Dynamika hmotného bodu
Petr Šidlof
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření,
který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Úvod – opakování (1)
DYNAMIKA
↑
↑
statika
kinematika
• Dynamika hmotného bodu
• Dynamika tuhého tělesa
• Dynamika elastických těles
• Teorie kmitání
Adtranz/Bombardier (Norwegian BM73)
Před Galileem, Newtonem: k udržení pohybu je nutná síla
Newton:
r d pr d
r
F=
= (m v )
dt dt
r
r
m = konst. ... F = m a
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Úvod - opakování (2)
• F = F(t), F = F(x), F = F(v)
• Statika – algebraické rovnice
Dynamika – diferenciální rovnice
(tuhá tělesa – ODR, elastická tělesa - PDR)
r
∑ Fi = 0
r
∑ Fi = m &x&
rovnice rovnováhy
pohybové rovnice
• Pracujeme s vektory – vhodný souřadný systém
Translační pohyb – kartézské souřadnice
Rotační pohyb – polární souřadnice
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Úvod - opakování (3)
D’Alembertův princip:
Fiktivní setrvačná síla
r
r
Fsetrv = − m a
→ místo pohybových rovnic řeším rovnice
rovnováhy jako ve statice
Rotační pohyb:
r
r dL
M=
dt
Řešení úloh dynamiky:
(
r r r
L = r × p .. moment hybnosti
)
1. Z Newtonových zákonů
2. Ze zákona zachování energie
3. Ze zákona zachování hybnosti
•
•
Lagrangeův formalismus
Hamiltonovy rovnice
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 1 – řešení z Newtonových zákonů (1D)
Lano o délce L = 20 m a hmotnosti m = 10 kg je
volně položeno přes okraj podložky tak, že
přečnívají 4 metry. V čase t = 0 se dá lano vlastní
tíhou do pohybu (tření a jiné pasivní odpory
zanedbáváme). Za jak dlouho dorazí k okraji
zadní konec lana?
Řešení:
1. Z Newtonových rovnic F = m.a sestavíme pohybovou rovnici
g
.. &y& − y = 0
L
2. Řešení obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ..
y(t ) = C1 e
3. Z rovnice y(t1) = L vypočítáme (numericky) čas t1 = 3.27 s
g
t
L
+ C2 e
−
g
t
L
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (1)
Na střeše observatoře, která má sférický tvar o poloměru
r = 5 m, leží kostka ledu. Malým závanem větru se dá led
z nulové rychlosti do pohybu. Zjistěte, ve kterém místě
led odlétne od povrchu střechy a bude pokračovat
volným pádem.
Řešení:
1. Uvolnění → pohybové rovnice v tečných a normálových
souřadnicích m g sin ϕ = m a
t
N − m g cos ϕ = m an
2. Využití známých vztahů pro tečné a odstředivé zrychlení při
kruhovém pohybu a = ϕ
&& r
t
an = − ϕ& 2 r = ω2 r
3. Sestavení a řešení pohybové rovnice
&& − g sin ϕ = 0
ϕ
r
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (2)
1. Analytické řešení
In[6]:=
g =.; r =.; m =.;
In[7]:=
g
reseniA = DSolveB: [email protected]@tDD [email protected], [email protected] 1 Degree, [email protected] 0>, fi, tF
r
Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. à
DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions. à
DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions. à
Out[7]= 8<
&& − g sin ϕ = 0
Nelineární diferenciální rovnice ϕ
r
– nelze řešit analyticky
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (3)
2. Numerické řešení
In[16]:=
g = 9.81; r = 5.; m = 1.;
ü výpočet fi[t]
In[17]:=
g
reseniN = NDSolveB: [email protected]@tDD [email protected], [email protected] 1 Degree, [email protected] 0>, fi, 8t, 0, 4<F@@1DD
r
Out[17]= 8fi →
In[18]:=
[email protected], 4.<<, <>D<
PlotBEvaluateB
[email protected]
ê. reseniN F, 8t, 0, 4<, Frame → True, FrameLabel → 8"[email protected]", "fi @DegD"<F
Degree
120
Out[18]=
fi @DegD
100
80
60
40
20
0
0
1
2
[email protected]
3
4
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 2 – tečné a normálové souřadnice (4)
ü výpočet normálové reakce n[t]
In[19]:=
[email protected]_D = m Ig [email protected]@tDD − [email protected] rM ê. reseniN;
In[20]:=
[email protected]@tD, 8t, 0, 4<, Frame → True, FrameLabel → 8"[email protected]", "N @ ND"<D
10
5
Out[20]=
N @ ND
0
-5
- 10
- 15
0
1
2
3
[email protected]
ü Čas a místo, kde se led oddělí od střechy
In[21]:=
Out[21]=
In[22]:=
Out[22]=
t1 = t ê. [email protected]@tD 0, 8t, 3<D
3.27214
[email protected] ê. reseniN
Degree
48.1975
4
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Zákon zachování energie (ZZE)
s2 r
r
1
1
2
2
m v 2 − m v 1 = ∫ F(s )⋅ ds
2
2
s1
1
424
3
W .. práce vnějších sil
- změna (kinetické) energie systému je rovna práci vykonané působícími silami na
odpovídající dráze
Pozor: skalární součin – práci konají jen síly „ve směru pohybu“
ODVOZENÍ ZZE (1D)
dv
F=ma=m
dt
dv
(
)
F
x
dx
=
m
∫
∫ dt dx = ∫ m v dv
→ ZZE = prostorový integrál Newtonových pohybových rovnic
síla F nekoná práci
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Potenciální energie, konzervativní síly
Konzervativní síla
r
F = −∇ U
1D:
dU
F=−
...
dx
U .. potenciální energie
x2
x2
∫ F(x ) dx = − ∫
x1
dU
dx = U(x1 ) − U(x 2 )
dx
x1
.. práce konzervativních sil nezávisí na dráze, pouze na počátečním a konečném stavu
→ ∆T + ∆U = Wn ,
Wn .. práce nekonzervativních sil
(1
T2 + U2 ) − (T1 + U1 ) = W
424
3 1
424
3 {n
celková
energie na
konci děje
celková
energie na
začátku děje
práce vnějších nekonzervativních sil
(případně záporně vzatá disipovaná energie)
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklady konzervativních sil v mechanice
1. Tíhová síla a potenciální energie tíhového pole
U = mg h
F=−
dU
= −mg
dh
2. Potenciální energie lineární pružiny
z definice lineární pružiny F = k x ,
x
W = ∫ F(s) ds =
0
1 2
k x = Upruž
2
k .. tuhost [N/m]
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Práce třecích sil
s
WT = ∫ FT (x ) dx = FT s
123
0
Pozn.: třecí síly nejsou konzervativní (práce závisí na dráze)
konst .
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Příklad 3 – řešení úloh dynamiky ze ZZE
Po uvolnění pružiny stlačené o délku l0 je těleso
vystřeleno vzhůru po nakloněné rovině. Součinitel
smykového tření mezi tělesem a podložkou je f.
Jaká bude rychlost tělesa v2 ve vzdálenosti L?
Řešení:
A.
uvolnění, sestavení pohybových rovnic, řešení ODE. Možné, ale
velmi pracné.
B.
ze zákona zachování energie:
1 2
k l0 + 0 ,
2
Stav 1:
U1 =
T1 = 0
Stav 2:
U2 = 0 + m g l sin(α ),
T2 =
1
2
m v2
2
2
Práce třecích sil:
WT = ∫ FT ds = m g cos(α ) f L
1
Energetická bilance:
(T1 + U1 ) = (T2 + U2 ) − W
1 2
1
2
k l0 = m g L sin(α ) + m v 2 − m g L f cos(α ) ⇒ v 2 = ...
2
2
Dynamika hmotného bodu
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Zákon zachování hybnosti
t2 r
r
r
m v (t 2 ) − m v (t1 ) = ∫ F(t ) dt
t1
1
424
3
Impuls sil
Změna hybnosti systému mezi časy t1 a t2 je rovna impulsu působících sil v tomto časovém
intervalu
ODVOZENÍ (1D)
dv
F=ma=m
dt
t2
t2
t1
t1
∫ F(t )dt = ∫ m
dv
dt = m v 2 − m v1
dt
→ zákon zachování hybnosti = časový integrál Newtonových pohybových rovnic
Download

Dynamika hmotného bodu - Technická univerzita v Liberci