WAVELET TEORİSİ
1
GİRİŞ
Burada kf k, 2-normu anlamında kullanılacaktır. Bu norm söz konusu sinyalin
enerjisi olarak adlandırılır ve f fonksiyonunun karesi integrallenebilir bir fonksiyon olduğunu, yani sonlu enerjiye sahip olduğunu ifade eder.
Şimdi, δ Dirac delta fonksiyonunu ifade etmek üzere şu ifadeyi yazabiliriz.
Z ∞
f (x) =
f (u)δ(x − u)dξ
(1)
−∞
Burada taban fonksiyonları zaman bölgesinde oldukça lokalize olmakla birlikte frekans bölgesinde
√ ise Fourier dönüşümü tüm reel eksen üzerinde tanımlıdır.
Fδ(x − u) = e−iξu / 2π,ξ ∈ R
Öte yandan diğer uca gidecek olursak, L2 için bir başka ortonormal taban takımı olan eixu u∈R fonksiyonlarını gözönüne alacak olursak f (x)’in açılımı fˆ,f ’nin
Fourier dönüşümü olmak üzere şu şekilde elde edilecektir.
Z ∞
1
f (x) = √
fˆ(u)eiux du
(2)
2π −∞
Burada taban fonksiyonlarının
√ herbiri sadece tek bir frekansı desteklemektedir.
Çünkü Feiux = δ(ξ − u)/ 2π olmaktadır. Ancak bu kez de bu taban fonksiyonları zaman bölgesinde tüm reel sayılar ekseni üzerinde desteklenmektedir.
Aslında en ilginç waveletler bu iki aşırı uç arasında bir yerlerde yer almaktadır. Bunlar hem zaman hem de frekans bölgesinde lokal desteğe sahiptirler.
Bir fonksiyonun lokal desteğe sahip olması enerjisinin (burada enerji ölçüsü olarak norm kullanılmaktadır) büyük bir çoğunluğunun sonlu bir aralıkta yer alması anlamına gelmektedir. Bu türden fonksiyonlar sözkonusu sonlu aralığın
dışında ya sıfır değerine sahiptirler (kompakt destek) ya da bu aralığın dışında
oldukça hızlı sıfırlanırlar. Böyle bir fonksiyona bir salınım gözüyle de bakabiliriz. Fourier-Heisenberg belirsizlik prensibinden yola çıkarak, hem zaman hem
de frekans bölgesinde aynı zamanda kompakt desteğe sahip olmamızın mümkün
olamayacağını söyleyebiliriz.
Benzer bir analiz R üzerinde tanımlı 2π periyotlu fonksiyonlar için de tekrarlanabilir. Karesi integrallenebilir 2π periyotlu fonksiyonlar uzayı L22π olarak
ifade edilir ve einx n∈Z tabanına sahiptir.Bu uzaydan alınan bir fonksiyonun yine
sözkonusu tabana göre yapılan Fourier açılımı şöyle olacaktır:
X
f (x) =
fˆn einx
(3)
n
ve Fourier katsayıları da şu şekilde elde edilecektir:
Z 2π
1
ˆ
fn =
f (x)e−inx dx =: f (x), einx
2π 0
1
(4)
Burada da wn (x) = einx : n ∈ Z taban fonksiyonları ortonormal bir küme oluşturmaktadırlar: hwm , wn i = δnm . Burada üzerinde durulması gereken önemli
bir husus tüm wn fonksiyonlarının aynı w(x) = eix fonksiyonun tamsayı ile genleştirilmelerinden oluştuklarıdır. Bu da wn (x) = w(nx) anlamına gelmektedir.
Fourier analizi burada bize her f ∈ L22π fonksiyonunun bir temel w(x) = eix
fonksiyonunun tamsayı genleşmelerinin lineer bir kombinasyonu olarak yazılabileceğini göstermektedir. Bu özellik waveletlerde de istediğimiz bir başka özelliği
vermektedir, yani her wavelet belli bir ana fonksiyonun genleşmelerinden üretilebilecek bir taban oluşturabilmelidir. Ancak örneğin L2 = L2 (R) için einx uygun
bir taban oluşturmamaktadır, çünkü herşeyden önce L2 ’ye ait değildirler. Bizim sonsuz destekli waveletler yerine lokal, yani kompakt(veya hemen hemen
kompakt) desteğe ihtiyacımız vardır. O halde ψ(x) ∈ L2 şeklinde kompakt desteğe sahip bir ana fonksiyonu ele alalım. Tabii bu durumda kompakt destek
nedeniyle tüm f ∈ L2 fonksiyonlarını ψ’nin genleşmelerinden elde etmek mümkün olmayacaktır, çünkü bunların herbiri de kompakt desteğe sahip olacaktır.
Dolayısı ile genleşmeler yeterli olmayacağından ötelemelere de ihtiyacımız olacaktır. Böylelikle ψ’nin ötelemeleri x− eksenini küçük(lokal) parçalara bölerken,
ψ’nin genleşmeleri de frekansların oktavlara bölünümüne karşılık gelecektir. Hesaplama pratiği açısından ölçekleme çarpanları çoğunlukla 2’nin üsleri biçiminde
tercih edilmektedir. Bu durumda ele alacağımız fonksiyonlar ψ(2j x−k) şeklinde
2
2
2−parametreli fonksiyon aileleri olacaktır. L2 ’de ψ(2j x − k) = 2−j kψk olduğu kolayca gözlemlenebilir. Buradan yola çıkarak
wn,k (x) = 2n/2 ψ(2n x − k)
(5)
fonksiyonlarının kψk = 1 koşulu altında birim boylu olacağını söyleyebiliriz.
Burada önemli olan ψ fonksiyonlarının
ortonormal bir küme oluşturacak biçimde
R
seçilmelidir. Yani hf, gi := R f (x)g(x)dx olmak üzere
hψj,k , ψl,m i = δj,l δk,m
(6)
2
f ∈ L ’nin açılımı da aşağıdaki biçimde olacaktır:
X
f (x) =
cj,k ψj,k (x),
cj,k = hf, ψj,k i
(7)
j,k
B-spline’ların da kompakt desteğe sahip birer taban takımı oluşturduklarını
belirtmekte fayda vardır. Bu konuya ilişkin literatürde giderek artan düzeyde
spline ve waveletlerin birarada zikredildiği kaynaklar gündeme gelmektedir. Bu
taban fonksiyonları kendi ötelemelerine ortogonal olmamakla birlikte, türevlenebilir yaklaştırımlar üretmeleriyle tanınmaktadırlar. Öte yandan waveletlerin
çoğunlukla türevlenebilir olmadıklarını bilmekteyiz. Bu bir dezavantaj oluşturabilecek iken eğer amaç, örneğin resim işleme konusunda keskin köşelerin belirlenmesi ise tam tersine bir avantaja dönüşebilmektedir.
2
AYRIK VE SÜREKLİ WAVELET DÖNÜŞÜMLERİ
Giriş bölümünde yaptığımız analiz bize ψn,k şeklinde iki ayrık parametreli bir
taban takımı vermişti. Buna karşılık gelen cn,k = hf, ψn,k i katsayıları f fonksi2
yonunun wavelet
R ∞ dönüşümü adını alır. İç çarpımı açık ifadesiyle yazacak olursak
hf, ψn,k i = −∞ f (x)ψn,k (x)dx ifadesini buluruz. Sıklıkla fonksiyon(sinyal) örnekleme yoluyla alınır, yani x = j, j ∈ Z için f (j) değerlerini ve bunun dışında
heryerde sıfır değerini alır. Tabii bu durumda f ∈ `2 ((Z)) ve integral sonsuz top∞
lamla yer değiştirmek durumundadır. Hesaplama pratiği açısından (f (j))j=−∞
N
şeklindeki sonsuz boyutlu bir vektörle çalışmak yerine sonlu boyutlu (f (j))j=0
şeklindeki vektörlerle çalışacağız. Aynen ayrık Fourier dönüşümünde(DFT) olduğu gibi N = 2K alınacak ve ayrık sinyalin tüm j ∈ Z için bu aralığın dışında
da periyodik olarak sürdüğünü varsayacağız. İşte bu ayrık wavelet dönüşümünün
(DWT) uygulama pratiğidir. Aslında burada (DWT) ifadesi çok net değildir: Yerine göre bu ayrıklık, sinyalin ayrık bir fonksiyon ya da bir başka deyimle bir dizi
oluşturması şeklinde olabilirken, yerine göre de sinyalin sürekli, ancak wavelet
tabanının ayrıklaştırılmış yapıda olması şeklinde kendini gösterebilir. Bu ayrık
tabanın sürekli yapıdaki karşılığında ise n ve k parametrelerini örneğin burada a
ve b şeklinde adlandıracağımız sürekli karşılıkları ile yer değiştirmemiz söz konusudur. Daha basit bir ifade ile n ve/veya k üzerinden olan toplamların a ve/veya
b üzerinden alınan integrallere dönüştürülmesi söz konusudur. Hangi formalizmi
seçeceğimiz ise tamamen elimizdeki uygulamaya bağlıdır. Ancak bir başka bakış
açısından eninde sonunda bilgisayarda yapılacak nümerik uygulamalarda integrallerin ayrık toplamlarla yer değiştireceğini de gözden uzak tutmamak gerekir.
Burada genel olarak ayrık durumu ele alacak olmamıza karşın karşılaştırma
amaçlı olarak sürekli duruma da bir göz atmamızda fayda vardır.
Sürekliliğin söz konusu olduğu durumda tek bir ψ ∈ L2 (R) fonksiyonundan o fonksiyonun ölçeklenmesi ve ötelenmesi suretiyle elde edilen iki sürekli
parametreye bağlı bir fonksiyon ailesini ele alırız.
x−b
1
,
a 6= 0, b ∈ R
(8)
ψa,b (x) = p ψ
a
|a|
Somut bir örnek olarak aşağıda verilen fonksiyonu ele alalım:
1
2
ψ(x) = (1 − x2 )e− 2 x
(9)
Bu fonksiyon Meksika şapkası olarak ta adlandırılan bir fonksiyondur. Burada
1 2
ψ(x)’in e 2 x fonksiyonunun ikinci türevi olduğuna dikkat çekmemizde fayda
vardır. Ayrıca Fourier analizinden de bildiğimiz gibi
1
ψ̂(ξ) = ξ 2 e− 2 ξ
2
(10)
Burada ne ψ ne de ψ̂’nin kompakt desteğe sahip olmadığı ancak her ikisinin de
hızla sıfırlandığı ve neredeyse kompakt denilebilecek bir desteğe sahip oldukları
görülmektedir.
Ayrık dönüşümle benzetme yapmak suretiyle f fonksiyonunun sürekli wavelet dönüşümünü şöyle tanımlayabiliriz:
Z ∞
F (a, b) =
f (x)ψa,b (x)dx = hf, ψa,b i ,
f ∈ L2
(11)
−∞
3
1.0
0.5
-4
-2
2
4
- 0.5
Şekil 1: Meksika Şapkası
a = 2−j ve b = 2−j k alındığında ayrık duruma geri dönülmüş olur. Ters dönüşümün mevcut olması için ψ’nin ψ̂, ψ’nin Fourier dönüşümü olmak üzere aşağıdaki
koşulu sağlaması gerekmektedir:
2
Z ∞ ψ̂(ξ)
dξ < ∞
(12)
Cψ =
|ξ|
−∞
R∞
Bu koşul ψ̂ = 0 = −∞ ψ(x)dx olmasını gerektirir. Yani ψ fonksiyonu ortalama
değerinin 0 olmasını sağlamak için işaret değiştiren bir fonksiyon olmak durumundadır. Ayrıca Meksika şapkası için Cψ = 2π olduğunu da gözlemleyebiliriz.
Ters dönüşüm de aşağıdaki biçimde verilebilir:
Z ∞ Z ∞
1
da
f (x) =
(13)
F (a, b)ψa,b (x)db 2
Cψ −∞ −∞
a
Takip eden bölümde b ∈ R ve a > 0 (ayrık yapıda sadece 2j > 0 değerleri) ile
ilgileneceğiz. Bu durumda yukarıda vermiş olduğumuz kısıtlama şu şekli alacaktır:
2
Z ∞ ψ̂(ξ)
1
Cψ =
dξ < ∞
(14)
2
ξ
0
ve yeniden inşa formülümüz de aşağıdaki biçimde ifade edilecektir:
Z ∞ Z ∞
da
2
F (a, b)ψa,b (x)db 2
f (x) =
(15)
Cψ 0
a
−∞
4
3
ÇOKLU ÇÖZÜNÜRLÜK ANALİZİ
Çoklu çözünürlüğe ihtiyaç duymamızın sebebi, çözünürlüğün, yani fonksiyonun
görülebilir detaylarının frekanslara bağlı olarak değişmesidir. Bu da bizim n
parametresi yardımıyla yaptığımız genleşmelere karşılık gelmektedir. Öte yandan herbir çözünürlük için ana fonksiyonun k parametresi yoluyla değiştirilmesi
suretiyle oluşturulan ötelemelerle elde edilen bir taban fonksiyonları uzayı mevcuttur. Dolayısıyla herbir çözünürlük için ayrı bir uzay mevcut olup buna çoklu
çözünürlük denmektedir.
Bu analizde yaptığımız iş L2 uzayının içiçe yuvalanmış Vj kapalı alt uzaylara
parçalanışını oluşturmaktır.
Burada
S
. . . ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . .
T
n∈Z Vj , L2 ’de yoğun ve
n∈Z Vn = 0’dır. Ayrıca
f (x) ∈ Vn ⇔ f (2x) ∈ Vn+1 ,
n∈Z
f (x) ∈ V0 ⇔ f (x − k) ∈ V0 ,
k∈Z
(16)
(17)
Bunun da ötesinde {φ(x − n)}n∈Z şeklinde ve V0 ’ye ortonormal taban takımı
oluşturacak bir φ fonksiyonu mevcut olmalıdır.
Vn ’ler L2 fonksiyonlarından [2−n k, 2−n (k + 1) [ aralıklarında parçalı sabit
fonksiyonların oluşturduğu taban takımı tarafından üretilen uzaylardır. Buradan yola çıkarak χn,k ’lar söz konusu aralıklar için karakteristik fonksiyonlar
olmak üzere
Vn = spanχn,k : k ∈ Z
(18)
Burada φ(x) fonksiyonunu [0, 1 [ aralığında karakteristik fonksiyon olarak alacak olursak bunun bir çoklu çözünürlük oluşturduğunu göstermek hiç te zor
olmayacaktır. Ayrıca Pn , L2 uzayından Vn uzayına izdüşüm operatörü olmak
üzere aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
Z 2−n (k+1)
(Pn f ) (x) = 2n
f (y)dy,
x ∈ 2−n k, 2−n (k + 1) [
(19)
2−n k
ve φ0,k (x) = φ(x − k) fonksiyonları V0 uzayına bir ortogonal taban takımı oluşturur.
4
ÖLÇEKLEME FONKSİYONU
Burada sözü geçen φ, ölçekleme fonksiyonu olarak adlandırılır ve ötelenmiş halleri φ0,n = φ(x − n) olarak ifade edilir. Bu çerçevede f ∈ V0 aşağıdaki biçimde
yazılır:
X
f=
an φ0,n ,
(an ) ∈ `2
(20)
n
Şimdi φ ∈ V0 olduğuna göre φ x2 ∈ V−1 ⊂ V0 olacaktır. Buradan yola çıkarak
bu fonksiyonun V0 ’daki açılımını aşağıdaki gibi yazabiliriz:
x X
φ
=
cn φ(x − n),
x∈R
(21)
2
n
5
Başka bir deyişle ölçekleme fonksiyonu, genleşme denklemini sağlar.
X
φ(x) =
cn φ(2x − n),
x ∈ R, n ∈ Z
(22)
n
R∞
Aşikar çözümlerden kaçınmak için −∞ φ(x)dx 6= 0 şeklindeki çözümlerle ilgile√
R∞
niyoruz. Şimdi φ fonksiyonunu 2π φ̂(0) = −∞ φ(x)dx = 1 biçimde normalize
edelim. Bu durumda,
Z ∞
X Z ∞
φ(x)dx =
cn
φ(2x − n)d(2x − n)
(23)
2
−∞
−∞
n
olacaktır. Böylece,
X
cn = 2
(24)
n
elde edilir. cn katsayılarının belli bir seçimi için genleşme denklemini çözebildiğimizi varsayalım. Bu durumda aşağıdaki fonksiyonları gözönüne almamız gerekmektedir:
φn,k (x) = 2n/2 φ (2n x − k) ,
n, k ∈ Z
(25)
Burada Vn = spanφn,k : k ∈ Z
5
ÖLÇEKLEME DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Önce aşağıdaki denklemin örnek çözümlerine göz atarak başlayalım:
X
X
φ(x) =
ck φ(2x − k),
ck = 2
k
(26)
k
Örnek 1: c0 = c1 = 1 alalım. Bu durumda çözüm “box” fonksiyonu olacaktır.
(
1, 0 ≤ x ≤ 1
φ(x) = χ[0,1[ (x) =
0, diğer
Bu örnek bize “Haar” tabanını verir.
Örnek 2: c1 = 1, c0 = c2 =
olacaktır.
1
2
alalım. Bu durumda çözüm “hat” fonksiyonu


0≤x≤1
x,
φ(x) = 2 − x, 1 ≤ x ≤ 2


0,
diğer
Ancak tabii, bu türden basit fonksiyonlarda wavelet tabanını el yordamıyla
inşa edebilirken bunu genelleştirebilmek için daha sistematik bir yaklaşıma ihtiyacımız olduğu apaçıktır. Bunlardan bazılarını şöyle sıralayabiliriz:
6
1. İterasyon Yöntemi
φ(x)’i bulmanın bir yolu φj (x) =
maktır. 5
P
k ck φj−1 (2x
− k) ifadesinde iterasyon yap-
Örnek 1: φ(x) = χ[0,1[ (x) alalım.
c0 = 2 için fonksiyon Dirac fonksiyonuna gider.
c0 = c1 alacak olursak “box” değişmezliğini korur:φj = φ0 , j ≥ 0.
c1 = 1, c0 = c2 = 12 alacak olursak j → ∞ için “hat” fonksiyonunu elde ederiz.
Örnek 2: Aynı şeyi bu kez c0 c3 = 14 , c1 = c2 =
bu kez kuadratik spline olacaktır.
 2
x ,



2 − 2x2 + 6x − 3,
φ(x) =

(3 − x)2 ,



0,
3
4
için yapacak olursak çözüm
0≤x≤1
1≤x≤2
2≤x≤3
diğer
2. Fourier Analizi Yöntemi
Fourier dönüşümünü aşağıdaki gibi tanımlayacak olursak
Z ∞
1
φ̂(ξ) = √
φ(x)e−ixξ dx
(27)
2π −inf ty
P
genleşme denklemi H(ξ) = 21 n cn e−inξ olmak üzere bize şunu verecektir:
X cn Z ∞
√
φ(2x − n)eixξ dx
φ̂(ξ) =
2π
−inf ty
n
Z ∞
1
H 2ξ
√
=
φ(y)e−iyξ/2 dy
2π −inf ty
1
1
= H
ξ φ̂
ξ
(28)
2
2
√ R∞
Burada H(0) = 1 olduğuna dikkat çekmekte fayda vardır. φ̂(0) = 1/ 2π −inf ty φ(x)dx =
√
1/ 2π ifadesini kullanmak suretiyle yukarıdaki sonucu itere ettiğimizde şu sonuca ulaşırız:
∞
1 Y
φ̂(ξ) = √
H 2−j ξ
(29)
2π j=1
√
Örnek 1: c0 = 2 alacak olursak H(ξ) = 1, φ̂(ξ) = 1/ 2π olacaktır ve bunun da
apaçık bir biçimde Dirac fonksiyonunun Fourier dönüşümü olduğunu görebiliriz.
Örnek 2: Bu kez c0 = c1 alacak olursak H−fonksiyonlarının çarpımı H(ξ) = 1 + e−ξ /2
bir geometrik seri oluşturur.
1
1
1 − e−iξ
1
1 + e−iξ/2 1 + e−iξ/4 =
H
ξ H
ξ =
2
4
4
4 1 − e−iξ/4
7
N tane bu formda fonksiyonun çarpımı bize şunu verir:
N
Y
k=1
H 2−k ξ =
2N
1 − e−iξ
1 − e−iξ/2N
Bu da N → ∞ iken bize aşağıdaki sonucu üretir:
Z 1
√
√
1 − e−iξ
2π φ̂(ξ) =
=
eiξx dx = 2πFχ[0,1[
iξ
0
Elde ettiğimiz bu yapı φ̂’yi “box” fonksiyonunun Fourier dönüşümü cinsinden
tanımlamış olur.
Q∞
Örnek 3: “hat” fonksiyonunu da bir önceki H(ξ)’nin yani 1 H 2−j ξ ’nin
karesini almak suretiyle elde edebiliriz.
3. Rekürsiyon Yöntemi
φ(x)’in x = k şeklinde tam sayı değerlerinde bilindiğini varsayalım. Bu durumda
genleşme denklemi φ(x)’i x = k/2 değerlerinde tanımlayacaktır. Bu süreci tekrarlamak suretiyle φ(x) tüm dyadic noktalarda yani x = k/2j değerlerinde tanımlanmış olacaktır. Bu, oldukça hızlı bir algoritma olup pratikte epey kullanımı
mevcuttur.
6
İKİNCİ KUŞAK WAVELETLER
Bu bölümde “Lifting Şeması” yardımıyla ikinci kuşak olarak adlandıracağımız
waveletlerin inşası üzerinde duracağız. Klasik waveletler, eşit aralıklı olmayan
veri kümeleri için uygun bir taban oluşturmazlar.Lifting şeması tipik sinyal işleme yöntemleriyle, yani bir diğer deyişle diyagramlar kullanılarak oluşturulabildiği gibi, daha formel matematiksel yöntemler kullanmak suretiyle, yani
operatörler yardımıyla veya en azından matrisler yardımıyla da oluşturulabilir.
6.1
Lifting Şeması Yardımıyla Haar Ayrıştırımı
Her wavelet dönüşümü gibi Haar ayrıştırımı da küçük ölçekli ölçekleme katsayılarını girdi olarak kullanır. Şimdilik bu ölçekleme katsayılarını gözlemler olarak
düşünelim. Neden bunları girdilerimiz olarak nitelediğimize gelince bu ölçekleme katsayılarından yola çıkarak genel trende ulaşacak olmamızdır. Girdinin
çözünürlük düzeyi olabilecek en hassas düzeydir ve bu düzey J ∈ Z olarak ifade
edilir. Burada J’nin seçimi keyfi olup diğer düzeyler daha düşük sayılarla gösterilecektir. Fakat çoğunlukla analizin en düşük düzeyi sıfır olacak şekilde seçim
yapılmaktadır. Wavelet literatüründe ölçek kavramı zaman zaman s = 2J olarak tanımlanır. Bu durum ölçeğin sürekli bir kavram olarak ele alındığı ve ayrık
wavelet dönüşümündeki çözünürlük düzeylerinin de bunların dyadic ayrıklaştırmasından oluştuğu sürekli wavelet dönüşümü teorisinden kaynaklanmaktadır.
Kullanacağımız “ölçek” ve “çözünürlük düzeyi” ifadeleri eş anlamlıdır.
8
Haar ayrıştırımı diğer wavelet dönüşümlerinde olduğu gibi, her adımda daha
büyük bir çözünürlük düzeyini elde ettiğimiz adımlardan oluşur. Ayrıştırımın
her adımında birbirine komşu girdilerin ortalamaları ve farkları alınır. Yani örneğin sj+1,k , j + 1 ölçeğindeki girdimiz olsun; bu durumda Haar ayrıştırımının
bir adımı bunu j ölçeğinde sj,k ortalamalarına ve dj,k detaylarına(farklarına)
dönüştürür.
sj,k
=
dj,k
=
sj+1,2k + sj+1,2k+1
2
sj+1,2k+1 − sj+1,2k
(30)
Bir sonraki adımda aynı prosedürü bu kez sj,k ortalamaları için tekrarlarız. Bu
ortalamalar daha büyük ölçeklidir, yani bir başka deyişle sinyal işleme terminolojisinde “low-pass filter” olarak adlandırılırlar. Yukarıdaki ifadeyi tersten farklı
bir biçimde de yazabiliriz:
sj+1,2k+1
=
sj,k + dj,k /2
sj+1,2k
=
sj,k − dj,k /2
(31)
Buradan yola çıkarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
sj,k = sj+1,2k + dj,k /2
(32)
Bu format ise bizi algoritmanın farklı bir biçimine götürür. Ortalamaları ve
farkları eşzamanlı hesaplamak yerine önce farkları sonra ortalamaları hesaplarız.
Bu dönüşümün algoritması üç aşamadan oluşur.
1. Veriler çift ve tek indisli gözlemler olarak ikiye ayrılır.
2. Ardışık tek ve çift indisli terimler arasındaki farklar hesaplanır.
3. Tek indisli terimler yerine bu farklar depolanır.
Yapılanlar basit bir biçimde aşağıdaki gibi özetlenebilir:
• fark=tek−çift
• ortalama=çift+fark/2
İşte bu, Haar dönüşümüne Lifting şeması uygulanmasıdır. Daha sonra göreceğimiz sebeplerden ötürü detay(fark) katsayılarının hesaplanması dual lifting adımı
ile, ortalama alma işlemi ise primal lifting olarak adlandıracağımız adımlara tipik birer örnektir.
Haar dönüşümünün bu farklı düzenlenmiş hali katsayıların yorumunu kökten
değiştirmektedir. Gerçekten de klasik uygulamada farklar ortalamalarla birlikte
hesaplanmaktaydılar ve ortalamalardan yola çıkarak ilk girdiyi yeniden oluşturmak için ihtiyacımız olan bilgi olarak değerlendirilmekteydiler. Halbuki lifting
şemasında farklar ve ortalamalar ayrı ayrı hesaplanmaktadırlar; dolayısı ile ortalamaları kolayca gözardı ederek sadece tek indisli terimlerin kendilerine konsantre olmamız mümkündür. Böylelikle artık ilk girdileri oluşturmak için sadece
9
farklara ve çift indisli terimlere ihtiyacımız olmaktadır. Bu tartışma lifting algoritmasını Haar dönüşümün ötesine taşımak için de önem arzetmektedir. Farklar
aslında detaylardır. Bize, tek indisli değerlerin, sadece çift indisli değerlere bakarak yaptığımız öngörüden ne kadar saptığını gösterirler. Bir başka öngörü mekanizması olarakBurada söz konusu olan öngörü oldukça basittir: her tek indisli
gözlem kendi solunda bulunan çift indisli değer yardımıyla öngörülmeye çalışılır. Sadece ilk çift indisli gözlemi değil de daha çok sayıda çift indisli gözlemin
kullanıldığı öngörü yapısı da bizi genel lifting şemasına götürür.
6.2
Lifting Şeması: Ayır, Öngör, Güncelle
Genel lifting şeması üç tip işlemden oluşur: Bunlar ayırma ve ayırmayı takiben yapılan primal ve dual lifting işlemleridir. Ayırma işlemi gözlemleriiki ayrık
kümeye ayırır. Şimdilik bu kümeler tek ve çift indisli gözlemlere karşılık gelmektedir.
Devamında tek indisli girdiler farklarla yer değiştirirler. Buradaki ana fikir verilerin yarısının diğer yarı yardımıyla tahminlenmesi sonucu olarak çok
daha seyrek verinin olduğu bir gösterilim elde edilmesidir. Bu yapıda, yeterince
tahminlenemeyecek birkaç kaba detay ortaya çıkmaktadır. Haar dönüşümü tahmincisi aslında kendi solundaki çift indisli veriye extrapolasyon yapmaktadır.
Biraz daha sofistike bir yaklaşımla tek indisli bir gözlemin her iki tarafındaki
çift komşularına interpolasyon da yapabiliriz. Lineer tahmin sadece ilk komşuları alırken, örneğin kübik interpolasyon ikinci mertebeden komşuları da dahil
edecektir. Tahminler kesinlikle hep çift indisli gözlemlere dayanmaktadır. Ara
noktalardaki tek indisli gözlemler başka noktalardaki tek indisli değerleri tahminlemede kullanılamazlar, çünkü tüm tek indisli gözlemler detay katsayısı ile
yer değiştirir. Dolayısı ile eğer bu gözlem bir başkasını tahminlemede kullanılacak olursa geri dönüşte başlangıçtaki verilere hesapsal anlamda ulaşamayız.
Yapılan tahmin adımına “dual lifting” adı verilir.
Haar dönüşümünde de görmüş olduğumuz gibi birçok çok ölçekli ayrıştırım
primal lifting/update adımı ile yapılır ve kararlı bir wavelet dönüşümü için bu
adım kaçınılmazdır. Aksi takdirde çift indisli değerler her seferinde bir sonraki
adıma değişmeden taşınacağı için birkaç girdi değeri tüm sonuçları etkilemiş
olacaktır. halbuki bizim istediğimiz daha geniş ölçekli katsayıların gerçek girdi
değerlerinin ortalamalarından oluşmak suretiyle bireysel gözlemlerdeki küçük
dalgalanmaların büyük ölçekte önemli etki yaratmamalarıdır. Ek ortalamalar
alarak çift sayılı katsayıların girdilerden alınan örneklemi küçültmeleri sağlanmış
oluruz. Lifting algoritması ile her adımda fazladan bir özellik eklemiş oluruz.
Örneğin seyreklik, yani daha çok sıfır veya sıfıra yakın katsayı bunlardan biri
olarak sayılabilir.
Lifting şemasının ilk bakışta gözümüze çarpan bazı ilginç özellikleri vardır:
1. Her aşamada yapılan işlemler bir önceki hesapların yerine geçmekte yani
klasik filterbank hesaplamalarındaki gibi eşzamanlı hesaplamalar söz konusu değil. Dolayısıyla ciddi bir hafıza tasarrufu sağlamakta.
2. Her ne kadar yukarıdaki özellik mevcutsa da ters dönüşüme de son derece
10
müsait bir yapısı vardır.
Dönüşüm:
• detay=tek-P(çift)
• ölçekleme=çift+U(ölçekleme)
Ters dönüşüm:
• çift=ölçekleme-U(ölçekleme)
• tek=çift+P(çift)
Klasik filterbank uygulamalarında bu mümkün değildir. Girdilerdeki filtreler
tersinir değildirler. Ters filtreler ise lineer bir sisteminin çözümlerini oluştururlar ve bunun kolay çözümü Fourier bölgesinde yapılabilir. Fourier bölgesinde
filtreleme yani konvolusyon basit bir çarpım şeklinde olup çözümü basitleştirir.
6.3
Taban Fonksiyonları
Şimdiye dek lifting işlemleri ve bu işlemlerin katsayıların değerleri üzerindeki
etkileri üzerinde durduk. Çoklu çözünürlük analizinde bu değerler taban takımı
ayrıştırımı katsayıları olarak ta yorumlanabilirler. Daha özel olarak girdileri ayrıştırımın küçük ölçek, ölçekleme katsayıları olarak görebiliriz:
X
fJ (x) =
sJ,k ϕJ,k (x)
(33)
k∈Z
Burada ϕJ,k (x)’ler J düzeyindeki ölçekleme taban fonksiyonlarını temsil etmektedir. Eğer taban fonksiyonları sonsuz sayıda ise bu ayrıştırım taban açılımı
olarak adlandırılır. Pratik uygulamalarda sonlu sayıda gözleme sahip olduğumuzdan dolayı bu ayrık verileri de sonlu sayıda katsayı ile göserebiliriz.Gözlem
çözünürlüğünden küçük ölçeklikatsayıların tümünün sıfır olduğunu varsayabiliriz.
Ele aldığımız çerçevede wavelet dönüşümünün bizzat kendisi bir taban değişimi oluşturmaktadır. fJ (x) fonksiyonu aşağıdaki biçimde tekrar yazılır.
fJ (x) =
X
sL,k ϕL,k (x) +
j=L
XX
J−1 k∈Z
k∈Z
11
dj,k ψj,k
(34)
Download

WAVELET TEORİSİ