URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Genel Uniaxial Bir Ortamın ve İzotropik Bir Ortamın Elektrik Alanları
Arasındaki Basit İlişkiler
Saffet Gökçen Şen*
Atatürk Üniversitesi
Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
Erzurum
[email protected]
Özet: Spektral açılım yöntemi kullanılarak, genel uniaxial bir ortamın elektrik alanları ile izotropik bir ortamın
elektrik alanları arasında basit ilişkiler kurulur. Alanları birbirlerine bağlayan denklemler içerisindeki terim
gruplarının elemanları birbirlerine basit değişken değişimi ile çevrilebilirler. Kapalı formdaki terimler dışında
Sommerfeld integralleri tipinde terimler de vardır. Bu integrallerin hesaplanması en keskin düşüş yöntemi ile
yapılır. İlişkilerin geçerliliği, literatürde yapılmış bir çalışmanın soınuçları ile yapılan karşılaştırma ile
gösterilir.
Abstract: Simple relations are established between the electric fields of a general uniaxial medium and those of
an isotropic medium using the spectral representation method. The equations connecting the fields contain term
groups whose elements are convertible to each other by means of simple variable changes. The equations
contain Sommerfeld type integrals in addition to the closed form terms. The calculation of the Sommerfeld
integrals is made by the steepest descent method. The validity of the relations is shown by comparing the
relation results to the results obtained from a previous study in the literature.
1. Giriş
Genel uniaxial malzemeler, anizotropik malzemelerin bir alt grubudur. Genel uniaxial malzemeler, hem
elektriksel hem de manyetik uniaxial özelliktedir. Bu malzemelerde elektromanyetik alanların incelenmesi,
elektromanyetik cihazların özelliklerinin geliştirilmesi açısından önem taşır. Genel uniaxial özellikteki
ortamların dyadik Green fonksiyonları, bir dyadik diferansiyel denklemin çözülmesiyle [1]'de bulunmuştur.
Elektrisel uniaxial bir ortamla izotropik bir ortamın elektrik alanları arasındaki ilişkiler [2]'de çalışılmıştır. Bu
çalışmada, genel uniaxial ortamların elektrik alanları ile izotropik bir ortamın elektrik alanları arasında basit
ilişkiler, spektral temsil yöntemi [3] ile bulunur. İlişkilerin doğruluğu, en keskin düşüş yöntemi (EKDY) ile
doğrulanır.
2. Formülasyon

Bir E vektörünün spektral açılımı aşağıdaki gibi yapılır:

E  x, y , z  
  
1
2 
3
~
   E k

e jk .r dk

x , ky , kz
(1)

Spektral açılım, e  jt zamanda harmonik bağımlılığında Maxwell denklemlerine uygulanırsa, aşağıdaki spektral
küme denklemleri elde edilir:
 
 
~
~
~
~
~
~
  
  
L Ex   z
k x k z E z    z   k y H z  etki x ; L E y   z
k y k z E z    z   k x H z  etki  y (2)






~
~
z  
L Ez  
(3)
k z k z E z  etki z
  
 
Bu denklemlerde geçen L operatörü ve etkiler aşağıdaki gibi tanımlanır:
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ

~
~
~
~
1
 k x ki J x  k y ki J y  k z ki J z
L   2   k x2  k y2  k z2 ; etki i   jJ i 
j

(4)
~
H z 'nin sağladığı spektral denklem de aşağıdaki gibidir:
  2  ~
 2
~
~
   z   k x2  k y2  k z2  z
k z  H z   jk x J y  jk y J x



(5)
3. Alanlar Arası İlişkiler
Alanlar arası ilişkiler, z yönlü ve x yönlü noktasal kaynaklar için verilecektir. İlişkiler, 3 boyutlu spektral temsil
integralleri, residue integrasyonu ile iki boyuta indirildikten sonra elde edilir. z yönlü noktasal kaynak için
aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
E iuni x, y, z  
 

z
z
E iizo  z x,
y, z 




 

i  x, y  ; E z x, y, z   E z
uni
izo
 z

z

x,
y, z 
 




(6)
x yönlü noktasal kaynak için, aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

E xuni  I 1  I 2  I 3  I 4  I 5  I 6   z
 
 

z

y, z 
 E xizo  z x,




 

(7)
Denklem (7)'deki integraller aşağıdaki gibidir:
 
e jkr   
e
I 1  j
  2 
4r  8 


jk z1 z
 
 
  jk z z jk .r

e 3 e t t 
  
dk t ; I 2    2 
dk t
k z3
 8 
e jkt .rt

k z1
 
 
k x2
k x2
1 jk z1 z jkt .rt 
1 jk z3 z jkt .rt 
  
  
I3   2 
e
e
d
k
I


e
e
dk t
;


t
4
 8  k x2  k y2 k z1
 8 2  k x2  k y2 k z3


 
 
k y2
k y2
1 jk z1 z jkt .rt 
1 jk z5 z jkt .rt 
  
  
I5   2 
e
e
d
k
I


e
e
dk t
;


t
6
 8  k x2  k y2 k z1
 8 2  k x2  k y2 k z5


(8)
(9)
(10)
Bu integraller arasında da aşağıdaki ilişkiler vardır:

I 2 x, y, z    z
 

z
   z

x,
y, z  ; I 4 x, y, z    z
 I 1




 
 

 
I 6 x, y, z     z
 

z
   z
x,
y, z 
 I 3


  

(11)

z
   z
 I 5
x,
y, z 


  

(12)
k z1 , k z3 ve k z5 tanımları şöyledir:
k z1   2   k x2  k y2 ; k z3   2  



 2
 2
k x  k y2 ; k z5   2  
k x  k y2
z
z

I 3 , I 4 , I 5 ve I 6 integralleri kapalı formda hesaplanabilir [4]. Ama bu çalışmada EKDY ile hesaplanırlar.
x yönlü noktasal kaynak için
 

z
 
E yuni  I 1  I 2   z  E yizo  z x,
y, z 
 


  


Denklem (14)'teki integraller aşağıdaki gibidir:
(13)
(14)
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
 
 
k x k y 1 jk z z jk .r 
k x k y 1 jk z z jk .r 
  
  
3
t t
;
I1    2 
e
e
d
k
I

e 5 e t t dk t


t
2
 8  k x2  k y2 k z3
 8 2  k x2  k y2 k z5


(15)
Denklem (15)'teki integraller arasında aşağıdaki ilişki geçerlidir:

I 2 x, y, z    1 z
 
 

  z
   z
 I 1
  
z

x,
z



y, z 

z

(16)
I 1 ve I 2 integralleri kapalı formda hesaplanabilir [4]. Ama bu çalışmada EKDY ile hesaplanırlar.
x yönlü noktasal kaynak için aşağıdaki ilişki geçerlidir:
E zuni x, y, z  
 

z
z
E zizo  z x,
y, z 
 





(17)
4. EKDY Hesaplama Sonuçları
EKDY hesaplamaları için integrallerin Sommerfeld formları elde edilir. İlişkilerden elde edilen alan sonuçları,
[1]'den elde edilen sonuçlarla karşılaştırılıp alanların büyüklüklerindeki yüzde hata hesaplanmıştır. Yüzde
hatanın, alan noktasının  koordinatına ve  koordinatına göre değişimi sırasıyla Şekil 1 ve Şekil 2'de
gösterilmiştir. Bu sonuçlarda, frekans 1GHz,  r  1 ,  rz  2 ve  r  1 ,  rz  3 şeklindedir. 'ye göre yapılan
hesaplamalarda R=1m, 'ya göre yapılan hesaplamalarda R=5m alınmıştır.
Şekil 1. İlişkilerdeki % hatanın 'ye göre değişimi.
Şekil 2. İlişkilerdeki % hatanın 'ya göre değişimi.
5. Sonuç
Spektral açılım yöntemiyle elde edilen basit ilişkilerin doğruluğu ilgili Sommerfeld integrallerinin EKDY ile
hesaplanmasıyla gösterildi.
Kaynaklar
[1]. Weiglhofer W. S., “Dyadic Green's functions for general uniaxial media,” IEE Proceedings, Vol.137, No.1,
February 1990.
[2]. Sen S. G., “Simple relations between a uniaxial medium and an isotropic medium”, PIER B, Vol.60, 79-93,
2014.
[3]. Chew W. C., Waves and Fields in Inhomogeneous Media, IEEE Press, New York, 1995.
[4]. Chen H. C., Theory of Electromagnetic Waves, McGraw-Hill, New York, 1983.
Download

Saffet Gökçen Şen