Fonksiyonlar
Tek ve Çift Fonksiyonlar
AR ve f:AR bir fonksiyon olsun. xA için:
* f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur.
* f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
-x ile x’ in görüntüleri aynıdır.
Grafik, y-eksenine göre simetriktir.
x  -x
iken
f(x)  -f(x)
Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken, diğer
noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır.
Grafik, orijine göre simetriktir.
Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında
çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin
tamamı çizilmiş olur.
y
A’(-x,f(x))
-x
y=f(x)
f(x)
A(x,f(x))
O
x
f, çift fonksiyondur.
x
Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, xR+ için çizilir; daha sonra
orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.
y
y=f(x)
f(x)
-x
A’(-x,-f(x))
A(x,f(x))
0
x
-f(x)
f, tek fonksiyondur.
x
Aşağıdaki fonksiyonların hangileri tek, hangileri
çifttir?
• RR
f ( x)  x  1
3
f ( x)  1 / x
2
f ( x)  4
f ( x)   x  2
Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir yolu, o
denklemin grafiğinin düşey doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşey doğru
grafiği en çok bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin
grafiği fonksiyonun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşey doğrular
varsa, o denklem bir fonksiyon tanımlamaz.
y
y
2
x
(0,0)
-2
2x+3y = 1
Fonksiyon tanımlar
x
(0,0)
y2 – x2 = 4
Fonksiyon tanımlamaz
Bir Fonksiyonun Koordinat Kesişimleri. Bir fonksiyonun grafiğine bakınca grafiğin
koordinat eksenlerini kestiği noktalar hemen dikkatimizi çekecek noktalar arasında
bulunacaktır. Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara o fonksiyonun
koordinat kesişimleri denir. Grafiğin x–eksenini kestiği noktalar varsa, o noktalara
fonksiyonun x–kesişimleri denir. Grafiğin y–eksenini kestiği nokta varsa, o noktaya da
fonksiyonun y–kesişimi denir.
Bir f fonksiyonunun x–kesişimleri, varsa f(x) = 0 olan (x,0) noktaları; y–kesişimi de varsa
(0,f(0)) noktasıdır. Tanım gereği, bir fonksiyonun en çok bir y–kesişimi bulunabilir; ancak,
birden çok x–kesişimine sahip olan fonksiyonlar vardır.
y
y= f(x)
y–kesişimi
x
x–kesişimleri
Örnek. f ( x )  x  2x  15 fonksiyonunun x–kesişimleri, x 2  2x  15  0 denkleminin çözümleri
x=–3 ve x=5 olduğundan, (–3,0) ve (5,0) noktaları; y–kesişimi de f(0 )= -15 ten görüleceği
üzere, (0,–15) noktasıdır.
2
Örnek. f ( x )  1  x 2 fonksiyonunun x–kesişimleri (-1,0) ve (1,0), y-kesişimi (0,1) noktasıdır.
f ( x )  1  x 2 fonksiyonunun x – kesişimi yoktur; y – kesişimi (0,1) noktasıdır.
f ( x )  2  x  1 fonksiyonunun ne x – kesişimi ne de y – kesişimi vardır.
Polinom Fonksiyonlar. Pratikte karşılaşılan fonksiyon türlerinden biri de polinom fonksiyonlardır. a0, a1, . . . , an reel sayılar olmak üzere
f x   an x n  an1 x n1    a1 x  a0
denklemi ile tanımlanan fonksiyona bir polinom fonksiyon, ya da kısaca polinom adı verilir.
a0, a1, . . . , an sayılarına bu polinomun katsayıları denir.
Bütün katsayıları sıfır olan polinoma, başka bir deyişle f(x) = 0 denklemi ile tanımlanan
fonksiyona sıfır polinom denir.
Her polinom fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi ℝ dir.
f x   an x n  an1 x n1    a1 x  a0 ifadesinde an ≠ 0 ise, f nin derecesi n dir denir.
Bu durumda an ye f nin başkatsayısı denir.
b herhangi fakat sabit bir reel sayı olmak üzere, f(x) = b denklemi ile tanımlanan
fonksiyona sabit fonksiyon denir. O halde sabit fonksiyon, ya sıfır polinom ya da derecesi
0 olan bir polinomdur. Derecesi 1 olan bir polinoma doğrusal fonksiyon, derecesi 2 olan
bir polinoma da karesel fonksiyon denir.
Sabit, doğrusal ve karesel fonksiyonları tanımlayan denklemler için alışılmış gösterimler
aşağıdaki gibidir:
• Sabit fonksiyon: f(x) = b, b ℝ
• Doğrusal fonksiyon: f(x) = mx+b; m, b ℝ , m ≠ 0.
• Karesel fonksiyon : f(x) = ax2 +bx+c; a, b, c  ℝ , a ≠ 0.
Herhangi bir fonksiyonun grafiğini çizerken olduğu gibi, bir polinomun grafiğini
çizerken de koordinat kesişimlerini belirlemek yararlı olur. f(x) = 0 denklemini sağlayan
x sayılarına, yani f polinomunun x–kesişimlerini veren sayılara, f polinomunun kökleri
denir.
Sıfırdan farklı bir polinomun en çok derecesi kadar köke sahip olur. Başka bir deyişle,
sıfırdan farklı bir polinom en çok derecesi kadar x–kesişimine sahip olabilir.
Polinomlarda Bölme İşlemi.
3x 3  2x 2  7x  2 x–1
3x3 – 3x2
3x2 +5x -2
5x2 –7x
5x2 – 5x
–2x+2
-2x+2
0
3x 3  2x 2  7x  2  (3x 2  5x  2)( x  1)  (3x  1)( x  2)( x  1)
3x 3  2x 2  7x  2  0
 x
1
veya x  1 veya x  2.
3
Rasyonel Fonksiyonlar. p(x) ve d(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere
f x  
p x 
, d x   0
d x 
ile tanımlanan fonksiyona bir rasyonel fonksiyon denir. p(x) ve d(x) polinomlarına,
sırasıyla, bu rasyonel fonksiyonun payı ve paydası denir.
f x  
px  ifadesinde
d x 
px 
kesrinin sadeleştirilmiş olduğu kabul edilir.
d x 
Payı p(x) ve paydası d(x) olan bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi
{ x : d(x)  0 }
kümesidir.
Örnek. g x  
x2
rasyonel fonksiyonuna bakalım.
x 1
Bu fonksiyonun tanım kümesi
{ x : x+1  0 } = ℝ \{-1} = (- , -1)  (-1 , )
x2 1
f x   3
x  3x 2  4 x
Bu fonksiyonun tanım kümesini bulunuz?
ℝ \{-1, 0, 4}
Her p(x) polinomu p(x) = p(x) / 1 biçiminde yazılabildiğinden
her polinom bir rasyonel fonksiyondur.
Kare Fonksiyonu:
Her reel sayıya o
sayının karesini karşılık getiren fonksiyon.
y
f ( x)  x 2
x
Tanım Kümesi : ℝ
y = x2
Görüntü Kümesi : [0,)
Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının
küpünü karşılık getiren fonksiyon.
y
f ( x)  x 3
x
Tanım Kümesi : ℝ
Görüntü Kümesi : ℝ
y = x3
Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının karekökünü karşılık getiren
fonksiyon.
y
f ( x)  x
y x
Tanım Kümesi : [0,)
x
Görüntü Kümesi : [0,)
Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının küp kökünü karşılık getiren
fonksiyon.
y
f ( x)  3 x
x
Tanım Kümesi : ℝ
Görüntü Kümesi : ℝ
y3 x
Hiperbolik Fonksiyon: Her reel sayıya o
sayının çarpımsal tersini karşılık getiren
fonksiyon.
y
1
f ( x) 
x
x
y
Tanım Kümesi : ℝ\{0}
1
x
Görüntü Kümesi : ℝ\{0}
y
Birim Fonksiyon: Her reel sayıya kendisini
karşılık getiren fonksiyon.
x
f(x) = x
Tanım Kümesi : ℝ
Görüntü Kümesi : ℝ
y=x
BAZI ÖZEL FONKSİYONLAR
Parçalı Tanımlı Fonksiyonlar
Tanım Kümesi alt aralıklarda farklı birer kuralla tanımlanan
fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir
 g( x ), x  a

f ( x )   h( x ), a  x  b
 k( x ), b  x

şeklinde tanımlanan bir fonksiyon parçalı fonksiyondur.
Örnek:
 x  2, x  0
f(x) 
1  x , 0  x
( 0,2 )
( 2,0 )
( 0 ,1 )
( 1,0 )
Örnek:
 x 2  1, x  1
f(x) 
2
1

x
, 1 x

( 1,0 )
( 1,0 )
( 0, 1 )
Örnek:
x, x  0

f ( x )   x  1, 0  x  3
 x  2, 3  x

( 3,4 )
( 0 ,1 )
( 3,1 )
 f ( x ), 0  f ( x )
Mutlak Değer Fonksiyonu: y  f ( x )  
  f ( x ), f ( x )  0
şeklinde tanımlanan fonksiyona Mutlak Değer Fonksiyonu denir.
Mutlak değer fonksiyonu parçalı tanımlı bir fonksiyondur.
Örnek: f ( x )  x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
x, 0  x
f(x) x  
 x , x  0
Tanım Kümesi : ℝ
Görüntü Kümesi : [0,)
Örnek: f ( x )  x  4 fonksiyonunu parçalı tanımlı
biçimde yazınız ve grafiğini çiziniz.
Çözüm:
 x 2  4 , x  2

2
f ( x )  x  4   ( x 2  4 ), 2  x  2
 x 2  4 ,2  x

2
İşaret (signum)Fonksiyonu:
 1; f ( x )  0

y  sgn f ( x )   0 ; f ( x )  0
 1; f ( x )  0

Örnek: y  sgn( x ) fonksiyonunu parçalı tanımlı şekilde
yazınız ve grafiğini çiziniz.
Çözüm:
 1, 0  x

sgn( x )  0 , x  0
 1, x  0

21
x1
) fonksiyonunu parçalı tanımlı
Örnek: y  sgn(
2 x
şekilde yazınız ve grafiğini çiziniz.
Çözüm:
1
x
x1
2 x
x1
sgn(
)
2 x

0
2






0


 1,  1  x  2
x1

sgn(
)   0 , x  1
2 x
  1, x  1  2  x

23
TAM DEĞER FONKSİYONU
x bir reel sayı olmak üzere x’ten büyük olmayan en büyük
Tam sayıya x’in tam değeri denir ve
x
şeklinde gösterilir.
A R f : A R
f ( x)  x
Tam değer (kısım) fonksiyonunun bazı özellikleri:
x, y  Rve a  Z
olmak üzere
1.  x   a  a  x  a  1
2.  x  a    x   a
x  Rve a  Z olmak üzere
1.  f ( x )   a  f ( x )  a  1
2.  f ( x )   a  f ( x )  a
3.  f ( x )   a  f ( x )  a
4.  f ( x )   a  f ( x )  a  1
 x

4 2
Örnek: 
 3

denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
 x

x
x
Çözüm:   4   2  2   4  3  2   1
3
3
 3

 6  x  3  Ç    6 , 3 
f ( x )   ax  b  şeklindeki doğrusal bir
fonksiyonun grafiği çizilirken tanım kümesi 1 / a
uzunluğundaki aralıklara bölünerek fonksiyonun değeri
bulunur.
Örnek:
f :  1 , 2  R; f ( x )   x  2  fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Çözüm: Fonksiyonda x’in katsayısı a =1 olduğundan
tanım kümesi 1br uzunluğunda aralıklara bölünür.
1
0
1
2
 1, 2  ( 1,0 )   0 ,1  1, 2   2
x  ( 1, 0 )  1  x  2  2   x  2   1
x   0 ,1  2  x  2  3   x  2   2
x  1, 2   3  x  2  4   x  2   3
x  2  x  2  4   x  2   4
1
0
1
2
Örnek: f :  1,1  R, f ( x )   2 x  3 
Çözüm: Fonksiyonda x’in katsayısı a =2 olduğundan
tanım kümesi (1/2)br uzunluğunda aralıklara bölünür.
1
 1   1  1 
 1 ,1  ( 1,  )    , 0    0 ,    ,1   1
2
 2   2 2 
1
1  x    1  2 x  3  2  f ( x )  1
2
1
  x  0  2  2x  3  3  f ( x )  2
2
1
0  x   3  2x  3  4  f ( x )  3
2
1
 x  1  4  2x  3  5  f ( x )  4
2
x 1 f( x ) 5
1
1

2
0
1
2
1
Ödev:
Aşağıda verilen işaret fonksiyonlarını parçalı biçimde
yazınız ve grafiklerini çiziniz.
x
2
b ) y  sgn(
)
a ) y  sgn( x  3 x )
4 x
x2
d ) y  sgn( x 2  7 x  10 )
c ) y  sgn(
)
x2
Aşağıda verilen tam değer fonksiyonlarının grafiklerini
çiziniz.
a ) f :  2 , 2  R, f ( x )   x 
x

b ) f :  0 , 2  R, f ( x )    2 
2

32
Ödev:
Aşağıda verilen işaret fonksiyonlarını parçalı biçimde
yazınız ve grafiklerini çiziniz.
x
2
b ) y  sgn(
)
a ) y  sgn( x  3 x )
4 x
x2
d ) y  sgn( x 2  7 x  10 )
c ) y  sgn(
)
x2
Aşağıda verilen tam değer fonksiyonlarının grafiklerini
çiziniz.
a ) f :  2 , 2  R, f ( x )   x 
x

b ) f :  0 , 2  R, f ( x )    2 
2

33
Ödev:
Aşağıda verilen mut lak değer fonksiyonlarını parçalı
biçimde yazınız ve grafiklerini çiziniz.
f(x) x 1
f(x) x x2
f ( x)  x  4 x  3
2
Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h, k, , l, m ve n fonksiyonlarını ele alalım:
g( x )  x  2 , h( x )  x  1 , k( x )   x , ( x )   x , m( x )  3 x , n( x ) 
Bu fonksiyonlar f ( x) 
1
x
3
x fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:
g( x )  f ( x  2), h( x )  f ( x )  1 , k( x )  f ( x ), ( x )   f ( x ), m( x )  3 f ( x ), n( x ) 
1
f (x)
3
Aşağıda göreceğimiz üzere g, h, k, , l, m ve n fonksiyonlarının grafikleri de f fonksiyonunun grafiği cinsinden elde edilebilir.
g, h, k, l, m ve n fonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle
verilebilir: a, b ve c reel sayılar, c > 1 olmak üzere
g( x )  f ( x  a), h( x )  f ( x )  b , k( x )  f ( x ), ( x )   f ( x ), m( x )  cf ( x ), n( x ) 
Yatay kayma
Düşey kayma
Yansıma
Germe
1
f (x)
c
Büzme
Bu fonksiyonlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesiyle
elde edildiğinden yukarıdaki ifadelerden her birine bir temel dönüşüm denir.
y = f(x+a) yı sağlar
Yatay Kayma. g(x) = f(x+a)
y = f(x) i sağlar
y
g(x) = f(x+a)
g(x)=f(x+a)
(x+a ,g(x))
(x ,g(x))
(x+a ,g(x))
a > 0 ise
a < 0 ise
x+a
x
x+a
x
y = f(x+a) nın grafiğinin y = f(x) in grafiğinden elde edilişi:
• Eğer a > 0 ise, y = f(x+a) nın grafiği y = f(x) in grafiğinin a birim sola kaydırılmasıyla elde edilir.
• Eğer a < 0 ise, y = f(x+a) nın grafiği y = f(x) in grafiğinin -a birim sağa kaydırılmasıyla elde edilir.
Örnek. y = f(x) =
x in yatay kaymaları.
y
y
x
(0,0)
y
x
(0,0)
y  x2
y
x
(0,0)
y  x2
x
Örnek. y = f(x) = x2 nin yatay kaymaları.
y = (x-3)2
y
1 birim sola
2 birim sağa
3 birim sağa
(-1,0)
y = (x+1)2
(0,0)
(2,0)
y = x2
yy =
= (x+1)
(x-2)22
(x-3)
(3,0)
y = (x-2)2
x
Örnek. y = f(x) = |x| in yatay kaymaları.
y = |x-3|
y
1 birim sola
2 birim sağa
3 birim sağa
(-1,0)
y = |x+1|
(0,0)
(2,0)
y = |x|
yy =
= |x+1|
|x-2|
|x-3|
(3,0)
y = |x-2|
x
Düşey Kayma. h(x) = f(x) + b
y = f(x) + b yi sağlar
y
(x ,h(x))
b > 0 ise
b < 0 ise
h(x)=f(x) + b
y = f(x) i sağlar
f(x)
(x ,f(x))
h(x)=f(x) + b
(x ,h(x))
x
x
y = f(x) + b yi sağlar
y = f(x) + b nin grafiğinin y = f(x) in grafiğinden elde edilişi:
• Eğer b > 0 ise, y = f(x) + b nin grafiği y = f(x) in grafiğinin b birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edilir.
• Eğer b < 0 ise, y=f(x) + b nin grafiği y = f(x) in grafiğinin -b birim aşağıya kaydırılmasıyla elde edilir.
Örnek. y = f(x) =
x in düşey kaymaları.
y
y
y
x
(0,0)
y
x
(0,0)
y  x 2
x
(0,0)
y  x 2
x
Örnek. y = f(x) = x2 nin düşey kaymaları.
y
y = x2 + 1
y = x2
1 birim
2 birim
yukarıya
aşağıya
(0,1)
(0,0)
x
y = x2 -2
(0,-2)
yy =
= xx22 +
- 21
Örnek. y = f(x) = |x| in düşey kaymaları.
y = |x|+1
y
y = |x|
1 birim
yukarıya
2 birim (0,1)
aşağıya
(0,0)
x
y = |x| - 2
(0,-2)
y = |x|
-2
|x|+1
Yansıma(y-eksenine göre). k(x) = f(-x)
y
y = f(x) i sağlar
y = f(-x) i sağlar
(-x , f(-x))
-x
(x ,f(-x))
(0,0)
x
x
y = f(-x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin y – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.
Örnek. Aşağıda y  x ve y = x2 nin y–eksenine göre yansımaları verilmiştir.
y
y
y=(–x)2
y x
y=x2
y x
(0,0)
x
(0,0)
y = x2 nin y–eksenine göre yansımasında dikkatinizi çeken bir durum var mı?
Örnek. Şimdi y = (x-2)2 nin y–eksenine göre yansımasını görelim.
y
y=(–x–2)2
(–2,0)
y=(x–2)2
(2,0)
x
x
Yansıma (x-eksenine göre). l(x) = - f(x)
y
y = f(x) i sağlar
f(x)
(x ,f(x))
(0,0)
x
- f(x)
(x ,- f(x))
x
y = -f(x) i sağlar
y = - f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin x – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir.
Örnek. y = f(x) = x2 ve y =
x in x-eksenine göre yansıması
y
y
y = x2
y x
(0,0)
x
y = - x2
(0,0)
x
y x
Örnek. y = f(x) = |x| in x-eksenine göre yansıması.
y
y = |x|
(0,0)
x
y = - |x|
Germe ve Büzme. m(x) = c f(x), n( x )  1 f ( x ), c  1
c
y
c f(x)
y = c f(x) i sağlar
(x ,c f(x))
y = f(x) i sağlar
f(x)
(x ,f(x))
1
f (x)
c
(0,0)
1
( x , f ( x ))
c
x
x
y
1
f ( x ) i sağlar
c
y = c f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğindeki her noktanın ordinatı c ile çarpılarak ,
1
y  f ( x ) in grafiği, y = f(x) in grafiğindeki her noktanın ordinatı c ile bölünerek
eldecedilir.
• Eğer c > 1 ise, y = c f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda
gerilmiş biçimi olur.
1
• Eğer c > 1 ise, y  f ( x ) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda
c
büzülmüş biçimi olur.
Örnek. y = f(x) = x2 nin gerilme ve büzülmeleri.
y
y = 2x2
y = (1/2)x2
gerilme
büzülme
y = x2
(1, 2)
(1,1)
(1,1/2)
(0,0)
y = (1/2)x22
y = 2x
x
Örnek. y = f(x) = |x| in büzülme ve gerilmeleri.
y = 3|x|
y
gerilme
büzülme
y = |x|
(1, 3)
y = (1/3) |x|
(1,1)
(0,0)
y = (1/3)|x|
y = 3 |x|
(1,1/3)
x
Temel dönüşümleri aşağıdaki tabloda özetliyoruz:
g yi tanımlayan
temel dönüşüm
g(x) = f(x+a), a>0
g(x) = f(x+a), a<0
g(x) = f(x)+b, b>0
g(x) = f(x)+b, b<0
g(x) = f(–x)
g(x)= – f(x)
g(x) = cf(x), c>1
g(x) = (1/c) f(x), c>1
y=g(x) in grafiğinin y=f(x) in
grafiğinden elde edilişi
a birim sola kayma
–a birim sağa kayma
b birim yukarı kayma
–b birim aşağı kayma
y–eksenine göre yansıma
x–eksenine göre yansıma
Düşey doğrultuda c kat gerilme
Düşey doğrultuda c kat büzülme
Kayma, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Uygulanması.
Pratikte
karşılaştığımız fonksiyonlardan pek çoğu, elemanter fonksiyonlara daha önce gördüğümüz transformasyonların art arda uygulanmasıyla elde edilir.
Örnek. y = -3 |x - 1| + 2 nin grafiği, y = |x| in grafiğinden elde edilebilir.
y = |x|
 y = |x - 1|
 y = 3|x - 1|
 y = -(3|x - 1| )
 y = -(3|x - 1| ) + 2
y
y = 3|x-1|
y = |x|
y = |x-1|
(1,2)
(2, 3)
(2, 1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
x
y = - 3|x-1| + 2
y = - 3|x-1|
Örnek. y = x2 – 2x in grafiği, y = x2 nin grafiğinden elde edilebilir.
x2 – 2x = x2 – 2x +1 – 1 = (x-1)2 –1 olduğu göz önüne alınarak,
y = x2
 y = (x-1)2 = x2 – 2x +1  y = (x-1)2 –1 = x2 – 2x
y
y = (x-1)2
y = x2
(0,0)
x
(1,0)
(1,-1)
y = x2 – 2x
Download