TKN 211 Diferansiyel Denklemler*
*Bu ders notları Yrd. Doç. Dr. Adnan Sondaş (Kocaeli Üniversitesi
Bilişim Sistemleri Mühendisliği Bölümü) katkılarıyla hazırlanmıştır.
GİRİŞ
Birçok mühendislik, fizik ve sosyal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade
edildiği zaman bu problemler, bilinmeyen fonksiyonun bir veya daha yüksek mertebeden
türevlerini içeren bir denklemi sağlayan fonksiyonun bulunması problemine dönüşür. Bu
mantıkla oluşturulmuş denklemlere ‘Diferansiyel Denklemler’ denir. Diferansiyel
denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik
problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım
problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radyoaktif
maddelerin parçalanması problemleri, elektrik devreleri vb. gösterilebilir. Bu dersin amacı
diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü öğrenmektir.
Diferansiyel Denklem Kavramı
x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevleri (y', y'',
y''',…, y(n) ) arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Bu eşitlikte türevlerle
beraber y=f(x) fonksiyonunun kendisi x’in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir.
Böyle bir denklem sembolik olarak,
veya
şeklinde gösterilir.
)
U
Y
G
U
L
A
M
A
L
A
R
UYGULAMALAR
Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim
hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu
görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler
sonucuna göre,
y'(x) = k y(x)
yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif
olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif
olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi:
y' - k y(x) = 0
Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30°lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda)
soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki
sıcaklığı ve ortamın sıcaklığı arasındaki fark ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise
y'(x) = k (y(x) – 30)
yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi:
y' = k (y – 30)
Diferansiyel Denklemlerde Sınıflandırma
Değişken sayısına göre:
i) Adi (sıradan) dif. denklemler (Tek değişkenli)
ii) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli)
Mertebeye göre:
i) 1. Mertebeden dif . denklemler
ii) Yüksek Mertebeden dif . denklemler
Doğrusallığa göre:
i) Doğrusal (lineer) dif. denklemler
ii) Doğrusal olmayan dif . denklemler
Katsayılara göre;
i) Sabit Katsayılı dif denklemler
ii) Değişken Katsayılı dif denklemler
Değişken Sayısı
Diferansiyel denklemdeki bilinmeyen fonksiyon tek değişkenli bir fonksiyon ise denkleme
adi diferansiyel denklem,
birden fazla değişkene bağlı ise
kısmi diferansiyel denklem denir.
2
adi diferansiyel denklem
kısmi diferansiyel denklem
 2u  2u  2u
 2  2 0
2
x
y
z
Diferansiyel Denklemin Mertebesi
Denklemdeki en yüksek mertebeli türevin değerine diferansiyel denklemin mertebesi denir.
y  Cosx
I. Mertebeden dif. denklem
x2 y  yx  y  5
III. Mertebeden dif. denklem
y  y  y
II. Mertebeden dif. denklem
f ( x, y, y, y, y, y  ...... y  )  0
4
n
n. Mertebeden dif. denklem
Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır.
Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'', . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor.
Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır.
Diferansiyel Denklemin Derecesi
Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebedeki türevin kuvvetine diferansiyel
denklemin derecesi denir.
y' = y/x
1. Dereceden dif. denk.
(y' )2= y/x
2. Dereceden dif. denk.
y'' + 3(y')4 + 5y = 0
1. Dereceden dif. denk.
Örnekler
(3. mertebe / 1. derece)
(2. mertebe / 2. derece)
(2. mertebe / derecesi tanımsız!)
(2. mertebe / 2. derece)
Lineer (Doğrusal) ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler
(*)
. (*)
Lineer dif. denk.
Lineer olmayan dif. denk.
Genel, Özel ve Tekil Çözümler
Bir diferansiyel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm
olmak üzere üçe ayrılır.
 Diferansiyel denklemin c (integral) sabitine bağlı çözümüne genel çözüm;
 c’ye değerler verilerek elde edilen çözüme özel çözüm denir.
 Ayrıca bu genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde
edilemeyen fakat denklemi sağlayan çözümlere de tekil çözüm denir.
y  sinx  c 
y'  1  y 2
c0
c 1
genel çözüm
y  sin x
y  sin x  1
c2
y  sin x  2
y 1
y'  0


 tekil çözüm


0  1  12  0


 özel çözüm


İçerisinde keyfi sabitler içeren çözümlere genel çözüm denir.
Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere
denklemin özel çözüm denir.
GENEL ÇÖZÜM
ÖZEL ÇÖZÜM
y
y
1
x
1
x
1.
M
E
R
T
E
B
E
D
E
N
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler
D
İ
F
E
R
A
N
S
İ
Y
E
L
D
E
N
K
L
E
M
L
E
R
ÖRNEK1
y' cos x
dy
 cos x
dx
dy  cos x dx
y  sin x  C
 dy   cos x dx
ÖRNEK2
y' y  0
dy
y
dx
dy
 dx
y
dy
 y   dx
x  C2
ln y  C1
y  e x C  e C e x
ln y  x  C
eC yeniden bir keyfi sabit olduğundan eC yerine yine “C” yazarsak genel çözüm:
y  Ce x
ÖRNEK3
y'  1  y 2
dy
 1 y2
dx

dy
1 y2
dy
1 y
  dx
arcsin y  x  c
y  sin x  c 
 dx
2
ÖRNEK4
y'  k ( y  30)
dy
 k ( y  30)
dx

dy
 k dx
y  30
dy
  k dx
y  30
ln y  30  C1  kx  C2
y  30  eC ekx
3
y  30  C ekx
ÖRNEK5
100° C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra
cismin sıcaklığı 70°C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur?
Bir önceki soruda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + Cekx olarak
bulunmuştu.
Başlangıçta cismin sıcaklığı 100°C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak C
sabitini bulalım:
lanalım.
:
ÖRNEK6
dr  r tan d  0
dr
 tan  d  0
r
dr
 r   tan d  0
ln r  ln cos   C
r
ln
C
cos
e
ln
r
cos
e  A
C

r  ACos
r
A
cos
ÖRNEK7
x
2
 yx2 y' y 2  xy2  0
x 1  y dy  y 1  xdx  0
2
2
 1 1
 1 1
  y 2  y dy    x 2  x dx  0




1  y  dy  1  x  dx  0
y2
1
1
  ln y   ln x  C
y
x
x
 eC e
y
x
1 1
ln  C  
y
x y
y  Axe
x2
 x y
 
 xy




x y
xy
ÖRNEK8
y'  2 x 2  5
dy
 2x2  5
dx
y(1)  3
dy  (2 x 2  5)dx
2
dy

(
2
x
 5)dx


2x3
y
 5 x  C Genel Çözüm
3
2 x3
y ( x) 
 5x  C
3
2(1)3
y(1) 
 5(1)  C
3
2 x3
26
Özel Çözüm
y ( x) 
 5x 
3
3
26
C
3
ÖDEV
y  Ce
y  cos(x)
0.5 x 2
1
T
Ü
R
E
V
F
O
R
M
Ü
L
L
E
R
İ
İ
N
T
E
G
R
A
L
F
O
R
M
Ü
L
L
E
R
İ
Download

y - Kocaeli Üniversitesi