Mocniny a odmocniny
Mocniny s prirodzeným exponentom
n
Definícia: Zápis a (čítame „a na n-tú“), kde a ∈ R, n ∈ N, sa nazýva n -tá mocnina čísla a
n
1
a platí: a = a . a . ... . a, pričom a = a
n činiteľov
Číslo a sa nazýva základ (mocnenec) mocniny, číslo n sa nazýva exponent (mocniteľ) mocniny.
4
2 2 2 2 2 4 16
2
Príklady: 2 = 2, 2 = 2 . 2 . 2 = 8,   = . . . = 4 =
3 3 3 3 3
81
3
1
3
POZOR!!! a n ≠ a . n , t.j. 3 2 ≠ 3 . 2 ani 2 . 3!!!
Pravidlá pre počítanie s mocninami:
a) ∀n ∈ N: a > 0 => an > 0
b) ∀n ∈ N: a = 0 => an = 0
c) ∀n ∈ N, n je párne: a < 0 => an > 0
d) ∀n ∈ N, n je nepárne: a < 0 => an < 0
e) ∀n ∈ N: 1n = 1
f) ∀r, s ∈ N, ∀a, b∈R:
a r . a s = a r+s
D1: Podľa definície ar=a⋅a…⋅a a as=a⋅
⋅a…⋅
⋅a . Na pravej strane dostávame súčin r+s
rs
čísel a, čo je spätne podľa definície a
r
ar
as
s
a :a =
= a r – s , a≠
≠0, r >s
D2: Podľa definície ar=a⋅
⋅a…⋅
⋅a a as=a⋅
⋅a…⋅
⋅a . Na pravej strane dostávame zlomok, kde v
čitateli je súčin r čísel a v menovateli súčin s čísel a, čo po vykrátení znamená, že zostane
r−s
práve súčin n-m čísel a a to je spätne podľa definície a
(a r) s = a r.s
D3: Podľa definície ar=a⋅
⋅a…⋅
⋅a a cs=c⋅
⋅c…⋅
⋅c . Na pravej strane dostávame súčin s čísel
ar , čo je opäť súčin r čísel a, teda dohromady práve súčin r⋅
⋅s čísel a, čo je spätne podľa definície
ar⋅s
1
a r . b r = (ab) r
D4: Podľa definície ar=a⋅
⋅a…⋅
⋅a a br=b⋅
⋅b…⋅
⋅b . Na pravej strane dostávame súčin r čísel a
krát súčin r čísel b. Platí komutatívnosť, takže môžeme súčin a⋅a…⋅a⋅b⋅b…⋅b preusporiadať
tak, že dostaneme a⋅b⋅a⋅b…⋅a⋅b , kde dvojíc a⋅b je práve r, čo je spätne podľa definície
a⋅
⋅br
r
a
a : b =   ,
b
r
r
b≠
≠0
D5: Podľa definície ar=a⋅
⋅a…⋅
⋅a a br=b⋅
⋅b…⋅
⋅b . Na pravej strane dostávame súčin r čísel a
vydelených súčin r čísel b. Pre násobenie zlomkov platí, že násobíme čitateľa s čitateľom a
menovateľa s menovateľom a pretože v čitateli i v menovateli máme len súčiny, tak môžeme
a
zlomok rozdeliť na n zlomkov
, čo je spätne podľa definície
b
a
 
b
r
n
n
a a
  = n
b b
, b≠
≠0
.
Príklady: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (pravidlo a)
04 = 0 (pravidlo b)
(–2)4 = 16 (pravidlo c)
(–2)3 = –8 (pravidlo d)
16 = 1 (pravidlo e)
Príklady na pravidla f): 23 . 22 = 23 + 2 = 25, 210 : 28 = 210 – 8 = 22 = 4
(keby neexistovalo toto pravidlo, museli by sme počítať 210 : 28 = 1024 : 256 = 4)
2
(23)2 = 23 . 2 = 26 = 64
22 . 52 = (2 . 5)2 = 102 = 100
(bez tohto pravidla by sme museli počítať 22 . 52 = 4 . 25 = 100)
62 : 32 = (6 : 3)2 = 22 = 4
(bez tohto pravidla by sme museli počítať 62 : 32 = 36 : 9 = 4).
Mocniny s celočíselným exponentom
Už vieme, že platí ar : as = ar – s , napr.: 25 : 23 = 25 – 3 = 22 = 4
Čo keď ale bude prvý exponent menší než druhý? Potom nám podľa rovnakého pravidla vyjde
napr. 23 : 25 = 23 – 5 = 2–2
Keď ale nepoužijeme toto pravidlo, ale napíšeme si podiel v tvare zlomku, ktorý potom vykrátime,
dostaneme pre rovnaký príklad:
23 : 25 =
23
2 .2 .2
1
1
=
=
= 2
5
2 .2 .2 .2 .2 2 .2 2
2
Nakoľko oba postupy sú správne, musia sa rovnať aj výsledky, t.j. platí: 2–2 =
1
22
Podobne môžeme počítať buď 23 : 23 = 8 : 8 = 1 alebo 23 : 23 = 23-3 = 20 odkiaľ
dostávame 20 = 1
Obecne sa definujú mocniny so záporným exponentom takto:
∀ k ∈Z, k < 0, ∀ a∈R, a ≠0:
ak =
1
a−k
Pre výpočty s mocninami so záporným exponentom platia rovnaké pravidla ako pre počítanie
s mocninami s prirodzeným exponentom.
Podobne platí: ∀a∈R, a≠0: a0 = 1
Príklady:
5
−3
1
1
= 3 =
,
125
5
Platí:
2
 
3
−4
4
1
34  3 
=
=
=
=   , (-0,153)0 = 1
4
4
4
2
2
2
2
 
4
3
3
1
a
∀ n∈N, ∀ a,b∈R - {0}:  
b
−n
b
= 
a
n
POZOR: 00 nie je definované !
3
Mocniny s racionálnym exponentom
3
Nech
a 6 = b , t.j. podľa definície odmocniny platí b3 = a6 alebo b.b.b = a2.a2.a2 ,
2
1
t.j. b = a alebo b = a = a = a
2
Záver:
3
2
a6 = a
2.3
1.3
=a
6
3
6
3
Definícia:
∀ a ∈ R+, ∀ r ∈ Z, ∀ s ∈ N:
r
as
=s ar
1
1
Príklady:
8 3 = 3 81 = 2
243
0,2
( )
1
3
alebo 8 3 = 2 3
=2
3.
1
3
3
= 2 3 = 21 = 2
1
5
= 243 = 5 243 = 5 35 = 3
Úlohy – súhrn:
1) Vypočítajte spamäti:
a) 300
1
b) 0
7
c) 2
1
d)  
2
5
5
2) Vypočítajte:
a)
25 ⋅ 27
2 10
b)
( −3) 3 ⋅ ( −3) 6
( −3) 5 ⋅ 32
c)
( 2 3 ⋅ 32 ) 3
(2 ⋅ 3) 5
3) Dané výrazy vyjadrite ako mocniny so základom 2 alebo 3 a vypočítajte :
(2 10 ⋅ 3) 2  81 
a)
⋅ 
2 ⋅ 313  64 
9 5 ⋅ 2 7 36
b)
⋅
27 2 ⋅ 96 6 3
3
4) Vypočítajte:
2(ab) 3 (3a 3b 2 ) 2
a)
⋅
3a 2 b
a 5b 3
5a 3b 7
b)
2ab 6
 2a 2 b 3 
⋅

 ab 2 
3
2 x 5 y 4  xy 
c)
:

(2 x 2 y ) 2  2 xy 2 
3
5) Vypočítajte:
3
2
 
0
2
2
2 3
a) 2 , 2 , −2 , (−2) ,
; 0,052; (−0,2)4
b) 212 . 28 . 221, (22)3 . (23)2 . (24)3
c) 5 . 0,22 + (5 . 0,2)2
4
6) Vypočítajte:
a) 20, 2−2, −2−2, (−2)−2; 0,05−2; (−0,2)−4
2
 10 −15 ⋅ 10 4 


 10 −13 
c)
d)
2 −17 ⋅ 2 12
, (2−2)−3 . (22)−3 . (2−4)−3
−8
2
b) 28 . 224 . 2−36,
1300 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −20
(2 ⋅ 10 −5 ) 3
7) Vypočítajte:
1
1
1
2
a) 25 2
b) 8 3
c) 5 ⋅ 16 4
d) 8 3
e) 2 − 2 ⋅ 64
−
1
2
f) 100
−
1
2
8) Vypočítajte a uveďte podmienky, pri ktorých majú zmysel výrazy:
2
1
3
2
a) a 3 ⋅ a 5 ⋅ a 2
3
b) ( x − y ) 3 ⋅ ( y − x ) 4
1
1
1
 7  9  13  3  8  6
c)  a 4  ⋅  a 12  :  a 3 
     
2
 1 
 1 
e)  a 2 + 1 −  a 2 − 1




7
2
15
9
d) 3 ⋅ a 10 ⋅ a 5 ⋅ 2a 14 : a 28
2
a −1
f)
a −1
+
1
2
a +1
1
2
a −1
9) Napíšte pomocou jednej odmocniny:
a) a
1
2
b) b
−
2
3
c) 7
−
7
2
d) y −0,13
10) Zapíšte ako odmocniny
1.)
3
0,5
, 5
2
3
2.) x ,
0 , 75
y
6
11
,
2
9
0,25 ,
,
x
−0 , 25
1,75
,
x
−
1
9
−0 ,8
,
15
,
y
−
4
7
17
6
11) Zapíšte v tvare mocniny s racionálnym exponentom:
5
1.)
7 ,
3
x ,
3
9
2
x
2
,
2
5
0,4
7
1
  ,
 x
,
0,4
5
1
 
 x
3
2.)
4
,
−2
5
,
4
1
  ,
3
4
1
,
35
x −3 ,
6
x −9
3
6 −2
−3
,
12) Upravte:
2
3
1.) a) 5 ⋅ 5
1
3
6
7
b) 0,5 ⋅ 0,5
−
5
14
c) 2
−
2
15
⋅2
−
9
30
2
3
d) 5 : 5
5
1
3
−
e) 11
3
4
−
: 11
5
8
1
f)  
3
−2
1
: 
3
−3
 3
2.) a)  5 7 
 
3
10
2
3.) a) 2 ⋅ 3
 −1 
b)  3 8 


3
10
1, 25
6
7
b) 5 ⋅ 3
 −9 
c)  0,3 5 


6
7
1
10
c) 2 ⋅ 2
−
2
3
8
d) (2
1
5
 −4  5
e) 1,8 7 


)
2
−7 − 3
1
6
d) 4 ⋅ 2
 1 
f)  6 27 


−9
4
6
Odmocniny
Definícia odmocniny:
Ku každému nezápornému číslu „a“ a každému prirodzenému číslu „n“ existuje práve
jedno nezáporné číslo „b“ také, že platí: b
R
+
0
= a a zapisujeme n
a =b .
a – základ odmocniny = odmocnenec, n – stupeň odmocniny = exponent,
b – hodnota odmocniny = odmocniteľ .
Pomenovanie:
∀a∈
n
, ∀ n ∈ N, ∃ b∈
R
+
0
: n
a =b ⇔ b n = a
t.j. n - tá odmocnina z určitého nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktoré keď umocníme na n - tú,
dostaneme pôvodné číslo.
Príklady:
a)
16 = 2 16 = 4 , lebo 42 = 16
b)
8 = 2 , lebo 2 = 8
3
(pokiaľ neuvedieme exponent, ide o druhú odmocninu)
3
− 9 = x ( x∈R ), potom x2 = -9 , t.j. x ∈ ∅ .....
c) Nech
2
25 = 5, lebo 5 = 25 a
d) Nech
Potom platí: - 5 =
− 9 neexistuje v R.
2
25 = -5, lebo (-5) = 25.
25 = 5, t.j. – 5 = 5 - spor
Poznámky:
1) V R je odmocnina definovaná len pre nezáporné čísla a výsledkom odmocniny je tiež len
nezáporné číslo.
2) Znamienko odmocniny má tiež aj funkciu zátvoriek – ak máme pod odmocninou výraz,
obvykle postupujeme tak, že najskôr vypočítame výraz pod odmocninou a až potom
odmocníme.
Pravidlá pre počítanie s odmocninami:
b) ∀n ∈ N:
n
0 =0
e) ∀n ∈ N: n 1 = 1
f) ∀n, p ∈ N, ∀ m ∈ Z, ∀a, b∈ R+:
1.
5.
n
a . b = a.b
n
a=
n
n
n. p
n
2. n
a
b
=n
a
;b ≠ 0
b
3.
( a)
m
n
ap
6
= a =a
n
m
m
n
4.
m n
a = mn a
Poznámky:
Pri počítaní s odmocninami je potrebné robiť podmienky, nakoľko výraz pod odmocninou
v množine reálnych čísel nemôže nadobudnúť zápornú hodnotu.
Taktiež je potrebné dávať pozor na zlomky pod odmocninami, vtedy sa
menovateľ nesmie rovnať nule.
Pri riešení úloh s odmocninami je niekedy výhodné tieto odmocniny podľa vzorca
( a)
m
n
= a =a
n
m
m
n
zapísať ako mocniny s racionálnym exponentom, vykonať
riešenie s týmito mocninami a podľa potreby výsledok znova zapísať v tvare odmocnín.
P.S.: Poriadne ovládať vzorce aspoň pre mocniny !!!
Napr.:
3
x3 . x. x −5
4
3
x.
22
3
=
−5
1
1
1
1
x 3 .( x 2 ) 3 .(( x 2 ) 2 ) 3
x
1
4
1
3
1
2
1
3
( x ) .(( x ) )
1
3
1
=
x.x 6 .x
1
12
x .x
5
− 12
5
1 −1
1+ 16 − 12
− 12
18
=x
1
18
=x
36+ 6−15−3− 2
36
=
11
= x 36 = x 18 = 18 x11
Príklady:
1) Rozložte odmocnenca na súčin prvočísel a potom odmocnite 2450 aj použitím pravidiel.
2450 = 2.52.7 2 = 2. 52 . 7 2 =5.7. 2 =35 2
Poznámka: Zápis odmocniny čísla ako súčin racionálneho čísla a odmocniny s čo najmenším
odmocnencom – argumentom nazývame čiastočné odmocnenie.
2) Vypočítajte bez použitia kalkulačky
desatinných miest, ak
1 :
√ 2
~
1
2
na 6 desatinných miest a výsledok zaokrúhlite na 5
2 ~ 1,41421.
1 : 1 , 4 1 4 2 1
=
1 0 0 0 0 0 : 1 , 4 1 4 2 1
1 0 0 0
9 8 9
1 0
9
7
0
9
0
8
1
1
0
4
5
9
5
4
1
1
0
7
3
9
3
1
2
1
0
4
5
4
1
3
7
0
7
3
2
0
1
9
0
1
9 0 0
3 6 8
5 3 2
=
0 , 7 0 7 1 0 8
1
√ 2
=
=
1
√ 2
√ 2 : 2
.
√ 2
=
√ 2
~
√ 2
=
2
1 , 4 1 4 2 1 : 2
=
0 , 7 0 7 1 0 5
1 4
1 4
1 4
1 4
2
2
1 0
1 0
0
Poznámka: Druhý výpočet, keď v menovateli nie je odmocnina, je pre určenie hodnoty bez
použitia kalkulačky jednoduchší.
Úprava zlomku, pri ktorej z menovateľa odstránime odmocniny sa nazýva usmernenie zlomku.
Robí sa metódou rozšírenia zlomku:
a) pre menovateľa
a
:
napr.:
pre menovateľa n
ak
, ak n > k rozšírime zlomok číslom n
an−k
napr.:
b) pre menovateľa
a± b
- využíva sa vzorec (a-b).(a+b) = a2 – b2:
Napr.:
8
3) Rozhodnite bez použitia kalkulačky, ktoré z čísel má väčšiu hodnotu:
a)
3 5 = 9.5 = 45 a 5 3 = 25.3 = 75
:
3 5...a...5 3
Záver: 45 < 75, preto
45 <
75 , t.j. 3 5 < 5 3
180 + 245...a...29 :
b)
180 + 245 = 36.5 + 49.5 = 6 5 + 7 5 = 13 5 = 169.5 = 845 a 29 =
Záver: ...
c)
23 4...a...4 3
841
180 + 245 > 29
: 23 4 = 3 8.4 = 3 32 = 6 32 2 = 6 1024 a
4 3 = 16.3 = 48 = 6 48 3 = 6 110592
Záver: ... 23 4 < 4 3
Poznámka: Odmocniny porovnávame tak, že ich vyjadríme pomocou odmocnín s rovnakým
exponentom a potom porovnáme základy odmocnín.
Úlohy – súhrn:
I.
Vypočítajte:
2 ⋅4 8
5.
2. 3 3 ⋅ 3 5 ⋅ 3 225
6.
7.
4
1.
3.
3
125
8
4. 3 ⋅ 12
9.
3
3⋅3 9
10. 1
1
1
14. 3 13 ⋅ 3 11 ⋅ 3 2
3
9
18. 3 1 : 3 64
3
4 ⋅ 3 16
11.
3
15.
45 : 5
19.
12.
3
16.
56 : 7
20.
3
8.
16
25
2 ⋅ 32
500
3
4
9
16
8
27
3
3
8
13.
20 ⋅ 24 ⋅ 30
9
17.
3
(
3
96 : 3 12
)
8 : 3 27 ⋅ 5 32
81 ⋅
5
243
4
256
II.
Upravte výraz na tvar súčinu racionálneho čísla a odmocniny čo z najmenšieho
prirodzeného čísla (Čiastočne odmocnite):
1. 125
8. 960
15.
3
48
22. 4 128
29.
3
ab10
2.
240
9.
7
9
16.
3
250
23. 4 21 000
30.
4
x5 y 4 z
3.
315
10. 3 16
17.
3
x5
24.
x 45
31.
4
81s 4 r 8 p 12
4. 12
11. 3 128
18.
3
54
25.
9a 3 b
32.
10
x 20 y 10 z
5.
12. 3 320
19.
3
3
8
26.
4a 5 b 3
33.
3
625a 6 b 7
6. 128
13. 3 500
20. 4 162
27.
27a 9 b11c 21
34. 3 1000
7.
14. 3 80
21.
4
28.
8a 7 b 8
35. 3 10 000
50
72
III.
2
3
3.
5.
2
2 2
3
4.
3
2.
3.
4.
6.
a a
b b
7.
x3 y
y x
8. a 3
2 5
9.
33 2
10.
IV.
1
1.
0,012
11
3
Vyjadrite pomocou jednej odmocniny
1.
2.
2
2
1
3
2
3
5
5
7
3
s3 s
12.
3
3
13.
a ab
16.
3
a 2b
ab
8.
2 +1
2
3 −1
a
6
a5
3 3 3
1
⋅
5⋅
5 5
3
5
a ⋅ 3 a2 ⋅ 4 a3
1
3
a ⋅ 3 a2 ⋅ 4 a3
18.
14.
a4 3 a2 a
19.
15.
1
m2
20.
1
m
m
Odstráňte odmocninu z menovateľa:
5
1
5.
9.
2 12
2+ 3
3
3
4 2+ 6
6. 4
10.
2 5
2 2− 6
7.
a.
17.
x x x
3
b2
c 3 d 
 
d c
11.
11.
12.
1
2−3 7
2+ 5
5 −1
13.
14.
15.
16.
3
3⋅3 3⋅3 3
x 2 : 9 x5
5 3−2 6
2 12
3
2 11 + 5 2
5 3
27 − 12
2 3 + 8 − 10
2 10 − 3
10
17.
18.
19.
20.
4
2ab
4x 2
8 xy 3
1
5
4
1− 2
V.
Určte, kedy majú dané výrazy zmysel a potom ich zjednodušte:
1. 3 2 x − 5 18 x + 4 50 x
2.
3.
7 y + 28 y − 63 y + 2 7
3
y + 24 x + 3 27 y + 23 y − 4 81x
4 + 4x 2 + 2 + 9x 2 − 5 1 + x 2
4.
1. Rozhodnite, ktoré z daných čísel sú prirodzené a ktoré iracionálne čísla:
a) 3 , 5 , 12
b) 361, 444 , 225
2. Pre ktoré x majú zmysel výrazy:
a) 2 x − 1
b) 1 − 3 x
c)
−x
x2 −1
f)
9 − 25 x 2
7x − 4
d)
e)
3. Čiastočne odmocnite:
a) 50
e)
3
i)
3
m)
b) 112
3
9000
j)
3
n)
0,008
3
d)
3
54
3
46208
g)
3
243
h)
0,125
k)
3
0,125
l)
625
o)
f ) 162
500000
35,2
c)
0,8
52272
4. Upravte podľa viet o počítaní s odmocninami a uveďte, kedy majú zmysel:
a) 5. 125
b) 72 . 2
c) 5. 10 . 180 . 40
d) 3 1,6.3 8,8.3 0,66 .3 25
g) 4 x 7 ⋅ 4 27 x 3 ⋅ 4 27 x
5. Vypočítajte:
a)
e)
49.64
3 4
f)
3
h)
3
b)
27
1
3 . 2,4 . 7,6
7
e)
f)
0,5 ⋅ 3 0,25
4
3
(25a b )
4
5 2
5
b)
g)
( 2x
d) 10 ⋅ 100 ⋅ 0,0001
e)
3
g)
a 3 a2 4 a3
⋅
⋅ 3
b
b2
b
h)
9
j)
2a 3
3b 2
3
3
3
2
⋅ 3 5x 4 ⋅ 4 x 5
x− y

x − y ⋅ 3 
x+ y
(xy + y )
(x − xy )
2
9
2
4
 3a 4
6a 
6
: 3
⋅
 4b 5
b 5 

11
d)
)
6
:
4
a 3 ⋅ 6 a 5 ⋅ 12 a 13
f)
3
9a ⋅
i)
9
625a 13 b 9
5a 11b 7
:
5c 5
c3
2
(xy − y )
(x + xy )
2
9
c)
2 4
6
3
72
a 6b 3
2
2 6
3
81
7
c)
6. Vypočítajte a uveďte kedy majú výrazy zmysel:
a)
a r −1 ⋅ 3 a 4−r ⋅ 3 a 3.( r −1)
a 2 n +1
(a)
3
3
3
a2
⋅ 81a 4
16
7. Upravte podľa viet o počítaní s mocninami a uveďte, kedy majú výrazy zmysel:
a) 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 6 2 ⋅ 12 2
b) 2 ⋅ 3 4 ⋅ 4 8 ⋅ 12 16
c) 3 8 ⋅ 5 16 ⋅ 15 32
d) 2 6 ⋅ 4 12 ⋅ 8 24
g)
a 1−2 n ⋅ n +1 a ⋅ n a n −1 ⋅ n +1 a 1+ 2 n
n
e)
18
x 2 n +6 ⋅ 12 x 2 n +3
h)
3
x 2 n −5 : 5 x 4 n −5
8. Vypočítajte:
a) 2 5 − 5 + 3 5 + 4 5
c) 2 − 7 2 + 4 4 + 5 18
e)
(
75 + 2 5 − 2 12
f)
a) 2 2 x 3 + 18 x 3 + x 8 x
( 1 + a + 2 )⋅ (
15
a 2 x +3 y : 12 a 2 y −3 x
b) 4 3 − 2 3 − 27 + 12
d) 4 + 3 4 − 3
9. Vypočítajte a uveďte, kedy majú výrazy zmysel:
c)
f)
2 − 1+ a
3
)(
)
2 − 3 2 + 3 54 − 3 64.2
3
(
4
)
b) 1 − 3 x 2 ⋅ 3 x − 1
)
d) 6 2a + 4 64a 2 − 18a 3
10. Vypočítajte a uveďte, kedy majú výrazy zmysel:
a) 3 16 x 2 y + 4 x 2 z − x 2 y − 3 54 x 2 y −
3 3 125 x 3 y
5
9
a 2 4b 3 8 2
b2 3 2 3 8
+ 2 a b − 6ab3
− ab
b a
a 2
ab
 1
1
1 
 ⋅ xy
c) 
+
−

x
y
xy


3
3
3
d) 3 54 + 4 16 − 2 + 63 128
e) 3 5 + 6 + 5 3 + 6 − 6 3 + 5
b) 53 a 2 b 5 + 2b 2 3
(
)
(
)
(
)
11. Odstráňte odmocninu z menovateľa:
8
15
a)
b)
2
3
c)
3 − 12
3
d)
5+ 5
5
h)
2+ 3
2 +3
e)
3
5−4
f)
6
11 − 10
g)
2 2
3 3 −5 5
i)
2+ 3
2− 3
j)
5
7
k)
3
n)
1
5− 2
o)
3
m)
4
45
53 32.5
6 5
5 3
ab a
a 3 ab 2
f)
b−a
a− b
12
4
2
5
26
3−4
12. Upravte lomené výrazy a uveďte, kedy majú zmysel:
x
1− a
a
a)
b)
c)
x
1+ a
a− a
e)
l)
d)
a −b
a+ b
13. Vypočítajte a výsledné zlomky upravte. Uveďte, kedy majú dané lomené výrazy zmysel:
x x−y y
a− b
a+ b a− b
b)
c)
−
a)
a+ b
x− y
a− b a+ b
d)
1− x
3 x
3+ x
+
−
1− x
1+ x 1+ x
14. Vypočítajte:
a)
3+ 3
3− 3
6
b)
10 − 2 2
c)  3 + 5 + 3 − 5 


2
d)  8 + 15 − 8 − 15 


15. Napíšte pomocou jednej mocniny:
a)
3
a
b)
4
a3
c)
( c)
4
7
d)
16. Upravte na jednu mocninu:
a)
x
−
x
2
3
1
2
 − 23 41 
x ⋅x 
b) 
7



6
 x

−2
x3 x4 x
c)
4
x3 x x
17. Upravte na odmocninu z čo najmenšieho prirodzeného čísla:
a) 8
b)
3
50625
c)
6
216
13
4
a −5
2
Download

08 - Mocniny a odmocniny