UNIVERZITET “SV. KIRIL I METODIJ”
TEHNOLO[KO-METALUR[KI FAKULTET
SKOPJE
ZA INTERNA UPOTREBA
ODBRANI ZADA^I PO FIZIKA I
d-r S. Popjanev
SKOPJE 2009
1
[email protected]
I. KINEMATIKA ……………………………………………………………………… 2
II. DINAMIKA ………………………………………………………………………… 15
III. MEHANI^KI OSCILACII I BRANOVI ……………………………….. 26
IV. MEHANIKA NA FLUIDITE …………………………………………………. 32
2
I. KINEMATIKA
1. Zavisnosta na pominat pat s od vremeto t za edno telo e dadena so ravenkata
s = A t + B t 2 + C t 3 , kade A = 2 m/s , B = −3 m/s 2 i C = 4 m/s 3 . Da se odredi:
1) zavisnost na brzinata v i zabrzuvaweto a od vremeto t , 2) pominat pat,
brzina i zabrzuvawe na teloto posle t1 = 2 s od po~etokot na dvi`eweto.
s = At + B t 2 + C t 3
A = 2 m/s
B = −3 m/s
2
C = 4 m/s 3
t1 = 2 s
_________________
1) v = f (t ) = ?
a = f (t ) = ?
(
)
1) s = A t + B t 2 + C t 3 = 2 t − 3 t 2 + 4 t 3 m
ds
v=
= A + 2 B t + 3 C t 2 = 2 − 6 t + 12 t 2 m/s
dt
dv
a=
= 2 B + 6 C t = (− 6 + 24 t ) m/s 2
dt
(
)
2) s1 = (2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8)m = 24 m
v1 = (2 − 6 ⋅ 2 + 12 ⋅ 4) m/s = 38 m/s ≈ 137 km/h
a1 = (− 6 + 24 ⋅ 2)m/s 2 = 42 m/s 2
2) s1 = ? v1 = ? a1 = ?
2. Zavisnosta na pominat pat s od vremeto t za edno telo e dadena so ravenkata
s = A + B t + C t 2 , kade A = 6 m , B = −3 m/s i C = 2 m/s 2 . Da se odredi srednata
brzina i srednoto zabrzuvawe na teloto vo intervalot na vremeto od 1 s do 4 s .
(
)
s = A+ B t + C t 2
s = A + B t + C t 2 = 6 − 3t + 2 t 2 m
A = 6m
B = −3 m/s
v=
C = 2 m/s2
t1 = 1s
t2 = 4 s
____________
vsr = ? asr = ?
ds
= B + 2 C t = (− 3 + 4 t ) m/s
dt
t1 = 1s
t2 = 4 s
s1 = (6 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1) m = 5 m s 2 = (6 − 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 16) m = 26 m
v1 = (− 3 + 4 ⋅ 1) m/s = 1m/s v2 = (− 3 + 4 ⋅ 4) m/s = 13 m/s
v sr =
∆ s s 2 − s1
∆ v v2 − v1
=
= 7 m/s asr =
=
= 4 m/s 2
∆ t t 2 − t1
∆ t t 2 − t1
3
3. ^estica vr{i tri posledovatelni pomestuvawa r1 = (1,5 i + 3,0 j − 1,2 k )cm ,
r2 = (2,3 i − 1,4 j − 3,6 k )cm i r3 = (− 1,3 i + 1,5 j)cm . Da se najdat komponenti na
rezultantnoto pomestuvawe i negovata golemina.
r1 = (1,5 i + 3,0 j − 1,2 k )cm
r2 = (2,3i − 1,4 j − 3,6 k )cm
r3 = (− 1,3 i + 1,5 j)cm
_____________________
r =? x=? y =? z =?
r = x i + y j + z k r = r1 + r2 + r3
r1 = x1i + y1 j + z1k
r2 = x2 i + y 2 j + z 2 k
r3 = x3 i + y3 j + z 3k
x = x1 + x 2 + x3 = 2,5 cm
r = 2,5 i + 3,1 j − 4,8 k
y = y1 + y 2 + y 3 = 3,1cm
r = x 2 + y 2 + z 2 ≈ 6,2 cm
z = z1 + z 2 + z 3 = −4,8 cm
4. Radius vektorot na teloto vo tekot na vremeto se menuva spored zakonot
r(t ) = A t 2 i + B t j + C k , kade A = 5 m/s 2 , B = 3 m/s i C = 2 m , dodeka i, j i k se
edini~ni vektori na x, y , z − oskite. Da se odredat: a) vektorite na brzinata i na
zabrzuvaweto na teloto, b) intenzitet na brzinata na teloto posle vreme t = 2 s
od po~etokot na dvi`eweto, v) intenzitet na zabrzuvaweto na teloto.
a)
r (t ) = A t 2 i + B t j + C k
A = 5 m/s 2
B = 3 m/s
b)
C =2m
t = 2s
a=?
v) a = ?
v = vxi + v y j + vzk
v = 2 At i + B j → vx = 2 At v y = B vz = 0
________________
a) v = ?
b) v = ?
dr
= 2 A t i + B j = (10 t i + 3 j) m/s
dt
dv
a=
= 2 A i = (10 i ) m/s 2
dt
v=
v = v x2 + v 2y + v z2 = 4 A2t 2 + B 2 ≈ 20,2 m/s
v)
a = axi + a y j + azk
a = 2 Ai → ax = 2 A a y = 0 az = 0
a = a x2 + a 2y + a z2 = a x = 2 A = 10 m/s 2
4
5. Tri ~etvrtini od patot avtomobil pominuva so brzina v1 = 60 km/h , a
ostanatiot del so brzina v 2 = 80 km/h . Da se presmeta srednata brzina na
avtomobilot na toj pat.
3s
4
v1 = 60 km/h
s1 =
s
4
v2 = 80 km/h
s2 =
____________
v sr = ?
3s

s
=
v
⋅
t
→
t
=
1
1
1
1

4 v1


 s = v ⋅t → t = s
2 2
2
 2
4 v2
v sr =
⇒ t = t1 + t 2 =
s (v1 + 3 v2 )
4 v1 ⋅ v2
s 4 v1 ⋅ v2
=
= 64 km/h
t v1 + 3 v2
6. Eden avion, dvi`ej}i se kon nepokreten objekt so brzina v = 950 km/h ,
ispra}a radiolokacionen signal kon objektot so brzina c = 3 ⋅ 10 m/s . Ako
signalot se vrati po vreme t = 0,12 ms , da se odredi rastojanie na avionot od
objektot vo momentot na priemot na signalot.
8
v = 950 km/h
A
O
c = 3 ⋅ 10 8 m/s
t = 0,12 ms
x=?
x
s
s + x = c ⋅ t

s − x = v ⋅ t
→ 2 x = (c − v )t
→
x=
(c − v )t = 18 km
2
7. Ako brod se dvi`i so postojana brzina vo odnos na vodata na relacija pome|u
dva grada, vozeweto trae po te~enieto na rekata t1 = 3 h , a protiv te~enieto na
rekata t 2 = 6 h . Za koe vreme brodot }e go pomine ova rastojanie po te~enieto
na rekata so isklu~eni motori?
t1 = 3 h
t2 = 6h
v = const
v1 = v + vv → s = (v + vv )t1
v2 = v − vv → s = (v − vv )t 2
_______
t =?
2 t1t 2

 s = vv ⋅
t 2 − t1

 s = v ⋅t

v
→ t=
s

 v + vv = t
s (t − t )

1
→ vv = 2 1

2 t1t 2
v−v = s
v

t2
2 t1t 2
= 12 h
t 2 − t1
5
8. Brzinata na avionot vo odnos na vozduhot e v1 = 400km/h . Veter duva od
severo-istok kon jugo-zapad so brzina v 2 = 50 km/h . Vo koja nasoka treba da se
postavi kursot na letawe, za da avionot leta od jug kon sever? Kolkava e pri toa
brzinata na avionot vo odnos na zemjata?
v1 = 400 km/h
v 2 = 50 km/h
ϕ = 45
v1
v
= 2
sin α sin β
r r r
v = v1 + v2
α = 90 0 + ϕ = 1350
0
___________
β =? v=?
sin β =
v2
⋅ sin α
v1
sin β ≈ 0,08839 β ≈ 5,07 0
v = v12 + v 22 + 2 v1 ⋅ v 2 ⋅ cos(α + β ) ≈ 363 km/h
9. Normalno na podvi`na lenta, koja se dvi`i ramnomerno, vo to~kata A
stignuva telo so postojana brzina v1 = 0,4 m/s . Teloto od lentata se simnuva vo
to~kata S, koja od to~kata A e oddale~ena s = 1, 2 m . [irinata na lentata e
a = 1 m . Da se presmeta vremeto za koe teloto }e go pomine patot s kako i
brzinata na lentata.
V
S
v1 = 0,4 m/s
s = 1,2 m
a
a = 1m
__________
t = ? v2 = ?
r r r
v = v1 + v 2
s
r
v1
r
v
A
a = v1 ⋅ t → t =
a
= 2,5 s
v1
s = v ⋅t →v =
s
= 0,48 m/s
t
r
v2
v 2 = v12 + v 22 + 2 v1v 2 cos 90 0 = v12 + v 22 → v 2 = v 2 − v12 ≈ 0,27 m/s
6
10.
Pokraj
kontrolna stanica pominuva kamion so postojana brzina
v1 = 36 km/h . Posle vreme ∆t = 10 s od momentot na pominuvawe na kamionot,
pozadi nego ramnomerno zabrzano po~nuva da se dvi`i avtomobil koj go stignuva
kamionot na rastojanie s = 300 m od kontrolnata stanica. Da se presmeta
zabrzuvaweto na avtomobilot i negovata brzina vo momentot koga }e go stigne
kamionot.
v1 = 36 km/h
∆t = 10 s
s = 300 m
a = ? v2 = ?
s = v1 ⋅ t1 → t1 =
s=
a t 22
2
→ a=
s
= 30 s
v1
2s
t 22
∆t = t1 − t 2
= 1,5 m/s 2
→ t 2 = t1 − ∆t = 20 s
v2 = a t 2 = 30 m/s = 108 km/h
11. Od rampa so dol`ina l = 7 m se isfrluva raketa, ~ij zaden del ja napu{ta
rampata po vreme t1 = 0,35 s od po~etokot na dvi`eweto. Kolkava e brzinata na
raketata pri napu{tawe na rampata? Kolkav pat }e pomine raketata za vreme
t 2 = 2 s ako odr`uva isto zabrzuvawe?
l = 7m
t1 = 0,35 s
t2 = 2 s
v=? s=?
a t12
l=
2
→
a=
t
a t 22
s=
= l ⋅  2
2
 t1
2l
t12
v = a t1 =
2l
= 40 m/s
t1
2

 ≈ 229 m

12. Mlazen avion se dvi`i so brzina v 0 = 720 km/h . Vo odreden moment avionot
po~nal da se dvi`i ramnomerno zabrzano vo traewe od t = 10 s . Vo poslednata
sekunda toj izminal pat s1 = 295 m . Da se opredeli zabrzuvaweto na avionot i
negovata krajna brzina.
v0 = 720 km/h
t = 10 s
t1 = 1s
s1 = 295 m
_____________
a=? v=?

at2
s
=
v
t
+
 10
0

2

a (t − t1 )2

 s9 = v0 (t − t1 ) +
2
a t12
s1 = s10 − s9 = v0 t1 + a t t1 −
2
2 ( s1 − v0 t1 )
a=
= 10 m/s 2
t1 (2 t − t1 )
v = v0 + a t = 300 m/s
7
13. Edno telo pominuva pat s = 63 m za vreme t = 6 s , pri{to negovata brzina se
zgolemuva pet pati. Da se odredi zabrzuvaweto na teloto, smetaj}i go
konstantno.
s = 63 m
t = 6s
v = v0 + a t
→
v = 5 v0
at2
s = v0 t +
2
a t 2 a t 2 3a t 2
→s=
+
=
4
2
4
________
5 v0 = v0 + a t
at
4
4s
→ a = 2 ≈ 2,3 m/s 2
3t
→ v0 =
a=?
14. Koga na semaforot se pojavila zelena svetlina, avtomobilot po~nal da se
dvi`i ramnomerno zabrzano. Na sledniot semafor, koj e na rastojanie 50 m ,
voza~ot videl crveno svetlo. So kolkavo zabrzuvawe se dvi`el avtomobilot, ako
9 m pred crveniot semafor po~nal da ko~i so zabrzuvawe od − 4,5 m/s 2 i
zastanal posle 2 sekundi?
s = 50 m
s1 = 9m
a0
s0
s1
v2 = 0
s
t1 = 2 s
a0 = ?
a1
v0 = 0
a1 = −4,5 m/s 2
____________
v1
(
v12 − v02 = 2a0 s0 = 2a0 s − s1
v22 − v12 = 2a1s1
)
(
→ v12 = 2a0 s − s1
)
→ v12 = −2a1s1
(
− 2a1s1 = 2a0 s − s1
)
→ a0 =
a1 s1
s1 − s
≈ 1m/s 2
15. Pri slobodno pa|awe, vo prvata sekunda od svoeto dvi`ewe, nekoe telo
pominuva edna tretina od vkupniot pat. Da se odredi visinata od koja e pu{teno
teloto i vremeto na pa|awe na teloto.
t1 = 1s
h
3
________
h1 =
h =?t =?

gt 2
h
=


2

2
h = h = g t1
 1 3
2
3g t12
→ h=
2
t = t1 3 ≈ 1,73s
⇒
g t 2 3g t12
=
2
2
3 g t12
h=
≈ 14,7m
2
8
16. Telo koe slobodno pa|a za poslednata sekunda od svoeto pa|awe pominuva
polovina od celiot pat. Da se najde vremeto na pa|awe i visinata od koja pa|a
teloto.
t1 = 1s
h
2
_______
t = ?H = ?
h1 =
gt 2
h g (t − t1 )
2
h=
h − h1 = =
→ h = g (t − t1 )
2
2
2
2
gt
= g (t − 1) 2 → t 2 − 4t ⋅ t1 + 2t12 = 0 → t = t1 2 + 2 ≈ 3,4s
2
2
h = g (t − t1 ) ≈ 56m
2
(
)
17. Od koja viso~ina padna teloto, ako posledniot eden metar od svojot pat go
pominuva za vreme od 0,01 s ?
h1 = 1 m
t1 = 0,01s
________
h=?

gt2
h
=

2

2
 h − h = g (t − t1 )
1

2
2h1 = 2 g t t1 − g t
2
1
→
gt2
gt2
gt2
− h1 =
− g t t1 + 1
2
2
2
2h1 + g t12
gt2
→ t=
≈ 10,2 s h =
≈ 510 m
2 g t1
2
18. Od ista viso~ina i vo ist moment po~nuvaat da pa|aat dve top~iwa. Ednoto so
po~etna brzina v0 = 30 m/s , a drugoto bez po~etna brzina. Vtoroto top~e }e
padne podocna za t 0 = 2s . Od koja viso~ina se pu{teni top~iwata?
v0 = 30 m/s 
gt2
h = v 0 t +
t 0 = 2s

2

g (t + t 0 )2

h=?
h
=

2
2
g t 2 g (t + t 0 )
→ v0 t +
=
2
2
h -=5v-0t +
gt2
= 75 m
2
g t 02
→t =
≈ 1,9 s
2(v0 − g t 0 )
9
19. Nekoe telo slobodno pa|a od visina h = 10 m . Istovremeno od zemjata e
frleno drugo telo vertikalno nagore so po~etna brzina v0 , po istata pateka po
koja pa|a prvoto telo. Kolkava treba da bide brzinata v0 za da telata se
sretnat na polovina pat ?
h g ⋅ t 2
 =
2
2

2
h = v t − g ⋅ t
0
 2
2
h = 10 m
________
v0 = ?
h = gt2
→ h = v0 t
→ t=
h
g
→ v0 =
v0 =
h
t
h
= h g ≈ 9,9 m/s
t
20. Telo isfrleno vertikalno nagore se nao|a na visina h = 9,4 m , dvapati vo
tekot na vremenskiot interval t = 3 s . Da se opredeli po~etnata brzina so koja e
isfrleno teloto.
h = 9,4 m
t = 3s
t/2
v0 = ?
t/2
2
1 t
gt2
H − h = g  =
2  2
8
H
h
v0 = 2 g H =
v0
gt2
→ H =h+
8
g (8h + g t 2 )
≈ 20 m/s
2
21. @ongler frla topka nagore. Koga top~eto }e ja dostigne najvisokata to~ka,
toj isfrla druga topka so ista po~etna brzina. Na koja visina }e se sretnat
topkite ? Maksimalnata visina na koja {to se iska~uvaat topkite e h = 4,9 m .
v=0
h − h1
h = 4,9 m
______
h1 = ?
t
h1
h
v0
t

g t2
h
−
h
=
1

2

2
 h =v t− gt
 1 0
2
→ h = v0 t → t =
v02 = 2 g h → v0 = 2 g h
h1 = h −
t=
h
v0
h
h
=
≈ 0,5 s
v0
2g
gt2
g h 3h
=h−
=
≈ 3,7 m
2
4g 4
10
22. Brzinata na to~kata A na trkaloto e v A = 50 m/s , a na to~kata V e
v B = 10 m/s . Ako radijalnoto rastojanie AB = 20 cm , kolkava e agolnata brzina
na trkaloto i kolkav e negoviot radius ?
OA = r
v A = 50 m/s
v B = 10 m/s
AB = a = 20 cm
ω =? r =?
A
B
VB
0
O
VA
VB
OB = r − a
 vA = ω r
→ v A − vB = ω ⋅ a

(
)
ω
=
−
v
r
a
 B
v −v
ω = A B = 200 rad/s
a
v
v A = ω r → r = A = 25 cm
ω
23. Materijalna to~ka se dvi`i po kru`nica so radius r = 20 cm so konstantno
tangencijalno zabrzuvawe at = 5 cm/s 2 . Posle kolku vreme od po~etokot na
dvi`eweto normalnoto zabrzuvawe na to~kata }e bide
1) ednakvo na
tangencijalnoto zabrzuvawe
2) dva pati pogolemo od tangencijalnoto
zabrzuvawe ?
r = 20 cm
at = 5 cm/s 2
___________
t =?
at = α r → α =
at
r
an = ω 2 r
→ ω=
1) an = at
→ t=
2) a n = 2 at
→ t=
ω =α t → t =
an
r
t=
an ⋅ r
at2
at2
at
=
an ⋅ r
at2
r
=2s
at
=
an ⋅ r
ωr
ω ωr
=
α at
=
2r
≈ 2,8 s
at
24. Trkalo so radius r = 20cm po~nuva da se vrti so agolno zabrzuvawe
α = 6rad/s 2 . Da se presmeta zabrzuvaweto na perifernite to~ki od trkaloto
posle vreme t = 5s od po~etokot na dvi`eweto.
r = 20cm
α = 6rad/s 2
t = 5s
____________
a=?
a = at2 + a n2
at = α ⋅ r
an = r ⋅ ω 2
ω = α ⋅ t → an = r ⋅ α 2 ⋅ t 2
a = α ⋅ r 1 + α 2 ⋅ t 4 ≈ 180m/s 2
11
25. Trkalo go zapo~nuva rotacionoto dvi`ewe so postojano agolno zabrzuvawe
α = 3,14 rad/s 2 . Kolku vreme trae negovoto prvo zavrtuvawe? Kolkava e
agolnata brzina po prvoto zavrtuvawe ?
α = 3,14 rad/s 2
_____________
T = ? ωT = ?
θ=
α t2
2
→ 2π =
α T2
→ T =2
2
ωT = α T = 6,28 rad/s
π
=2s
α
26. Trkalo se vrti so postojano agolno zabrzuvawe α = 2 rad/s . Posle t = 0,5 s
od po~etokot na dvi`eweto, vkupnoto zabrzuvawe na trkaloto iznesuva
a = 13,4 cm/s 2 . Da se odredi radiusot na trkaloto.
2
α = 2 rad/s 2
at = α r
an = r ω 2
t = 0,5 s
a 2 = at2 + a n2
a = 13,4 cm/s 2
ω = α t → a 2 = r 2α 2 1 + α 2t 4
(
)
(
→ a2 = r 2 α 2 + ω 4
→r=
r =?
a
α 1+α t
2 4
)
≈ 6 cm
27. Materijalna to~ka se dvi`i po kru`nica so radius r = 10 cm so postojano
tangencijalno zabrzuvawe at . Da se presmeta tangencijalnoto zabrzuvawe na
to~kata, ako e poznato deka na krajot od pettoto zavrtuvawe od po~etokot na
dvi`eweto liniskata brzina na to~kata iznesuva v = 79,2 cm/s .
r = 10 cm
n=5
v = 79,2 cm/s
____________
at = ?
 at = α r
 2
 ω = 2 α θ

v
ω=
r

 θ = 2 π n
α=
v2
v2
ω2
=
=
2 θ 2θ r 2 4 π n r 2
at = α r =
v2
≈ 0,1m/s 2
4π n r
12
28.
Osovina
na
nekoj
motor se vrti so postojana agolna brzina
= 6000 zavrtuvanja/min . So ko~ewe agolnata brzina i se namaluva na
ω1
ω2 = 4800 zavrtuvanja/min za
vreme t = 4 s . Kolkavo e agolnoto zabrzuvawe na
osovinata i kolkav e brojot na napraveni zavrtuvawa za vreme na ko~ewe ?
ω1 = 6000 zavrtuvanja/min
ω 2 = 4800 zavrtuvanja/min
t =4s
_______________________
α =? n=?
ω1 =
6000 ⋅ 2π rad
= 200 π rad/s ω2 = 160 π rad/s
60 s
ω2 = ω1 + α t → α =
θ = ω1 ⋅ t +
n=
αt
2
2
ω2 − ω1
t
= −10 π rad/s 2
= 720 π rad
θ
= 360 zavrtuvanja
2π
29. Avtomobil se dvi`i po horizontalna kru`na pateka so radius r = 42 m , so
tangencijalno zabrzuvawe at = 2 m/s 2 . Po~etnata brzina na avtomobilot e
v0 = 36 km/h . Za koe vreme avtomobilot }e go pomine prviot krug?
r = 42 m
at = 2 m/s 2
v0 = 36 km/h
T =?

αT2
 2π = ω0T +
2

v0

 ω0 =
r

at

α
=

r

→T 2 +
2v 0
4π r
⋅T −
= 0 → T ≈ 12 s
at
at
30. Ravenka na dvi`ewe na teloto ima vid s = A + B t + C t , kade A = −1m ,
2
3
B = 3 m/s 2 i C = −2 m/s 3 . Da se odredi: a) brzinata i zabrzuvaweto na teloto,
b) vremeto na dvi`ewe na teloto do zastanuvawe, v) maksimalnata brzina na
teloto i vreme za koe teloto }e ja postigne.
31. Brzina na avtomobilot na prvata polovina od patot e v1 = 36 km/h , a na
vtorata
pat?
v2 = 54 km/h . Kolkava e srednata brzina na avtomobilot na celiot
32. Prvata polovina od svojot pat avtomobilot ja pominuva dvi`ej}i se
ramnomerno so brzina koja e 1,5 pati pogolema od brzinata so koja avtomobilot
ja pominuva vtorata polovina od patot. Ako srednata brzina na avtomobilot na
celiot pat e v s = 60 km/h , da se odredat brzinite na avtomobilot na prvata i
vtorata polovina od patot.
13
33. Dva aviona letat eden pozadi drug so ednakvi brzini na rastojanie
d = 750 m . Od prviot avion se ispaluva kur{um ~ie pukawe go slu{a pilotot od
vtoriot avion posle vreme t = 1s . Kolkava e brzinata na avionite? Brzinata na
zvukot e c = 340 m/s .
34. Dva posmatra~a se nao|aat ednakvo oddale~eni od edna vertikalna karpa taka
da nivnoto me|usebno rastojanie e s = 360 m . Koga edniot od posmatra~ite
ispuka od pu{ka, drugiot }e ~ue dva istrela vo vremenski interval od t = 1s .
Kolku se oddale~eni posmatra~ite od karpata, ako zvukot niz vozduhot se
prostira so postojana brzina c = 340 m/s ?
35. Rastojanieto me|u dve re~ni pristani{ta e s = 150 km . Toa rastojanie brod
go pominuva za vreme t1 = 2 h ako se dvi`i po te~enieto na rekata, i za vreme
t 2 = 3 h ako se dvi`i protiv te~enieto na rekata. Da se opredeli brzinata na
brodot vo odnos na vodata i brzinata na vodata vo rekata.
36. So koja brzina treba da leta avion i kakov kurs na letawe treba da odr`uva,
za da za vreme t = 1h preleta vo nasoka kon sever pat s = 300 km , ako za vreme na
letot duva severo-isto~en veter so brzina vv = 35 km/h pod agol
meridijanot.
α = 400
kon
37. Vo nasoka jug-sever helikopter treba da pomine rastojanie s = 300 km za
vreme t = 1h . Ako za vreme na letot duva veter vo nasoka zapad-istok so brzina
v1 = 15 m/s , da se opredeli goleminata i nasokata na brzinata na helikopterot
vo odnos na vozduhot.
38. Avtomobil se dvi`i po pat so postojana brzina v1 = 54km/h . Na patot stoi
motociklist koj vo momentot na pominuvawe na avtomobilot po~nuva da se
dvi`i pozadi nego ramnomerno zabrzano i posle vreme t = 30s go preteknuva
avtomobilot. Kolkavo e zabrzuvaweto na motociklistot i so koja brzina toj go
preteknuva avtomobilot?
39. Voz trgnuva i po vreme t = 30 s ima brzina v = 6 m/s . Za koe vreme vozot }e
pomine pat s = 4 km , zadr`uvaj}i go istoto zabrzuvawe?
40. Za da poleta nekoj avion treba da postigne brzina v = 150 km/h . Ako pri
zaletuvawe na pistata se dvi`el t = 15 s , da se presmeta patot {to go izminuva
avionot pri zaletuvawe. Da se pretpostavi deka avionot pri zaletuvawe se
dvi`i ramnomerno zabrzano pravoliniski.
41. Na visina h = 980 m stoi helikopter i pu{ta bomba koja slobodno pa|a.
Posle koe vreme pilotot na helikopterot }e ja ~ue eksplozijata na bombata?
Brzinata na zvukot e c = 340 m/s .
14
42. Telo e pu{teno slobodno da pa|a od visina h = 500 m . Kolkav pat izminuva
teloto za poslednata sekunda? Otporot na vozduhot da se zanemari.
43. Telo {to e pu{teno slobodno da pa|a od nekoja viso~ina za poslednite dve
sekundi izminalo 59 metri. Od koja viso~ina e pu{teno teloto ?
44. Od visina h = 170 m slobodno pa|a telo. Posle edna sekunda od po~etokot na
pa|aweto na teloto, od istata visina so nekoja po~etna brzina po~nuva da pa|a
drugo telo. Da se opredeli po~etnata brzina na drugoto telo, ako dvete tela
pa|aat na zemjata istovremeno.
45. Edno telo slobodno pa|a od nekoja visina h . Istovremeno od zemjata e
frleno drugo telo vertikalno nagore so po~etna brzina v0 = 10m/s , po istata
pateka po koja pa|a prvoto telo, pri {to dvete tela }e se sretnat na polovina
pat. Kolkava e visinata h ?
46. Da se odredi radiusot na trkaloto {to vr{i ramnomerno kru`no dvi`ewe,
ako e poznato deka liniskata brzina na perifernite to~ki od trkaloto e 3 pati
pogolema od liniskata brzina na to~kata {to se nao|a 5 cm poblizu do oskata
na trkaloto.
47. Vo {upliv cilindar so radius R = 18 cm se nao|a pomal cilindar.
Pogolemiot cilindar se vrti so agolna brzina
ω1 = 10,5 rad/s , a pomaliot so
agolna brzina ω 2 = 31,4 rad/s . Ako pome|u cilindrite nema lizgawe, da se
presmeta radiusot na pomaliot cilindar.
48. Trkaloto na avtomobil rotira ramnomerno zabrzano. Pravej}i n = 45
zavrtuvawa, toa ja promeni frekvencijata od
opredeli agolnoto zabrzuvawe na trkaloto.
ν 0 = 4 s −1 do ν = 6 s −1 . Da se
49. Trkalo se vrti so agolna brzina ω = 1500 zavrtuvanj a/min . Pri ko~ewe
trkaloto se vrti ramnomerno usporeno i zastanuva posle t = 30 s . Da se odredi
agolnoto zabrzuvawe i brojot na zavrtuvawa od po~etokot na ko~ewe do
zastanuvawe.
50. Voz se dvi`i po kru`en `elezni~ki kolosek so radius R = 0,5 km , so agolno
zabrzuvawe α = 0,0049 rad/s . Kolkavo e zabrzuvawe na vozot vo momentot koga
negovata brzina e v = 60 km/h ? Kolkava e toga{ agolnata brzina na trkalata od
vagonite ako nivniot radius e r = 0,5 m ?
2
15
II. DINAMIKA
1. [inobus so masa m = 5 ⋅ 10 kg poa|a od stanica. Za vreme t = 4 s {inobusot
pominuva pat s = 16 m . Da se presmeta vle~nata sila na {inobusot. Pri
poa|aweto {inobusot se dvi`i ramnomerno zabrzano pravoliniski.
4
m = 5 ⋅ 10 4 kg
t = 4s
s = 16 m
_____________
Fv = ?
 Fv = m a


2s
at2
→a= 2
s=
2
t

→
Fv = m a =
2m s
t2
= 100 kN
2. Lokomotiva so vagoni ima masa m = 400 t , dodeka koeficientot na triewe
pome|u trkalata i {inite e µ = 0,04 . Kolkava treba da bide vle~nata sila na
lokomotivata za da kompozicijata dobi brzina v = 40 km/h vo tekot na vremeto
t = 120 s ?

m = 4 ⋅ 10 5 kg  F − F = m a
v
tr

µ = 0 , 04
 Ftr = µ Q = µ m g
v = 40 km/h

v
 v = at → a =
t = 120 s
t

v

→ Fv = Ftr + m a = m µ g +  = 194 kN
t

__________
Fv = ?
3. Kamion so masa m = 5 ⋅ 10 kg se dvi`i po inercija so po~etna brzina
3
v0 = 36 km/h . Poradi dejstvoto na silata na triewe kamionot zastanuva po
vreme t = 10 s . Da se presmeta silata na triewe i koeficientot na triewe.
m = 5 ⋅ 103 kg
v0 = 36 km/h
t = 10 s
 Ftr = m ⋅ a


v0
v0 = a ⋅ t → a = t
Ftr = ? µ = ?
Ftr = µ ⋅ Fn = µ ⋅ Q = µ ⋅ m ⋅ g
→ Ftr =
m ⋅ v0
= 5 ⋅ 103 N = 5 kN
t
→ µ=
Ftr
v
= 0 ≈ 0,1
m⋅ g g ⋅t
16
4. Telo so masa m = 1 kg se nao|a na horizontalna ramnina. Na nego dejstvuva
sila F = 5 N pod agol α = 30 vo odnos na ramninata. Da se presmeta
zabrzuvaweto na teloto, ako koeficientot na triewe me|u teloto i podlogata e
µ = 0,2 .
0
FH = F ⋅ cos α
m = 1 kg
F = 5N
α = 30
µ = 0,2
0
FV
α
a=?
Ftr = µ ⋅ Fn = µ (Q − FV )
F
Ftr
FV = F ⋅ sin α
Ftr = µ (mg − F ⋅ sin α )
FH
FH − Ftr = m ⋅ a → a =
Q
a=
FH − Ftr
m
F
(cosα + µ ⋅ sin α ) − µ ⋅ g ≈ 2,9 m/s 2
m
5. Telo se lizga po navednata ramnina ~ij agol na naklonot kon horizontot e
α = 30 0 . 1) Da se opredeli zabrzuvaweto na teloto, ako koeficientot na triewe
me|u teloto i podlogata e µ = 0,1 . 2) Da se opredeli agolot na naklonot α 0 pri
koj teloto nema da se lizga po navednata ramnina.
α = 30 0
µ = 0,1
1) a = ?
2) α 0 = ?
Ftr
a
1) Ft − Ftr = m a
Ft = Q ⋅ sin α = mg ⋅ sin α
Ft
Fn = Q ⋅ cosα = mg ⋅ cosα
Fn
a=
α
Q
2) a = 0
→
Ft = Ftr
sin α 0 = µ cosα 0
Ftr = µ ⋅ Fn
→
→
Ft − Ftr
= g (sin α − µ ⋅ cosα ) ≈ 4 m/s 2
m
m g sin α 0 = µ m g cosα 0
tg α 0 = µ
α 0 = arc tg µ ≈ 6 0
17
6. Avtomobil se dvi`i so brzina v0 = 50 km/h . Ako koeficientot na triewe e
µ = 0,75 , da se opredeli rastojanie {to }e go pomine avtomobilot od momentot
koga negoviot motor }e se isklu~i do celosnoto sopirawe.
v02
= 2a s → s =
2a
Ftr = m ⋅ a
Ftr = µ ⋅ Fn = µ ⋅ Q = µ m g
v0 = 50 km/h
µ = 0,75
v02
s =?
s=
→ a=µ⋅g
v02
v2
= 0 ≈ 13 m
2 a 2µ g
7. Telo so masa m = 10 kg se dvi`i nagore po navednata ramnina pod dejstvo na
vle~nata sila F = 100N . Koeficientot na triewe e µ = 0,1 . Navednata
ramnina formira agol
zabrzuvaweto na teloto.
α = 30 0 so horizontalnata podloga. Da se opredeli
F
a
m = 10kg
F = 100 N
µ = 0,1
a=
Ft
Ftr
α Q
α = 30 0
F − Ft − Ftr
m
Ft = mg ⋅ sin α
Ftr = µ Fn = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α
Fn
_________
a=?
a=
F
− g (sin α + µ ⋅ cos α ) ≈ 4,2m/s 2
m
8. Telo se lizga od vrvot na navednata ramnina ~ij agol na naklonot e α = 30 .
Da se opredeli brzinata na teloto na krajot od navednata ramnina, ako visinata
na ramninata e h = 10 m , a koeficientot na triewe me|u teloto i navednata
ramnina e µ = 0,05 .
0
α = 30
Ft − Ftr = m a
0
h = 10 m
µ = 0,05
B
A
Ft = Q ⋅ sin α = mg ⋅ sin α
FnFn= Q ⋅ cosα = mg ⋅ cosα
Ft
α
ν =?
Ftr
a
Q
a=
Fn
C
Ft − Ftr
= g (sin α − µ ⋅ cosα )
m
AB = s
v = 2as
h
s=
sin α
Ftr = µ ⋅ Fn
BC = h
→ v = 2 gh ( 1 − µ ⋅ ctgα ) ≈ 13,4 m/s
18
9. Dve tela so masa m1 = 10 kg i m2 = 20 kg se vrzani so ja`e i postaveni na
horizontalna podloga. Koeficientot na triewe pome|u telata i podlogata e
µ = 0,05 . Ako teloto so masa m2 se vle~e so sila F = 30 N , kolkava e silata na
zategnuvaweto na ja`eto i zabrzuvaweto na sistemot?
a
m1 = 10 kg
m2 = 20 kg
µ = 0,05
F = 30 N
F − Ftr 2 − Ftr1 = (m1 + m2 ) a
Fz
Ftr1
Ftr2 Fz
m1
F
Ftr1 = µ m1 g
a=
m2
F
− µ ⋅ g ≈ 0,51m/s 2
m1 + m2
FZ − Ftr1 = m1a → FZ = m1 (a + µ g ) =
FZ = ? a = ?
Ftr 2 = µ m2 g
m1
⋅ F = 10 N
m1 + m2
10. Dva tega so ista te`ina Q = 10 N povrzani se so konec koj e prefrlen preku
makara. Edniot teg se nao|a na horizontalna masa, a drugiot slobodno visi.
Koeficient na triewe pome|u tegot i masata iznesuva µ = 0,1 . Da se odredi
zabrzuvaweto na tegovite i silata na zategnuvaweto na konecot. Trieweto vo
makarata da se zanemari.
Q = 10 N
µ = 0,1
a=?
FZ = ?
Q − FZ + FZ − Ftr = 2m ⋅ a
Ftr
a=
FZ
Q
FZ
Q − Ftr
2m
Ftr = µ ⋅ Fn = µ ⋅ Q
a=
g (1 − µ )
≈ 4,4 m/s2
2
m=
Q
g
Q
FZ − Ftr = m ⋅ a → FZ = Ftr + m ⋅ a

a  Q(µ + 1)
FZ = Q µ +  =
= 5,5 N
g
2

19
11. Na `elezni~ka pruga stoi vagon-platforma so masa
m1 = 10 t . Na
platformata e postaven top so masa m2 = 5 t . Topot strela vo horizontalna
nasoka po `elezni~kata pruga. Masata na granatata e m3 = 100 kg , a nejzinata
po~etna brzina vo odnos na topot e v0 = 500 m/s . Na koe rastojanie }e se
pomesti platformata po istrelot, ako istata stoe{e nepodvi`no.
Koeficientot na triewe pome|u platformata i {inite iznesuva µ = 0,02 .
m1 = 10 t
m2 = 5 t
m3 = 100 kg
v0 = 500 m/s
µ = 0,02
___________
s=?
m3v0 − (m1 + m2 ) v1 = 0 → v1 =
m3 ⋅ v0
m1 + m2
2
v2
1  m3v0 


=2as → s= 1 =
2 a 2 a  m1 + m2 
Ftr = (m1 + m2 ) a
Ftr = µ g (m1 + m2 ) → a = µ g
v12
2
 m3v0 

 ≈ 28 m
s=
2 µ g  m1 + m2 
1
12. Koga }e se ispali granata od eden top vo horizontalen pravec, cevkata na
topot so masa m1 = 1 t se pomestuva nanazad s = 25 cm . Masata na granatata e
m2 = 40 kg , a nejzinata po~etna brzina v0 = 800 m/s . Kolkava e silata na
otporot na amortizerite od topovskata cevka?
m1 = 1t
s = 25 cm
m2 = 40 kg
v0 = 800 m/s
F =?
m2 ⋅ v0 − m1 ⋅ v = 0 → v =
m2 ⋅ v 0
m1
v 2 m22 ⋅ v02
=
v = 2a ⋅ s → a =
2 s 2 s ⋅ m12
2
m22 ⋅ v02
F = m1 ⋅ a =
= 2,05 ⋅ 10 6 N = 2,05 MN
2 s ⋅ m1
13. Pri vertikalno podigawe na teret so masa m = 2 kg na visina h = 1 m so
postojana sila F izvr{ena e rabota A = 80 J . So kolkavo zabrzuvawe se
podiga{e teretot ?
m = 2 kg
h =1m
A = 80 J
_________
a=?
A= F ⋅h
F − Q = ma
F = Q + m a Q = m g → F = m (g + a )
A
A = F ⋅ h = m h (g + a ) → a =
− g ≈ 30,2 m/s 2
mh
20
14. Na tenok konec so dol`ina l = 0,5 m e vrzan pi{tol od koj vo horizontalen
pravec e istrelan kur{um so masa m1 = 5 g i po~etna brzina v1 = 50 m/s . Na
koja visina }e se otkloni pi{tolot vo odnos na po~etnata, ako negovata masa
iznesuva m2 = 250 g ?
m1 v1 − m2 v2 = 0 → v2 =
l = 0,5 m
m1 = 5 g
E1 = Ek =
l
v1 = 50 m/s
m2 = 250 g
____________
x=?
x
E1 = E2
m1
⋅ v1
m2
m2 v22
E 2 = E p = m2 g x
2
m2 v22
→
= m2 g x
2
2
v2 v2  m 
x = 2 = 1  1  ≈ 5 cm
2 g 2 g  m2 
15. Kamen so masa m = 2 kg padnal od nekoja viso~ina. Pa|aweto trae{e
t = 1,43 s . Da se presmeta kineti~ka i potencijalna energija na kamenot na
sredinata od patot. Otporot na vozduhot da se zanemari.
m = 2 kg

m v2
E
=
 k
t = 1,43 s
mgh
g t2
2
E
h
→
=
=

k
2
2
_________  2
h
v
=
g
⋅
=
g
h
2

2
Ek = ?
h

Ep = ?
E
m
g
=
⋅
p

m g 2t 2
2
→ Ep =
≈ 98 J

2
4
g
t
h=

2
→ Ek =
m g 2t 2
≈ 98 J
4
16. Kamen so masa m = 2 kg e frlen od mesto visoko h = 60 m vertikalno
nadolu so po~etna brzina v0 = 5 m/s i udira vo zemjata so brzina v = 34 m/s .
Kolkava energija }e se potro{i za sovladuvawe na otporot na vozduhot ?
m = 2 kg
h = 60 m
v0 = 5 m/s
v = 34 m/s
__________
Eot = ?
m v02
E1 = Ek1 + E p1 =
+ mgh
2
m v2
E2 = Ek 2 + E p 2 =
2
v 2 − v02
Eot = E1 − E2 = m ( g h −
) = 46,2 J
2
21
17. Kolkava rabota potrebno e da se izvr{i za da se zgolemi brzinata na teloto
so masa m = 1 kg od v1 = 2 m/s do v2 = 6 m/s na pat od s = 10 m . Na celiot pat
koeficientot na triewe pome|u teloto i patot e konstanten i iznesuva µ = 0,2 .
v1 = 2 m/s
v2 = 6 m/s
m = 1 kg
s = 10 m
µ = 0,2
__________
A=?
A= F ⋅s
F − Ftr = m a → F = Ftr + m a
Ftr = µ Q = µ m g
v22

v 2 − v12 
F = m  µ g + 2
2 s 

= v12
v22 − v12
+2as → a=
2s

v 2 − v12 
A = m  µ g s + 2
 ≈ 35,6 J
2


18. Tramvaj se dvi`i so brzina v = 25 km/h . Kolkav pat }e pomine tramvajot so
lizgawe ako negovite trkala se zako~at? Koeficientot na triewe pome|u
trkalata i {inite e µ = 0,2 .
v = 25 km/h
µ = 0,2
s =?
 ∆E = A

2
 ∆E = ∆E = mv
k

2
 A= F ⋅s
tr

 Ftr = Qµ = mgµ
→
mv 2
v2
= mgµ s → s =
≈ 12,3 m
2
2 gµ
19. Telo so po~etna brzina v0 = 14 m/s pa|a od viso~ina h = 240 m i se zariva
vo pesok na dlabo~ina s = 20 cm . Da se opredeli srednata sila na otporot na
pesokot. Masata na teloto e m = 1 kg . Otporot na vozduhot da se zanemari.
v0 = 14m/s
E=A
h = 240m
s = 20cm
m = 1kg
Fot = ?
E = Ek + E p =
(
)
m ⋅ v02
+ mgh
2
m v02 + 2 gh
= Fot ⋅ s
2
→
A = Fot ⋅ s
(
)
m v02 + 2 gh
Fot =
≈ 12,3kN
2s
22
20. Za da poleta, avion so masa m = 4 t , na krajot od pistata treba da postigne
brzina v = 144 km/h . Dol`inata na pistata e s = 100 m . Kolkava e potrebnata
mo} na motorot za poletuvawe na avionot? Dvi`eweto na avionot da se smeta
kako ramnomerno zabrzano. Koeficientot na triewe pome|u trkalata i
aerodromskata pista iznesuva µ = 0,2 .
m = 4t
v = 144 km/h
s = 100 m
µ = 0, 2
P=?
P = F ⋅v
 F − F = ma → F = F + ma
tr
tr


v 2 
2

→
P
=
mv
g
µ
+
 2
v

 ≈ 1,6 MW
2
s
v
=
2
as
→
a
=



2s

 Ftr = Qµ = mgµ
21. Dva avtomobila so ednakvi masi istovremeno poa|aat od mesto i se dvi`at
ramnomerno zabrzano. Za kolku pati srednata mo} na prviot avtomobil e
pogolema od onaa na vtoriot, ako za isto vreme prviot razviva dvapati pogolema
brzina od vtoriot ? Trieweto da se zanemari.
m1 = m2 = m
t1 = t 2 = t
v1 = 2 v2
___________
P1
=?
P2
A1 = Ek1 =
m v12
= 2 m v22
2
A1 2 m v22
P1 =
=
t
t
22. Telo so masa m = 5kg
A2 = Ek 2 =
A2 m v22
P2 =
=
t
2t
m v22
2
P1
=4
P2
se lizga po navednata ramnina, koja formira so
horizontot agol α = 45 . Pominuvaj}i rastojanie s = 15m , teloto dobiva
brzina v = 10m/s . Da se presmeta silata na triewe pome|u teloto i ramninata.
E1
0
∆E = A
m = 5kg
∆E = E1 − E2
A = Ftr ⋅ S
α = 450
s
s = 15m
v = 10m/s
E2
__________
Ftr = ?
α
mv 2
h E1 = mgh E 2 =
2
mgs ⋅ sin α −
h = s ⋅ sin α
mv 2
= Ftr ⋅ s
2
2 

v
Ftr = m g ⋅ sin α −  ≈ 18N
2S 

23
23. Telo vrzano so konec se vrti ramnomerno po krug koj le`i vo vertikalna
ramnina. Da se opredeli masata na teloto, ako razlikata na silite na
zategnuvaweto na konecot koga teloto se nao|a vo najniskata i najvisokata to~ka
od patekata iznesuva 10 N .
FC
∆FZ = 10 N
2
Q
GG
m=?
1
ω = const → FC = mω 2 r = const
∆FZ = FZ 1 − FZ 2
 FZ 1 = Q + FC
→ ∆FZ = 2Q = 2mg

 FZ 2 = FC − Q
∆F
m = Z ≈ 0,5 kg = 500g
2g
Q
FS
24. So koja postojana brzina treba da se dvi`i avtomobil so masa m = 1000 kg po
ispup~en most so radius na krivinata r = 100 m , za da na sredinata od mostot
silata na pritisokot na avtomobilot vrz mostot bide ednakva na F = 5810 N ?
m = 1000 kg
r = 100 m
F = 5810 N
FC
v=?
Q
mv 2
F = Q − FC = mg −
r
mv 2
= mg − F
r
F

v = r  g −  = 20 m/s = 72 km/h
m

25. So koja najgolema brzina mo`e da se dvi`i avtomobil po horizontalna
kru`na pateka so radius r = 50 m , pod uslov da ne se lizga? Koeficientot na
triewe pome|u trkalata i podlogata e µ = 0,25 .
r = 50 m
µ = 0,25
________
vmax = ?
 Ftr = µ Q = µ m g


mv2
F
=
 c

r
Ftr ≥ Fc
→ µmg ≥
mv2
r
vmax = µ r g ≈ 40 km/h
→v≤ µrg
24
26. Top~e so masa m = 200 g e obeseno za konec ~ij drug kraj e vrzan za
nepodvi`na to~ka. Top~eto zaedno so konecot se vrtat vo vertikalna ramnina
po kru`na pateka so radius r = 50 cm . Da se opredeli najmalata agolna brzina
na top~eto vo najniskata to~ka od patekata, pri koja }e dojde do kinewe na
konecot, ako silata na kinewe na konecot e Fk = 20 N .
m = 200 g
FZ = FC + Q ≥ Fk
r = 50 cm
Fk = 20 N
 FC = m ω 2 r

 Q = mg
__________
ω min = ?
Q
ω2 ≥
Fk − m g
mr
→ m ω 2 r + m g ≥ Fk
→ ω min =
Fk − m g
≈ 13,4 rad/s
mr
FC
27. @elezni~ka kompozicija so masa m = 400 toni se dvi`i po {ini. Pri toa
silata na triewe {to dejstvuva vrz kompozicijata iznesuva 0,006 – ti del od
te`inata na kompozicijata. Da se presmeta brzinata na kompozicijata ako na
nea se dejstvuva so sila F = 60 kN za vreme od t = 50 s . Da se pretpostavi
deka lokomotivata po~na da se dvi`i od miruvawe.
28. Na platforma so trkala i masa m1 = 40 kg se nao|a telo so masa m2 = 4 kg .
Koeficient na triewe pome|u teloto i platformata e µ = 0,2 . Ako na teloto
se dejstvuva so sila F1 = 2 N , teloto po platformata ne se pomestuva, dodeka
pri dejstvo na sila od F2 = 100 N teloto se pomestuva. Da se najde silata na
triewe i zabrzuvaweto na platformata vo dvata slu~aja. Trieweto na
platformata so podlogata da se zanemari.
29. Na horizontalna povr{ina se nao|a telo so masa m1 = 600 g . So konec koj e
prefrlen preku makara vrzano e drugo telo so masa m2 = 800 g koe slobodno
visi. Da se presmeta zabrzuvaweto na telata i silata na zategnuvaweto na
konecot, ako koeficientot na triewe pome|u teloto m1 i povr{inata iznesuva
µ = 0,4 .
30. Avtomobil so masa m = 1000 kg se dvi`i po pat {to so horizontot formira
agol α = 10 pod dejstvo na vle~na sila F = 7 kN . Koeficientot na triewe me|u
0
trkalata na avtomobilot i patot e
avtomobilot.
µ = 0,1 . Da se opredeli zabrzuvaweto na
31. Sandak so masa m = 250 kg e {irok a = 2 m i visok b = 1,5 m . Ako toj le`i
na stranata a , kolkava rabota treba da se izvr{i za da toj se prevrti na
stranata b ?
25
32. Platforma so masa M = 400 kg na koja se nao|a ~ovek so masa m = 80 kg se
dvi`i bez triewe po horizontalen kolosek. Za kolku }e se zgolemi brzinata na
platformata, ako ~ovekot po~ne da tr~a so brzina v = 6 m/s vo nasoka sprotivna
od nasokata na dvi`eweto na platformata i skokne od nea vo horizontalen
pravec.
M = 200 g le`i na tenka podloga. Odozdola,
vertikalno nagore, na topkata naletuva kur{um so masa m = 20 g i ja probiva.
Ako pri toa topkata otskoknuva na visina h = 5 m , na koja visina }e stigne
kur{umot ako negovata brzina pred udarot bila v = 300 m/s ?
33. Drvena topka so masa
34. Kamion so masa m = 4 ⋅ 10 kg
3
se dvi`i so brzina v0 = 90 km/h
po
horizontalen pat. Ako silata na triewe pri dvi`ewe na kamionot e Ftr = 10 kN
da se odredi dol`inata na patot koj kamionot }e go pomine po prestanuvawe so
rabota na motorot.
35. Top~e pa|a od visina h = 2,5 m na horizontalna podloga od koja se odbiva.
Pri sudirot so podlogata top~eto gubi 40% od svojata energija. Kolkava treba
da bide po~etnata brzina na top~eto za da po vtoriot sudir toa se iska~i na
po~etnata visina?
36. Telo so masa m = 6 kg lizgaj}i se od vrvot na strmna ramnina so visina
h = 5 m , dobiva na krajot od ramninata brzina v = 6 m/s . Naklonot na ramninata
e α = 30 . Da se presmeta silata na triewe pome}u teloto i ramninata.
0
37. Sanka se spu{ta niz zaledena padina od visina h = 50 m i prodol`uva da se
dvi`i po horizontalen pat. Naklonot na padinata e α = 30 . Koeficientot na
triewe me|u sankata i ledot na celiot pat e ist i iznesuva µ = 0,1 . Da se
presmeta rastojanie {to }e go pomine sankata po horizontalniot del od patot.
0
38. Avtomobil so masa m = 1000 kg se dvi`i so postojana brzina v = 50 km/h po:
a) horizontalen pat,
b) ispup~en most so radius na krivinata r = 40 m ,
v) vdlabnat most so ist radius na krivinata.
Kolkava e silata na pritisok na avtomobilot vo site tri slu~aevi? Kaj
mostovite ova sila da se presmeta koga avtomobilot e na sredinata od mostot.
39. So koja postojana brzina treba da se dvi`i avtomobil so masa m = 800 kg po
ispup~en most so radius na krivinata r = 40 m , za da na sredinata od mostot
silata na pritisokot na avtomobilot vrz mostot bide ednakva na nula?
40. Telo so masa m = 1 kg vrzano so konec se vrti ramnomerno po krug koj le`i
vo vertikalna ramnina. Da se presmeta razlikata na silite na zategnuvaweto na
konecot koga teloto se nao|a vo najniskata i najvisokata to~ka od patekata.
26
III. MEHANI^KI OSCILACII I BRANOVI
1. Nekoja to~ka oscilira spored zakonot
ω = 100 π rad/s i ϕ 0 =
π
6
x = x0 sin (ω t + ϕ 0 ) , kade x0 = 7 cm ,
. Za koe najkratko vreme to~kata }e bide najpove}e
oddale~ena od ramnote`nata polo`ba ?
x0 = 7 cm
ω = 100π rad/s
π
ϕ0 =
 x = x0 sin (ω t + ϕ 0 )
→

 x = x0
6
_______________
t =?
x0 = x0 sin (ω t + ϕ 0 )
sin (ω t + ϕ 0 ) = 1 → ω t + ϕ 0 =
π
2
→ t=
π
= 3,3 ⋅ 10 − 3 s
3ω
2. Nekoe telo vr{i oscilatorno dvi`ewe so amplituda x0 = 25 cm , pri {to
maksimalnoto zabrzuvawe na teloto e a max = 1 m/s . Da se napi{e ravenkata na
ova oscilatorno dvi`ewe i da se najde maksimalnata brzina na teloto.
2
x0 = 25 cm
x = x0 ⋅ sin ω t
amax = 1 m/s 2 v = dx = ω ⋅ x0 ⋅ cos ω t → vmax = ω ⋅ x0

dt
___________ 
a = dv = − x0 ⋅ ω 2 ⋅ sin ω t → amax = x0 ⋅ ω 2 ω = a max = 2 rad/s
x = f (t ) − ?

dt
x0
vmax = ?
x = 0,25 sin 2 t [m] vmax = ω ⋅ x0 = 0,5 m/s
3. To~ka vr{i harmonisko oscilatorno dvi`ewe. Maksimalnata brzina na
to~kata e vmax = 0,1m/s , a maksimalnoto zabrzuvawe e a max = 1 m/s . Da se
presmeta kru`nata frekvencija na oscilatornoto dvi`ewe, negoviot period i
amplituda. Da se napi{e ravenkata na oscilatornoto dvi`ewe.
2
vmax = 0,1m/s
a max = 1m/s
ω = ?T = ?
x0 = ?
2
x = x0 ⋅ sin ω t
dx

v
=
= ω ⋅ x0 ⋅ cos ω t → vmax = x0 ⋅ ω

dt

a = dv = − x ⋅ ω 2 ⋅ sin ω t → a
= x0 ⋅ ω 2
0
max

dt
amax
v
2π
= ω = 10 rad/s T =
≈ 0,6 s x0 = max = 0,01m = 1cm
vmax
ω
ω
x = 0,01 ⋅ sin (10 ⋅ t ) [m]
27
4. Kolkav e periodot na oscilirawe na nekoja ~estica koja oscilira
harmoniski, ako pri pomestuvawe od x = 4 cm ima zabrzuvawe a = 30 cm/s ?
2
x = x0 ⋅ sinω t
x = 4 cm
a = 30 cm/s 2
v=
____________
T =?
dx
= ω ⋅ x0 ⋅ cosω t
dt
a=
dv
= −ω 2 ⋅ x0 ⋅ sinω t
dt
2π
a ω 2 ⋅ x0 ⋅ sinω t
a
x
=
= ω2 →ω =
= 2π
≈ 2,3 s
T=
ω
x
x0 ⋅ sinω t
x
a
5. Vkupnata energija na teloto {to vr{i harmoniski oscilacii iznesuva
E = 3 ⋅ 10 −5 J , a maksimalnata sila {to dejstvuva na teloto e Fmax = 1,5 ⋅ 10 −3 N .
Da se odredi ravenkata na dvi`ewe na ova telo, ako periodot na oscilirawe e
T = 2 s , a po~etnata faza ϕ 0 =
E = 3 ⋅ 10 −5 J
Fmax = 1,5 ⋅ 10 − 3 N
T = 2s
ϕ0 =
π
3
.
x = x0 sin (ω t + ϕ 0 )
2
2
F = − k x = − mω x = − x0ω m sin (ω t + ϕ 0 )
2
Fmax = x0ω m
π
3
______________
x = f (t ) − ?
x0 =
2E
Fmax
2 2
mω x0
E=
2
x
= 0
Fmax
2
2π
ω=
= π rad/s
T
= 4 cm = 0,04 m


x = 0,04 sin  π t +
E
π
 [m ]
3
6. Tas obesen na pru`ina oscilira so period T . Ako na nego se stavi teg so masa
m1 = 1kg , periodot na oscilirawe e T1 = 2 T . Kolkava masa treba da se
dodade na tasot za da periodot na oscilirawe iznesuva T2 = 2 T .
m1 = 1 kg
T1 = 2 T
T2 = 2 T
_________
∆m = ?

m
 T = 2π
T
m + m1
m + m1
k

→ 1= 2=
→
= 2 → m = m1 = 1 kg

T
m
m
m
+
m
 T = 2π
1
 1
k
T2 = 2π
m + m1 + ∆m
T
2m1 + ∆m
2m + ∆m
→ 2 =2=
→ 1
=4
k
T
m1
m1
∆m = 2m1 = 2 kg
28
7. Bakarno top~e obeseno na elasti~na pru`ina vr{i vertikalni oscilacii.
Kako }e se promeni periodot na oscilaciite, ako na pru`inata se obesi
aluminiumsko top~e so ist radius? Gustinata na bakarot e
na aluminiumot
ρ1 = 8,9 ⋅ 103 kg/m3 , a
ρ 2 = 2,7 ⋅ 103 kg/m3 .
ρ1 = 8,9 ⋅ 103 kg/m3
ρ 2 = 2,7 ⋅ 103 kg/m3

m1
 T1 = 2 π
k


 T = 2 π m2
 2
k
r1 = r2 = r
________________
r1 = r2 = r
T2
=?
T1
→
T2
m2
=
T1
m1
→ V1 = V2 = V
 m1 = ρ1 ⋅ V
→ 
 m2 = ρ 2 ⋅ V
ρ2
T2
=
≈ 0,55
T1
ρ1
8. Elasti~na pru`ina se izdol`uva za x = 2 cm ako na nea dejstvuva sila
F = 10 N . Ako na pru`inata se obesi teg so masa m = 5 kg , da se presmeta
periodot i frekvencija na oscilaciite na sistemot.
x = 2 cm
F = 10 N
m = 5 kg
________
T = ?ν = ?
T = 2π
m
k
F =k⋅x→k =
ν=
F
x
→ T = 2π
m⋅x
≈ 0,63 s
F
1
≈ 1,6 Hz
T
9. Vertikalna pru`ina ima dol`ina l = 1m koga na nea se obesi teg so masa
m = 1,5 kg . Tegot se izveduva od ramnote`a i se pu{ta da oscilira. Ako
periodot na oscilaciite iznesuva T = 1s , da se presmeta dol`inata {to }e ja
ima pru`inata, koga od nea }e se simne tegot.
l = 1m
m = 1,5 kg
T = 1s
l0 = ?
 F = k ⋅ x = k (l − l0 )
→ k (l − l0 ) = mg

 F = Q = mg
l − l0
m
T = 2π
= 2π
k
g
l0 = l −
gT 2
4π 2
→ l − l0 =
= 0,75 m = 75 cm
gT 2
4π 2
→ k=
mg
l − l0
29
10. Na dolniot kraj od obesena ~eli~na `ica so dol`ina l = 5 m i povr{ina na
napre~niot presek S = 1mm e prika~en teg so masa m = 4 kg . Ovoj sistem se
doveduva vo oscilirawe so naglo udirawe na tegot nadolu. Kolkav e periodot na
oscilirawe na ovoj sistem? Jungoviot modul na elasti~nosta na ~elikot e
2
E y = 2,0 ⋅ 1011 N/m 2 .
l = 5m
S = 1mm 2
m = 4kg
E y = 2,0 ⋅ 10 N/m
11
2
F = k ⋅ ∆l
∆l
1 F
∆l
=
⋅
→ F = Ey ⋅ S ⋅
Ey S
l
l
k ⋅ ∆l = E y ⋅ S ⋅
Ey ⋅ S
∆l
→ k=
l
l
_____________
m
m⋅l
= 2π
≈ 63ms
k
Ey ⋅ S
T = 2π
T =?
11. Branov izvor oscilira so frekvencija
branoviot izvor, po vreme t = T
6
ν = 550 Hz . Na koe rastojanie od
, elongacija na to~kata {to oscilira pod
dejstvo na branot e ednakva na polovina od nejzinata amplituda ? Brzinata na
{irewe na branot e c = 330 m/s .
ν = 550 Hz
t =T
6
y
y= 0
2
c = 330 m/s
x=?
y = y 0 sin (ω t − k x )
 T
t = 6

 y = y0

2
x=
λ
12
→
λ=
c
ν
2π

ω = T

k = 2π

λ
 t x
→ y = y 0 sin 2π  − 
T λ 
y0
1 x 
1 x  π
= y0 sin 2π  −  → 2π  −  =
2
6 λ 
6 λ  6
→
x=
c
= 0,05 m = 5 cm
12ν
30
12. Brzinata na zvukot niz nekoj metal iznesuva c = 5050 m/s . Od ovoj metal e
napravena `ica so dol`ina l = 2 m i napre~en presek S = 1mm . Ako se
optereti so teg od F = 50 N , ova `ica }e se istegne za ∆l = 0,5 mm . Da se
presmeta gustinata na metalot od koj e napravena `icata.
2
c = 5050 m/s
l = 2m
S = 1mm
F = 50 N
∆l = 0,5 mm
2
c=
E
ρ
→ρ=
ρ=
E
c
2
Hukov zakon :
F ⋅l
∆l ⋅ S ⋅ c
∆l 1 F
= ⋅
l
E S
→E=
F ⋅l
∆l ⋅ S
≈ 7,8 ⋅ 103 kg/m 3
2
ρ =?
13. Vrz edniot kraj od `elezniot most so dol`ina s = 400 m se udira so ~ekan.
Na drugiot kraj od mostot zvukot niz `elezoto se slu{a za ∆t = 1,1s porano
otkolku niz vozduhot. Da se odredi modulot na elasti~nosta na `elezoto od koe
e napraven mostot. Gustinata na `elezoto iznesuva
brzinata na zvukot vo vozduhot c = 340 m/s .
s = 400 m
∆t = 1,1s
ρ = 7,8 ⋅ 103 kg/m3
c1 =
E
ρ
a
→ E = ρ ⋅ c12
c = 340 m/s
s = c ⋅t → t =
________________
E =?
s = c1 ⋅ t1
E=
ρ = 7,8 ⋅ 103 kg/m3 ,
s
c
→ c1 =
ρ ⋅ s2 ⋅ c2
(s − c ⋅ ∆ t )
2
t1 = t − ∆ t =
s
− ∆t
c
s
s⋅c
=
t1 s − c ⋅ ∆ t
≈ 2,13 ⋅ 1011 N/m 2
14. Amplituda na harmoniskite oscilacii {to gi vr{i edno telo iznesuva
x0 = 5 cm , a periodot na oscilaciite T = 4 s . Da se odredi maksimalnata brzina
i maksimalnoto zabrzuvawe na teloto.
15. Da se presmeta amplituda na harmoniskoto dvi`ewe na materijalna to~ka
−2
ako vkupnata energija na to~kata e E = 4 ⋅ 10 J . Oscilatornata sila koja
dejstvuva na to~kata vo momentot koga elongacijata na to~kata e ednakva na
polovina od amplituda e F = 2 N .
31
16. Top~e so masa m = 10 g vr{i harmoniski oscilacii so amplituda x0 = 5 cm .
Maksimalnata sila {to dejstvuva na top~eto e Fmax = 2 ⋅ 10
ravenkata na dvi`ewe na ova top~e.
−3
N . Da se opredeli
17. Nekoe telo vr{i harmoniski oscilacii so amplituda x0 = 1m , pri {to
maksimalnata brzina iznesuva v max = 2 m/s . Da se napi{e ravenkata na dvi`ewe
na ova telo.
18. Koga za kraj na edna pru`ina se obesi teg so masa m = 1 kg , periodot na
negovoto oscilirawe e T. Kolkava masa treba da se dodade na tegot, za da
periodot na osciliraweto se zgolemi dva pati?
19. Tas so zanemarliva masa visi zaka~en za vertikalna pru`ina. Na tasot se
nao|a teg so masa m1 = 1kg . Ako na tasot se dodade u{te eden teg so masa
m 2 = 0,5 kg , pru`inata }e se istegne za x = 15 cm . Da se najde periodot na
oscilirawe na tasot vo vertikalna nasoka koga na nego se nao|aat i dvata tega.
20. Telo so masa m = 0,5kg e obeseno za vertikalna pru`ina so zanemarliva
masa, pri {to taa se izdol`uva za ∆l = 8cm . Da se najde kru`nata frekvencija
na oscilaciite koi nastanuvaat koga teloto se pomesti vertikalno nadolu od
svojata ramnote`na polo`ba.
21. Na elasti~na pru`ina e obeseno telo. Pod dejstvo na te`inata na teloto
pru`inata se izdol`uva za ∆l = 9 cm . Da se opredeli amplitudata na
oscilaciite koi nastanuvaat koga teloto se pomesti vertikalno nadolu od
svojata ramnote`na polo`ba, pri {to maksimalnata brzina na teloto e
vmax = 70 cm/s .
22. Na dolniot kraj od zaka~ena `ica so dol`ina l = 2 m i povr{ina na
napre~niot presek S = 1mm se nao|a metalno telo so masa m = 2 kg . Kolkav e
periodot na aksijalnite oscilacii na vakov sistem? Jungoviot modul na
elasti~nosta na metalot od koj e napravena `icita e E y = 100 GPa .
2
23. Pri odreduvawe dlabo~ina na moreto so ultrazvuk se dobiva deka vremeto na
prostirawe na zvukot do dnoto i nazad e t = 4 s . Kolkava e dlabo~inata na
moreto, ako modulot na elasti~nosta na morskata voda e E = 2,2 ⋅ 10 N/m , a
9
gustinata
2
ρ = 1030 kg/m 3 .
24. Ako so ~ekan se udri vo ~elnata strana na {ina, nastanuva zvu~en signal koj
se prostira do drugiot kraj na {inata i se vra}a nazad za vreme t = 0,01s .
Kolkava e dol`inata na {inata, ako Jungoviot modul na elasti~nost na metalot
od koj e napravena {inata iznesuva E y = 210 GPa , a negovata gustina
ρ = 7 ⋅ 103 kg/m3 ?
32
IV. MEHANIKA NA FLUIDITE
1. Vo nekoja hidrocentrala na dnoto od branata e napraven otvor so povr{ina
S = 200 cm 2 . Ako visinata na branata e h = 70 m , da se presmeta najmalata sila
so koja e potrebno da se dejstvuva vrz zatvora~ot od ovoj otvor za da se spre~i
istekuvaweto na vodata. Gustinata na vodata e
S = 200 cm 2
ρ = 1000 kg/m 3 .
F
→ F = p⋅S
S
p = ph = ρ ⋅ g ⋅ h → F = ρ g h S ≈ 13,7 kN
p=
h = 70 m
ρ = 1000 kg/m 3
_____________
F =?
2. Kolkav e pritisokot vo moreto na dlabo~ina h = 500 m , ako gustinata na
morskata voda e ρ = 1050 kg/m , a atmosferskiot pritisok p0 = 10 Pa .
Gustinata na vodata da se smeta deka ne zavisi od dlabo~inata na moreto.
3
h = 500 m
5
p = p0 + p h
ρ = 1050 kg/m 3
ph = ρ ⋅ g ⋅ h →
p0 = 10 Pa
5
p = p0 + ρ g h ≈ 52,5 ⋅ 105 Pa
_____________
p=?
3. Te`ina na par~e varovnik mereno vo vozduh e Q = 19,62 N , a vo voda
Q0 = 9,81 N . Da se presmeta gustinata na varovnikot. Gustinata na vodata
iznesuva
ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
Q = 19,62 N
Q0 = 9,81 N
ρ 0 = 1000 kg/m 3
ρ =?
ρ=
m
V
m=
Q
g
→ ρ=
Q
g ⋅V
 F p = ρ 0 ⋅ g ⋅ V
Q − Q0
→ ρ 0 gV = Q − Q0 → V =

ρ0 ⋅ g
 F p = Q − Q0
Q
Q
ρ=
= ρ0 ⋅
= 2 ⋅ 103 kg/m 3
g ⋅V
Q − Q0
33
4. Bakarna {upliva topka te`i vo vozduh Q = 590 N , a potopena vo voda
Q0 = 440 N . Da se presmeta vnatre{niot radius na topkata. Gustinata na
bakarot e
ρ = 8900 kg/m 3 , a na vodata ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
Q = 590 N
V = V B + VS → VS = V − V B
Q0 = 440 N
ρ = 8900 kg/m 3
F p = Q − Q0 = ρ 0 ⋅ g ⋅ V
ρ 0 = 1000 kg/m 3
VS = V − V B =
______________
r =?
VB =
→ V=
m
ρ
=
Q
≈ 6,8 ⋅ 10 − 3 m 3
ρ⋅g
Q − Q0
≈ 15,3 ⋅ 10 − 3 m 3
ρ0 ⋅ g
Q(ρ − ρ 0 ) − ρ ⋅ Q0
≈ 8,5 ⋅ 10 − 3 m 3
ρ ⋅ ρ0 ⋅ g
3VS
3[Q(ρ − ρ 0 ) − ρ ⋅ Q0 ]
4
VS = π ⋅ r 3 → r =
=
≈ 12,7 cm
3
4π
4π ⋅ ρ ⋅ ρ 0 ⋅ g
5. Kolkava masa glicerin treba da se nalie vo {upliva staklena topka so masa
m1 = 30 g i nadvore{en radius r = 3 cm , za da topkata lebdi vo vodata.
Gustinata na vodata e
Q = Fp
m1 = 30 g
r = 3 cm
ρ 0 = 1000 kg/m
ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
3
Q = Q1 + Q2 = (m1 + m2 ) g
→ (m1 + m2 ) g = ρ 0 ⋅ g ⋅ V

Fp = ρ 0 ⋅ g ⋅ V
m2 = ρ 0 ⋅ V − m1
m2 = ?
4
V = π ⋅ r3
3
4
→ m2 = πρ 0 r 3 − m1 = 83 g
3
6. @elezno bure bez edno dno, so nadvore{en volumen V1 = 0,3 m , ima masa
3
m1 = 20 kg . Da se presmeta volumen na pesokot so gustina ρ 2 = 2000 kg/m 3 , koj
e potrebno da se stavi vo bureto, za da istoto se potopi vo voda. Gustinata na
vodata e
ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
V1 = 0,3m 3
m1 = 20kg
ρ 2 = 2000kg/m 3
ρ 0 = 1000kg/m 3
______________
V2 = ?
Q ≥ Fp
Q = Q1 + Q2 = (m1 + m2 )g
F p = ρ 0 ⋅ g ⋅ V1
m2 = ρ 0 ⋅ V1 − m1
V2 =
→
m2
ρ2
=
(m1 + m2 )g = ρ 0 ⋅ g ⋅ V1
ρ 0 ⋅ V1 − m1
= 0,14m 3
ρ2
34
7. Par~e mraz so cilindri~na forma i plo{tina na osnovata S = 200 cm pliva
vo voda. Delot od mrazot {to e nadvor od vodata ima visina h = 2 cm . Da se
2
presmeta masata na mrazot. Gustinata na mrazot e
ρ = 920 kg/m 3 , a na vodata
ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
Fp
h
S = 200 cm 2
h = 2 cm
 Q = m g = ρV g = ρ g H S

 Fp = ρ 0 g V1 = ρ 0 g S (H − h )
F p = Q → ρ H = ρ 0 (H − h )
H
ρ = 920 kg/m 3
ρ 0 = 1000 kg/m 3
Q
G
______________
m=?
H =h⋅
ρ0
ρ0 − ρ
m = ρ ⋅V = ρ ⋅ S ⋅ H =
ρ ⋅ ρ0 ⋅ h ⋅ S
=
ρ0 − ρ
= 4,6 kg
ρ = 700 kg / m 3 pliva vo voda vo nekoj sad. Gustinata na
3
3
vodata e ρ1 = 1000 kg/m . Vo sadot se naleva maslo so gustina ρ 2 = 600 kg/m ,
8. Drven blok so gustina
taka {to celiot blok se potopuva vo masloto. Kolkav e odnosot na volumenite
na delovite od drvoto koi se potopeni vo masloto i vo vodata ?
Q = m g = ρ ⋅ g ⋅ V = ρ ⋅ g (V1 + V2 )
ρ = 700 kg/m 3
ρ1 = 1000 kg/m 3
ρ 2 = 600 kg/m 3
______________
V2
=?
V1
V2
V1
ρ2
ρ1
F p1 = ρ1 ⋅ g ⋅ V1
F p 2 = ρ 2 ⋅ g ⋅ V2
Q = F p1 + F p 2
ρ (V1 + V2 ) = ρ1 ⋅ V1 + ρ 2 ⋅ V2
V2 ρ1 − ρ
=
=3
V1 ρ − ρ 2
9. Vozdu{en balon ima na svojot dolen del teret so masa m = 60 kg . Pod dejstvo
na potisnata sila balonot so teretot pa|a so zabrzuvawe a = 1m/s . Da se
presmeta masata na teretot koja e potrebno da se isfrli od korpata na balonot
za da balonot se dvi`i so istoto zabrzuvawe nagore.
2
m = 60 kg
a = 1m/s 2
_________
∆m = ?
 Q − F p = m ⋅ a
→ Q − Q1 = (m + m1 ) a

 F p − Q1 = m1 ⋅ a
m1 = m − ∆m
Q =m⋅g
Q1 = (m − ∆m )g
∆m (a + g ) = 2m a → ∆m =
2m a
≈ 11kg
a+g
35
10. Niz horizontalna cevka AV protekuva te~nost. Visinskata razlika me|u
nivoata na te~nosta vo cevkite a i b , postaveni kako na slikata , iznesuva
∆h = 10 cm . Dijametrite na cevkite a i b se ednakvi. Da se odredi brzinata na
te~nosta vo cevkata AV.
a
b
∆h
∆h = 10 cm
h2
__________
v=?
h1
A
1
2
V
v
ρ v12
p1 +
2
= p2 +
v
p1 = ρ g h1
 t. 1: v1 = v

 t. 2 : v2 = 0
ρ v22
2
p2 = ρ g h2

ρ v2
 p2 − p1 =
→ v = 2 g ∆h ≈ 1,4 m/s

2
 p − p = ρ g (h − h ) = ρ g ∆h
 2
1
2
1
11. Visinskata razlika pome|u napre~nite preseci S1 i S 2 vo cevkata niz koja
te~e voda e ∆h = 1 m , a razlikata vo nadvore{nite pritisoci e ∆p = 10 Pa . Da
se odredat srednite brzini vo tie preseci, ako se znae deka nivnata razlika e
4
∆v = 4 m/s . Gustinata na vodata e ρ = 103 kg/m 3 .
∆h = 1 m
S1
p1
∆p = 10 4 Pa
∆v = 4 m/s
ρ = 10 kg/m
3
 ∆p = p1 − p 2

 ∆h = h1 − h2
 ∆v = v − v
2
1

v1
∆h
3
p2
_____________
v1 = ? v2 = ?
p1 + ρ g h1 +
v1 + v2 =
v2
S2
ρ v12
2
= p2 + ρ g h2 +
2 (∆p + ρ g ∆h )
≈ 10 m/s
ρ ∆v
ρ v22
2
→ v22 − v12 =
2 (∆p + ρ g ∆h )
ρ
 v1 + v2 = 10 m/s
 v1 = 3 m/s
→ 

 v2 − v1 = 4 m/s
 v2 = 7 m/s
36
12. Voda strui niz horizontalna cevka so promenliv presek. Razlikata na
pritisocite na mestata kade {to povr{inite na napre~nite preseci se
S1 = 10 cm 2 i S 2 = 5 cm 2 e h = 40 cm voden stolb. Da se odredi protokot na
vodata niz cevkata.
S1 = 10 cm 2
S 2 = 5 cm 2
h = 40 cm
p1 1
v1
p2 2
v2
__________
Q=?
Q = Q1 = v1 ⋅ S1 = Q2 = v2 ⋅ S 2
 1
1 
v22 − v12 = 2 g h → Q 2  2 − 2  = 2 g h
 S 2 S1 
Q = S1 ⋅ S 2
2gh
S12
−
S 22
≈ 1,6 ⋅ 10 − 3 m 3 /s

ρ v12
ρ v22
 p1 +
= p2 +

2
2
 p −p =ρ gh
 1
2
↓
v 22 − v12 = 2 g h
13. Na kolkava visina mo`e da se iska~i voda vo vodovodnite cevki kaj edna
pove}ekatnica, ako vo nejzinata osnova pritisokot na vodata e p = 5 ⋅ 10 Pa .
5
14. Vo cilindri~en sad se nao|aat ednakvi masi na `iva i voda. Vkupnata visina
na te~niot stolb vo sadot e h = 146 cm . Kolkav e pritisokot na dnoto od sadot?
Gustinata na `ivata e
ρ1 = 13,6 ⋅ 103 kg/m3 , a na vodata ρ 2 = 103 kg/m3 .
15. Par~e `elezo vo vozduh te`i Q = 7,8 N , a vo benzin Q1 = 7,1 N . Da se odredi
gustinata na benzinot. Gustinata na `elezoto iznesuva
ρ = 7,8 ⋅ 103 kg/m3 .
16. Metalna {upliva topka so vnatre{en radius r = 15 cm te`i vo vozduh
Q = 790 N , a potopena vo voda Q0 = 550 N . Da se odredi gustinata na metalot
od koj e napravena topkata. Gustinata na vodata e
ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
37
17. Par~e lieno `elezo te`i vo vozduh Q = 250 N , a vo voda Q0 = 200 N . Da se
odredi volumenot na {uplinata vo toa par~e `elezo. Gustinata na `elezoto
iznesuva
ρ = 7800kg/m 3 , a na vodata ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
18. Dve tela so ist volumen, a razli~ni masi potopeni se vo voda. Ednoto od niv
koe ima masa m1 = 3 kg pa|a niz vodata vertikalno nadolu so postojano
zabrzuvawe a = 3 m/s , a vtoroto se ka~uva vertikalno nagore niz vodata so isto
zabrzuvawe. Kolkava e masata na vtoroto telo ?
2
19. Drven trupec so dol`ina l = 2 m i dijametar d = 40 cm pliva vo voda. Da se
presmeta masata na ~ovekot {to mo`e da zastane na trupecot bez da gi nakvasi
nozete. Gustinata na trupecot e
ρ = 700 kg/m 3 , a na vodata ρ 0 = 1000 kg/m 3 .
20. Vo ~a{a voda pliva par~e mraz so gustina ρ = 910 kg/m . Kolkav e odnosot
na volumenite na potopeniot i nepotopeniot del od par~eto mraz? Gustinata na
3
vodata e
ρ 0 = 1000kg/m 3 .
21. Kocka napravena od homogena supstancija so gustina ρ = 750 kg/m pliva
izme|u dve te~nosti koi ne se me{aat. Gustinata na gornata te~nost e
3
ρ1 = 600 kg/m3 ,
a na dolnata ρ 2 = 1000 kg/m . Delot od kockata potopen vo
gornata te~nost ima visina h = 10 cm . Da se presmeta masata na kockata.
3
22. So koja brzina istekuva vodata niz otvor koj le`i h = 2 m ispod nejzinoto
postojano nivo? Vodata se nao|a vo zatvoren sad, a pritisokot iznad nea iznesuva
p = 1,52 ⋅ 105 Pa . Nadvore{niot pritisok e normalen p0 = 1,01 ⋅ 10 5 Pa , a
gustinata na vodata e
ρ = 103 kg/m 3 .
23. Povr{inata na klipot vo eden {pric e S1 = 2 cm , a povr{inata na otvorot
2
S 2 = 1mm 2 . Za koe vreme }e iste~e vodata od {pricot, postaven horizontalno,
ako na klipot dejstvuva sila F = 10 N i ako odot na klipot e l = 5 cm ?
Gustinata na vodata e
ρ = 103 kg/m3 .
Download

ODBRANI ZADA^I PO FIZIKA I