˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
˙
¨
IST424
Aktueryal
Risk Analizi Ders Notları
Ders 3: Mortalite Tablolarına Giris¸
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
Doc¸.Dr. Fatih Tank
¨
Ankara Universitesi
Mortalite Tablolarına Giris¸
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
˘
Aktuerya
bilimi uygulamalı bir bilim dalı olup, diger
bilimlerin ve pratik olarak uygulayıcıların
¨
tecrubelerinden
yararlanılarak elde edilen kavram ve
¨
gozlemlere
dayanmaktadır.
¨
¨ um
¨ gozlemleridir.
¨
Bu gozlemlerden
biri de ol
¨ um
¨ gozlemleri
¨
¨
Ol
yıllar suren
c¸alıs¸malar sonucunda
elde edilen istatistiki verilerden yola c¸ıkılarak yapılır.
¨ ic¸erisindeki
Bu istatistiki veriler belli bir sure
¨
yas¸ayanların ve olenlerin
sayısı v.b. bilgileri ic¸erir.
˘
¨
Mortalite tabloları, hayat sigortacılıgındaki
aktueryal
˘
hesaplamaların ana kaynagını
olus¸turur.
¨ hayat sigortası tarifelerini hazırlarken ic¸inde
Bir aktuer
¨
bulunulan ulkenin
demografik yapısına en uygun
mortalite tablosunu kullanmalıdır.
Mortalite Tablolarına Giris¸
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
˘ uygun olan mortalite tablosunun
Mevcut topluluga
kullanılması durumunda hem sigortacı hem de
sigortalı zarar etme riskiyle kars¸ı kars¸ıyadır.
¨
Demografik c¸alıs¸malarda uzerinde
en sık durulan
¨ um
¨ olaylarıdır.
hayat olaylarından birisi ol
Bir toplumda yas¸ayan belirli bir yas¸ grubundaki
¨
bireylerin yas¸am suresi
beklentilerinin hesaplanması
¨
demografide onemli
bir yer tutar.
¨
¨
Her ulke
ic¸in beklenen hayat suresini
veren tablolar
¨ um
¨
hazırlanabilir ve bu tablolara kısaca “mortalite(ol
¨
duzeyi)
tablosu” adı verilir.
Mortalite Tablolarına Giris¸
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨ u¨
Hayat sigortalarında “risk” kelimesi ile kis¸inin ol
kastedilir. Sigorta s¸irketi aynı yas¸taki kis¸ilerin hemen
¨
¨ um
¨ olasılıkları gosterdi
¨
˘
hemen ozdes
¸ ol
gi
varsayımından hareket ederek primlerini saptar.
˘
¨ ¸ und
¨ u¨ g˘ u¨
Bunu kendi toplumuna uygun oldugunu
dus
bir “mortalite tablosu” kullanarak gerc¸ekles¸tirir. Uzun
¨ um
¨ olasılıkları, bireyin kendisinin
yas¸am veya erken ol
˘ yakınlarını ekonomik
veya bakmak zorunda oldugu
˘
¨ ur
¨ ulmesinde
¨
bagımsızlıklarının
surd
sorunlara neden
olabilir.
Mortalite Tablolarına Giris¸
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
˘ ve
Belli bir yas¸ta olan bir bireyin ne kadar yas¸ayacagı
¨
˘ bilinmemesine kars¸ın, o yas¸ta olan
ne zaman olece
gi
¨ uk
¨ bir grup kis¸iden ne kadarının olece
¨
˘ tahmin
buy
gi
edilebilir.
¨ um
¨ olasılıklarını ic¸eren ve
Bu tahminleme, yas¸ama- ol
“mortalite tablosu” ya da “hayat tablosu” adı verilen
bir tablodan yararlanılarak yapılır.
˘ ¸ ları aynı zamana rastlayan kis¸ilerin
Kısaca, dogus
˘ neslin yas¸ları ilerlerken ol
¨ um
¨ nedeniyle
olus¸turdugu
¨
azalıs¸ını gosteren
tabloya “mortalite tablosu” denir.
¨ um
¨ ve yas¸am sigortaları, hayat sigortalarının
Ol
¨ um
¨ tabloları belirli yas¸taki
temelini olus¸tururlar. Ol
¨
kis¸ilerin yas¸am veya olme
olasılık bilgilerini ic¸erirler.
Mortalite Tablolarına Giris¸
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
Temel olarak gec¸mis¸teki kayıtlardan faydalanılarak
˘
gelecekteki olayların bunların bir tekrarı olacagı
¨ ¸ un
¨ ulerek
¨
dus
hazırlanır.
Bu c¸alıs¸malar sırasında 1958’de Amerikan s¸irketlerinin
˘ C.S.O (Commissioner’s Standart Ordinary
hazırladıgı
Table) tablosu kullanılacaktır.
Mortalite Tablolarının Olus¸turulması
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
Bas¸langıc¸ yılı ve bu yılda belirli sayıda insan alınarak
bas¸lanır ve bu sayıya “Radix” denir.
Bu sayı genellikle 100.000, 1.000.000, 10.000.000 olarak
sec¸ilir.
C.S.O tablolarında bas¸langıc¸ 10.000.000 olarak
sec¸ilmis¸tir.
Mortalite Tablolarının Olus¸turulması
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
x
0
1
..
.
lx
10.000.000
9.929.200
..
.
w 0
Burada;
dx
70.800
17475
..
.
qx
0, 00708
0, 00178
..
.
−
−
lx : x yas¸ında yas¸ayan kis¸i sayısı
dx : x yas¸ına gelmis¸ olan kis¸ilerden x + 1 yas¸ına gelene
¨
kadar olenlerin
sayısı
w : Son yas¸
qx : x yas¸ına gelmis¸ olan bir kis¸inin x + 1 yas¸ına gelene
¨
˘
kadar olmesi
olasılıgı
Mortalite Tablolarının Olus¸turulması
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
px =
lx + 1
lx
ve
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
qx =
dx
lx
¨
Ozellikler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
lx+1 = lx − dx
(6.1)
lx = dx + dx+1 + . . . + dw−1
(6.2)
lx − lx+n = dx + dx+1 + . . . + dx+n−1
(6.3)
lx+n = lx · px · px+1 · . . . · px+n−1
(6.4)
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.1)
˘
¨ dx , px ve qx degerlerini
˘
As¸agıda
verilen tabloya gore
bulunuz.
x
92
93
94
95
96
97
98
lx
1000
500
230
92
29
6
0
dx
px
qx
¨ um
¨
C
¸ oz
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.1)
x
lx
dx
92 1000 500
93
500 270
94
230 138
95
92
63
96
29
23
97
6
6
98
0
0
px
0.5000
0.4600
0.4000
0.3152
0.2069
0.0000
−
qx
0.5000
0.5400
0.6000
0.6848
0.7931
1.0000
−
˘ Nicelikler
Diger
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
x yas¸ındaki bir kis¸inin x + n yas¸ına kadar yas¸aması
˘
olasılıgı
n px :
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
n px
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
=
lx+n
lx
(6.5)
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
: x yas¸ındaki bir kimsenin x + n yas¸ına gelmeden
¨
˘
olmesi
olasılıgı.
lx − lx + n
(6.6)
n qx =
lx
n qx
˘ Nicelikler
Diger
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
¸ ındaki bir kimsenin x + m yas¸ını izleyen yıl
m| qx : x yas
¨
˘ veya x + m ve x + m + 1 yas¸ları
olmesi
olasılıgı
¨
˘
arasında olmesi
olasılıgı.
m | qx
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
=
dx + m
lx
(6.7)
¸ ındaki bir kimsenin x + m yas¸ına ulas¸tıktan
m|n qx : x yas
¨
sonra bu yas¸ı izleyen n yıl suresinde
veya x + m ila
¨
˘
x + m + n yas¸ları arasında olmesi
olasılıgı.
¨
Ornek
m | n qx
=
lx + m − lx + m + n
lx
(6.8)
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.2)
¨ 20 yas¸ındaki bir kis¸inin 25 yas¸ından
C.S.O Tablosuna gore
¨
¨
˘
once
olmesi
olasılıgını
bulunuz.
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.2)
5 q20
=
l25 −l20
l20
=
89358
9664994
=
44 679
4832 497
= 0.009245
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.3)
¨ 40 yas¸ındaki bir kimsenin 40 − 49
C.S.O tablosuna gore
¨
˘
yas¸ları arasında olmesi
olasılıgını
bulunuz.
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.3)
9 q40
=
l40 −l49
l40
=
9241356−8829407
9241359
=
411 949
9241 359
= 0.044577
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.4)
¨
35 yas¸ındaki bir kimsenin 60 ve 70 yas¸ları arasında olmesi
˘ nedir?
olasılıgı
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.4)
25|10 q35
=
l60 −l70
l35
=
7698696−5592011
9373805
=
60 191
267 823
= 0.224658
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.5)
¨
˘ nedir?
45 yas¸ındaki bir insanın 5 yıl ic¸inde olmesi
olasılıgı
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.5)
5 q45
=
l45 −l50
l45
=
9048996−8762304
9048996
=
23 891
754 083
= 0.031682
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.6)
¨
20 yas¸ındaki bir insanın 45 ve 50 yas¸ları arasında olmesi
˘ nedir?
olasılıgı
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.6)
25|5 q20
=
l45 −l50
l20
=
9048996−8762304
9664994
=
143 346
4832 497
= 0.029663
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.2.7)
30 ve 50 yas¸larında olan iki kis¸inin 20 yıl daha yas¸aması
¨ 30 yas¸ında yas¸ıyan kis¸i sayısı 48.000 dir.
olasılıkları 0.4’dur.
¨
3000 kis¸isi 40 yas¸ına gelmeden vefat ediyor. Buna gore
¨ um
¨ uzdeki
¨
s¸imdi 40 yas¸ında olan bir kis¸inin on
30 yıl
¨
˘ nedir?
ic¸erisinde olmesi
olasılıgı
¨
Ornekler
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.2.7)
20 p30 ·20
p50 = 0.40 , l30 = 48000 ve l30 − l40 = 3000 oldu˘guna
g¨ore
3000
0.4
= l30l−30l40 = 48000
= 0.0625 ise 30 p40 = 0.9375
= 0.4267
olur ve buradan
30 q40 = 1− 30 p40 = 1 − 0.4267 = 0.573 3 olarak bulunur.
10 q30
¨ ur
¨
Ortalama Om
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
ex : x yas¸ında olan bir kimsenin gelecekte kalan ortalama
¨
yas¸ama suresi
ex =
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
lx+1 + lx+2 + . . . + lw−1
lx
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
ve
e0x = ex + 0.5
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
bic¸iminde elde edilirler.
¨
Ornek
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨
Ornek
(6.3.1)
¨ 90 yas¸ ic¸in ortalama om
¨ ur
¨ suresini
¨
C.S.O tablosuna gore
bulunuz.
¨
Ornek
˙
IST424
¨
Aktueryal
Risk Analizi
Ders Notları
Doc¸.Dr. Fatih
Tank
˙
MORTALITE
TABLOLARINA
˙ IS
˙¸
GIR
Mortalite
Tablolarının
Olus¸turulması
¨
Ornek
˘
Diger
Nicelikler
¨
Ornekler
Ortalama
¨ ur
¨
Om
¨
Ornek
¨ um
¨
C
¸ oz
(6.3.1)
...+l99
e90 = l91 +l92l+
=
90
ve
e090 = 3.0622970
361365+...+6415
468174
=
1199916
468174
= 2.562970
Download

˙IST424 Akt ¨ueryal Risk Analizi Ders Notları