O REZONANČNÝCH OBVODOCH
Impedancia Z respektíve admitancia Y ľubovolne zložitého dvojpólu (ako komplexné číslo) má dve
zložky z ktorých každá nejakým spôsobom závisí od (uhlovej) frekvencie 
Z( )  R( )  jX ( )
Y ( )  G ( )  jB( )
i(t)
hovoríme, že dvojpól je v rezonancii pri frekvcencii    R ak
X ( R )  0 , respektíve ak B ( R )  0 , takže
Z( R )  R ( R )
u(t)
Y ( R )  G ( R )
impedancia, respektíve admitancia, dvojpólu sú pri fekvencii
   R reálne čísla. Inými slovami, fázor napätia U a fázor prúdu
J sú v tomto stave dvojpólu vo fáze. Do rezonancie sa môže
dostať len taký obvod, ktorý obsahuje aj prvky L aj prvky C, teda
1
j

obvod v ktorom sa môžu reaktančné zložky j L a
jC C
navzájom kompenzovať. Uvažujme spočiatku len o kombinácii L a C prvkov, bez prítomnosti
rezistorov R. Neskôr do úvahy zahrnieme aj rezistory, pretože bez nich by bol každý model
rezonančného obvodu priveľmi idealizovaný. Zistíme napríklad že v reálnom obvode (pri meniacej sa
frekvencii) nemusí k rezonancii dôjsť za každých okolností, pokým v ideálnom áno.
(1) Sériové zapojenie – vyjadríme impedanciu dvojpólu
L
i(t)
C
1
1
) a pri    R zrejme Z( R )  0 , lebo
 j ( L 
jC
C
1
)0.
podľa definície (R L 
RC
Z( )  j L 
u(t)
L
i(t)
u(t)
C
(2) Paralelné zapojenie – vyjadríme admitanciu dvojpólu
1
1
) a pri    R zrejme Y ( R )  0 , lebo
Y ( )  jC 
 j (C 
j L
L
podľa definície (R C 
1
R L
)  0 . V oboch prípadoch dôjde k rezonancii
1
L
L
 T (Thompsonov vzorec). Označme: R0  T L 
, bude:

C
LC
LC
C
C
1
. Veličina R0 sa nazýva charakteristický odpor – je to len číslo (veličina
T C 


L R0
LC

s rozmerom  v obvode taký prvok nie je! Použime bezrozmernú premennú x 
, potom
T

1
1
impedancia pri sériovej LC kombináci bude: ZS ( )  j
 jR0 ( x  )  ZS ( x) a
T L 

T
x
 C
j
T T
admitancia,
resp. príslušná impedancia pri paralelnej LC
kombinácii bude:

1
j
1
x
,
vyjadríme
ich
Y P ( )  j

 C
( x  )  Y P ( x) ,
ZP ( x )  jR0
2

T T
R
x
x
1

0
 L
j
T T
Z
Z
1
x
v normovanom tvare: S  j ( x  ) , a P  j
, opäť ako bezrozmerné veličiny.
R0
R0
x
1  x2
pri frekvencii R 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Závislosť absolútnej hodnoty impedancie pri
sériovom | ZS | a pri paralelnom | ZP | zapojení na
normovanej frekvencii (x =  / T ) je na obrázku.
Fáza impedancie sa pri   T mení skokom, v
prípade sériového spojenia z hodnoty /2 na +/2,
v prípade paralelného spojenia z hodnoty +/2 na
/2. V stave rezonancie je v oboch prípadoch
nulová.
| ZP | / R0
| ZS | / R 0
1
2
3
4
5
6
x / T
/2
0
/2
1
2
3
4
5
6
x /T
V istom zmysle je výhodné zaviesť novú premennú
1
tzv. pomerné rozladenie   ( x  ) potom sú záx
Z
Y
1
,
vislosti S  j a P  j , kde zjavne G0 
R0
G0
R0
ZP ( )
j

resp.
ako funkcie premennej 
R0

súmerné, pozri obrázok dole. V stave rezonancie je 
= 0, pri frekvencii menšej ako rezonančná je  < 0,
pokým nad rezonančnou frekvenciou je  > 0.
Poučné je sledovať v rezonančnom obvode energiu. Vzhľadom na to, že na rezistoroch sa energia vždy
mení na teplo (straty) - bilancia z hľadiska zachovania
| ZP | / R0
elektrickej energie je zaujímavá len na L a C prvkoch.
Nezávisle na ich sériovom, či paralelnom zapojení je
okamihová energia akumulovaná v kapacitore resp.
1
1
induktore: EC (t )  CuC (t )2 , resp. EL (t )  Li(t )2 .
| ZS | / R0
2
2
Pri sériovom zapojení LC je rovnaký prúd
du (t )
iL (t )  iC (t )  C C . Keď je napätie na kondendt
zátore
harmonické
môžeme zvoliť:
-5
0
5

duC (t )
uC (t )  U C sin(t ) , potom
 U C cos(t )
dt
a v ľubovoľnom okamihu je v stave rezonancie (t.j. pri   T ) celková energia E (t )  EC (t )  EL (t )
1
konštantná, keďže okamihová hodnota energie v kapacitore EC (t )  CU C2 sin 2 (T t ) pokým
2
1
1
1 2
1
U C cos 2 (T t )  CU C2 cos 2 (T t ) , takže
v induktore EL (t )  LC 2T 2U C2 cos 2 (T t )  LC 2
LC
2
2
2
1
E (t )  CU C2 . Podobný výsledok dostaneme pri paralelnom zapojení LC kedy sú rovnaké napätia
2
di (t )
uC (t )  u L (t )  L L . Keď je prúd cez induktor harmonický, môžeme zvoliť iL (t )  I L cos( t ) ,
dt
diL (t )
1
potom
  I L sin(t ) , a celková energia pri   T bude (presvedčte sa): E (t )  LI L2 .
dt
2
1 2 1
Pri oboch typoch zapojenia LC je zrejme LI L  CU C2 , lebo v čase keď je minimálna (nulová)
2
2
2
energia uchovaná v kapacitore ( sin (t )  0 ) je maximálne hodnota energie práve na induktore (
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cos 2 (t )  1 ) a vice-versa. Ich súčet ostáva v každom okamihu konštantný.
Model reálnej cievky, model reálneho kondenzátora
Obvodový model cievky resp. kondenzátora by mal obsahovať prinajmenšom jeden rezistor (pozri
obrázok vľavo) ktorý reprezentuje straty v reálnom prvku. Za predpokladu linearity (aby bolo použitie
komplexného počtu oprávnené) je komplexný výkon S, činný (wattový) výkon P a jalový (reaktívny)
výkon Q modelu reálnej cievky resp. modelu reálneho kondenzátora daný takto:
RL
L
SL =
C
SC =
GC
Tu sme využili
UJ * ZJJ * ZI 2
=
=
 ( RL  j L) I ef2 ,
2
2
2
2
PL = RL I ef , QL =  LI ef2
UJ * U( YU) * Y * U 2
=
=
 (GC  jC )U ef2 ,
2
2
2
PC = GCU ef2 , QC =  CU ef2 .
U ef2
2
2
U 
 I 
2
=
 a I ef = 
 keďže U resp. I , sú v použitej
 2
 2
symbolike maximálne hodnoty (amplitúdy).
Ako vhodný parameter charakterizujúci “kvalitu” prvku možno vybrať podiel: absolutná hodnota
jalového výkonu / činný výkon. Ideálny prvok bude mať takto “kvalitu” nekonečne veľkú. Kvalita
reálneho bude tým menšia, čím väčšie sú v ňom straty (energia premenená na teplo). Parametre
charakterizujúce kvalitu cievky resp. kondenzátora podľa uvedenej definície
Q
Q
L
C
, resp. qC  C 
. Pretože v komplexnej
sú teda: qL  L 
+j
S
PL
RL
PC
GC
rovine je názorná predstava odklonu komplexného výkonu S od imaginárnej

osi (v prípade ideálnych prvkov by bol komplexný výkon S rýdzo|Q|
imaginárny) často sa kvalita cievky alebo kondenzátora charakterizuje tzv.
S
P
R
1
pre ktorý platí: tg L  L  L 
, resp.
stratovým uhlom ,
QL  L qL
PC
G
1
 C 
, pozri obrázok. Mohlo by sa zdať, že čím je vyššia
QC C qC
frekvencia, tým je takto definovaná kvalita väčšia a stratový uhol menší. To
by platilo len za predpokladu že RL alebo GC, sú frekvenčne nezávislé konštanty alebo že sa
s frekvenciou len málo menia (čo nebýva vždy dostatočne dobre splnené).
Ďalej si treba uvedomiť aj toto. Vezmime ako príklad reálnu cievku (prípad kondenzátora
ponecháme na čitateľa) – ak sa táto cievka vyznačuje stratami (pri prechode
RS
LS
prúdu sa ohrieva) – model ktorý to zohľadňuje môže byť ľubovoľná
z kombinácii na obrázku vľavo – nemusí to byť teda výlučne sériový model
o ktorom sa diskutovalo vyššie. Je zrejmé, že prevodné vzťahy dostaneme
z podmienky aby impedancia oboch modelov (sériového a paralelného) bola
LP
rovnaká:
P
RP
+
tg C 
RS  j LS 
RP ( LP )2
RP2  ( LP ) 2
RP j LP
R j LP RP  j LP
jR   LP
 P
  LP RP 2 P

RP  j LP RP  j LP RP  j LP
RP  ( LP )2
j
 LP RP2
qP2
L
 LP

R
 j P 2 , tu: qP 
P
2
2
2
RP
RP  ( LP )
1  qP
1  qP
porovnaním reálnych a imaginárnych častí: RS  RP
qP2
1  qP2
a j LS  j
LP
1  qP2
 LS 
LP
1  qP2
.
Reálny paralelný a sériový rezonančný obvod
L
L
RL
RL
C
C
GC
GC
Použijeme termín reálny sériový RSRO resp.
reálny paralelný RPRO rezonančný obvod, aby sme
zdôraznili, že v náhradnej schéme sú započítané
(prostredníctvom RL resp. GC) aj straty v reálnej cievke
aj straty v reálnom kondenzátore. Prax ukazuje, že
pokým pri kvalitných kondenzátoroch možno dosť
dobre pripustiť GC  0, predpoklad RL  0, nebýva
dostatočne dobre splnený. Oba rezonančné obvody sú
duálne v tomto zmysle:
1
Impedancia RSRO: Z  RL  j L 
GC  jC
1
,
RL  j L
ZY
a teda má zmysel pomocná schéma RL  GC , podľa
Admitancia RPRO: Y  GC  jC 
RSRO
RPRO
LC
ktorej môžeme riešenie RPRO odvodiť z riešenia RSRO alebo opačne.
RSRO – reálny sériový rezonančný obvod
Pri rezonančnej frekvencii    R má byť imaginárna časť výrazu pre impedanciu nulová:
Z( )  RL  j L 


G  jC
GC
1
C

 RL  j L  2C




R
j
L


L

GC  j C
GC   2C 2
GC2   2C 2
GC2   2C 2 



0
v stave rezonancie potom je Z( R )  RL 
GC
GC2   2C 2
alebo ak použijeme prv zavedené označenia: T 
a z podmienky rezonancie: R 
1 GC2

,
LC C 2
1
L
R
a R0 
,  R  T 1  ( 0 ) 2 , kde
C
RC
LC
1
. Aby nastala rezonancia, musí byť R0  RC , lebo pri R0  RC nepredstavuje výraz pre R
GC
kladné číslo, a teda rezonančná frekvencia neexistuje. Toto sa v praxi môže stať, ak má kondenzátor
malý izolačný odpor RC . Pri kvalitných kondenzátoroch sa nedopustíme chyby, ak budeme
predpokladať že RC   , resp. že GC  0 . Za tejto podmienky  R  T , Z(T )  RL a z výrazov
vyššie pomerne ľahko stanovíme pomer impedancie pri danej frekvencii () k impedancii pri
rezonančnej frekvencii (T) – tzv. normovanú impedanciu




 L
T
1 
  T L
Z( )
  1  jQ  x  1   Z( x)
 1  j 
 2
 2
  1  j
S



R

RL
R
x  RL


T
2 
 L  RL C 
 L

R
C
L T 

T2


T L

keď sme označili ako aj predtým x 
, a výraz QS 
definuje kvalitu sériového rezonančného
T
RL
RC 
obvodu (je totožná s kvalitou cievky pri frekvencii T 
takto:
1
). Posledný výraz môžeme zapísať aj
LC
Z(x)/RL
2
Z( x )
1
1


 1  QS2  x    arctan QS  x  
RL
x
x


100
80
kde zreteľne vidieť amplitúdovú aj fázovú
frekvenčnú závislosť. Obe sú vynesené pre
niekoľko hodnôt parametra QS na obrázku vľavo.
Porovnajte s ideálnym SRO na začiatku kapitoly.
60
40
Q = 10
RPRO – reálny paralelný rezonančný obvod
5
20
2
Presvedčte sa, že priamo podľa vyššie
uvedenej schémy (dualita) pre RPRO dostávame
R
“správny” vzorec
 R  T 1  ( L ) 2 , s
R0
1
0
90°
podmienkou rezonancie RL  R0 . Upravíme:
0
-90°
0
1
2
3
R0
 L
L/C
L
L



 T  QS
RL
RL
RL
RL C RL LC
5
x = / T
Po dosadení a po úprave vyššie uvedených
1
výrazov dostaneme pre rezonančnú frekvenciu RPRO vyjadrenie. R  T 1  2 , čo sme mohli
QS
odvodiť aj priamo z podmienky aby admitancia RPRO bola nulová (skúste to!).
Dôležité je uvedomiť si opäť, že pri RL  R0 , čo je to isté ako QS  1 nebude R podľa vyššie
uvedeného vzťahu kladné reálne číslo - a teda, k rezonancii nedôjde!
Vyjadrime v nakoniec frekvenčnú závislosť impedancie. Pre jednoduchosť budeme predpokladať,
GC  0, (kvalitný kondenzátor). V takomto prípade je admitancia:


R  j L
R
L
1
Y  jC 
 jC  2L
 2 L 2 2  j  C  2
.
2
2
2
2

RL  j L
RL   L
RL   L
RL   L 

Podmienka rezonancie je daná výrazom uvedeným vyššie, a keď teraz zavedieme analogicky
 L
predchádzajúcemu prípadu pre kvalitu parameter: Q  R
- je to kvalita cievky pri rezonančnej
RL
frekvencii qL
R

QL
PL

R L
RL
stave rezonancie bude: Y R 
(uvedomte si že predtým sme používali QS 
RL
RL2
  R2 L2

1
2
RL (1  Q )
T L
RL
, a že T   R ) v
resp. ZR  RL (1  Q2 ) .
Teraz môžeme (je to dlhšia úprava) vyjadriť pomer admitancie pri danej frekvencii k admitancii v

1  Q2
1  Q2 

Y ( )
jsQ
1



stave rezonancie aj takto:
, takže nakoniec - ak

 , kde s 
2
2
2
2

Y (R ) 1  s Q
R
 1 s Q 
potrebujeme vyjadriť aj podiel impedancii, bude:
Z( )
1  s 2Q 2
1  s 2Q 2
sQ3 (1  s 2 ) Z( s )



arctan

ZR
ZR
1  Q 2  jsQ3 (1  s 2 )
1  Q2
(1  Q 2 ) 2  s 2Q 6 (1  s 2 )2
.
Posledná závislosť – normovaná impedancia
Z( s )

ako funkcia normovanej frekencie s 
ZR
R
,
je vynesená pre niekoľko hodnôt parametra Q na obrázku dole - a to ako amplitúdová, tak aj fázová
frekvenčná závislosť v ľavej časti obrázku. Vpravo je priebeh normovaný na hodnotu RL, ako vidieť,
čím väčšia je kvalita, tým je rezonančná krivka vyššia a užšia. Opäť porovnajte s ideálnym PRO
z úvodu kapitoly.
Z(s)/ZR
1000
Z(s)/RL
800
1
Q = 100
Q=1
600
2
400
5
200
10
100
0
90°
10
0
0
1
2
3
s = /R 5
0
-90°
0
1
2
3
s = /R 5
Môže byť zaujímavé zistenie, že v prípade RPRO nie je impedancia maximálna pri rezonancii, ale pri
o málo vyššej frekvencii. Čím je ale väčšie Q, tým viac sa tá frekvencia kde impedancia dosahuje
maximum blíži k rezonančnej frekvencii. Keďže v praxi býva (spravidla) Q >> 1, na tento rozdiel sa
obyčajne neprihliada. Nakoniec ešte uvádzame charakteristiky diskutovaných rezonančných obvodov
1
v komplexnej rovine. Vľavo je normovaná admitancia RSRO: Y ( ) RL 
vpravo
1  jQS 
,
R 2 1
1

normovaná admitancia RPRO: Y ( s) RL  js( )
Okrem toho, že ich možno odvodiť
T Q 1  jsQ
.
priamo z amplitúdových a fázových frekvenčných závislosti, dajú sa konštruovať aj pomocou tzv.
konformného zobrazenia (pozri inde).
amplitúda
8
=
=0
+j
Y()RL
fáza
 >
>0
Y( )RL
x >1
 <  
<0
=
8
+j
 = 
=0
 = R
s =1
 >R
s >1
x =1
+
=0
fáza
+
x<1

amplitúda
 < R
s <1

Download

Rezonancia