24. Nekonečné geometrické řady, užití posloupností
1. Určete součet nekonečné geometrické řady (nejprve zdůvodněte konvergenci řady):
a) 1 −
3 9 27 81
+
−
+
−
4 16 64 256
n  2
d) ∑ ( − 1) ⋅  
3

∞
e)
∑
n= 1
b)
n
[K225 a)

∞
5
2
1 1 1 1 1 1
+ + + + +
+
2 3 4 9 8 27
f)
n− 1
∑
n= 1
c)
(
4
3
b) součet dvou řad
c)
7
2
4n + 3
2n − 1
) (
) (
2
5− 2 +
5− 2 +
2
5−1
d) Mposl4.25 −
5
4
)
3
5− 2 +
]
[Talafous e) 2 5 f) není konv.]
2. Určete obor konvergence řad a potom určete součet:
a) 1 – sin x + sin2x – sin3x + …
b) 1 + cotg x + cotg2x + cotg3x + …
1
π
3
1

π

[K 233 a) |sin x| < 1 ⇔ x∈R− ∪  ( 2k + 1)  , s=
b) |cotg x|<1 ⇔ x∈ ∪  + kπ , π + kπ  , s=
]
k∈ Z 
k∈ Z 4
1
−
cot
gx
2
4
1 + sin x

3. Řešte v R, x je neznámá:
a) 2x + 4x + 8x + 16x + … = 1
b) x + 3x2 + x3 + 3x4 + x5 + 3x6 + … =
c) 2x + 2x–2 + 2x–4 + … = ( 2 x ) −
2
e)
Ą
ć
ĺn= 1 č
3

xř
n− 1
=
32
3
d) 1 +
5
3
2 4
8
4x − 3
+ 2 + 3 + =
x x
3x − 4
x
∞
4
x− 4
nx
f) ∑ 2 = 1
n= 1
5
1
∨ x=
c) K222 x=2 d) x∈(−∞,–2) ∪ (2, ∞),
7
2
x2–7x+6=0 x=6, 1 nevyhovuje e) B50.10 x=6, 2 nevyh. f) B50.1ř x∈(−∞, 0) x= –1 ]
[ČVUTz 17/228 a) K220, x= –1 b)K218, součet dvou řad x∈(−1, 1), x= −
4. Řešte:
a) 1+ sin2x + sin4x + sin6x + … = 2 tg x
b) log x + log x + log 4 x + log 8 x +  = 2
e)
8
3 9 27
= 1− + 2 − 3 + 
x + 10
x x
x
∞
c) 2 ⋅ ∑
v 〈0, 2π〉
n= 1 x
1
2n
=
x
x− 2
−
x+ 1 x− 1
vR
d) 2.3x+2 – 135 = 2.(3x + 3x–1 + 3x–2 + …) v R
vR
vR
f)
2
= 1− x + x2 − x3 +  v R
2
π
3π
π 5π
∧x≠
sin 2x=1, x∈{ ,
} b) Odmat7ř/105 x=10 c) Pet 75/73
2
2
4 4
x∈(−∞,−1)∪(1,∞) d) K 224 x=2 e) Benda 5/50 –6, 4 f)Benda 2 − 1 ]
[a) K223 |sin x|<1⇔ x ≠
5. Určete hodnotu součinu:
a) x ⋅ x 3 ⋅ 4 x 3 ⋅ 8 x 3 
[B50.3ř x4]
b) 3 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 8 3 
[Odm5ř/105, K228, 9]
6. Vyjádřete číslo ve tvaru zlomku, jehož čitatel i jmenovatel jsou celá čísla:
a) a = 0, 12
7.
c) c = − 0, 36
b) b = 5,487
[Mposl 3.33 a)
12
99
b)
5433
990
c) −
4
]
11
Je dán čtverec o straně a. Spojnice středů jeho stran utvoří opět čtverec, spojnice středů stran
nového čtverce je opět čtverec,… Vypočítejte součet obsahů a obvodů takto vzniklých čtverců.
(
[Talaf 179ř/264., K226 S= 2a 2 , o = 4a 2 +
8.
)
2 ]
Určete, o kolik procent vzroste výroba za 5 let, vzroste-li každý rok o 3%. [Odmat4ř/107, asi o 16
%]
9.
Tlak v recipientu vývěvy klesne po jednom tahu pístu o 4 %. Na kolik procent původního
tlaku klesne tlak po 50 tazích pístu? [Ms51/36 na 13 %]
10.
Spirála je složena z půlkružnic, přičemž poloměr každé následující půlkružnice je o čtvrtinu
menší než poloměr předcházející kružnice. Určete délku spirály, je-li poloměr prvé kružnice r.
[ B50.5ř 4πr ]
11.
Z bodu A jednoho ramene ostrého úhlu o velikosti 60°, který je od vrcholu daného úhlu
vzdálen 5 cm, spusťte kolmici na druhé rameno, z její paty opět kolmici na první rameno atd.
Určete délku vzniklé lomené čáry. [Benda 20/52 s = 5 3 ]
12.
Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer
vrstvy dolní. Do kolika vrstev se uloží 102 roury, má-li nejvrchnější vrstva 3 roury? Kolik rour
má nejspodnější vrstva? [obdoba: sedadla v hledišti, plechovky, Odmat1ř/107, Mposl 2.13/48 12 vrstev, 13
rour]
13.
Teplota Země roste s hloubkou o 1 °C na 33 m. Urči teplotu na dně dolu hlubokého 1015 m,
je-li v hloubce 25 m teplota 9 °C.
[Odmat 2ř/106 39°C]
14.
Bakterie se množí dělením, ke kterému dochází vždy jednou za půl hodiny. Kolik bakterií
vznikne za 12 hodin z jedné bakterie? [Odmat 3ř/106, 16 770 000]
15.
Poločas přeměny radia C je asi 20 minut, tj. za 20 minut se přemění polovina hmotnosti
radia. Jaká hmotnost zůstane za 2 hodiny z původní hmotnosti 3 mg? [Mpos 1/50ř
16.
17.
3
mg]
64
Počet obyvatel města vzrostl za 10 let z 25 000 na 33 600. Jaký byl průměrný roční přírustek
obyvatel v procentech.
[Odmat 6ř/107 asi 3 %]
Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou
1
12
své intenzity. Jaká je intenzita
4
paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami.
[Mposl 2.27
 11 
  ]
 12 
18.
Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 5 % své intenzity. Kolik desek je třeba dát na
sebe, aby se intenzita světla snížila alespoň na polovinu původní hodnoty? [Pet 62/71 14 desek]
19.
Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně
odepisujeme 18 % ceny předmětu z předchozího roku? [Pet 61/71 12 let]
20.
Při vyšetřování štítné žlázy se využívá radioaktivní jód.Jeho počáteční hmotnost m0 klesá
t
v závislosti na čase t (v hodinách) na hodnotu m podle vzorce: m = m ⋅ 0,5 2,26 , kde 2,26 je
0
poločas rozpadu radioaktivního jódu v hodinách.
a) vyjádřete ze vzorce neznámou t (rovnici logaritmujte),
b) po kolika hodinách zbude v organizmu méně než 1 % počátečního množství jódu?
m
m0
log m − log m 0 b) m=0,01m0, t=15,02h, tj. za více než 15 h]
[TestMnaneč2004 a)
t = 2,26
= 2,26
log 0,5
log 0,5
log
Download

24. Nekonečné geometrické řady, užití posloupností