Analytická geometrie
Uzavřené úlohy
1. Přímka p procházející bodem A
odpovídající rovnici přímky p .
a) x y 2 0
b) y 2 0
c) 2 x y 0
d) x y 2 0
e) x y 2 0
0;2 má směrový vektor u
1; 1 . Vyberte
2. Přiřaďte ke každé rovnici (14.1 – 14.3 ) odpovídající název množiny bodů
v rovině ( A – E ) :
x2
2.1
2.2
2.3
x
2
x
A)
B)
C)
D)
E)
2x 2 y 2
4x
2
y
4y
2
2y 8
4
0
0
0
Kružnice
Elipsa
Hyperbola
Parabola
Bod
3. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S a vektory
u AB, v AF . Rozhodněte každém z následujících vztahů, je-li pravdivý
(ANO), či nikoli (NE) :
3.1
3.2
3.3
AS
u v
AD
2u 2v
BD
2v u
4. Přímka p je určena body A 3; 2 , B 3;2 . Která z uvedených přímek je kolmá
k přímce p ?
a) a : 2 x 3 y 7 0
b) b : 2 x 3 y 7 0
c)
c : 2x 3 y 7 0
d) d : 3x 2 y 7 0
e) e : 3x 2 y 7 0
5. Jsou dány přímky p : 2 x y 1 0, q : x y 1 0, r : x 1 t; y 1 t , t
Určete vzdálenost průsečíků přímky p s přímkami q a r .
a) 2
b) 5
c) jiná hodnota
d) nelze určit
R .
6. Je dána přímka p : 2 x 3 y 5 0 a bod A 1;3 . Určete obecnou rovnici
přímky, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p .
a) p : 3x 2 y 3 0
b) p : 3x 2 y 9 0
c) p : 3x 2 y 9 0
d) Žádná z uvedených rovnic není správná.
7. Rovnice přímky, na které leží výška na stranu AB trojúhelníka ABC, kde
A 5;6 , B 2;4 , C 6; 1 je :
a) 7 x 2 y 40 0
b) 7 x 2 y 40 0
c) 7 x 2 y 40 0
d) 7 x 2 y 40 0
e) Žádna z možností a) až d) není správná.
8. Parametrické vyjádření přímky p : x 2 y 7
a) x 1 2t , y
3 t, t R
b) x
1 2t , y
3 t, t R
c) x
3 2t , y 1 t , t R
d) x 1 2t , y
3 t, t R
0 je :
9. Orientovaná úsečka s počátečním bodem P 4; 1 je umístěním vektoru
v 2; 7 . Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky?
a) A 2; 6
b) B 2; 8
c) C 2;6
d) D 6; 8
e) E 6; 6
10. Parametrické vyjádření přímky p : x 2 y 7
a) x 1 2t , y
3 t, t R
b) x 2t , y t , t R
c) x
1 2t , y
3 t, t R
d) x
3 2t , y 1 t , t R
e) x 1 2t , y
3 t, t R
0 je :
11. Jsou dány přímky :
p : 2 x 5 y 12 0
q : x 1 5t , y 3 2t , t R
Rozhodněte, které z následujících tvrzení o přímkách p,q je pravdivé ?
a) přímky jsou rovnoběžné, různé
b) p prochází bodem 5;6 a přímky jsou rovnoběžné
c) přímky jsou shodné
d) přímky jsou na sebe kolmé
e) p prochází bodem 5;6 a přímky jsou různoběžné
12. Určete vzájemnou polohu přímek :
p : 3x 4 y 12 0
q : x 6 4t , y 3t , t R
Jsou-li přímky p,q různoběžné, určete jejich průsečík P ; jsou-li rovnoběžné,
určete jejich vzdálenost v .
a) rovnoběžné, v = 30
b) různoběžné, P 4;0
c) rovnoběžné, v = 6
d) různoběžné, P 4;0
18
e) rovnoběžné, v
5
13. V rovině jsou dány body A 2; 5 , B 4; 7 , C
a) 2
b)
2
c) 3
d)
6; 1 . Poměr
3
AC
e)
je roven :
AB
5
14. Je dán trojúhelník ABC s vrcholy A 1; 1 , B 4;2 , C 2; 6 . Rovnice těžnice ta
je:
a) x y 2 0
b) 2 x y 3 0
c) 4 x 4 y 5 0
d) 4 x y 3 0
e) x 2y 1 0
15. Přímka, která je kolmá k přímce 3x 2 y 6 0 má směrnici :
3
2
2
3
a)
b)
c)
d)
3
2
2
3
16. Výška vc v trojúhelníku ABC , kde A 1;2 , B 3;5 , C 3; 8 je rovna :
1
1
13
13
a)
b)
c) 2 13
d) 13
e) 26
2
13
17. Čtyřúhelník s vrcholy A 5; 1 , B 1; 5 , C 3; 1 , D 1;3 je :
a) obdélník b) kosočtverec
c) čtverec d) lichoběžník e) rovnoběžník
18. Trojúhelník ABC je určen vrcholy A 2;5 , B 9; 3 , C 4;2 . Tento trojúhelník je
na základě výpočtu jeho úhlů :
a) ostroúhlý
b) pravoúhlý c) tupoúhlý d) rovnoramenný pravoúhlý
e) žádný z uvedených
3 y 3 0 jsou rovnoběžné právě tehdy,
19. Přímky a : mx 2 y 7 0, b : x
když pro parametr m platí :
2 3
3 2
3
3
2
a) m
b) m
c) m
d) m
e) m
3
2
3
20. Jsou dány vektory u 3;5 , v 8; 2 , w 1;0 . Velikost vektoru s
rovna :
a) 1098
b) 1099
c) 1097
d) 1100
2u 3v w je
e)
1101
Otevřené úlohy
1.V rovině je umístěn vektor AB
4; 3 .
a) Určete velikost vektoru AB .
b)Doplňte souřadnice libovolného vektoru n
má dvojnásobnou velikost.
x; y , který je k vektoru AB kolmý a
2. Jsou dány body A 1;2 , B 1;3 aC 0;0 .
a) Napište parametrické rovnice přímky AB .
b) Napište obecnou rovnici přímky AC .
c) Vypočítejte odchylku přímek AB a AC .
3. Vrcholy trojúhelníku jsou body A
1;3 , B
2;0 , C 2; 3 .
a) Napište rovnici přímky, v níž leží výška va tohoto trojúhelníku.
b) Vypočítejte souřadnice vrcholu D rovnoběžníku ABCD a určete jeho obsah.
1;4 , P
4. Body M 2; 1 , N
ABC. Určete jeho vrcholy.
2;2 jsou středy stran AB, BC, AC trojúhelníku
5.Určete vzdálenost rovnoběžek a, b , jestliže a : 3x 2 y 20
0, b : 6 x 4 y 7
6.Trojúhelník ABC má strany a, b, c po řadě v přímkách určených rovnicemi
x 3 y 11 0,11x 3 y 29 0,3x y 3 0 .
a) Určete souřadnice jeho vrcholů.
b) Vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů.
c) Určete jeho obsah.
2;9 , C
4;5 . Zjistěte,
7.Jsou dány vrcholy trojúhelníku ABC : A 5;8 , B
zda průsečík výšek, těžiště a střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku leží
v téže přímce.
8.Jsou dány body A
3; 1 , B
4;0 , C
1;3 , D
0;2 .
a) Dokažte, že dané body jsou vrcholy obdélníka.
b) Napište rovnice jeho úhlopříček.
9.Je dán pravidelný šestiúhelník A-F se středem S . Označme vektory
u AB,v BC . Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé
nebo nepravdivé.
a) AC u v
b) SB u v
c) AE 2v u
d) FD 2u v
0.
21. Je dána přímka q : x 3t , y 12 4t , t R . Určete její vzdálenost od
rovnoběžné přímky p procházející počátkem souřadnicového systému.
x y
1 0 . Rozhodněte o každém z následujících
3 4
tvrzení, zda je pravdivé nebo nepravdivé.
22. Rovnice přímky p je
a) Bod B
1 11
;
4 3
leží na přímce p .
b) Vektor n 4;3 je normálovým vektorem přímky p .
c) Vzdálenost přímky p od počátku soustavy souřadnic je menší než 2,5.
d) Vzdálenost X,Y průsečíků přímky p s osami soustavy souřadnic je 5 .
23. Přímka p je určena parametrickými rovnicemi : x 1 2t , y
3 t, t
R .
a) Určete směrový vektor s přímky p .
b) Určete obě souřadnice průsečíku P přímky p se souřadnicovou osou x .
24. Průsečíkem přímek p : 3x y 2, q : x y 6 0 veďte rovnoběžku s přímkou
r : 2 x y 4 0 . Určete její obecnou rovnici.
25. Na přímce p : 2 x y 0 najděte bod C tak, aby trojúhelník ABC byl
rovnoramenný se základnou AB, kdeA 6;4 , B 2;2 .
Download

Analytická geometrie