Ad¬Soyad¬: CEVAP ANAHTARI
Ö¼
grenci No:
Süre: 80 dk.
e-MATE 522 Say¬sal Analiz
I·stedi¼
giniz 5 soruya yan¬t veriniz. Cevaplad¬g¼¬n¬z soru numaralar¬n¬a¸sa¼
g¬daki kutuya yaz¬n¬z. Her
soru 20 puand¬r. Ba¸sar¬lar dilerim.
Soru No:
Puan:
1.
x2 + y 2 = 1
x2 y = 0
lineer olmayan sisteminin Newton-Raphson metodu ile çözümü için iterasyonu kurunuz. Bir
x1
x2
ba¸slang¬ç de¼
geri seçerek iki iterasyonunu yap¬n¬z
ve
yi elde ediniz .
y1
y2
Çözüm: Önce J (x; y) hesaplay¬p tersini alal¬m. K¬smi türevleri al¬rsak,
2x 2y
2x
1
J (x; y) =
elde edilir ve ard¬ndan (2x2 lik bir matrisin tersi oldu¼
gundan)
J
1
1
2x + 4xy
=
1
2x
2y
2x
elde ederiz. O zaman iterasyon formülümüz
xn+1
yn+1
olur.
x0
y0
=
=
1
0
xn
yn
1
2xn + 4xn yn
+
1
2xn
x2n + yn2
x2n yn
2yn
2xn
1
; n = 0; 1;
seçelim.
x1
y1
1
0
=
+
ve
x2
y2
=
1
1
+
1
6
1
2
1
2
1 0
2 2
0
1
=
1
1
2
2
1
0
=
5=6
4=6
olur.
2.
x+y =2
x + 2y = 3
sisteminin mümkün olan bütün çözümlerini Cholesky metodu ile bulunuz.
Çözüm: Katsay¬lar matrisi A =
1 1
1 2
a 0
b c
= LLT ¸seklinde yazal¬m. L =
a b
0 c
=
1 1
1 2
dan dolay¬
a2 = 1; ab = 1 ve b2 + c2 = 2;
a = b=c=1
a 0
b c
al¬rsak
1 0
1 1
bulunur. O zaman
çözümlersek u = 2; v = 1 ç¬kar.
1 1
0 1
1 1
0 1
x
y
x
y
2
3
2
1
=
=
1 0
1 1
ç¬kar. Önce
u
v
=
2
3
e¸sitli¼
gini çözünce ise x = y = 1 bulunur.
3.
A=
1 4
1 1
matrisinin tüm öz de¼
gerlerini ve öz vektörü hesaplay¬n¬z.
Çözüm:
1
4
det (A
I) =
1
1
ise (1
1
)2 4 =
= 3 için
2
2
3=(
3) ( + 1) = 0 olur. Buradan da
2
1
ise öz vektör k
2
=
2
1
=0
4
2
x
y
1
= 3;
2
=
1 bulunur.
0
0
=
olur.
1 için
2 4
1 2
x
y
0
0
=
2
olur.
1
4. un+1 = 3un + 4un 1 ; u0 = 1; u1 = 4 dizisinin genel terimini bulunuz.
Çözüm: un = q n formunda olsun. O zaman q 2 3q 4 = (q 4) (q + 1) = 0 olur. Kökler 4 ve
1 oldu¼
gundan, un = c1 4n + c2 ( 1)n olur.
ise öz vektör k
u0 = c1 + c2 = 1;
u1 = 4c1 c2 = 4
olup c1 = 1; c2 = 0 ve un = 4n elde edilir.
5.
fy 0 (t) = y (t) ; 0 < t
T; y (0) = 1
ba¸slang¬ç de¼
ger probleminin çözümü için 3 dereceden yakla¸s¬ml¬ fark ¸semas¬n¬ Taylor metodu ile
kurunuz.
Çözüm:
f (t; y (t)) = y (t)
olup
d
df (t; y (t))
=
(y (t)) = y 0 (t) = y (t) ;
dt
dt
d2 f (t; y (t))
d
=
(y (t)) = y 0 (t) = y (t)
dt2
dt
dir. O zaman
'1 (uk 1 ) = f (tk 1 ; uk 1 ) = uk 1 ;
'2 (uk 1 ) = uk 1 ;
'3 (uk 1 ) = uk
1
olup
8
< uk
uk
: u =h1
0
1
= uk
1
h
+ uk
2
1
+
h2
uk 1 ; 1
6
k
N; N h = T;
fark ¸semas¬kurulur.
6. Do¼
grusal at¬¸s metodunun avantaj¬nedir?
y 00 (x) = 12x2 ; 0 < x < 1; y(0) = 0; y(1) = 0
s¬n¬r de¼
ger problemini do¼
grusal at¬¸s metodu ile çözünüz.
Çözüm: Do¼
grusal at¬¸s s¬n¬r de¼
ger problemini ba¸slang¬ç de¼
ger problemlerine çevirerek çözmeye
yarar. Do¼
grusal at¬¸s metodunda
y(x) = u(x) + cv(x)
al¬yoruz. Burada,
u00 (x) = 12x2 ; u(0) = 0; u0 (0) = 0;
v 00 (x) = 0; v(0) = 0; v 0 (0) = 1;
c=
1
u(1)
v(1)
dir. Bu problemleri x e göre iki defa integral alarak çözdü¼
gümüzde ve verilen ko¸sullar¬kulland¬g¼¬m¬zda
u(x) = c1 + c2 x + x4 ; u(0) = c1 = 0; u0 (0) = c2 = 0 ) u(x) = x4
ve
v(x) = c3 + c4 x; v(0) = c3 = 0; v 0 (0) = c4 = 1 ) v(x) = x
elde ederiz. Dolay¬s¬yla
c=
1
u(1)
1 1
=
=0
v(1)
1
ve
y(x) = u(x) + cv(x) = x4
olur.
7. Dirichlet s¬n¬r ko¸sullar¬na sahip bir boyutlu ¬s¬ denklemine örnek veriniz. Bu denklemin
çözümü için kapal¬(geri) Euler fark ¸semas¬n¬kurunuz.
Çözüm: Örne¼
gin
8
< ut uxx = 0; 0 < t < 1; 0 < x < ;
u(0; x) = sin x; 0 x
;
:
u(t; 0) = u(t; ) = 0; 0 t 1
¬s¬denklemini ele alal¬m. Bu problem için kapal¬Euler fark ¸semas¬
8 k k 1
ukj+1 2ukj +ukj 1
>
< uj uj
= 0; 1 < k m; m = 1; 1 < j < n; nh =
h2
0
uj = sin (xj ) ; 0 j n + 1;
>
: uk = uk = 0; 0 k m:
0
n+1
olacakt¬r.
Download

NÖ - Kubilay ASLANTAS