Yüklemler Mantığı
Kategorik yargılar bölümünde niceleyici dediğimiz mantıksal kavramı görmüş olduk. Şimdi
niceleyiciler ile önermeler mantığının önerme eklemlerini bir araya getirip birleştireceğiz, böylece
daha geniş, daha kapsamlı bir biçimsel mantık elde edeceğiz. Bu mantığa yüklemler mantığı veya
niceleyici mantık denir, son derece güçlüdür ve çok geniş bir kanıtlamalar sınıfının tümdengelimsel
geçerliğini denetlemekte kullanılabilir.
İlk adım olarak, kategorik yargıların yeniden ifadelendirilmelerinin önermeler mantığının kimi
operatörlerini (önerme eklemlerini) içerebildiğine dikkat etmeliyiz. Mesela,
Tüm S’ler P’dir.
şeklindeki A-biçimi yargıyı ele alalım. Eğer “x” harfini tekil/bireysel nesnelere işaret edecek şekilde
kullanırsak aynı yargıyı şöyle ifade edebiliriz:
Tüm x’ler için, eğer x bir S ise x bir P’dir.
Bu yeniden ifadelendirme özgün ifade ile tamamen aynı doğruluk koşullarına sahiptir, yani S
kümesinde içerilen her nesne P kümesinde de içerilir demektedir ki bu da S’nin P’de içerildiğini/bir
alt-kümesi olduğunu söylemenin bir başka yoludur. Ama dikkat edilirse bu yeni ifadelendirme “eğer …
ise” şeklinde bir koşul deyimi içermektedir. Yine bir E-biçimi yargı olan
Hiçbir S, P değildir.
şöyle ifade edilebilir:
Tüm x’ler için, eğer x bir S ise x’in bir P olduğu doğru değildir.
Yani bu yeni ifade, S’de içerilen her nesnenin P’de içerilmediğini dile getirmektedir, diğer bir deyimle
S ve P kümelerinin bir ortak elemanı yoktur ki bu da E-biçimi yargının tam olarak söylediği şeydir. Yine
dikkat edilirse bu yeni ifade bir koşullu yargı içermektedir ve ilaveten “olduğu doğru değildir” şeklinde
mantıksal değillemeyi içermektedir.
Şimdi burada “” sembolünü “tüm”, “hepsi”, “her” vb. deyimler için kullanalım. Bu sembole
evrensel niceleyici veya tümel niceleyici denir. Ayrıca “x bir S’tir” diye yazmak yerine basitçe “Sx”
yazalım ve “x bir P’dir” için de aynı şekilde “Px” yazalım. Son olarak “eğer … ise” için ve “olduğu doğru
değildir” deyimleri için de önermeler mantığından bildiğimiz sembolleri kullanalım. Bu durumda
“TümS’ler P’dir” şeklindeki A-biçimi yargı ile “Hiçbir S, P değildir” şeklindeki E-biçimi yargı sırasıyla
şöylece sembolleştirilebilir:
x(Sx Px)
x(Sx Px)
Diğer yandan I ve O yargılarını ifade etmek için ikinci tür bir niceleyiciye ihtiyacımız vardır. Iyargısı,
Bazı S’ler P’dir.
şu şekilde ifade edilebilir:
Bazı x’ler için, x bir S’tir ve x bir P’dir.
ki bu ifade bir tümel evetleme içerir. Burada “” sembolünü “bazı” veya “en az bir” gibi deyimleri
göstermek için seçeceğiz. Daha önce olduğu gibi burada da “bazı” deyimini “sadece bir” ve “hepsi”
gibi sınır durumları kapsayacak şekilde anlayacağız. Şimdi I-yargısını yeniden şöyle yazabiliriz:
x(Sx Px)
“” sembolünü günlük dilde dile getirmenin uygun bir biçimi “en az bir … vardır öyle ki …” olabilir.
Böylece yukarıdaki biçim şöyle okunabilir:
En az bir x vardır öyle ki x bir S’dir ve x bir P’dir.
Bu söyleyiş tarzıyla uygunluk içinde “” sembolü varlıksal niceleyici veya tikel niceleyici olarak
isimlendirilir. O-yargısı,
Bazı S’ler P değildir.
ise şöyle yazılabilir:
x(SxPx)
ki bu da şöyle okunur:
Bazı x’ler için, x bir S’tir ve x’in bir P olduğu doğru değildir.
veya
En az bir x vardır öyle ki x bir S’tir ve x bir P değildir.
Dikkat ederseniz I-yargısını yani “Bazı S’ler P’dir” yargısını bir koşullu içeren şu şekilde
x(Sx Px)
sembolleştirmek yanlış olacaktır. Bu biçim şu anlama geliyor: “en az bir x var öyle ki eğer x bir S ise x
bir P’dir”. Bu yargı bu haliyle S olan hiçbir şeyin bulunmadığı durumda da doğru olacaktır. Mesela, en
az bir x için (örneğin bu x istediğiniz bir kişi olsun) eğer x’in yedi kafası varsa x acayiptir demek
doğrudur. Oysa bazı yedi kafalı insanların acayip olduklarını söylemek yanlıştır çünkü ortada hiçbir
yedi kafalı insan yoktur, yani bu iki yargı eşdeğer değildir. Benzer şekilde O-yargısını da
sembolleştirmek için bir koşullu kullanmak yanlıştır.
A ve E yargıları ise daima tümel evetleme yerine koşullular kullanılarak
sembolleştirilmelidirler. Bu yüzden A-yargısını şöyle sembolleştirmek yanlıştır:
x(Sx Px)
Bu önerme “tüm x’ler için x hem bir S hem bir P’dir” demektedir. Oysa açıktır ki “Tüm köpekbalıkları
birer yırtıcıdır” önermesi “Tüm x’ler için x hem bir köpekbalığı hem de bir yırtıcıdır” önermesi ile
eşdeğer değildir çünkü bu ikinci önerme her şeyin yırtıcı bir köpekbalığı olduğunu söylemektedir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
6.1 “K” ve “Y” harflerini sırayla “bir kurbağadır” ve “yeşildir” yüklemleri için
kullanarak aşağıdaki cümleleri biçimselleştirin.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Kurbağalar yeşildir.
En az bir yeşil kurbağa vardır.
Bazı kurbağalar yeşil değildir.
Hiçbir yeşil kurbağa yoktur.
Hiçbir kurbağa yeşil değildir.
Kurbağalar yeşil değildir.
Kurbağa olan her şeyin yeşil olduğu doğru değildir.
ÇÖZÜM
(a) x(Kx Yx). Burada “kurbağalar”, tüm kurbağalar anlamına geliyor.
(b) x(Kx Yx).
(c) x(Kx Yx). Buradaki “değil” bir mantıksal değilleme olarak yorumlanmıştır.
Eğer bir tümleme olarak yorumlanacak olursa bu durumda “yeşil-olmayan”
yüklemini göstermek için mesela “H” gibi farklı bir yüklem harfine ihtiyaç
olurdu. O zaman gösterim bir I-yargısı gibi olurdu: x(Kx Hx).
(d) x(Kx Yx).
(e) x(Kx Yx). Bu yargı (d) ile aynı şeyi söylüyor, dolayısıyla x(Kx Yx)
olarak da gösterilebilir.
(f) Bu yargı (e) ile aynı şeyi söylüyor, dolayısıyla x(Kx Yx) veya x(Kx Yx)
şeklinde biçimselleştirilebilir. Buradaki “değil” mantıksal değilleme olarak
yorumlanmıştır, eğer tümleme olarak yorumlanırsa ayrı bir H yüklemi
kullanılır ve x(Kx Hx) şeklinde biçimselleştirilir.
(g) x(Kx Yx).
Bu yeni notasyon kategorik önermelerdeki daha önce farkına varılamayan yapıyı ortaya
çıkarmaktadır. Ama yeni notasyonun sağladığı en büyük avantaj, bize önermeler mantığının
kavramları ile klasik (kategorik) mantığın kavramlarını birbiri ile birleştirme imkânı vermesi ve böylece
zengin bir mantıksal yapılar çeşitliliğini ifade etmeyi mümkün kılmasıdır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
6.2 ‘Y’ harfini ‘Yağmur yağıyor’ cümlesini göstermek için kullanarak ve ‘bir
kurbağadır’, ‘yeşildir’, ‘ sıçrıyor’ ve ‘renk değiştiriyor’ yüklemleri için sırasıyla ‘K’,
‘E’, ‘S’ ve ‘R’ harflerini kullanarak aşağıdaki cümleleri sembolleştiriniz
(biçimselleştiriniz):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Her şey bir kurbağadır.
Bir şey bir kurbağadır.
Her şey bir kurbağa değildir.
Hiçbir şey bir kurbağa değildir.
Yeşil kurbağalar vardır.
(f) Her şey ya yeşildir veya renk değiştirendir.
(g) Her şey bir yeşil kurbağadır.
(h) Yağmur yağıyor ve bazı kurbağalar sıçrıyor.
(i) Eğer yağmur yağıyorsa tüm kurbağalar sıçrıyor.
(j) Bazı şeyler yeşildir ve bazıları değildir.
(k) Kimi şeyler hem yeşildir hem renk değiştirendir.
(l) Ya her şey bir kurbağadır veya hiçbir şey bir kurbağa değildir.
(m) Her şey ya bir kurbağadır veya bir kurbağa değildir.
(n) Bütün kurbağalar kurbağadır.
(o) Sadece kurbağalar yeşildir.
(p) Renk değiştiren kurbağa olmaz.
(q) Tüm yeşil kurbağalar sıçrıyor.
(r) Kimi yeşil kurbağalar sıçramıyor.
(s) Bazı yeşil kurbağaların sıçradıkları doğru değildir.
(t) Eğer hiçbir şey yeşil değilse yeşil kurbağa diye bir şey yoktur.
(u) Yeşil kurbağalar ancak ve ancak yağmur yağmıyorsa sıçrarlar.
Download

Anne Sütü ve Emzirme