Základy matematické logiky – výroky, složené výroky a kvantifikované výroky
A)
Výroky: Řekněte, zda se jedná či nejedná o výrok.
a)
Nesvítí sluníčko.
g) Jdu domů.
b)
Jdi domů!
h) Řešte tuto nerovnici!
c)
Pro všechna reálná čísla platí:
i)
Jak je dnes venku?
a 2  b 2  a  b 
. a  b
j)
2x + 3 < 0
k) Pro každé reálné číslo x platí, že 2x + 3 < 0
d) Prší.
e)
Na Marsu žijí lidé.
f)
l)
Na Marsu existují živé organismy.
m) 5.3  12  26
n) Obsah kruhu o poloměru r je 2.π r
B) Negace výroků: Určete negace výroků:
a)
b)
c)
Trojúhelník ABC je pravoúhlý.
9  4 <2
i)
aspoň jeden student byl výborně připraven
j)
daná rovnice má aspoň 3 reálné kořeny
k) v tomto sadě je nanejvýš 19 jabloní
Číslo a je dělitelné 5
d) Číslo 60 je dělitelné alespoň 4 prvočísly.
l)
Na dnešek se učili alespoň 4 žáci.
e)
V knihovně je nejvýše n + 3 knih.
m) Daná rovnice má alespoň jeden kořen.
f)
Každé celé číslo je racionální.
n) Nejvýše jeden z kořenů dané rovnice je záporný.
g) rovnice nemá žádný reálný kořen
o) Žádný z vyučovacích předmětů mě nebaví.
h) všichni studenti prospěli
p) Tato úloha má právě dvě řešení.
C) Utvořte negace výroků bez použití záporu:
1) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý.
4)
2) Daný trojúhelník ABC nemá všechny vnitřní úhly shodné.
5) kořen rovnice 2x – 1 = 5 je kladné číslo.
2 3 5
3) Přímka t je tečnou dané kružnice.
D) Negace složených výroků: Určete negace složených výroků:
1) Zítra bude sněžit a teploty nepřesáhnou 0°C.
2) Po obědě si objednám čaj nebo kávu.
3) Jestliže chce řidič odbočit, dává znamení o změně směru jízdy.
4) Trojúhelník ABC je pravoúhlý, právě tehdy když pro jeho přeponu délky c a odvěsny s délkami a, b platí c  a  b .
2
2
2
5) Máme pivo a minerálky.
6) Osvěžíme se čajem nebo kávou.
7) Jestliže budu obědvat vepřové, pak budu pít pivo.
8) Nemám hlad a nemám žízeň.
9) Bude-li ke koupi ovoce, pak nekoupím kompot.
10) Adam přijde právě tehdy, když přijde Božena.
11) Grapefruity koupím právě tehdy, když nebudou citrony.
E) Vyjádřete následující složené výroky pomocí logických spojek a výroků: K babičce mají přijet na prázdniny dvě vnučky, Alena a
Blanka. Pomocí logických spojek a výroků vyjádřete následující složené výroky:
1) Alena přijede a Blanka nepřijede.
2) Nepřijede Alena nebo nepřijede Blanka.
3) Jestliže nepřijede Alena, pak přijede Blanka.
4) Alena přijede právě tehdy, když přijede Blanka.
5) Přijedou obě vnučky.
6) Přijede nejvýše jedna vnučka.
7) Přijede právě jedna vnučka.
Vytvořeno pomocí Software602 Print2PDF 8. Tuto řádku odstraníte zakoupením licence a aktivací na http://www.software602.cz/
F) Vyjádřete následující složené výroky pomocí logických spojek a výroků:
1) Kamarád tipuje: Atlet A zvítězí a atlet B bude druhý nebo atlet A běh nedokončí a atlet B zvítězí. Tento jeho tip se nevyplnil.
2) Ředitel hlásí: Splní-li dodavatelé A a B své úkoly včas dokončíme stavbu a zahájíme montáž. Výrok se ukázal být nepravdivý.
3) O účastníkovi konference neplatí, že letěl do Bratislavy letadlem a z Bratislavy do Prahy jel autobusem nebo autem.
G) Tabulky pravdivostních hodnot: Vyřešte pravdivost výroků.
1)
2)
A  B  A  B
A  B   A
6)
7)
A  A
 A  B   A  B 
5)  A  B    A  B 
8)
3)
4)
9)
10)
A   B  A
A  C   B
 A  B   C
 A  C   B
 A  B   C
H) Rozhodněte, zda jsou ekvivalentní výroky A  B; B  A
E) Slovní úlohy:
1) Petr a Pavel čekají před kinem na své spolužáky Adama, Břetislava a Cyrila. Petr tvrdí:“Příjde-li Adam a Břetislav, přijde i
Cyril.“Pavel říká:“Já si myslím, že když přijde Adama a nepřijde Cyril, nepřijde ani Břetislav.“ Na to povídá Petr:“To přece
říkáš totéž, co já.“ Rozhodněte, zda oba skutečně říkají totéž.
2) Pro provozní doby tří benzínových stanic A, B, C v určitém městě platí tyto podmínky: Vždy je v provozu benzínová stanice A
nebo C. Stanice C je mimo provoz, právě tehdy, když je otevřeno ve stanici A. Má-li prodejní dobu stanice C, pak stanice A není
v provozu a je v činnosti stanice B. Určete všechny možnosti provozu tří benzínových stanic.
3) Kapitán Exner vyšetřuje případ vraždy. Vyšetřování se okruh podezřelých zúžil na tři osoby A, B, C. Podřízení zjistili několik
indicií: Jestliže byl v kritické době na místě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A, ale byl tam podezřelý B. Není pravda,
že na místě činu nebyl A a přitom tam byl C. V době, kdy byl na místě činu podezřelý A, nebyl tam C a když tam nebyl C, byl
tam A. Pachatel byl na místě činu sám. Kapitán Exner už teď ví, koho má zatknout. Kdo byl tedy vrahem?
F) Kvantifikované výroky:
1) Pomocí kvantifikátorů utvořte z následujících vět pravdivé výroky:
a)
Pro čísla x, y platí x  y  0
2
2
b) Pro číslo x platí x  1 > 0
2
2) Pomocí proměnné a kvantifikátoru vyjádřete formulace:
a)
Druhá mocnina každého reálného čísla je nezáporná.
b) Existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice x  9  0 .
2
3) Vyjádřete slovy:
a)
x  R : x 2  x
b)
x  R :  x  1  1
2
4) Negujte pravdivé výroky:
a)
Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro něž
b) Pro všechna reálná čísla x > 1 platí
c)
x2  x
x 2 > x.
Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti.
d) Žádné přirozené číslo není menší než -10.
5) Negujte nepravdivé výroky:
a)
Existuje alespoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché.
b) Každé dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné.
c)
Existuje alespoň jeden trojúhelník, ve kterém se všechny jeho výšky neprotínají v jediném bodě.
d) Součet žádných dvou celých čísel není roven nule.
Vytvořeno pomocí Software602 Print2PDF 8. Tuto řádku odstraníte zakoupením licence a aktivací na http://www.software602.cz/
Vytvořeno pomocí Software602 Print2PDF 8. Tuto řádku odstraníte zakoupením licence a aktivací na http://www.software602.cz/
Download

Základy matematické logiky – výroky, složené výroky a