Posloupnosti, finanční matematika
Pojem posloupnost
1)
2)
3)
4)
Určete první čtyři členy posloupnosti a znázorněte je graficky:
  1 n −1 
n+4
a) an = −2 + n , b) ( − n 2 ) , c) f n =
, d)    
 2  
2n − 1


7 8
1 1 1
a) –1; 0; 1; 2, b) –1; –4; –9; –16, c) 5; 2; ; , d) 1; ; ;
5 7
2 4 8
Vypočtěte, kolikátý člen posloupnosti určené uvedeným vztahem má danou hodnotu:
2−n 1
, − ; d) − n 2 + 2n, − 2
a) ( 2n + 3) , 25 ; b) 2n 2 − 3n,104 ; c) an =
3+ n 2
a) jedenáctý, b) osmý, c) sedmý, d) žádný
Určete vztah pro n-tý člen posloupnosti:
a) 1; 2;3; 4;5;... , b) 2; 4;6;8;10;... , c) 1;3;5;7;9;... , d) 1; 4;9;16; 25;...
1 1 1 1
e) 1; ; ; ; ;... , f) −1; − 2; − 3; − 4; − 5;... , g) 2; − 2; 2; − 2; 2;...
2 3 4 5
1
n+1
a) an = n , b) an = 2n , c) 2n − 1 , d) n 2 , e) , f) −n , g) ( −1) ⋅ 2
n
Vypočtěte prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně:
a) a1 = 1, an +1 = an − 1 , b) a1 = 2, an +1 = 2an + 1 , c) a1 = 3, an +1 = −an
a) 1; 0; –1; –2; –3, b) 2; 5; 11; 23; 47, c) 3; –3; 3; –3; 3
Aritmetická posloupnost
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
První člen aritmetické posloupnosti je 12 a diference 4. Určete prvních pět členů této posloupnosti.
12, 16, 20, 24, 28
V aritmetické posloupnosti je a5 = 30 , d = 8 . Určete a1 a a7 .
–2, 46
V aritmetické posloupnosti je a3 = 5 , d = −2 . Určete součet prvních pěti členů této posloupnosti.
25
V aritmetické posloupnosti je dáno: a3 = 15 , a5 = 21 . Určete a1 a a8 .
9, 30
V aritmetické posloupnosti je dáno: a4 = 20 , a6 = 12 . Určete a1 a a8 .
32, 4
V aritmetické posloupnosti ( an ) je a10 = 10 , a25 = −50 . Její člen a66 je roven:
a) –214, b) –216, c) –220, d) –222, e) –224
a)
V aritmetické posloupnosti je dáno: a1 + a4 = 26 a zároveň a2 + a5 = 30 . Určete první člen
posloupnosti a součet prvních 10 členů.
10, 190
Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, z nichž první tři jsou –140; –132; –124 a poslední tři 236;
244; 252. Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti. Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti. Určete,
kolikátým členem posloupnosti je číslo 100.
a20 = 12; s50 = 2 800; 100 je třicátým prvním členem
V soutěži byly za prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2400 Kč. Nejvyšší odměna
byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které
tvrzení je pravdivé?
a) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč.
b) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1200 Kč.
c) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1200 Kč.
d) Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit.
14)
15)
16)
17)
18)
19)
a)
Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří AP. Delší odvěsna je 24. Určete obvod a obsah
trojúhelníka.
o = 72, S = 216
Největší záporný člen aritmetické posloupnosti, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem je
číslo 76, je:
a) –2
b) –6
c) –10
d) Jiné záporné číslo.
d)
Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 12 cm. Vypočtěte
strany, obvod a obsah.
9; 12; 15; 36; 54
Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Přepona je 30 cm. Určete odvěsny.
18; 24
Trubky jsou srovnány v osmi řadách nad sebou tak, že vrchní řada má 13 trubek a každá další řada o 1
trubku více. Kolik je všech trubek? Kolik je trubek ve třetí řadě odshora?
132; 15
Posloupnost tvoří sedmnáct po sobě jdoucích přirozených lichých čísel seřazených vzestupně od
nejmenšího k největšímu. Prostřední člen a9 je číslo 23.
O každém z následujících tvrzení rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).
1. Rozdíl mezi dvěma sousedními členy je 1.
2. a12 = 29
3. Všechny členy jsou větší než 5.
4. Součet čtyř nejmenších členů je 40.
Ne, Ano, Ano, Ano
Geometrická posloupnost
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
První člen geometrické posloupnosti je 3 a kvocient 2. Určete prvních pět členů této posloupnosti.
3, 6, 12, 24, 48
V geometrické posloupnosti je a4 = 81 , q = 3 . Určete a1 a a7 .
3; 2187
1
V geometrické posloupnosti je a3 = 24 , q = . Určete a1 a a6 .
2
96; 3
V geometrické posloupnosti je dáno: a3 = 18 , a4 = 162 . Určete a1 a a5 .
2
; 1458
9
V geometrické posloupnosti je dáno: a2 = 5 , a3 = −10 . Určete a1 a a5 .
5
− ; – 40
2
U každé z následující čtveřice čísel určete, tvoří-li geometrickou posloupnost, či nikoli:
a) 4; 2; –2; –4
b) 1; 4; 16; 64
c) 0; 4; 8; 12
d) 8; –4; 2; –1
NE, ANO, NE, ANO
3
V geometrické posloupnosti je dán kvocient q = a člen a54 = 54 Určete hodnoty členů a55 a a51 .
2
81, 16
Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže a1 − a2 + a3 = 15 a zároveň
a4 − a5 + a6 = 120 .
a1 = 5, q = 2
Přičteme-li k číslům 2, 16, 58 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete
v této posloupnosti s4.
přičteme 5, s4 = 280
30)
Délky hran kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem V = 216 cm3. Součet délek hran,
vycházejících z jednoho vrcholu, je 21 cm. Určete délky hran.
12 cm, 6 cm, 3 cm
Čtveřice a1 , a2 , a3 , a4 , kde a2 = −20, a3 = 10 , představuje čtyři po sobě jdoucí členy aritmetické
posloupnosti, čtveřice g1 , g 2 , g3 , g 4 , kde g 2 = −10, g 3 = 20 , čtyři po sobě jdoucí členy geometrické
posloupnosti. Určete zbývající členy obou posloupností.
a1 = −50, a4 = 40 , g1 = 5, g 4 = −40
29)
Finanční matematika
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
Zdeněk si potřebuje půjčit částku 15 000 Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v
pěti pravidelných splátkách po 3 000 Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu.
(Tedy při první splátce je to 5 % z 15 000 Kč, při poslední už jen 5 % ze 3 000 Kč.) Kolik korun
celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce?
2 250 Kč
Hodnota roční výroby podniku je 2,3 milionu Kč. Průměrný roční přírůstek činí 2%. Jaká bude
hodnota výroby na konci šestého roku?
2,59 milionu Kč
Město R má 12 530 obyvatel, každoročně přibývá 2,3% obyvatel. Kolik můžeme očekávat, že bude
mít město obyvatel za 6 let při nezměněném přírůstku?
14 362
Na vesnici každoročně průměrně ubývají 2% obyvatel. Kolik obyvatel bude mít vesnice za 4 roky,
jestliže má nyní 630 obyvatel?
581
Stroj ztrácí každý rok 10% své hodnoty. Jaká byla jeho nákupní cena, jestliže po 13 letech měl
hodnotu 10 168 Kč.
40 002 Kč
Počáteční množství dřeva v lese bylo odhadnuto na 20 000 m3 a jeho průměrný roční přírůstek na
2,5 %.
a) Kolik m3 dřeva by bylo v lese bez těžby za 10 let a kolik procent pův. množství by činil jeho
celkový přírůstek ?
b) Kolik m3 dřeva bude v lese za 10 let, jestliže se na konci 5. roku vytěží 3 000 m3 ?
c) Za jak dlouho by se původní množství dřeva (bez těžby) zvýšilo o 10 000 m3 ?
a) 25 602 m3, 28% b) 22 208 m3 c) 16,42 let
Cena počítače v důsledku opotřebování a technického rozvoje klesne po 10 letech o 90 % kupní ceny.
Kolik procent ceny počítače z předchozího roku je třeba pravidelně každoročně odepisovat? Bude-li se
ročně odepisovat pravidelně 12 % hodnoty počítače z předchozího roku, o kolik procent klesne
celkově hodnota počítače po těchto 10 letech?
20,6 %, 72,15 %
V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet
zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet
zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna roku následujícího? A) 22; B) 25; C) 27; D) 30
B
Majitel dílny nakoupil na úvěr s roční úrokovou mírou 10 % materiál v ceně 800 000 Kč, úroky se
připisuji koncem každého roku. Majitel splatí celou částku jednorázově po uplynuti pěti let. O kolik
procent splátka převýší úvěr?
přibližně o 61 %
Download

Posloupnosti, finanční matematika )