¨
¨
˙ BOL
¨ UM
¨ U
¨
A.U.FEN
FAKULTES
I˙ MATEMATIK
˙ II ARASINAV SORULARI ve C
¨ UMLER
¨
M302 CEBIR
¸ OZ
I˙
1. R reel sayılar halkası olmak u
¨zere R × R bile¸sensel i¸slemlerle bir halkadır. C kompleks
sayılar halkası ile R × R halkası izomorf mudur? Ara¸stırınız.
C
¸o
¨z¨
um: (0, 0) 6= (1, 0), (0, 0) 6= (0, 1) ∈ R × R i¸cin (1, 0)(0, 1) = (0, 0) oldu˘gundan R × R
halkası sıfır b¨
olenlidir. Di˘
ger taraftan C halkası bir cisim olup sıfır b¨olensizdir. Dolayısıyla
R × R ile C halkaları izomorf de˘gildir.
2. R birimli bir halka ve birimi 1R olsun. Her a ∈ R i¸cin a2 = 1R ise R halkası de˘gi¸smeli
midir? Ara¸stırınız.
C
¸o
¨z¨
um: a, b ∈ R i¸cin (ab)2 = 1R dir. abab = 1R e¸sitli˘gi soldan a, sa˘gdan b ile ¸carpılırsa
2
a bab2 = ab elde edilir. Burada a2 = 1R ve b2 = 1R olması nedeniyle ba = ab olup R
halkası de˘
gi¸smelidir.
3. R birimli bir halka ve bir ideali I olsun. E˘ger a ∈ R i¸cin a−1 ∈ I ise I idealini belirleyiniz.
C
¸o
¨z¨
um: a ∈ R i¸cin a−1 ∈ I ve I ideal oldu˘gundan aa−1 = 1R ∈ I olur. Keyfi r ∈ R i¸cin
r = r1R ∈ I oldu˘
gundan R ⊆ I dır. Ayrıca I ⊆ R oldu˘gundan I = R elde edilir.
4. Z7 [x] halkasında f (x) = x3 + 6x2 + x + 1 ile g(x) = 3x2 + 2 polinomları veriliyor. f (x) ile
g(x) polinomlarının en b¨
uy¨
uk ortak b¨oleni d(x) olmak u
¨zere d(x) = f (x)s(x) + g(x)t(x)
olacak ¸sekildeki s(x), t(x) polinomlarını bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um: f (x) = g(x)(5x + 2) + (5x + 4) ve g(x) = (5x + 4)(2x + 4) oldu˘gundan d(x) =
−1
5 (5x + 4) = 3(5x + 4) = x + 5 tir. Di˘ger taraftan 5x + 4 = f (x) + g(x)(−5x − 2) =
f (x)+g(x)(2x+5) olup d(x) = 5−1 (5x+4) = 3(f (x)+g(x)(2x+5)) = f (x)3+g(x)(6x+1)
dir. Buradan s(x) = 3 ve t(x) = 6x + 1 bulunur.
Download

A.¨U.FEN FAK¨ULTES˙I MATEMAT˙IK B¨OL¨UM¨U M302 CEB˙IR II