¨
Y¨
uz¨
unc¨
u Yıl Universitesi
Gıda M¨
uhendisli˘
gi B¨
ol¨
um¨
u
Genel Matematik I Final Sınavı
(30.12.2014)
S¨
ure: 90 Dakika
˙
Isim:
¨ grenci No:
O˘
Soyisim:
˙
Imza:
1
2
3
4
5
T
UYARI: Bu sınav ka˘
gıdı bu sayfa dahil 4 sayfadan ve 5 sorudan olu¸smaktadır. Sınav 100
puan u
¨zerindendir ve puan da˘
gılımı her sorunun ba¸sında belirtilmi¸stir. Verilen cevaplar a¸cıklayıcı
ve okunaklı olmalıdır. Yeterli a¸cıklamanın olmadı˘gı ¸c¨oz¨
umler yanlı¸s kabul edilecektir.
Ba¸sarılar dilerim,
Nagehan Akg¨
un
1. (10 puan) A¸sa˘
gıda verilen t¨
urevleri hesaplayınız.
(a)
d
dx
d
dx
f (x)
, f (2) = 2 ve f 0 (2) = 3 bilgilerini kullanarak hesaplayınız.
2
x + f (x) x=2
0
0
f (x)
f (x)(x2 + f (x)) − f (x)(2x + f (x)) =
x2 + f (x) x=2
[x2 + f (x)]2
x=2
0
0
f (2)(22 + f (2)) − f (2)(2.2 + f (2))
3.6 − 2.7
1
=
=
=
2
2
[2 + f (2)]
36
9
(b) f (x) =
(x2 − 1)(x2 − 2)
0
ise f (2) i logaritma kuralını kullanarak hesaplayınız.
(x2 + 2)
(x2 − 1)(x2 − 2)
ln f (x) = ln
(x2 + 2)
!
= ln(x2 − 1) + ln(x2 − 2) − ln(x2 + 2)
0
f (x)
2x
2x
2x
= 2
+
−
f (x)
x − 1 x2 − 2 x2 + 2
1
1
1
f (x) = f (x)2x
+
−
x2 − 1 x2 − 2 x2 + 2
0
0
f (2) = f (2).4.
1 1 1
+ −
3 2 6
=
8
3
f (2) =
3.2
=1
6
2. (20 puan) A¸sa˘
gıdaki limitleri hesaplayınız.
1 − cos ax
x→0 1 − cos bx
0
0
(a) lim
a sin ax
(L.H.)= lim
x→0 b sin bx
0
0
a2 cos ax
a2
=
x→0 b2 cos bx
b2
(L.H.)= lim
sin−1 x
x→0 tan−1 x
0
0
(b) lim
1
2
(L.H.)= lim 1 − x = 1
1
x→0
1 + x2
√
10x − ex
(c) lim
x→0
x
0
0
10x ln 10 − ex
= ln 10 − 1
x→0
1
(L.H.)= lim
(d)
lim
x→(π/2)−
=
lim
(sec x − tan x) =
x→(π/2)−
(L.H.)=
1 − sin x
cos x
lim
x→(π/2)−
lim
x→(π/2)−
0
0
− cos x
=0
− sin x
1
sin x
−
cos x cos x
[∞ − ∞]
3. (10 puan) f (x) = x2 − 3x fonksiyonunun t¨
urevini t¨
urevin limit tanımını kullanarak
hesaplayınız ve sonucunu t¨
urev alma kurallarıyla test ediniz.
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x)
= lim
h→0
h→0
h
h
0
f (x) = lim
= limh→0
h(h + 2x − 3)
= lim (h + 2x − 3) = 2x − 3
h→0
h
4. (10 puan) xey +y −2x = ln 2 e˘
grisinin (1, ln 2) noktasındaki te˘get do˘grusunun denklemini
bulunuz.
0
0
1.ey + xy ey + y − 2 = 0
0
y (xey +1) = 2−ey
⇒
0
y =
2 − ey
xey + 1
⇒
⇒
y − y0 = m(x − x0 ) (Te˘
get do˘grusunun denklemi )
⇒
y − ln 2 = 0(x − 1)
⇒
y = ln 2
5. (50 puan) f (x) =
¸ciziniz.
0
m = y (1, ln 2) =
2 − eln 2
0
= =0
1.eln 2 + 1
3
x2 − 1
fonksiyonunu grafi˘gini a¸sa˘gıdaki ¸sıklardaki bilgileri kullanarak
x2 − 4
(a) Fonksiyonun tanım k¨
umesi yazınız.
Tf = R − {−2, 2}
(b) Fonksiyonun varsa asimptotlarını bulunuz.
lim
x→2+
lim
x2 − 1
=∞
(x − 2)(x + 2)
x→−2+
lim
x→2−
x2 − 1
= −∞
(x − 2)(x + 2)
x2 1 −
x2 − 1
lim 2
= lim
x→−∞ x − 4
x→−∞ x2 1 −
⇒ y = 1 yatay asimptot
x2 − 1
= −∞
(x − 2)(x + 2)
lim
x→−2−
1
x2
4
x2
⇒
x = 2 d¨
u¸sey asimptot
x2 − 1
= ∞ ⇒ x = −2 d¨
u¸sey asimptot
(x − 2)(x + 2)
=1
x2 1 −
x2 − 1
lim 2
= lim
x→∞ x − 4
x→∞ 2
x 1−
1
x2
4
x2
=1
(c) Kritik ve tekil noktalarını varsa bulunuz, arttı˘gı ve azaldı˘gı aralıkları belirleyiniz.
0
f (x) =
2x(x2 − 4) − (x2 − 1)2x
2x(x2 − 4 − x2 + 1)
−6x
=
= 2
=0
2
2
2
2
(x − 4)
(x − 4)
(x − 4)2
⇒ x = 0 ⇒ (0, 1/4) kritik nokta.
0
⇒ f (x), x = 2 ve x = −2 de tanımsız.
(d) B¨
uk¨
um noktalarını varsa bulunuz, i¸cb¨
ukeyli˘gini inceleyiniz.
00
f (x) =
−6(x2 − 4)2 + 12x(x2 − 4)2x
−6x2 + 24 + 24x2
18x2 + 24
=
=
6= 0
(x2 − 4)4
(x2 − 4)3
(x2 − 4)3
⇒ b¨
uk¨
um noktası yok.
00
⇒ f (x) x = 2 ve x = −2 de tanımsız.
(e) Yukarıdaki bilgileri kullanarak fonksiyonun grafi˘gini ¸ciziniz.
Download

Gıda Mühendisliği Bölümü Genel Matematik