¨
Y¨
uz¨
unc¨
u Yıl Universitesi
Matematik B¨
ol¨
um¨
u
Lineer Cebir-I Ara Sınavı
FFMAT205 Lineer Cebir-I
˙
Isim:
Soyisim:
Numara:
1
2
1
3
1
4
1
Ara Sınav
26 Kasım 2014
˙
Yrd. Do¸c. Dr. Zeynep KAYAR
Imza
Saat: 10:00
1
S¨
ure: 100 Dakika
1
1 Toplam
1
1
1
UYARI: Bu sınav bu sayfa dahil 4 sayfadan ve 4 sorudan olu¸smaktadır. Sınav 100 puan
u
¨zerindendir ve her sorunun puanı soru ba¸sında belirtilmi¸stir. Sorulara verilen cevaplar a¸cıklayıcı
ve okunaklı olmalıdır. Yeterli a¸cıklamanın olmadı˘gı cevaplar yanlı¸s kabul edilecektir. Yukarıdaki
ilk tablonun sol tarafına gerekli bilgileri yazınız, sa˘g taraftaki imza kısmına imzanızı atınız.
˙
Ikinci
tabloya her sorudan alaca˘
gınız puan ve toplam puanınız yazılacaktır, bu y¨
uzden herhangi
bir karalama yapmayınız. Her sayfanın ba¸sına ¨o˘grenci numaranızı yazınız ve imzanızı atınız.
Ba¸sarılar dilerim.

1 −1 0
1. (20 puan) A =  2 −1 1  matrisinin satırca indirgenmi¸s e¸selon (basamaklı) for0
1 2
munu ve tersini bulunuz. (NOT: Yapaca˘gınız her satır i¸slemini a¸cık¸ca yazınız.)

C
¸¨
oz¨
um:





1 −1 0 1 0 0
1 −1 0
1 0 0
1 0 1 −1
1 0
−2R1 +R2 →R2
R2 +R1 →R1
 2 −1 1 0 1 0  −
1 1 −2 1 0  −−−
1 0 
−−−−−−−−→  0
−−−−−−→  0 1 1 −2
−R2 +R3 →R3
0
1 2 0 0 1
0
1 2
0 0 1
0 0 1
2 −1 1



1 0 0 −3
2 −1
−R3 +R1 →R1
2 −1 
−−−−
−−−−−→  0 1 0 −4
−R3 +R2 →R2
2 −1
1
0 0 1


−3
2 −1
2 −1  dir.
[A|I] → [I|A−1 ] oldu˘
gundan A−1 =  −4
2 −1
1
˙
Imza:
Numara:
2/4
2. (a) (10 puan) A matrisi 4 × 4 l¨
uk bir matris ve det(A) = 5 olsun. B matrisi, A matrisine
R3
sırasıyla R1 ←→ R2 ,
−→ R3 , −2R2 + R4 −→ R4 satır i¸slemleri uygulanarak elde
5
ediliyorsa det(B) nedir?
R3
C
¸¨
oz¨
um: A matrisine R1 ←→ R2 satır i¸slemi uygulandı˘gında olu¸san matris A1 ,
−→ R3
5
satır i¸slemi uygulandı˘
gında olu¸san matris A2 ve −2R2 + R4 −→ R4 satır i¸slemi uygulandı˘gında olu¸san matris B olsun.
Bir kare matriste 2 satır yer de˘
gi¸stirirse (R1 ←→ R2 ) yeni olu¸san matrisin determinantı, ilk
matrisin determinantının (−1) ile c¸arpılmasıyla elde edilir. Yani det(A1 ) = − det(A) = −5.
R3
Bir kare matriste bir satır c skaleri ile ¸carpılırsa
−→ R3 yeni olu¸san matrisin deter5
minantı, ilk matrisin determinantının c ile ¸carpılmasıyla elde edilir.
det(A1 )
−5
Yani det(A2 ) =
=
= −1.
5
5
Bir kare matriste bir satırın bir katı ba¸ska bir satıra eklenirse (−2R2 + R4 −→ R4 ) yeni
olu¸san matrisin determinantı ilk matrisin determinantıyla aynı olur.
Yani det(B) = det(A2 ) = −1.

(b) (10 puan) A−1

a
2 −3
0
0  olsun. A matrisini bulmadan det(A) ve det(Ek(A))
= 2
3 −1
2
yı hesaplayınız.
C
¸¨
oz¨
um: c bir skaler ve A, n × n lik bir matris olmak u
¨zere Determinant fonksiyonunun
1
Ek(A)
det(A)
2) det(cA) = cn det(A) ve det(Ek(A)) = (det A)n−1
1) A−1 =
¨ozelliklerini kullanalım.
det(A−1 ) = (2)(−1)2+1
2 −3
−1
2
= (2)(−1) = −2.
1. ¨ozellikteki e¸sitli˘
gin her iki tarafından determinant alırsak, det(A−1 ) = det
1
Ek(A)
det(A)
olur.
Burada e¸sitli˘
gin sa˘
g tarafı i¸cin 2. ¨ozelli˘gi kullanırsak,
−2 =
det(A−1 )
= det
1
Ek(A)
det(A)
1
det(A)
−1
oldu˘gundan det(A) =
dir.
2
−1
det(Ek(A)) = (det A)2 =
2
=
2
1
= .
4
=
1
det(A)
3
det(Ek(A)) =
1
det(A)
3
(det(A))3−1
˙
Imza:
Numara:
3/4
3. (a) (30 puan)
3x + y − 2z = 1
x + 4y + z = 15
2x − y + z = −6
lineer denklem sistemini Cramer y¨ontemiyle ¸c¨oz¨
un¨
uz.
C
¸¨
oz¨
um: Verilen denklem sisteminin katsayılar matrisi A, bilinmeyenler matrisi X ve sa˘
g
taraftaki matrisi B olsun. Bu durumda sistem AX = B ¸seklindedir ve


 


3
1 −2
x
1
4
1  , X =  y  ve B =  15  dır.
A= 1
2 −1
1
z
−6
det A = D =
3
1 −2
1
4
1
2 −1
1
= 3(−1)1+1
4 1
−1 1
+ 1(−1)1+2
1 1
2 1
+ (−2)(−1)1+3
1
4
2 −1
= (3)(5) + (1)(1) + (−2)(−9) = 34
D1 =
1
1 −2
15
4
1
−6 −1
1
= 1(−1)1+1
4 1
−1 1
+ 1(−1)1+2
15 1
−6 1
+ (−2)(−1)1+3
15
4
−6 −1
= (1)(5) + (1)(−21) + (−2)(9) = −34
D2 =
3
1 −2
1 15
1
2 −6
1
= 3(−1)1+1
15 1
−6 1
+ 1(−1)1+2
1 1
2 1
+ (−2)(−1)1+3
1 15
2 −6
= (3)(21) + (1)(1) + (−2)(−36) = 136
D3 =
3
1
1
1
4 15
2 −1 −6
= 3(−1)1+1
4 15
−1 −6
+ 1(−1)1+2
1 15
2 −6
= (3)(−9) + (1)(36) + (1)(−9) = 0
x=
D1
−34
=
= −1,
D
34
y=
D2
136
=
= 4,
D
34
z=
D3
0
=
= 0.
D
34
+ (1)(−1)1+3
1
4
2 −1
˙
Imza:
Numara:
4/4
4. (30 puan)
x + 3y + z
=5
3x + 2y − 4z + 7t = k + 4
x + y − z + 2t
=k−1
sisteminin c¸¨
oz¨
um¨
u olması i¸cin k ne olmalıdır? Bu k de˘geri i¸cin sistemin genel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
bulunuz. (NOT: Verilen sistemi ¨once matris sistemine c¸eviriniz, daha sonra ¸co¨z¨
um¨
un¨
u
bulunuz. Yapaca˘
gınız her satır i¸slemini a¸cık¸ca yazınız.)
C
¸¨
oz¨
um: Verilen denklem sisteminin katsayılar matrisi A, bilinmeyen matrisi X ve sa˘
g
taraftaki matrisi B olsun. Bu durumda sistem AX = B ¸seklindedir ve
 




x
1 3
1 0
5
 y 



A =  3 2 −4 7  , X = 
 z  ve B = k + 4 dır.
1 1 −1 2
k−1
t
Sistemin geni¸sletilmi¸s katsayı matrisini basamaklı matrise indirgeyerek sistemin c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
bulalım.




1 3
1 0 5
1
3
1 0 5
−3R1 +R2 →R2
 3 2 −4 7 k + 4  −
−−−−−−−−→  0 −7 −7 7 k − 11 
−R1 +R3 →R3
1 1 −1 2 k − 1
0 −2 −2 2 k − 6


2
1
3
1
0
5
− R2 + R3 → R3

7−−−−−−−−−−−→  0 −7 −7 7 k − 11
−−−


2
0
0
0 0 − (k − 11) + k − 6
7
Verilen sistemin ¸c¨
oz¨
um¨
un¨
un olması i¸cin son matristeki son satırın sa˘g tarafı sıfır olmalıdır,
2
yani − (k − 11) + k − 6 = 0 ya da k = 4 olmalıdır.
7


1
3
1 0
5
k = 4 i¸cin son matris  0 −7 −7 7 −7  halini alır. Buradan
0
0
0 0
0
x + 3y + z
=5
−7y − 7z + 7t = −7
sistemini elde ederiz. Bu sistemde 2 denklem ve 4 bilinmeyen oldu˘gu i¸cin 2 de˘gi¸skeni
ba˘gımsız de˘
gi¸sken (parametre) olarak se¸cerek di˘ger 2 de˘gi¸skeni onlar cinsinden bulaca˘gız.
t = u ve z = v se¸cersek, y = 1 − v + u ve x = 2 + 2v − 3u elde ederiz.
Sistemin genel c¸¨
oz¨
um¨
u ise
  
x
2 + 2v − 3u
 y   1−v+u
 
X=
 z = v
t
u




 
2
−3
2

 −1 
 1   1
 = v


 

 1  + u 0  +  0
0
1
0


 dır.

Download

Matematik Bölümü Lineer Cebir-I Dersi Ara Sınav Çözümlerine