II. METODOLÓGIA MERANIA
Meranie ako zdroj informácií zasahuje takmer do všetkých oblastí ľudskej činnosti.
Účelom merania je získať poznatky o určitej veličine, prípadne nájsť vzťah medzi viacerými
veličinami, ktorými sú charakterizované vlastnosti objektu, resp. procesu. Všeobecne možno
povedať, že merania plnia dve základné funkcie:
• Poznávacia (monitorovacia) – hlavným cieľom merania je získať informácie
o pozorovaných, príp. neznámych vlastnostiach objektov a dejov.
• Kontrolná – diagnostické merania, ktorých úlohou je priebežne alebo periodicky
sledovať vybrané parametre, za účelom predísť poruchám alebo haváriám.
II.1. Klasifikácia meraní
9
9
9
9
9
9
9
9
9
Merania môžeme rozdeliť podľa účelu a druhu.
Podľa účelu je možné merania rozdeliť na:
Meranie výskumné – účelom je overiť alebo potvrdiť vypracované teórie.
Meranie vývojové – slúži k overeniu funkcie vznikajúcich zariadení alebo
technológií, k získaniu výpočtových podkladov, k overeniu predpokladov.
Meranie prevádzkové – slúžia ku kontrole a zabezpečeniu hospodárneho
a bezporuchového priebehu technologického procesu.
Meranie kontrolné – účelom je preukázať, či zariadenie dosahuje parametre zaručené
výrobcom.
Podľa druhu je možné merania rozdeliť na:
Merania tepelno – technické, napr. teplota, tlak, množstvo.
Meranie geometrických veličín, napr. rozmerov, tolerancií.
Merania mechanických veličín, napr. deformácie, pohybu, hluku.
Skúšanie materiálov, napr. zisťovanie mechanických vlastností, zloženie.
Meranie vybraných látkových veličín, napr. plynov, roztokov.
II.2. Rozdelenie meracích metód
Metóda merania je daná voľbou prístrojov a postupu merania. Meracou metódou sa
rozumie spôsob, akým sa určuje kvantita meranej veličiny.
Meracie metódy sa delia:
•
podľa spôsobu určovania meranej veličiny na:
- priamu meraciu metódu - pri ktorej sa hodnota meranej veličiny získa priamo
bez merania ďalších veličín funkčne viazaných s veličinou meranou (napr.
stanovenie hmotnosti na mechanických váhach, meranie dĺžky čiarkovými
mierami, meranie teploty dilatačnými teplomermi a pod),
- nepriamu meraciu metódu - pri ktorej sa hodnota meranej veličiny získa
meraním iných veličín funkčne viazaných s meranou veličinou. Príkladom
nepriamej metódy je meranie hustoty plynu, kvapaliny alebo tuhej látky, keď
táto je vyjadrená podielom hmotnosti a objemu.
•
podľa spôsobu merania na:
- absolútnu (definičnú) meraciu metódu - meracia metóda založená na meraní
veličín obsiahnutých v definícii meranej veličiny. Meranú veličinu určíme
priamo, napr. odčítaním teploty na teplomere.
- porovnávaciu meraciu metódu - meracia metóda, pri ktorej sa porovnáva
hodnota meranej veličiny so známou hodnotou veličiny rovnakého druhu alebo
veličiny iného druhu, ktorá je transformovateľná na druh meranej veličiny.
Podľa techniky merania sa ďalej delia na:
ƒ priamu porovnávaciu metódu - pri ktorej sa meraná veličina priamo
porovnáva so známou hodnotou veličiny rovnakého druhu, napr.
meranie rozmerov čiarkovými mierami, meranie hmotnosti na
rovnomerných váhach a pod.,
ƒ nepriama porovnávacia metóda - pri ktorej sa porovnávajú známe
hodnoty inej veličiny viazanej s meranou veličinou známym funkčným
vzťahom, napr. meranie tlaku deformačným tlakomerom, meranie
teploty dilatačným teplomerom a pod.,
ƒ substitučná metóda - pri ktorej sa meraná veličina nahrádza veličinou
rovnakého druhu a známej hodnoty, ktorá sa vyhľadá tak, aby údaje
vyvolané na indikačnom zariadení boli rovnaké. Meraná veličina sa
zrovnáva so známou veličinou toho istého druhu (etalónom), ktorého
hodnotu presne poznáme, napr. sada závaží,
ƒ kompenzačná metóda - pri ktorej účinok veličiny neznámej hodnoty
zrušíme účinkom rovnakej veličiny, ktorej hodnotu poznáme. Používa
sa pri meraní veličín, ktoré môžu nadobudnúť kladných a záporných
hodnôt. Meranú veličinu kompenzujeme (vyrovnávame) veličinou
rovnako veľkou opačného znamienka, napr. váženie na pákových
váhach, meranie elektrického odporu kompenzátorom a pod.,
ƒ nulová metóda - pri ktorej sa hodnota meranej veličiny stanoví na
základe rovnováhy nastavenej jednou alebo niekoľkými veličinami
známych hodnôt, pričom vzťah s meranou veličinou pri rovnováhe je
známy. Je zvláštnym prípadom kompenzačnej metódy. Hodnota
veličiny sa neurčuje priamo z výchylky meracieho prístroja, ale mení sa
určitá veličina tak, aby sa merací prístroj ustálil na nulovej polohe napr.
váženie na analytických, decimálnych a mostových váhach, meranie
elektrického odporu pomocou mostíka a pod., Výhodou je, že nezáleží
na presnosti stupnice.
-metóda interpolačná – ak sa nepodarí dosiahnuť nulovej výchylky pri nulovej metóde
alebo pri substitučnej metóde sa nepodarí vybrať zo sady odpovedajúce veličiny, volia sa dve
veličiny x1 a x2, ktorým prislúchajú dve výchylky y1 a y2 po rôznych stranách výchylky y
zistené pre meranú veličinu. Použitím lineárnej interpolácie, pri malom rozmedzí výchyliek,
určí sa hodnota meranej veličiny podľa vzťahu:
x = x1 +
•
y − y1
(x2 – x1)
y 2 − y1
podľa časovej zmeny na:
- meranie statické – merané veličiny a podmienky merania sa s časom nemenia
- meranie dynamické – merané veličiny sa s časom menia.
Mnohé merania vyžadujú odčítanie polohy ukazovateľa na stupnici. Pri odčítaní je
potrebné dbať na predpísaný smer spojnice oka a ukazovateľa, aby nedochádzalo
k paralaktickej chybe.
II.3. Klasifikácia meracích prístrojov
Klasifikácia meracích prístrojov je pomerne rozsiahla a dá sa vykonať podľa
rozličných kritérií.
a) podľa určenia:
ƒ pracovné, určené na stanovenie hodnôt meraných veličín vo výrobe, laboratóriách,
výskume atď.,
ƒ
etalóny sú zhmotnené miery, meracie prístroje alebo meracie systémy určené na
realizovanie, uchovávanie a reprodukovanie jednotky, jednej alebo viacerých hodnôt
veličín (napr. etalón hmotnosti 1 kg)
b) podľa druhu meraných veličín:
ƒ neelektrické
ƒ elektrické
c) podľa formy údaja:
ƒ ukazovacie (indikačné) - napr. ručičkový voltmeter, mikrometer,
ƒ zapisovacie (registračné) - napr. zapisovací spektrometer, barograf.
d) Podľa charakteru údaja:
ƒ analógové - informačný parameter vo vopred udaných hraniciach môže prijať
ľubovoľnú hodnotu (napr. posuvné meradlo, ukazovacie prístroje, pásový zapisovač).
ƒ číslicové (digitálne) -informačný parameter môže prijať vnútri udaných hraníc len
konečne veľa diskrétnych (digitálnych) hodnôt (napr. počítadlá, číslicový merač
frekvencie, číslicové meracie systémy).
Osobitnú skupinu meracích prístrojov tvoria integračné prístroje, pri ktorých sa
hodnota meranej veličiny stanovuje integráciou (napr. lopatkový anemometer, elektromer,
vodomer)
e) podľa styku s meraným prostredím
ƒ dotykové - prichádzajú do priameho styku s meraným prostredím,
ƒ bezdotykové - neprichádzajú do priameho styku s meraným prostredím.
f) Podľa toho ako je veličina meraná:
ƒ priame
ƒ nepriame
g) podľa druhu meranej veličiny pričom v tejto väzbe dostávajú aj osobitné názvy:
ƒ názov prístroja pozostáva z názvu veličiny a prípony „meter“ – barometer,
viskozimeter, tachometer atď.
ƒ názov prístroja pozostáva z názvu jednotky a prípony „meter“ – voltmeter, luxmeter,
ƒ názov pozostáva z názvu veličiny a prípony „mer“ – tlakomer, silomer, hustomer (ale
teplomer by mal byť prístroj na meranie tepla a zatiaľ je to prístroj na meranie teploty)
ƒ
ƒ
názov pozostáva z názvu meraného prostredia a prípony „mer“ – plynomer, vodomer,
elektromer ( ale muštomer by mal byť merač pretečeného množstva muštu a zatiaľ je
to názov na meranie obsahu cukru v mušte),
osobitný názov súvisiaci s princípom funkcie prístroja – váhy, stopky.
Všeobecne merací prístroj predstavuje zariadenie, v ktorom sa uskutočňuje mnoho
účelných prenosov a prevodov meracích signálov ako nositeľov informácie o hodnote
meranej veličiny až po údaj, ktorý predstavuje veličinu vnímateľnú pozorovateľom.
Každý merací prístroj musí mať celý rad kvalitatívnych vlastností, ako sú odolnosť
voči otrasom, vibráciám, odolnosť voči škodlivým vplyvom prostredia, ako sú prašnosť,
chemická agresia, vlhkosť, zmena teploty. Meracie prístroje majú byť ľahko montovateľné
i demontovateľné, musia sa dať jednoducho nastavovať (justovať) a jednoducho udržiavať.
Nemenej dôležitá je aj hmotnosť a objem prístroja, ich povrchová úprava a ich hlučnosť.
II.4. Vlastnosti meracích prístrojov
Každý merací prístroj musí vykazovať určité vlastnosti, aby pracoval s minimálnou
chybou a jeho údaj sa čo najviac približoval skutočnej hodnote meranej veličiny.
Bezporuchová činnosť a dostatočná životnosť snímačov je predpokladom dobrého merania.
Správanie sa meracieho prístroja, ako aj ktoréhokoľvek člena regulačného obvodu
môžeme sledovať v ustálenom stave, čomu zodpovedajú statické vlastnosti, alebo pri
prechode z jedného ustáleného stavu do druhého, t.j. v priebehu prechodového deja a tomu
zodpovedajú dynamické vlastnosti.
II.4.1. Statické vlastnosti meracích prístrojov
Statické vlastnosti meracích prístrojov sú charakterizované statickými charaktristikami
a parametrami v ustálenom stave. Zo statických vlastností sú najdôležitejšie: statická
charakteristika, citlivosť, presnosť, rozsah a spoľahlivosť.
II.4.1.1. Statická charakteristika
Statická charakteristika (charakteristika prístroja) udáva závislosť výstupnej veličiny
(signálu) od vstupnej veličiny (signálu) meracieho prístroja alebo meracieho reťazca v
ustálenom stave. Matematicky ju možno vyjadriť rovnicou y = f(x). Statická charakteristika
môže byť všeobecne lineárna ( y = k.x ) alebo nelineárna (napr. kvadratická y = k.x2,
logaritmická y =k. ln x a pod.), obr. II.1.
y
y = k . x2
y=k.x
x
Obr. II.1. Statická charakteristika
V praxi merací systém pozostáva z viacerých členov zapojených v meracom reťazci, a
preto treba určiť výslednú statickú charakteristiku celého meracieho systému. Výsledná
statická charakteristika závisí od vzájomného usporiadania jednotlivých členov meracieho
systému. Podľa zapojenia a usporiadania meracích členov sa v praxi používajú meracie
systémy:
9 so sériovo radenými členmi
9 s paralelne radenými členmi
9 so spätnoväzbovým zapojením
Sériové radenie prístrojov pre dva meracie členy je uvedené na obr.2, kde x je vstupná
veličina prvého člena (meracieho prístroja 1), x1 je výstupná a súčasne vstupná veličina
druhého člena (meracieho prístroja 2) a y je výstupná veličina druhého člena (meracieho
prístroja 2) a celého systému.
vstup x
merací prístroj 1
x1
merací prístroj 2
výstup y
Obr. II.2. Sériové radenie prístrojov
Za predpokladu, že ide o prípad s lineárnymi charakteristikami potom:
x1 = f1(x)
y = f2(x1)
x1 = k1 . x
y = k2 . x1
výsledná statická charakteristika systému bude:
y = f2 [f1(x)]
y = k1 . k2 . x = k . x
kde: k = k1 . k2
Výsledná konštanta meracieho systému pri lineárnych závislostiach je daná súčinom
konštánt jednotlivých členov (meracích prístrojov).
Ak merací systém tvoria dva snímače (meracie prístroje), ktoré sú zapojené paralelne,
obr.3 vzniká merací systém s paralelne radenými člemni. y1 a y2 sú výstupné veličiny
z jednotlivých snímačov a y je výsledná výstupná veličina.
merací prístroj 1
y1
vstup x
výstup y
merací prístroj 2
y2
Obr. II.3. Paralelné radenie prístrojov
Ak tieto zariadenia majú lineárne statické charakteristiky, potom charakteristiky
jednotlivých snímačov môžeme vyjadriť rovnicami:
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)
t.j. y1 = k1 . x
t.j. y2 = k2 . x
y = y1 + y2 = f1(x) + f2(x) = (k1+k2) . x = k . x
kde: k = k1 + k2
Výsledná charakteristika meracieho systému sa rovná súčtu jednotlivých konštánt
Merací systém s členmi v spätnoväzbovom zapojení, obr.4. sa používa vtedy, keď
chceme zväčšiť stabilitu prvkov v priamej vetve obvodu.
x1
vstup x
merací prístroj 1
Výstup y
x2
merací prístroj 2
Obr. II.4. Spätnoväzbové radenie prístrojov
Statické charakteristiky jednotlivých členov sú:
y = f1(x1)
x2 = f2(y)
pre lineárnu závislosť
pre lineárnu závislosť
Hodnota x2 môže mať znamienko
spätnoväzbovú veličinu.
y = k1 . x1
x2 = k2 . y
+ alebo
- podľa toho, v akej fáze privádzame
x1 = x ± x2
Výsledná charakteristika je:
y = f1(x1) = f1(x ± x2) = f1(x) ± f1[f2(y)]
v prípade lineárnej závislosti výsledná charakteristika je:
y = k1 . x ± k1 . k2 . y =
a výsledná konštanta k je: k =
k1
.x = k . x
1 ± k1 .k 2
k1
1 ± k1 .k 2
Ak prístroje v meranom reťazci majú nelineárne charakteristiky, potom výsledná
charakteristika sa určí z reťazca funkčných závislostí veličín.
II.4.1.2. Citlivosť meracieho prístroja
Citlivosť meracieho prístroja je schopnosť reagovať na zmenu meranej veličiny
a definuje sa ako pomer zmeny výstupnej veličiny ∆y ku zmene hodnoty vstupnej (meranej)
veličiny C. pre malé zmeny môžeme citlivosť vyjadriť:
c = lim
∆x → 0
∆y dy
=
= f (y)
∆x dx
Citlivosť meracieho systému s lineárnou statickou charakteristikou
y1 = k1 . x1
je daná vzťahom
dy1
= k1
c=
dx 1
čiže je konštantná pozdĺž celého meracieho rozsahu.
Merací systém s kvadratickou statickou charakteristikou
y2= k2 . x22
má citlivosť
dy
c = 2 = 2.k 2 .x 2
dx 2
čiže úmerná meranej veličine.
Prevrátená hodnota citlivosti sa nazýva konštanta prístroja
II.4.1.3. Presnosť
Presnosť meracieho prístroja je vlastnosť, ktorá všeobecne charakterizuje schopnosť
prístroja poskytovať údaje blízke skutočnej hodnote meranej veličiny za podmienok, ktoré
existujú v okamihu merania. Skutočná hodnota je pojem ideálny a túto pravú hodnotu
nemožno zistiť bez odchýlok, pretože nemáme k dispozícií dokonalé prístroje. Preto vždy
vzniká chyba medzi správnou hodnotou, ktorú sme mali namerať a skutočnou hodnotou, ktorú
nameriame. Rozdiel medzi údajom prístroja y a meranou veličinou (skutočnou hodnotou
meranej veličiny) ys sa nazýva chyba alebo odchýlka a je definovaná
ε = ∆y = y - ys
Táto chyba sa nazýva absolútna chyba presnosti meracieho prístroja a je
charakteristickým parametrom prístroja. Vyjadruje sa číselne v jednotkách meranej veličiny.
Presnosť prístroja charakterizuje aj relatívna chyba, ktorá je definovaná ako
εr =
y − ys
.100 [%]
ys
Presnosť merania je ovplyvňovaná okrem chyby prístroja ešte aj premennými vplyvmi
prostredia (teplota, tlak, rušivé elektrické a magnetické pole) a chybami pozorovateľa.
S presnosťou merania úzko súvisí aj tzv. trieda presnosti meracích prístrojov.
II.4.1.4. Trieda presnosti
Trieda presnosti meracieho prístroja je kvalitatívnym znakom z hľadiska chýb, a to
v celom rozsahu meracieho prístroja. Triedu presnosti určíme zo vzťahu:
T=
∆y max
y mr
.100 [%]
Je to pomer absolutnej hodnoty maximálnej chyby meracieho prístroja k najväčšej
hodnote jeho meracieho rozsahu. Trieda presnosti sa označuje kladným bezrozmerným
číslom. Prístroj zaradený do triedy presnosti napr. 1,6 zaručuje, že jeho maximálna chyba
nebude väčšia ako ±1,6% rozsahu prístroja. Bežné prevádzkové prístroje majú triedu presnosti
T = 2,5 až 1,0.
II.4.1.5. Spoľahlivosť
Spoľahlivosť meracieho prístroja je schopnosť udávať hodnotu meranej veličiny
v medziach vyžadovanej presnosti za určených podmienok. Spoľahlivosť sa určuje zo
štatistických údajov o bezporuchovom stave alebo porúch, ktoré sa zisťujú počas skúšok vo
výrobe alebo v priebehu normálnej prevádzky. Na vyjadrenie spoľahlivosti meracích
prístrojov sa používajú rozličné kritéria a to:
9 pravdepodobnosť správnej činnosti R(t)
9 pravdepodobnosť poruchy F(t)
9 hustota porúch f(t)
9 intenzita porúch λ(t)
9 stredný čas medzi poruchami T .
Poruchou meracieho prístroja rozumieme taký stav, keď jeho činnosť za stanovených
podmienok vykazuje väčšie odchýlky, ako dovoľujú prípustné medze.
Pravdepodobnosť správnej(bezporuchovej) činnosti prístroja R(t) predpokladá, že za
daný časový interval ∆t nevznikne ani jedna porucha. Dá sa vyjadriť
t / ∆t
R(t) =
N 0 − ∑ ni
i =1
N0
= 1 až 0
kde: N0 - počet prístrojov v čase t=0, t.j. na začiatku skúšky
ni - počet porúch vzniknutých v danom intervale ∆t,
∆t - interval na konci ktorého sa odpočíta počet ešte stále fungujúcich prístrojov, napr.
100 hodín.
Pravdepodobnosť vzniku poruchy F(t) udáva naopak pravdepodobnosť nesprávnej
činnosti, takže musí platiť R(t) = 1 – F(t), a teda:
t / ∆t
∑n
i =1
F(t) =
i
N0
Hustota porúch f(t) vyjadruje rýchlosť, resp. relatívnu početnosť ako vznikajú poruchy
zo začiatočného počtu N0 sledovaných prístrojov. Hustota porúch má význam pre výrobcu,
ktorého zaujíma spoľahlivosť všetkých prístrojov, ktoré vyrobil. Hustotu porúch možno
vyjadriť vzťahom:
N (t ) 1
.
∆t N 0
f(t) =
kde N(t) je počet prístrojov vyradených z prevádzky za čas ∆t.
Podľa tohto vzťahu je vlastne hustotou porúch pomer počtu pokazených prístrojov
N(t) za čas ∆t k začiatočnému počtu prístrojov N0 zaradených do skúšky.
Intenzita porúch λ(t) vyjadruje rýchlosť s akou vznikajú poruchy v súbore
sledovaných prístrojov, v ktorých nenastala ešte porucha a je daná výrazom:
λ(t) =
N (t )
N t .∆t
kde Nt je počet prístrojov pracujúcich bez porúch.
Z tohto vzťahu vyplýva, že intenzita porúch je vlastne pomer pokazených prístrojov
N(t) na čas t k počtu prístrojov Nt pracujúcich v danom čase bez porúch.
Stredná doba medzi poruchami T vyjadruje dobu bezporuchovej činnosti Ti
meracieho prístroja medzi dvoma poruchami nasledujúcimi po sebe a možno ju vyjadriť
vzťahom:
nF
T=
∑T
i =1
i
nF
kde nF je počet porúch meracieho prístroja,
II.4.1.6. Životnosť
Životnosť meracieho prístroja predstavuje čas, za ktorý je schopný vykonávať činnosť,
ktorá je mu určená za daný čas a za daných pracovných podmienok. Udáva sa stredná
životnosť :
t
Tstr. =
nF
kde: t - je celkový čas činnosti prístroja
nF – počet porúch meracieho prístroja od 0 do t
II.4.2. Dynamické vlastnosti meracích prístrojov
Pri meraní neelektrických veličín, ktorých hodnota sa s časom rýchle mení treba
poznať dynamické vlastnosti. Systém s nevhodnými dynamickými vlastnosťami nebude
merať správne, pretože jeho údaj bude napr. oneskorený za zmenou neelektrickej veličiny.
Dynamické vlastnosti sa vyšetrujú prechodovou a frekvenčnou charakteristikou.
II.4.2.1. Prechodová charakteristika
Meracie zariadenia sú reálne sústavy. Ich matematický opis predstavuje všeobecne
diferenciálna rovnica. Podľa toho akého rádu je diferenciálna rovnica, ktorou je merací
prístroj opísaný, hovoríme, že ide o sústavu so zotrvačnosťou nultého, prvého, druhého
i vyššieho rádu. Riešením diferenciálnej rovnice získame príslušnú dynamickú
charakteristiku. Ak vstupná zmena bude mať tvar jednotkovej skokovej neelektrickej veličiny
x (obr. II.5a), potom časový priebeh výstupnej veličiny y (obr. II.5b) nazývame prechodovou
charakteristikou. Časová konštanta τ udáva čas, za ktorý výstupný signál dosiahne 63,3 %
konečnej hodnoty ∆y. Časová konštanta je veľmi dôležitou veličinou pre posudzovanie
dynamických vlastností meracích prístrojov (tepelné prístroje vykazujú značné oneskorenie
údaja).
y
x
∆x
t
∆y
63,3%∆y
t
τ
a
b
Obr. II.5. Prechodová charakteristika
II.4.2.2. Frekvenčná charakteristika
Frekvenčné charakteristiky udávajú závislosť prenosu meracej sústavy od frekvencie.
Ak privedieme na vstup meracieho prístroja, ktorý je opísaný diferenciálnou rovnicou 1.rádu,
harmonicky meniaci sa signál
ω (t) = A . sinω . t
na výstupe dostaneme po ukončení prechodového deja tiež harmonicky meniaci sa výstupný
signál (obr.6),
y(t) = B . sin(ω . t + ϕ)
ktorý bude mať rovnakú uhlovú rýchlosť ako vstupný signál, ale líši sa vo veľkosti amplitúdy
a súčasne je fázovo posunutý o uhol ϕ.
ω(t)
y(t)
ω(t)
A
y(t)
B
ϕ
t
Obr. II.6. Frekvenčná charakteristika
Ak sa mení vstupná frekvencia od nuly do nekonečna a po každej zmene zmeriame
v ustálenom stave hodnotu výstupnej amplitúdy, fázové posunutie ϕ, potom pre každú
frekvenciu môžeme zakresliť jeden bod frekvenčnej charakteristiky. Grafické znázornenie
frekvenčnej charakteristiky pre merací prístroj prvého rádu opísaného diferenciálnou
rovnicou:
k x(t) = T y´(t) + y(t)
kde
x(t) je vstupná veličina
y(t) je výstupná veličina
T je časová konštanta
k je prevodová konštanta (smernica sklonu statickej charakteristiky)
v komplexnej rovine je uvedené na obr. II.7.
Re
Aω
ω=∞
ω=0
ϕ
Sω
Bω
Im
ω
S(jω)
Re - reálna os, Im - imaginárna os, Sω - amplitúda, Sjω - komplexná amplitúda,
Aω - reálna časť S(jω), Bω - imaginárna časť S(jω), ϕ - fáza
Obr. II.7. Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine
5.Vyhodnocovanie výsledkov merania
Meranie v technike má objektívnym spôsobom zisťovať kvalitatívnu a kvantitatívnu
stránku skúmaných závislostí a javov. Merania sa uskutočňujú rôznymi meracími prístrojmi,
ktorých úlohou je potlačiť' subjektívnosť pozorovateľa a umožniť aj pozorovanie takých
javov, ktoré ľudskými zmyslami nemožno postrehnúť. Súčasťou merania je určenie hodnoty
meranej veličiny ako násobku numerickej hodnoty a príslušnej jednotky (rozmeru), určenie
chýb a neistôt merania.
Veľmi dôležitý je aj vhodný spôsob interpretácie nameraných veličín, prípadne
určenie potrebných parametrov jednotlivých prvkov meracieho reťazca na základe analýzy
navrhovaného meracieho postupu tak, aby sa dosiahol požadovaný výsledok. V tejto fáze
prípravy merania možno tiež uskutočniť jeho optimalizáciu.
Pri meraní treba postupovať tak, aby sa výsledok dosiahol čo možno
najekonomickejšie, t.j. aby sa požadovaná informácia získala s vynaložením minimálnych
nákladov, prípadne aby sa pri danom stave dosiahol čo najpresnejší výsledok.
II.5.1. Klasifikácia chýb merania
Veličina, ktorej hodnotu treba meraním určiť, sa nazýva meraná veličina. Jej hodnotu
často ovplyvňujú ešte ďalšie, tzv. ovplyvňujúce veličiny, ktorých určenie nie je obyčajne
cieľom merania (majú pôvod v prostredí, v ktorom meranie prebieha, v použitých meracích
prostriedkoch a pod.). V praxi sa meranie a jeho výsledok často viažu na určité hodnoty
ovplyvňujúcich veličín, nazývaných aj referenčné hodnoty. Ich súhrn predstavuje referenčné
podmienky merania, napríklad teplota 0°C a tlak 101 325 Pa .
Výsledok merania je určitá hodnota meranej veličiny, získaná meraním. Pri
jednoduchom meraní to môže byt' priamo jeden údaj meradla. Častejšie je to výsledok
matematického spracovania viacerých údajov, získaných opakovaným meraním tej istej
hodnoty meranej veličiny. Pri nepriamom meraní (keď meranú veličinu možno určiť iba
pomocou priameho merania iných veličín) sa používa výpočet vyjadrujúci matematickú
závislosť, ktorá opisuje väzbu medzi priamo meranými veličinami a veličinou, ktorej hodnotu
treba určiť. Výsledok merania má obsahovať aj informáciu o neistote merania a referenčných
podmienkach. Ideálnym stavom pri meraní by bolo určenie skutočnej (pravej) hodnoty
meranej veličiny, t.j. takej hodnoty, ktorá dokonale charakterizuje meranú veličinu pri
podmienkach existujúcich v okamihu merania. Pretože skutočné meranie nie je v dôsledku
rozličných vplyvov dokonalý proces, skutočná hodnota meranej veličiny nie je známa (až na
malé výnimky, napr. hodnota prototypu hmotnosti 1 kg).
Z uvedeného dôvodu sa pri meraní používa pojem konvenčne pravá hodnota meranej
veličiny. Predstavuje hodnotu dostatočne blízku skutočnej hodnote meranej veličiny, ktorou
možno skutočnú (ale neznámu) hodnotu meranej veličiny na daný účel nahradit.
II.5.2. Chyby merania
ƒ
ƒ
ƒ
Podľa príčiny vzniku možno chyby pri meraní rozdeliť do troch skupín:
hrubé chyby
systematické chyby
náhodné chyby
Hrubé chyby spôsobujú, že údaje nimi zaťažené sa svojou hodnotou obyčajne značne
odlišujú od ostatných údajov. Vznikajú omylom pozorovateľa alebo chybnou funkciou
niektorého člena meracieho reťazca a podobne. Pri meraní by sa nemali vyskytovať. V
prípade zistenia výskytu hrubých chýb je najlepšie určiť ich príčinu, a ak je to možné, v
meraní do odstránenia chyby nepokračovať. Pri spracovaní výsledkov merania sa hodnoty
zaťažené hrubou chybou vyradia zo súboru nameraných hodnôt. Jednoduchým, i keď nie
práve najracionálnejším spôsobom, ktorý sa ale v praxi tiež používa, je automatické vyradenie
najvyššej a najnižšej nameranej hodnoty pri opakovanom meraní. Tento postup je ale
potrebné dôkladne uvážiť, pretože nie vždy vedie k eliminácii všetkých hrubých chýb.
Vylúčenie hrubých chýb si vyžaduje svedomitú prípravu merania z technickej i personálnej
stránky.
Systematické chyby vznikajú ako dôsledok príčin, ktoré sústavne ovplyvňujú výsledok
merania, obyčajne v jednom smere. K ovplyvňujúcim príčinám patria systematické chyby
prístrojov zapríčinené ich nedokonalosťou, systematické chyby metódy, alebo zjednodušenia
vyplývajúce zo zanedbania niektorého podružného javu, napríklad vlastnej spotreby meracieho prístroja pri meraní elektrických veličín. Systematické chyby obyčajne nemožno vylúčiť
opakovaným meraním. Možno ich vylúčiť voľbou vhodnej meracej metódy, ciachovaním
použitých meracích prístrojov, prípadne preciachovaním celej meracej trate inou, nezávislou a
presnejšou metódou.
Náhodné chyby vznikajú v dôsledku takých príčin, ktoré vopred nemožno predvídať a
preto ani vylúčiť. Pri väčšom počte opakovaných meraní sa náhodné chyby prejavia
rozptylom nameraných hodnôt okolo nejakej strednej hodnoty merania. Možno ich spracovať
metódami matematickej štatistiky.
Výsledná chyba merania predstavuje súhrn opísaných vplyvov. Pri meraní je dôležité
v maximálnej miere znížiť vplyv hrubých a systematických chýb. Potom možno chyby
merania považovať za náhodné a ako také ich možno aj spracovať.
II.5.3. Normálne rozloženie chýb
Napriek tomu, že chyby vznikajúce pri meraní majú náhodný charakter, podliehajú
určitým matematickým zákonitostiam. Ich spracovaním sa zaoberá matematická štatistika a
teória pravdepodobnosti.
Pre väčšinu praktických aplikácií je charakteristické to, že pri rastúcom počte meraní
sa počet záporných chýb blíži k počtu rovnakých kladných chýb, pričom menšie chyby sa
vyskytujú častejšie ako väčšie chyby. Takémuto charakteru sa najväčšmi približuje normálne
(Gaussovo) rozloženie funkcie hustoty pravdepodobnosti, ktoré možno analyticky vyjadriť v
tvare:
1
.e
f(x) =
σ 2π
( x − µ )2
2σ 2
kde: σ2 je rozptyl (disperzia) náhodnej premennej,
σ smerodajná neistota (stredná kvadratická neistota),
µ stredná hodnota náhodnej premennej.
Grafické znázornenie predstavuje typická zvonovitá funkcia (obr. II.8), symetrická okolo
strednej hodnoty, ktorá sa asymptoticky blíži k osi x pre hodnoty x = ∞ a x = - ∞.
Obr. II.8. Normálne rozloženie hustoty pravdepodobnosti
S rastúcou hodnotou rozptylu má krivka plochejší priebeh a rastie pravdepodobnosť
výskytu väčších chýb (obr. II.9).
Obr. II.9. Tvar distribučnej funkcie v závislosti od hodnoty rozptylu.
II.5.4. Aritmetický priemer ako výsledok merania
Pri meraní určitej veličiny možno vzhľadom na náhodnosť výsledku namerať vlastne
toľko hodnôt, koľko meraní sa uskutoční. Prakticky nemožno získať všetky možné hodnoty,
ktoré tvoria tzv. základný súbor. Ak sa vykoná iba obmedzený počet meraní tej istej veličiny,
namerané hodnoty predstavujú iba vybrané hodnoty zo základného súboru, ktoré reprezentujú
základný súbor. Takto vybrané veličiny sa nazývajú náhodný výber alebo aj výberový súbor.
Pri jeho realizácii treba zabezpečiť, aby sa členy, ktoré sa zaraďujú do náhodného výberu,
vyberali bez subjektívnych obmedzení. Presnosť, alebo istota dosiahnutých výsledkov bude
tým väčšia (neistota menšia), čím obsiahlejší bude náhodný výber.
Pri spracúvaní náhodného výberu nie je známa skutočná hodnota meranej veličiny, ani
jej konvenčne pravá hodnota. Dokonca aj pre spojitú náhodnú veličinu máme iba konečný
počet hodnôt. Za správnu hodnotu meranej veličiny sa považuje tá, pre ktorú sa súčet
odchýlok jednotlivých meraní rovná nule. Pri normálnom rozložení náhodnej veličiny to
bude aritmetický priemer daný vzťahom:
x=
1 n
∑ xi
n i =11
Ak počítame hodnotu x ako aritmetický priemer, môžeme očakávať, že častejšie sa
priblížime k správnej hodnote x, ako akýmkoľvek iným výpočtom. Inak povedané:
Aritmetický priemer dáva najpravdepodobnejšiu hodnotu meranej veličiny – poskytuje nám
najväčšiu nádej, že dôjdeme k správnej hodnote.
Ďalšou veličinou je výberový rozptyl (výberová smerodajná odchýlka) pre sériu n
meraní tej istej veličiny a charakterizuje rozptyl výsledkov. Určuje sa ako súčet štvorcov
odchýlok nameraných hodnôt od aritmetického priemeru:
2
1 n
s =
∑ (x i − x )
n − 1 i =1
2
II.5.5. Vyrovnávanie merania
Každé meranie je zaťažené určitou chybou, ktorá spôsobuje odlišnosť nameranej
hodnoty od skutočnej hodnoty. Či ide o meranie jednej veličiny alebo o zisťovanie funkčnej
závislosti, vždy sa namerané hodnoty viac alebo menej odchyľujú od skutočných hodnôt. Pri
veľkom počte čiastkových vplyvov možno predpokladať, že výsledná chyba je náhodná
veličina s charakteristickými vlastnosťami normálneho rozloženia. Pri veľkom počte meraní
sa náhodné zložky kompenzujú a výsledné hodnoty sa blížia k reálnym. V praxi obyčajne
nemožno posúdiť meranú veličinu podľa celého základného súboru, ale treba použiť metódy
založené na výberovom skúmaní. Úlohou vyrovnávania meraní je nájsť vyrovnané hodnoty
meranej veličiny ako najspoľahlivejší odhad neznámej skutočnej (pravej) hodnoty, alebo
parametre funkčnej závislosti. Nemenej
dôležitá je otázka vyhodnotenia presnosti
vykonaného merania a spoľahlivosti získaných výsledkov.
Keď cieľom merania je zistiť neznámu funkčnú závislosť medzi fyzikálnou veličinou
y a veličinou x, prípadne viacerými veličinami x1, x2,........xn vychádza sa z predpokladu, že
veličiny navzájom viaže funkčný vzťah:
y = f(x1, x2, .........., B1, B2, ........)
Tvar tejto závislosti a hodnoty príslušných parametrov Bi sa určujú podľa
experimentálnych výsledkov.
Pri veľkom počte experimentov je tvar funkčnej závislosti vopred známy z analýzy
fyzikálnych predpokladov skúmaného javu, čím sa uľahčuje ďalšie štatistické spracúvanie
experimentálnych údajov. Často však experimentálne overovaná závislosť je veľmi zložitá,
takže matematické vyjadrenie závislosti nemožno vopred dobre odhadnúť a tvar funkčného
vzťahu treba zvoliť po grafickom znázornení experimentálne získaných údajov.
Najjednoduchším matematickým vyjadrením je lineárna závislosť
y = B1 + B2 . x
Jej výhodou je, že ňou možno opísať pomerne veľké množstvo experimentálne
overovaných javov a je jednoduchá aj z hľadiska štatistického spracovania. Z uvedeného
dôvodu je preto výhodné pretransformovať aj zložitejšie závislosti na lineárnu závislosť (ak je
to možné). Na lineárny tvar sa najčastejšie transformuje exponenciálna závislosť tvaru
y = B1 . x B2
Transformácia na lineárnu závislosť sa uskutoční logaritmovaním vzťahu na tvar:
ln y = ln B1 + B2 ln x
Neznáme veličiny, ktoré treba určiť, sú parametre B1 a B2. Parameter B2 sa určí
priamo, parameter B1 prostredníctvom jeho logaritmu.
Najrozšírenejšou vyrovnávacou metódou je metóda najmenších štvorcov.
5.6. Zásady grafického zobrazovania
Grafické znázornenie výsledkov merania možno považovať za jeden z
najnázornejších spôsobov interpretácie získaných závislostí, aj keď väčšinou za cenu nižšej
presnosti. Výhodou grafického zobrazenia sú možnosti jednoduchého vzájomného
porovnávania zobrazených veličín a posúdenia priebehu závislosti medzi nameranými
hodnotami. Zobrazenie sa väčšinou vykonáva v rovine, a je preto najvýhodnejšie pre použitie
v prípade dvoch premenných. Pri zobrazovaní funkcie troch premenných používa sa
priestorové znázornenie, ktoré však nie je vhodné na priame odčítavanie z grafu. Tento
prípad sa rieši aj tak, že jedna z premenných sa zvolí konštantná (parameter) a grafické
znázornenie potom obsahuje viac čiar v rovine, líšiacich sa navzájom hodnotou parametra.
Zobrazenie je obyčajne najvýhodnejšie v pravouhlej súradnicovej sústave.
X = a . f(x)
Y = b . h(y)
kde: a, b sú modulové miery
f, h zobrazovacie funkcie
Modulové miery sa volia tak, aby zobrazovaná závislosť využila celú dĺžku stupnice lx
na osi x a celú dĺžku stupnice ly na osi y. Dĺžky stupníc sa určia zo vzťahov:
lx = X max − X min = a. f ( x )max − a. f ( x )min
ly = Ymax − Ymin = b.h( y )max − b.h( y )min
Zobrazovacie funkcie sa volia podľa typu zobrazovanej závislosti tak, aby výsledná
krivka bola čo najjednoduchšia (pokiaľ možno priamka). Lineárne zobrazenie vznikne
voľbou:
X=a.x
Y=b.y
pričom a, b ≠ 0
Pri lineárnom zobrazení zodpovedá grafické znázornenie skutočnému priebehu.
V niektorom prípade je výhodnejšie použiť logaritmické (bilogaritmické) zobrazenie,
pri ktorom majú transformačné vzťahy tvar:
X = a . logn (x)
Y = b . logn(y)
Základ logaritmu môže byť e alebo 10. Táto transformácia zobrazuje funkčnú
závislosť tvaru
y = A . xk
na tvar:
b . logn(y) = logn(A) + a . k. logn (x)
čo je vlastne rovnica priamky.
Často sa používa zobrazenie polologaritmické (semilogaritmické), kde jedna stupnica
zostáva lineárna a druhá je logaritmická. Toto zobrazenie možno s výhodou použiť pri
zobrazovaní exponenciálnej závislosti, keď nezávisle premenná rastie lineárne a závisle
premenná exponenciálne:
y = m . ex
Transformačné vzťahy obsahujú prirodzený logaritmus a majú tvar:
X=a.x
Y = b . ln y
Touto transformáciou je závislosť vyjadrená priamkou.
V danom rozsahu treba vykonať dostatočný počet meraní, pretože z malého počtu
bodov sa zložitejšia krivka nedá vôbec zostrojiť. Na vylúčenie hrubých chýb je vhodné
vynášať namerané body do grafu v priebehu merania a sledovať prípadné odchýlky. Ak sa pri
grafickom znázornení vynášajú aj neistoty jednotlivých meraní, tieto sa znázorňujú zvislými
úsečkami v jednotlivých bodoch, pričom úsečky sú veľkosťou priamo úmerné zobrazovanej
neistote.
Na osiach sa zobrazujú iba orientačné, celočíselné údaje stupnice, namerané body sa
vynášajú prostredníctvom rôznych symbolov, tak, aby bolo možné rozlíšiť body patriace k
rôznym krivkám.
II.5.7. Znázorňovanie výsledkov merania tabuľkami
Pri znázorňovaní výsledkov merania tabuľkami stretávame sa s týmito výhodami
sú jednoduché a lacné
sú prehľadné
uľahčujú porovnávanie rôznych hodnôt
výsledky možno zachytiť s ľubovoľnou presnosťou (odpovedajúcou presnosti danej
ich získaním)
9 niekedy sú vhodnejšie ako grafy, najmä keď je možnosť použiť viac spôsobov
usporiadania údajov
9 často je možné so žiadanou presnosťou derivovať alebo integrovať tabelárne
vyjadrenú funkciu bezprostredne
9
9
9
9
V tabuľke vyjadrujúcej hodnoty funkcie musí byť hodnota nezávisle premennej (x) a
jej odpovedajúca hodnota závisle premennej (y) uvedená v jednom riadku. Aj keď je výber
nezávisle premennej často ľubovoľný, je zvykom za hodnoty argumentu voliť jednoduché
čísla.
Download

II. METODOLÓGIA MERANIA