Rovnice a nerovnice
36
4 Rovnice a nerovnice
4.1
Lineární rovnice a jejich soustavy
Požadované dovednosti




řešit lineární rovnice o jedné neznámé
vyjádřit neznámou ze vzorce
užít lineární rovnice při řešení slovní úlohy
řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Řešené úlohy
4.1.1 Řešte
x  2 3x  1
x3

1  x
v R.
5
6
2
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem, tím je číslo 30.
6( x  2)  5(3x  1)  30  30x  15( x  3)
6 x  12  15x  5  30  30x  15x  45
 24 x  22
22
11
x

24
12
 11 
Množina všech řešení (kořenů) rovnice je jednoprvková: K   .
 12 
4.1.2 Vyjádřete neznámou v ze vzorce S  2 r 2  2 rv.
Řešení:
S
rv
S  2r 2  2rv
2r
2
S  2 r
S
v
nebo
r v
2r
2r
S
S  2r 2
v
r
v
2r
2r
4.1.3 Řešte v R
a) 3x  2  x  (1  x)
b) 2x  2  x  (1  x)
c) 2 x  1  x  (1  x)
Rovnice a nerovnice
37
Řešení:
a) 3x  2  x  (1  x)
3x  2  x  1  x
b) 2x  2  x  (1  x)
2x  2  2 x  1
c) 2 x  1  x  (1  x)
2x  1  2 x  1
x1
 2  1
0 0
K  1
K
KR
a) Množina všech řešení je jednoprvková.
b) Rovnice nemá řešení. Množina všech řešení je prázdná.
c) Vyhovují všechna x z oboru rovnice, pro která má rovnice smysl. Množina
všech řešení je proto množina všech reálných čísel.
4.1.4 Řešte soustavu rovnic v R2:
2x  y  3
3x  2 y  8
Řešení:
Dosazovací metodou: Z první rovnice vyjádříme y ( y  3  2 x ) a dosadíme je
do druhé rovnice: 3 x  2(3  2 x )  8. Tuto rovnici vyřešíme:
3 x  6  4 x  8
7 x  14
x  2
Hodnotu x  2 dosadíme do vyjádření pro y: y  3  2  (2)  1.
Řešením je x  2 ,
y  1. Řešení zapíšeme jako množinu obsahující jednu
uspořádanou dvojici: K   2; 1 .
Sčítací metodou: Každou z rovnic vynásobíme vhodným číslem tak, aby při
sečtení rovnic vypadla jedna neznámá. V našem případě stačí první rovnici
vynásobit dvěma a druhou nechat tak, jak je:
4x  2 y  6
3x  2 y  8
Součtem rovnic získáme 7 x  14, a tedy x  2. Hodnotu x dosadíme do
jedné z rovnic a určíme y: 4  ( 2)  2 y  6  2y  2  y  1.
4.1.5 Graficky řešte soustavu rovnic v R2:
2x  y  3
3x  2 y  8
Řešení:
Každou z rovnic lze znázornit v soustavě Oxy přímkou. Souřadnice bodů
takové přímky vyhovují dané rovnici.
Rovnice a nerovnice
38
První přímka prochází například body v tabulce
Druhá přímka má například body
x
0
2
y
4
7
x
0
y
–3 –5
1
Řešením soustavy jsou souřadnice průsečíku přímek:
Souřadnice průsečíku jsou „přibližně“  2; 1. Tato uspořádaná dvojice je
řešením soustavy rovnic.
4.1.6 Kartáček a pasta na zuby stojí dohromady 100 Kč. Kartáček je o 60 Kč
dražší než pasta. Kolik stojí pasta?
Řešení:
Cenu kartáčku označíme k, cenu pasty p. Pak platí
k  p  100
k  p  60
Z druhé rovnice přímo dosadíme k do první rovnice:
p  60  p  100  2 p  40  p  20. Pasta stojí 20 Kč.
Úlohy k procvičení
4.1.7 Řešte v R 3( x  2)  5  7  4( 5  x).
4.1.8 Řešte v R
Rovnice a nerovnice
a)
2 ( x  1)  5x  2
4.1.9 Řešte v Z
6x  4
1  2x
a)
1  x 
3
2
39
b)
2 ( x  1)  5x  2
c)
2 x  1  2x  2
6x  4 5
1  2x
  x
3
6
2
11
x  2 3x  1
x3
4.1.10 Ověřte zkouškou, že 
je kořenem

1 x
.
12
5
6
2
b)
4.1.11 Ze vzorce vyjádřete neznámou v závorce:
1
NI
a) s  v o t  at 2 (a)
b) B   
(N)
2
l
c) m1 (t 1  t )  m 2 (t  t 2 ) (t)
4.1.12 Určete hodnotu koeficientu a tak, aby rovnice ax  7  3x  (1  5x) měla
kořen 4.
4.1.13 Řešte soustavu rovnic v R2:
2
3
1
0 ,5x  y  1
x y 
a)
b) 3
4
2
 3x  6 y  2
4 x  4 ,5 y  3
c)
3x  5 y  4
5x  2 y  13
4.1.14 V pravoúhlém trojúhelníku má jedna odvěsna délku 12 cm. Přepona je
o 4 cm delší než druhá odvěsna. Určete, jak dlouhá je přepona.
4.1.15 Na parkovišti stojí 35 aut a motorek. Dohromady mají 100 kol, rezervní
kola nepočítáme. Určete, kolik je motorek.
4.1.16* Víme, že Libor jednoho večera řekl: „Z tohoto měsíce uplynulo tolik
dnů, že za stejný počet dnů a ještě pět bude do konce měsíce zbývat tolik dnů,
kolik z něj k dnešku uplynulo.“ Měl pravdu. Určete datum Liborova výroku.
4.1.17 V tenisovém oddílu mládeže byla třetina dívek. Pak ale osm chlapců
odešlo a tři dívky přibyly a je jich už 52 %. Určete, kolik má teď oddíl členů.
4.1.18 Je-li v provozu spotřebič s příkonem 100 wattů, spotřebuje za dvě
hodiny 200 watthodin (Wh). Víme, že jistá kompaktní „žárovka“ svítila 100
hodin a spotřebovala o 2,1 kWh méně energie než klasická žárovka za 50
hodin, protože klasická žárovka měla při stejné svítivosti pětkrát větší příkon
než kompaktní. Vypočtěte, jaký byl příkon klasické žárovky.
4.1.19 V obdélníku je jedna strana o 5 cm delší než druhá. Když se kratší
strana zvětší o polovinu a delší o třetinu, zvětší se obvod o 20 cm. Určete
poměr obsahů nového a původního obdélníka.
A) 1,2
B) 1,5
C) 1,8
D) 2,0
E) jiná odpověď než A)–D)
4.1.20 Škodovka dojela za 60 minut trabanta, který měl náskok 40 km. Pokud
by rychlost škodovky byla o 25 % vyšší, dohnala by trabanta za 40 minut.
Rozhodněte, jakou rychlostí v kilometrech za hodinu jel trabant.
Rovnice a nerovnice
40
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) jiná odpověď než A)–D)
4.1.21 Mezi dvaceti mincemi v hodnotě 330 korun jsou pouze desetikoruny
a dvacetikoruny. Kolik je desetikorun?
4.1.22 Katka projezdila 199 bodů při 35 jízdách na 2 vlecích. Kratší vlek bere
5 bodů, delší 7. Kolik jízd jela na kratším vleku?
4.1.23 Kolik gramů 2% roztoku CuSO4 je nutno přilít ke sto gramům
5% roztoku CuSO4, aby vznikl 3% roztok?
Výsledky úloh k procvičení
4.1.7 x  2
4.1.8 a) x  0
4.1.9 a) K  
b) K  Z
4.1.11 a) a 
2( s  v o t )
t2
12  7 2
c) x   2  1,5 2
23
 11 
 11  25
4.1.10 L    P   
 12 
 12  24
m t  m2t 2
Bl
b) N 
c) t  1 1
m1  m2
I
b) x  
4.1.12 a  6
4.1.13 a) K  
c) K   3; 1 
4.1.14 20 cm
8t  6 


b) K   t ;
; t  R

9



4.1.15 20
4.1.16* 8. února
4.1.17 25
4.1.21 7
4.1.18 70 watt
4.1.22 23
4.1.19 D
4.1.23 200
4.2
4.1.20 B
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Požadované dovednosti





stanovit definiční obor rovnice
řešit rovnice s neznámou ve jmenovateli o jedné neznámé
vyjádřit neznámou ze vzorce
užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy
využít k řešení slovní úlohy grafu nepřímé úměry
Řešené úlohy
4.2.1 Určete definiční obor rovnice
20
24

a pak rovnici vyřešte.
x2
x
Řešení:
Z podmínek x  2  0  x  0 plyne definiční obor D   ; 0   0; 2  2;   .
Download

Ukázka - Rubico