Aplikácie určitého integrálu II
Poznámka. Na úvod tejto kapitoly opäť uvedieme vzorce, ktoré tu budeme potrebovať. A síce ide o formuly na výpočet obsahu elementárnej oblasti, objemu rotačného telesa, dĺžky krivky a povrchu
rotačného telesa pre krivky dané parametricky resp. v polárnych súradniciach.
Krivky dané parametricky
Obsah rovinného útvaru
Poznámka.
Naznačíme odvodenia vzorca na výpočet obsahu útvaru pod krivkou danou parametricky.
Ak je funkcia daná explicitne, pre obsah krivočiareho lichobežníka na nejakom intervale 〈a; b〉 platí
Ak máme túto krivku danú parametricky rovnicami x = ϕ(t), y = ψ(t), hneď dostaneme
kde u resp. v sú hodnoty, medzi ktorými sa pohybuje parameter t, keď sa pohybujeme po krivke ohraničujúcej (zhora) lichobežník v smere zľava doprava (resp. pohybujeme sa po krivke v smere
hodinových ručičiek).
Predpokladáme, že y = ψ(t) je nezáporná funkcia. Napriek tomu môže byť uvedený integrál rovný nejakému zápornému číslu. Totiž, jeho kladnú či zápornú hodnotu ovplyvňuje aj funkcia x = ϕ´(t).
Preto musíme vyššie uvedenú formulu pre výpočet obsahu písať v tvare
kde ϕ(α) = a; ϕ(β) = b.
"Problémov" so znamienkami sa zbavíme aj v prípade, že hľadaný vzorec napíšeme v tvare
Príklad.
Nájdite vzorec na výpočet obsahu elipsy.
Riešenie.
Elipsa má parametrické vyjadrenie x = a cos t, y = b sin t; t∈〈0; 2π〉 . Potom pre jej obsah platí:
Alebo jednoduchšie:
Poznámka. Samozrejme, že pri riešení nám veľmi pomôže geometrická predstava elipsy resp. jej náčrt. Čitateľ si tak uvedomí, že nemusí počítať celý obsah, ale napríklad jeho polovicu či štvrtinu. Často
sa týmto postupom zjednoduší výpočet integrálu či výpočet samotného obsahu. Teraz sme mohli napríklad mohli využiť, že platí:
(V prípade, že a = b dostávame kružnicu, a tým aj známy vzorec na výpočet obsahu kruhu.)
Príklad.
Nájdite obsah plochy ohraničenej cykloidou x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); t∈〈0; 2π〉 .
Riešenie.
Priamo po dosadení dostávame
Príklad.
Nájdite obsah plochy ohraničenej asteroidou x = a cos3 t, y = a sin3 t; kde t∈〈0; π/2〉 .
Riešenie.
Vzhľadom na symetrickosť asteroidy môžeme počítať jednu štvrtinu hľadaného obsahu.
Objem telesa
Príklad.
Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); t∈〈0; 2π〉 okolo osi ox.
Riešenie.
Po dosadení dostaneme
Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t; kde t∈〈0; π/2〉 , okolo osi ox.
Príklad.
Funkcia y = ψ(t) je nezáporná, deriváciu funkcie x = ϕ(t) tiež ľahko nájdeme. Potom
Riešenie.
Dĺžka krivky
Poznámka.
Naznačíme odvodenie vzorca pre výpočet dĺžky krivky danej parametricky.
Ak máme funkciu danú explicitne, pre dĺžku krivky na intervale 〈a; b〉 platí
Ak "umiestnime" diferenciál dx pod odmocninu, dostaneme
kde body A, B označujú začiatok resp. koniec oblúka AB.
Nech parametrické rovnice našej krivky sú
x = ϕ(t), y = ψ(t)
a čísla α, β sú tie hodnoty parametra t, ktoré odpovedajú začiatku resp. koncu našej krivky (α < β).
Potom pre dĺžku tejto krivky platí
Príklad.
Nájdite vzorec na výpočet dĺžky kružnice.
Riešenie.
Kružnica ja parametricky daná rovnicami x = r cos t, y = r sin t; kde t∈〈0; 2π〉 . Potom pre jej dĺžku platí
Príklad.
Vypočítajte dĺžku oblúka cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); t∈〈0; 2π〉 .
Riešenie.
Po dosadení máme
Vypočítajte dĺžku oblúka asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t; kde t∈〈0; π/2〉 .
Príklad.
Riešenie.
Opäť stačí dosadiť do vzorca, dostaneme d = 6a.
Príklad.
Vypočítajte dĺžku oblúka krivky danej rovnicami x = a(cos t + ln tg (t/2)), y = a sin t; kde t∈〈π/2; 5π/6〉 .
Riešenie.
Po dosadení (a správnom výpočte integrálu) dostaneme d = - a ln (1/2).
Povrch telesa
Príklad.
Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou kružnice x = a cos t, y = a sin t.
Riešenie.
Zrejme už teraz poznáme výsledok - mali by ním byť vzorec na výpočet objemu gule. Ale overme si to. Počítajme:
Príklad.
Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); t∈〈0; 2π〉 .
Riešenie.
Po dosadení do vzorca dostaneme:
Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t;
Príklad.
Riešenie.
kde t∈〈0; π/2〉 .
Vypočítajme polovicu hľadaného povrchu:
Funkcie dané v polárnych súradniciach
Obsah rovinného útvaru
Nájdite obsah obrazca ohraničeného krivkou r = a cos ϕ, kde ϕ∈〈− π/2; π/2).
Príklad.
Riešenie. Daná krivka je kružnica s priemerom a (dĺžka sprievodiča sa totiž rovná dĺžke odvesny pravouhlého trojuholníka zostrojeného nad preponou a). Výpočtom teda dostaneme známy vzorec na
výpočet obsahu kruhu:
Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou r = 4 sin2 ϕ, kde ϕ∈〈0; π〉 .
Príklad.
Riešenie.
Po dosadení do vzorca dostaneme P = 3π.
Nájdite obsah obrazca ohraničeného krivkou r = a |sin 2ϕ|, ϕ∈〈0; 2π〉 .
Príklad.
Riešenie.
Daná krivka vytvára štyri rovnaké slučky (v karteziánskej súradnicovej sústave je každá umiestnená v jednom kvadrante), preto nám stačí počítať jednu štvrtinu obsahu.
Nájdite obsah časti roviny ohraničenej jedným závitom Archimedovej špirály r = aϕ, kde ϕ∈〈0; 2π〉 .
Príklad.
Riešenie.
Ľahko nahliadneme, že pre obsah tohto útvaru platí
Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou r = a cos 3ϕ, ϕ∈〈0; 2π〉 (tzv. "trojlístková ruža").
Príklad.
Riešenie.
Vzhľadom na symetriu tohto útvaru nám stačí vypočítajme jednu šestinu hľadaného obsahu.
Nájdite obsah časti roviny ohraničenej kardioidou r = a(1 + cos ϕ), ϕ∈〈0; 2π〉 .
Príklad.
Stačí dosadiť do vzorca, P = 3a2π/2.
Riešenie.
Príklad.
Nájdite obsah časti roviny ohraničenej Bernoulliho lemniskátou
Riešenie.
Daná krivka je symetrická, a preto nám stačí počítať štvrtinu hľadaného obsahu:
Objem telesa
Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou kardioidy r = a(1 + cos ϕ), ϕ∈〈0; π〉 , okolo polárnej osi.
Príklad.
Riešenie.
Stačí nám dosadiť do vzorca:
Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky r = a sin 2ϕ, ϕ∈〈0; π〉, okolo polárnej osi.
Príklad.
Riešenie.
Po dosadení a úprave integrálu dostávame:
Dĺžka krivky
Poznámka.
Naznačíme odvodenie vzorca na výpočet dĺžky krivky danej v polárnych súradniciach.
Majme krivku danú rovnicou
r = r(ϕ)
Τáto krivka má parametrické vyjadrenie
x = r(ϕ) cos ϕ , y = r(ϕ) sin ϕ.
Κeďže pre dĺžku krivky platí (ako sme zistili pri krivke danej parametricky)
vyjadrime
Po dosadení dostávame
kde α, β (α < β) odpovedajú začiatočnému (A) resp. koncovému bodu krivky (B).
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Nájdite vzorec na výpočet obvodu kruhu.
Rovnica kružnice je v polárnych súradniciach
r = k, kde k je kladná konštanta. Obvod kruhu potom už ľahko nájdete.
Nájdite dĺžku Archimedovej špirály r = aϕ po ľubovoľný bod M, ktorý odpovedá uhlu ϕ.
Po dosadení dostaneme
Vypočítajte dĺžku oblúka kardioidy r = 2a(1 + cos ϕ), ϕ∈〈0; 2π〉 .
Počítajme:
Nájdite dĺžku krivky r = a sin3(ϕ / 3), ϕ∈〈0; 3π〉 .
Stačí nám dosadiť do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:
Vypočítajte dĺžku hyperbolickej špirály r = 1/ϕ medzi bodmi A[2; 0,5] a B[0,5; 2].
Pre hľadanú dĺžku krivky platí
Povrch telesa
Príklad.
Riešenie.
Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou kardioidy r = 2a(1 + cos ϕ), ϕ∈〈0; π〉 , okolo polárnej osi (a > 0).
Funkcia r(ϕ) je nezáporná, jej deriváciu tiež ľahko nájdeme. Potom pre hľadaný povrch platí:
Download

výpočet P, V, d, S telies pri funkciách daných parametricky