Stereometrie, povrchy a objemy těles, základní tělesa, komolá tělesa, koule a její části.
ŘEZY, VZÁJEMNÁ POLOHA, PRŮSEČNICE, TĚLESA
1. Sestrojte řez krychle rovinou:
a) SBCSABSDH
b) SBCKM ( K leží ve čtvrtině strany AE blíže bodu A, M je ve třetině strany GH
blíže bodu G)
c) HKL ( K je ve třetině strany AB blíže bodu A, L je ve třetině strany BC blíže
bodu C)
d) PQR (bod P je ve třetině strany HG blíže bodu H, bod Q ve třetině strany EH blíže
bodu H, bod R ve třetině strany BF blíže bodu B)
2. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou:
a) SABSBCSDV
b) BSAVP ( A je střed úsečky DP )
c) PQSAB ( P je ve třetině strany CV blíže C, Q je ve třetině DV blíže V )
3. Krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení:
a) Přímka AB je kolmá na FC.
b) Přímky AF a FH jsou na sebe kolmé.
c) Přímka FC je kolmá k BH.
ano
ne
ano
4. Je dán pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA´B´C´D´E´F´ a dvojice rovin:
A) ABC, D´E´F´ B) ABB´, CC´F´ C) BDD´, A´AE D) A´F´F, EDD´ E) ACF´, A´B´D
Určete počet dvojic rovin, které NEJSOU rovnoběžné.
a) právě jedna
b) právě dvě
c) právě tři
d) více než tři
b
5. V krychli ABCDEFGH , kde AB = 6 cm sestrojte
a) průsečnici rovin AGH a BFD
b) určete vzájemnou polohu přímek AE a FC, jejich vzdálenost a odchylku
mimoběžné, 6cm, 45º
6. Přiřaďte ke každé úloze správné řešení (A–F):
A) Kolik stěn má krychle?
B) Kolik hran má osmiboký jehlan?
C) Kolik vrcholů má dvanáctiboký hranol?
D) Kolik stěn včetně podstav má hranol, který má hran?
a) 6 b) 10 c)12 d) 20 e) 24 f) jiný výsledek
a
f
e
b
7. Pojmenujte tělesa, jejichž sítě jsou na obrázcích:
pravidelný
čtyřboký jehlan
pravidelný
šestiboký jehlan
pravidelný
trojboký jehlan
pravidelný
trojboký hranol
KVÁDR, KRYCHLE, HRANOL, VÁLEC
1. Na polici stojí akvárium tvaru krychle, do něhož se vejde 27 l vody. Tloušťka skla
akvária je 5 mm. Jakou plochu na polici akvárium zabírá?
a) 30 dm2
b) 90 dm2
c) 900 cm2
d) 961 cm2
d
2. Stěnová a tělesová úhlopříčka v krychli vycházejí z téhož vrcholu. Jejich odchylka je α.
Které z následujících tvrzení je pravdivé?
2
2
2
2
a) tg α =
b) cotg α =
c)cos α =
d) sin α =
a
2
2
2
2
3. Krychle má hranu 10 cm. Kvádr má jednu hranu 10 cm a druhou 6 cm. Kolik centimetrů
měří třetí hrana kvádru , je-li povrch krychle i kvádru stejný?
a) c = 15cm
b) c =15,5 cm
c) c =16,6 cm
d) jiné řešení
a
4. Délka tělesové úhlopříčky krychle je 3 6 cm. Vypočtete stranu, povrch a objem
krychle.
a = 3√
√2cm; P = 108cm2; V = 54√
√2cm3
5. Délky hran kvádru jsou v poměru a : b : c = 2 : 4 : 6. Povrch kvádru je
5632 m2. Určete objem kvádru.
24 576m3
6. Kvádr zabírá na podložce plochu o velikosti 9√2 dm2 nebo 6√2dm2 nebo 12dm2
v závislosti na jeho umístění. Určete jeho strany.
2√
√2dm; 3√
√2dm; 3dm
7. Podstava trojbokého hranolu je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s odvěsnou 6cm.
Obsah jeho největší boční stěny je stejný jako obsah podstavy. Výška hranolu je:
a) 1,5cm
b) 2 cm
c) 2cm
d) 1,5 2 cm
e) 2 2 cm
d
8. Pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany jsou si rovny, má povrch
4530cm2. Určete objem tělesa.
17 366cm3
9. Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu
3 dm
50 cm2, kterou tři půllitrové hrnky vody naplní až po okraj?
10. Vypočtete poloměr a výšku rovnostranného válce, který lze vepsat do koule
o poloměru 10cm.
v = 10√
√2, r = 5√
√2
11. Váleček se kutálí po podložce. Po jedné celé otočce se posune o 25 cm. Jaký je
poloměr podstavy válečku?
a) asi 4cm b) asi 4,1cm
c) asi 4,2cm
d) asi 4,3cm
e) jiný poloměr
a
12. Rotační válec má poloměr podstavy r a výšku v. Zmenšíme-li poloměr o 20% a
zároveň zvětšíme výšku o 25%, bude objem vzniklého válce menší o
a) 80%
b)15%
c)20%
d)25%
e)30%
c
12. Z plastelíny je vytvořen válec o výšce 12cm. Pak je přeměněn na kužel se stejnou
podstavou. Jaká je výška kužele?
a) 4
b)6
c)24
d)36
d
13. Rotační válec se naplní 2 litry vody do poloviny. Po přilití dalšího litru vody stoupne
hladina o 5cm. Určete průměr a výšku válce.
d = 16cm; h = 20cm
14. Nádoba tvaru válce má poloměr podstavy 6 cm a voda je do výšky 25 cm.
Ve válci je ponořena krychle. Pokud krychli vyndáme, klesne hladina o 4 cm.
Určete povrch krychle.
a = 7,68cm; P = 353,9cm2
15. Válec s poloměrem podstavy 5cm je naplněn vodou. Pokud se nakloní o 60°,
vyteče z něho polovina obsahu. Určete výšku válce. 17,32cm
JEHLAN, KUŽEL
1. Krychle ABCDEFGH má obsah jedné stěny 125cm2. Určete objem jehlanu ABCDH
s hlavním vrcholem H. Výsledek zaokrouhlete na celé číslo.
a) 466
b)520
c) 625
d) jiné řešení
a
2. Kolik m2 pozinkovaného plechu se spotřebuje na pokrytí střechy věže, která má
tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu? Hrana podstavy je 6m, výška věže je 9m.
Počítá se 5% odpadu plechu.
120m3
3. Do pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou délky a je vepsána krychle
tak, že jedna její stěna leží v podstavě jehlanu a zbylé čtyři vrcholy jsou středy bočních
a3
a3
a3
a3
a3
hran jehlanu. Objem této krychle je a)
b)
c)
d)
e)
d
3
4
6
8
12
4. Osmistěn je umístěn do krychle o hraně 1dm tak, že jeho vrcholy leží ve
středech stran krychle. Určete jeho objem.
0,5dm3
5. Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavnou hranu 8 cm a jeho boční
hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60°. Ur čete jeho objem a povrch.
V = 209cm3; P = 233,6cm2
6. Podstavná hrana a výška pravidelného čtyřbokého jehlanu jsou v poměru a : v = 1 : 2.
Objem je 144cm3. Určete povrch.
184,44cm2
7. Rotační kužel má povrch S = 50cm2. Strana rotačního kužele svírá podstavou
odchylku 60°. Ur čete objem kužele.
22,04cm3
8. Z rotačního válce se vyrobí figurka. Polovina válce je opracována
na kužel, ze kterého se vyrobí klobouk.
a) Kolik % původního objemu tvoří dřevěný odpad?
33,3%
b) Určete výšku původního válce, jestliže obvod podstavy klobouku
je 30cm a strana kužele je 12cm.
22cm
9. Cukrářský kornout má tvar rotačního kužele a je obrácen vrchole dolů. Kornout je
v dolní části do poloviny výšky naplněn čokoládou a v horní části je až po okraj
naplněn zmrzlinou. Kolik % objemu kornoutu zabírá zmrzlina?
a) 50
b) 75 c) 83,3
d) 87,5
d
10. Nastřihneme-li kruh o poloměru 13 cm od okraje ke středu, můžeme vytvořit kornout
ve tvaru kužele s výškou 12cm.Určete poloměr podstavy kornoutu.
5cm
11. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6cm a 4cm
a) boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60°
V = 61,8cm3; P = 104,8cm2
b) boční stěna svírá s rovinou podstavy úhel 60°
V = 43,9cm3; P = 92cm2
Vypočtěte objem a povrch komolého jehlanu.
12. Rotační komolý kužel má poloměry podstav 20cm a 8cm. Strana kužele má od
podstavy odchylku 60°. Vypo čtěte objem kužele.
18 100,6cm3
13. Vědro na vodu je z plechu, má tvar komolého rotačního kužele. Průměr dna je 24 cm,
průměr okraje 32 cm. Vejde se do něho 20 litrů vody. Určete výšku vědra.
32,3cm
KOULE A JEJÍ ČÁSTI
1. Kolik centimetrů měří průměr koule, jejíž objem je 10 litrů?
26,7cm
2. Koule má poloměr r. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem?
A) devětkrát B) osmkrát
C) šestkrát D) třikrát E) méně než třikrát
B
3. Je dána krychle s hranou délky 10cm. Vypočítejte objem a povrch koule, kterou lze
vepsat do krychle.
P = 314cm2, V = 523,6cm3
4. Tenisové míčky jsou baleny v plechovkách tvaru válce. Prodávají se po dvou, po třech
nebo po čtyřech. Ve které plechovce vyplňují míčky 2/3 jejího objemu?
A) v libovolné plechovce
B) pouze v první plechovce C) pouze ve druhé plechovce
D) pouze ve třetí plechovce E) v žádné plechovce
A
5. Jedna z kopulí hvězdárny M. Koperníka v Brně má tvar poloviny kulové plochy o
průměru 6 m. Náklad na 1 m2 nátěru je 150 Kč. Kolik stojí natření střechy kopule?
Výsledek zaokrouhlete na stovky Kč.
8500Kč
6. Plynojem tvoří válec vysoký 16m o průměru 28m, který je nahoře uzavřen kulovým
vrchlíkem. Střed kulový plochy je 4m pod dnem válce. Vypočtěte poloměr kulové
plochy a výšku vrchlíku. Určete objem plynojemu.
r = 24,41m; v = 4,41m; V = 11 249m3
7. Vypočtete povrch kulové úseče (podstava + vrchlík), znáte-li její objem V = 141,4cm3 a
výšku v = 3cm.
197,6cm2
8. Jak daleko od povrchu koule je svítící bod, má-li koule poloměr 20cm a je
osvětlena na jedné čtvrtině povrchu?
20cm
9. Kolik km2 zemského povrchu může přehlédnout pozorovatel z výše 1km nad
Zemí, považujeme-li Zemi za kouli o poloměru 6378km?
40 000km2
10. Z koule o poloměru 10cm odřežeme úseč o poloměru 6cm. Kolik % objemu
celé koule tvoří objem úseče a kolik % povrchu celé koule tvoří vrchlík?
V = 27,9%Vk, P = 10%Pk
11. V kotli tvaru polokoule o vnitřním průměru 86 cm je hladina vody 5 cm pod okrajem
kotle. Kolik litrů vody je v kotli?
137,5 l
Download

Pro stažení stiskněte (soubor)