7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
- 347 -
ETKİLİ TSUNAMİ MODELLEMESİNDE AĞSIZ RADYAL BAZLI
FONKSİYON KOLOKASYONU KULLANIMI
Cenk Güngör
(1)Boğaziçi
(1)
ve Osman S. Börekçi (2)
Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, 34342, Bebek, İstanbul.
Tel: +90 212 3596423 Faks:+90 212 287 2457
E-posta: [email protected]
(2)E-posta:
[email protected]
Özet
Asgari bilgisayar kaynağı kullanımı gerektiren, hızlı ve doğru tsunami modeli geliştirmek
amacı ile düz ve eğik taban üzerinde, sınırdan yansıma olmadan sünger tabakası
kullanılarak, dalgaların ilerlemesi doğrusal olmayan sığ su denklemlerinden (NLSWE)
yararlanarak ağsız radyal bazlı fonksiyon kolokasyon metodu (RBFKM) ile modellenmiştir. Bu
çalışma etkili tsunami modelinin ilk fazı olan yayılma modelidir. Yöntemin algoritmaya
dönüştürülmesindeki kolaylık üzerinde durulmaya değer bu yöntemi daha sonraki çalışma
olan su baskını senaryolarını içeren modellerde kullanımını özendirmiştir.
With the aim of developing an efficient tsunami propagation model over varying bathymetry
requiring minimum computer resources the nonlinear shallow water equations was modeled
using the meshless radial basis function collocation method (RBFCM). The utility of using
sponge layers as open boundary conditions was made use of. The study presented here is the
first phase in the development of the efficient tsunami model. RBFCM was the method of
choice due its ease and efficiency in code development. The experience with RBFCM has
provided motivation for the use of the method in future inundation studies.
Anahtar Kelimeler: Sayısal modelleme, Uzun dalga, Tsunami, Ağsız, R adyal bazlı fonksiyon
kolokasyon metodu (RBFKM), Lineer olmayan sığ su denklemleri (NLSWE), Sünger tabakası.
Giriş
Kıyı morfolojisinin oluşumunda iki tip kısa ve uzun vadeli doğal etmenler rol oynamaktadır.
Uzun vadeli etmenlerden olan kısa dalgalar rüzgâr dalgaları ve bu dalgaların sürdüğü kıyı
akıntılarıdır. Büyük değişimlere kısa vadeli etmenlere örnek ise tsunami gibi sismik hareket
sonucu çeşitli tiplerde oluşan uzun dalgaların kıyıda yaptıkları morfolojik değişimleridir. Bu
nedenle asgari bilgisayar kaynağı kullanımı gerektiren, hızlı ve doğru tsunami modeli
- 348 -
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
geliştirmek uyarı sistemlerini ve bölgenin tahliyesinde yaşam ve mal kaybını önlemede
önemlidir.
Modern bilimsel yöntem birleşenlerinden sayısal modellemenin tüm bilim ve mühendislik
dallarına katkısı vazgeçilmezdir. Sayısal modelleme incelenen sistemin geliştirilmesini ve
çalışmasını gerektirir. Sistemin davranışını içindeki ufak elemanların varsayımından
başlayarak incelemek ilk çıkış noktasıdır. Problemi oldukça basit ele almak sistemi bir veya
birkaç ana denklem takımı ile yapılandırmak bunlara sınır ve başlangıç koşullarını eklemekle
matematiksel modelleme yapılandırılır. Matematiksel model için analitik çözümler elde
edilmesi sadece doğrusal denklemler ve sınır koşullarında ve çok düzenli geometrilerde nadir
durumlarda mümkündür. Bu nedenle matematiksel bir modeli sayısal modele dönüştürmek
için bazı nümerik teknikler uygulanır. Bu tekniklerden en öne çıkanları etki alanı ayrıştırma
tekniklerinden sonlu farklar yöntemi (SFY), sonlu elemanlar yöntemi (SEY) ve entegral
yöntemlerinden sınır elemanları (SEM) metodudur. Tüm bu yöntemlerde karşılaşılan temel
sorun etki alanının ağlanmasıdır. Etki alanı bölünmesi gerektiren klasik sayısal yöntemlere
(sonlu elemanlar ve sonlu farklar yöntemleri) kıyasla RBFKM çözüm alanı sınırlarının doğruca
düzenlenmesine olanak sağlayacak ve değişik sıklıkta dizilim noktasına izin verecek şekilde
tamamen ağsızdır. Formülasyonu için belirli kurallara göre oluşturulan bir ağa gereksinim
duymayan metotlar, ağ kurulumunda zaman kaybedilmemesi, ağın her zaman çözümü
istenilen noktaya denk düşmesi gibi nedenlerde göz önüne alındığında, son yıllarda giderek
popülerleşmiştir.
Ağsız RBFKM her türlü kısmi diferansiyel denklemlerinin çözümünde Kansa (1990) tarafından
kullanılmaya başladığından bu yana, değişik türlerde RBF’leri kullanan simetrik olmayan
orijinal yöntem ve türevleri, çeşitli sınır ve ilk değer problemlerinin çözümünde kullanılmıştır.
Hon v.d. (1999) ve Wong v.d. (1999, 2002) yaptıkları kıyısal dolaşım ve dalga yayılım
çalışmaları bu metodun uygulanmasında kullanılan örneklerdendir. Özellikle, Zhou v.d.
(2004) Lagrange – Euler düzeninde bir boyutlu doğrusal olmayan sığ su denklemlerine bu
metodu uygulamış ve baraj kırılma ve yer çekimi dalgası tırmanma problemlerinin çözümünde
kullanışlı olduğunu göstermişlerdir.
Tsunami modelinde, derin suda dizilim noktaları minimum sayıda tutulurken, yüksek
çözünürlük istenildiği kıyıya yakın alanlarda dizilim nokta sayısı arttırılabilir böylece matris
boyutları azalmakta ve hızlı çözüm sağlanmaktadır. Öte yandan klasik yöntemler seyrek veya
bantlı matrisler içerirken RBFKM dolu matrisler içerdiği için dizilim noktası sayısının
minimumda tutulmasında önemlidir. Mekânsal boyutları küçültmek için bir sadeleştirmede
derinlik üzerinde entegrasyon uygulanabilinir. Bu tür denklemlerde parametrik olarak dikey
boyut çözülür. Genel olarak iki tip derinlik üzerinde ortalanmış denklem takımı literatürde
mevcuttur: lineer olmayan sığ su denklemleri NLSWE (Stoker 1957, Mei 1990) ve Peregrine
(1967) kökenli çok çeşitli Bussinesq tipinde denklemlerdir. Lineer olmayan yapının baskın
olduğu orta derin ve kırılmanın gerçekleştiği sığ sularda NLSWE başarılı olarak literatürde
uygulanmıştır. Bu tip modellerin tek eksiği frekans yayılımının eksikliğidir. Kıyı dinamiği
problemlerinde az karmaşık ama sağlam ve güvenilir NLSWE modellerinin çeşitli kullanımı
yaygındır (LeVeque 1992, Toro 1997).
Yukarıda bahsedilen nedenlerle tsunami dalga denklemlerinin RBFKM ile sayısal modellerinin
araştırılması düşünülmüştür. Burada sunulan, araştırmanın ilk etabında gerçekleştirilen
NLSWE yayılma denkleminin modellenmesidir.
Yöntem
İki boyutlu lineer olmayan sığ su dalga modeli, eğimsiz bir deniz tabanı üzerinde kıyıya doğru
ilerleyen bir dalganın derinlik üzerinden ortalanmış x yonünde ve y yönünde ki momentum ve
süreklilik denklemleri sırasıyla;
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
- 349 -
¶u
¶u
¶u
¶h
+u
+v
= -g
¶t
¶x
¶y
¶x
¶v
¶v
¶v
¶h
+u
+v
= -g
¶t
¶x
¶y
¶y
¶h
¶
+
¶t
¶x
é(h + h ) u ù + ¶
êë
úû ¶y
(1)
é(h + h ) v ù = 0
êë
úû
(2)
olarak verilebilir. Burada u, v derinlik üzerinde ortalanmış su hızını, t zamanı, x ve y yatay
koordinatı, g yerçekimi ivmesini,  dalga yüzeyini, ve h su derinliğini göstermektedir.
Denklem (1) ve (2) ile problemin sınır değerleri ve ilk değerleri sınır değerleri problemini (SDP)
oluştururlar.
RBF kolokasyon metodu genel olarak direk (asimetrik kolokasyon veya Kansa metodu),
simetrik ve sınırda kullanılan ek polinomlar eşliğinde uygulanabilinir. Sınır değerleri
probleminin çözümünde
u(x ) = g(x )
W içinde
(3)
u(x ) = b(x )
¶W üzerinde
(4)
W Ì  d d boyutlu uzay, ¶W etki alanının sınırını,  eliptik veya hiperbolik kısmi diferansiyel
denklemi,  sınır operatörünü, g(x) ve b(x) fonksiyonları sırasıyla domain de ve sınırdaki
fonksiyonları ve x
 d uzayındaki kolokasyon noktalarının koordinatlarını belirtmektedir.
d
z Î  ortalanmış radyal bazlı fonksiyon;
f = f ( x -z d )
(5)
 d içinde Öklid normu x - z  .N adet toplam kolokasyon noktası içinde N I adeti etki alanı
içinde W ve N B adet sınırda ¶W olacak şekilde kullanılmıştır. Direk metot SDP’nin yaklaşık
d
çözümünde
u(x i ) » s(x i ) = fij aj
i, j = 1, , N
fij aj = gi
i = 1, , N I
fij a j = bi
i = N I + 1, , N
 j mekansal
(
koordinatlardan
fij = f xi - z j @  d
(6)
j = 1, , N
(7)
j = 1, , N
bağımsız
olarak
(8)
kullanılabilinir.
SDP’nin
çözümünde
) denklemi kullanarak,  etki alanı içinde ve  sınır şartları üzerinde
opere ettiğinden denklem (7) ve (8) matris notasyonu olarak Aa = R yazılabilinir.
N bilinmeyen, A N´N katsayı matrisi ve R vektörü olarak tanımlanabilinir.
 vektörü
- 350 -
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
éf ù
A = êê ij úú
êë fij úû
ì
ïg ü
ï
ï
R=ï
í ý
ï
ï
h
ï
î ï
þ
ve
(9)
Literatürde kullanılan bazı radyal bazlı fonksiyonlar, denklem (10), bu örneklerde c bir sabiti,
K , 
r iki düğüm noktası arasındaki uzaklığı
derecesinden modifiye edilmiş Bessel
fonksiyonunu ve p(r) Wendland’ın (1995) çalışmasındaki polinomu göstermektedir.
f  r   r m log  r 
mth Order spline
f  r   r  ,
Power spline
f  r   r 2  c2
Hardy's multiquadric
f  r   1/ r 2  c 2
Inverse multiquadric
f  r   e  cr
Exponential spline
f  r   e  cr
2
(10)
Gaussian spline
f  r   e  cr K  cr 
Matern spline
f  r   1  r  p r 
Compactly supported spline
m
u
SDP değişkenlerini ui = fija j
h
ve hi = fija j olarak ifade edersek bunların örnek olarak x
yönündeki türevleri
æ ¶2u ö÷
æ ¶u ö÷
¶fij u
¶fijxx u
x u
xx
ç
ç
÷
u = çç ÷÷ =
a = fij a j ve ui = çç 2 ÷ =
a j = fijxx a uj
çè ¶x ÷ø
¶x j
¶
x
è ¶x ÷øi
i
(11)
æ ¶h ö
¶f
hix = çç ÷÷÷ = ij a jh = fijx a jh
çè ¶x ÷ø
¶x
i
(12)
x
i
olarak bulunabilir. Radyal bazlı fonksiyon (RBF), parametresi i ve j gibi iki nokta arasındaki
uzaklık rij =
(x i - x j )2 olan bir fonksiyondur. Denklem (10) da belirtilen RBF’lerden bu
2
2
çalışmada MQ (multiquadric) fonksiyonu f = r + c kullanılmıştır. Bu ifadede bir şekil
parametresi olan c’nin bilinen bir optimum değeri yoktur. Bu nedenle Hardy (1971) tarafından
önerilen ve hesaplama noktaları arasındaki en küçük uzaklık cinsinden verilen c = 4rmin iyi
bir alternatif olmaktadır. Denklem (1) ve (2) de zaman türevli terimleri denklemlerin sol
tarafında toplayarak ve momentum denklemine sınırdaki dalganın yansımaması ve
sönümleme için sünger tabakasında kullanılmak üzere x yönünde -w1 (x )u - w 2 (x )uxx ve y
yönünde -w1 (y )v - w 2 (y )uyy terimleri ekleyerek yazabiliriz.
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
- 351 -
¶u
¶u
¶u
¶h
= -u
-v
-g
-w1 (x )u - w 2 (x )uxx

¶t
¶x
¶y
¶x 
sünger tabakası içinde
(13)
¶v
¶v
¶v
¶h
= -u
-v
-g
- w1(y )v - w 2 (y )vyy

¶t
¶x
¶y
¶y 
sünger tabakası içinde
æ
æ
¶h
¶h ö÷
¶u
¶h ö
¶v
÷÷ - (h + h)
= -u ççça +
- v çççb + ÷÷÷ - (h + h)
÷
÷
¶t
¶x ø
¶x
¶y ø
¶y
è
è
(14)
Bu denklemlerde, (11) ve (12) denklemindeki türevleri kullanarak ve de katsayı vektörlerinin
fij matrisinin tersi cinsinden
aiu = fij-1u j
ve
aih = fij-1h j
(15)
olarak yazılabileceğini göz önüne alarak momentum denklemleri için
æD u f x f -1u ÷ö
æD u f x f -1v ö÷
çç ij jk kl l ÷
çç ij jk kl l ÷
v
÷
¶
÷
çç
ç
v y -1 ÷
i
= - ç+Dij f jk fkl ul ÷÷
= - çç+Dijv f jky fkl-1vl ÷÷÷
çç
çç
÷ ve ¶t
÷
¶t
ççè+gfijx f jk-1hk ÷÷ø÷
ççè+gfijy f jk-1hk ÷÷÷ø
¶ui
(16)
ve süreklilik denklemi için de
(
)
é au + D u f x f -1h + D h +h f x f -1u
ê
ij jk kl
l
ij
jk kl
l
= -ê i
v y -1
h +h y -1
¶t
ê+ bvi + Dij fjk fkl hl + Dij fjk fkl vl
ë
¶hi
(
ù
ú
ú
ú
û
(17)
)
c
ifadeleri elde edilebilir. Bu denklemlerdeki D ij
elemanları hesaplama noktalarındaki

değerleri olan diyagonal matris anlamında kullanılmıştır.
Süreklilik (17) ve momentum (16) denklemelerinin zaman entegrallerinin alınması herhangi
4
bir sayısal metotla gerçekleştirilebilir. Bu çalışmada hatası O(dt ) olan Runga Kutta metodu
uygulanmıştır. Bu metoda göre problemin ilk değerlerinden başlayarak
,
u ve v’nin
t = (n + 1)dt zamanındaki değerleri, t = n dt zamanındaki değerlerinden kolaylıkla
ui(n +1)
(n +1)
i
h
éD u f x f -1u ù
ê ij jk kl l ú
(n )
= ui - dt êê+Dijv f jky fkl-1ul úú
ê
ú
x -1
ê+gfij f jk hk ú
ë
û
(n )
i
=h
(n )
ve
vi(n +1)
éD u f x f -1v ù
ê ij jk kl l ú
(n )
= vi - dt êê+Dijv f jky fkl-1vl úú
ê
ú
y -1
ê+gfij f jk hk ú
ë
û
éau + D u f x f -1h + D h +h f x f -1u ù
ij jk kl
l
ij
jk kl
l ú
- dt êê i
v y -1
h +h y -1 ú
êë+bvi + Dij fjk fkl hl + Dij fjk fkl vl úû
denklemleri kullanılarak hesaplanabilir.
(n )
(18)
(n )
(19)
- 352 -
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
Momentum denkleminde domain sonunda sünger tabakası konulmuştur bu tabakanın amacı
dalganın sünger tabakasında sönümlenmesidir.
x , y  xs , y s 
0
 x , y  xs , ys 
 w1 ( x, y )

exp 

 1
xl , yl  xs , ys 
1 f ( x, y ) x, y  xs , ys 

 , f ( x, y ) 
x , y  xs , ys
exp(1)  1
0

 w2 ( x, y )  
 2 f ( x, y ) x, y  xs , ys 
n
K1
 Kw1
0
K 
1
K2
(20)
 Kw2
x  xs
(21)
x  xs
Sünger tabakası içinde momentum denkleminin (13) değişimi
 , viskozite katsayısı,  , dalga
frekansı ve , xl  xs 2 veya 3 dalga boyu uzunluğundaki sünger tabakası uzunluğu olarak
denklem (20) ve (21) yardımıyla denklem (22) yazılır ve kolaylıkla uygulanabilinir.
ui(n +1)
éD u f x f -1u
ù
ê ij jk kl l
ú
ê
ú
v y -1
+
D
f
f
u
ê ij jk kl l ú
ê
ú
ú
= ui(n ) - dt ê+gfijx f jk-1hk
ê
ú
ê+D K1 u
ú
ê ij j
ú
ê
K 2 xx -1 ú
êë+Dij f jk fkl ul úû
(n )
ve
vi(n +1)
éD u f x f -1v
ù
ê ij jk kl l
ú
ê
ú
v y -1
+
D
f
f
v
ê ij jk kl l ú
ê
ú
= vi(n ) - dt ê+gfijy f jk-1hk ú
ê
ú
ê+D K1 v
ú
ê ij j
ú
ê
K 2 xx -1 ú
êë+Dij f jk fkl vl úû
(n )
(22)
Sonuç ve Öneriler
Modelin uygulaması, ilk etapta düz taban üzerinde, sınırdan yansıma olmadan iki uçta
sünger tabakası kullanılarak, dalgaların ilerlemesi doğrusal olmayan sığ su denklemlerinden
(NLSWE) yararlanarak ağsız radyal bazlı fonksiyon kolokasyon metodu (RBFKM) ile
modellenmiştir. İki boyutlu lineer ve lineer olmayan iki ucunda sünger tabakası yerleştirilmiş
modelde orta aksta karşılaştırmalar yapılmıştır. Geliştirilen lineer olmayan modelin
uygulanması için düz taban da uygulamalar ilk değer olarak, orta noktada klasik periodik
lineer dalga girdisi ile sürülmüş, su derinliği h=1 m ve dalga yüksekliği a0=0.01m olarak
alınmıştır (Şekil 1).
Hesaplamalar için yatayda eşit aralıkla minimum hesaplama noktası (100 aded) ve dt = 0.01
zaman aralığı seçilmiştir. Uzun nümerik deneylerde 100 periyoda kadar sistem çalıştırılmış
stabilite sorunu gözlemlenmemiştir. Lineer olmayan denkleme verilen lineer dalgada dalga
ilerledikçe tabiatına uygun lineer olmayan özellikler başarı ile gözlenmiştir (Börekçi, 2010).
Dalga yüksekliği ortalama hata karesi %0.045 mertebesinde gözlenmiştir (Şekil 2).
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
- 353 -
Şekil 1 Lineer ve lineer olmayan dalga karşılaştırması, N=100
Şekil 2 Dalga yüksekliği ortalama hata karesi
İkinci etapta, iki boyutlu lineer olmayan denklemler aynı dalga parametreleri kullanılarak
girdi akısı sınır değeri, cıkışta sünger tabakasi ile yan sınırlarda akısız sınır değerleri ile düz
tabanda ilerletilmiştir. X yönünde 2 dalga boyu, y yönünde 2 dalga boyu etki alanı olacak ve 2
dalga boyuda sünger tabakası olacak şekilde 4 dalga boyu uzunluğunda çalışılmıştır (Şekil 3).
Her dalga boyuna 9 adet kolakasyon noktası gelecek şekilde, Ursell parametresi 1.44 olan,
40000 zaman adımında her bir zaman adımı 0.01 olacak şekilde 100 periyotluk simülasyon
30 dakikada stabilite problemi olmadan yapılmıştır.
- 354 -
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
Şekil 3 Üç boyutlu görünüm
Çalışmanın temel amacının RBFKM’nun NLSWE tipi dalgaların modellenmesi için
uygunluğunun gösterilmesi olduğundan elde edilen sonuçlarla yetinerek, farklı lineer olmayan
dalga tipleri (akım fonksiyonu dalga teorisi (Dean, 1974), soliton dalga (Korteweg, 1995) ve
tsunami gibi periyodik olmayan tekil dalga (Okada, 1985) v.b) çalışmaları başlatılmıştır.
Kaynaklar
Dean, R.G. (1965), “Stream Function Representation of Nonlinear Ocean
Waves,” J. Geophys. Res., c. 70, No. 18, s. 4561-4572.
Hardy, R.L. (1971), “Multiquadric Equations of Topography and Other Irregular Surfaces,” J.
Geophysics. Res., c.176, s.1905–1915.
Hon, Y.C., Cheung, K.F., Mao, X.Z. and Kansa, E.J. (1999), “Multiquadric solution for shallow
water equations”, Journal of Hydraulic Engineering, c.125, no.5, s.524-533.
Kansa, E.J. (1990), “Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications
to computational fluid-dynamics II Solutions of parabolic, hyperbolic and elliptic partial
differential equations”, Computers and Math. Applic., c.19, no.8/9, s. 147-161.
Korteweg, D. J. and De Vries, G. (1995), "On the Change of Form of Long Waves advancing in
a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves", Philosophical Magazine,
5th series, c. 39, s. 422-443
LeVeque, R.J. (1992), “Numerical methods for conservation laws, lectures in mathematics”,
2nd Ed., Birkhäuser Verlag, Basel, Switzerland.
Mei, C.C. (1990), “The applied dynamics of ocean surface waves”, c.1 of Advanced Series on
Ocean Engineering, World Scientific, Singapore, 2nd Ed.
7. Kıyı Mühendisliği Sempozyumu
- 355 -
Börekçi, O.S. ve Güngör, C. (2010), “Etkili Tsunami Modellemesinde Ağsız Radyal Bazlı
Fonksiyon Kolokasyonu Kullanımı” 8. Ulusal Türkiyenin Kıyı ve Deniz Alanları Kongresi, c2,
s212-221
Okada, Y. (1985), “Surface deformation due to shear and tensile faults in a half-space” Bull
Seismol Soc AmV75, N4, Aug 1985, P1135–1154
Peregrine, J. (1967), “Long waves on a beach,” J. Fluid Mechanics, c.27, No.4, s.815-827.
Stoker, 1957. J.J. Stoker Water Waves, Interscience, New York.
Toro, E.F. (1997), “Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics”, Springer,
Berlin, Germany.
Wendland, H. (1995), “Piecewise Polynomial, Positive Definite and Compactly Supported
Radial Functions of Minimal Degree”, Advances In Computational Mathematics, c. 4, s. 389396.
Wong, S.M., Hon, Y.C. and Li, T.S. (2002), “A meshless multilayer model for a coastal system
by radial basis functions”, Computers and Mathematics with Applications, c.43, s.585-605.
Wong, S.M.; Hon, Y.C.; Li, T.S.; Chung, S.L.; Kansa, E.J. (1999), “Multizone decomposition for
simulation of time-dependent problems using the multiquadric scheme”, Computers and
Mathematics with Applications, c.37, s. 23-43.
Zhou, X., Hon, Y.C. and Cheung, K.F. (2004), “A grid-free, nonlinear shallow-water model with
moving boundary”, Engineering Analysis with Boundary Elements, c.28, s.967-973.
Download

etkili tsunami modellemesinde ağsız radyal bazlı fonksiyon