Wavelet Transform
and
Applications
A. Enis Çetin
Bilkent Üniversitesi
Multiresolution Signal Processing
●
●
●
“Lincoln idea” by Salvador Dali
Dali Museum, Figueres, Spain
M. Mattera
Multi-resolution signal and image processing
http://www.ling.ohio-state.edu/~culicove/Publications/Lincoln.pdf
Decimation by a factor of 2
●
●
●
●
●
●
●
●
Decimation is a lossy operation
We loose the high-frequency components
Use a high-pass filter to retain the high-frequency
band
Two-Channel Filter Bank
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Ho, Go are low-pass and H1 and G1 are half-band
high-pass filters
^
Perfect reconstruction is possible: f=f
Esteban & Galand, 1977
Subband (halfband) Decomposition
Filter-bank
●
●
●
●
●
Orthogonality condition:
2
2
|Ho(ω)| + |Ho(ω+π)| = 1
High-pass filter:
|H1(ω)|=|Ho(ω+π)|
Provides perfect reconstruction
There are many solutions:
Daubechies filter banks = Smith-Barnwell filter
banks
Multi-Stage Filterbank
Block Wavelet Transform
●
●
●
Order(N log N) transform
Order(N) is also possible
Cetin, Gerek, Ulukus, 1993:
Outline
●
●
●
●
●
●
●
Wavelets form a basis for L2
Wavelets can be orthonormal
They provide a time-frequency decomposition of a
given signal
Orthogonal wavelets are constructed from perfect
reconstruction filterbanks
Adaptive filterbanks with a lifting structure
Image coding
Wildfire detection
Wavelet basis of L2(R)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
: wavelet coefficients
Notasyon: Bu konuşmada psi(t) yerine w(t) yi de
ana dalgacık olarak kullanacağım
Wavelet coefficients
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Properties:
Wavelets can be compactly supported
Countable number of wavelets
Wavelet is a band-pass waveform
Wavelet Functions
●
●
●
●
●
●
Haar wavelet
Çoklu-çözünürlüklü sinyal analizini mümkün kılar
“Zillion” çeşit ortogonal dalgacık tasarlamak
mümkündür
It is possible to define a scaling function (
)
for each wavelet with the property
Scaling functions are low-pass signals:
Scaling coefficients:
Example: Haar Wavelet
●
●
●
●
●
●
●
Corresponding scaling (smoothing) function:
Multiresolution wavelet basis
functions:
Fourier Transform
●
●
●
●
●
●
Fourier basis function:
is of infinite extent
Uncountably many basis functions: w is a real
number
“Multiresolution” Subspaces
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
An ordinary signal may have components in all
subspaces:
L2 nin Çoklu-cözünürlüklü
Altuzaylara Bölünmesi
Wavelet supspaces
●
Wo = span{ w(t-k), k: tamsayı}
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Vj nin Wj ye dik olması şart değildir but it is a
desirable property.
Structure of subspaces - I
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Wj+1 “z” ekseni olur, Vj+2 de 3-boyutlu uzay
Structure of subspaces
Wavelet Equation
●
●
●
●
●
d[k]=
< w(t), phi(2t-k) >, w(t)=2
●
g[k]=
d[k]: bir yüksek geçirgen filtredir
●
Haar Dalgacığı
●
●
g[k] phi(2t-k)
Scaling Equation
●
Vo < V1 =>
●
●
●
●
●
h[k] = < phi(t), phi(2t-k) >
Yukarda h[k]=
c[k] bir alçak geçirgen filtredir
(pi/2'ye kadar)
Dalgacık denklemindeki g[k] ise bir yüksek
geçirgen filtredir (pi/2'den pi'ye kadar geçirir)
Dalgacık ve Ölçekleme Denklemlerinin
Fourier Transformları
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Diklik şartı:
Wavelet Construction:
Multi-resolution Analysis
●
Start with a Perfect Reconstruction filterbank
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
We never compute innerproducts with phi(t)
and w(t) in practice!
We only use the filterbank!
Order(N) operation
Dalgacık, Ölçek Fonksiyonu ve
Altuzayların Frekans İçerikleri
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Vo uzayı yaklaşık olarak frekans içeriği (0,pi)
arasındaki sinyallerden oluşur
Wo uzayı (pi,2pi) arasındaki sinyallerden oluşur
V1 uzayı (0,2pi) arasındaki sinyallerden oluşur
W1 uzayı (2pi,4pi) arasındaki sinyallerden oluşur
V2 uzayı (0, 4pi) arasındaki sinyallerden oluşur
Wavelet family...w(t/2), w(t), w(2t),
w(4t),... covers all frequencies
Filtre Kutusu Tasarımı
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Örnek p[n]: Lagrange filtreleri:
●
p[n]= [ ½ 1 ½] , p[n] = 2*[-1/32 0 9/32 1 9/32 0 -1/32]
Vj Uzayına Projeksiyon
Dalgacık Örneklemesi = V altuzaylarına
projeksiyon
Örnekleme-II
Mallat's Algorithm (=Tam geri çatmalı
filtre kutusu ile sinyal analizi)
●
Üst uzay katsayılarından alt uzay katsayılarına
geçiş:
●
●
●
●
●
●
Geri çatma:
Mallat'ın algoritması (Ağaç yapısı)
●
●
●
fj[n]'den fj-1[n] ve bj-1[n] yi üret
fj-1[n]'den fj-2[n] ve bj-2[n] yi üret
fj-2[n]'den fj-3[n] ve bj-3[n] yi üret
●
●
Bir sinyalin ağaç gösterimi
Pratikte Yapılan Kesikli Dalgacık
Dönüşümü
Dalgacık Paket Dönüşümü Örneği
Görüntü İşleme için iki-boyutlu
Filtreleme
Örnek
●
●
●
●
●
●
x[n] = ( 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ....)
Altbant sinyalleri
Alçakgeçirgen (lowband) sinyali
xo[n] = ( 1 1 1 1.5 2 2 2 2...)
Dalgacık (highbad) sinyali
x1[n]= ( 0 0 -0.5 -0.5 0 0 0 0 ...)
1-D filtre kutusu ile 2-boyutlu görüntü
işleme (ayrılabilir filtreleme)
1-D filtre kutusu ile 2-boyutlu görüntü
işleme (ayrılabilir filtreleme)
Bir kanalın ayrık işlenmesi:
Bir görüntünün Dalgacık
Dönüşümü
●
Bir ölçeklik dönüşüm:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Alçak geçirgen filtrelenmiş “low-low” görüntüsü
tekrar ayrıştırılabilir
Görüntü Sıkıştırma
●
●
●
●
●
JPEG-2000 dalgacık dönüşümüne dayalıdır
Yüksek geçirgen filtrelenmiş görüntülerde bilgi
daha azdır, sadece kenarlara karşı gelen yerlerde
dalgacık değerleri vardır
Bu görüntülerde pekçok değer sıfıra yakındır
Sıfıra yakın değerleri eşikleyerek sıfır yapın
Ayrıca altbant sinyalleri arasındaki ilişkiden de
faydalanılır
Download

Wavelet Transform and Applications