Posloupnosti
AP = aritmetická posloupnost, GP = geometrická posloupnost
1) Je dána posloupnost (a n )n=1 rekurentní formulí a n+1 = a n + 3n − 20 a členem a1 = −5 .
Určete součet a 2 + a 3 + a 4 .
∞
(
2) Určete součet prvních 5 členů posloupnosti zadané: (− 1) ⋅ n
n
)
∞
n =1
3) Napište vzorec pro n-tý člen posloupnosti: a) 1, 4, 9, 16, 25, ...
b) 2 , 3 , 4 , 5 ,...
4) V AP platí:
a) a 4 − a1 = 9 , a 3 = 8 , vypočtěte 8. člen
b) a1 = −5 , a 2 = 1 , s n = 220 , vypočtěte n
c) a15 = 4 , d = −16 , vypočtěte a19
d) a1 + a 5 = 30 , a 3 + a 4 = 36 , vypočtěte a1 , d
5) V GP platí:
a
1
1
a) 4 = , a 5 = − , vypočtěte a 7
a1 8
8
b) a1 = 3 , q = 5 , a n = 9375 , vypočtěte n
c) a 3 = 8 , q = −2 , vypočtěte s15
d) a 2 + a 5 = 9 , a 3 + a 4 = 6 , vypočtěte s5
6) V 7 regálech je srovnáno 259 knih tak, že v každém následujícím regálu je o 4 knihy více
než v předchozím. Kolik knih obsahuje regál s největším počtem knih?
7) Za jakou dobu by se vklad 20 000 Kč uložený na účtu s roční úrokovou sazbou 3,5 % zvýšil na
25 000 Kč, počítáme-li 15 % daň z úroku?
8) Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 15, 27 dalo tři po sobě jdoucí členy
geometrické posloupnosti.
9) Mezi čísla 8 a 20 vložte tolik členů aritmetické posloupnosti, aby součet vložených členů byl 196.
10)Mezi čísla 160 a 5 vložte čtyři čísla tak, aby s danými čísly tvořila GP. Určete součet těchto členů
posloupnosti.
11) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří po sobě jdoucí členy AP. Delší odvěsna má délku 36
cm. Určete délky stran trojúhelníku, velikosti vnitřních úhlů, jeho obvod a obsah.
12) Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete je, je-li součet
délek hran vycházejících z jednoho vrcholu 24 cm a objem kvádru je 312 cm3 .
13) Roční přírůstky dřeva v lese se odhadují na 2 %. Za kolik let se objem dřeva v lese zdvojnásobí?
14) Střadatel si uložil na 5 let do banky částku 50 000 Kč na 2 % úrok.Kolik mu banka vyplatí za 5 let
po 15 % zdanění připsaných úroků? Za kolik let se vložená částka zdvojnásobí (bez daně z úroků)?
15) Student kuřák prokouří měsíčně asi 400 Kč. Kolik by ušetřil za 5 let, kdyby tuto částku pravidelně
měsíčně ukládal na vkladní knížku s ročním úrokem 1,2 % ? Kolik Kč by mu banka vyplatila po
15 % zdanění připsaných úroků?
16) Na termínovaný spořící účet se stálým ročním úrokem 3 % si uložíte počátkem každého roku
18 000 Kč, daň z úroků činí 15 %. Kolik Kč budete mít na účtu za 5 let? Na kolik % by musel být
vklad uložen, aby se zdvojnásobil za 5 let (bez daně z úroků) ?
17) Cena osobního vozu je 275 000 Kč. Jaká bude jeho cena za 5 let, jestliže se opotřebením
znehodnocuje ročně o 12 %? Za jak dlouho klesne jeho cena na jednu pětinu nákupní ceny?
Výsledky:
(
)
1) -105 ; 2) -3 ; 3) a) (n 2 )n =1 ; b) 1 + n n =1 ; 4) a) 23 ; b) 10 ; c) -60 ;
1
d) a1 = 3; d = 6 ; 5) a) −
; b) 6 ; c) 21 846 ; d) s5 = 15,5nebo31 ; 6) 49 ;
32
4
7) 7,61 let ; 8) 9 ; 9) n=14 ; d = ; 10) 315 ; 11) a=27cm ; b=36cm ; c=45cm ;
5
0
0
0
α = 36 52' ; β = 53 8' ; γ = 90 ; o=108 cm ; S=486 cm2; 12) 3cm ; 8cm ; 13cm ; 13) 35 let ;
14) 54 423 Kč ; 15) 25 041 Kč – 156 Kč daň = 24 885 Kč ; 16) 97 164,60 Kč ; 15 % ;
17) 145 126 Kč
∞
∞
Download

Posloupnosti