Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens obecného úhlu, definice
pomocí jednotkové kružnice, průběh, vlastnosti, definiční obor, obor hodnot, sinová a
kosinová věta, řešení obecného trojúhelníku.
1. Sestrojte graf funkce:
a) y = sinx; y = 0,5sinx; y = sin(x − 30°)
b) y = cosx; y = 2cos(x − π); y = cosx + 1
π
c) y = sin(2x + )
2
e) y = tg( x +
π
4
)
2. Graf funkce y = cosx je shodný s grafem funkce:
a) y = sin( x −
π
4
)
b) y = sin( x +
π
4
)
c) y = − sin( x +
π
4
)
d) s žádným z nich
b
 π
3. Jakou hodnotu má funkce cotg x, jestliže tgx = 0,4 a x ∈  0,  ?
2,5
 2
4. Vypočtete bez kalkulačky hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, určete sin2x,
cos2x:
3
a) sinx = −0,8; x ∈ (π; π)
2
cosx = –0,6; tgx = 4/3; cotgx = 0,75; sin2x = 0,96;co2x = –0,28
sinx = –0,8; tgx = −4/3; cotg = –0,75
b) cosx = 0,6; x ∈ 4.kvadrantu
3
12
c) tgx =
; x ∈ (π; π)
sinx = –0,92; cosx = 0,38; cotgx = 0,417
2
5
d) sinx = 0,5 a úhel α je z 2. kvadrantu. cosx=–0,866 tgx=–0,577 cotgx=–1,733
5. Vypočtete bez kalkulačky:
a) sin 960° + cos 1560° + tg(−240°) + cotg 210°
b) 2sin 225° − cotg 330° . tg 405°
–√3/2 –1/2
–√2+√3
6. Vrchol věže V sledujeme z místa A pod úhlem α a z místa B, které je v horizontálním
směru o x metrů blíže k patě věže, pod úhlem β. Vztah mezi uvedenými veličinami a
v
v
výškou věže v je vyjádřen vzorcem: x =
−
.
tgα tgβ
a) Pro hodnoty α= 45º, β = 60º, v = 50m vypočtěte vzdálenost x. Výsledek vyjádřený v
metrech zaokrouhlete na celé číslo.
21m
v
v
x.tgα.tgβ
b) Z uvedeného vztahu x =
−
vyjádřete výšku věže v obecně.
v=
tgα tgβ
tgβ − tgα
10. Upravte, uveďte podmínky:
sin 2 x
a)
1 − cos 2 x
1
sin x
1
b)
−
−
2
1 − sin x cos x 1 + sin x
1
1
+
c)
2
1 + tg x 1 + cot g 2 x
cotgx
sinx/cos2x
1
d)
e)
f)
i)
1 − cos 2 x
sin x. cos x
1
− tg 2 x
2
cos x
(sinx+cosx)2 + (sinx−cosx)2
1 − cos 2α
sin 2α
+
sin 2α
1 + cos 2α
tgx
1
2
2tgα
11. Dokažte rovnost:
a) cos4x – sin4x = cos2x
cos 2 x
1
b)
= sin 2 2 x
2
2
cot g x − tg x 4
sin x
cos x
1
c)
+
=
1 + cot gx 1 + tgx sin x + cos x
2
2
12. Určete hodnotu y ∈ R, kde y = sin α + cos α , jestliže je sin α =
1
π 
a α ∈  ,π  . 1
2
2 
13. Vypočtěte úhly v trojúhelníku ABC, je-li c = 10cm; b = 14cm; β : γ = 2 : 1
α = 43,29°; β = 91,14°; γ = 45,57°
14. Určete, pro která a∈2,4,6,8 existuje trojúhelník ABC,ve kterém je α=30°, b=8. 4,6,8
15. Určete všechny strany a úhly trojúhelníka:
a) b=25, c=25 2 , γ = 45°
b) a=7, c=4, β=30°
c) a=11, b=14, c=18
a = 48,3; α = 105°; β = 30°
b = 4,062; α = 120,5°; γ = 29,5°
α = 37,65°; β = 51°; γ = 91,35°
16. V obecném trojúhelníku ABC platí b = 10 m, c = 6 m, tg α = 3 . Pomocí kosinové věty
se dá určit velikost strany a, která se rovná(v metrech)
A) 6
B) 76
C) 9,9 D) 106 E) 14
C
17. Trojúhelník ABC má délky stran a = 3cm, b = 5cm, c = 7cm. Jaký je součet dvou
nejmenších vnitřních úhlů?
A) 22°
B) 38° C)60° D) 105° E) jiná hodnota
18. Trojúhelník ABC má délky stran a = 9cm, b = 15cm, c = 10cm. Jakou hodnotu
(s přesností na setiny) má kosinus největšího vnitřního úhlu?
A) +0,49
B) +0,12 C) −0,24 D) −0,49 E) −0,76
19. Určete s přesností na celé desítky metrů vzdálenost ST:
A) 2 230m B) 2 450m
C) 2630m
D) 2 800m E) 3 010m
C
C
B
20. a) Pod jakým úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A, B současně?
35°
b) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od věže V. 1849m
21. Z věže vysoké 15 m a vzdálené od řeky 30 m se jevila šířka řeky v úhlu 15°.
Jak široká je řeka v tomto místě?
43,3
22. Na vrcholu kopce stojí věž rozhledny 30 m vysoká. Její patu a vrchol vidíme
z určitého místa v údolí pod výškovým úhlem α=28°30′ a β=30°40′. Jak vysoko
je vrchol kopce nad rovinou pozorovacího místa?
325,68
23. Vzdálenost mezi body X,Y není možno měřit přímo. Z bodu Z jsou oba body
přístupné a viditelné. Měřením bylo zjištěno, že XZ=100m, YZ=80m,
úhel XZY = 46°57′. Vypočtete vzdálenost bodů XY.
74,012
24. Síly F1 = 10N a F2 = 5N svírají úhel 52,5°. Jaká musí být třetí síla F3 působící
ve stejném bodě, aby výslednice všech tří sil byla nulová.Vypočtete úhel, který
svírají síly F2 a F3.
13,63N; 144,42°
Download

Pro stažení stiskněte (soubor)