MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ
ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSİLİĞİ
BÖLÜMÜ
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
DERSİN HOCASI:
PROF. DR. HASAN RIZA ÖZÇALIK
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
1
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
2
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
 Bir kontrol sisteminde sınırlı ve belirli bir giriş için sınırlı ve belirli bir çıkış elde
ediliyorsa bu sistem kararlıdır ( bahsedilen özellik tüm tekrar işlemlerinde
gerçekleşmelidir ).
 Routh-Hurwitz kararlılık kriteri; doğrusal, zamanla değişmeyen, sabit katsayılı
karakteristik denklemlerin kararlılığı hakkında bilgi sağlayan cebirsel bir yöntemdir.
Kriter, karakteristik denklem köklerinden herhangi birinin sağ yan s-düzleminde yer
alıp almadığını belirler. Ayrıca jw- ekseni üzerindeki ve sağ yan s-düzleminde
bulunan köklerin sayısını da verir.
 Routh-Hurwitz kriteri, sabit katsayılı polinom sıfırlarını, sağ ve sol yarı sdüzlemine göre, denklemi çözmeden belirleyen bir yöntemdir.
 Doğrusal zamanla değişmeyen, tek giriş, tek çıkışlı bir sistemin karakteristik
denklemi, tüm katsayılar gerçek olmak üzere
şeklinde verildiğinde denklemin pozitif gerçek kısımlı kökleri olmaması için aşağıdaki
gerek ve yeter şartları sağlaması gerekir.
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
3
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
1. Denklem katsayılarının tümü aynı işaretli olmalı.
2. Katsayıların hiçbiri sıfır olmamalı.
Bu matematiksel kurallara dayandırılan koşullar yukarıdaki denklemin
katsayıları cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
4
 Eğer bir işaret değişimi varsa sistem kararsızdır.
 Sistemin Mutlak Kararlı olması için bütün kutuplar kompleks (s-düzleminde)
düzlemin sol yarısında olmalıdır.
 Sağ yarı-düzleminde 1 adet kutup bulunsa dahi sistem Mutlak Kararsızdır.
 Eğer sistemin imajiner eksen üzerinde katsız kökleri varsa, bu sistem Sınırda
Kararlıdır. İmajiner eksen üzerinde köklerden bir kısmı katlı ise sistem yine Mutlak
Kararsızdır.
 ÖDEV:
 Yukarıdaki paragrafta anlatılan tüm bilgileri kompleks
matematik ve sistem bilgisi teorisi kullanarak ispat edinizö
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
5
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ

Buna göre köklerin pozitif gerçek kısımları olmadığı sürece bu oranların
tümü sıfırdan farklı ve pozitif olmalıdır. Denklemin sağ yarı s-düzleminde
bulunmamalı koşulu denklemler incelenerek belirlenebilir. Ancak bu koşullar
yeterli değildir, sabit katsayılı bir denklemde katsayıların tümü sıfırdan farklı ve
aynı işaretli olabilir. Buna rağmen köklerin tümü sol yarı s-düzleminde
bulunmayabilir.
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
6
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
1. Aşama: b1’in bulunması
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
7
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
1. Aşama: b2’in bulunması
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
8
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
1. Aşama: b3’ün bulunması
an-6
an-7
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
9
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
2. Aşama: c1’in bulunması
an-6
an-7
b1
9.5.2014
b2
b3
SAMİ ŞİT_EEM
10
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
2. Aşama: c2’in bulunması
an-6
an-7
b1
9.5.2014
b2
b3
SAMİ ŞİT_EEM
11
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
2. Aşama: c3’ün bulunması
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
12
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
an-6
an-7
1.Sütun 2.Sütun 3.Sütun
Eğer bir işaret değişimi varsa sistem kararsızdır.
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
13
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
14
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
15
ROUTH – HURWİTZ KARARLILIK KRİTERİ
roots: karekök alma
cloop: geribesleme
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
16
Q(S)  s  2s  2s  4s  11s  10
5
4
3
2
E Metodu ile Kararlılık analizini yapınız?
2*2  1*4
b1 
0
2
2*11  1*10
b2 
6
2
2*0  1*0
b3 
0
2
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
17
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
18
en
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
19
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
20
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
21
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
22
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
23
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
24
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
25
CEVAP:3
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
26
KAYNAKLAR
1- http://web.sakarya.edu.tr/~afboz/control/bolum4.html
2- Otomatik Kontrol Ders Notu (Prof. Dr. Hasan Rıza ÖZÇALIK)
9.5.2014
SAMİ ŞİT_EEM
27
Download

routh – hurwitz kararlılık kriteri