Uk´
azka 1
Necht’ m´a funkce z = f (x, y) spojit´e parci´
aln´ı derivace. Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny ke
grafu t´eto funkce v bodˇe A = x0 , y0 , z0 .
Transformujte diferenci´aln´ı v´
yraz
x
∂f
∂f
+y
∂x
∂y
do pol´arn´ıch souˇradnic r a ϕ, kter´e jsou definov´any vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Necht’ jsou v okol´ı bodu [1, 2, 0] pomoc´ı soustavy rovnic
y 2 + z 2 − xy + exz = 3
xy + xz + yz − 2z = 2 ,
definov´any funkce y(x) a z(x). Najdˇete jejich druh´e derivace y 00 (1) a z 00 (1).
Pomoc´ı substituce u = xy 2 a v =
Ω ⊂ R2 , kter´a je d´ana nerovnostmi
y
najdˇete souˇradnici yT tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı oblasti
x
1 ≤ xy 2 ≤ 8 ,
x ≤ 27y ≤ 27x ,
jestliˇze v´ıte, ˇze jej´ı obsah je 9.
Necht’ jsou i, j, resp. k jednotkov´e vektory ve smˇeru osy x, y, resp. z. Najdˇete pr´aci
silov´eho pole f = zi + xj + 2yk po kˇrivce dan´e parametrick´
ymi rovnicemi
x = ln t ,
y = t,
z=
1
,
t
1 ≤ t ≤ 2,
kter´a je orientovan´a ve smˇeru rostouc´ıho parametru t.
Najdˇete hmotnost plochy S, kter´a je dan´a rovnicemi
z 2 = x2 − y 2 ,
a jej´ıˇz hustota je ρ(x, y, z) = z.
y 2 + z 2 ≤ 2y ,
x, z ≥ 0
Uk´
azka 2
Necht’ m´a funkce f (x, y) spojit´e parci´aln´ıderivace
uv polynom
n–t´eho ˇra´du. Napiˇste Taylor˚
stupnˇe n t´eto funkce se stˇredem v bodˇe x0 , y0 .
Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = x +
y2
z2 2
+
+ , kde x, y, z > 0.
4x
y
z
Necht’ je funkce z = z(x, y) definov´ana v okol´ı bodu [1, 1, −1] jako ˇreˇsen´ı rovnice
p
x2 − y 2 + z 2 + 2 x2 + y 2 + z 2 + xz + yz = 3 .
Najdˇete jej´ı parci´aln´ı derivaci
∂ 2z
(1, 1).
∂x∂y
Najdˇete souˇradnici xT homogenn´ıho tˇelesa T ⊂ R3 , kter´e je d´ano nerovnostmi
9x2 + 4y 2 ≤ z 2 ,
0 ≤ z ≤ 3,
x ≥ 0,
jestliˇze v´ıte, ˇze jeho objem je V = 43 π.
Z
Najdˇete kˇrivkov´
y integr´al
(x dx + z dy − 2y dz), kde C je kˇrivka dan´a rovnicemi
C
x2 + y 2 + z 2 = 1 ,
x2 + y 2 = y ,
kter´a leˇz´ı v prvn´ım oktantu, tj. x, y, z ≥ 0, a zaˇc´ın´a v bodˇe [0, 0, 1].
Najdˇete obsah plochy S, kter´a je d´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x = uv ,
y = 21 (u2 − v 2 ) ,
z = 12 (u2 + v 2 ) ,
u2 + v 2 ≤ 2 ,
u, v ≥ 0 .
Uk´
azka 3
Jak najdete objem rovnobˇeˇznostˇenu, jehoˇz strany jsou vektory u = (u1 , u2 , u3 ), v =
(v1 , v2 , v3 ) a w = (w1 , w2 , w3 )?
Necht’ je funkce f (x, y) definov´ana vztahem f (x, y) = F u(x, y), v(x, y) , kde funkce
F (u, v) m´a spojit´e druh´e parci´aln´ı derivace a
√
u(x, y) = ln x + 1 + x2 ,
v(x, y) = x2 + xy + y 2 .
Vyj´adˇrete
∂ 2f
pomoc´ı parci´aln´ıch derivac´ı funkce F (u, v).
∂x∂y
Necht’ je funkce y(x) definov´ana v okol´ı bodu [1, 0] rovnic´ı
ln
p
x2 + y 2 = arctg
y
.
x
Najdˇete jej´ı Taylor˚
uv polynom druh´eho ˇra´du se stˇredem v bodˇe x = 1.
Z
∞
Necht’ je I =
2
e−x dx. Pak plat´ı rovnost
0
Z
Z
∞
2
I =
−x2
e
dx
0
ZZ
∞
e
−y 2
2 −y 2
e−x
dy =
0
dx dy ,
Ω
kde Ω ⊂ R2 je d´ana nerovnostmi x, y > 0.
Pomoc´ı substituce do pol´arn´ıch souˇradnic najdˇete integr´al I.
Najdˇete d´elku kˇrivky C, kter´a je d´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x=
t
,
1 + t2
y=
1
,
1 + t2
t ∈ R.
Necht’ jsou i, j, resp. k jednotkov´e vektory ve smˇeru souˇradn´
ych os x, y, resp. z. Najdˇete
tok vektoru v = xi + yj + zk plochou S, kter´a je d´ana vztahy
p
0≤z≤1
z = 1 − x2 + y 2 ,
a je orientov´ana tak, ˇze tˇret´ı sloˇzka vektoru jej´ı norm´aly je kladn´a.
Uk´
azka 4
Necht’ m´a vektorov´a funkce f (x, y, z) spojit´e parci´aln´ı derivace. Co je div f (x, y, z)?
V bodˇe A = [1, −1, 2] najdˇete parametrick´e rovnice teˇcny ke kˇrivce C, kter´a v okol´ı bodu
A je d´ana jako ˇreˇsen´ı soustavy rovnic
z 2 − xy + yz + x sin(x + y) = 3 ,
xy + xz + yz + 1 = 0 .
Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x2 − 3xy − 2y 2 za podm´ınky x2 + y 2 = 40.
Pomoc´ı substituce x = r cos2 ϕ, y = r sin2 ϕ, kde r > 0 a 0 < ϕ <
oblasti Ω ⊂ R2 , kter´a je urˇcena nerovnostmi
4
x + y ≤ 4xy ,
x, y ≥ 0 .
1
2
π, najdˇete obsah
Najdˇete hmotnost kˇrivky C, kter´a je d´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x = e−t cos t ,
y = e−t sin t , z = e−t ,
p
jestliˇze je jej´ı line´arn´ı hustota ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
0 < t < ∞,
Najdˇete ploˇsn´
y integr´al
ZZ 2
2
2
(x + yz) dy dz + (y + xz) dz dx + (z + xy) dx dy ,
S
kde S je kladnˇe orientovan´a hranice polokoule
x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,
z ≥ 0.
Uk´
azka 5
Necht’ m´a vektorov´a funkce f (x, y, z) spojit´e parci´aln´ı derivace. Co je rot f (x, y, z)?
Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny v bodˇe A = [2, −1, 1] k ploˇse S, kter´a je v okol´ı bodu A
definov´ana rovnic´ı
xy ln(x − z 2 ) + zex(y+z) = 1 .
Jak´e rozmˇery m´a otevˇren´a vana, kter´a m´a pr˚
uˇrez p˚
ulkruh a dan´
y povrch stˇen S = 27π m2
a kter´a m´a nejvˇetˇs´ı objem?
Najdˇete objem tˇelesa T ⊂ R3 , kter´e je d´ano nerovnostmi
p
x2 + y 2 ≤ 2z ,
z − 4 ≤ x2 + y 2 .
Najdˇete potenci´al vektorov´eho pole
x
y
z
f (x, y, z) =
,
,
(x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
a pomoc´ı toho spoˇc´ıtejte pr´aci pole f po kˇrivce C, kter´a zaˇc´ın´a v bodˇe A = [2, −1, 2],
konˇc´ı v bodˇe B = [4, 0, −3] a neproch´az´ı poˇca´tkem souˇradnic.
Najdˇete obsah plochy S, kter´a je d´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x = 2r cos2 ϕ ,
y = r sin2 ϕ ,
z = r,
0 ≤ ϕ ≤ 21 π ,
0 < r < 1.
Uk´
azka 6
Jak spoˇc´ıt´ate mnoˇzstv´ı kapaliny, kter´e proteˇce za jednotku ˇcasu rovnobˇeˇzn´ıkem se stranami a = (a1 , a2 , a3 ) a b = (b1 , b2 , b3 ), jestliˇze je rychlost proudˇen´ı kapaliny v = (v1 , v2 , v3 ).
x+y
Najdˇete derivaci funkce f (x, y) = x2 y + ln p
v bodˇe A = [1, 1] ve smˇeru norm´aly
2 + y2
x
√
ke grafu funkce y = 3 x v bodˇe A.
Necht’ je funkce z = z(x, y) definov´ana v okol´ı bodu [1, −1, −1] jako ˇreˇsen´ı rovnice
yz 3 + x2 z + xy 2 − y 2 = 0 .
Najdˇete jej´ı Taylor˚
uv polynom druh´eho ˇra´du se stˇredem v bodˇe [1, −1].
Na plochu S ⊂ R2 , kter´a je d´ana nerovnostmi
3x2 + 2y 2 ≤ 6 ,
x2 + 2 ≤ 2y 2 ,
x, y > 0 ,
p˚
usob´ı tlak p(x, y) = 2y. Najdˇete celkovou s´ılu F , kter´a p˚
usob´ı na plochu S, tj. integr´al
ZZ
F =
p(x, y) dx dy .
S
Najdˇete souˇradnici yT tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı kˇrivky C, kter´a je d´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x = cos t ,
y = sin t ,
jestliˇze v´ıte, ˇze jej´ı d´elka je ln 2 +
z = 1 − ln cos t ,
0 ≤ t ≤ 31 π ,
√ 3 .
Necht’ jsou i, j, resp. k jednotkov´e vektory ve smˇeru souˇradn´
ych os x, y, resp. z. Najdˇete
2
tok vektoru v = yi − xj + z k plochou S, kter´a je pops´ana parametrick´
ymi rovnicemi
x = r cos t i + r sin t j + r2 k ,
0 < t < π,
0 < r < 1,
a je orientov´ana tak, ˇze tˇret´ı sloˇzka vektoru jej´ı norm´aly je kladn´a.
Download

Ukázka 1