1
Sf´
erick´
a trigonometrie
Obr´azek 1: Sf´erick´
y troj´
uheln´ık
• a, b, c, α, β, γ ∈ (0o , 180o )
• Souˇcet libovoln´
ych dvou stran je vetˇs´ı neˇz strana tˇret´ı.
• Proti stejn´
ym stran´am leˇz´ı stejn´e u
´hly, proti vetˇs´ı stranˇe leˇz´ı vetˇs´ı u
´hel.
• Souˇcet vˇsech stran je menˇs´ı neˇz 360o , tj. a + b + c < 360o .
• Souˇcet vˇsech u
´hlu je vetˇs´ı neˇz 180o a menˇs´ı neˇz 540o , tj. 180o < a + b +
g < 540o .
• Rozd´ıl mezi souˇctem vˇsech u
´hlu sf´erick´eho troj´
uheln´ıku a u
´hlem pr´ım´
ym
se naz´
yv´a exces sf´erick´eho troj´
uheln´ıku (nadbytek), znac´ı se e, tj. e =
a+b
1
1.1
Pol´
arn´ı troj´
uheln´ık
Obr´azek 2: Pol´arn´ı troj´
uheln´ık
Strany pol´arn´ıho troj´
uheln´ıku jsou a0 = 180◦ − α, b0 = 180◦ − β, c0 =
180◦ − γ; jeho u
´hly jsou α0 = 180◦ − a, β0 = 180◦ − b, γ0 = 180◦ − c
1.2
Vzorce pro sf´
erickou trigonometrie
• Sinov´a vˇeta
sin c · sin α = sin a · sin γ
sin a
sin c
=
sin α
sin γ
• Kosinov´a vˇeta pro stranu
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α
• Kosinov´a vˇeta pro u
´hel
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a (a cyklick´e rovnosti).
1.3
SSS
´
Uhly
sf´erick´eho troj´
uheln´ıku urˇc´ıme jednoduchou u
´pravou z kosinov´e vˇety
cos α =
cos a − cos b cos c
sin b sin c
2
(a cyklick´e nerovnosti).
1.4
UUU
Pˇri ˇreˇsen´ı u
´lohy vyuˇzijeme vlastnost´ı pol´arn´ıch sf. troj´
uheln´ık˚
u a dosazen´ım
do vztah˚
u
a0 = 180◦ − α,
b0 = 180◦ − β,
c0 = 180◦ − γ
pˇrevedeme zad´an´ı UUU na u
´lohu typu SSS. Pouˇzit´ım vztah˚
u pro pol´arn´ı
sf´erick´e troj´
uheln´ıky je moˇzn´e odvodit i podm´ınky urˇcenosti sf´erick´eho troj´
uheln´ıku
ou
´hlech α, β, γ:
1.5
SUS
Zn´ame stranu a, b, γ. Stranu c sf´erick´eho troj´
uheln´ıku vypoˇcteme z kosinov´e
vˇety pro stranu
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ.
V okamˇziku, kdy zn´ame strany a, b, c sf´erick´eho troj´
uheln´ıku m˚
uˇzeme pˇristoupit
k ˇreˇsen´ı u
´lohy SSS, kter´e je pops´ano v ˇc´asti ??.
1.6
USU
´
Zn´ame stranu α, β, c. Uhel
γ sf´erick´eho troj´
uheln´ıku vypoˇcteme z kosinov´e
vˇety pro u
´hel
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c.
Z´ısk´ame tak zad´an´ı u
´lohy UUU, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı jiˇz bylo zm´ınˇeno (´
ulohu UUU
pˇrevedeme s vyuˇzit´ım vlastnost´ı sf´erick´
ych pol´arn´ıch troj´
uheln´ık˚
u na u
´lohu
SSS).
3
1.7
Cviˇ
cen´ı
Vypˇctˇete azimut a zvd´alenost z vaˇseho bydliˇste k meˇsitˇe al-Masdˇzid al-Haram
v Mekce v Saudsk´e ar´abii. Souˇradnice zjistˇete napˇr. pomoc´ı aplikace Google
Earth.
2
Loxodroma a ortodroma
2.1
Ortodroma
Ortodroma (ˇrecky orthos - pˇr´ım´
y, dromos - cesta) je nejkratˇs´ı spojnice dvou
bod˚
u na kulov´e ploˇse (napˇr. povrchu Zemˇe). Tvoˇr´ı ji kratˇs´ı oblouk hlavn´ı
kruˇznice (jej´ı stˇred spl´
yv´a se stˇredem Zemˇe).
Azimut ortodromy (dle sf´er. trig):
tan A1 2 =
sin(∆V ) · cos U2
sin U2 · cos U1 − cos U2 · sin U1 · cos ∆V
D´elka ortodormy:
cos σ1 2 = sin U1 · sin U2 + cos U1 · cos U2 · cos ∆V
2.2
Loxodroma
Loxodroma - kˇrivka na referenˇcn´ı ploˇse, kter´a prot´ın´a vˇsechny poledn´ıky pod
st´ale stejn´
ym u
´hlem - azimutem.
Azimut loxodromy:
tan A =
U2 − U1
arctanhsin V2 − arctanh(sin V1 )
D´elka loxodormy
s=R
V2 − V1
cos A
4
Download

1 Sférická trigonometrie