KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
Şekilde verilen kirişte sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırı kadar donatı altında
moment taşıma kapasitesi Mr = 274,18 kNm ise bw kiriş genişliğini hesaplayınız.
d=57 cm
Malzeme:
C25/S420
1)
εcu = 0,003
bw = ?
------------c
Çözüm:
Sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırı ρs = 0,235
d
------
------k1c
0,85fcd
Fc
d-c
εs ------------
FS
bw
Donatı oranı ρ =
Soruda ρ = ρs olarak verilmiştir. Bu durumda
= 0,235
AS = 0,235
bw d olacaktır.
Kiriş yüksekliği h, paspayı d′ olmak üzere faydalı yükseklik d = h-d′ = 57 cm olarak verilmiştir.
 Hesap dayanımlarının bulunması:
Beton tasarım basınç dayanımı: fcd = fck / γmc
C25 beton için karakteristik basınç dayanımı fck = 25 MPa
Beton karakteristik basınç dayanımı: fck
Yerinde dökme beton için malzeme katsayısı γ mc = 1,5
Beton için malzeme katsayısı: γmc
fcd = 25/1,5 = 16,67 MPa
Yerinde dökme betonlar
1,5
Prefabrike elemanlar
1,4
Betonda kalite denetimi olmadığı zaman
1,7 veya daha büyük
Çelik için tasarım akma dayanımı fyd = fyk / γms
Çeliğin karakteristik akma dayanımı: fyk
Beton çeliği için malzeme katsayısı γms = 1,15
AS= 0,235*
*(bw mm )*(570 mm)
S420 çelik için karakteristik akma dayanımı fyk = 420 MPa
σs
fyd = 420/1,15 = 365,22 MPa
Bu bölgede Hooke
fyd
Kanunu geçersizdir.
ÇEKME
Çelik gerilme-şekil değiştirme grafiği
εs
εyd εsu
Sehim denetimi gerektirmeyen donatı sınırında donatının akmış olacağı kabulü ile σ s = fyd ve FS = σs AS = fydAS
yazılabilir.
 Betonarme çeliğinin elastisite modülü (Es ) 1,9x105 MPa ile 2,1x105 MPa arasında değişmekle birlikte hesaplarda
2x105 MPa alınmaktadır.
Donatı tasarım akma şekil değiştirmesi εyd = fyd / Es = 365,22 / 200 000 = 1,8261*10-3
Eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu kabulüyle denge denklemleri kullanılarak çözüm yapılırsa,
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw =0,85*(16,67 N/mm2 )*0,85*(c mm)*(bw mm)=12,044075bw c N
(C25 için k1 =0,85)
FS = fyd AS = (365,22 N/mm2 )* 0,235*
*(bw mm )*(570 mm) = 2232,9465bw N
Kuvvet dengesinden FC = FS
12,044075bw c = 2232,9465bw
Tarafsız eksen derinliği c = 185,3979 mm
bulunur.
 Donatıda akma gerçekleşip gerçekleşmediğinin kontrolü
Üçgen benzerliğinden
εs = 0,003*(570-185,3979)/185,3979 = 6,2234*10-3
=
εs > εyd
M = FS (d-
Donatı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur.
)
M = 2232,9465*bw *(570) = 1096836,478*bw Nmm
6
Soruda M = 274,18 kNm = 274,18*10 Nmm olarak verilmiş olduğundan M = 1096836,478*bw = 274,18*106
bw = 249,97 mm ≈ 25 cm bulunur.
1
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
7,5
15
31.03.2015
7,5
2)
7 cm
10 cm
Şekilde boyutları verilen boşluklu kesitin moment taşıma kapasitesi
Mr = 276,675 kNm ise AS donatı alanını hesaplayınız. Malzeme: C30/S420
40 cm
As
bw = 30 cm
Çözüm:
Hesap dayanımlarının bulunması:
Beton için fcd = fck / γmc = 30 / 1,5 = 20 MPa
Donatı için fyd = fyk / γms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa
Eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu kabulü ile hesap yapılacak olursa C30 beton sınıfı için k 1 = 0,82 alınmalıdır.
Faydalı yükseklik: d = 57 cm = 570 mm
Tarafsız eksen derinliği: c
Yatay dengeden FC = FS

Basınç bloğu derinliği a’nın irdelenmesi (a=k1 c)
Basınç bloğunun hangi bölgede kaldığı belirlenmelidir.
I. Durum: a ≤ 7 cm olması durumu
Basınç alanı = a*bw
FC = 0,85*fcd *a*bw =0,85*20*a*300 = 5100a
Donatının akmış olduğu kabulüyle FS = ASfyd = AS*365,22
FC = FS olduğundan 5100a = 365,22A S ve a=(365,22/5100)AS
M = FS(d -
) = As fyd (d - )
M= 276,65*106 = As fyd (d - )
As *365,22*(570-a/2) = As *365,22*[570-(365,22/5100)AS /2] = 276,675*106
denkleminin kökleri hesaplanacak olursa
AS1 = 1463,61 ve a1 =104,81 mm, a ≤ 7 cm kabulü geçersiz 
AS2 = 14455,6 ve a2 = 1035,19 mm, a ≤ 7 cm kabulü geçersiz 
Bir diğer yolla a=7 cm olması durumunda M=5100*70*(570-70/2)=190995000 Nmm=190,995 kNm
M<Mr olduğundan basınç bölgesi genişliğinin 7 cm’den büyük olduğu görülür.
a=17 cm olduğunda M=190,995+[ 2*0,85*20*75*100*(570-120)]*10 -6 =305,745 kNm>Mr olduğundan basınç
bölgesinin 7 cm < a < 17 cm şartını sağlayacağı açıktır.
II. Durum: 7 cm < a < 17 cm olması durumu
Basınç alanı = 2*a*75+70*150
FC = 0,85*fcd *(2*a*75+70*150) = 0,85*20*(2*a*75+70*150) = 2550a+178500
Donatının akmış olduğu kabulüyle FS = As fyd = As *365,22
FC = FS olduğundan 2550a+178500= 365,22AS ve a=(365,22AS-178500)/2550
M = FS(d – ) = As fyd (d – )
M=2550a*(570-a/2)+178500*(570-35)=1453500a-1275a2 +95497500
M=Mr
1275a2 -1453500a+181177500 = 0 denkleminin kökleri
a1 =570-20√457=142,449 mm(7 cm < a < 17 cm şartın ı sağlıyor)
a2 =570+20√457=997,551 mm
a=142,449 mm ve AS=(2550a+178500)/365,22=1483,34 mm2 bulunur. a=k1 c=142,449 mm olduğunda tarafsız eksen
derinliği c=173,72 mm hesaplanır. Buradan donatıdaki birim şekil değiştirme hesap edilirse, üçgen benzerliğinden
εs = 0,003*(570-173,72)/173,72 = 6,8435*10-3 > εyd = fyd / Es = 365,22 / 200 000 = 1,8261*10 -3 . Donatı akmıştır,
yapılan kabul doğrudur. 
2
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
Malzeme: C16/S220, dʹ=2,5 cm ise kesitin pozitif ve negatif moment taşıma kapasitesini bulunuz.
3)
2Φ16
h=55 cm
4Φ14
30 cm
Çözüm:
Hesap dayanımlarının bulunması:
Beton için fcd = fck / γmc = 16 / 1,5 = 10,67 MPa
Donatı için fyd = fyk / γms = 220 / 1,15 = 191,30 MPa
Faydalı yükseklik: d=h-dʹ=550-25=525 mm
k1 =0,85
Donatı alanları: 2Φ16 = 402 mm2 ve 4Φ14 = 616 mm2
a) Pozitif moment taşıma kapasitesinin bulunması:
εcu =0,003
dʹ
εs ʹ
2Φ16
c-dʹ
0,85fcd
k1 c
FS ʹ
FC
h=55 cm
4Φ14
εs
d-c
FS
dʹ
30 cm
Kabul: Çekme donatısı akmış, basınç donatısı akmamıştır.
Yatay dengeden: FC + FSʹ = FS
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*10,67*0,85*c*300
FSʹ = ASʹ*σSʹ = 402*200000*εSʹ = 804*105 *εS ʹ N
FS = AS*fyd = 616*191,30 = 117840,8 N
Basınç donatısındaki birim şekil değiştirmeyi bulmak için benzer üçgenlerden faydalanılırsa,
εSʹ/0,003=(c-dʹ)/c yazılır ve εSʹ=0,003(c-dʹ)/c
FC + FSʹ = FS
0,85*10,67*0,85*c*300+804*105 *[0,003(c-25)/c]=117840,8 ifadesinden c=30,9375 mm, a=k1 c=26,296875 mm
bulunur.
(Diğer kök negatiftir c=-84,2769 mm)
εyd = fyd /E = 191,30/200 000= 9,565*10 -4
Çekme donatısındaki birim şekil değiştirme üçgen benzerliğinden bulunur.
0,003/ εS = c/(d-c) yazılarak εS=0,003(d-c)/c=0,003*(525-30,9375)/30,9375 = 0,04790909 değeri, akma birim şekil
değiştirmesinden büyük olduğundan çekme donatısı akmıştır. Başlangıçta çekme donatısı için yapılan kabul
doğrudur.
3
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
Basınç donatısındaki birim şekil değiştirme εSʹ=0,003(c-dʹ)/c=0,003(30,9375-25)/30,9375=5,7576*10-4 değeri, akma
birim şekil değiştirmesinden küçük olduğundan donatı akmamıştır. Basınç donatısı için yapılan kabul de doğrudur.
Pozitif moment kapasitesi,
Mr+={0,85*10,67*0,85*30,9375*300*(525-26,296875/2)+ 804*105 *[0,003(30,9375-25)/30,9375]*(525-25)}10-6
Mr+ =59,768 kNm bulunur.
b) Negatif moment taşıma kapasitesinin bulunması:
εs
2Φ16
dʹ
FS
d-c
h=55 cm
4Φ14
30 cm
FC
c-dʹ ε ʹ
s
dʹ
εcu =0,003
k1 c
FS ʹ
0,85fcd
Kabul I: Çekme donatısı akmamış, basınç donatısı akmıştır.
Yatay dengeden: FC + FSʹ = FS
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*10,67*0,85*c*300
FSʹ = ASʹ*fyd = 616*191,30 = 117840,8 N
FS = AS*σS = 402*200000*εS
Çekme donatısındaki birim şekil değiştirmeyi bulmak için benzer üçgenlerden faydalanılırsa,
εS/0,003=(d-c)/c yazılır ve εS=0,003(d-c)/c
FS = AS*σS = 402*200000*0,003(d-c)/c
FC + FSʹ = FS
0,85*10,67*0,85*c*300+117840,8=402*200000*0,003(525-c)/c
c=168,911 mm (Diğer kök -324,157 mm olup negatiftir).
a=k1 c=0,85*168,911=143,57435 mm
εS=0,003(d-c)/c=0,003*(525-168,911)/168,911=6,3244*10-3 değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük
olduğundan çekme donatısı akmıştır, yapılan kabul yanlıştır. 
Kabul II: Tüm donatılar akmıştır.
Yatay dengeden: FC + FSʹ = FS
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*10,67*0,85*c*300
FSʹ = ASʹ*fyd = 616*191,30 = 117840,8 N
FS = AS* fyd = 402*191,30 = 76902,6 N
Buradan da c negatif bulunacaktır. Bu kabul de yanlıştır. 
Kabul III: Çekme donatısı akmış, basınç donatısı akmamıştır.
FSʹ = ASʹ*E*εSʹ= 616*200000*εS ʹ = 1232*105 *εS ʹ N ve εSʹ=0,003*(c-dʹ)/c=0,003*(c-25)/c
FS = AS* fyd = 402*191,30 = 76902,6 N
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*10,67*0,85*c*300
Yatay dengeden FC + FSʹ = FS
0,85*10,67*0,85*c*300+1232*105 *[0,003*(c-25)/c] =76902,6
c=26,1608 mm bulunur. (Diğer kök -152,72 mm)
a=k1 c=22,23668 mm
εSʹ=0,003*(c-dʹ)/c=0,003*(26,1608-25)/26,1608=1,33115*10-4 değeri akma birim şekil değiştirmesinden küçük
olduğundan basınç donatısı akmamıştır.
4
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
εS=0,003*(d-c)/c=0,003*(525-26,1608)/26,1608=0,0572 değeri akma birim şekil değiştirmesinden büyük olduğundan
çekme donatısı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur.
Negatif moment kapasitesi,
Mr-={0,85*10,67*0,85*26,1608*300*(525-0,85*26,1608/2)+ 1232*105 *[0,003*(c-25)/c] *(525-25)}10-6
Mr- =39,291 kNm bulunur.
4) Şekilde verilen iki kesitin moment taşıma kapasiteleri eşit ise, tablalı kesite konulması gereken donatı miktarını
bulunuz ve kesit üzerinde gösteriniz. Her iki kesit için de Malzeme: C20/S40 ve dʹ=4 cm olarak verilmiştir.
85 cm
12 cm
h=60 cm
48 cm
5Φ12
25 cm
35 cm
Çözüm:
εcu =0,003
0,85fcd
k1 c
c
FC
h=60cm
5Φ12
εs
d-c
FS
dʹ
25 cm
Hesap dayanımlarının bulunması:
Beton için fcd = fck / γmc = 20 / 1,5 = 13,33 MPa
Donatı için fyd = fyk / γms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa
Faydalı yükseklik: d=h-dʹ=600-40=560 mm
k1 =0,85
εyd =365,22/200000=1,8261*10-3
AS=565 mm2
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*13,33*0,85*c*250=2407,73125*c N
Donatının akmış olduğu kabulüyle FS=565*365,22=206349,3 N
Yatay dengeden c=85,7028 mm bulunur.
Donatıdaki birim şekil değiştirme εS=(560-85,7028)*0,003/85,7028=0,0166026 değeri akma birim şekil
değiştirmesinden büyük olduğundan donatı akmıştır, yapılan kabul doğrudur.
Moment taşıma kapasitesi Mr =206349,3*(560-0,85*85,7028/2)*10-6 =108,04 kNm
Tablalı kesitte:
Moment taşıma kapasiteleri eşit olduğuna göre basınç bölgesi genişliği 12 cm’den küçük olacaktır ve kesit dikdörtgen
kesit gibi çalışacaktır.
FC=0,85*13,33*850*a=9630,925a
Mr=FC(d-a/2)=9630,925a*(560-a/2)= 108,04*106
Basınç bölgesi genişliği a=20,4039 mm (Diğer kök 1099,6 mm olup ilgili alanın dışındadır).
Tarafsız eksen derinliği c=a/k1 =24,00458824 mm
εS=0,003*(d-c)/c=0,003*(560-24,00458824)/ 24,00458824 = 0,06698662 değeri akma birim şekil değiştirmesinden
büyük olduğundan donatı akacaktır.
σS=fyd
5
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
FS = AS* fyd = FC = 0,85*13,33*850*a = 9630,925a =9630,925*20,4039
AS=(9630,925*20,4039)/365,22 = 538 mm2 (Seçilen donatı 5Φ12=565 mm2 )
2Φ12 montaj
donatısı
2Φ12 gövde
donatısı
5Φ12
30 cm
5) Malzeme: C20/S420, paspayı dʹ = 3 cm
c
g=60 kN/m
q=26 kN/m
A 2m B
6m
C
50 cm
10 cm
2mD
80 cm
Kesit geometrisi ve malzemesi verilen kesitte, verilen yükler altında gerekli donatı alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Hesap yükünün bulunması: P d = 1,4g + 1,6q =1,4*60+1,6*26 = 125,6 kN/m
Hesap dayanımlarının bulunması:
Beton için fcd = fck / γmc = 20 / 1,5 = 13,33 MPa
Donatı için fyd = fyk / γms = 420 / 1,15 = 365,22 MPa
Faydalı yükseklik: d=h-dʹ=600-30=570 mm
Kirişin moment diyagramı:
251,2
251,2
-
-
M (kNm)
+
314
B-C açıklığı:
B-C açıklığında moment pozitif olduğundan çekme bölgesi kesitin alt kısmında olacaktır ve eğilme momentini
karşılayacak donatı kesitin altına yerleştirilecektir.
a
Basınç bölgesi
FC = 0,85*fcd *k1 *c*bw = 0,85*13,33*0,85*c*300 = 2889,2775c N
Donatının akmış olduğu kabulüyle FS = ASfyd = AS*365,22
M = FC*(d-k1 c/2) = 2889,2775c*(570-0,85c/2) = 314*106 Nmm
Buradan
bulunan c 1,2 = (230,161; 1111,02) olduğundan ilgili bölge içinde bulunan değer göz önüne alınarak
c=230,161 mm yazılır. a=k1 c=0,85*230,161=195,63685 mm olduğundan basınç bölgesinin tablaya kadar ulaşamadığı,
dolayısıyla dikdörtgen kesit çözümü yapılacağı görülür.
εS=0,003(d-c)/c=0,003*(570-230,161)/230,161=4,429581901*10-3
εyd =fyd /Es =365,22/200 000=1,8261*10-3
εS > εyd olduğundan donatı akmıştır. Yapılan kabul doğrudur.
FC=FS
2889,2775*230,161=AS*365,22 ifadesinden AS=1820,82 mm2 bulunur.
a=k1 c
6
KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
İnşaat Mühendisliği Bölümü/2014-2015 Bahar Yarıyılı
UYGULAMA 1
31.03.2015
B ve C mesnetleri:
B ve C mesnetlerinde oluşan moment negatif olduğundan çekme bölgesi kesitin üst kısmında olacaktır ve eğilme
momentini karşılayacak donatı kesitin üstüne yerleştirilecektir.
FC=0,85*13,33*800*a
M =0,85*13,33*800*a*(570-a/2)=251,2*106 Nmm ifadesinden a=50,8908 mm bulunur (Diğer kök
1089,11 mm olarak bulunmuştur. Bu değer kesitin dışında kaldığından aranan değer değildir).
a= k1c yazılırsa c=a/k1 =50,8908/0,85=59,8715 mm bulunur.
ε =0,003(d-c)/c=0,003*(570-59,8715)/ 59,8715 = 0,02556 değeri, akma birim şekil değiştirmesi
a S
değerinden büyük olduğundan donatı akacaktır. FS = ASfyd yazılabilir.
FC=FS dengesinden, 0,85*13,33*800*50,8908=AS*365,22 yazılarak AS=1263,06 mm2 bulunur.
7
Download

KIRKLARELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İnşaat