injenu aproksimaciju u vezi pravca dejstva skretnih sila i podeljenih skretnih optere}enja, uslov ravnote`e popre~nih sila usled ekvivalentnog optere}enja nije u
potpunosti zadovoljen. U primeru na slici 2.1b odnosno 2.2b, suma vertikalnih sila na mestu
kotvi iznosi 2Nk sina {to je ta~na vrednost, dok je rezultanta podeljenog optere}enja u
polju jednaka qkL = 8Nk f/L , {to je pribli`na vrednost. Ako su uglovi a dovoljno mali,
tada je sina @ tga = 4f/L , pa je suma sila na krajevima jednaka 2Nk sina = 8Nk f/L , sistem
je dovoljno ta~no 'uravnote`en'.
2.1.2 Nepredvidjeni otpori prethodnom naprezanju
Prethodno analizirani slu~ajevi razmatrani su na modelu proste grede sa jednim osloncem
horizontalno pomerljivim. Da bi se ostvarili o~ekivani efekti prethodnog naprezanja, neophodno je da se obezbedi slobodna deformacija konstrukcije pod dejstvom kablova - prethodno naprezanje je prinudno deformisanje konstrukcije. Ukoliko se pri utezanju kablova pojave neo~ekivani otpori slobodnom deformisanju, kao {to je blokada pomerljivog
oslonca proste grede na slici 2.3, na primer, rezultati }e da odstupe od o~ekivanih, a mo`e
da dodje i do havarije, jer su u konstrukciji izazvana naponska stanja na koja ona nije osigurana.
TL
Nk
h
f
a
a)
Mk
Nk
Nksina
Nkcosa
Mk
Nkcosa
qk
b)
L
Nksina
M
Slika 2.3 Efekat blokade pomerljivog oslonca proste grede
2.1.3 Prethodno naprezanje kao 'sila u preseku'
Do sada razmatrani koncept ekvivalentnog optere}enja mo`e da se primeni za potpunu
analizu stanja naprezanja i deformacija proizvoljnih konstrukcijskih sistema. Ako nas,
u slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, interesuje samo stanje sila u preseku nosa~a,
rezultat mo`e da se dobije i direktno.
a)
L
Nk
Nksina
qk
T
Nkcosa
b)
e
f
a
h
TL
Nk
x=L/2
Nk
L
Slika 2.4 Efekat prethodno naprezanja u nekom preseku nosa~a
Iz uslova ravnote`e svih sila usled dejstva kablova sa jedne strane razmatranog preseka,
sledi da se efekat prethodnog naprezanja mo`e analizirati kao slu~aj popre~nog preseka
optere}enog silom u kablu Nk , koja deluje u pravcu tangente na osu kabla, na ekscentricitetu e u odnosu na te`i{te preseka T, slika 2.4b. Za presek u sredini raspona proste
grede sa paraboli~nom trasom kablova, normalna sila u preseku iznosi N=Nk , moment
savijanja u odnosu na te`i{te preseka T iznosi M=Nk e = Nk f (isti rezultat dobijen je i pri2- 4
menom koncepta ekvivalentnog optere}enja, deo 2.1.1), dok je transverzalna sila jednaka
nuli, jer je tangenta ose kabla horizontalna. U presecima u kojima tangenta na osu kabla
ima nagib b , pojavljuje se i transverzalna sila T = Nk sinb , dok se za veli~inu normalne sile
i momenta savijanja sa dovoljnom ta~no{}u mogu usvojiti isti izrazi kao za presek u sredini
raspona, sa odgovaraju}im ekscentricitetom.
Za dokaz uslova ravnote`e svih sila sa jedne strane nosa~a prema slici 2.4b, neophodno je
da se skretno optere}enje du` nosa~a qk usvoji sa svojim realnim pravcem dejstva - u pravcu
centra krivine ose kabla. Horizontalne i vertikalne komponenete skretnog optere}enja qk
obezbedjuju ravnote`u , ina~e neuravnote`enih sila na mestu kotve i u sredini nosa~a, slika
2.4b.
2.1.4 Osnovi koncepta 'balansiranja spoljnih optere}enja'
Koncept ekvivalentnog optere}enja usled prethodnog naprezanja posebno je koristan pri
preliminarnim, koncepcijskim razmatranjima racionalnog oblika trase kablova, i ocene potrebnog iznosa sile prethodnog naprezanja. Osnovna ideja pri tome je, da se oblikom trase
kabla izazovu ekvivalentna optere}enja koja }e biti istog ili sli~nog karaktera kao i spoljna
optere}enja - da se kablovima suprotstavimo dejstvu spoljnih optere}enja, da se rezultuju}e stanje optere}enja q + qk 'izbalansira' prema nekom od `eljenih kriterijuma.
q
TL
q
qk
a)
a)
TL
q
q
e2
Mk
Mq
b)
Q
c)
a
Slika 2.5 Spoljna optere}enja i trasa kabla
Mq
Q
e2
TL
qk
b)
a
Mq
c)
Qk
Mk2
Mq
Slika 2.6 Balansiranje spoljnih optere}enja
U slu~aju proste grede optere}ene jednako podeljenim spoljnim optere}enjem q , logi~an je
izbor paraboli~na trasa kabla, sa jednako podeljenim ekvivalentnim optere}enjem qk , slika
2.5a i 2.6a. Izborom strele parabole f i sile prethodnog naprezanja Nk , mogu}e je posti}i
razli~ita stanja naprezanja i deformacija konstrukcije. Ukoliko qk = q , spolja{nja optere}enja i ekvivalentno optere}enje u polju nosa~a su jednaka ali suprotnog znaka, rezultat je
2- 5
aksijalno optere}ena greda silom Nk , bez ugiba. Ako je to ono {to smo `eleli, onda smo
uspeli da kablovima 'izbalansiramo' dejstva spoljnih optere}enja.
Ako na kraju grede deluje i spolja{nji koncentrisani moment savijanja Mq , tada je racionalno da se i trasa kabla izvede na ~elo nosa~a sa ekscentricitetom e2 , slika 2.5.
U slu~aju da u polju nosa~a deluje koncentrisana sila Q , u odnosu na ~ije efekte je uticaj
spoljnih podeljenih optere}enja q mali, tada je racionalno da se konstrukcija kablovima
'podupre' na mestu dejstva sile Q, usvajanjem poligonalne trase kabla prema slici 2.5c i
2.6c.
Nakon navedenih primera, treba uo~iti 'dramati~nu' razliku izmedju ovih mogu}nosti i razmi{ljanja u odnosu na filozofoju projektovanja klasi~no armiranih betonskih konstrukcija.
U klasi~nim konstrukcijama, projektant je u 'pasivnom polo`aju' u odnosu na spoljna
optere}enja, mo`e i mora da obezbedi posledice njihovog dejstva (napone, ugibe, prsline,
sigurnost od loma itd.), ali ne mo`e da im se suprotstavi, da uti~e na njih. Prethodno naprezanje omogu}ava 'aktivan pristup', intervenciju ve} na nivou rezultuju}ih optere}enja,
tako da se neki efekti spoljnih optere}enja mogu u potpunosti i eliminisati.
2.2 STATI^KI NEODREDJENE KONSTRUKCIJE
Primer 'unutra{nje stati~ki neodredjene' konstrukcije - cilindri~nog rezervoara naveden
je u uvodnim razmatranjima, uz intuitivna razmi{ljanja u pravcu 'ekvivalentnih optere}enja'
kao i 'balansiranja' optere}enja, napona i prslina rezervoara. U slu~aju da slobodna deformacija cilindra usled dejstva vode nije spre~ena - 'membransko stanje sila i deformacija',
govorimo o 'spolja{nje stati~ki odredjenoj' konstrukciji, u kojoj prethodno naprezanje
ne izazova reakcije oslonaca.
Koncept ekvivalentnog optere}enja je primarno sredstvo za analizu stati~ki neodredjenih
konstrukcija, bilo ru~nim metodama ili uz primenu ra~unara. Medjutim, projektant nije
uvek u mogu}nosti da izabere trasu kablova ~ije }e ekvivalentno optere}enje direktno da
balansira spoljna optere}enja kao u prethodnim primerima - povr{inske ljuskaste konstrukcije, na primer. Najop{tiji princip je da kablove treba voditi pribli`no toku trajektorija
napona zatezanja usled spoljnih optere}enja, kao {to se kona~no vodi i armatura klasi~no
armiranih konstrukcija.
U slu~aju stati~ki neodredjenih linijskih nosa~a - greda i ramova, koji se naj~e{}e i
primenjuju, mogu}e je formulisati skup jednostavnih pravila, pogodnih za svakodnevnu
praksu.
2.2.1 Efekat spre~enih slobodnih deformacija - 'sekundarni uticaji'
Pretpostavimo da se prosta greda bez te`ine sa slika 2.1b i 2.2b u toku utezanja kablova,
odmah 'zaka~ila' za ne{to u sredini raspona. Da nema tog 'nepredvidjenog otpora' deformacijama, o ~emu je bilo re~i u delu 2.1.2, greda bi se usled dejstva samo prethodnog naprezanja izdigla, sa maksimalnim ugibom d u sredini raspona, slika 2.7.a. Ako neki objekat
spre~ava odizanje grede u sredini raspona, onda taj isti objekat mora da bude sposoban da
izdr`i silu '~upanja' X, koja se suprotstavlja potisku kablova i spre~ava pojavu ugiba u sredini raspona. Sila '~upanja' se obi~no naziva 'stati~ki nepoznata sila', koja se, po 'metodi sila',
2- 6
upravo i odredjuje iz uslova da, pod istovremenim dejstvom ekvivalentnog optere}enja qk i
sile X, ugib na mestu dejstva sile X bude jednak nuli. Ako 'objekat' koji ometa deformacije
nije beskona~no krut, govorimo o 'popustljivom osloncu', koji mo`e da bude i 'elasti~an'.
TL
qk
Nk
d
f
Nk
a)
L
U ovoj 'incidentnoj' situaciji, a de{ava se i
to, umesto sistema proste grede, ustvari
se prethodno napre`e sistem kontinualne
grede preko dva polja, ali to nismo `eleli,
jer ne bi trasu kablova tako postavili!
TL
Jedan od ciljeva prethodnog naprezanja
proste grede bila je vrednost momenta u
Nk
Nk
sredini raspona Mk0 = -Nk f , koji zate`e
gornju stranu grede, slika 2.7.c. Reakcija
b)
srednjeg oslonca 'ne`eljenog kontinuL
X
alnog nosa~a' preko dva jednaka polja,
ukupnog raspona L , usled podeljenog
Nksina
ekvivalentnog optere}enja qk = 8Nk f / L2
Nksina
X
iznosi X=5qk L/ 8. Momenta savijanja u
N
cosa
Nkcosa
preseku nad srednjim osloncem usled sile
k
X isnosi MX = 5qk L2 / 32 = 5Nk f / 4 i zaqk
c)
te`e donju stranu grede, tako da je rezulSlika 2.7 Prethodno naprezanje proste grede sa
tuju}i moment u preseku nad srednjim
spre~enim odizanjem na srednjem osloncu
osloncem jednak Mk = Nk f / 4 , i zate`e
donju stranu grede, slika 2.7.c. Proma{ili
smo vrednost, ali i znak uticaja. Uticaji usled 'stati~ki nepoznatih' reakcija oslonaca nazivaju se i sekundarni uticaji usled prethodnog naprezanja, {to ima smisla, ali se mo`e ~uti i
za izraz 'parazitni uticaji', {to sugeri{e da tu ne{to nije u redu!?
Mk0
Mx
Mk
f
a
qk
Navedeni primer je 'incident', ali je princip analize isti i u slu~aju kada je konstrukcija stvarno stati~ki neodredjeni kontinualni nosa~ preko dva polja. Uticaj kablova 'modelira' se
ekvivalentnim optere}enjem, i nakon toga se radi uobi~ajeni stati~ki prora~un nekim od
raspolo`ivih postupaka - tablice, programima za ra~unare itd.. U ovom slu~aju, analiza se
zasnivala na tzv. 'metodi sila'.
2.2.2 Izbor oblika trase kablova
Komentar uz prethodni primer bio je da 'trasu kablova ne bi tako izabrali, da smo znali da
je u pitanju kontinualni nosa~'. [ta ne valja ovoj trasi u slu~aju da je nosa~ kontinualan,
slika 2.7.b? Efekat kablova je normalna sila u preseku N=Nk , kao i u slu~aju proste grede.
Ekvivalentno optere}enje u polju qk potiskuje nosa~ na gore, ~ime se koriguju momenti i
ugibi usled spoljnih optere}enja. Sa te strane, trasa je mogu}a, ali mo`e i bolje. Veliki
nedostatak ovakve trase je {to iznad srednjeg oslonca prolazi donjom stranom preseka. Ve}
je re~eno da se nakon prethodnog naprezanja, za uticaje naknadnih optere}enja, ~elik kablova pona{a kao klasi~na armatura, pa ga onda treba i postaviti tamo gde mu je mesto, u
zonu preseka koja je zategnuta usled dejstva dodatnih optere}enja - u gornju zonu preseka nad srednjim osloncem, slika 2.8b! Ako u nosa~u sa slike 2.7b ne bi bilo klasi~ne armature iznad srednjeg oslonca, porastom spoljnih optere}enja iznad nivoa optere}enja u eksploataciji, prvo bi nastupio gubitak prethodno unetih pritisaka na gornjoj ivici preseka nad
2- 7
osloncem - tzv. 'dekompresija preseka', potom bi do{lo do pojave prslina i ubrzo do loma
preseka nad osloncem, koji je 'nearmiran u zategnutoj zoni'. To ne mora da zna~i da je nastupio i lom konstrukcije u smislu da su i `ivoti ugro`eni, polazni kontinualni nosa~ pre{ao bi u stanje dve proste grede raspona L/2, sa ne ba{ optimalnom trasom kablova.
g,p
M/2
M
TL
q2
a1
Nk
e/2
e
Nk
b)
L/2
b)
L
L
qk
L/2
L
Slika 2.8 Kontinualni nosa~ i
korigovana trasa kablova
L
L
TL
e/2
a2
L/2
Qk
Mk
a)
L
L
Mk/2
a)
L
Slika 2.9 Momenti savijanja
kontinualnog nosa~a
Konkretan primer 'korigovane trase' kablova, kod koje je strela kablova f jednaka ekscentricitetu kablova e iznad srednjeg oslonca, prikazan je na slici 2.8a,b. Poznati oblik dijagrama momenata savijanja M usled dejstva podeljenih spoljnih optere}enja g i p prikazan je na
slici 2.9a. Za usvojenu trasu kabla prema slici 2.8a, ekvivalentno optere}enje i dijagram momenta savijanja usled prethodnog naprezanja Mk prikazani su na slici 2.9b.
Intenzitet podeljenog skretnog optere}enja iznosi qk = 8Nk f / L2 = 8Nk e / L2 , jer je f=e.
Reakcija srednjeg oslonca usled ekvivalentnog optere}enja qk iznosi Rk =10qkL/8 =
10Nk/L. Ugao tangente parabole nad osloncem iznosi tga2 = 5e/L , odnosno vrednost
skretnog ugla trase kablova iznad oslonca iznosi q2 = 2a2 , slika 2.8.b. Skretna sila Qk na
mestu preloma trase iznad oslonca jednaka je Qk =2 Nk sin q/2 . Mo`e da se poka`e da je,
za plitke trase kablova i male skretne uglove Qk = Rk , odnosno da paraboli~na trasa kabla
sa strelom jednakom ekscentricitetu iznad srednjeg oslonca ne izaziva reakcije oslonaca,
iako je sistem stati~ki neodredjen. Uticaji usled prethodnog naprezanja ovakvom trasom
jednaki su uticajima u stati~ki odredjenoj gredi raspona 2L, kao da je uklonjen srednji
oslonac. Moment usled prethodnog naprezanja nad srednjim soloncem iznosi Mk = Nk e, a
u preseku u sredini polja Mk = Nk e/2 .
Trase kablova kod kojih su uticaji jednaki uticajima u stati~ki odredjenim nosa~ima nazivaju se i 'konkordantnim' trasama. Treba uo~iti da je trasa kabla na slici 2.8.b afina sa
dijagramom momenata na slici 2.9a. Ordinate trase kablova mogu da se dobiju deljenjem
dijagrama momenata nekom konstantom, koja ima zna~enje vrednosi sile u kablu Nk . Mo`e da se doka`e da je svaka trasa kabla, dobijena preslikavanjem dijagrama momenata
proizvoljnog ravnote`nog sistema spoljnih sila, ujedno i konkordantna. Prednost ovih trasa
je {to ne mora da se vr{i analiza u stati~ki neodredjenom sistemu, i to je sve, ove trase ne
moraju da budu i optimalno re{enje. Ako trase sa dubljim strelama i ve}im ekscentricitetom iznad srednjih oslonaca generi{u i ve}a ekvivalentna optere}enja, onda njima treba dati
2- 8
a)
max
min
f
a
max
e
prednost, potrebne su manje sile prethodnog naprezanjam, slika 2.10. Naravno da oblik
trase treba izabrati prema karakteru
TL
spoljnih optere}enja, prema principima
'balansiranja', o ~emu je bilo re~i. AnaliNk
Nk
za stati~ki neodredjenih sistema danas
stvarno vi{e nije problem.
L/2
L
L
Indirektan dokaz da je navedena trasa
konkordantna, mo`e da se dobije odgoqk
vorom na pitanje: 'dat je ekscentricitet e
iznad srednjeg oslonca - kolika treba da
je strela f pa da trasa bude konkordanL
L
b)
tna?'. Ako se koristi 'metoda sila', tada
treba odgovoriti na pitanje kolika treba
Slika 2.10 Trasa kabla sa maksimalnim
da
je strela, pa da vrednost 'stiti~ki nepoekscentricitetom i strelom
znate' X na srednjem osloncu bude jednaka nuli. Kako je X= - d10 / d11 =0, treba re{iti jedna~inu d10 = 0, u kojoj je strela kabla f
jedina nepoznata. Re{enje je, naravno, f=e.
Qk
2.2.3 'Linearne transformacije' trase kablova
f
e=0
f
e
Na slici 2.11a odnosno 2.11b, prkazana su dva slu~aja trase kabla sa jednakom strelom f i
jednakom silom u kablu Nk , ali sa razli~itim ekscentricitetima e iznad oslonaca. Zbog
razli~itih uglova trase kabla na krajevima nosa~a, razlikuju se i normalna odnosno transverzalna komponenta sile prethodnog naprezanja na '~elu nosa~a', {to u ovom slu~aju nije
bitno.
S obzirom da su u oba slu~aja strele paraTL
bole f , i sila u kablu Nk jednake, identi~no
Nk
Nk
je i skretno optere}enje qk u poljima nosa~a, slika 2.11c. Od komponenti ekvivalentnog optere}enja, razlikuju se jedino
L/2
a)
L
L
koncentrisane sile na osloncima kontinuTL
alnog nosa~a, ali ove sile ionako ne uti~u
na momente savijanja i deformacije konNk
Nk
strukcije. Zaklju~ak: Zadr`avaju}i silu Nk i
strelu f konstantnim, trasa kabla mo`e izL/2
b)
nad oslonaca da ima prozvoljan ekscenL
L
tricitet e - momenti i ugibi usled prethodQk
nog naprezanja se ne menjaju. 'Mrdanje'
qk
trasa iznad oslonaca se iz nekih razloga
naziva 'linearne transformacije'.
c)
L
L
Ova osobina je vrlo korisna pri izboru
trasa kablova, ali i kada dodje vreme da
se konstrui{u stvarne trase - da se uradi
'plan kablova'. Ne treba zaboraviti na razloge iznete u delu 2.2.2, koji govore u prilog trasa sa maksimalnim ekscentricitetom kablova iznad oslonaca, slu~aj 2.11.a.
Slika 2.11 Ekscentricitet kabla iznad oslonaca ne
uti~e na momente i deformacije
2- 9
2.2.4 Oblikovanje realnih trasa kablova
U dosada{njim razmatranjima, trase kablova su prikazivane kao kombinacije paraboli~nih i
pravih delova trase, sa ili bez o{trih preloma trase pod skretnim uglom q. Ve} i samo baratanje parabolama zaslu`uje malo pa`nje, dok pitanje 'o{trih ' preloma trase kabla uop{te
nije akademsko - kablovi ne smeju, a i ne mogu da se o{tro prelamaju!
TL
f2
A
A
R
f1
L1/2
a)
L1
L2
L
L
qk2
qk1
b)
qk1
L1
L2
L1
h2
D
A
e1
R
e2
a
B
Parabola 1
c)
C
Parabola 2
(l-b)L
Parabola 3
bL
lL
(1-l)L
L
y
L
Uslov kompatibilnosti
tangenti u ta~ki C
l0
e0
tgq =
x
e0
B
d)
q
C
2e0
l0
2(e1+e2-h2)
(l-b)L
h2=
tga =
y= e0 (x/l0)2
R=
=
b
bL
(e1+e2)
l
2(e1+e2)
lL
lbL2
2(e1+e2)
Slika 2.12 Trasa kabla kao kombinacija tri parabole, sa zahtevanim
polupre~nikom kriivine R iznad oslonca
2-10
2h2
O minimalnim dozvoljenim polupre~nicima krivina kablova R ve} je bilo govora u
delu 1. Do sada kori{}ene oblike trasa nazovimo 'idealizovanim', zgodnim za analizu, ali u
jednom trenutku posla, trase kablova moraju da dobiju svoj realni oblik, slika 2.12.
Na slici 2.12a prikazana je realna trasa kablova, kombinacija parabole u polju sa strelom f1 ,
i parabole ili kru`nice iznad srednjeg oslonca na du`ini L2 sa strelom f2 , odnosno polupre~nikom krivine R. Minimalni polupre~nici krivine kabla na 'mestu o{trih preloma' zavise od
krutosti kabla, i definisani su od strane svakog proizvodja~a. Realno ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja tada ima oblik prema slici 2.12b. Rezultati prora~una
obi~no nemaju zna~ajnija odstupanja u odnosu na trase sa o{trim prelomima. Matemati~ko
definisanje trase kablova nije stvar propisa, ali je na slici 2.12c i 2.12d prikazano jedno od
re{enja, kombinacija tri kvadratne parabole nastavljene tako da na mestima kontinuiteta
imaju zajedni~ke tangente - 'glatka trasa kablova'. Parabole 1 i 2 u prvom polju postavljene su tako da imaju imaju horizontalnu tangentu u ta~ki B, i opisane su izrazima na slici
2.12d. Parabola 3 definisana je zahtevanim polupre~nikom krivine R , i uslovom da ima
zajedni~ku tangentu sa parabolom 2 u ta~ki C. Rezultat je da ta~ka C le`i na pravoj B-D.
Vrednosti potrebnih parametara za konstruisanje parabola date su na slici 2.12.d.
TL
C
A
R
f1
a)
L/2
f2 f2
C'
f1e
L1
L2
L
L
Qk
qk
b)
qk
L
L
Slika 2.13 Korigovana ra~unska trasa kabla sa
o{trim prelomom iznad srednjeg oslonca
Ako se ra~unske analize urade sa ekscentricitetom e trase o{tro prelomljenog kabla iznad
srednjeg oslonca, naknadno zaobljenje trase kabla neminovno smanjuje realni ekscentricitet. Da bi ra~unski i realni ekscentricitet iznad oslonca bili nekako usagla{eni, na slici
2.13 prikazano je korigovana ra~unska trasa kabla. Ako `elimo da iznad oslonca imamo
ekscentricitet e , a znamo i da se trasa mora zaobliti, ra~unski prihvatljivo re{enje je da se
zaobljena trasa postavi na `eljeni ekscentricitet e , da se potom u zavisnosti od R defini{e
parabola 3 sa strelom f3 , i da se o{tar prelom ra~unske trase usvoji u ta~ki C ' na odstojanju
f3 od temena parabole 3, slika 2.13. S obzirom da je skretni ugao trase izmedju ta~aka C i A
iznad oslonca isti u oba slu~aja, rezultanta skretne sile Qk iznad oslonca je ista. Ra~unsko
ekvivalentno optere}enje u prvom polju definisano je rasponom L i strelom f1e , slika 2.13.
2-11
Pri definisanju realnih trasa kablova i pripremi 'planova kablova' za izvodjenje, na kraju
treba u nekom koordinatnom sistemu definisati koordinate svakog kabla u dovoljnom broju
popre~nih preseka, recimo bar u desetinama raspona polja nosa~a.
qn
e1
a1
e2
a2
Y
X
Dx1
ei
e3
Dx2
a3
Dx3
TL
qi=ai-ai-1
ai
ai-1
Dxn
Dxi
L
L
Slika 2.14 Numeri~ki definisana trasa kabla u diskretnom broju
preseka konstrukcije
Kao {to je ve} re~eno u delu 1, kablovi, odnosno cevi kablova se du` nosa~a postavljaju na
dr`a~e, 'stolice' rasporedjene u odredjenom broju ta~aka zavisno od krutosti kabla, recimo
na razmaku od 1,0m. Realni kabl je lako zamisliti kao poligonalnu trasu, sa prelomima u
diskretnom broju ta~aka. Nezavisno od opisanog realnog oblika trase, numeri~ko definisanje kabla kao poligonalne trase, sa koordinatama i skretnim uglovima definisanim u diskretnom broju ta~aka je zgodno za numeri~ku analizu putem programa za rad sa tabelama
tipa 'Excel'.
2.2.5 Spolja{nje prethodno naprezanje
fTL
TL
Vodjenje kablova kroz masu betona, tzv,
unutra{nje prethodno naprezanje je tradicionalan na~in gradjenja, sa osnovnom
`eljom da beton {titi kablove od korozije.
Vodjenje kablova van mase betona konstrukcije, sa vezom sa konstrukcijom ostvarenom u diskretnom broju ta~aka, tzv. spolja{nje prethodno naprezanje ima odredjenih prednosti, ali i mane. O prednostima
je ve} bilo re~i u delu 1, a kao mane se mogu navesti slo`enija za{tita kablova od po`ara kao i od diverzija, namernog o{te}enja ili
presecanja kablova.
Nk
fk
Nk
a)
Kabl
b)
Nk1
fk
TL
Nk1
fTL
Qk
Ra~unska analiza ovog tipa konstrukcija
ima svojih specifi~nosti. Na slici 2.15 prikazan je koncept jednog nosa~a, koji je
spolja{nje stati~ki odredjen, ali je u isto
vreme unutra{nje stati~ki neodredjen.
fTL
Qk1
Nk2
fk
Nk2
c)
Qk2
Kabl
Fk1
Slika 2.15 Spolja{nje prethodno naprezanje u fazama
2-12
U fazi utezanja prvog kabla, slika 2.15b, sistem je stati~ki odredjen, prosta greda optere}ena ekvivalentnim optere}enjem Nk1 i Qk1 . Za ove sisteme je karakteristi~na pove}ana deformabilnost u fazi prethodnog naprezanja, zbog velikog kraka kablova - strele fk . Kada se pristupi utezanju drugog kabla, prvi kabl povr{ine Fk1 sa svojom aksijalnom kruto{}u deo je
slo`enog, unutra{nje stati~ki neodredjenog 'dvopojasnog sistema', slika 2.15c. Utezanje
drugog kabla deformi{e konstrukciju na gore, i time obara prethodno unete sile u kablu 1 pojavljuju se 'elasti~ni gubici sile prethodnog naprezanja', o ~emu }e biti re~i u narednom poglavlju. Sa stanovi{ta analize, nevolja je {to se utezanjem svakog narednog kabla
menja i krutost sistema, pa bi trebalo u svakom koraku ponovo ra~unati matricu krutosti
sistema. Postoje algoritmi koji zadr`avaju matricu konstantnom, ali u svakom koraku utezanja kablova barataju sa 'fiktivnim silama' prethodnog naprezanja, ali to nije predmet
ovoga kursa. Nakon zavr{enog prethodnog naprezanja, gornji betonski pojas i donji, ~eli~ni
pojas od kablova kao konstrukcijska celina prihvataju dodatna optere}enja. Izborom strele
trase i veli~ine sile u kablu, mogu vrlo efikasno da se kontroli{u naprezanja i deformacije
gornjeg betonskog pojasa.
Principijelno, pitanje je da li ovakve sisteme treba smatrati 'prethodno napregnutim' u klasi~nom smislu, ili je u pitanju klasi~no armirana greda poduprta kablovima, poznati 'sistemi
podupirala'? Za ilustraciju, u ovom slu~aju kablovi ne u~estvuju u grani~noj nosivosti preseka betona. Izlo`eni koncept mo`e da se primeni i u ~eli~nim ili drvenim konstrukcijama,
tamo gde se uka`e potreba.
2.2.6 Razli~ita konstrukcijska re{enja trasa kod linijskih sistema
Na slici 2.16 prikazan je deo slu~ajeva realizacije prethodnog naprezanja koji se primenjuju
u praksi.
Prva tri primera podse}aju na koncept armiranja klasi~nih armiranobetonskih kontinualnih
nosa~a, sa pove}anjem armature iznad oslonaca, na mestu najve}ih momenata. Prikazana
re{enja ne moraju uvek da budu i najracionalnija: kratki kablovi povla~e za sobom odredjene probleme, pove}ava se broj kotvi pa i ukupni tro{kovi, a sa pove}anjem kotvi pove}ava
se i broj potencijalno osetljivih mesta na koroziju. Danas je trend da se prethodno naprezanje izvodi sa {to manje kotvi na licu konstrukcije.
Varijanta sa jednom trasom kablova, i pove}anjem nosivosti preseka nad srednjim osloncem pomo}u vute, prikazana je na slici 2.16d. Ovo re{enje tipi~no je za kontinualne konstrukcije mostova, na primer.
Kablovi za prethodno naprezanje ~esto se koriste za spajanje - 'kontinuiranje' delova konstrukcije izvedenih monta`no. U slu~aju mostova, klasi~an primer je konzolni sistem gradjenja kontinualnih sistema mostova, sa spajanjem novih segmenata i ve} izvedene konzole
uz pomo} kablova za prethodno naprezanje. Na slici 2.16e prikazan je slu~aj konstrukcije
izvedene od dveju monta`nih prethodno napregnutih greda, koje su nakon monta`e kontinuirane uvodjenjem dodatnog kabla iznad srednjeg oslonca. Pre utezanja dodatnog kabla,
potrebno je 'plombirati' betonom monta`ni nastavak iznad oslonca.
Na slici 2.16f prikazan je ~est koncept segmentnog - faznog gradjenja kontinualnih konstrukcija. U prvoj fazi izvodi se i prethodno napre`e deo grede sa prepustom. Nakon
izvodjenja narednog segmenta, vr{i se nastavljanje kabla izvedenog u prvoj fazi i utezanje sa
2-13
desnog kraja konstrukcije (videti i sliku 1.14). Pre utezanja dodatnog kabla, potrebno je
'plombirati' betonom monta`ni nastavak konstrukcije.
Nk1
TL
Nk2
a)
Nk1
Nk1
Nk2
TL
Nk2
Nk2
TL
Nk2
Nk1
Nk1
b)
Nk1
Nk2
c)
Nk1
TL
Nk1
d)
Nk1
Nastavak
TL
Nk1
Nk1
Nk2
e)
Nk1
f)
Nk1
TL
Nk2
Nastavak kabla
Nk1
Prva faza gradjenja
Nastavak betona
Nk2
Nk2
Druga faza gradjenja
Slika 2.16 Razli~iti slu~ajevi vodjenja kablova
Mesto nastavka kablova na prepustu nije izabrano samo zbog toga {to su u toj zoni najmanji momenti usled spoljnih optere}enja, ve} i zbog toga {to je trasa kabla u toj zoni neznatno zakrivljena, {to je povoljno za funkcionisanje slo`enih 'nastavnih kotvi'. Upotreba nastavnih kotvi, pogotovo 'aktivnih', preko kojih se dote`e i prethodno utegnitu kabl ima i
svojih protivnika, nisu ba{ op{te prihva}ene.
Pod linijskim sistemima ne podrazumevaju se samo gredne konstrukcije, ve} i ramovske okvirne konstrukcije, slika 2.17.
2-14
Nk2
TL
Nk2
Nk1
Nk1
Slika 2.17 Prethodno napregnuta ramovska konstrukcija
Trasa kablova na slici 2.17 prati liniju momenata savijanja usled spoljnih optere}enja. Iako
je stub 'prirodno prethodno napregnut' normalnom silom od spoljnih optere}enja, ponekada veliki momenti savijanja, kao i transverzalne sile u stubu zahtevaju da se i oni prethodno napregnu - tipi~no za 'plitke ramove', sa stubovima relativno male visine u odnosu
na raspon.
Za kraj pri~e o linijskim konstrukciNk4
Nk4
jama, jo{ dva detalja. U ve}ini dosada{Nk
njih primera govorilo se o 'kablu', i
Nk
prikazivana je jedna linija koja predNk1
stavlja trasu kabla. U praksi, konstrukNk1
cije se prethodno napre`u sa snopom
L
kablova koji se vode kroz konstrukciju,
videti i sliku 2.16. Najta~nije je, naravSlika 2.18 Sistem kablova i njihova rezultanta
no, modelirati svaki kabl ponaosob, ali
se to primenjuje u samo kada se proceni da modeliranje i prora~un efekata prethodnog naprezanja pomo}u rezultante sila u
kablovima nije dovoljno ta~no. U slu~aju klasi~no armiranih preseka, rezultanta zatezanja
u armaturi obi~no se usvaja u te`i{tu preseka armature. S obzirom da nam je potrebna
rezultanta sila, a ne moraju svi kablovi da budu utegnuti do iste sile, te`i{te povr{ine kabla
ne mora biti i polo`aj rezultante sila Nk , slika 2.18.
Slika 2.19 Rasprostiranje napona usled
prethodnog naprezanja
Za mesto delovanja sila na krajevima
nosa~a, do sada je redovno usvajan polo`aj same kotve kabla. U slu~aju velikih
i slo`enih preseka, kao {to je sandu~asti
presek konstrukcije mosta na slici 2.19,
potrebna je izvesna du`ina da se trajektorije napona sa kotve 'popnu' uz rebro,
i potom 'razliju' po preseku. O ovakvim
detaljima se vodi ra~una pri usvajanju
mesta uvodjenja sila prethodnog
naprezanja.
2.2.7 Osnovni pojmovi u vezi prethodnog naprezanja plo~a
Osim `elje da se smanji potrebna koli~ina betona i ~elika, a i time i te`ina konstrukcije {to
ima uticaja i na racionalnost fundiranja objekta, danas je sve prisutnija potreba da se {to je
mogu}e vi{e skrate rokovi gradjenja, makar i uz ve}u potr{nju materijala. U slu~aju armira2-15
L
y
f
f
f
f
no betonskih konstrukcija zgrada, izvodjenje tavanica i pripadaju}ih greda je po svim navedenim kriterijumima na 'kriti~nom putu'.
Uz primenu prethodnog naprezanja, debljina tavanica mo`e toliko
Nk
da se smanji, da vibracije tavanica
usled kretanja ljudi mogu da postanu limitiraju}i faktor pri odredjivanju minimalnih debljina. Ima
slu~ajeva da su oscilacije tavanica
a)
morale da budu umirivane odgovaraju}om 'sanacijom', uz promenu
krutosti, mase ili prigu{enja.
L
y
fy
fx
Kako je to napomenuto u delu 1,
prethodno naprezanje plo~a mo`e
Nk
lx
da se vr{i klasi~nim kablovima sa
Lx
spojem (uz injektiranje), ili sa poNky
sebnim u`adima - kablovima bez
spoja, slika 1.11. Pri izboru trase
kablova, principijelno su mogu}a
Nkx
razli~ita re{enja. [to se ti~e momeNkx
nata savijanja i deformacija, slob)
bodno oslonjena samostalna plo~a
mo`e da se prethodno napregne
kablovima u jednom ili u dva pravca, slika 2.20. Razlika je u aksijalnom optere}enju u ravni plo~e, u
prvom slu~aju nedostaje sila pritisNky
ka u popre~nom - X pravcu. Iz
primera na slici 2.20a jasno je da
Lx
momenti savijanja u plo~i nisu
jednaki proizvodu sile prethodnog
Slika 2.20 Dva koncepta prethodnog naprezanja plo~a
naprezanja i ekscentriciteta, u
popre~nom pravcu uop{te nema
sile prethodno naprezanja, ali postoje momenti zbog deformacije plo~e.
Primenjuju}i koncept balansiranja spoljnih optere}enja, mogu}e je odrediti trasu kablova, strele fx odnosno fy , razmak kablova lx (ly) kao i silu prethodnog naprezanja Nkx odnosno Nky u dva pravca, tako da vertikalno ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja kablovima u dva pravca - 'potisak kablova' bude jednak zbiru sopstvene te`ine g
konstrukcije i dela dodatnog ili korisnog optere}enja p
qkx + qky = 8Nkx fx/Lx2 ly + 8Nky fy/Ly2 lx = g + ap
gde su:
qkx ( qky)
Nkx (Nky)
fx (fy)
lx (ly)
- ekvivalentna povr{inska optere}enja u x (y) pravcu;
- sile u kablovima u x (y) pravcu;
- strele paraboli~ne trase kablova u x (y) pravcu;
- razmak kablova u y (x) pravcu;
2-16
Lx (Ly)
a
- du`ina parabole kablova u x (y) pravcu;
- deo korisnog optere}enja koji se 'balansira'.
Kriterijum za izbor ukupnog optere}enja koje }e se balansirati kablovima, mo`e da bude ili
deformacijski ili po parametru napona, nosivosti itd.
Slika 2.21 Razli~iti koncepti rasporeda kablova kontinualnih plo~a
direktno oslonjenih na stubove
U slu~aju kontinualnih plo~a preko vi{e polja, prethodno naprezanje se obi~no primenjuje
u okviru sistema plo~a direktno oslonjenih na stubove - potisak kablova nadoknadjuje nedostatak greda. Na slici 2.21 prikazane su razli~ite varijante vodjenja kablova, sa karakteristi~nim progu{}enjem kablova u trakama iznad stubova, videti i sliku 1.31. Osim {to balansiraju stanje napona usled savijanja i deformacije, kablovi za prethodno naprezanje
imaju povoljan efekat i na nosivost veze plo~e i stuba na proboj. Posebna tehnologija
izvodjenja, tzv. 'liftovanje plo~a' prikazano je na slici 1.40 (Sistem 'Trudbenik').
2-17
Kod prethodnog naprezanja plo~a koje se izvodi na licu mesta, neophodno je pa`ljivo razmotriti eventualne otpore usled prisustva krutih zidova i jezgara, koji mogu da ometaju
slobodnu deformaciju plo~e u svojoj ravni, i da poremete aksijalno naprezanje plo~a usled
prethodnog naprezanja.
Nk2
TL
Nk2
Nk1
Nk1
a)
A
N~0 !
B
c)
Nk1
TL
A
B
Nk1
b)
Mkz
Mkz
T=Nk1
A
M~0; N~0 !
B
T=Nk1
e)
TL
Nk1
Nk1
d)
Mkz
Mkz
T=Nk1
T=Nk1
Slika 2.22 Gubitak efekata prethodnog naprezanja usled
spre~enih slobodnih deformacija grede rama
Kako efekti prethodnog naprezanja rama sa slike 2.17 (ili plo~e tavanice) mogu da se ne`eljeno umanje usled prisustva krutih zidova, na primer, prikazano je na slici 2.22. Zbog toga
{to kruti zidovi (ili jezgra) spre~avaju pomeranja i rotacije krajeva grede, greda rama je prakti~no potpuno uklje{tena u zidove u presecima A odnosno B - 'obostrano uklje{tena
greda', slika 2.22b. Posledica spre~enog aksijalnog skra}enja grede je da u gredi nema
normalne sile usled prethodnog naprezanja - normalna sila grede je kao horizontalna sila
konzolnih zidova 'pobegla' u zidove i temelje, slika 2.22 b-c. Ukoliko je trasa kabla na ~istoj
du`ini grede poligonalna kao na slici 2.22b-c, skretne sile kablova izazva}e momente
savijanja obostrano uklje{tene grede, slika 2.22c. Ukoliko nema skretnih sila kao u slu~aju
pravolinijske trase kabla na delu A-B, slika 2.22d-e, u gredi ne}e biti ni momenata savijanja
ni normalne sile usled prethodnog naprezanja, slika 2.22e. Primer je naravno karikiran, u
praksi te{ko ostvarljiv, ali i dobar za razumevanje efekata prethodnog naprezanja.
2-18
2.3 PRIMERI
2.3.1 Primer 1
Sra~unati i nacrtati ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja za nosa~ sistema proste grede i datu trasu rezultante kablova, slika 2.22a. U preseku 2 tangenta parabole je horizontalna. Pretpostavlja se da je u pitanju 'plitka trasa' kabla, odnosno da je sila
prethodnog naprezanja konstanta du` nosa~a i jednaka sili prethodnog naprezanja Nk.
Podaci: L=3000cm; Nk = 2860 kN.
Nk
Nk
TL
70
a3
1
a)
20
a4
f=22,5
20
a1
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
M1
V1
q
V3
V4
N1
M4
N4
1
b)
3
2
L/2=1500
L/4=750
4
L/4=750
Slika 2.22 Nosa~, trasa 'rezultuje}eg kabla' i ekvivalentno optere}enje
- Paraboli~ni deo 1-2 - ekvivalentno podeljeno optere}enje
tga1 = 2(70+20)/1500 = 0,120
a1 = 6,8430
f = (70+20)/4 = 22,5 cm
qk = 8Nkf/L2 = 8 x 2860 x 0,225/152 = 22,88 kN/m
- Presek 1- ekvivalentne koncentrisane sile
N1 @ Nk = 2860 kN
V1 = Nk sina1 = 340,8 kN
M1 = Nk e = 2860 x 0,20 = 572 kN
- Presek 3 - ekvivalentna koncentrisana sila
tga3 = 90/750 = 0,120
sina3/2 = 0,05968
V3 @ 2 Nk sina3/2 = 2 x 2860 x 0,05968 = 341.4 kN
- Presek 4 - ekvivalentne koncentrisane sile
a4 = a3
N4 @ Nk = 2860 kN
T4 = Nk sina4 = 341,4kN
2-19
M4 = Nk e = 2860 x 0,20 = 572,0 kN
Ekvivalentno optere}enje prikazano je na slici 2.22b.
Kontrola ravnote`e vertikalnih optere}enja
Sy = 22,88 x 15,0 + 341,4 - 340,8 - 341,4 = 2,4kN @ 0
2-20
2.3.2 Primer 2
TL
100
170
100
100
30
150
Sra~unati i nacrtati ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja za nosa~ sistema proste grede, i datu trasu rezultante kablova odnosno te`i{ne linije, slika 2.23a. Ekvivalentno optere}enje prikazati na 'ispravljenoj' te`i{noj liniji nosa~a. Sra~unati vrednost
momenta savijanja u sredini nosa~a i uporediti sa 'direktnim' re{njem Mk = Nk e. Pretpostavlja se da je u pitanju 'plitka trasa' kabla, odnosno da je sila prethodnog naprezanja
konstanta du` nosa~a i jednaka sili prethodnog naprezanja Nk. Podaci: Nk = 1000 kN. Sve
mere date su u cm.
Nk
Nk
a)
2
1
L/4=1000
L/4=1000
a2 q2
L/4=1000
L=4000
5
L/4=1000
TL
fk
fTL
a1
4
3
b1
b2 g
2
b)
1
2
3
V2k
V1
5
V4k
qTL
V2TL
qk
N1
1
4
2
3
4
c)
Slika 2.23 Nosa~, trasa 'rezultuje}eg kabla' i ekvivalentno optere}enje
- Paraboli~na trasa kabla
fk = 170 - 30 = 140 cm
tga1 = 70/1000 = 0,070
a1 = 4,0040
tga2 = 2 x 140/1000 = 0,280
a2 = 15,6420
q2 = a1 + a2 = 4,004+15,642 = 19,6460
- Paraboli~na te`i{na linija
fTL = 150 - 100 = 50 cm
tgb1 = 50/1000 = 0,050
b1 = 2,8620
tgb2 = 2 x 50/1000 = 0,100
b2 = 5,7110
g2 = b1 + b2 = 2,862+5,711= 8,5730
2-21
V5
V4TL
N5
5
5
- Presek 1 - ekvivalentne koncentrisane sile
N1 = Nk cos(a1 + b1) @ Nk = 1000 kN
V1 = Nk sin(a1 + b1) = 1000 sin(4,004+2,862) = 119,5 kN
- Presek 2 - ekvivalentna koncentrisana sila
Komponenta usled preloma trase kabla
V2k = 2 x 1000 sinq2/2 = 2 x 1000 x sin(19,646/2) = 341,2 kN
Komponenta usled preloma te`i{ne linije
V2TK = 2 x 1000 sing2/2 = 2 x 1000 x sin(8,573/2) = 149,5 kN
Ukupno
V2 = V2k + V2TL = 341,2 + 149,5 = 490,7 kN
- Polje 2-4 - ekvivalentno podeljeno optere}enje
Komponenta usled krivine kabla
qk = 8Nkfk/(L/2)2 = 8 x 1000 x 1,40 /202 = 28 kN/m
Komponenta usled krivine te`i{ne linije
qTL = 8NkfTL/(L/2)2 = 8 x 1000 x 0,50 /202 = 10 kN/m
Ukupno
q = qk + qTL = 28 + 10 = 38 kN/m
Ekvivalentno optere}enje prikazano je na slici 2.23c.
- Moment savijanja u sredini raspona - ekvivalentno optere}enja
M3 = -119,5 x 10,0 + 38,0x202 / 8 = 705kNm
- Moment savijanja u sredini raspona - direktan prora~un
M3 = Nk e = 1000 x (1,7 - 1,0) = 700 kNm
2-22
2.3.3 Primer 3
Za prostu gredu optere}enu koncentrisanom silom P u sredini raspona, slika 2.24, odrediti
trasu rezultante, kao i potrebnu veli~inu sile prethodnog naprezanja uz uslov da ugib svih
preseka nosa~a usled istovremenog dejstva svih optere}enja bude jednak nuli. Sve dimenzije date su u cm.
P=150kN
100
30
TL
1
a)
L=2000
P=150kN
TL
30
a1
e
Vk
a
q
100
Nk
Nk
1
b)
L/2=1000
L=2000
Slika 2.24 Balansiranje ugiba konstrukcije
- Trasa rezultante
Komentar: Da bi ugib u svim presecima bio jednak nuli, ekvivalentno optere}enje
usled prethodnog naprezanja mora da bude istog tipa i intenziteta kao i spoljno
optere}enje, kako bi se poni{tili - 'izbalansirali' momenti savijanja, odnosno krivine i
ugibi nosa~a u svim presecima. Trasa rezultante dobija se 'preslikavanjem' dijagrama momenata savijanja usled spoljnog optere}enja koje treba 'izbalansirati' - u
ovom slu~aju trougaonog dijagrama momenata usled dejstva sile P. Rezultuju}e
stanje naprezanja nosa~a je centri~ni pritisak. Usvojena trasa rezultante prethodnog
naprezanja prikazana je na slici 21.24b.
- Potrebna sila prethodnog naprezanja - 1. varijanta re{enja
Uslov balansiranja optere}enja
Vk = P = 150 kN
Skretna koncentrisana sila Vk
Pretpostavljeno: a=15cm
e = 100 - 15 = 85 cm
2-23
tga1 = e/(L/2) = 85/1000 = 0,085
a1 = 4,8580
q = 2a1 = 2 x 4,858 = 9,7160
Vk = 2Nksinq/2 = 150 kN
Nk = 150/2sinq/2 = 150/2 x sin4,858 = 885,6 kN
- Potrebna sila prethodnog naprezanja - 2. varijanta re{enja
Uslov jednakosti momenta savijanja u sredini raspona - tada su svi momenti du`
nosa~a izjedna~eni
PL/4 = Nk e
Nk = PL/4e = 150 x 20/4 x 0,85 = 882,3 kN
2-24
2.3.4 Primer 4
Za konzolni nosa~ pravougaonog popre~nog preseka optere}enog sa dve koncentrisane
sile, slika 2.25a, odrediti oblik trase rezultante sila prethodnog naprezanja tako da rezultuju}e stanje napona u nosa~u usled svih optere}enja bude centri~ni pritisak.
Podaci: P = 100 kN; Nk = 1000 kN.
P=100kN
P=100kN
L/2=500
a)
L/2=500
P=100kN
P=100kN
Vk2
Vk1
q2
2
3
L/2=500
b)
a1
d/2
e2
e3
a2
d/2
a
TL
N
Nk
1
L/2=500
MP3
MP2
c)
3
2
1
Slika 2.25 Balansiranje napona konstrukcije
- Oblik trase rezultante prethodnog naprezanja
Komentar: Da bi rezultuju}e stanje napona bilo centri~ni pritisak, ekvivalentno
optere}enje usled prethodnog naprezanja mora da bude istog tipa i intenziteta kao i
spoljno optere}enje, kako bi se poni{tili - 'izbalansirali' momenti savijanja u svim
presecima. Trasa rezultante mo`e da se dobija 'preslikavanjem' dijagrama momenata savijanja usled spoljnog optere}enja, slika 2.25c. Usvojena trasa rezultante prethodnog naprezanja prikazana je na slici 21.25b.
- Momenti savijanja usled spolja{njeg optere}enja
Presek 1
MP1 = 0
Presek 2
MP2 = 100 x 5 = 500 kNm
2-25
Presek 3
MP3 = 100 x 10 + 100 x 5 = 1500 kNm
- Potreban ekscentricitet trase rezultante
Presek 1
e=0
Presek 2
e = MP2 / Nk = 500/1000 = 0,5 m
Presek 3
e = MP3 / N3 = 1500/1000 = 1,5 m
Oblik poligonalne trase kablova prikazan je na slici 2.25b. Sa sra~unatim ekscentricitetima i zadatom silom prethodnog naprezanja, momenti usled prethodnog naprezanja jednaki su spolja{njim momentima, ali sa obrnutim znakom.
Druga varijanta re{enja je da se, polaze}i sa desnog kraja - preseka 1, odredi potrebna veli~ina skretnih uglova a , tako da koncentrisane skretne sile usled prethodnog
naprezanja Vk budu jednake spolja{njim silama P u odgovaraju}im presecima.
2-26
2.3.5 Primer 5
Vk
a1
a)
1
qk
q2
d
a2
Nk
d
Nk
TL
e=d/4
f=d/4
Za tri varijante trase rezultante sila prethodnog naprezanja kontinualnog nosa~a preko dva
polja, slike 2.26a-c:
- sra~unati vrednost podeljenog skretnog optere}enja qk kao i koncentrisane skretne
sile Vk iznad srednjeg oslonca;
- sra~unati reakciju R2 srednjeg oslonca usled dejstva prethodnog naprezanja;
- ukoliko prethodno naprezanje izaziva '~upanje' srednjeg oslonca (nosa~ te`i da se
odigne), odrediti minimalnu potrebnu sopstvenu te`inu konstrukcije g (kN/m), tako da ne
dodje do odizanja u fazi prethodnog naprezanja;
Podaci: L = 1500 cm; d = 160 cm; Nk = 1000 kN.
Nk
2
L/2
L
L
Nk
e=0
f=d/4
TL
a1
1
q2
qk
Vk
2
L/2
L
Nk
c)
a2
q2
TL
qk
Vk
a1
1
e=d/2
f=d/4
L
d
b)
a2
2
L/2
L
L
Slika 2.26 Linearne transforrmacije trase rezultante kontinualnog nosa~a
Treba uo~iti da su u sva tri slu~aja, strele paraboli~nih trasa rezultante identi~ne, f
= d/4. Razlikuje se samo ekscentricitet iznad srednjeg oslonca e , tako da ovaj
primer ilustruje 'linearne transormacije' trasa kablova.
2-27
Nk
- Skretno podeljeno optere}enje u polju qk
Nosa~ 2.26a
f = d/4 = 160/4 = 40 cm
e = d/4 = 160/4 = 40 cm
qk = 8Nkf/L2 = 8 x 1000 x 0.40/152 = 14,22 kN/m
S obzirom da su strele trase f , kao i sile prethodnog naprezanja Nk u sva tri slu~aja
iste, tada su i skretna podeljena optere}enja qk jednaka u sva tri primera.
Nosa~ 2.26b
qk = 8Nkf/L2 = 14,22 kN/m
Nosa~ 2.26c
qk = 8Nkf/L2 = 14,22 kN/m
- Koncentrisana skretna sila Vk iznad oslonca
Nosa~ 2.26a
f = 40 cm
e = 40 cm
tga2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40 + 0,40/2)/ (15/2) = 0,13333
a2 = 7,5940
q2 = 2 a2 = 15,1880
Vk = 2Nksinq2/2 = 2 x 1000 x sin 7,594 = 264,3 kN
Nosa~ 2.26b
f = 40 cm
e=0
tga2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40)/ (15/2) = 0,1066
a2 = 6,0880
q2 = 2 a2 = 12,1760
Vk = 2Nksinq2/2 = 2 x 1000 x sin 6,088 = 212,1 kN
Nosa~ 2.26c
f = 40 cm
e = d/2 = 160/2 = 80 cm
tga2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40 + 0,80/2)/ (15/2) = 0,1600
a2 = 9,0900
q2 = 2 a2 = 18,1800
Vk = 2Nksinq2/2 = 2 x 1000 x sin 9,090 = 315,9 kN
- Reakcija srednjeg oslonca R2 usled prethodnog naprezanja (+ pritisak na oslonac)
Komentar: Zbog potpune simetrije, presek nad osloncem nema rotacija, sistem
mo`e da se analizira kao dve grede raspona L, uklje{tene u zajedni~kom preseku
iznad srednjeg oslonca. Reakcija u uklje{tenju sa jedne strane iznosi Q = (5/8)qL
Nosa~ 2.26a
R2 = -2 x (5/8)qkL+Vk = - 2 x (5/8) x 14,22 x 15+264,3 = -266,6+264,3 = 2.3 kN @ 0
2-28
Trasa kablova je 'konkordanta', nema reakcija oslonaca usled prethodnog
naprezanja.
Nosa~ 2.26b
R2 = -2 x (5/8)qkL + Vk = - 266,6+ 212,1 = -54,5 kN ('~upanje' oslonca)
Nosa~ 2.26c
R2 = -2 x (5/8)qkL + Vk = - 266,6+ 315,9 = 49,3 kN (pritisak na oslonac)
- Osiguranje od odizanja nosa~a nad srednjim osloncem u fazi prethodnog naprezanja
Komentar: S obzirom da je podeljeno skretno optere}enje qk jednako u sva tri
primera, razlike u veli~ini reakcije nad srednjim osloncem nastaju samo usled razlike
u skretnim silama nad srednjim osloncemVk . U slu~aju trase na slici 2.26b, sa
najmanjim ekscentricitetom e iznad srednjeg oslonca, skretni ugao q2 je najmanji, pa
je i sila Vk najmanja, {to kao rezultat daje '~upanje' oslonca - 'potisak' u polju je
nadvladao skretnu silu nad osloncem. Da se realni nosa~ ne bi stvarno odigao,
reakcija nad srednjim osloncem usled sopstvene te`ine g treba da je najmanje
jednaka reakciji '~upanja' usled prethodnog naprezanja.
Rg = R2 = 54,5 kN
Rg = 2 x (5/8)gL = 2 x (5/8) x g x 15 = 54,5 kN
min g = 2,9 kN/m
2-29
2.3.6 Primer 6
700
POS2
Za ro{tilj betonskih greda identi~nog pravougaonog popre~nog preseka b/d = 40/150 cm,
koje se ukr{taju u ta~ki A , slika 2.27a, odrediti odgovaraju}u trasu rezultanti sila prethodnog naprezanja kao i veli~inu sila prethodnog naprezanja, tako da u fazi prethodnog naprezanja ugib ta~ke A bude jednak nuli.
Komentar: Postavljeni uslov po deformacijama
mo`e da se zadovolji razli~itim dispozicijama
trasa kablova: utezanjem samo nosa~a POS1;
utezanjem samo nosa~a POS2; istovremenim
POS1
A
utezanjem oba nosa~a.
1000
700
1000
a)
g
A
L/2=1000
b)
POS1
1000
X
X
c)
L/2=700
POS2
700
TL
qk
Nk
f
Nk
A
g
d)
Zbog dvoosne simetrije, konstrukcija ro{tilja
greda je jednom stati~ki neodredjena, vertikalna sila X koja povezuje grede i usagla{ava vertikalna pomeranja je nepoznata, slike 2.27b-c.
Zbog iste krutosti na savijanje (EI) popre~nog
preseka, kao i istog optere}enja sopstvenom
te`inom, kra}a i na vertikalne ugibe kru}a
greda POS2 (ima manji raspon) 'pridr`ava'
du`u gredu POS1 za uticaje sopstvene te`ine nepoznata sila X u ovom slu~aju ima smer kao
na slici 2.27b-c.
U slu~aju prethodnog naprezanja samo jedne
grede, problem je stati~ki neodredjen za uticaje samo prethodnog naprezanja, ali to je
svakako mogu}e re{enje. Ako se tra`i brzo
re{enje, jednostavnije je usvojiti koncept istovremenog prethodnog naprezanja obeju
greda. Tra`i se brzo re{enje!
L
Da bi ugib zajedni~ke ta~ke greda A pod dejstvom sopstvene te`ine i prethodnog naprezaSlika 2.27 Balansiranje ugiba sredine ro{tilja
nja bio jednak nuli, dovoljno je da se za obe
grede usvoji odgovaraju}a paraboli~na trasa kablova, tako da vertikalno skretno
podeljeno optere}enje qk svake od greda, bude jednako te`ini grede po du`nom
metru, qk =g .
Greda POS1
b = 40 cm
d = 150 cm
g = 25 kN/m3
g1 = 0,40 x 1,50 x 25 = 15 kN/m
L1 = 20 m
Usvojeno:
f1 = d/2 - a = 150/2 - 10 = 65 cm, slika 2.27d
2-30
Uslov balansiranja optere}enja
qk1 = 8 Nk1 f1 /L12 = g1
Nk1 = g1 L12 / 8 f1 = 15 x 202 / (8 x 0,65) = 1153,8 kN
Re{enje za gredu POS1:
f1 = 65 cm
Nk1 = 1153,8 kN
Greda POS2
b = 40 cm
d = 150 cm
g2 = 15 kN/m
L2 = 14 m
Zbog ukr{tanja kablova u preseku A , usvoja se pli}a trasa kablova:
f2 = f1 - b = 65/2 - 10 = 55 cm
Uslov balansiranja optere}enja
qk2 = 8 Nk2 f2 /L22 = g2
Nk2 = g2 L22 / 8 f2 = 15 x 142 / (8 x 0,55) = 668,2 kN
Re{enje za gredu POS2:
f2 = 55 cm
Nk2 = 668,2 kN
2-31
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.
STVARNI EFEKTI
PRETHODNOG NAPREZANJA
U prethodnom poglavlju, dejstvo kabla na proizvoljno telo - konstrukciju modelirano je
ekvivalentnim unutra{njim uravnote`enim sistemom sila - ekvivalentnim optere}enjem
usled prethodnog naprezanja, uz pretpostavku da je sila u kablu Nk konstantna. U stvarnosti nije mogu}e realizovati pretpostavljene, `eljene 'idealne' efekte, jer je prakti~no nemogu}e ostvariti konstantnu, i u toku vremena nepromenljivu silu prethodnog naprezanja
Nk du` kabla. S jedne strane razlog tome su tehnolo{ka ograni~enja samog postupka utezanja kablova - pojavljuju se 'gubici sile u toku prethodnog naprezanja', a sa druge strane, zbog specifi~ne reakcije betonskih konstrukcija na prinudne sile/deformacije izazvane
prethodnim naprezanjem - pojavljuju se 'promene sile usled vremenskih defomacija
betona'. Rezultat je promenljiva sila prethodnog naprezanja du` trase kabla, manja od
sile utezanja na presi, tako da su i 'stvarni efekti' prethodnog naprezanja manji od 'idealnih'. Na `alost, i 'elegancija' postupka analize umanjenih, a i u toku vremena promenljivih
efekata prethodnog naprezanja se naru{ava, {to je sve zajedno predmet razmatranja koja
slede.
3.1 GUBICI SILE U TOKU PRETHODNOG NAPREZANJA
Utezanje kabla presom pra}eno je izdu`enjem - kretanjem kabla ka presi uz pojavu trenja,
dok je postupak ukotvljenja, 'zaklinjavanja' kraja kabla obi~no propra}en malim vra}anjem
kraja kabla - povratnim 'klizanjem ili uvla~enjem klina'. Oba efekta za posledicu imaju
sni`enje stvarne sile prethodnog naprezanja, ~iji iznos zavisi od specifi~nih tehnolo{kih
re{enja primenjenog sistema za prethodno naprezanje.
3.1.1 Gubici sile usled trenja
Pri unutra{njem naknadnom prethodnom naprezanju kabl se vodi kroz za{titnu cev,
pa je kretanje kabla pri utezanju pra}eno pojavom kontinualnog trenja kabla o zidove cevi,
~ime se gubi deo sile u kablu. U slu~aju prethodnog naprezanja sa spojem, za{titna cev je
obi~no od orebrenog ~eli~nog lima, tako da i efekti trenja mogu da budu zna~ajni. Ukoliko
je u pitanju prethodno naprezanje bez spoja, za{titna mast zna~ajno smanjuje efekte trenja, koji se u tom slu~aju ~esto zanemaruju. Pri spolja{njem prethodnom naprezanju,
obi~no se koriste u`ad bez spoja, a trenja se javljaju samo na skretanjima kablova preko
devijatora, slika 2.15, na primer. U slu~aju adhezionog prethodnog naprezanja - 'na
stazi', u`ad se zate`u pre betoniranja elementa, tako da nema efekata trenja.
Za analizu pojave trenja, karakteristi~an je slu~aj naknadnog unutra{njeg prethodnog naprezanja sa spojem, uz primenu za{titnih cevi. Efekti trenja zavise od geometrije trase
kabla, koja se menja zajedno sa deformacijama tela u toku utezanja kablova. Uticaj promene geometrije kablova na trenje je zanemarljiv, osim mo`da kod sistema sa velikim pomeranjima, kao {to su prethodno napregnute mre`e. Dva karakteristi~na slu~aja geometrije trase kabla prozvoljnog betonskog tela, nedefinisanog 'stati~kog sistema' prikazana su
na slikama 3.1 i 3.2. S obzirom da se razmatra stanje sila kabla, na slikama su prikazane sile
koje deluju na kabl. Isti sistem sila, sa promenjenim znakom deluje na betonsko telo - tzv.
3- 1
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
ekvivalentno optere}enje. S obzirom da se razlikuju, sila u kablu u trenutku prethodnog
naprezanja Nk0 ima indeks '0' - 'po~etna sila prethodnog naprezanja', u vremenu t=0,
dok vrednost 'trajne sile prethodnog naprezanja' Nkt ima indeks 't' - kona~na vrednost u
vremenu 't' , nakon promena usled vremenskih deformacija betona (o tome kasnije).
a
Nk0
A
B
QB
tL
a)
TB
Nk0
Nk0
C
qk (s,a)
x
Nk0Bl
L
Nk0
Nk0
C Nk0C
B
s
a)
qB
L
tL+tR
A
Nk0C
tL
R
Nk0
TB
Nk0Bd
Nk0x
b)
x
Nk0C
Nk0C
x
Nk0x
b)
x
x
L
Slika 3.1 Trenje poligonalne trase labla
L
Slika 3.2 Trenje krivolinijske trase kabla
Utezanje poligonalnog kabla vr{i se sa levog kraja, silom na presi Nk0 . Dok se kabl pomera kroz
TB
cev, trenje se javlja i na 'pravom delu' kabla, izNk0Bd
medju ta~aka A i B - sila 'trenja na pravcu' tL ,
QB
slika 3.1a. Naime, fleksibilna cev, oslonjena s meNk0Bl
sta na mesto na dr`a~e, sigurno nije idealno praqB
va, pogotovo ne nakon sipanja betona. U preseku B , na mestu skretanja kabla za iznos 'skretnog ugla' qB , zbog pritiska kabla na cev javi}e
Slika 3.3 Poligon sila u ta~ki B
se 'koncentrisana' sila trenja TB , jednaka proizvodu skretne sile pritiska QB , i koeficijenta trenja m ~elika kabla o ~elik cevi. Stvarna
sila u kablu Nk0 (x) , u preseku na koordinati x u odnosu na polo`aj prese, preostala nakon
gubitaka usled trenja, slika 3.1b, mo`e da se prika`e u obliku
(3.1)
N k 0 ( x ) = N k 0e - ( mq + ks )
gde su:
e
m
q
k
s
- osnova prirodnog logaritma (2,718)
- koeficijent trenja kabla i cevi (1/Rad)
- suma skretnih uglova od prese do ta~ke kabla na koordinati x (Rad).
- slu~ajno ugaono odstupanje kabla u odnosu na teorijsku trasu (Rad/m)
- du`ina kabla, mereno po stvarnoj trasi (m). Za plitke trase kablova, sa
malim skretnim uglovima, s @ x.
Promena - pad sile u kablu na delu trase od prese do koordinate x , iznosi
DN k 0 ( x ) = N k 0 [1 -e - ( mq + kx )
3- 2
]
(3.2)
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Ako znamo vrednost sile u nekom preseku, sila u narednim presecima mo`e da se odredi i
polaze}i od tog preseka na dalje. Pad sile u kablu na mestu naglog preloma trase kabla za
skretni ugao q - koncentrisana sila trenja na mestu preloma, mo`e da se odredi iz poznate vrednosti sile pre skretanja, i vrednosti skretnog ugla:
(3.3)
- mq
N k 0d = N k 0l e
gde su: Nk0l - sila pre skretanja, sa 'leve strane' ~vora; Nk0d - smanjena sila posle skretanja za
ugao q , 'sa desne strane' ~vora.
U primeru sa slike 3.1:
- sila sa leve strane ~vora B :
N koBl = N k 0 e - kx
B
- sila sa desne strane ~vora B , polaze}i od polo`aja prese:
N k 0 Bd = N k 0 e - ( mq
+ kx B )
B
- sila sa desne strane ~vora B , polaze}i od vrednosti sile pre skretanja:
N k 0 Bd = N k 0 Bl e - mq
B
- 'koncentrisana' sila trenja TB , na mestu preloma trase u ta~ki B za ugao qB :
TB = N k 0 Bl - N k 0 Bd = N k 0 Bl [1 -e - mq
B
]
- sila na kraju nosa~a, ~vor C, polaze}i od polo`aja prese:
N k 0C = N k 0 e - ( mq
B
+ kL )
Treba uo~iti da, uvode}i i trenje, sistem sila koji ~ini kompletno, unutra{nje uravnote`eno
ekvivalentno optere}enje betonske konstrukcije usled prethodnog naprezanja, u principu
obuhvata i sile trenja. Grafi~ki prikaz ravnote`e sila na mestu preloma poligonalne trase
sa slike 3.1 u ~voru B prikazano je na slici 3.3. Na osnovu ovoga poligona sila, vrednost
skretne sile QB pribli`no iznosi
QB = ( N k 0 Bl + N k 0 Bd ) sin q B / 2
(3.4)
i mo`e da se usvoji da i dalje deluje u pravcu simetrale ugla qB , kao kada nema trenja.
U slu~aju krivolinijske trase kablova, osim trenja na pravcu tL , pojavljuje se i raspodeljena komponenta trenja na krivini tR ,usled kontinualnog pritiska qk (a,s) kabla o cev, slika
3.2. Promena sile u kablu definisana je izrazom 3.1, pri ~emu je ukupni skretni ugao q
izmedju dve ta~ke kabla jednak uglu izmedju tangenti na trasu kabla u tim ta~kama. S obzirom da gubitak sile usled skretanja trase kabla ne zavisi od toka promene skretanja, ve} samo od ukupnog iznosa skretanja, sile u kablu Nk0C na kraju kabla trasa prema slikama 3.1
odnosno 3.2 bi}e jednake, ukoliko su jednaki ukupni skretni uglovi.
Vrednosti koeficijenta trenja kabla i cevi m (1/Rad), odnosno slu~ajnog ugaonog odstupanja
kabla u odnosu na teorijsku trasu k (Rad/m) definisane su od strane proizvodja~a. Prema
katalogu doma}eg proizvodja~a 'IMS' , na primer, u slu~aju trenja kabla i orebrene ~eli~ne
za{titne cevi, za prora~un se preporu~uju slede}e vrednosti: m = 0,22 1/Rad, odnosno k =
3 10-3 Rad/m.
3- 3
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Nka
Kabl
Rk
a
Nk0
Pri prethodnom naprezanju cilindri~nih konstrukcija kru`nim trasama kablova, slika 3.4, u izraz 3.1 treba uneti
stvarnu du`inu kabla s , dok je ukupni skretni ugao q
izmedju dva preseka jednak lu~nom rastojanju, q = a
N k 0 (a ) = N k 0 e - ( ma + ks )
s
Prora~un uticaja u konstrukciji sa uvodjenjem i ekvivalentnih sila trenja je mogu}, ali se u praksi obi~no
sile trenja zanemaruju, o tome kasnije. Dijagram promene sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled
trenja Nk0x prikazan je na slici 3.1b i 3.2b - 'idealno' i
'stvarno' stanje se razlikuju.
Nk0
Slika 3.4 Trenje kru`ne trase kablova
Pri ve}im du`inama trasa kablova, sa velikim ukupnim skretnim uglom, gubici sile
usled trenja mogu da budu preveliki, pa
treba, ili smanjiti du`inu kabla, ili izvr{iti
utezanje kabla i sa njegovog drugog kraja.
D
k
l0
A
C
B
a1
a4
E
f
a)
a2
D
f
Nk0
L
a3
Nk0
Nk01
Nk02A
x
L
Nk01x=Nk02x
Nk0x
Nk02
D
b)
Nk0E
x
Nk0x
Nk01E
x
Ukupni skretni ugao izmedju prese i kraja
kabla prema slici 3.5a iznosi q = a1 + a2 +
a3 + a4 . Nakon prethodnog naprezanja sa
levog kraja, presek A , ostvarena sila na
desnom kraju iznosila bi Nk0E , slika 3.5b.
Ako je rezultat neprihvatljiv, tada treba presu preneti na kraj E , i izvr{iti dotezanje
kabla. Naravno, pretpostavlja se da je ovaj
scenario predvidjen projektom, i da na desnom kraju nije ugradjena fiksna kotva, kojoj vi{e ne mo`ete pri}i.
Na slici 3.5c prikazan je rezultata prethodnog naprezanja sa dotezanjem sa drugog
c)
x0
kraja. Prvo je kabl utegnut silom Nk01 sa
x
levog kraja, pri ~emu je na desnom kraju
L
ostvarena sila na kotvi Nk01E . Presa se prebacuje na desni kraj, i vr{i se rasklinjavanje
Slika 3.5 Prethodno naprezanje sa oba kraja
u`adi aktivne kotve. Dok se u presi ne dostigne sila jednaka, ili ne{to ve}a od prethodno realizovane sile na kotvi Nk01E - 'sila rasklinjavanja kabla' , nema izdu`enja kabla, jer jo{ uvek klinovi nisu 'i{~upani' iz ankerne
plo~e, videti i sliku 1.16. Nakon rasklinjavanja kotve, kabl po~inje da se izdu`uje, da se
dote`e za `eljenu razliku D , do kona~ne vrednosti sile Nk02 , slika 3.5c. Trenje pri dotezanju
u principu nije jednako trenju pri prvom utezanju, jer je struktura povr{ina koje sa taru
delimi~no izmenjena. Iako koeficijent trenja pri dotezanju m' mo`e da bude i do 50% ve}i,
m' = 1,5m , u praksi se obi~no usvaja da su parametri m i k jednaki u oba slu~aja. S obzirom
da sila trenja pri kretanju kabla zavisi od sile pritiska na kontaktnu povr{inu, promene sile
du` kabla pri njegovom dotezanju ne vr{e se na osnovu sile dotezanja D , ve} na osnovu
ukupne sile u kablu, Nk01E + D . Dotezanje kabla menja tok ukupnih sila Nk0x u kablu, slika
3.5c. Ako je sila na desnom kraju dotegnuta do iznosa Nk02 , iz geometrijskih razmatranja
3- 4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
mo`e da se odredi polo`aj preseka x0 , u kome su se vrednosti sila usled dva utezanja
izjedna~ile, Nk01x = Nk02x , slika 3.5c.
Isti efekat mo`e da se postigne i sa istovremenim utezanjem kabla sa oba kraja, za {ta
nam trebaju dve prese. Ukupni efekat dobija se superpozicijom pojedina~nih efekata, na
prethodno prikazan na~in.
[ta je prihvatljiv gubitak sile usled trenja ne
treba ocenjivati na osnovu analize jednog kabla. Da
bi se postigao optimalan tok stvarne sile prethodnog naprezanja du` konstrukcije, osim utezanja
Nk0a jednog kabla sa oba kraja, i usvajanje smaknutog
rasporeda kablova koji se ne ute`u svi u istom
Kabl 2
preseku, mo`e da se uti~e na ravnomerniji tok
rezultuju}e sile - 'gde ja stanem, ti produ`i', slika
Nk02
Nk02
a
3.6. Kod uobi~ajenih grednih sistema, gubici usled
trenja kre}u se do 5% po~etne sile na presi.
Kabl 1
U slu~aju utezanja jednom presom, {ta re}i, ako nakon prelaska na drugi kraj, zateknete 'klinove rasuNk01
te po podu', sila uop{te nije stigla - 'proputovala' do
ovog kraja, pa nije ni nastupilo zaklinjavanje na
Slika 3.6 Preklapanje kablova zbog
kompenzacije gubitaka usled trenja
ovom kraju? To zna~i da imate posla sa nepredvidjeno velikim trenjima du` trase, i da se kabl
negde uz put 'zaglavio'. Ovaj slu~aj bio bi ba{ iznenadjenje, ali je realno o~ekivati da se
stvarna sila na ovom kraju, Nk01B na slici 3.5b, razlikuje od ra~unski o~ekivane vrednosti. Ali,
to bi ostalo neuo~eno, da je na ovom kraju ugradjena fiksna kotva kojoj se ne mo`e pristupiti!
Nk01
Pri utezanju kablova, postizanje tra`ene veli~ine sile na presi Nk0 nije dovoljna garancija
da je prethodno naprezanje uspelo. Postignuta je sila na ~elu konstrukcije, ali nedovoljna
deformacija kabla sugeri{e da je dijagram stvarnih sila u kablu - a time i ekvivalentnih
optere}enja, ustvari 'trougaon', sila Nk0x pala je na nulu negde unutar raspona L. Zbog toga
u toku utezanja mora da se meri i hod - izvla~enje klipa prese, koji je jednak izdu`enju
kabla Dk , slika 3.5a. Mereno izdu`enje kabla poredi se sa ra~unski o~ekivanim izdu`enjem kabla
s
Nk0x
ds
0 Fk E k
Dk = ò
(3.5)
gde su: Nk0x - promenljiva sila zatezanja du` kabla, slika 3.5b; Fk - povr{ina u`adi kabla; Ek moduo elasti~nosti u`adi; s - krivolinijska koordinata trase kabla. U slu~aju plitkih trasa
kablova (s @ L ) i pribli`no kontinualne promene sile Nk0x du` nosa~a, slika 3.2b, mo`e da se
usvoji da je
N
(3.6)
D k = k 0 sr L
Fk E k
gde je Nk0sr - srednja vrednost sile u kablu na du`ini L. Pri prose~noj dilataciji ~elika u fazi
prethodnog naprezanja od oko Nk0sr /Fk Ek = 5-6 (po~etni napon u kablu od oko 10001200MPa), izdu`enje kabla iznosi Dk = 0,005x1,0 = 5mm/m. Za nosa~ du`ine L = 30m,
izdu`enje kabla je reda veli~ine Dk =0,005 x 30000 = 150 mm. U slu~aja kabla du`ine L =
3- 5
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
100m, izdu`enje kabla iznosi oko 500mm. Ukoliko presa nema ovoliki 'hod' - kapacitet
izvla~enja klipa, moraju da se primene posebne tehnike utezanja, sa vi{e ciklusa hvatanja i
izvla~enja kabla.
3.1.2 Gubici sile usled elasti~nih deformacija
konstrukcije u toku prethodnog naprezanja
Uno{enje sile prethodnog naprezanja izaziva deformaciju konstrukcije, pa i promenu napona u kablovima Dske (naponi u kablu i betonu su ve} izmenjeni i zbog efekata skupljanja
betona i dela relaksacije ~elika, o tome kasnije) koji su prethodno ugradjeni u konstrukciju
Ds ke =
Ds b k
Ek
Eb
(3.7)
gde su: Dsbk - promena napona u betonu u nivou razmatranog kabla usled prethodnog
naprezanja, kao i optere}enja prisutnih na konstrukciji u trenutku prethodnog naprezanja
(obi~no je to samo sopstvena te`ina konstrukcije - g ); Eb - moduo elasti~nosti betona u
trenutku prethodnog naprezanja (u principu zavisi od starosti betona); Ek - moduo elasti~nosti kablova. Uslov je o~igledno izveden uz pretpostavku da u fazi prethodnog naprezanja
postoji spoj kablova i betona, da su promene dilatacija kabla i betona jednake. To je ta~no samo u slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, u kom slu~aju stvarno postoji spoj. U
slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja, u ovoj fazi spoj obi~no ne postoji, jer se injektiranje kablova vr{i nakon utezanja svih kablova. U slu~aju prethodnog naprezanja bez
spoja, promene napona se obi~no iskustveno procenjuju. S obzirom da je u fazi prethodnog
naprezanja odgovor konstrukcije prakti~no elasti~an, promene napona u kablovima se nazivaju elasti~ni gubici sile prethodnog naprezanja, i posledica su primenjene tehnologije
kao i redosleda utezanja kablova.
U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, prakti~no se sva u`ad presecaju istovremeno,
pa se rezultuju}a sila Nk0 kojom su u`ad zategnuta izmedju oporaca unosi 'trenutno', u punom iznosu. Elasti~noj deformaciji usled ove sile - skra}enju elementa, suprotstavljaju se
zajedno beton i sav ~elik u preseku (u`ad i klasi~na armatura, ako postoji), koji je u spoju
sa betonom. Napon u betonu se menja od preseka do preseka, kako zbog promenljivih uticaja prisutnih spoljnih optere}enja - momenata Mg , tako i zbog eventualnog nejednakog
broja u`adi u presecima (ako su neka u`ad 'izolovana' na delu trase, videti sliku 1.8c), odnosno zbog promenljivog ekscentriciteta ek rezultante sile prethodnog naprezanja, slika
1.8d. S obzirom da je obi~no dovoljno ta~no da se analiza vr{i sa rezultantom sile prethodnog naprezanja, promena napona u betonu u nivou 'rezultuju}eg kabla' Dsbk iznosi
Ds bk
N k0
=
Fi
Mg ù
é eik2
1
+
(
1
)
ê
ii2
N k0 eik úû
ë
(3.8)
gde su nove oznake: Fi , ii2 - povr{ina i polupre~nik inercije (i=Ö (I/ F)) 'idealizovanog
popre~nog preseka', spregnutog od betona i svih ~elika u preseku; eik - ekscentricitet
rezultuju}eg kabla u odnosu na te`i{te idealizovanog preseka. U praksi se ~esto uticaj ~elika na 'krutost preseka' zanemaruje, pa se analize vr{e sa karakteristikama samo betonskog
preseka, {to kod ovih tipova elemenata nije uvek opravdano. Promena DNK0 po~etne sile
Nk0 u u`adima iznosi
(3.9)
D N 0 = Ds n F
k
bk
3- 6
k
k
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
gde je: nk =Ek / Eb ; Fk - povr{ina rezultuju}eg kabla. Vrednost po~etne sile prethodnog
naprezanja Nk0 , nakon gubitaka usled elasti~nih deformacija iznosi
(3.10)
N = N 0 - DN 0 = N 0 (1 - Ds n F )
k0
k
k
k
bk
k
k
Pri prethodnom naprezanju na stazi, ovi po~etni gubici su obi~no oko 5% vrednosti sile u
u`adima pre presecanja. S obzirom da promene napona Dsbk nisu konstantne du` nosa~a,
to se i vrednost po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 menja du` nosa~a. Najve}a promena - pad sile prethodnog naprezanja je bli`e osloncima, u oblasti velikih momenata savijanja usled prethodnog naprezanja, i malih momenata od te`ine elementa. U praksi se obi~no vrednost po~etne sile Nk0 sra~unata u sredini raspona usvaja kao karakteristi~na, {to i
nije na strani sigurnosti. Za naponske analize u zoni oslonaca, trebalo bi odrediti 'elasti~ne
gubitke' i bli`e osloncima, pogotovo {to su ~esto i promene napona usled te~enja betona
takodje najve}e u zoni oslonaca.
U slu~aju naknadnog prethodnog
g
naprezanja konstrukcije sa samo
jednim kablom, deformacije usled
prethodnog naprezanja se prakti~no
sbkA
sbkB
Lk1
Kabl 1 (Nk01)
obave u toku utezanja kabla - nema
Nk02
Kabl 2
gubitaka usled elasti~nih deformacija. Kako se telo deformi{e, dodaje
a)
A
B
se sila na presi, dok se ne dostigne
tra`ena veli~ina sile, uz smirenje poL
~etnih deformacija.
b)
Kabl 1
ebkA
ebksr
Konstrukcije se obi~no ute`u sa vi{e
kablova. Utezanje svakog narednog
kabla (kabl 2 na slici 3.7) deformi{e
Slika 3.7 Gubici sile usled sukcesivnog utezanja kablova
konstrukciju, i menja stanje napona
u svim prethodno ugradjenim kablovima (kabl 1 na slici 3.7). Samo kabl utegnut na kraju
ima `eljenu silu. Dovoljno je ta~no da se izrazi izvedeni za slu~aj prethodnog naprezanja na
stazi - 'trenutnog nano{enja rezultuju}eg optere}enja usled prethodnog naprezanja' samo
modifikuju. Obi~no se kao dovoljno ta~na ocena usvaja, da je efekat sukcesivnog utezanja
kablova pribli`no jednak trenutnom nano{enju polovine rezultuju}e sile kablova. Izraz 3.8
u tom slu~aju glasi
(3.11)
Mg ù
0,5 N é e 2
ebkB
Ds bk =
k0
Fb
k
ê1 + i 2 (1 - N e ) ú
ë
k0 k û
gde je Nk0 po~etna sila, nakon gubitaka usled trenja. Za prora~un se obi~no usvajaju karakteristike betonskog preseka, bez efekata ~elika. S obzirom da za{titne cevi jo{ uvek nisu
injektirane, presek je 'pun rupa' za kablove, {to ne mora da bude zanemarljivo. U fazi prethodnog naprezanja, nije na odmet da se naponska stanja analiziraju sa tzv. 'neto betonskim presekom', sa odbijenim rupama za kablove. Pad napona i dilatacija u kablovima se
naravno menja du` nosa~a, slika 3.7a, ali je u slu~aju paraboli~nih trasa obi~no najve}i u
sredini raspona. Zavisno od toga {ta se tra`i, za analizu mo`e da se usvoji ova najve}a
vrednost pada sile, ili neka prose~na vrednost, slika 3.7b.
3- 7
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
U slu~aju spolja{nje prethodno napregnutih konstrukcija, dobar polaz je da se
kablovi razmatraju kao elementi koji u~estvuju i u krutosti sistema. U tom slu~aju,
Nk2
Nk2
treba izvr{iti stati~ku analizu uticaja sukcesivnog utezanja kablova (kabl 2 na slici
3.8) na ceo sistem, pa i na prethodno ugraKabl 1: Fk1
djene kablove (kabl 1, koji sa sa povr{inom
Kabl 2: Nk2
Qk2
Fk1 u~estvuje u krutosti donjeg pojasa, slika
3.8). Ako se kablovi vode sa velikom streSlika 3.8 Promene napona kablova pri spolja{njem
lom fk , dvopojasni sistem (videti i slike
prethodnom naprezanju
1.41-1.46) je osetljiv na veli~inu sile Nk2 u
kablu koji se dodaje, jer su zna~ajne deformacije konstrukcije, slika 3.8. Nevolja je {to
svaki naredni kabl menja krutost sistema, pa se analiza komplikuje. Tu vi{e nema smisla
govoriti o 'gubicima' u dosada{njem smislu, u pitanju je promena stanja sila i deformacija
konstrukcijskog sistema. Ako nema dovoljno presa da se svi kablovi utegnu istovremeno,
i elimini{e ovaj problem, a obi~no nema, tada je obi~no potrebno da se kablovi utegnu u
vi{e ciklusa, dok se ne ujedna~e sile u svim kablovima. Izjedna~enje sila je potrebno da bi
mogao da se defini{e jedinstven koeficijent sigurnosti od loma donjeg pojasa, a ne da
zbog potrebne sigurnosti kabla sa najve}om silom, svi ostali kablovi budu neiskori{}eni.
fk
fTL
TL
Ako se kablovi vode van preseka betona, ali unutar gabarita konstrukcije, sa manjim strelama fk , manji je efekat kablova na krutost sistema, pa su mogu}a eventualna upro{}enja
analize, slike 1.27, 1.33 i 1.34. Ocena efekata mo`e da se izvr{i kao da je u pitanju unutra{nje prethodno naprezanje bez spoja, uz zanemarenje udela krutosti kablova u ukupnoj
krutosti sistema - kabl se tretira samo kao ekvivalentno optere}enje konstrukcije.
3.1.3 Gubici sile pri zaklinjavanju-ukotvljenju kablova
Nakon dostizanja `eljene veli~ine sile na
presi Nk0 , vr{i se ukotvljenje kabla i oslobadjanje prese. Zavisno od opreme koja se primenjuje, ukotvljenje je pra}eno izvesnim
klizanjem klina, uvla~enjem klina u ankernu plo~u, slika 1.16. S obzirom da klin 'zubima' dr`i u`e, slika 1.17, uvla~enje klina za
isnos Dlk izaziva skra}enje u`eta, odnosno
pad sile prethodnog naprezanja DNkl usled
klizanja klina, slika 3.9. Prema katalogu doma}eg sistema 'IMS', za ra~unsko uvla~enje klizanje klina za njihove kotve mo`e da se
usvoji vrednost Dlk = 4,0mm.
Dl
k
Nk0
a)
A
B
sk
xk
ak
DNkl
Nk0
NkA
L
b) A
ak
Nk0
K
NkB
x
xk
L
B
U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, efekat uvla~enja klina rasprostire se na
celoj du`inu kabla L izmedju oporaca. Promena, pad sile u kablu DNkl usled uvla~enja klina u tom slu~aju iznosi
Dlk
(3.12)
Slika 3.9 Efekat klizanja klina na veli~inu sile u kablu
- naknadno prethodno naprezanje sa spojem
DN kl =
L
Ek Fk
3- 8
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja bez spoja, efekat klizanja klina rasprostire se
na velikoj du`ini, ali ga ipak prisutno trenje amortizuje.
U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja sa spojem, povratnom kretanju u`eta
suprotstavlja se trenje u`eta o zid za{titne cevi, sa koeficijentom povratnog trenja m '.
Mo`e da se poka`e da je du`ina x0 , slika 3.9, na kojoj se amortizuje povratno kretanje
u`eta pribli`no jednaka
x0 =
Dlk Ek
m + m' q
+ k)
s k0 (
2 l
(3.13)
a da je pad sile prethodnog naprezanja DNkl na mestu kotve
qx
ù
é
DN kl = N k 0 ê( m + m ' ) 0 + 2kx0 ú
l
û
ë
(3.14)
gde su: Dlk - iznos klizanja klina; Ek - moduo elasti~nosti kablova; sk0 - napon u kablu pri sili
na presi Nk0 ; m - koeficijent trenja; m ' - koeficijent povratnog trenja, pri vra}anju u`eta (11,50m); q / l - prose~ni skretni ugao ose kabla na du`ini x0 na kojoj se o~ekuje efekat uvla~enja klina; k - slu~ajno ugaono odstupanje - koef. trenja na pravom delu trase. U slu~aju
glatkih trasa kablova, bez naglih preloma, prakti~no treba odrediti du`inu rasprostiranja x0 ,
i potom rotirati deo dijagrama sile nakon gubitaka usled trenja i elasti~nih deformacija oko
horizontale kroz ta~ku K za ugao ak , slika 3.9b.
Nk0
Nk0
K
NkB
DNkl
NkA
A
x
xk
B
L
Slika 3.10 Delimi~na kompenzacija efekata
klizanja klina
ne bude ve}a od dozvoljene sile na presi Nk0 .
Efekat uvla~enja klina posebno je neprijatan kod kratkih kablova, gde mo`e da 'pojede' pristojan deo prethodno realizovanog
izdu`enja kabla. Svi proizvodja~i opreme za
prethodno naprezanje dozvoljavaju privremeno prekora~enje dozvoljene sile na
presi do iznosa NK0 (oko 5%), kako bi se
delimi~no kompenzirali efekti klizanja
klina. Uslov je da najve}a stvarna sila kabla,
ta~ka K na slici 3.10, nakon uvla~enja klina
3.2 PO^ETNI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA (t=0)
Nakon {to su definisani svi otpori - gubici sile prethodnog naprezanja, mogu}e je, a i vreme
je da se defini{e tzv. po~etno stanje (vreme t=0) prethodno napregnute konstrukcije,
nakon zavr{enog prethodnog naprezanja pra}enog svim navedenim promenama. Kao efikasno sredstvo za analizu po~etnih efekata prethodnog naprezanja, u delu 2 je istaknut koncept ekvivalentnog optere}enja. Iako prethodno analizirani gubici sile prethodnog naprezanja o~igledno komplikuju primenu ovoga koncepta, jer po~etna sila u kablu Nk0 nije
konstantna, koncept ekvivalentnog optere}enja i dalje ostaje najracionalnije sredstvo za
svakodnevnu analizu efekata prethodnog naprezanja na konstrukcije, uz primenu ra~unara
i softvera na bazi metode deformacija ili metode kona~nih elemenata (MKE). Podrazume-
3- 9
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
va se da su i efekti svih ostalih optere}enja odredjeni nekom od navedenih metoda statike konstrukcija.
Kako je to ve} pomenuto u uvodu analize gubitaka sile, stvarno ekvivalentno optere}enje obuhvata sve sile kojima kabl deluje na beton konstrukcije:
- sile na kotvama preostale nakon svih gubitaka;
- skretne sile du` nosa~a, definisane promenljivom stvarnom silom u kablu Nk0 ;
- sve sile trenja.
Bez obzira da li je konstrukcija stati~ki odredjena ili neodredjena, ovaj sistem sila treba
naneti kao spoljno optere}enje, i re{iti po~etno stanje sila, napona i deformacija usled
prethodnog naprezanja. To je princip, sve ostalo su detalji tehnologije izvr{enja analize.
Ipak, za rutinske analize u praksi, dozvoljavaju se odredjena upro{}enja, koja obezbedjuju
in`enjersku ta~nost prora~una.
Prikaz metodologije utvrdjivanja po~etnih efekata prethodnog naprezanja ipak treba zapo~eti na primeru stati~ki odredjenih konstrukcija, jednostavniji je problem, slika 3.11.
Kompletan sistem sila kojima kabl deluje na beton - ta~no ekvivalentno optere}enje prikazan je na slici 3.11a, dok je dijagram toka po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 prikazan na slici 3.11b. U slu~aju stati~ki odredjenih sistema sa definisanom te`i{nom linijom
{tapa, ta~na vrednost momenta savijanja Mk0x u nekom preseku usled prethodnog naprezanja mo`e da se odredi kao proizvod ta~ne sile u kablu Nk0x , i ekscntriciteta sile ex u
odnosu na te`i{te posmatranog preseka, Mk0x = Nk0x ex , slika 3.11c. Dijagram po~etnih
momenata savijanja Mk0 usled prethodnog naprezanja ne mora da ima 'pitom', gladak oblik,
ako konstrukcija ima nagla skretanja trase kabla i/ili te`i{ne linije. Za stanje momenata to
nije bitno, njih smo ve} odredili, poznata je i normalna sila Nk0 u preseku, ali kako racionalno odrediti transverzalne sile Tk0 i ugibe dk0 usled prethodnog naprezanja? Jedno
re{enje je da se sistem optereti ta~nim ekvivalentnim optere}enjem, ali to se primenjuje
samo kada se oceni da je ba{ neophodno. Ugib neke ta~ke mo`e da se odredi i poznatim
'mno`enjem dijagrama' - videti prethodni komentar. Preostaje da se vidi mo`e li se ta~no
ekvivalentno optere}enje nekako da pojednostavi. Ako smo pri definisanju 'idealnih
efekata' ve} dozvolili pojednostavljenja: da u slu~aju plitkih trasa kablova skretna podeljena optere}enja na krivim delovima kabla deluju vertikalno; da koncentrisane skretne
sile na mestima naglog skretanja kablova deluju takodje vertikalno, nema razloga da ne
zadr`imo te pretpostavke. S obzirom da je sila u kablu promenljiva, podeljeno ekvivalentno
optere}enje paraboli~ne trase kablova imalo bi oblik trapeza, 'ujedenog' na mestu kotve za
efekat klizanja klina, slika 3.11b. Eksponencijalni izraz (3.11) za vrednost sile du` trase
defini{e blago zakrivljenu krivu Nk0(x), ali je sasvim prihvatljivo da se usvoji linearna
promena. Iako danas nije problem da se modelira i slu~aj trapeznih ili sli~nih optere}enja,
slika 3.11e, ~esto se u praksi za analizu uzvaja konstantna vrednost podeljenih optere}enja
po pojedinim poljima nosa~a, sra~unata na osnovu srednje vrednosti Nkosr sile u kablu u
posmatranom polju - obi~no u sredini raspona, slika 3.11f.
Preostaje jo{ pitanje {ta raditi sa silama trenja, podeljeni momenti savijanja mtrx na slici
3.11e? Pa ni{ta, efekti trenja se obi~no zanemaruju! In`enjerski prihvatljiv model za
prora~un po~etnih efekata prethodnog naprezanja, uklju~uju}i i ugibe, prikazan je na slici
3.11f.
3-10
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
a)
A
qB
tL
f
ex
NkA
qk (x) R
aA
tL+tR
x
QkB
ac
B
NkC
C
L
a
Nk0
Nk 0
Nk0A
Nk0sr
Nk0x
Nk0sr
Nk0
Nk0Bl
Nk0Bd
Nk0C
b)
x
Mk0x=Nk0xex
x
Mk0
c)
Tk0A =
Nk0AsinaA
d)
x
QkB
L
qk0x = Nk0x/R
e)
Tk0
Tk0x=Nk0xsina
qk0sr
mtr x
Tk0C =
Nk0C sinac
a
dk0 , M k0 , Tk0
mtr x
L
Vk0C =
Nk0C sinac
a
qk0sr = 8Nk0srf/L2
dk0 , M k0 , Tk0
Vk0C
f)
L
a
Slika 3.11 Po~etni efekti prethodnog naprezanja stati~ki odredjenih nosa~a
S obzirom da se fazi prethodnog naprezanja aktivira i sopstvena te`ina konstrukcije, to se
po~etni efekti prethodnog naprezanja kombinuju sa efektima sopstvene te`ine g pri
analizi stanja sila, napona i deformacija konstrukcije odmah po zavr{etku prethodnog
naprezanja - po~etno stanje stati~ki odredjene konstrukcije.
U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, ne postoje principijelne razlike u odnosu
na prethodno izlo`eni algoritam. Ipak, na slici 3.12 prikazan je jedan stati~ki neodredjen
sistem, greda sa slike 3.11, kojoj je dodat oslonac i na desnom kraju, u ~voru C . Momenti
savijanja usled prethodnog naprezanja vi{e ne mogu da se odrede direktno, osim u specijalnom slu~aju 'konkordantnih trasa' kablova.
3-11
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
A
R
ex
NkA
B
tL+tR
a)
C
tL
f
qk(x)
QkB
NkC
x
Nk0
Nk0
Nk0sr
Nk0A
Nk0x
Nk0
Nk0Bl
Nk0Bd
Nk0sr
Nk0C
b)
x
M0=Nk0xex
x
M0
Mk0
dk0=?
c)
M1
d)
X=1
dk0 , Mk0 , Tk0
qk0sr = 8Nk0srf/L2
e)
L
a
Slika 3.12 Po~etni efekti prethodnog naprezanja
stati~ki neodredjenih nosa~a
a2
TL
e
f
a1
q2
Nk0
A
b)
Nk0
Nk0A
L/2
B
C
L
L
Nk0
Nk0C
NsrAB
NsrBC
x
b)
dk0 , Mk0 , Tk0
qk0sr = 8NsrABf/L2
qk0sr = 8NsrBCf/L2
c)
A
L
B
C
L
Slika 3.13 Po~etni efekti prethodnog naprezanja
kontinualnog nosa~a preko dva polja
3-12
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Pa dobro, normalne sile u presecima su i dalje poznate, kao i u slu~aju stati~ki odredjenih
nosa~a, i pribli`no su jednake silama u kablu Nx=Nk0x , slika 3.12a. Momenti savijanja,
transverzalne sile i ugibi mogu da se odrede metodom sila, na primer, slika 3.12c-d. Medjutim, nestandardan dijagram po~etnih momenata M0 = Nk0x ex u stati~ki odredjenom nosa~u
mo`e da bude problem. Zato je u ovom slu~aju racionalnije da se sve sile i deformacije
odrede na osnovu ekvivalentnog optere}enja prema slici 3.12e, kao i u slu~aju stati~ki
odredjenog nosa~a. Kona~no, danas se softveri koriste i za analizu slo`enih stati~ki
odredjenih konstrukcija, tako da direktno odredjivanje momenata savijanja stati~ki odredjenih nosa~a ostaje za ru~ne analize, ili uz primenu tabelarnih softvera tipa 'Excel'.
Ako su stati~ki sistem konstrukcije kao i trasa kablova jednostavni, tada je i analiza 'trivijalna', mo`e da se zavr{i i uz primenu tabli~nih re{enja, slika 3.13. Sve {to je potrebno za
prora~un sila i deformacija usled prethodnog naprezanja je dijagram sila u kablu nakon
gubitaka usled trenja, slika 3.13b. Treba uo~iti da je podeljeno ekvivalentno optere}enje u
svakom od polja odredjeno na osnovu srednje vrednosti sile (sile u sredini polja) u kablu u
odgovaraju}em polju, slika 3.13c.
Ako su u pitanju ramovski sistemi, tada je najjednostavnije u model uklju~iti i ekvivalentne koncentrisane sile na mestu kotvi, i u okviru istoga modela dobiti sve potrebne
rezultate, slika 2.22a.
U slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija, stanje napona i deformacija pod dejstvom
samo sopstvene te`ine skoro da se nikada ne proverava, osim u fazama transporta, monta`e
i sli~nih situacija. Sa druge strane, vi{ak ugradjene 'pasivne' armature je na strani sigurnosti, ve}a je nosivost i krutost konstrukcije. Vi{ak armature mo`e eventualno da napravi
problem u slu~aju zemljotresa. U slu~aju prethodno napregnutih konstrukcija, skoro da
je sve suprotno. Stanje minimalnih spoljnih momenata, usled dejstva samo sopstvene
te`ine konstrukcije, mo`e da bude kriti~na faza za prethodno napregnute konstrukcije, jer
su sile u kablovima najve}e odmah nakon zavr{enog prethodnog naprezanja, u po~etnom
stanju konstrukcije (u vremenu t=0). Minimalni momenti usled spoljnih optere}enja superponiraju se sa maksimalnim momentima usled prethodnog naprezanja, obi~no suprotnog znaka, jer je cilj prethodnog naprezanja upravo suprotstavljanje dejstvima spoljnih
optere}enja. Ako se u tome pretera, konstrukcija se mo`e dovesti u kriti~nu situaciju bilo
po naponima, bilo po prslinama ili deformacijama. U ekstremnim slu~ajevima, mo`e da nastupi ~ak i lom u fazi prethodnog naprezanja. Vi{ak kablova, utegnutih do istih napona
u ~eliku, u tom slu~aju samo pogor{ava stvar - vi{ak sile prethodnog naprezanja ne mora
biti na strani sigurnosti. Deluje nemogu}e, ali ako se monta`ni prethodno napregnuti nosa~
izvrne u fazi transporta ili monta`e, tada }e prethodno naprezanje i sopstvena te`ina da
deluju u istom smeru, lom je skoro neminovan. Simetri~no armiranom klasi~nom elementu
to ne bi smetalo.
U slu~aju kada je sopstvena te`ina konstrukcije relativno mala u odnosu na dodatna i povremena optere}enja, veliki maksimalni momenti usled totalnog optere}enja zahtevaju
veliku sili i momente usled prethodnog naprezanja, ali kako toliko optere}enje kablovima
uneti u laganu konstrukciju, kablovi }e je 'oduvati'. U takvim situacijama ponekad se pribegava faznom prethodnom naprezanju. U prvoj fazi ugradjuje se deo kablova, koliko to
mala sopstvena te`ina dozvoljava. U toku ili nakon postavljanja dodatnog stalnog optere}enja, ~ime je pove}ana te`ina konstrukcije, dodaju se prestali kablovi. Nevolja je {to u slu~a3-13
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
ju eventualnog uklanjanja dodatnog stalnog optere}enja (krovnog pokriva~a postavljenog
preko fazno prethodno napregnutih glavnih nosa~a, na primer), sopstvena te`ina konstrukcije mo`e da bude nedovoljna da izbalansira potisak kablova. Kada je ve} re~ o krovnim
pokriva~ima, korisno je navesti jo{ jednu razliku u odnosu na klasi~no armirane konstrukcije. Sisanje vetra obi~no nije merodavno za klasi~no armirane krovne konstrukcije. [ta
vi{e, tradicija je u betonu da se na ravne krovove dejstvo vetra usvaja kao pritisak na krov,
{to nema potporu ni u jednim propisima. Medjutim, si{u}e dejstvo vetra deluje u istom
smeru kao i prethodno naprezanja, i ta situacija mo`e da bude merodavna za dimenzionisanje.
Sve u svemu, po~etno stanje naprezanja prethodno napregnute konstrukcije se mora vrlo
pa`ljivo razmotriti, ono je jedno od dva ekstremna stanja kroz koje konstrukcija prolazi.
3.3 TRAJNI - KONA^NI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA (t®:)
Drugo ekstremno stanje u `ivotu konstrukcije je stanje minimalnih sila u kablovima, u
kombinaciji sa maksimalnim dejstvom spoljnih optere}enja. Otkuda 'minimalne sile u
kablovima', {ta je to {to ih menja? Na `alost, po~etni efekti prethodnog naprezanja u
ve}ini slu~ajeva se vremenom menjaju, i uglavnom smanjuju, zbog uticaja te~enja i skupljanja betona, kao i relaksacije ~elika. Rezultat je tzv. trajna (kona~na) sila u kablu Nkt ,
ostvarena nakon zavr{etka svih vremenskih procesa u betonu i ~eliku (u vremenu t®:).
3.3.1 Procena veli~ine trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt =w Nk0
U poglavlju 3.1.2 analizirani su gubici sile u kablu usled elasti~nih deformacija betona. Do
te vrste gubitaka dolazi zbog toga {to se kabl u po~etnom stanju nalazi u zoni pove}anih
napona pritisaka u betonu, koji }e pak da opadnu kada se pojave preostala optere}enja.
Osim {to naponi pritiska u zoni kabla izazivaju pad sile u kablu pri utezanju, taj efekat se
obi~no produ`ava i u toku vremena, zbog pojave te~enja betona - pove}anja po~etnih
deformacija betona pod konstantnim naponima pritiska u toku vremena. Prirast deformacija u toku vremena je 2-3 puta ve}i od po~etnih, izazvanih nano{enjem napona. Pri po~etnom naponu u betonu, u oblasti rezultuju}eg kabla usled dejstva prethodnog naprezanja i
ukupnih stalnih optere}enja, od oko 4-5MPa i vrednosti modula elasti~nosti betona od oko
30000 MPa, po~etna dilatacija betona iznosi oko 0,15. Prirast dilatacija skra}enja u toku
vremena usled te~enja betona je reda veli~ine (2-3)0,15 = (0,3-0,5). U odnosu na dilataciju izdu`enja ~elika kabla u po~etnom stanju od oko 5 (pri naponu od oko 1000 MPa),
dodatna dilatacija skra}enja betona iznosi oko 6-10% po~etne dilatacije kabla. S obzirom
da dalje skra}enje betona izaziva pad po~etne dilatacije - napona - sile u kablu, dodatni
gubitak sile u kablu od oko 10% nije zanemarljiv.
Isti efekat ima i skupljanje betona, u pitanju je skra}enje betona u toku vremena reda
veli~ine 0,4-0,5, {to izaziva dalji pad dilatacije - napona - sile kabla od novih 8-10%.
Osim {to beton 'popu{ta' u toku vremena, ne mo`e da odr`i po~etni nivo deformacija, i
zategnuti ~elik kabla te`i da se oslobodi po~etnih napona - pad napona pri konstantnoj
dilataciji naziva se relaksacija. Dilatacija kabla nije ba{ konstantna u toku vremena, te~enje i skupljanje betona, kao i varijacije usled spoljnih optere}enja je menjaju, tako da se
obi~no govori o ne{to manjoj - redukovanoj relaksaciji (reda veli~ine 80% teorijske
3-14
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
relaksacije). Pad napona usled relaksacije zavisi od karakteristika ~elika, kao i od po~etnog
napona u ~eliku. Podatke o relaksaciji obezbedjuje proizvodja~ ~elika, ali se za ovu analizu
mo`e usvojiti da je pad napona u ~eliku oko 7,5% od po~etnog napona.
Ukupni pad napona u kablu usled istovremenih efekata te~enja, skupljanja i relaksacije vremenski gubitak sile prethodnog naprezanja, obi~no se pretpostavlja u granicama
15-25% od po~etnog napona. Prema tome, trajna sila prethodnog naprezanja Nkt , nakon
vremenskih gubitaka, iznosi oko 75-85% po~etne sile Nk0 , odnosno
w = Nkt / Nk0 =0,75-0,85
(3.15)
Odnos w ~esto se naziva koeficijent efikasnosti prethodnog naprezanja. U fazi
preliminarnih analiza, a ~esto i kasnije, efekti te~enja, skupljanja i relaksacije na veli~inu
trajne sile prethodnog naprezanja obi~no se pretpostavljaju u datim granicama.
3.3.2 Trajni efekti prethodnog naprezanja
S obzirom da su prethodno sra~unati po~etni efekti prethodnog naprezanja, pri po~etnoj
sili u kablu Nk0 , trajni efekti prethodnog naprezanja, pri trajnoj sili prethodnog naprezanja Nkt = w Nk0 , mogu da se dobiju mno`enjem po~etnih efekata koeficijentom w . To jedino ne va`i za deformacije konstrukcije, jer deformacije usled potiska kablova takodje
rastu u toku vremena zbog efekata te~enja betona, ali usled dejstva u toku vremena promenljive sile u kablu.
g
A
NkA
C
f
ex
B
ac
a)
NkC
x
Nk0
Nk0
Nk0A
NktA
Nk0
Nkt
Nk0sr
Nktsr
Nktx
Nkt = wNk0
Nk0C
Nktsr
NktC
x
b)
x
Mktx=Nktxex= wMk0
Mkt = wMk0
c)
qktsr = 8Nktsrf/L2
dkt , Mkt , Tkt
VktC =
NktC sinac
d)
L
a
Slika 3.14 Procenjeni trajni efekti prethodnog naprezanja
stati~ki odredjenih konstrukcija
3-15
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Za stati~ki odredjeni nosa~ sa slike 3.11, sa definisanim po~etnim stanjem (t=0), algoritam
za analizu trajnog stanja, pod trajnim silama u kablovima prikazan je na slici 3.14. Sila prethodnog naprezanja, normalne sile, momenti savijanja i transverzalne sile u presecima dobijaju se mno`enjem odgovaraju}ih po~etnih vrednosti koeficijentom w . Isto va`i i za ekvivalentno optere}enje usled trajnih sila prethodnog naprezanja, slika 3.14d, koje se dobija
mno`enjem odgovaraju}ih komponenti po~etnog stanja koeficijentom w .
Kona~na, trajna vrednost ugiba Dkt neke ta~ke konstrukcije, usled dejstva samo prethodnog
naprezanja sa efektima te~enja betona, mo`e da se proceni kao
(3.16)
D = d + 0,5(d + d )j
kt
kt
k0
kt
t
gde su: dkt - ugib usled trajne sile prethodnog naprezanja Nkt ; dk0 - ugib usled po~etne sile
prethodnog naprezanja Nk0 ; jt - koeficijent te~enja betona, definisan propisima za betonske konstrukcije (BAB). Ugibi usled po~etne odnosno trajne sile prethodnog naprezanja
odredjuju se za nosa~ optere}en odgovaraju}im ekvivalentnim optere}enjem prema
slikama 3.11d odnosno 3.15d. Struktura uzraza (3.16) zasniva se na pretpostavci da je ugib
usled trajne sile prethodnog naprezanja Nkt , pribli`no jednak zbiru elasti~nog, trenutnog
ugiba dkt usled trajne sile, i prirasta ugiba u toku vremena usled te~enja betona pod konstantnom srednjom vredno{}u sile prethodnog naprezanja.
g
A
NkA
C
f
ex
B
NkC
a)
x
Nk0
Nkt
Nk0
Nk0A
NktA
Nk0
Nk0sr
Nktsr
Nktx
Nkt = wNk0
Nk0C
Nktsr
NktC
x
b)
x
qk0sr = 8Nktsrf/L2
dkt , Mkt , Tkt
e)
L
a
Slika 3.15 Procenjeni trajni efekti prethodnog naprezanja
stati~ki neodredjenih konstrukcija
Celine radi, na slici 3.15 prikazan je algoritam i za stati~ki neodredjen nosa~ sa slike 3.12.
Sve {to je re~eno za stati~ki odredjen nosa~ sa slike 3.14, va`i i ovom slu~aju.
3-16
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.3.3 Ukupan trajni ugibi konstrukcije
Izrazom (3.16) procenjen je samo trajni ugib usled dejstva prethodnog naprezanja Dkt . S
obzirom da nas interesuje kona~na vrednost ugiba usled svih optere}enja, sa efektima te~enja betona, pribli`na vrednost ukupnog trajnog ugiba dt neke ta~ke konstrukcije dobija
se superpozicijom ugiba usled pojedina~nih dejstava
(3.17)
d = D + d (1 + j ) + d (1 + j ) + d
t
kt
g
g
Dg
Dg
p0
gde su: Dkt - trajni ugib usled dugotrajnog dejstva sila prethodnog naprezanja, izraz (3.16); dg
- trenutni - elasti~ni ugib usled dejstva samo te`ine konstrukcije prisutne u toku prethodnog
naprezanja (obi~no je to sopstvena te`ina); dDg - trenutni - elasti~ni ugib usled dejstva dodatnih stalnih optere}enja postavljenih naknadno; jg - koeficijent te~enja betona pri starosti
betona u trenutku prethodnog naprezanja; jDg - koeficijent te~enja betona pri starosti betona u trenutku nano{enja dodatnih stalnih optere}enja; dp - trenutni - elasti~ni ugib usled
kratkotrajnog dejstva povremenih/korisnih optere}enja. Veli~ine trajnih ugiba porede se sa
dozvoljenim ugibima, definisanim propisima za razli~ite tipove konstrukcija.
Na promene po~etnih ugiba betonskih konstrukcija u toku vremena uti~e i koli~ina i raspored kablova/armature u presecima - 'idealizovani presek', {to je u prethodnom izrazu zanemareno. Pored toga, prethodni izraz za ugib podrazumeva da je konstrukcija napravljena
monolitno, od 'jednorodnog' betona sa uniformnim karakteristikama (moduo elasti~nosti,
koeficijent te~enja itd.), kao i da se po~etni stati~ki sistem i krutost ne menjaju u toku vremena (nema kontinuiranja, pove}anja dimenzija preseka, dobetoniravanjem itd). Efekti
dejstava stalnih optere}enja - sopstvene te`ine i dodatnih stalnih optere}enja su razdvojeni,
jer se prethodno naprezanje ~esto vr{i dok je beton jo{ 'mlad', pa su i efekti te~enja betona
burniji nego u slu~aju dodatnih stalnih optere}enja, koja se obi~no nanose na 'ostareli'
beton.
3.3.4 Pribli`an prora~un trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt
Procena gubitaka sile prethodnog naprezanja prema izrazu (3.15) ~esto je u praksi i kraj
'analize' fenomena vremenskih - 'reolo{kih' pojava u betonu. Ipak, nakon {to su definisani
svi detalji konstrukcije i prethodnog naprezanja, mo`e da se izvr{i provera pretpostavljene
vrednosti koeficijenta efikasnosti prethodnog naprezanja w . U starijoj doma}oj literaturi,
mo`e da se nadje izraz za prora~un promene napona rezultuju}eg kabla Dskt usled uticaja
te~enja i skupljanja betona, kao i relaksacije ~elika (pa`nja, videti i komentar u delu 3.4.2,
izraz 3.36 koji se preporu~uje!):
Ds kt =
nk s bk 0j t + E k e skt + Ds krel
s
1 + nk bk 0 [1 + c tj t ]
s k0
(3.18)
gde su: sbk0 - po~etni napon u betonu u nivou rezultuju}eg kabla; sk0 - po~etni napon u
~eliku rezultuju}eg kabla; nk = Ek / Eb - odnos modula elasti~nosti ~elika kablova i betona u
trenutku prethodnog naprezanja; eskt - kona~na - trajna vrednost skupljanja betona; Dskrel procenjeni pad napona u ~eliku kablova usled relaksacije napona; jt - kona~na vrednost
koeficijenta te~enja betona; c t - koeficijent starenja betona.
3-17
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
w= Nkt/Nk0
Na slici 3.16 prikazani su rezultati parametarske analize pada napona u ~eliku prema izrazu
(3.18). Na apscisi je prikazan po~etni napon u betonu u nivou rezultuje}eg kabla - sbk0
(MPa), dok je na ordinati data vrednost w = Nkt / Nk0 = (sk0 - Dskt )/sk0 . Pri analizi je
usvojeno: nk = 6,5; Dskrel = 0,025 i c t =0,80.
Za uobi~ajne vrednosti parametara:
0.95
sk0 = 1000 MPa, j=2,5 i eskt =
0.00045, procenjena vrednost koe0.90
sk =
0 150
0 MP
ficijenta w = 0,80-0,85 (izraz 3.15)
a, f=
0.85
2, 5, e
s =
je korektna, ako su po~etni naponi
sk =0,0
0045
k0 10
0.80
00 M
Pa, f
u betonu u nivou kabla sbk0 = 4-5
=2,
5, e
s =
0.75
sk =0,
k0 1
MPa. Da pove}ano te~enje i skup0 004
00 0
5
MP
a
0.70
,
ljanje betona uti~u na pad sile, to je
s
f=
4, 0
k0 =7
,e
50
jasno, ali treba imati na umu i to,
MP
sk =0
0.65
, 000
a, f
55
=4
,0,
da nizak po~etni napon sk0 u kabloe =
0.60
sk 0
,00
vima
zna~ajno uti~e na relativni
055
0.55
pad sile - kablove 'ne treba {tedeti',
0.50
iako se time pove}ava udeo relak0
5
10
15
20
sacije.
sbk0 (MPa)
Slika 3.16 Promena w prema izrazu (3.18)
U prate}im tekstovima koji preporu~uju primenu izraza (3.18) za
analizu promena napona u toku vremena, obi~no nije dat i odgovor na pitanje - da li je za
primenu izraza bitno da li je sistem stati~ki odredjen ili neodredjen, ili se u toku vremena
menja i sli~no?
U praksi, obi~no se ne pravi razlika izmedju stati~ki odredjenih i neodredjenih konstrukcija, ako je beton 'jednorodan', ako nema izmene sistema i/ili preseka elemenata itd. U
principu, navedeni izraz va`i za stati~ki odredjene konstrukcije, sa zanemarljivom povr{inom klasi~ne armature u odnosu na povr{inu kablova (nije prisutna u izrazu 3.18).
Da bi se bar malo razjasnili ovi pojmovi, u narednom delu dat je kratak prikaz osnovnih
pitanja i pojava vezanih za efekte te~enja, skupljanja i relaksacije, sa ciljem da se bar kvalitativno shvati 'kako rade betonske konstrukcije'.
3-18
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.4 [TA SE DOGADJA U BETONSKIM KONSTRUKCIJAMA USLED
TE^ENJA I SKUPLJANJA BETONA, ODNOSNO RELAKSACIJE ^ELIKA?
Na~in na koji su efekti te~enja i skupljanja betona uvedeni u analizu, preko koeficijenta
efikasnosti prethodnog naprezanja w, predstavlja poku{aj pojednostavljenja, za potrebe
svakodnevne prakse. Ono {to treba uo~iti je, da je to istovremeno i napor da se zadr`i jedinstven algoritam analize - da se po~etni i trajni efekti prethodnog naprezanja analiziraju kao jedan od slu~ajeva spoljnih optere}enja (ekvivalentno optere}enje), na jedinstvenom stati~kom modelu konstrukcije. Bilo bi vrlo zametno da se po~etni efekti analiziraju
na jednom modelu, nekom od metoda statike konstrukcija, a da se trajni efekti procenjuju
na drugom modelu (sa izmenjenim karakteristikama materijala i/ili popre~nih preseka - sa
izmenjenom kruto{}u, na primer), i uz pomo} nekog drugog algoritma. Ako se primenjuju
ra~unari, rezultat bi bio dve baze podataka, koje nekako treba kombinovati.
Koncept analize po~etnih efekata, uz sva pojednostavljenja je sasvim korektan, intrigantan
je postupak analize kona~nog stanja konstrukcije. Ve} je re~eno da se, nakon zavr{enog
prethodnog naprezanja, ~elik kablova na dalje pona{a kao deo preseka konstrukcije, ali sa
unetim po~etnim naponom. Logi~an izbor je onda da se kablovi modeliraju kao deo preseka, a ne kao spoljno optere}enje. Tako i rade mo}ni, i skupi softveri za nelinearnu analizu betonskih konstrukcija. Tako je, problem je u su{tini neliearan, jer se pokazuje da, na
dugotrajna dejstva optere}enja, beton ne reaguje kao linearno elasti~an materijal, {to je
pretpostavka prakti~no svih uobi~ajenih analiza u praksi.
3.4.1 Pona{anje nearmiranog betona bez prslina u toku vremena
Pri nano{enju optere}enja u trenutku t0 , nearmirani betonski element/konstrukcija se deformi{e za iznos po~etnih, 'elasti~nih dilatacija' eb0 (slika 3.17a), odnosno po~etnih deformacija db0 (slika 3.17b-c).
G
db0
sb=const
j(t,t1)eb10
dbt
sb0
jdb0
j(t,t0)eb0
eb
g
dbt
esk
t
a.)
t0
t0
t1
b.)
jdb0
eb10
eb0
db0
sb1
c.)
Slika 3.17 Promena dilatacija i deformacija betona usled te~enja i skupljanja betona
Ako se optere}enje (G,g) u toku vremena t ne menja - slu~aj 'stalnih optere}enja', tada se
ni naponi u betonu sbo u toku vremena ne}e menjati, jer se ni uslovi ravnote`e nisu promenili. Medjutim, pri konstantnom naponu u betonu sbo , dilatacije pa i deformacije u toku
vremena rastu za iznos jeb0 odnosno jdb0 , slike 3.17a-c. Promena dilatacija/deformacija pri
konstantnom naponu naziva se te~enje betona, dok se veli~ina j naziva koeficijent te~e3-19
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
nja betona. Promena dilatacija/deformacija u toku vremena je 2-3 puta ve}a od po~etnih.
Dodatno stalno optere}enje, naneto u trenutku t1 , deluje na delimi~no 'ostareli beton', i
ima}e ne{to povoljniju istoriju deformacija u toku vrmena, slika 3.17a.
Skupljanje betona je proces koji ne zavisi od napona, i prakti~no po~inje prestankom
intenzivnog negovanja betona, a pre nano{enja optere}enja, u vremenu t0 , slika 3.17a.
Veli~ina i razvoj te~enja i skupljanja betona zavise od mnogih parametara, {to nije predmet
ovoga teksta. Usled po~etnih napona sbo izazvanih u vremenu t0 , ukupna dilatacija betona eb(t,t0) u vremenu t , prema tzv. 'linearizovanoj teoriji te~enja', iznosi
e b (t , t 0 ) =
s b (t 0 )
E b (t 0 )
[1 + j (t , t0 )] + s b (t ) - s b (t0 ) [(1 + c (t , t0 )j (t , t0 )] + e sk (t )
E b (t 0 )
(3.19)
gde su: sb0 (t0 ) - po~etni napon u betonu, nanet u vremenu t0 ; Eb(t0 ) - moduo elasti~nosti
betona u trenutku t0 ; sb (t )- napon u betonu u vremenu t ; j (t, t0) - koeficijent te~enja betona do trenutka t , za uticaje napona nanetih u vremenu t0 ; c (t , t0 ) - koeficijent starenja
betona do trenutka t , za uticaje napona nanetih u vremenu t0 ; eskt - iznos slobodne dilatacije skupljanja betona koja bi se ostvarila do vremena t . Uz izostavljanje indeksa '0' koji se
podrazumeva, izraz (3.19) mo`e da se prika`e i u obliku
e b (t ) =
s b (t0 )
Eb (t0 )
1 + j (t )
+
Ds b (t )
s (t ) Ds (t )
+ e sk = b 0 + * b
+ e sk
Eb (t 0 )
Eb kor (t ) E bef (t )
1 + c (t )j (t )
(3.20)
gde je Ds(t) = sb(t) - sb(t0) promena napona u betonu u intervalu t0 - t ; Ebkor (t) - vrednost
tzv. 'korigovanog modula elasti~nosti betona' u vremenu t ; E*bef (t) - vrednost tzv. 'korigovanog efektivnog modula elasti~nosti betona' u vremenu t. Prvi ~lan izraza (3.20) obuhvata
promenu dilatacija usled te~enja pod konstantnim delom napona u betonu, a drugi ~lan
obuhvata promenu dilatacija usled te~enja pod promenljivim delom napona u betonu. Izraz
(3.20) asocira na 'elasti~an materijal', ali je ovde u pitanju superpozicija efekata dve vrste
napona, koji deluju na 'razli~itim materijalima', sa razli~itim modulima elasti~nosti. S obzirom da je po~etni napon sb(t0) poznat, sra~unat analizom po~etnog stanja konstrukcije, deo
ukupne dilatacije usled te~enja pod konstantnin po~etnim naponom dobija se mno`enjem
po~etnih dilatacija sa (1+j), o ~emu je ve} bilo re~i, ili ponovnim prora~unom sa 'omek{alim betonom', ~iji je moduo elasti~nosti u medjuvremenu pao na vrednost Ebkor(t). Nepoznata promena napona u toku vremena mora da se sra~una nezavisno, sa 'omek{alim betonom', ~iji je moduo elasti~nosti u medjuvremenu pao na vrednost E*bef (t).Superpozicija
re{enja iz dva modela je teorijski atraktivna, ali je u praksi zametna. Na bazi relacije (3.20)
mo`e da se uspostavi algoritam 'metode sila' za re{avanje problema konstrukcija, za {ta
nam trebaju komponente deformacija dik usled dejstva spolja{njih optere}enja, kao i stati~ki
nepoznatih veli~ina. Dva elementarna primera primene relacije (3,19 ili 3.20) ve} su
'intuitivno' re{ena u uvodu, slika 3.17b i 3.17c.
Izraz (3.19) mo`e da se prika`e i u metodolo{ki druga~ijoj formi
Ds b (t ) = E *bef De b (t ) - E *bef De 0 (t ) - E *bef j (t )e b (t0 )
(3.21)
gde su: Ds(t) = sb(t) - sb(t0) promena napona u betonu u intervalu t0 - t ; E*bef (t) - vrednost
tzv. 'korigovanog efektivnog modula elasti~nosti betona' u vremenu t ; Deb(t) = eb(t) - eb(t0)
3-20
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Deb(t)
- promena dilatacija u betonu u intervalu t0 - t; De 0(t) = esk(t)+ efekti promene temperature .
U obliku (3.21), veza napona i dilatacija definisana je u duhu 'metode deformacija', sa
nepoznatim veli~inama komponenti deformacija. Relacija (3.21) daje odnos promena
deformacija i promena naprezanja, pa se kona~no re{enje dobija superpozicijom sa ve}
re{enim po~etnim stanjem. Fizi~ka interpretacija izraza (3.21) slikovito opisuje pona{anje
betona u toku vremena:
a) na sve prinudne dilatacije (deformacije) Deb(t) koje
se razvijaju u toku vremena, afino sa procesom te~enja,
Dsb(t)
betonski element odgovara redukovanom kruto{}u, sa
sni`enim modulom elasti~nost E*bef (t), i manjim naponima
Dsb(t) u odnosu na slu~aj naglog, trenutnog razvoja dilatacija
(deformacija) - prvi ~lan relacije (3.21).
Dsb(t) = E*bef (t)Deb(t)
(3.22)
Ako se predje na nivo {tapa, tada sporo prinudno skra}enje
betonskog {tapa, du`ine L0 i povr{ine preseka Fb, za iznos
Slika 3.18 Reakcija betona
DL(t)u toku vremena, izazaziva reakciju {tapa, aksijalnu silu
na spore deformacije
DNb(t) jednaku
*
(t )
DN b (t ) = Fb Ebef
D L (t )
DL(t )
DL(t )
=
=
L0
k b (t )
L0
*
Fb Ebef (t )
(3.23)
dt
gde je kb(t) 'korigovana efektivna aksijalna krutost' {tapa, uzimaju}i u obzir i efekte te~enja
betona. Na sli~an na~in mogu da se defini{u i ostali ~lanovi korigovane matrice krutosti, i
uspostavi metoda deformacije nearmiranih konstrukcija bez prslina. Za ilustaciju, ako je
1 + c (t )j (t ) @1+0,8x2,5 = 3,0, tada je korigovani efektivni moduo elasti~nosti tri puta
manji od po~etnog, E*bef (t)/ Eb (t0)=3,0, pa su i uticaji u konstrukciji pri sporom razvoju
prinudnih deformacija, tri puta manji u odnosu na 'elasti~no re{enje'- naglo nanete
deformacije uz reakciju sistema sa po~etnim modulom elasti~nosti Eb (t0).
Slika 3.19 Sporo sleganje oslonca
u toku vremena
Na primer, spor prirast sleganja srednjeg oslonca dt
nearmiranog betonskog kontinualnog nosa~a, izazva}e
pribli`no tri puta manje uticaje u konstrukciji u odnosu
na slu~aj naglog sleganja za isti iznos. To je ujedno i
obja{njenje za{to nema prslina i lomova, u konstrukcijama koje su pretrpele ve}a sleganja - zato {to se
beton prinudnim sporim deformacijama adaptira
smanjenjem krutosti.
b) u slu~aju potpuno spre~enog razvoja unutra{njih dilatacija (deformacija) usled
skupljanja betona ili sporih, sezonskih varijacija temperature, betonski element takodje
odgovara redukovanom kruto{}u, sa korigovanim efektivnim modulom elasti~nost
E*bef(t), i manjm naponima Dsb(t) u odnosu na slu~aj naglog, trenutnog razvoja dilatacija
(deformacija) - drugi ~lan relacije (3.21). U tom slu~aju izraz (3.21) ima oblik kao u
prethodnom slu~aju
Ds b (t ) = - E *bef De 0 (t )
(3.24)
3-21
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Analogno prethodnim primerima, naponi usled skupljanja betona su oko tri puta manji u
odnosu na napone usled naglog hladjenja betona, za ekvivalentni pad temperature DT=esk/aT , gde je aT koeficijent termi~kih dilatacija betona.
c) u slu~aju potpuno spre~enog daljeg razvoja po~etnih dilatacija (deformacija) eb(t0),
betonski element odgovara promenom napona Dsb(t0) , sni`enjem indukovanih po~etnih
napona sb(t0) . Ovo je klasi~an slu~aj relaksacije napona pri konstantnoj deformaciji. Izraz
(3.21) za promenu napona u betonu Dsb(t) dobija oblik
Ds b (t ) = - E *bef j (t )e b (t0 )
Trajni napon sb(t), nakon zavr{ene relaksacije betona iznosi
s b (t ) = s b (t0 ) - Ds b (t ) = (1 = (1 -
(3.25)
j (t )
) Eb (t0 )e b (t0 )
1 + c (t )j (t )
j (t )
)s b (t0 )
1 + c (t )j (t )
Za ilustaciju, za uobi~ajene vrednosti
(3.26)
c (t ) =0,8 i
d0
j (t ) =2,5, kona~ni napon u betonu iznosi samo 17%
od po~etnog napona, sb(t)= 0,17 sb(t0 ). Prema tome,
ako kontinualni nosa~ sa slike 3.20 nekako pre`ivi
naglo sleganje oslonca za iznos d0 , tokom vremena
Slika 3.20 Relaksacija napona nakon
konstrukcija }e se skoro u potpunosti osloboditi
naglog sleganje oslonca
'stresa'. Efekat relaksacije napona u betonu usled
ometanog, ili u potpunosti spre~enog razvoja po~etnih deformacija, 'centralna ta~ka' je
metode deformacije, tako da se ona ponekada naziva i 'metoda relaksacije'. Kvalitativna
rami{ljanja u terminima 'relaksacije', poma`u u tra`enju odgovora na pitanje 'a kako rade
betonske konstrukcije?'.
3.4.2 Pona{anje nearmiranog
prethodno napregnutog betona bez prslina u toku vremena
Prethodni primeri ilustruju primenu 'linearizovane teorije te~enja betona' na osnovnom
slu~aju betonske konstrukcije bez armature i kablova. Ako je element prethodno napregnut, tada je uloga ~elika kabla dvostruka: sa jedne strane u~estvuje u kreiranju po~etnog
naponsko-deformacijskog stanja kao spolja{nje optere}enje, a sa druge strane, kao deo
'idealizovanog' preseka konstrukcije, zajedno sa klasi~nom armaturom opire se deformacijama koje se razvijaju u toku vremena, pa i te~enju odnosno skupljanju betona. Re{enje stanja napona i deformacija konstrukcije u toku vremena dobija se analizom spregnute
konstrukcije/preseka od betona i kablova (u narednim analizama klasi~na armatura je
zanemarena). Postupak analize trajnog stanja prethodno napregnutih konstrukcija putem
uvodjenja koeficijenta w = Nkt /Nk0 , samo pribli`no opisuje stvarno pona{anje konstrukcija
u toku vremena.
3-22
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
a) Slu~aj gubitaka napona u betonu, bez promene sile u kablu - w = Nkt /Nk0 = 1
Pretpostavimo da smo monta`ni nearmiran betonski {tap, po~etne du`ine L , centri~no
prethodno napregli po~etnom silom u kablu Nk0 do po~etnog napona u betonu sb0 , slika
3.21a-b. Usled po~etnog napona u betonu, {tap se skratio na du`inu L0 , slika 3.21b. Ako
sada taj {tap nekako ugradimo u konstrukciju, izmedju dva kruta zida koji spre~avaju pomeranja krajeva {tapa, na primer, desi}e se '~udo', slika 3.21c. Zbog toga {to je spre~eno
dalje slobodno skra}enje {tapa usled 'te~enja' betona - spre~en je razvoj po~etnih deformacija, u betonskom {tapu po~inje da se odvija proces relaksacije napona. Napon u betonu
pa{}e na ve} pomenutih 17% po~etnog napona sb0 , ali napon u kablu se ne menja, trajni
napon jednak je po~etnom, skt = sk0 , jer nema
promene du`ine kabla! Ovo je primer, karikiL
ran, kako bi se projektant na{ao u zabludi, pozivaju}i se na to da 'i preporuke, a i formula iz
a.)
propisa ka`u da je Nkt @ 0,80Nk0 '. Ako je pao
L0
napon u betonu, a u kablu se nije promenio,
pa ko onda dr`i silu u kablu Nkt ? Odgovor je Nk0
Nk0
onaj ko spre~ava deformaciju {tapa, a to su
sb0 ; sk0
b.)
oslonci, zidovi. Ako beton 'popu{ta, nema naNkt=Nk0
Nkt=Nk0
meru da u~estvuje u igri, jer mu ne daju da se
Rt
Rt
slobodno deformi{e', neko mora na sebe da
primi optere}enja koja su izazvala po~etnu
0,17sb0 ; sk0
c.)
deformaciju betonskog {tapa, u zidu se pojavSlika 3.21 Pad napona u betonu bez
ljuju reakcije R , slika 3.21c.
promene po~etne sile u kablu
Isti scenario krije se i iza 'analize promena napona u armiranom preseku usled te~enja
betona'. Nakon izazvanih po~etnih napona i dilatacija centri~no pritisnutog stuba, na
primer, beton bi da te~e, armatura ne bi. Sila pritiska usled gravitacije ne ~eka da se dogovore. Rezultat je da pad napona pritiska u betonu, i porast napona pritiska u armaturi, ponekad toliki da je blizu granice te~enja ~elika! Treba uo~iti da tu nije u pitanju 'preraspodela napona u preseku', kako se mo`e ~uti. Presek je matemati~ki pojam, ne migriraju
naponi u dvodimenzionalnom svetu ravni preseka. U pitanju je ometana tendencija skra}enja betonskog tela, {tapa.
b) Aksijalno stanje napona prethodno napregnuta zatega stati~ki odredjenog trozglobnog luka
Dok je prethodni primer ekstremni slu~aj, ali va`an za razumevanje pona{anja betonskih
konstrukcija, na slici 3.22a prikazan je primer realnije konstrukcije trozglobnog luka sa
prethodno napregnutom zategom, koja le`i na podlozi koja ne spre~ava njene aksijalne
deformacije ('podmazana' podloga). U trenutku prethodnog naprezanja t0 silom u kablu
Nk0 , na sistem deluje i stalno optere}enje, sopstvena te`ina i recimo koncentrisana sila G0 u
vrhu luka. Pretpostavlja se da se u toku vremena ne dodaju dodatna stalna optere}enja Dg ,
te~enja betona zatege odvija se pod dejstvom konstantnog stalnog optere}enja Zg , ali i
promenljive sile prethodnog naprezanja Nkt , zbog promene du`ine kabla u toku vremena
usled te~enja i skupljanja betona.
Usled dejstva sile zatezanja Zg od spoljnih optere}enja, i po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 , uobi~ajenim metodama statike konstrukcija odredjeno je po~etno stanje zatege,
3-23
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
definisano je po~etnom silom u zatezi Zg + Nk0 , odnosno po~etnom deformacijom zatege skra}enjem DL0 , slika 3.22b-c.
Pod rezultuju}im naponima pritiska u
betonu zatege, uz nezanemarljivu poG0
mo} skupljanja betona, zatega te`i da se
u toku vremena dodatno skrati. (Ako bi
Nk0
N
se, gre{kom u izvodjenju, blokiralo daZatega
k0
lje klizanje desnog, pomerljivog oslonca,
a.)
Zg0+Nk0
nastupio bi slu~aj ~iste relaksacije, opisan u prethodnom primetu, slika 3.21. U
Vg0
Vg0
ovom primeru analizira se 'idealan' sluZatega
~aj - potpuno slobodnog klizanja pomerZg0 Nk0
Nk0 Zg0
ljivog oslonca. Treba uo~iti da je u prakb.)
L
si te{ko izbe}i otpore klizanju - trenje,
L0
DL0
tako da se realno kona~no stanje nalazi negde izmedju ova dva re{enja!)
Zg0 Nk0
c.)
Nk0
sb0 ; sk0
Zg0
L0=const
R*t
R*t
N*bsk N*bj
N*bj N*bsk
d.)
L0
Lt
Za formulaciju re{enja problema, u
ovom primeru je za polaz usvojen izraz
3.21, odnosno metodologija 'metode
deformacija', koja sadr`i slede}e korake
analize:
(A) definisano je po~etno stanje napona i deformacija (slika 3.22a-c);
DLt
(B) po~etno stanje deformacija se 'zae.)
mrzava', spre~ava se dalji razvoj pomeSlika 3.22 Promene napona u toku vremena
ranja i obrtanja ~vorova sistema, formizatege trozglobnog luka
ranjem 'deformacijski odredjenog
sistema' konstrukcije. U konkretnom primeru analize zatege, blokira se horizontalno
pomeranje desnog, pomerljivog oslonca, tako da je L0 = const u toku vremena, slika 3.22d;
Zg0 Nkt
sbt ; skt
Nkt Zg0
(D) zbog spre~enih daljih deformacija krajeva 'zamrznutih' {tapova sistema, u sistemu
nastupa relaksacija po~etnih napona u betonu pojedinih {tapova, kao i pojava napona u
betonu usled spre~enog skupljanja betona. U ovom primeru, zbog spre~enog daljeg
skra}enja zetege, u ~vorovima zatege vremenom bi se pojavile sile (napomena - Nb=DsbFb):
N*bj - promena sile u betonskom delu preseka zatege usled relaksacije napona u betonu,
izraz (3.25); N*bsk - promena sile u betonskom delu preseka zatege usled spre~enog skupljanja betona, izraz (3.24). Na kona~no stanje uti~e i relaksacija napona u ~eliku, ~iji se uticaj trenutno ne razmatra, o tome na kraju.
(3.27)
*
*
N bj = - Fb Ebef je b 0
*
*
N bsk
e sk
= - Fb Ebef
(3.28)
Unutra{nje sile {tapa-zatege, vremenom stvaraju u ~vorovima {tapa-krajevima zatege reakcije R*t , slika 3.22d. Da je dalje skra}enje zatege stvarno blokirano, tada bi oslonci koji to
spre~avaju (koji formiraju 'deformcijski odredjen sistem')morali da budu sposobni da
izdr`e ovoliko optere}enje, bez proklizavanja (generalno - bez pomeranja i obrtanja). U
3-24
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
realnoj konstrukciji, ove su reakcije neuravnote`ene, tako da ih se sistem oslobadja tako {to
dolazi do pojave dodatnih pomeranja i obrtanja , skra}enja zatege DLt na slici 3.22d, 'relaksacija neuravnote`enih optere}enja deformacijski odredjenog sistema'. Dodatna pomeranja i obrtanja su 'deformacijski nepoznate veli~ine', koje se mogu odrediti iz uslova
ravnote`e neuravnote`enih sila R*t , i sila u ~vorovima koje nastaju pri dodatnim pomeranjima i obrtanjima. Dodatne deformacije DLt krajeva zatege su spore prinudne deformacije, odvijaju se afino te~enju betona, tako da betonski deo preseka odgovara sni`enim,
korigovanim efektivnom modulom elasti~nosti, (izraz 3.22):
*
Ds b (t ) = E *bef De b (t ) = Ebef
odnosno
DLt
L
*
DN b* (t ) = Fb E *bef De b (t ) = Fb Ebef
DLt
L
(3.29)
Pri dodatnoj deformaciji DLt , u ~eliku kabla ostvari}e se sila pritiska - 'pad sile prethodnog
naprezanja'
DN k (t ) = Fk Ek
DLt
L
(3.29a)
Uslov ravnote`e svih sila tada glasi
DN b* (t ) + DN k (t ) + Rt* = 0
(3.30)
odnosno
*
DN b* (t ) + DN k (t ) - N b*j - N bsk
=0
(3.31)
Kada se izrazi (3.27), (3.28) i (3.29) uvrste u uslov ravnote`e (3.31), za vrednost deformacijski nepoznate, promene du`ine zatege u toku vremena DLt dobija se vrednost
j
s b0
+ e sk
Eb (t0 )
DLt = L
F
1 + n k (1 + cj )
Fb
(3.32)
Kona~na vrednost promene aksijalne sile betona DNb(t) jednaka je sumi sila od dodatne
deformacije DN*b(t), i sila indukovanih u deformacijski odredjenom sistemu (-N*bj - N*bsk),
pa promena napona u betonu usled uticaja te~enja i skupljanja betona tada iznosi
Ds b (t ) =
1
DN k (t )
*
(DN b* (t ) - N b*j - N bsk
)=Fb
Fb
(3.33)
dok promena napona u kablu poti~e samo od dodatnog skra}enja zatege DLt
Ds k (t ) = Ek
njs b 0 + Ek e sk
DLt
=
L 1 + n Fk (1 + cj )
Fb
(3.34)
gde je n = Ek / Eb (t0) - odnos modula elasti~nosti ~elika, i po~etnog modula elasti~nosti
betona.
3-25
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Ako se pad napona u betonu usled relaksacije ~elika (komplikovana interakcija relaksacije
~elika, sa te~enjem i skupljanjem betona) izrazi kao efekat 'ekvivalentnog skupljanja betona' za iznos dilatacije betona Derel = Dsrel / Ek , ukupna promena napona u kablu usled svih
vremenskih pojava iznosi
Ds k (t ) = Ek
DLt njs b 0 + Ek e sk + Ds rel
=
F
L
1 + n k (1 + cj )
Fb
(3.35)
Treba se podsetiti da je ovo pad napona u kablu zatege, slu~aj aksijalnog stanja napona u
elementu - centri~nog pritiska. Ranije je bilo re~i da se 'promena napona u kablu odredjuje
na osnovu 'po~etnog napona sbk0 u betonu, u nivou rezultuju}eg kabla'. U slu~aju da
postoji i savijanje preseka momentima, tada su kablovi na nekom ekscentricitetu ebk u odnosu na te`i{te betonskog preseka, ~iji je moment inercije Ib . U tom slu~aju, izraz (3.35) se
u savremenijim propisima, kao {to je Evrokod (Deo 2), pojavljuje u modifikovanom obliku,
tako da obuhvati promene dilatacija betona, u nivou rezultuju}eg kabla usled istovremenog
dejstva normalne sile i momenta savijanja:
Ds k (t ) =
njs bk 0 + Ek e sk + Ds rel
F
F
1 + n k (1 + b ebk2 )(1 + cj )
Fb
Ib
(3.36)
Ako se uporede, ve} navedeni izraz (3.18) i izraz (3.36), deluje kao da je izrazu (3.18) promena napona u kablu izvedena uz pretpostavku da se, u zoni rezultuju}eg kabla, te~enje
odvija u uslovima 'lokalnog' centri~nog pritiska, pri naponu u betonu jednakom naponu u
nivou rezultuju}eg kabla (u slu~aju centri~nog pritiska va`i odnos Fk / Fb = sbk0 / sk ).
Navedeni izraz se, bar u ovim krajevima verovatno dosta primenjivao, jer poti~e iz davnog
predloga doma}ih propisa, ali sve je u redu. Parametarska analiza vrednosti koeficijenta w,
izvedena prema tom izrazu (jer je 'zgodan' za analizu), dala je op{te poznate zaklju~ke - w
= 0,80-0,85.
(E) Kona~no, trajno stanje napona i deformacija dobija se superpozicijom po~etnog
(A) stanja i promena (D) koje se razvijaju u toku vremena.
Cilj ovoga primera bio je: da ilustruje specifi~an odgovor betonskih konstrukcija na otpor
razvoju po~etnih deformacija, kao i razvoju slobodnih deformacija usled skupljanja betona; da se uka`e na poreklo gubitaka sile prethodnog naprezanja kao promene
napona spregnutog preseka; da se prika`e jedan od postupaka analize efekata te~enja i
skupljanja u betonskim konstrukcijama (metoda deformacija) kao i da se bli`e odredi
vrednost koeficijenta w, i uka`e na njegovo poreklo i ograni~enja.
c) Procena trajnog ugiba prethodno napregnutih konstrukcija
Trajni ugib prethodno napregnutih konstrukcija ve} je analiziran u poglavlju 3.3.2, izraz
(3.16) odnosno (3.37). Tom prilikom pretpostavljeno je da se te~enje betona odvija pod
srednjim naponom pritiska u betonu
D kt = d kt + 0,5(d k 0 + d kt )j t
3-26
(3.37)
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Treba uo~iti i da je implicite pretpostavljeno da je konstrukcija od 'jednorodnog' betona, da
svi delovi konstrukcije imaju iste osobine te~enja.
Veza napona i dilatacija je u ovom delu usvojena u obliku (3.20), odnosno (3.38)
e b (t ) =
s b (t0 )
Eb (t0 )
1 + j (t )
+
Ds b (t )
s (t ) Ds (t )
+ e sk = b 0 + * b
+ e sk
Eb (t0 )
Eb kor (t ) E bef (t )
1 + c (t )j (t )
(3.38)
Ako se zanemari efekat skupljanja betona na promene krivine preseka, tada na osnovu
(3.38), izraz za trajni ugiba dt mo`e da se prika`e u obliku
d t = d 0 (1 + j ) + Dd t (1 + cj )
= d 0 (1 + j ) + (d t - d 0 )(1 + cj )
(3.39)
U prethodno napregnutim konstrukcijama, izraz (3.39) ukazuje da je kona~na vrednost
trajnog ugiba dt jednaka zbiru trajnog ugiba usled dejstva konstantnog po~etnog ekvivalentnog optere}enja qk0 (prvi ~lan izraza 3.39), i monotono promenljivog ugiba usled pada sile
prethodnog naprezanja, odnosno pada ekvivalentnog optere}enja Dqt = qkt - qk0 . S obzirom
da je Nkt =wNk0 , tada je i dt / d0 =wd0 , odnosno
(3.40)
d = d (1 + j ) + d (w - 1)(1 + cj )
t
0
Za vrednosti parametara: j = 2,7,
0
c =0,8 i w=0,8, trajni ugib usled prethodnog napre-
zanja prema izrazu (3.40) iznosi dt = 3,07 d0 , dok se prema izrazu (3.37) dobija vrednost
D kt = wd k 0 + 0,5d k 0 (1 + w )j t = 3,23d k 0
Razlika iznosi oko 5%, ali je analiza navedena kao ilustracija primene linearizovane teorije
te~enja i tzv. 'algebarskih veza napona i dilatacija betona'.
3.4.3 Razli~ita porekla otpora slobodnim deformacijama betona, i zaklju~ak
U prethodnom primeru, otpor slobodnim deformacijama zatege pru`ao je upravo ~elik za
prethodno naprezanje, kojim je i realizovano po~etno stanje napona i deformacija. Da se
podsetimo, nakon {to je kablovima uneto optere}enje usled prethodnog naprezanja, na
dalje kablovi 'rade' kao deo popre~nog preseka ali kao materijal bez osobine te~enja.
Ta se pojava dogadja u svim betonskim konstrukcijama, ~elik (klasi~na armatura, kablovi)
'ko~i' te~enje i skupljanje betona i tako dolazi do promena napona u betonu i ~eliku. Tradicionalno se u prethodno napregnutim konstrukcijama, ove promene napona nazivaju se
'gubitak sile prethodnog naprezanja'.
Ako je konstrukcija stati~ki odredjena, ~elik u preseku jedini pru`a otpor slobodnim deformacijama nekog {tapa. U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, mogu}i su
razli~iti slu~ajevi:
- ako je konstrukcija nearmirana (i bez kablova) i napravljena od istog, 'jednorodnog' betona, tada svi elementi konstrukcije imaju iste osobine te~enja i skupljanja. U
tom slu~aju, usled dejstva stalnih spoljnih optere}enja-sila (ne i sleganja), u toku vremena
nema promena napona u presecima, a prirast deformacija je jednak proizvodu po~etnih
deformacija, i koeficijenta te~enja j ;
3-27
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- ako se starost betona pojedinih elemenata razlikuje ({to je naj~e{}e slu~aj),
tada se razlikuju i kona~ne vrednosti koeficijenata te~enja - pri istom po~etnom naponu
'stariji betonu manje teku, kru}i su'. Nakon nano{enja stalnog optere}enja i formiranja
po~etnog stanja, stariji betoni mogu da se opiru deformacijama usled burnijeg te~enja
mladjih betona. Ve} je re~eno da 'ko pru`a otpor, mora na sebe da primi deo optere}enja',
dolazi do preraspodele naprezanja sa mladjih na starije betone;
- ako se u toku gradjenja menja stati~ki sistem konstrukcije (primer sa slike 3.21
ili, kontinuiranje dve proste grede u kontinualni nosa~ preko dva polja za dodatna
optere}enja, na primer), tada }e dodatne veze (armatura ili kablovi za kontinuitet iznad
srednjeg oslonca) indukovati pojavu optere}enja dodatnih veza, i bez dodatnih spoljnih
optere}enja. Od trenutaka aktiviranja prvobitnog stati~kog sistema, pa do trenutka izmene
proteklo je izvesno vreme, u okviru koga je obavljen deo deformacija te~enja elemenata.
Preostali deo deformacija te~enja ometan je novim vezama, u kojima se zbog toga
pojavljuju naprezanja, koja uti~u i na kona~no stanje napona i deformacija kontinuiranih
elemenata.
- u slu~aju spolja{nje prethodno napregnutih konstrukcija, sa trasama kablova
izvan gabarita preseka (slike 1.41-1.46), rezultuju}i kabl i pritisnuti beton udaljeni su
metrima, tako da pojam 'napona pritiska u betonu u nivou rezultuju}eg kabla' vi{e nema
smisla. Kabl je donji pojas sistema, usled te~enja i skupljanja u toku vremena sila u kablu
mo`e da opada, ali mo`e i da raste - ili da se ne menja.
Iz svega nevedenog sledi zaklju~ak da su 'gubici sile prethodnog naprezanja' malo slo`enija
pojava, i da u slu~ajevima o~iglednih i zna~ajnih otpora dodatnim deformacijama betona (slo`eni stati~ki neodredjeni sistemi sa zna~ajnim razlikama u osobinama te~enja
pojedinih delova konstrukcije; izmene stati~kog sistema itd.) treba bar kvalitativno proceniti stvarne efekte prethodnog naprezanja (cilj ovih analiza nije stanje napona/sila u
kablu, ve} stanje naponi i deformacije betona, a promena sila u kablu nam treba jer kablove
u analizu uvodimo kao spoljno optere}enje). Treba znati da se stvarno stanje napona i
deformacija jednog betonskog {tapa nalazi negde izmedju dva ekstremna su~aja:
- stanja potpuno slobodnih dodatnih deformacija usled te~enja i skupljanja;
- stanja potpuno spre~enih dodatnih deformacija usled te~enja i skupljanja;
3-28
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5 PRIMERI
3.5.1 Primer 1
Za nosa~ i trasu kablova iz primera 2.3.1, sra~unati i nacrtati dijagram promene po~etne
sile prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled trenja za dva na~ina izvr{enja prethodnog naprezanja:
- prethodno naprezanje samo sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN;
- istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja, silom na presi od po Nk0 = 600kN;
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad
TL
a)
70
a3
q 1-
1
2
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.23 Nosa~ i trasa kablova
Sila pret hodnog naprezanja (izraz 3.1)
N k 0 ( x ) = N k 0e - ( mq +kx )
Pad sile prethodnog naprezanja (izraz 3.2)
DN k 0 ( x ) = N k 0 [1 -e - ( mq + kx )
(A) Prethodno naprezanje sa levog kraja
- Presek 1
x=0m
Nk0 (1) = Nk0 = 600 kN
- Presek 2
x=15,0 m
tga1 = 0,120
(videti 2.3.1)
0
a1 = 6,843 = 6,843p/180 = 0,119 Rad
Sq1-2 = a1 = 0,119 Rad
N k 0 (2) = 600,0e - ( 0, 22 x 0,119+3 x10
20
a4
f=22,5
20
a1
-3
x15, 0 )
= 0,93 x600,0 = 558,0kN
- Presek 3, sa leve strane
x=22,5m
Sq1-3 = a1 = 0,119 Rad
N k 0 (3l ) = 600,0e - ( 0 , 22 x 0 ,119 + 3 x10
-3
x 22 , 5 )
= 0,91x 600,0 = 546,0kN
3-29
]
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Presek 3, sa desne strane
x=22,5m
tga3 = 0,120
(videti 2.3.1)
0
a3 = 6,843 =0,119Rad
Sq1-3 = a1 +a3= 2x0,119 = 0,238Rad
N k 0 (3d ) = 600,0e - ( 0, 22 x 0 , 238 + 3 x10
-3
x 22 , 5 )
= 0,89 x 600,0 = 534,0kN
- Presek 4
x=30,0m
Sq1-4 = 0,238Rad
N k 0 ( 4) = 600,0e - ( 0, 22 x 0 , 238+3 x10
-3
= 0,87 x 600,0 = 522,0kN
x 30 , 0 )
600
558
1
546
534
2
3
Slika 3.24 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja prethodno naprezanje samo sa leve strane
522
4
(B) Prethodno naprezanje sa oba kraja
Komentar: Efekat zatezanja sa leve strane prikazan je na slici 3.24. Treba odrediti
tok sila pri prethodnom naprezanju sa desne strane
- Presek 4
x=0m
Nk0 (4) = Nk0 = 600kN
- Presek 3, sa desne strane
x=7,50m
Sq4-3 = 0
N k 0 (3d ) = 600,0e - ( 3 x10
-3
x 7 , 5)
= 0,98 x 600,0 = 588,0kN
- Presek 3, sa leve strane
x=7,50m
Sq4-3 = a3 = 0,119Rad
N k 0 (3l ) = 600,0e - ( 0 , 22 x 0 ,119 +3 x10
-3
x 7 ,5)
= 0,95 x 600,0 = 570,0kN
- Presek 2
x=15,0m
Sq4-2 = a3 = 0,119Rad
3-30
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
N k 0 ( 2) = 600,0e - ( 0, 22 x 0,119+3 x10
-3
x15 , 0 )
= 0,93 x 600,0 = 558,0kN
-3
x 30 , 0 )
= 0,87 x 600,0 = 522,0kN
- Presek 1
x=30,0m
Sq4-1 = 0,238Rad
N k 0 ( 2) = 600,0e - ( 0, 22 x 0 , 238+3 x10
600
558
558
522
1
570
546
588
534
2
3
Slika 3.25 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja
600
522
4
Komentar: Zbog toga {to su rastojanja i ukupni skretni uglovi jednaki na sredini
raspona, bilo sa kog kraja da se krene, u tom preseku su sile izjedna~ene. Pri
istovremenom utezanju sa oba kraja, kabl u ta~ki 2 miruje, nema kretanja.
Isti rezultat se dobija i ako se prvo ute`e sa levog kraja, pa onda sa desnog.
3-31
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.2 Primer 2
Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.26. Nosa~ se prethodno napre`e
pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne
sile na presi Nk01=600kN. Sra~unati vrednost sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka
usled trenja i elasti~nih deformacija nosa~a.
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad; Te`ina nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka
nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4. Povr{ina jednog
kabla - Fk1=4,2cm2; Odnos modula elasti~nosti kablova i betona - n=6,5; Presek nosa~a se
ne menja du` raspona.
g
TL
q1-2
1
70
20
a4
f=22,5
20
a1
a3
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.26 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kaba
Stvarna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja
Komentar: Ovaj problem je re{en u zadatku 3.5.1, za jedan kabl sa silom na presi od
600kN. Dijagram ostvarenih sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja
ponovljen je na slici 3.27, pri ~emu se sve vrednosti sa sijagrama 3.24 pomno`ene sa
pet, jer je utegnuto pet kablova.
3000
1
2790
2730
2670
2
3
Slika 3.27 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja prethodno naprezanje sa pet kablova samo sa leve strane
Pad napona u betonu u nivou rezultuju}eg kabla (izraz 3.11)
Ds bk
0,5 N k 0
=
Fb
Mg ù
é ebk2
1
+
(
1
)
ê
i2
N k 0 ebk úû
ë
3-32
2610
4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Pad sile prethodnog naprezanja rezultuju}eg kabla (izraz 3.9)
- Presek 2 - sredina raspona
DN k0 = Ds bk nk Fk
Uticaji usled prethodnog naprezanja
Nk0 = 2790kN
ebk = 70cm
(ekscentricitet u odnosu na te`i{te betonskog preseka)
Mk0 = Nk0 ebk = 2790x0,70 = 1953kNm
Uticaji usled sopstvene te`ine nosa~a
g=12kN/m
L=30,0m
Mg=gL2 / 8 = 12,0 x 30,02 / 8 = 1350kNm
Presek betona
Fb = 4800cm2
Ib = 4,5 106cm4
i2 = Ib / Fb = 4,5 106 / 4800 = 937,5cm
Pad napona u betonu u nivou rezultuju}eg kabla
Ds bk
0,5 x 2790 é
70 2
1350 x10 2 ù
=
1+
(1 ) ú = 0,76 kN / cm 2 = 7,6 MPa
ê
4800 ë 937 ,5
2790 x 70 û
Gubitak sile rezultuju}eg kabla
Fk = 5Fk1 = 5x4,2 = 21,0cm2
n=6,5
(povr{ina pet kablova)
(odnos modula elasti~nosti)
DN k 0 = 0,76 x 6,5 x 21,0 = 103,7 kN
1-DNk0 / Nk0 = 1-103,7/2790 = 0,96
Komentar: Gubitak rezultuju}e sile se razlikuje od preseka do preseka.
Usvaja se da je relativni gubitak konstantan du` trase, sve vrednosti sile
nakon gubitaka usled trenja (slika 3.27) treba pomno`iti sa 0,96.
2880
1
2678
2621
2563
2
3
Slika 3.28 Po~etna sila prethodnog naprezanja
nakon gubitaka usled trenja i elasti~nih deformacija
3-33
2506
4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.3 Primer 3
Za trasu kabla prema slici 3.29, odrediti gubitak sile prethodnog naprezanja usled klizanja
klina pri ukotvljenju. Kabl se ute`e samo sa levog kraja silom na presi od Nk0=600kN.
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad; Povratno trenje m'=m ; Napon u kablu na mestu
prese sk0=1420MPa; Klizanje klina Dlk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova Ek=195GPa.
g
TL
70
a3
q1-2
1
20
a4
f=22,5
20
a1
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.29 Trasa kabla
Dlk Ek
m + m' q
s k0 (
+ k)
2 l
qx
é
ù
DN kl = N k 0 ê( m + m ' ) 0 + 2kx0 ú
l
ë
û
x0 =
Du`ina rasprostiranja gubitaka (izraz 3.13)
Gubitak sile na mestu prese (izraz 3.14)
Tok ostvarenih sila u kablu pred zaklinjavanje - nakon gubitaka usled trenja
Komentar: Ovaj problem je re{en u zadatku 3.5.1. Dijagram ostvarenih sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja ponovljen je na slici 3.30. Uo~iti da
efekte klizanja klina treba ra~unati posle gubitaka usled trenja, a pre gubitaka usled
elasti~nih deformacija konstrukcije, koji se ra~unaju za rezultuju}i kabl. Elasti~ne
deformacije u toku utezanja jednog odredjenog kabla kompenziraju se pri njegovom
utezanju - kao da je to jedini kabl u konstrukciji.
600
558
1
546
534
2
3
Slika 3.30 Tok sila u kablu nakon gubitaka usled trenja
3-34
522
4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Prose~ni skretni ugao na du`ini na kojoj se o~ekuje rasprostiranje gubitaka
q/l = q1-2/ (L/2)
q1-2= 0,119Rad
(videti 3.5.1)
-3
q/l = 0,119 / 15,0 = 7,93 10 Rad/m
- Du`ina rasprostiranja gubitaka
m' = m
x0 =
0,004 x195 x103
= 10,7m
1420(0,22 x7,93x10 -3 + 3x10 -3 )
- Gubitak sile na mestu prese
[
]
DN kl = 600 2 x 0,22 x 7,93 x10 -3 x10,7 + 2 x3 x10 -3 x10,7 = 0,10 x 600 = 60 kN
- Sila u kablu na koordinati x0 (videti sliku 3.9)
Nk0(x0) @ Nk0-DNkl/2 = 600-60/2=570kN
(600)
570
540
1
558
2
10,7
546
534
522
4
3
Slika 3.31 Tok sila u kablu nakon gubitaka usled trenja i klizanja-uvla~enja klina
Komentar: Gubici sile usled klizanja klina mogu da se odrede i na osnovu slike 3.32
DNk0
Nk0
a
x0 =
x0
Dlk Fk Ek
a
DN k 0 = 2aDl k
a
a - nagib dijagrama sile nakon
trenja, linearizovan (Rad)
Slika 3.32 Pad sile usled klizanja klina
3-35
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.4 Primer 4
Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.33. Nosa~ se prethodno napre`e
pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne
sile na presi Nk01=600kN. Sra~unati vrednost sile prethodnog naprezanja nakon svih
gubitaka.
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad; Te`ina nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka
nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4; Povr{ina jednog
kabla - Fk1=4,2cm2; Napon u kablu na mestu prese - sk0=1420MPa; Klizanje klina Dlk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova - Ek=195GPa; Odnos modula elasti~nosti kablova i
betona - n=6,5; Kona~na vrednost koeficijenta te~enja betona - jt=2,7; Kona~na vrednost
skupljanja betona - esk=0,00045; Presek nosa~a se ne menja du` raspona.
g
TL
q1-2
1
70
20
a4
f=22,5
20
a1
a3
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.33 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla
Komentar: S obzirom na tehnologiju utezanja kablova, pri utezanju jednog kabla
prvo se javljaju gubici usled trenja a zatim gubici usled zaklinjavanja tog kabla, i tako
n-puta, koliko ima kablova. Efekat gubitaka usled elasti~nih deformacija procenjuje
se na kraju, za rezultuju}i kabl. Time je definisano po~etno stanje, nakon ~ega
nastaju te~enje i skupljanje betona, koji odredjuju trajno stanje sila prethodnog
naprezanja.
(A) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja
Komentar: Ovaj problem je re{en u primeru 3.5.1. , za jedan kabl (slika 3.31). Nakon
utezanja pet kablova, rezultuju}a sila je pet puta ve}a, slika 3.34.
3000
1
2790
2730
2670
2610
4
3
Slika 3.34 Po~etna rezultuji}a sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja
2
3-36
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
(B) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja i klizanja klinova
Komentar: Problem klizanja klina je re{en u primeru 3.5.3., za jedan kabl (slika
3.31). Svaki od pet kablova ima isti gubitak usled klizanja sopstvenog klina, pa je
ukupni gubitak pet puta ve}i, i oduzima se od stanja sila nakon gubitaka usled
trenja, slika 3.35.
(3000)
2850
2700
1
2790
2730
2
10,7
2670
2610
4
3
Slika 3.35 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja
nakon gubitaka usled trenja i klizanja klinova
(C) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka
usled trenja, klizanja klinova i elasti~nih deformacija betona
Komentar: Gubitak sile rezultuju}eg kabla usled elasti~nih deformacija re{en je u
primeru 3.5.2, u preseku u sredini raspona. Usvaja se isti relativni pad u svim
presecima nosa~a, vrednosti sila sa slike treba pomno`iti sa 0,985, slika 3.36.
(3000)
2736
2522
1
10,7
2678
2621
2
2563
3
2506
4
Slika 3.36 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka (t=0)
(D) Promena sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka
usled te~enja i skupljanja betona odnosno relaksacije ~elika
Pad napona u rezultuju}em kablu,
prema Nacrtu pravilnika iz 1985(?),
izraz (3.18)
Pad napona u rezultuju}em kablu,
prema Evrokodu 2, prevod iz 1994,
izraz (3.36)
Ds kt =
nk s bk 0j t + E k e skt + Ds krel
Ds k (t ) =
3-37
1 + nk
s bk 0
[1 + c tj t ]
s k0
njs bk 0 + Ek e sk + Ds rel
F
F
1 + n k (1 + b ebk2 )(1 + cj )
Fb
Ib
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Presek 2 - sredina raspona
Uticaji usled prethodnog naprezanja
Nk0 = 2678kN
ebk = 70cm
(ekscentricitet u odnosu na te`i{te betonskog preseka)
Mk0 = Nk0 ebk = 2678x0,70 = 1875kNm
Uticaji usled sopstvene te`ine nosa~a
g=12kN/m
L=30,0m
Mg=gL2 / 8 = 12,0 x 30,02 / 8 = 1350kNm
Presek betona
Fb = 4800cm2
Ib = 4,5 106cm4
i2 = Ib / Fb = 4,5 106 / 4800 = 937,5cm
Po~etni napon pritiska u betonu u nivou rezultuju}eg kabla
s bk 0
Nk0 M k0 - M g
2748 (1875 - 1350 )10 2
=
+
ebk =
+
70,0 = 0,58kN / cm 2 = 5,8MPa
6
Fb
Ib
4800
4,510
Pad napona usled relaksacije ~elika
Komentar: Prema savremenim standardima, u prvih hiljadu sati nakon zatezanja,
u`ad za prethodno naprezanje ne smeju da imaju pad napona usled relaksacije ve}i
od 2,5% po~etnog napona. Medjutim, kona~ni pad napona mo`e da bude i tri puta
ve}i! Podatke o relaksacije obavezno dostavlja prozvodja~ u`adi. Usvaja se da je
kona~ani pad napona usled relaksacije 3x2,5=7,5% od po~etnog napona u ~eliku
sk0.
Po~etna sila u rezultuju}em kablu u sredini raspona - Nk0=2678kN
Povr{ina rezultuju}eg kabla - Fk=5x2,4=21,0cm2
Po~etni napon u rezultuju}em kablu- sk0 =2678/21=128kN/cm2 = 1280MPa
Pad napona usled relaksacije - Dsrel = 0,075x1280=96MPa
Promena sile prethodnog naprezanja usled te~enja, skupljanja i relaksacije
(D.1) Procena prema dijagramu na slici (3.16)
Za po~etni napon od 5,8MPa, [email protected],80
(D.2) Procena, prema izrazu (3.18). Usvojeno
c =0,8
6,5 x5,8 x 2,7 + 195 x10 3 x 0,00045 + 96
Ds kt =
= 261MPa
5,8
[1 + 0,8 x 2,7]
1 + 6,5
1280
Nkt=Fk(sk0-Dskt)= 21,0x(128,0-26,1)=2140kN
w=Nkt/Nk0=2140/2678=0,80
3-38
(trajna sila preth,naprezanja)
(koef.efikasnosti)
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
(D.2) Procena, prema izrazu (3.36). Usvojeno
c =0,8
6,5 x 2,7 x5,8 + 195 x103 x0,00045 + 96
Ds k (t ) =
= 183MPa
21,0
4800
2
1 + 6,5
(1 +
70,0 )(1 + 0,8 x 2,7)
4800
4,5 x10 6
Nkt=Fk(sk0-Dskt)= 21,0x(128,0-18,3)=2304kN
w=Nkt/Nk0=2304/2678=0,86
Komentar: Izraz (3.36) je bolje koncipiran u odnosu na izraz (3.18). Dok ne naidje
ne{to novo, treba njega koristiti.
(D.3) Trajna sila prethodnog naprezanja - trajno stanje
Komentar: Gubici sile naravno da nisu isti u svim presecima, zavise od po~etnog
napona u betonu. Ako u oblastima krajeva nosa~a nisu potrebne neke detaljnije
analize (zbog glavnih napona zatezanja itd.), obi~no se usvaja procentualno isti pad
kao u sredini nosa~a, w=0,86.
Dijagram promene trajne sile prethodnog naprezanja du` nosa~a, dobijen mno`enjem vrednosti sa dijagrama 3.36 faktorom w=0,86, prikazan je na slici 3.37.
(3000)
2736
2592
2229
2353
1
10,7
Nk0
2678
2303
2
Nkt
2621
2254
2563
2506
2204
2155
3
4
Slika 3.37 Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja
nakon svih gubitaka (t=:); Nkt=0,78Nk0
Komentar: Treba uo~iti da je u odnosu na po~etnu silu na presi, Nk0=3000kN,
ukupni gubitak sile prethodnog naprezanja u sredini nosa~a DNk=3000 -2304 =
696kN (23,2%). Od toga, oko 8% je izgubljeno u fazi prethodnog naprezanja, dok je
preostalih 15% nastalo u toku vremena.
3-39
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.5 Primer 5
Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.38. Nosa~ se prethodno napre`e
pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne
sile na presi Nk01=600kN.
- Sra~unati vrednosti po~etne sile prethodnog naprezanja;
- Sra~unati po~etnu vrednost momenta savijanja u sredini nosa~a usled preth.naprezanja;
- Sra~unati ekvivalentno optere}enje pri po~etnoj sili prethodnog naprezanja;
- Sra~unati vrednost trajne sile prethodnog naprezanja;
- Sra~unati trajnu vrednost momenta savijanja u sredini nosa~a usled preth.naprezanja;
- Sra~unati ekvivalentno optere}enje pri trajnoj sili prethodnog naprezanja;
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad; Te`ina nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka
nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4; Povr{ina jednog
kabla - Fk1=4,2cm2; Napon u kablu na mestu prese - sk0=1420MPa; Klizanje klina Dlk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova - Ek=195GPa; Odnos modula elasti~nosti kablova i
betona - n=6,5; Kona~na vrednost koeficijenta te~enja betona - jt=2,7; Kona~na vrednost
skupljanja betona - esk=0,00045; Presek nosa~a se ne menja du` raspona.
g
TL
70
a3
q1-2
1
20
a4
f=22,5
20
a1
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.38 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla
(A) Po~etno stanje
Komentar: Promena po~etne sile prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka
usled trenja, klizanja klina i elasti~nih deformacija betona sra~unata je u primeru
3.5.4, i prikazana na slici 3.36 odnosno 3.39.
(3000)
2736
2522
1
10,7
2678
2
2621
3
2563
2506
4
Slika 3.39 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka (t=0)
3-40
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Moment u sredini raspona, presek 2
Komentar: Uticaji u presecima, kao i deformacije konstrukcije usled prethodnog
naprezanja mogu da se odrede na osnovu koncepta ekvivalentnog optere}enja,
koje se odredjuje na osnovu geometrije trase rezultuju}eg kabla (ili vi{e rezultuju}ih
trasa kablova, ako kablovi ne idu skupno, ili se kotve u razli~itim presecima),slika
3.38, i dijagrama promene sile prethodnog naprezanja du` nosa~a, slika 3.39. U
slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, vrednosti uticaja usled prethodnog u preseku
mogu da se i dobiju direktno, na bazi koncepta 'sile prethodnog naprezanja u
preseku', poglavlje 2.1.3.
Direktno re{enje
Sila u preseku 2, slika 3.39 (ujedno i normalna sila u preseku)
Nk0=2678kN
Elscentricitet u odnosu na te`i{te preseka (linija TL na slici 3.38)
ebk=70cm
Moment u preseku 2
Mk0=Nk0ebk=2678x0,70=1875kNm
Transverzalna sila u preseku 2
Tk0=0
(rezultuju}i kabl je upravan na presek , sinb=0)
- Ekvivalentno optere}enje usled po~etne sile prethodnog naprezanja
Komentar: Na slici 3.40 prikazane su samo komponente ekvivalentnog optere}enja
koje uti~u na stanje naprezanja i deformacija konstrukcije. Kompletan prikaz dat je
na slici 2.22.
qk0
M10
V30
1
3
2
L/2=1500
M40
L/4=750
4
L/4=750
Slika 3.40 Ekvivalentno optere}enje usled po~etne sile prethodnog naprezanja
Paraboli~ni deo 1-2 - ekvivalentno podeljeno optere}enje
tga1 = 2(70+20)/1500 = 0,120
f = (70+20)/4 = 22,5cm
Za srednju vrednost sile p.n. na delu 1-2 usvojena vrednost u sredini raspona
(dominantan uticaj optere}enja u srednjem delu na momente i ugibe)
Nk0sr=2678kN
qk0 = 8Nk0srf/L2 = 8 x 2678 x 0,225/152 = 21,4kN/m
Presek 1- ekvivalentni moment
N10 @ Nk = 2522kN
M10 = N10 e = 2522 x 0,20 = 504kNm
3-41
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Presek 3 - ekvivalentna koncentrisana sila (izraz 3.4)
tga3 = 90/750 = 0,120
sina3/2 = 0,05968
V30 @ (Nk3L+Nk3D) sina3/2 = (2621+2563) 0,05968 = 309kN
Presek 4 - ekvivalentni moment
a4 = a3
N40 @ Nk = 2506kN
M40 = N40 e = 2506 x 0,20 = 501kN
Moment savijanja u preseku 2 usled ekvivalentnog opt.
Mk0=1903kNm
Komentar: Ta~na vrednost, sra~unata direktnim postupkom iznosi 1924kNm.
Odstupanje je 1%. Sa ekvivalentnim optere}enjem prema slici 3.40 mogu da
se sra~unaju uticaji u presecima, kao i ugibi konstrukcije pri po~etnoj sili
prethodnog naprezanja.
(B) Trajno stanje
Komentar: Promena po~etne sile prethodnog naprezanja nakon svih gubitaka, usled
trenja, klizanja klina, elasti~nih deformacija betona, te~enja i skupljanja betona i
relaksacije ~elika sra~unata je u primeru 3.5.4, i prikazana na slici 3.37 odnosno 3.41.
(3000)
2736
2592
2229
2353
1
10,7
Nk0
2678
2303
2
Nkt
2621
2254
2563
2506
2204
2155
3
4
Slika 3.41 Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja
nakon svih gubitaka (t=:); Nkt=0,86Nk0
Komentar: S obzirom da je trajna sila prethodnog naprezanja usvojena kao
Nkt =0,86Nk0 , trajno stanje se dobija kada se svi rezultati po~etnog stanja, deo (A),
pomno`e sa w=0,86.
Komentar: U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, momenti savijanja preseka
ne mogu da se dobiju direktnim re{enjem 'sile prethodnog naprezanja u preseku'.
Koncept ekvivalentnog optere}enja je racionalno re{enje.
3-42
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.6 Primer 6
Za nosa~ i trasu kablova prema slici 3.42, sra~unati izdu`enje kabla u toku prethodnog
naprezanja, za slede}e procedure utezanja:
- prethodno naprezanje samo sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN;
- prethodno naprezanje sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN, i nakon toga
dotezanje kabla sa desne strane do sile na presi Nk0 = 600kN;
- istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja, silom na presi od po Nk0 = 600kN;
Podaci: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad; Povr{ina - Fk=4,2cm2; Moduo elasti~nosti kablova
- Ek=195GPa;
TL
a)
70
a3
q 1-
1
20
a4
f=22,5
20
a1
2
2
4
3
L/4=750
L/2=1500
L/4=750
L/4=750
L=3000
Slika 3.42 Nosa~ i trasa kablova
Izdu`enje kabla (izraz 3.6)
Dk =
N k 0 sr
L
Fk E k
(A) Utezanje sa levog kraja
Komentar: Za prora~un izdu`enja kabla, potrebno je sra~unati vrednosti sile prethodnog naprezanja du` nosa~a, nakon gubitaka usled trenja. Taj problem re{en je u
primeru 3.5.1, rezultati su ponovljeni na slici 3.43.
600
558
558
522
1
570
546
588
534
2
3
Slika 3.43 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja
Srednja vrednost sile du` nosa~a, usvojena vrednost u sredini nosa~a
Nk0sr=558kN
Du`ina kabla
s @ L = 30,0m
3-43
600
522
4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Izdu`enje kabla
Dk =
558
3000 = 20,4cm
4,2 x19500
(B) Utezanje sa levog kraja, i potom dotezanje sa desnog kraja
Utezanje sa levog kraja - isto kao pod (A)
Dk =
558
3000 = 20,4cm
4,2 x19500
Dotezanje sa desnog kraja
Komentar: Kabl se izdu`uje samo za porast sile na presi, od 'zate~ene' sile u
kablu ostvarene pri utezanju sa levog kraja Nk=522kN, do kona~ne sile na
presi na desnom kraju Nk=600kN. Ta~ka nosa~a u kojoj su izjedna~ene sile,
postignute utezanjem sa levog, odnosno desnog kraja (sredina nosa~a u ovom
slu~aju) miruje, tako da se pri dotezanju sa desne strane, kabl izdu`uje samo
na delu od ove ta~ke do prese, na du`ini L/2.
Srednja vrednost sile du` nosa~a, usvojeno
Nk0sr=(588+570)/2 - (534+546)/2=39kN
Du`ina kabla
s @ L/2 = 15,0m
Izdu`enje kabla
Dk =
39
1500 = 0,7 cm
4,2 x19500
Komentar: Dotezanje kablova za male priraste sile, male pritiske u pumpama
(mala ~itanja na manometrima) i mala izdu`enja je nepouzdano, i treba ga
izbegavati.
(B) Istovremeno utezanje sa oba kraja
Komentar: Ta~ka u sredini raspona ponovo 'miruje', kabl se izdu`uje simetri~no na
du`ini od L/2, ali pri istezanju silom na presi Nk=600kN.
Srednja vrednost sile na levom delu nosa~a (ista je i na desnom delu), usvojeno
Nk0sr=(600+558)/2 =579kN
Du`ina kabla
s @ L/2 = 15,0m
Izdu`enje kabla na levoj, odnosno desnoj presi
Dk =
579
1500 = 10,6cm
4,2 x19500
3-44
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
3.5.7 Primer 7
Kontinualni nosa~ preko dva polja, sa trasom kablova prema slici 3.44, istovremeno se
prethodno napre`e sa oba kraja. Odrediti potrebnu vrednost po~etnog ekvivalentnog
optere}enja qk0 usled prethodnog naprezanja, tako da ugibi konstrukcije nakon te~enja i
skupljanja betona budu jednaki nuli. Konstrukcija se prethodno napre`e pri starosti betona
od 28 dana (jgt=2,6; Eb(t0)=35000MPa). Dodatno stalno optere}enje Dg se nanosi pri
starosti betona od 90 dana (jDgt=2,0; Eb(t0)@35000MPa).
Podaci: L=20,0m; g=50kN/m; Dg=25kN/m; w=0,80; Moment inercije preseka Ib=
0,025m4;
Dg
TL
e
g
f
d
Nk
Nk
a)
L/2
qk
b)
L
L
g
Dg
L
L
Slika 3.44 Balansiranje trajnih ugiba konstrukcije
- Maksimalni trenutni ugib u polju usled dejstva sopstvene te`ine g
d g0
gL4
50 x 20 4
=
=
= 0,05m
184,6 Eb I b 184,6 x3,5 x10 7 x0,025
- Maksimalni trenutni ugib u polju usled dejstva dodatnog stalnog optere}enja Dg
d Dg ==
25 x 20 4
= 0,025m
184,6 x3,5 x10 7 x0,025
- Ukupni trajni ugib usled stalnog optere}enja nakon te~enja betona (izraz 3.17)
D gt = d g 0 (1 + j gt ) + d Dg 0 (1 + j Dgt ) = 0,050(1 + 2,6) + 0,025(1 + 2,0) = 0,255m
- Ukupni trajni ugib usled prethodnog naprezanja (izraz 3.16)
Komentar: S obzirom da je Nkt / Nk0 = w , tada je i dkt / dk0 = w
D kt = d kt + 0,5(d k 0 + d kt )j t = wd k 0 + 0,5(d k 0 + wd k 0 )j gt = 0,255 m
- Po~etni ugib koji je potrebno ostvariti kablovima
dk0 =
0,255
0,255
=
= 0,081m
w + 0,5j gt + 0,5wj gt 0,80 + 0,5 x 2,6 + 0,5 x 0,80 x 2,6
3-45
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Potrebno po~etno skretno (ekvivalentno) optere}enje kablova
qk 0 =
184,6d k 0 Eb I b 184,6 x0,081x3,5 x10 7 x0,025
=
= 81,7kN / m
L4
20 4
Komentar: Na dalje mo`e da se odredi potrebna prose~na sila prethodnog
naprezanja u polju nosa~a, ako je poznata strela parabole f .
Na primer, f=1,5m:
N k 0 sr
qk 0 L2 81,7 x 20 2
=
=
= 2723kN
8f
8 x1,5
Ako se pretpostavi da su po~etni gubici sile (od trenja, klina, elasti~nih deformacija)
na du`ini od prese do sredine polja (L/4) recimo 5%, tada je potrebna rezultuju}a
sila na presi jednaka
potNko = Nkosr /0,95 = 2723/0,95=2866kN
Ako je dozvoljena sila na presi jednog kabla Nk01=600kN, potreban broj kablova
iznosi
n= potNko /Nk01 = 2866/600 = 4,78
Usvaja se pet kablova
Za razliku od klasi~no armiranih konstrukcija, gde se usvaja povr{ina armature
(vi{ak armature je obi~no na strani sigurnosti), u slu~aju prethodno napregnutih
konstrukcija, usvaja se sila u kablovima! Da se ne bi prekora~ila dozvoljena sila na
presi, mora da se usvoji pet presa, ali }e svaki kabl biti utegnut do po~etne sile od
2866/5 = 573,2 kN < 600kN, da bi se ostvarila potrebna rezultuju}a po~etna sila od
2866kN. Vi{ak kablova, pod maksimalnim naponom u ~eliku, nije na strani
sigurnosti!
3-46
4.
DOKAZ POUZDANOSTI
PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA
U prva tri dela ovoga teksta, prethodno naprezanje je razmatrano, pre svega, kao jedan
specifi~an tehnolo{ki postupak upotrebe ~elika visokih ~vrsto}a. Za metodologiju analize efekata prethodnog naprezanja na konstrukcije, usvojen je koncept prethodnog naprezanja kao optere}enja konstrukcije, bilo kao generalni koncept 'ekvivalentnog optere}enja' na nivou sistema konstrukcije, bilo kao koncept 'sile u preseku', u`e primenljiv u slu~aju stati~ki odredjenih konstrukcija. Pri tome, izlaganje nije striktno vezano ni za jedne
odredjene propise, niti za nekog odredjenog proizvodja~a opreme za prethodno naprezanje. Prvenstvo je dato razumevanju su{tine, da se ~italac obrazuje tako da mo`e lak{e da
usvoji i primeni bilo koje propise. Sile i deformacije usled prethodnog naprezanja, odredjene bilo za po~etno stanje, bilo za trajno stanje nakon svih gubitaka sile prethodnog naprezanja, sada treba integrisati u jedan {iri koncept obezbedjenja i dokaza pouzdanosti
konstrukcije, sa prethodnim naprezanjem kao jednim specifi~nim slu~ajem optere}enja.
Medjutim, koncept pouzdanosti je ve} stvar filozofije i detalja propisa pojedinih zemalja.
4.1 ISTORIJA
Tradicionalno, osnovna ideja prethodnog naprezanja bila je da se neutrali{u naponi zatezanja u betonu usled rezultuju}ih 'stvarnih' - eksploatacionih optere}enja, i time spre~i
pojava prslina u toku upotrebe objekta. Za analizu konstrukcija bez prslina, u domenu
ni`ih napona pritisaka koji se realno pojavljuju u eksploataciji, model 'homogenog elasti~nog materijala' dovoljno pouzdano opisuje pona{anje konstrukcija. Kao matemati~ki
aparat, klasi~na teorija elasti~nosti i otpornosti materijala su prirodan izbor, kao za ~eli~ne
konstrukcije. Budu}i da je pojava prslina normalno stanje klasi~nih armiranobetonskih konstrukcija, i ne samo zbog toga, tradicionalno su prethodno napregnute konstrukcije tretirane odvojeno od armiranobetonskih konstrukcija - bile su obuhva}ene posebnim
propisima, kao da je u pitanju 'neki drugi materijal'. Tako je jo{ uvek u doma}oj praksi,
koja se formalno-pravno bazira na 'Pravilniku o tehni~kim merama i uslovima za prednapregnuti beton' - Slu`beni list SFRJ, br 51/71 (PNB71). Negde oko 1985. godine, pripremljen je
i prvi put prikazan jedan savremeniji 'Nacrt Pravilnika o tehni~kim normativima za prethodno napregnute armiranobetonske elemente i konstrukcije'. Ovaj Nacrt nije postao i oficijelni
dokument, ali verovatno da je u praksi bio ponekad' primenjivan, i tolerisan.
Prema savremenim shvatanjima, bar kada su u pitanju objekti tipa zgrada, prethodno napregnuti beton je samo jedna varijanta armiranobetonskih konstrukcija, i obuhva}en
je jedinstvenim propisima. To je metodolo{ki mogu}e, jer je danas trend da se dozvoli
pojava prslina i u konstrukcijama u koje je ugradjen i prethodno zategnut ~elik visokih
~vrsto}a - koncept armiranog betona, sa razli~itim vrstama ugradjenog ~elika, sa ili
bez 'prednapona zatezanja' - klasi~nog prethodnog naprezanja. Paralelno, 'koncept grani~nih stanja' je potisnuo klasi~ni 'koncept-teoriju dozvoljenih napona', koja je odgovarala tradicionalnom konceptu prethodnog naprezanja, tako da je prethodno naprezanje
moralo metodolo{ki da se prikloni savremenim shvatanjima pouzdanosti konstrukcija. U pitanju je mala 'revolucija', i to ne ide tako lako. Predlog propisa koji bi trebalo da se
usvoji u Evropskoj Uniji - 'Evrokod', primer je takvog trenda, koji ima problema, ako ni{ta
drugo, onda organizacionih. U ime ~istote koncepta, izgubilo se na prakti~nosti. Trenutno,
4- 1
to izgleda kao da se 'kukuruzno i p{eni~no bra{no ~uvaju u istoj posudi, jer hleb je hleb'.
Ako je potrebno projektovati prethodno napregnutu konstrukciju, treba pro~itati celu
knjigu propisa, vi{e knjiga, i povaditi pasuse koji se odnose na taj slu~aj. Po`eljno je i
'zavrnuti u{i stranama', za slede}i put. Medjutim, to je stvar organizacije teksta. Neko }e
ve} sesti i napraviti sa`eti priru~nik za primenu prethodnog naprezanja.
Sticajem okolnosti, doma}i propisi u oblasti betonskih konstrukcija nisu osavremenjivani
bar poslednjih petnaest godina. Poslednja inovacija je va`e}i propis za armiranobetonske
konstrukcije , 'BAB' iz 1987. godine. S obzirom da }e Evropska Unija u skoroj budu}nosti
pre}i na nove, i zajedni~ke propise za sve zemlje ~lanice - 'Evrokod', u medjuvremenu se
odustalo od izrade doma}ih propisa, i polako se vr{e pripreme za prihvatanje budu}ih
Evropskih propisa, uz dozvoljena prilagodjavanja doma}im specifi~nostima. U situaciji
kada su va`e}i doma}i propisi za prethodno napregnute konstrukcije van savremenih
trendova (navedeni Nacrt Pravilnika, nikada usvojen, danas bi nam olak{ao 'tranziciju', kao
{to je to zasluga 'BAB-a' u oblasti armiranobetonskih konstrukcija), a Evrokod je jo{ u
pripremi i testiranju u praksi, problem je kako izlo`iti metodologiju obezbedjenja i dokaza
pouzdanosti prethodno napregnutih kosntrukcija, a da to ne bude gubljenje vremena.
Na po~etku izrade nekog projekta prethodno napregnute konstrukcije tipa zgrade (mostovi
i druge specijalne konstrukcije su obi~no predmet posebnih razmatranja), potrebno je definisati bar dve bitne stvari: postupak prethodnog naprezanja i nivo prethodnog naprezanja - kriterijum kontrole prslina. Od svih postupaka prethodnog naprezanja (slika
1.10), za prikaz metodologije dokaza pouzdanosti, izabran je naj~e{}e kori{}eni postupak
unutra{njeg prethodnog naprezanja sa spojem ~elika i betona. Od tzv. 'nivoa prethodnog naprezanja' - potpuno, ograni~eno, parcijalno (poglavlje 1.1), razmatra se slu~aj
prethodno napregnutih konstrukcija kod kojih nije dozvoljena pojava prslina. Metodologija dokaza pouzdanosti izlo`ena je 'intuitivno', bez izri~itog vezivanja za odredjeni
koncept ('dozvoljeni naponi' - 'grani~na stanja') ili za odredjene propise. Ipak, izlaganje
obuhvata ve}inu onoga {to se zahteva va`e}im doma}im propisima, dopunjeno komentarima koji treba da uka`u na savremana shvatanja sadr`ana u Evrokodu.
4.2 POUZDANOST KONSTRUKCIJA
Od svih u~esnika u nastanku jednoga objekta, 'Investitor o~ekuje' da ' konstrukcija mora da
bude prora~unata i izgradjena tako da :
- sa prihvatljivom verovatno}om ostane podobna za upotrebu za koju je namenjena,
uzimaju}i u obzir njen predvidjeni vek i njeno ko{tanje, i
- sa odgovaraju}im stepenom pouzdanosti izdr`i sva dejstva i uticaje koji verovatno
mogu da nastanu u toku izvodjenja i eksploatacije, i ima adekvatnu trajnost u odnosu na
tro{kove odr`avanja.
Konstrukcija mora takodje da bude prora~unata tako da u slu~aju eksplozije, udara ili posledica ljudskih gre{aka ne bude o{te}ena do stepena koji bi bio u disproporciji sa oznovnim
uzrokom o{te}enja. Navedeni zahtevi moraju da budu ispunjeni izborom pogodnih materijala,
odgovaraju}im prora~unom, oblikovanjem i konstruisanjem detalja, kao i preciziranjem
postupka kontrole proizvodnje, prora~una, izgradnje i upotrebe, relevantnim za odgovaraju}i
objekat.'
4- 2
Malo je verovatno da }e neki investitor tako da se obrati preduzima~u, pre }e da interveni{e ako su plo~ice u kupatilu nakrivljene. Navedeni citat je iz Evrokoda, i predstavlja cilj
koji su postavili, s jedne strane dru{tvena zajednica, a s druge strane gradjevinski esnaf.
4.2.1 Prora~unske situacije - 'merodavna stanja'
U toku izvodjenja i eksploatacije, elementi i konstrukcija u celini prolaze kroz razli~ita stanja naprezanja i deformacija. Projektom je potrebno predvideti sva relevantna stanja, i obezbediti potrebnu pouzdanost konstrukcije u svim 'prora~unskim situacijama' u kojima
ona mo`e da se nadje. Prema Evrokodu, prora~unske situacije se dele na: stalne, prolazne i
incidentne. Na konstrukciju mogu da deluju: stalna, promenljiva i incidentna dejstva. Sli~nu podelu sadr`i i doma}i BAB.
Za prethodno napregnute konstrukcije karakteristi~na su dva stanja, koja proizilaze iz same
tehnologije gradjenja kao i osnovnih osobina betona i ~elika, slika 4.1.
d
de d0
p
de
du
e
C
du
q
q0
qe
A
d0
u
qk
a.)
B
qu
q
Spoljno optere}enje
b.)
Slika 4.1 Karakteristi~na stanja prethodno napregnute konstrukcija
U toku prethodnog naprezanja, uno{enja deformacija i sila u konstrukciju, karakteristi~no
je tzv. 'po~etno stanje konstrukcije', definisano maksimalnim silama max Nk koje }e se
uop{te javiti u kablovima, odnosno maksimalnim ekvivalentnim opotere}enjem max qk , slika
4.1.a. S obzirom da je u toj fazi prisutno minimalno spoljno optere}enje min q , obi~no je to
samo sopstvena te`ina q0 , konstrukcija se obi~no izdi`e, dobija nadvi{enje d0 - linija p , odnosno ta~ka A na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Ovo stanje mo`e vremenski da potraje, ali je u
su{tini prolazna situacija, tako da su obi~no i kriterijumi pouzdanosti donekle relaksirani
- dozvoljavaju se pove}ana naprezanja u betonu i ~eliku 'u fazi prethodnog naprezanja',
eventualno se mo`e dozvoliti i pojava prolaznih prslina, koje }e se kasnije zatvoriti. Mada
prolazna, ova situacija mo`e da bude merodavna za odredjivanje dimenzija konstrukcije ili
koli~ine kablova.
U toku vremena, na konstrukciju su naneta dodatna stalna optere}enja, a sila u kablovima
opada (u slu~aju spolja{njeg prethodnog naprezanja mo`e i da raste) do svoje trajne
vrednosti Nkt ,. Kada se pojave i korisna, promenljiva optere}enja u punom iznosu, mo`e
da se govori o tzv. 'trajnom stanje konstrukcije', definisanom minimalnim silama min Nk u
kablovima - minimalnim ekvivalentnim optere}enjem min qk . S obzirom da je u toj fazi prisutno maksimalno spoljno optere}enje u eksploataciji qe , konstrukcija 'tone' do ugiba de , linija e , odnosno ta~ka B na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Ovo stanje sila i deformacija, 'u fazi
4- 3
eksploatacije', je kombinacija stalnih i prolaznih dejstava, za koje je potrebno dokazati
pouzdanost konstrukciji - dokazom obezbedjene nosivosti, dokazom da nema pojave prslina ili da su prsline u dopou{tenim granicama, kao i dokazom da su deformacije konstrukcije u prihvatljivim granicama, da funkcionalnost objekta nije ugro`ena. U ovoj fazi bez
prslina (u ovom slu~aju), i sa relativno niskim naponima u eksploataciji, prethodno napregnuta konstrukcija na spoljna optere}enja jo{ uvek odgovara kao elasti~na konstrukcija.
Anvelopa stanja na slici 4.1 je ono {to konstrukciju o~ekuje u vremenu od gradjenja, do
punog optere}enja u eksploataciji. Ako, kojim slu~ajem, spolja{nje optere}enje q krene da i
dalje raste, konstrukcija mo`e da se dovede u grani~no stanje nosivosti pri grani~nom
optere}enju qu , linija u , odnosno ta~ka C na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Pri izradi projekta,
ova situacija se razmatra samo hipoteti~ki, da bi se odredila 'sigurnost od grani~nog stanja loma' - da bi se potvrdilo da pri realnim optere}enjima u eksploataciji, ta~ka B na slici
4.1.b, konstrukcija ima dovoljnu rezervu nosivosti i deformabilnosti u odnosu na stanje
loma, ta~ka C na slici 4.1.b.
Osim nosivosti, stanja prslina i deformacija, konstrukcija mo`e da postane neupotrebljiva i
pri dostizanju drugih grani~nih stanja: gubitka stabilnosti, neprihvatljivih vibracija, iscrpljenja usled zamora, prevelikim o{te}enjima usled po`ara, incidentima usled eksplozija ili
diverzija itd. Da bi se obezbedio tra`eni kvalitet i pouzdanost, sva ova stanja, kao i druga,
moraju da budu razmotrena i odgovaraju}im merama kontrolisana.
4.2.2 Dva koncepta dokaza nosivosti
Izmedju tri osnovna grani~na stanja konstrukcije koja treba dokazati - nosivosti, stanja
prslina i deformacija, stanja prslina i deformacija razmatraju se pri realnim uslovima u eksploataciji - pri eksploatacionom nivou optere}enja. U oba slu~aja potrebno je na neki
na~in uvesti u analizu stanje napona i dilatacija kvazi-elasti~nih preseka bez ili sa prslinama (u ovom slu~aju-bez prslina).
a.) Teorija dopu{tenih napona
Klasi~ni koncept dokaza nosivosti, tzv. 'teorija dopu{tenih napona', takodje se zasnivao
na analizi stanju napona u eksploataciji, pri realnim optere}enjima (bez koeficijenata sigurnosti, optere}enje snegom je onoliko koliko se stvarno o~ekuje, 1,0kN/m2 , na primer).
Prema tome, jedinstvenom analizom stanja napona i deformacija elasti~ne konstrukcije,
dobijao se odgovor na sva tri osnovna pitanja grani~nih stanja. [to se ti~e napona, trebalo je
dokazati da su naponi u betonu i ~eliku usled optere}enja u eksploataciji, manji od propisanih - 'dopu{tenih napona u eksploataciji'. U pomenutom Nacrtu Pravilnika, to se nazivalo 'dokazom grani~nog stanja napona', u smislu nivoa napona koji ne sme da se prekora~i.
Kako god da je formulisana teorija, rezultat primene treba da je dovoljna sigurnost materijala, preseka ili konstrukcije od iscrpljenja nosivosti, na neki na~in mora da se pojavi 'koeficijent sigurnosti'. Teorija dopu{tenih napona je taj problem re{avala ograni~avanjem
maksimalnog dopu{tenog nivoa napona u eksploataciji u pojedina~nim materijalima spregnutog preseka: betonu ( sbdop - dopu{teni napon pritiska, ta~ka B na slici 4.2.a;
sbzdop - dopu{teni napon ztezanja), klasi~nom ~eliku - armaturi (sadop - ta~ka C na slici 4.2.b)
i ~eliku za prethodno naprezanje (sk0 - dopu{teni napon na presi, slika 4.2.b). Tragovi tok
4- 4
s
skz
Ku
K
s
sk0
Bu
fC
sbdop
B
sbzdop
bz
1
Deb
Cu
sv=400
sadop
e
a.)
Dske
sky
2
4
Dilatacija x 10 3
C
ek0
Varijacije dilatacija
u eksploataciji
2
b.)
RA400/500
Dee
e
10
5
Dilatacija x 10 3
Varijacije dilatacija
u eksploataciji
Slika 4.2 Dijagrami napon-dilatacija betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje
koncepta nalaze se i u BAB87, poglavlje 3 - 'Prora~un preseka prema dopu{tenim naponima'. Pravilnik PB71 definisao je posebne vrednosti za prethodno napregnute konstrukcije,
slika 4.3. Na primer, za beton MB30, maksimalni dozvoljeni ivi~ni napon pritiska u eksploataciji ograni~en je na 12MPa, a u prolaznoj fazi prethodnog naprezanja, na 15MPa. U odnosu na ~vrsto}u cilindra fC , ta~ka Bu na slici 4.2.a, rezerva je oko dva puta - 'koeficijent sigurnosti' je oko dva. Na slici 4.2, koja prikazuje vezu napona i dilatacija tri osnovna materijala, zatamnjene su oblasti u kojima se nalaze naponi i dilatacije pojedinih materijala u fazi
eksploatacije, pri eksploatacionim optere}enjima. U odnosu na kapacitet nosivosti pri dostizanju 'loma materijala', ta~ke Bu , Cu i Ku na slici 4.2, iskori{}enje je oko 50%. Treba
uo~iti da je u oblasti dopu{tenih napona, veza napona i dilatacija betona prakti~no linearna, {to je pretpostavka za analizu konstrukcija prema teoriji linearne elasti~nosti. Na
slici 4.2.b, Dske kvalitativno prikazuje varijaciju napona u eksploataciji ~elika za prethodno
naprezanje, usled varijacije spoljnih optere}enja.
Teorija dopu{tenih napona je naravno prethodila toeoriji grani~nih stanja, i decenijama
je primenjivana u svetu. Pojam napona u raznim oblicima i danas se primenjuje, ali je 'teorija dopu{tenih napona' u medjuvremenu potpuno napu{tena. Jedan od nedostataka bio je
taj, {to iz ~injenice da je poznata veli~ina napona u materijalu - betonu, armaturi i kablovima pri dejstvu eksploatacionog momenta savijanja Me , ne mo`e direktno da se zaklju~i
pri kojoj veli~ini momenta savijanja Mu }e da nastupi lom preseka, koliki je koeficijent
sigurnosti od loma preseka g = Mu / Me ? Ne{to bi moglo da se zaklju~i ako se zna da je
napon u eksploataciji u rebrastom ~eliku 200MPa, na primer, kao i da }e lom preseka
nastupiti razvla~enjem ~elika, tada je koeficijent sigurnosti oko dva. Problem je {to iz stanja
napona u eksploataciji, ne mo`e sa sigurno{}u da prognozira karakter loma preseka.
Pored toga, u nekim situacijama pona{anje konstrukcija mora da se analizira razmatraju}i
kapacitet deformacija materijala, podru~je dilatacija iza ta~aka Bu , Cu i Ku na slici 4.2.b.
Primer za to je analiza efekata zemljotresa, u kom slu~aju materijal preseka konstrukcija
4- 5
Slika 4.3 Dopu{teni naponi u prethodno napregnutom betonu prema PNB71
pri dejstvu zemljotresa stvarno zalazi u 'postelasti~nu oblast', koju teorija dopu{tenih napona ne poznaje, niti joj je potrebna, mo`e da bude bilo {ta.
b.) Teorija grani~nog stanja loma
Teorija grani~nih stanja, koja se danas koristi u armiranobetonskim konstrukcijama, pona{anje osnovnih materijala prati do dostizanja kapaciteta deformacija, a zaklju~ke o
pouzdanosti izvodi na osnovu pona{anja preseka, a ne osnovnih materijala. Zakoni pona{anja materijala, slika 4.2, integri{u se na nivou preseka elementa, tako da se veze tipa siladeformacija (moment-krivina, na primer) pojavljuju kao osnovne veli~ine koje opisuju pona{anje preseka, ~ija je jedna od karakteristika - grani~na nosivost preseka (tzv. 'moment loma' preseka). Dopu{tena vrednost uticaja u preseku (a ne napona) u eksploataciji, odredjuje se propisivanjem zahtevane vrednosti koeficijenta sigurnosti od loma, a
tu su mogu}a bar dva pristupa. Jedna mogu}nost je, kako je to usvojeno u BAB87, da se za
pona{anja materijala usvoje 'realni' dijagrami prema slici 4.2, a da se koeficijent sigurnosti
uvede samo na nivou spoljnih optere}enja - metoda globalnog koeficijenta sigurnosti.
Druga varijanta je, kako je to usvojeno u Evrokodu, da se uvedu posebni koeficijenti
sigurnosti za osnovne materijale, a posebni za spoljna optere}enja - metoda parcijalnih
koeficijenata sigurnosti.
4- 6
Na osnovu poznate, sra~unate vrednosti grani~ne nosivosti preseka, ni{ta ne mo`e da se
zaklju~i o stanju napona u preseku pri realnim optere}enjima u eksploataciji, naravno.
Rezultat dokaza nosivosti prema teoriji grani~nih stanja, mo`e da bude visok napon pritiska u betonu u eksploataciji (treba naglasiti da ove vrednosti napona nema smisla dodatno
porediti sa dopu{tenim naponima prema slici 4.2, ali dobro je znati o kojim se veli~inama
radi). Sigurnost od loma preseka je obezbedjena, ali visoki naponi u betonu provocira}e i
pove}ana te~enja betona u toj zoni, pa i pojavu podu`nih prslina u betonu, upravno na
trajektorije pritisaka. Nakon {to je pro{ao period odu{evljenja novom teorijom, dana{nji
propisi za prethodno napregnute konstrukcije obi~no ograni~avaju maksimalnu vrednost
napona pritiska u betonu pri eksploatacionim optere}enjima! Sve u svemu, ipak treba znati
sra~unati napone u preseku.
4.3 DOKAZ (GRANI^NOG) STANJA NAPONA
Usled dejstva spoljnih optere}enja u eksploataciji, u popre~nom preseku elementa mo`e
da se ostvari slo`eno naponsko-deformacijsko stanje, koje se, nakon integracije, na nivou
preseka {tapastog elementa manifestuje silama u presecima - normalnoj sili, momentu
savijanja, smi~u}oj sili i momentu torzije. Na slici 4.4 prikazana su dva karakteristi~na stanja napona usled savijanja prethodno napregnutih nosa~a: u po~etnom stanju, odmah nakon prethodnog naprezanja (indeks '0' ), i u trajnom (krajnjem) stanju, u fazi eksploatacije, nakon svih gubitaka sile prethodnog naprezanja, i pri punom eksploatacionom optere}enju (indeks 't ' ).
s20
s2t
s1t
s10
q
qk
s2t
s20
s10 s1t
TL
s20
s1t
s2t
s10
2
1
Slika 4.4 Katakteristi~na stanja napona preseka prethodno napregnutih nosa~a
Ekvivalentno optere}enje qk od prethodnog naprezanja suprotstavlja se dejstvu spoljnih
optere}enja q . S obzirom da je sila prethodnoh naprezanja Nk odredjena uzimaju}i u obzir
dejstvo ne samo sopstvene te`ine, ve} ukupnih spoljnih optere}enja, u fazi prethodnog naprezanja obi~no se formira naponsko - deformacisjko stanje suprotnog znaka od onoga koji
izazivaju sama spoljna optere}enja, s10 , s20 na slici 4.4. Tamo gde spoljno optere}enje
'zate`e', prethodno naprezanje unosi pritisak, i obrnuto, tako da je rezultuju}e stanje
napona u `eljenim granicama, s1t , s2t na slici 4.4.
Pod dokazom 'grani~nih stanja napona' podrazumeva se kontrola svih naponskih stanja
kroz koje konstrukcija prolazi od gradjenja do pune eksploatacije, pri ~emu su prethodna
dva stanja obi~no merodavna za ocenu pouzdanosti sa stanovi{ta nosivosti. Kontrola napona vr{i se za eksploatacione vrednosti uticaja u presecima. Za prethodno napregnute
konstrukcije karakteristi~no je da se sila prethodnog naprezanja menja u toku vremena,
kao i da se ~esto menja i presek elementa, {to sve treba obuhvatiti dokazom napona.
4- 7
4.3.1 Pravo savijanje preseka bez prslina
Na slici 4.5 prikazan je betonski popre~ni presek sa potrebnim oznakama i konvencijama o
znaku pojedinih veli~ina. Obi~no se analize rade sa karakteristikama samo betonskog preseka, zanemaruju}i doprinos ~elika u tzv. idealizovanom preseku.
k1
d2
kb2
+N
sbT0
M0
sbTt
N0
d
+e
+M
sb2t
Mt
Nt
d1
ebk
Tb
sb20
kb1
k2
2
Rk
a.)
1
b.)
sb10
sb1t
c.)
Slika 4.5 Popre~ni presek elementa i naponi
u fazi prethodnog naprezanja (b), odnosno u eksploataciji (c)
Podrazumeva se da su dimenzije popre~nog preseka poznate, i da su prethodno odredjene
potrebne karakteristike betonskog preseka:
- povr{ina Fb i polo`aj te`i{ta Tb betonskog preseka;
- moment inercije Ib u odnosu na te`i{te preseka Tb ;
- otporni momenti preseka oko donje (1) Wb1 = Ib / d1 , odnosno gornje (2) ivice
preseka Wb2 = Ib / d2 ;
- ekscentricitet ebk rezultuju}e sile prethodnog naprezanja - 'rezultuju}eg kabla Rk ' u
odnosu na te`i{te preseka (pozitivan na dole. Bilo bi bolje - na gore, ali ovo je tradicija!).
a.) Dokaz po~etnih napona - u fazi prethodnog naprezanja
Za dokaz - kontrolu napona u fazi prethodnog naprezanja (po~etno stanje, t=0 ), potrebno je znati vrednosti sila u preseku: rezultuju}eg momenta savijanja M0 , i rezultuju}e
normalne sile N0 , slika 4.5.a. Rezultuju}e sile obuhvataju uticaje usled svih prisutnih dejstava u fazi prethodnog naprezanja, uklju~uju}i i sile u preseku usled prethodnog naprezanja. Napon na donjoj ivici preseka sb10 , na gornjoj ivici preseka sb20 odnosno napon sbT0
u te`i{tu preseka Tb iznose (pozitivan je napon pritiska)
N0 M 0
Fb Wb1
N
M
= 0 + 0
Fb Wb 2
s b10 =
s b 20
s bT 0 =
(4.1)
N0
Fb
^esto se razdvajaju sile u preseku prema svom poreklu: na uticaje usled prethodnog naprezanja (Mk0 , Nk0 ), i uticaje usled optere}enja prisutnih u trenutku prethodnog naprezanja,
obi~no je to samo sopstvena te`ina (Mg0 , Ng0 ). Za vrednost normalne sile u preseku usled
4- 8
prethodnog naprezanja, obi~no se usvaja da je jednaka sili usled prethodnog naprezanja u
tom preseku, N @ Nk0 , pa prethodni izrazi za napone u fazi prethodnog naprezanja glase:
s b10 =
Nk0 + N g0
Fb
Nk0 + N g0
s b 20 =
Fb
s bT 0 =
M k0 + M g0
-
Wb1
+
M k0 + M g0
(4.2)
Wb 2
Nk0 + N g0
Fb
Izrazi za napone (4.1) i (4.2) va`e nezavisno od toga da li je sistem stati~ki odredjen, ili
stati~ki neodredjen. Uticaji svih optere}enja, pa i prethodnog naprezanja (Mk i Nk), odredjuju se u stvarnom stati~kom sistemu, metodom ekvivalentnog optere}enja, na primer. U
slu~aju stati~ki odredjenih sistema, momenti usled prethodnog naprezanja mogu da se
odrede i direktno, Mk0 = -Nk0 ebk , pa izrazi za 'po~etne napone' glase
s b10 =
Nk0 + N g0
s b 20 =
s bT 0 =
Fb
Nk0 + N g0
Fb
+
M g 0 - N k 0 ebk
Wb1
M g 0 - N k 0 ebk
Wb 2
(4.3)
Nk0 + N g0
Fb
Ako je u pitanju gredni sistem, obi~no nema uticaja normalnih sila usled spoljnih optere}enja, Ng0 = 0. Ako se jo{ uvedu i poznati pojmovi jezgra preseka (uvek pozitivna veli~ina), kb1 = Wb2 / Fb , odnosno kb2 = Wb1 / Fb , tada izrazi za napone dobijaju svoj najpoznatiji oblik, koji va`i za stati~ki odredjene nosa~e
s b10 =
M g0
Nk0
e
(1 + bk ) Fb
kb2
Wb1
s b 20 =
M g0
Nk0
e
(1 - bk ) +
Fb
k b1
Wb 2
s bT 0 =
Nk0
Fb
(4.4)
Ako su potrebne preciznije analize napona, tada treba voditi ra~una da do sada usvojene
karakteristike samo betonskog preseka, tzv 'bruto betonskog preseka', nisu uvek i dovoljno ta~ne. U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja, za{titne cevi za kablove formiraju rupe u betonu, ~iji efekat na karakteristike preseka uop{te ne mora da bude zanemarljiv.
Ako se od bruto betonskog preseka, slika 4.6.a, odbiju rupe za za{titne cevi, dobija se tzv.
'neto betonski presek', sa te`i{tem Tn , slika 4.6.b, koji ta~nije opisuje karakteristike preseka u fazi naknadnog prethodnog naprezanja, pre injektiranja.
4- 9
2
2
2
Tn
Tb
Tb
Tb
a.)
za
~Fk
1
b.)
zi
zb
zn
Fa
zk
1
zk
zb
zb
d
Ti
~Fk
c.)
1
Slika 4.6 Bruto betonski, neto betonski i idealizovani presek elementa
U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, ne postoje za{titne cevi, pa se za karakteristike
preseka usvaja ili bruto betonski presek, ili tzv. 'idealizovani presek', slika 4.6.c. Idealizovani presek je spregnuti presek od betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje
(kablova ili u`adi), koji se deformi{u zajedno (postoji spoj betona i ~elika). U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja sa spojem, spregnuti - idealizovani presek se formira nakon injektiranja za{titnih cevi, i mo`e da poslu`i za kontrole napona u eksploataciji.
Za prora~un karakteristika idealizovanog popre~nog preseka, treba od bruto betonskog
preseka odbiti rupe u betonu usled prisustva kablova i armature - ~ime se dobija neto betonski presek, i onda te rupe 'popuniti', svaku svojim ~elikom. Dovoljno je ta~no ako se
usvoji da je povr{ina za{titne cevi pribli`no jednaka povr{ini samog kabla Fk . U tom slu~aju, povr{ina neto preseka betona iznosi Fbn = Fb - Fa - Fk , gde su: Fb - povr{ina bruto betonskog preseka; Fa - povr{ina armature u preseku; Fk - povr{ina kablova, u`adi. Umesto
baratanja sa tri vrste materijala, obi~no se defini{e ekvivalentni idealizovani presek, sa
modulom elasti~nosti betona i povr{inom Fbi = Fb + (na -1)Fa + (nk -1)Fk , gde su: na = Ea /
Eb - odnos modula elasti~nost armature i betona; nk = Ek / Eb odnos modula elasti~nost
~elika za prethodno naprezanje i betona. Poznatim transformacijama, mogu da se odrede
te`i{te Ti , i ostale karakteristike idealizovanog preseka, kombinuju}i doprinos tri dela
'betona', pojedina~nih povr{ina: F1 = Fb , F2 = (na-1)Fa i F3 = (nk-1)Fk
zi =
Fb zb + (na - 1) Fa za + (nk - 1) Fk zk
Fbi
I bi = I b + Fb ( zb - zi ) 2 + Fa (na - 1)( za - zi ) 2 + Fk (nk - 1)( zk - zi ) 2
(4.5)
(4.6)
U prethodnim izrazima, ukupna povr{ina kablova odnosno armature usvojena je svaka u
svom te`i{tu. Ako presek ima vi{e slojeva kablova i/ili armature po visini, ta~nija vrednost
momenta inercije idealizovanog preseka, sa doprinosom ~elika, dobija se sumiranjem
doprinosa povre{ina Fai (Fki ) pojedinih slojeva, na odstojanju zai (zki )od donje ivice
zi =
Fb zb + (na - 1)SFai zai + (nk - 1)SFki zki
Fbi
(4.5.a)
I bi = I b + Fb ( zb - zi ) 2 + SFai (na - 1)( za i - zi ) 2 + SFki (nk - 1)( zki - zi ) 2 (4.6.a)
4-10
b.) Dokaz napona u fazi eksploatacije - pri trajnoj sili prethodnog naprezanja
Stanje napona u eksploataciji, pri trajnoj vrednosti sile prethodnog naprezanja Nkt , i
ukupnom momentu savijanja Mq usled spoljnih optere}enja (obi~no od sopstvene te`ine,
dodatnih stalnih optere}enja i povremenih-korisnih optere}enja), odredjuje se analogno:
s b1t =
M
N kt
e
(1 + bk ) - q
Fb
kb 2
Wb1
s b 2t =
Mq
N kt
e
(1 - bk ) +
Fb
k b1
Wb 2
s bT 0 =
N kt
Fb
(4.7)
Navedeni su samo modifikovani izrazi (4.4), koji va`e za stati~ki odredjene konstrukcije.
Analogno treba modifikovati i ostale, op{tije izraze, ako je u pitanju stati~ki neodredjeni
sistem, ili postoje i normalne sile u preseku usled spoljnih optere}enja. Ukoliko je potreban
precizniji prora~un, u izraze (4.7) mogu da se uvedu karakteristike neto betonskog preseka,
ili idealizovanog preseka.
Ako se dokaz pouzdanosti konstrukcije vr{i prema metodologiji dopu{tenih napona (prema
va`e}em pravilniku PNB71, na primer), tada se sra~unati naponi porede sa propisima definisanim dopu{tenim naponima, koji zavise od tipa naponskog stanja, kao i od toga da li je u
pitanju faza prethodnog naprezanja ili eksploatacije, slika 4.4.
Komentar:
Ve} je re~eno da i Evrokod zahteva dokaz napona pritiska u eksploataciji. Ukoliko je i pitanju presek bez prslina, va`e ve} navedeni klasi~ni izrazi otpornosti materijala.
4.3.2 Glavni naponi zatezanja
U slu~aju razmatranih prethodno napregnutih preseka bez prslina, na~in osiguranja pouzdanosti 'za uticaje transverzalnih sila' zavisi od toga da li se analiza vr{i prema metodologiji
'dopu{tenih napona', ili prema metodologiji 'grani~ne nosivosti'.
U slu~aju primene metodologije grani~ne nosivosti, postupak je analogan dokazu klasi~no armiranih konstrukcija 'po teoriji loma' - primenjuje se model re{etke sa promenljivim
nagibom pritrisnutih dijagonala. Povoljan efekat prethodnog naprezanja uvodi se preko
sredi{njeg napona pritiska usled prethodnog naprezanja sk =Nk / Fb , kao i putem redukcije
transverzalne sile Tq usled spolja{njih optere}enja u preseku, za vertikalnu komponentu sile
u kablu koji je u nagibu b , slika 4.7:
T = Tq - N kx sin b
4-11
(4.8)
q
TL
Nk
a
Tq
b
Nkx
Rq
x
Slika 4.7 Redukcija transverzalne sile u preseku
zbog nagiba kablova
Ukoliko se dokaz pouzdanosti preseka bez prslina vr{i prema metodologiji dopu{tenih napona, pri uticajima usled eksploatacionih optere}enja, tada mo`e da se primeni klasi~no
re{enje otpornosti materijala, i odredi vrednost glavnog napona zatezanja s2 :
s2 =
sb
2
-
s b2
4
+t 2
(4.9)
gde je sb - napon pritiska usled prethodnog naprezanja i ostalih spoljnih optere}enja, a
t=
TS
I bb
(4.10)
poznati izraz za prora~un napona smicanja t preseka bez prslina. Na slici 4.8 prikazan je
presek sa sra~unatim normalnim naponima s , slika 4.8.b, odnosno naponima smicanja t ,
slika 4.8.c. Glavni napon zatezanja prema izrazu (4.9) obi~no ima maksimalnu vrednost u
te`i{tu preseka Tb , i tu vrednost treba uporediti sa dopu{tenim vrednostima, prema
PNB71, na primer.
s2
+M
s0
Uzengije
t0
Zu
j
cos
d1
Rk
a.)
eu
d
+N
ek
Tb
d2
2
1
b.)
s1
c.)
d.)
j
s2
s1
a
D=1
Db
j
Prslina
Slika 4.8 Dokaz i obezbedjenje glavnih napona zatezanja - toerija dopu{tenih napona
Propisima PNB71 definisane su dve vrednosti glavnih napona zatezanja: ni`a vrednost
(0,7MPa za MB30, na primer, slika 4.3), koja se dozvoljava bez prora~una osiguranja
armaturom glavnih napona zatezanja, i vi{a vrednost (1,5MPa za MB30, na primer,
slika 4.3), koja ne sme da se prekora~i, ~ak i ako se presek mo`e osigurati armaturom.
Ako je ta vrednost prekora~ena, treba menjati ili marku betona, ili {irinu preseka, ili intervenisati pove}anim prethodnim naprezanjem. Ako je vrednost glavnog napona zatezanja
izmedju ove dve granice, treba izvr{iti osiguranje glavnih napona zatezanja, postavljanjem
4-12
vertikalnih uzengija, na primer, slika 4.8.d. Potrebna povr{ina uzengija fau , sa 'se~no{}u' m ,
odredjuje iz izraza
f au
s 2b
=
eu s udop m
(4.11)
gde su: s2 - maksimalna vrednost glavnog napona zatezanja po visini preseka, prema izrazu
(4.9); b - {irina preseka (obi~no rebra); sudop - dopu{teni napon u uzengijama (240MPa, u
slu~aju rebraste armature RA400/500, videti i BAB87, tabela 23).
4.4 DOKAZ GRANI^NOG STANJA LOMA SAVIJANJEM
Kao {to teorija grani~nih stanja ipak zahteva da se naponi pritiska u betonu dr`e pod kontrolom, tako i teorija dopu{tenih napona podrazumeva da je ipak potrebno dokazati sigurnost od loma popre~nog preseka, {to je osnovni pojam teorije grani~nih stanja.
4.4.1 Kapacitet nosivosti na savijanje prethodno napregnutih preseka
Da bi se odredila sigurnost preseka u pogledu loma savijanjem, potrebno je odrediti kapacitet nosivosti preseka, tzv. 'moment loma preseka' MRu . Ova veli~ina je karakteristika
preseka, i ne zavisi od toga da li 'presek pripada' stati~ki odredjenoj, ili stati~ki neodredjenoj konstrukciji. Za odredjivanje kapaciteta nosivosti, dozvoljava se deformacija preseka do
dostizanja kapaciteta deformacija betona, ili do dostizanja velikih izdu`enja ~elika, pri kojima presek postaje 'neupotrebljiv', zbog prevelikih deformacija-rotacija u slu~aju savijanja,
kao i pojave prevelikih prslina - pukotina.
Zavisnost napona i dilatacija - radni dijagram betona prikazan je na slici 4.9.a. Umesto
poznate krive parabola-prava, za prora~un kapaciteta nosivosti preseka mo`e da se usvoji i
pravougaona aproksimacija, sa maksimalnim naponom u betonu afC , gde je fC ~vrsto}a
cilindra. Koeficijent a treba da obuhvati uticaj dugotrajnih dejstava na ~vrsto}u betona, i
obi~no se usvaja a @ 0,85.
Pona{anje standardne rebraste armature RA400/500, odnosno u`adi za prethodno naprezanje, opisano je bilinearnim krivama na slici 4.9.b. Iako u`ad za prethodno naprezanje nemaju izra`enu granicu velikih izdu`enja, za prora~un kapaciteta nosivosti preseka dozvoljava se aproksimacija sa konstantnim naponom pri dilatacijama iznad granice 'velikih izdu`enja', sky = 0,9 skz , gde je skz napon kidanja u`eta, slika 4.9.b.
Iako ~elici mogu da izdr`e znatne dilatacije do dostizanja kapaciteta deformacija, slika
1.12, toliki se kapacitet ne mo`e racionalno iskoristiti, jer beton ne mo`e da ih prati (osim u
slu~aju zemljotresa, kada se ~elik 'pu{ta' da se razvla~i). Stvar je procene, ali se obi~no
usvaja da se kapacitet nosivosti - 'lom preseka razvla~enjem ~elika' dosti`e pri dilatacijama
~elika od De = 10 , slika 4.9.b.
Na slici 4.10 prikazan je presek sa rezultuju}im kablom sa donje strane preseka, srednji
presek proste grede, na primer. Za veli~inu sile u kablu za prethodno naprezanje, pri kojoj
se odredjuje kapacitet nosivosti preseka na savijanje MRu , obi~no se usvaja trajna vrednost sile Nkt - najmanja vrednost sile preostala nakon svih gubitaka. U odnosu na poznati
postupak odredjivanja kapaciteta nosivosti klasi~no armiranih preseka, jedina razlika je u
tome {to jedan deo ~elika u preseku - kablovi, pre pojave spoljnih optere}enja ve} ima
4-13
s
skz
sky=0,9skz
U`e
De
s
afC
RA400/500
sv
e
e
3,5
0,7
ekt
Dilatacija x 103
a.)
10
5
Dilatacija x 103
b.)
Slika 4.9 Radni dijagrami betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje
za prora~un kapaciteta nosivosti preseka
zate~enu, po~etnu dilataciju zatezanja ekt = skt / Fk , ta~ka (1 ) na slici 4.10.b. Da bi se
presek doveo u stanje loma savijanjem, treba savladati i kontra momente usled sile u kablu,
na ekscentricitetu ebk .
Zamislimo da smo u laboratoriji napravili model segmenta nosa~a du`ine od recimo 1,0m,
prethodno napregnutog silom Nkt prema slici 4.10. Osim uticaja prethodnog naprezanja, u
segmentu prakti~no nema drugih uticaja, efekat sopstvene te`ine segmenta je zanemarljiv.
Efekat samo kablova, bilo bi stanje napona odnosno dilatacija opisano linijom (2) na slici
4.10.b - pritisak na donjoj strani, i zatezanje na gornjoj ivici preseka. Pri naponu pritiska skd
s kd =
N kt
e
(1 + kb )
Fb
kb 2
(4.12)
u betonu u nivou kabla, postignuta je dilatacija betona ekd =skd / Eb. Pretpostavimo da su
nakon toga montirani uredjaji koji }e na krajevima segmenta da unose momente savijanja.
Da bi se poni{tila dilatacija ekd - rasteretio, i kona~no po~eo da zate`e beton u nivou kabla,
potrebno je da se aplicira moment savijanja koji }e da izazove izdu`enje betona i kabla
ebu
x
bx
MRu
Db=Zk
ebk
d
z
h
Tb
afC
a.)
3
1
2
Zk
ak
Fk
4
b.)
Deku
ekd
ekt
c.)
eku
Slika 4.10 Stanje dilatacija u betonu i ~eliku pri dostizanju kapaciteta nosivosti preseka
4-14
(kablovi i beton su spojeni) za iznos ekd , linija (3) na slici 4.10.b Prema tome, u stanju u kome je dilatacija betona u nivou kabla jednaka nuli - stanje dekompresije preseka, ukupna
dilatacija ~elika za prethodno naprezanje iznosi ekt + ekd . Time je stanje dilatacija u nivou
kabla dovedeno na 'startnu poziciju', od koje se na dalje dozvoljava prirast dilatacija Deku ,
do usvojene maksimalne vrednosti De = 10 . Na dalje, algoritam je isti kao i u slu~aju
klasi~no armiranih preseka, treba odrediti stanje dilatacija betona ebu i ~elika Deku pri
kojima je zadovoljen uslov ravnote`e normalnih sila u preseku, Db = Zk (pravo savijanje,
bez spolja{nje normalne sile), linija (4) na slici 4.10.b. Ukupna dilatacija kabla iznosi ekt +
ekd + Deku , i njoj odgovara odredjeni napon u ~eliku, prema radnom dijagramu na slici
4.9.b Sa poznatom vredno{}u dilatacija, mo`e da se odredi polo`aj neutralne linije x , krak
unutra{nji sila z , sila Zu u kablu, odnosno sila Dbu u betonu pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje MRu - 'lomu preseka'
(4.13)
M Ru = Z u z = Dbu z
Problem mo`e da se defini{e analiti~ki, ali je najjednostavnije da se re{i iterativno, probanjem.
ebu
a.)
3
1
2
ak1
4
Fk1
Fa
Zk2
Db
h
Nu
x
~ek2u
MRu
d
Tb
afC
bx
ak2
Fk2
b.)
Dek1u
Deau
ek1d
ek1t
Nu
Zk1
Za
c.)
ek1u
Slika 4.11 Stanje dilatacija u betonu i vi{e slojeva ~elika pri dostizanju kapaciteta nosivosti preseka
Ukoliko je u pitanju najop{tiji slu~aj, presek sa vi{e slojeva armarure i kablova, optere}en i
spolja{njom grani~nom normalnom silom Nu = gN , zadatak se re{ava na isti na~in, samo
{to treba voditi ra~una o dilatacijama vi{e slojeva ~elika, i u uslove ravnote`e normalnih sila
u preseku uvrstiti i spolja{nju normalnu silu Nu - pri zadatoj 'sili loma', odrediti kapacitet
nosivosti na savijanje MRu , slika 4.11. Ako model obuhvata i armaturu i ~elik za prethodno
naprezanje u zoni donje ivice preseka, koji sloj proglasiti referentnim za pra}enje prirasta
dilatacija De ~elika? Da bi algoritam bio jedinstven (zbog programiranja, na primer), neka
to i dalje bude nivo kablova.
4.4.2 Kapacitet deformacija-rotacija prethodno napregnutih preseka
Prethodno sra~unati kapacitet nosivosti preseka daje uvid u nivo spoljnog optere}enja pri
kome }e presek da postane 'neupotrebljiv' - nastaje 'lom preseka' savijanjem. Sa poznatim
dilatacijama pri lomu, mo`e da se odredi i krivina preseka pri dostizanju kapaciteta
nosivosti, ku = (ebu + Deku )/ h , jedna od ta~aka dijagrama moment-krivina preseka, koji
daje potpun uvid u odgovor preseka na spoljna optere}enja. Ukoliko se za poznati presek
odredi ova zavisnost, osim podatka o kapacitetu nosivosti preseka, dobi}e se uvid i u
kapacitet deformacija preseka - tok i maksimalna vrednost krivine preseka, kada nastaje
stvarni lom preseka, usled dostizanja kapaciteta deformacija betona ili ~elika u preseku.
4-15
eb
ek2
Zk2
bx
Dek2
afC
Db
h
k
d
Tb
(0,0035)
x
ak2
Fk2
2
a.)
1
(0,010)
b.)
Nu
Zk1
ak1
Fk1
Fa
3
Mu
Za
Dea
Dek1
ek1t
c.)
ek1
Slika 4.12 Algoritam odredjivanja zavisnosti moment-krivina preseka
Za slu~aj klasi~no armiranih preseka, algoritam za formiranje dijagrama prikazan je u
BAB87, deo 2.7.1 - Prora~un vitkih armiranobetonskih elemenata. Modifikovan algoritam za
slu~aj prethodno napregnutih preseka prikazan je na slici 4.12. Kao i u slu~aju odredjivanja
kapaciteta nosivosti, razlika je u tome {to treba voditi ra~una o po~etnim dilatacijama ek1t
~elika za prethodno naprezanje, slika 4.12.b. Za pretpostavljenu krivinu preseka k, iteracijama (linije 1 i 2) se tra`i stanje dilatacija (linija 3 ), pri kome su zadovoljeni uslovi ravnote`e normalnih sila u preseku. Za to stanje dilatacija i napona, odredjuje se moment savijanja unutra{njih sila, i dobija jedna od ta~aka dijagrama moment-krivina.
Za ilustraciju, na slici 4.15 odnosno 4.16 prikazana je veza moment(kNm)-krivina(rad/km)
dva prethodno napregnuta popre~na preseka, koji se razlikuju samo u {irini gornje
flan{e. Oba nosa~a prethodno su napregnuta sa 13 u`adi nominalnog pre~nika 13mm, sa
dilatacijom pri utezanju od 6,5 (napon na presi od oko 1300MPa). Radni dijagram betona
usvojen je sa opadaju}om granom, slika 4.13. Radni dijagram u`adi, nakon dostizanja kapaciteta nosivosti, usvojen je u nagibu od 2.5% - ~elik ima osobinu oja~anja, slika 4.14.
Ukupna dilatacija ~elika ograni~ena je na 43 (dodatna dilatacija Dek=43-6,5=35,5),
stvar izbora. Analiza je uzvr{ena programom Response 2000, sa Univerziteta u Torontu.
Concrete
fc' = 35.0 MPa
ft
P-Steel
fpu = 1860 MPa
Low Relax
= 1.87 MPa
ep = 43.0 mm/m
Slika 4.14 Radni dijagram u`adi za
prethodno naprezanje
ec' = 2.03 mm/m
Slika 4.13 Radni dijagram betona
Oba preseka imaju pribli`no isti kapacitet nosivosti MRu @ 3300kNm, ali se kapacitet
deformacija preseka drasti~no razlikuje. Nakon dostizanja kapaciteta nosivosti (prelazak
na polo`enu liniju dijagrama), oba preseka nastavljaju da rotiraju pri prakti~no konstantnom momentu savijanja - pona{aju se kao 'plasti~ni zglobovi'. Posmatrano deformacijski,
pri prinudnom krivljenju preseka, otpor krivljenju - moment savijanja raste do dostizanja
kapaciteta nosivosti, nakon ~ega presek rotira bez pru`anja daljeg otpora (otuda naziv
'zglob'), do kona~nog loma dostizanjem kapaciteta deformacija nekog od materijala.
Presek sa u`om gornjom flan{om (400mm) ima kapacitet deformacija od oko 11rad/km, pri
dilatacijama u betonu/~eliku od 3,5/14, slika 4.15, dok isti presek, ali sa {irom gornjom
4-16
flan{om, ima duplo ve}i kapacitet deformacija od oko 22rad/km, pri dilatacijama u betonu/~eliku od 3,4/28, slika 4.16.
Moment-Curvature
Moment-Curvature
top
-1.69
3000.0
-3.45
13.91
-1.15
2500.0
bot
-0.54
400
0.19
1500.0
M-k
fc' = 35.0 MPa
fpu = 1860 MPa
500.0
bot
2000.0
-0.48
700
0.34
bot
1500.0
1500
bot
1000.0
28.67
top
top
2000.0
-3.37
5.18
bot
bot
1500
Moment (kNm)
2500.0
5.00
top
top
top
Moment (kNm)
3000.0
200
1000.0
15 - S13
Dep = 6.50 mm/m
M-k
fc' = 35.0 MPa
fpu = 1860 MPa
500.0
200
15 - S13
Dep = 6.50 mm/m
400
400
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
Curvature (rad/km)
8.0
10.0
12.0
Slika 4.15 Moment-krivina preseka
sa uskom gornjom flan{om
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
Curvature (rad/km)
20.0
25.0
Slika 4.16 Moment-krivina preseka
sa {irokom gornjom flan{om
U oba slu~aja do otkaza dolazi usled iscrpljenjem maksimalnih dilatacija betona, ali presek
sa u`om flan{om i manjom povr{inom pritisnutog betona otkazuje ranije, zbog ranijeg dostizanja grani~nih dilatacija - kapaciteta deformacija betona - manje je '`ilav'-duktilan
u odnosu na presek sa ve}om povr{inom gornje flan{e. Iako je beton taj koji diktira kapacitet deformacija preseka, izra`ena horizontalna grana dijagrama ukazuje da je ~elik u{ao u
oblast velikih izdu`enja, pa se lom preseka obi~no karakteri{e kao 'lom po ~eliku'.
Moment (kNm)
Ukoliko presek uop{te nema gornju flan{u, do loma dolazi progresivnim popu{tanjem betona - nalik 'krtom lomu preseka', sa krivinama preseka od oko 5rad/km, slika 4.17.
Kapacitet nosivosti je isti kao i ranije, ali je
Moment-Curvature
kapacitet deformacija sni`en. Projektant bi
mogao da ka`e da je presek optimalan, ima
top
jednostavnu oplatu i potrebnu nosivost.
-2.78
5.08
2500.0
Ovakav slu~aj je dozvoljen, ali ipak, alo je
bot
mogu}e, prednost treba dati presecima koji
2000.0
imaju ve}i kapacitet deformacija, kod kojih
top
'lom nastupa izra`enijim razvla~enjem
1500.0
-0.68
0.19
~elika', posebno kos stati~ki neodredjenih
bot
1000.0
konstrukcija.
1500
200
500.0
0.0
200
M-k
fc' = 35.0 MPa
fpu = 1860 MPa
0.0
2.0
4.0
15 - S13
Dep = 6.50 mm/m
400
6.0
8.0
10.0
Curvature (rad/km)
Slika 4.17 Moment-krivina preseka
bez gornje flan{e
4-17
Kapacitet deformacija osnova je za analizu
konstrukcija u post-elasti~nom podru~ju
deformacija, o ~emu }e ne{to biti re~eno u
nastavku.
Moment (kNm)
Zbog postojanja napona prethodnog naprezanja u kablu skt , algo3500
ritam analize kapaciteta nosivosti,
3000
kao i veze moment -krivina znatno se zakomplikovao, u odnosu
2500
na algoritme klasi~no armiranih
skt=0
2000
preseka. Za popre~ni presek i
u`ad prema slici 4.17, efekat veli1500
~ine trajnog napona u kablu skt ,
1000
analiziran je za dva grani~na sluskt=1300 MPa
~aja: trajni napon jednak 1200
500
MPa, odnosno trajni napon
0
jednak nuli (slu~aj 'klasi~no ar-10
0
10
20
30
40
miranog preseka', sa ~elikom ~ija
-500
Krivina (rad/km)
je granica kidanja 1860MPa, slika
4.14). Kapacitet nosivosti ne
Slika 4.18 Moment-krivina preseka sa slike 4.16,
zavisi od prednapona u ~eliku,
sa i bez po~etnog napona u u`adima
razlikuju se deformacije - krivine
preseka, slika 4.18. Zbog toga {to spoljni moment prvo treba da poni{ti po~etno stanje napona usled prethodnog naprezanja, i dovede napone u betonu u nivou kabla u stanje zatezanja, dijagram moment-krivina preseka sa prednaponom u ~eliku je pomeren u levo, strmiji je na uzlaznoj grani (presek je kru}i), a presek otkazuje pri ni`im krivinama preseka,
jer je, zbog postojanja prednapona, potrebna manja krivina koja }e ~elik da dovede na
granicu velikih izdu`enja. Presek bez prednapona u u`etu ima manju krutost na savijanje,
kasnije dosti`e jer spoljni moment brzo izaziva prslinu u zategnutoj zoni, krivina preseka
pri otkazu ne{to je ve}a, jer u preseku nema normalne sile pritiska usled prethodnog
naprezanja, pa otkaz betona nastaje kasnije.
Ono {to je zajedni~ko za oba slu~aja, to je da je prisutno razvla~enje ~elika preko granice
velikih izdu`enja, sky na slici 4.9 - da 'lom preseka' nastaje uz velika izdu`enja ~elika za
prethodno naprezanje, da je karakter loma 'duktilan'. Za analizirani ~elik sa granicom
kidanja skz=1860MPa, i granicom velikih izdu`enja od oko eky=0,9skz / Ek @ 8,4, grani~a
velikih izdu`enja se dosti`e kada ukupna dilatacija ~elika dostigne 8,4. Zbog razlike u
po~etnoj dilataciji ~elika, prethodno napregnuti presek pri manjim krivinama dosti`e granicu velikih izdu`enja (spoljni moment treba 'da doda' jo{ 8,4-6,5=1,9), u odnosu na presek
sa ~elikom bez prednapona (spoljni moment treba da ostvari celih 8,4).
Osim {to je dobro razumeti 'kako stvari rade', ova analiza ima i vrlo prakti~an zna~aj. Ako
znamo da }e pri 'lomu preseka' ~elik za}i u podru~je velikih izdu`enja, tada se kapacitet
nosivosti preseka - 'moment loma preseka' mo`e brzo proceniti, izraz (4.13) glasi
M Ru = Z u z = s ky Fk z
gde treba pretpostaviti krak unutra{njih sila z , slika 4.10.
4-18
(4.14)
4.4.3 Lom stati~ki odredjenih konstrukcija
Pretpostavimo da smo projektovali prethodno napregnuti nosa~ sistema proste grede, raspona L=30m (30000mm), sa presekom i u`adima prema slici 4.19, du` celog raspona. Ono
{to znamo, to je da je kapacitet nosivosti preseka oko MRu=3300kNm, a znamo i kapacitet deformacija preseka - vezu moment-krivina, slika 4.16. Postavlja se pitanje kakav }e
biti odgovor konstrukcije pri postupnom pove}anju spoljnog podeljenog optere}enja q .
q
Lp
L=30000mm
Slika 4.19 Nosa~ sa konstantnim presekom prema slici 4.14
Analiza odgovora grede na postupno pove}anje spoljnog optere}enja uradjena je programom Response 2000, a dijagram spoljno optere}enje (kN/m) - ugib u sredini nosa~a (mm)
prikazan je na slici 4.20. Dijagram promene krivina preseka du` polovine raspona u stadijumu loma pri maksimalnom ugibu od oko 300mm, prikazan je na slici 4.21.
Curvature Distribution
25.0
Curvature (rad/km)
Uniform Loading (kN/m)
Load-Max Deflection
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
-50.0 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0
Maximum Deflection (mm)
Slika 4.20 Veza optere}enje-ugib grede sa slike 4.16
0.83
0.46
0.15
0.06
0.07
0.12
5.4
4.5
3.6
2.7
1.8
0.9
0.0
0
3000
6000
9000
Length along Member (mm)
12000 15000
Slika 4.21 Raspodela krivina preseka du` polovine
raspona pri lomu konstrukcije
0.82
0.83
1.15
3.09
3.13
2.05
2.46
Slika 4.22 Stanje prslina pri dostizanju loma konstrukcije (mm)
Do otkaza, loma konstrukcije sistema proste grede, dolazi pri intenzitetu spoljnog optere}enja qu = 29,3kN/m - grani~no optere}enje, i ugibu u sredini raspona od du = 292mm,
slika 4.16. Pri grani~nom optere}enju, moment savijanja u preseku u sredini iznosi Mu =
quL2 / 8 = 29,3x302 / 8 = 3296kNm, {to se i o~ekivalo, jer upravo je toliki kapacitet nosivosti preseka u sredini raspona - moment loma preseka slika 4.16. Na slici 4.21 vidi se
da su najve}e krivine preseka lokalizovane u srednjoj zoni nosa~a, sa vrednostima od
oko 5,5-6rad/km. Sa druge strane, sa slike 4.16 mo`e da se zaklju~i da je pri krivini preseka
od oko 5-6rad/km, presek upravo dostigao kapacitet nosivosti, i da kapacitet deformacija
4-19
a.)
Lp
L=30000mm
b.)
Plasti~ni zglob
Slika 4.23 Plasti~ni mehanizam konstrukcije
preseka od ~ak 22 rad/km nije iskori{}en. To je ono {to je karakteristika stati~ki odredjenih
konstrukcija, lom preseka je ujedno i lom konstrukcije. Dostizanjem kapaciteta nosivosti preseka u sredini raspona, naglo su po~ele da rastu rotacije preseka, bez zna~ajnijeg
prirasta optere}enja - presek je pre{ao u stanje plasti~nog zgloba, a konstrukcija u stanje
plasti~nog mehanizma, po~ela je da tone u srednjem delu , slika 4.23. Ako je krutost
preseka na savijanje odnos momenta i krivine preseka, EI=M / k , dostizanje horizontalnog platoa na dijagramu moment-krivina, slika 4.16, zna~i da je srednja zona nosa~a
izgubila krutost na savijanje, 'pretvorila se u zglob.' Prosta greda sa zglobom u sredini
vi{e nije prosta greda, nije vi{e ni konstrukcija, to je lanac {tapova koji je izgubio stabilnost,
koji se pri dostignutom grani~nom optere}enju kre}e - plasti~ni mehanizam. Plasti~ni
zglob se kod konstrukcija ne formira u jednom preseku, to ne bi ni valjalo. Plasti~ni zglob je
deo konstrukcije na 'du`ini plasti~nog zgloba' Lp , slika 4.23.a.
Na pitanje, koliki je globalni koeficijent sigurnosti od loma stati~ki odredjene
konstrukcije, odgovor je da je jednak koeficijentu sigurnosti od loma kriti~nog
preseka, koji je opet jednak odnosu kapaciteta nosivosti na savijanje MRu , i najve}eg
momenta savijanja u eksploataciji Mq
g = M Ru / M q
(4.14)
Kako se dolazi do vrednosti MRu - 'momenta loma preseka' (i konstrukcije!), pokazano je u
delu 4.4.1. To je definicija loma koja je usvojena u BAB87, kao i u PNB71 - koncept globalnog koeficijenta sigurnosti. Prema Evrokodu, potrebno je obezbediti da je SR ³ Sd ,
gde su: SR - kapacitet nosivosti preseka, sra~unat na osnovu radnih dijagrama betona i ~elika, redukovanih koeficijentima sigurnosti za materijal, Sd - grani~na vrednost spolja{njeg momenta savijanja, usled pojedina~nih dejstava pomno`enih sa koeficijentima sigurnosti za optere}enja - koncept parcijalnih koeficijenata sigurnosti.
4.4.4 Lom stati~ki neodredjenih konstrukcija
Na pitanje 'kog je stati~kog sistema nosa~ na slici 4.24, i gde }e da se pojavi lom usled podeljenog spolja{njeg optere}enja?', ubedljivo naj~e{}i odgovor bio bi, 'da je u pitanju prethodno napregnuti kontinualni nosa~ (vide mu se kotve), i da }e lom da nastane iznad srednjeg
oslonca - gde su najve}i momenti savijanja'.
Kotva
Kotva
Slika 4.24 O ~emu se radi?
4-20
Iz ~injenice da se vide kotve, logi~no je pretpostaviti da postoje i kablovi za prethodno
naprezanje, ali ko zna, mo`da je ponestalo para, a sve~ano otvaranje nije moglo da se
odlo`i? Pogledajmo {ta ima unutra, slika 4.25.
Fiksne kotve
TL
Slika 4.25 Stati~ki sistem - dve proste grede
Iako spoljni izgled sugeri{e da je u pitanju kontinualni nosa~, dispozicija kablova ukazuje
da je koncept projektanta bio da da napravi dve proste grede. Nakon zavr{ene monta`e i
obavljanja deformacija usled sopstvene te`ine, izvodja~i su plombirali nastavak - 'da nosa~
bude lep{i'. Pri daljem nano{enju optere}enja q , nearmirani presek nad osloncem }e da
pretrpi lom, kada se prekora~i ~vrsto}a betona nastavka na zatezanje, slika 4.26. Pri porastu
optere}enja, konstrukcija se adaptirala tako {to se nad srednjim osloncem 'otvorio zglob',
ali ne plasti~ni, ve} 'krti zglob'. To jeste lom preseka, ali nije i lom konstrukcije, mada
deluje ru`no i stvara paniku kod korisnika.
Pukotina
q
TL
Slika 4.26 'Lom preseka' nad srednjim osloncem
Do loma stati~ki odredjenih delova konstrukcije, dolazi dostizanjem kapaciteta nosivosti
preseka u sredini raspona, kao i u prethodnom primeru, slika 4.27. Pri tome, optere}enja
pri kojem nastaje lom, q1u i q2u ne moraju da budu ista za oba polja, dovoljno je da kablovi
nisu ugradjeni na istom ekscentricitetu.
q1u
d2u
d1u
q2u
Slika 4.27 Lom preseka i konstrukcija prostih greda u polju
Ako se kao projektantski koncept usvoji kontinualni nosa~, onda to treba obezbediti,
ne samo stati~kim prora~unom odgovaraju}eg sistema, ve} i detaljima, tako da sistem
proradi prema o~ekivanju. Konstrukcija }e pri realnom optere}enju da se deformi{e, da
otvara prsline pa i 'plasti~ne zglobove', sve dok ne nadje stanje deformacija pri kome }e
da se razviju potrebne unutra{nje sile, uravnote`ene sa trenutnim spolja{njim optere}enjima. Ako ne nadje, onda }e pre}i u mehanizam i 'odustati' - nastupi}e lom konstrukcije.
Razmotrimo jedan drugi slu~aj. Prethodno napregnut kontinualni nosa~ simetri~nog
preseka, i dijagram maksimalnih momenata M u eksploataciji usled podeljenog spoljnog
optere}enja, prikazani su na slici 4.28. Kablovi du`ine 2L ukotvljeni su na krajevima
4-21
konstrukcije, tako da je povr{ina Fk ~elika za prethodno naprezanje konstantna du`
raspona. Uz pretpostavku da je prethodno naprezanje izvr{eno istovremeno sa oba kraja
(ili - sa jednog, pa sa drugog kraja, ili - pola kablova sa jedne strane, a druga polovina sa
druge strane nosa~a), promena rezultuju}e sile prethodnog naprezanja Nkt nakon svih
gubitaka, prikazana je na slici 4.28.c. Pitanje je pri kom spolja{njem optere}enju qu }e da
nastane lom preseka odnosno lom konstrukcije?
M/2
maxM
M
M
L/2
L/2
L
TL
b.)
c.)
L/2
e2
f
e1
a.)
Nkt(L/2)
L/2
L
Nkt(L)
Slika 4.28 Kontinualni nosa~ sa konstantnom povr{inom kablova
Pretpostavimo da je presek simetri~an, i da je ekscentricitet e2 kablova u polju, jedan ekscentricitetu e1 kablova iznad srednjeg oslonca. Ako je povr{ina kabla Fk konstantna, tada su
kapaciteti nosivosti preseka u polju MRu2 , i preseka iznad oslonca MRu1 , pribli`no jednaki,
jer je i krak unutra{nji sila z pri dostizanju kapaciteta nosivosti pribli`no jednak. Kako je
pokazano, nejednake trajne sile prethodnog naprezanja Nkt , slika 4.28.c, uti~u na deformacije preseka, ali ne i na kapacitet nosivosti preseka.
Sve dok konstrukcija na spolja{nja optere}enja odgovara linearno elasti~no, oblik dijagrama momenata je kao na slici 4.28.a, moment u sredini raspona jednak je polovini momenta
iznad srednjeg oslonca M . Pretpostavimo da }e to tako da ostane bar do otvaranja prvog
plasti~nog zgloba konstrukcije. S obzirom da su kapaciteti nosivosti karakteristi~nih preseka izjedna~eni, pri porastu spolja{njih optere}enja qu , prvi plasti~ni zglob otvori}e se
iznad oslonca, na mestu ve}ih momenata savijanja, pri dostizanju kapaciteta nosivosti
preseka iznad oslonca MRu1 , pri spolja{njem optere}enju qu1 , slika 4.29.a. Pri daljem porastu optere}enja, moment savijanja iznad oslonca MRu1 ostaje prakti~no konstantan, rastu
momenti u polju, sve dok se ne dostigne kapacitet nosivosti preseka u polju MRu2 , pri spolja{njem optere}enju qu2 , slika 4.29.b. Za razliku od stati~ki odredjenih konstrukcija, dostizanje kapaciteta nosivosti nekog od preseka stati~ki neodredjene konstrukcije ne
mora da izazove i lom konstrukcije. Nakon pojave prvog plasti~nog zgloba, konstrukcija
je pre{la u stati~ki odredjen sistem, a da bi nastao lom konstrukcije, treba da predje u plasti~ni mehanizam - stati~ki neodredjene konstrukcije se 'paraju', sukcesivnim otvaranjem
plasti~nih zglobova.
4-22
qu1
MRu1
a.)
Prvi plasti~ni zglob
qu2
MRu1
qpl
b.)
MRu2
qpl
Drugi plasti~ni zglob
MRu2
Slika 4.29 Sukcesivno otvaranje plasti~nih zglobova duktilne konstrukcije
Izlo`eni scenario je teorijski mogu}, ako plasti~ni zglob koji se prvi otvorio ima potreban
kapacitet deformacija - ima potrebnu duktilnost rotacija, da mo`e da nastavi da rotira za
ugao qpl sve dok se i preseku u polju ne dostigne kapacitet nosivosti, slika 4.29.b. Ako je
presek nad osloncem nedovoljno duktilan - krt, nastupi}e lom tog preseka zbog dostizanja
kapaciteta deformacija (slika 4.17, na primer), moment nad srednjim osloncem MRu1 se
gubi, zbog ~ega naglo raste moment u polju za iznos MRu1 /2 , tako da pri ne{to ve}em
optere}enju od qu1 , nastaje i lom u polju - lom konstrukcije.
Uz pretpostavku da smo u stanju da obezbedimo potreban kapacitet deformacija preseka nad osloncem (pa`nja - ne samo nosivost!), scenario je zanimljiv - istim brojem kablova
je prethodno napregnut kontinualani nosa~, iako su ra~unski momenti nad osloncem oko
dva puta ve}i od momenata u polju! Analogija sa klasi~no armiranim konstrukcijama bila bi
usvajanje iste koli~ine armature nad osloncem i u polju. Pre nego {to se krene u primenu
ovoga 'trika', treba re{iti jo{ dva problema: kako }e da izgleda ovakva konstrukcija u eksploataciji, {ta je sa prslinama, a nismo jo{ odredili ni nivo optere}enja qu1 odnosno qu2 !
Odgovor na prvo pitanje je sli~an kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija: ako je
obezbedjena potrebna duktilnost preseka, dozvoljava se preraspodela uticaja stati~ki
neodredjenih nosa~a, ali ne ba{ ovolika, kao u ovom primeru (koliko je dozvoljeno, i pod
kojim uslovima, treba videti u propisima koji se primenjuju, obi~no ne vi{e od 30%). Ipak
treba vi{e armature (kablova) nad osloncem negu polju, ina~e }e prsline u eksploataciji biti
prevelike, jer }e konstrukcija ve} pri eksploatacionom nivou optere}enja 'krenuti u
preraspodelu' uticaja.
Odgovor na drugo pitanje deluje jednostavno. Ako je 'moment loma' preseka nad osloncem MRu1 , a dijagram momenata usled spolja{njih optere}enja je kao za linearno elasti~an
kontinualni nosa~, tada je moment nad srednjim osloncem usled optere}ena qu1 jednak Mqu1
= qu1 L2 / 8 . Da bi se dostigao kapacitet nosivosti, treba da je Mqu1 = MRu1 , odnosno
(4.15)
q = 8M / L2
u1
Ru1
I {ta je tu nejasno? Uporedili smo spolja{nje momente sa nosivo{}u preseka, izraz (4.14)?
M Ru = Z u z = s ky Fk z
4-23
To je sigurno ta~no u slu~aju klasi~no armiranih, kao i stati~ki odredjenih prethodno napregnutih konstrukcija - moment savijanja u nekom preseku usled prethodnog naprezanja
jeste sila pomno`ena ekscentricitetom, Mk = Nk ebk , ako je presek bez prslina, odnosno sila
prethodnog naprezanja pomno`ena krakom unutra{njih sila, Mk = Zk z , ako je presek dostigao kapacitet nosivosti. Ali, u slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija efekat prethodnog naprezanja nije samo to - zbog spre~ene slobodne deformacije, utezanjem kablova
u konstrukciju su uneti i tzv. 'sekundarni uticaji', reakcija oslonaca na deformaciju usled
prethodnog naprezanja, gde su oni sada? Mogu}i odgovor je - 'pa nema ih, jer je nakon
otvaranja plasti~nih zglobova, sistem postao stati~ki odredjen, i svi uticaji prethodno nastali
zbog spre~enih slobodnih deformacija relaksiraju, nestaju'. Ako je to ta~no, onda je sve do
sada re~eno u redu, izraz (4.15) defini{e nivo spolja{njeg optere}enja qu1 , i lako je potom
odrediti i nivo optere}enja qu2 . Koliko god argument deluje logi~no, i dan danas je predmet
diskusija, nije tako prosto. Utisak je da ve}ina propisa danas zahteva da se 'sekundarni
uticaji' uzmu u obzir i u stadijumu otvaranja plasti~nih zglobova, ne gube se, i to kao dodatni spolja{nji moment savijanja preseka - DMks . Ako su momenti usled prethodnog
naprezanja odredjeni metodom ekvivalentnog optere}enja, uz primenu tabli~nih re{enja ili
ra~unara, kako odrediti, izdvojiti vrednost sekundarnog momenta DMks u nekom preseku?
Sekundarni moment savijanja DMks u nekom preseku, jednak je razlici ukupnog momenta
Mk usled prethodnog naprezanja, i momenta usled prethodnog naprezanja koji bi u tom
preseku postojao da je sistem stati~ki odredjen, Mk0 = Nk e , gde je e - ekscentricitet kabla u
odnosu na te`i{te preseka (voditi ra~una o znaku momenata!)
(4.16)
DM ks = M k - N k e
U konkretnom slu~aju, ukupni momenti usled prethodnog naprezanja prikazani su na slici
4.30.b, sra~unati uz pomo} ekvivalentnog optere}enja (pozitivan, kada zate`e donju ivicu
preseka)
qk =
8N k f
L2
Moment nad osloncem Mk usled prethodnog naprezanja iznosi
M k = q k L2 / 8 =
8 N k f L2
= Nk f
L2 8
b.)
L/2
L/2
L
Mk/2
a.)
e2
f
e1
TL
Mk
qk
Slika 4.30 Izdvajanje vrednosti sekundarnog momenta iz ukupnog momenta usled prethodnog naprezanja
4-24
Prema izrazu (4.16), vrednost sekundarnog momenta DMks1 u preseku nad srednjim osloncem je
D M ks1 = N k f - N k e1 = N k ( f - e1 )
S obzirom da je f>e1 , ovaj moment zate`e donju stranu nosa~a. U slu~aju f=e1 , sekundarni
moment i{~ezava, trasa kablova je 'konkordantna', {to je ve} pokazano ranije. Kao {to je
ve} re~eno, sekundarni momenti se tretiraju kao efekat spoljnog optere}enja, ulaze u
kombinaciju uticaja u preseku sa ostalim spolja{njim optere}enjima. U konkretnom slu~aju, pri dostizanju kapaciteta nosivosti nad srednjim osloncem, slika 4.29.a, uticaju
spolja{njih optere}enja u tom preseku iznosi
M u = M qu1 + DM ks 1
L2
= - q u1
+ N k t ( f - e1 )
8
Kona~ni odgovor na pitanje - pri kom optere}enju qu1 se dosti`e kapacitet nosivosti, i otvara
plasti~ni zglob nad srednjim osloncem, glasi
qu1 = [M Ru1 + N kt ( f - e1 )]
8
L2
Generalno, sekundarni momenti smanjuju momente usled spoljnih optere}enja iznad
oslonaca, ali pove}avaju momente u polju.
S obzirom da se kombinuju sa ostalim spoljnim optere}enjima, na sekundarne momente se
primenjuju i odgovaraju}i koeficijenti sigurnosti. Sa sekundarnim momentima kao delom
uticaja usled spolja{njih optere}enja, globalni koeficijent sigurnosti od loma preseka
iznad oslonca iznosi
g = M Ru /( M q + DM ks )
(4.17)
Ako se primenjuje metodologija parcijalnih koeficijenata sigurnosti, obi~no se za uticaje
sekundarnih momenata usvaja g = 1,0 .
Komentar:
Naj~e{}e se preseci stati~ki neodredjenih konstrukcija dimenzioni{u bez preraspodele
momenata. Ukoliko bi se usvojila takva trasa i povr{ina kablova da svaki presek ima upravo zahtevani koeficijent sigurnosti od 'loma' - da konstrukcija u svim presecima ima ujedna~enu pouzdanost, tada se stvaraju uslovi da se plasti~ni mehanizam formira 'trenutno',
skoro istovremenim otvaranjem minimalnog potrebnog broja plasti~nih zglobova. U realnim konstrukcijama tome niti se te`i, a te{ko i da je ostvarljivo.
4.5 DOKAZ GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA
Sve {to je potrebno za prora~un deformacija prethodno napregnutih nosa~a bez prslina,
prikazano je u delu 3. Sra~unate vrednosti porede se sa dopu{tenim ugibima, koji su definisani propisima.
U slu~aju konstrukcija sa prslinama, za prora~un ugiba primenjuju se isti algoritmi kao i u
slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija.
4-25
4.6 DOKAZ GRANI^NOG STANJA PRSLINA
4.6.1 Teorija dopu{tenih napona
Predmet ovoga teksta je analiza prethodno napregnutih konstrukcija bez prslina. Ako se
projekat radi prema teoriji dopu{tenih napona, prema va`e}em pravilniku PNB71 na primer, tada se pojava prslina spre~ava ograni~avanjem maksimalne vrednosti napona zatezanja u eksploataciji, slika 4.3. Medjutim, ni u tom slu~aju posao projektanta nije gotov. Ako
u preseku postoje zatezanja sb1 , slika 4.31, potsb2
rebno je rezultantu sila zatezanja Za , obezbediti
armaturom Fa u zategnutoj zoni preseka
Fk
Fa
Za
d-x
b0
Fa = Z a / s adop
(4.18)
d
x
pot
sb1
Slika 4.31 Obezbedjenje zatezanja armaturom
gde su: Za - rezultuju}a sila zatezanja u betonu,
=0,5sb1b0(d-x) prema slici 4.31; Sadop - dopu{teni
napon zatezanja armature (definisano propisima,
BAB87 na primer). Potrebna armatura, manjih
pre~nika rasporedjuje se u okviru zategnute zone
betonskog preseka.
Strah od pojave prslina uslovio je i zahtev da je potrebno dokazati da je koeficijent sigurnosti od pojave prslina ve}i od gp = 1,15, gde je
gp =
Mp
(4.19)
M
odnos momenta pri kome se otvara prslina Mp , i najve}eg momenta savijanja preseka u
eksploataciji. Moment savijanja preseka pri kome se otvara prslina, sra~unava se iz uslova
da je na zategnutoj ivici preseka dostignuta ~vrsto}a betona na zatezanje savijanjem bzs
M p = Wb1 (s bk 1 + b zs )
(4.20)
gde su: Wb1 - otporni moment oko zategnute ivice (bruto ili idealizovan presek), sbk1 - ivi~ni
napon u betonu usled dejstva samo prethodnog naprezanja. Praksa pokazuje da je
zadovoljenje zahtevane vrednosti koeficijenta sigurnosti mogu}e ako u preseku nema
nspona zatezanja. Ako se dozvole zatezanja, te{ko da je mogu}e zadovoljiti i sigurnost od
pojave prslina.
4.6.2 Teorija grani~nih stanja
Danas je trend da se prsline dozvoljavaju i u prethodno napregnutom betonu, uz obavezan
dokaz {irine prslina.
4.7 ZONE UVODJENJA SILE PRETHODNOG NAPREZANJA
U oblastima nosa~a u kojima se vr{i uvodjenje sile prethodnog naprezanja u konstrukciju,
vladaju specifi~ni naponski uslovi, o kojima se mora voditi ra~una.
4-26
4.7.1 Prethodno naprezanje na stazi
sku
sk0
U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi - adhezionog prethodnog naprezanja, nakon
presecanja u`adi sila se iz u`eta prenosi na beton jedino preko adhezije ~elika i betona.
Da bi se sila uvela u beton, potrebna je izvesna du`ina - du`ina preno{enja lt0 , slika 4.32.
Ova vrednost obi~no je definisana propisima. Prema Evrokodu, du`ina uvodjena zavisi od
kvaliteta betona, i iznosi (30-50) pre~nika u`eta, za ~vrsto}e betonskog cilindra od 5030MPa. Na ovoj du`ini napon u u`etu raste od nule na kraju u`eta, do ra~unskog napona
sk0 , slika 4.32.
Kako se element pribli`ava grani~noj nosivosti,
rastu i naponi u u`etu. Du`ina sudrenja ltu je
du`ina potrebna da se sa ~elika na beton prenese 'grani~na' sila/napon u u`etu, pri ~emu se
za 'grani~nu' vrednost napona mo`e usvojiti
a.)
granica velikih izdu`enja. Kao i u klasi~nom
lt0
ltu
betonu, u`e treba za du`inu sidrenja produ`iti
Nku
iza preseka u kome je potrebna puna sila u`eta
b.)
Nku , slika 4.32.b.
Nk0
U zoni sidrenja mogu da se pojave popre~ni
naponi zatezanja, pa je po`eljno da se na krajeSlika 4.32 Du`ina preno{enja i sidrenja
vima elementa predvide vertikalne uzengije.
4.7.2 Naknadno prethodno naprezanje
Na mestu uvodjenja sile prethodnog naprezanja pomo}u kotvi, dozvoljavaju se vrlo veliki
naponi pritiska na beton ispod samih podlo`nih plo~a kotve. Da bi se ova lokalna zona betona utegla, i spre~ilo lokalno bo~no cepanje betona, odmah uz podlo`nu plo~u postavlja se
spiralna armatura - 'spirala', koja je obavezni deo kotve.
Z
a.)
Z
b.)
Slika 4.33 Sile 'cepanja' betona u zoni uvodjenja sile prethodnog naprezanja
Iza kotve, trajektorije napona pritisaka se polako {ire i 'ulivaju' u presek elementa, {to za
posledicu ima pojavu bo~nih napona zatezanja u betonu, na du`ini nosa~a pribli`no jednakoj visini elementa ('St.Venantov-a hipoteza'). Ove sile zatezanja mogu da izazovu pojavu
horizontalnih prslina, zbog ~ega je potrebno izvr{iti kontrolu, i armirati zonu uvodjenja
vertikalnim uzengijama.
Na slici 4.33 prikazani su dijagrami popre~nih napona i rezultuju}a sila zatezanja Z u
horizontalnom preseku nosa~a kroz osu kotve, za dva polo`aja kotvi. Analiza je uradjena
4-27
metodom kona~nih elemenata i programom
'Panel Pro', firme Radimpex iz Beograda.
Dosta dugo u praksi su kori{}ena pribli`na
re{enja ovog problema teorije elasti~nosti,
koja se danas mogu lako modelirati kona~nim elementima, kao {to je prikazano.
Armaturu sra~unatu iz sile Z , treba
rasporediti prema dijagramu pore~nih
napona zatezanja.
Nk
Na slici 4.34 prikazane su trajektorije napona za slu~aj kotve na donjem kraju, prema
Slika 4.34 Metoda '{tapova i zatega'
slici 4.33.a. Preko trajektorija su iscrtani '{tapovi stati~ki odredjene re{etke', koji prate glavne tokove sila u oblasti uvodjenja. Puna
linija prikazuje zategnute {tapove, a crtkasta pritisnute. Ovo je samo ilustracija metode
'pritisnutih {tapova i zatega', koja se danas preporu~uje za primenu, i bazira se na
konceptu grani~nih stanja. Projektant treba da ima ideju kako izgledaju trajektorije
napona elasti~nog re{enja, pa da na osnovu toga formira jednu 'mogu}u stati~ki odredjenu
re{etku', sra~una sile u {tapovima i izvr{i obezbedjenje uzengijama pravaca glavnih
zatezanja. Stvar je u razvoju.
U Ameri~koj literaturi dosta je zastupljen model analize uvodjenja prikazan na slici 4.35.
Model se bazira na elasti~nom re{enju, i metodologiji dopu{tenih napona. Spiralna armatura kojom se obezbedjuju loklani naponi ispod kotve (A), kao i vertikalne uzengije za
prihvatanje sila zatezanja zbog uvodjenja trajektorija u ceo presek (B), prikazani su na slici
4.35.a.
B
Prsline usled uvodjenja
napona u ceo presek
Uzengije
TL
Z
sb
a.)
A
Nk0
x
Prsline usled 'cepanja'
betona ispod kotve
Lokalno utezanje
betona - 'spirala'
Mmax
D
h
lu
b.)
Nk0
y
Nk0
ebk
d
T
c.)
d.)
Slika 4.35 Model prora~una uzengija za osiguranje horizontalnih prslina u zoni uvodjenja
Jedina optere}enja dela nosa~a na du`ini uvodjenja lu (pribli`no jednaka visini nosa~a d ),
su sila na kotvi Nk0 sa leve strane, odnosno formirano stanje napona sb usled dejstva samo
prethodnog naprezanja sa desne strane, slika 4.35.c. Pretpostavka modela je da }e se horizontalna prslina (detalj B, slika 4.35.a) pojaviti na odstojanju y od donje ivice preseka, u
horizontalnom preseku u kome se javlja najve}a sila zatezanja Z popre~no na osu nosa~a,
slika 4.35.b. Sila zatezanja Z posledica je momenata savijanja horizontalnih preseka, sa
maksimalnom vredno{}u Mmax , koja }e i izazvati pojavu prsline, slika 4.35.d. Momenti
4-28
savijanja po visini preseka posledica su skretanja trajektorija pritisaka, ~ija je rezultanta sa leve strane na mestu kotve, dok na desnoj strani rezultanta prolazi kroz te`i{te preseka TL, slika 4.35.c. Maksimalni moment savijanja uravnote`en je spregom unutra{njih sila
Z i D, na kraku sila (h-x), a sila smicanja T obezbedjuje ravnote`u horizontalnih sila u
preseku sa prslinom. Potrebna vertikalna armatura Fau za prihvatanje zile Z , sra~unava se
sa ne{to ni`im dopu{tenim naponom u ~eliku uzengija, zbog kontrole {irine prslina (ne
vi{e od 140MPa), i rasporedjuje se na du`inii od oko h / 2 od ~ela nosa~a. Algoritam
prora~una je slede}i:
- sra~unava se stanje normalnih napona sb preseka visine d usled dejstva samo sile
prethodnog naprezanja Nk0 , slika 4.35.c. Za vrednost sile Nk0 po`eljno je uzeti maksimalnu
vrednost sile na presi, sa eventualnim prekora~enjem zbog kompenzacije gubitaka usled
klizanja klina;
- za '{tap' optere}en sa jedne strane silom Nk0 , a sa druge'podeljenim optere}enjem'
- naponima sb , slika 4.35.c, sra~unavaju se momenti savijanja po visini, slika 4.35.d, i
odredjuje vrednost maksimalnog momenta Mmax ;
- za sra~unatu vrednost Mmax , sra~unava se sila zatezanja Z = Mmax / (h-x ) , gde
mo`e da se usvoji h @ d, i x @ (0,3-0,4)d ;
- na osnovu sile Z , potrebna ukupna povr{ina uzengija iznosi Fau = Z / sadop .
4.7.3 Du`ina uvodjenja
Trajektorije napona pritisaka unetih kotvom postupno propagiraju u presek. Da bi se
ostvarilo ra~unsko stanje napona u celom preseku, potrebna je odredjena du`ina - du`ina
uvodjenja, koja zavisi od geometrije popre~nog preseka nosa~a.
U slu~aju T - preseka, trajektorije prvo 'putuju'
kroz rebro, i potom zalaze i {ire se kroz gornju
flan{u, slika 4.36 (videti i sliku 2.19). Za ugao
ulivanja trajektorija b , obi~no se usvaja
vrednost arctg(2/3), odnosno b @ 34,50.
Nk
b
b
a.)
b
Kod slo`enih preseka, kao {to su preseci mostovskih nosa~a na primer, potrebno je kablove
uvesti 'na vreme', tako da se omogu}i formiranje o~ekivanih napona u `eljenim presecima.
b
b.)
Slika 4.36 Uvodjenje napona u presek
4-29
4.8 PRIMERI
4.8.1 Primer 1
Glavni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona
Lo=20m , izvodi se sa pravolinijskom trasom u`adi f15,2 sistema IMS, prethodnim naprezanjem na stazi, slika 4.37 i 4.38. Za pretpostavljeni raspored u`adi, izvr{iti kontrolu normalnih napona u preseku u sredini raspona i preseka nad osloncem, kao i kontrolu glavnih napona zatezanja preseka nad osloncem. Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog naprezanja (dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71.
Podaci:
Faza prethodnog naprezanja : MB35 (u`ad se obi~no presecaju pre dostizanja pune ~vrsto}e
betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom slu~aju.
Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%.
Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno
optere}enje Dg=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;
120
- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i
slika 4.3):
Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna
interpolacija izmedju MB30-MB40):
pritisak
17,3MPa
zatezanje
-2,8MPa
Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju
MB40-MB50):
pritisak
17,3MPa
zatezanje
-1,9MPa
5 6
20
6
5
70
5
5
20
Slika 4.37 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova
15
20
15
50
Slika 4.38 Popre~ni presek
- Dopu{tena po~etna sila prethodnog naprezanja N0k1 jednog
u`eta (katalog IMS, Tabela 1.7.2, klasa ~elika B, usvojeno
70% sile kidanja u`eta; skz=1860MPa, povr{ina u`eta
140mm2)
N0k1=182kN
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Te`i{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
Otporni moment preseka
Wb = 1,023x105 cm3
Odstojanje jezgra preseka od te`i{ta
kb = 27,29cm
4-30
- Polo`aj rezultante prethodnog naprezanja u odnosu na donju ivicu preseka
yk = (5x5,0 + 5x11,0 + 5x17,0 + 4x115,0)/19 = 32,89cm
- Ekscentricitet rezultante prethodnog naprezanja u odnosu na te`i{te preseka
ebk = yT - yk = 60,0 - 32,89 = 27,11cm
(A) Kontrola napona u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja
- Stati~ki uticaji u preseku usled sopstvene te`ine
g = Fbgb = 0,375x25 = 9,38kN/m
Za {irinu oslonaca pretpostavlja se b0=30cm, pa je ra~unski raspon grede
L=L0 - b0 = 20,0-0,3= 19,7m
Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm
Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled elasti~nih
deformacija od 5% (ukupno - n=19 u`adi)
Nk0 = n0,95N0k1 = 19x0,95x182 = 3285,1kN
Napon u betonu na donjoj ivici preseka (izrazi 4.14)
s b10 =
M
Nk0
e
3285 ,1
27 ,11
455 x10 2
= 13,0 MPa
(1 + bk ) - g =
(1 +
)Fb
kb 2
Wb1
3750
27 ,29 1,023 x10 5
Komentar: Napon u betonu manji je od dopu{tenog napona pritiska u fazi
prethodnog naprezanja od 17,3MPa
Napon u betonu na gornjoj ivici preseka
s b 20
M g 3285 ,1
Nk 0
ebk
27 ,11
455 x10 2
=
=
= 4,5 MPa
(1 )+
(1 )+
Fb
k b1 Wb 2
3750
27 ,29 1,023 x10 5
Komentar: U fazi prethodnog naprezanja ne javlja se napon zatezanja na
gornjoj ivici preseka.
(B) Kontrola napona u preseku kod oslonca u fazi prethodnog naprezanja
Mg=0
s b10 =
Nk0
e
3285,1
27,11
(1 + bk ) =
(1 +
) = 17,4 MPa
Fb
kb 2
3750
27,29
Komentar: Napon u betonu pribli`no je jednak dopu{tenom naponu pritiska
u fazi prethodnog naprezanja od 17,3MPa.
s b 20 =
Nk0
e
3285,1
27,11
(1 - bk ) =
(1 ) = 0,1MPa
Fb
kb1
3750
27,29
Komentar: U fazi prethodnog naprezanja ne javlja se napon zatezanja na
gornjoj ivici preseka. Konstantan raspored u`adi prema slici 4.38, sa delom
u`adi u oblasti gornje flan{e, usvojen je tako da i u preseku iznad oslonca
naponi u betonu budu u granicama dopu{tenih.
4-31
(C) Kontrola napona u sredini raspona u fazi eksploatacije
- Stati~ki uticaji u preseku usled sopstvene te`ine
Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm
- Stati~ki uticaji u preseku usled dodatnog stalnog optere}enja
MDg = DgL2 / 8 = 16,0x19,72 / 8 = 776,2kNm
- Stati~ki uticaji u preseku usled korisnog optere}enja
Mp = pL2 / 8 = 8,5x19,72 / 8 = 412,3kNm
- Ukupni moment savijanja u preseku usled spolja{njih optere}enja
Mq = 455,0 + 776,2 + 412,3 = 1643,5kNm
- Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled te~enja i
skupljanja betona od 20% (w=0,80)
Nkt = 0,80Nk0 = 0,80x3285,1 = 2628,1kN
- Napon u betonu na donjoj ivici preseka
s b1t
M q 2628,1
N kt
ebk
27,11 1643,5 x10 2
=
=
= -2,1MPa
(1 +
)(1 +
)3750
27,29
1,023 x10 5
Fb
kb 2
Wb1
Komentar: Napon zatezanja u betonu ne{to je ve}i od dopu{tenog napona
zatezanja u fazi eksploatacije od -1,95MPa. Prekora~enje do 3% moglo bi da
se toleri{e. S obzirom da su gubici sile prethodnog naprezanja pretpostavljeni, i da je usvojen bruto betonski presek, treba probati da se ta~nijim
prora~unom eventualno doka`e da su naponi ipak u granicama dopu{tenih.
- Napon u betonu na gornjoj ivici preseka
s b 2t
M q 2628,1
N kt
ebk
27,11 1643,5 x10 2
=
=
= 16,1MPa
(1 )+
(1 )+
Fb
k b1
Wb 2
3750
27,29
1,023 x10 5
Komentar: Napon pritiska na gornjoj ivici preseka u eksploataciji manji je
dopu{tenog napona od 17,3MPa.
(D) Kontrola napona u preseku kod oslonca u fazi eksploatacije
Mq=0
s b1t =
N kt
e
(1 + bk ) = ws b10 = 0,80 x17,4 = 13,9 MPa
Fb
kb 2
Komentar: Napon u betonu manji je od dopu{tenog naponu pritiska u fazi
eksploatacije od 17,3MPa.
s b 2t = ws b 20 = 0,80 x 0,1 = 0,08 MPa
Komentar: U fazi eksploatacije ne javlja se napon zatezanja na gornjoj ivici
preseka.
4-32
(E) Kontrola glavnih napona zatezanja u eksploataciji u preseku nad osloncem
- Maksimalna vrednost transverzalne sile usled spolja{njih optere}enja (nagib rezultante prethodnog naprezanja b=0), izraz (4.8)
Tq = (g + Dg + p)L/2 = (9,38 + 16,0 + 8,5)x19,7/2 = 333,6kN
- Sredi{nji napon pritiska u betonu
s bot =
N kt 2628,1
=
= 7,0MPa
Fb
3750
- Napon smicanja (izraz 4.10)
t=
Tq S
I bb
- Stati~ki moment u odnosu na te`i{te preseka
S=6,88x104 cm3
- [irina rebra preseka
b = 20cm
333,6 x6,88 x10 4
t=
= 1,9MPa
6,141x106 x 20
- Glavni napon zatezanja (izraz 4.9)
s2 =
s bot
2
-
2
s bot
4
+t2 =
7 ,0
2
7 ,0 2
+ 1,9 2 = -0,5 MPa
4
Komentar: Napon zatezanja manji je od -1,0MPa (za MB45), pa nije
potreban prora~un osiguranja uzengijama.
4-33
4.8.2 Primer 2
120
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
- Stati~ki moment u odnosu
na te`i{te preseka
S=6,88x104 cm3
- Sredi{nji napon pritiska u betonu
5
70
5
5
20
Za presek nosa~a krovne konstrukcije sistema proste grede, prethodno napregnutog na
stazi pravolinijskom trasom u`adi f15,2 sistema IMS, slika 4.39, izvr{iti kontrolu glavnih
napona zatezanja u eksploataciji prema PNB71, u preseku nad osloncem.
Podaci: Maksimalna transverzalna sile usled spolja{njih optere}enja Tq = 590kN. Trajna
sila prethodnog naprezanja Nkt = 2628,1kN. Marka betona MB45.
5 6
20
6
s bot =
15
20
N kt 2628,1
=
= 7,0MPa
Fb
3750
- Napon smicanja (izraz 4.10)
15
t=
50
Slika 4.39 Popre~ni presek
na osloncu
Tq S
590,0 x6,88 x10 4
=
= 3,3MPa
I bb
6,141x106 x 20
- Glavni napon zatezanja (izraz 4.9)
s2 =
s bot
2
-
2
s bot
7 ,0
+t =
4
2
2
7 ,0 2
+ 3,32 = -1,3MPa
4
Komentar: Glavni napon zatezanja ve}i je od -1,0MPa, ali i manji od
-2,25MPa (za MB45). Gornja granica nije prekora~ena, ali je potrebno
obezbedjenje glavnih napona zatezanja uzengijama.
- Prora~un potrebnih vertikalnih uzengija (izraz 4.11)
f au
s 2b
=
eu s udop m
Pretpostavljaju se dvose~ne (m=2) uzengije f8 (fu=0,5cm2), od rebraste armature
RA400/500. Za dopu{teni napon usvaja se vrednost od sudop=200MPa (prema
BAB87, dopu{teni napon iznosi 240MPa, tabela 23, ali je usvojen ne{to ni`i dopu{teni napon, da bi eventualne kose prsline bile manjih {irina).
- Potreban razmak uzengija
eu =
140 x 2 x 0,5
= 7,7cm
1,3 x 20,0
Usvojeno: URf8/7,5
4-34
4.8.3 Primer 3
Za popre~ni presek u sredini nosa~a sistema proste grede, odrediti globalni koeficijent
sigurnosti od loma preseka savijanjem, prema metodologiji PNB71 - BAB87, slika 4.40.
20
Podaci: MB45 ; Moduo elasti~nosti betona Eb = 35000MPa; U`ad f15,2 sistem IMS ;
^vrsto}a kidanja u`eta skz = 1860MPa (slika 4.41); Moduo elasti~nosti u`adi Ek
=195000MPa; Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja Nkt = 2074,8kN; Maksimalna
vrednost momenta savijanja usled spolj{njih optere}enja Mq=1643,5kNM.
sk
sky=0,9skz
=1670MPa
Demax
120
70
5
skz
=1860MPa
5 6
20
6
5
De
15
20
ek
15
e
Dilatacija x 103
deky
10
eky=8,5
50
Slika 4.40 Popre~ni presek
Slika 4.41 Radni dijagram u`adi
- Odstojanje rezultante sile prethodnog naprezanja od donje ivice preseka
yk = 11,0cm
- Ekscentricitet rezultante sile prethodnog naprezanja u odnosu na te`i{te preseka betona
ebk = 60,0 - 11,0 = 49,0cm
- Trajni napon u`adi
Povr{ina jednog u`eta
f=140mm2
Ukupna povr{ina u`adi (n=15 komada)
Fk = 15x1,4 = 21,0cm2
skt = Nkt / Fk =2074,8/21,0 = 988MPa
- Dilatacija u`adi za prethodno naprezanje pri trajnom naponu
ekt = skt / Ek = 988/195000 = 5,1
- Dodatna dilatacija zbog dekompresije preseka
Napon u betonu u nivou rezultante sile prethodnog naprezanja, usled dejstva samo
prethodnog naprezanja
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
4-35
Polupre~nik inercije preseka
i2 = Ib / Fb = 6,141x106 / 3750 = 1637,6cm
s bkt =
N kt
e2
2074,8
49,0
(1 + bk2 ) =
(1 +
) = 5,7 MPa
Fb
i
3750
1637,6
Dilatacija do dekompresije
e kd = s bkt / Eb = 5,7 / 35000 = 1,6 x10-4 =0,16
- Ukupna po~etna dilatacija u`adi
ek = ekt + ekd = 5,1 + 0,16 = 5,3
Razlika do granice velikih izdu`enja
dek = eky - ek = 8,5 - 5,3 = 3,2
5 6
15
20
x
bx
z
120
Db=Zk
Zk
22,5
6
75
22,5
afC
15
50
Slika 4.42 Ra~unski popre~ni presek
- Ra~unski podaci za pritisnutu povr{inu betona
U odnosu na ~vrsto}u kocke fk , ~vrsto}a cilindra iznosi fC @ 0,7 fk
Za MB45, fC = 0,7fB = 0,7x45=31,5MPa
Za a =0,85, afC = 0,85 x 31,5 = 26,8MPa
Komentar: Prema BAB87, za radni dijagram betona usvaja se (afC = ) fB =
27,75MPa (za MB45), {to je ne{to vi{e od prethodno sra~unate vrednosti.
Usvaja se afC =26,8MPa.
Stvarni presek sa vutama aproksimira se zamenjuju}im presekom bez vuta, slika
4.42.
- Odredjivanje polo`aja neutralne linije x pri 'lomu'
Uslov ravnote`e normalnih sila u preseku
Zk = Db
4-36
U slu~aju da je neutralna linija u rebru nosa~a
21,0xsk = 2x15,0x22,5x2,68 + 20,0x0,8(X)x2,68 , odnosno
21,0xsk = 1809+42,88X
(kN,cm)
U slu~aju da je neutralna linija u gornjoj flan{i
21,0xsk = 50,0x0,8(X)x2,68, odnosno
21,0xsk = 107,2X
(kN,cm)
Iteracije:
1. Iteracija eb = 3,5, Dek = 10
Polo`aj neutralne linije
h = d - a = 120,0 - 11,0 = 109,9cm
x=
eb
e b + De k
h = (3,5/13,5)109,9 = 28,5cm > 22,5cm (visina flan{e)
Ukupna dilatacija ~elika
eku = ek + Dek = 5,3 + 10,0 = 15,3 > eky = 8,5
Napon u ~eliku
sk= sky = 1670MPa
Sila zatezanja kablova
Zk = 21x167,0 = 3597kN
Sila pritiska u betonu
Db = 1809 + 42,88x28,5 = 3031,1kN < Zk = 3597kN
Treba pove}ati Db , odnosno X
2. Iteracija eb = 3,5, Dek = 6,0
Polo`aj neutralne linije
x=
eb
e b + De k
h = (3,5/9,5)109,9 = 40,5cm > 22,5cm (visina flan{e)
Ukupna dilatacija ~elika
eku = ek + Dek = 5,3 + 6,0 = 11,3 > eky = 8,5
Napon u ~eliku
sk= sky = 1670MPa
Sila zatezanja kablova
Zk = 21x167,0 = 3597kN
Sila pritiska u betonu
Db = 1809 + 42,88x40,5 = 3545,6kN @ Zk = 3597kN
4-37
- Kapacitet nosivosti preseka - 'moment loma preseka'
MRu = Dbz
Udeo sile pritiska u bo~nim stranama flan{e
Db1 = 1809kN
z1 = h - 22,5/2 = 109,9 - 22,5/2 = 98,65cm
Udeo sile pritiska u rebru
Db2 = 42,88x40,5= 1736,6kN
z2 = h - bX/2 = 109,9 - 0,8x40,5/2 = 93,7cm
Moment loma preseka
MRu = 1809x0,98 + 1736,6x0,937 = 3400,0kNm
- Globalni koeficijent sigurnosti od loma savijanjem
g = MRu / Mq = 3400,0/1643,5 = 2,07 > 1,8 (obi~no se toliko zahteva)
Komentar:
U slu~aju preseka sa izra`enim pritisnutim flan{ama, polo`aj sile pritiska u betonu
mo`e da se pretpostavi u polovini visine flan{e df (analogija sa 'T-presecima sa
neiskori{}enim naponima'). Tada je krak sila z=h - df / 2, odnosno moment loma
iznosi MRu = Fkskyz .
U slu~aju stati~ki neodredjenih nosa~a, u momenat usled spoljnih optere}enja Mq
ulazi i vrednost 'sekudarnog momenta' usled prethodnog naprezanja, izraz (4.17).
4-38
4.8.4 Primer 4
Za stanje napona u preseku u sredini raspona u fazi eksploatacije, primer 4.8.1, izvr{iti
obezbedjenje armaturom normalnih napona zatezanja, kao i prora~un koeficijenta sigurnosti od pojave prslina, slika 4.43.
15
20
120
x
5 6
20
6
5
70
5
20
sb2t=16,1MPa
sb1t=-2,1MPa
15
50
Slika 4.43 Stanje napona u eksploataciji
- Prihvatanje armaturom rezultante zatezanja
Polo`aj neutralne linije x
x=
s b1t
2,1
120,0 = 13,8cm
d=
s b17 + s b 2t
2,1 + 16,1
Rezultanta napona zatezanja
Za = 0,5x50,0x13,8x0,21=72,5kN
Potrebna povr{ina armature RA500/500 (izraz 4.18)
Dopu{teni napon u armaturi - zbog kontrole prslina, usvojeno sadop=140MPa
fa = Za / sadop= 72,5 / 14,0 = 5,2cm2
Usvojeno: 6Rf10
- Koeficijent sigurnosti od pojave prslina (izrazi 4.19 i 4.20)
Srednja ~vrsto}a betona pri aksijalnom zatezanju (prema BAB87)
f bz = 0,7 f bzm = 0,7 x0,253 f bk2 = 0,7 x0,253 45 2 = 2,2 MPa
^vrsto}a betona pri zatezanju savijanjem fbzs (d - visina preseka u metrima)
f bzs
0,4
0,4
= (0,6 + 4 ) = (0,6 +
) = 1,0
4 1,2
f bz
d
4-39
Ivi~ni napon na donjoj ivici betona usled dejstva samo prethodnog naprezanja
s bk 1 =
N kt
e
2628,1
27,11
(1 + bk ) =
(1 +
) = 13,9 MPa
Fb
kb 2
3750
27 ,29
Moment savijanja pri kome se otvara prslina
M p = Wb1 (s bk 1 + f bzs ) = 1,023 x10 5 (1,39 + 0,22 ) = 1647 ,0 kNm
Koeficijent sigurnosti od pojave prslina
gp =
Mp
M
=
1647,0
= 1,00 < 1,15
1643,5
Komentar: Napon zatezanja u preseku je blizu ~vrsto}e betona na zatezanje, pa se i
ne mo`e o~ekivati da je, pri dopu{tanju pojave zatezanja, zadovoljen i koeficijent
sigurnosti od pojave prslina.
4-40
4.8.5 Primer 5
Za dispoziciju kraja nosa~a i raspored kotvi na ~elu nosa~a izvr{iti obezbedjenje uvodjenja
sile prethodnog naprezanja u presek, slika 4.43.
Podaci: Kablovi 4f16 sistema IMS (~etri u`eta f16 formiraju kabl), po~etna sila na presi
Nk01=893kN (pri 80% sile kidanja)
120
70
20
22.5
5
85
110
5
20
A
A
~120
15
20
15
50
Slika 4.44 Dispozicija kraja nosa~a sa rasporedom kotvi
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog I-preseka
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Te`i{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
Otporni moment preseka
Wb = 1,023x105 cm3
Odstojanje jezgra preseka od te`i{ta
kb = 27,29cm
- Stanje napona usled dejstva samo prethodnog naprezanja na ~elu nosa~a - presek A-A
Rezultanta prethodnog naprezanja (zanemaren nagib kablova)
Nk0 = 4xNk01 = 4x893,0 = 3572kN
Polo`aj rezultante na ~elu nosa~a u odnosu na donju ivicu nosa~a
yk = (2x893x22,5 + 893,0x85,0 + 893,0x110,0)/3572 = 60,0cm
Ekscentricitet rezultante u odnosu na te`i{te betonskog preseka
ebk = 60,0 - 60,0 =0,0cm
Centri~ni napon pritiska
s bT 0 =
N k 0 3572
=
= 9,5MPa
Fb
3750
4-41
Dijagram napona u preseku dat je na slici 4.45.a. Linijsko optere}enje po visini
preseka, sra~unato kao proizvod napona i {irine nosa~a, dato je na slici 4.45.b.
Stvarni presek zamenjen je 'ra~unskim presekom', sa pravougaonim flan{ama visine
22,5cm, bez vuta. Momenti savijanja usled istovremenog dejstva koncentrisanih sila
na ~elu nosa~a, i napona pritiska sa desne strane dati su na slici 4.4.5.c.
47,5kN/cm
893kN
9,5MPa
1786kN
19,0kN/cm
19,0kN/cm
14873kNcm
T
1786kN
22.5
22.5
1786kN
a.)
893kN
19,0kN/cm
T
893kN
75
T
75
893kN
22.5
893kN
60
22.5
893kN
b.) 47,5kN/cm
12023
kNcm
c.)
Slika 4.45 Naponi, linijsko optere}enje i 'momenti' u zoni uvodjenja sila prethodnog naprezanja
Najve}i moment savijanja u horizontalnoj ravni javlja se u te`i{tu preseka
Mmax= 14873kNcm = 148,7kNm
Sila zatezanja horizontalnog preseka (za oznake, videti sliku 4.35)
h @ d =1,20m
Usvojeno
x @ 0,35 d = 0,35x1,20 = 0,42m
Z = Mmax / (h-x ) = 148,7/(1,20 - 0,42) = 190,6kN
Potrebna povr{ina vertikalnih uzengija
Rebrasta armatura RA400/500, usvojeno sadop =160MPa
Potrebna povr{ina uzengija
Fau = Z / sadop = 190,6/16,0 = 11,9cm2
Usvojeno: 6 ~etvorose~nih uzengija URf8/10 (Fu = 12,0cm2), koje se
rasporedjuju na polovini du`ine uvodjenja prema ~elu nosa~a (prvih 60cm).
4-42
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.
PROJEKTOVANJE
PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA
U prva ~etiri poglavlja izlo`eni su i ilustrovani prakti~no svi, ili bar ve}ina pojmova potrebnih za projektovanje prethodno napregnutih konstrukcija bez prslina, prema jo{ uvek
va`e}im propisima PNB71. Poznavaju}i samu tehnologiju - deo 1, i njene stvarne efekte deo 2-3, kriterijume koje mora da zadovolji prethodno napregnuta konstrukcija - deo 4,
mogu}e je ispuniti razli~itim postupcima projektovanja. [ta je najracionalnije, zavisi od
li~nog 'stila' - prakse, zavisi i od vrste problema kao i od toga da li se koriste mogu}nosti
razli~itih softvera, ili se radi tradicionalno - 'ru~no'. U nastavku su data uputstva kako da se
postupak projektovanja racionalno organizuje.
5.1 DEFINICIJA PROBLEMA
Na po~etku posla, projektantu su poznati osnovni podaci-uslovi kao {to su:
- tip konstrukcije (monta`na-monolitna, stati~ki odredjena-neodredjena);
- rasponi;
- optere}enja (osim sopstvene te`ine konstrukcije);
- uslovi sredine u pogledu agresivnosti, uslovi eksploatacije;
- eventualno dozvoljeni gabariti (ograni~enja u pogledu dimenzija elemenata) itd.
Na osnovu polaznih parametara, ali i analiziraju}i stanje na tr`i{tu kao i uslove gradjenja,
potrebno je definisati koncept prethodnog naprezanja i gradjenja:
- postupak prethodnog naprezanja (unutra{nje-spolja{nje, naknadno-adheziono, sa
ili bez spoja);
- nivo prethodnog naprezanja, na bazi uslova eksploatacije-agresivnosti sredine
(potpuno, ograni~eno, parcijalno);
- sistem prethodnog naprezanja (karakteristike kablova, kotvi, presa itd. Obi~no se u
projektu navode bar tri poznata proizvodja~a izabranog sistema, kao primer, tako da
na tenderu mo`e da u~estvuje vi{e ponudja~a);
- postupak i sekvence gradjenja itd.
Imaju}i u vidu sve navedene uslove, potrebno je organizovati postupak projektovanja i
projektom obuhvatiti dokaz pouzdanosti konstrukcije:
- izbor popre~nih preseka konstrukcije;
- izbor koli~ine, rasporeda u okviru preseka kao i oblik trase du` nosa~a kablova
(u`adi) za prethodno naprezanje;
- izbor redosleda utezanja kablova (sa jedne strane, sa obe strane, dotezanja itd.)
- dokaz stanja napona u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije;
- dokaz stanja prslina u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije;
- dokaz stanja deformacija u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije;
- dokaz grani~nog stanja nosivosti-sigurnosti od loma karakteristi~nih preseka;
- kontrola zona uvodjenja sila prethodnog naprezanja;
- postupak kontrole postupka utezanja (sile-pritisci na presi, izdu`enja kablova);
Danas se na tr`i{tu mogu na}i gotovi proizvodi - monta`ni elementi (tavanice, krovni
nosa~i itd.), ili kompletni sistemi (prefabrikovane hale itd.) pojedinih proizvodja~a, tako da
5- 1
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
se projektovanje vr{i izborom elemenata iz kataloga, i njihovim uklapanjem u odredjenu
dispoziciju. Pretpostavimo da je ipak potrebno uraditi kompletan projekat, i da su prva dva
koraka - definisanje uslova i izbor koncepta prethodnog naprezanja zavr{eni: potrebno je
uraditi projekat ograni~eno prethodno napregnute monolitne konstrukcije. Kako racionalno dokazati pouzdanost konstrukcije?
Jednozna~an algoritam, koji bi u jednom prolazu garantovao zadovoljenje svih parametar
pouzdanosti ne postoji, postupak projektovanja je obi~no iterativan. Uvek je mogu}e
pretpostaviti sve (presek, trasu, kablove itd.) i potom izvr{iti kontrolu. Ako su elementi
tipski, ve} projektovani, na bazi iskustva se mo`e brzo do}i do zadovoljavaju}ih re{enja.
Ako se polazi od 'belog papira', postavlja se pitanje koji od tri osnovna kriterijuma pouzdanosti je merodavan za odredjivanje dimenzija preseka i sile prethodnog naprezanja:
- kriterijum napona (ujedno i prslina, ograni~avanjem napona zatezanja);
- kriterijum deformacija;
- kriterijum grani~ne nosivosti preseka?
U literaturi postoje postupci za dimenzionisanje preseka, potrebne sile prethodnog
naprezanja kao i njenog ekscentriciteta u slu~aju popre~nih preseka stati~ki odredjenih
nosa~a, zasnovani na teoriji dopu{tenih napona. Medjutim, iskustva sa primenom tog
postupka nisu sjajna, tako da se u praksi, pa i u ovom tekstu, prednost daje postupku u
kome se prvo pretpostavlja popre~ni presek elementa, i potom se vr{i izbor veli~ine sile i
trase prethodnog naprezanja, odnosno sve druge potrebne kontrole.
5.2 PRETPOSTAVLJANJE OBLIKA I DIMENZIJA POPRE^NIH PRESEKA
Oblik popre~nog preseka bira se u skladu sa namenom elementa-konstrukcije, dok se
dimenzije popre~nog preseka odredjuju prema naponsko-deformacijskim kriterijumima
koje treba zadovoljiti, ali i vode}i ra~una o sme{taju kablova, za{titnim slojevima itd. Na
slici 5.1 prikazani su neki tipi~ni oblici popre~nih preseka prethodno napregnutih nosa~a. U
tabeli su date orijentacione vrednosti odnosa raspon/visina elementa - L/ d . Pored toga,
tabela sadr`i jo{ dva podatka koji mogu da budu od koristi pri dimenzionisanju prethodno
napregnutih preseka: ostvarljiv ekscentricitet kabla u odnosu na gornju ta~ku jezgra preseka ebk + kb2 , kao i ukupnu visinu jezgra preseka kb1 + kb2 , o ~emu }e vi{e re~i biti u nastavku.
Ako je u pitanju konstrukcija prethodno napregnute tavanice livene na licu mesta, tada je
pun 'pravougaoni presek' prirodan izbor. U nastavku, data su dva tipa monta`nih tavanica,
'o{upljenog' i 'TT' preseka. Visoki nosa~ sa {irokom gornjom flan{om, tipi~an je izbor za
konstrukcije krovova i tavanica ve}eg raspona, pri ~emu se monta`ni elementi sla`u jedan
uz drugi. Poslednja dva preseka su tipi~ni za 'glavne nosa~e' preko kojih se postavlja
sekundarna konstrukcija, ro`nja~a sa krovnim pokriva~em, na primer. Da bi se stekla predstava o dimenzijama elemenata, na slikama 5.2-5.4 prikazani su tipi~ni primeri elemenata
prethodno napregnutih na stazi. O{upljene tavanice i korube P- (ili duplo T) preseka se
danas {iroko primenjuju, na rasponima i do 16m. Prethodno naprezanje se uglavnom vr{i
pravolinijskom trasom u`adi, jer je najjednostavnije. Preko koruba se obi~no dodaje 4-5cm
betona, armiranog mre`ama, zbog monolitizacije tavanice u svojoj ravni. Glavni nosa~
konstrukcije krova na slici 5.4 raspona 20m, takodje je prethodno napregnut pravolinijskom
trasom u`adi, jer se pokazalo da je na ovim 'srednjim' rasponima to racionalnije, zbog
visoke cene kotvi.
5- 2
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Tip elementa
Raspon/visina
L/d
< sopstvena
te`ina
d
d
d
d
Korisno opt.
kN/m2
kb1+kb2
0,47d
0,33d
40
2,50
5,00
40-50
32-42
0,58d
0,49d
2,50
5,00
25-35
18-28
0,70d
0,43d
2,50
5,00
23-32
19-24
0,76d
0,48d
< sopstvena
te`ina
d
d
ebk+kb2
20
0,50d
0,33d
18-30
0,64d
0,51d
28
5
4
5
20
5
4
Slika 5.1 Tipi~ni prethodno napregnuti preseci
6
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
6
120
Slika 5.2 O{upljena monta`na tavanica
Slika 5.3 Monta`na tavanica - 'korube P preseka'
5- 3
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Slika 5.4 Glavni nosa~ prethodno napregnut na stazi pravolinijskom trasom u`adi
- veliki odnos dodatnih optere}enja u odnosu na sopstvenu te`inu
5.3 PRETHODNO NAPREZANJE KAO 'SILA U JEZGRU PRESEKA'
Da bi se ubrzao postupak i dobio racionalan rezultat projekta prethodno napregnutih nosa~a, korisno je da se izrazi za napone u preseku, poglavlje 4.3.1, interpretiraju na in`enjerski
- 'slikovit' na~in. S obzirom da se razmatraju konstrukcije u kojima je obezbedjeno da nema
napona zatezanja u preseku, ili su naponi zatezanja u dopu{tenim granicama, tada se kao
jedan od ciljeva prethodnog naprezanja mo`e postaviti da rezultuju}a normalna sila u
preseku u svakom trenutku deluje unutar jezgra preseka. Pretpostavka analize koja
sledi je, da su uticaji prethodnog naprezanja sra~unati u odnosu na sistemnu liniju koja
prolazi kroz te`i{ta popre~nih preseka konstrukcije, kao i da spolja{nja optere}enja ne
izazivaju normalne sile u presecima.
Dejstvo prethodnog naprezanja, kao jedinog spoljnog optere}enja, izaziva u te`i{tu nekog
preseka konstrukcije normalnu silu (pribli`no jednaku sili prethodnog naprezanja Nk ), i
moment savijanja preseka Mk . Efekat istovremenog dejstva momenta i normalne sile u
te`i{tu preseka, mo`e da se zameni dejstvom rezultuju}e normalne sile Db sa napadnom
ta~kom na ekscentricitetu c = Mk / Nk u odnosu na te`i{te preseka. Ta~ka u kojoj deluje rezultuju}a sila pritiska u betonu naziva se i centar pritiska.
k2
kb2
kb2
b.)
a.)
ebk
d
Db = Nk
Nk
ak
c
Nk
ak
Db = Nk
k1
Mks/Nk
d
k1
kb1
kb1
Tb
ebk
c=ebk
Tb
k2
Slika 5.5 Polo`aj 'centra pritiska' u preseku stati~ki odredjenih (a), i
stati~ki neodredjenih (b) konstrukcija
U slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, polo`aj rezultuju}e sile pritiska Db = Nk u betonu
poklapa se sa polo`ajem rezultante prethodnog naprezanja Nk , c = ebk , slika 5.5.a. To
omogu}ava da se moment savijanja u preseku usled prethodnog naprezanja sra~una direktnim postupkom, Mk = -Nk ebk (pozitivan moment zate`e donju ivicu preseka), videti i
poglavlje 2.1.3.
5- 4
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
U slu~aju stati~ki neodredjenih nosa~a, vrednosti momenata savijanja Mk preseka usled
prethodnog naprezanja, razlikuju se od momenata stati~ki odredjenih nosa~a za iznos sekundarnih momenata savijanja Mks = Mk - Nk ebk . Ako se prora~un uticaja u stati~ki
neodredjenoj konstrukciji radi primenom ekvivalentnih optere}enja i nekog softvera za
analizu konstrujkcija (a obi~no se tako i radi), direktan rezultat prora~una u nekom preseku upravo je ukupni moment usled prethodnog naprezanja Mk = Nk ebk + Mks . Istovremeno dejstvo normalne sile Nk , i momenta Mk usled prethodnog naprezanja, i u ovom slu~aju
mo`e da se zameni dejstvom rezultuju}e sile pritiska u betonu Db = Nk na ekscentricitetu c
= ebk + Mks / Nk u odnosu te`i{te preseka Tb , slika 5.5.b.
Od preseka do preseka, polo`aj sile pritiska Db se u principu menja, nalazi se na liniji centara pritiska. U slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, linija centara pritiska poklapa se sa
trasom rezultuju}eg kabla, c = ebk , naravno. U svakom slu~aju, efekat prethodnog naprezanja u nekom preseku opisan je jednom veli~inom, silom pritiska Db = Nk , koja deluje u
centru pritiska na ekscentricitetu c u odnosu na te`i{te preseka.
Iz kursa otpornosti materijala je poznato da, 'u preseku nema napona zatezanja, ako rezultuju}a sila pritiska deluje unutar jezgra preseka'. Na slici 5.5, definisana je donja kb1 , odnosno gornja ta~ka kb2 jezgra preseka i, kako se vidi, sila pritiska u betonu Db deluje van jezgra preseka. Rezultat bi bio pojava napona zatezanja na gornjoj ivici preseka, ali usled dejstva samo prethodnog naprezanja, koje je prikazano na ovoj slici kao jedino spoljno optere}enje. To je u skladu sa osnovnom idejom prethodnog naprezanja, stvoriti 'obrnuto
po~etno stanje napona'. [ta se dogadja kada se u analizu uklju~e i efekti spolja{njih optere}enja?
5.3.1 Stati~ki odredjeni nosa~i
S obzirom da se u toku utezanja kablova nosa~ izdi`e, aktivira se i sopstvena te`ina konstrukcije g , u preseku se pojavljuje i moment savijanja Mg usled sopstvene te`ine nosa~a.
Pre pojave dodatnih stalnih i povremenih optere}enja, ovo je stanje minimalnih ukupnih
momenata u preseku Mmin = Mk + Mg . Rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 u fazi
prethodnog naprezanja deluje na ekscentricitetu c = Mmin / Nk0 = ebk - Mg / Nk0 (voditi
ra~una o znaku momenata) u odnosu na te`i{te Tb preseka, odnosno na ekscentricitetu z =
Mg / Nk0 u odnosu na rezultantu prethodnog naprezanja Nk0 - rezultuj}a sila pritiska se
pomera ka gornjoj ivici preseka, slika 5.6.a. Bilo bi idealno da se u datom preseku, pri stanju minimalnih momenata, rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 'popne' na donju ivicu
jezgra preseka k1 , jer bi tada na gornjoj ivici preseka napon u betonu bio jednak nuli, dok
bi na donjoj ivici bio ostvaren pritisak sb10 u fazi prethodnog naprezanja, slika 5.6.a. To je
ve} projektantski podatak:
- da se ne bi pojavili naponi zatezanja na gornjoj ivici preseka u fazi prethodnog naprezanja, rezultantnu prethodnog naprezanja Nk treba postaviti na ekscentricitetu ebk
ebk £ k b1 +
Mg
Nk0
(5.1)
u odnosu na te`i{te Tb betonskog preseka, slika 5.6.a. Ovo re{enje garantuje da u
preseku nema zatezanja, ali ne garantuje i da je istovremeni napon pritiska sb10 u
dozvoljenim granicama - to treba proveriti.
5- 5
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Ako se pri stanju minimalnih momenata savijanja obavi te~enje, skupljanje i relaksacija ~elika, sila pritiska }e da padne na minimalnu, trajnu vrednost sile Dbt=Nkt=wNk0 , pa }e i
centar pritiska vremenom da dodatno zadje unutar jezgra preseka. Pojavom ostalih spolja{njih optere}enja, presek je istovremeno savijan maksimalnim momentom Mmax = Mk+Mq ,
(q - ukupno spolja{nje optere}enje) tako da se rezultuju}a sila pritiska Dbt dalje pomera ka
pritisnutoj ivici betona. Bilo bi optimalno da se pri ovom stanju sila, centar pritiska 'popne'
u gornju ta~ku jezgra preseka kb2 , slika 5.6.b. U tom slu~aju, na donjoj ivici preseka nema
zatezanja - napon u betonu jednak je nuli. Pa i to je koristan podatak:
- usled gubitaka sile prethodnog naprezanja, kao i dejstva dodatnih spolja{njih optere}enja u preseku, rezultanta pritisaka Dbt '{eta' unutar jezgra preseka. Da se pri
stanju maksimalnih momenata i minimalne normalne sile u preseku ne bi pojavili
naponi zatezanja na donjoj ivici preseka, potrebno je da je
ebk + k b 2 ³
Mq
(5.2)
wN k 0
sb2t
a.)
d
kb1
Db0
k1
Nk0
d
c
Mq
Tb
ebk
Nkt
ak
ak
k1
Mg
z=Mg/Nk0
c
Tb
Dbt
k2
z=Mq/Nkt
ebk
kb2
k2
sb10
b.)
Slika 5.6 '[etanje' rezultante pritiska D b unutar preseka pri potpunom prethodnom naprezanju
Da bi se rezultuju}a sila pritiska 'popela' sa donje, na gornju ta~ku jezgra pretpostavljenog
preseka, promena ekscentriciteta i ukupne visine jezgra preseka vezani su relacijom
k b1 + k b 2 ³
Mq
N kt
-
Mg
Nk0
=
M q - wM g
wN k 0
(5.2.a)
Za poznati presek i ukupne minimalne i maksimalne uticaje u preseku usled prethodnog
naprezanja i spolja{njih optere}enja, jednakost (5.2.a) defini{e minimalnu potrebnu
po~etnu silu prethodnog naprezanja minNk0 , potrebnu da odgovaraju}i ivi~ni naponi budu
jednaki nuli.
S obzirom da se bavimo ograni~eno prethodno napregnutim konstrukcijama, kod
kojih je dozvoljena i pojava napona zatezanja u betonu (ali ne i prslina), potrebno je
prethodnu analizu pro{iriti i na ovaj op{tiji slu~aj, slika 5.7.
Ako se u preseku dozvoljava pojava napona zatezanja sbz0 u fazi prethodnog naprezanja,
odnosno napona zatezanja sbzt u fazi eksploatacije, tada rezultuju}a sila pritiska u preseku
mo`e donekle da 'izadje' iz klasi~nog jezgra preseka, da se '{eta' unutar pro{irenog jezgra
preseka, koje zavisi i od normalne sile u preseku, i definisano je rastojanjima:
5- 6
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Wb 2
Nk0
W
+ s bzt b1
N kt
k1z = kb1 + s bz 0
a.)
d
k1
k1z
kb2 +sbztWb1/Nkt
Mq
sb2t
ebk
c
d
Nk0
Nkt
ak
Db0
k2
Tb
ebk
k1
k1z
Dbt
k2z
ak
c
Tb
Mg
z=Mg/Nk0
k2z
k2
kb1+sbz0Wb2/Nk0
sbz0
z=Mq/Nkt
k 2 z = kb 2
(5.3)
sb10
sbzt
b.)
Slika 5.7 '[etanje' rezultante pritiska D b unutar preseka pri ograni~enom prethodnom naprezanju
Sila pritiska u betonu jednaka po~etnoj sili prethodnog naprezanja, Db0 = Nk0 , koja deluje
na donjoj ivici k1z pro{irenog jezgra preseka, izazva}e na gornjoj ivici preseka napon zatezanja sbz0 , dok }e se napon zatezanja sbzt na donjoj ivici preseka, pojaviti pri dejstvu sile
pritiska u betonu Dbt = Nkt na gornjoj ivici k2z pro{irenog jezgra preseka, slika 5.7. Istovremeni naponi pritiska ne moraju da budu u granicama dopu{tenih, treba ih proveriti. Analogno prethodnoj analizi:
- da ne bi bio prekora~en napon zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja, rezultantnu prethodnog naprezanja Nk treba postaviti na ekscentricitetu ebk
ebk £ k b1 + s bz 0
Wb 2 M g
+
Nk0 Nk0
(5.4)
u odnosu na te`i{te Tb betonskog preseka, slika 5.7.a (naponi zatezanja sbz0 , sbzt
unose se kao pozitivne veli~ine).
- da se pri stanju maksimalnih momenata i minimalne normalne sile u preseku ne bi
pojavili naponi zatezanja na donjoj ivici preseka, potrebno je da je
ebk + k b 2 ³
Mq
wN k 0
- s bzt
Wb1
wN k 0
(5.5)
- da bi se rezultuju}a sila pritiska 'popela' sa donje, na gornju ta~ku jezgra pretpostavljenog preseka, promena ekscentriciteta i ukupne visine jezgra preseka vezani su
relacijom
k b1 + k b 2 ³
M q - wM g
wN k 0
-
s bz 0Wb 2
Nk0
-
s bztWb1
wN k 0
(5.5.a)
Ove relacije izvedene su iz uslova ograni~enja napona zatezanja, i uglavnom su u praksi
merodavne, jer su naponi pritiska obi~no manji problem. Ako se ispostavi da je ipak neki
5- 7
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
od napona pritisaka prekora~en, pove}anje kriti~ne pritisnute povr{ine betona - flan{e,
obi~no re{ava problem. Za tipi~ne popre~ne preseke, na slici 5.1 su date i uobi~ajene
vrednosti ebk + kb2 , odnosno kb1 + kb2 .
5.3.2 Stati~ki neodredjeni nosa~i
Prikazana interpretacija prethodnog naprezanja kao 'sile u jezgru preseka' naravno da va`i
i u slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija. Razlika je {to algoritam za stati~ki odredjene
konstrukcije polazi stanja na slici 5.5.a, dok je polaz za stati~ki neodredjene konstrukcije
stanje na slici 5.5.b. Efekat sekundarnih momenata savijanja je da sila prethodnog naprezanja Nk deluje ne ekscentricitetu c = ebk + Mks / Nk u odnosu na te`i{te betonskog preseka
Tb , kao da se te`i{te kablova fizi~ki pomerilo u drugi polo`aj. Sve {to je do sada re~eno u
vezi analize napona, va`i i dalje, jedino treba stvarni ekscentricitet ebk zameniti sa ra~unskim ekscentricitetom c .
Druga varijanta je da se rezultanta kablova zadr`i tamo gde jeste, na ekscentricitetu ebk , a
da se sekundarni momenti proglase 'dodatnim spolja{njim optere}enjem' koje deluje ve}
u fazi prethodnog naprezanja.
Na `alost to nije sve, i tzv. 'pro{ireno jezgro preseka' zavisi od sekundarnih momenata.
Dalje, svaka promena ekscentriciteta ebk rezultante sile prethodnog naprezanja u polju
nosa~a menja i efekte prethodnog naprezanja pa i sekundarne momente, tako da je zametno formulisati jednostavna uputstva za 'manipulaciju' naponima, silama i njihovim ekscentricitetima. O~igledno je da naponsko stanje nekog preseka nije samo 'stvar tog preseka'
kao u slu~aju stati~ki odredjenih konstrukcija, ve} mora da se analizira integralno, razmatranjem ~itavog sistema konstrukcije, kroz vi{e iteracija. Za kontinualne grede problem
mo`e da se formuli{e u programima tipa 'Excel', dok je u op{tem slu~aju, primena koncepta ekvivalentnog optere}enja racionalno i prirodno re{enje - analiza uticaja i napona
stati~ki neodredjenih sistema sa prethodnim naprezanjem kao spolja{njim optere}enjem.
5.4 ALGORITAM ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
NA BAZI KONTROLE IVI^NIH NAPONA ZATEZANJA
Kako na bazi dva navedena uslova organizovati algoritam dimenzionisanja? Na vi{e na~ina:
a.) za poznati presek i vrednosti momenata savijanja i dopu{tenih napona zatezanja,
kao i pretpostavljenu vrednost koeficijenta w , minimalna potrebna po~etna sila
Nk0 mo`e da se dobije iz izraza (5.5.a), a njen potreban ekscentricitet u odnosu na
te`i{te ebk iz izraza (5.4) ili (5.5). Ponovimo, sila Nk0 odredjena iz uslova (5.5.a) predstavlja minimalnu mogu}u vrednost, potrebnu da rezultanta pritiska Db 'pro{eta' izmedju grani~nih ta~aka jezgra preseka.
a.1) Ako je potreban ekscentricitet mogu}e realizovati, treba jo{ proveriti i
napone pritiska u fazi prethodnog naprezanja, odnosno u fazi eksploatacije.
Ako je prekora~en neki od napona pritisaka, tada treba pove}ati visinu i otporne momente preseka, ako je cilj minimalna sila - najmanja koli~ina
kablova;
5- 8
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
a.2) ^esto se ispostavi da potrebnu vrednost ekscentriciteta pri minimalnoj
potrebnoj sili prethodnog naprezanja nije mogu}e realizovati u preseku date
visine, ekscentricitet ebk mo`e da 'ispadne' van preseka, ili je suvi{e nisko u
preseku, pa potreban broj kablova nije mogu}e rasporediti na zadatom
ekscentricitetu. U ovom slu~aju preseka ograni~ene visine, treba pre}i na
naredni algoritam.
b.) za poznati presek, vrednosti momenata savijanja i dopu{tenih napona zatezanja,
kao i pretpostavljenu vrednost koeficijenta w , mo`e da se pretpostavi ekscentricitet ebk , da se iz nejedna~ine (5.4) odredi gornja granica potrebne po~etne sile
Nk0 , a iz nejedna~ine (5.5) donja granica potrebne po~etne sile prethodnog
naprezanja. Ve}a od dve vrednosti izazva}e pojavu dopu{tenog napona zatezanja
na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja, dok }e manja vrednost prouzrokovati
pojavu dopu{tenih napona zatezanja na donjoj ivici prseka u fazi eksploatacije. Ako
u ovom slu~aju nema re{enja, treba probati sa pove}anjem otpornih momenata
preseka pove}anjem flan{i.
Sve do sada bilo je govora o potrebnoj veli~ini sile prethodnog naprezanja u nekom - merodavnom preseku, sredina raspona proste grede, na primer. Da bi se odredila potrebna po~etna sila na presi, potrebno je proceniti gubitke usled trenja (ako je u pitanju naknadno prethodno naprezanje), za toliko uve}ati potrebnu silu na mestu kotvi, i potom odrediti
potreban broj kablova.
5.3.1 Uticaj razli~itih odnosa dodatnih optere}enja prema sopstvenoj te`ini nosa~a
a.)
Nk
b.)
Dbtmax
Nk
ebk
Dbgt
Nk
Dbtmin
Mmin/Nkt
ak
k1z
Mg/Nk0
k1z
Tb
ebk
Db0
ebk
k2z
Mq/Nkt
Mq/Nkt
Tb
ak
k1z
Db0
Mg/Nk0
Tb
k2z
ak
k2z
Dbt
Mg/Nkt
Dbt
Mq/Nkt
Na veli~inu potrebne sile prethodnog naprezanja i njen ekscentricitet bitno uti~e odnos
maksimalnih Mq i minimalnih Mg momenata savijanja u preseku, slika 5.8. Zatamnjena
oblast preko sva tri preseka, izmedju koordinata pro{irenog jezgra preseka k1z odnosno k2z ,
predstavlja oblast unutar koje se rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 odnosno Dbt '{eta' ,
zavisno od uticaja u preseku.
c.)
Mg
Mg
Mq
Mq
Slika 5.8 Potreban ekscentricitet e bk u zavisnosti od odnosa Mmax / Mmin
5- 9
minMq
Mg
maxMq
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
U slu~ajevima kada je sopstvena te`ina konstrukcije dominantna, slika 5.8.a, obi~no je merodavan kriterijum dopu{tenog napona zatezanja u eksploataciji, izraz (5.5). Iskori{}enje
napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja nema smisla, treba pustiti da po~etna rezultuju}a sila pritisaka Db0 zadje u jezgro preseka, tako da do gornje ta~ke jezgra ostane taman
koliko treba da se pri minimalnoj sili prethodnog naprezanja, i maksimalnom spolja{njem
momentu Mq , rezultuju}a sila pritiska Dbt popne na gornju ta~ku jezgra. O~igledno je da u
ovom slu~aju ukupna visina jezgra preseka mo`e da bude manja, mogu da se upotrebe
nosa~i sa manjim flan{ama, ili bez njih.
U slu~ajevima kada je sopstvena te`ina konstrukcije relativno mala, kao u slu~aju kranskih
staza na primer, slika 5.8.b, potrebni su preseci sa {to ve}om ukupnom visinom jezgra, jer
velika razlika momenata DM = Mq - Mg izaziva i veliku promenu ekscentriciteta rezultuju}e
sile pritiska Db . Preseci sa nagla{enim flan{ama su tipi~ni u ovim slu~ajevima, ali je ~esto
potrebna i pove}ana sila prethodnog naprezanja Nko , na manjem ekscentricitetu ebk .
Prethodna dva slu~aja su tipi~na za sisteme prostih greda, kod kojih dodatna optere}enja
obi~no pove}avaju momente savijanja (osim ako nije u pitanju sisanje vetra). Ako su momenti savijanja usled dodatnih optere}enja alternativnog karaktera, tada ukupni momenti u
eksploataciji mogu da budu ve}i, ali i manji od momenata usled sopstvene te`ine pri prethodnom naprezanju, slika 5.8.c (greda sa prepustom, ili kontinualni nosa~i, na primer). U
tom slu~aju, rezultanta prethodnog naprezanja mora da se 'smesti' unutar pro{irenog jezgra
preseka ve} u fazi prethodnog naprezanja, na malom ekscentricitetu (zato }e morati sila da
bude ve}a), tako da se obezbedi prostor za '{etanje' sile pritiska Db u oba smera, zavisno od
trenutne vrednosti momenata. Re{enje treba tra`iti u presecima sa razvu~enim, visokim
jezgrom kao i u ve}oj sila prethodnog naprezanja - 'prethodno naprezanje kroz jezgro preseka'. Ova situacija je tipi~na za konstrukcije kontinualnih mostova.
5.3.2 Preseci sa neiskori{}enim naponima pritiska u eksploataciji
d
Tb
ebk kb2
U slu~aju popre~nih preseka sa izra`enim gornjim flan{ama, obi~no nije iskori{}en napon
pritiska pri maksimalnim momentima u eksploataciji, slika 5.9. Sa usvojenim dimenzijama
popre~nog preseka, potrebna trajna sila prethodnog naprezanja Nkt mo`e da se odredi iz
uslova, da napon zatezanja sb1t na donjoj ivici pri maksimalnim momentima usled spoljnih
optere}enja, bude u dopu{tenim granicama sbzdt (napon se unosi sa pozitivnim znakom)
Nkt
sbzdt
Slika 5.9 Preseci sa 'neiskori{}enim naponima' pritiska u eksploataciji
N kt =
M max - s bzdtWb1
kb 2 + ebk
5-10
(5.6)
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Ovaj, mo`da najpoznatiji izraz (izveden iz izraza 5.5) 'garantuje samo jedan pogodak',
zadovoljenje napona zatezanja u eksploataciji. Sve druge napone tek treba proveriti,
posebno napon zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja.
5.5 ALGORITMI ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE
NA BAZI KONTROLE SVIH IVI^NIH NAPONA
U vremenu dominacije numeri~kih metoda, bilo primene programa tipa 'Excel', bilo softvera za analizu preseka i konstrukcija, tradicionalne grafi~ke metode re{avanja problema
naprezanja preseka polako se povla~e.
Kada je u pitanju analiza jednog preseka, tada se osnovni izrazi za ivi~ne napone preseka
(4.4) i (4.7) mogu interpretirati grafi~ki u obliku 'Manjel-ovog dijagrama' zavisnosti sile
prethodnog naprezanja Nk0 i ekscentriciteta ebk , slika 5.10. Ako se navedeni izrazi postave
kao nejedna~ine, kao uslovi da su ivi~ni naponi manji od odgovaraju}ih dopu{tenih napona,
tada u koordunatnom sistemu Nk0 - ebk ~etri nejedna~ine defini{u oblast mogu}ih vrednosti
sila i ekscentriciteta.
1
ebk + kb 2
³
N k 0 M g + s bd 0Wb1
(5.7.a)
ebk - k b1
1
³
N k 0 M g + s bzd 0Wb 2
(5.7.b)
w (ebk + k b 2 )
1
£
N k 0 Mq - s bzdt Wb1
(5.7.c)
w (ebk - k b1 )
1
£
N k 0 Mq - s bdtWb 2
(5.7.d)
5.7.b
1/Nk0
5.7.d
5.7.c
5.7.a
max
1/Nk0
min1/Nk0
ebk
kb2
kb1
Slika 5.10 Manjel-ov dijagram
5-11
ebk
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.6 VODJENJE TRASE
REZULTANTE PRETHODNOG NAPREZANJA
5.6.1 Vodjenje krivolinijske trase
Potrebne dimenzije popre~nog preseka, sila prethodnog naprezanja kao i njen ekscentricitet obi~no se odredjuju u preseku sa ekstremnim vrednostima momenata savijanja, u
sredini raspona proste grede, ili nad srednjim osloncem kontinualnog nosa~a - kao i u
slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija. Za razliku od klasi~no armiranih konstrukcija, kod
kojih se zadr`ava 'ekscentricitet' armature, a menja povr{ina armature njenim ukidanjem 'pokrivanje momenata ili linije zate`u}ih sila', u naknadno prethodno napregnutim
konstrukcijama se te`i da se zadr`i povr{ina kablova - sila prethodnog naprezanja, ali da
se du` nosa~a menja njen ekscentricitet ebk , slika 5.10. Danas se te`i {to du`im trasama
kablova, sa {to manje kotvi, jer su mesta ukotvljenja ~esto podlo`na koroziji.
Rezultuju}i kabl
k1z
maxebk
minebk
k2z
TL
Slika 5.11 Grani~na oblast dozvoljenih ekscentriciteta - 'fizo zona'
Ako je poznat ekscentricitet potrebne sile u merodavnom preseku, tada u poljima nosa~a
trasu rezultante treba voditi prema konceptu balansiranja spoljnih optere}enja, poglavlje 2.1.4. Oblik trase rezultante treba da odgovara karakteru spoljnih optere}enja, da je
afin toku momenata savijanja usled spoljnih optere}enja, tako da skretno optere}enje qk
balansira spolja{nja dejstva. U slu~aju podeljenih spolja{njih optere}enja, paraboli~ne
trase su prirodno re{enje.
Svojevremeno je bio popularan grafi~ki prikaz grani~ne oblasti dozvoljenih ekscentriciteta ebk du` stati~ki odredjenih nosa~a - tzv. 'fizo zone', slika 5.11. Za pretpostavljeni
presek i veli~inu sile prethodnog naprezanja, potreban ekscentricitet je jedina nepoznata.
Grani~na oblast odredjuje se iz osnovnih izraza za ivi~ne napone preseka u fazi prethodnog
naprezanja, izrazi (4.4), odnosno u fazi eksploatacije, izrazi (4.7.)
ebk £
ebk £
ebk ³
ebk ³
M g + s bd 0Wb1
Nk0
M g + s bzd 0Wb 2
Nk0
M q - s bzdt Wb1
wN k 0
M q - s bdtWb 2
wN k 0
5-12
- kb 2
(5.8.a)
+ k b1
(5.8.b)
- kb2
(5.8.c)
+ k b1
(5.8.d)
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
gde su sbdo , sbdt - dopu{teni naponi pritiska u fazi prethodnog naprezanja odnosno u eksploataciji, sbzdo , sbzdt - dopu{teni naponi zatezanja u fazi prethodnog naprezanja odnosno u
eksploataciji (u izraze 5.8 ulaze sa apsolutnom vredno{}u). Izrazi (5.8), defini{u ~etiri nejedna~ine - ~etiri krive, od kojih su dve merodavne za odredjivanje maksimalnog - max ebk ,
odnosno minimalnog - min ebk dozvoljenog ekscentriciteta rezultante prethodnog naprezanja,
pa da sva ~etiri naponska uslova budu zadovoljena, slika 5.11.
5.6.2 Vodjenje pravolinijske trase rezultante prethodnog naprezanja
I kablovi i u`ad za prethodno naprezanje mogu da se vode pravolinijski, ali je taj tip trase
ipak tipi~an za adheziono prethodno naprezanje u`adima - prethodno naprezanje na
stazi, slika 5.12.
Da bi se nosa~ sistema proste grede ({to je tipi~no za prethodno naprezanje na stazi) prethodno napregao celom du`inom pravolinijskom trasom rezultante sila u u`adima, trasa
rezultante mora da bude unutar pro{irenog jezgra preseka, linije k1z - k2z na slici 5.12, da
se ne bi pojavili preveliki naponi zatezanja u zoni oslonaca, gde su momenti savijanja jednaki nuli. Tako se ~esto radi, relativno mali ekscentricitet rezultante zahteva ve}u silu i vi{e
u`adi, ali je bar izvodjenje jednostavno.
Ako je potrebno u{tedeti na u`adima, a i na dimenzijama preseka, mo`e da se u usvoji
manja sila Nk1 na ve}em ekscentricitetu ebk1 , van pro{irenog jezgra preseka, slika 5.12. Da bi
se bli`e krajevima rezultanta ipak vratila u jezgro preseka, deo u`adi mo`e da se izoluje
od betona, navla~enjem plasti~ne cevi du`ine l0 , na primer, slika 5.12 i 5.13 (videti i sliku
1.8).
k1z k2z
Nk2
maxebk
Rezultuju}i kabl
minebk
ebk1
ebk2
TL
Nk2
Nk1
a.)
maxl0
l
max 0
k1z k2z
e
max bk
Rezultuju}i kabl
minebk
Nk2
ebk1
ebk2
TL
Nk2
Nk1
b.)
minl0
minl0
Slika 5.12 Vodjenje pravolinijske trase rezultante prethodnog naprezanja,
sa izolovanjem dela u`adi u slu~aju adhezionog prethodnog naprezanja
5-13
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Redukovana rezultanta prethodnog naprezanja Nk2 deluje na menjem ekscentricitu ebk2 ,
unutar jezgra preseka. Ako je potrebno podi}i rezultantu, onda je logi~an izbor da se
izoluju najni`a u`ad, slika 5.13. Ostaju jo{ pitanja, koliko u`adi izolovati, i na kom delu
du`ine nosa~a l0 izvr{iti redukciju rezultante prethodnog naprezanja?
Obi~no se broj izolovanih u`adi pretpostavlja na osnovu usvojenog rasporeda u sredini
raspona, slika 5.13. Te`i se da se zadr`i simetrija, ali i da se ekscentricitet u polju ebk1
smanji na potrebnu veli~inu ebk2 , unutar jezgra preseka.
ebk1
ebk2
Ako se u`ad izoluju prerano, na odstojanju max l0 od oslonca, tada }e, zbog smanjenog ekscentriciteta ebk2 , u ovoj zoni biti prekora~eni naponi zatezanja na donjoj ivici u fazi eksploatacije, i/ili naponi pritiska na gornjoj ivici takodje u eksploataciji, slika 5.12.a. Ako se pak
to uradi prekasno, bli`e osloncu, na rastojanju min l0 , tada }e u ovoj zoni biti prekora~eni
naponi zatezanja na gornjoj ivici, i/ili naponi pritiska na donjoj ivici preseka u fazi prethodnog naprezanja, slika 5.12.b. Na slici 5.12 prikazana je i 'fizo zona' za slu~aj konstantne sile
prethodnog naprezanja du` nosa~a Nk = Nk1 . Problem odredjivanja du`ine izolovanja l0 =
min l0 mo`e da se re{i i analiti~ki, postavljanjem uslova da ivi~ni naponi u fazi prethodnog
naprezanja punom silom Nk1 na ekscentricitetu ebk1 budu u granicama dopu{tenih, slika
5.12.b. Naravno da treba proveriti i napone u
Tb
istom preseku na strani prema osloncu, i
Tk2
dokazati da, pri sili prethodnog naprezanja
Nk2 na ekscentricitetu ebk2 , nisu prekora~eni
Tk1
ivi~ni naponi u eksploataciji. Problem se
naravno mo`e re{iti i probanjem, u par
iteracija.
Slika 5.13 Izolovanje donjeg reda u`adi
5.7 KONTROLA GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI
Prethodni algoritam kao rezultat treba da da prihvatljivo stanje napona u svim fazama
`ivota konstrukcije. Medjutim, ostaje da se provere bar jo{ stanja grani~ne nosivosti koeficijent sigurnosti od loma, kao i stanje deformacija konstrukcije.
Grani~na nosivost se proverava na ve} izlo`eni na~in, poglavlje 4.4. Za usvojeni presek i
prethodno naprezanje koji garantuju stanje napona, obi~no je i koeficijent sigurnosti od
loma u tra`enim granicama. Ako se poka`e da je nedovoljan, bilo bi vrlo mu~no menjati
presek i/ili kablove(u`ad), nakon {to je stanje napona s mukom izbalansirano. Obi~no je
dovoljno da se u zategnutoj zoni anga`uje i zategnuta klasi~na armatura koja obi~no
postoji, ili da se doda koliko je potrebno i da se koeficijent sigurnosti podigne ne `eljenu
vrednost.
5.8 KONTROLA GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA
Ako ugibi konstrukcije nisu u redu, to je ve}i problem. Koliki su dozvoljeni ugibi, obi~no je
definisano propisima, zavisno od namene objekta. Preveliki ugibi konstrukcije mogu da se
koriguju dodatnim utezanjem kablova, pove}anjem skretnog optere}enja - ali onda smo
verovatno upropastili upravo dokazano stanje napona u konstrukciji. Sve u svemu, problem
deformacija je obi~no sistemski problem - dispozicija je problemati~na, a to se re{ava na
5-14
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
po~etku posla. Zna~i, nazad na po~etak! Treba promeniti krutost sitema, mo`da i nivo
prethodnog naprezanja - 'potisak kablova', metodom ekvivalentnih optere}enja analizirati problem deformacija ali i napona, i do}i do preseka i nivoa prethodnog naprezanja
koji }e da izbalansiraju i deformacije i napone.
Posao definitivno pada u krizu ako se i naponi i deformacije lepo izbalansirani, ali se ispostavi da su recimo vibracije u eksploataciji nepodno{ljive! To je takodje sistemski problem,
u kome u~estvuju krutost, masa, prigu{enje i pobudjuju}e optere}enje. Ako je objekat izveden, problem obi~no mo`e da se sanira. Ako je u pitanju faza projekta, a neko postavi i zahtev kontrole vibracija, to se takodje re{ava na po~etku posla.
5.9 OD GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI, KA DOPU[TENIM NAPONIMA
Za kraj, ne{to {to obi~no ne ide uz metodologiju dopu{tenih napona, ali jako li~i na uobi~ajeni postupak projektovanja klasi~no armiranih konstrukcija. Ve} je re~eno da se danas
prethodno napregnute konstrukcije smatraju samo varijantom armiranobetonskih konstrukcija.
Su{tina postupka koji sledi je, da se potrebna povr{ina ~elika za prethodno naprezanje
(kablova, u`adi) odredi iz uslova grani~ne nosivosti merodavnih preseka, a da se po~etni
napon u kablu odredi iz uslova dopu{tenih napona u betonu. Naime, ve} je pokazano da
grani~na nosivost preseka ne zavisi od po~etnog napona u kablu, koji pak uti~e na krivinu
preseka pri dostizanju grani~ne nosivosti.
Kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija, dimenzionisanje prethodno napregnutih
preseka mo`e da se izvr{i prema grani~nom stanju nosivosti:
- 'slobodno' dimenzionisanje, pri ~emu se odredjuje visina preseka i povr{ina ~elika za prethodno naprezanje (pa`nja, ne sila prethodnog naprezanja) u merodavnim
presecima;
- 'vezano' dimenzionisanje, za prethodno pretpostavljen presek, odredjuje se
potrebna povr{ina ~elika za prethodno naprezanje.
Algoritam je analogan poznatom postupku dimenzionisanja klasi~no armiranih konstrukcija, samo {to treba voditi ra~una da ~elik za prethodno naprezanje ve} ima po~etni napondilataciju, na na~in prikazan u poglavlju 4.4. Pretpostavka je da je presek 'duktilan', i da
'lom preseka' nastaje razvla~enjem ~elika - da je napon u ~eliku jednak usvojenoj granici
razvla~enja.
Sa poznatom povr{inom kablova, po~etna sila prethodnog naprezanja definisana je kao
proizvod povr{ine kabla (u`eta) i dopu{tenog napona u kablu (u`etu) pri prethodnom
naprezanju, dok se trajna sila prethodnog naprezanja procenjuje na bazi pretpostavljene vrednosti w . Trasa rezultuju}eg kabla se usvaja na poznati na~in, nakon ~ega treba
izvr{iti kontrolu napona u presecima. Ako se ispostavi da je sila prethodnog naprezanja
prevelika, tada se mo`e smanjiti po~etni napon prethodnog naprezanja, {to ne uti~e na
grani~nu nosivost. Druga varijanta je da se smanji broj kablova (u`adi), ali da se oni nadoknade odgovaraju}om povr{inom klasi~ne armature, kako bi se sa~uvao potreban koeficijent sigurnosti od loma preseka. Deluje atraktivno, treba probati.
5-15
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.10 IMA LI SVE OVO POKRI]E U EVROKODU?
Kao rezultat primene ovoga teksta, treba da se dobije prethodno napregnuta konstrukcija
od koje se o~ekuje da ne}e imati prslina. Zaboravimo na tren kako smo do toga do{li, primenom kojih propisa i algoritama, mogli smo u krajnjoj liniji sve da usvojimo, 'javilo nam
se'. Na eventualno pitanje da li je takva konstrukcija u redu po savremenim propisima,
Evrokodu na primer, 'drzak' odgovor je - pa proverite! Evrokod se naravno razlikuje u
konceptu i detaljima, ali }e rezultat vrlo verovatno biti da ova konstrukcija stvarno nema
prslina, i da je obezbedjena potrebna grani~na nosivost preseka. Naime, da li ima ili nema
prslina, Evrokod }e da utvrdi tako {to }e sra~unatu vrednost ivi~nog napona zatezanja da
uporedi sa ~vrsto}om betona na zatezanje. Pre }e da se desi da mo`da treba poja~ati uzengije u zoni pove}anih transverzalnih sila, ili da su za{titni slojevi premali itd.
Rezime za kraj. Evrokod priznaje i, u slu~ajevima agresivnih sredina preporu~uje prethodno napregnute konstrukcije bez prslina. Sli~na je situacija i kod konstrukcija mostova. Detalji se razlikuju, ali sve ovo do sada nije bilo 'gubljenje vremena' - razre{enje dileme iznete
negde na po~etku teksta.
5-16
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.11 PRIMERI
5.11.1 Primer 1
28
5
4
5
20
5
4
Za tehnolo{ki uslovljen oblik popre~nog preseka adheziono prethodno napregnute monta`ne o{upljene tavanice, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj u`adi sistema IMS, za
pravolinijsku trasu, bez izolovanja u`adi.
Podaci: raspon L0 =12,0m; marka betona - 40MPa u fazi prethodnog naprezanja, 50MPa u
eksploataciji; dodatno stalno opt. Dg=1,70kN/m2; korisno optere}enje p=3,50kN/m2; ograni~eno prethodno naprezanje.
6
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
6
120
Slika 5.14 Popre~ni presek monta`ne tavanice
Komentar: Dimenzije monta`nih elemenata ovoga tipa obi~no su definisane od strane proizvodja~a, zavisno od tehnolo{kih mogu}nosti opreme kojom raspola`e. Proizvodja~i obi~no putem kataloga nude izbor razli~itih preseka, dimenzija, raspona,
optere}enja i razli~itih detalja. U svetu se uloga projektanta u ovom slu~aju svodi na
izbor iz kataloga, jer svi proizvodi imaju atest.
- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i slika 4.3):
Faza prethodnog naprezanja - MB40
pritisak
sbd0 = 19,5MPa
sbzd0 = -3,0MPa
zatezanje
Faza eksploatacije - MB50
pritisak
sbdt = 18,5MPa
sbzdt = -2,1MPa
zatezanje
- Dopu{tena po~etna sila prethodnog naprezanja jednog u`eta N0k1
Komentar: ^esto se primenjuju u`ad manjeg pre~nika, zbog bolje adhezije sa betonom, f12,5 ( 93mm2) na primer. Sistem IMS nudi dva pre~nika u`adi, f15,2 i f16 usvojeno f15,2. Katalog IMS , Tabela 1.7.1: klasa ~elika B; usvojeno 80% sile kidanja u`eta; skz=1860MPa; povr{ina u`eta 140mm2
N0k1=208kN
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka
Za analizu u okviru idejnog re{enja, usvaja se karakteristi~ni simetri~ni I - segment
popre~nog preseka elementa, {irine flan{e b = 22,4cm, slika 5.15.
Povr{ina preseka
Fb = 309,2cm2
Te`i{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 14,0cm
Moment inercije preseka
Ib = 32252cm4
5-17
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Wb = 2304cm3
kb = 7,45cm
Otporni moment preseka
Odstojanje jezgra preseka od te`i{ta
28
5
4
5
20
5
4
22,4
6
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
6
120
Slika 5.15 Tipi~ni segment I - preseka
- Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja
Sopstvena te`ina
g = Fbg = 309,2x10-4 x 25,0 = 0,773kN/m
Ra~unski raspon pri {irini oslanjanja od oko 15cm
L = L0 - 0,15 = 12,00 - 0,15 = 11,85m
Mg = gL2 / 8 = 0,773 x 11,852 / 8 = 13,57kNm
Rg = gL/2 = 0,773x11,85 / 2 = 4,58kN
- Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije
Sopstvena te`ina
Mg = gL2 / 8 = 0,773 x 11,852 / 8 = 13,57kNm
Rg = gL/2 = 0,773x11,85 / 2 = 4,58kN
Dodatno stalno optere}enje
DgI = Dg b = 1,70 x 0,224 = 0,38kN/m
MDg = 0,380 x 11,852 / 8 = 6,67kNm
RDg = 0,380x11,85 / 2 = 2,25kN
Korisno optere}enje
pI= pb = 3,50 x 0,224 = 0,784N/m
Mp = 0,784 x 11,852 / 8 = 13,76kNm
Rp = 0,784x11,85 / 2 = 4,65kN
Ukupno, sopstvena te`ina+dodatno stalno+korisno
Mq = 13,57 + 6,67 + 13,76 = 34,00kNm
Rq = 4,58 + 2,25 + 4,65 = 11,48kN
(A) Prora~un potrebne sile prethodnog naprezanja i njenog ekscentriciteta
Komentar: Rezultanta prethodnog naprezanja mora na osloncu, gde su momenti
savijanja jednaki nuli, da prolazi kroz donju ta~ku 'pro{irenog jezgra preseka', ili sa
jo{ manjim ekscentricitetom, da se ne bi pojavili preveliki naponi zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja. Veli~ina maksimalne dozvoljene po~etne
5-18
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
sile prethodnog naprezanja, kao i njen polo`aj odredi}e se iz naponskih uslova na
osloncu. Sa definisanim polo`ajem sile, vrednost minimalne potrebne po~etne
sile odredi}e se iz naponskih uslova u sredini raspona.
- Presek na osloncu
Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja
ebk £ k b1 + s bzd 0
Wb 2 M g
2304
+
= 7,45 + 0,30
Nk0 N k0
Nk0
(kN, cm)
odnosno
Nk 0 £
M g + s bzd 0Wb 2
ebk - kb1
=
0,30 x 2304
ebk - 7,45
Zbog uslova betoniranja, i usvojenog za{titnog sloja >2,5cm, pretpostavlja se
polo`aj rezultante prethodnog naprezanja na rastojanju ak = 4,0cm od donje
ivice elementa.
Ekscentricitet sile prethodnog naprezanja
ebk = d/2 - ak = 28,0/2 - 4,0 = 10,0cm
Maksimalna dozvoljena po~etna sila prethodnog naprezanja na osloncu
Nk0 £
M g + s bzd 0Wb 2
ebk - k b1
=
0,30 x 2304
= 271kN
10,0 - 7,45
Kontrola napona pritiska u preseku na osloncu u fazi prethodnog naprezanja
Pretpostavlja se Nk0 = 271kN, ebk = 10,0cm
Napon pritiska na donjoj ivici preseka
s b10 =
Nk 0
e
271,0
10,0
(1 + bk ) =
(1 +
) = 2,05 = 20,5MPa
Fb
kb 2
309,2
7,45
Komentar: Prekora~enje u odnosu na dopu{teni napon pritiska
u fazi prethodnog naprezanja sbd0 = 19,5MPa iznosi 5%. Prekora~enje se prihvata, jer }e naponi u betonu biti ne{to ni`i,
ako se uzme u obzir i prisustvo ~elika u preseku - 'idealizovani'
presek. Pored toga, jo{ nije izvr{ena kontrola napona u preseku
u sredini raspona, mo`da }e biti potrebna ni`a vrednost sile.
- Potrebna minimalna po~etna sila u preseku u sredini raspona
Komentar: Maksimalna veli~ina po~etne sile prethodnog naprezanja i njen
ekscentricitet, uslovljeni su naprezanjima preseka na osloncu. Sa usvojenim
ekscentricitetom na osloncu, potrebna minimalna po~etna sila prethodnog
naprezanja odredi}e se iz naponskih uslova u sredini raspona, izrazi (5.4 i
5.5).
5-19
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja (izraz 5.4)
ebk £ k b1 + s bzd 0
Wb 2 M g
+
Nk0 Nk0
odnosno
Nk0 £
M g + s bzd 0Wb 2
ebk - kb1
13,57 x10 2 + 0,30 x 2304
=
= 803,2kN
10,0 - 7,45
Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi eksploatacije (izraz 5.5)
Pretpostavljaju se gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije od 15%
w=0,85
ebk ³
Mq
wN k 0
- k b 2 - s bzdt
Wb 1
wN k 0
odnosno
Nk0
M q - s bzdtWb1
34,0 x10 2 - 0,21x 2304
=
= 196,6kN
³
w (ebk + k b 2 )
0,85(10,0 + 7,45)
Pretpostavlja se Nk0 = 196,6kN
Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja
s b10
M g 196,6
Nk0
ebk
10,0 13,57 x10 2
=
=
= 9,0MPa
(1 +
)(1 +
)7,45
2304
Fb
kb 2
Wb1 309,2
Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi eksploatacije
Nkt = 0,85 x 196,6 = 167,1kN
s b 2t =
M q 167,1
N kt
e
10,0
34,0 x10 2
(1 - bk ) +
=
(1 )+
= 12,9MPa
Fb
k b1 Wb 2 309,2
7,45
2304
Komentar: Naponi pritiska su u granicama dopu{tenih.
(B) Usvajanje u`adi za prethodno naprezanje
Nk0 = 196,6kN
Pretpostavljaju se 5% gubici usled elasti~nih deformacija betona.
Potrebna po~etna sila na presi
N0k1 = Nk0 / 0,95 = 196,6 / 0,95 = 206,9kN
5-20
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Usvaja se u svakom 'rebru' po jedno u`e f15,2 sa dozvoljenom silom na presi
od N0k1 = 208kN > 206,9kN pri naponu od 80% ~vrsto}e na kidanje. U`ad se
u fazi prethodnog naprezanja zate`u do sile od 206,9kN, a mo`e i do svih
80% sile kidanja.
5
4
(C) Pregled stanja napona
28
4
4
5
20
5
6
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
4
18.4
6
120
Slika 5.16 Presek sa u`adima 6 f15,2
Faza prethodnog naprezanja
Sila na presi
N0k1 = 208kN
Po~etna sila nakon gubitaka usled elasti~nih deformacija betona
Nk0 = 0,95x N0k1 = 0,95x208 = 197,6kN
Presek u sredini raspona
s b10
M g 197,6
Nk0
ebk
10,0 13,57 x10 2
=
=
= 9,1MPa
(1 +
)(1 +
)7,45
2304
Fb
kb2
Wb1 309,2
s b 20
M g 197,6
Nk0
ebk
10,0 13,57 x10 2
=
=
= 3,7 MPa
(1 )+
(1 )+
Fb
kb 2
Wb 2 309,2
7,45
2304
Presek na osloncu
s b10 =
Nk0
e
197,6
10,0
(1 + bk ) =
(1 +
) = 15,0MPa
Fb
kb 2
309,2
7,45
s b 20 =
Nk0
e
197,6
10,0
(1 - bk ) =
(1 ) = -2,2 MPa
Fb
kb 2
309,2
7,45
Faza eksploatacije
w = 0,85
Nkt = w Nk0 = 0,85x197,6 = 167,9kN
5-21
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Presek u sredini raspona
s b1t
M q 167,9
N kt
ebk
10,0
34,0 x10 2
=
(1 +
)=
(1 +
)= -2,0 MPa
Fb
kb2
Wb1 309,2
7,45
2304
s b 2t
M q 167,9
N kt
ebk
10,0
34,0 x10 2
=
(1 )+
=
(1 )+
= 12,9 MPa
Fb
kb2
Wb 2 309,2
7,45
2304
Presek na osloncu
s b1t =
N kt
e
167,9
10,0
(1 + bk ) =
(1 +
) = 12,7 MPa
Fb
kb 2
309,2
7,45
s b 2t =
N kt
e
167,9
10,0
(1 - bk ) =
(1 ) = -1,8MPa
Fb
kb 2
309,2
7,45
Komentar: Svi naponi su u granicama dopu{tenih.
5-22
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.11.2 Primer 2
Glavni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona
Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem kablovima sistema IMS, slika 5.17
i 5.18. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj
i trasu kablova za prethodno naprezanje. Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog naprezanja (dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71.
Napomena: Ovo je isti nosa~ iz primera 4.8.1, samo sa krivolinijskim kablovima, umesto
pravolinijskih u`adi za prethodno naprezanje.
Podaci:
Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prethodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune
~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom
slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%.
Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno
optere}enje Dg=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;
120
20
5
70
5
20
Slika 5.17 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova
15
20
15
50
- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i
slika 4.3):
Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna interpolacija
izmedju MB30-MB40):
pritisak
sbd0 = 17,3MPa
zatezanje
sbzd0 = -2,8MPa
Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju
MB40-MB50):
pritisak
sbdt = 17,3MPa
zatezanje
sbzdt = -1,9MPa
Slika 5.18 Popre~ni presek
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Te`i{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
Otporni moment preseka
Wb = 1,023x105 cm3
Odstojanje jezgra preseka od te`i{ta
kb = 27,29cm
5-23
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja
Sopstvena te`ina
g = Fbg = 3750x10-4 x 25,0 = 9,37kN/m
Za {irinu oslonaca pretpostavlja se b0=30cm, pa je ra~unski raspon grede
L=L0 - b0 = 20,0-0,3= 19,7m
Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm
Rg = gL/2 = 9,38x19,7 / 2 = 92,4kN
- Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije
Sopstvena te`ina
Mg = 455,0kNm
Rg = 92,4kN
Dodatno stalno optere}enje
Dg = 16,0kN/m
MDg = 16,0 x 19,72 / 8 = 776,2kNm
RDg = 16,0x19,7 / 2 = 157,6kN
Korisno optere}enje
p = 8,5 kN/m
Mp = 8,5 x 19,72 / 8 = 412,3kNm
Rp = 8,5x19,7 / 2 = 83,7kN
Ukupno, sopstvena te`ina+dodatno stalno+korisno
Mq = 455,0 + 776,2 + 412,3 = 1643,5kNm
Rq = 92,4 + 157,6 + 83,7 = 333,7kN
(A) Potrebna po~etna sila prethodnog naprezanja u preseku u sredini raspona
Komentar: S obzirom da se trasa kablova vodi krivolinijski - paraboli~no, u preseku
u sredini raspona treba usvojiti {to ve}i ekscentricitet rezultante. Trasa rezultante }e
se na osloncima popeti u jezgro preseka.
Ekscentricitet rezultante prethodnog naprezanja u sredini raspona
Pretpostavlja se odstojanje rezultante od donje ivice preseka
ak = 10cm
Ekscentricitet rezultante
ebk = 60,0 - 10,0 = 50,0cm
Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja (izraz 5.4)
ebk £ k b1 + s bzd 0
Wb 2 M g
+
Nk0 Nk0
odnosno
Nk0 £
M g + s bzd 0Wb 2
ebk - k b1
455,0 x10 2 + 0,30 x1,023x105
=
= 3355kN
50,0 - 27,29
5-24
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi eksploatacije (izraz 5.5)
Gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije od 20%
w=0,80
ebk ³
Mq
wN k 0
- k b 2 - s bzdt
Wb 1
wN k 0
odnosno
Nk0
M q - s bzdtWb1
1643,5 x10 2 - 0,21x1,023 x10 5
=
= 2311kN
³
0,80(50,0 + 27,29)
w (ebk + k b 2 )
Pretpostavlja se Nk0 = 2311kN
Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja
s b10 =
M g 2311
Nk0
e
50,0
455,0 x10 2
=
= 13,0MPa
(1 + bk ) (1 +
)Wb1 3750
kb 2
Fb
27,29 1,023 x10 5
Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi eksploatacije
Nkt = 0,80 x 2311 = 1849kN
s b 2t
M q 1849
N kt
ebk
50,0
1643,5 x10 2
=
=
= 12,0 MPa
(1 )+
(1 )+
27,29
1,023 x10 5
Fb
k b1 Wb 2 3750
Komentar: Naponi pritiska su u granicama dopu{tenih.
(B) Usvajanje kablova za prethodno naprezanje
Potrebna ukupna po~etna sila u sredini raspona (usvojena donja granica)
Nk0 = 2311kN
Pretpostavljaju se gubici usled elasti~nih deformacija betona od 5%.
Pretpostavljaju se gubici usled trenja od 5% (utezanje sa oba kraja)
Gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije 20%
Ukupni gubici u preseku u sredini raspona 30%
Potrebna ukupna po~etna sila na presi
N0k = Nk0 / 0,70 = 2311 / 0,70 = 3301kN
Varijanta sa ~etri kabla:
Varijanta sa pet kablova:
potN0k1 = 3301/4 = 825kN
potN0k1 = 3301/5 = 660kN
4x4f16
5x3f16
Usvajaju se ~etri kabla IMS sa po ~etri u`eta f16 u svakom kablu - 4x4f16, sa
dozvoljenom silom na presi jednog kabla od N0k1 = 837kN > 825 kN pri
5-25
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
naponu od 75% ~vrsto}e na kidanje. Kablovi se u fazi prethodnog naprezanja
zate`u do sile od 3301/4 = 825kN.
(C) Usvajanje rasporeda kablova i kotvi
Prema katalogu proizvodja~a - IMS, usvojeni kablovi imaju spoljni pre~nik za{titne
cevi 50mm, dok je dimenzija ankerne plo~e 170x170mm. ^ist razmak izmedju
za{titnih cevi treba da je jednak pre~niku cevi - usvojeno 50mm. Za{titni sloj do ivice
za{titne cevi treba da je 30-50mm - usvojeno 50mm. Osovinski razmak ankernih
plo~a treba da je >190mm. Rastojanje te`i{ta ankerne plo~e od ivice betona treba
da je >115mm. Na pribli`no prvih 60cm od kotve, kablovi se vode pravo - upravno
na kotvu.
Ankerna plo~a
Ni{a
17
19 12
17
15
10
10
50
a.)
5
20
13
5 5 55
Ni{a
17
20
15
17
45
50
75
c.)
b.)
Slika 5.19 Raspored kablova u sredini raspona (a); raspored kotvi (b) i (c)
Zbog sme{taja kotvi, ~elo nosa~a mora da se pro{iri, slika 5.19.b. Prelazak sa I-preseka u polju, na pravougaoni presek na osloncu, usvojen je na du`ini od 5(50-20)/2
=75cm, tako da je nagib horizontalne vute 1:5. Pravougaoni blok na ~elu usvojen je
du`ine 45cm, tako da je rastojanje od kraja nosa~a, do po~etka I - preseka 120cm du`ina uvodjenja sila, pribli`no jednaka visini nosa~a. Zbog sme{taja ankernih plo~a
koje su upravne na kabl, na ~elu nosa~a formiraju se 'ni{e' u betonu, slika 5.19.c.
Kotve se {tite dobetoniravanjem nakon prethodnog naprezanja i se~enja vi{ka du`ine u`adi, zbog ~ega treba iz nosa~a ispustiti tanju armaturu za vezu sa novim betonom za{tite.
Ekscentricitet kablova u sredini raspona, slika 5.19.a
Odstojanje rezultante od donje ivice nosa~a
ak = (3x7,5 + 1x17,5)/4 = 10,0cm koliko je i pretpostavljeno.
Ekscentricitet kablova u sredini raspona
ebk = 60 - 10,0 = 50,0cm
5-26
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Ekscentricitet kablova na ~elu nosa~a, slika 5.19.b
Odstojanje rezultante od donje ivice nosa~a
ak = (2x13,0 + 1x89 + 1x108)/4 = 55,75cm
Ekscentricitet kablova na ~elu nosa~a
ebk = 60 - 55,75 = 4,25cm (na dole)
60
Prav kabl
120
40
13
7,5
R>400
40
R>400
17,5
60
89
108
60
Prav kabl
60
TL
Rezultuju}i kabl
120
Slika 5.20 Trase pojedina~nih kablova
Trase pojedina~nih kablova prikazane su na slici 5.20. Dva bo~na kabla koji prolaze
donjom flan{om, ve}im delom su pravolinijski, jer bi u slu~aju paraboli~ne trase u
vertikalnoj ravni, iza{li iz donje flan{e. Na rastojanju od oko 120cm, kablovi se krive
ka kotvama, na radijusu krivine R, koji prema katalogu IMS za ovaj konkretni kabl
treba da je ve}u od 400cm. Prelazna krivina kabla procenjena je na oko 40cm.
Dva centralna kabla vode se paraboli~no u vertikalnoj ravni kroz rebro. Na prvih
60cm od kotve, kablovi treba da su pravi. U principu, paraboli~ni deo trase po~inje
na kraju pravca, ali je u ovom slu~aju plitke trase kablova, parabola na svojim krajevima prakti~no pravolinijska.
Sa definisanom trasom pojedina~nih kablova, definisana je i trasa rezultuju}eg
kabla, slika 5.20. Dosada{njim kontrolama dokazano je stanje napona samo u tri
preseka, u sredini raspona i na krajevima nosa~a. Stanje napona treba dokazati u
vi{e preseka, bar u desetinama raspona. U slu~aju nosa~a sa gornjim pojasom u
nagibu - 'dvovodni krov', obi~no nije merodavan presek u sredini raspona, ve}
pomereni presek u odnosu na sredinu. Kompletan dokaz normalnih napona u
presecima podrazumeva prora~un svih gubitaka sile, koji su u ovom idejnom re{enju
procenjeni. Prora~un mo`e u ovom slu~aju da se uradi sa rezultuju}im kablom, u
odabranom broju preseka. Alternativno, mogu}e je sra~unati 'fizo-zonu', i proveriti
da li rezultuju}i kabl u svim presecima le`i unutar fizo-zone.
Komentar: U primeru 4.8.1 isti ovaj nosa~ projektovan je sa pravolinijskom trasom
u`adi, i konstantnog I - preseka. Primer je iz prakse, gde su sli~ne analize pokazale
da je pravolinijska trasa ekonomi~nije re{enje, u ovom slu~aju.
5-27
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.11.3 Primer 3
Glavni kontinualni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog
raspona Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem sa oba kraja, kablovima
sistema IMS, slika 5.21 i 5.22. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i
odrediti potreban broj i trasu kablova za prethodno naprezanje. Razmotriti samo slu~aj
istovremenih podeljenih optere}enja u oba polja, bez 'nagomilavanja' korisnih optere}enja
u jednom od polja. Usvojiti slu~aj potpunog prethodnog naprezanja (ne dozvoljava se
pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71.
Napomena: Ovo je isti presek nosa~a kao u primeru 5.11.2.
Podaci:
Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prehodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune
~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom
slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%.
Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno
optere}enje Dg=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;
120
20
5
70
5
20
Slika 5.21 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova
15
20
15
50
- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i
slika 4.3):
Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna interpolacija
izmedju MB30-MB40):
pritisak
sbd0 = 17,3MPa
sbzd0 = 0.
zatezanje
Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju
MB40-MB50):
sbdt = 17,3MPa
pritisak
zatezanje
sbzdt = 0.
Slika 5.22 Popre~ni presek
- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka
Povr{ina preseka
Fb = 3750cm2
Te`i{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm
Moment inercije preseka
Ib = 6,141x106 cm4
Otporni moment preseka
Wb = 1,023x105 cm3
Odstojanje jezgra preseka od te`i{ta
kb = 27,29cm
5-28
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
- Koncept 'rezultuju}e sile pritiska u jezgru popre~nog preseka'
Zadatak se mo`da najlak{e re{ava tako {to se u iteracijama varira veli~ina sile prethodnog naprezanja i/ili strele paraboli~ne trase kablova, i u svakom koraku vr{i kontrola napona u vi{e preseka usled dejstva svih trenutno prisutnih optere}enja. U
ovom primeru, numeri~kim podacima pridodata je i vizuelna interpretacija rezultata, u obliku jezgra preseka i linije centara pritisaka. To nije neophodno, ali se na
projektima kontinualnih sistema mostova pokazalo korisnim.
Sistem je simetri~an, na dalje se razmatra samo leva polovina konstrukcije, slika
5.23.a. Ako u nekom preseku ne smeju da se pojave naponi zatezanja usled dejstva
svih optere}enja - spolja{njih i prethodnog naprezanja, rezultuju}a sila pritiska
u betonu Db = M / N mora da deluje u jegru preseka, gde je M - ukupni moment
usled svih optere}enja u preseku, N - promenljiva (usled trenja) normalna sila u
preseku jednaka sili prethodnog naprezanja Nk u preseku. Napadna ta~ka rezultuju}e sile pritiska se menja od preseka, do preseka, i le`i na liniji pritisaka, slika
5.23.a.
+c
kb2
kb2
kb1
kb1
d
Db1
2
c2 = M2/N2
TL
c1 = M1/N1
Linija pritisaka
Db2
1
L=2000
-M2
a.)
+M1
b.)
Slika 5.23 Nosa~, jezgro preseka, linija pritisaka (a); momenti savijanja usled
ukupnih optere}enja - spolja{njih i prethodnog naprezanja(b)
- Stati~ki uticaji usled spolja{njih optere}enja, slika 5.24
Stati~ki uticaji dati su u op{tem obliku, i potom sra~unati u tabeli
programom 'Excel'
Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja
Sopstvena te`ina
g = Fbg = 3750x10-4 x 25,0 = 9,37kN/m
Mg = (3/8)gLx - gx2 /2
5-29
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije
Sopstvena te`ina
Mg = (3/8)gLx - gx2 /2
Dodatno stalno optere}enje
Dg = 16,0kN/m
MDg = (3/8)DgLx - Dgx2 /2
Korisno optere}enje
p = 8,5 kN/m
Mp = (3/8)pLx - px2 /2
g
Dg
p
M2
X
M1=M2 /2
L/2=1000
Slika 5.24 Momenti savijanja usled spolja{njih optere}enja
- Stati~ki uticaji usled prethodnog naprezanja, slika 5.25
Trasa rezultuju}eg kabla
Strela parabole - f
Ekscentricitet nad srednjim osloncem - e
Du`ina parabole - L=20,0m
Gubici sile usled trenja
Usvojeno prethodno naprezanje sa oba kraja nosa~a silom na presi Nk0
Podaci o trenju: k=3 10-3 Rad/m; m = 0,22 1/Rad
Skretni ugao do sredine polja, x = L/2
tga = 4f/L
Normalna sila u polju nakon gubitaka usled trenja
Promena skretnog ugla do koordinate x
qx = (2a/L)X
N kx = N k 0 e - ( 0 , 22q
x + 3 x10
-3
x)
Srednja sila u polju nakon gubitaka usled trenja
N ksr = N k 0 e
L
- ( 0 , 22a + 3 x10 -3 )
2
Gubici sile usled elasti~nih deformacija
Pretpostavljeno we = 5%
Gubici sile usled te~enja, skupljanja i relaksacije
Pretpostavljeno w = 20%
5-30
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Srednja vrednost podeljenog ekvivalentnog optere}enja u polju
q ksr =
8 fN ksr
L2
Momenti savijanja usled prethodnog naprezanja
Mqk = -(3/8)qkLx + qkx2 /2
TL
d
e
2
f
1
L/2=1000
L=2000
a.)
b.)
-Mk1
+Mk2
qk
NkA
Nksr
NkB
c.)
Slika 5.25 Trasa rezultuju}eg kabla i momenti savijanja Mk usled prethodnog naprezanja
- Ukupni uticaji u nekom preseku konstrukcije
Moment savijanja dobija se superpozicijom momenata usled svih optere}enja koja u
datom trenutku deluju na konstrkciju. Normalna sila u preseku N pribli`no je jednaka (zbog zanemarenja nagiba tangente na trasu kabla) sili prethodnog naprezanja
Nk u preseku, uzimaju}i u obzir promene sile usled trenja. Transverzalna sila dobija
se superpozicijom transverzalnih sila usled svih optere}enja koja u datom trenutku
deluju na konstrkciju.
- Kontrola normalnih napona u presecima
Sa silama u presecima usled ukupnih optere}enja, dokaz normalnih napona vr{i se
op{tim izrazima (4.1), koji su ovde ponovljeni, sa izostavljenim indeksom '0'. Zavisno od toga da li se proverava stanje napona u fazi prethodnog naprezanja ili u
eksploataciji, ~lanovi izraza dobijaju odgovaraju}e indekse '0', odnosno 't'.
5-31
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
M
s b1 =
N
Fb Wb1
s b2 =
N
M
+
Fb Wb 2
- Linija pritisaka
Dejstvo ukupnog momenta M i normalne sile N u preseku mo`e da se zameni
dejstvom rezultuju}e normalne sile u betonu (sile N) na ekscentricitetu c
c=M/N
Linija pritisaka povezuje ekscentricitete pojedinih preseka, i treba da je unutar
jezgra preseka da u preseku ne bi bilo napona zatezanja, slika 5.23.
- Rezultati prora~una
Algoritam prema navedenim izrazima napisan je u programu 'Excel' - Microsoft, i prilo`en
na CD-u. 'Maska' programa, sa ulaznim podacima i iterativno dobijenim re{enjem, prikazana je na slici 5.26. Zadatak ima vi{e re{enja, sa razli~itim veli~inama po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 i strele paraboli~ne trase kablova f . Ekscentricitet trase e iznad srednjeg oslonca ne uti~e na stanje napona, jer ekvivalentno optere}enje qk ne zavisi od ove
veli~ine, videti poglavlje 2.2.3 - 'linearne transformacije'. Na slici 5.26 i u tabelama koje
slede, prikazano je re{enje sa po~etnom silom Nk0 = 3540kN, i strelom parabole f=0,40m.
Kontinualni nosa~ sa dva jednaka polja
Analiza efekata simetri~nog prethodnog naprezanja
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton - Ve`be 2003 - Primer 5.11.3
Grupa kablova - A (utezanje sa obe strane)
POLJE
1
Sila na ~elu - Nk0 =
3540
kN
Koef.trenja na pravcu - k =
Koef.trenja na krivini - m =
0.003
0.220
1/m
1/rad
Elasti~ni gubici
Vremenski gubici
L
(m)
20.00
- we=
- w=
f
(m)
0.400
0.950
0.800
e
(m)
0.450
<-(0.003)
<-(0.220)
Trasa kablova
1.00
0.50
0.00
-0.50 0
5
10
15
20
-1.00
qksr= 27.00
0.80
C-linije
0.60
Spolja{nja optere}enja
Sopstvena te`ina
Dodatno stalno
Povremeno
g=
Dg=
p=
9.38
16.00
8.50
0.40
kN/m
kN/m
kN/m
0.20
0.00
Presek
0
Faza utezanja
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
35
0.00
17.30
Faza eksploatacije
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
45
0.00
17.30
Visina preseka
1.200
5
10
15
MPa
MPa
-0.40
t=0
-0.60
d (m)=
20
-0.20
-0.80
MPa
MPa
F (m2)=
0.375
W2 (m3)=
0.102
K2 (m)=
0.273
Yt (m)=
d-Yt (m)=
0.600
0.600
W1 (m3)=
0.102
K1 (m)=
K1+K2=
0.273
0.546
t=t
x (m)
Ivi~ni naponi
Faza prethodnog naprezanja
maxs0 =
16.11
mins0 =
0.20
<
<
MPa
17.30
0.00
Faza eksploatacije
maxst =
minst =
<
<
17.30
0.00
13.05
0.00
V.Alendar, novembar 2003.
Slika 5.26 Prethodno napregnuti kontinualni nosa~ - program 'Excel'
5-32
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Mg
kNm
0
65.63
121.88
168.75
206.25
234.38
253.13
262.50
262.50
253.13
234.38
206.25
168.75
121.88
65.63
0.00
-75.00
-159.38
-253.13
-356.25
-468.75
MDg
kNm
0
112.00
208.00
288.00
352.00
400.00
432.00
448.00
448.00
432.00
400.00
352.00
288.00
208.00
112.00
0.00
-128.00
-272.00
-432.00
-608.00
-800.00
Mp
kNm
Mq
kNm
0
59.50
110.50
153.00
187.00
212.50
229.50
238.00
238.00
229.50
212.50
187.00
153.00
110.50
59.50
0.00
-68.00
-144.50
-229.50
-323.00
-425.00
0
237.13
440.38
609.75
745.25
846.88
914.63
948.50
948.50
914.63
846.88
745.25
609.75
440.38
237.13
0.00
-271.00
-575.88
-914.63
-1287.25
-1693.75
Slika 5.27 Momenti savijanja usled spoljnih optere}enja.
q - ukupno optere}enje
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Faza peth.napr.
Mk0
Nk0
kNm
kN
0.00 3363.00
-179.58 3347.04
-333.51 3331.16
-461.78 3315.35
-564.40 3299.62
-641.36 3283.97
-692.67 3268.38
-718.32 3252.88
-718.32 3237.44
-692.67 3222.08
-641.36 3206.79
-564.40 3191.58
-461.78 3176.43
-333.51 3161.36
-179.58 3146.36
0.00 3131.43
205.23 3116.57
436.12 3101.78
692.67 3087.06
974.86 3072.42
1282.72 3057.84
Faza ekspl.
Mkt
Nkt
kNm
kN
0.00 2690.40
-143.66 2677.63
-266.81 2664.93
-369.42 2652.28
-451.52 2639.70
-513.09 2627.17
-554.13 2614.71
-574.66 2602.30
-574.66 2589.95
-554.13 2577.66
-513.09 2565.43
-451.52 2553.26
-369.42 2541.14
-266.81 2529.09
-143.66 2517.09
0.00 2505.14
164.19 2493.26
348.90 2481.43
554.13 2469.65
779.89 2457.93
1026.17 2446.27
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Nk(x)
kN
3540.00
3523.20
3506.49
3489.85
3473.29
3456.81
3440.40
3424.08
3407.83
3391.66
3375.57
3359.55
3343.61
3327.75
3311.96
3296.24
3280.60
3265.03
3249.54
3234.12
3218.78
Nkx/Nk0
Faza peth.napr.
M0
N0
kNm
kN
0.00 3363.00
-113.96 3347.04
-211.63 3331.16
-293.03 3315.35
-358.15 3299.62
-406.98 3283.97
-439.54 3268.38
-455.82 3252.88
-455.82 3237.44
-439.54 3222.08
-406.98 3206.79
-358.15 3191.58
-293.03 3176.43
-211.63 3161.36
-113.96 3146.36
0.00 3131.43
130.23 3116.57
276.75 3101.78
439.54 3087.06
618.61 3072.42
813.97 3057.84
Faza ekspl.
Mt
Nt
kNm
kN
0.00 2690.40
93.46 2677.63
173.57 2664.93
240.33 2652.28
293.73 2639.70
333.79 2627.17
360.49 2614.71
373.84 2602.30
373.84 2589.95
360.49 2577.66
333.79 2565.43
293.73 2553.26
240.33 2541.14
173.57 2529.09
93.46 2517.09
0.00 2505.14
-106.81 2493.26
-226.98 2481.43
-360.49 2469.65
-507.36 2457.93
-667.58 2446.27
Slika 5.30 Ukupni uticaji
5-33
1.000
0.995
0.991
0.986
0.981
0.976
0.972
0.967
0.963
0.958
0.954
0.949
0.945
0.940
0.936
0.931
0.927
0.922
0.918
0.914
0.909
Slika 5.28 Promena sile usled trenja
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Slika 5.29 Uticaji prethodnog naprezanja
q(x)
rad
0.0000
0.0080
0.0160
0.0239
0.0319
0.0399
0.0479
0.0559
0.0639
0.0718
0.0798
0.0878
0.0958
0.1038
0.1118
0.1197
0.1277
0.1357
0.1437
0.1517
0.1597
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
t=0
C0
m
0.000
-0.034
-0.064
-0.088
-0.109
-0.124
-0.134
-0.140
-0.141
-0.136
-0.127
-0.112
-0.092
-0.067
-0.036
0.000
0.042
0.089
0.142
0.201
0.266
t
Ct
m
0.000
0.035
0.065
0.091
0.111
0.127
0.138
0.144
0.144
0.140
0.130
0.115
0.095
0.069
0.037
0.000
-0.043
-0.091
-0.146
-0.206
-0.273
t=0
x
m
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Slika 5.31 C - linije
sb10
MPa
9.0
10.0
11.0
11.7
12.3
12.7
13.0
13.1
13.1
12.9
12.5
12.0
11.3
10.5
9.5
8.4
7.0
5.6
3.9
2.1
0.2
t=t
sb20
MPa
9.0
7.8
6.8
6.0
5.3
4.8
4.4
4.2
4.2
4.3
4.6
5.0
5.6
6.4
7.3
8.4
9.6
11.0
12.5
14.2
16.1
sb1t
MPa
7.2
6.2
5.4
4.7
4.2
3.7
3.5
3.3
3.3
3.4
3.6
3.9
4.4
5.0
5.8
6.7
7.7
8.8
10.1
11.5
13.0
sb2t
MPa
7.2
8.1
8.8
9.4
9.9
10.3
10.5
10.6
10.6
10.4
10.1
9.7
9.1
8.4
7.6
6.7
5.6
4.4
3.1
1.6
0.0
Slika 5.32 Ivi~ni naponi
Momenti
2000
Ukupno - faza preth.naprezanja
1500
Ukupno - faza eksploatacije
g
Moment (kNm)
1000
q
500
0
0
2
4
6
8
10
12
-500
-1000
-1500
x (m)
Slika 5.33 Momenti savijanja
5-34
14
16
18
20
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
C - linije
0.80
Gornja ivica
C - t=0
0.60
C - t=t
0.40
Gornja ta~ka jezgra
0.20
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.20
-0.40
-0.60
Donja ta~ka jezgra
Donja ivica
x (m)
-0.80
Slika 5.34 Napadne ta~ke rezultante pritisaka - C - linije
Naponi u fazi prethodnog naprezanja kre}u se u granicama 0,2 do 16,1MPa - pritisci (dopu{teni napon pritiska je 17,3MPa). U fazi eksploatacije, naponi se nalaze u granicama 0,0 do
13,1MPa - pritisci (dopu{teni napon pritiska je takodje 17,3MPa). Iskori{}en je ivi~ni napon
'zatezanja' iznad oslonca u eksploataciji. Srednje ekvivalentno optere}enje kablova iznosi
oko 27kN/m. Linije rezultuju}ih pritisaka u fazi prethodnog naprezanja, odnosno u eksploataciji su prakti~no simetri~ne, slika 5.34, a i dijagrami ukupnih momenata savijanja te`e
simetriji, slika 5.33.
Poku{aji da se zadatak re{i dubljom strelom trase f , i eventualno manjom potrebnom silom, nisu uspeli. Treba uo~iti da je strela f=0,40m vrlo blizu, ali je pli}a od strele 'konkordantne' trase kablova f = e = 0,45m.
Slika momenata i C - linija sugeri{e da je, u ovom simetri~nom preseku, skretnim optere}enjem kablova - njihovim vertikalnim 'potiskom', ustvari izvr{eno balansiranje momenata - optere}enja, odnosno polo`aja napadnih ta~aka rezultanti pritisaka u popre~nom preseku. Na pitanje kako prethodno napregnuti simetri~an nosa~, dobar polaz je obi~no: da
ukupno podeljeno optere}enje (qk0+ g) u fazi prethodnog naprezanja, bude pribli`no jednako ukupnom podeljenom optere}enju (qkt+ g + Dg + p) u eksploataciji, sa obrnitim
znakom, naravno:
qk 0 - g = - ( qkt - g - Dg - p )
odnosno
qk 0 =
Dg + p
2 g + Dg + p
»g+
1+w
2
qk 0 =
2 x9,38 + 16,0 + 8,5
= 24 kN / m
1 + 0,8
U ovom slu~aju
5-35
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
{to je blisko postignutoj vrenosti od 27kN/m. Treba uo~iti da i stati~ki odredjeni nosa~i
mogu da se analiziraju na pokazani na~in, da se problem svede na optimalno balansiranje optere}enja, kao generalni princip.
U primeru 5.11.2, analiziran je nosa~ sistema proste grede, sa ne{to manjim ra~unskim rasponom, zbog {irine oslanjanja, ali i ograni~eno prethodno napregnut. Pri prakti~no istoj
vrednosti maksimalnog momenta savijanja, i istom popre~nom preseku ove dve konstrukcije, potrebna po~etna sila Nk0 = 3540kN kontinualnog nosa~a je oko 12% ve}a od potrebne po~etne sile Nk0 = 0,95x3301 = 3134kN proste grede.
Treba uo~iti da je prethodno naprezanje izvr{eno konstantnom povr{inom kablova u svim
presecima, iako su spolja{nji momenti nad osloncem duplo ve}i od momenata u sredini
raspona. Da je u pitanju klasi~no armirana greda, na osloncu bi bilo skoro dva puta vi{e
armature nego u polju, kako god da su preseci dimenzionisani, po teoriji dopu{tenih napona, ili po teoriji grani~nih stanja. Iako imaju istu povr{inu kablova, preseci u polju i nad
osloncem u ovom slu~aju nemaju i isti kapacitet nosivosti, razlikuje se ekscentricitet kablova. Ne treba zaboraviti da i prora~un prema teoriji dopu{tenih napona, prema Pravilniku
PNB71 na primer, zahteva da se osigura zahtevani koeficijent sigurnosti od loma preseka
- da se preseci ujedna~e po grani~noj nosivosti. Ako je povr{ina kablova nedovoljna po
ovom kriterijumu, treba dodati klasi~nu armaturu i podi}i kapacitet nosivosti. I tako dolazimo na ono ~emu te`e savremeni propisi - sve je to armirani beton, a kablovi su tu da izbalansiraju neko stanje konstrukcije, napone u eksploataciji, i ugibe, u ovom slu~aju (videti i
naredni primer).
5-36
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.11.4 Primer 4
U svemu kao primer 5.11.3, samo {to se dozvoljava pojava napona zatezanja - ograni~eno
prethodno naprezanje.
Kontinualni nosa~ sa dva jednaka polja
Analiza efekata simetri~nog prethodnog naprezanja
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton - Ve`be 2003 - Primer 5.11.4
Grupa kablova - A (utezanje sa obe strane)
POLJE
1
Sila na ~elu - Nk0 =
2430
kN
Koef.trenja na pravcu - k =
Koef.trenja na krivini - m =
0.003
0.220
1/m
1/rad
Elasti~ni gubici
Vremenski gubici
L
(m)
20.00
- we=
- w=
f
(m)
0.600
0.950
0.800
e
(m)
0.450
<-(0.003)
<-(0.220)
1.00
Trasa kablova
0.50
0.00
-0.50 0
5
10
15
20
-1.00
qksr= 27.56
0.80
C-linije
0.60
Spolja{nja optere}enja
Sopstvena te`ina
Dodatno stalno
Povremeno
g=
Dg=
p=
9.38
16.00
8.50
0.40
kN/m
kN/m
kN/m
0.20
0.00
Presek
0
Faza utezanja
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
35
-2.80
17.30
Faza eksploatacije
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
45
-1.90
17.30
Visina preseka
1.200
5
10
15
MPa
MPa
-0.40
t=0
-0.60
2
d (m)=
3
20
-0.20
t=t
-0.80
MPa
MPa
F (m )=
0.375
W2 (m )=
0.102
K2 (m)=
0.273
Yt (m)=
d-Yt (m)=
0.600
0.600
W1 (m3)=
0.102
K1 (m)=
K1+K2=
0.273
0.546
x (m)
Ivi~ni naponi
Faza prethodnog naprezanja
maxs0 =
13.71
mins0 =
-2.71
<
<
MPa
17.30
-2.80
Faza eksploatacije
maxst =
minst =
<
>
17.30
-1.90
10.72
-1.91
V.Alendar, novembar 2003.
Slika 5.35 Nosa~ kao u primeru 5.11.3, samo ograni~eno prethodno napregnut
U ovom slu~aju, usvojena je strela paraboli~ne trase kablova f = 0,60m, tako da na najni`em delu kabla, odstojanje te`i{ta kablova od donje ivice bude oko 15cm. Potrebna po~etna
sila iznosi Nk0 = 2430kN (oko 30% manja nego u slu~aju nosa~a sistema proste grede, razlika je posledica 'sekundanih' uticaja), uz prakti~no iskori{}enje oba napona zatezanja. U
odnosu na slu~aj potpunog prethodnog naprezanja, dopu{tanje pojave napona zatezanja je,
u ovom slu~aju, smanjilo potrebnu silu za oko 30%, pa time i koli~inu kablova.
Dr`e}i se strogo teorije dopu{tenih napona, isprojektovan je nosa~ sa konstantnom povr{inom kablova, sa prakti~no istim kapacitetom nosivosti u polju i nad osloncem. U poglavlju 4.4.4 bilo je re~i o 'plasti~nim mehanizmima', ilustrovano upravo kontinualnim nosa~em 'na dva polja'. Neko mladji, ko nije ~uo za 'dopu{tene napone', rekao bi da je u uvom
slu~aju izvr{ena 'prevelika, nedozvoljena preraspodela uticaja sa oslonca u polje'. E
pa nije, jer da bi se postigao isti koeficijent sigurnosti od loma, koji tek treba proveriti,
mora}e u ovom slu~aju iznad oslonca da se doda klasi~na armatura, i 'popravi plasti~ni
mehanizam' (videti i sliku 2.16.a-e). Kablovi balansiraju napone i ugibe, a zajedno sa
klasi~nom armaturom obezbedjuju nosivost.
5-37
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
5.11.5 Primer 5
Glavni kontinualni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog
raspona Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem sa dve grupe kablova sistema IMS : prvi kabl ide kontinualno kroz oba polja, sa praboli~nom trasom (kao u primeru
5.11.3), i ute`e se sa oba kraja; drugi kabl je horizontalan, postavlja se simetri~no iznad
srednjeg oslonca, na du`ini 2l2 i ekscentricitetu e2 , i ute`e se samo sa jedne strane, slika
5.36 i 5.37. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban
broj i trasu kablova za prethodno naprezanje. Razmotriti samo slu~aj istovremenih podeljenih optere}enja u oba polja, bez 'nagomilavanja' korisnih optere}enja u jednom od polja.
Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog naprezanja (dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71.
Podaci:
Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prehodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune
~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom
slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%.
Napomena: Ovo je je u svemu isti primer kao 5.11.4 (ili 5.11.3, ali ograni~eno prethodno
naprezanje), samo {to je dodat jo{ jedan kabl iznad srednjeg oslonca.
Slika 5.36 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova sa dve grupe kablova
TL
2
l2
d
e2
Nk2
1
b.)
Mk2=Nk2e2
a.)
a=L-l2
l2
Nk20
wweNk20
c.)
Slika 5.37 Momenti i normalna sila usled prethodnog naprezanja
horizontalnog kabla iznad oslonca
5-38
0,5Mk2(1-3(a/L)2)
L=2000
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
a=L-l2
l2
0,5Mk2(1-3(a/L)2)
Mk2=Nk2e2
U odnosu na prethodna dva primera, razlika je u dodatnom horizontalnom kablu iznad
srednjeg oslonca, slika 5.37. Ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja kabla
iznad oslonca silom Nk2 prikazano je na slici 5.37. Ovi efekti superponirani su sa efektima
paraboli~ne trase kablova, u 'Excel' tabeli prethodnih primera. Da bi se izbeglo ra~unanje
sa dve vrednosti momenata savijanja u istoj ta~ki, usvojen je ra~unski dijagram momenata
prema slici 5.38, sa kontinualnom promenom na du`ini 2xL/20, gde je L/20 du`ina segmenta nosa~a podeljenog na dvadeset delova, kao u prethodnim primerima. Kona~no, da bi se
razvili ra~unski efekti prethodnog naprezanja, potrebna je odredjena du`ina uvodjenja,
mada ova aproksimacija momenata savijanja (bez analize du`ine uvodjenja normalne sile)
nije imala to za cilj.
L/20
L/20
Slika 5.38 Ra~unski dijagram momenata usled prethodnog naprezanja
horizontalnog kabla iznad oslonca
Zbog relativno male du`ine pravog kabla, efekti trenja su zanemareni u slu~aju dodatnog
kabla. Sila prethodnog naprezanja je konstantna, ali zavisi od gubitaka usled elasti~nih
deformacija i posebno - od efekata uvla~enja klina koji su zna~ajni kod kratkih kablova,
za koje je pretpostavljeno da se prostiru na celoj du`ini kabla, ravnomerno, slika 5.37.c.
Ako je uvla~enje klina reda veli~ine 4mm, tada na du`ini pravog kabla od oko 6000mm,
promena po~etnih dilatacija kabla iznosi 4/6000=0,7 . Pri po~etnom naponu od oko
1200MPa, odnosno po~etnoj dilataciji kabla od oko 6 , pad sile prethodnog naprezanja
zbog uvla~enja klina iznosi oko 12%. Ako se tome dodaju i efekti pada sile zbog elasti~nih
deformacija betona, i ipak prisutnog trenja, usvojeno je da su ukupni po~etni gubici sile,
pre po~etka te~enja betona, reda veli~ine 20%, odnosno we = 0,80.
Pri prora~unu, kao projektantski koncept je usvojeno da povr{ine obe grupe kablova budu pribli`no jednake, tako da ukupna povr{ina kablova iznad oslonca bude pribli`no dva
puta ve}a od povr{ine kablova u polju. Pri duplo ve}im momentima nad osloncem nego u
polju usled spolja{njih optere}enja, duplo ve}a povr{ina kablova treba da obezbedi ujedna~eni koeficijent sigurnosti od loma, bez zna~ajnijeg dodavanja klasi~ne armature, kako je to
moralo da bude uradjeno u prethodnim primerima.
Rezultati prora~una, 'maska' modifikovane 'Excel' tabelom, prikazani su na slici 5.39.
Po~etna sila prethodnog naprezanja u obe grupe kablova je ista, Nk0 = 1520kN. Horizontalni kabl usvojen je na ukupnoj du`ini od 6,0m, odnosno po 3,0m bo~no od oslonca, na
ekscentricitetu e2 = 0,45m. Prekora~enje napona zatezanja u eksploataciji iznosi oko 2%,
{to je ocenjeno kao prihvatljivo, slika 5.42.
5-39
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
Kontinualni nosa~ sa dva jednaka polja
Analiza efekata simetri~nog prethodnog naprezanja
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton - Ve`be 2003 - Primer 5.11.5
Paraboli~ni kabl u polju - (utezanje sa obe strane)
POLJE
1
Sila na ~elu - Nk0 =
1520
kN
Koef.trenja na pravcu - k =
Koef.trenja na krivini - m =
0.003
0.220
1/m
1/rad
- we=
- w=
f
(m)
0.600
Elasti~ni gubici
Vremenski gubici
L
(m)
20.00
<-(0.003)
<-(0.220)
0.50
0.00
-0.50 0
0.950
0.800
e
(m)
0.450
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
-1.00
0.80
qksr= 17.24
C-linije
0.60
Horizontalni kabl iznad oslonca - (utezanje sa jedne strane)
Sila na ~elu - Nk0 =
1520
kN
Elasti~ni gubici, klin
Vremenski gubici
Trasa kablova
1.00
0.40
0.20
0.00
- we= 0.800
- w= 0.800
L
e
(m)
(m)
3.00
0.450
-0.20
0
2
4
6
8
10
-0.40
t=0
-0.60
t=t
-0.80
Spolja{nja optere}enja
Sopstvena te`ina
Dodatno stalno
Povremeno
g=
Dg=
p=
9.38
16.00
8.50
Faza utezanja
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
35
-2.90
17.30
Faza eksploatacije
MB
Dop. napon zatezanja =
Dop. napon pritiska =
45
-1.90
17.30
Ivi~ni naponi
Faza prethodnog naprezanja
maxs0 =
14.01
mins0 =
-0.64
Faza eksploatacije
maxst =
12.37
minst =
-1.94
kN/m
kN/m
kN/m
Presek
<
<
MPa
17.30
-2.90
<
>
17.30
-1.90
MPa
MPa
20.0
Ivi~ni naponi
Donja ivica t=0
MPa
MPa
Gornja ivica t=0
15.0
Donja ivica t=t
Gornja ivica t=t
Visina preseka
d (m)=
1.200
10.0
F (m2)=
0.375
W2 (m3)=
0.102
K2 (m)=
0.273
Yt (m)=
d-Yt (m)=
0.600
0.600
W1 (m3)=
0.102
K1 (m)=
K1+K2=
0.273
0.546
5.0
0.0
0
5
10
15
20
-5.0
V.Alendar, novembar 2003.
Slika 5.39 Kontinualni nosa~ sa dve grupe kablova - ulaz i rezultati 'Excel' tabele
2000
Momenti
Moment (kNm)
1500
Ukupno - faza preth.naprezanja
Ukupno - faza eksploatacije
1000
g
q
500
0
-500
0
5
10
-1000
-1500
Slika 5.40 Momenti savijanja
5-40
15
20
V.Alendar - Prethodno napregnuti beton
0.80
C - linije
0.60
0.40
0.20
0.00
0
5
10
15
20
-0.20
K1 - t=0
K2 - t=0
K1 - t=t
K2 - t=t
C - t=0
C - t=t
-0.40
-0.60
-0.80
Slika 5.41 Centri rezultuju}e sile pritiska - C - linije
20.0
Ivi~ni naponi
Donja ivica t=0
15.0
Gornja ivica t=0
Napon (MPa)
Donja ivica t=t
10.0
Gornja ivica t=t
5.0
0.0
0
5
10
15
20
-5.0
Slika 5.42 Ivi~ni naponi u betonu
Ukupna povr{ina (ali ne i du`ina, te`ina) kablova je za oko 25% ve}a negu u slu~aju trase
sa konstantnom povr{inom kabla, primer 3.11.4, i prakti~no jednaka povr{ini kabla proste
grede sa pribli`no istim maksimalnim momentom, primer 3.11.2.
5-41
Download

σ - DNEC