Dynamika tuhého tělesa
Petr Šidlof
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření,
který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Dynamika tuhého tělesa 2
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
První věta impulsová
r d pr
r
F=
= m at
dt
Výslednice vnějších sil
r
r r
FA + FB + FC
Celková hybnost
soustavy
r
r
p = ∑ pi
Zrychlení
těžiště
Hmotnost
soustavy
m = ∑ mi
→ těžiště soustavy se pohybuje jako by v něm byla soustředěná veškerá hmotnost
r
F=0:
zákon zachování hybnosti soustavy (srážky těles, ...)
Dynamika tuhého tělesa 3
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Translační pohyb tělesa
Rychlosti všech bodů stejné
→ řešení dynamiky translačního pohybu
tělesa je ekvivalentní dynamice HB
Hybnost elementu dm:
Hybnost tělesa:
r
r
d p = dm v
r
r
r
r
p = ∫ v dm = v ∫ dm = m v
m
m
hmotnost tělesa
r d pr
→ F=
dt
rychlost libovolného
bodu (těžiště)
Dynamika tuhého tělesa 4
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Obecný (rovinný) pohyb tělesa
Rychlosti jednotlivých bodů tělesa různé
→ rozklad vzhledem k referenčnímu bodu A
Z kinematiky:
r r
r
r
vB = v A + Ω × r
r r r
r
r
r r
aB = a A + ε × r + Ω × Ω × r
(
)
( ( )
Vezmeme-li za referenční bod A těžiště tělesa, můžeme zrychlení aA určit z
první věty impulsové
→ zbývá řešit dynamiku rotačního pohybu
Dynamika tuhého tělesa 5
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Druhá věta impulsová
Moment hybnosti hmotného bodu:
r r r
Li = ri × pi
(vždy vzhledem k nějakému bodu – např. počátku
souřadné soustavy)
- analogie hybnosti u translačního pohybu
r
r dL
M=
dt
Celkový moment
vnějších sil k bodu
r
M=0:
Celková změna
momentu hybnosti
soustavy k témuž bodu
r
r r
L = ∑ ri × pi
zákon zachování momentu hybnosti soustavy (planetární mechanika,
krasobruslařky ...)
Dynamika tuhého tělesa 6
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy
Kinetická energie elementu dm:
1
dT = dm v 2
2
r r r
v = Ω× r
Kinetická energie tělesa:
T=∫
m
1
1
1
1
dm v 2 = ∫ dm r 2 Ω2 = Ω2 ∫ r 2 dm = Io Ω2
m 2
m
2
2
2
moment setrvačnosti Io
1
T = Io Ω 2
2
Dynamika tuhého tělesa 7
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy – pohybový zákon
Moment hybnosti elementu dm:
r r
r
dL = r × dp
Moment hybnosti tělesa:
r
r
r
r r
r r r
L = ∫ r × dp = ∫ r × v dm = ∫ r × Ω × r dm
m
m
(
)
r r
2D případ r ⊥ Ω :
M=
d
dΩ
2
Ω
r
dm
=
dt ∫m
dt
úhlové zrychlení
ε
∫
m
( )
Z druhé věty impulsové:
r d r r
d r r r
M = ∫ r × v dm = ∫ r × Ω × r dm
dt m
dt m
r r r
v = Ω× r
(
m
r 2 dm
moment setrvačnosti Io
M = Io ⋅ ε
)
Dynamika tuhého tělesa 8
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Moment setrvačnosti
Io =
∫
m
r 2 dm
- ekvivalent hmoty pro rotační pohyb
Který setrvačník dá větší
„práci“ roztočit?
vs.
Vlastnosti
• nezáporný
• vždy vzhledem k bodu (ose) – v tabulkách IT vzhledem k těžišti
• [I] = kg m2
• poloměr setrvačnosti: I = m rs → rs =
2
• aditivní Io = I1o + I2o
I
m
Dynamika tuhého tělesa 9
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Steinerova věta
Io = IT + m e 2
→ moment setrvačnosti vzhledem k těžišti je
minimální
POZOR:
Io1 = Io2 + m r 2
Dynamika tuhého tělesa 10
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výpočet momentu setrvačnosti
Io =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
V
Kartézský systém
Io =
∫∫∫
V
(
)
ρ x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz
Cylindrické souřadnice
Io =
∫∫∫
V
ρ r 2 dr r dφ dz
Sférické souřadnice
Io =
∫∫∫
V
ρ r 2 r 2 sin θ dr dφ dθ
Dynamika tuhého tělesa 11
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 1 – moment setrvačnosti obruče
Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
V
IT =
∫
m
r 2 dm = R 2 ∫ dm = m R 2
m
Dynamika tuhého tělesa 12
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – moment setrvačnosti disku (válce)
Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
V
IT =
∫
V
R
R
0
0
ρ r 2 dV = ρ ∫ r 2 2 π r dr h = 2 π ρ h ∫ r 3 dr
R4
R2 1
2
= 2 π ρh
= π R hρ
= mR2
1
4
2
4
3
4
2 2
m
Dutý válec
IT =
(
1
2
2
m R 2 − R1
2
)
(aditivita)
Dynamika tuhého tělesa 13
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 3 – moment setrvačnosti tyče
Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
V
m
→ dm = ρL dx
L
ρL =
IT =
∫
m
=
L/2
r dm = 2 ∫
2
0
1 L3
ρL x dx = 2 ρL
=
38
1
1
2
ρ{
m L2
LL L =
12 m
12
2
Dynamika tuhého tělesa 14
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 4 – moment setrvačnosti obdélníku (desky,
kvádru)
Definice:
IT =
∫
m
r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
V
IT =
∫
V
ρ r 2 dV = 4 ∫
a/2 b/2
∫
0
= 4ρh ∫
a/2 b/2
0
∫
0
(x
0
2
(
)
ρ x 2 + y 2 h dx dy =
)
+ y 2 dx dy =
(
)
 b a3 a b3  1
2
2
=
ρ
h
a
b
a
b
= 4 ρ h 
+
+
=
 12 123
2
3
8
2
3
8
⋅
⋅


m
1
=
m a 2 + b2
12
(
)
Dynamika tuhého tělesa 15
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 5 – moment setrvačnosti koule
Moment setrvačnosti vzhledem ke třem
osám: Ix, Iy, Iz .. evidentně platí Ix = Iy = Iz = IT
IT =
(
)
1
Ix + Iy + Iz =
3
1
= ∫ y 2 + z 2 dm + ∫ x 2 + z 2 dm + ∫ x 2 + y 2 dm =
m
m
3 m
2
2
= ∫ x 2 + y 2 + z 2 dm = ∫ r 2dm =
3 m
3 m
π
π
2 R
2 R5
2 2
= ρ ∫ dr ∫ dφ∫ dθ r r sin θ = ρ 2 π 2 =
−π
0
3 0
3 5
4
2
2
= π R3 ρ R 2 = m R 2
3424
5
1
35
((
(
m
)
(
)
)
(
) )
Dynamika tuhého tělesa 16
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 6
V jaké výšce h je třeba trefit tágem kulečníkovou kouli, aby se pohybovala bez falše
(zpětné či dopředné rotace), tj. aby se odvalovala po plátně bez prokluzu?
Ix = Iy = Iz = IT
Řešení:
1. Sestavení pohybových rovnic: F = m a x
− mg + N = 0
F(h − R ) = I ε
2. K dispozici 3 rovnice, 4 neznámé – jedna rovnice chybí.
3. Bez prokluzu: vazba
4. Řešení rovnic
→h=
ε=
ax
R
7
R
5
Dynamika tuhého tělesa 17
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Zákon zachování energie u rotačního pohybu
(T
2
Příklad:
+ U2 ) − (T1 + U1 ) = Wn
Jaký průběh má rychlost a zrychlení hračky jojo,
předpokládáme-li, že IT =& 1/ 2 m R2 ?
Řešení:
1. ZZE
→
mgx =
ε=
2. vazba
→
T .. kinetická energie posuvná + rotační
v (x ) =
3. Zrychlení:
1
1
m v 2 + I ω2
2
2
ax
r
4g
R2
+2
r2
a(x ) = v
x
dv
2
= 2
g
dx R
+2
r2
Dynamika tuhého tělesa 18
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vyvážená a nevyvážená rotace ve 2D (1)
Pohybové rovnice:
∑F + R
∑F + R
t
t
n
n
∑M
O
= m at
= m an
= Iε
Staticky vyvážená rotace :
reakce Rt, Rn v ose otáčení (tj. namáhání
ložisek) je nulové
→ zrychlení těžiště musí být při rotaci
nulové, tedy těžiště musí ležet v ose otáčení
Dynamika tuhého tělesa 19
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vyvážená a nevyvážená rotace ve 2D (2)
(staticky) vyvážená rotace
(staticky) nevyvážená rotace
at = 0
at = ε e
an = 0
an = Ω 2 e
T
T
T
T
• osa rotace v těžišti
• osa rotace mimo těžiště
• při volné rotaci reakce v ose
nulové
• i při volné rotaci vznikají v ose
síly (reakce)
Dynamika tuhého tělesa 20
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Rotace ve 3D
2D (rovinná rotace)
3D (prostorová rotace)
r r r r
Ω, ε, M, L ... vektor (Ωi , ε i ,Mi )
Ω, ε, M, L ... skalár
I ... skalár
Iik ... tenzor (3 x 3 )
L = I⋅Ω
1
T = I Ω2
2
L i = Iik Ωk
1
T = Iik Ωi Ωk
2
(
)
 y 2 + z 2 dm
∫
→ Iik =  − ∫ y x dm

 − ∫ z x dm

(
)
Iik = ∫ x j x jδik − x i x k dm
Tenzor momentu setrvačnosti
V
− ∫ x z dm 
2
2
∫ x + z dm − ∫ y z dm 
2
2
− ∫ z y dm
∫ x + y dm 
− ∫ x y dm
(
)
(
)
• symetrický tenzor
• v hlavních osách
diagonální prvky – hlavní momenty
setrvačnosti
mimodiagonální prvky – deviační momenty
 I1



Iik =  I2


I3 

Dynamika tuhého tělesa 21
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Dynamicky nevyvážená rotace
Vyvážená, nebo nevyvážená rotace? (tj. jsou ložiska při rotaci dynamicky namáhaná?)
• staticky i dynamicky vyvážená
rotace
• dynamicky nevyvážená rotace –
přestože prochází osa těžištěm
• při volné rotaci nevznikají žádné
reakční síly ani momenty v
ložiskách
• deviační momenty mimo rovinu
rotace
Dynamika tuhého tělesa 22
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození deviačních momentů (1)
Ω
 
Směr vektoru rotace: Ωi =  0 
0
 
(
)
 y 2 + z 2 dm
∫
Definice: Iik =  − ∫ y x dm

 − ∫ z x dm

Ze symetrie tělesa: I13 = 0, I23 = 0
 I11 I12 0 


→ Iik =  I21 I22 0 
0 0 I 
33 

− ∫ x z dm 
2
2
∫ x + z dm − ∫ y z dm 
2
2
− ∫ z y dm
∫ x + y dm 
− ∫ x y dm
(
)
(
)
Dynamika tuhého tělesa 23
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Odvození deviačních momentů (2)
(
r r
r r
r
Moment
dM = r × dF = r × dm a
r r r r r r
Z kinematiky: a = ε × r + Ω × Ω × r
)
( )
r
r r r r r r r
→ M = ∫ r × (ε × r ) + r × (Ω × (Ω × r ) dm
m
Ω
ε
x
 I11 I12 0 
r   r   r  


V našem případě: Ω =  0  , ε =  0  , r =  y  , Iik =  I21 I22 0 
0
0
z
0 0 I 
33 
 
 
 

→ M1 = ε ∫ y 2 + z 2 dm = ε I11
r r r
i j k  0 


r r
ε × r = ε 0 0 =  − εz 
x y z  εy 
r
r
r
i
j
k  ε y 2 + z 2 
r r r
r × ε×r = x
y
z =  − εxy 


0 − εz εy  − εxz 


(
(
)
)
m
→ M2 = ε ∫ − xy dm = ε I12
m
→ M3 = ε ∫ − xz dm + Ω2 ∫ − xy dm = ε I13 + Ω2 I12
m
m
I při rovnoměrné rotaci (ε = 0) nenulový moment M3 !
r
r
r
 0 
 0 
i
j
k
r r 
 r r r


Ω × r =  − Ωz  , Ω × Ω × r = Ω
0
0 =  − Ω2 y 
 Ωy 
0 − Ωz Ωy  − Ω 2 z 


r
r
r
 0 
i
j
k


r r r r
r × Ω× Ω× r = x
y
z =  Ω 2 xz 
0 − Ω 2 y − Ω 2 z  − Ω 2 xy 
( )
( ( ))
Dynamika tuhého tělesa 24
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Analogie přímočarého a rotačního pohybu
x
v
a
[m]
[m/s]
[m/s2]
Úhel
Úhl. rychlost
Úhl. zrychlení
Hmotnost
Síla
Hybnost
m
F
p
[kg]
[N]
[kg m/s]
Moment setrv. I
Moment
M
Moment hybn. L
Kinematika:
Pohybová rovnice:
Kinetická energie:
Práce:
dx
dv
,a=
dt
dt
dp
F=
= m⋅a
dt
1
T = mv 2
2
v=
[rad]
[rad/s]
[rad/s2]
[kg.m2]
[N.m]
[kg.m2/s]
dφ
dω
,ε=
dt
dt
( 2D )
dL
M =
= I⋅ ε
dt
1
T = IΩ2
2
ω=
W = ∫ F dx
W = ∫ M dφ
p = mv
L = IΩ
s
Hybnost:
φ
ω
ε
Poloha
Rychlost
Zrychlení
s
( 2D )
Download

Dynamika tuhého tělesa - Technická univerzita v Liberci