ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
YÖRÜNGE MEKANİĞİ
Yörüngeden Hız Hesabı
Küçük bir cismin yörüngesi üzerinde verilen herhangi bir noktadaki hızı ve bu hızın doğrultusu
nedir? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Yer, gezegen, vs) ikili bir sistem oluştururlar. Sorun
iki cisim problemidir.
Yukarıdaki şekilde M kütleli bir cisim etrafında dolanan m kütleli bir uydu gösterilmiştir. Buna
göre V; yörünge hızı, Vθ teğetsel hız, Vr dikine (radyal) hız, ϕ ise yörünge hızının durum açısıdır.
Şimdi elimizdeki parametreleri ve denklemleri sıralayalım.
Tanımlar:
Yarıçap vektörünün sayısal değeri: r
Gerçek ayrıklık : ν
Yörünge yarı-büyük eksen uzunluğu : a
Yörünge dış merkezliği : e
Eylemsizlik sabiti : µ
Bu tanımların matematiksel ifadelerini yazalım:
p
1 +e cos ν
Yörüngenin parametresi: p=a(1−e 2 ) =h2 / μ
Eylemsizlik sabiti: μ=G( M+m )
˙ 2 ν˙
Alan sabiti: h=r 2 θ=r
Yörüngenin Genel Denklemi:
r=
Bu verilenler kullanılarak istenen terimler: Vθ; Teğetsel hız bileşeni, Vr; Dikine hız bileşeni ve Vnin
durum açısı ϕ dir. Amacımız yörüngeye ait genel hız bağıntısını bulmaktır.
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
dθ
dr
¿ , dikine hızın ise V r =r˙ =
olduğunu biliyoruz.
dt
dt
Önce Vr nin dış merkezlik ve yörünge paremetresi cinsinden ifade edilen değerini bulalım.
Yükarıdaki denklemler vasıtasıyla,
p e sin θ θ˙
p
2 ˙
˙ h çekilip, ayrıca r=
V r =r˙ =
denkleminden θ=
2 bulunur. h=r θ
2
1
+e
cos θ
(1+e cos θ)
r
bağıntısından ( 1+e cos θ ) çekilip, karesi alındıktan sonra Vr denkleminde
yerine konulursa,
eh
V r = sinθ
(1)
p
h
h
bulunur. Teğetsel hız ise V θ =r { θ˙ =r 2 ¿ den V θ =
(2)
r
r
2
2
2
bulunur. V =V r +V θ denkleminde (1) ve (2) denklemleri yerine konulursa,
2 2
2
h
2 e h
2
V = 2 sin θ+ 2
(3)
p
r
2
1 ( 1+e cos θ)
=
değerini (3) denkleminde yerine koyup gerekli kısaltmalar yapıldıktan sonra
r2
p2
h2
V 2 = 2 ( e2 +1+2 e cos θ )
(4)
p
elde edilir. p=h2 μ bağıntısından µ çekilip (4) de yerine konulursa,
μ
V 2 = ( e 2 +1+2 e cos θ ) bulunur. Bu denklemde e ve p terimlerinin yok edilmesi gerekmektedir.
p
Bunun için p=a(1−e 2 ) ifadesinden e2 çekilir ve son bulunan V2 denkleminde yerine konursa,
μ
p
V 2 = ( 1− +1+2 e cos θ)
p
a
Diğer yandan teğetsel hızın V θ =r { θ˙ =r
μ
p
V 2 = (− +2( 1+e cos θ))
p
a
(1+ecosθ) ifadesi p/r ye eşit olduğundan
μ 2p p
V 2= ( − )
p r a
sonuçta,
2 1
V 2 =μ( − )
r a
(5)
elde edilir. Bu (5) nolu denkleme Genel hız denklemi denir.
Buraya kadar yapılanları özetlersek, genel hız denkleminden birçok yörünge üyesini tespit etmek
mümkündür.
SONUÇ: µ, r, a ve e değerleri biliyorsa V hızı bulunabilir.
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
p=a(1−e 2 ) denkleminden p değeri,
denkleminden h değeri,
h2 =pμ
eh
V r = sinθ denkleminden Vr teğetsel hız değeri,
p
h
V θ=
denkleminden Vθ dikine hız değeri,
r
V
tg ϕ= r
denkleminden de V değeri hesaplanabilir.
Vθ
(5) denklemini şimdi çeşitli yörünge türlerine uygulayalım.
Çeşitli Yörüngelerde Hız Bağıntıları
1) Dairesel Yörüngeler
Dairede a = r = sabit olduğundan, Vr=0, dolayısıyla ϕ=0 olduğundan,
μ
V 2c =
(6)
r
olur, dolayısıyla V θ =V c dir. Vc dairesel yörüngedeki cismin hızıdır.
2) Eliptik Yörüngeleler
Eliptik bir yörüngede (elips) dolanan bir uydunun elipsin odaklarına olan uzaklığı devamlı
değişmektedir. Odaklardan birinde bir gezegen bulunmaktadır. Dolayısıyla uydunun hızı da
yörünge üzerinde sabit olmayıp devamlı değişmektedir. Elips şeklindeki bir yörüngede perihel,
apel, küçük eksen uçları ve herhangi bir yerdeki hızlar farklı olmaktadır.
Yukarıdaki eliptik yörüngelerdeki P, enberi (perihel), A enöte (Afel), M parametri ucu, B ise küçük
eksen ucunu göstersin. Şimdi bu noktalarda genel hız denkleminin ifadesini görelim.
a) Enberi noktası:
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
2 μ 1 +e
ϕ1=0, r1=a(1-e) ve Vr=0 olduğundan Vϑ=V1 olur ve V 1 = ⋅
bulunur. V1, enberide
a 1−e
uydunun hızıdır.
b) Parametre ucundaki, (M noktasındaki) durum:
r
p
2
, diğer yandan e=
olduğundan, tg ϕ 2 =e ve r 2 =p=a( 1−e ) olduğundan
d
d
2
μ 1+e
V 22 =
bulunur. V2 , M noktasında uydunun hızıdır. Hız bileşenleri ise şunlardır.
a 1−e 2
Radyal hız: V r =V 2 sin ϕ 2 ve teğetsel hız ise V θ =V 2 cos ϕ 2
dir.
tg ϕ 2 =
c) Yarı-küçük eksen ucunda, B noktasındaki durum
c ae
μ
sin ϕ3 = = =e ve r3=a olduğundan V 23 = dır. Diğer taraftan
a a
a
2
eh
eh b eh a √ 1−e
eh
V r = sin ν= ⋅ = ⋅
⇒ V r = ⋅√ 1−e2 bulunur. Vr nin başka bir ifadesi de,
p
p a p
a
p
h
μ
bulunur.
V r =V 3 sin ϕ3 = ⋅e dir ve Vθ=
a
a
√
d) En Öte noktasında, yani A noktasında,
μ 1−e
ϕ4=0, r4=a(1-e), Vr=0, Vθ=V4 olduğundan, V 4 = ⋅
olur.
a 1 +e
2 1
2
3) Hiperbolik yörüngelerde genel hız bağıntısı: V 4 =μ( + ) dir.
r a
4) Parabolik yörüngelerde: İkinci odak sonsuza gittiğinden a=∞ olur. Buradan da
V 2p =
2μ
2
2
bulunur. Görülür ki V p =2V c dir.
r
Hızdan Yörünge Hesabı
Yer yörüngesine oturtulmak istenen bir uydu, önce geçici bir yörüngeye oturtulur. Bu geçici
yörünge daire veya daireye yakın bir elipstir. Uydunun yerden uzaklığı oldukça azdır. Uydu bu
geçici yörüngede belli bir süre tutulduktan sonra istenilen kendi yörüngesine oturtulur. Yörünge
değişimi eski yörüngesindeki hız ve uydunun sahip olduğu potansiyel enerji göz önüne alınarak
yapılır. Geçici yörüngesinin uygun bir yerinde (genellikle enberi noktasında) yörünge motorları kısa
süre çalıştırılarak yeni bir hız kazandırılır. Uydu yeni bir hız ve potansiyel enerjisindeki değişimden
dolayı kendine yeni bir yörünge çizer. Bu yörünge uydunun gerçekte oturtulmak istendiği
yörüngedir.
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
: Yer etrafında elips yörüngeli bir uydunun yörüngesi üzerinde C noktasından ϕ0 açısıyla ve
V0 hızıyla yapılan bir fırlatma.
Verilenler:
Eylemsizlik sabiti: µ= G(M+m), M: Yer veya gezegen kütlesi, m: uydunun kütlesi
Fırlatma uzaklığı: r0
Fırlatma hızı: V0
Fırlatma durum açısı: ϕ0
Kullanılacak Formüller:
Alan sabiti:
h=r 0 V 0 cos ϕ 0
r 20 V 20 cos2 ϕ 0
Parametre:
p=
μ
r0 μ
Yarı büyük eksen: a=
(genel hız bağıntısından)
2μ−r 0 V 20
Dışmerkezlik: e= √1−p /a
3
Dolanma peryodu: P=2π a
μ
√
Amaç: Verilen µ, r0, V0 ve ϕ0 değerlerine göre yeni yörüngenin şeklinin belirlenmesi. İlk işlem
olarak
μ
2μ
V 2c =
V 2p =
ve
r0
r 0 denklemlerinden Vc ve Vp bulunur.
r0 μ
İkinci işlem, yarı büyük eksen bağıntısı a=
den a bulunur.
2μ−r 0 V 20
Vc, Vp ve a bilindiğine göre yörüngenin şekli hakkında bir kanıya varabiliriz:
V 20 =V 2p
ise
a = ∞ , yörünge bir parabol,
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
V 2p
V 20 ise
V 2c
V 20
V 2p
0<a<∞
ise
yörünge bir elips,
a < 0 yörünge hiperbol,
V 20 =V 2c
ise
a = r0 yörünge daire ya da elipstir.
2
2
Üçüncü adım: V 0 =V c ise yörüngenin daire ya da elips olduğunu ayırt etmek için ϕ fırlatma
açısına bakmak gerekir.
2
2
p=a(1−e ) ve
2
r0 V 0
p=
cos 2 ϕ denklemlerinden,
μ
2
2 2
r0 V 0
r0 V 0
2
cos2 ϕ bulunur.
e =1−
cos 2 ϕ ve bu denklemden de e =1−
a
V
μa
c
( )
2
Eğer V0 = Vc ise, a = r0 dır ve
2
2
e =1−cos ϕ dir. Buna göre ihtimaller:
a) V0 = Vc olduğunda ϕ = 0 olursa, e = 0 olur. Yörünge dairedir.
b) V0 = Vc olduğunda 0 < ϕ < 90 ise e < 1 olur. Yörünge elipstir.
c) V0 = Vc iken ϕ = 90 ise (fırlatma yarıçap doğrultusunda), e = ±1 olur. Yörünge bozulmuş bir
paraboldur.
Dördüncü adım: Eğer fırlatma yarıçapa dik yani ϕ = 0 ise,
r0 V 0 2
2
e =1−
bağıntısı elde edilir. Bu durumda yeni yörünge elips, daire ve parabol
a Vc
( )
yörüngeler olabilir. Aşağıdaki dört şekil farklı fırlatma açılarına göre oluşabilecek yeni yörüngeleri
göstermektedir.
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Hulusi GÜLSEÇEN
Download

Astronotik_2014_7 - Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü