8. t´
yden
Druh´
a fundament´
aln´ı forma IIs orientovan´e plochy S v bodˇe x s jednotkovou norm´alou Nx
je kvadratick´a forma definovan´a na teˇcn´em prostoru Tx S n´
asleduj´ıc´ım zp˚
usobem: Necht’ w ∈ Tx S
′
a c(t) libovoln´
a kˇrivka na ploˇse S takov´a, ˇze c(t0 ) = x a c (t0 ) = w:
IIx (w) := c′′ (t0 ) · Nx .
Je-li p(u, v) mapa, pak je druh´
a fundament´
aln´ı forma v kaˇzd´em bodˇe vyj´adˇrena v˚
uˇci b´
azi {pu , pv }
symetrickou matic´ı
h11 h12
puu · N puv · N
H=
=
.
pvu · N pvv · N
h21 h22
Norm´
alov´
a kˇ
rivost plochy S v bodˇe x ve smˇeru w ∈ Tx S
κn (w) :=
IIx (w)
.
Ix (w)
Minimum κ1 a maximum κ2 norm´
alov´e kˇrivosti se naz´
yvaj´ı hlavn´ı kˇ
rivosti a odpov´ıdaj´ıc´ı smˇery
se naz´
yvaj´ı hlavn´ı smˇ
ery. Hlavn´ı kˇrivosti a hlavn´ı smˇery vyj´adˇren´e v souˇradnic´ıch v˚
uˇci b´
azi
{pu , pv } nalezneme jako ˇreˇsen´ı rovnice s nezn´
am´
ymi λ a (a, b)T
a
h11 − λg11 h12 − λg12
a
(H − λG)
=
= 0,
b
b
h21 − λg21 h22 − λg22
Gaussova kˇ
rivost
K = κ1 κ2 =
Stˇ
redn´ı kˇ
rivost
H=
h11 h22 − h212
det H
2 = det G
g11 g22 − g12
h11 g22 − 2h12 g12 + h22 g11
κ1 + κ2
=
2 )
2
2(g11 g22 − g12
Rozvinutelnou plochou rozum´ıme plochu s nulovou Gaussovou kˇrivost´ı.
Plochu nazveme pˇ
r´ımkovou, pokud kaˇzd´
ym jej´ım bodem proch´
az´ı pˇr´ımka, kter´
a cel´a leˇz´ı v ploˇse.
Pˇ
r´ıklady
1. V libovoln´em bodˇe sf´ery x2 + y 2 + z 2 = r2 urˇcete norm´alovou kˇrivost v obecn´em smˇeru,
hlavn´ı kˇrivosti, Gaussovu a stˇredn´ı kˇrivost.
2. V libovoln´em bodˇe plochy x sin z − y cos z = 0 vypoˇc´ıtejte norm´alovou kˇrivost v obecn´em
smˇeru a hlavn´ı kˇrivosti.
3. V obecn´em bodˇe urˇcete hlavn´ı kˇrivosti na rozvinuteln´
ych ploch´
ach:
(a) kuˇzelov´e ploˇse.
(b) v´alcov´e ploˇse.
(c) ploˇse teˇcen prostorov´e kˇrivky.
Parametrizace tˇechto ploch jsou v ˇreˇsen´ı.
4. Pro plochu danou mapou p(u, v) = [u, v, u2 − v 2 ] v bodˇe p(0, 0) urˇcete norm´alovou kˇrivost
v libovoln´em smˇeru, hlavn´ı kˇrivosti a hlavn´ı smˇery.
5. Urˇcete hlavn´ı kˇrivosti a hlavn´ı smˇery v libovoln´em bodˇe toru s mapou
p(u, v) = [(R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u], u, v ∈ (0, 2π) a R > r.
6. Urˇcete prvn´ı a druhou z´
akladn´ı formu plochy nˇejak´e mapy elipsoidu
Gaussovu a stˇredn´ı kˇrivost v bodˇe [a, 0, 0].
x2
a2
2
2
+ yb2 + zc2 = 1. Urˇcete
7. Urˇcete Gaussovu kˇrivost obecn´e pˇr´ımkov´e plochy, ukaˇzte, ˇze nikdy nen´ı kladn´
a.
8. Vypoˇctˇete Gaussovu kˇrivost pseudosf´ery s mapou
p(u, v) = [e−u cos v, e−u sin v,
Z
0
u
p
1 − e−2t dt].
9. Urˇcete funkci f (t) tak, aby byla plocha s mapou p(u, t) = [f (t) − 2u, tf (t) − 2tu, u + ut2 ]
rozvinutelnou.
ˇ sen´ı
Reˇ
1. κn = 1r , vˇsechny smˇery jsou hlavn´ı, K =
1
r2 ,
H=
1
r
2. V parametrizaci p(u, v) = [u cos v, u sin v, v] jsou hlavn´ı kˇrivosti κ± = u±1
ımi
2 +1 s hlavn´
−2w1 w2
1
√
√
smˇery pu ± 1+u2 pv a norm´
alov´a kˇrivost κn (w) = u2 +1(w2 +(u2 +1)w2 ) , kde p´ıˇseme w =
1
2
w1 pu + w2 pv .
3. (a) Pro p(s, v) = vc(s), kde s je oblouk na kˇrivce c(s), kter´
a leˇz´ı na jednotkov´e sf´eˇre. Pak
′ ′′
,c ]
=
0.
,
κ
hlavn´ı kˇrivosti jsou κ1 = det[c,c
n2
v
(b) Pro p(s, v) = c(s)+va, kde s je oblouk na kˇrivce c(s) a a konstantn´ı jednotkov´
y vektor.
Pak hlavn´ı kˇrivosti jsou κn1 = det[c′′ , c, a], κn2 = 0.
(c) Pro plochu teˇcen p(s, u) = c(s) + uc′ (s) kˇrivky c(s) parametrizovan´e obloukem jsou
τ
, κ2 = 0.
hlavn´ı kˇrivosti κ1 = uκ
4. κ1 = 2 s hlavn´ım smˇerem (1, 0, 0), κ2 = −2 s hlavn´ı smˇerem (0, 1, 0). Norm´
alov´a kˇrivost ve
smˇeru w, kter´
y sv´ır´
a se smˇerem (1, 0, 0) u
´hel α plat´ı κn = 2 cos 2α.
5. Hlavn´ı smˇery jsou pu , pv s hlavn´ımi kˇrivostmi po ˇrade κ1 = 1r , κ2 =
cos u
R+r cos u
6. Pro mapu p(u, t) = [a cos t cos u, b sin t cos u, c sin u], u ∈ (0, 2π), t ∈ (−π/2, π/2) je
2
1 2
2
sin u(a2 cos2 t + b2 sin2 t) + c2 cos2 u
4 (a − b ) sin 2t sin 2u
G=
1 2
2
cos2 u(a2 sin2 t + b2 cos2 t)
4 (a − b ) sin 2t sin 2u
H=
K=
p
−abc
0
· b2 c2 cos4 u cos2 v + a2 c2 cos4 u sin2 v + a2 b2 sin2 u cos2 u.
0
−abc cos2 u
a2
b2 c2
aH=
a(b2 +c2 )
2b2 c2 .
h2
12
7. Pro plochu p(s, v) = c(s) + va(s) je K = − det[G]
.
8. K = −1.
9. f (t) =
c
1+t2 ,
c∈R
Download

8. týden