Tunceli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi G¬da ve Kimya Mühendisli¼
gi
2014-2015 Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Finali ve Çözümleri
9 Ocak 2015
Ö¼
grenci Numaras¬:
Ad¬-Soyad¬:
SORULAR
1. y 0 =
3x+1
y2
diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz :
2. y = xy 0 +y 0 (y 0 )2 ¸seklinde verilen Clairaut denkleminin genel çözümünü ve zarf ailesini
bulunuz.
3. Bir tankta ba¸slang¬çta 1000 litre saf su vard¬r.Tanka bir musluktan dakikada 50 litre
h¬zla %10 unu tuz olan bir tuzlu su kar¬¸s¬m¬ dökülüyor ve bir kar¬¸st¬r¬c¬ yard¬m¬ ile
kar¬¸s¬m¬n homojenli¼
gi sa¼
glan¬yor. Ayn¬zamanda tank¬n alt¬nda bulunan bir musluktan
ayn¬ h¬zla kar¬¸s¬m bo¸salt¬l¬yor.Herhangi bir t an¬nda tuz miktar¬n¬ veren ifadeyi
bulunuz. Tankta olu¸sabilecek maksimum tuz miktar¬ne olur hesaplay¬n¬z?
4. y = c:ex e¼
gri ailesinin ortogonal yörüngelerini bulunuz.
5.
d3 y
dx3
2
d y
dy
x
+ 3 dx
2 + 3 dx + y = 3e
5 sin 2x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
*Her sorunun puan de¼
geri ayn¬d¬r. S¬nav süresi 70 dakikad¬r.
Ba¸sar¬lar:
Ö¼
gr.Gör.I·nanÜNAL
ÇÖZÜMLER:
1. De¼
gi¸skenlerine ayr¬labilir bir diferansiyel denklemdir. y 0 =
leme yap¬l¬rsa
y 2 dy = (3x + 1) dx
y3
3x2
=
+x+C
3
2
ve buradan çözüm
y3
3
3x2
2
olarak elde edilir.
1
x=C
dy
dx
yaz¬l¬r ve gerekli düzen-
Ö¼
gr.Gör.I·nan ÜNAL
2. y 0 = p al¬n¬rsa;
y = xp + p p2
dy
dp
dp
= p + x + 2p
dx
dx
dx
dp
p = p + (x + 2p)
dx
olur. son denklem düzenlenirse
(x + 2p)
dp
=0
dx
ve buradan
x + 2p = 0 ve
dp
=0
dx
x
ve p = C1
2
p=
olur. I·ntegral i¸slemi sonucunda genel çözüm; y = C1 x + C2 ve zarf ailesi y =
olarak elde edilir.
x2
4
+ C3
3. Tanka dökülen kar¬¸s¬m¬n deri¸simi 0; 10kg=l , tanta olu¸san tuz miktar¬Q olmak üzere
diferansiyel denklem;
(Tanktaki tuz mikatr¬n¬n de¼
gi¸simi ) = (Giren tuz ) (Ǭkan tuz)
Q
dQ
= (0; 1kg=l):(50l=dak) (
kg=l):(50l=dk)
dt
1000
olur. Birimler sadele¸sir ve denklem düzenlenirse;
Q
dQ
+
=5
dt
20
lineer denklemi elde edilir.
R
= e
Q =
1
dt
20
1
e(0;05)t
Q(t) = e
= Ze(0;05)t
(0;05)t
e(0;05)t (0; 05) dt + C
e(0;5)t
5) + C
0; 05
Q(t) = 100 + C:e
(0;5)t
elde edilir. Ba¸slang¬çta tankta saf su bulundu¼
gundan tuz miktar¬s¬f¬rd¬r. Bu durumda t = 0
iken Q = 0 oldu¼
gundan C = 100 olur. Q(t) = 100(1 e (0;5)t ) olaca¼
g¬ndan makismum tuz
miktar¬limt!1 Q(t) = 100kg olarak elde edilir.
2
4. E¼
gri ailesinin diferansiyel denklemin
y = c:ex ) y 0 = c:ex ) y 0 = y
dir. Ortogonal e¼
gri ailesi istendi¼
ginden y 0 =
1
y0
yaz¬l¬rsa yeni denklem
1
dy
)
=
y
dx
y0 =
olur. Çözüm ise
ydx =
dx ) x +
1
y
y2
=C
2
olarak bulunur. O halde y = c:ex e¼
gri ailesinin ortogonal yörüngesi x +
y2
2
= C dir.
5. Denklem; 3. mertebeden sabit katsay¬l¬ lineer homojen olmayan diferansiyel denklemdir. Denklemin homojen k¬sm¬n¬n çözümü yh ¬bulal¬m.
Karakteristik denklem; ( + 1)3 = 0 olup kökleri
Bu durumda yh = (C1 + C2 x + C3 x2 ) e
x
1;2;3
=
1 dir
bulunur.
S
¸imdi denklemin bir özel çözümünü (yp ) belirsiz katsay¬la metodunu uygulayarak bulal¬m. g(x) = 3ex 5 sin 2x fonksiyonun UC cümlesi {ex ; cos 2x; sin 2x} dir. Bu durumda özel çözüm yp = Aex + B cos 2x + C sin 2x olur. yp ve yp0 ; yp00 ; yp000 türevleri al¬n¬p
denklemde yerlerine yaz¬l¬rsa
8Aex + ( 2C
11B) cos 2x + (2B
11C) sin 2x = 3ex
2
; C = 11
olaca¼
g¬ndan yp =
ve buradan A = 83 ; B = 25
25
bulunur. Nihayet denklemin genel çözümü:
y = C1 + C2 x + C3 x2 e
x
3
+ ex
8
2
25
cos 2x +
2
11
cos 2x +
sin 2x
25
25
dir.
Ö¼
gr.Gör.I·nan ÜNAL
www.inanunal.com
3
3 x
e
8
5 sin 2x
11
25
sin 2x
Download

final ve çözümleri