Cümleleri ya da yargıları biçimselleştirirken şu hususları akıldan çıkarmamak gerekir:
(1) Farklı değişkenlerin zorunlu olarak farklı nesnelere işaret etmesi gerekmez. Örneğin
‘xyOxy’ (örnek 6.5 (k)) her x ve her y için x, y’den hoşlanır demektedir ki bu, her bir
şey bir başka şeyden hoşlanır demek değildir, aynı zamanda kendi kendisinden de
hoşlanır demektir.
(2) Hangi değişkenin tercih edildiği, anlamda bir değişiklik yaratmaz. Mesela örnek 6.5 (c)
hem ‘yOyy’ hem ‘zOzz’ ve hem de ‘xOxx’ şeklinde gösterilebilir. Bununla birlikte, iki
veya daha fazla niceleyici (örnek 6.5 (m)’de olduğu gibi) aynı biçimin birbiri ile çakışan
kısımlarını işaret ediyorsa, bu durumda her biri için farklı değişkenler kullanmak gerekir.
(3)
(4)
(5)
(6)
Bu örnekteki biçim hem ‘yxOyx’ veya ‘xzOxz’ şeklinde yazılabilir ama ‘xxOxx’
şeklinde yazılamaz. Bu son şekilde iki defa kullanılan x’lerden hangisinin hangi niceleyiciye
karşılık geldiğini ayırt edemeyiz. Böyle biçimleri yanlış kurulmuş/oluşturulmuş biçimler
veya dilbilgisine uymayan biçimler olarak göreceğiz.
İki farklı niceleyici ile kullanılan aynı değişkenin, her iki durumda da zorunlu olarak aynı
nesneye işaret etmesi gerekmez. Mesela ‘xObx xOcx’ biçimi, “Bekir’in hoşlandığı bir
şey ve Cem’in hoşlandığı bir şey var” cümlesinin doğru gösterimidir (örnek 6.5 (g)) ki bu
yargı, her ikisinin aynı şeyden hoşlandığını ne onaylıyor ne de reddediyor. Ama başkaları
bu cümleyi ‘xObx yOcy’ şeklinde biçimselleştirmeyi daha uygun buluyor ki bu şekilde
yazmak da doğrudur. Burada aynı değişkeni her bir niceleyiciyle kullanmak meşrudur,
çünkü burada niceleyiciler biçimin çakışan/üst üste binen kısımlarını işaret etmiyorlar
veya böyle kısımlara uygulanmıyorlar.
Evrensel ve varlıksal niceleyiciyi birlikte kullanan, günlük dildeki pek çok cümle/yargı
anlam bakımından belirsiz/bulanıktır. Mesela “Bir şeyden her şey hoşlanır” cümlesi “her
şeyin ondan hoşlandığı tek bir şey var” (örnek 6.5 (l)) anlamına gelebildiği gibi, “her şeyin
hoşlandığı en az bir şey vardır (bu şey her durumda aynı şey olmayabilir)” (örnek 6.5 (m))
anlamına da gelebilir. Bu iki cümle kulağa biraz daha kaba gelseler de anlam bakımından
daha nettirler ve eşdeğer değildirler. Gerçekten de, farz edelim ki her şeyden hoşlanan
tek bir şey var ama ayrıca hiçbir şeyden hoşlanmayan şeyler de var; böyle bir durumda
birinci cümle doğru ikincisi yanlış olacaktır. Anlamdaki bu farklılık, niceleyicilerin sırasına
göre biçimsel yoldan belirgin kılınır. Bu cümleler anlam bakımından belirsizlik arzetseler
de bunların biçimsel hallerinin anlamı tamamen nettir.
Peş peşe gelen niceleyiciler ancak evrensel ve varlıksal niceleyiciler birlikte kullanıldığında
anlamı etkiler. Hem evrensel niceleyiciler kendi içinde hem de varlıksal niceleyiciler kendi
içinde farklı sıra ile yazılabilirler. Buna göre, ‘xyOyx’ ve ‘yxOyx’ farklı anlama
gelirken ‘xyOxy’ ile ‘yxOxy’ tamamen aynı anlama sahiptir.
İç içe yuvalanmış (yani peş peşe gelen) niceleyiciler doğruluk-işlevsel operatörlerle çok
farklı ama birbiriyle eşdeğer şekillerde birleştirilebilir. “Cem bir makinisti bir hizmetçiye
tanıttı” cümlesi ‘xy(Mx Hy)Tcxy)’ olarak veya ‘x(Mx y(HyTcxy))’ olarak
biçimselleştirilebilir.
Oluşturma Kuralları
Şimdi, buraya kadar ortaya konan biçimsel dili daha kesin olarak tanımlamaya geçebiliriz.
Önermeler mantığının dilinde olduğu gibi burada da dilin söz dağarcığını iki kısma ayırıyoruz:
yorumlanması yani nasıl anlaşılacağı her bağlam için değişmeden kalan mantıksal semboller ve
yorumlanması konudan konuya değişen mantıksal-olmayan semboller.
Mantıksal Semboller
Mantıksal operatörler: ‘’, ‘’, ‘’, ‘’, ‘’
Niceleyiciler:
Değişkenler:
Parantezler:
‘’, ‘’
‘u’dan ‘z’ye kadar olan küçük harfler
‘(‘, ‘)’
Mantıksal-olmayan Semboller
Ad harfleri:
‘a’dan ‘t’ye kadar olan küçük harfler
Yüklem harfleri:
bütün büyük harfler
Harflerin yetmediği durumlarda, burada da numaralandırmaya gidilebilir: a3, P143 gibi.
Bu dil içindeki bir biçim, bu dilin mantıksal veya mantıksal-olmayan söz dağarcığından
oluşturulmuş sonlu bir dizidir.
Bir atomik biçim, ya tek başına bir yüklem harfi veya bir yüklem harfi ile onu takip eden bir
dizi ad harfinden oluşur. Hiçbir ad harfinin takip etmediği yüklem harfleri, önermeler mantığının
cümle harfleri olarak yorumlanırlar. Bunlar, bir cümlenin içsel yapısını biçimsel dile yansıtmak gerekli
olmayan durumlarda bütün bir cümleyi göstermek için kullanılırlar. Eğer yüklem harfini takip eden ad
harflerinin sayısı n ise, bu yüklem n-değişkenli bir yüklem demektir. Bu durumda cümle harfleri de
sıfır-değişkenli yüklemler olarak görülebilir.
Yüklemeler mantığında iyi-kurulmuş biçim (ikb) kavramı, aşağıdaki oluşturma kuralları ile
tanımlanmıştır. Burada biçimsel dildeki bir ifadeyi göstermek için yine Yunan alfabesinden alınma
harfleri kullanacağız.
(1) Herhangi bir atomik biçim bir ikb’dir.
(2) Eğer Φ bir ikb ise Φ de bir ikb’dir.
(3) Eğer Φ ve Ψ birer ikb ise (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) de birer ikb’dir.
(4) Eğer Φ, içinde α ad harfi geçen bir ikb ise,βΦβ/α veya βΦβ/α şekline sahip her biçim de
birer ikb’dir. Burada Φβ/α başlangıçtaki ikb olan Φ’de kullanılmış bir veya daha fazla α ad harfi
yerine Φ’de kullanılmamış bir β değişkeninin yazılması ile elde edilmiş biçimdir.
Sadece bu dört kuralın kullanılması veya tekrar tekrar uygulanması ile elde edilen biçimler ikb’dir.
Görüldüğü üzere kural 2 ve 3, önermeler mantığındaki kurallarla aynıdır. Kural 1, öncekine
kıyasla biraz daha geniştir, zira atomik biçimin tanımı daha fazla çeşitten atomik biçimlere izin
vermektedir. Kural 4 ise tamamen yenidir. Bu kuralın nasıl işlediğini anlamak için Φ gibi belirli bir
ikb’den bu kuralın uygulanması ile nicelenmiş biçimlerin nasıl oluşturulduğuna bakalım. Φ dediğimiz
ikb ‘(Fa Gab)’ olsun. (Bunun bir ikb olduğunu söyleyebiliriz, çünkü ‘Fa’ ve ‘Gab’, kural 1 gereği birer
ikb’dir ve ‘(Fa Gab)’ ise kural 3 gereği bir ikb’dir.) Şimdi Φ, iki tane ‘a’ ve ‘b’ diye ad harfi içeriyor.
Bunlardan herhangi birisini kuraldaki α olarak seçebiliriz. Burada ‘a’yı seçelim. Kural bize diyor ki,
Φ’de bulunmayan β diye bir değişken seçin. Bunun için burada herhangi bir değişkeni seçebiliriz, zira
Φ hiçbir değişken içermiyor. Öyleyse β için ‘x’ değişkenini seçelim. Bu durumda Φ’de α yerine (yani
‘a’ yerine) β yazmakla (yani ‘x’ yazmakla) elde edeceğimiz üç tane Φβ/α şeklinde biçim vardır:
(Fx Gxb)
(‘a’ların hepsi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(Fx Gab)
(‘a’ların birincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(Fa Gxb)
(‘a’ların ikincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
Bu biçimlerin kendileri ikb değildir, ama kural 4’ün dediğine göre bunlardan birinin önüne evrensel
niceleyiciyi ve onu takiben ‘x’i yazmakla elde edilen biçim, yani βΦβ/α bir ikb’dir. Demek ki,
x (Fx Gxb)
x (Fx Gab)
x (Fa Gxb)
(‘a’ların hepsi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(‘a’ların birincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
(‘a’ların ikincisi yerine ‘x’ yazılmış biçim)
kural 4 gereği birer ikb’dir. Aynı kural bunlardan birinin önüne varlıksal niceleyiciyi ve onu takiben ‘x’i
yazmakla elde edilen biçimin de, yani βΦβ/α bir ikb olduğunu söylemektedir. O halde,
x (Fx Gxb)
x (Fx Gab)
x (Fa Gxb)
bunlar da ikb’dir. Böylece kural 4’ü, nicellenmemiş ‘(Fa Gab)’ ikb’sine tek bir ad harfi için
uygulayarak altı tane nicelenmiş ikb elde ettik. Ad harfi ‘b’yi α olarak seçerek veya β olarak ‘x’ten
farklı değişkenler seçerek başka ikb’ler de elde edilebilir. Örneğin artık ‘x (Fx Gxb)’nin bir ikb
olduğunu bildiğimize göre α olarak ‘b’yi ve β olarak ‘y’yi seçmek suretiyle buna kural 4’ü ikinci defa
uygulayarak aşağıdaki iki ikb’yi elde ederiz:
yx (Fx Gxy)
yx (Fx Gxy)
Dikkat edilirse, kural 4 bir ikb’ye değişkenleri ekleyebilmemizi sağlayan kuraldır ve bir ikb’ye
bir değişkeni ancak bu ikb’nin önüne bu değişkene karşılık gelen bir niceleyiciyi yazmak suretiyle
ekleyebiliriz. Demek ki bir biçim bir değişken içeriyorsa ama bu değişkene karşılık gelen bir niceleyici
bulunmuyorsa (örneğin ‘Fx’ gibi) bir ikb değildir. Aynı şekilde, bir biçimin önüne bir niceleyici artı bir
değişken yazılmışsa ama bu değişken, biçimin içinde kullanılmamışsa (örneğin ‘x Pa’ gibi) bu biçim
bir ikb sayılmaz.
Kural 4’te “Φ’de kullanılmamış bir β değişkeni” denilmesinin sebebi, aynı değişkeni kullanan
niceleyicilerin aynı biçimin çakışan/üst üste binen kısımlarına uygulanmasını engellemektir. Mesela,
‘xOxa’ kural 1 ve 4 gereği bir ikb olsa da, kural 4’te geçen sözü edilen ifade ‘x’ değişkenini kullanan
yeni bir niceleyicinin eklenmesini ve ‘xxOxx’ şeklinde bir biçimin elde edilmesini engellemektedir,
ki bu biçimin yanlış kurulmuş olduğunu yukarıdaki 2. hususta belirtmiştik. Kural 4’teki sözü edilen
ifade, ayrıca ‘x (FxxGx)’ gibi biçimleri de kural dışı bırakmaktadır, çünkü bu biçim ancak
‘(FaxGx)’ şeklindeki ikb’ye kural 4’ün uygulanması ile elde edilebilir, oysa bu ikb’de ‘x’ değişkeni
zaten kullanılmış durumdadır. Fakat kural 4 ‘(xFxxGx)’ gibi biçimlere izin verir, çünkü aynı
değişken, biçimin çakışmayan kısımlarına uygulanmıştır. Bu biçim gerçekten de bir ikb’dir zira
kendileri de kural 1 ve 4 gereği birer ikb olan ‘xFx’ ve ‘xGx’e kural 3’ün uygulanması ile elde
edilmiştir.
Özetle, bir biçimin bir ikb olduğunu göstermek için, onun oluşturma kuralları ile
kurulabildiğini gösteririz.
Download

(1) Farklı değişkenlerin zor