FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA
ACTA MATHEMATICA 12
Zborník zo VII. nitrianskej matematickej konferencie
organizovanej Katedrou matematiky Fakulty prírodných vied UKF v Nitre
v dňoch 24. – 25. septembra 2009
NITRA 2009
Názov: ACTA MATHEMATICA 12
Edícia: PRÍRODOVEDEC, publikácia č. 389
Vedeckí redaktori:
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.
prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc.
doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD.
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Recenzenti:
prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc.
doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD.
doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc.
doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc.
doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc.
RNDr. Viliam Ďuriš, PhD.
PaedDr. Janka Melušová, PhD.
PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
PaedDr. Lucia Rumanová, PhD.
PaedDr. PhDr. Valéria Švecová, PhD.
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
PaedDr. Marek Varga, PhD.
RNDr. Kitti Vidermanová, PhD.
PaedDr. Júlia Záhorská, PhD.
Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová, PhD.
RNDr. Kitti Vidermanová, PhD.
Vydané v roku 2009 ako účelová publikácia Fakulty prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa
v Nitre s finančnou podporou grantov
KEGA -> 3/6314/08 - Tvorba geometrických predstáv žiaka v mladšom školskom veku a adekvátna
príprava učiteľov - elementaristov
KEGA -> 3/7340/09 - Diverzifikácia prípravy učiteľov a metodikov predprimárneho a primárneho
vzdelávania s dôrazom na prípravu učiteľov z matematiky
a Akademickým klubom FPV UKF V Nitre.
Schválené vedením FPV dňa 30. 9. 2009
Rukopisy príspevkov prešli odbornou oponentúrou, ale neboli jazykovo upravované.
©UKF v Nitre 2009
ISBN 978-80-8094-614-2
EAN 9788080946142
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
VYUČOVANIE MATEMATIKY AKO INTELEKTUÁLNA VÝZVA
JOZEF DOBOŠ
ABSTRACT. The aim of this paper is to introduce the reader into the mathematical examples
that are used during entrance examinations of Japanese universities.
Začneme citátom z článku [2]: „Neustále sebazdokonaľovanie učiteľa je nevyhnutnou
podmienkou pre rast kvality jeho pedagogickej práce. Pritom nielen pre jeho žiakov, ale aj
preňho samotného táto snaha prináša cenné výsledky. Predovšetkým mu prináša isté duševné
uspokojenie, čisté svedomie, že urobil, čo bolo v jeho silách pri slabších výsledkoch
študentov, prináša obyčajne zlepšenie výsledkov jeho práce v pedagogickom procese, čo ho
iste napĺňa sebauspokojením. Učiteľ, ktorý sa sám intenzívne zdokonaľuje, je aj psychicky
bližší študentom, lebo sám je študent. Ďalej jeho osobný príklad strháva žiakov k
zanietenému štúdiu matematiky oveľa účinnejšie, než by sa to dalo docieliť najlepšími
kazateľskými výkonmi.“
Jednou z možností ako dosiahnuť naplnenie tohto cieľa, je vyhľadávanie a riešenie
zaujímavých úloh. Bohatým zdrojom je matematická olympiáda, avšak tieto úlohy okrem
učiteľa oslovia len veľmi malú skupinu študentov. Ďalšou možnosťou sú študijné materiály
pre prijímačky na vysoké školy. Pretože úroveň domácich je diskutabilná, odporúčame
siahnuť po zahraničných. Pri ruských zdrojoch okrem vyššej obtiažnosti je problémom aj
azbuka. Atraktívnosť štúdia v anglicky hovoriacich krajinách zvyšuje záujem našich
študentov o prípravu na SAT (Scholastic Assessment Test): náročnosť úloh je nižšia, stačí
zvládnuť matematickú terminológiu. V tomto príspevku sa zameriame na zaujímavé úlohy z
japonských materiálov, ktoré sú u nás ťažšie dostupné.
12 − 108 . Nájdite jeho celú časť a =
, jeho desatinnú časť
1
1
. Potom vypočítajte hodnoty výrazov
+
=
,
a + b −1 a − b + 3
−
.
1. Je dané číslo
b=
−
a + 2b =
Komentár. Všimnite si, že je tu predpísaný tvar výsledku – do obdĺžnikov máme
doplniť vhodné celé čísla. Inak by študent mohol hľadať veličiny v desatinnom tvare
(napríklad pomocou kalkulačky). Pri riešení úlohy si precvičíme vzorec
a + b − 2 ab = a − b ,
ktorý platí pre a > b > 0. Keď rozložíme číslo 108 na súčin 108 = 2 2 × 33 , ľahko vidieť, že
platí 12 − 108 = 9 + 3 − 6 3 = 3 − 3 . Odtiaľ dostávame a = 1 , b = 2 − 3 .
Podobne postupujeme aj v ďalšej časti úlohy.
3
JOZEF DOBOŠ
2. Nech a1 , a2 , a3 , a4 , a5 sú také prirodzené čísla, pre ktoré platí
a1 < a2 < a3 < a4 < a5 . Položme P = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5} , Q = {a12 , a22 , a32 , a42 , a52 } . Nájdite
tieto čísla, ak viete, že
(A) P ∩ Q = {a3 , a4 } ,
(B) a3 + a4 = 13 ,
(C) súčet všetkých čísel, ktoré ležia v množine P ∪ Q , je 225.
Komentár. V tejto úlohe si precvičíte usporiadanie čísel, prienik a zjednotenie dvoch
množín, ako aj riešenie kvadratickej rovnice. Premyslite si, ako sa zmení úloha, keď hľadané
čísla budú celé, resp. reálne.
3. Každá z nasledujúcich konfigurácií obsahuje tie isté čísla:
1
4
2
2
3
4
3
4
3
3
4
2
4
1
4
4
3
2
4
4
3
3
4
4
3
4
3
2
2
1
Súčet týchto čísel je 12 + 22 + 32 + 4 2 + 52 = 1 + ( 2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ( 4 + 4 + 4 + 4) . Na
druhej strane, súčet čísel na rovnakých pozíciách je 1 + 4 + 4 = 9 , 2 + 3 + 4 = 9 , atď. Teda
3(12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) = 9(1 + 2 + 3 + 4) . Na základe tohto pozorovania nájdite vyjadrenie
súčtu štvorcov po sebe idúcich prirodzených čísel.
Komentár. Pokúste sa dokázať, že súčty trojíc čísel na rovnakých pozíciách sú rovné
číslu 1 + n + n = 2n + 1 . Krása tejto úlohy je v tom, že nám odhaľuje jednoduchosť jazyka
geometrických konfigurácií, ktorý nám dovoľuje objavovať zákonitosti z ríše čísel. Cesta
k vzorcu je už potom jednoduchá:
(
3 12 + 22 + 32 +
+ n 2 ) = (2n + 1)(1 + 2 + 3 +
+ n) =
4. Usporiadame prirodzené čísla do nasledujúcej tabuľky:
n(n + 1)(2n + 1)
.
2
1
(1) Zistite, akým číslom začína 8. riadok.
2, 3
(2) Zistite, v ktorom riadku leží číslo 100.
4,
5,
6
(3) Nájdite súčet čísel v 10. riadku.
7,
8,
9,
10
11, 12, …
Komentár. Túto úlohu možno samozrejme riešiť „hrubou silou“. Stačí však zmeniť
zadanie, napr. „V ktorom riadku leží číslo 210 ?“ a už máme zaujímavejšiu úlohu. Označme
symbolom an číslo na konci n -tého riadku. Potom an = 1 + 2 + + n . Hľadáme teda také
n , pre ktoré platí an −1 < 1024 ≤ an .
4
VYUČOVANIE MATEMATIKY AKO INTELEKTUÁLNA VÝZVA
5. Nasledujúci obrázok popisuje situáciu, kde ∆ ABC
A
má pravý uhol pri vrchole B , jeho odvesna AB má
jednotkovú dĺžku a uhol ∠BAC má veľkosť 45 .
1
Ďalej, ∆ ADE má pravý uhol pri vrchole E ,
Pričom uhol ∠BAD má veľkosť 60 . Nájdite
+
cos15 =
D
C
B
E
.
Komentár. Krása tejto úlohy je znovu v prepojení geometrie s výpočtami. Potrebujeme
len Pytagorovu vetu a vyjadrenie kosínusu uhla v pravouhlom trojuholníku. Hľadaný výraz
je: cos15 =
6+ 2
.
4
a , b sú reálne čísla. Na intervale − 3 ≤ x ≤ 1 uvažujme funkcie
f ( x) = x + 2 x + 2 , g ( x) = a ( x 2 + 2 x + 2) 2 − 6a ( x 2 + 2 x + 2) + 9a + b . Určte obor
≤ f (x) ≤
. Ak obor hodnôt funkcie g ( x) je
hodnôt funkcie f ( x) v tvare
− 2 ≤ g ( x) ≤ 10 , potom a =
, b=
, alebo a =
, b=
.
6. Nech
2
Komentár. Obor hodnôt funkcie f ( x) = ( x + 1) + 1 je 1 ≤ f ( x) ≤ 5 (pre − 3 ≤ x ≤ 1 ),
2
čo je zároveň definičným oborom funkcie h( y ) = a( y − 3) + b , t.j. 1 ≤ y ≤ 5 , pretože
g ( x) = h( f ( x)) . Po tejto substitúcii už úlohu ľahko vyriešime: ak obor hodnôt funkcie
h( y ) je interval − 2 ≤ h( y ) ≤ 10 , potom a = 3 , b = −2 ; alebo a = −3 , b = 10 .
2
7. Na obrázku vidíme graf funkcie y = ax 2 + bx + c .
y
Určte znamienka koeficientov a , b , c , ako aj
znamienka výrazov b 2 − 4ac , a + b + c ,
a−b+c.
-1
1
0
x
Komentár. Vrchol paraboly leží v prvom kvadrante, pričom zrejme a < 0 . Ďalej
využijeme že platí f (0) > 0 , f (1) = 0 , f (−1) < 0 . Potom b > 0 , c > 0 , b 2 − 4ac > 0 ,
a + b + c = 0, a −b + c < 0.
8. Postupnosti {an }, {bn} sú dané rekurentne takto: a1 = 3 , b1 = 1 , an +1 = 2an + bn ,
bn +1 = an + 2bn . Máme nájsť ich vyjadrenia v tvare an =
bn =
×
n −1
−
×
n −1
+
,
.
5
JOZEF DOBOŠ
Komentár. Položme sn = an + bn , tn = an − bn . Ľahko sa overí, že ide o geometrické
postupnosti, pričom sn = 4 × 3n −1 , tn = 2 .
9. Predpokladajme, že funkcia
Vypočítajte lim
h →0
f ( x) má deriváciu v bode x = 5 rovnú číslu 4.
f (5 + 2h) − f (5 − h)
=
h
.
Komentár. V tejto úlohe si precvičíte definíciu derivácie.
10. Uvažujme Clairautovu diferenciálnu rovnicu y = xy '+2( y ' ) 2 .
a2 .
(1) Funkcia y = ax + b je riešením tejto rovnice pre b =
(2) Parabola y = cx 2 je riešením tejto rovnice pre c =
.
(3) Priamka (1) je dotyčnicou paraboly (2) v bode x =
a.
Komentár. Cieľom tejto úlohy je na jednoduchom materiáli ukázať, že Cauchyho úloha
nemusí mať jediné riešenie.
f ( x)
a
g ( x) ,
ak
d
d
{ f ( x)g( x)} = 12 x + 7 .
g (0) = 2 , { f ( x) + g ( x)} = 5 ,
dx
dx
11.
Nájdite
funkcie
viete,
že
f (0) = 1 ,
Komentár. V tejto úlohe si precvičíte základné pravidlá integrovania.
1
∫
12. Nájdite funkciu f ( x) , ak viete, že f ( x) = x 2 + x f (t ) dt +
0
2
∫ f (t )dt .
0
Komentár. Prvé stretnutie s integrálnou rovnicou môže byť nenáročné, ako ukazuje táto
úloha. Riešením je vhodná kvadratická funkcia.
13. Grafom funkcie y = x 2 je parabola C , grafom funkcie y = ax je priamka l . Nech
0 < a < 1 . Plošný obsah útvaru ohraničeného parabolu C a priamkou l označme S1 . Plošný
obsah útvaru ohraničeného parabolu C , priamkou l a priamkou x = 1 označme S 2 . Máme
nájsť najmenšiu možnú hodnotu veličiny S = S1 + S 2 .
Komentár. V tejto úlohe si precvičíte počítanie obsahu pomocou integrálu a zároveň
hľadanie extrému funkcie. Odpoveď pritom nie je zrejmá ani z obrázka.
1
máme
nájsť
f (t )dt = x 3 − x 2 + ax + b ,
1
3
f ( x) = x 2 −
x + a , f ' ( x) =
x−
. Graf funkcie y = f ( x) má dve dotyčnice
prechádzajúce bodom (1,1) práve vtedy, keď a >
. Tieto dve dotyčnice sú
14.
6
Ak
vieme,
že
∫
x
VYUČOVANIE MATEMATIKY AKO INTELEKTUÁLNA VÝZVA
na seba kolmé práve vtedy, keď a =
, b=
.
Komentár. Komplexná úloha s precvičovaním integrálu, rovnice dotyčnice a kolmosti
priamok.
Ukončíme citátom z článku [1]: „Teda aký by mal byť učiteľ matematiky? Krátko by
sme mohli zhrnúť jeho vlastnosti takto: Mal by to byť človek, ktorý má rád svojich žiakov a
matematiku. Teda človek, ktorý má rád to, čo má učiť a toho, koho to má učiť. Pri porovnaní
s týmto kľúčovým kritériom všetky ostatné znaky sú zanedbateľné.“
Literatúra
[1]
Riečan, B.: O vysokoškolských učebniciach a tvorivej práci budúcich učiteľov
matematiky, In: Didaktické a metodologické aspekty vyučovania matematiky na
vysokých školách univerzitného smeru, Editor: T. Šalát, Ústav rozvoja vysokých škôl
SSR, Bratislava, 1986.
[2]
Šalát, T.: O matematickej kultúre učiteľa matematiky, Matematické obzory, 19/1982,
1–9.
[3]
Wu, Ling-Erl Eileen T.: Japanese University Entrance Examination Problems in
Mathematics, The Mathematical Association of America, 1993 (dostupné online na
adrese http://www.maa.org/juee/).
Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc.
Ústav matematických vied
Prírodovedecká fakulta
Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach
Jesenná 5
SK – 040 01 Košice
e-mail: [email protected]
7
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
HRANÍ SI S KOSTKAMI JAKO PROPEDEUTIKA MATEMATIKY
JAROSLAV PERNÝ
ABSTRACT. The contribution shows the possible use of simple operations and playing with
cubes in propedeutic of higher mathematics. Specifically, children’s “walks on the cube” can
lead to illustration of less common algebraic structures and their properties, or “rolling the
cube” to illustration of permutations and other properties of algebraic structures. Even basic
school pupils can explore selected properties of there structures together with development of
their spatial imagination.
Úvod
V současné době dochází v našem školství k zásadním změnám, s cílem rozvíjet
požadované kompetence žáků a studentů, mimo jiné i jejich abstraktní myšlení, tvořivost,
snahu o objevování a prostorovou představivost. Zabývám se možnostmi zvyšování úrovně
prostorové představivosti u žáků základních a středních škol zejména v oblasti tzv. spontánní
stereometrie, kam patří např. témata Geometrické skládanky, Hádanky a hlavolamy,
Zobrazování těles, Síť a těleso, Těleso a pohyb aj. Tyto úlohy mohou být prezentované při
vyučování jako rozcvičky či oddechová matematika.
Hraní si s kostkami
Část těchto úloh se týká různých her s kostkami a některé náměty zde předkládám.
Geometrické skládanky
Vytvořte všechna prostorová "tetramina", tj. tělesa složená ze 4 shodných krychlí, které mají
společnou stěnu. Lze z prostorových tetramin složit těleso vlevo? Kolika způsoby?
I
O
L
R
Z
T
S
Hádanky a hlavolamy
Která krychle bude následovat za třemi velkými? Vyber tu správnou ze 2 malých krychlí.
A
B
?
9
JAROSLAV PERNÝ
Zobrazování těles
1. Zakresli do čtvercové sítě, jak vidíš těleso při pohledu
a) zepředu
b) ze strany
c) shora
2. Na povrchu skleněné krychle je namotán drát. Určete z půdorysu, nárysu a bokorysu
jakým způsobem:
Př.A:
Př.B:
Síť a těleso
1. Doplň přední stěnu krychle podle
přiložené sítě.
2. Vyznač na síti
krychle body,
které se při složení setkají ve
stejném označeném vrcholu.
3. Doplň
označení
vrcholů na
síti krychle
A
C
ABCDEFGH.
Procházky po krychli
Pouze v mysli (bez modelu, či obrázku) „chodíme“ po hranách a úhlopříčkách povrchu
krychle mezi vrcholy podle pokynů zadavatele a sdělujeme kde jsme. Úlohy obměňujeme.
horní
stěna
doprava
nahoru
přední stěna
10
pravá
stěna
dopředu
Úloha: Začínáme v bodě B –
– jdeme nahoru –
– dozadu –
– napříč horní stěnou.
Kde jsme?
Řešení:
G
E
F
B
HRANÍ SI S KOSTKAMI JAKO PROPEDEUTIKA MATEMATIKY
Odvalování hrací kostky
Začíná se vždy kostkou ze základní polohy, pak pouze v mysli převracíme kostku podle šipek
na hracím plánu a zapisujeme do něj průběžně hodnoty na dolní stěně.
Základní poloha kostky
Hrací plán
Řešení:
vzadu 5
vlevo 4
5
6
3
6
2
6
dole 6
Chtěl bych zde ukázat, že např. u posledních dvou námětů nemusí jít o pouhé „hraní si
s kostkami“, ale že je zde možno najít propedeutické základy některých obecných pojmů i z
„vyšší“ matematiky.
“Procházky po krychli“ a algebra
Při řešení těchto úloh někteří žáci sami tvořivě přicházeli na možnosti, že „jít nahoru a
doprava“ je stejné jako „jít napříč přední (zadní) stěnou“, „jít napříč pravou (levou) stěnou a
dopředu“ je stejné jako „jít dolů (nahoru)“. To vše není nic jiného než skládání pohybů
(kroků), což je možno chápat jako algebraickou operaci.
„Procházky po krychli“ mohu tedy vnímat jako problematiku, která se odehrává v nějaké
algebraické struktuře, kde množinou je zde množina pohybů a operací je skládání pohybů.
Pro podrobnější matematické zkoumání této struktury je nutno některé věci doplnit.
V dané struktuře je množina pohybů (ne ven z krychle) a operace skládání pohybů (*):
(a) po hranách – doprava, doleva, které pojmenujeme jako boční a označíme B,
– nahoru, dolů,
které pojmenujeme jako svislé a označíme V,
– dopředu, dozadu, které pojmenujeme jako průčelné a označíme Č.
(b) po stěnových úhlopříčkách – pravou a levou stěnou pojmenujeme boční stěnou BS,
– horní a dolní stěnou pojmenujeme vodorovnou stěnou VS,
– přední a zadní stěnou pojmenujeme průčelnou stěnou ČS.
(c) po tělesových úhlopříčkách – označíme je TU.
(d) pohyb na místě
– identický pohyb označíme I.
Vyšetřujme strukturu tvořenou množinou pohybů spolu s operací skládání pohybů.
Operační tabulka:
(*)
I
V
B
Č
VS
BS
ČS
TU
I
V
B
Č
VS
BS
ČS
TU
I
V
B
Č
VS
BS
ČS
TU
V
I
ČS
BS
TU
Č
B
VS
B
ČS
I
VS
Č
TU
V
BS
Č
BS
VS
I
B
V
TU
ČS
VS
TU
Č
B
I
ČS
BS
V
BS
Č
TU
V
ČS
I
VS
B
ČS
B
V
TU
BS
VS
I
Č
TU
VS
BS
ČS
V
B
Č
I
11
JAROSLAV PERNÝ
Z tabulky je patrné, že operace skládání pohybů je v dané množině úplná, komutativní, dá
se zjistit, že je asociativní, množina obsahuje neutrální prvek a ke všem prvkům existuje
prvek inverzní.
Z toho tedy vyplývá, že množina pohybů spolu s operací skládání pohybů tvoří
komutativní grupu. Tato grupa má 8 prvků, 3 typu (a), 3 typu (b), 1 typu (c) a 1 typu (d),
který je neutrálním prvkem. Množinou generátorů této grupy je množina pohybů po
hranách typu (a). [2]
Toto vyšetřování vlastností uvedené algebraické struktury jsem prováděl se studenty
gymnázia (pouze některé vlastnosti) a se studenty učitelství pro 1. stupeň základní školy. Obě
skupiny tuto tvůrčí činnost přijali pozitivně, prováděli ji se zaujetím, ale pro studenty
gymnázia byla poněkud dlouhá. Přesto potvrdili, že si uvědomili význam takových vlastností
jako komutativnost či asociativnost, které dosud znali pouze u číselných oborů.
Vysokoškolští studenti si mohli vyplňování operační tabulky a zjišťování vlastností uvedené
struktury podstatně zkrátit. I když se jednalo v obou případech pouze o málo početné skupiny
respondentů, určitou představu to naznačuje. V tabulce je uvedena úspěšnost objevení a
ověření jednotlivých vlastností dané struktury.
Výsledky orientačního průzkumu:
Studenti komutativnost
gymnázia
46
učitel.1.st
62
asociativnost
9
43
Určení a ověření vlastnosti (v %)
úplnost
neutrální inverzní
struktura
prvek
prvky
neurčováno neurčováno neurčováno
18
52
91
43
24
Poměrně nízká úspěšnost je dána i tím, že většina studentů vyplňovala operační tabulku
(úspěšně gym. 27 %, uč. 43 %) a nestihli pak již vypsání jednotlivých vlastností, i když je
třeba objevili. Úplně všechny úkoly zvládlo pouze 24 % studentů učitelství 1. st.
Takto by bylo možno se studenty nenásilnou formou „Procházek po krychli“ (a v krychli)
některé výše uvedené vlastnosti ověřovat a tím u nich vytvářet obecnější pohled na operace,
struktury a jejich vlastnosti. Tyto vlastnosti a pojmy znají studenti pouze pro početní operace
v číselných množinách, čímž dochází k značně zúženému chápání těchto pojmů.
“Odvalování hrací kostky“ a algebra
Při řešení těchto úloh někteří žáci sami tvořivostí objevovali některé vlastnosti. Např., že
odvalení kostky je vlastně její otočení kolem osy protějších stěn, že složením dvou odvalení,
kdy se mění směr odvalení, je otočení kolem její tělesové úhlopříčky, atd., což jsou vlastně
tzv. zákrytové pohyby krychle při příslušných transformacích, např. osové, rovinové či
středové souměrnosti, rotaci kolem osy či středu apod.
„Odvalování hrací kostky“ můžeme také vnímat jako problematiku, která se odehrává
v nějaké algebraické struktuře. Množinou je zde množina pohybů při odvalení hrací kostky a
operací je skládání těchto pohybů. [3]
Pro podrobnější matematické zkoumání této struktury je nutno některé věci doplnit.
12
HRANÍ SI S KOSTKAMI JAKO PROPEDEUTIKA MATEMATIKY
Pokud stěny hrací kostky označíme hodnotami podle teček, které mají, a stanovíme pořadí
stěn horní (H), přední (Ř), pravá (P), levá (L), zadní (Z) a dolní (D), pak se také dá každé
odvalení popsat pomocí příslušné permutace.
Například odvalení kostky ze základní polohy ZP dopředu přes dolní přední hranu do polohy
P1 se dá popsat pomocí permutace
123456
513462
ZP
P1
Každému odvalení hrací kostky proto odpovídá takováto nějaká permutace.
Pokud odhlédneme od samotného odvalování hrací kostky, můžeme tyto permutace šesti
prvků skládat všemi možnými způsoby a dostaneme množinu M6 všech permutací
na šestiprvkové množině {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Množina M6 spolu s operací skládání permutací
tvoří strukturu, která je nekomutativní grupou všech permutací na množině {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tato grupa všech permutací se označuje S6 a nazývá se symetrickou grupou stupně 6 a
obsahuje 6! = 720 permutací. [2]
Výše byla zmínka o tzv. „zákrytových pohybech krychle“, tj. pohybech, kdy se
krychle v dané transformaci zobrazí sama na sebe. Při rotacích krychle kolem jejích
os existuje 24 takových zákrytových pohybů krychle. Jsou to rotace kolem os středů
protilehlých stěn o 900, 1800 a 2700, tedy 3.3 = 9 pohybů, rotace kolem tělesových
úhlopříček o 1200 a 2400, tedy 4.2 = 8 pohybů, rotace kolem os spojujících středy
protilehlých hran o 1800, tedy 6 pohybů a identita, tedy bez pohybu. Tyto zákrytové
pohyby krychle tvoří strukturu, která se obyčejně nazývá grupou rotací krychle. Dá se
ukázat, že tato grupa rotací krychle je izomorfní s grupou všech permutací čtyř
tělesových úhlopříček krychle. [1]
Vyšetřujme, jakou strukturu tvoří uvedená množina pohybů odvalení hrací kostky popsaná
výše zmíněnými permutacemi spolu s operací skládání odvalení. Nutno poznamenat, že tato
operace v uvedené množině pohybů není úplná a uvedená struktura tedy není podgrupou
grupy všech permutací.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
V dané struktuře je množina pohybů odvalení a operace skládání pohybů ( ). :
dopředu
– který si pojmenujeme jako jih a označíme J,
dozadu
– který si pojmenujeme jako sever a označíme S,
doprava
– který si pojmenujeme jako východ a označíme V,
doleva
– který si pojmenujeme jako západ a označíme Z,
bez pohybu – který si pojmenujeme jako identický a označíme I
Odvalení pouze jednoho typu, např. (a), tj. beze změny směru, odpovídají v zákrytových
pohybech krychle rotaci kostky kolem vodorovné osy spojující středy bočních stěn,
v našem případě S3S4 o příslušný orientovaný úhel. Při jednom odvalení o 900, při dvou
odvaleních o 1800 atp.
Např.: Jedno odvalení J
odpovídá permutaci
1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
513462
kolem osy stěn s hodnotami 3 a 4 o úhel + 900. Označíme R34+90.
13
JAROSLAV PERNÝ
Dvě odvalení JJ
odpovídají permutaci 1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
653421
kolem osy stěn s hodnotami 3 a 4 o úhel + 1800. Označíme R34+180.
Je zřejmé, že dvě odvalení JJ jsou stejná jako dvě odvalení SS a obdobně tři odvalení JJJ
jsou stejná jako jedno odvalení S. Čtyři odvalení JJJJ či SSSS pak tvoří identitu I.
Obdobně je to s ostatními odvaleními beze změny směru.
Pokud se skládají odvalení se změnami směru, situace se mění.
Složená odvalení typu (a) (c), resp. (a) (d) apod., odpovídají v zákrytových pohybech
rotaci kostky kolem osy spojující vrcholy některé tělesové úhlopříčky o příslušný
orientovaný úhel.
Např.: Odvalení JV
odpovídá permutaci
1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
415263
kolem tělesové úhlopříčky určené vrcholy CE o úhel +1200. Označíme RCE+120.
Odvalení VJ
odpovídá permutaci
1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
541632
kolem tělesové úhlopříčky určené vrcholy AG o úhel +1200. Označíme RAG+120.
Složená odvalení typu (a) (c) (b), resp. (a) (d) (b) apod., tj. se zpětnou změnou směru
odvalování, odpovídají v zákrytových pohybech rotaci kostky kolem svislé osy spojující
středy vodorovných stěn, v našem případě S1S6 o příslušný orientovaný úhel 90 0 .
Např.: Odvalení JVS
odpovídá permutaci 1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
135246
kolem svislé osy středů stěn s hodnotami 1 a 6 o úhel - 900. Označíme R16-90.
Složená odvalení typu (a) (a) (c), resp. (a) (d) (d) apod., odpovídají v zákrytových
pohybech rotaci kostky kolem osy spojující středy protilehlých hran krychle o příslušný
orientovaný úhel.
Např.: Odvalení JJV
odpovídá permutaci 1 2 3 4 5 6 , která je rotací kostky
456123
kolem osy spojující středy hran BC a EH o úhel + 1800. Označíme RBCEH.
Takto je možno zkoumat další možnosti odvalování hrací kostky.
Také při těchto experimentech jsem ověřoval orientačně, které z vlastností uvedené struktury
studenti gymnázia (měli pouze dílčí úlohy) a studenti učitelství pro 2. stupeň základní školy
objeví a ověří. I zde je tato tvůrčí činnost zaujala, ovšem úspěšnost nebyla příliš velká.
Zejména proto, že se jednalo o poměrně obsáhlý úkol a studenti (ani učitelství) nikdy takovou
činnost neprováděli. Navíc ověření proběhlo před koncem školního roku, kdy studenti již
spíše odpočívají. Přesto si někteří s úlohou poradili a u studentů učitelství se objevily i jiné
správné varianty řešení. I zde se jednalo v obou případech pouze o málo početné skupiny
respondentů, takže výsledky nemají patřičnou vypovídací hodnotu.
V tabulce je uvedena úspěšnost objevení a ověření jednotlivých zákrytových pohybů a
vlastností dané struktury.
14
HRANÍ SI S KOSTKAMI JAKO PROPEDEUTIKA MATEMATIKY
Výsledky orientačního průzkumu:
Zákrytové pohyby krychle (v %)
bez změny 1 změna
2 změny
směru
směru
směru
gymnázia
50
0
17
učitel. 2.st.
73
20
33
Studenti
Určení a ověření vlastnosti (v%)
nekomutativnost
neúplnost
50
80
17
47
Nízká úspěšnost je dána tím, že někteří studenti se do řešení úloh téměř nepustili (gym. 50 %,
uč. 13 %), buď proto, že si s tím nevěděli rady, nebo se jim nechtělo vyvíjet větší úsilí. Úplně
všechny úkoly zvládlo pouze 13 % studentů učitelství 2. st., a stejný počet z nich uvedlo i jiné
správné řešení zákrytových pohybů.
Tímto způsobem by bylo možno s žáky a studenty formou „Odvalování hrací kostky“
zjišťovat zákrytové pohyby krychle, ověřovat některé výše uvedené vlastnosti a
propedeuticky tím seznamovat žáky s tak obecnými pojmy jako permutace, operace,
struktury a jejich vlastnosti.
Závěr
Chtěl jsem zde naznačit několik příkladů možného využití jednoduchých her a cvičení
prostorové představivosti žáků a studentů pro prvotní propedeutiku vytváření poměrně
náročných obecných pojmů z algebry. Tyto úlohy by mohly být postupně po částech
přiměřeným způsobem zadávány žákům a studentům jako nestandardní úlohy, při jejichž
řešení by uplatnili svoji tvořivost, představivost, invenci a další své kompetence.
LITERATÚRA
[1]
Alexandrov, P.S.: Úvod do teorie grup. Moskva, Mir, 1985.
[2]
Blažek, J. – Koman, M. – Vojtášková, B.: Algebra a teoretická aritmetika, II. díl.
Praha, SPN, 1985.
[3]
Coxeter, H. S. M.: Vveděnie v geometriju. Moskva, Nauka, 1966.
[4]
Perný, J.: Tvořivostí k prostorové představivosti. TU Liberec, 2004. ISBN 80-7083802-7.
Doc. PaedDr. Jaroslav Perný, P.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Fakulta přírodně-humanitní a pedagogická
Technická univerzita v Liberci
Studentská 2
CZ – 460 01 Liberec
e-mail: [email protected]
15
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MOTIVATION VIA NATURAL DIFFERENTIATION
EWA SWOBODA
1. Introduction
The importance of lifelong learning and continued teacher professionalization grows
as indicated in the Lisbon strategy (“Education and training 2010 – diverse system, shared
goals”). Traces of this policy we can observe in many National Strategies. The National
Programme for the Development of Education in the Czech Republic (White Paper 2001)
stresses “internal differentiation and profiling of schools in accordance with pupils’ needs”
and “teachers’ autonomy”. German curricula in all states oblige “inner differentiation” and
“individual support” for all learners. Teachers in general should be able to develop and to
improve their teaching of mathematics.
The European materials on educational policy also stress the importance of formation
of pupils´ competences as: competences of learning, communicating, solving problems,
making conjectures etc. This process should start in early age and on the primary school level
it is supported mainly by the teacher. It is expected that all learners should have
opportunities to realize their potentials, but at the same time the requirements of national
curricula have to be fulfilled. Coping with heterogeneity and motivation of all students
regardless of their differences, is one of the great challenges in primary school, especially for
teaching and learning mathematics. Meeting the needs of all students in learning
mathematics, is one of the big challenges in today’s everyday teaching – especially with
respect to a growing heterogeneity in classrooms (cf. PISA).
While observing classrooms reality in primary schools, sometimes one may get the
impression that the claims for differentiation in order to cope with heterogeneity are fulfilled
in an exhaustive way. Looking closer, one may get a conclusion, that there are many various
attempts for “differentiation”. Some of them can be shortly described:
1. DIFFERENTIATION IN ACTION.
Forms of organisation became open in the sense that children are allowed to deal with
different contents, at different places and different times as well as in different kinds.
Children are equipped in numerous, supporting manipulatives, learning games, worksheets
etc.
This form of differentiation is rather a dangerous one, and is not sufficient for learning
mathematics. One may says that this is “open organisation vs. closed mathematics
(content & methods)”. Students in the centre – but his/her actions are determinated by
materials. Teacher is not in a centre of teaching process any more, and this means that the
responsibility is just given to the manipulatives or other materials and to prescribed ways of
solutions. Children solve only routine tasks. There is no possibilities for putting “open”
questions, for building social friendly climate for discussion. Communication and interaction
among pupils does not exists – during such activities children only ask others for “correct”
solving procedure, they do not argue about the way of thinking.
17
EWA SWOBODA
2. INNER DIFFERENTIATION
In pedagogical literature one may find concept “Inner differentiation”. (WINKELER 1974).
It contatin:
• Social differentiation (single, partner, group work, …)
• Methodical differentiation (teaching methods like e. g. project, presentation, course)
• Differentiation of media (textbook, worksheets, software, manipulatives, …)
• Quantitative differentiation (more or less of the same resp. different time for the same)
• Qualitative differentiation (different (level of) targets; fundamentum/additum)
Again, we are in opinion, that those forms of differentiation are not supportive for
teaching/learning mathematics. Qualitative and quantitative differentiations create different
mathematics for different children. Not everybody has the same chance to know various
mathematical “faces”, fromthis moment children in class may feel that some of them are
“better” and the others are “worse”.
Therefore, suitable kinds of differentiation are indispensable. What can be observed
so far, is a limitation of differentiation to mainly organizational features, neglecting e. g. the
prominent role of the content itself.
In 2009, group of researchers from four European countries started to realize the
project named “Motivation via Natural differentiation in Mathematics – NaDiMa”1, aimed at
realization a different approach for “differentiation” in teaching mathematics. In this
approach we suggest, mathematics is in a centre. Child is also in the centre. We took a
different attitude: heterogeneity is not a problem, this is a normal situation for classmates.
Normally, learners – even if they work on the same content – will be on different levels of the
learning process. This experience can be observed in every classroom. The project looks for a
new kind of differentiation starting in the first school years (and even in kindergarten). The
crucial point is that the students can work together – on the same content, on different levels,
in accordance to their individual level. This cooperation will enable all of them to enhance
their individual levels – learners on lower levels can orientate themselves to a higher level,
and learners on higher levels can gather new accesses by facing the lower levels. It should
contribute to deeper mathematical understanding while considering the learner’s individual
personality and group-learning using instead of minimizing the individual differences among
the students. By considering both, the learner’s individuality and the demands of the subject
matter, an increased and sustainable motivation can be expected.
Wittmann et al. (2004, 15) call it natural differentiation.
Shortly, the natural differentiation is characterized by the following criteria:
• Different attitude: Heterogeneity – not a problem, but normal
• Self-reinforcing tendencies of the mathematical content
• Same learning environment for all students
• Holistic & sufficiently complex (!overtaxing!) – substantial learning environment
(SLE;cf. Wittmann 2000)
• Learning in senseful contexts, like mathematics as a science => intrinsic motivation
• Different levels of difficulty – chosen by the student
1
Lifelong Learning Programme,
18
MOTIVATION VIA NATURAL DIFFERENTIATION
•
•
Students' decisions: ways of solution; manipulatives; kinds of representations; the
problem itself
Social learning caused by the nature of the content (different approaches and
conceptions)
For the learners, natural differentiation should contribute to a deeper mathematical
understanding as well as to the development of general learning strategies that could lead to a
higher motivation.
Idea of Substantial Learning Environment is largely propagated among German researchers
(Wittmann 1995, 2001, Scherer, 2007), but is also well known in Czech (Hejny, Jirotkova
2009). Wittmann describes SLE as a teaching/learning unit with the following properties
(Wittmann, 1995, 365/366):
(1) It represents central objectives, contents and principles of teaching
mathematics at a certain level.
(2) It is related to significant mathematical contents, processes and
procedures beyond this level, and is a rich source of mathematical activities.
(3) It is flexible and can be adapted to the special conditions of a classroom.
(4) It integrates mathematical, psychological and pedagogical aspects of
teaching
Stressing a great importance SLE for mathematical education, Wittmann (2001) states:
The concept of an SLE is a very powerful one. It can be used to tackle successfully one
of the big issues of mathematics education which has become more and more urgent
and which is of crucial importance for the future of mathematics education as a
discipline: the issue of theory and practice. […] The design of substantial learning
environments around long-term curricular strands should be placed at the very centre
of mathematics education. Research, development and teacher education should be
consciously related to them in a systematic way.2
In addition, he states:
It is not by chance that development projects based on SLEs have been successful in
changing mathematics teaching as well as in changing teachers’ attitudes: in these
projects fundamental systemic conditions have been taken into account.(Wittmann
2001, pp.5)
2. Description of the project NaDiMa
On the general level this project aims at the development of primary school pupils:
2
-
to support the development of their learning competences
-
to support the consciousness of the meaning of mathematics as a part of human
culture
-
to encourage pupils´ motivation to learn mathematics
-
to realize pupils´ individual (cognitive) potentials
-
to create the possibility for students to experience success in the process of problem
solving
Wittmann 2001, pp.3-4
19
EWA SWOBODA
These aims should be achieved by means of support and enhancement of teachers directed
on:
-
to get to know examples for substantial learning environments and by that
experience the nature of mathematics and recognize and use the potential for teaching
and learning.
-
to strengthen teacher’s mathematical content knowledge in relation to and requested
for these specific learning environments
-
how to cope with the heterogeneity and realize natural differentiation in mathematics
classrooms
-
to support the change of belief on the substance and importance of mathematics for
primary school level.
3. Examples
During the first year of the project various SLE were elaborated. Here are some examples:
The German Team:
Referring to the German Curriculum Standards, content-related and process-related
objectives were taken into consideration as the basis for developing learning environments.
The German team decided to focus on arithmetical topics. One of SLE is “number chain”
Rule: Choose two starting number. Number in the next window is created by adding two
preceding numbers
5
2
7
9
16
Task: Number chains with target number 50!
• Can you choose both starting numbers, that you come as close as possible to the
target number 50?
• Can you reach exactly 50?
• Can you find more solutions for the target number 50?
• Find all solutions for the target number 50!
Further investigations:
What will happen, if you increase the first starting number by 2, 3, …?
What will happen, if you increase the second starting number by 1, 2, 3, …?
What will happen, if you increase both starting numbers by 1, 2, 3, …?
How can you reach a change of the target number by 7 in one step?
Try out!
20
MOTIVATION VIA NATURAL DIFFERENTIATION
The Czech Team:
In the Czech republic Framework Education Programme for Elementary Education (FEP EE),
new approach to curricula, was introduced in 2007. Geometry is an integral part from the
very beginning of school attendance. Development of our materials was primarily driven by
ideas embedded in this material.3
As a theoretical background Kuřina´s4 approach to the interpretation of elementary school
geometry was taken. This didactical background was based on four principles of geometry at
primary school level (Kittler et al. 1994):
a) Space dividing
A child’s living space is limited for example by the house where it lives; the space
for drawing is limited by a sheet of paper etc. Geometrical boundaries (lines, curves,
planes, surfaces) divide geometrical space into regions.
b) Space filling
The principle is in way complementary to space dividing and is connected with
activities such as paving a street, walling some space etc. It deals with measures of
geometrical objects: length, distance, circumference, area, volume, the size of angle.
c) Movement in space
This is not only the question of moving objects in the room or in the street, but also
of the movement when drawing or modeling. On the basis of perception of
movement, a child develops ideas of e.g. homothetic transformations (symmetry,
translation, rotation) and geometrical figures (parallels, circles, circular solids)
d) Dimension of space
A child’s experience with space is both two- and three-dimensional. When drawing it
moves from 3D to 2D, when modeling from a construction kit following a plan it
moves from 2D to 3D.
Example of task:
1) Assemble all possible shapes from a square divided into 2 parts.
a) Draw the results into a point or square grid or on a blank sheet
of paper.
3
„In the thematic area Planar and Spatial Geometry, the pupil identifies and draws geometric
figures and models real-life situations, seeks similarities and differences between figures
found everywhere around us, realises the mutual positions of objects on a plane (or in
space), learns to compare, estimate and measure length, angle size, perimeter and/or
circumference and area (or surface area and volume), and to improve his/her graphic
expression. The examination of shape and space guides the pupil towards solving
positional and metric exercises and problems based on common everyday situations.“
(http://www.vuppraha.cz/soubory/RVP_ZV_EN_final.pdf, pg. 26)
4
Kittler,J.; Koman,M.; Kuřina,F.; Tichá M.: Some Ideas Applied in the Mathematical Textbooks for 610-Year-Old Students. 2. Berliner Tagung zur Didaktik der Mathematik. Humboldt-Universität zu
Berlin, 1994, 138-139.
21
EWA SWOBODA
Solution (8 shapes) e..:
1 triangle
4 quadrilaterals
3 pentagons
parallelogram
etc.
The Polish team
In the school year 2009/10 a new curriculum for primary education will be introduced.
Among other geometrical topics it is planned to introduce axis symmetry. For easier
promotion of new approaches in teaching, changes in teaching topics proposed by Ministry of
Education were used.
In order to create substantial learning environments (SLE) research
results of scientific investigations made by Rzeszów University
concerning geometrical regularities were used. A didactical project
of using ‘tiles’ in classes was created. As the tool for children’s work two type of tiles were
used:
Series of task were designed:
1. “Free activities”
2. Creating pattern, deconstruction of pattern
3. Coding and de-coding
4. Floor reconstruction
Preliminary results
During our project, together with selected teachers, learning environments in terms of
commented teaching units were developed and put into practice The video-documented
lessons were analyzed and evaluated with respect to allow differentiation as well as
sharpening the concept of “natural differentiation”. The analysis of lessons and interviews
aimed at:
•
•
•
•
•
•
22
observing whether the proposed activities are interesting and appropriate for children,
observing whether the activities motivated the children;
searching for behaviours that would prove mathematical value of activities,
discovering the connections with mathematical topics.
gathering more information about the level of difficulty of specific tasks (with respect
to numbers, operations, more general demands);
identifying relevant indicators to make connections to the theoretical background.
MOTIVATION VIA NATURAL DIFFERENTIATION
It could be stated that all pupils made significant use of the opportunities of natural
differentiation: They used a wide spectrum of approaches, strategies and levels to express
their solutions. With respect to motivation, a high level could be stated to both general to
mathematics and mathematics learning but especially referring to the substantial learning
environment.
dr hab. Ewa Swoboda
Institute of Mathematics
Univarsity of Rzeszow
Rejtana 16A
PL - 35 959 Rzeszów
e-mail: [email protected]
23
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ALGEBRAICKÉ STRUKTURY A MULTISTRUKTURY VYTVÁŘENÉ PROSTORY
ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH HOMOGENNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC N-TÉHO
ŘÁDU
JAROSLAV BERÁNEK, JAN CHVALINA
ABSTRACT. In connection with the algebraic approach to ordinary differential equations and
their transformations we investigate multistructures, in particular transposition hypergroups of
the n-th order linear ordinary differential operators and such hyperstructures formed by
solution spaces of corresponding homogeneous differential equations.
Příspěvek navazuje na dvě publikace obou autorů, uveřejněné ve sborníku FPV UKF
Acta Mathematica 11 v roce 2008 ([3], [4]), které pojednávaly o nekomutativní grupě
a nekomutativní transpoziční hypergrupě lineárních prostorů hladkých funkcí dimenze dvě.
Rovněž tento příspěvek si klade za cíl ukázat souvislosti mezi výukou matematické analýzy,
do níž jako typický objekt studia patří lineární diferenciální rovnice, a algebraickými
strukturami, jako je pologrupa, grupa, normální podgrupa, které s těmito analytickými
úvahami úzce souvisejí. Pozornost je věnována zejména souvislosti lineárních homogenních
diferenciálních rovnic a základních pojmů současné teorie multistruktur, přesněji binárních
hyperstruktur, jako je hypergrupa a spojnicový prostor, které nabyly v nedávné době
značného významu v rámci teorie matematických struktur a jsou intenzivně studovány
i v současnosti v celosvětovém měřítku. Zmíněné struktury mají význam i při studiu
rozličných geometrických struktur, což odpovídá již klasickému přístupu školy profesora
Borůvky a jeho spolupracovníků k budování globálního přístupu v oblasti obyčejných
diferenciálních rovnic. Poznamenejme, že použitý pojmový aparát je převzat z monografií a
prací [3], [4], [6], [8], [10], [12].
Připomeneme nyní základní pojmy matematické teorie hypergrup. Hypergrupa je dvojice
(H, ∗ ), kde H je neprázdná množina, binární hyperoperace ∗ je zobrazení kartézského
součinu H × H do systému všech neprázdných podmnožin množiny H (často označované P
*
(H)), které splňuje tyto dva požadavky:
1o axiom asociativity: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c pro každou trojici prvků a,b,c ∈ H (zde a
∗ M = ∪ a ∗ m pro každé a ∈ H, φ ≠ M, M ⊂ H);
m∈M
2o axiom reprodukce: a ∗ H = H = H ∗ a pro každé a ∈H.
Pro libovolné dvě neprázdné podmnožiny A, B množiny H definujeme jejich hypersoučin
jako
A ∗ B = ∪ { a ∗ b; a ∈ A, b ∈ B } .
Podhypergrupoid hypergrupy (H, ∗ ) je dvojice (S, ∗ ), kde S ∗ S ⊂ S ⊂ H. Poznamenejme, že
relace incidence neprázdných množin A, B, tedy A ∩ B ≠ φ, se v literatuře o hyperstrukturách
obvykle označuje A ≈ B.
Hypergrupa (H, ∗ ) se nazývá transpoziční hypergrupa nebo také (nekomutativní)
spojnicový prostor, jestliže splňuje axiom transpozice: Pro každou čtveřici a, b, c, d ∈ H ze
vztahu b\ a ≈ c/d plyne a ∗ d ≈ b ∗ c, kde množiny
25
JAROSLAV BERÁNEK, JAN CHVALINA
b\ a = {x ∈ H; a ∈ b ∗ x}, c/d = {x ∈ H; c ∈ x ∗ d}
se nazývají levá a pravá extenze (někdy též levý a pravý zlomek). Spojnicové prostory byly
zavedeny Walterem Prenowitzem a Jamesem Jantosciakem ([12]) při zkoumání jistých
geometricky motivovaných nekomutativních struktur. Z velkého počtu publikací, které se
věnují spojnicovým prostorům, jmenujme alespoň [2], [9], [10], [12].
Uspořádanou grupou rozumíme trojici (G, . , ≤ ), kde (G, .) je grupa a binární relace ≤ je
uspořádání na G takové, že pro libovolnou trojici x, y, z ∈ G plyne z vlastnosti x ≤ y také x .
z ≤ y . z, z . x ≤ z . y. V uspořádané grupě budeme symbolem [a)≤ označovat hlavní konec
generovaný prvkem a ∈ G, definovaný takto: [a)≤ = {x ∈ G; a ≤ x}. Nyní uvedeme důležitý
příklad hypergrupy determinované uspořádanou grupou (G, . , ≤) (viz např. [9]). Pro každou
dvojici prvků a, b ∈ G definujeme hyperoperaci ∗ na množině G takto: a ∗ b = [a .b)≤ .
Potom (G, ∗ ) je hypergrupa, která je komutativní, právě když grupa (G,.) je komutativní.
Toto tvrzení bývá označováno v teorii hyperstruktur jako „koncové lemma“ (např. [10], [11],
[18], důkaz viz např. [9]).
Množinu všech reálných čísel budeme značit R; pod označením C(J) (užívá se i označení
C0(J)) budeme rozumět okruh všech spojitých funkcí na intervalu J⊂ R s obvyklým sčítáním
a násobením funkcí. Analogicky okruh všech spojitých funkcí na intervalu J, které mají
všechny derivace až do řádu k pro nějaké přirozené číslo k, budeme označovat Ck(J).
Symbolem C+(J) označíme podpolookruh okruhu C(J), tvořený všemi kladnými spojitými
funkcemi, tedy
C+(J) = { f: J → R; f(x) > 0 , x ∈ J } .
Pro každé přirozené číslo n ≥ 2 označíme jako An množinu všech lineárních homogenních
diferenciálních rovnic n-tého řádu následujícího tvaru:
y ( n ) + pn−1 ( x ) y ( n−1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0 ,
(viz [10], [14], [17]), kde pk ∈ C(J), k = 0, 1, …, n− 1, p0(x) > 0 pro libovolné x ∈ J.
Uvažujme nyní diferenciální operátor n-tého řádu, přiřazený obyčejné homogenní lineární
diferenciální rovnici n-tého řádu, ve tvaru
n
Ln = ∑ pk ( x )D k ,
k =0
dk
kde Dk = k , pk(x) je spojitá funkce definovaná na otevřeném intervalu J⊂ R ,
dx
k = 0, 1, …, n− 1, pn(x) ≡ 1, tj. zápis Ln(y) = 0 označuje obyčejnou homogenní lineární
diferenciální rovnici tvaru
n −1
y ( n ) ( x ) + ∑ pk ( x ) y ( k ) ( x ) = 0 .
k =0
V souladu s články [3], [4], [10], [11] označme L(p0 , …, pn−1)(y) : Cn(J)→ Cn(J) výše
definovaný lineární operátor. Platí tedy
L(p0 , …, pn−1)(y) = y ( n ) + pn−1 ( x ) y ( n−1 ) + ... + p0 ( x ) y
a položme
LAn(J) = {L(p0 , …, pn−1): pk ∈ C(J), k = 0, 1, …, n− 1} .
Označme dále N0(n)= {0,1, …,n− 1} ; symbolem δij budeme označovat tzv. Kroneckerovo δ ,
přičemž klademe δ ij = 1 − δij . Pro libovolné m ∈ N0(n) označíme jako LAn(J)m množinu
všech lineárních diferenciálních operátorů n-tého řádu
26
ALGEBRAICKÉ STRUKTURY A MULTISTRUKTURY ...
L(p0 , …, pn−1): Cn(J)→ C(J), kde pk ∈ C(J) pro libovolné k ∈ N0(n), pm ∈ C+(J), (tj. pm(x) >
0 pro libovolné x ∈ J). Nyní zavedeme vektorovou funkci p (x) takto:
p (x) = (p0(x) , …, pn−1(x)), x ∈ J. Potom lze psát Ln( p )y = y(n) + ( p (x), (y, y ′ , …,y(n−1))), kde
v poslední závorce se jedná o skalární součin vektorů.
Nyní definujeme binární operaci „ m “ a binární relaci „≤m“ na množině LAn(J)m takto:
Pro libovolnou dvojici L( p ), L( q )∈ LAn(J)m, p = (p0 ,…, pn−1), q = (q0 , …, qn−1) položíme
L( p ) m L( q ) = L( u ), u = (u0 ,…, un−1), kde
uk(x) = pm(x) qk(x) + (1 − δ mk ) pk(x) , x ∈ J
a L( p ) ≤m L( q ), jestliže pk(x) ≤ qk(x), k ∈ N0(n), pm(x) = qm(x), x ∈ J.
Je zřejmé, že (LAn(J)m ,≤m) je uspořádaná množina. Vlastnosti binární operace m a vztah
této operace k uspořádání ≤m na množině LAn(J)m uvádí následující tvrzení 1, jehož důkaz lze
nalézt např. v [10].
Tvrzení 1: Algebraická struktura (LAn(J)m , m , ≤m) je nekomutativní uspořádaná grupa.
Nyní obrátíme svou pozornost k podgrupám grupy LAn(J)m. Zavedeme označení L1An(J)m
= {L( p ); p = (p0 ,…, pn−1), pk ∈ C(J), k ∈ N0(n), pm(x)≡ 1}. Pomocí tohoto označení lze
formulovat tvrzení 2. Také jeho důkaz lze nalézt v publikaci [10].
Tvrzení 2: Nechť J⊂ R je otevřený interval. Pro libovolné n ∈ N , n ≥ 2, 0 ≤ m ≤ n − 1 platí,
že grupa (L1An(J)m , m ) je invariantní podgrupa grupy (LAn(J)m , m ).
Nyní využijeme výše popsané konstrukce hypergrupy determinované uspořádanou
grupou ke konstrukci jistého spojovacího prostoru. Označme P(LAn(J)m)* systém všech
neprázdných podmnožin množiny LAn(J)m a definujme binární hyperoperaci
*m : LAn(J)m × LAn(J)m → P(LAn(J)m)*
následujícím způsobem:
L( p ) *m L( q ) = {L( u ); L( p ) m L( q ) ≤m L( u )}
pro každou dvojici L( p ), L( q ) ∈ LAn(J)m . Přesněji řečeno: Jestliže p = (p0 ,…, pn−1), q =
(q0 , …, qn−1), u = (u0 ,…, un−1), pak pm(x)qm(x) = um(x), pm(x)qk(x) + pk(x) ≤ uk(x) pro k ≠ m,
x∈ J. Potom podle konstrukce zmíněné v úvodu příspěvku (tzv. koncové lemma) dostáváme,
že (LAn(J)m ,*m) je nekomutativní hypergrupa. Ve tvrzení 2 uvedená normální podgrupa
(L1An(J)m , m ) grupy (LAn(J)m , m ) je nosnou množinou podhypergrupy (LAn(J)m ,*m), která
má jisté význačné vlastnosti. Ty jsou mj. popsány v následujícím tvrzení 3, obsaženém ve
článku [10].
Tvrzení 3: Nechť J⊂ R je otevřený interval, nechť n ∈ N , n ≥ 2, 0 ≤ m ≤ n − 1. Nechť
LAn(J)m = {L(p0 , …, pn−1); pk ∈ C(J), pm > 0}. Pak hypergrupa (LAn(J)m ,*m) je spojnicový
prostor operátorů obyčejných lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu takový, že
(L1An(J)m , *m) je podhypergrupa hypergrupy (LAn(J)m ,*m), která je
a) uzavřená (tj. L( p ) /L( q )⊂ L1An(J)m , L( p ) \L( q ) ⊂ L1An(J)m pro libovolnou dvojici
L( p ), L( q )∈ L1An(J)m),
b) reflexivní (tj. L( p ) \ L1An(J)m = L1An(J)m /L( p ) pro každý operátor L( p )∈ LAn(J)m),
c) normální (tj. L( p )*m L1An(J)m = L1An(J)m *m L( p ) pro libovolné L( p )∈ LAn(J)m).
27
JAROSLAV BERÁNEK, JAN CHVALINA
Nyní podáme konstrukci nekomutativní uspořádané grupy lineárních prostorů hladkých
funkcí třídy Cn definovaných na intervalu J ⊂ R (který může být i roven R).
Nechť ϕ1 ,…, ϕn ∈ Cn(J) jsou lineárně nezávislé funkce. Přesněji vyjádřeno, funkce ϕ1,
…, ϕn tvoří fundamentální systém řešení některé homogenní diferenciální rovnice, jejíž
koeficienty jsou spojité funkce (tzn. Wronského determinant W[ϕ1,…, ϕn] není roven nule
v žádném bodě intervalu J). Označme V(ϕ1,…, ϕn) lineární prostor dimenze n tvořený všemi
funkcemi tvaru
y( x ) = c1ϕ1 ( x ) + c2ϕ 2 ( x ) + ... + c nϕ n ( x ) ,
kde c1 , …, cn ∈ R , tedy
V(ϕ1 ,…, ϕn) = {c1ϕ 1 +…+ cn ϕ n ; ϕ1 ,…, ϕn ∈ Cn(J), c1 , …, cn ∈ R}.
Potom V(ϕ1,…, ϕn) je lineárním prostorem dimenze n všech řešení homogenní diferenciální
rovnice řádu n
Ln(y) = 0 , tedy
n −1
y ( n ) ( x ) + ∑ pk ( x ) y ( k ) ( x ) = 0 .
k =0
Dk [ ϕ 1 , ... ,ϕ n ]( x )
, k = 0, …, n−1.
W [ ϕ 1 , ... ,ϕ n ]( x )
Dk[ϕ1 ,…, ϕn] jsou příslušné subdeterminanty determinantu
kde
pk(x) =
ϕ2
⎛ ϕ1
⎜ \
ϕ \2
⎜ ϕ1
⎜ .
.
det ⎜
.
⎜ .
⎜
.
⎜ .
(
n
)
(
⎜ϕ
ϕ 2n )
⎝ 1
.
.
.
.
.
.
ϕn
ϕ \n
.
.
.
.
.
. ϕ n( n )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎟
y ( n ) ⎟⎠
y
y\
.
.
.
vystupující v Laplaceově rozvoji uvedeného determinantu podle posledního sloupce,
Označme F ⊂ Cn(J)× Cn(J) množinu všech uspořádaných n-tic [ϕ1,…, ϕn] lineárně
nezávislých funkcí ϕ1 ,…, ϕ n , pro které platí Dn−1[ϕ1 ,…, ϕn] ≠ 0 na intervalu J , kde
. . .
ϕ2
ϕn ⎞
⎛ ϕ1
⎜
⎟
\
\
. . .
ϕ2
ϕ \n ⎟
⎜ ϕ1
⎜
.
. ⎟
⎜
⎟
.
. ⎟ ,
Dn−1[ϕ1 ,…, ϕn] = det ⎜
⎜
⎟
.
. ⎟
⎜
⎜ ϕ ( n − 2 ) ϕ ( n − 2 ) . . . ϕ n( n − 2 ) ⎟
2
⎜ 1(n)
⎟
⎜ ϕ
ϕ 2( n )
. . . ϕ n( n ) ⎟⎠
⎝ 1
a dále pm(x) =
Dm [ ϕ 1 , ... ,ϕ n ]( x )
> 0 pro každé x ∈ J.
W [ ϕ 1 , ... ,ϕ n ]( x )
Označme dále G(F) soustavu (systém) všech prostorů dimenze n, V(ϕ1,…, ϕn), kde
[ϕ1,…, ϕn]∈ F . Na soustavě G(F) definujme nyní binární operaci ⋅ tímto předpisem:
28
ALGEBRAICKÉ STRUKTURY A MULTISTRUKTURY ...
Z obecné teorie řešení diferenciálních rovnic je známo (srv. též výsledky monografie F.
Neumana [16] a další práce tohoto autora), že mezi množinou všech operátorů LAn(J) a
systémem G(F) existuje bijektivní (jednojednoznačné) zobrazení Φ : LAn(J) → G(F). Nechť
V(ϕ1,…, ϕn) ∈ G(F), V(ψ1,…, ψn)∈ G(F) jsou libovolně zvolené prostory, tzn. prostory řešení
lineárních diferenciálních rovnic
tj. rovnic
y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0,
y ( n ) + q n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + q0 ( x ) y = 0,
ϕ2
⎛ ϕ1
⎜ \
ϕ \2
⎜ ϕ1
⎜ .
.
det ⎜
.
⎜ .
⎜
.
⎜ .
⎜ϕ ( n ) ϕ ( n )
2
⎝ 1
ψ2
⎛ ψ1
⎜ \
ψ \2
⎜ ψ1
⎜ .
.
det ⎜
.
⎜ .
⎜
.
⎜ .
⎜ψ ( n ) ψ ( n )
2
⎝ 1
.
.
.
.
.
.
ϕn
ϕ \n
.
.
.
.
.
. ϕ n( n )
.
.
.
.
.
.
ψn
ψ \n
.
.
.
.
.
. ψ n( n )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟ =0,
⎟
⎟
⎟
y ( n ) ⎟⎠
y
y\
.
.
.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟=0.
⎟
⎟
⎟
y ( n ) ⎟⎠
y
y\
.
.
.
Pak jsou jednoznačně určeny operátory L(p0 , …, pn), L(q0 , …, qn) s vlastností L(p0 , …, pn) =
Φ−1 (V(ϕ1,…, ϕn)), L(q0 , …, qn) = Φ−1 (V(ψ1,…, ψn)). Nyní pro zvolenou libovolnou dvojici
prostorů V(ϕ1,…, ϕn) ∈ G(F), V(ψ1,…, ψ n) ∈ G(F) položíme
V(ϕ1,…, ϕn) . V(ψ1,…, ψ n) = V(ω1,…, ω n) ,
kde V(ω1,…, ωn) = Φ(L(p0 , …, pn) L(q0 , …, qn)) .
Věta 1: Buď J ⊂ R otevřený interval. Grupoid (G(F), ⋅) je nekomutativní grupa.
Důkaz: Mezi strukturami (přesněji grupoidy) G(F) a LAn(J) existuje jednojednoznačná
korespodence, neboť každý operátor L(p0 , …, pn)∈ LAn(J) určuje přesně jeden lineární
prostor V(ϕ1,…, ϕn) řešení rovnice L(p0 , …, pn) (y) = 0, kde n-tice funkcí ϕ1,…, ϕn ∈ Cn(J)
tvoří fundamentální systém řešení výše uvedené rovnice, tedy bázi {ϕ1,…, ϕn} prostoru
V(ϕ1,…, ϕn) . Naopak, ke každému prostoru V(ϕ1,…, ϕn) ∈ G(F) existuje rovnice
y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0 ,
jejímž prostorem řešení dimenze n je právě prostor V(ϕ1,…, ϕn). Koeficienty v uvedené
rovnici jsou výše uvedené funkce pk(x), což se rovná
D [ ϕ , ... ,ϕ n ]( x )
pk(x) = k 1
, k = 1, 2, …, n−1.
□
W [ ϕ1 , ... ,ϕ n ]( x )
Nyní přistoupíme k multistrukturám. Pro každou diferenciální rovnici
29
JAROSLAV BERÁNEK, JAN CHVALINA
y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0, tj. Ln(y) = 0 pro Ln(y) ∈ LAn(J),
(1)
vybereme přesně jeden fundamentální systém řešení y1 = ϕ1(x),…, yn = ϕn(x), x∈ J. Tento
systém {ϕ1, …, ϕn} pak nazveme systém reprezentující daný diferenciální operátor Ln,
případně danou diferenciální rovnici. Symbolem VAn(J) označíme systém všech prostorů
řešení rovnic, jejichž levé strany tvoří diferenciální operátory z hypergrupy LAn(J). Na
množině VAn(J) nyní definujeme binární hyperoperaci.
Nechť V(ϕ1,..., ϕn), V(ψ1,..., ψn) ∈ VAn(J), nechť L(p0 ,…, pn)(y)= 0, L(q0 ,…, qn)(y)= 0
jsou diferenciální rovnice, jejichž reprezentující fundamentální systémy řešení jsou n-tice
funkcí {ϕ1,..., ϕn}, {ψ1,..., ψn} v daném pořadí. Klademe
V(ϕ1,..., ϕn) • V(ψ1,..., ψn) = {V(ξ1,..., ξn); [ξ1,..., ξn] ∈ Φ},
kde Φ je množina reprezentujících fundamentálních systémů řešení diferenciálních rovnic
L(u1,..., un)(y)= 0, kde L(p0 ,…, pn) m L(q0 ,…, qn) ≤ L(u1,..., un),
tj. pm(x) qk(x) + (1 − δ mk ) pk(x) ≤ uk(x), k ∈ N0(n), x ∈ J.
Jak již bylo uvedeno dříve (text před větou 1), mezi množinou všech operátorů LAn(J) a
systémem G(F) existuje bijektivní zobrazení Φ : LAn(J) → G(F), tj. existuje jednojednoznačná korespodence i mezi množinou všech rovnic (1), kde p0,..., pn−1 ∈ C(J), pm(x)
> 0, x∈ J, a soustavou všech prostorů VAn(J) jejich řešení. Jako výše u každého prostoru
řešení je vybrána pevně jedna báze {ϕ1,..., ϕn} a systém všech těchto bází, který jsme nazvali
reprezentující fundamentální systém řešení, označujeme Φ. Tím dostáváme bijekci
hypergrupy (LAn(J), ∗ ) na množinu VAn(J).
Věta 2: Buď J ⊂ R otevřený interval. Na systému VAn(J) prostorů dimenze n řešení
diferenciálních rovnic
y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0, pk ∈ C(J), k ∈ N0(n), p0 > 0, x∈ J,
definujme binární hyperoperaci
• : VAn(J)× VAn(J)→ P *(VAn(J))
takto:
Nechť V(ϕ1, …, ϕn), V(ψ1, …, ψn) ∈ VAn(J) jsou prostory funkcí dimenze n takové, že {ϕ1,
…, ϕn}, {ψ1, …, ψn} tvoří reprezentující fundamentální systémy řešení diferenciálních rovnic
y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + p0 ( x ) y = 0,
y ( n ) + q n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + q0 ( x ) y = 0,
a Φ(ϕ1,… ϕn, ψ1,…, ψn) je množina všech reprezentujících fundamentálních systémů řešení
diferenciálních rovnic
L(ω0 , …, ωn−1)(y) = 0 ,
kde L(ω0 , …, ωn−1) je hypersoučin L(p0 , …, pn) ∗ L(q0 , …, qn). Položíme
V(ϕ1, …, ϕn) • V(ψ1, …,ψn) = {V(u1, …, un) ∈ VAn(J); {u1, …, un} ∈ Φ(ϕ1,…,ϕn, ψ1,…,ψn)}.
Potom hypergrupoid (VAn(J),•) je nekomutativní transpoziční hypergrupa, tj. nekomutativní
spojnicový prostor.
Důkaz: Vyplývá z první části tvrzení 3 a existence bijekce Φ.
30

ALGEBRAICKÉ STRUKTURY A MULTISTRUKTURY ...
LITERATURA
[1]
BERÁNEK, JAROSLAV, CHVALINA, JAN. From Groups of Linear Functions to
Noncommutative Transposition Hypergroups. 1999. vyd. České Budějovice : Jihočeská
univerzita, 1999. 10 s. Department of Mathematics Report Series, volume 7. ISBN 807040-392-6.
[2]
BERÁNEK, JAROSLAV, CHVALINA, JAN. Noncommutative Join Hypergroups of
Affine Transformations of Ordered Fields . In: Univ. South. Bohemia, České
Budějovice, Dept. Math. Report Series Vol. 10 (2002), s. 15–22.
[3]
BERÁNEK, JAROSLAV, CHVALINA, JAN. O nekomutativní grupě lineárních
prostorů hladkých funkcí dimenze dvě. In: Acta Mathematica 11, Faculty of Natural
Sciences, Constantine the Philosopher University, Nitra, 2008, s. 11-16, ISBN 978-808094-396-7.
[4]
BERÁNEK, JAROSLAV, CHVALINA, JAN. O nekomutativní transpoziční
hypergrupě lineárních prostorů hladkých funkcí dimenze dvě. In: Acta Mathematica
11, Faculty of Natural Sciences, Constantine the Philosopher University, Nitra, 2008,
s. 17-24, ISBN 978-80-8094-396-7.
[5]
BORŮVKA, OTAKAR. Základy teorie grupoidů a grup. 1. vyd. Praha: Nakladatelství
Československé akademie věd, 1962. 216 s. r69U.
[6]
CORSINI, PIEREGIOULIO. Prolegomena of Hypergroup Theory. Aviani Editore
Tricesimo 1993.
[7]
CORSINI,
PIEREGIOULIO,
LEOREANU,
VIOLETA.
Applications
Hyperstructure Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
[8]
DIBLÍK, JOSEF, RŮŽIČKOVÁ, MIROSLAVA. Obyčajné diferenciálne rovnice. 1.
vyd. Žilina: Edis – vydavatelství Žilinské univerzity, 2008, 309 s. ISBN 978-80-8070891-7.
[9]
CHVALINA, JAN. Functional Graphs, Quasi-ordered Sets and Commutative
Hypergroups. Masarykova Univerzita Brno, 1995, 205 s.
of
[10] CHVALINA, JAN, CHVALINOVÁ LUDMILA. Modelling of Join Spaces by n-th
Order Linear Ordinary Differential Operators. STU Bratislava: Sborník příspěvků ze
4. mezinárodní konference Aplimat 2005, s. 279–284.
[11] CHVALINA, JAN, CHVALINOVÁ LUDMILA. Actions of Centralizer Hypergroups
of n-th Order Linear Differential Operators on Rings of Smooth Functions. STU
Bratislava: 7. mezinárodní konference Aplimat 2008. Journal of Applied Mathematics
1 (2008), s. 45–53.
[12] JANTOSCIAK, JAMES. Transposition Hypergroups: Noncommutative Join Spaces.
New York: Dept. of Math. Brooklyn College. Journal of Algebra 257, 1997, s. 97 –
119.
[13] KALAS, JOSEF, RÁB, MILOŠ. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno:
Masaryk University in Brno, 2001. 207 s. ISBN 80-210-2589-1.
[14] NEUMAN, FRANTIŠEK. From Local to Global Investigations of Linear Differential
Equations of the n-th Order. Jahrbuch Überblicke Mathematik, 1984, s. 55–80.
31
JAROSLAV BERÁNEK, JAN CHVALINA
[15] NEUMAN, FRANTIŠEK. Ordinary Differential Equations – a Survey of the Global
Theory. Equadiff 6, Proc. Internat. Conf. Differential Equations and their Appl., Brno
1985, s. 59–70.
[16] NEUMAN, FRANTIŠEK. Global Properties of Linear Ordinary Differential
Equations. 1. vyd. Praha : Academia, 1991. 320 s. ISBN 80-200-0423-8. (Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1991)
[17] NEUMAN, FRANTIŠEK. A Survey of Algebraic Methods in Linear Differential
Equations. Studies of the University of Žilina, Math. Series, Vol. 21/2007, 23–34.
[18] NOVÁK, MICHAL. Ends Lemma Based Semihypergroups of Certain Transformation
Operators. Extended Abstract Internat. Conference on Semigroups and Related
Topics. Porto, July 6 - 11, 2009, s. 59 – 60.
Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Masarykova Univerzita
Poříčí 7
CZ – 603 00 Brno
e-mail: [email protected]
Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc
Ústav matematiky
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Vysoké učení technické
Technická 8
CZ – 616 00 Brno
e-mail: [email protected]
32
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PROČ MAJÍ DĚTI PROBLÉMY V MATEMATICE
RŮŽENA BLAŽKOVÁ
ABSTRACT. We interesting with the cause of problems of pupil in mathematics in this article.
Especially by function deficit, dysabilities, individual characteristic of pupils and teaching of
mathematics.
KLÍČOVÁ SLOVA. Výuka matematiky, vývojové poruchy učení, dyskalkulie, problémy žáků,
funkční deficity, osobnostní vlastnosti dítěte, výukové postupy.
Úvod
Je nesporné, že člověk, který je úspěšný v matematice, umí požívat metody práce
v matematice, bývá zpravidla úspěšný ve svém oboru, i v tom, který zdánlivě s matematikou
nesouvisí. Zajistit kvalitní matematické vzdělávání pro žáky základních a středních škol je
pro společnost a její život v současném období 21. století důležité, ale současně je velmi
náročné, neboť je ovlivněno mnoha faktory. Ze všech možných různých faktorů se
zamysleme nad těmi, které souvisejí s osobností dítěte, rozvojem jeho percepčních a
kognitivních funkcí a s výukou matematiky. Školy vyšších typů konstatují snižování úrovně
vstupních matematických vědomostí studentů, kteří přicházejí z nižších typů škol. Také
výsledky mezinárodního srovnávání matematických vědomostí žáků základních škol nejsou
pro naše žáky v posledním období právě nejlepší.
Po zveřejnění výsledků mezinárodní studie TIMSS v roce 2009, která srovnávala
matematické a přírodovědné znalosti žáků čtvrtých a osmých tříd, se v denním tisku objevily
titulky:
„Děti propady z počtů“ „Obdélník? Co to je, tápou čtvrťáci“„Školáci málo čtou, proto
neumějí matematiku“. Tato vyjádření, dle mého názoru, jen velmi málo vystihují skutečnost,
která souvisí s výukou školské matematiky a jejího postavení v systému vzdělávání a jen
málo přispívají k pozitivnímu vztahu k matematickému vzdělávání.
Neúspěchy v rámci mezinárodního srovnání jsou analyzovány různými vzdělávacími
institucemi, často se hovoří o tom, že děti se něco naučí, avšak neumějí svoje poznatky využít
v aplikačních úlohách i v praktickém životě. Dále se zdůrazňuje význam učitele pro úspěšné
matematické vyučování a jeho schopnost přizpůsobovat výuku matematiky osobním
možnostem žáků. Přitom cíle vzdělávání stanovené v Rámcovém vzdělávacím programu pro
základní vzdělávání jsou stanoveny tak, aby k rozvoji matematického vzdělávání přispívaly.
Cílové zaměření vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace
Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je založena především na aktivních
činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro použití matematiky
v reálných situacích. Vzdělání klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým
postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům. Učitel by měl realizovat
výuku tak, aby naplňoval následující cíle:
Příspěvek byl zpracován v rámci řešení výzkumného záměru VZ MSM0021622443 Speciální potřeby žáků
v kontextu RVP pro základní vzdělávání řešeného na Pedagogické fakultě MU v Brně.
33
RŮŽENA BLAŽKOVÁ
-
-
Žák využívá matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech.
Paměť žáka se rozvíjí prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si
nezbytných matematických vzorců a algoritmů.
Rozvíjí se kombinatorické a logické myšlení, kritické usuzování, srozumitelná a
věcná argumentace prostřednictvím řešení matematických problémů.
Rozvíjí se abstraktní a exaktní myšlení osvojováním si a využíváním základních
matematických pojmů a vztahů, k poznání jejich charakteristických vlastností a na
základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů.
Vytváří se zásoba matematických nástrojů, efektivně se využívá osvojený
matematický aparát.
Rozvíjí se zkušenosti s matematickým modelováním reálných situací, vyhodnocují se
matematické modely vzhledem k realitě.
Žák se učí řešit a vyhodnocovat problémy vzhledem k vstupním podmínkám,
provádět rozbor a plán řešení a řešení realizovat.
Žák využívá matematického jazyka a symboliky k přesnému a stručnému
vyjadřování, zdokonaluje se grafický projev.
Rozvíjí se spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh a ilustrují se
možnosti řešení úloh z praktického života.
Rozvíjí se důvěra ve vlastní schopnosti, umění soustavné sebekontroly,
systematičnosti, vytrvalosti, přesnosti, vytváření a ověřování hypotéz apod.
Co by tedy mělo být cílem školního vyučování? Aby výuka matematiky přispěla
k rozvoji osobnosti žáka a jeho klíčových kompetencí, aby děti získávaly kvalitní
matematické poznatky prosté formalismu, aby děti uměly používat poznatků v dalším učivu a
v praktickém životě, aby byly úspěšné v rámci mezinárodního srovnávání, přitom aby se
matematiku učily rády a byly ve škole spokojené. Aby se v atmosféře radostné,
s minimálními náklady, dosáhlo maximálních výsledků.
Příčiny problémů dětí v matematice
Dlouholetá práce s dětmi, které měly potíže v matematice, vedla k analýze problémů dětí
a ke zjištění, že hlavní atributem je nezvládnutí komunikace mezi dítětem a světem. Děti se
zpravidla těší do školy a v počátečních ročnících se problémy neprojevují ve velké míře.
S narůstajícím obsahem učiva matematiky však narůstají také potíže. Dítě se v některém
okamžiku „ztratí“ – přestane učivo chápat a pokud není dostatek komunikace mezi ním a
učitelem či rodiči, nemá šanci pokračovat dál.
Přitom příčiny v matematice můžeme rozdělit např. do těchto oblastí:
1. Funkční deficity
2. Specifické vývojové poruchy
3. Osobnostní vlastnosti dítěte
4. Výukové přístupy
5. Obsah matematického učiva
34
PROČ MAJÍ DĚTI PROBKÉMY V MATEMATICE
V literatuře můžeme nalézt různé pohledy na klasifikaci příčin poruch a problémů
v matematice. Věnují se jí např. Košč, L. (1968), Angermaier, M. (1972), Geary, D.C.
(2004), Novák, J. (2004) aj. My jsme se zaměřili na oblasti, které jsou způsobeny deficity
v oblasti schopností a funkcí analyzátorů, možnostmi výukových postupů a zejména pak
samotného obsahu matematického učiva.
Ad 1. Funkční deficity
a) Nižší inteligence, malá schopnost abstrakce, nedostatečná schopnost logického
myšlení, jednostranné intelektuální nadání, poruchy smyslového vnímání, špatná
paměť, artikulační a řečové potíže aj.
b) Poruchy koncentrace, hyperaktivita, odklon pozornosti, malá odolnost vůči námaze
aj.
c) Zdravotní tělesné handicapy, lehké mozkové dysfunkce, opožděný vývoj.
d) Sociokulturní úroveň, odlišné jazykové prostředí rodiny.
Ad 2. Specifické vývojové poruchy učení
Specifické vývojové poruchy učení bývají definovány jako neschopnost naučit se číst,
psát, počítat pomocí běžných výukových metod. Řadí se mezi ně dyslexie, dysgrafie,
dysortografie, dyskalkulie, déle pak dysmusie, dyspinxie, dyspraxie. Jednotlivé poruchy se
navzájem ovlivňují a bývá běžné, že u dítěte je diagnostikováno více vývojových poruch.
Úspěšnost dětí v matematice ovlivňují zejména dyslexie a dysgrafie. Dyslektik má problémy
se čtením matematického textu i matematických symbolů, pokud neumí číst text
s porozuměním, nechápe např. zadání slovních úloh. Dysgrafik má problémy se zápisem
číslic, čísel v poziční desítkové soustavě, zápisem čísel v algoritmech apod. Dyskalkulie se
projevuje v problémech s chápáním matematických pojmů, čtením a zápisem čísel,
prováděním operací s čísly, práci s jednotkami měr, řešení aplikačních úloh, zobecňováním
apod. Přitom za dyskalkulika považujeme dítě, které má průměrnou až nadprůměrnou
inteligenci, v ostatních předmětech dosahuje výborných výsledků a problémy se projevují jen
v matematice.
Ad 3. Osobnostní vlastnosti dítěte
a) Vlastnosti volní – dítě se nedokáže přimět k soustavné práci, kterou matematika
vyžaduje a nemá ve svém okolí osobu, která by mu napomohla potíže překonat.
b) Nedozrálost ve vývoji – dítě je sociálně zralé, avšak pro určité matematické učivo
ještě není dostatečně vyzrálé, po určitém časovém období však učivo zvládá bez
problémů.
c) Nedůvěra ve vlastní schopnosti, malá samostatnost, pomalost při zvládání úkolů,
ztráta naděje na úspěch, rezignace při neustálém neúspěchu.
d) Psychické bariéry - obavy z písemných prací, pětiminutovek, syndrom bílého papíru,
obavy z některých témat matematiky, obavy z učitele, nervozita, úzkost, neklid.
e) Neschopnost zorganizovat a naplánovat si práci.
35
RŮŽENA BLAŽKOVÁ
f) Nedostatečná příprava na školní vyučování, chybějící domácí pomoc a pochopení,
nedostatek motivace pro učení.
g) Zanedbávání školní docházky, únik před nabízenou pomocí.
Ad 4. Výukové přístupy
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Nepostačující motivace pro dítě – dítě neví, proč se právě toto učivo musí učit.
Styl výuky – nemusí vyhovovat právě tomuto dítěti.
Formalismus v práci učitele, převaha pamětného učení nad porozuměním.
Nepostačující systém opakování učiva.
Chybějící častá zpětná vazba, kterou děti s problémy v matematice potřebují.
Absence pozitivního hodnocení i za menší úspěchy.
Nedostatek empatie, trpělivosti, optimismu učitele.
Problémy s hodnocením a klasifikací.
Ad 5. Obsah matematického učiva
Příčiny problémů v matematice způsobuje sám předmět, neboť je oproti ostatním
předmětům specifický. Jednak je vysoce abstraktní, jednak každý prvek nižší úrovně je
nezbytným předpokladem zvládnutí prvků vyšší úrovně (dítě by nemělo nic z předchozího
učiva zapomenout). Některé problémy (bez nároku na úplnost) je možné uvést z tohoto
hlediska:
a) Problémy v oblasti chápání matematických pojmů, číselných vztahů, čtením a
zápisem čísel i matematických symbolů, uspořádáním, porovnáváním.
b) Problémy v oblasti početních operací – pamětných i písemných algoritmů.
c) Problémy při práci s jednotkami měr.
d) Potíže při řešení slovních a aplikačních úloh.
e) Problémy v oblasti geometrické a prostorové představivosti.
f) Potíže při učení se postupů a strategií.
g) Problémy v zobecňování, chápání funkčních vztahů.
h) Problémy při vyhledávání dat, čtení grafů, diagramů apod.
Není možné pominout také absenci podnětů k chápání kvantity a prostorových vztahů
v předškolním věku, zájem o matematiku dítěte i jeho okolí i absenci pochopení významu
matematiky pro rozvoj osobnosti dítěte i pro každé povolání.
Co napomůže řešit problémy
V první řadě je třeba provést diagnostiku problémů dítěte, zjistit jejich příčiny a s pomocí
odborného pracoviště určit, zda se jedná o specifickou vývojovou poruchu učení nebo o jiný
druh potíží. Dále je třeba provést analýzu úrovně matematických vědomostí dítěte, vzhledem
k ročníku, který navštěvuje. Je třeba vypracovat individuální vzdělávací program, který řeší,
které učivo by mělo dítě zvládnout v nejbližším období, které učivo se uvede informativně,
eventuelně, které učivo je možné, vzhledem k problémům dítěte, vynechat. Plán je skutečně
36
PROČ MAJÍ DĚTI PROBKÉMY V MATEMATICE
individuální, neboť každé dítě má své specifické problémy i jejich příčiny a postup, který se
osvědčí u jednoho dítěte, nemusí být přínosný u jiného dítěte. Vždy je třeba vystihnout jádro
problému a tomu přizpůsobit veškerou nápravu. Výuka se opírá o zážitky, o zapojení všech
smyslů, pokud je to možné. Vždy je třeba přesvědčit se, zda a jak dítě chápe pojmy, zda jsou
vytvořeny správně. Např. problémy dětí zvládání násobilky a dělení často pramení z toho, že
dítě nemá tyto operace správně vyvozeny a že vůbec neví, co má s čísly vlastně dělat. Opora
o pouhé pamětné učení se základních spojů zde selhává. Ve výuce se využívá aktivizujících
metod a manipulativních činností, při kterých si dítě vytváří matematické poznatky
prostřednictvím vlastních činností. K tomu je třeba zajistit dostatek vhodných pomůcek, které
jsou pro dítě přitažlivé a se kterými je schopno pracovat. Pravidelná každodenní práce
v menších kvantech je efektivnější než dlouhé doučování. Postupně je třeba zbavit dítě
strachu z matematiky, dopřát mu úspěch a ohodnotit je za něj. I když je třeba obrovského
nasazení učitele i rodičů a nebetyčné trpělivosti, tak se po svědomité práci a po malých
krůčcích se úspěch dostaví.
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
BLAŽKOVÁ, R., MATOUŠKOVÁ, K., VAŇUROVÁ, M, BLAŽEK, M.: Poruchy
učení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno: Paido, 2007. ISBN 80-8593189-3.
HEJNÝ, M., KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy
k vyučování. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-317-X.
POKORNÁ, V.: Teorie, diagnostika a náprava specifických poruch učení. Praha:
Portál, 1997. ISBN 80-7178-135-5.
ZELINKOVÁ, O.: Pedagogická diagnostika a individuální vzdělávací program.
Praha: Portál, 2004.ISBN 978-80-7367-326-0.
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Dostupné on line:
www.vuppraha.cz.
RNDr. Růžena Blažková, CSc.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta MU
Poříčí 31,
ČR - 603 00 Brno
e-mail: [email protected]
37
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ADDENDUM TO: “SOME APPLICATIONS OF THE MAEDA-OGASAWARAVULIKH REPRESENTATION THEOREM TO DIFFERENTIAL CALCULUS
IN RIESZ SPACES“
ANTONIO BOCCUTO, VALENTIN A. SKVORTSOV
ABSTRACT. We give a proof of a new version of [3, Theorem 4.3] and obtain some Heine-type
theorem on continuous functions. An application to convex functions in Riesz spaces is
presented.
KEY WORDS: Riesz space, global derivative, Maeda-Ogasawara-Vulikh theorem.
1. Introduction
In this paper we present some new version of the results stated in [3], dropping the
hypothesis of super Dedekind completeness of the involved Riesz space and assuming only
Dedekind completeness. We note that the proof of the sufficiency part in [3, Theorem 4.3],
i.e., the proof of the fact that "componentwise differentiability" in the complement of a
meager set implies global differentiability, where the involved "components" are taken
according to the Maeda-Ogasawara-Vulikh representation theorem for Riesz spaces, contains
a gap and we are leaving open the question whether that version of [3, Theorem 4.3], in its
sufficiency part, is true. Here we show that the assertion is true under the further hypothesis
that the "componentwise derivatives" are continuous in the compact interval [ a, b] of the real
line. We prove also a version of the Heine theorem and some results related to Differential
Calculus in Riesz spaces.
2. Preliminaries
We now recall some preliminary concepts and notions (see also [2]). Let R be a
Dedekind complete Riesz space. Given a net ( yη )η∈Λ in R , where ( Λ, ≥) ≠ ∅ is a directed
set, let
lim sup yη = inf [sup yζ ], liminf yη = sup[inf yζ ].
η
ζ ≥η
η
ζ ≥η
η
η
We say that ( yη )η∈Λ order converges (or (o)-converges) to y ∈ R if
y = lim supη yη = lim inf η yη ,
and we write (o) limη∈Λ yη = y . An (o) -net ( yη )η∈Λ is a monotone decreasing net of
elements of R , such that infη∈Λ yη = 0 . In particular this defines also the notions of (o) limit for sequences and of (o) -sequence.
Assumptions 2.1 A Dedekind complete Riesz space R is called an algebra if ( R, R, R ) is a
product triple, namely if there exists a commutative map ⋅ : R × R → R , which we will call
Supported by RFFI-08-01-00669 and by NSh-2787.2008.1
2000 AMS Subject Classification: 28B15, 46G10.
39
ANTONIO BOCCUTO, VALENTIN A. SKVORTSOV
product, such that the distributive laws and usual compatibility with order hold, and, if
( aλ )λ∈Λ is a net (o) -converging to a , then (o) lim λ∈Λ (aλ ⋅ y ) = a ⋅ y , for every y ∈ R .
We denote by Γ = ( R + )[ a ,b ] , the set of all positive real-valued functions, defined on [ a, b] ,
where a, b ∈ R , a < b . We use Γ as a down-directed index set. From now on we suppose
that R is an algebra, and E denotes a nonempty subset of [ a, b] . We recall the following
definitions, which introduce the Differential Calculus in Riesz spaces (see [2]).
Definitions 2.2 We say that f : [ a, b ] → R is globally continuous ( ( g ) -continuous) in E if
there exists an (o) -net ( pγ )γ ∈Γ such that, for all γ ∈ Γ ,
| f ( x + h) − f ( x) |≤ pγ whenever x ∈ E , | h |≤ γ ( x).
A function f : [ a, b] → R is said to be uniformly continuous in E if there is an (o) sequence ( pn ) n with
sup{| f ( x + h) − f ( x) |: x ∈ E ,| h |≤ 1 / n} ≤ pn for all n ∈ N .
A mapping f : [ a, b] → R is globally differentiable in E if there exists a map f ′ : E → R
with
⎡
⎧ f ( x + h) − f ( x )
⎫⎤
− f ′( x) : x ∈ E, 0 <| h |≤ γ ( x) ⎬⎥ = 0.
inf ⎢sup ⎨
γ ∈Γ
h
⎩
⎭⎦
⎣
A map f : [ a, b ] → R is uniformly differentiable in E if there exists a mapping f ′ : E → R
such that
⎡
⎧ f ( x + h) − f ( x )
⎫⎤
inf ⎢sup ⎨
− f ′( x) : x ∈ E, 0 <| h |≤ 1 / n ⎬⎥ = 0.
n
h
⎩
⎭⎦
⎣
A function f : [ a, b ] → R is said to be Lipschitz in [ a, b] if there exists L ∈ R such that
| f (t1 ) − f (t2 ) |≤ L | t1 − t2 | for all t1 , t2 ∈ [a, b] .
Now generalizing the above definitions of global (uniform) continuity and derivative
we introduce the concepts of "global (uniform)” limit, limsup and liminf for R valued maps ϕ = ϕ ( x, h) , where x ∈ [ a, b] and h ∈ R \{0} with | h | small enough.
Definitions 2.3 We say that a global (uniform) limit ( g ) lim h →0 ϕ ( x, h) ( (u ) lim h →0 ϕ ( x, h) )
exists in E and is equal to ψ ( x) if
inf ⎡⎣sup { ϕ ( x, h) −ψ ( x ) : x ∈ E , 0 <| h |≤ γ ( x )}⎤⎦ = 0
γ ∈Γ
(inf ⎡⎣sup { ϕ ( x, h) −ψ ( x) : x ∈ E , 0 <| h |≤ 1 / n}⎤⎦ = 0).
n
We say that
( g )lim sup h→0 ϕ ( x, h) = ϕ ( x) ( ( g )lim inf h→0 ϕ ( x, h) = ϕ ( x) )
is a global limsup (liminf ) in E if there is an (o) -net ( pγ )γ ∈Γ such that, for all γ ∈ Γ and
x∈E ,
40
ADDENDUM TO: “SOME APPLICATIONS OF THE MOV THEOREM ...“
0 ≤ sup {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)} − ϕ ( x) ≤ pγ
(0 ≤ ϕ ( x) − inf {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)} ≤ pγ );
(u )lim sup h→0 ϕ ( x, h) = ϕ ( x) ( (u )lim inf h→0 ϕ ( x, h) = ϕ ( x) )
is a uniform limsup ( liminf ) if ∃ (o) -sequence ( pn ) n such that
0 ≤ sup {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ 1 / n} − ϕ ( x) ≤ pn (0 ≤ ϕ ( x) − inf {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ 1 / n} ≤ pn )
for all n ∈ N and x ∈ E.
We now recall the famous Maeda-Ogasawara-Vulikh representation theorem for Riesz
spaces (see for example [1]).
Theorem 2.4 Every Dedekind complete Riesz space R is algebraically and lattice isomorphic
to an order dense ideal of C∞ (Ω) = { f ∈ R Ω : f is continuous, and
{ω ∈ Ω : f (ω ) = +∞ } is nowhere dense in Ω}, where Ω is a suitable compact Hausdorff
extremally disconnected topological space. Moreover, if we denote by a an element of
C∞ (Ω) which corresponds to a ∈ R under the above isomorphism, then for any family
(aλ )λ∈Λ in R such that a0 := sup λ aλ ∈ R we have a0 (ω ) = supλ [a λ (ω )] in the complement
of a meager subset of Ω The same is true for inf λ aλ .
3. Differential Calculus
We begin with Cauchy-type criteria for the global limit and for the uniform limit. A
criterion for the global case was formulated in [3, Theorem 3.10]. But in the proof of the "if"
part of this theorem there was a misprint (see [3], page 18, lines 4 and 3 from below).
So
we give here a corrected proof.
Theorem 3.1 The ( g ) lim h →0 ϕ ( x, h) ( in E ) exists in R if and only if there is an (o) -net
( pγ )γ ∈Γ with the property that for all γ ∈ Γ
sup ⎡⎣sup {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)} − inf {ϕ ( x, l ) : 0 <| l |≤ γ ( x)}⎤⎦
x∈E
(1)
= sup{| ϕ ( x, h) − ϕ ( x, l ) |: x ∈ E, 0 <| h |,| l |≤ γ ( x)} ≤ pγ .
Proof: Concerning the "only if" part, see [3, Theorem 3.10]. We now turn to the "if" part.
Suppose that the condition (1) is satisfied, and set, for each x ∈ E ,
ϕ ∗ ( x) = inf[sup {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)}], ϕ∗ ( x) = sup[inf {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)}].
γ ∈Γ
γ ∈Γ
Choose arbitrarily γ j ∈ Γ , j = 1, 2 . We get
inf{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ 1 ( x)} ≤ sup{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ 2 ( x)}.
Thus
sup[inf{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ 1 ( x)}] ≤ inf [sup{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ 2 ( x)}]
γ 1∈Γ
γ 2 ∈Γ
for any x ∈ E , and so:
41
ANTONIO BOCCUTO, VALENTIN A. SKVORTSOV
ϕ ∗ ( x) ≥ ϕ∗ ( x) for all x ∈ E.
(2)
Moreover we get
ϕ∗ ( x) ≥ inf{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)} for every x ∈ E, for all γ ∈ Γ.
(3)
From (2), (3) and the hypothesis (1), we get the existence of an (o) -net ( pγ )γ ∈Γ such that
0 ≤ ϕ ∗ ( x) − inf{ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ γ ( x)} ≤ pγ
for each x ∈ E , for any γ ∈ Γ.
Thus ϕ ∗ ( x ) = ( g )lim inf h → 0 ϕ ( x, h) (in E ). Analogously it is possible to check that
ϕ∗ ( x) = ( g )lim sup h→0 ϕ ( x, h) (in E ). Since ϕ ∗ ( x) ≥ ϕ∗ ( x) for all x ∈ E , by [3, Theorem
3.9], it follows that the required ( g ) -limit exists.

The following criterion for the uniform limit can be proved in a similar way.
Theorem 3.2 The uniform limit (u ) lim h→0 ϕ ( x, h) ( in E ) exists in R if and only if there
is an (o) -sequence ( pn ) n with the property that for all n ∈ N
sup ⎡⎣sup {ϕ ( x, h) : 0 <| h |≤ 1 / n} − inf {ϕ ( x, l ) : 0 <| l |≤ 1 / n}⎤⎦
x∈E
(4)
= sup {| ϕ ( x, h) − ϕ ( x, l ) |: x ∈ E , 0 <| h |,| l |≤ 1 / n} ≤ pn .
We now recall the following result.
Proposition 3.3 ([2, Proposition 3.4]) Let f = f ( x) and ϕ = ϕ ( x, h) be two R -valued
maps. We have ( g )lim inf ϕ ( x, h) ≥ f ( x)
h →0
in E if and only if there is an (o) -net ( pγ )γ
such that ϕ ( x, h) ≥ f ( x) − pγ for all γ ∈ Γ , x ∈ E and whenever 0 <| h |≤ γ ( x) .
Theorem 3.4 If ( g )lim inf h →0 ϕ ( x, h) ≥ ϕ ( x) ( ( g )lim sup h→0 ϕ ( x, h) ≤ ϕ ( x) ) in E ,
then
lim inf [ϕ ( x, h)(ω )] ≥ ϕ ( x )(ω )( lim sup [ϕ ( x, h)(ω )] ≤ ϕ ( x)(ω ) ) in E
h→0
h→0
in the complement of a meager subset of Ω .
Proof: We prove the assertion only in the case of liminfs, since the case of limsups is
analogous. By Proposition 3.3, there is an (o) -net ( pγ )γ ∈Γ with ϕ ( x, h) ≥ ϕ ( x) − pγ for
each γ ∈ Γ , x ∈ E and whenever 0 <| h |≤ γ ( x) , and so
ϕ ( x, h)(ω ) ≥ ϕ ( x)(ω ) − pγ (ω )
for any ω ∈ Ω , γ ∈ Γ , x ∈ E and 0 <| h |≤ γ ( x) . The assertion follows again by
Proposition 3.3, since, by Theorem 2.4, the net ( pγ (ω ))γ ∈Γ is an (o) -net in the complement
of a meager subset of Ω .

The next results are consequences of Theorem 3.4.
42
ADDENDUM TO: “SOME APPLICATIONS OF THE MOV THEOREM ...“
Theorem 3.5 If an R -valued function ϕ ( x, h) admits ( g ) -limit in E as h → 0 , then the
set W0 := {ω ∈ Ω : lim h→0 ϕ ( x, h)(ω ) ∃ in R for every x ∈ E} is such that Ω \ W0 is
meager in Ω . In this case, for every ω ∈ W0 ,
[( g ) lim ϕ ( x, h)](ω ) = lim[ϕ ( x, h)(ω )].
h →0
h →0
Proposition 3.6 If f : [a, b] → R is ( g ) -continuous in E , then the functions f (⋅)(ω ) are
continuous in E for all ω in the complement of a meager subset of Ω .
Proposition 3.7 If f : [a, b] → R is ( g ) -differentiable in E , then f (⋅)(ω ) is differentiable
in E for all ω in the complement of a meager set N ⊂ Ω independent of x ∈ E . In this
case [ f ′(⋅)](ω ) = [ f (⋅)(ω )]′ =
d
[ f (⋅)(ω )] for ω ∉ N and x ∈ E .
dx
Indeed, it is enough to apply Theorem 3.5 to the function
ϕ ( x, h) =
f ( x + h) − f ( x )
.
h
Proposition 3.8 Let f : [a, b] → R be bounded, and f (⋅)(ω ) be continuous in [a, b] for ω
in the complement of a meager subset of Ω . Then f is uniformly continuous in [a, b] .
Proof: First of all note that, since R is Dedekind complete and f is bounded, the quantity
inf[sup{| f ( x) − f (t ) |:| t − x |≤ 1 / n}] does exist in R , and f (⋅)(ω ) is real-valued in the
n
complement of a nowhere dense set (independent of x ∈ [a, b]) . Observe now that, thanks to
the Heine theorem, every continuous real-valued function defined on [a, b] is there
uniformly
continuous.
By
virtue
of
Theorem
2.4
we
get:
{inf[sup{| f ( x) − f (t ) |:| t − x |≤ 1 / n}]}(ω ) = inf{[sup{| f ( x) − f (t ) |:| t − x |≤ 1 / n}](ω )}
n
n
= inf[sup{| f ( x)(ω ) − f (t )(ω ) |:| t − x |≤ 1 / n}] = 0 in the complement of meager sets.
n
Since the complement of every meager subset of Ω is dense in Ω , we obtain
inf[sup{| f ( x) − f (t ) |:| t − x |≤ 1 / n}] = 0,
n
that is uniform continuity of f .

A consequence of Propositions 3.6 and 3.8 is this version of the Heine theorem.
Corollary 3.9 A function f : [a, b] → R is ( g ) -continuous in [a, b] if and only if it is
uniformly continuous in [a, b] .
Theorem 3.10 Let f : [a, b] → R be Lipschitz, and such that f (⋅)(ω ) is uniformly
differentiable in [a, b] with ω in the complement of a meager subset of Ω . Then f is
uniformly differentiable in [a, b] , and
[ f ′(⋅)](ω ) = [ f (⋅)(ω )]′ =
d
[ f (⋅)(ω )] in [a, b]
dx
for all ω ∈ Ω with the exception of meager sets.
43
ANTONIO BOCCUTO, VALENTIN A. SKVORTSOV
Proof: By the Cauchy criterion 3.2 we know that
⎡
⎧ f ( x + h)(ω ) − f ( x)(ω ) f ( x + l )(ω ) − f ( x)(ω )
inf ⎢sup ⎨
−
:
n
h
l
⎩
⎣
x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n}⎤⎦ = 0
for each fixed ω belonging to the complement of a meager subset of Ω .
As f is Lipschitz, for every n ∈ N we get
(5)
⎧ f ( x + h) − f ( x ) f ( x + l ) − f ( x )
⎫
sup ⎨
−
: x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n ⎬ ∈ R.
h
l
⎩
⎭
Thanks to Theorem 2.4 and (5), we have in the complement of a meager set:
⎧ ⎡
⎧ f ( x + h) − f ( x ) f ( x + l ) − f ( x )
⎫⎤ ⎫
−
: x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n ⎬ ⎥ ⎬ (ω )
sup ⎨
⎨inf
⎢
h
l
⎩
⎭⎦ ⎭
⎩ n ⎣
⎡⎛
⎤
⎧ f ( x + h) − f ( x ) f ( x + l ) − f ( x )
⎫⎞
= inf ⎢⎜ sup ⎨
−
: x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n ⎬ ⎟ (ω ) ⎥
n
h
l
⎩
⎭⎠
⎣⎝
⎦
⎡
⎧ f ( x + h)(ω ) − f ( x)(ω ) f ( x + l )(ω ) − f ( x)(ω )
= inf ⎢sup ⎨
−
:
n
h
l
⎩
⎣
x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n}⎤⎦ = 0.
Hence
⎡
⎧ f ( x + h) − f ( x ) f ( x + l ) − f ( x )
⎫⎤
−
: x ∈ [a, b], 0 <| h |,| l |≤ 1 / n ⎬⎥ = 0,
inf ⎢sup ⎨
n
h
l
⎩
⎭⎦
⎣
since the complement of any meager subset of Ω is dense. The assertion follows from this

and the Cauchy criterion 3.2 again.
Lemma 3.11 Let f : [a, b] → R be differentiable with continuous derivative in [a, b]. Then
f is uniformly differentiable in [a, b] .
Proof: We report it for the sake of clearness for the reader. Choose arbitrarily n ∈ N , and let
0 <| t − x |≤ 1 / n . By virtue of the mean value theorem, there exists a point ξ , belonging to
the open interval whose endpoints are t and x , such that
f (t ) − f ( x)
= f ′(ξ ).
t−x
Since | ξ − x |≤ 1 / n , we get, for a suitable (o) -sequence ( pn ) n :
⎧ f (t ) − f ( x)
⎫
− f ′( x) : 0 <| t − x |≤ 1 / n ⎬
0 ≤ sup ⎨
t−x
⎩
⎭
≤ sup{| f ′(v) − f ′( x) |:| v − x |≤ 1 / n} ≤ pn ,
the last inequality holding by uniform continuity of f ′ . Thus the assertion follows.

A consequence of Proposition 3.8, Theorem 3.10 and Lemma 3.11 is the following
theorem.
44
ADDENDUM TO: “SOME APPLICATIONS OF THE MOV THEOREM ...“
Theorem 3.12 Let f : [a, b] → R be Lipschitz and f (⋅)(ω ) have a continuous derivative in
[a, b] for all ω in the complement of a meager subset of Ω . Then f is uniformly
differentiable in [a, b] with f ′ uniformly continuous in [a, b] , and
[ f ′(⋅)](ω ) = [ f (⋅)(ω )]′ =
d
[ f (⋅)(ω )] in [a, b]
dx
for all ω ∈ Ω with the exception of a meager set.
As an application to convex functions, we give the following
Theorem 3.13 Let f : [a, b] → R be a convex function, ( g ) -differentiable in [a, b] . Then
f ′ is ( g ) -continuous in [a, b] .
Proof: First, consider R = R . Since f ′ is increasing in [a, b] , there exist in R the limits
limt → x+ f ′(t ) , limt → x− f ′(t ) for any x ∈]a, b[ . Let now x ∈]a, b[ .Then, by the mean value
theorem,
f (t ) − f ( x)
f (t ) − f ( x)
= lim+ f ′(t ) = f ′( x) = lim− f ′(t ) = lim−
.
t→x
t→x
t→x
t→x
t−x
t−x
An analogous result holds, if x = a ,b. Thus the assertion follows, at least when R = R . For
f ( x )− f ( a )
the general case, note that the function x
is increasing in ]a, b] , and
x−a
f ( x) − f (a)
f ′(a) = inf
.
x∈] a ,b ]
x−a
lim+
Let now
⎧
f (b) − f (a ) ⎫
L = sup ⎨| f ′(a ) |,
⎬.
b−a
⎩
⎭
For every x ∈]a, b] we get
f ( x) − f (a )
⋅ ( x − a)+ | f (a ) |≤ L ⋅ (b − a)+ | f (a) | .
x−a
Thus f is bounded in [a, b] , and hence there is a nowhere dense set Q ⊂ Ω such that the
map f (⋅)(ω ) is real-valued and convex for each ω ∉ Q. By Proposition 3.7 there exists a
meager set N ⊂ Ω , w.l.o.g. N ⊃ Q ,with
[ f ′(⋅)](ω ) = [ f (⋅)(ω )]′ in [a, b] for all ω ∉ N .
By this theorem applied to R= R and f (⋅)(ω ) , ω ∉ N ,
[ f ′(⋅)](ω ) = [ f (⋅)(ω )]′
is continuous in [a, b] for all ω ∉ N . From this and Proposition 3.8 it follows that f ′ is
uniformly continuous, and a fortiori ( g ) -continuous, in [a, b] . This completes the proof. 
| f ( x) |≤
REFERENCES
[1]
S. J. Bernau: Unique representation of Archimedean lattice groups and normal
Archimedean lattice rings, Proc. London Math. Soc. 15 (1965), 599-631.
45
ANTONIO BOCCUTO, VALENTIN A. SKVORTSOV
[2]
[3]
A. Boccuto – A. R. Sambucini – V. A. Skvortsov: Integration by parts for Perron type
integrals of order 1 and 2 in Riesz spaces, Res. Math. 51(2007), 5-27.
A. Boccuto – V. A. Skvortsov: Some applications of the Maeda-Ogasawara-Vulikh
representation theorem to Differential Calculus in Riesz spaces, Acta Math. (Nitra) 9
(2006), 13-24.
Doc. Dr. Antonio Boccuto, PhD.
Università di Perugia
Via Vanvitelli, 1
I – 06123 Perugia (Italy)
e-mail: [email protected]
Valentin A. Skvortsov
Instytut Matematyki
Universytet K azimierza Wielkiego
PL – 85065 Bydgoszcz (Poland)
Department of Mathematics
Moscow State University
RU – 119991 Moscow(Russia)
e-mail: [email protected]
46
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ZVYŠOVANIE AKTIVITY PRI VÝUČBE MATEMATIKY
MÁRIA BRANICKÁ, MILAN STACHO
ABSTRACT. In this paper, we discuss the effects of the recent introduction of alternative
methods of teaching in undergraduate university programs, the goal of which was to activate
students and improve their academic results. The outcomes of our study are expressed
quantitatively and are compared with the results from teaching using the traditional teaching
methods.
1. Úvodom
V praxi vyučovania matematiky na vysokých školách často prevláda schéma prednáška –
cvičenie, ktorá je najčastejšie vykonávaná frontálnou metódou. Pri súčasnom stave vedomostí
z matematiky [3] hľadáme metódy, ktoré by aktivizovali študentov. Hlavnou úlohou, ktorú
sme si dali, bolo aktivizovať priebežnú prácu študentov počas semestra, pretože učebná látka
v matematike na seba veľmi tesne naväzuje a priebežná nečinnosť počas semestra spôsobuje,
že študent po určitej dobe nie je schopný ani sledovať prednášky a potom na daný predmet
rezignuje.
2. Zmena metódy výučby
Neuspokojivé výsledky skúšok, ktoré sa prejavovali hlavne v častom opakovaní skúšok
a to často aj dva krát, nás viedli k zmenám metódy výučby na cvičeniach z predmetu
matematika. Metóda, ktorú sme predtým používali (klasická frontálna) sa ukazovala pri
súčasnom stave vedomostí a záujmu o teoretické predmety v príprave bakalárov technických
a ekonomických programov málo účinná.
Na začiatku semestra boli študentom podľa študijného plánu určené témy na cvičenia,
ktoré boli personifikované vždy pre dvojicu študentov. Úlohou bolo stručne zopakovať
základné výsledky z prednášky, pripraviť a vzorovo prepočítať príklady k danej téme. Tým
boli referujúci prinútení pracovať s literatúrou a mať aj vedomosti s predchádzajúcich tém,
pretože náväznosť tém v matematike je veľmi tesná. Úlohou učiteľa bolo viesť a opravovať
prípadné nepresnosti, lebo nie všetci študenti boli schopní danú tému úplne obsiahnuť. Ale
zavedenie tejto metódy viedlo k vyššej aktivite aj ostatných poslucháčov. Táto príprava
študentov motivovala aj preto, lebo jednotlivé vystúpenia boli klasifikované (ohodnotené
bodmi) a tvorili súčasť celkového záverečného hodnotenia študenta (skúška).
Všeobecne možno konštatovať, že skoro každá zmena metódy vyvolá pozornosť
poslucháčov. Dôležité je, aby si zmenu metódy osvojili. Klasifikácia metód vyučovania sa
u rôznych autorov zavádza rozličnými spôsobmi. Podľa [1] sme nazvali túto metódu
kolaboratívno - kooperatívna metóda (K-K metóda). Táto metóda bola používaná posledné tri
roky u približne rovnakej vzorky študentov. Je dôležité, aby sa stimulovala samostatná práca,
práca s literatúrou, pretože bohužiaľ tieto návyky zo strednej školy veľká časť študentov
nemá. Špecifikom práce matematika na vysokých školách technického a ekonomického
charakteru je aj to, že študenti považujú základné teoretické predmety za príťaž a „nutné zlo“
ktoré musia absolvovať a často hlavne menej úspešní prídu na skúšku s tvrdením: „mám už
47
MÁRIA BRANICKÁ, MILAN STACHO
všetko, len tá matematika“. I keď vo svojej práci využívame aplikácie matematiky, ich plný
rozsah vidia študenti až vo vyšších ročníkoch štúdia, i keď niektoré „odborné“ predmety sa
využitiu matematiky radšej vyhnú aj keď je to pre daný predmet vhodné, niekedy až
potrebné.
3. Výsledky
Táto metóda bola zavedená v predmete 11M14 Pravdepodobnosť a matematická
štatistika, ktorý má rozsah tri hodiny prednášky a tri hodiny cvičení v letnom semestri na
bakalárskom štúdiu študijných programov Poštové služby a Elektronický obchod
a manažment.
Podľa
informačného
listu
tohto
predmetu
(http://vzdelavanie.uniza.sk/vzdelavanie/planinfo.php?kod=94600) v záverečnom hodnotení
študenta má podiel práca počas semestra 40%, ktoré môžu získať z priebežných písomných
prác (30bodov +10 bodov za aktivitu, príp vystúpenie s referátom) čo v praktickej aplikácii
realizujeme 40 bodmi (zisk 50% znamená úspešné ukončenie predmetu).
V tabuľkách 1. a 2. sú uvedené výsledky študentov, ktorí ukončili semester, t. j.
zúčastnili sa skúšok.
Akademický rok 2007/2008
št skupina
použitá metóda
14111
14112
14113
16111
16112
16113
16114
frontálna metóda
frontálna metóda
frontálna metóda
frontálna metóda
K-K metóda
K-K metóda
K-K metóda
počet
študentov
priemer bodov
z cvičení
14
14
9
20
21
13
15
Tabuľka 1.
počet úspešných
na 1. termín
20,9
14
8,8
17,9
18,9
21,4
21,6
8
6
1
5
7
8
7
priemer bodov
z cvičení
počet úspešných
na 1. termín
Akademický rok 2008/2009
št skupina
použitá metóda
14111
14112
14113
16111
16112
16113
16114
frontálna metóda
frontálna metóda
frontálna metóda
K-K metóda
K-K metóda
K-K metóda
K-K metóda
počet
študentov
16
20
12
15
20
20
22
Tabuľka 2.
13,6
15,5
16,4
32,2
28,2
36,3
30,3
6
9
7
11
14
14
14
Tabuľky 3. a 4. obsahujú štatistické vyjadrenie úspešnosti používaných metód
v sledovaných akademických rokoch.
48
ZVYŠOVANIE AKTIVITY PRI VÝUČBE MATEMATIKY
Akademický rok 2007/2008
použitá metóda
frontálna metóda
K-K metóda
priemer
bodov z
cvičení
percento úspešnosti
na 1. termín
15,4
20,6
Tabuľka 3.
35,1
44,9
Akademický rok 2008/2009
použitá metóda
frontálna metóda
K-K metóda
priemer
bodov z
cvičení
percento úspešnosti
na 1. termín
15,2
31,8
Tabuľka 4.
45,8
68,8
4. Záver
Zavedenie nových metód vzbudzuje vždy pozornosť a pozitívnu alebo negatívnu
reakciu. Prvým prelomom v hodnotení matematických predmetov bolo kvantitatívne
zohľadnenie výsledkov počas semestra v záverečnom hodnotení. Tu bola reakcia
študentov skôr pozitívna, ako reakcia mnohých skúšajúcich. Či tieto negatívne
postoje niektorých učiteľov boli založené na nedôvere ku kolegom, ktorí viedli
cvičenia alebo iné dôvody, nebolo vždy jasné. Ďalší prenos zodpovednosti za
systematickú prácu na študentov však mal kladnú odozvu. Po prvom roku zavedenia
sa študenti presvedčili, že aktívny prístup im prináša prospech v záverečnom
hodnotení. Aj aktivita v druhom roku a tomu adekvátne výsledky svedčia o tom že
tento proces bol efektívnejší. Dôvodom boli aj jasné pravidlá a ich dodržiavanie tak
zo strany študentov ako aj učiteľov.
LITERATÚRA
[1]
Darina Stachová: Frontálna vs. kolaboratívna metóda výučby geometrie na VŠ,
Sborník z 30. konference o matematice na VŠTEZ a 16. konference studentů
v matematice na VŠTEZ : 15.-17. září 2008, Lázně Bohdaneč, Praha, Jednota českých
matematiků a fyziků, 2008, ISBN 978-80-7015-002-3
[2]
Darina Stachová, Mária Vojteková: Zvyšovanie efektívnosti vyučovania matematiky
pomocou nových motivačných stimulov, Žilinská didaktická konferencia
s medzinárodnou účasťou, zborník príspevkov z konferencie, Žilina, Žilinská
univerzita, 2004, ISBN 80-8070-271-3
[3]
Mária Branická, Danuše Guttenová, Milan Stacho, Mária Vojteková: Úroveň
vedomostí z matematiky a ich ďalší vplyv na štúdium na fakulte PEDaS, 2. žilinská
49
MÁRIA BRANICKÁ, MILAN STACHO
didaktická konferencia s medzinárodnou účasťou, Žilina, Žilinská univerzita, 2005,
ISBN 80-8070-429-5
RNDr. Mária Branická, PhD.
Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky
Oddelenie aplikovanej matematiky
Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov
Žilinská Univerzita v Žiline
Univerzitná 1
SK – 010 26 Žilina
e-mail: [email protected]
RNDr. Milan Stacho, PhD.
Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky
Oddelenie aplikovanej matematiky
Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov
Žilinská Univerzita v Žiline
Univerzitná 1
SK – 010 26 Žilina
e-mail: [email protected]
50
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ ZPŮSOB VÝKLADU V UČEBNICÍCH
MATEMATIKY NA SŠ
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ, PETR EMANOVSKÝ
ABSTRACT. The paper shows inductive and deductive approaches used in textbooks on Mathematics in
secondary schools. The usage percentage of inductive and deductive approaches is also provided and it is
based on the analysis of textbooks.
Zavádění abstraktních matematických pojmů v rámci školské matematiky bývá často
vystaveno nebezpečí formalismu, zvláště při tradičním předávání „hotových poznatků“.
Tento jev lze pozorovat zejména při některých vysokoškolských přednáškách, kdy se
přednášející často striktně drží výkladové struktury „definice-věta-důkaz“. Autoři článků (5)
a (10) upozorňují na některá specifika vysokoškolského studia matematiky a doporučují
alespoň občas uplatnit i některé netradiční postupy. I na vysoké škole, a u učitelských
studijních oborů zvláště, by mělo být studentům ukázáno, jak vznikaly teorie, které jsou jim
v rámci jednotlivých matematických disciplín prezentovány. Toho lze dosáhnout například
uplatňováním experimentálně induktivní metody, která je popsána v (11) a (12). Studenti by
se měli naučit zkoumat určité matematické situace a na základě vlastního zkoumání
vyslovovat problémy a hypotézy. Induktivní postup by pak měl být završen dokázáním
hypotézy, tedy zpětnou dedukcí. Induktivní cesta je sice časově náročnější, ale na druhé
straně obsahuje ničím nenahraditelné činnosti zkoumání, vyslovení hypotézy a její ověřování.
Vyučující by se měl při tom snažit maximálně aktivizovat studenty a jeho pomoc by se měla
omezit pouze na nezbytně nutnou míru. Ve výuce matematiky na střední škole má
samozřejmě uplatnění experimentálně induktivního přístupu ještě mnohem větší význam
vzhledem k nižšímu věku studentů. V článku (1) je popsán průběh a výsledky výzkumu,
jehož cílem bylo zjistit možnosti využití experimentálně induktivních a deduktivních metod
jako prostředku pro efektivnější matematické vzdělávání na střední škole. V rámci výzkumu
bylo provedeno porovnání efektivity netradičních metod s metodami tradičními, kdy jsou žáci
pouze seznamováni s matematickými poučkami a vzorci, aniž by poznali radost z jejich
objevování. Výsledky popsaného výzkumu potvrdily hypotézu, která předpokládala, že
experimentálně induktivní a deduktivní přístup k výuce matematiky na středních školách je
efektivnější a pro studenty zajímavější než přístup tradiční. Následující článek je zaměřen na
rozbor některých vybraných středoškolských učebnic matematiky z hlediska zastoupení
induktivních a deduktivních metod
•
Rozbor učebnic
Předmětem rozboru byly dvě nejpoužívanější řady učebnic matematiky pro střední školy a to:
Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 1. –
6. část nakladatelství SPN a Matematika pro gymnázia (ucelená řada) nakladatelství
Prometheus (viz použité zdroje).
Cílem rozboru bylo zmapování četnosti výskytu induktivních a deduktivních metod
použitých při výkladu a zjištění zastoupení úloh uplatňujících induktivní resp. deduktivní
přístupy ve všech výše zmíněných učebnicích.
51
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ, PETR EMANOVSKÝ
Výzkum si nekladl za cíl kompletní evaluaci výše zmíněných učebnic, ale pouze zmapování
použitých výkladových a procvičovacích prostředků co do četnosti a druhu metod. Vlastní
rozbor učebnic byl zaměřen na dvě části učebnic: výkladovou část a procvičovací část.
•
Výkladová část učebnic
U této části učebnic byl zkoumán výkladový text včetně toho, byla-li při výkladu použita
motivace či nikoli. Při počáteční analýze byl výkladový text všech zkoumaných učebnic
rozčleněn do čtyř základních výkladových prostředků (přímý výklad, nepřímý výklad,
výklad pomocí úkolů a heuristické strategie) a každá ze skupin dále rozdělena do dvou
podskupin (s motivací a bez motivace). Charakteristiky jednotlivých skupin uvádí tabulka
číslo 1.
Výkladový prostředek
přímý výklad
nepřímý výklad
výklad pomocí úkolů
heuristická strategie
Charakteristika
Autor vykládá pojmy přímo, zavádí nové
pojmy, vyslovuje definice, následuje
procvičování.
Autor k výkladu používá řešení příkladu, při
jehož řešení narazí na nový problém, který
dále definuje (např. x2=-1 apod.), autor řeší
příklady sám, nedává prostor čtenáři,
odvozuje vzorce apod.
Autor čtenáři zadává úkol (problém: vyslovte
definici funkce, nakreslete graf dané funkce
apod.), předpokládá přitom aktivní spolupráci
čtenáře, který má dané úkoly splnit a až poté
pokračovat ve čtení textu. V dalším textu
může být uvedeno správné řešení, soubor
všech úkolů poté vede k novému poznání,
autor sám vše shrne.
Autor zadá čtenáři určitý problém a
předpokládá aktivní spolupráci se čtenářem,
který je nucen hledat řešení, je veden
k vyslovení hypotéz a jejich následném
ověření, autor může čtenáře vést ke
správnému řešení.
Tabulka 1: Charakteristika výkladových prostředků
Z charakteristik výkladových prostředků vyplývá, že první dva výkladové prostředky
(přímý a nepřímý výklad) nelze pokládat za induktivní nebo deduktivní metody. Autor
čtenáři neposkytuje cíleně žádný prostor pro vlastní úvahy nebo vlastní způsob řešení, pouze
sděluje určité informace. Autorovým cílem je předložit čtenáři ucelený zdroj vědomostí, které
čtenář více či méně pasivně přijímá. Následující dva výkladové prostředky (výklad pomocí
úkolů, heuristická strategie) rozkryjme podrobněji.
Při metodě „Výklad pomocí úkolů“ autor přímo předpokládá čtenářovu účast. Nutí čtenáře
aktivně se podílet na řešení problémů a tím si osvojit potřebné vědomosti a dovednosti.
Čtenář musí nacházet řešení na základě svých předešlých zkušeností a přímo se podílet na
objevování dílčích řešení zadaných problémů. Konečné shrnutí, popřípadě ověření všech
52
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ ZPŮSOB VÝKLADU V UČEBNICÍCH NA SŠ
nově získaných poznatků je opět v rukou autora. Tuto metodu lze označit jako induktivní
metodu.
Poslední metoda „Heuristická strategie“ jde v konečném důsledku ještě dál. Čtenáři je
předložen problém, který je nucen vyřešit. Čtenář sám musí vymyslet strategii řešení úlohy,
je nucen vyslovit hypotézy a poté musí sám ověřit jejich platnost. Autor v tomto případě
poskytuje čtenáři jakési vedení, které mu pomáhá vyřešit daný úkol. Tato metoda výkladu je
pro čtenáře velmi náročná, ale poskytuje čtenáři obrovský prostor pro vlastní
sebezdokonalování a rozvíjí komplexní pochopení dané problematiky. Navíc všechna správná
řešení, která student vymyslí sám, mají obrovský motivační účinek. Heuristická strategie se
zpravidla používá pro úlohy, které mají za úkol propojit dílčí části učiva a pomoci čtenáři,
aby si sám vytvořil ucelenou představu o probíraných tématech (např. Matematika 6, kolektiv
autorů, SPN Praha 1987 kapitola: Hypotézy a jejich ověřování, str. 254). Tuto metodu lze
označit jako induktivní a deduktivní.
Dále bylo u každého výkladového prostředku zkoumáno, je-li čtenář autorem učebnice nějak
motivován. Ve všech uvedených učebnicích autoři používali nejrůznější formy motivování,
od zmínění praktického využití získaných poznatků v matematice či jiných předmětech a
reálných situacích, po mapování historického vývoje daných pojmů. Mezi různými formami
motivace nebyly činěny žádné rozdíly. Vždy bylo pouze zaznamenáno, zda autor libovolnou
formu motivace u daného výkladového prostředku použil či nikoli.
Vlastní výzkum spočíval ve zjištění procentuálního zastoupení jednotlivých metod ve všech
učebnicích. Jako základ byl použit počet všech kapitol ve všech knihách (nebo jejich částí) a
jako procentová část byl použit počet využití dílčích výkladových prostředků ve všech
učebnicích.
Pro ucelenější přehled o používání výkladových prostředků ve všech uvedených učebnicích
byla na základě rozboru učebnic vytvořena tabulka a graf. Tabulka číslo 2 uvádí procentuální
zastoupení námi definovaných výkladových prostředků v obou řadách učebnic matematiky
pro střední školy.
VÝKLADOVÉ
PROSTŘEDKY
Přímý výklad [%]
Nepřímý výklad [%]
bez motivace
s motivací
bez motivace
s motivací
31
34,4
1,5
24,5
Výklad pomocí úkolů [%]
Heuristická strategie [%]
bez motivace
s motivací
bez motivace
s motivací
1
7
0
0,6
Tab. 2: Procentuální zastoupení výkladových prostředků ve všech učebnicích
Z této tabulky byl vygenerován graf číslo 1, který procentuální zastoupení výkladových
prostředků ve všech učebnicích převádí do přehledné grafické podoby.
53
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ, PETR EMANOVSKÝ
[% ]
LEGENDA
1. Přímý výklad bez motivace
2. Přímý výklad s motivací
3. Nepřímý výklad bez motivace
4. Nepřímý výklad s motivací
5. Výklad pomocí úkolů bez motivace
6. Výklad pomocí úkolů s motivací
7. Heuristická strategia bez motivace
8. Heuristická strategia s motivací
45
34,4
31
30
24,5
15
7
1,5
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0,6
8 [č. kat.]
Graf 1: Procentuální zastoupení výkladových prostředků ve všech učebnicích
Závěr části 1.1
Z výsledků je patrné, že každý autor preferuje různé přístupy k výkladu, které používá při
psaní učebnic. Nejvíce byly ve všech učebnicích zastoupeny tyto výkladové prostředky:
přímý výklad s motivací (34,4 %), přímý výklad bez motivace (31 %) a nepřímý výklad
s motivací (24,5 %). Induktivní a deduktivní výkladové prostředky jsou ve všech sledovaných
učebnicích zastoupeny jen řídce. Nejvyšší četnost jsme zaznamenali u výkladového
prostředku výklad pomocí úkolů s motivací (7 %). Učebnice, ve kterých jsou induktivní a
deduktivní výkladové prostředky používány nejvíce, jsou: Matematika pro SOŠ a SOU 6.
část a Goniometrie, Funkce a Posloupnosti a řady, vše učebnice pro gymnázia. Tyto dvě
učebnice jako jediné používají při výkladu i Heuristické strategie.
•
Procvičovací část učebnic
Vzhledem k velkému počtu příkladů ve všech učebnicích, jsme nejprve vytvořili jejich
jednotlivé kategorie. Množinu všech příkladů použitých v učebnicích jsme rozdělili na tři
kategorie: otázka, výpočet, induktivní a deduktivní úlohy (jejich charakteristiku uvádí tabulka
číslo 3).
Rozbor této části učebnic se zaměřil na druhy příkladů, které jsou ve cvičeních
používány. Přímo se zaměřil na četnost těch úloh, které vyžadují od řešitele použití
induktivních nebo deduktivních postupů řešení tak, jak je charakterizuje tabulka č. 2.
Abychom získali přehled o používání tohoto druhu příkladů v učebnicích, vypočítali jsme
procentuální zastoupení induktivních a deduktivních úloh v jednotlivých učebnicích. Za
procentovou část byl brán počet námi sledovaných úloh a jako základ posloužil počet všech
úloh v učebnici.
54
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ ZPŮSOB VÝKLADU V UČEBNICÍCH NA SŠ
Název kategorie
otázka
výpočet
induktivní a
deduktivní úlohy
Charakteristika
Jedná se o úlohy, které
vyžadují přímou odpověď.
Není nutné nic počítat.
Řešitel používá k řešení
známý výpočet, pouze
procvičuje známé postupy.
Čtenář musí hledat postup
řešení, vyslovovat hypotézy,
dokazovat je, ověřovat nebo
dokazovat objevená, nebo
předložená tvrzení.
Příklad úlohy
Vysvětli pojem: Definiční obor
funkce.
Vypočítejte prvních pět členů
aritmetické posloupnosti, když
víte: a1 = 2 a d = 3.
Dokažte větu.
Zkoumejte dělitelnost čísel n2 +
5n + 6, kde n je celé kladné
číslo. Vyslovte hypotézu. (str.
258: Odvárko, Calda,
Koloušková, Řepová,:
Matematika 6, SPN 1987.)
Tab. 3: Charakteristika kategorií použitých příkladů
U jednotlivých typů příkladů jsme nerozlišovali, šlo-li pouze o induktivní, nebo pouze o
deduktivní charakter úlohy. Námi sledované příklady mohli mít jen induktivní charakter
(např. odvození vzorce, vyslovení hypotézy) nebo pouze deduktivní charakter (např. dokažte,
že platí vzorec) nebo kombinaci obou přístupů. Pro ilustraci výpočtu uveďme následující
příklad:
V učebnici Posloupnosti a řady:
• počet všech úloh 136
• počet induktivních a deduktivních úloh je 26:
26
136
pp = 19,1%
pp =
Tedy procentuální zastoupení induktivních a deduktivních úloh v učebnici Posloupnosti a
řady je 19,1 procent. V následující tabulce číslo 4 jsou uvedeny počty procent zastoupení
induktivních a deduktivních úloh v jednotlivých učebnicích.
Číslo
učebnice
Název učebnice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Matematika pro SOŠ a SOU 1. část
Matematika pro SOŠ a SOU 2. část
Matematika pro SOŠ a SOU 3. část
Matematika pro SOŠ a SOU 4. část
Matematika pro SOŠ a SOU 5. část
Matematika pro SOŠ a SOU 6. část
Posloupnosti a řady
Funkce
Analytická geometrie
Zastoupení
induktivních a
deduktivních úloh
v%
1,5
1
11,5
3
0
6
19
2
2
55
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ, PETR EMANOVSKÝ
10
11
12
13
14
15
16
Diferenciální a integrální počet
Komplexní čísla
Planimetrie
Rovnice a nerovnice
Stereometrie
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Goniometrie
3
18
13
0,8
6,2
6,7
8,1
Tab. 4: Procentuální zastoupení induktivních a deduktivních úloh v jednotlivých učebnicích
Z této tabulky byl opět vygenerován graf číslo 2, který procentuální zastoupení
induktivních a deduktivních úloh ve všech učebnicích převádí do grafické podoby. Z důvodu
přehlednosti jsou v grafu číslo 2 uvedeny namísto názvů jednotlivých knih pouze jim
přiřazená čísla, přičemž jednotlivá přiřazení čísel jsou uvedena v předcházející tabulce číslo
4.
[% ]
25
19
20
18
15
13
11,5
10
8,1
6
5
3
1,5
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
6,7
14
15
3
0,8
0
0
1
2
6,2
10
11
12
13
16
[č. knihy]
Graf 2: Procentuální zastoupení induktivních a deduktivních úloh v učebnicích matematiky
Závěr části 1.2
Učebnice s nejvyšším zastoupením induktivních a deduktivních úloh jsou: Posloupnosti a
řady (19 %), Komplexní čísla (18 %) a Planimetrie (13 %) vše učebnice pro gymnázia. U
učebnic pro SOŠ a SOU má největší podíl zastoupení těchto úloh Matematika pro SOŠ a
SOU 3. část (11,5 %), která tématicky zahrnuje následující kapitoly: Funkce, Goniometrie a
trigonometrie a Stereometrie. Vzniká přirozená otázka, zda-li je zastoupení netradičních
metod v učebnicích matematiky dostačující, případně zda by zvýšení podílu těchto metod
přispělo k zefektivnění výukového procesu. Seriózní odpověď na tyto otázky však může dát
jen další výzkum.
56
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ ZPŮSOB VÝKLADU V UČEBNICÍCH NA SŠ
LITERATÚRA
[1]
Břehovský, J., Emanovský, P.: Induktivní a deduktivní přístupy ve výuce matematiky na
SŠ. In Sborník z XXVII. mezinárodního kolokvia o řízení vzdělávacího procesu, Brno,
2009, 31. ISBN 978-80-7231-650-2
[2]
Calda, E., Petránek, O., Řepová J.: Matematika pro střední odborné školy a studijní
obory středních odborných učilišť 1. část. SPN Praha 1986.
[3]
Calda, E.: Komplexní čísla. Prometheus Praha 1996. ISBN80-85849-85-2
[4]
Calda, E., DUPAČ, V.: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Prometheus Praha
1993. ISBN978-80-7196-365-3
[5]
Emanovský, P. Možnosti experimentálně induktivního přístupu ve vysokoškolské výuce
matematiky. In Sborník z XIX. Mezinárodního kolokvia o řízení osvojovacího procesu,
Vyškov, 2001, s. 87-89. ISBN 80-7231-071-2.
[6]
Hrubý, D., Kubát, J.: Diferenciální a integrální počet. Prometheus Praha 1997.
ISBN80-7196-063-2
[7]
Charvát, J., Zhouf, J., Boček, L.: Rovnice a nerovnice. Prometheus Praha 1994.
ISBN978-80-7196-154-3
[8]
Kočandrle, M., Boček, L.: Analytická geometrie. Prometheus Praha 1996. ISBN 807196-120-5
[9]
Kolouchová, J., Řepová, J., Šobr, V.: Matematika pro střední odborné školy a studijní
obory středních odborných učilišť 5. část. SPN Praha 1987.
[10] Kopka, J. Jak přednášet budoucím učitelům matematiky? In Sborník příspěvků
z Mezinárodní konference kateder matematiky fakult připravujících učitele
matematiky, Liberec, 2000, s. 21 – 32.
[11] Kopka, J. Hrozny problémů ve školské matematice. Acta Universitatis Purkynianae 40,
Matematica I, Ústí nad Labem, 1999.
[12] Kopka, J. Výzkumný přístup při výuce matematiky. Acta Universitatis Purkynianae 133,
Matematica, Ústí nad Labem, 2007.
[13] Odvárko, O., Řepová, J., Skříček, L.: Matematika pro střední odborné školy a studijní
obory středních odborných učilišť 2. část. SPN Praha 1988.
[14] Odvárko, O., Řepová, J.: Matematika pro střední odborné školy a studijní obory
středních odborných učilišť 3. část. SPN Praha 1985.
[15] Odvárko, O., Calda, E., Kolouchová, J., Řepová, J.: Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť 6. část. SPN Praha 1987.
[16] Odvárko, O.: Posloupnosti a řady. Prometheus Praha 1999. ISBN 80-85849-91-7
[17] Odvárko, O.: Funkce. Prometheus Praha 1996. ISBN 80-85849-09-7
[18] Odvárko, O.: Goniometrie. Prometheus Praha 1996. ISBN80-7196-203-1
57
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ, PETR EMANOVSKÝ
[19] Petránek, O., Calda, E., Hebák, P.: Matematika pro střední odborné školy a studijní
obory středních odborných učilišť 4. část. SPN Praha 1986.
[20] Pomykalová E.: Planimetrie. Prometheus Praha 1993. ISBN978-80-7196-174-1
[21] Pomykalová, P.: Stereometrie. Prometheus Praha 1995. ISBN978-80-7196-178-9
[22] Průcha, J.,: Učebnice: Teorie a analýzy edukačního média. Brno. PAIDO 1998.
Mgr. Jiří Břehovský
Katedra aplikovaných disciplín
Fakulta výrobních technologií a managementu
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně
Na Okraji 1001
ČR – 400 01 Ústí nad Labem
e-mail: [email protected]
Doc.RNDr.Petr Emanovský, PhD.
Katedra algebry a geometrie
Přírodovědecká fakulta
Univerzita Palackého Olomouc
Tomkova 40
ČR – 779 00 Olomouc
e-mail: [email protected]
58
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
THE MAIN PROBLEMS OF THE SUBJECT MATTER OF FUNCTIONS
IN MATHEMATICS
IRENA BUDÍNOVÁ
ABSTRACT. The subject matter of functions is one of the most problematic for students at basic
schools. Pupils don’t like this subject matter, they don’t understand it properly and they have
many difficulties with this subject matter in their further study. The article shows interesting
results of a didactic test, which has aimed at the most problematic examples.
Introduction
The subject matter of functions is one of the most difficult for pupils at basic school. The
main reasons of this fact is according to us the following:
• the subject matter is not went through properly with respect to its difficulty,
• pupils should meet functions in longer period, not only in the ninth year,
• pupils learn mainly about linear functions, although they shoud start with functions
they can meet in common life, which can’t be analytically expressed.
During the mathematic curricula, pupils are frequently asked to manipulate algebraic
problems and compute answers to specific types of questions. This strong procedural
emphasis is not effective for building foundational function conceptions (Carlson, Oehrtman,
2005). Pupils are used to use memorized rule or procedure rather than think about things.
That’s why they have the following troubles:
• understanding functions in terms of input and output is a big problem for most
students,
• students don’t understand functions as a relationship between two varying quantities,
• because they don’t understand fundamental findings, they quickly forget new
kowledge.
The didactic test
As we wanted to find out more in detail what are the biggest problems students have with
functions, we set a paper in order to name the concrete problems. We studied the actual
curricula and made the test according to it:
1. Mr Novak tanks at a petrol station, where one liter of gasolin costs 24,50 Kč.
a. Draw the graph of a relation between price and amount of refuelled gasolin.
b. Draw the same relation for Mr. Hlousek, who has the following discart card:
he doesn’t pay for first two litres, then he pays 31 Kč for every litre. If he
fuels up 23 litres, he pays for every further litre 11 Kč.
c. On which conditions is the discart card profitable for Mr. Hlousek?
d. How much does Mr. Hlousek save if he fuels up full petrol tank?
2. Draw the following relation: the faster goes a car, the shorter is a journey.
59
IRENA BUDÍNOVÁ
3. Water flows in the bottles at the picture. Draw the relation between hight of water in
the bottle h(t) and time t.
4. A functional relationship given by a table express by an equation. Define the domain
of the function.
x
1
2
3
4
y
2
3
4
5
x
y
1
1
2
0,5
3
0,33
4
0,25
5. Write a functional expression of the following function given by a graph:
2
1
-1
1
6. Draw graphs of the following functions: a) y=x, b) y=x+1, c) y=2x+1, d) y=-x+2
7. Draw graphs of the following functions, define their domain and derermine their
properties: a) y=3x2, b) y=2/x
When setting this test, we went from textbooks and from Frame Educational Programm.
The expected outputs are: Pupil can determine a relationship of direct and indirect proportion,
can express a function by a graph, table and equation, mathematizes easy real situations with
using functions.
We intended to show by our test, that these aims are not effectivelly reached.
The results of the test
The test was given to 80 students of first year of high school. It was our pilot study and
now we will extend the sample.
60
THE MAIN PROBLEMS OF THE SUBJECT MATTER OF FUNCTIONS IN MATH
The following graph shows average score of single tasks:
Average scores of tasks
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1a
1b
1c
1d
2
3a
3b
3c
4a
4b
5
6a
6b
6c
6d
7a
7b
We supposed, that the easiest tasks for students would be those with linear function,
because basic-school curricula is aimed mainly at linear function. It is also seen, that the most
succesful was task 3a, which is application task, but the relation is linear. Also the task 6a –
to draw graph of function y=x, belonged to the easier ones. But on the other hand, only 67%
of students have this knowledge, which is, according to us, quite few. The rest of task 6 was
much more difficult for students, even though they should know meaning of coefficients a, b
in expression of linear function y=ax+b.
The biggest problem was the task 1c and 5. We thought, that task 1 could be solved by
intuition, without functions. But students had problems to think about this situation and were
very unsuccessful. The task 5 is one of those we could find in textbooks and students should
be able to solve such examples. But it is seen, that students don’t know connection between
an algebraic equation and a graph of function.
A subject matter of quadratic function and function „indirect proportion“ is not
compulsory at the moment, but many teachers still teach them and we can also find them in
textbooks. We can see, that some students were able to solve example with the quadratic
function, or they at least knew the shape of this graph. Much worse are results in the case of
indirect proportion, it looks like the majority of pupils at basic schools don’t meet this
function or if do, they forget it.
The results of all tasks are quite weak and we think, that student should and could learn
much more. We have made sure, that if students know any function, it is the linear function.
They have big problems with more complicated application tasks (1b-d, 3b-c).
61
IRENA BUDÍNOVÁ
Now we will show another graph, which shows the amount of right answers (Pcoefficient, P=(amount of right answers)/(all answers)*100) (Chráska, 1988):
The number of right answers
80
70
Percentage number of right answers
60
50
40
Rad1
30
20
10
0
1a
1b
1c
1d
2
3a
3b
3c
4a
4b
5
6a
6b
6c
6d
7a
7b
Tasks
According to P-coefficient, tasks 1b, 1c, 4b, 5 and 7b are too difficult (P<20). Very few
pupils were able to solve those tasks right and this result shows their biggest problems. The
easiest are tasks with linear functions, but not application tasks.
Conclusion
The results of the test showed, that the subject matter of function is really very
problematic for pupils. According to our expectation, the least difficult for students is linear
functions, but knowledge of all other functions is very weak. Also application examples are
problem for pupils. We should know, that functions are essential not only for further study,
but also for pupils’ life and that’s why their knowledge should be better.
LITERATÚRA
[1]
Carlson, M., Oehrtman, M.: Key Aspects of Knowing And Learning the Concept of
Function. In: MAA online, www.maa.org
[2]
Chráska, M.: Didaktické testy v práci učitele. KPÚ Olomouc, 1988
62
THE MAIN PROBLEMS OF THE SUBJECT MATTER OF FUNCTIONS IN MATH
[3]
Fuchs, E., Hrubý, D. a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy
a nižší ročníky víceletých gymnázií. Prometheus, Praha 2000. ISBN 80-7196-169-8
[4]
Kolektiv autorů: Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online] VÚP,
Praha 2007. Dostupné na www.rvp.cz
[5]
Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 9. ročník základní školy 2. Prometheus,
Praha 2001. ISBN 80-7196-208-2
Mgr. Irena Budínová
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Masarykova univerzita
Poříčí 31
ČR – 602 00 Brno
e-mail: [email protected]
63
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
REMARKS ON DISTRIBUTION FUNCTIONS OF CERTAIN
BLOCK SEQUENCES
JÓZSEF BUKOR
ABSTRACT. In this paper we study the sequence
integers for which
xn +1 − xn ≤ 2.
functions of the sequence of blocks
x1 < x2 < ... < xn < ...
In this case we prove the set
⎛x x
x ⎞
X n = ⎜⎜ 1 , 2 ,..., n ⎟⎟
xn ⎠
⎝ xn xn
G ( X n ) of
of positive
distribution
can be infinite.
Introduction
Denote by Ν and ℜ + the set of all positive integers and positive real numbers,
respectively. Let X = {x1 , x2 ,...}´where xn < xn +1 are positive integers. Denote by
R ( X ) = {x / y; x, y ∈ X } the ratio set of X and say that a set X is (R) -dense if R( X ) is
topologically dense in the set ℜ + . The concept of (R ) -density of positive integers was
defined and first studied by Šalát in papers [11] and [12]. The density of R ( X ) is equivalent
to the everywhere density in [0,1] of the sequence
x1 x1 x2 x1 x2 x3
x x
x
, , , , , ,..., 1 , 2 ,..., n ,...
x1 x2 x2 x3 x3 x3
xn xn
xn
derived from X and it is composed by blocks
⎛x x
x ⎞
X n = ⎜⎜ 1 , 2 ,..., n ⎟⎟,
xn ⎠
⎝ xn xn
n = 1,2,...
and X n is called the n -th block. Let D ( X n ) be the maximum distance between two
consecutive terms in the n -th block. The properties of the following characteristics, called
the dispersion of the sequence X
D ( X ) = lim inf n → ∞ D ( X n ) .
Its relations to the (R)-density and its further properties were studied in several papers [1],
[2], [4], [14] by Filip, Mišík, Tóth, Csiba and the author.
If the distribution functions of X n are increasing, then the set X is (R ) -dense. This was a
motivation for the study of G ( X n ) , the set of all distribution functions of X n , cf. [9], [10].
The case, when the set of all distribution functions of X n contains c0 , the greatest possible
distribution function was studied in [5].
Grekos and Strauch proposed as an open question to prove (or disprove) that
xn +1
→ 1 implies that G ( X n ) is a singleton, see [6, p 76, Q.2] or in [Problem 1.9.2,
xn
Supported by VEGA grant no. 1/4006/07
65
JÓZSEF BUKOR
Unsolved Problem section (eds. O. Strauch and R. Nair), placed on the home page
http://udt.mat.savba.sk of the journal Uniform Distribution Theory].
This open question was solved in [3]. In this short note we give a simpler and more general
counterexample showing that in general xn +1 − xn ≤ 2 does not imply that G ( X n ) is a
singleton.
Definitions
In the follows we use standard notations and definitions from [8].
• By distribution function we mean any function g : [0,1] → [0,1] such
that g (0) = 0, g (1) = 1 and g is nondecreasing in [0,1].
•
For the block sequence X n define the counting function
⎧
⎫
x
A( X n , x) =# ⎨i ≤ n : i < x ⎬
xn
⎩
⎭
and step distribution function
F ( X n , x) =
A( X n , x)
n
for x ∈ [0,1) and F ( X n ,1) = 1.
•
Denote G ( X n ) the set of all distribution functions g (x) for which there exists an
increasing sequence of indices nk , k = 1,2,... such that F ( X nk , x) → g ( x) for k → ∞
for all points x ∈ [0,1] of continuity of g (x), i.e. this is equivalent to weak convergence.
•
For a singleton G ( X n ) = {g ( x)}, the distribution function g (x) is also called asymptotic
distribution function of X n .
•
On the set of all distribution functions the L2 metric is defined by
1/ 2
⎞
⎛1
ρ ( g1 , g 2 ) = ⎜⎜ ∫ ( g1 ( x) − g 2 ( x)) 2 dx ⎟⎟ .
⎠
⎝0
It is known that G ( X n ) nonempty, closed [15], but it is not connected in general [6].
Counterexample
Let m1 < m2 < ... be an increasing integer sequence with the property
mk
→ 0 for
mk +1
k → ∞ . Let E = {2,4,6,8,10,...} (the set of all even positive integers) and define the set
∞
X = E ∪ ∪ ([m2 k , m2 k +1 ) ∩ N ) .
k =1
66
REMARKS ON DISTRIBUTION FUNCTIONS OF CERTAIN BLOCK SEQUENCES
xn +1
→ 1 ) and the set of all distribution
xn
functions of the sequence of blocks X n is G ( X n ) = G1 ∪ G2 where G1 consists of the
functions
2t.x − 1
1
1
t
g1 ( x) =
g1 ( x) =
x for x <
and
for ≤ x ≤ 1
t
2t − 1
2t − 1
t
and G2 consists of the functions
t .x + 1
2t
1
1
g 2 ( x) =
g 2 ( x) =
x for x <
and
for ≤ x ≤ 1
t
t +1
t +1
t
where t ≥ 1 is an arbitrary parameter.
Then xn +1 − xn ≤ 2 (therefore clearly
Proof. First, we consider the case xn ∈ [m2 k , m2 k +1 ) . Write xn in the form xn = t.m2 k for
m
some t ≥ 1. Note, n ≈ 2 k + (t − 1).m2 k for k → ∞ ( n is depending on k , for simplicity
2
we omit the indexes in nk ). We distinguish two subcases:
m
1
a.) x < 2 k = .
xn t
We write the counting function A( X n , x) as
⎧
A( X n , x) =# ⎨i; xi < m2 k −1 ,
⎩
⎫ ⎧
xi
< x ⎬+ # ⎨i; m2 k −1 ≤ xi < m2 k ,
xn
⎭ ⎩
Therefore
F ( X n , x) = o(1) +
⎫
xi
< x ⎬.
xn
⎭
# { j; m2 k −1 ≤ 2 j < x.xn }
n
and we have
x.xn − m2 k −1
x x
x
t.m2 k
t
2
= lim . n = lim .
=
lim F ( X n , x) = lim
.x .
n →∞ 2 n
k →∞ 2 m
n→∞
n →∞
−
n
2
t
1
2k
+ (t − 1).m2 k
2
m
1
b.) x ≥ 2 k = .
xn t
x
Similarly, we count we count the number of xi for which i < x piecewise in the intervals
xn
(0, m2 k −1 ), [ m2 k −1 , m2 k ) and [ m2 k , m2 k +1 ) . In this case
⎧
A( X n , x) = # ⎨i; xi < m2 k −1 ,
⎩
⎫ ⎧
xi
< x ⎬+ # ⎨i; m2 k −1 ≤ xi < m2 k ,
xn
⎭ ⎩
⎫
xi
< x⎬ +
xn
⎭
67
JÓZSEF BUKOR
⎧
+ # ⎨i; m2 k ≤ xi < m2 k +1 ,
⎩
⎫
xi
< x⎬ =
xn
⎭
= o(n) + # { j; m2 k −1 ≤ 2 j < m2 k } + # { j; m2 k ≤ j < x.xn } .
In order to find the distribution function we have to calculate the limit
m2 k − m2 k −1
x.x − m2 k
2
lim F ( X n , x) = 0 + lim
.
+ lim n
→
∞
n →∞
n →∞
n
n
n
Substituting xn = t.m2 k into the previous limit and after some tedious calculation we obtain
2t.x − 1
lim F ( X n , x) =
.
n→∞
2t − 1
The case xn ∈ [m2 k +1 , m2 k + 2 ) can be solved by analogous way. In the same manner we can
find asymptotic distribution functions in the set G2 . The details are left to the reader.
Open problems
Let M (a, b) stands for certain type of means of positive real numbers a, b . The
infinite set X = {x1 , x2 ,...} is said to be of type M iff xn = M ( xn −1 , xn +1 ) for each natural
number n ≥ 2, see [12]. It is easy to see, if the set
⎛ xnp−1 + xnp+1 ⎞
⎟⎟
2
⎝
⎠
parameter p , i.e. xn = ⎜⎜
1
p
(n ≥ 2)
then
X is defined by the power mean of
f ( xn ) =
f ( xn −1 ) + f ( xn +1 )
2
for
n = 2,3,... holds for the function f ( x) = x p . Further, f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) and
f ( xn ) = f ( x1 ) + (n − 1).(( f ( x2 ) − f ( x1 )) ,
n = 1,2,3,...
(see [12])
Using this fact, it is not hard to show that if X is defined by the power mean of parameter p ,
then
⎧
⎫
x
# ⎨i ≤ n : i < x ⎬
xn
⎭ → xp
F ( X n , x) = ⎩
n
68
for
n → ∞.
REMARKS ON DISTRIBUTION FUNCTIONS OF CERTAIN BLOCK SEQUENCES
It means that the set of all distribution functions of the related block sequence
(derived from X ) is a singleton.
There are other well-known types of means of positive numbers. Let a, b be positive real
numbers. The identric mean I (a, b) = (1 / e)(bb / a a )1 /( b − a ) , for a ≠ b , I (a, a ) = a; while
the logarithmic mean L(a, b) = (b − a ) /(log b − log a ), for a ≠ b , L(a, a ) = a (see, e.g.
[7]). The problem is, what can we say about the behavior of the distribution functions of the
block sequence X n , if the related set X was defined using the identric mean or logarithmic
mean.
REFERENCES
[1]
Bukor, J. – Csiba, P.: On estimations of dispersion of ratio block sequences, Math.
Slovaca, 59 (2009), 283-290.
[2]
Filip, F. – Tóth, J. T.: On estimations of dispersion of certain dense block sequences,
Tatra Mt. Math. Publ., 31 (2005), 65-74.
[3]
Filip, F. – Mišík, L. - Tóth, J. T.: On distribution functions of certain block sequences,
Uniform Distribution Theory 2 (2007), 115-126.
[4]
Filip, F. – Mišík, L. - Tóth, J. T.: Dispersion of ratio block sequences and asymptotic
density, Acta Arith. 131 (2008), 183-191.
[5]
Filip, F. – Mišík, L. - Tóth, J. T.: On ratio block sequences with extreme distribution
function, Math. Slovaca 59 (2009), 275-282.
[6]
Grekos, G. - Strauch, O.: Distribution functions of ratio sequences, II, Uniform
Distribution Theory 2 (2007), 53-77.
[7]
Sándor, J: On the identric and logarithmic means, Aequationes Mathematicae 40
(1990), 261-270.
[8]
Strauch, O. – Porubský, Š.: Distribution of sequences: A Sampler, Peter Lang,
Frankfurt am Main, 2005.
[9]
Strauch, O. - Tóth, J. T.: Asymptotic density of A ⊂ N and density of ratio set R(A),
Acta Arith. 87 (1998), 67-78.
[10] Strauch, O. - Tóth, J. T.: Distribution function of ratio sequences, Publ. Math.
Debrecen 58 (2001), 751-778.
[11] Šalát, T.: On ratio set of natural numbers, Acta Arith. 15 (1969), 273-278,
Corrigendum: Acta Arith. 16 (1969), 103.
[12] Šalát, T. – Bukor, J. – Tóth, J. – Zsilinszky, L.: Means of positive numbers and certain
types of series, Acta Mathematica et Informatica, Nitra 1 (1992), 49-57.
[13] Šalát, T.: Quotientbasen und (R)-dichte Mengen, Acta Arith. 19 (1971), 63-78.
[14] Tóth, J. T. – Mišík, L. – Filip, F.: On some properties of dispersion of block sequences
of positive integers, Math. Slovaca 54 (2004), 453-464.
69
JÓZSEF BUKOR
[15] Winkler, R.: On the distribution behaviour sequences, Math. Nachr. 186 (1997), 303312.
RNDr. József Bukor, PhD.
Katedra hospodárskej matematiky
Ekonomická fakulta
Univerzita J. Selyeho
P.O.Box 54
SK – 945 01 Komárno
e-mail: [email protected]
70
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
NOVÉ NÁSTROJE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
PETER CSIBA
ABSTRACT. In this paper I deal with new tools in the teaching of mathematics: Interactive
mathematical softwares (like GeoGebra) an Computer Algebra Systems. I was presented
WebMathematics Interactive 2 a web-based application made primarily for a mathematics
education.
Úvod
V súčasnosti prebieha reforma školstva – nemyslíme pod tým školskú reformu
Slovenskej Republiky, ale celosvetový trend. Jednou hlavnou príčinou toho je nezastaviteľný
revolučný vývoj v oblasti informačných technológií. Pred dvadsiatimi rokmi osobné počítače
boli veľmi zriedkavé a do kontaktu s nimi sa dostala len menšina žiakov, študentov a
učiteľov. Boli používané skôr na programovanie a hranie, nepoužívali ich ako nástroj na
podporu vyučovania. Od tých čias sa situácia zásadne zmenila a možnosti využitia počítačov
sa vo vyučovacom procese pohybujú na širokej palete.
Myslíme si, že hoci zanedbanie týchto možností nie je v prospech nášho školstva a
spoločenstva, samotné „zmodernizovanie“ vybavenia školy najnovšími elektronickými
pomôckami, situáciu a problémy vyučovania samo nevyrieši. Darmo dáme do rúk
drevorubača motorovú pílu, ak s ňou bude rúbať drevo, ako pred tým - sekerou. Podobná
situácia je v oblasti vyučovania matematiky na našich školách: darmo sú vybavené školy s
vhodným hardvérovým a softvérovým potencionálom, ak sú nevyužité. Učitelia nie sú často
dostatočne motivovaní, inakšie povedané, sú príliš zaneprázdnení alebo leniví, aby používali
tieto možnosti.
Na druhej strane by sme však chceli aj varovať – nemali by sme násilne používať
technologické pokroky len preto, aby sa dalo povedať, že sú používané, hoci sú menej
efektívne, ako ostatné metódy!
Nástroje vo vyučovaní
Používanie inovačných nástrojov vo vyučovaní je v súčasnosti veľkým hitom. Počítače sa
dostali do každej oblasti života (napr. telekomunikácia, automobilový priemysel, domáce
spotrebiče, atď.), a preto nemohlo byť výnimkou ani vyučovanie. V minulosti sa začali
vyrábať aj také elektronické fyzické nástroje, ktoré sa používali vo vyučovaní primárne. Ako
príklad by sme uviedli grafické kalkulátory, hlasovacie systémy a interaktívne tabule; stal sa
z nich trhový segment. Bez vhodných softvérov však aj tieto nástroje sú ako motorová píla
bez benzínu. Nakoľko tieto predmety sú komerčné produkty, do ceny je započítaná aj cena
pridaného softvéru.
Softvéry hrajú v tejto oblasti významnú rolu aj preto, lebo okrem softvérov spomenutých
fyzických nástrojov bolo vyvinutých veľmi veľa softvérov, ktoré sú použiteľné vo vyučovaní
bez špeciálnych nástrojov - k použitiu sú potrebné iba bežné počítače resp. dataprojektor.
Niektoré softvéry aj pre oblasť vyučovania a vyučovania matematiky sú komerčné produkty,
Podporené s grantom KEGA č. 3/5277/07 Tvorba interaktívnych učebných materiálov pre stredné školy s využitím
matematických softvérov s dôrazom na modelovanie
71
PETER CSIBA
vyvíjajú ich špecializované profesionálne firmy. Ako príklad by sme uviedli interaktívny
matematický softvér Cabri Geometry a systémy počítačovej algebry Mathematica a Maple.
Okrem týchto softvérov sú aj také, za ktoré nie je požadovaná finančná odplata, nazývame
ich freevérom (freeware). Týchto softvérov na nekomerčné účely môžeme zvyčajne bezplatne
používať, ba niekedy aj zdrojový kód softvéru je voľne dostupný. V tejto súvislosti je medzi
odborníkmi vášnivá debata, či môže nahradiť, a či je softvér porovnateľný s výkonom
komerčného produktu. Na komerčnom produkte pracuje totiž kolektív profesionálov, čo o
voľnom softvére nie vždy môžeme povedať. Často na danom programe začne pracovať
samostatný nadšenec, ale ak robí niečo zaujímavého, pribudnú k nemu ďalší a nakoniec sa
vytvorí niečo, čo práve vyhovuje viacerým požiadavkám. V čoraz väčšej miere sú už
rozšírené voľne dostupné softvéry (napr. operačný systémy na báze Linuxu, kancelársky
balík OpenOffice.org), ktoré ponúkajú plnohodnotnú alternatívu komerčných programov. Aj
v oblasti počítačom podporovaného vyučovania matematiky nájdeme takých projektov.
Cieľom tohto príspevku je ukázať niekoľko takýchto softvérových riešení.
Na aké účely môžeme používať softvérové nástroje vo vyučovaní matematiky? Prvou
oblasťou je prezentácia nového učiva. Pomocou interaktívnych apletov môžeme žiakom a
študentom ukázať všeobecnú platnosť tvrdenia. Máme také skúsenosti, že študentov oveľa
skôr a hlbšie presvedčí interaktívny obrázok ako statický náčrt a „suchý“ matematický dôkaz.
Samozrejme vytvorenie takejto prezentácie vyžaduje od učiteľa dlhšiu prípravu, musí si
podrobne premyslieť, čo chce ukázať, ako sa to má spracovať, prípadne ako to dosiahne. Na
vyučovacej hodine však získa pozornosť a môže urýchliť zavedenie nového pojmu tak, že sa
dajú ukázať aj špeciálne prípady.
Ďalšou oblasťou používania týchto softvérov je riešenie úloh, buď priamo na vyučovacej
hodine alebo pri domácich úlohách. Práve preto uprednostňujeme voľne dostupné softvéry,
lebo pri týchto môžu žiaci, resp. študenti, voľne a legálne používať aj doma. Pri riešení úlohy
každý študentský nápad môžeme jednoducho overiť pomocou počítača. Na hodine učiteľ v
tomto prípade prestáva byť autoritou, ktorá rozhoduje, či bol nápad správny alebo nie, ale je
len katalyzátorom procesu. Skúsenosti ukazujú, že takto žiaci a študenti sa vo väčšej miere
zapájajú do hľadania riešenia.
Ďalšou oblasťou použitia softvérov je testovanie a hodnotenie. Hodnotenie je pre učiteľa
nielen povinnosťou, ale zaručuje mu aj spätnú väzbu, aby vedel, aký bol transfer vedomostí, a
či žiaci získali potrebné zručnosti.
Podľa nášho názoru by bolo dobré, keby sa žiaci, resp. študenti mali možnosť tieto
produkty používať aj mimo priameho vyučovacieho procesu, aby si vedeli vyskúšať svoje
myšlienky aj samostatne, prípadne sa zo zvedavosti naučili ovládať softvér na takej úrovni,
aby nebolo učené len ovládanie daných softvérov, ale matematika.
Interaktívne matematické softvéry
Pôvodne sa v odbornej literatúre písalo o dynamických geometrických softvéroch
(Dynamic Geometry Softwares), ale nakoľko dôraz bol kladený na interaktivitu a nie na
dynamiku zostrojených konštrukcií, do produktov postupne pribudli a integrovali sa nástroje
ďalších disciplín matematiky. V súčasnosti sa viac používa termín interaktívnych
matematických softvérov. V podstate ide o to, že do hotových (nielen geometrických)
konštrukcií môžeme priamo zasahovať, a pritom sa zachovávajú preddefinované relácie. tj.
ak zmeníme polohu vrchola trojuholníka na obrazovke, tak všetky s ním viazané objekty
zostávajú tým, čím boli definované, teda opísaná kružnica pôvodného trojuholníka plynule
prejde do opísanej kružnice zmeneného trojuholníka, resp. zmení sa aj zobrazený obsah
72
NOVÉ NÁSTROJE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
trojuholníka. Môže to byť veľmi užitočné, ak chceme ukázať špeciálne prípady (napr.
v závislosti od tvaru trojuholníka, kde sa nachádza stred opísanej kružnice, alebo kedy je
najväčší pomer obsahu a druhej mocniny obvodu trojuholníka), alebo pri rozbore úlohy v
závislosti od daných údajov, keď skúmame, koľko riešení dostaneme. V tejto oblasti
najrozšírenejším komerčným produktom je Cabri Geometry (aktuálna verzia Cabri II Plus,
www stránka: http://www.cabri.com/), ktorý bol v rámci projektu Infovek distribuovaný
slovenským základným a stredným školám. Napriek toho – z vyššie uvedených dôvodov – sa
nestal „hnacím motorom“ vyučovania matematiky na väčšine škôl.
Medzi voľne dostupnými softvérmi program Cabri môže nahradiť GeoGebra
(http://www.geogebra.org/), ktorá už získala niekoľko medzinárodných ocenení. Dovoľujeme
si tvrdiť, že jej možnosti sú absolútne porovnateľné s napr. Cabri, existuje k nej aj
plnohodnotný slovenský preklad a dokumentácia. Žiaľ na slovenských školách je menej
známa. V tomto roku sa plánuje založenie a akreditácia Slovenského GeoGebra Inštitútu s
účelom popularizácie softvéru na Slovensku a zaškolenia záujemcov, učiteľov matematiky do
používania softvéru. Podrobnejšie informácie o GeoGebre a jej používaní nájdete na www
stránke, alebo v [1],[2], [3],[4].
Obrázok 1: GeoGebra
Systémy počítačovej algebry
Systémy počítačovej algebry (Computer Algebra System, v skratke CAS) sa používajú
hlavne na zložitejšie - aj symbolické výpočty - a dokážu vypočítať aj také úlohy (napr.
73
PETER CSIBA
diferenciálne rovnice), ktoré potrebujú študenti univerzít technického zamerania, ale ich
vedomostná úroveň im nedovoľuje tieto problémy vyriešiť. Pôvodne tieto softvéry boli skôr
špecializovanými programovacími jazykmi a ovládali sa s príkazmi. Najznámejšie CAS
(napr. Mathematica a Maple) v súčasnosti majú už oveľa prijateľnejšie ovládacie rozhranie,
k jednotlivým možnostiam dostaneme aj cez ikony ovládacích paliet. Okrem uvedených
existujú aj voľne dostupne CAS, ktoré však nie sú veľmi rozšírené. Dôvodom je to, že
väčšinou nie sú také vyspelé a výkonné ako profesionálne systémy a ich grafický front-end
zvyčajne zaostáva. Sú však aj špeciálne CAS, vyvinuté na niektoré užšie disciplíny
matematiky, napr. na teóriu čísel existuje voľne šíriteľný PARI/GP (www stránka:
http://pari.math.u-bordeaux.fr/).
Profesionálne CAS majú podľa našej mienky uplatnenie skôr v používaní, ako vo
vyučovaní predmetu matematika - a aj to skôr na vysokých školách. Pre regionálne školstvo,
tiež v rámci projektu Infovek, bola kúpená licencia systému Derive, ktorá nevyžadovala veľa
operačnej pamäti, a preto bola použiteľná aj na starších a menej výkonných počítačoch.
O používaní Derive vo vyučovaní matematiky sa počulo dosť málo, a nakoľko ide o softvér,
ktorého vývoj sa oficiálne skončil v januári 2007. Druhým problémom vyučovania pomocou
CAS je časová náročnosť zvládnutia ovládania programu, pretože by sme nemali učiť ako sa
ovláda softvér, ale matematiku.
Obrázok 2: WebMathematics Interactive 2
Na tieto problémy by sme chceli odporúčiť riešenie pomocou voľného „softvéru“ WMI2
(WebMathematics Interactive 2) [5]. Samotný softvér je dostupný na stránke projektu
http://sourceforge.net/projects/wmi/, kde sa priamo vytvára jedna webová stránka (viď obr. 2)
– ľahko ovládateľný grafický front-end voľne dostupného CAS Maxima, ktorá môže byť
dostupná na Internete. Takou web-based aplikáciou na edukačné účely sú stránky dostupné
na týchto adresách: http://matek.hu/ resp. na Slovensku http://www.mat-inf.fpv.ukf.sk/wmi2/.
74
NOVÉ NÁSTROJE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
Stránka je dostupná v 10 jazykov, vrátane slovenskej a ponúka širokú paletu nástrojov
rozdelených do šiestich kategórií (matematika SŠ, matematika ZŠ, matematická analýza,
lineárna algebra, algebra a teória čísel). Na ľavej strane stránky sa nachádza kalkulátor,
pomocou ktorého zadávame hodnoty a výrazy na vypočítanie a vpravo sa zobrazujú zadania a
výsledky. Samozrejme, ak poznáme syntax systému Maxima, môžeme zadávať priamo
príkazy do príkazového riadku nad kalkulátorom. Výkonnosť tohto systému zaostáva za
najuznávanejšími CAS, ale na zoznamovanie s takými softvérmi je postačujúci a má
intuitívne ovládacie prvky, manuál riešený videosekvenciou.
Obrovskou výhodou je, že netreba nič inštalovať, hocikto a hocikedy môže uskutočniť
svoje výpočty cez internet. Môžeme ju teda odporúčať aj naším študentom a oni to môžu
používať aj doma.
Záver
Cieľom tohto príspevku bolo prezentovať niekoľko nových nástrojov, ktoré môžeme vo
vyučovaní matematiky úspešne využiť. Samozrejme existujú aj ďalšie iné softvéry, ale
myslíme si, že uvedené softvéry nie sú zatiaľ na Slovensku dostatočne známe. Dúfame, že
zásluhou tohto príspevku a po ich prezentácií na konferencií sa nám podarí vzbudiť záujem
v odbornom verejnosti.
LITERATÚRA
[1]
Hohenwarter, M., Jones, K.: Ways of linking geometry and algebra: the case
GeoGebra, In D. Küchemann (Ed.), Proceedings of the British Society for Research
into Learning Mathematics. 27(3), University of Northampton, UK: BSRLM, 2007
[2]
Hohenwarter, M., Prenier, J.: Dynamic Mathematics with GeoGebra. Journal for
Online Mathematics and its Applications. Volume 7. 2007. Article ID 1448,
http://www.maa.org/joma/Volume7/Hohenwarter/index.html
[3]
Böhm, J.: Linking Geometry, Algebra, and Calculus with GeoGebra, TIME 2008
conference, South Africa, 2008
[4]
Csiba, P.: GeoGebra – Dynamická matematika pre školy,. In: Zborník príspevkov z
konferencie EMATIK 2007, Bratislava: FMFI UK, 2008, ISBN 978-80-89186-34-1
[5]
Kovács, Z.: WMI2: Interactive mathematics on the web, Teaching Mathematics and
Computer Science 5/2, Debrecen, 2007, ISSN 1589 - 7389
RNDr. Peter Csiba, PhD.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Univerzita J. Selyeho
Bratislavská cesta 3322
SK – 945 01 Komárno
e-mail: [email protected]
75
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ŠTATISTICKÉ ANALÝZY VYHODNOCOVANIA TESTOV Z MATEMATIKY
NAPÍSANÝCH ŽIAKMI UKONČUJÚCIMI PRIMÁRNY STUPEŇ VZDELÁVANIA
VO VEĽKEJ BRITÁNII, V NEMECKU A NA SLOVENSKU
ĽUBOMÍR CZANNER, JÁN ČIŽMÁR
ABSTRACT. The paper observes an effectivity comparison of relevant subjects’ education in
the three countries (England, Germany and Slovakia) via realisation and evaluation of
didactical tests with standard and advanced statistical methods. This study concludes with
interpretation of the statistical findings and discussion of possible recommendations for
education of mathematics in Slovak primary school system.
KĽÚČOVÉ
sústavy.
:
SLOVÁ
matematický test, štatistické vyhodnotenie, primárny stupeň školskej
Obsah učiva matematiky primárneho stupňa v krajinách Slovensko, Nemecko a Veľká
Británia je v princípe totožný. Hlavné rozdiely sú najmä v časovom rozložení učiva a v jeho
metodickom spracovaní. Urobili sme preto štatistické zisťovanie s cieľom porovnať výsledky
metodík používaných pri výučbe matematiky v spomínaných krajinách. Za týmto účelom sme
predložili žiakom ukončujúcim primárny stupeň vzdelávania v jednej nemeckej, v jednej
anglickej a troch slovenských triedach test z matematiky. Keďže obsahy učiva v jednotlivých
testovaných triedach sa nejako zvlášť neodlišujú, neočakávali sme veľké rozdiely vo
výsledkoch testu, a preto aj naša hypotéza bola, že vo vedomostiach žiakov z matematiky nie
sú významné rozdiely medzi jednotlivými triedami. Výsledky nášho štatistického
porovnávania sú v tomto príspevku.
Najprv opíšeme prípravu na štatistické zisťovanie a špecifikáciu premenných. Potom
opíšeme výsledky matematického testu pomocou základného štatistického rozboru. Nakoniec
otestujeme našu hypotézu, čiže posúdime štatistickú významnosť rozdielov medzi triedami
pomocou parametrických a neparametrických metód.
Príprava na štatistické zisťovanie
V Anglicku (Primary school Coventry / GB), v Nemecku (Grundschule Freiburg / DE) a
na Slovensku (Základná škola Dubová Bratislava / Dubová, Základná škola Pri kríži IV.A /
PK IV.A a Základná škola Pri kríži IV.B / PK IV.B), sme predložili žiakom ukončujúcim
primárny stupeň vzdelávania test z matematiky. Všetky testované deti boli zdravé,
nedisponovali žiadnou poruchou, ktorá by mohla mať vplyv na výsledky testu. Test bol
vopred konzultovaný a upravený odborníkmi z danej oblasti tak, aby rovnako vyhovoval
požiadavkám všetkých strán. Žiakom bol predložený na konci júna 2008, trval 45 minút (t. j.
jednu slovenskú alebo nemeckú vyučovaciu hodinu, anglické deti ho písali rovnako dlho
počas tzv. double lesson). Test bol anonymný, v nemeckej škole sme pomocou neho
otestovali 22, v Anglicku 19 a na Slovensku 67 detí, z toho 18 na ZŠ Dubová.
77
ĽUBOMÍR CZANNER, JÁN ČIŽMÁR
Špecifikácia premenných
Test sme rozdelili na štyri časti:
sčitovanie a odčitovanie
násobenie a delenie
slovné úlohy
spolu
(maximálny dosiahnuteľný počet bodov bol 4)
(max. 5 bodov)
(max. 10 bodov)
(max. 19 bodov)
V tabuľke 1 (z dôvodu obmedzenej možnosti rozsahu článku nie je uvedená kompletná
tabuľka) sa nachádzajú údaje o jednotlivých žiakoch a počtoch bodov, ktoré dosiahli v teste.
Stĺpec (BOY or GIRL) každej tabuľky obsahuje informáciu o pohlaví dieťaťa. Počet bodov
dosiahnutých jednotlivými žiakmi z počtových úkonov sčitovanie a odčitovanie je udávaný v
stĺpcoch (ADD and SUB), resp. násobenie a delenie v stĺpcoch (MUL and DIV). V
predposlednom stĺpci (PRO) sú udávané počty bodov získané jednotlivými žiakmi v časti
slovné úlohy. Posledný stĺpec (SUM) obsahuje celkový počet bodov dosiahnutý jednotlivými
žiakmi za celý test. Niektoré záhlavia a texty v tabuľkách sú uvádzané v anglickom jazyku. Je
to hlavne z dôvodu lepšej orientácie v niektorých štatistických programoch, pomocou ktorých
sa robili výpočty a komunikovalo sa v angličtine.
GB
1
2
3
4
5
GIRL or BOY ADD and SUB MUL and DIV
D
1
2
D
4
5
D
2
1
D
1
1
D
3
3
PRO
0
10
7
5
5
SUM
3
19
10
7
11
Tabuľka 1 : Časť tabuľky bodového vyhodnotenia testu žiakov anglickej školy
Základný štatistický rozbor dát
V tejto časti je urobený základný štatistický rozbor údajov. Na tento účel sme použili
nasledovné ukazovatele: priemer, medián, variancia, štandardná odchýlka, dolný kvartil a
horný kvartil. Na vizualizáciu rozdelenia početností sme použili histogram, box plot
(škatuľkovitý graf) a star-rays plot (hviezdičkový graf). Analyzovali sme výsledky
jednotlivých časti testu a tiež aj testu ako celku. Na záver sme sa zamerali na porovnanie
výsledkov dosiahnutých v jednotlivých krajinách.
Základný štatistický rozbor
V tabuľkách 2 a 3 sa nachádzajú hodnoty základných štatistických ukazovateľov pre
sčitovanie a odčitovanie a pre celkové hodnotenie žiakov všetkých piatich škôl.
V časti sčitovanie a odčitovanie mohli žiaci získať maximálne 4 body. Vo všetkých
triedach boli žiaci, ktorí nezískali ani jeden bod, a žiaci, ktorí dosiahli maximálny počet 4
body (viď stĺpce Minimum a Maximum v tabuľke 2), okrem triedy Dubová, kde minimálny
dosiahnutý počet bodov bol 1. Priemerný počet bodov v slovenských školách je 3,3, 2,9 a 2,8,
zatiaľ čo v nemeckej škole a anglickej škole je asi o 1 bod menší a to 2,5 a 2,2 (viď stĺpec
Priemer v tabuľke 2). Vo všetkých triedach je rovnaká variabilita dosiahnutých výsledkov
zo sčitovania a odčitovania (viď stĺpec Štandardná odchýlka v tabuľke 2). V priemere sa
78
ŠTATISTICKÉ ANALÝZY VYHODNOCOVANIA TESTOV Z MATEMATIKY NAPÍSANÝCH ...
hodnotenia líšili od priemerného hodnotenia asi o 1 bod. Ďalej sme usporiadali žiakov podľa
hodnotenia zo sčitovania a odčitovania. 50 % žiakov z Dubovej má hodnotenie 3 až 4 (viď
stĺpce Dolný kvartil a Horný kvartil v tabuľke 2), v ostatných triedach 2 až 4, 2 až 4, 2 až 3
a 1 až 3. Základný štatistický rozbor naznačuje, že žiaci v slovenských triedach majú mierne
lepšie hodnotenie z časti sčitovanie a odčitovanie v priemere asi o 1 bod.
Škola
Dubová
PK
IV.B
PK IV
A
DE
GB
Počet
18
Minimum
1
Maximum
4
Priemer
3.3
Štandardná
odchýlka
1.0
Dolný
kvartil
3
Median
4
Horný
kvartil
4
25
0
4
2.9
1.2
2
3
4
24
0
4
2.8
1.4
2
3
4
22
19
0
0
4
4
2.5
2.2
1.2
1.1
2
1
2
2
3
3
Tabuľka 2: Základný štatistický rozbor výsledkov sčitovania a odčitovania
Identickým spôsobom sme urobili aj štatistické vyhodnotenie častí Násobenie a delenie a
Slovné úlohy.
Škola
Dubová
Počet
Minimum
Maximum
Priemer
Štandardná
odchýlka
Dolný
kvartil
Median
Horný
kvartil
18
4
18
14.1
4.3
13
15
17
PK IV.B
25
1
19
13.1
5.3
8
15
17
PK IV A
24
10
19
15.9
2.8
14
17
18
DE
22
3
19
11.8
4.5
8
13
15
GB
19
1
19
10.0
4.9
7
10
14
Tabuľka 3: Základný štatistický rozbor celkového hodnotenia testov (SUM).
Za celý test mohli žiaci získať maximálne 19 bodov. Triedy Dubová, PK IV.B, DE a GE
sa veľmi nelíšia v minimálne dosiahnutom počte bodov (1 až 4), zatiaľ čo najmenší počet v
triede PK IV.A je až 10 (viď stĺpce Minimum v tabuľke 3). Triedy sa nelíšia v maximálne
dosiahnutom počte bodov (viď stĺpce Maximum v tabuľke 3). Priemerný počet bodov
v slovenských školách je 14,1, 13,1 a 15,9. V nemeckej škole a anglickej škole je to 11,8
a najslabšie skončila anglická trieda s priemerom 10,00 (viď stĺpec Priemer v tabuľke 3). Vo
všetkých triedach okrem PK IV.A je približne rovnaká variabilita celkového hodnotenia
testu: v priemere sa hodnotenia líšili od priemerného hodnotenia o 4,3 až 5,3 bodov, zatiaľ čo
v triede PK IV.A priemerné rozdiely medzi žiakmi sú 2,8 bodu (viď stĺpec Štandardná
odchýlka v tabuľke 3). Ďalej sme usporiadali žiakov podľa celkového hodnotenia z testu. 50
% žiakov z Dubovej má hodnotenie 13 až 17 (viď stĺpce Dolný kvartil a Horný kvartil
v tabuľke 3), v ostatných triedach 8 až 17, 14 až 18, 8 až 15 a 7 až 14. V sumáre základný
štatistický rozbor naznačuje, že žiaci v troch slovenských triedach majú celkové hodnotenie
testu mierne lepšie než v anglickej a nemeckej triede, v priemere asi o 3 body. Trieda PK
IV.A je najlepšia v celkovom hodnotení testu, avšak to je spôsobené hlavne tým, že žiaci tejto
triedy výrazne najlepšie vyriešili časť Slovné úlohy.
79
ĽUBOMÍR CZANNER, JÁN ČIŽMÁR
5
4
4
MUL_DIV
ADD_SUB
3
2
17
1
3
2
24
1
3
0
Dubova
PK IVA
PK IVB
DE
16
0
GB
Dubova
PK IVA
SCHOOL
PK IVB
DE
GB
DE
GB
SCHOOL
10
20
8
11
15
6
SUM
PRO 4
2
0
10
5
12
Dubova PK IVA PK IVB
DE
SCHOOL
GB
14
12
0
Dubova
PK IVA
PK IVB
SCHOOL
Obr. 1 : Škatuľkovité grafy (Box-and-Whisker Plot) pre výsledky zo sčitovania a odčitovania (ADD_SUB),
násobenia a delenia (MUL_DIV) , slovných úloh (PRO) a celkového hodnotenia (SUM) testu
Vysvetlivky:
Horizontálna hrubá čiara v stĺpci
Horizontálna spodná čiara stĺpca
Horizontálna horná čiara stĺpca
Spodný koniec „fúzikov“
= medián t. j. centrum, ťažisko dát
= horný kvartil
= dolný kvartil
= min ( maximálna hodnota z dát alebo 1.5*(Horný – Dolný kvartil + medián
)
ľavý .... podobne
Kruhy = extrémne hodnotenia (napr. žiak č. 17 z Dubovej a žiak č. 3 nemeckej triedy sa výrazne líšili od ostatných
žiakov svojej triedy v dosiahnutých výsledkoch sčitovania a odčitovania)
Rýchly prehľad o výsledkoch žiakov poskytuje tzv. Box-and-Whisker Plot (viď obrázok
1). Tento graf názorne vizualizuje výsledky z tabuliek a navyše je vhodný na
vytipovanie extrémnych pozorovaní. Potvrdzuje naše domnienky vyslovené pri tabuľke 3, že
v celkovom hodnotení testu (viď graf SUM, obr. 1) žiaci z triedy Dubová dosahovali
najlepšie výsledky v priemere asi o bod lepšie než u oboch tried zo školy PK a asi o dva body
lepšie než žiaci nemeckej a anglickej školy. Navyše tento graf ukazuje, že v triede Dubová je
jeden žiak, ktorý má podstatne horšie hodnotenie než väčšina žiakov, a tiež v nemeckej škole
je jeden žiak (s poradovým číslom 3), ktorý podstatne horšie riešil úlohy na sčitovanie a
odčitovanie. Hodnotenia oboch žiakov sú zobrazené na obrázku malým kruhom a sú
považované za štatisticky extrémne pozorovania. Rozdelenie žiakov podľa násobenia
a delenia je približne rovnaké vo všetkých triedach, ale žiaci triedy PK IV.B majú mierne
lepšie výsledky a žiaci anglickej triedy majú mierne horšie výsledky než ostatné triedy.
80
ŠTATISTICKÉ ANALÝZY VYHODNOCOVANIA TESTOV Z MATEMATIKY NAPÍSANÝCH ...
Škatuľkovitý graf (boxplot) pre slovné úlohy (viď graf PRO, obr. 1) však naznačuje
rozdiely medzi triedami: slovenské školy majú lepšie výsledky než anglická a nemecká škola
(asi o 3 až 5 bodov). Taktiež škola PK IV.B ma najvyššie hodnotenia a aj najmenšie rozdiely
medzi žiakmi. Dubová, DE a GB majú približne rovnaké rozdiely medzi žiakmi jednej triedy,
ale trieda PK IV.A má veľké rozdiely medzi žiakmi v časti slovné úlohy.
Súhrn základného štatistického zisťovania.
V súhrne v častiach sčitovanie a odčitovanie a násobenie a delenie dosiahli žiaci
slovenských škôl mierne lepšie hodnotenie než žiaci anglickej školy a nemeckej školy asi
o jeden bod. V slovných úlohách sa päť tried veľmi líši. V priemernom hodnotení a aj
v rozdieloch medzi žiakmi danej triedy je výrazne najlepšou triedou PK IV.B. V celkovom
hodnotení testu je poradie tried nasledovné (od najvyšších priemerných bodov po najnižšie):
PK IV.B, PK IV.A a Dubová, DE, a GB (viď nasledovný obrázok nižšie Estimated Marginal
Means of SUM).
Estimated Marginal Means of SUM
16
Estimated Marginal Means
15
14
13
12
11
10
Dubova
PK IVA
PK IVB
DE
GB
SCHOOL
Obr. 2 : Súhrn základného štatistického zisťovania
V tejto časti sme poukázali na rozdiely a podobnosti tried v predloženom matematickom
teste. Dva principiálne zdroje týchto rozdielov sú: rozdielnosti medzi deťmi, t. j. dve deti z tej
istej triedy (za predpokladu, že sa im učiteľ rovnako venuje, rodičia im vytvárajú rovnaké
podmienky na učenie a mali rovnakú dochádzku do školy), nebudú mať tie isté výsledky
z testu. Druhým zdrojom rozdielov môže byt rozdielnosť v metodike medzi triedami
(za
predpokladu, že test je rovnako kvalitne objasnený žiakom). Čím väčšie sú rozdiely medzi
triedami, tým máme silnejší argument na záver, že metódy výučby v rôznych triedach sa líšia.
Na posúdenie kvantity týchto rozdielov však potrebujeme použiť štatistickú indukciu, čiže
testovanie, čo urobíme v ďalších dvoch častiach.
81
ĽUBOMÍR CZANNER, JÁN ČIŽMÁR
Porovnanie škôl pomocou neparametrickej metódy
Tu sme testovali hypotézu, či medzi triedami sú významne veľké rozdiely v jednotlivých
častiach testu. Keďže v časti sčitovanie/odčitovanie, násobenie/delenie a slovné úlohy sú
maximálne použité body s počtom 4, 5 a 10, je nevyhnutné pre každú položku použiť
metódu, ktorá je vhodná pre diskrétne náhodné premenné, ktoré nemusia mať gaussovské
rozdelenie. Vhodnou metódou je Kruskalov-Wallisov test, ktorý je navyše robustný voči
extrémne odlišným žiakom. Táto metóda testuje, či sa rovnajú mediány tried. Princíp tejto
metódy spočíva v tom, že sa žiaci všetkých 5 tried zoradia od najmenšieho počtu bodov po
najväčší a potom sa im priradia poradia: najskôr najnižšie poradie postupne až po najvyššie.
Ak táto metóda potvrdí významne rozdiely, potom použijeme Mannov-Whitneyho test, ktorý
porovnáva triedy v pároch (10 párov) s cieľom nájsť, ktoré triedy sú rozdielne vo výsledkoch
metodík. Aby sme pri 10 porovnávaniach zabezpečili hladinu významnosti 0,05, použijeme
Bonferonniho korekciu, čiže použijeme hladinu významnosti 0,005.
V časti sčitovanie/odčitovanie sú priemerné poradia žiakov v triedach nasledovné: 68, 59,
59, 47 a 39 v triedach Dubová, PK IV.A, PK IV.B, DE a GB. Pomocou KruskalovhoWallisovho testu sme zistili, že tieto rozdiely v poradiach sú štatisticky významné na hladine
významnosti 0,05 (p-hodnota 0,023). Podrobnejším skúmaním pomocou MannovhoWhithneyovho testu sme zistili, že významne sa líšia triedy Dubová a GB (p-hodnota 0,004);
t. j. výsledky metodiky sú v triede Dubová významne lepšie, než v triede GB. Medzi
ostatnými triedami sme nenašli významné rozdiely.
V časti násobenie/delenie bolo priemerné poradie žiakov v triedach 53, 56, 71, 49 a 40.
Tieto rozdiely sú štatisticky významné na hladine významnosti 0,05 (p-hodnota = 0,012).
Trieda PK IV.B má významne lepšie výsledky (p = 0,003).
V časti slovné úlohy boli priemerné poradia žiakov v triedach 59, 55, 72, 45 a 37. Tieto
rozdiely sú významné (p-hodnota = 0,001). Trieda PK IV.B má významne lepšie výsledky zo
slovných úloh než trieda GB (p = 0,003). Medzi ostatnými triedami nie sú významné
rozdiely.
V súhrne:
Trieda GB má najslabšie výsledky vo všetkých troch častiach testu. V časti
sčitovanie/odčitovanie dosiahla trieda GB významne nižšie hodnotenie než trieda Dubová,
v častiach násobenie/delenie a slovné úlohy má trieda GB štatisticky nižšie hodnotenie než
trieda PK IV.B. Ostatné rozdiely medzi triedami nie sú (na základe Mannovho-Whitneyovho
testu) štatisticky významné a môžeme ich teda prisúdiť rozdielom medzi žiakmi (a nie
rozdielom medzi triedami).
Porovnanie škôl pomocou parametrickej metódy (Analýza rozptylu)
Keďže všetkých päť tried má podobné ciele a obsahy vyučovania, našou hypotézou je, že
žiaci v skúmaných piatich triedach sa nelíšia vo všeobecných vedomostiach matematiky.
Základný štatistický rozbor celkového hodnotenia testu však naznačil, že medzi školami sú
určité rozdiely v matematike. Avšak tieto analýzy neposkytujú podklad na rozhodnutie o tom,
či tieto rozdiely sú štatisticky významné alebo či sú dôsledkom rozdielov medzi žiakmi.
Takéto testovanie umožňuje analýza rozptylu (Analysis of Variance, ANOVA). ANOVA je
zovšeobecnením t-testu. Jej základná idea spočíva v posudzovaní rozptylu (rozdielov) medzi
82
ŠTATISTICKÉ ANALÝZY VYHODNOCOVANIA TESTOV Z MATEMATIKY NAPÍSANÝCH ...
žiakmi vzhľadom na možné faktory: trieda a pohlavie žiaka. Porovnávajú sa rozdiely
(priemery) medzi triedami s rozdielmi medzi žiakmi v triedach. Čím vyšší je rozptyl
výsledkov medzi triedami v porovnaní s rozptylom medzi žiakmi, tým silnejší je argument
pre tvrdenie, že triedy sa významne líšia vo vedomostiach. ANOVA je všeobecne uznávaná
a rozšírená metóda v rôznych oblastiach, napríklad aj v psychológii a pedagogike. (John
Neter, [1]) Táto metóda je parametrická a má väčšiu silu (pravdepodobnosti nájsť významné
rozdiely) než test pomocou neparametrickej metódy, použitý v predchádzajúcej časti.
Postup ANOVY je nasledovný:
Najprv sa v ANOVA-modeli otestuje vplyv faktorov (triedy) a potom sa pre významné
faktory urobí analýza párových porovnávaní na zistenie toho, ktoré úrovne faktora (ktoré
triedy) sú štatisticky významne rôzne. Ak robíme viac porovnávaní, používame Sidakkorekciu, aby sme zabezpečili požadovanú hladinu významnosti 0,05. Pri každom teste
uvádzame jeho p-hodnotu. Ak totiž platí hypotéza o rovnakých vedomostiach, tak nás
zaujíma, aká je pravdepodobnosť, že dostaneme naše dáta alebo dáta s väčšími rozdielmi.
Táto pravdepodobnosť sa volá p-hodnota a ak je malá, čiže 0,05, máme silný dôvod tvrdiť, že
naša hypotéza o rovnakých vedomostiach medzi triedami je neplatná na hladine významnosti
0,05. Potom môžeme urobiť testovania medzi pármi tried, kde opäť uvedieme p-hodnotu.
Všetky tieto analýzy sme urobili v software SPSS 17.0.
Medzi triedami sú významné rozdiely v matematike (p-hodnota < 0.0001), ale žiadne
významné rozdiely sme nenašli medzi chlapcami a dievčatami (p = 0.617). Preto pre faktor
Trieda sme urobili ďalšie testovania s cieľom zistiť, ktoré triedy sa významne líšia
v matematických vedomostiach.
Žiaci triedy PK IV.B majú významne lepšie výsledky z testu než nemecká, či anglická trieda
(p-hodnoty 0.028, 0.001). Ostatné rozdiely medzi celkovými výsledkami testov škôl nie sú
štatisticky významné. Medzi ostatnými triedami sme nenašli významné rozdiely, t. j. hoci PK
IV.A má v priemere mierne vyššie výsledky než DE a GB, PK IV.B má mierne vyššie
výsledky než PK IV.A DE má lepšie výsledky než GB - tieto rozdiely nie sú významné (phodnoty 0.976, 0.232, 0.307, 0.911). Môžeme ich teda prisúdiť rozdielom medzi žiakmi.
Závery zo štatistického vyhodnotenia.
Predovšetkým treba poznamenať, že testovaná vzorka žiakov zo skúmaných troch krajín
je príliš malá na tvorbu záverov, ktorým by bolo možné prisúdiť všeobecnú platnosť. Na také
závery by bol potrebný široký výskum organizovaný a zabezpečovaný na najvyššej
celoštátnej inštitucionálnej úrovni vo všetkých troch krajinách. Navyše by bolo nutné, aby to
bol výskum dlhodobý a opakovaný. Z tohto pohľadu možno aj prieskumom typu MONITOR
prisúdiť pomerne veľkú mieru náhodilosti.
Výsledky testu, realizovaného na skupinách porovnateľných vekom a úrovňou prípravy,
predsa len umožňujú formulovať určité tvrdenia, ktorých význam presahuje hodnotenie
skúmaných piatich tried.
Najprv je zrejmé, že efektívnosť práce učiteľov, prejavujúca sa vo vedomostiach žiakov,
nie je podstatným spôsobom ovplyvnená rozsahom a kvalitou metodických materiálov, ktoré
majú učitelia k dispozícii. Ak by to bol závažný faktor v komplexe podmienok vzdelávania,
musel by sa značne nepriaznivo odraziť na výsledkoch žiakov slovenských škôl, ktorých
83
ĽUBOMÍR CZANNER, JÁN ČIŽMÁR
učitelia sú v tomto ohľade výrazne znevýhodnení v porovnaní s učiteľmi v sledovaných
zahraničných krajinách. Z toho možno usudzovať, že iniciatíva učiteľa a jeho tvorivosť
v príprave je dôležitým faktorom, ktorý jednak bráni učiteľovi skĺznuť do šablónovitej rutiny,
jednak zvyšuje jeho samostatnosť a celkovú kvalifikovanosť.
Ďalej s istou opatrnosťou možno usudzovať, že takáto činnosť učiteľov sa odráža aj
v samostatnejšej a premýšľavejšej činnosti žiakov, pričom táto zložka ich práce neuberá na
ich numerických zručnostiach, ktoré sú napr. v Anglicku výsledkom tradičného drilu.
Výsledky v štandardných numerických operáciách nasvedčujú, že napriek rastúcemu
používaniu technických prostriedkov informačno-komunikačných technológií vo výučbe
matematiky už na primárnom stupni nácvik individuálnych numerických zručností zostáva
jedným z dôležitých cieľov matematického vzdelávania v primárnej škole.
Bez nároku na všeobecnosť možno formulovať záver, že vyučovanie matematiky na
primárnom stupni, v ktorom sa vyvážene spája numerický dril na báze pamäti s nácvikom
logického myslenia a riešením aplikačných úloh vyžadujúcich samostatný úsudok, je
perspektívnou cestou v didaktike matematiky na primárnom stupni, ktorá by sa mala plne
kvalifikovane prejaviť v tvorbe učebníc, učebných pomôcok a metodických materiálov.
LITERATÚRA
[1]
John Neter, Michael H. Kutner, Christopher J. Nachtsheim, William Wasserman.
Applied Linear - Statistical Models, 4th ed., McGraw-Hill Int. 1974
PaedDr. Ľubomír Czanner
Základná škola
Dubová ul. č. 1
811 04 Bratislava
e-mail: [email protected]
[email protected]
Prof. RNDr. Ján Čižmár, PhD.
Katedra matematiky a informatiky
Pedagogická fakulta
Trnavská univerzita
Priemyselná ulica č. 4
P.O. BOX 9
91843 Trnava
e-mail: [email protected]
[email protected]
84
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MATEMATIKA – NIEKTORÉ POHĽADY NA ČINNOSŤ MOZGU PRI UČENÍ
VIERA ČERŇANOVÁ
ABSTRACT. Neuropsychological classification proposes 5 basic types of learning. Each one of
them is exemplified in this paper. For that purpose we take examples and situations that
occurred in our experience of teaching mathematics.
Kľúčové slová. Neuropsychológia, vyučovanie matematiky.
Úvod
Z biologického hľadiska je za učenie sa jednotlivca zodpovedný jeho mozog. Otcom
myšlienky hľadať súvislosť medzi učením resp. pamäťou a biochemickými procesmi
v mozgu je Eric Richard Kandel, laureát Nobelovej ceny za Fyziológiu a medicínu z roku
2000. Dobeš [2] prehľadne zosumarizoval aktuálne poznatky neuropsychológie a dal ich
k dispozícii v slovenčine. Vyberieme z nich práve tie, ktoré sa týkajú procesov v mozgu pri
učení. Na ich priblíženie predložíme situácie, s ktorými sa stretávame pri vyučovaní
matematiky. Niektoré odborné pasáže prevezmeme nezmenené z [2].
Neuróny a ich prepojenia
Mozog je postavený z neurónov a viacerých typov podporných buniek. Neurón je bunka
podobná iným. Zvláštnou ju robí jej schopnosť prijímať informácie od iných neurónov,
spracovať ich a poslať ďalším neurónom. Neurónov je v ľudskom mozgu približne sto
miliárd, pričom každý z nich je prepojený až s niekoľkými tisícami ostatných. Z týchto spojení
sa vytvára obrovská zložitosť nášho mozgu. Informácie sa cez neurón šíria elektricky. Na
synapsii (prepojení) neurónu so susedným neurónom sa spôsob prenosu informácie dočasne
mení na chemický. Neuróny na synapsiách uvoľňujú do synaptickej štrbiny rozličné chemické
látky – neuroprenášače (neurotransmitery) a takisto sú prostredníctvom receptorov na stene
synapsie citlivé na rozličné neuroprenášače.[...] Jeden neurón môže obsahovať jeden, no i
viac druhov neuroprenášačov.
Všetky informácie v mozgu sú uložené vo forme toho, ako sú neuróny medzi sebou
poprepájané a toho, ako efektívne sú prepojenia medzi nimi. Tieto charakteristiky sa pod
vplyvom skúseností ustavične menia, a tak sa náš mozog učí a vyvíja. ( [2], kapitola 2)
Typy učenia
Všimnime si teraz, ako prebieha vlastné učenie sa jednotlivca. Dobeš [2] v kapitole 14
uvádza: Poznáme viacero typov učenia (spôsobov, ako sa informácia uchová v mozgu). Tieto
typy učenia nie sú vždy nezávislé, často sa spolu kombinujú.
V našom príspevku priblížime tieto spôsoby na učení (sa) matematiky. Budeme ich
ilustrovať autentickými situáciami z pedagogickej praxe.
85
VIERA ČERŇANOVÁ
Habituácia
Základom habituácie je zníženie účinnosti synaptického prenosu medzi neurónmi. Signál
sa už neprenáša tak ľahko, spojenie medzi príslušnými neurónmi sa oslabuje. Deje sa tak
pravdepodobne preto, že sa neurotransmiter v synaptickej štrbine neobnovuje dosť rýchlo a
spojenie nie je posilňované. Keď nás daný podnet neobťažuje, ani nám nič nedáva, nie je
dôvod posilňovať cestu, ktorou prichádza. [2]
Habituácia je istým spôsobom otupením reakcie na nejaký podnet. Pri učení sa
matematiky by sme sem mohli zaradiť zautomatizovanie niektorých postupov alebo činností.
Tak, ako pri kráčaní striedame nohy automaticky, bez uvedomovania si jednotlivých pohybov
a bez zamýšľania sa nad nimi, tak napríklad pri geometrickej konštrukcii stredu úsečky alebo
pri jednoduchých algebraických úpravách ich žiaci často vykonávajú automaticky.
Automatizácia je do určitej miery vhodná. Nie je predsa žiaduce zamýšľať sa zakaždým a do
hĺbky nad každým elementárnym krokom.Keď sú však žiaci či študenti na vyššej úrovni
chápania, mali by sme sa k tej či onej téme vrátiť a pozdvihnúť jej chápanie žiakmi na úroveň
„prečo“ z pôvodného „ako“. Napríklad: učiteľ na strednej škole odvodí (dúfame, že tomu tak
je) vzorec pre výpočet koreňov kvadratickej rovnice s použitím diskriminantu. Žiaci sa
následne stanú „užívateľmi“ tejto metódy. Keď sa ich s odstupom času, povedzme po roku,
spýtame, prečo je vzorec práve taký, aký je, nevedia. Ak vedia, sú to svetlé výnimky. Je však
vhodné – najneskôr pred maturitou – tento vzorec opäť odvodiť. Vtedy je už metóda u žiakov
väčšinou zautomatizovaná a môžeme ísť hlbšie. Máme veľkú šancu, že žiaci pochopia
súvislosti a osvoja si odvodenie vzorca resp. ideu metódy. Tak sa stane súčasťou ich poznania
a nie iba nacvičenou technikou.
Za jeden z prístupov vo vyučovaní matematiky, ktoré nezdravo podporujú habituáciu,
považujeme spôsob riešenia konštrukčných úloh obvyklý v našich školách. Pri ňom učiteľ
vyžaduje od žiakov opis konštrukcie - následnosť krokov bez ich zdôvodnenia. Produktom
takéhoto prístupu sú žiaci a študenti, ktorí sa pýtajú „ako sa to robí“, no nezaujímajú sa,
„prečo sa to tak robí“. Učiteľ možno implicitne predpokladá, že v prípade potreby by žiak
vedel jednotlivé kroky vysvetliť a obhájiť, skutočnosť je však iná. Alarmujúco na nás
zapôsobila táto skúsenosť: u študentov štvrtého ročníka učiteľského štúdia matematiky sme
narazili na veľký odpor a nevôľu, keď sme od nich žiadali, aby jednotlivé kroky, ktoré urobili
pri riešení konštrukčnej úlohy, vysvetlili a zdôvodnili. Tvrdili, že na taký prístup neboli
zvyknutí, je im cudzí, nevedia ho použiť a najmä, zdá sa im zbytočný.
Senzitizácia
Senzitizáciou nazývame zvýšenú odpoveď na podnet. Najmä pri ohrozujúcich stimuloch
sa zvyšuje naša citlivosť na takéto podnety i na také, ktoré sú im podobné. V tomto prípade sa
zvyšuje účinnosť synaptického prenosu medzi neurónmi, ktoré vedú informáciu o škodlivom
podnete. Zvyšuje sa produkcia transmitera a prostredníctvom druhých poslov sa posilňujú
spojenia medzi príslušnými neurónmi. [2]
Aj keď ohrozujúce stimuly sa pri vyučovaní sotva vyskytujú, princíp senzitizácie
môžeme úspešne využiť. Napríklad tým, že budeme opakovane predkladať niektoré typy úloh
alebo úlohy, ktoré vyžadujú istý druh úsudku, a to v rôznych kontextoch. Konkrétne,
s cieľom formovať a upevňovať logické uvažovanie žiaka budeme systematicky pestovať
jeho (i svoju vlastnú) citlivosť na slovné formulácie, na používanie logických spojok, na
logické interpretácie viet a tvrdení. Dbáme pritom, aby nedošlo k nesprávnemu formalizmu a
automatizácii, na ktoré sme upozornili pri habituácii.
86
MATEMATIKA – NIEKTORÉ POHĽADY NA ČINNOSŤ MOZGU PRI UČENÍ
Absolventi našich základných škôl vo väčšine prípadov urobia po vyriešení rovnice
skúšku správnosti. Toto považujeme za jeden z pozitívnych výsledkov senzitizácie vo
vyučovaní matematiky. Pri otázke, prečo robia skúšku správnosti, zneli najčastejšie odpovede
opýtaných gymnazistov: „To sa musí.“ a „Je to povinné.“. V týchto odpovediach by sme
mohli identifikovať náznaky „ohrozenia“. Práve ono zrejme viedlo žiakov v minulosti
k tomu, aby prijali skúšku správnosti ako nevyhnutnú súčasť riešenia rovnice: nevykonanie
takejto skúšky bolo pravdepodobne klasifikované horšou známkou či iným trestom.
Na nasledujúcom obrázku pochádzajúcom z [3] si všimnime zrejmý protiklad medzi
habituáciou a senzitizáciou.
Normálny stav
Dlhodobá habituácia
Dlhodobá senzitizácia
Obrázok 1: Zmeny na neurónoch ako dôsledok dlhodobého učenia.
Hebbovské učenie
Hebbovské učenie (pomenované podľa Donalda Hebba) je veľmi dôležitým mechanizmom
asociačného učenia. Ak je presynaptický neurón aktívny a v krátkom čase po ňom je aktívny
niektorý jeho sused, spojenie medzi nimi sa posilní. Naopak, u neurónov, ktoré nie sú aktívne
v tom istom čase, sa ich vzájomné prepojenie oslabuje. Podľa tohto učenia sa do nášho
neuronálneho systému môžu ukladať asociácie medzi podnetmi, ktoré spolu súvisia. Na
začiatku však v mozgu táto informácia nie je. Iba opakovaným sledovaním toho, že tieto
podnety sa vyskytujú spolu, sa v mozgu vytvoria príslušné prepojenia. Potom stačí, aby bola
prítomná časť celku a v našom mozgu sa automaticky aktivizuje celok. [2]
Hebbovské učenie má svojím budovaním asociačných prepojení a podmieneného
uvažovania nezastupiteľnú úlohu pri formovaní logického myslenia žiakov. Okrem tohto
priameho a bezprostredného významu vo vyučovaní matematiky nám teória hebbovského
učenia ponúka ozrejmenie mnohých situácií a javov.
Napríklad, pri riešení úlohy:
Úloha: Výraz x 2 − 4 x + 3 upravte na štvorec.
žiak napíše:
x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2) 2 − 1 = ( x − 2 − 1)( x − 2 + 1) = ( x − 3)( x − 1) odkiaľ x1 = 3 , x2 = 1 .
U tohto žiaka spočiatku dominoval pokyn „upravte na štvorec“. Vzápätí mu však práca
s daným kvadratickým výrazom asociovala prepojenie na „celok“, ktorým je v jeho mozgu
„riešenie kvadratickej rovnice“, konkrétne rovnice x 2 − 4 x + 3 = 0 . V takejto situácii je učiteľ
vystavený pokušeniu prideliť žiakovi nálepku hlúpy. Naša nepríjemná reakcia či príliš prísne
hodnotenie však môže mať za následok potlačenie žiakovej snahy učiť sa. Dokonca v ňom
môže podporiť budovanie negatívneho obrazu o svojich matematických schopnostiach.
Nepodľahnime teda takémuto pokušeniu, nelámme nad „hlúpym“ žiakom palicu. Radšej mu
87
VIERA ČERŇANOVÁ
pomôžme vybudovať vnútornú potrebu spätnej kontroly: naučme ho prepojiť riešenie úlohy
so zadaním.
Priming
Priming (predpríprava) je mechanizmus, ktorý Dobeš [2] ilustruje takýmto príkladom:
Keď si prečítate slovo „doktor“ a potom uvidíte písmená „lek...“, skôr vás napadne slovo
„lekár“ ako napríklad „lektor“ či „lekno“. Ďalej píše: Primingom nazývame efekt, keď
prezentovanie jedného podnetu zvýši pravdepodobnosť rozpoznania toho istého alebo
podobného podnetu. Ak sú aktivované neuróny prezentujúce jeden z nich, ich aktivita sa šíri
medzi všetkých susedov, s ktorými majú silné prepojenia. Táto aktivita nemusí hneď
vyprovokovať v našej pamäti všetky súvisiace pojmy, ale zvýši pravdepodobnosť ich aktivácie
(potencuje ich) v budúcnosti. Z toho, čo sme sa dozvedeli o hebbovskom učení a o primingu
usudzujeme, že priming môže byť založený na zmenách, ktoré vznikli hebbovským učením.
Učiteľ matematiky môže pri učení veľmi úspešne využívať princíp primingu. Pomocou
neho dokáže žiakov vhodne nasmerovať pri riešení nových, zložitejších či netradičných úloh.
Aj návodné úlohy v domácich kolách matematickej olympiády sa opierajú o mechanizmus
primingu.
Na ilustráciu opíšeme situáciu, keď priming zohral nečakane negatívnu úlohu. Stalo sa to
na gymnáziu Metodova v Bratislave, kde sa matematika vyučuje po francúzsky. V teste
z pravdepodobnosti v piatom ročníku 1 bol v jednej z úloh text:
Úloha: Cvičené opice α a β dokážu zostaviť „slová“ z piatich písmen nasledujúcim
spôsobom...
Opica po francúzsky je singe. Študenti boli na veľmi pokročilej jazykovej úrovni, po
maturitnej skúške z francúzštiny. Napriek tomu 60% študentov nedokázalo túto úlohu ani
uchopiť, nieto ešte vyriešiť. Súbor hlások s-i-n-g-e v nich totiž evokoval nesprávny význam:
keďže šlo o test z matematiky, namiesto singe videli signe. A slovo signe znamená po
francúzsky znamienko. S takýmto významom slova, čiže so znamienkom, však text úlohy
nedával zmysel.
Tento jav sa nám zdal natoľko zaujímavý, že aj v nasledujúcich troch rokoch sme zaradili
do testu z pravdepodobnosti tú istú úlohu. Pritom sme žiakov vopred informovali, že
v prípade neúspechu dostanú možnosť napísať opravný test. Chceli sme tým eliminovať
psychologicky negatívny vplyv stresu na úspešnosť zvládnutia danej úlohy. V každom
z týchto rokov bola úspešnosť sledovanej úlohy porovnateľná s prvým rokom, zakaždým
kvôli nesprávnej interpretácii slova singe. V ďalšom roku sme zaradili do testu tú istú úlohu,
za slovom singe sme však do zátvorky uviedli opica. Všetci študenti pochopili zadanie úlohy
a viac než 80% ju vyriešilo správne.
Podľa nášho názoru majú priming i hebbovské učenie vo vyučovaní matematiky veľmi
dôležité miesto. S ich vhodným využívaním môže učiteľ dosiahnuť u žiakov skutočne dobré
výsledky.
Učenie posilnením
Učenie posilnením (reinforcement learning) berie do úvahy výsledok nášho správania. Ak
niečo urobím a dostanem za to odmenu (alebo trest), cesta, ktorou som ku svojmu správaniu
dospel, sa posilní (alebo inhibuje). [...] V tomto type učenia hrajú úlohu dopamínový
1
Štúdium v týchto bilingválnych triedach je päťročné.
88
MATEMATIKA – NIEKTORÉ POHĽADY NA ČINNOSŤ MOZGU PRI UČENÍ
komplex2, ktorým je vedený transmiter na zvýšenie efektívnosti synaptického prenosu, a
prefrontálna kôra, kde sa zbiehajú a porovnávajú informácie o našom správaní a reakcie
okolia naň. [2]
Pravdaže, formulácia „ak niečo urobím“ sa nevzťahuje iba na skutky (dobré či zlé). Vo
vyučovaní matematiky si môžeme pod „čo urobím“ predstaviť nejaký logický úsudok,
grafické znázornenie či geometrickú konštrukciu, algebraickú úpravu a podobne, ktoré žiak
urobil. To ho viedlo k pochopeniu či správnemu riešeniu úlohy (odmena) alebo, naopak,
ukázalo sa ako nesprávne (trest). Cesta (správny postup) sa posilní. To znamená, že pri ďalšej
situácii, v ktorej bude možné úspešne aplikovať rovnaký alebo podobný úsudok, sa zvýši
pravdepodobnosť, že ho žiak použije.
„Ak niečo urobím“ môže mať podľa nášho názoru aj ďalší obsah. Napríklad, pri
preberaní nejakého učiva žiak vedome (explicitne) i podvedome (implicitne) ukladá do
svojho vedomia príslušné pojmy, súvislosti a vzťahy medzi nimi, ako i vhodné postupy
riešení úloh. Takto vytvorené prostredie vo vedomí žiaka však nemusí byť celkom správne.
Pravdupovediac, po prvom preberaní príslušného tematického celku býva pomerne nesúrodé,
skreslené, posunuté. Môže takým zostať i v prípade, že daný tematický celok preberáme
dlhšiu dobu, no bez prerušenia. Pri špirálovom vyučovaní sa v priebehu príslušného
vzdelávacieho cyklu, prípadne aj v priebehu školského roka, k tomu istému učivu
viacnásobne vraciame.3 To nám umožňuje korigovať deformácie v žiakovom poznaní,
pomôcť mu „posilňovať správnu cestu“ a odbúravať nesprávne prepojenia.
Učenie posilnením sa javí ako skvelý nástroj zvyšovania motivácie žiakov. Logicky to
vyplýva z toho, čo sme uviedli o učení posilnením. No nielen to. Neuropsychologické štúdie
potvrdzujú, že dopamínový komplex a prefrontálna kôra skutočne zohrávajú pri motivácii
dôležitú úlohu. ([2], kap.12) Pri vyučovaní (nielen) matematiky považujeme za mimoriadne
dôležitú objavovaciu činnosť žiakov. Preto je potrebné každý ich objav vysoko hodnotiť či už
známkou, bonusovými bodmi alebo aspoň verbálne. V objavovaní ich treba povzbudzovať aj
vtedy, keď robia chyby. Veď kto sa snaží niečo objaviť, nutne robí aj chyby, vyberie sa
nesprávnou cestou a podobne. Negatívne hodnotenie v tejto fáze učenia je nevhodné. Mohlo
by pôsobiť ako brzda rozvoja samostatného myslenia žiakov.
Záver
V našom príspevku sme priblížili päť typov učenia vyčlenených neuropsychológiou.
Vybrali sme k tomu niekoľko javov a situácií, s ktorými sme sa stretli pri vyučovaní
matematiky. Zároveň sme chceli upozorniť na široké možnosti, ktoré nám ponúkajú poznatky
neuropsychológie práve pri vyučovaní matematiky. Vďaka poznaniu princípov fungovania
ľudského mozgu a myslenia môžeme pôsobiť vo vyučovacom procese oveľa fundovanejšie.
Na jednej strane dokážeme účinnejšie podchytiť potenciál svojich žiakov, na druhej strane sa
vyvarujeme zbytočných chýb.
2
Dopamín je chemická látka, ktorá sa tvorí prevažne v strednom mozgu. Odtiaľ ho nervové výbežky buniek transportujú do
kôrových i podkôrových centier a uvoľňuje sa do synapsií. V synaptickej štrbine sa viaže s bielkovinovým receptorom inej
bunky, vďaka čomu dochádza k prenosu informácie. Keďže bielkovinová štruktúra tvoriaca receptor je citlivá vždy iba na jeden
druh transmitera, receptory určené pre kontakt s dopamínom nereagujú na žiaden iný transmiter.
3
Pri špirálovom usporiadaní (osnov) je každé učivo, ktoré by v časovom harmonograme zabralo rozsiahlejší priestor, rozdelené
na menšie ucelené časti, a tie sú zaradené do viacerých ročníkov. Takto má v každom ročníku, od určitého počnúc, svoje miesto
algebra, geometria, štatistika, analytická a vektorová geometria, funkcie a matematická analýza. Pri postupe do vyšších a vyšších
ročníkov stále viac prepájame poznatky z rôznych tematických celkov. ([1], strana 41)
89
VIERA ČERŇANOVÁ
LITERATÚRA
[1]
Čerňanová, V.: Implementácia špirálového spôsobu vyučovania do osnov matematiky
pre štvorročné gymnáziá. Dizertačná práca. FMFI UK, Bratislava 2009
[2]
Dobeš, M.: Základy neuropsychológie, Košice, Spoločenskovedný ústav SAV, 2005,
ISBN 80-967182-4-X In: pcl.tuke.sk/neuropsychologia
www.saske.sk/SVU/psychologia/download/neuropsy.pdf
[3]
Kandler, E.R.: Cellular Mechanisms of Learning and the Biological Basis of
Individuality. In: Kandel, E.R.- Schwartz, J.H.- Jessel, T.M.: Principles of neural
science, New York, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-8385-7701-6
RNDr. Viera Čerňanová
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského
Mlynská dolina
SK – 842 48 Bratislava
e-mail: [email protected]
90
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
DOES THE PHILOSOPHY BE NECESSARY FOR THE TEACHER OF
MATHEMATICS?
JÁN ČIŽMÁR
ABSTRACT. This paper investigates a collection of questions whose adequate solution is
indispensable for a fully qualified teaching of mathematics at all levels of the school system. It
looks for answers that can be useful for all teachers in their routine practice and in searching of
the sense of mathematics as well. It refers to the power and limitations of mathematics and a
transposition of that knowledge into didactical practice.
KEY WORDS. Philosophy of mathematics, foundations of mathematics, philosophical topics in
the instruction of mathematics.
ABSTRAKT. V článku sa skúma súbor otázok, ktorých primerané riešenie je nevyhnutné pre
plne kvalifikované vyučovanie matematiky na všetkých stupňoch školskej sústavy. Hľadá
odpovede, ktoré môžu byť užitočné pre všetkých učiteľov v ich každodennej praxi, ako aj
v hľadaní zmyslu matematiky. Poukazuje na silu I ohraničenia matematiky a na transpozíciu
do didaktickej praxe.
KĽÚČOVÉ SLOVÁ.: Filozofia matematiky, základy matematiky, filozofické témy vo vyučovaní
matematiky.
1 Introduction
A background of a fully qualified instruction of mathematics at all levels of the school
system consists of
- an adequate knowledge of relevant theoretical foundations of school mathematics
- a theoretical background and practical skills in the didactics of mathematics
- an adequate knowledge of the history of mathematics and
- a knowledge of both mathematical logic and philosophy of mathematics.
There are generally no doubts about the importance of two first components of the
teacher’s qualification but the importance of the historical and philosophical knowledge is
queried very often. The goal of this contribution is an attempt to show how a right solution of
some philosophical problems concerning mathematics is inevitable for a correct
understanding and a successful instruction of mathematics. It will be shown what questions
must be clarified in the teacher’s mind for to explain pupils/students correctly and with a
dispassionate point of view not only technical skilfulness of mathematics but also a sense of
mathematics and its mental power and intellectual faculties. A range of philosophical
problems that should be clarified someway in the teacher’s mind is enormously wide. Perhaps
the most important for a didactical practice are those ones as follows:
• What is mathematics?
• Sources of mathematics (A historical development of views)
• The objective (real) and philosophical status of mathematical entities (objects, relations,
operations) (A historical glance at the development of views)
• The character of mathematical statements, assertions, propositions, theorems
• Sources and nature of mathematical truths
91
JÁN ČIŽMÁR
• The research in mathematics: – objects of the research
– results of the research (How to interpret them)
• The world of mathematics and real universe
• Mathematics and logic; mathematics as a formal system
• Mathematics as a language; languages of mathematics
An approach to the interpretation, explanation and solving of these problems was a strongest
factor of the origin and development of a plenty philosophical-logical-methodological
schools at the turn of and during the whole 20th century.
2 Main conceptions
The earliest philosophical conceptions of mathematics have arisen at Greeks in the
ancient history. At Pythagoras and Pythagoreans the numbers (i. e. natural numbers) and
proportions (i. e. rational numbers in the modern sense) were a universal base of the world.
For Plato the numbers and geometric forms were real entities in the world of the pure ideas
whose imperfect shadows in the human world were memory recollections at the preceding
perfect life in the empire of pure ideas. By Aristotle concepts – including numbers and
geometrical forms – were abstractions of object classes perceived by senses. No of these
conceptions corresponds fully to the historically created mathematical concepts and no of
them can be accepted in the origin form as an adequate reflection of the right nature of
mathematical objects. But in a modernized form they play still a significant role in the
investigation and explanation of the substance of mathematics. E. g. so called mathematical
realism declaring the objective existence of mathematical objects – not invented but only
discovered by human mind – can be regarded as a modification of the Platonism.
Three (or four) main philosophical schools on foundations of mathematics elaborated in
the developed form in the three first decades of the 20th century were concentrated more on
the problems of the logic and structure of mathematical theories than at answering crucial
problems of a substance and nature of mathematics. Logicism puts the main stress on the
logic foundations of mathematics and it can be regarded as an attempt to reduce mathematics
to the logic. The enormous importance of logic in mathematics cannot be denied but the
reducing mathematics to the logic omits other indispensable components and parts of
mathematics and neglects the fundamental question about the origin and nature of
mathematical objects.
Formalism focuses its attention on the formal-logical structure of mathematical theories
and is neglecting the real content of mathematical entities. The source and nature of
mathematical objects and statements is also in this conception no subject of an ontological
and epistemological investigation. A symbolic description of the language of a theory is in
the foreground of interests of formalism instead of concrete relations between fully
significant objects. The semiotic point of view dominates over the semantic one in the
formalism.
The formalism is usually closely connected with the Hilbert’s finitism programme
requiring the structuring of a complete theory from a finite system of axioms. The Gödel’s
incompleteness theorems claim the impossibility to carry out the Hilbert’s programme in a
full extent. Nevertheless the methodological power of this programme is still preserved in the
formation of mathematical theories with limitations settled by Gödel’s theorems.
The last main philosophical-logical school of foundations of mathematics at the
beginning of the 20th century was intuitionism. In the original Brouwer’s conception it
proclaims an inborn ability to perceive intuitively natural numbers and to construct other
92
DOES THE PHILOSOPHY BE NECESSARY FOR THE TEACHER OF...
mathematical objects such as other kinds of numbers, relations, definitions, proofs etc. by
finite mental constructions preserving rules of a logic distinct from the Aristotelian one. The
intuitionistic logic rejects the classical principle of the excluded middle (equivalent with the
principle of double negation) and in the methodological sphere rejects Cantor’s actual infinity
and admits only a potential infinity in constructions. Besides other it has for a consequence
the rejection of indirect proofs. A purely mathematical methodological modification of the
intuitionism free from an ideological garment is known under the name constructivism. An
initial sympathy for the intuitionism has been changed rapidly after finding out that a lot of
essential results of classical mathematical analysis based on existence proofs and on actual
infinity are not valid in the intuitionistic mathematics.
The mathematical-philosophical schools mentioned above except intuitionism do not deal
explicitly with pure philosophical questions concerning objects and methods of mathematics.
The forthcoming development of the philosophy of mathematics in the 20th century
returned to laid problems aside and gave numerous stimuli for the formation of several
modifications on offshoots of main philosophical conceptions of foundations of mathematics.
Mathematical realism as was mentioned above is a modification of Platonism that
suggest an extraspatial, extratemporal, extracausal, eternal and unchanged objective existence
of mathematical entities. A unique essential difference of mathematical realism from classical
Platonism consists in the way of perceiving objects: for contemporary mathematical realism it
is a discovery of human mind analogous to sense perception while for pure Platonism it is a
recollection of the soul at the time of life in the empire of pure ideas.
Empiricism is a modified realism denying a possibility to know mathematics a priori at
all. It claims mathematics to be an empirical science similar to other sciences on the nature
and discovering mathematical objects serving as tools of describing and explanation of facts
and phenomena in those sciences. The most important critical argument against empiricism
lies in an enormous inertia of mathematical objects and their almost absolute resistance
against empirical experience. Another topic of a debate is the historical origin of primary
mathematical concepts such as (natural) numbers, the simplest geometrical forms (triangle,
circle etc.) and primitive relations and operations. The fundamental error of empiricism is in
the assertion on an inseparable dependence of mathematical objects on the physical world. It
is true in the sense of physiology because no thinking is possible outside human brain and
interconnected human body organs but the assertion about real world as a unique source of
concepts is not valid concerning higher forms of psychic functions.
Fictionalism is in some sense opposite to the empiricism. It denies the indispensability of
mathematics with respect to other sciences and proposes the formation of sciences without
quantitative and other mathematical methods. Nevertheless it rehabilitates mathematics as a
useful kind of fiction helping to describe the matter of processes and to supply reliable tools
for applications.
There are else many other theories considering mathematics from various points of view
and emphasizing particular sides of mathematics. A common feature of these theories is a
hypertrophy of particular parts or properties of mathematics in relation to other characteristics
and false argumentation by this one-sided point of view.
Every teacher of mathematics should attain an adequate survey of basic philosophical
conceptions of foundations of mathematics for to act correctly in the process of instruction in
situations requiring a necessary explanation of elementary philosophical questions.
3 Didactical transposition of some philosophical conceptions into school programme
93
JÁN ČIŽMÁR
A crucial role of a teacher of mathematics in the field of philosophy of mathematics is to
help pupils/students in creating right convictions on the nature of mathematical objects,
methods, assertions, truths, proofs etc. It requires a reliable knowledge of both relevant issues
in the philosophy of mathematics and their adequate transfer into corresponding items of the
educational programme.
The main questions of pupils/students on the substance of mathematics are as follows:
– What is the nature of numbers?
– What is a nature of geometrical objects?
– What are limits of a mathematical truth?
– What does it mean “a proof” in mathematics?
An answer at each question must be adequate to the age and development of mental
abilities of pupils/students. Generally said it is a long way at the primary school from
modelling a natural number through concrete things to an abstract concept of this number.
Even students of tertiary schools or universities need not to reach a level of convictions on
mathematical objects as ideal objects in the sense of 20th century mathematical-philosophical
schools.
3.1 The nature of arithmetical and algebraic concepts in the school programme
Natural numbers
The initial point of the creation of the concept of natural numbers is a pupils’ personal
and/or social experience. The mastery of a teacher in the instruction natural number consist of
a sophisticated creating effective social experience at pupils. Manipulative activities of pupils
with concrete objects grow step by step to an abstraction evoked by the understanding of the
equivalence of two disjoint finite sets. At that stage – in the Middle Europe usually in the 4th
form at the numeration – pupils meet (usually implicitly) the notion of an infinity in the form
of an potential infinity at creating set of natural numbers.
Fractions and (positive) rational numbers
The first pupils’ convictions on simple fractions come from the children’s nearest family
and social environment and are based on a real personal experience. Lower operations (i. e.
the addition and subtraction) with simple fractions by help of manipulative activities ought to
precede the understanding a fraction as a result of the division by a non-zero divisor in the
domain of natural numbers. The entire instruction of fractions must show pupils that fractions
and operations with them are highly abstract mental constructions on the base of knowledge
natural numbers despite a vivid and visual character of primary models of fractions and
manipulative operations with them. The final product of the instruction these topics – the
concept of the (positive) rational number – should be presented as a result of a long and
graded process of the abstraction and generalization. It is desirable to create at pupils a strong
conviction on the extension of previous concept of a number limited in the first stage on the
domain of natural numbers.
Integers
The extension of the domain of natural numbers by negative integers motivated by
several convincing examples from daily practice shows clearly at the artificial character of
this step. A frontier between positive and negative integers is usually chosen with respect to
purposes of describing situation that ought to be expressed eventually by negative integers.
94
DOES THE PHILOSOPHY BE NECESSARY FOR THE TEACHER OF...
Negative numbers are obviously mental construction on the base of preceding number
domains. They can be regarded as the first case of explicitly ideal objects in mathematics.
Irrational numbers; real numbers
The first examples of irrational numbers for pupils of secondary school are square roots
of some non-negative rational numbers. There are no sufficient mathematical tools for to
prove the irrationality of the majority of these numbers at that level of mathematical
education. Even at the tertiary schools a proof of the irrationality e. g. of the number 2 is
no general phenomenon. The irrational numbers occur rather frequently in the educational
programme in the mathematics at the tertiary schools: algebraic numbers as roots of algebraic
equations of higher degree, values of exponential, logarithmic and goniometric functions,
sums of infinite series etc. There are no exact mathematical tools available at that level of
education for to analyse in an adequate way the substance of irrational numbers and even to
distinct essential differences between algebraic and transcendental numbers. The irrational
numbers are regarded as a natural extension of rational numbers providing the solving of
inner problems of arithmetic and algebra. It is emphasized very rarely in the instruction that
in the practice one always deals with rational approximations of real numbers. The
construction of real numbers as Dedekind’s sections of the third kind is a part of university
educational programme in mathematical analysis or set theory and is met usually with a weak
understanding at students. They are mostly not able to capture nuances of that construction
and cannot see its necessity.
Complex numbers
The introduction of complex numbers into mathematics is an éclat of ideal objects
forced by a necessity to solve purely inner mathematical problems brought by the historical
development of mathematics. An artificial and imaginary character of these numbers was
clear since their origin especially when at that time there was no real (although mathematical)
model of them. A fixed stabilization of their place and status in mathematics required a
historically long time. It is important to put stress on this feature of complex numbers and to
show their example as a typical way of introducing new mathematical concepts behind
frontiers of any empirical experience.
Algebra: symbolic notation
A new level of the abstraction brings into mathematics the introduction of the symbolic
notation. An introduction of letters in the meaning of arbitrary constant quantities or variables
and the use of specific artificial symbols for the denotation of relations and operations could
be perceived by a noticeable part of pupils as a serious didactical obstacle in the
comprehension and acquiring of this higher level of mathematical education.
3.2 The comprehension of geometrical objects in the school educational programme
The first geometrical objects in the educational programme of the primary school such as
point, segment, triangle, square, circle, cube etc. are perceived by pupils as immediate
reflections of real things with a plenty of models from the nearest family, social and school
surroundings. This point of view is preserved at a slightly higher level of the abstraction
during the entire time of school education. The concepts of geometrical objects are connected
fixedly all the time with the visual characteristic attributes of geometrical objects from the
real life. Perhaps this feature of the comprehension and conviction of geometric concepts was
95
JÁN ČIŽMÁR
a reason for Plato’s assertion about the nature of geometrical concepts as intermediate objects
between pure ideas and their materialization. The power of theoretical geometrical statements
and their great applicability led to a conviction that usual (i. e. Euclidean) geometry is a true
theoretical form of the real space we live in. Kant has expressed this fact by the thesis that
Euclidean geometry is a priori an inborn idea of the space in the human mind. There are very
rare opportunities to present in the school education a scientific unsustainability of this thesis
by positive presentation of non-Euclidean geometries as scientific theories of an equal value
with the Euclidean geometry. A conviction on the geometry as a suitable mathematical model
of the real space we live in goes behind possibilities of school education outside special
university mathematical courses. Thus it is enough to formulate as basic aims in the
geometrical school education to reach at pupils a conviction on the Euclidean geometry as an
acceptable, practically applicable and sufficiently true abstraction of the real space. Every
teacher should know that the top scientific stance nowadays claims another assertion.
3.3 The nature of mathematical truths
Mathematical results have at most laymen a character of incontestable and indispensable
truths holding always, eternally and everywhere independently of any circumstances. An
educated teacher of mathematics should know that a validity of mathematical assertions
depends on the choice of fundamental statements (expressed usually by axioms of the
relevant theory) and on the choice of used logical foundations. This is a framework that
presents limitations of the “truth”, a generality, validity and applicability of a mathematical
theory. Unfortunately the present state of mathematical education excludes from the
educational programme at tertiary schools the unique acceptable and suitable example of the
formation the theory of space geometry by an adequately exact axiomatic-deductive method.
It was in the past and it could be in the present and in the future an exhibition of a power and
limitation of a contemporary mathematical theory built by tools of an axiomatic-deductive
method. The age and mental abilities of tertiary school students admit such a step as a
reasonable way.
4 Conclusions
Some knowledge in the philosophy of mathematics is indispensable for a successful
instruction of every teacher of mathematics. She/he needs not to evoke a premature attention
of pupils to abstract philosophical questions on the nature of mathematical entities but should
give a brief and adequate information on those topics at relevant places and in a suitable time.
It can help and support the creation of correct and useful convictions of pupils on the power,
role and position of mathematics in the science and real life.
REFERENCES
[1]
Ferreirós, J. – Gray, J. J.: The Architecture of Modern Mathematics. Oxford, University
Press, 2006. ISBN 0-19-856793-6
[2]
Shapiro, S., editor: The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and
Logic. Oxford, University Press, 2005. ISBN – 13 978-0-19-514877-0
96
DOES THE PHILOSOPHY BE NECESSARY FOR THE TEACHER OF...
[3]
Avigad, J.: Philosophy of Mathematics. In: Boundas, C., editor: The Edinburgh
Companion to the 20th Century Philosophies. Edinburgh, University Press,
2007, pp. 234 – 251
Prof. RNDr. Ján Čižmár, PhD.
Katedra matematiky a informatiky
Pedagogická fakulta
Trnavská univerzita
Priemyselná 4
P.O. BOX 9
918 43 Trnava
e-mail: [email protected]
97
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
APLIKÁCIE VEKTOROV V EKONÓMII
ADRIANA DEMOVÁ
ABSTRACT. The main aim of this contribution is to show various applications of mathematical
apparatus in economy at seminaries of mathematics for economists. In teaching process it is
necessary to mediate to students of Faculty of economics and management not only theoretical
knowledge but also possibilities of application in economy practice. Problem shows
applications of vectors.
Úvod
Matematika je súčasťou teoretického základu vzdelania. Okrem teoretických poznatkov
však treba študentom poukázať využitie matematiky v ďalšom štúdiu a v praxi. Preto je
vhodné po osvojení základných poznatkov zaradiť do vyučovacieho procesu praktické,
aplikačné úlohy. Tým majú študenti možnosť vidieť význam a dôležitosť matematických
metód v odborných predmetoch, čo ich vedie k motivácii ďalšieho štúdia. Na Fakulte
ekonomiky a manažmentu Slovenskej poľnohospodárskej univerzity v Nitre je potrebné vo
výučbe uvádzať ekonomické aplikácie matematiky. V tomto príspevku chceme na
konkrétnych príkladoch poukázať na využitie vektorov v ekonómii.
Vektory
Teória vektorov patrí k tej časti lineárnej algebry, ktorá má význam nielen pri riešení
rôznych technický problémov, ale aj ekonomických. Poslucháči Fakulty ekonomiky
a manažmentu Slovenskej poľnohospodárskej univerzity v Nitre si uvedený matematický
aparát ozrejmujú v druhom semestri v rámci prednášok a cvičení kurzu Matematika II. Pri
aplikácii vektorov najskôr uvedieme matematické pojmy, ktoré neskôr pri riešení
príkladov použijeme.
Definícia 1 (n-rozmerného vektora). Nech n je prirodzené číslo. Usporiadanú n-ticu
a1 , a2 , ..., an
nazývame n-rozmerným vektorom a označujeme
reálnych čísel
a = (a1 , a2 ,..., an ) . Číslo ai , i = 1, 2,… , n , nazývame i-tou zložkou (súradnicou) vektora a .
Zložkami vektora a = (a1 , a2 ,..., an ) môžu byť prvky ľubovoľnej množiny čísel (prirodzené,
reálne, atď.). Vektory označujeme malými písmenami so šípkou, napr.: a , x .
Definícia 2 (rovnosť dvoch vektorov). Dva n-rozmerné vektory a = (a1 , a2 ,..., an ) ,
b = (b1 , b2 ,..., bn ) sa navzájom rovnajú práve vtedy, keď rovnosť ai = bi platí pre každé
i = 1, 2,… , n .
Definícia 3 (operácia sčítania vektorov). Súčtom dvoch n-rozmerných vektorov
a = (a1 , a2 ,..., an ) , b = (b1 , b2 ,..., bn ) nazývame n-rozmerný vektory c = (c1 , c2 ,..., cn ) ,
pre ktorý platí ci = ai + bi , pre i = 1, 2,… , n .
Príspevok vznikol v rámci riešenia projektu KEGA 3/7382/09 a inštitucionálneho projektu GA SPU 747/01160.
99
ADRIANA DEMOVÁ
Definícia 4 (operácia násobenia vektora reálnym číslom). Súčinom reálneho čísla k a nrozmerného vektora a = (a1 , a2 ,..., an ) nazývame n-rozmerný vektory d = (d1 , d 2 ,..., d n ) , pre
ktorý platí d i = k ⋅ ai , pre i = 1, 2,… , n .
Definícia 5 (skalárny súčin vektorov). Skalárnym súčinom dvoch n-rozmerných vektorov
a = (a1 , a2 ,..., an ) , b = (b1 , b2 ,..., bn ) nazývame číslo
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 +
+ anbn =
n
∑ aibi .
i =1
Ekonomické aplikácie vektorov
V tomto odseku uvedieme príklady na ilustráciu použitia vektorov pri riešení problémov
praxe.
Príklad 1
Podnik vyrába štyri druhy výrobkov A, B, C a D. Výrobné ceny jednotlivých produktov sú:
10 € pre výrobok A, 18 € pre výrobok B, 13 € pre výrobok C a 27 € pre výrobok D. Aká je
výrobná cena celej produkcie podniku, ak sa vyrobí 250 kusov výrobku A, 400 kusov
výrobku B, 320 kusov výrobku C a 290 kusov výrobku D?
Riešenie:
Ceny výrobkov A, B, C, D označíme pomocou cenového vektora c = (10 ,18,13, 27 ) . Ďalej
označíme počet vyrobených produktov A, B, C a D pomocou výrobného vektora
v = (250, 400, 320, 290) . Celkovú výrobnú cenu podniku vypočítame pomocou skalárneho
súčinu vektorov c a v :
c ⋅ v = (10 ,18,13, 27 ) ⋅ (250 , 400 , 320 , 290 ) = 10 ⋅ 250 + 18 ⋅ 400 + 13 ⋅ 320 + 27 ⋅ 290 =
= 2500 + 7200 + 4160 + 7830 = 21690.
Vypočítali sme, že celková výrobná cena podniku je 21690 €.
Príklad 2
Firma poskytuje päť druhov výrobkov A, B, C, D, E. Cenový vektor pre dané výrobky je
c = (20 ,18, 34 , 40 , 28) . Vyjadrime cenový vektor, ak ceny výrobkov vzrastú o 15%.
Riešenie:
Cenový vektor c ∗ po náraste cien výrobkov o 15% je daný súčinom čísla a cenového vektora
c:
c ∗ = 1,15 ⋅ c .
Dosadíme súradnice cenového vektora a aplikáciou Definície 4 získame
c ∗ = 1,15 ⋅ (20 ,18, 34 , 40 , 28) = (1,15 ⋅ 20; 1,15 ⋅ 18; 1,15 ⋅ 34; 1,15 ⋅ 40; 1,15 ⋅ 28) =
= (23; 20,7; 39,1; 46; 32,2) .
Cenový vektor po náraste cien je (23; 20,7; 39,1; 46; 32,2 ) .
100
APLIKÁCIE VEKTOV V EKONÓMII
Príklad 3
Podnik vyrába tri druhy výrobkov V1, V2, V3, na ktoré potrebuje suroviny S1, S2, S3.
Na vyrobenie jedného výrobku V1 potrebujeme 20 jednotiek suroviny S1, 15 jednotiek
suroviny S2 a 30 jednotiek suroviny S3. Na výrobu jedného výrobku V2 potrebujeme 50
jednotiek suroviny S1, 25 jednotiek suroviny S2 a 35 jednotiek suroviny S3. Na výrobu
jedného výrobku V3 potrebujeme 45 jednotiek suroviny S1, 40 jednotiek suroviny S2 a 10
jednotiek suroviny S3. Koľko bolo vyrobených výrobkov V1, V2 a V3, ak sa spotrebovalo
5400 jednotiek suroviny S1, 4175 jednotiek suroviny S2 a 3075 jednotiek suroviny S3?
Riešenie:
Spotrebný vektor výrobku V1 môžeme zapísať pomocou vektora s1 = (20 ,15, 30) , spotrebný
vektor výrobku V2 môžeme zapísať pomocou vektora s2 = (50 , 25, 35) a spotrebný vektor
výrobku V3 môžeme zapísať pomocou vektora s3 = (45, 40 ,10) . Spotrebný vektor pre
celkovú výrobku je s = (5400, 4175, 3075) . Neznáme počty vyrobených výrobkov V1, V2, V3
označme ako vektor x = (x1 , x2 , x3 ) .
Musí byť splnená vektorová rovnica s1 ⋅ x1 + s2 ⋅ x2 + s3 ⋅ x3 = s .
Dosadíme súradnice vektorov
(20,15, 30) ⋅ x1 + (50, 25, 35) ⋅ x2 + (45, 40,10) ⋅ x3 = (5400, 4175, 3075) .
Použitím Definície 4 dostaneme
(20 x1 ,15 x1 , 30 x1 ) + (50 x2 , 25 x2 , 35 x2 ) + (45 x3 , 40 x3 ,10 x3 ) = (5400, 4175, 3075) .
Spočítaním vektorov na ľavej strane rovnosti získame
(20 x1 + 50 x2 + 45 x3 ,15 x1 + 25 x2 + 40 x3 , 30 x1 + 35 x2 + 10 x3 ) = (5400, 4175, 3075).
Porovnaním zložiek vektorov podľa Definície 2 zostavíme sústavu troch lineárnych rovníc
s neznámymi x1 , x2 , x3 .
20 x1 + 50 x2 + 45 x3 = 5400
15 x1 + 25 x2 + 40 x3 = 4175
30 x1 + 35 x2 + 10 x3 = 3075
Na výpočet danej sústavy môžeme použiť niektorú z metód riešenia sústav lineárnych rovníc.
Riešením sústavy je trojica x1 = 50 , x2 = 25, x3 = 70. To znamená, že z daného množstva
surovín S1, S2, S3 bolo vyrobených 50 kusov výrobku V1, 25 kusov výrobku V2 a 70 kusov
výrobku V3.
Príklad 4
Kŕmna zmes KZ1 obsahuje 7 jednotiek krmoviny A a 4 jednotky krmoviny B. Kŕmna zmes
KZ2 obsahuje 5 jednotiek krmoviny A a 2 jednotky krmoviny B. Koľko jednotiek každej
kŕmnej zmesi musíme zobrať, aby sme dostali novú kŕmnu zmes, ktorá bude obsahovať 31
jednotiek krmoviny A a 16 jednotiek krmoviny B?
Riešenie:
101
ADRIANA DEMOVÁ
Postup riešenie čitateľovi stručne naznačíme. Zložky jednotlivých kŕmnych zmesí môžeme
zapísať pomocou vektorov: z1 = (7 , 4) pre kŕmnu zmes KZ1, z 2 = (5, 2) pre kŕmnu zmes KZ2
a z3 = (31,16) pre novú kŕmnu zmes. Neznámy počet jednotiek kŕmnej zmesi KZ1 označme x
a neznámy počet jednotiek kŕmnej zmesi KZ2 označme y.
Riešením vektorovej rovnice z1 ⋅ x + z 2 ⋅ y = z3
získame hľadaný počet jednotiek kŕmnej zmesi KZ1 a KZ2.
Ďalej počítame:
(7 , 4) ⋅ x + (5, 2) ⋅ y = (31,16)
(7 x , 4 x ) + (5 y , 2 y ) = (31,16)
(7 x + 5 y , 4 x + 2 y ) = (31,16).
Z týchto údajov zostavíme sústavu lineárnych rovníc
7 x + 5 y = 31
4 x + 2 y = 16 ,
ktorej riešením je x = 3, y = 2. Ak zoberieme 3 jednotky kŕmnej zmesi KZ1 a 2 jednotky
kŕmnej zmesi KZ2, získame novú kŕmnu zmes požadovaného zloženia.
Záver
Je známe použitie rôznych aplikácií z matematickej analýzy v ekonomickej praxi.
Menej známe je použitie vektorovej algebry pri riešení ekonomických problémov.
Poukázaním na túto skutočnosť môžeme študentov Fakulty ekonomiky a manažmentu
Slovenskej poľnohospodárskej univerzity motivovať k prehlbovaniu ich záujmu o ďalšie
štúdium, aby pochopili, že matematika má v ich vysokoškolskom vzdelávaní významné
miesto.
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
Demová, A.: Niektoré ekonomické aplikácie integrálneho počtu, In: Zborník
vedeckých prác z medzinárodného vedeckého seminára Nové trendy v univerzitnom
matematickom vzdelávaní, Nitra, SPU, 2009, s. 37 - 41 ISBN 978-80-552-0197-9
Országhová, D. – Trenčianska, A. – Pechočiak, T. – Gregáňová, R. – Stehlíková, B. –
Zentková, I.: Aplikované úlohy z matematiky v ekonómii, Nitra, SPU, 2004, ISBN 808069-333-1
Országhová, D. – Farkašová, M. – Gregáňová, R. – Kecskés, N. – Pechočiak, T.:
Matematika a jej aplikácie v obchodných činnostiach, Nitra, SPU, 2006, ISBN 808069-757-4
RNDr. Adriana Demová
Katedra matematiky
Fakulta ekonomiky a manažmentu
Slovenská poľnohospodárska univerzita
Trieda A. Hlinku 2
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
102
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
JANKA DRÁBEKOVÁ
ABSTRACT. In this paper, we highlight the use of logarithms in natural science, and thus
emphasize the importance of teaching the properties of logarithms and logarithmic functions in
the process of science or agricultural education.
Úvod
Prírodovedné predmety prispievajú k formovaniu vedeckého rozvoja i bádateľskej činnosti a
využívanie matematických metód v prírodných vedách je neoddeliteľnou súčasťou ich
komplexného a odborného štúdia [8]. Matematika vedie študentov k racionálnej práci,
deduktívnemu spôsobu myslenia, k presnej a stručnej formulácii myšlienok i k osvojeniu si
matematickej symboliky ako ďalšieho prostriedku vyjadrovania [17]. Základom
matematického vzdelávania je vytvorenie prostredia podnecujúceho tvorivosť. Niektorí
pedagógovia preto hľadajú nové metódy i formy prístupu k študentom, teoretické učivo
dopĺňajú aplikačnými úlohami a snažia sa šíriť matematický spôsob myslenia medzi
študentov.
Význam aplikácií matematiky
Keďže veľa študentov považuje matematiku za „neobľúbený“ predmet, jedným z cieľov
učiteľa matematiky by malo byť zaujať študentov. Dá sa to dosiahnuť aj tým, že im ukážeme
jej využitie. Aplikačný charakter matematiky sa dá využiť na zvýšenie efektívnosti
vyučovania a tiež záujmu študentov o matematiku. Študenti by mali chápať, že vedomosti z
matematiky im umožňujú vytvárať komplexný pohľad na mnohé problémy vyplývajúce z
odbornej praxe. Schopnosť študentov aplikovať matematické vedomosti sa však nevyvíja
sama od seba a pedagógovia sú nútení prispôsobiť obsah matematického vzdelávania
k odborným predmetom študentov a tomuto procesu podriadiť metódy, formy či prostriedky
vyučovania matematiky.
Katedra matematiky Fakulty ekonomiky a manažmentu Slovenskej Poľnohospodárskej
Univerzity v Nitre zabezpečuje výučbu matematiky pre študentov všetkých svojich fakúlt. Na
Fakulte biotechnológie a potravinárstva majú poslucháči 1.ročníka v letnom semestri
zaradený predmet „Matematika“ s rozsahom výučby 1hodina prednášok a 3hodiny cvičení.
Absolvovanie tohto predmetu by malo zabezpečiť u študentov základné znalosti z lineárnej
algebry a matematickej analýzy. Vzhľadom na rozsah výučby sme aplikované úlohy a rôzne
odborné aplikačné články zaradili do e-learningového kurzu [5], ktorého využívanie bolo
súčasťou zápočtového hodnotenia študentov. Na zdôraznenie využitia matematiky sme tiež
zaviedli riešenie aplikovanej úlohy vo forme seminárnej práce. Vďaka týmto zmenám vo
výučbe, sme skoro vôbec nepočuli večnú otázku našich poslucháčov „Načo nám to bude?“.
V tomto príspevku sa snažíme poukázať na využitie logaritmov v prírodných vedách a tým
zdôrazniť význam výučby vlastností logaritmov a logaritmickej funkcie v procese
prírodovedného alebo poľnohospodárskeho vzdelávania.
Príspevok vznikol v rámci riešenia projektov KEGA 3/7382/09 a GA SPU 747/01160.
103
JANKA DRÁBEKOVÁ
Využitie logaritmov
1. Jedným z najznámejších využití logaritmov v chémii je vyjadrenie vodíkového exponentu
pH vodných roztokov. Autoionizácia vody je dej, pri ktorom chemicky čistá voda obsahuje
popri „celých“ molekulách vody aj niekoľko iónov H 3O + a OH − . Presným meraním sa
zistilo, že v 10 miliónoch litroch vody je ionizovaný len jeden mól molekúl vody [16].
Koncentrácia oxóniových katiónov a aniónov je potom ⎡ H 3O + ⎤ =
⎣
⎦
1
= 10−7 mol ⋅ dm −3 ,
10 000 000
1
⎡OH − ⎤ =
= 10−7 mol ⋅ dm−3 . Záporný dekadický logaritmus koncentrácie oxóniových
⎣
⎦ 10 000 000
katiónov nazývame pH : pH = − log ⎡ H 3O + ⎤ . Určujeme podľa neho kyslosť
⎣
⎦
neutrálnosť
a zásaditosť
( pH ∈ ( 7,14 )
( pH ∈ 0, 7 )) ,
( pH = 7 )
vodných roztokov. Analogicky ako pH sa môže použiť pri
vodných roztokoch symbol pOH , ktorý udáva záporný dekadický logaritmus koncentrácie
hydroxidových aniónov: pOH = − log ⎡OH − ⎤ [13].
⎣
⎦
2. Záporný dekadický logaritmus sa v chémii využíva aj pri vyjadrovaní sily kyselín (resp.
zásad) pomocou hodnôt pK A (resp. pK B ), ktoré sú zadefinované ako záporný dekadický
logaritmus
disociačnej
konštanty
kyseliny
(resp.
zásady):
pK A = − log K A
(resp. pK B = − log K B ) [16,21]. Teda, ak je pred chemickým symbolom iónu alebo symbolom
rovnovážnej konštanty písmeno p , znamená to, že uvedená číselná hodnota je záporným
dekadickým logaritmom aktivity príslušných iónov, alebo hodnoty rovnovážnej konštanty
[21].
3. Pri prechode žiarenia látkou z jeho celkovej energie časť pripadá na odraz, časť na rozptyl,
časť sa absorbuje a zvyšná časť pripadá na žiarenie, ktoré prešlo cez sústavu [21]. Na
vyjadrenie absorpcie žiarenia látkou, ktorou prechádza, sa využíva logaritmus. Túto
problematiku rieši Lambert-Beerov zákon, ktorý matematicky vyjadruje závislosť absorpcie
elektromagnetického žiarenia od vlastností materiálu, cez ktorý žiarenie prechádza [12,21]:
Φ = Φ 0 ⋅10−ε λ cl , kde Φ 0 je vstupný svetelný tok, Φ je výstupný svetelný tok, c je
koncentrácia absorbujúcej vrstvy, ε λ je mólový absorpčný koeficient pri vlnovej dĺžke λ a l
je hrúbka absorbujúcej vrstvy (obrázok 1).
Obrázok 1: Schématické zobrazenie prechodu svetelného lúča cez absorbujúcu vrstvu v kyvete [12]
Pre vyjadrenie závislosti absorpcie žiarenia od koncentrácie absorbujúcej zložky je vhodné
vzťah logaritmovať, čím sa z exponenciálnej závislosti stane lineárna [12]. Relatívne
množstvo
pohltenej
svetelnej
energie
sa
vyjadruje
absorbanciou
( A ):
104
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
Φ0
= − log T = ε λ cl . Absorbancia je definovaná ako záporný dekadický logaritmus
Φ
transmitancie ( T ). Transmitancia (priepustnosť) prostredia vyjadruje popis strát svetla pri
jeho prechode látkou, udáva sa v percentách a počíta sa ako podiel svetelného toku Φ po
Φ
prechode cez isté prostredie a pôvodného svetelného toku Φ 0 : T =
[12,21].
Φ0
A = log
4. Na Lambert-Beerovom zákone (t.j. na absorpcii žiarenia) sú založené mnohé analytické
metódy. Jednou z nich je napríklad UV absorpčná spektroskopia proteínov používaná na
stanovenie koncentrácie proteínov v roztoku. Metóda využíva to, že aminokyseliny tryptofán,
tyrozín a fenylalanín absorbujú UV žiarenie. V spektrofotometri sa vzorka roztoku presvieti
UV žiarením a na detektore za vzorkou sa meria pokles intenzity UV žiarenia v porovnaní
s intenzitou žiarenia pred prechodom cez vzorku [11]. Podľa Lambert-Beerovho zákona
závisí absorbancia od koncentrácie proteínu lineárne a vyjadruje sa ako dekadický logaritmus
pomeru intenzity vstupujúceho a vystupujúceho žiarenia: A = log
I0
= ε bc , kde I 0 je intezita
I
svetla pred prechodom vzorkou, I je intenzita svetla po prechode vzorkou, ε λ je mólový
absorpčný koeficient pri vlnovej dĺžke λ , c je koncentrácia proteínu a b je hrúbka vzorky,
cez ktorú musí prejsť lúč svetla [11].
5. Dokonca aj vrámci elektroforézy DNA sa stretneme s logaritmom, pretože pohyblivosť
molekúl DNA v agarózovom géli je nepriamo úmerné logaritmu ich veľkosti. Molekuly
dvojvláknovej DNA sa pohybujú rýchlosťou, ktorá je závislá od prevrátenej hodnoty
logaritmu ich molekulovej hmotnosti [9]. Na základe tejto vlastnosti je možné určiť veľkosť
neznámych fragmentov DNA porovnaním s pohyblivosťou štandardov molekulovej
hmotnosti (tzv. DNA leader) [22].
6. Neoddeliteľnou súčasťou výučby mikrobiológie je téma rastu mikroorganizmov.
Rastová krivka (obrázok 2) vyjadruje závislosť logaritmu počtu buniek v jednotke objemu od
času [4].
Obrázok 2: Rastová krivka [14]
1 – lag-fáza, 2 – fáza zrýchleného rastu, 3 – exponenciálna fáza, 4 – fáza spomaleného rastu,
5 – stacionárna fáza, 6 – fáza odumierania, x – počet živých buniek v 1 ml, τ – čas.
V rámci matematickej analýzy rastu sa logaritmus využíva napríklad na vyjadrenie
rýchlostnej konštanty: µ = ln 2 ⋅ r , kde r je počet delení za jednotku času [7]. Alebo tiež na
vyjadrenie počtu generácií, v priebehu ktorých jednobunková populácia mikroorganizmov,
v priaznivých životných podmienkach, zväčší množstvo živých buniek, čiže kolónií
tvoriacich jednotiek na určitý objem: n =
N
N
N
1
1
⋅ ln n ∨ n =
⋅ log n ∨ n = lg n
ln 2
log 2
N0
N0
N0
, kde N 0
105
JANKA DRÁBEKOVÁ
je počet živých buniek na začiatku množenia a N n je počet živých buniek po n
generáciách [6].
7. Problém hodnotenia heterogenity krajiny a biodiverzity je už mnoho rokov v popredí
záujmu ekológov [2]. Pre hodnotenie a kvantifikáciu hodnôt diverzity sa využívajú indexy
diverzity. Spomeňme aspoň jeden, ktorý sa počíta pomocou logaritmov. Shannonov index
celkovej druhovej diverzity vo svojom matematickom vyjadrení obsahuje prirodzený
S
logaritmus: H = −
∑ pi ⋅ ln pi , S
je počet druhov, pi je vyjadrené ako pomer ni a N , kde ni
i =1
je počet jedincov i-tého druhu a N je celkový počet jedincov. Pomocou Shannonovho indexu
sa vyjadruje index vyrovnanosti (equitability). Ide o pomer nameranej a maximálnej diverzity
( H max = ln S ): E =
H
[1,2].
ln S
8. Logartimy sa používajú aj na definovanie sily zemestrasenia. Energiu uvoľnenú
zemetrasením, resp. tú jej časť, ktorá sa vyžiari seizmickými vlnami zaznamenávajú
seizmometre. Účinky na ľudí a stavby merajú makroseizmické stupnice intenzity a na odhad
veľkosti uvoľnenej energie sa používa magnitúdo a seizmické momenty [18]. Richterova
stupnica je stupnica, ktorou sa exaktne popisuje veľkosť (sila) zemetrasenia. Táto metóda
meria tzv. lokálne magnitúdo, ktoré sa vyjadruje ako dekadický logaritmus pomeru amplitúdy
a periódy seizmickej vlny [18].
9. Logaritmická špirála je krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí, rastie
rovnako do dĺžky i do šírky. Je to asymetrická krivka, ktorá vyjadruje symetrický rast [3].
Polomer logaritmickej špirály r rastie exponenciálne s veľkosťou uhla ϕ . Matematický
1
b
zápis v polárnych súradniciach: r = a ⋅ ebϕ resp. ϕ = ⋅ ln
r
, kde a, b sú konštanty. Zostrojiť
a
ju môžeme napríklad pomocou zlatého obdĺžnika, ktorého strany sú v pomere
Φ=
1+ 5
2
1, 61803 (obrázok 3).
Obrázok 3: Schématický nákres logaritmickej špirály v zlatom obdĺžniku [19]
Logaritmickú špirálu často vidíme aj v prírode. Tvar logaritmickej špirály má schránka
druhov rodu Nautilus a niektorých mäkkýšov (obrázok 4), usporiadanie semien slnečnice či
smrekovej šišky, plod ananásu a karfiolu (obrázok 5) atď. Hmyz sa napríklad blíži k svetlu po
logaritmickej špirále, pretože sa pohybuje tak, aby videl svelo stále pod rovnakým uhlom
[20].
106
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
Obrázok 4: Ulity v tvare logaritmickej špirály [15]
Obrázok 5: Logaritmická špirála v prírode [10,20]
Záver
Rozvíjanie matematických schopností, vďaka ktorým študenti vedia prepojiť odborné
prírodovedné vedomosti s matematikou, si vyžaduje využívanie nielen deduktívneho ale aj
konštruktívneho prístupu k vyučovaniu matematiky. Využime ho teda na zvýšenie
atraktívnosti a obľúbenosti matematiky. Zdôraznime aj jej aplikačný charakter a určite
vzbudíme záujem študentov.
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Begon, M. - Harper, J.L. - Townsend, C.R.: Ekologie: jedinci, populace, společenstva,
Olomouc, Vydavatelství Univerzity Palackého, 1997, ISBN 80-7067-695-7
Belanová, M.: Diverzita odvetví na základe odvetvovej klasifikácie podnikov podľa
ekonomickej činnosti v Slovenskej republike, zborník, International scientific days,
FEM SPU, Nitra, 2006, 1326-1331, online, cit. 2009-08-26, dostupné na internete:
http://www.fem.uniag.sk/mvd2006/zbornik/sekcia7/s7_belanova_maria_12.pdf
Demová, A.: Zlatý rez okolo nás, zborník príspevkov Acta mathematica 8, FPV UKF,
Nitra, Edícia Prírodovedec č.188, 2005, 161-170, ISBN 80-8050-644-2
Drábeková, J.: Výživa a rast mikroorganizmov. In: Marenčík a kol., 2003. Všeobecná
mikrobiológia, vysokoškolské učebné texty, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec
č.120, 2003, 49-59, ISBN 80-8050-644-2
Drábeková, J.: Elektronický kurz ako súčasť výučby matematiky, zborník vedeckých
prác účastníkov seminára „Matematika-škola-IKT“, FPV UKF, Nitra, Edícia
Prírodovedec č.364, CD, 2009, 3-8, ISBN 978-80-8094-518-3
Drábeková, J. - Pechočiak, T.: Aplikácie viet o logaritmoch v mikrobiológii pre
študentov SPU, zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie Veda-VzdelávaniePrax, 2.diel, PF UKF, Nitra, 2007, 225-229, ISBN 978-80-8094-203-8
Drábeková, J. - Pechočiak, T.: Rýchlosť rastu ako derivácia funkcie podľa času,
zborník vedeckých prác z medzinárodného vedeckého seminára „Nové trendy
v matematickom vzdelávaní“, Katedra matematiky FEM SPU, Nitra, CD, 2008,
39-43, ISBN 978-80-552-0038-5
107
JANKA DRÁBEKOVÁ
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
Fándlyová, S.: Stechiometrické koeficienty v chemických rovniciach, zborník
príspevkov Acta mathematica 11, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec č.326, 2008,
79-83, ISBN 978-80-8094-396-7
Holme, D. – Peck, H.: Analytical biochemistry, 3. vyd. London: Longman, 1998, ISBN
0-582-29438-X
Květák,
online
obrázok,
cit.
2009-08-27,
dostupné
na
internete:
http://www.astro.cz/apod/ap030925.html
Krutka, V. – Horčičák, P.: UV absorpčná spektroskopia proteínov, online príspevok,
cit. 2009-08-20, dostupné na internete: http://147.175.66.118/upload/SOC.pdf
Lambertov-Beerov zákon, online príspevok, cit. 2009-08-20, dostupné na internete:
http://sk.wikipedia.org/wiki/Lambertov-Beerov_zákon
Poláček, Š. – Tomáš, J. – Vollmanová, A. – Lazor, P. – Tóth, T.: Chemické
názvoslovie, rovnice a výpočty, vysokoškolská príručka, SPU, Nitra, 2006, ISBN 808069-752-3
Šilhánková, L.: Mikrobiologie pro potravináře a biotechnology, Praha, Academia,
2002, ISBN 80-200-1024-6
Ulity,
online
obrázok,
cit.
2009-08-27,
dostupné
na
internete:
geometrie.kma.zcu.cz/work/KS/obrazky.htm
Vallo, D: Matematika pre chemikov – pracovné listy z vybraných kapitol,
vysokoškolské skriptá, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec č. 223, 2006, ISBN 808094-049-5
Zaťková, M.: Prečo (sa) učiť matematiku, zborník príspevkov z 5.žilinskej didaktickej
konferencie s medzinárodnou účasťou - DIDZA, Žilina, 2008, CD, ISBN 978-80-8070863-4
Zemetrasenie, online príspevok, cit. 2009-08-25, dostupné na internete:
http://sk.wikipedia.org/wiki/Zemetrasenie
Zlatá spirála, obrázek 5, online, cit. 2009-08-27, dostupné na internete:
http://geometrie.kma.zcu.cz/work/KS/LogSpir/LogaritmickaSpiralaOdk.pdf
Zlatý řez, online príspevok, cit. 2009-08-27, dostupné na internete:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlatý_řez
Žúrková, Ľ. – Fischer, O. – Pacák, J. – Sopková, A. – Staněk, Z.: Všeobecná chémia,
vysokoškolská učebnica, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, Bratislava, 1985,
ISBN 67-034-85
Westermeier, R.: Electrophoresis in Practise, Weinheim: Wiley-VCH, 2005, ISBN 3527-31181-5
RNDr. Janka Drábeková, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta ekonomiky a manažmentu
Slovenská Poľnohospodárska Univerzita
Trieda A. Hlinku 2
SK – 949 76 Nitra
e-mail: [email protected]
108
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
VYUŽITIE MATEMATICKÝCH VEDOMOSTÍ V PRÍRODOVEDNÝCH
PREDMETOCH
SOŇA FÁNDLYOVÁ
ABSTRACT. We concern with mathematical knowledges in natural sciences.
1. Úvod
Jedným z dôležitých cieľov vyučovania matematiky je naučiť žiakov matematiku
aplikovať. V školskej matematike obvykle simulujeme aplikácie matematiky riešením úloh.
Na úrovni základnej školy sú dôležité tzv. slovné úlohy, v ktorých je väčšinou popísaná určitá
reálna situácia (napr. s ekonomickou, fyzikálnou, spoločenskou, či inou tematikou) a úlohou
študenta je určiť odpoveď na položené otázky. Na základnej, strednej a vysokej škole sa však
stretávame s matematikou aj v prírodovedných predmetoch. Často krát sa stáva, že úlohy
žiaci riešia mechanicky, bez hlbšieho pochopenia matematického princípu v daných úlohách.
Pri hľadaní odpovedí na otázky v úlohách sú v zásade dve možnosti ako uvádza Kuřina1
(Kuřina, 1989):
„ 1. Spravíme príslušné experimentovanie v realite. Tento postup je často nemožný,
spravidla drahý a z hľadiska matematického vzdelávania málo významný. Využívajú ho
skôr predmety z oblasti prírodných vied.
2. Úlohu vhodným spôsobom modelujeme tak, aby sme pomocou matematického
modelu získali odpoveď na položené otázky.“
2. Niekoľko príkladov z rôznych oblastí chémie, fyziky, geografie a biológie
2.1 Aplikácia sústavy rovníc v chémii
Z mangánovej rudy, ktorá váži 20,6 tony a obsahuje sulfid mangánatý a manganičitý,
bolo vyrobené 11 ton mangánu. Koľko bolo sulfidu mangánatého a koľko bolo sulfidu
manganičitého?
Riešenie
Sulfid mangánatý ..... x ton
Sulfid mangáničitý ..... y ton
Podľa označenia platí nasledujúca rovnica
x + y = 20,6
(1)
Potrebujeme zistiť, koľko mangánu obsahuje samotný sulfid mangánatý a manganičitý.
Použijeme tabuľkové hodnoty molových hmotností.
Obsah Mn..........v zlúčenine MnS
1
Kuřina, F. – Umění vidět v matematice. 1989
109
SOŇA FÁNDLYOVÁ
Mm(Mn) = 55 g/mol
= 32 g/mol
Mm(S)
Mm(MnS) = 87 g/mol
Vypočítame pomer molovej hmotnosti mangánu Mn k molovej hmotnosti celej zlúčeniny
sulfidu mangánatého MnS
M m ( Mn )
55
=
M m ( MnS ) 55 + 32
Obsah Mn..........v zlúčenine MnS2
Mm(MnS2) = (55 + 32.2) g/mol = 119 g/mol
Rovnako vypočítame pomer molovej hmotnosti mangánu Mn k molovej hmotnosti celej
zlúčeniny sulfidu manganičitého MnS2
M m ( Mn )
55
=
M m ( MnS2 ) 55 + 32.2
Platí
55 x
55 y
+
= 11
55 + 32 55 + 32.2
(2)
Rovnicu (2) upravíme na jednoduchší tvar
55 x 55 y
+
= 11
87 119
119.55 x + 87.55 y = 11.87.119
119 x + 87 y = 0, 2.87.119
Dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi
x + y = 20, 6
119 x + 87 y = 0, 2.87.119
Z rovnice (1) vyjadríme y
y = 20, 6 − x
Túto hodnotu dosadíme do zjednodušenej rovnice (2) a dostaneme
119 x + 87. ( 20, 6 − x ) = 0, 2.87.119
(119 − 87 ) x = 87. ( 0, 2.119 − 20, 6 )
32 x = 87.3, 2
x = 8, 7
y = 20, 6 − 8, 7 = 11,9
Odpoveď: Mangánová ruda obsahovala 8,7 tony sulfidu mangánatého a 11,9 tony sulfidu
manganičitého.
2.2 Aplikácia diferenciálneho počtu v chémii
Nájdenie maximálnej rýchlosti oxidu dusnatého a kyslíka. Treba nájsť koncentráciu
kyslíka, pri ktorej sa oxid dusnatý nachádzajúci sa v zmesi oxiduje maximálnou
110
VYUŽITIE MATEMATICKÝCH VEDOMOSTÍ V PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOCH
rýchlosťou.
Riešenie
Za podmienok, keď reakcia
2 NO + O2 → 2 NO2
je prakticky nevratná, je jej rýchlosť vyjadrená vzťahom
v = kx 2 y
kde x .................koncentrácia NO v ľubovoľnom okamžiku,
y .................koncentrácia O2
k .................konštanta rýchlosti reakcie, ktorá nezávisí od koncentrácie reagujúcich
zložiek zmesi, ale závisí len od teploty.
Koncentrácie plynov budeme vyjadrovať v objemových percentách.
Teda y = (100 − x )
v = kx 2 (100 − x )
v = 100kx 2 − kx 3
Nájdeme prvú deriváciu tejto funkcie
dv
= 200kx − 3kx 2
dx
Chceme nájsť maximálnu rýchlosť oxidácie, položíme zderivovanú funkciu rovnú nule
k ( 200 x − 3 x 2 ) = 0
Riešením kvadratickej rovnice sú dva stacionárne body (pričom zoberieme do úvahy, že k=0)
kx ( 200 − 3 x ) = 0
x2 =
x1 = 0
200
= 66, 7
3
Nájdeme druhú deriváciu funkcie, aby sme mohli určiť, ktorá z nájdených hodnôt zodpovedá
maximálnej rýchlosti oxidácie
d 2v
= k ( 200 − 6 x )
dx 2
Dosadíme hodnoty x1 a x2 . Dostávame nasledujúce
pri x1 = 0
........ druhá derivácia je kladná, to znamená, že rýchlosť oxidácie je
minimálna ( k .200 )
pri x2 = 66, 7 ........ druhá derivácia je záporná, čiže rýchlosť oxidácie je
(
)
maximálna ( k ( 200 − 6.66, 7 ) )
Ak x = 66, 7 , potom y = (100 − 66, 7 ) = 33,3
111
SOŇA FÁNDLYOVÁ
Odpoveď: Oxid dusnatý oxiduje maximálnou rýchlosťou vtedy, keď plynná zmes obsahuje
33,3 % kyslíka.
2.3 Aplikácia vo fyzike
Na stole s výškou 65 cm je na okraji položená fľaša s výškou 30 cm, naplnená vodou.
V strede fľaše urobíme dieru. Akou rýchlosťou dopadá voda na zem?
Riešenie
Výška stola je 65 cm a keďže sme vo fľaši urobili dieru v strede, čo je 15 cm od stola, dráha
s po ktorej bude padať voda na zem má hodnotu (65 +15) cm. Voda je priťahovaná na zem
gravitačnou silou a dopadá za nejaký čas t , čo môžeme zapísať rovnicou
s=
1 2
gt
2
Rýchlosť vody, s akou dopadá na zem je priamo úmerne závislá od času
v = gt
Z prvej rovnice si vyjadríme t
2s
=t
g
a dosadíme do druhej rovnice
v = g.
2s
⇒ v = 2 sg
g
Číselne g 9,81m / s 2 , my však pre lepšie počítanie zaokrúhlime na 10m / s 2 a dráhu
uvedieme v metroch
v = 2.0,8.10
v = 4m / s
Odpoveď: Voda sa bude padať rýchlosťou 4 m/s.
2.4 Aplikácia elementárnej matematickej logiky v geografii
Peter letí z Pchjongjangu do Lisabonu o 10:00 v utorok. V Lisabone chce stihnúť
pracovné stretnutie o 11:00 utorok. Stihne to Peter? Kedy bude v Lisabone? Predpokladajme,
že lietadlo ide rovnomerne rýchlo rýchlosťou 1275 km/h. Vzdialenosť týchto dvoch miest je
11475 km.
Riešenie
Čas letu dostaneme, ak vydelíme dráhu rýchlosťou, čo v našom prípade znamená
t = 11475 :1275
t =9
Peter bude letieť 9 hodín, to znamená, že v Lisabone pristane o 19:00, ale Pchjongjangského
času. V Lisabone bude o 9 hodín menej, keďže Peter letí cez časové pásma.
112
VYUŽITIE MATEMATICKÝCH VEDOMOSTÍ V PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOCH
Odpoveď: Peter pristane v Lisabone o 10:00 v utorok Lisabonského času a stihne svoju
pracovnú schôdzku.
2.5 Aplikácia integrálneho počtu v biológii
Predpokladajme, že epidémia sa šíri rýchlosťou f(t) a) f(t)=3 ľudia , b) f(t)=3t ľudí, c)
f(t)=3t2ľudí infikovaných za týždeň. Koľko ľudí sa nakazí za mesiac?
Riešenie
Časový interval jedného mesiaca (resp. štyroch týždňov) bude
0, 4
. Počet ľudí
4
infikovaných za 4 týždne je teda daný výrazom
4
a)
s = ∫ 3dt
0
s = [3.4 − 3.0]
s = 12
∫ v(t )dt
0
. S je počet ľudí za mesiac.
4
b)
s = ∫ 3tdt
0
3 ⎤
⎡3
s = ⎢ .42 − .02 ⎥
2 ⎦
⎣2
s = 24
4
c)
s = ∫ 3t 2 dt
0
3 ⎤
⎡3
s = ⎢ .43 − .02 ⎥
3 ⎦
⎣3
s = 64
Odpoveď: Za mesiac sa nakazí a) 12 ľudí, b) 24 ľudí a c) 64 ľudí.
3. Záver
Zvládnutie základných vedomostí z matematiky a schopnosť ich praktického použitia sa
stalo nevyhnutnou potrebou v prírodných vedách. Úloha matematiky ako najúčinnejšieho
nástroja prírodných vied a zväčšila s rozvojom vedeckého pokroku, najmä v biológii. Je
dôležité vedieť narábať s matematickým aparátom, hlavne z mnohých matematických
obratov a metód vybrať tie, ktoré sú potrebné na riešenie daného problému. Samozrejme
našou malou ukážkou sme nevyčerpali všetky možnosti riešenia vybraných príkladov, ani
všetky úlohy, snažili sme sa poukázať na niektoré možnosti matematiky v prírodných vedách.
Chceli sme ukázať, že podstatou matematickej práce je presný rozbor všetkých javov, ktoré
sa v danej úlohe vyskytujú. Každému vyhovuje iný typ riešenia príkladov. Niekedy sa stáva,
že práve matematické riešenie úlohy otvára nové problémy. Ukáže sa, že pôvodná otázka je
len časťou oveľa väčšieho problému, inokedy si zasa môžeme pomôcť pri riešení zložitých
a ťažkých úloh rozložením problému na jednoduchšie časti, ktorých riešenie vieme. Zriedka
sa môže dokonca stať, že pomocné riešenia pomáhajú vzniku nových otázok, ktoré sú často
významnejšie ako pôvodne riešený problém. Tým sa vlastne matematika dostáva stále
dopredu a pomáha rozvíjať krásu prírodovedných predmetov.
113
SOŇA FÁNDLYOVÁ
LITERATÚRA
[1]
Kuřina, F. – Umění vidět v matematice. SPN Praha, 1989. ISBN 80-04-23753-3
[2]
Varga, M. Niektoré aspekty problémového vyučovania matematickej analýzy.
Dizertačná práca.
[3]
Batuner, L.M., Pozin, M.E.: Matematické metódy v chémii, SVTL Bratislava 1956.
[4]
Vallo, D., Matematika pre chemikov – pracovné listy z vybraných kapitol, Edícia
Prírodovedec č. 223, Nitra 2006, ISBN: 80-8094-049-5
PaedDr.Soňa Fándlyová
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
114
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
POZNÁMKY O ÚROVNI MATEMATICKÝCH KOMPETENCIÍ ŠTUDENTOV
EKONOMICKEJ FAKULTY UJS
ZOLTÁN FEHÉR
ABSTRACT. This article discusses about some characteristic points of mathematical
competencies of the students of economical studies. We analyze and describe mistakes of
students’ solutions of two tasks from theory of probability.
Úvod
V školských laviciach našich základných škôl nájdeme veľa nadaných žiakov, aj žiakov s
dobrými schopnosťami, ale vo väčšine sa nachádzajú tí, ktorí matematiku ovládajú len na
priemernej úrovni. Pre väčšinu žiakov tiež platí, že po ukončení školy sa ďalej nebudú
zaoberať matematikou. Našou úlohou vo vyučovaní matematiky je, aby sme žiakov pripravili
na riešenie problémov, s ktorými sa s veľkou pravdepodobnosťou budú stretávať v živote,
a majú matematický charakter. Platí to viacnásobne v prípade žiakov, ktorí o tento školský
predmet majú menší záujem, aby sme hlavne im ukázali užitočnosť matematiky. Ani pre
žiakov, ktorí sa rozhodli pokračovať v štúdiu na vysokej škole, ale ich záujem sa spája s inou
vednou oblasťou, ešte neznamená, že nebudú potrebovať využiť matematické vedomosti. Vo
vysokoškolských študijných odboroch (nematematických), kde sa vyučujú matematické
disciplíny, už nie je hlavným cieľom poukázať na použitie v každodennom živote, ale
predovšetkým na možnosti aplikácie matematiky v danom odbore. Do tejto skupiny
študentov patria aj študenti ekonomického smeru štúdia. Pre nich je dôležitá matematická
disciplína Pravdepodobnosť–Štatistika, keďže v ekonomickej praxi sa v značnej miere
vyžaduje aplikácia štatistických metód.
V tomto článku by sme chceli vyšetriť niektoré prvky matematických kompetencií
študentov ekonomických odborov. Na ilustráciu použijeme dve úlohy z pravdepodobnosti,
zadané v písomnom teste v rámci priebežného hodnotenia študentov z tohto predmetu
v druhom ročníku Ekonomickej fakulty Univerzity J. Selyeho v Komárne.
Dve úlohy z pravdepodobnosti na porovnanie matematických kompetencií
Matematické kompetencie sú súčasťou matematickej gramotnosti žiaka. Na základe
štúdia OECD PISA sú kompetencie zaradené do troch úrovní (pozri [1]):
- reprodukčná úroveň, úlohy merajúce kompetencie na 1. úrovni charakterizuje
reprodukcia naučeného materiálu, vykonávanie rutinných výpočtov a procedúr a
riešenie rutinných problémov,
- úroveň prepojenia, úlohy vyžadujú schopnosť prepojenia rôznych oblastí matematiky
alebo prácu s viacerými navzájom rôznymi reprezentáciami daného problému. Sú pre
ne charakteristické integrácia, prepojenie a nenáročné rozšírenie pre žiaka známeho
materiálu, modelovanie a spojenie viacerých pre žiaka známych metód.
- úroveň reflexie charakterizuje potreba rozvinutého uvažovania, argumentácie,
abstrakcie, zovšeobecnenia a modelovania použitého v nových kontextoch,
115
ZOLTÁN FEHÉR
originálneho matematického prístupu, spojenia viacerých zložitejších metód.
Pochopenie významu strednej hodnoty náhodnej premennej patrí medzi základné
požiadavky zo štatistiky a z teórie pravdepodobnosti. Strednú hodnotu E(ξ) definujeme ako
súčet hodnôt xipi, ak existuje (kde xi je hodnota premennej s pravdepodobnosťou pi). Najmä
v prípadoch diskrétnej premennej sa dá jednoducho interpretovať ako vážený aritmetický
priemer alebo ako ťažisko sústavy bodov a znázorniť na číselnej osi polohu rovnováhy, ktorá
bude práve v bode E(ξ). Preto sa stredná hodnota nazýva aj charakteristikou polohy.
Disperzia (rozptyl) je definovaná ako stredná hodnota (xi − E (ξ ) ) . Teda disperzia je miera
rozptýlenia hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty. Smerodajná odchýlka je
druhou odmocninou disperzie.
Nasledujúce dve úlohy boli súčasťou písomného testu z predmetu „Pravdepodobnosť“
v II. ročníku na Ekonomickej fakulte UJS. Riešilo ich 97 študentov. Vyšetrením týchto úloh
chceme poukázať na hlavné charakteristické znaky matematických kompetencií študentov.
2
1. úloha: Náhodná premenná ξ nadobúda hodnoty: -1, 0, 1, 2 s pravdepodobnosťami P(ξ
= -1) = 1/6; P(ξ = 0) = 1/3; P(ξ = 1) = 1/3; P(ξ = 2) = 1/6. Určte strednú hodnotu a
smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.
2. úloha: Hádžeme jednou hracou kockou. Ak padne niektorá z hodnôt 1, 3, 5, tak
vyhráme 20 Sk, ak padne 2 alebo 4, vyhráme 10 Sk a v prípade, že hodíme 6, prehráme 80
Sk. Určte strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku hodnoty výhry.
Prvá úloha vyžaduje základné vedomosti a rutinný výpočet, preto ju zadelíme do prvej
úrovne kompetencií na úrovni reprodukčnej. Úloha bola zadaná s výberom odpovede zo
štyroch možností s jednou správnou. Táto forma je vhodná pre úlohy na prvej úrovni
kompetencií. Druhá úloha je otvorená slovná úloha, preto očakáva od žiakov hlavne čítanie
textu úlohy s porozumením. Vyžaduje schopnosť prepojenia pravdepodobnosti s výpočtom
strednej hodnoty, zaradíme ju ako úlohu na druhej úrovni kompetencií na úrovni prepojenia.
Riešenie obidvoch úloh sa zakladá na použití vzorca E (ξ ) =
n
∑x p
i
i
pre výpočet
i =1
strednej hodnoty a D (ξ ) =
n
∑ (x
i
− E (ξ )) 2 ⋅ pi pre disperziu, z čoho smerodajná odchýlka
i =1
sa
vypočíta
odmocnením. Na výpočet disperzie je vhodnejšie použiť vzťah
2
D(ξ ) = E (ξ ) − E 2 (ξ ) . V prípade diskrétnej a konečnej náhodnej premennej sa hodnoty xi
a pi zapíšu do tabuľky a E(ξ) sa z toho už jednoducho vypočíta. V prvej úlohe sú hodnoty
premennej a prislúchajúce pravdepodobnosti dané, preto stačí priamo použiť vzorce na E(ξ)
resp. D(ξ). Ak si všimneme rozdelenie pravdepodobnosti, prípadne si aj zakreslíme na
číselnej osi, tak zistíme, že je symetrické vzhľadom na hodnotu 0,5. Teda správny výsledok
bude E(ξ) = 0,5 a vypočítame D (ξ ) = 0,96.
V druhej úlohe predchádzajúci výpočet tvorí druhý krok riešenia, v prvom kroku treba
určiť, aké hodnoty má náhodná premenná a hlavne s akou pravdepodobnosťou. Ako ďalej
uvidíme práve to robilo značné problémy väčšine študentov. V texte zadané tri peňažné sumy
budú číselnými hodnotami náhodnej premennej, v prípade výhry je táto hodnota kladná, pri
prehre je záporná. Pravdepodobnosť nastania udalosti v náhodnom pokuse je podiel počtu
116
Poznámky o úrovni matematických kompetencií študentov ...
priaznivých elementárnych udalostí k počtu všetkých elementárnych udalostí. Teda
rozdelenie pravdepodobnosti bude P(ξ = 20) = 3/6; P(ξ = 10) = 2/6; P(ξ = -80) = 1/6.
Výpočtom dostaneme pre strednú hodnotu 0, pre smerodajnú odchýlku 36,1.
Vyhodnotenie úloh
Na prvú úlohu odpovedali študenti zakrúžkovaním správnej odpovede zo štyroch
zadaných možností A, B, C, D. Pri vyhodnotení sme spočítali počet správnych a nesprávnych
odpovedí, ktoré uvádzame v Tabuľke 1.
1. úloha / riešenie
Počet študentov
Pomer
správne
74
76,3%
nesprávne
23
23,7%
Tabuľka 1: Prehľad riešenia 1. úlohy
Za správne riešenie druhej úlohy sme udelili 6 bodov. Keďže postup riešenia pozostáva
z dvoch hlavných krokov, šesť bodov sme rozdelili na 3+3 , teda za správnu tabuľku hodnôt
sme udelili 3 body a ďalej po jednom bode za výpočet E(ξ), D(ξ),
rozdelenia bodového hodnotenia je v Tabuľke 2.
2. úloha /
Počet študentov
D(ξ ) . Prehľad
Pomer
Bodové hodnotenie
6 bodov
5
5,2%
5 bodov
1
1%
4 body
6
6,2%
3 body
3
3,1%
0 bodov
34
35,1%
neriešil
48
49,5%
Tabuľka 2: Prehľad hodnotenia 2. úlohy
Zo všetkých 97 študentov takmer polovica ani neriešila 2. úlohu. Čiastočné riešenie
zadalo 15 študentov (15,5%). Títo študenti boli schopní porozumieť textu úlohy a správne
urobiť prvý krok riešenia, ktorý vyžaduje nájsť prepojenie na základe podmienok úlohy a
zistiť pravdepodobnosť prislúchajúcu hodnotám náhodnej premennej. Z týchto 15 študentov
už len tretina dokázala aj úspešne dokončiť riešenie úlohy, k čomu bolo potrebné vykonať iba
rutinné výpočty. Aké chyby urobili, prečo nedokončili riešenie? Aj na tieto otázky sme
117
ZOLTÁN FEHÉR
hľadali odpovede a pri vyhodnotení riešenia 2. úlohy sme analyzovali aj najčastejšie sa
vyskytujúce chyby.
Nula bodov získalo 34 študentov, ktorí z textu chybne zapísali pravdepodobnostné
rozdelenie (tabuľku údajov xi a pi). Je to najčastejšia chyba vyskytujúca sa v riešeniach,
predpokladáme že vyplýva z nesprávneho pochopenia textu úlohy. S tým súvisí, že študenti
nedokázali zistiť potrebné údaje z kontextu, aj keď vedeli k výpočtu pomocou vzorca, aké
hodnoty budú potrebovať. Na základe chybných úvah vznikli rôzne tabuľky čísel, v ktorých
sa vyskytovali číselné hodnoty z textu.
V prvom prípade za hodnoty xi náhodnej premennej si zvolili čísla od 1 po 6, ktoré potom
kombinovali buď so sumami 20 Sk, 10 Sk, -80 Sk, alebo priradili k tomu pravdepodobnosť.
Uvádzame niektoré typické, chybne zapísané tabuľky.
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
1
20
2
10
3
20
4
10
1
3/6
2
2/6
5
20
6
-80
3
3/6
4
2/6
5
3/6
6
1/6
V druhom prípade počet bodov padnutých v hode kockou zapísali aj formálne zle, a preto
nevedeli ďalej pokračovať v riešení použitím vzorca.
1, 3, 5
3/6
2, 4
2/6
6
1/6
1, 3, 5
20
3/6
2, 4
10
2/6
6
-80
1/6
Z 34 študentov bolo 9 študentov, ktorí aj z nesprávnej tabuľky údajov vypočítali strednú
hodnotu aj smerodajnú odchýlku, samozrejme so zlými výsledkami. Zvyšných 25 študentov
buď nevedeli použiť vzorec, alebo robili iné neprijatelné výpočty.
Tri body získali traja študenti. Dvaja z nich správne zapísali tabuľku s hodnotami xi a pi
ale už ďalšie výpočty pokazili, nevedeli, ako majú aplikovať potrebné vzorce. Jeden študent
mal správne uvedenú tabuľku údajov a tiež mal zapísaný výsledok E(ξ) = 0, ale bez výpočtu,
prípadne zdôvodnenia.
Štyri body v riešení druhej úlohy získalo 6 študentov. Všetci správne vypočítali strednú
hodnotu, ale v riešení už nepokračovali alebo disperziu počítali nesprávne.
Päť bodov získal jeden študent, ktorý svoje výpočty ukončil určením disperzie, ale úloha
vyžadovala smerodajnú odchýlku. V prípade slovných úloh sa môžu vyskytnúť chyby
z dôvodu, že študenti si nevšimnú niektoré detaily v texte.
Maximálnych 6 bodov za správne riešenie získalo 5 študentov. Z nich dvaja využili
vzorec D (ξ ) = E (ξ 2 ) − E 2 (ξ ) , ktorý zjednoduší výpočet vzhľadom na to, že E(ξ) = 0.
Porovnaním úspešnosti v jednotlivých úlohách dostaneme ďalšie dôležité informácie
o schopnostiach študentov. Spomedzi 74 študentov, ktorí v prvej úlohe označili správne
riešenie bolo 60, ktorí v druhej úlohe získali 0 bodov, a vôbec neriešilo túto úlohu 36
študentov. Medzi 23 študentmi, ktorí ani prvú úlohu nevedeli správne riešiť, všetci okrem
jedného získali 0 bodov v druhej úlohe. Teda medzi 15 študentami, ktorí dosiahli aspoň
čiastočné riešenie, len jeden uviedol nesprávne riešenie prvej úlohy.
118
Poznámky o úrovni matematických kompetencií študentov ...
Záver
Študenti UJS ekonomického odboru majú len základné poznatky z pravdepodobnosti,
väčšinou poznajú definície pojmov, ktoré spájajú so vzorcami potrebnými na výpočty.
Študenti pri riešení úloh z pravdepodobnosti používajú hlavne vzorce. Dôsledkom čoho je, že
pri riešení úloh najväčšiu úspešnosť dosahujú v úlohách na reprodukciu, vyššie úrovne
matematických kompetencií neovládajú. V ich matematických schopnostiach sa odzrkadľuje
všeobecne teoretický charakter vyučovania matematiky na základných aj stredných školách,
čo sa preukazuje ešte výraznejšie v oblasti pravdepodobnosti. Toto najviac charakterizuje
formalizmus, precvičovanie rutinných postupov, nedostatočná abstrakcia pojmu často
z dôvodu chýbajúcich vlastných skúseností študenta. Na základe získaných výsledkov síce
nie je možné vyvodiť všeobecné dôsledky, ale našim cieľom bolo poukázať na niektoré
charakteristické prvky matematických kompetencií našich študentov. Nakoniec môžeme
vyhlásiť, že hlavným problémom študentov v riešení úloh je nepochopenie textu,
nedostatočná schopnosť čítať text s porozumením a získať údaje z kontextu úlohy.
LITERATÚRA
[1]
Kubáček, Z., Kosper, F., Tomachová, A., Koršňáková, P.: PISA SK 2003 Matematická
gramotnosť,
Správa,
Bratislava,
ŠPÚ,
2004.
ISBN
80-85756-88-9.
www.nucem.sk/documents//27/medzinarodne_merania/pisa/publikacie/Pisa_2003_mat
ematická_gramotnosť.pdf
[2]
Potocký, R., Kalas, J., Komorník, J., Lamoš, F.: Zbierka úloh z pravdepodobnosti
a matematickej štatistiky, Bratislava, Alfa, 1991, ISBN 80-05-00524-5
RNDr. Zoltán Fehér, PhD.
Katedra hospodárskej matematiky
Ekonomicá fakulta
Univerzita J. Selyeho
Roľníckej školy 1519
SK – 945 01 Komárno
e-mail: [email protected]
119
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MANAŽMENT E-VZDELÁVANIA, APLIKÁCIA IKT V MATEMATIKE
S DÔRAZOM NA E-LEARNING
LÍVIA HASAJOVÁ
ABSTRACT. Article describes and presents, sham operation into educations. The main goal is to
enhance quality and effectiveness of education by means of a new supporting material that
makes students work independently, creatively and flexibly. Today, school are recognizing the
importance of teaching students how to access information, analyze and transform what they
have found, and communicate to others what they have learned, on a broad range of topics.
Electronic communication technologies and multimedia offer wide opportunities for various
supplements of traditional mathematical education. They open new methods for cooperation,
for interchange of cultural values and knowledges and for creative inspirations.
Úvod
Čoraz viac univerzít poskytuje svoje kapacity pre záujemcov o rôzne metódy vzdelávania
aj prostredníctvom Internetu za pomoci rôznych systémov pre manažment výučby
matematiky zakúpených či vyvíjaných vlastnými silami. Medzi takéto metódy môžeme
bezpochyby zaradiť aj LMS systémy riadenia výučby.
1. KOMPARÁCIA FORIEM E-VZDELÁVANIA
Vývoj moderných elektronických prostriedkov a systémov, spolu s vývojom vhodných
výučbových softvérov, tvorí základňu vytvárajúceho sa virtuálneho vzdelávacieho prostredia,
ktoré nás motivuje predovšetkým tým, že núti a vedie učiaceho sa k vlastnej aktívnej činnosti
pri jeho vzdelávaní. Internet a multimediálne vzdelávanie spolu s ďalšími komunikačnými
technológiami sú príjemne a vnímané ako nový fenomén vo vzdelávaní a v komunikácii.
„Našou snahou nie je preceňovať význam IKT, ale nájsť vhodné oblasti v matematike a
vhodný spôsob, ako ich efektívne využiť k naplneniu vzdelávacích cieľov.“(Fulier, 2006)
Jednotlivé formy vzdelávania majú rôzne výhody a nevýhody. Čo je výhodou jednej formy,
môže byť nevýhodou inej formy.
2. SOFTVÉROVÉ SYSTÉMY LMS
Medzi softwarové systémy LMS patrí:
• Systém pre manažment kurzov (Course Management Systems – CMS)
Sú to nástroje, ktoré poskytujú výučbu prostredníctvom webu, zhodnotenie výsledkov, postup
výučby a manažment na vedenie výučby (kurzov) pre individuálnych študentov ale aj pre
celé skupiny. Sú orientované šablónovo a materiály v nich sú predovšetkým textové. To
umožňuje ich ľahké používanie, ale obmedzuje ich pružnosť a schopnosť prispôsobiť sa.
Majú sklon nepodporovať štandardy na výmenu učebných materiálov. Uprednostňujú vlastné
prístupy k modularite a k importu a exportu.
CMS systémy sú najpopulárnejšie na tradičných vyšších vzdelávacích inštitúciách. Taktiež
tieto systémy môžu, no nemusia obsahovať funkcie ako sú napríklad správca obsahu,
asynchrónne nástroje na spoluprácu (whiteboard), prípadne nástroj na zaznamenávanie
Článok je uverejnený v rámci riešenia projektu VEGA 1/0200/08 Trenčianskej univerzity Alexandra Dubčeka, s názvom
Moderné elektronické metódy vzdelávania participujúce na rozvoji environmentálne orientovanej teritoriálnej kohézie ako novej
kvality environmentálneho prostredia.
121
LÍVIA HASAJOVÁ
pokroku študenta.
Obrázok 1 : Schéma systému pre manažment kurzov [2]
Môžu obsahovať jednoduché (ale obmedzené) nástroje na tvorbu učebných materiálov. CMS
systémy sa často vyvinú do LMS alebo LCMS systémov.
• Systémy pre manažment výučby (Learning management system – LMS)
Systémy na manažment výučby sú LMS. Poskytujú vývojárom platformu na organizáciu
obsahu a na organizáciu poskytovania obsahu s veľkým množstvom možností. LMS systémy
sú najčastejšie používané vo veľkých organizáciách, na oddeleniach ďalšieho vzdelávania
zamestnancov a na veľkých univerzitách.
V porovnaní s CMS systémami zvyknú byť finančne náročnejšie, vyžadujú podstatne viac
úprav, ale zato sú to veľmi silné nástroje, ktoré umožňujú viesť množstvo paralelných
výučbových projektov. Ako príklad môžeme uviesť: Docent Enterprise, SUN-ISOPIA ILMS
alebo Knowledgesoft Enterprise.
Obrázok 2: Schéma systému pre manažment kurzov [2]
122
MANAŽMENT E-VZDELÁVANIA, APLIKÁCIA IKT V MATEMATIKE S DÔRAZOM NA...
Obsahujú:
• výučbové portály,
• systémy na správu kompetencií,
• testovanie
• a nástroje na odhad schopností a zručností.
Môžu tak isto obsahovať, prípadne umožňovať, prepojenie na softvér i programový balík
umožňujúci prevádzku virtuálnych tried.
• Výučbové systémy pre manažment obsahu (Learning Content Management Systems –
LCMS)
Relatívne nová podkategória so základnými charakteristikami štandardných LMS, no
rozšírená o integrované nástroje na tvorbu učebných materiálov a na správu údajov.
prostredníctvom systémov na správu vedomostí a iných databázových systémov. Príkladom
tohto typu LMS môžu byť Centraś Mindlever, Total Knowledge Management System od
Generation 21, Knowledge Producer od IBM Mindspan Solutions a Aspen od Click2Learn.
LCMS systémy sú najčastejšie používané vo firemných intranetoch.
Obrázok 3: Schéma systému pre manažment obsahu [2]
•
ELMS (Enterprise Learning Management Systems)
Smerujú k integrácií LMS, LCMS, virtuálnych tried a ďalších nástrojov do komplexnejších
systémov (zostáv). LMS v nich tvorí iba jednu zložku, ktorá nemusí byť rozhodujúca
(hlavnou zložkou je väčšinou LCMS). [3]
3. Výskum o vplyve použitia IKT na zefektívnenie vyučovanie matematiky
Aby sme prekročili teoretickú rovinu, aplikovali sme poznatky vo výskume zameranom
na zisťovanie vplyvu IKT na vyučovanie matematiky a verifikáciu porovnateľnosti
vedomostnej úrovne študentov výberového súboru. Zvolili sme oblasť okruhov tém
Matematiky I, II. [pozri 4] Miera pedagogickej efektívnosti tejto učebnej pomôcky bola
zisťovaná pedagogickým experimentom, pri ktorom kontrolná skupina (pozri tab.2) bola
123
LÍVIA HASAJOVÁ
vzdelávaná klasickou formou v prostredí kontaktnej výučby a experimentálna skupina (pozri
tab. 2) okrem kontaktnej výučby mala možnosť pracovať s virtuálnou multimediálnou
učebnou pomôckou v prostredí e-learningu [viď 5]. Pre úspešný a relevantný priebeh
experimentu sme vybrali dve, takmer rovnocenné skupiny študentov FSEV TnUAD, ktorí
boli preverovaní v priebehu štyroch semestrov [pozri tab. 1] záverečným overovacím testom
so možnosťou získania maximálního počtu 50bodov. Pozri [6]. Písomný test pozostával
z riešených úloh počas semestra.
Tabu ľka 1 Pr ehľad po č tu š tuden to v
Pričom sme sledovali overovanie hypotéz:
Ho: Študenti vzdelávaní s použitím IKT nedosahujú signifikantne odlišné výsledky v riešení
matematických úloh, ako študenti vzdelávaní tradičným spôsobom v prostredí kontaktnej
výučby bez ich použitia.
H1: Študenti vzdelávaní s použitím IKT dosahujú signifikantne lepšie výsledky v riešení
matematických úloh, ako študenti vzdelávaní tradičným spôsobom v prostredí kontaktnej
výučby bez ich použitia.
Spôsob spracovania:
Na overenie týchto hypotéz, za predpokladu, že základné súbory majú približne normálne
rozdelenie, sme použili štatistické metódy:
F-test pre rovnosť rozptylov pomocou neho zistíme, či rozdiel medzi ich rozptylmi je
štatisticky významný. Testovacím kritériom je veličina F=σ12/σ22. Jej porovnaním s kritickou
hodnotou na hladine významnosti α=0,05, zistíme a vyhodnotíme výsledky.
Dvoj výberový t -test s nerovnosťou rozptylu, na dvoch hladinách významnosti α=0,05 a
α=0,01. Nakoniec sme na overenie použili aj neparametrický Poradový Wilcoxonov test
(resp. Mann – Whitneyov U-test).
Analýza a štatistické spracovanie výsledkov:
Z obsahových dôvodov, uvedeme len čiastočne výsledky, celý výskum je podrobne
opísaný v[6]. Vybrali sme výsledky získané po druhom semestri cvičení z matematiky
v letnom semestri 2005/2006, sme štatisticky spracovali, analyzovali, [pozri tab. 2] pričom
prvá skupina bola vzdelávaná iba tradičnou formou a druhá skupina aj s použitím
elektronických opôr. Pomocou F- testu pre rovnosť rozptylov chceme zistiť, či rozdiel medzi
ich rozptylmi je štatisticky významný. Testovacím kritériom je veličina F=σ12/σ22. Jej
porovnaním s kritickou hodnotou na hladine významnosti α=0,05, pomocou programu MS
Excel sme vypočítali jednotlivé štatistiky zhrnuté [pozri 6].
124
MANAŽMENT E-VZDELÁVANIA, APLIKÁCIA IKT V MATEMATIKE S DÔRAZOM NA...
Tabu ľka 2 Pr ehľad po č etností získan ých bodov štud en to v
Tabuľka 2 Prehľad početností získaných bodov študentov
Vypočítali sme hodnotu testovacieho kritéria F=1,894949, pričom príslušná kritická F
=
krit. 1,49, t.j. F> F krit nastáva prípad, ktorý sme očakávali takmer s istotou. Vzhľadom nato,
že vypočítaná hodnota F je väčšia ako kritická hodnota, rozdiel medzi rozptylmi považujeme
za štatisticky významný a preto pre porovnanie stredných hodnôt sme vybrali dvoj výberový
t- test s nerovnosťou rozptylu.
Dvoj výberový t -test s nerovnosťou rozptylu, na dvoch hladinách významnosti α=0,05 a
α=0,01. Základné charakteristiky výberového súboru vypočítané pomocou MS Excel na
hladine významnosti α=0,05, sú uvedené [pozri 6].
Vypočítaná hodnota testovacieho kritéria je t=--5,69432. Porovnaním tejto hodnoty
s kritickými hodnotami dvoj výberového t- testu tkrit1.= 1,657037 a tkrit2.= 1,978971
zisťujeme, že │t│> tkrit. To znamená, že stredné hodnoty počtov získaných bodov oboch
skúmaných súborov sa nerovnajú na hladine významnosti α = 0,05.
Vypočítaná hodnota testovacieho kritéria je t=--5,69432. Porovnaním tejto hodnoty
s kritickými hodnotami dvoj výberového t- testu tkrit1.= 2,356307344 a tkrit2.= 2,615412116
zisťujeme, že │t│> tkrit.. To znamená, že stredné hodnoty počtov získaných bodov oboch
skúmaných súborov sa nerovnajú na hladine významnosti α = 0,01.
Teraz overíme, či základný súbor má normálne rozdelenie, použijeme Pearsonov χ2- test
dobrej zhody. Vypočítaná hodnota χ2vyp.=0,787039441 pre skupinu bez e- learningom,
porovnaním tejto hodnoty s kritickými hodnotami Pearsonovho χ2- testu dobrej zhody.
Kritické hodnoty sú rovné χ2 krit.0,01(2)=9,21, χ2 krit.0,05(2)=5,99. Zisťujeme, že χ2vyp.< χ2
2
2
krit.0,05(2), χ vyp.< χ krit.0,01(2) . To znamená, že sa potvrdila normalita skúmaného súboru pre
obidve hladiny významnosti α=0,05 i α=0,01 pri dvoch stupňoch voľnosti.
Vypočítaná hodnota χ2vyp.=73,96156164 pre skupinu bez e- learningu, porovnaním tejto
hodnoty s kritickými hodnotami Pearsonovho χ2- testu dobrej zhody: χ2 krit.0,01(2)=9,21, χ2
2
2
2
2
krit.0,05(2)=5,99. Zisťujeme, že χ vyp.> χ krit.0,05(2), χ vyp.> χ krit.0,01(2) To znamená, že sa
nepotvrdila normalita skúmaného súboru na hladine významnosti α=0,05, ani α=0,01 pri
dvoch stupňoch voľnosti. Skúmané súbory prezentujeme formou histogramov [pozri 6].
125
LÍVIA HASAJOVÁ
Tvar histogramu skupiny s e-learning, ako aj vypočítaná hodnota χ2vyp.= 73,96156164,
potvrdzujú predpoklad, že výberový súbor skupiny s e-learning nepochádza z normálneho
rozdelenia. Preto sme na overenie stanovených hypotéz na hladine významnosti α = 0,05 aj
α = 0,01 použili Wilcoxonov test (resp. Mann – Whitneyov U-test), [pozri 6].
Na základe hodnôt Wilcoxonovho testu sme vypočítali U0= 13,527936, kritické hodnoty uα:
pre p<0,05 = 1,96, pre p<0,01 = 2,58. Je zrejme, že pre obe hladiny významnosti platí:
.
U >u
0
α
Záver
Vzhľadom na výsledky F-testu, rozdiel medzi rozptylmi považujeme za štatisticky
významný, preto sme pre porovnanie stredných hodnôt vybrali dvoj výberový t- test
s nerovnosťou rozptylu. Nakoľko validita t-testov je zaručená len v prípade, že základný
súbor má normálne rozdelenie, na overenie normality sme použivali Pearsonov χ2- test
dobrej zhody. Normalita výberového súboru sa nepreukázala v analýze v skupine s elearning, ostatné skúmané súbory boli preukázateľne overené, z toho dôvodu ich považujeme
za normálne. Preto sme pre overenie stanovených hypotéz na hladine významnosti α=0,05 aj
α=0,01 použili Wilcoxonov test (resp. Mann – Whitneyov U-test), ktorý naše predpoklady
potvrdil, že sa nepotvrdila zhodnosť stredných hodnôt. Vzhľadom na použité štatistické
metódy a vypočítané hodnoty, potvrdzujeme platnosť hypotéz.
LITERATÚRA
[1]
Fulier J. 2006. Niektoré didaktické aspekty využívania IKT vo vyučovaní a vzdelávaní
v matematike. In Didza 2006, Nové trendy vo vyučovaní matematiky a informatiky na
základných, stredných a vysokých školách.Žilina 2006. Nitra: FPV ŽU 2006. 17-34
s.ISBN 80-8070-556-9
[2]
LCMS = LMS + CMS [on-line], 2008. [Citované 11.11.2008]. Dostupné na:
<http://www.elearningpost.com/articles/archives/lcms_lms_cms_rlos/>
[3]
SEVERA V.: Princípy a využití distanční vzdelávací technológie. [Bakalárska práca],
Pardubice :Univerzita Pardubice, 2007
[4]
Hricišaková, D.2008: Sylaby Matematika I.,II. Trenčianska univerzita A. Dubčeka,
interný príkaz, Trenčín, 2008
[5]
http://elearning.tnuni.sk/moodle/, staršia verzia, 2008[Citované 7.8.2009]. Dostupné
na: <http://elearning.tnuni.sk/moodle/>
[6]
Hasajová, L. 2008: Zvyšovanie efektívnosti vyučovania matematiky s dôrazom na elearning, dizertačná práca, FPV UKF, Nitra, 2008
PaedDr. Lívia Hasajová, PhD
Katedra informatiky
Fakulta mechatroniky
Trenčianská univerzita Alexandra Dubčeka
Študentska 1
SK – 911 01 Trenčín
e-mail: [email protected]
126
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PROBLEMATICKÉ PŘÍKLADY PŘI PŘIJÍMACÍCH ZKOUŠKÁCH
Z MATEMATIKY NA UNIVERZITĚ OBRANY
ŠÁRKA HOŠKOVÁ, PAVLÍNA RAČKOVÁ
ABSTRACT. The aim of this contribution is to focus on such parts of mathematics that cause
serious problems to the majority of students when passing university entrance test. The authors
want not only to find the trouble making of mathematics but as well the cause of it and the
possible way how to reduce such difficulties.
Úvod
Autorky příspěvku se již léta podílejí na přípravě, organizaci, hodnocení i závěrečném
zpracování přijímacích testů do všech oborů bakalářského i magisterského studia na Fakultě
vojenských technologií Univerzity obrany v Brně a to jak pro denní, tak kombinovanou
formu studia.
Organizace přijímacích zkoušek
Přijímací zkoušky z matematiky na FVT UO jsou od akademického roku 2001/2002
konány pomocí testů, které se skládají z 20 příkladů. U každého příkladu je nabídka
5 možných odpovědí, z nichž jen jedna je správná.
Jednotlivé otázky jsou navrženy tak, aby nevyžadovaly příliš dlouhé výpočty a studenti měli
dostatek času na jejich zodpovězení. Celková doba na řešení testu je 50 minut, a to bez
použití jakýchkoli pomůcek.
Všichni uchazeči o studium na UO mají možnost se seznámit s typem příkladů
a obtížností testu na webových stránkách školy. Zde jsou od akademického roku 2004/2005
k dispozici testy použité v přijímacím řízení včetně správných odpovědí. Takže ti studenti,
kteří se na přijímací zkoušky zodpovědně připravují, mají zcela jasnou představu o tom, co je
při přijímacím testu z matematiky čeká.
Příklady obsažené v testech jsou vybírány s ohledem na látku probíranou v prvním
semestru, a jejíž základy by měli studenti znát ze střední školy.
Výjimkou byl akademický rok 2008/2009. V tomto roce byly přijímací zkoušky ke studiu
konány pomocí sciotestů připravených Nadací Scio. Tato forma se však v praxi příliš
neosvědčila, proto jsme se v případě vojenského studia opět vrátili ke „klasické“ podobě
přijímacího řízení. Uchazeči o civilní studium jsou ke studiu nadále přijímáni na základě
výsledků sciotestů.
Více informací k organizaci a průběhu přijímacích zkoušek a ukázky testů je možno
nalézt na webové stránce školy:
http://www.vojenskaskola.cz/skola/uo/Stranky/default.aspx
Přijímací zkoušky - test
Na obr. 1 je ukázka části jednoho z testů pro přijímací řízení do bakalářského studia
vojenských oborů. Testy přibližně stejné obtížnosti jsou náhodně generovány z databáze
příkladů. Obsahové složení testů je vždy stejné – v úvodu jsou příklady na úpravy výrazů,
dále následují příklady ohledně vlastností logaritmů a pravidla pro logaritmování, řešení
lineárních nerovnic s absolutní hodnotou, řešení kvadratické rovnice, vztahy mezi kořeny a
koeficienty kvadratické rovnice, řešení exponenciální a logaritmické rovnice, vztahy mezi
goniometrickými funkcemi, řešení goniometrické rovnice, úpravy výrazů s faktoriály a
127
ŠÁRKA HOŠKOVÁ, PAVLÍNA RAČKOVÁ
kombinačními čísly, řešení úloh z planimetrie a stereometrie, řešení úloh z analytické
geometrie v rovině, klasifikace kuželoseček a slovní úlohy vedoucí na soustavu dvou
lineárních rovnic.
Obrázek 1:Část testu pro přijímací řízení do bakalářského studijního programu vojenských studijních
oborů
Vyhodnocení výsledků přijímacích zkoušek – ak. rok 2006/07 a ak. rok 2007/08
V článku [2] se autoři zabývali rozborem přijímacích zkoušek v letech 2006/07
a
2007/08. Pro statistické účely zde byla v každém akademickém roce náhodně zvolena jedna
varianta přijímacího testu a zjišťována celková úspěšnost uchazečů v jednotlivých testových
otázkách. Celkový počet hodnocených studentů byl 84. Výsledné seřazení jednotlivých úloh
podle úspěšnosti jejich řešení je uvedeno v tabulce č. 1.
128
PROBLEMATICKÉ PŘÍKLADY PŘI PŘIJÍMACÍCH ZKOUŠKÁCH Z MATEMATIKY NA...
Celkové Číslo Typ úlohy
Úspěšnost
pořadí úlohy
v%
1.
15 Úloha z planimetrie, řešení trojúhelníku
90,5
2.
4
Vyjádření neznámé ze vzorce
83,3
3.
14 Operace s komplexními čísly
81,0
4.
5
Řešení kvadratické rovnice, poloha paraboly a osy x
77,4
5.
1
Úprava výrazu s mocninami a odmocninami
73,8
5.
8
Definiční obor funkce
73,8
7.
2
Úprava exponenciálního výrazu
71,4
8.
20 Slovní úloha vedoucí na soustavu rovnic
65,9
9.
10 Řešení exponenciální rovnice, pravidla pro logaritmování
65,5
10.
7
Řešení lineární nerovnice s absolutní hodnotou
64,3
11.
17 Úprava kombinatorického výrazu, řešení logaritmické rovnice
61,9
12.
16 Objem nebo povrch těles v závislosti na rozměrech
60,7
13.
3
Úprava algebraického výrazu pomocí vzorců a rozkladem
54,4
14.
12 Určení nejmenší periody složené goniometrické funkce
51,2
15.
18 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině
51,2
16.
9
Logaritmus číselného výrazu, řešení logaritmické rovnice
47,6
17.
19 Klasifikace kuželosečky dané obecnou rovnicí
41,7
18.
11 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
38,1
19.
6
Diskriminant kvadratické rovnice v závislosti na parametru
33,3
20.
13 Řešení goniometrické rovnice
31,0
Tabulka č. 1
Z uvedené části vzorového testu je zřejmé, že příklady nejsou nijak obtížné ani
záludné. Jejich řešení je přímočaré. Podíváme-li se na výše uvedenou webovou
stránku školy, zjistíme, že obdobně je tomu i u dalších příkladů. Přesto 8 úloh z 20
má skóre pod 55 %, což samo o sobě svědčí o špatných středoškolských základech
z matematiky.
Vyhodnocení výsledků přijímacích zkoušek – akademický rok 2009/10
Pro hodnocení výsledků přijímacího řízení do bakalářského studia v roce 2009/10
bylo pro naše účely použito 10 variant testů. Celkový počet hodnocených studentů
činil 268. Výsledky úspěšnosti řešení jednotlivých otázek jsou uvedeny v tabulce č. 2.
Pořadí zadaných otázek v testu bylo stejné jako v předcházejících letech.
Celkové Číslo
Počet úspěšných řešitelů
pořadí úlohy
v jednotlivých variantách otázek
1.
4
24 25 25 18 24 16 19 26 22 22
2.
20 22 19 26 14 24 15 16 30 21 21
3.
15 14 23 23 11 21 17 19 19 22 24
4.
1
17 18 19 15 19 19 13 23 19 18
5.
10 23 14 13 16 19 11 19 26 18 11
6.
8
17 21 17 7 16 10 22 26 14 14
7.
6
8 15 27 7 24 13 9 20 15 20
Celkem
úspěšní
221
208
193
180
170
164
158
Celkem Úspěšnost
neúspěšní
v%
47
82,5
60
77,6
75
72,0
88
67,2
98
63,4
104
61,2
110
59,0
129
ŠÁRKA HOŠKOVÁ, PAVLÍNA RAČKOVÁ
8.
9.
10.
10.
10.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
18
3
5
7
16
17
9
2
14
19
13
12
11
17
15
13
11
11
17
18
18
10
17
15
7
10
14
13
22
18
20
14
11
26
19
18
7
12
8
15
11
12
14
20
13
11
7
10
11
10
7
11
11
11
8
11
6
12
17
11
12
13
6
5
4
17
11
20
16
17
19
13
12
17
8
16
11
4
8
16
14
13
14
13
11
13
12
9
7
11
4
9
18
12
17
14
6
12
9
9
8
15
12
10
25
17
10
22
22
20
24
12
16
19
20
12
10
20
22
24
17
15
22
9
14
17
15
17
13
9
19
20
18
14
14
12
17
15
13
15
15
12
17
155
154
153
153
153
148
143
137
135
133
128
102
87
113
114
115
115
115
120
125
131
133
135
140
166
181
57,8
57,5
57,1
57,1
57,1
55,2
53,4
51,1
50,4
49,6
47,8
38,1
32,5
Tabulka č.2.
Vyhodnocení výsledků a jejich srovnání
Přestože vzorek hodnocených studentů v letech 2006/07 a 2007/08 byl menší než v roce
2009/10 a také v něm nebyly do hodnocení narozdíl od roku 2009/10 zahrnuty výsledky
prestižního studijního oboru „Řízení letového provozu“, u kterého jsou vždy výsledky
u přijímacího řízení výrazně lepší, lze ve srovnávaných výsledcích nalézt velkou shodu.
Na posledních místech úspěšnosti se již tradičně umísťují příklady týkající se
goniometrických funkcí. Otázky č. 11 „Vztahy mezi goniometrickými funkcemi“, č.
12 „Určení nejmenší periody složené goniometrické funkce“ a č. 13 „Řešení
goniometrické rovnice“ mají průměrnou úspěšnost řešení mezi 30 až 45 procenty.
K dalším otázkám, které dopadají většinou velmi špatně patří otázka č. 19 „Klasifikace
kuželosečky dané obecnou rovnicí“. Zde si však troufáme tvrdit, že mnozí studenti se s touto
látkou setkali na středních školách jen velmi zběžně (pokud vůbec).
Látka z otázek č. 11, 12 a 13 je však v potřebném (a testovaném) rozsahu probírána na
všech typech středních škol. Přesto jsou výsledky občas přímo katastrofální. Je nutno zmínit,
že velmi často tyto otázky zůstávají zcela nezodpovězeny. Přitom úlohy nejsou nijak obtížné,
vyžadují jen základní znalosti funkcí kosinus a sinus.
Zadání těchto příkladů bývají následující:
3
π
, kde x ∈ 〈 0, 〉 , pak cos x =
2
5
2
4
7
16
4
b)
c)
d)
e) −
a) −
5
5
12
25
5
x
12. Nejmenší perioda funkce y = cos je
4
11. Je-li sin x =
a) π b) 8π c)
130
π
4
d) 4π e) 2π
PROBLEMATICKÉ PŘÍKLADY PŘI PŘIJÍMACÍCH ZKOUŠKÁCH Z MATEMATIKY NA...
13. Řešením rovnice cos x =
1
3
a) x = π + kπ
3
2
jsou právě všechna x ∈ R , pro něž platí (k je celé číslo)
1
3
b) x = π + 2kπ
c) x =
1
π + 2kπ
2
d) x =
1
π + 2kπ a
4
7
1
11
x = π + 2kπ e) x = π + 2kπ a x = π + 2kπ
4
6
6
Stejně tak jsme oproti předchozím rokům zaznamenali značný propad správných odpovědí u
otázky č. 14 „Operace s komplexními čísly“, i tady je na místě otázka, zda je to zcela
náhodné, nebo se už ani tato problematika na středních školách příliš neprobírá.
Co je však snad nejvíce zarážející, je fakt, že mezi příklady, které činí studentům
potíže, patří i příklady č. 2 a 3, tj. „Úprava exponenciálního výrazu“ a „Úprava
algebraického výrazu pomocí vzorců a rozkladem“. To je skutečně alarmující,
protože zjišťujeme, že studenti nemají dostatečně procvičeny a zažity základní
dovednosti nejenom ze středoškolské matematiky, ale také ze základní školy. Navíc
se s touto skutečností nejsou studenti již povětšinou schopni během dalšího studia
vyrovnat a chybějící látku (zejména rutinu v úpravách) dohnat. To však způsobuje
obrovské problémy při probírání vysokoškolské látky.
Shrneme-li veškeré nedostatky uchazečů o studium na Univerzitě obrany, musíme si
nutně položit následující otázky: Na co střední školy kladou v matematice důraz?
Není náš vstupní test pro uchazeče příliš „obtížný“? Vyjdeme-li totiž z požadavků na
znalosti ke státní maturitě a srovnáme-li didaktický test z matematiky jak základní,
tak i vyšší úrovně připravovaný v rámci státních maturit v [3], zjistíme, že skladba a
obtížnost těchto příkladů je naprosto odlišná od našich testů. Takže se asi budeme
muset smířit s tím, že to co jsme donedávna považovali za látku probíranou na střední
škole, a jejíž znalosti jsme testovali, budeme doučovat studenty v prvním semestru.
Trend výsledků – Bude hůř?
Jak již bylo zmíněno, zajímáme se o výsledky studentů, kteří projdou přijímacím řízením naší
školy, proto je na místě zamyslet se nad dalším vývojem. Trend je víceméně zřejmý, vstupní
znalosti z matematiky jsou každý rok o něco horší.
Průměrný počet ze 100 možných bodů na uchazeče
v roce 2002/03 činil
61,5 b. (*)
v letech 2003/04 – 2005/06
údaje nebyly zpracovány
v roce 2006/07 činil
63,5 b.
v roce 2007/08 činil
60,1 b.
v roce 2008/09
v roce 2009/10 činil
jiný typ přijímacího řízení – sciotesty
57,4 b.
(*) údaj zahrnuje průměrný počet bodů na posluchače za tehdejší 2. a 3. fakultu Vojenské
akademie v Brně. Samotná 2. fakulta (strojní zaměření) měla výsledek 56,9 bodu a 3. fakulta
(zaměření elektro) měla 65,2 bodu na uchazeče. V této době byl navíc podstatně větší zájem
o studium, takže výrazně slabší studenti neprošli přijímacím řízením.
131
ŠÁRKA HOŠKOVÁ, PAVLÍNA RAČKOVÁ
Jistě by bylo zajímavé mít přehled o tom, jaké byly výsledky studentů (a jak se tento údaj
v průběhu let měnil či neměnil), kteří byli ke studiu přijati a kteří ke studiu poté i skutečně
nastoupili. Takovéto informace však bohužel chybí.
LITERATURA
[1]
http://www.vojenskaskola.cz/skola/uo/Stranky/default.aspx
[2]
Potůček, R., Račková, P.: Přijímací zkoušky na Univerzitě obrany, 7th International
Conference Aplimat 2008, Bratislava. ISBN 978-80-89313-03-7.
[3]
http://www.novamaturita.cz
[4]
http://www.scio.cz
Doc.RNDr. Šárka Hošková, Ph.D.
Katedra matematiky a fyziky
Fakulta vojenských technologií
Univerzita obrany
Kounicova 65
CZ – 662 10 Brno
e-mail: [email protected]
PhDr. Pavlína Račková, Ph.D.
Katedra matematiky a fyziky
Fakulta vojenských technologií
Univerzita obrany
Kounicova 65
CZ – 662 10 Brno
e-mail: [email protected]
132
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SYMMETRICAL SOLUTIONS
KLEMENT HRKOTA, ML.
ABSTRACT. In this article, the existence of certain pairs of types of solutions of linear
differential equations on symmetrical interval is being discussed. The existence of these
solutions is being examined in relation to the parity of coefficients of these differential
equations.
1. Introduction
While building a theory of linear differential equations, differential equations with
constant coefficients serve as a model which shows many properties that can be applied on
differential equations with variable coefficients. We can see it on differential equations with
property A, B or binomial type of differential equation. In cases like this, the identity of signs
of coefficients seems like one of the basic and natural conditions on interval of solutions. In
this article, we are examining the existence of certain pairs of types of solutions of
differential equations in relation to the parity of coefficients of these differential equations.
Specifically, we focus on searching conditions of existence of solutions we call symmetric for
coefficients of differential equations.
2. Symmetrical solutions
Consider the linear differential equation:
Lx : = x ( n ) + p1 (t ) x ( n−1) + ... + pn (t ) x = 0
in interval I = (− a, a ) , where 0 < a ≤ ∞ and coefficients pi, i = 1, ..., n are continuous
functions in I.
DEFFINITION 1. Differential equation Lx = 0 is said to have symmetrical solutions, if for
each solution u (t ) , t ∈ I is function u (− t ) solution of differential equation Lx = 0 , t ∈ I
too.
Here are some examples of differential equations with constant coefficients class.
EXAMPLE 1.
Differential equations
x′′ − x = 0
with solution x = c1e t + c2 e − t
x ( 4) − x = 0
with solution x = c1e t + c2 e t + c3 cos t + c4 sin t
have symmetrical solutions.
Supported by grant no. 1/0519/08 of the scientific grant agency VEGA of Slovak Republic
133
KLEMENT HRKOTA, ML.
Differential equation
x′′′ + x = 0
with solution x = c1e t + c2 e
1
− t
2
1
− t
3
3
cos
t + c3e 2 sin
t
2
2
has not symmetrical solutions.
Now, for all t ∈ I , next assumptions for coefficients of differential equation Lx = 0
will be used :
H1)
0, if i is odd
⎧
pi ≡ ⎨
⎩even function, if i is even
H2)
⎧ 0, if i is even
pi ≡ ⎨
⎩odd function, if i is odd
THEOREM 1. Let assumption H1) is satisfied. Then differential equation Lx = 0 has
symmetrical solutions
Proof: For simplicity, we will divide the proof in two parts.
Consider at first, that n is even. Let w is arbitrary solution of differential equation
Lx = 0 . It means that following equation holds for all t ∈ I :
w ( n ) (t ) + p2 (t ) w ( n−2 ) (t ) + ... + pn−2 (t ) w′′(t ) + pn (t ) w(t ) = 0
(1)
Calculate now. Let
Lw(− t ) = (w(− t ))
(n )
′
where (⋅) =
+ p 2 (t )(w(− t ))
(n − 2 )
″
+ ... + p n − 2 (t )(w(− t )) + p n (t ) w(− t )
(2)
d
.
dt
By functions differentiation in components we obtain:
[
]
[
]
Lw (− t ) = w ( n ) (t ) t = − t (− 1) + p 2 (t ) w ( n − 2 ) (t ) t = − t (− 1)
n
n−2
+ ... + p n − 2 (t )[w ′′(t )]t = − t (− 1) + p n (t ) w(− t )
2
(3)
Because of the fact that n is even and coefficients of differential equation Lx = 0 are even
functions (3) we can write in the form:
[
]
[
]
Lw(− t ) = w ( n ) (t ) t = − t + p 2 (t ) w ( n − 2 ) (t ) t = − t + ... + p n − 2 (t )[w ′′(t )]t = − t + p n (t ) w(− t )
Because equation (1) holds for all t ∈ I can be rewritten in next form:
134
(4)
DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SYMMETRICAL SOLUTIONS
[w
(n)
(t )]t = − t + p 2 (−t )[w ( n − 2) (t )]t = −t + ... + p n − 2 (−t )[w ′′(t )]t = −t + p n (−t ) w(− t ) = 0
(1*)
Hence Lw(− t ) = 0 for all t ∈ I and w(− t ) is solution of differential equation Lx = 0 in I.
In the n odd case is situation similarly, but equation (1) has the form:
w ( n ) (t ) + p1 (t ) w ( n − 2) (t ) + ... + pn −3 (t ) w′′′(t ) + pn −1 (t ) w′(t ) = 0 .
Next by similarly way as in the n even case it is possible to show that Lw(− t ) = 0 for all
t ∈ I , which completes the proof of this theorem.
THEOREM 2. Let assumption H2) is satisfied. Then differential equation Lx = 0 has
symmetrical solutions
The proof of this theorem is similar to the theorem 1 proof and will be omitted.
Referring to the formulation of conditions H1) and H2) it is good to realize that if we
say n is odd and z = x′ in the theorem 1, obtained differential equation Lz = 0 also satisfies
assumptions of theorem 1 for n being even. On the contrary, if we say n is even and z = x ′ in
theorem 2, obtained differential equation Lz = 0 satisfies assumptions of theorem 2 for n
being odd.
3. Symmetrical equations
Now consider next differential equation:
Kx : = x ( n ) + r1 (t ) x ( n−1) + ... + rn (t ) x = 0
on interval I = (− a, a ) , where 0 < a ≤ ∞ and coefficients ri, i = 1, ..., n are continuous
functions on I.
DEFFINITION 2. We say that differential equations Lx = 0 a Kx = 0 are symmetrical, if
for each solution u (t ) of differential equation Lx = 0 , function u (− t ) is solution of
differential equation Kx = 0 .
EXAMPLE 2.
Differential equations
x′′′ − x = 0
t
with solution x = c1e + c2 e
1
− t
2
1
− t
3
3
cos
t + c3e 2 sin
t a
2
2
135
KLEMENT HRKOTA, ML.
1
t
with solution x = c1e −t + c2 e 2 cos
x′′′ + x = 0
1
t
3
3
t + c3e 2 sin
t
2
2
are symmetrical.
In this part of the document we will assume that for coefficients of considered differential
equations is:
pi (t ) = − ri (t ) , i = 1,2,..., n for every t ∈ I .
(5)
Let next assumptions for coefficients of differential equation Lx = 0 for all t ∈ I are
satisfying:
H3)
⎧ 0, if i is odd
pi (t ) ≡ ⎨
⎩odd function, if i is even
H4)
⎧ 0, if i is even
pi (t ) ≡ ⎨
⎩ even function, if i is odd
THEOREM 3. If assumption H3 (H4) is satisfied for coefficients of differential equation
Lx = 0 , then differential equations Lx = 0 and Kx = 0 are symmetrical.
It is clear, that if for coefficients of differential equation Lx = 0 H3 (H4) is true, then
by (5) assumption H3 (H4) holds for coefficients of differential equation Kx = 0 too.
Proof: We give just one part of proof of this theorem for n even and assumption H3 here. The
proofs of other parts of this theorem are similar and will be omitted.
Let w is arbitrary solution of differential equation Lx = 0 . It means, that for all t ∈ I
holds equations (1) a (1*).
Same way as in the proof of the theorem 1, we obtain, for differential equation
Kx = 0 , that
[
]
[
]
Kw(− t ) = w ( n ) (t ) t = − t + r2 (t ) w ( n − 2 ) (t ) t = − t + ... + rn − 2 (t )[w ′′(t )]t = − t + rn (t ) w(− t )
(6)
Because of the fact that coefficients ri , i = 2,4,..., n of differential equations Lx = 0 are odd
it is possible to rewrite (6) to the form:
[
]
[
]
Kw(− t ) = w ( n ) (t ) t = − t − r2 ( −t ) w ( n − 2 ) (t ) t = − t − ... − rn − 2 ( −t )[w ′′(t )]t = − t − rn ( −t ) w(− t ) . (7)
By (5) and from (1*)
[
]
[
]
Kw (− t ) = w ( n ) (t ) t = − t + p 2 ( −t ) w ( n − 2 ) (t ) t = − t + ... + p n − 2 ( −t )[w′′(t )]t = − t + p n ( −t ) w(− t ) = 0 . (8)
136
DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SYMMETRICAL SOLUTIONS
Last equation implies that w(− t ) is solution of differential equation Kx = 0 which completes
this part of proof.
RNDr. Klement Hrkota, ml.
Department of informatics
Faculty of Mechatronics
Alexander Dubček University in Trenčín
Študentská 2
Sk- 911 01 Trenčín
e-mail: [email protected]
137
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
O ZLOŽKÁCH GEOMETRICKÝCH KOMPETENCIÍ
MÁRIA KMEŤOVÁ
ABSTRACT. The paper considers on basic components and principles for creating the
competence matrix on geometry.
Úvod
Kompetencia je správanie (činnosť alebo komplex činností), ktoré charakterizuje
vynikajúci výkon v niektorej oblasti (Schoonover Associates, 2001) [3].
Problematika orientácie na kompetencie a vzdelávania orientovaného na kompetencie
(competence-based education) sa začala rozvíjať v osemdesiatych rokoch minulého storočia
v hospodárskej sfére, najmä v USA, Kanade a v Austrálii. Kompetenciami v určitej oblasti sa
označujú najdôležitejšie indikátory kvalitnej činnosti. Obsahuje tie vedomosti, zručnosti
a motívy, ktoré sú typické pre dosiahnutie vynikajúceho výkonu.
Pracovná skupina EÚ navrhla osem oblastí kľúčových kompetencií (The Key Competencies
in a Knowledge-based Economy), z nich štvrtá je : Numerická gramotnosť a kompetencie
v matematike, prírodných vedách, technike a technológiách. Pojmom numerická gramotnosť
rozumie vedieť samostatne prostredníctvom výpočtov (v hlave alebo písomne) riešiť
problémy každodenného života. „Kompetencia v matematike znamená používanie
matematických spôsobov myslenia (logické alebo priestorové) a používanie matematických
vzťahov - vzorcov, modelov, konštruktov, diagramov, grafov, ktoré majú univerzálne
použitie v opise a vysvetľovaní reality.“[3]
Kompetencie v geometrii
Kompetencia v geometrii je súbor tých schopností, vedomostí, postojov, ktoré zabezpečujú
úspech v riešení teoretických a praktických geometrických problémov.
Geometria sa nedá oddeliť od ostatných častí matematiky, hoci vieme, že nie každý jedinec je
rovnako úspešný v riešení problémov z rôznych oblastí matematiky. Na druhej strane zase aj
geometrický pohľad na negeometrický problém môže priniesť úspech v riešení.
Napr. Vzťah medzi aritmetickým a geometrickým priemerom zviditeľnený pomocou
,
Tálesovej vety a Euklidovej vety o výške. Na obrázku 1 ľahko vidíme, že
a
, teda potom
.
Skúsme zhrnúť aké schopnosti a zručnosti by sme zaradili do geometrických kompetencií:
1. Schopnosť zovšeobecňovať a abstrahovať.
Abstrakcia je potrebná (nielen pri pochopení pojmu čísla – v každej učebnici didaktiky
matematiky sa uvádza ako príklad) už pri správnom pochopení základných geometrických
pojmov: dieťa len postupne si uvedomuje, že bod je „objekt“ bez rozmeru, že priamka je
nekonečná a vždy sa dá ešte predlžiť, že rovina je nekonečná a bez hrúbky. Učiteľom sú
dobre známe príklady nedorozumenia, keď žiak o dvoch rôznobežných priamkach ktoré sa
nepretnú na tabuli, nevie rozhodnúť či sú rovnobežné alebo rôznobežné. Alebo keď žiak
139
MÁRIA KMEŤOVÁ
tvrdí, že rovina s rôznobežnou priamkou má dva spoločné body, jeden kde priamka vojde do
roviny a druhý, kde vyjde z roviny. Veľmi ťažký je pojem uhla, len málo žiakov si správne
uvedomuje na prvé počutie význam otvárajúcich sa ramien.
C
v
A
r
cb
ca
B
Obrázok 1
2. Vedieť konštruovať
V niektorých geometrických úlohách sa vyžaduje iné myslenie ako pri riešení väčšiny
matematických úloh, ako napr. úpravy, riešenie rovníc, odvodenia, výpočty - tieto sú
„lineárne“, sled myšlienok ide riadok za riadkom. Konštrukciu treba naplánovať, vybrať
vhodné kroky vo vhodnom poradí, často neexistuje jednoznačná cesta. Riešenia nie sú
šablónovité, nedá sa naučiť postup, algoritmus. Zápis konštrukcie je ďalší problém pre
mnohých žiakov. Používanie množinových operácií mnohým robí problém, niektorí učitelia
to sťažujú aj tým, že žiakom zakážu slovný zápis konštrukcie.
Pri riešení úloh - hlavne ak ide o klasifikovaný výsledok – je dôležité aby si žiak vedel
odhadnúť obtiažnosť úlohy z textu. V konštrukčných úlohách je to niekedy problém. Napr.
úloha zostrojiť (pravítkom a kružidlom) pravidelný 5, 6 alebo 7-uholník má identický text,
ale 6-uholník sa dá ľahko zostrojiť už na ZŠ, 5-uholník na strednej škole, kde o 7-uholníku
len povieme – ani nedokážeme, že sa nedá zostrojiť pravítkom a kružidlom.
Zostrojiť, konštruovať sa dá nielen rovinný útvar, ale model, výraz alebo rovnica – aj tu je
možnosť prenášania rôznych postupov uvažovania z geometrického do aritmetického
prostredia.
3. Umenie vidieť, odhaliť súvislosti.
Naučiť sa odhaliť súvislosti v zložitej úlohe sa dá len cvičením, riešením rôznych
a rôznorodých úloh. Ako ukážku uvedieme úlohu, v ktorej je skrytá jednoduchá súvislosť
medzi dvomi kružnicami, určite nie ľahko odhaliteľná pre žiaka, ktorý sa s podobnými
úlohami nestretol.
Príklad: Vo vnútri trojuholníka ABC leží bod P. Označme AP∩BC=X, BP∩AC=Y. Dokážte,
že ABXY je tetivový štvoruholník práve vtedy, ak opísané kružnice trojuholníku ACX
a trojuholníku BCY sa pretnú na priamke CP. (Obrázok 2.)
Riešenie: Označme k1 a k2 kružnice opísané trojuholníkom ACX a BCY v tomto poradí. Ďalej
nech k1∩k2 = {C,K}. Predpokladajme, že ABXY je tetivový štvoruholník. (Obrázok 2.) Potom
mocnosť bodu P k opísanej kružnici tomuto štvoruholníku je ⏐PX⏐.⏐PA⏐=⏐PY⏐.⏐PB⏐.
Z toho ľavá strana je mocnosť bodu P ku kružnici k1 a pravá strana je mocnosť bodu P ku
kružnici k2. Teda bod P leží na chordále kružníc k1, k2 , čo je priamka CK. Teda K∈PC. (Platí
aj opačná implikácia.)
4. Schopnosť argumentovať a dokazovať.
Túto schopnosť potrebujeme nielen v geometrii ale logicky argumentujeme a dokazujeme aj
v každodennom živote. Na hodinách geometrie popri učení sa geometrie si cibríme aj túto
schopnosť. [1]
140
O ZLOŽKÁCH GEOMETRICKÝCH KOMPETENCIÍ
C
X
Y
P
K
A
B
Obrázok 2
Na akých témach by mali deti cvičiť logické myslenie, abstrahovanie, argumentovanie atď.
Pozrime sa na vzorové školské vzdelávacie programy na stránke Štátneho pedagogického
ústavu a na vypracované vzdelávacie programy niektorých základných škôl.
Z obsahu vzdelávania na ZŠ v oblasti geometria a meranie
5. ročník (3,5 h.)
III. Geometria a meranie
Trojuholník, štvoruholník, kruh, kružnica. Rysovanie. Meranie dĺžky úsečky, obvod. Stavba
telies zo stavebnicových kociek.
6. ročník (4 h.)
III. Obsah obdĺžnika a štvorca
IV. Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami
7. ročník (3,5 h.)
III. Objem a povrch kvádra a kocky
Obrazy kvádra a kocky vo voľnom rovnobežnom premietaní, viditeľnosť hrán.
Úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti. Sieť kvádra a kocky. Objem a povrch
kvádra a kocky.
8. ročník (4 h.)
III. Trojuholník, zhodnosť trojuholníkov
Konštrukcia trojuholníka (sss, sus, usu), jej jednoznačnosť a súvis so zhodnosťou
trojuholníkov. Rovnoramenný a rovnostranný trojuholník. Výška trojuholníka.
IV. Rovnobežníky, lichobežníky, obsah trojuholníka
V. Niektoré ďalšie telesá, ich objem a povrch
9. ročník (4 h.)
III. Kruh, kružnica
IV. Súmernosť v rovine
Osová súmernosť, ukážky stredovej súmernosti.
V. Pytagorova veta, VI. Podobnosť trojuholníkov
Po prečítaní obsahu vzdelávania sme zistili, že z neho chýba geometrické miesto bodov,
pojmy ťažnice, ťažisko, trojuholníku opísaná a vpísaná kružnica, (v trojuholníku sa
spomínajú len výšky), uvažuje sa len úplne triviálna konštrukcia trojuholníka, chýba veta Ssu
(pritom v stredoškolskej učebnici sa spomína ako známa veta zo základnej školy),
z geometrických transformácií chýba posunutie a otáčanie, chýba Tálesova veta a
nezavádzajú sa ani goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku.
141
MÁRIA KMEŤOVÁ
Celkovo chýba špirálovitosť stavby vyučovaných pojmov a tém. Zlomky a záporné čísla
sú zamlčané až do siedmeho a ôsmeho ročníka. Lineárne rovnice sa riešia až v 8. ročníku,
lenže učitelia riešia slovné úlohy zostavovaním rovníc už od 4. ročníka.
Ak už nechceme vyučovať niektoré „ťažké“ témy, mali by sme klásť väčší dôraz na
spestrenie vyučovania základných partií pomocou zaujímavých úloh, ktoré sú dostatočne
motivujúce a aplikovateľné v praktickom živote [5].
V stredoškolskej geometrii je kladený väčší dôraz na stereometriu, ale nezvýšil sa čas na
analytickú geometriu. Na vysvetlenie vzniknutej situácie slúžia nasledujúce dve citácie,
ktoré môžeme chápať aj ako historické vysvetlenie postupného zužovania vyučovacej látky z
geometrie.
Na záver
„V prvej polovici 20. storočia bola u nás geometria váženou disciplínou, pretože pestrosť
a bohatosť geometrického sveta poskytne rozvoj tých potencií žiakov, ktoré boli vtedajšou
školou zdôrazňované. Boli to schopnosti tvorivo skúmať danú situáciu, efektívne organizovať
súbor javov, vynaliezavo hľadať riešiteľské stratégie, presne konštruovať požadované
objekty, zovšeobecňovať evidované javy, odhaľovať a zdôvodňovať vzťahy medzi objektmi,
riešiť zložité praktické úlohy z oblasti strojárenstva, stavebníctva, geodézie, astronómie,....“
„Keď neskôr pod Bourbakistickým vplyvom prevzala moc množinovo-štrukturálna
koncepcia, stala sa geometria pre školskú matematiku príťažou, lebo súbor geometrických
poznatkov sa dal zaradiť do tejto štruktúry až na úrovni Kleinovho pojatia geometrie, a to
najskôr na gymnáziu.“ [2]
„Není možno dnes při přednáškách deskriptivní geometrie, kdy počet hodin této nauky je
redukován opravdu na minimum, probírati vše s teoretickou důkladností, jak bylo možno
dříve, a tím třeba si vysvětliti, že někde spád je rychlejší a výklad stručnější, něž jak by tomu
bylo v čistě vědeckém, na praxi se neohlížejícím spise.“[3]
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Hejný, M., Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika, Pedagogická praxe, Portál, Praha
2001, ISBN 80-7178-581
Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N.: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky,
UK Praha 2004, ISBN 80-7290-189-3
Kadeřávek-Klíma-Kounovský: Deskriptivní geometrie, JČMF, Praha 1928
Turek, I.: Didaktika, Iura Edition, 2008, ISBN 8080781989
Georgiev,V., Ulovec, A. and coll.: Meeting in Mathematics, Comenius 2.1 Project,
Bulgaria 2008, ISBN 978-954-9526-49-3
www.statpedu.sk
Doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD.
Katedra matematiky FPV
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
142
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MATEMATIKA AKO JU NEPOZNÁTE
ATTILA KOMZSÍK, BÉLA LÁSZLÓ, ZUZANA NAGYOVÁ-LEHOCKÁ
ABSTRACT. The paper deals with an issue that is very up to date nowadays and more national
and international projects are focused on it. Our department takes part in two projects like this.
The aim of these projects is to increase the popularity of school Mathematics by changing the
attitude of Mathematics teachers on one hand and by creating new teaching materials on the
other hand. Our goal is to open the natural connection of the life reality and Mathematics
through examples coming directly from life experiences of people or by problem situations
that are human beings confronted daily and to help so in forming a positive attitude to
Mathematics. In this article such exercises will be introduced.
Úvod
Štátny vzdelávací program z matematiky pre nižšie sekundárne vzdelávanie, kladie dôraz
na získanie schopnosti používať matematiku v reálnom živote. Pomocou matematiky sa má
rozvíjať logické a kritické myslenie žiakov, ich schopnosť argumentovať a komunikovať pri
riešení problémov, a spolupracovať v skupine. Väčšou aktivizáciou žiakov sa kladie dôraz na
rozvoj týchto schopností. Žiak by mal matematiku spoznávať ako súčasť ľudskej kultúry,
a ako dôležitý nástroj spoločenského pokroku.
Čo je matematická gramotnosť
Jedným z dôležitých edukačných cieľov je podnietiť vyučovanie matematiky s dôrazom
na procesy spojené s riešením problémov v kontexte reálneho života a učiť žiakov
transformovať tieto problémy do vhodnej podoby pre použitie matematického prístupu. To
zdôrazňuje aj správa OECD PISA 2003.
Rozsiahly medzinárodný výskum PISA definuje matematickú gramotnosť ako
„schopnosť jedinca rozpoznať a pochopiť úlohu matematiky vo svete, robiť zdôvodnené
hodnotenia, použiť matematiku a zaoberať sa ňou spôsobmi, ktoré zodpovedajú potrebám
života konštruktívneho, zaujatého a rozmýšľajúceho občana.” Je preto dôležité uskutočňovať
zmeny nielen v oblasti cieľov, ale aj v oblasti metód práce.
V poslednom období sa do popredia dostalo vzdelávanie na kompetenčnom základe.
Slabé výsledky prieskumu PISA a viditeľné zhoršenie kvality vzdelávania, vyvoláva potrebu
vypracovania nových učebných materiálov z matematiky, v ktorých sa snažíme rozvíjať
predovšetkým používateľské, modelovacie a matematické kompetencie. Tieto doteraz na
slovenských školách neboli v popredí (je to tak aj v iných štátoch).
Vyučovanie matematiky má slúžiť predovšetkým pre život. Nielen každodenné
rozhodovanie sa kde a čo nakúpiť, ale aj závažné rozhodnutia v akej oblasti sa vzdelávať, aké
povolanie si vybrať, ako naložiť so svojimi financiami, prečo a ako sa poistiť, vyžadujú čoraz
viac schopností nájsť, spracovať, posúdiť, a použiť kvantitatívne informácie. Matematika má
svoje využitie aj v úplne jednoduchých, bežných situáciách, kde si to ani neuvedomujeme.
143
ATTILA KOMZSÍK, BÉLA LÁSZLÓ, ZUZANA NAGYOVÁ-LEHOCKÁ
Používame ju pri varení, pri hrách, stávkach, vysádzaní kvetov…. Je ukrytá v umení - hudbe,
mozaikách, v dielach výtvarných umelcov. Jednoducho je univerzálna a všadeprítomná.
Schopnosť komunikovať a schopnosť prezentovať výsledky svojej práce sú základnými
predpokladmi úspechu v živote, preto sme povinní pri vyučovaní matematiky rozvíjať aj tieto
kompetencie u všetkých žiakov.
O našich projektoch
PISA je nový výskum vedomostí a zručností 15 ročných žiakov. Na Slovensku výskum
smeruje k tomu, ako využiť výsledky PISA na zlepšenie a skvalitnenie slovenského
školského systému. Ako PISA chápe matematickú gramotnosť je plne kompatibilné s
kľúčovými kompetenciami stanovenými novým školským zákonom a vyjadrené v štátnom
vzdelávacom programe matematiky. Doterajšie skúsenosti získané z monitorovania PISA sú
východiskom pre naše projekty.
Zámerom našich projektov je vyhľadať a priblížiť situácie reálneho života, v ktorých sa
vo viac alebo menej skrýva matematika. Prostredníctvom príkladov vychádzajúcich priamo
zo životných skúseností jedincov, či nastolením problémových situácií, s ktorými sa človek
dennodenne stretáva, chceme odhaliť prirodzenú spojitosť životnej reality a matematiky, a
tak napomôcť pri formulovaní pozitívneho vzťahu k matematike.
V súčasných učebniciach matematiky, ktoré sú matematicky spracované výborne tak u
nás ako i v zahraničí, uvádzajú nedostatočný počet úloh z každodenného života. V rámci
modernizácie výučby matematiky všade vo svete sú iniciatívy integrácie úloh zo života do
učebníc matematiky.
Dôležitou súčasťou matematického vzdelávania je matematizácia reálnych situácií. Je to
jeden z cieľov matematiky. Podľa H. Freudanthala (1973) je matematizácia usporiadanie
reality matematickými prostriedkami. Tento proces sa skladá zo zjednodušenia, zanedbávania
nepodstatných aspektov situácií, triedenia informácií a ponechania len tých, ktoré sú
podstatné z daného hľadiska, eliminovanie nepodstatných faktov a vlastností,
schematizovanie skutočnosti (www.fi.uu.nl).
MUED je združenie nemeckých učiteľov matematiky. Ich hlavnou úlohou je
vypracovanie učebných materiálov, ktoré obsahujú úlohy zo života pre každý ročník ZŠ a SŠ.
Projekty Comenius DQIME II. a projekt KEGA využívajú aj tieto materiály, nakoľko slúžia
ako podklad pre rozvoj ďalších učebných materiálov (www.mued.de).
Naše ciele v rámci projektu KEGA
• Vytvorenie takých úloh, ktoré umožňujú žiakom riešiť problémy zo života a dávajú im
možnosť prepojiť matematiku so životom.
• Vytvorenie súboru úloh a cvičení na rozvoj matematických kompetencií.
• Obohatenie kultúry vyučovania matematiky.
• Prispôsobenie úloh ku klasickým matematickým témam, a takto presvedčiť učiteľov, že
úlohy je možné vyriešiť aj v rámci klasickej výučby.
• Otestovanie úloh a pomocou učiteľov ZŠ a SŠ ich integrovanie do vyučovacieho
procesu.
• Vypracovanie učebných materiálov: systém úloh a problémov zameraných na päť oblastí
nového vzdelávacieho obsahu, ktoré rozvíjajú matematické myslenie, vedomosti a schopnosti
potrebné na riešenie rôznych problémov v každodenných situáciách na II. stupni základných
škôl.
• Metodické zapracovanie vypracovaných systémov úloh do vyučovania matematiky
prebiehajúceho podľa schválených študijných plánov a učebníc. Jedná sa o metodické
144
MATEMATIKA AKO JU NEPOZNÁTE
príručky pre učiteľov ako používať učebný materiál, kedy a ako ich včleniť do vyučovacieho
procesu.
• Základný strategický cieľ nášho výskumu je vypracovať a odskúšať nové učebné
materiály postupne vo všetkých ročníkoch základných škôl, ktoré by napomáhali plniť ciele
nového štátneho vzdelávacieho programu v matematike a zvýšiť úspešnosť v monitoringu
PISA v matematickej gramotnosti.
Úlohy
Hľadáme a tvoríme problémy, ktoré sú zasadené do takých situácií reálneho života, kde
použitie matematiky predstavuje skutočný prínos pri hľadaní riešení. Nejedná sa len
o ovládanie matematických vedomostí, zručností, ale predovšetkým o schopnosť používať
matematiku pri rôznych situáciách, s ktorými sa žiaci môžu
stretnúť v bežnom živote. Úlohy a problémy by mali v žiakoch
vypestovať schopnosť spracovať problémovú situáciu do podoby,
v ktorej sa ukáže dôležitosť a užitočnosť matematiky.
Najväčšie čokoládové vajíčko sveta
Najväčšie čokoládové vajíčko sveta pripravilo 26 cukrárov
v Belgicku. Podľa správy „Het Laatste Nieuws” na zhotovenie 8,32
metrov vysokej a 6,39 metrov širokej atrakcie použili 2000 kg
mliečnej čokolády.
Cukrári na príprave vajíčka pracovali 525 hodín, a je vystavené
v Sint-Niklaas až do veľkonočného pondelka.
Je vajíčko duté alebo plné?
Aký veľký je približne objem vajíčka?
Aké ďalšie otázky sa môžu vyskytnúť?
Solenie
V Brémach je potrebné posoliť cesty, lebo sú
klzké ako zrkadlo. Miestna TV informovala, že
3. mája 2005 na jeden štvorcový meter
spotrebovali 15 g soli, spolu použili 50 ton.
a) Koľko kilometrov mala približne trasa, ktorú
posolili v Brémach?
b) Zmestila by sa použitá soľ do školskej triedy? Alebo na školský dvor? Alebo by bol
potrebný väčší priestor?
Vytrvalostný bežec: „Som blázon“
Napriek ťažkých okolnostiam, nemecký extrémny
športovec, Achim Heukemes, prebehol krížom celú
Austráliu od západu až po východ za rekordný čas,
niečo viac ako 43 dní. 53 ročný bežec po 4586 km
behu dorazil v nedeľu do Sydney. „Nikdy som to
nevzdával, ale určite som blázon“- povedal Heukemes.
145
ATTILA KOMZSÍK, BÉLA LÁSZLÓ, ZUZANA NAGYOVÁ-LEHOCKÁ
Napriek akútnemu úpalu a extrémnej horúčave stihol svojich naplánovaných 105 km za
deň. Svoj beh daroval športovec obetiam Tsunami z 26. decembra. Heukemes, so svojim
časom: 43 dní, 13 hodín, 8 minút, predbehol rekordéra spred šiestich rokov, Francúza
Sergeho Girarda (pred šiestim rokom) o 4 dni.
Skontrolujte, či sú všetky údaje o rekordnom behu správne!
Koľko kilometrov zvládol denne doterajší držiteľ rekordov?
Rodinný obed
Jedálny lístok
Polievky
0,25l Francúzska cibuľová polievka 1,53€
46 Sk
0,25l Rybacia polievka
2,16€
65 Sk
0,25l Slepačia s mäsom a rezancami 1,33€
40 Sk
Jedlá z hydiny
150 g Kuracie stehná na červenom víne
150 g Kuracie prsia na prírodný spôsob so šampiónovou šťavou
150 g Vyprážané kuracie prsia plnené šunkou a syrom
Bezmäsité cestoviny
350 g Špagety so špenátom a zemiakmi
200 g Špagety s ovčím syrom
350 g Penne s rajčinami a syrom
Pizza
340g
410g
400g
800g
3,02€
2,16€
4,05€
180 Sk
122 Sk
137 Sk
91 Sk
65 Sk
122 Sk
Margherita (rajčinový základ, mozzarella, bazalka)
Hawai (rajčinový základ, mozzarella, šunka, ananás)
Šunková (rajčinový základ, parmská šunka)
Šunková pre dvoch (rajčinový základ, parmská šunka)
Prílohy
200 g Dusená ryža
200 g Zemiakové krokety
200 g Zeleninová ryža
5,97€
4,05€
4,55€
3,95 €
5,28€
6,27 €
119,00 Sk
159,00 Sk
189,00 Sk
250,00 Sk
0,66€ 20 Sk
1,33€ 40 Sk
0,73€ 22 Sk
Celá rodina sa vybrala na obed do reštaurácie. Mama si objednala špagety s ovčím syrom,
otec si objednal kuracie stehná na červenom víne s dusenou ryžou a ich dcérka Evka si
objednala šunkovú pizzu. Laco si objednal to isté, ako jeho sestra. Laco zrátal koľko budú
platiť za celú večeru spolu. Výsledok bol nasledovný: 21,34€ (643Sk)
Je Lacov výpočet správny?
Sú nasledujúce tvrdenia pravdivé:
a) Ak by Laco objednal to čo jeho otec, platili by menej.
b) Lacovi a jeho sestre sa neoplatilo kúpiť 2 šunkové pizze, a mali si kúpiť „pizzu pre
dvoch”.
146
MATEMATIKA AKO JU NEPOZNÁTE
Záver
Jedným zo základných cieľov vyučovania matematiky je naučiť deti samostatne myslieť,
samostatne hľadať odpoveď na problémy bežného života. Hybnou silou učenia sa
matematiky má byť napínavé prežitie objavenia a vyriešenia problémov. Predstavením
možnosti využitia matematiky môžeme presvedčiť žiakov, že matematika je prostriedkom
myslenia a spoznania reality, prírody a spoločnosti. Zmeny v chápaní poslania matematiky
ako vzdelávania žiakov v činnostiach, ktoré sú charakteristické pre matematickú prácu, môžu
umožniť také ciele, ako sú rozvoj samostatnosti, rozvoj schopnosti formulovať a riešiť
problémy a rozvoj logického a tvorivého myslenia.
LITERATÚRA
[1]
Kubáček, Z. a kol.: Matematická gramotnosť – správa 2003. Bratislava: ŠPÚ,2004. ISBN
80-85756-89-9
RNDr. Attila Komzsík, PhD.
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Béla László, CSc.
e-mail: [email protected]
PaedDr. Zuzana Nagyová Lehocká, PhD.
e-mail: [email protected]
Ústav prírodných a informatických vied
Fakulta stredoeurópskych štúdií
Univerzita Konštantína Filozofa
Dražovská 4
SK – 949 01 Nitra
147
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
NETRADIČNÍ MATEMATICKÉ HRY
KATEŘINA KOSTKOVÁ
ABSTRACT. Mathematical games are one of the nontraditional forms of repetition of the
substance to be awake in the hours of mathematics. Games increases speed of counting,
improves skills with geometrical shapes and develops cooperation of students in group.
Úvod
Problematika motivace v hodinách matematiky je dnes aktuální a často diskutované téma.
Mezi studenty postupem času poklesl zájem o přírodovědné předměty včetně matematiky, a
proto vyvstala otázka jak tento trend zpomalit či úplně zabrzdit. Jednou možností je použití
vhodné motivace a navození tak u studentů pocitu zajímavosti, zábavnosti a užitečnosti
matematiky.
Způsobů motivace je celá řada. Jednou možností je ukazování praktického přínosu
matematiky, jako je například používání matematiky při nákupech v obchodě, vypočítávání
úroků při půjčkách v bance, odpočet daní z výdělku při brigádě, jednoduché výpočty při
stavebních úpravách.
Druhou možností je využití historie. Vypravování zajímavých historek ze života slavných
matematiků, objasňování zákulisí nezvyklých objevů.
Třetí možností je využití didaktické hry. Hra je známa jako lidstvo samo, provází nás od
dětství do dospělosti. Zdokonalujeme při ní paměť, rychlost reakce, procvičujeme nabité
vědomosti, zlepšujeme koncentraci pozornosti nebo podporujeme spolupráci žáků ve
skupině.
Existují určitě další typy motivace, ale já se zaměřím na tvorbu netradičních
matematických her. Použila jsem známé hry puzzle, pexeso a kvarteto a hry jsem
přepracovala do matematiky tak, aby mohly být použity jako motivační prvek ve vyučování
na střední škole.
Matematické puzzle
Doba trvání: 15 minut
Počet hráčů: 8 v každé skupině (2 skupiny)
Ročník studia a použití u kapitol: první ročník čtyřletého studia, absolutní hodnota,
všechny typy rovnic a nerovnic
Příprava na hru: Budete potřebovat dva plakáty a dva tvrdé papíry stejného formátu. Plakát
i papír rozdělte na stejný počet částí. Na každou část plakátu napište zadání jednoho úkolu a
na tvrdý papír jejich řešení (Pozor plakát budete přikládat obráceně, lícem vzhůru). To samé
udělejte i pro druhou skupinu. Pro obě skupiny je možno použít stejné příklady, ale vždy jiný
plakátový obrázek. Plakát i papír je třeba rozdělit na stejné geometrické tvary.
Pravidla hry: Hráči se rozdělí do skupinek. Každý obdrží jeden kousek puzzle. Učitel zahájí
hru a studenti začnou počítat příklad na svém kousku puzzle. Až budou mít výsledek,
přistoupí k hrací kartě (tvrdý papír s výsledky rozložený na první lavici) a pokud najdou svůj
výsledek na kartě, přiloží svůj kousek puzzle. Učitel vždy kontroluje správnost řešení. Poté
149
KATEŘINA KOSTKOVÁ
mohou jít pomáhat ostatním členům svého družstva. Zvítězí to družstvo, které rychleji složí
celý obrázek. Můžete použít i nesoutěžní variantu, kdy cílem hry ve skupině je pouze správně
složit obrázek bez ohledu na rychlost.
Přehled příkladů a výsledků na soustavy rovnic
Příklad č.
Zadání 1. rovnice
Zadání 2. rovnice
Řešení
1.
y = x2
2.
x2 − 9y2 = 9
x + 3y − 3 = 0
[3,0]
3.
⎛9⎞
2 x 2 − ⎜ ⎟ y 2 = 24
⎝2⎠
2x − 3y = 0
nemá
4.
x2 − y2 = 4
x− y+4=0
⎡ 5 3⎤
⎢− 2 , 2 ⎥
⎣
⎦
5.
4 x 2 − 9 y 2 = 15
2x + 3y = 5
⎡ 1⎤
⎢2, 3 ⎥
⎣ ⎦
6.
2 x − 5 y + 10 = 0
x+ y =2
[0,2]
7.
x2 − y2 = 5
x+ y −5 = 0
[3,2]
8.
x2 − y2 = 5
x− y =3
⎡7 2⎤
⎢3 , − 3⎥
⎣
⎦
[2,4]
x⋅ y = 8
Obrázek 1
Matematické pexeso
Doba trvání: 15 – 20 minut
Počet hráčů: 4 – 5 (pro polovinu třídy alespoň 4 pexesa)
Ročník studia a použití u kapitol: druhý ročník čtyřletého studia, všechny typy funkcí
a rovnic.
Příprava na hru: Připravíte si 64 kartiček. Vždy dvě k sobě budou patřit např. sin30° a ½.
tg 90˚
sin 2x
graf funkce sinx
není definován
2sinxcosx
souměrný podle
osy 1 a 3 kvadrantu
Obrázek 2
150
NETRADIČNÍ MATEMATICKÉ HRY
Pravidla hry: Studenti si kartičky nejprve zkusí přiřadit správně k sobě, až poté je zamíchají
a rozloží lícem dolů do libovolného obrazce. Dohodnou si, v jakém pořadí budou hrát.
Začínající hráč otočí dvě libovolné kartičky lícem nahoru tak, aby obrázky nebo nápisy z nich
jasně viděli všichni spoluhráči. Když se mu podaří najít dvojici patřící k sobě, ponechá si obě
kartičky a pokračuje ve hře. Záleží jen na správném úsudku hráče, aby spojil dva
matematické pojmy, které patří k sobě. Když ne, obě kartičky vrátí na původní místo lícem
dolů. Ve hře pokračuje další hráč. Vítězem je ten, kdo získá nejvíce dvojic.
Matematické kvarteto
Doba trvání: 15 minut
Počet hráčů: 4 – 6 na jedno kvarteto
Ročník studia a použití u kapitol: první ročník čtyřletého studia, historie matematiky
Příprava na hru: Musíte si připravit 32 karet (1A – 1D, ..., 8A – 8D), vždy po čtveřici ve
shodné barvě.
Pravidla hry: Hrát může libovolný počet hráčů, nejméně však tři. Po zamíchání karet se
všechny rozdají mezi hráče. Úplné kvarteto hráč odloží. Nyní začíná hra. Hráč zleva od
rozdávajícího se táže kteréhokoliv hráče na požadovanou kartu. Vyzvaný hráč musí kartu
odevzdat v případě, že ji má. Tazatel se ptá do té doby, než dotazovaný kartu nebude mít.
Dotazovaný poté pokračuje ve hře. Úplná kvarteta se vyloží na stůl. Vyhrává ten hráč, který
má nejvíce kvartet.
Obrázek 3
151
KATEŘINA KOSTKOVÁ
Závěr
Hry vnesly do školního kolektivu vlídnější atmosféru, pomohli více socializaci slabších a
pasivnějších žáků. Splnily tak svůj úkol – aktivitou a zajímavou činností udělat hodinu
matematiky veselou a přitažlivou. Hry sice nejsou schopny vyřešit celou problematiku
motivace, ale mají na jejím řešení lví podíl. Na závěr si sami můžete udělat obrázek, nakolik
měli hry úspěch – viz báseň jednoho mého žáka napsaná po hodině, ve které jsme hry hráli.
Matematika je krásná věda,
ani spát mi nedá.
Pořád chci počítat příklady,
a ne poslouchat v hodině výklady.
Když mám volný čas,
spočítám si příklad zas.
Ten příklad mi nevychází
má mysl pomalu schází.
Do rána to snad spočítám,
jinak se za učitelkou vydám
a pokud v kabinetě nebude,
co se mnou bude - ó můj osude!
Opletal Petr 2.C
LITERATURA
[1]
Čermák, P., Červinková, P.: Odmaturuj z matematiky 1, Brno, Didaktis, 2004, ISBN
80-807358-014-4
[2]
Charvát, J., Zhouf, J., Boček, L.: Matematika pro gymnázia – rovnice a nerovnice,
Praha, Prométheus, 1999, ISBN 80-7196-154-X
[3]
Krejčová, E., Volfová, M.: Didaktické hry v matematice, Hradec Králové, Gaudeamus,
1995, ISBN 80-7041-421-9
[4]
Novák, B.: Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2, Olomouc, nakladatelství UP,
2005, ISBN 80-244-1068-0
[5]
Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – goniometrie, Praha, Prometheus, 1994,
ISBN 80-7196-000-4
Mgr. Kateřina Kostková
Gymnázium Olomouc Hejčín
Tomkova 45
Olomouc 77900
e-mail: [email protected]
152
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ZKUŠENOSTI S VÝUKOU PRAVDĚPODOBNOSTI STUDENTŮ UČITELSTVÍ
MATEMATIKY NA PEDAGOGICKÉ FAKULTĚ OU
RADEK KRPEC
ABSTRACT. This paper is concerned with problems of solutions of exercises from probability
by students of mathematics on Pedagogical faculty of University of Ostrava. First part present
the problem with using the combinatorics rule of product. In second part we demonstrate
mistakes in the solution of the exercise by probability fields.
Úvod
V tomto článku bych se chtěl věnovat dvěma z mnoha problémů, se kterými se při výuce
pravděpodobnosti na naší Pedagogické fakultě OU ve studiu bakalářského oboru Matematika
se zaměřením na vzdělávání setkáváme. První problém je z oblasti kombinatoriky a týká se
pravidla součinu. Druhý problém se týká řešení úloh z oblasti pravděpodobnosti při
konstruování pravděpodobnostních prostorů.
1 Pravidlo součinu v kombinatorice
Pravidlo součinu lze formulovat takto: Pokud můžeme objekt A vybrat m způsoby a po
tomto výběru můžeme objekt B vybrat n způsoby, pak výběr objektů A a zároveň objektu B
můžeme uskutečnit m⋅ n způsoby.
Na začátku semestru dostali všichni studenti jednoduchý kontrolní nehodnocený test pro
mou představu o jejich znalostech a představách řešení jednoduchých úloh z kombinatoriky
a pravděpodobnosti. Jednou z těchto úloh byla úloha o dvou zámcích.
1.1 Úloha o dvou zámcích
První úloha z kontrolního testu zněla takto: „Máte kufr se dvěmi kódovacími zámky.
Každý kódovací zámek se skládá ze tří kotoučů, přičemž na jedno místo v kódu je možno
vybrat z cifer 0-9. Na každém zámku je možno navolit jiný kód. Kolik možných kódů je
možno na kufru navolit?“
Řešení je na první pohled docela jednoduché. Na jednom zámku jsou tři kotouče. Na
jednom kotouči je 10 možností. Když tedy zkombinujeme 10 možností z prvního kotouče
s 10 možnostmi z druhého kotouče a 10 možnostmi třetího kotouče, dostaneme celkem
n1 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 = 1000 možností pro první zámek a stejně tedy n2 = 1000 možností
pro druhý zámek. Jiný pohled bez pravidla součinu je takový, že se na kód zámku díváme
jako na „trojmístné číslo“, kterých je celkem 1000. Píšeme v uvozovkách „trojmístné číslo“,
protože víme, že v čísle nemůže být na prvním místě 0.
Máme-li tedy na kufru dva zámky, použijeme stejné pravidlo a dojdeme k výsledku
n = n1 ⋅ n2 = 1000 ⋅ 1000 = 1000 000 možností voleb kódů na kufru.
Při řešení můžeme postupovat tak, že položíme oba zámky jakoby vedle sebe a získáme
jeden šestimístný kódovací zámek. Jeho řešení pak pomocí pravidla součinu je opět
n = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 106 = 1000 000 možností.
153
RADEK KRPEC
A konečně, pokud se díváme na oba zámky dorhomady jako na jeden šestimístný zámek,
můžeme v něm navolit jakékoliv „šestimístné číslo“, kterých je opět 1 000 000.
1.2 Problémy při řešení úlohy o dvou zámcích
Pro některé studenty byl problém určit počet možností na jednom kódovacím zámku.
Někteří došli k závěru, že na jednom zámku je 10 ⋅ 9 ⋅ 8 možností. Tady sice použili pravidlo
součinu, ale z neznámých důvodů předpokládali, že cifry na jednotlivých místech se
nemohou opakovat. Další odpovědi byly takové, že na jednom zámku je 10! nebo 3!
možností. Jelikož byl test anonymní, aby studenti nebyli zatíženi nějakými obavami, tak
nebylo možné zjistit, co je k tomu vedlo. Podle mého úsudku použili faktoriál proto, že věděli
ze střední školy, že v kombinatorice se při výpočtech používá faktoriálu a tudíž se ho snažili
nějak použít.
Ve většině případů byl výsledek správný, co se týče jednoho zámku, tedy že na jednom
zámku je možno navolit celkem 1000 možností kódu. Problém řešení úlohy nastal v tom, že
měli zámky dva. Až na výjimky byla odpověď, že na obou zámcích dohromady je možno
navolit 2000 možností kódu.
V čem tkvěl hlavní problém jejich výpočtů. Jak je zřejmé, nepoužívali při výpočtu
pravidla součinu, ale řešili úlohu přes „trojmístná čísla“. Zjistili tedy, že na jednom zámku je
možno navolit 1000 „trojmístných čísel“. A další úvahy byly takové, že pokud můžeme na
jednom zámku navolit 1000 možností, na dvou zámcích dohromady můžeme navolit dvakrát
více tedy 2000 možností.
1.3 Problém určování počtu možností vsadit si jednoduchý tip ve hře SAZKA
SAZKA je jedna z možných tipovacích her, které nabízí společnoast Sazka. Budeme psát
všechna písmena velkým, abychom odlišili hru od společnosti. Ve hře SAZKA na tiketu
tipujeme v jednom sloupci v jednoduché hře výsledky celkem třinácti zápasů, přičemž
výsledek může skončit výhrou domácích, ten značíme 1, výhrou hostů, ten značíme 2 anebo
remízou a to značíme 0. Před odehráním zápasů tedy sázíme v třinácti zápasech vždy jednu
ze tří možností.
Při určování, kolik můžeme celkem navolit různých možností vsazení, můžeme použít
buďto vzorce pro variace s opakováním, ale jednodušší způsob je použití pravidla součinu.
Máme 13 řádků po 3 možnostech, tj. kombinujeme 3 možnosti v prvním řádku se 3
možnostmi ve druhém řádku se 3 možnostmi ve třetím řádku ... se 3 možnostmi ve třináctém
řádku, čímž získáme n = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅… ⋅ 3 = 313 = 1 594 323 možností.
I v této úloze studenti nezřídka dojdou k tomu, že všech možností je 3 ⋅ 13 , tedy 39
možností. Tedy opět nepoužili správně pravidlo součinu.
Pokud se rozhodnou použít k výpočtu vzorec pro počet variací s opakováním, což se
netýká přímo pravidla součinu, i když u variací s opakováním z pravidla součinu vycházíme,
častý výsledek je 133 = 2197 možností. Zamění počet prvků základní množiny, ze které
vybíráme a počet prvků ve variaci. Mají představu, že základní množina musí mít více prvků
než vybraná variace.
1.4 Zásadní problém při řešení pomocí pravidla součinu
Základní problém při řešení takových úloh je v tom, že studenti neumějí pravidlo součinu
používat, ani intuitivně. Pokud mají totiž kombinovat n výsledků, které mají stejný počet
možností m, pak pouze vynásobí n výsledků počtem možností m. Správný postup si zpravidla
uvědomí jestliže mají například určit, kolik možných kódů mohou navolit na trojmístném
154
ZKUŠENOSTI S VÝUKOU PRAVDĚPODOBNOSTI STUDENTŮ UČITELSTVÍ NA ...
zámku, kde na prvním místě může být jeden ze symbolů ♣,♦,♥,♠, na druhém jedna z číslic
0-5 a na třetím místě pak jedna z číslic 4-6. Teprve tady si uvědomí, jak musí mezi sebou
možné výsledky kombinovat, aby zjistili celkový počet možných kódů. Na každém místě
máme totiž různý počet možností a zde již nemohou pouze vynásobit počet míst počtem
možností, ale uvědomí se, že musí mezi sebou vynásobit počty možností na jednotlivých
místech.
2 Klasický versus obecný pravděpodobnostní prostor
V této části se budeme věnovat jedním z problémů, kterým je první etapa řešení úloh –
matematizace úlohy. V pravděpodobnosti jde často o problém se sestavením správného
modelu reálné situace, tedy problém se sestrojením správného pravděpodobnostního prostoru,
se kterým pak pracujeme. Na úvod pouze krátce připomeneme nástin definice
pravděpodobnostního prostoru Kolmogorovovy axiomatické soustavy a klasického
pravděpodobnostního prostoru.
Pravděpodobnostním prostorem nazveme trojici (Ω, A, P), kde Ω je prostor všech
elementárních jevů, A je systém neprázdných podmnožin množiny Ω splňující určité
vlastnosti viz [1], tyto podmnožiny označujeme jako náhodné jevy a P je funkce, která všem
jevům z A přiřazuje pravděpodobnost dle axiómů Kolmogorovovy soustavy. Přesná definice
viz např. [1].
Klasickým pravděpodobnostním prostorem pak nazveme trojici (Ω, A, P), kde Ω je
prostor všech elementárních jevů, A je systém neprázdných podmnožin množiny Ω
označované opět jako náhodné jevy a P je funkce, která všem jevům z A přiřazuje
pravděpodobnost splňující podmínky Kolmogorovovy axiomatické soustavy [1] a dále nechť
pravděpodobnosti všech elementárních jevů jsou stejné. Jinými slovy: Nechť určitý pokus
může mít n různých, vzájemně se vylučujících a stejně možných výsledků (elementárních
jevů). Jestliže m těchto výsledků odpovídá nastoupení jevu A, pak pravděpodobnost jevu A je
rovna
m
.
n
2.1 Hra s žetony
Při zavádění pravděpodobnosti a pravděpodobnostních prostorů začínáme cvičení pomocí
motivačních her. Studenti se rozdělí do několika skupin a každá skupina hraje jinou
motivační hru. Po odehrání mají za úkol seznámit ostatní s pravidly jejich hry, s výsledky
a pak určit pravděpodobnosti možnosti výhry jednoho či druhého hráče.
Jednou z těchto motivačních her je hra s žetony:
Potřebujete:
2 červené žetony se stranami A a B
1 modrý žeton se stranami A a B
papír a psací potřebu na zapisování skóre
Pravidla:
1. Rozdělíte hráče na č. 1 a č. 2. Vyhodíte všechny tři žetony současně.
2. Hráč 2 získal bod, jestliže padnou na obou červených žetonech strany A nebo na
modrém žetonu strana A nebo na všech třech strana A. Jinak získal bod hráč 1.
3. Házíte 16 krát. Vítěz je hráč s více body.
155
RADEK KRPEC
4. Hrajte dvě až tři hry a pak odpovězte na otázky:
a) Mají oba hráči stejnou šanci (pravděpodobnost) výhry?
b) Vyhrál pokaždé stejný hráč?
c) Je tato hra fér?
2.2 Pravděpodobnosti výhry jotlivých hráčů aneb jak správně určit pravděpodob-nostní
prostor
Při určování pravděpodobnosti výher jednotlivých hráčů dochází zpravidla k chybám
nesprávného zavedení pravděpodobnostního prostoru. Než si vyložíme, jakých chyb se
studenti dopouštějí, podíváme se na možnosti určení těchto pravděpodobností.
Použijeme k tomu definice obecného pravděpodobnostního prostoru (Ω, A, P), kde
Ω = {e1 , e2 , … , e6 } je prostor elementárních jevů:
e1 - na červených žetonech strana A, na modrém strana A;
e2 - na červených žetonech strana A, na modrém strana B;
e3 - na červených žetonech strana B, na modrém strana A;
e4 - na červených žetonech strana B, na modrém strana B;
e5 - na 1 červeném žetonu strana A, na 1 červeném strana B, na modrém strana A;
e6 - na 1 červeném žetonu strana A, na 1 červeném strana B, na modrém strana B.
Pravděpodobnosti elementárních jevů pak jsou následující:
1
1
1
1
1
1
P(e1 ) = , P(e2 ) = , P(e3 ) = , P(e4 ) = , P(e5 ) = , P(e6 ) = .
4
4
8
8
8
8
Pravděpodobnost výhry druhého hráče je
P ( H 2 ) = P(e1 ) + P (e2 ) + P(e3 ) + P(e5 ) =
1 1 1 1 5
+ + + = .
8 8 8 4 8
Pravděpodobnost výhry prvního hráče je tedy
P( H1 ) = P(e4 ) + P(e6 ) =
1 1 3
+ = .
8 4 8
Druhou možností je použití klasického pravděpodobnostního prostoru. V tomto prostoru
mají všechny elementární jevy stejnou šanci (pravděpodobnost) nastat. Budeme mít
pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P), kde Ω = {E1 , E2 , … , E8} je prostor elementárních jevů:
E1 - na červených žetonech strana A, na modrém strana A;
E2 - na červených žetonech strana A, na modrém strana B;
E3 - na červených žetonech strana B, na modrém strana A;
E4 - na červených žetonech strana B, na modrém strana B;
E5 - na 1. červeném žetonu strana A, na 2. červeném strana B, na modrém strana A;
E6 - na 1. červeném žetonu strana A, na 2. červeném strana B, na modrém strana B.
E7 - na 1. červeném žetonu strana B, na 2. červeném strana A, na modrém strana A;
E8 - na 1. červeném žetonu strana B, na 2. červeném strana A, na modrém strana B.
156
ZKUŠENOSTI S VÝUKOU PRAVDĚPODOBNOSTI STUDENTŮ UČITELSTVÍ NA ...
Pravděpodobnosti všech elementárních jevů tohoto prostoru jsou
1
, tedy se jedná
8
o klasický pravděpodobnostní prostor. Máme tady 8 stejně možných jevů. Výhře prvního
hráče odpovídají jevy E4 , E6 , E8 , tedy pravděpodobnost výhry prvního hráče P ( H 1 ) =
3
8
5
8
a pravděpodobnost výhry druhého hráče je pak P ( H 2 ) = .
2.3 Problémy s řešením motivační úlohy
Jak již bylo uvedeno, při určování pravděpodobnosti výher jednotlivých hráčů dochází
zpravidla k chybám nesprávného zavedení pravděpodobnostního prostoru. Nejčastější chybné
řešení je následující:
Uvažujme, že mohou nastat následující možnosti:
1. na červených žetonech strana A, na modrém strana A;
2. na červených žetonech strana A, na modrém strana B;
3. na červených žetonech strana B, na modrém strana A;
4. na červených žetonech strana B, na modrém strana B;
5. na 1 červeném žetonu strana A, na 1 červeném strana B, na modrém strana A;
6. na 1 červeném žetonu strana A, na 1 červeném strana B, na modrém strana B.
Máme tedy 6 možností, které mohou nastat. Přičemž výhře prvního hráče odpovídá 4.
a 6. možnost. Tedy dvě ze šesti možností odpovídají výhře prvního hráče. Použijeme vzorec
pro klasickou pravděpodobnost a dostaneme, že pravděpodobnost výhry prvního hráče je
P ( H1 ) =
2 1
= . Obdobně pak dostaneme praděpodobnost výhry druhého hráče. Příznivé
6 3
jsou 1., 2., 3. a 5. možnost, tedy 4 možnosti ze šesti odpovídají výhře druhého hráče
a pravděpodobnost výhry druhého hráče je pak rovna P ( H 2 ) =
4 2
= .
6 3
Došli jsme tedy k jinému zjevně chybnému výsledku, než při výše uvedeném správném
řešení přes pravděpodobnostní prostory. Jak vyplývá z řešení, nejčastější chybou je používání
vzorce pro klasickou pravděpodobnost v případě, kdy pro to nejsou splněny základní
podmínky, tedy když jevy nejsou stejně možné.
Můžeme říct, že v tomto případě je chyba řešení už v kroku matematizace. V tomto kroku
byl použit špatný model. Studenti podvědomě použijí pravděpodobnostní prostor, který není
klasický, ale se kterým pracují podle pravidel klasické pravdpodobnosti, aniž by si to
uvědomili. Nesprávně určí pravděpodobnosti elementárních jevů, aniž by nad tím přemýšleli.
Je důležité, aby si studenti uvědomili, že při řešení úloh je v prvé řadě třeba určit správný
model, v našem případě pravděpodobnostní prostor a pomocí něj teprve řešit všechny
problémy, které z dané úlohy vyplývají. Nedílnou součástí řešení je samozřejmě správná
interpretace, ale ta, pokud je úloha správně řešena, bývá zpravidla v pořádku.
157
RADEK KRPEC
LITERATURA
[1]
Křivý, I.: Úvod do teorie pravděpodobnosti, skriptum, Ostrava, Pedagogická fakulta v
Ostravě, 1983
RNDr. Radek Krpec, Ph.D.
Katedra matematiky s didaktikou
Pedagogická fakulta
Ostravská univerzita v Ostravě
Mlýnská 5
CZ – 701 03 Ostrava
e-mail: [email protected]
158
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PROBLEMS GENERATED BY PICK’S THEOREM
JOANNA MAJOR, MACIEJ MAJOR
ABSTRACT. In this article we present problems generated by Pick’s theorem.
In this article we present problems generated by Pick’s theorem and some of its
generalizations.
The starting point for keeping dissertations are certain mathematical questions, which in a
natural way lead to formulation of hypotheses and then to reviewing them. Deliberations
focused around Pick’s theorem and its generalizations let, in a natural way, link school
branches of mathematics like: analysis, algebra and geometry. Working on the problems
presented here, we have the chance for taking the math initiative, including formulation and
verification of hypotheses, seeking and editing of proofs, seeking for examples and
counterexamples.
The presented problems may be used in the whole, or in fragments, at work
with school students or with students of teachers’ training colleges of mathematical
majors.
Problems concerning Pick’s theorem and problems generated by it in the case of square
network were presented e.g. in works [1], [4], [5], [6], [8].
A natural question appears whether we can say about analogs to Pick’s formula for
networks different to square?
Square network (network built from squares) - defined in the work [8] - covers the entire
plane but it isn't the only net of this property. Let us notice that the only regular polygons
covering the plain entirely are the square, the equilateral triangle and the regular hexagon [9].
And so, for the networks built on the basis of these polygons it is possible to seek the relation
between the surface area of the polygon P(w), and the number of grating points belonging to
the interior i and to the edge b of the polygon w.
For the square network such relation is captured by the recalled Pick’s theorem, which
states that the surface area P(w) of a polygon whose vertices are in the grating points of the
square network is expressed by the formula P ( w) = i + b2 − 1 .
Problem 1. Let us consider the triangular network (compare fig. 1) with grating points
determined by equilateral triangles. Let us assume that the smallest triangle of the network
has the surface area equal to 1. Here a question appears: how to calculate the surface area of
the polygon, whose vertices are in the grating points of the triangular network?
Figure 1.
159
JOANNA MAJOR, MACIEJ MAJOR
In the work [8] a method of seeking the formula for the surface area of a polygon,
whose vertices are in the grating points of the square network was presented. We suggest
now how this method may be modified in order to solve problem 1.
A hypothesis may be formulated here that the surface area of the polygon P(w) whose
vertices are in the grating points of the triangular network is expressed by relation:
P(w) = αi + βb + γ,
where α, β, γ ∈ IR , and i is the number of grating points lying in the interior of the polygon
w, whereas b is a number of grating points lying on the edge of the polygon w.
If we assume that our hypothesis is real, then in the consecutive stage it is possible to appoint (provided they exist) values of
constants α, β, γ. To this purpose it will be sufficient to consider three different triangles whose vertices are in the grating
points of the triangular network (compare fig. 2).
Figure 2
We have P(w1) = 1, P(w2) = 4 and P(w3) = 9. Let us notice, that
⎧1 = α ·0 + β ·3 + γ ,
⎪
⎨4 = α ·0 + β ·6 + γ ,
⎪9 = α ·1 + β ·9 + γ ,
⎩
which means that α = 2, β = 1, γ = -2.
So our hypothesis takes the form
P(w) = 2i + b - 2.
(1)
we will present the idea of evidence of the discovered hypothesis.
To begin with we will demonstrate the truth of the formula (1) for parallelogram, whose
sides (of lengths a and b) are included in straight lines forming the triangular network (fig. 3).
The surface area of parallelogram expressed by the number of individual unit triangles
amounts to 2ab.
Figure 3
Let L(w) : = 2i + b - 2, where i is a number of internal points – and b is a number of
boundary points of the considered parallelogram.
We have L(w) = 2(a - 1)(b - 1) + 2(a + b) -2 = 2ab. So P(w) = L(w).
160
PROBLEMS GENERATED BY PICK’S THEOREM
Evidence of the hypothesis (1) is based among others on the following facts:
1. Any polygon w with vertices in the grating points of the triangular network may
be divided into triangles, whose vertices lay in the grating points of the network.
2. On any triangle t of vertices in the grating points of the network, a triangle T
may be “circumscribed” in such a way that its sides are included in straight lines
forming the triangular net. Then triangle T = t ∪ t1 ∪ t2 ∪ t3 (see fig. 4).
3. Each of triangles t1 , t2 , t3 may be completed to the parallelogram, sides of
which are included in straight lines forming the triangular web.
Figure 4
The conclusions from the proven theorem are e.g. positive replies to questions
from problem 2.
Problem 2. Is the surface area of a polygon formed on the triangular net a natural
number?
Is the surface area of a triangle containing no other boundary points than vertices an odd
number?
Problem 3. Would it be possible to build the square on the triangular net?
The reply to the question is negative and it results from the impossibility of constructing an
right-angled isosceles triangle.
Problem 4. Is it possible to say about any analogy to Pick’s formula for the hexagonal
network? The reply to this question is negative (see fig. 5).
Figure 5
Problem 5. Is it possible to say about any analogy to Pick’s formula for the networks
constructed of pairs of regular polygons?
The only pairs of regular polygons covering the plain entirely are: the hexagon and the
triangle, the octagon and the square, the dodecagon and the triangle, the triangle and the
square, the hexagon and the triangle [8]. For the pairs of regular polygons constructing of any
analog to the Pick’s formula has no sense, because polygons appearing in pairs have different
surface areas.
161
JOANNA MAJOR, MACIEJ MAJOR
Problem 6. Let us consider the plain with the improper pencil of parallel straight lines in
it, for which distances between every two neighbouring parallel straight lines amount to 1. On
such a net we construct polygons, whose vertices are included in straight lines (compare fig.
6).
Figure 6
It is possible to formulate the hypothesis, that surface area of the polygon P(w), whose
vertices lie on straight lines, is equal of the sum of the lengths of segments1 included inside
the polygon, increased by the half of the lengths of segments included in the polygon
boundary. That is
1
P( w) = i + b ,
2
where
i - the sum of the lengths of segments included inside the polygon w,
b - the sum of the lengths of segments included in the polygon w boundary.
The proof of the hypotheses runs with stages. We will present the draft of this proof.
Let us denote by L(w) the sum of the lengths of segments included inside the polygon,
increased by the half of the lengths of segments included in the polygon boundary.
To begin with let us notice, that if polygon w is an union of two polygons w1 and w2, then
• if L( w1 ) = i1 + 12 b1 and L( w2 ) = i2 + 12 b , then L( w) = i1 + i2 + 12 b1 + 12 b2 ,
•
P(w)=P(w1) + P(w2) where w1 and w2 have at least a common bound.
Let us consider the rectangle of sides of lengths a and b, one side of which lies on the
straight line (fig. 7).
Figure 7
Let us consider the right-angled triangle t1, one leg of which lies on the straight line from
the pencil (bunch). It is possible to complete the triangle to the rectangle (see fig. 8).
1
The segment is a geometric figure being a shared part of the polygon and the straight line from the pencil (bunch).
162
PROBLEMS GENERATED BY PICK’S THEOREM
Figure 8
Let us consider the triangle t, one side of which lies on the straight line from the pencil
(fig. 9 and 10).
Figure 9
Figure 10
Let us consider the triangle t, which none of sides lies on the straight line from the pencil
(fig. 11).
Figure 11
To prove the theorem it will be sufficient to notice that any polygon with vertices lying
on straight lines may be divided into triangles, vertices of which lie on straight lines from the
pencil (bunch).
The problems suggested above aren't using discussed issues up, one should treat them as
an exemplary model for creating next tasks.
163
JOANNA MAJOR, MACIEJ MAJOR
BIBLIOGRAPHY
1.
Bobiński, Z., i inni, Miniatury matematyczne, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2001.
2.
Coxeter, H., Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa, 1967.
3.
Gut, D, Geometria na papierze w linie, Matematyka 6, 2005, 35-37.
4.
Dąbrowski, M., Twierdzenie Picka w nauczaniu, Matematyka 1, 1989, 19-33.
5.
Kołodziejczyk, J., Twierdzenie Picka, Matematyka 1, 1989, 15-19.
6.
Kopka, J., Zkoumání ve školské matematice, Katolícka Univerzita v Ružomberku,
Roužomberok 2006.
7.
Kordos, M.,2008, Dowˇd Picka, http://www.interklasa.pl/portal/index/strony? main
SP=subjectpages$\&$mainSRV=matematyka$\&$methid=866909919$\&$page=
article$\&$article\_id=321319, data dostupu: 15 VII 2009 r.
8.
Major, J., Major M., Twierdzenie Picka, (w druku).
9.
Steinhaus, H., Kalejdoskop matematyczny, PZWSz, Warszawa 1954.
Joanna Major & Maciej Major
Pedagogical University of Cracow
Institute of Mathematics
Podchorążych 2
PL - 30-084 Cracow
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
164
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
CONTINUOUS RANDOM VARIABLES
AND GEOMETRICAL PROBABILITY SPACE
MACIEJ MAJOR
ABSTRACT. In this work we will suggest a method of proving chosen theorems concerning
continuous random variables, with the use of the geometrical probability space.
Introduction
A random variable is one of more important notions of the probability calculus. There are
three types of random variables: discrete, continuous (called also absolutely continuous) and
odd. Specially important are continuous random variables because they find applications in
mathematical statistics, economics, theory of insurance and physics. Mathematical apparatus
applied for examining these random variables is rather complicated (the characteristic
function, the Riemanna-Stieltjesa integral, the notion of the functional convolution). In the
works [2] and [3] it is presented how possible it is to use geometrical probability space for
examining continuous random variables. In this work we will suggest a method of proving
chosen theorems concerning continuous random variables, with the use of the geometrical
probability space. In this work only drafts of theorems’ proofs are given. Basic definitions
and theorems concerning problems discussed in this work may be found in e.g. [2] or [3].
Continuous random variable and its basic geometrical probability space
Let us consider a continuous random variable X of the density function f X . Let
Ω = {( x, y ) ∈ IR 2 : 0 ≤ y ≤ f X ( x)} and let Ζ be a family of subsets of the set Ω having the
Lebesque measure. Let us notice, that ml (Ω) = 1 . The triple (Ω, Z, P), where
P( A) = ml ( A) , is a geometrical probability space (see [2], pp. 147-148).
Let X : Ω → IR be given by the formula X(x, y) = x. Let us define AX (t ) =
{( x, y ) ∈ Ω : X (ω ) < t} = {( x, y ) ∈ Ω : x < t} for t ∈ IR . Let us notice that the function X is
a random variable because AX (t) ∈ Z for every t ∈ IR .
Figure 1
165
MACIEJ MAJOR
Because for every t ∈ IR there is FX (t ) =
∫
t
−∞
f X ( x )dx = ml ( AX (t )) therefore X is the
continuous random variable of the density function f X . The probability space (Ω, Z, P) will
be called the basic geometrical probability space of the random variable X.
Theorem 1. If X is the continuous random variable of the density function f X and
Y = aX + b , where a ≠ 0 , then fY (t ) =
1
|a|
f X ( t −ab ) .
Proof. Let us consider the basic geometrical probability space of the random variable X.
The case a > 0 is presented in the figure 2, and the case a < 0 is presented in the figure 3.
Figure 2
Figure 3
⎛t −b⎞
f X ( x )dx = FX ⎜
⎟ , therefore
−∞
⎝ a ⎠
⎛t −b⎞ 1 ⎛t −b⎞
fY ( t ) = F ′ X ⎜
⎟ = fX ⎜
⎟.
⎝ a ⎠ a ⎝ a ⎠
If a > 0, then FY (t ) = ml ( AY (t )) =
∫
t −b
a
If a < 0, then
∞
t −b
a
a
−∞
FY (t ) = ml ( AY (t )) = ∫t −b f X ( x )dx = 1 − ∫
1 ⎛t −b⎞
⎛t −b⎞
⎟ = − fX ⎜
⎟.
a ⎝ a ⎠
⎝ a ⎠
Finally for a ≠ 0 we have fY (t ) = |a1| f X ( t −ab ).
therefore fY (t ) = − F ′ X ⎜
166
⎛t−b⎞
f X ( x )dx = 1 − FX ⎜
⎟,
⎝ a ⎠
CONTINUOUS RANDOM VARIABLES AND GEOMETRICAL …
Random variable of Cauchy distribution
Let us consider the random variable X of Cauchy distribution. It is presented the basic
geometrical probability space of random variable X in figure 4.
Figure 4
Let (Ω, Z, P) be a geometrical probability space, where Ω = {( x, y ) ∈ IR 2 : x ≠ 0
∧ x 2 + y 2 < π1 } .Let us consider the function X given by the formula X ( x, y ) =
( x, y ) ∈ Ω . The function X is the continuous random variable (see figure 5).
y
x
for
Figure 5
Let us notice, that FX (t ) = ml ( AX (t )) = 12 + π1 arctan t , so f X ( x ) = π (1+1 x2 ) .
Therefore the random variable X has the Cauchy distribution.
And so we demonstrated, that having a given density function f X of the
continuous random variable X, it was possible to construct various geometrical
probability spaces, and in each of them define the random variable X in such a way,
that their densities would be expressed by the function f X .
Normal distribution
Theorem 2. If X is a random variable of normal distribution and of parameters µ
and σ ( X : N ( µ , σ ) ), then standardized random variable Y = Xσ− µ has normal
distribution of parameters 0 and 1 ( Y : N (0,1) ).
167
MACIEJ MAJOR
Proof. Theorem 2 is a conclusion from the theorem 1. In this work this theorem will be
proven without appealing to the previous theorem. Let us accept reference designations as in
Figure 6.
Figure 6
We have
FY (t ) = ml ( AY (t )) = ∫
σ t +µ
−∞
f X ( x )dx = FX (σ t + µ ),
so
2
− (σ t + µ −µ )
1
1 −2t2
2
fY (t ) = F ′Y (t ) = F ′ X (σ t + µ ) = σ f X (σ t + µ ) = σ
e 2σ
=
e .
2π
σ 2π
Theorem 3. Let X and Y be independent random variables of normal distributions
and of parameters µ X = µY = 0 and σ X = σ Y = 1 and let S = X + Y. Then S is a
random variable of normal distribution and of parameters µS = 0 and σ S = 2 .
⎧
Proof. Let Ω = ⎪⎨ ( x, y, z ) ∈ IR 3 : 0 ≤ z ≤
⎪
⎩
1
2π
e
−x
2 + y2
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(see figure 7a)).
Figure 7
Let us define the functions X ( x, y, z ) = x and Y ( x, y, z ) = y in a geometrical
probability space (Ω, Z, P). We will show that X is a random variable of normal
distribution and of parameters µ X = 0 and σ X = 1 .
Let AX (t ) = {( x, y, z ) ∈ Ω : X ( x, y, z ) < t} = {( x, y, z ) ∈ Ω : x < t} for t ∈ IR .
168
CONTINUOUS RANDOM VARIABLES AND GEOMETRICAL …
Let us notice, that
1 − x2 +2 y2
e
dxdy
2π
1 − x2 +2 y2
e
dydx
2π
1 − x22 − y22
e e dydx
2π
FX (t ) = P ( X < t ) = ∫∫
( ∞,t )× ( ∞×∞ )
=
10.
11.
=
12.
13.
14.
=
1
2π
1
2π
1
2π
∫ ∫
t
∞
∞
−∞
∫ ∫
t
∞
∞
−∞
t
− x2
∫
∞
e
2
dx = Φ (t ).
And so the variable X has the normal distribution of parameters µ X = 0 and
σ X =1.
In an analogous way it is possible to show that the random variable Y has the
same distribution as the variable X. It is also possible to show that the variables X and
Y are the independent random variables.
Let S = X + Y. We have S ( x, y, z ) = x + y . Let us define
AS (t ) = {ω ∈ Ω : S (ω ) < t} = {ω ∈ Ω : x + y < t} = {( x, y, z ) ∈ Ω : y < − x + t} .
Let us notice that µS = 0 and σ S = 2 (see figure 8).
Figure 8
Using the method applied in the proof of theorem 3 it is possible to prove the
following theorem.
Theorem 4. Let X and Y be independent random variables of normal distributions
and of parameters µ X = µY = 0 and σ X = σ Y = 1 , and let Z = aX + bY, where
a, b ∈ IR \ 0 . Then Z is a random variable of normal distribution and of parameters
µZ = 0 and σ Z = a 2 + b2 .
Figure 9 presents the idea of the proof.
169
MACIEJ MAJOR
Figure 9
Conclusion
It is worthwhile to solve the problems presented above with the students of math
teachers’ training majors. Proving the theorems with elementary methods with the use of
mathematical analysis and geometrical methods, allows to consider the elements of
probability calculus in a different (than traditional) way. Quite elementary tools make the
presented problems simple to understand and to operative use.
BIBLIOGRAPHY
[1]
Mirosław Krzyśko, Wykłady z teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo NaukowoTechniczne, Warszawa 2000.
[2]
Maciej Major, Geometric probability space as the tool of examining continuous
random variables, Acta Mathematica 11, Nitra 2008, 147-152.
[3]
Maciej Major, Continuous random variable, Mathematica II, Ružomberok 2009, 4149.
[4]
Adam Płocki, Stochastyka dla nauczyciela, Rachunek prawdopodobieństwa,
kombinatoryka i statystyka matematyczna jako nauka in stau nascendi, Płock 2002.
Maciej Major
Pedagogical University of Cracow
Institute of Mathematics
Podchorążych 2
PL - 30-084 Cracow
e-mail: [email protected]
170
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
CREATIVE COMMONS - AKO PROSTRIEDOK OCHRANY AUTORSKÝCH PRÁV
ŠTUDIJNÝCH MATERIÁLOV
DANA MALÁ, ONDREJ ŠEDIVÝ, BEÁTA STEHLÍKOVÁ, ANNA TIRPÁKOVÁ
ABSTRACT. This contribution deals with Creative Commons as a kind of copyright protection.
Creative Commons is a licence alternative for documents, multimedia and different content on
the Internet, which respects the necessity of copyright and regulates sharing of these
documents.
Úvod
Technologický rozvoj umožňuje získavať, vytvárať, upravovať, publikovať a šíriť
rozličné druhy diel v elektronickej podobe. Patria sem umelecké diela, vedecké a vzdelávacie
materiály, softvér a články. V súvislosti s napredovaním informačných technológií sa mení aj
pohľad na multimedia, uvádzajú Žácok L., Schlarmannová J v [5]. Wenzlová [4] uvádza, že
rozvoj IKT významne ovplyvnil formy a metódy tvorby učebných materiálov a ich použitia
vo vzdelávacích inštitúciách. Veľmi dôležitú úlohu v oblasti podpory vzdelávania plnia v
súčasnosti webové stránky. Podľa Hennyeyovej [2] špeciálne študijné materiály pre dištančné
štúdium sú vytvárané pomocou nových informačných a komunikačných technológií a
študenti k nim majú prístup prostredníctvom Internetu alebo CD médií. Pomocou nových
informačných technológií učiteľ môže pripraviť študijné materiály, testy, prezentácie a
hypertextové dokumenty publikované na Web serveri.
Slobodné kultúrne dielo a licenčná alternatíva Creative Commons
Elektronické materiály na webových stránkach môžu slúžiť na študijné, vedecké,
vzdelávacie alebo informačné účely. Materiály sa môžu rozmnožovať len v súlade s
autorským zákonom. Autorské právo je v objektívnom zmysle súhrn právnych noriem
upravujúcich vzťahy vznikajúce v súvislosti s vytvorením literárneho, vedeckého a/alebo
umeleckého diela. V subjektívnom zmysle je autorský zákon súhrn oprávnení, ktoré autorovi
alebo jeho oprávnenému nástupcovi vyplývajú z noriem objektívneho práva ([6]). Autorské
právo trvá v štátoch Európskej únie najmenej 70 rokov po autorovej smrti, avšak v niektorých
krajinách s angloamerickým právnym systémom je trvanie autorských predĺžené na 90 rokov
po autorovej smrti. Keď uplynie doba ochrany autorského práva, dielo sa stáva voľným
dielom a na jeho použitie nie je už potrebný žiaden súhlas. Ochranu pred zneužívaním
autorských práv poskytuje zákon č. 618/2003 Z.z. o autorskom práve a právach súvisiacich s
autorským právom.
Aby elektronické materiály naozaj slúžili uvedeným účelom a súčasne ich používanie
neporušovalo autorský zákon je vhodné, aby sa jednalo o slobodné diela. Pod slobodou diela
sa myslí ([3]):
- sloboda používať dielo a využívať výhody plynúce z jeho použitia,
- sloboda študovať dielo a uplatňovať znalosti z neho získané,
171
DANA MALÁ, ONDREJ ŠEDIVÝ, BEÁTA STEHLÍKOVÁ, ANNA TIRPÁKOVÁ
-
sloboda vytvárať a šíriť kópie informácie či reprezentácie – celku alebo časti,
sloboda meniť a vylepšovať dielo a šíriť odvodené diela.
Slovenský preklad ([8]) definície slobodného kultúrneho diela je nasledovný: „vo väčšine
krajín sa však tieto slobody nevynucujú, ale potláčajú prostredníctvom zákonov, ktoré sa
všeobecne označujú ako autorské zákony. V týchto zákonoch sa autori považujú za božských
tvorcov a priznáva sa im výlučné právo určovať spôsoby, akými sa "ich obsah" smie
používať. Tento monopol bráni rozkvetu kultúry a neprospieva ani tak ekonomickej situácii
autorov, ako chráni obchodný model najväčších vydavateľstiev. Napriek týmto zákonom
môžu autori svoje dielo uvoľniť ako slobodné, ak si zvolia zo širokej palety právnych
dokumentov, ktoré sú známe ako slobodné licencie. Voľba slobodnej licencie neznamená pre
autora stratu všetkých jeho práv, ale poskytuje komukoľvek vyššie vymenované slobody“
([8]).
Slobodné kultúrne diela sú diela či reprezentácie, ktoré je umožnené komukoľvek
slobodne študovať, používať, kopírovať a/alebo modifikovať na akýkoľvek účel. Zároveň pre
ne zostávajú zachované isté prípustné obmedzenia, ktoré rešpektujú a chránia tieto základné
slobody. Slobodné licencie následne môžu slúžiť na právnu ochranu štatútu slobodného diela
([8]).
Vo svete softvéru zohrávajú významnú úlohy licencie GNU/GPL, BSD, Apache, ktoré
umožňujú chrániť voľne dostupný obsah. Každá z licencií má svoje obmedzenia a svoje
výhody. Tieto licencie sú postavené na softvérové produkty. Creative Commons je licenčná
alternatíva pre dokumenty, multimédia, ľubovoľný obsah na internete. Organizáciu Creative
Commons (CC) založil v roku 2001 jej súčasný predseda Lawrence Lessig. Pôvodne šlo o
podporu cieľov žaloby u Najvyššeho súdu USA v prípade Eldred versus Ashcroft. Prvá sada
licencií Creative Commons bola zverejnená koncom roku 2002. CC sa odvíja od myšlienky,
že si spoločnosť vytvorí vlastné pravidlá dostupné každému, vzťahujúce sa na danú krajinu
alebo informácie. Informácia sa potom môže stať voľnou a dostupnou, môže byt zdieľaná a
šírená pre osobný zisk aj pre verejné dobro. To sú výhody zdieľania a prístupu k
informáciám. Sú inšpirované hnutiami pre „open-source“ a „free software“. CC akceptuje
potrebu autorských práv, ale súčasne žiada a navrhuje určité regulátory. CC označuje, že to,
čo je na internete nie je automaticky možné využívať akýmkoľvek spôsobom a zároveň
umožňuje distribúciu diela ďalej, ale iba tak ako si to tak želá jeho autor ([7]).
Licencie Creative Commons vznikajú kombináciou niekoľkých základných vlastností,
ktoré popisujú, aké práva si chce držiteľ autorských práv podržať a akých sa chce vzdať.
Existujú štyri základné vlastnosti:
172
•
Attributtion (skratka by): Umožňuje ostatným rozmnožovať, rozširovať,
vystavovať dielo a odvodené diela za podmienky uvedenia autora.
•
Noncommercial (nc): Umožňuje ostatným rozmnožovať, rozširovať, vystavovať
dielo a odvodené diela len pre nekomerčné účely.
•
No Derivative Works (nd): Umožňuje ostatným rozmnožovať, rozširovať,
vystavovať dielo len v pôvodnej podobe, nie odvodené diela.
CREATIVE COMMONS - AKO PROSTRIEDOK OCHRANY AUTORSKÝCH PRÁV ...
•
Share Alike (sa): Umožňuje ostatným rozširovať odvodené diela len za
podmienky použitia identickej licencie pre odvodené diela.
Obrázok 1:Získanie licencie Creative Commons v Českej republike
173
DANA MALÁ, ONDREJ ŠEDIVÝ, BEÁTA STEHLÍKOVÁ, ANNA TIRPÁKOVÁ
Kombináciou týchto podmienok môže teoreticky vzniknúť šestnásť možných variantov, z
nich je však päť nezmyselných (štyri z nich kombinujú klauzuly nd a sa, ktoré sa navzájom
vylučujú, piata nepoužívaná kombinácia je zverejnenie ako voľné dielo). V poslednej dobe už
licencie bez klauzuly by nie sú na webových stránkach CC implicitne ponúknuté ([7]).
Na rozdiel od iných, zaužívaných licencii, creative commons je koncipovaná tak, aby
namiesto nejakého zložitého textu licencie bola k textu priložená iba jednoduchá linka,
respektive prípadne ikona, ktorá vedie na stránku creative commons, kde je jej plný text.
Získanie licencie je veľmi jednoduché. Stačí vyplniť formulár na web stránke. Stránka
Creative Commons ponúka možnosť zvoliť aj inú licenciu, ako CC.
Obrázok 2:Voľba inej licencie na stránke Creative Commons v Českej republike
Kedže pôvodné licencie Creative Commons vychádzali z právneho modelu platného v
USA, nie sú vždy presne zlučitelné s právnym systémom iných štátov. Použitie amerického
modelu bez ohladu na miestne úpravy môže spôsobit, že je licencia neplatná ci nevynútitelná
([8]).
Riešením tohto problému sa zaoberá projekt Creative Commons International (CCi),
ktorý doladuje formulácie jednotlivých licencií podľa špecifík konkrétnych krajín.
Pripomienkovanie návrhu českej verzie CC je ukončené, hoci zmluvu o portovaní podpísali
až v júni 2008 ([10]). Slovensko má dohodu podpísanú od roku 2005. Ukončenie slovenskej
lokalizácie sa očakáva v roku 2010 ([8]).
Materiály chránené licenciou CC umožňuje vyhľadávať Firefox. Stačí v pravom
hornom rohu, kde sú vyhľadávače zvoliť ikonku Creative Commons a zadať reťazec, ktorý
hľadáme.
Licenciou CC sú chránené napríklad podcasty ako Software engineering radio alebo
mapy projektu Freemap.sk. Pomocou dobrého nastavenia licencie CC sa môže množstvo prác
dostať k ich čitateľom. Taktiež zlepšiť povedomie o práci ich autorov, často učiteľov a
pedagógov. Využijúc licenciu CC učitel môže zdieľať svoje skriptá, učebné texty, videá a
ďalšie pomôcky pomocou licencie BY-NC-ND, ktorá rešpektuje autora, ale nedovoľuje
úpravy a komerčné využitie. Licencie CC by vyriešili mnoho problémov v svislosti
autorskými právami študijných materiálov. Zostáva nám iba veriť, že sa v roku 2010 naozaj
tak stane a dojde k zosúladeniu CC s legislatívou SR.
174
CREATIVE COMMONS - AKO PROSTRIEDOK OCHRANY AUTORSKÝCH PRÁV ...
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
Fulier, J., Tóth, J.: Niektoré možnosti využitia počítačov, informačných a
komunikačných technológií vo vyučovaní matematiky. In: Technológia vzdelávania,
SLOVDIDAC Nitra, str. 12-15. ISSN 1335-003X
Hennyeyová, K.: Dištančné štúdium - perspektívna forma vzdelávania . Dostupné na
internete http://www.slpk.sk/dizertacie/agrarni_perspektivy/hennyeova.pdf [cit. 200909-04].
Kovacicová, K.: Creative commons – „nový“ štandard na správu dokumentov. In:
ITlib. Informacné technológie a knižnice [online], 2008, c. 04
http://www.cvtisr.sk/itlib/itlib084/kovacicova.htm [cit. 2009-09-04].
Wenzlová, M.: Študijné materiály v elektronickej forme ako učebné pomôcky.
Dostupné
na
internete
http://www.fem.uniag.sk/konferencie_a_seminare/ki/
itvrav2007/ zbornik/Wenzlova.pdf [cit. 2009-09-04].
Žácok L., Schlarmannová J.: Multimediálne učebné pomôcky vo vyučovacom procese.
Dostupné na internete http://www.pulib.sk/elpub2/FHPV/Pavelka1/23.pdf [cit. 200909-04].
Autorské právo. Wikipédia, Slobodná encyklopédia. Získané 10:00, september 23,
2009 z
http://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=Autorsk%C3%A9_pr%C3%
A1vo&oldid=2503526. [cit. 2009-09-04].
Creative Commons. Wikipédia, Slobodná encyklopédia. Získané 04:13, september 24,
2009
z
http://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=Creative_Commons&oldid=
2510068. [cit. 2009-09-04].
http://freedomdefined.org/Definition/Sk
http://www.facebook.com/pages/Creative-Commons-Slovakia/91470479701
http://www.creativecommons.cz/
PaedDr. Dana Malá, PhD.
Katedra pedag. a škol. psychologie
Pedagogická fakulta
Univerzita Konštantína Filozofa
Dražovská cesta 4
SK - 949 74 Nitra
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Beáta Stehlíková, CSc..
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
175
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
LOGICKÉ HRY V MATEMATIKE
ANTÓNIA ŤAHÚN MENDELOVÁ
ABSTRACT. The principal objective of this thesis is to present games as a part
of the mathematics lesson. The position of games in the teaching process of mathematics in the
senior years of primary schooling is described here in detail. Author gives examples of two
games that can be used for math lesson for senior years of primary schooling.
1
Hry na hodinách matematiky
Viacerí psychológovia a pedagógovia sa zhodnú v tom, že hra prispieva k všestrannému
rozvoju osobnosti dieťaťa originálnym a efektívnym spôsobom. Záleží od zvolenej techniky
a metódy učenia a systému odmeňovania, čo v deťoch stimuluje kladné a zdravé
sebavedomie. Okrem toho prinášajú radosť z dosiahnutého úspechu.
Vo všeobecnosti hry rozvíjajú psychické funkcie:
∼ logické myslenie a uvažovanie dieťaťa,
∼ hľadanie súvislosti a samostatného myšlienkového postupu,
∼ zrakové vnímanie v jeho schopnosti rozlišovania detailov a zrakovú pamäť,
∼ predstavivosť dieťaťa,
∼ schopnosť analýzy a syntézy ako funkcie myslenia (aby bol jedinec schopný
z jednotlivých častí vytvárať celok a naopak),
∼ obohacovanie slovnej zásoby dieťaťa, jeho slovného myslenia a pamäti,
∼ zameriava sa rovnako na rozvoj emočnej a sociálnej inteligencie dieťaťa,
∼ jeho tvorivosti, samostatnosti a zodpovednosti,
∼ svojimi modelovými situáciami a príkladmi ponúka nácvik tvorivého riešenia
problémov, ktoré prináša život,
∼ cvičí sebaovládanie, schopnosť vyvinúť úsilie a sám seba motivovať.
Sme presvedčení, že matematické hry skrývajú v sebe možnosti didaktického využitia, ktoré
doposiaľ nie sú dostatočne preskúmané, no najmä v praxi realizované. Domnievame sa, že
hry sú vhodné napríklad:
∼ na fixovanie nových pojmov pre žiakov,
∼ na aplikáciu metódy,
∼ na ilustráciu metódy, alebo pojmu,
∼ trénovanie priestorovej predstavivosti,
∼ úvahy o stratégiách niektorých hier sú vhodné na ilustrovanie metódy
nekonštruktívneho dôkazu,
∼ hra je vhodná a u žiakov obľúbená forma práce, ktorá ich vzťah k danému predmetu
upevňuje a prehlbuje.
Didaktické hry, ktoré chceme využívať na hodinách matematiky musia spĺňať základné
kritériá, ktoré platia všeobecne pri didaktických hrách. Ide najmä o správne zvolenie hier,
organizáciu hier, o správne uvedenie hier na vyučovacej hodine, sledovanie priebehu hry,
určenie pravidiel didaktických hier, správne rozdelenie hráčov v hrách a v neposlednom rade
ide o zisťovanie neúspechov daných hier a ich odstránenie.
177
ANTÓNIA ŤAHÚN MENDELOVÁ
2
Klasifikácia hier
Na klasifikáciu hier sa viacerí pedagógovia a psychológovia pozerajú z viacerých uhlov.
J. Huizing rozdeľuje hry podľa hlavných úloh, ktoré plnia v živote človeka:
∼ agon (súťaživosť): tieto hry rozvíjajú rýchlosť, vytrvalosť, silu pamäť, obratnosť.
Podnecujú súťaživosť, konkurenčné učenie, môžu hierarchizovať skupinu, čím v časti
jej členov vyvolávajú pocity nadradenosti, v inej menejcennosti alebo závisti;
∼ alea (šťastie, náhodnosť): hry založené na hazardovaní, úloha hráča je tu iba
pasívne. Ich cieľom je často materiálny prospech, preto ich v edukačnom procese
využívame len v obmedzenej miere;
∼ mimikry (maskovacie mimetické): ich podstatou je napodobňovanie, hranie rolí,
vžívanie sa do situácií, postáv, príbehu. Ich dôležitou črtou je imaginárny prvok,
všetko „akoby“. Svojou podstatou ide o hry kooperatívne a sú najdôležitejšie
pre tvorivú dramatiku.
G. Büchlerová na základe vzťahu hier a vývinu osobnosti človeka rozdeľuje hry na:
∼ hry funkčné, rozvíjajúce psychomotorické funkcie,
∼ hry fiktívne, rozvíjajúce fantáziu,
∼ hry receptívne, rozvíjajúce pozornosť, schopnosť sústredenia,
∼ hry konštruktívne, rozvíjajúce zručnosti (kreslenie, manipulácia s predmetmi...),
∼ hry s pravidlami, niekedy uvádzané ako námetové alebo rolové (dramatické). Sem
možno zaradiť aj štruktúrované hry (vedené a organizované učiteľom, ktorý je sám
účastníkom hry), využívané napr. v zážitkovom učení.
J. Kuric rozdeľuje hry na:
∼ funkčné (v niektorých klasifikáciách sa nazývajú voľné) – žiaci nimi nesledujú nijaký
cieľ, cieľom je samotná činnosť,
∼ hry manipulačné – chytaním predmetov a manipuláciou nimi sa rozvíja hlavne
motorika,
∼ napodobňovanie – žiak napodobňuje správanie zvierat a ľudí,
∼ hry receptívne – založené na prijímaní a spracúvaní vonkajších podnetov,
∼ hry úlohové (nazývané niekde aj rolové) – žiak preberá rôzne úlohy dospelých
alebo iných žiakov, čo môže viesť k vytváraniu deja s dramatickým napätím
(dramatické hry),
∼ hry konštruktívne – zamerané na výsledok činnosti, s vopred určeným cieľom,
∼ hry spoločenské (sociálne) – kooperácia s inými žiakmi a dospelými, vytváranie
vzájomných vzťahov, socializácia.
S. Koťátková člení hry na základe povahy činností, ktoré sa v hre realizujú:
∼ hry s niečím – čo je čiastočne známe, ale disponuje neznámymi možnosťami, vytvára
situácie, pri ktorých riešení vzniká zaujatie a napätie. Patria sem bežné hračky,
športové náradie, ale aj ľudské telo;
∼ hry na niečo – podnecujúce fantáziu, objavovanie nových možností premeny rolí,
stotožnenie sa tu a teraz s niečím, čo v bežnom živote nie je možné;
∼ hry o niečo – podnecujúce meranie síl, súťaživosť, konkurenciu, túžbu po víťazstve
jedinca alebo skupiny. Hra poskytuje vzrušenie nielen jej priamym aktérom, ale
aj priaznivcom, fanúšikom, ktorí sa stotožňujú s výsledkom hry a stávajú sa vlastne
jej súčasťou.
178
LOGICKÉ HRY V MATEMATIKE
3
Logické hry
Logiku sa snaží aplikovať každá veda. Je dôležitá pri spracovaní základných pravidiel
myšlienkovej činnosti. Nie každý matematik sa logikou zaoberal samostatne. Napriek tomu,
dosiahli významné tvorivé výsledky.
Logika v matematike spĺňa dve funkcie. Je základom na jej štrukturálnu výstavbu
a pracovnou metódou vnútri nej. Rozlišujeme formálnu a dialektickú logiku. Jedna aj druhá
má miesto v didaktike matematiky.
Teória logických hier sa opiera o teóriu logických úloh. Poväčšine sa stáva, že sa pojem
hra a úloha v tejto teórii považujú za synonymum. Je to samozrejme zavádzajúce, pretože ide
o dve rôzne aktivity. Hru však chápeme prevažne ako aktivitu v pohybe mimo školských
lavíc. Ide o hru v kruhu, v skupine...
Za najdôležitejšie pri logických hrách považujeme dôslednú prípravu hry. Učiteľ musí poznať
svojich žiakov, aby vedel, či sú schopní rýchlo sa oboznámiť s taktikou hry. Takisto musí
poznať do akej miery vedia správne logicky uvažovať a úvahy pohotovo aplikovať, pretože
pri logických hrách sú potrebné vedomosti, bohatá obrazotvornosť a dôvtip.
Základom logických hier je nastolenie istého problému a potom už len forma, alebo typ hry,
ktorú na to zvolíme. Jednou z obľúbených hier, ktorú môžeme zaradiť hru, je „ŽOS“, teda
„žalujem, obhajujem, súdim.“ Napríklad v tejto hre ide o to, aby žiaci v daných skupinách
„sudcov, žalobcov a obhajcov“ vedeli hľadať logické súvislosti s nastoleným problémom
a pohotovo reagovať.
Príkladom môžu byť aj Einsteinove hádanky. Žiaci po objasnení pravidiel
a pochopení zadania hľadajú logické súvislosti, až kým sa nedopátrajú ku konečnému
riešeniu. V hrách tohto typu ide o využitie logických úloh, kde sa stanoví riešený problém,
pravidlá a čas, ktorý je pre hru určený.
4
Ukážka 1: hra s číslami
Ide o jednoduchú hru, ktorá je vhodná pri precvičovaní učiva o mocninách
a odmocninách. Je určená pre žiakov 9.-tych ročníkov ZŠ a tercie osemročných gymnázií.
Žiaci hrajú každý sám za seba, alebo v menších skupinách (rozdelia si dané úlohy).
Jednotlivec, alebo skupina vyhráva, keď ako prvá odovzdá učiteľovi správny výsledok,
riešenie problému.
Čas určený na hru: 10 minút.
Hra. Učiteľ sa pozrie na hodinky. Povie aký je čas, napríklad 10:27. Žiaci majú postupne
za úlohu:
sčítať tieto štyri cifry,
a)
striedavo sčítať a násobiť tieto štyri cifry v poradí sprava,
b)
striedavo sčítať a násobiť tieto štyri cifry v poradí zľava,
c)
sčítať druhé mocniny týchto štyroch cifier,
d)
sčítať tretie mocniny týchto štyroch cifier,
e)
vypočítať rozdiel výsledkov d) a c),
f)
vyjadriť zlomkom druhú odmocninu súčtov všetkých predchádzajúcich
g)
výsledkov...
Učiteľ má ďalšie možnosti, úloh ktoré môže zadať. Podobne sa hra dá využiť nielen pri
mocninách a odmocninách, ale napríklad i percentách.
Žiaci si pri tejto hre precvičujú základné matematické operácie, rýchle reakcie a logické
myslenie.
179
ANTÓNIA ŤAHÚN MENDELOVÁ
Ukážka 2: hra s názvom Hľadaj princíp, na základe ktorého Ti odpovedáme
Ide o hru, ktorú je možné hrať v kruhu i v laviciach. Je vhodná na koniec vyučovacej
hodiny najskôr v šiestom ročníku na druhom stupni základnej školy.
Čas určený na hru: 15 – 20 minút.
Hra. Vybraný dobrovoľník ide za dvere, aby nepočul na čom sa jeho spolužiaci dohodnú.
Úlohou triedy je zvoliť princíp na základe ktorého budú odpovedať dobrovoľníkovi (ktorý je
zatiaľ za dverami), keď príde do stredu kruhu na jeho náhodné otázky. Pre poriadok je
vhodné, aby sa pýtal náhodné otázky žiakov postupne jedného po druhom.
Hra sa končí, keď dobrovoľník odhalí princíp, na základe ktorého mu jeho spolužiaci (môže
aj učiteľ) odpovedali.
Príklad princípu, na ktorom sa trieda môže dohodnúť:
„Na každú jeho otázku odpovieme pravdivo, ale len jedným slovom, ktoré sa začína
na také písmeno, ako sa začína naše krstné meno.“
Ďalšie možnosti:
„Odpoviem mu na otázku, ktorú položil spolužiakovi predo mnou, ale tak, aby to
nebolo až také jasné. “
„Odpoveďou bude jednoslovné pomenovanie vecí... ktoré sa nachádza niekde –
napríklad ZOO“
Možností je tu nekonečné množstvo.
V tejto hre sa rozvíja nielen žiacka logika, ale i tvorivosť pri vymýšľaní a objavovaní
princípov jednotlivých odpovedí.
5
ZÁVER
Ťažko naučíme človeka niečo, pokiaľ on sám nechce. Žiak by mal byť preto sám
aktívnym účastníkom vyučovacieho procesu. Nemal by len pasívne prijímať predkladané
poznatky.
Hra má všestranný formatívny vplyv najviac na deti a dospievajúcu mládež. Niektoré
hodnoty sú zrejmé a hra ich prináša sama, bez zásahu dospelého. Je pre deti lákadlom,
pretože premieňa skutočnosť tým, že ju viac-menej celkom asimiluje potrebám detského „ja“.
Pri pohybových hrách, napríklad, je to rozvoj svalstva, sily, vytrvalosti, rýchlosti a obratnosti.
Iné hodnoty sú však v hre skryté a môžu byť využité len našim cieľavedomým úsilím. K nim
patria predovšetkým morálne hodnoty. Hra má, čo má pri vývoji dieťaťa dôležitú pozíciu,
vplyv aj na vývin sféry motívov a potrieb. V sfére potrieb prebieha prvá emocionálnočinnostná
orientácia
v zmysle
ľudských
činností,
vzniká
uvedomenie
si svojho ohraničeného miesta v systéme vzťahov dospelých a potreba byť dospelým.
LITERATÚRA
[1]
Burjan, V. a kol. 1991. Matematické hry. Bratislava : Pythagoras, 1991, ISBN 8085409-00-3
[2]
Eľkonin B. D. 1983: Psychológia hry. Bratislava : SPN, 1983.
[3]
Gábor, O. a kol. 1989. Teória vyučovania matematiky. Bratislava : SPN, 1989, ISBN
80-08-00285-9
[4]
Königová, M. Tvořivost. Techniky a cvičení. Praha : Grada Publishing, 2007, ISBN
978-80-247-1652-7
180
LOGICKÉ HRY V MATEMATIKE
[5]
Piaget, J. 1997. Psychologie dítěte. Praha : Portál, 1997, ISBN 80-7178-146-0
[6]
Šedivý, O. – Fulier, J. 2004: Úlohy a humanizácia vyučovania matematiky. Nitra : UKF
v Nitre, Edícia Prírodovedec č. 135, 2004. ISBN 80-8050-700-7.
[7]
Zapletal, Miloš. 1987. Hry v přírodě. Velká encyklopedie her. Praha : Olympia, 1987.
[8]
http://www.ditipo.com/zabavneuceni/main_files/psycholog.htm
PaedDr. Antónia Ťahún Mendelová, PhD.
Gymnázium Jozefa Lettricha
SK – 036 01 Martin
e-mail: [email protected]
181
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MATHEMATICS AND HEALTH AS A MOTIVATION FACTOR
JIŘINA NOVOTNÁ
ABSTRACT. In the introduction of our article there is a short summary of the motivation and of
some exciting and motivating methods for to Gifted Pupils is given. We present motif
classification in mathematics and several examples of healthy life styl and to show how such
typical problems help in creation of (high) motivation of Pupils in mathematics.
Intoduction
Within the framework of the research project VZ MSM00211622443 “Special Needs of
Pupils within the Framework Educational Programme for Basic Education”, the project
manager of which is Prof. PhDr. Marie Vítková, CSc., we are examining the motivations
of talented pupils in mathematics. The problem of motivation in mathematics and sciences
is dealt with by the research team of the project MOTIVATE ME in Maths and Science –
Motivating and Exciting Methods in Mathematics and Science. The project is financed by
a grant programme of the European Commission in the category Comenius 2.1. The aim of
the project is to contribute to the solving of the problem of young people’s lack of
interest to study mathematics and sciences, and to facilitate the preparation of teachers of
these subjects in teaching practice.
Since the ancient world, all scholastic education and upbringing is focusing on a creative, allround developed personality with an active approach to life and the world.
Motivation
On the school´s tasks is to stimulate the pupils’ creativity and creative work. However, to
make the pupil to do something by himself/herself, to take an active approach to problem
solving or to master certain knowledge, skills or techniques, the pupil needs to have
certain incentives or stimuli. The factors that condition and invoke activities are called
motifs. The basis of the world motif is the Latin verb moveo, movere = to move. Motif is,
from the psychological point of view, defined as a conscious stimulus establishing and
invoking human activities focused on the satisfaction of material or spiritual needs of
people. Such a stimulus may be an image, idea, emotion, experience, i.e. a psychic factor.
An important role in the education of talented pupils is played by cognitive
motivation [6].
Though general didactics according to [7] usually includes motivation among the problems
of teaching methods, we will interpret the motivating teaching method, in agreement with
the project team of the MOTIVATE ME project and our colleagues who are examining
motivation in sciences as a stimulus and manner how to motivate pupils using any
method available [10]. It frequently occurs that pupils and students achieve worse results in
physics and chemistry due to the reason that they have not mastered the required
mathematical background. The language of mathematics serves as a mean of communication,
Project MSM 002162-2443 Special Needs of Pupils in the Context of the Framework Education Programme for Basic
Education, responsible investigator prof. PhDr. Marie Vítková, CSc.
183
JIŘINA NOVOTNÁ
formulation and problem solving not only for the sciences. Motivation, and in particular
cognitive motivation, plays a significant role in educating talented pupils [6].The talent
and appropriate motivation according to [9]) have not been properly dealt with so far, though
they belong to the problems of specific educational needs of talented people.
Motif Classfications
Motif factors in mathematics can be classified as follows:
1. Performance
2. Social
3. Cognitive
Due to the fact that performance and social motivation can be both positive and negative,
and as their influence on student’s personality is very individual, we will only deal with
cognitive motivations, which we believe to be crucial for talented students. Much like in
sciences [10] , we used the disciplinary origin of the incentive, which evokes interest in
students if certain cognitive motivation technique is applied. Cognitive motivation
techniques in mathematics are divided into two groups as follows:
1. disciplinary cognitive motivation techniques,
2. interdisciplinary cognitive motivation techniques, which make use of the relations of
mathematical knowledge with other disciplines and fields.
Disciplinary motivation techniques include:
• Difficult tasks and projects,
• Experiments in mathematics,
• Similarity (analogy) between objects, phenomena and procedures,
• Humour,
• Mathematical brain-teasers and amusing math problems in recreational math.,
• Motivation using fairy-tales,
• Financial mathematics and
• Didactic games and competitions.
Interdisciplinary motivation techniques are very important, as in order to evoke
students’ interest in mathematics, another incentive, such as student’s interest in
history, may be taken advantage of. We suggest the following classification of
interdisciplinary motivation:
• Motivation using the history of mathematics,
• Application of mathematical knowledge in sciences and technology,
• Mathematics and health,
• Mathematics and arts,
• Information and communication technologies in mathematics,
• Mathematics and ecology.
Mathematics and Healthy Life Style
Healthy lifestyle represents a way how to form one the most important human values:
reverence for life and health of each individual. The aim is to understand the most important
favorable and disfavorable influences that may affect the development of a human being in
the course of his/her lifetime as well as his/her current physical condition and state of mind.
184
MATHEMATICS AND HEALTH AS A MOTIVATION FACTOR
The discipline Education for Health in the Standard Basic Education is included in the basic
curriculum of elementary schools, and, together with the physical education and sports, it
belongs to the discipline of Health Lifestyle. The number of children in the Czech Republic
who have to consult a doctor because of excess weight more than doubled during the past ten
years. It follows from the survey carried by the Czech Society of Obesiotology in
cooperation with the Ministry of Health and the National Council for Obesity in the Czech
Republic that nine per cent of children suffers from excess weight and six percent suffers
from extreme obesity. The reason for this increase is very simple. Children eat better food
and “move” less. The number of children who, besides the ten–minute walk to school and
PE lessons, have no physical activity, increases. Children are also obese because they ingest
too much sugar in different forms during the day. They eat too many sweets and biscuits,
drink sugary drinks containing up to twelve sugar cubes in one liter, or concentrated fruit
juices.
However, many parents are not alarmed by their children being obese, as they incorrectly
believe that excessive weight will disappear during pubescence. The truth is that obesity
will not change during pubescence, when weight temporarily drops as a result of turbulent
development of the organism and its growth. If a child is obese at four, it is almost certain
that he or she will have problems with obesity when the child grows up, and the risks will be
more serious than if the problems with weight start at eighteen. Obese children have higher
risk of heart attacks, cerebral strokes, locomotive disorders, e.g. their joints grow unevenly.
The number of children suffering from diabetes mellitus also increases.
Task 1
Pavel, who works as a programmer and spends most of the day sitting at the computer, has
decided to do something about his weight as the estimated amount of fat in his body, which
he has calculated using BMI body mass index, reached 27.5, while he is 1.85 m tall,
which classified as excess weight. BMI is calculated by dividing a person's weight (in
kilograms) by his/her height (in meters, squared). What is Pavel’s weigth now and how
many kilograms he has to lose to achieve BMI of 25?
Solution
Height
v ................ 185 cm = 1.85 m
Body mass index
BMI .......... 27,5
Weight
m
BMI =
weight
[height(m)]2
m = BMI ⋅ v 2
2
m = 27.5 ⋅1.85
m = 94.1 kg
Body mass index
m = BMI ⋅ v
BMI .......... 25
2
185
JIŘINA NOVOTNÁ
2
m = 25 ⋅1.85
m = 85,6 kg
94.1 − 85.6 = 8.5 kg
Pavel now weighs 94.1 kg, and if he wants achieve a body mass index of 25, he has to lose
8.5 kg.
Task 2
Using the table and the formula for BMI calculation (dividing a person's weight in kilograms
by his/her height in meters, squared), calculate the limits of weight for each weight category
for a man being:
• 170 cm tall,
• 180 cm tall.
Classification
Underweight
BMI
less than 18.5
normal weight
excess weight
obesity of 1st degree
obesity of 2nd degree
obesity of 3rd degree
18.5–24.9
25.0–29.9
30.0–34.9
35.0–39.9
over 40
Risk of ilness
small (however, risks of
other health problems)
average
slight
middle
high
very high
Solution
m
⇒ m ⋅ v2
2
v for BMI
Calculation
BMI =
18.5
2
a) m = 18.5 ⋅1.7 ............................... b)
m = 53.5 ......................................
m = 18.5 ⋅1.82
m = 59.9
Task 3
Nutrition value of 10 g of pear is 27 kJ. Create a diagram of dependency of the nutrition
value and the weight of fruit. How many kJ we consume if we eat 0.5 kg of pears?
Solution
m(g)
10
50 100 150 200 250 300 350
400
450
500
nut. v. (kJ) 27 135 270 405 540 675 810 945 1080 1215 1350
186
MATHEMATICS AND HEALTH AS A MOTIVATION FACTOR
Picture 1
If we eat 0.5 kg of pears, we consume 1 350 kJ of energy.
Conclusion
Health is a word everybody hears almost every day. But there is no reason to be surprised,
as it is the main condition for a happy and joyful life. But many of us start to be aware of
its true meaning only at the time when some health problems arise. Childhood and
adolescence are important stages of human life, in which everybody undergoes important
physical and psychical changes and acquires social and health habits that are kept for the rest
of the life. Healthy development of young people is conditioned by good family background
and other social extrafamily relations. However, young people are threatened by numerous
health risks that are typical for this period of life, such as drugs, alcohol, tobacco, etc. We
believe that the presented examples could contribute to build pupils’ motivation in
mathematics and build their habits and approaches to lead a healthy lifestyle.
REFERENCES
[1]
Atkinson, J. W.: Personality, Motivation and Achievement, monografie, Praeger,
Centennial,1983
[2]
Dočkal,V.: Zaměřeno na nadání aneb Nadání má každý, monografie, Praha,
Nakladatelství Lidové noviny, 2005, ISBN 80-7106-840-3
[3]
Fulier, J., Šedivý, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučování matematiky, Nitra, Edicía
prírodovedec č.87. UKF v Nitre, 2001, ISBN 80-8050-445-8
187
JIŘINA NOVOTNÁ
[4]
[5]
Guiford, J., P.: The Nature of Human Intelligence, monografie, NewYork: McGrawHill, 1967
Hrabal, V., Man, F., Pavelková, I: . Psychologické otázky motivace ve škole,,
monografie, Praha, SPN 1989, ISBN 80-04-23487-9
[6]
Lehrke, M., Hoffmann, L., Gardner, P. L.: Interest in Science and Technology
Education., monografie, Kiel (Germany) : IPN, 1985
[7]
Maňák, J.: Nárys didaktiky,.skriptum Brno, : Masarykova univerzita, 1995, ISBN 80210-3123-9
[8]
Monks, F. J., Ypenburg, I. H:. Nadané dítě, příručka, Praha : Grada Publishing, 2002,
ISBN 80-247-0445-5
[9]
Renzulli, J. S., Reis, S. M:. A Comprehensive Plan for Educational Excellence.
Mansfield Center : Creative Learning Press, 1985
[10]
Trna, J., Trnová, E.: Poznávací motivace nadaných žáků v přírodovědné výuce. In
Šimoník, O., Vítková, M. (ed.). Výchova a nadání 1., monografie, Brno :
Pedagogická fakulta MU, 2008, ISBN 978-80-7392-024-1
PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Masarykova Univerzita
Poříčí 31
ČR – 603 00 Brno
e-mail: [email protected]
188
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
POZNÁMKY K TVORBE A POUŽITIU E − VZDELÁVACÍCH MATERIÁLOV
Z MATEMATIKY
DANA ORSZÁGHOVÁ
ABSTRACT. The important goal of the teaching mathematics is to present students knowledge of
higher mathematics and show them the various possibilities of application of mathematics. Tools of
information technologies support modern and individual working and studying methods and help to
motivate students’ interest in mathematics. In the paper we present experience from the creating of
electronic study materials in the LMS MOODLE environment and from their implementation to the
teaching of mathematics. By the rational use of traditional and modern study methods we can
stimulate the improvement of the quality of mathematical education.
Key words: mathematics, teaching of mathematics, information technology, LMS MOODLE.
Úvod
Obsah a kvalita vzdelávania (aj matematického) je často diskutovanou otázkou.
Informačné technológie a metódy elektronického vzdelávania sú zdrojom nových podnetov
a inšpirácie aj pre vyučovanie matematiky. Elektronické vzdelávanie prostredníctvom
rôznych nástrojov informačných technológií (IT) sa efektívne uplatnilo na dištančnej forme
štúdia. Mnohé výhody e-vzdelávania spôsobili, že sa začalo aplikovať aj pre dennú a externú
formu štúdia. E-vzdelávanie je založené na samostatnom štúdiu a práci so špeciálne
pripravenými vzdelávacími materiálmi v elektronickej podobe. Súčasťou vysokoškolského
vzdelávania je teda aj príprava, počas ktorej sa študenti dozvedia o potrebných nástrojoch IT,
metódach samostatného štúdia a spôsoboch práce so vzdelávacími materiálmi.
Cieľom uplatnenia a využívania informačných technológií vo vzdelávaní je poskytnutie
nových možností modernizácie, zefektívnenia a skvalitnenia štúdia nielen matematiky, ale aj
iných vyučovaných predmetov. E-vzdelávanie poskytuje nové možnosti, ktoré môžeme vo
vzdelávaní využiť a snaží sa eliminovať nedostatky spojené s klasickým vyučovaním [3].
Rozvoj informačných a komunikačných technológií významne zmenil prípravu, tvorbu
a používanie študijných materiálov. Pre pedagógov aj študentov sa elektronické učebné
zdroje stali súčasťou výučby a zároveň významným prostriedkom samostatnej aktívnej práce.
V súčasnosti si už bez uplatnenia informačných technológií moderné vzdelávanie nevieme
ani predstaviť.
Súčasťou práce vysokoškolských pedagógov je integrácia moderných vzdelávacích
prostriedkov do štúdia a príprava vzdelávacích materiálov v elektronickej forme. Študijné
materiály sa v prvotnej elektronickej verzii vytvárajú v MS Word, MS PowerPoint, formát
html a pod. Následne sa spájajú a vznikajú ucelené elektronické vzdelávacie moduly a kurzy.
V porovnaní so štruktúrou tradičného textového študijného materiálu obsahujú elektronické
vzdelávacie materiály z matematiky tieto časti:
• ciele samostatného štúdia,
• expozíciu teoretickej časti,
• grafické ilustrácie k téme,
• ukážky príkladov,
Príspevok vznikol s finančnou podporou projektu KEGA č. 3/7382/09: Teoretická a edukačná transformácia matematického
vzdelávania poľnohospodárskych inžinierov
189
DANA ORSZÁGHOVÁ
•
•
•
súbory cvičení na samostatné štúdium,
databázy testovacích a autotestovacích otázok a úloh,
komunikačné fórum a i. [4]
Vzdelávacie prostredie LMS MOODLE
Vzdelávací systém LMS (Learning Management System) MOODLE a skúmanie
možností jeho integrácie do vyučovania a samostatného štúdia je obsahovou náplňou
mnohých vzdelávacích a výskumných projektov. LMS MOODLE je v súčasnosti
používaným prostriedkom na realizáciu e-vzdelávania. Tento informačný riadiaci systém
vyhovuje mnohým požiadavkám pre vzdelávanie. Je vytvorený tak, že jeho univerzálne
prvky sú použiteľné pre rôzne študijné predmety. Ďalšou výhodou je, že poskytuje
pedagógovi, ktorý je tvorcom vzdelávacieho kurzu, efektívne nástroje a relatívne
jednoduchý postup vytvárania vzdelávacieho obsahu.
Na Fakulte ekonomiky a manažmetu (FEM) Slovenskej poľnohospodárskej univerzity
(SPU) v Nitre bol systém MOODLE vo vzdelávaní prvýkrát použitý v roku 2005 na
dištančnej forme štúdia. Centrum informačných technológií a Katedra informatiky FEM
SPU pripravili pre pedagógov školenia a kurzy s cieľom naučiť ich pracovať so systémom
MOODLE a vedieť vytvárať kurzy pre jednotlivé predmety. Pre používateľov fakultného elearningového systému je prístupný na www stránke fakulty kurz s názvom Ako používať
MOODLE [1]. Používateľovi pomôže zvládnuť samostatnú orientáciu v prostredí LMS
MOODLE a obsahuje návod a ukážky postupu vytvárania modulov a učebných materiálov.
Obsah tohto kurzu je rozdelený do siedmich základných tém, v ktorých je podrobný opis
výučbových modulov a názorných príkladov:
• Používanie MOODLE
• Môj kurz – ako na to
• Študijné materiály
• Moduly aktivít
• Odporučené nástroje na tvorbu učebných materiálov
• Administratíva kurzu
• Oddýchnite si [6].
Elektronické vzdelávacie kurzy z matematiky sú kvalitatívne novým spôsobom
poskytovania matematických poznatkov a zároveň novým spôsobom na získavanie
vedomostí. K výhodám elektronických vzdelávacích kurzov prístupných prostredníctvom
webových stránok patrí:
• tvorca (pedagóg) môže stránky aktualizovať v ľubovoľnom časovom momente,
• relatívne nenáročná oprava editovacích chýb v porovnaní s vydávaním tlačených
materiálov,
• študenti majú neobmedzený prístup k stránkam a ich použitiu v štúdiu,
• priame použitie stránok vo výučbe v posluchárni s pripojením na sieť,
• použitie na samostatnú prácu študentov (zadania seminárnych prác, úloh a pod.) [5].
Tvorcovia matematických elektronických vzdelávacích materiálov sa stretávali
s problémom editovania a zobrazovania matematických vzorcov na www stránkach. Jedno
z možných technických riešení pre LMS MOODLE uvádzajú autori v príspevku [2]. Okrem
priameho editovania matematického textu v LMS MOODLE pomocou editora TeX je možné
použiť softvér TeXaide, ktorý vygeneruje TeX zápis vhodný pre zobrazovanie
matematických vzorcov na Internete, teda aj v LMS MOODLE.
190
POZNÁMKY K TVORBE A POUŽITIU E - VZDELÁVACÍCH MATERIÁLOV ...
Uplatnenie LMS MOODLE v matematike
Interaktívne prvky vo vzdelávacích kurzoch podporujú samostatné štúdium. Samostatné
zvládnutie témy je podmienené primeranými a zrozumiteľnými aktivitami. V matematických
moduloch je možné uplatniť postupnosť krokov, do ktorých sa rozloží náročný matematický
postup riešenia úlohy. Neobmedzené vetvenie a spájanie multimediálnych odkazov
umožňuje zaujímavé vytváranie štruktúry sprievodného textu, komentárov, poznámok,
obrázkov, grafov a pod. LMS MOODLE podporuje aj komunikáciu prostredníctvom fóra
otázok, pripomienok, automatického posielania e-mailov s informáciami a novinkami.
Nástroje na tvorbu databázy otázok a úloh sú prostriedkom na autodidaktickú kontrolu.
Katedra matematiky FEM SPU vytvorila tieto vzdelávacie kurzy:
• Cvičenia z matematiky (ZS) FEM SPU [7]
• Cvičenia z matematiky (LS) FEM SPU [8]
• Základy vyššej matematiky
Náročné editovanie matematických textov bolo realizované v editori MS Word a do
kurzov boli vložené elektronické materiály vo formáte Word alebo vo formáte pdf.
Jednotlivé kurzy sú vytvorené pre vyučované predmety: Matematika I, Matematika A,
Matematika II, Matematika B, Základy vyššej matematiky, Matematika. V súbore študijných
materiálov študenti nájdu teoretickú časť učiva z matematiky, vyriešené úlohy na
samoštúdium a zadania úloh s výsledkami. Prístup k materiálom je možný pre všetky formy
štúdia – denné aj externé. Študenti externej formy štúdia na FEM z materiálov používali
a ocenili najmä veľký počet úloh s výsledkami na samoštúdium.
Obrázok 1: Prístup k zadaniam on-line
K aktivitám, v ktorých študenti preukážu získané vedomosti, patria Zadania. Ukážka
úvodu k zadaniam v letnom semestri je uvedená na obr. 1. Na vytvorenie zadania musí
pedagóg ovládať nástroje systému MOODLE. Následne je potrebná aj praktická inštruktáž
191
DANA ORSZÁGHOVÁ
študentov. Pretože matematické predmety sa vyučujú v prvom ročníku, študenti ešte len
získavajú skúsenosti s vysokoškolským systémom štúdia. K adaptácii patrí aj požiadavka na
samostatné štúdium a individuálne aktivity ako sú seminárne práce a projekty. Aby študenti
mohli zadanie prostredníctvom LMS MOODLE odovzdať, musia mať vlastné konto
a ovládať potrebné nástroje elektronického vzdelávacieho systému.
Štruktúra zadaní odráža obsahovú náplň vyučovaných predmetov v zimnom a letnom
semestri. Úlohy v zadaniach pre študentov FEM v zimnom semestri boli zamerané na:
• zisťovanie oblasti definície funkcie, vyjadrovanie inverznej funkcie, rovnice
asymptot grafu funkcie, diferenciálny počet a jeho použitie: monotónnosť funkcie,
lokálne extrémy, konvexnosť, konkávnosť, inflexné body, výpočet parciálnych
derivácií, dotyková rovina.
V zadaniach v letnom semestri pre FEM boli úlohy zamerané na:
• metódy výpočtu neurčitého a určitého integrálu, obsah rovinných útvarov, aplikované
úlohy, nevlastný integrál.
Ukážka aplikovanej úlohy zo zadania v letnom semestri je na obr. 2. Študenti odovzdávali
zadanie buď on-line priamo v LMS MOODLE, alebo pripojili ako odpoveď súbor
s výsledkami napísaný vo formáte MS Word. V akademickom roku 2008/2009 boli zadania
súčasťou hodnotenia predmetu matematika. Študenti mohli získať za správne odpovede
najviac 10 bodov, ktoré tvorili 10 % celkového bodového hodnotenia. Úspešnosť bola
vysoká, študenti chceli získať maximálny možný počet bodov. V zimnom semestri bolo
potrebné viackrát opakovať kroky a postup odovzdania zadania, v letnom semestri už študenti
nemali problémy technického charakteru.
Obrázok 2: Ukážka aplikovanej úlohy v zadaní – použitie určitého integrálu v ekonómii
K výhodám tohto spôsobu odovzdávania zadaní patrí napríklad:
• prístup študentov k zadaniu v ktoromkoľvek čase prostredníctvom Internetu
• možnosti na aktualizáciu a opravu zadania
• nastavenie časového obmedzenia vyžaduje zodpovednosť od študentov splniť úlohu
do daného termínu
• automatická evidencia pre učiteľa o odovzdaných zadaniach
• prehľad o bodovom hodnotení jednotlivých zadaní
192
POZNÁMKY K TVORBE A POUŽITIU E - VZDELÁVACÍCH MATERIÁLOV ...
• možnosť sprístupniť kľúč s riešením úloh a výsledkami
• vytváranie zručností pracovať s nástrojmi informačných technológií a ďalšie.
Získané zručnosti študenti využijú aj v ďalších predmetoch, ktoré LMS MOODLE používajú.
Záver
Univerzitné vzdelávanie je otvorený systém, ktorý neustále reaguje zmenami v štruktúre
študijných programov. Menia sa vzťahy medzi vysokoškolskými učiteľmi a ich študentmi
s cieľom dosiahnuť čo najlepšie podmienky na rozvoj osobnostného a tvorivého potenciálu
študentov. Charakter vzdelávacieho prostredia sa mení aj pod vplyvom informačných
a komunikačných technológií. Vysokoškolský učiteľ sa už nezaobíde bez znalostí rôznych
nástrojov informačných technológií.
Jedným s nástrojov elektronického vzdelávania je aj LMS MOODLE, ktorý podporuje
moderné a individuálne metódy práce a štúdia. Pomáha motivovať záujem študentov
o matematiku a jej aplikácie. Dôležitým cieľom výučby matematiky na Slovenskej
poľnohospodárskej univerzite je priblížiť študentom poznatky z vyššej matematiky a ukázať
možnosti aplikovania matematického aparátu. Vhodným spojením tradičných a moderných
vzdelávacích metód môžeme stimulovať zvyšovanie kvality matematického vzdelávania.
Elektronické vzdelávacie systémy menia tradičné vyučovanie matematiky, učitelia aj
študenti používajú moderné vzdelávacie metódy a prostriedky. Pre štúdium s využitím
informačných technológií sú významné interaktívne vzdelávacie materiály. Tak tvorcovia
materiálov-učitelia ako aj ich používatelia-študenti musia spĺňať dôležitú podmienku na
realizáciu elektronického vzdelávania, ktorou je informačná gramotnosť.
V príspevku sme chceli prezentovať skúsenosti získané pri tvorbe elektronických
vzdelávacích materiálov v prostredí LMS MOODLE a z ich uplatnenia vo vyučovaní
matematiky. Nové trendy vo vzdelávaní podporujú samostatnosť a umožňujú flexibilitu
v univerzitnom študijnom systéme. Elektronická forma vzdelávacích materiálov poskytuje
pedagógom aj študentom mnoho výhod, ku ktorým patrí aj rýchlosť a neobmedzený prístup
k matematickým poznatkom a informáciám. Predpokladáme, že vytvorené elektronické
vzdelávacie kurzy budú prostriedkom, ktorý študentom pomôže v príprave na testy a na
skúšku z matematiky.
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Ako používať MOODLE. [online]. Dostupné na internete: http://moodle.uniag.sk/
BENDA, V. – MAJOROVÁ, M.: Matematické vzorce v prostredí LMS MOODLE, In:
Zborník (CD-nosič) z celoškolského seminára s medzinárodnou účasťou Sieťové
a informačné technológie 2006, Nitra: SPU, s. 8-13, 2006, ISBN 80-8069-664-0
GREGÁŇOVÁ, R.: Elektronické vzdelávanie v matematike na FEM SPU v Nitre, In:
Zborník (CD) z XII. ročníka medzinárodného vedeckého seminára Aktuálne problémy
riešené v agrokomplexe, Nitra: SPU, s. 415-418, 2008, 978-80-552-0151-1
ORSZÁGHOVÁ, D.: Tvorba testovacích úloh z matematiky v prostredí LMS
MOODLE, In: CD zborník z celoškolského seminára s medzinárodnou účasťou SIT
2008, Nitra: SPU, 2008, s. 84-88, ISBN 978-80-552-0024-8
ORSZÁGHOVÁ, D. – GREGÁŇOVÁ, R.: LMS Moodle – prostriedok
modernizácievýučby a samostatného štúdia matematiky, In: Zborník vedeckých
193
DANA ORSZÁGHOVÁ
[6]
[7]
[8]
príspevkov z vedeckého seminára SIT 2007, Nitra: SPU, 2007, v elektronickej podobe
na CD, s. 66-70, ISBN 978-80-8069-873-7
ŠEMELÁKOVÁ, Ľ.: Ako používať MOODLE – návod pre tvorcov študijných
materiálov, In: Zborník (CD-nosič) z celoškolského seminára s medzinárodnou
účasťou Sieťové a informačné technológie 2006, Nitra: SPU, 2006, ISBN 80-8069664-0
URL: http://moodle.uniag.sk/fem/course/view.php?id=44
URL: http://moodle.uniag.sk/fem/course/view.php?id=143
doc. RNDr. Dana Országhová, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta ekonomiky a manažmentu
Slovenská poľnohospodárska univerzita v Nitre
Trieda A. Hlinku 2
SK – 949 76 Nitra
e-mail: [email protected]
194
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ALTERNATÍVNE ZAVEDENIE OBORU VŠETKÝCH NEZÁPORNÝCH
ZLOMKOV
OLEG PALUMBÍNY
Abstract. The paper deals with alternative establishing of the set of all nonnegative fractions
into mathematical analysis.
Kľúčové slová: Prirodzené číslo, celé číslo, racionálne číslo, zlomok.
1. Úvod
Pojem zlomku možno do kurzu matematickej analýzy zaviesť rôznymi spôsobmi. Obyčajne
sa to robí tak, že sa na množine všetkých celých čísel zadefinuje vhodným spôsobom
ekvivalencia, pričom zlomky (kladné, záporné a nula) budú jej príslušné triedy.
Cieľom tejto práce je zaviesť zlomky do vyučovania matematiky ako podiely celých čísel a
to bez použitia relácie ekvivalencie. Pretože na základnej škole sa uvažujú najprv len
nezáporné zlomky (pozri [1], [2] a [3]), pre jednoduchosť tak urobíme aj my. To znamená, že
delenec bude z množiny všetkých nezáporných celých čísel Z a deliteľ zo súboru všetkých
prirodzených čísel N.
2. Rozbor
Vieme, že na Z sú dané operácie súčet a súčin, pričom pre ne platia komutatívne, asociatívne
a tiež distributívny zákon. Označme podiel prvkov a, b z ľubovoľnej množiny M symbolom
a : b. Základná vlastnosť podielu je
(1)
a : b = z práve vtedy, keď a = b . z = z . b,
kde bodkou medzi písmenami b, z resp. z , b je označená operácia súčin na M.
Predpokladajme, že máme zostrojený obor všetkých nezáporných zlomkov Q, ktorý je
definovaný týmito tromi základnými vlastnostnosťami: (a) prvky súboru Q sú všetky podiely
a : b, kde a ∈ Z , b ∈ N a nič iné, (b) súbor Q je obor tvorený operáciami súčet a súčin, ktoré
sú rozšírením rovnomenných operácií na Z, (c) pre operácie súčet a súčin na Q tak isto platia
asociatívne, komutatívne ako aj distributívny zákon.
Ak v (1) položíme b = 1, zistíme, že a = a : 1∈ Q. Preto do Q patria všetky a ∈ Z . Z druhej
rovnosti v (1) vyplýva pre každé n ∈ N rovnosť n . a = (n . b). z , ktorú je podľa (1) možné
a
ekvivalentne prepísať do tvaru (n . a) : (n . b) = z. Ak označíme podiel a : b znakom , ktorý
b
n.a
a n.a
. O zlomku
nazveme zlomok, môžeme predchádzajúce úvahy zapísať v tvare =
b n .b
n .b
a
a
číslom n; o zlomku
sa vyslovíme, že vznikol
povieme, že vznikol rozšírením zlomku
b
b
2000 Mathematics Subject Classification: 00A35; secondary 04A99.
195
OLEG PALUMBÍNY
n.a
krátením číslom n. Teda sme zistili, že ak dva zlomky sú také, že jeden z
n .b
druhého vznikol rozšírením alebo krátením, tak sa tieto zlomky rovnajú. O zlomku, ktorý sa
už nedá krátiť žiadnym n ∈ N väčším ako jeden, hovoríme, že je v základnom tvare.
Označme najväčší spoločný deliteľ kladných celých čísel a, b symbolom nsd (a, b). Potom
a c
a : nsd (a, b)
zlomok
je zrejme v základnom tvare. Uvažujme rovnosť
= = z ∈ Q. Nech
b d
b : nsd (a, b)
zo zlomku
a c
,
sú v základnom tvare. Potom zrejme platí a = b . z , c = d . z a tiež
b d
a . d = b . d . z , b . c = b . d . z. Z toho dostávame a . d = b . c. Fundamentálna veta aritmetiky dáva,
že a delí c a súčasne c delí a. To znamená, že a = c. Z tých istých dôvodov b = d . Teda platí,
že
(2)
Nech
každý zlomok sa rovná jedinému zlomku v základnom tvare.
a c
a c
+ ∈ Q je súčet zlomkov , (v tomto poradí). Potom (c) a (1) dáva
b d
b d
⎛a c⎞
⎛a ⎞
⎛c ⎞
⎜ + ⎟ ⋅ (b . d ) = ⎜ ⋅ b ⎟ ⋅ d + ⎜ ⋅ d ⎟ ⋅ b = a . d + b . c,
⎝b d ⎠
⎝b ⎠
⎝d ⎠
a c a . d + b .c
+ =
.
b d
b.d
(3)
Nech
a c
a c
⋅ ∈ Q je súčin zlomkov , (v tomto poradí). Potom (c) a (1) dáva
b d
b d
⎛a c⎞
⎛a ⎞ ⎛ c ⎞
⎜ ⋅ ⎟ ⋅ (b . d ) = ⎜ ⋅ b ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ d ⎟ = a . c ,
b
d
⎝b ⎠ ⎝d ⎠
⎝
⎠
(4)
a c a .c
⋅ =
.
b d b.d
3. Konštrukcia oboru všetkých nezáporných zlomkov Q
V tejto časti skonštruujeme mnnožinu Q s operáciami súčet a súčin, pričom budú pre ne platiť
vlastnosti (a), (b) a (c). Z (2) vyplýva, že do Q stačí popri nezáporných celých číslach zaradiť
už len tie podiely nesúdeliteľných celých čísel a, b, ktoré nie sú zo Z. Pretože podiel (zlomok)
a : b závisí od poradia čísel a, b, budeme ho definovať pomocou vhodnej usporiadanej
dvojice [x, y], čo je vlastne dvojprvková množina {x, {x, y}}.
Definícia 1. Pod množinou všetkých nezáporných zlomkov rozumieme súbor
Q = Z ∪ {[ x, y ], x ∈ N , y ∈ N , y ≠ 1, x, y sú nesúdeliteľné }, pričom jeho prvky sa nazývajú
zlomky.
a
(tiež ju označujeme
b
symbolom a : b ) s hodnotami v množine Q definujeme takto: Ak existuje z ∈ Z tak, že platí
Definícia 2. Nech
196
a ∈ Z , b ∈ N.
Potom operáciu podiel
ALTERNATÍVNE ZAVEDENIE OBORU VŠETKÝCH NEZÁPORNÝCH ...
rovnosť
a = b . z,
kladieme
a
= z.
b
Ak také
z∈Z
neexistuje, potom definujeme
a
= [a : nsd (a, b), b : nsd (a, b)] ∈ Q.
b
Na Q definujeme, v súlade s (3), operáciu súčet nasledujúcim spôsobom:
Definícia 3. Nech
a c
a c
a c
+
, ∈ Q. Potom súčet
zlomkov ,
zavádzame rovnosťou
b d
b d
b d
a c a . d + b .c
+ =
.
b d
b.d
Na Q vymedzíme, v súlade s (4), operáciu súčin takto:
Definícia 4. Nech
a c
a c
a c
, ∈ Q. Potom súčin ⋅
zlomkov ,
stanovujeme rovnosťou
b d
b d
b d
a c a .c
⋅ =
.
b d b.d
4. Dôkaz konštrukcie
V tejto časti dokážeme, že v tretej časti skonštruovaná množina Q s operáciami súčet a súčin
má vlastnosti (a), (b) a (c). Najprv ukážeme, že ak jeden zlomok je rozšírením druhého, tak sa
mu rovná:
Veta 1. Pre každé k ∈ N ,
a
a k .a
∈ Q platí, že =
.
b
b k .b
a
= z ∈ Z , potom a = b . z. Odtiaľ k . a = ( k . b) . z , čo vzhľadom na (1) dáva
b
a
a
(ii)
Ak
∈Q − Z,
tak
potom
= [a : nsd (a, b), b : nsd (a, b)],
b
b
Dôkaz. (i) Ak
a k .a
=
.
b k .b
k .a
= [(k . a) : nsd (k . a, k . b), (k . b) : nsd (k . a, k . b)]. Z teórie celých čísel potom vyplýva, že
k .b
nsd ( k . a, k . b) = k . nsd (a, b) ,
čo
má,
vzhľadom
na
(1),
za
následok
rovnosť [a : nsd ( a, b), b : nsd ( a, b)] = [(k . a) : nsd (k . a, k . b), (k . b) : nsd (k . a, k . b)].
Z nej
dokazované tvrdenie vyplýva vzhľadom na tranzitívnosť rovnosti, q.e.d.
Lema 1. Pre každé
a b
a b a+b
, ∈ Q platí + =
.
c c
c c
c
Dôkaz. Definícia 3 a veta 1 dáva
a b a . c + b . c ( a + b) . c a + b
+ =
=
=
, q.e.d.
c c
c .c
c .c
c
Lema 2. Pre každé a, p ∈ Z , q ∈ N platí, že a =
p
⇔ p = q .a.
q
Dôkaz. Tvrdenie bezprostredne vyplýva z definície 2, q.e.d.
197
OLEG PALUMBÍNY
Veta 2. Výsledok operácií súčet a súčin nezávisí od tvaru zlomkov.
Dôkaz. (i) Ak a =
m.a
n .b
m . a n .b m . n . a + m . n .b
,b=
, potom
+
=
= a + b,
m
n
m
n
m.n
m. a c
m . a n .b m . n . a .b
m . a c n . c1
⋅
=
= a .b, (ii) ak a =
, =
= [c1 , d1 ], tak
+ =
m
d
m
n
m.n
m d n . d1
=
m. a .d + m.c a . d + c a . d c
c m. a c m .a .c a c
c
=
=
+ = a+ 1 ,
⋅ =
= ⋅ = a⋅ 1 ,
1 d
m.d
d
d
d
d1
m d
m.d
d1
a m . a1
c n . c1
=
= [a1 , b1 ], =
= [c1 , d1 ],
b m . b1
d n . d1
potom
(iii)
ak
a c
a .d + b.c
+
=
=
b d
b.d
m . n . a1 . d1 + m . n . b1 . c1
a .d + b .c
a c
a c
a . c m . n . a1 . c1
= 1 1 1 1 = 1+ 1, ⋅ =
=
=
m . n . b1 . d1
b1 . d1
b1 d1 b d b . d m . n . b1 . d1
a .c
a c
= 1 1 = 1 ⋅ 1 , pričom sme použili definície 2, 3, 4, lemy 1, 2 a vetu 1, q.e.d.
b1 . d1 b1 d1
=
Na Q je možné definovať aj podiel zlomkov, lebo platí nasledujúce tvrdenie:
Veta 3. Nech
a c
p
a c p
, ∈ Q, c ≠ 0. Potom existuje ∈ Q tak, že platí = ⋅ .
b d
q
b d q
Dôkaz. Stačí položiť p = a . d , q = b . c ; následne definícia 4 a veta 1 zaručuje, že platí
c p c . p c . a . d (c . d ) . a a
⋅ =
=
=
= , q.e.d.
d q d . q d . b . c (c . d ) . b b
a c
a c
a c
, ∈ Q, c ≠ 0. Potom podiel : zlomkov , budeme definovať
b d
b d
b d
a c a.d
.
vzťahom : =
b d b .c
Definícia 5. Nech
Podobne, ako vo vete 2, sa dá ukázať, že ani podiel zlomkov nezávisí od ich tvaru. Ľahko
overíme, že operácia z definície 5 má základnú vlastnosť podielu (1). Z nasledujúceho
tvrdenia vyplynie, že operácia zavedená v definícii 2 sa oprávnene nazýva podiel, lebo tiež
splňuje (1).
Veta 4. Podiel v zmysle definície 5 je rozšírením podielu podľa definície 2.
Dôkaz. Podľa lemy 2 môžeme písať a =
m.a
n .b
,b=
. Definícia 5 a veta 1 potom dáva
m
n
m . a n .b m . n . a a
:
=
= = a : b, q.e.d.
m
n
m . n .b b
Veta 5. Množina Q je totožná s množinou R všetkých podielov a : b, kde a je nezáporné celé
číslo a b je prirodzené číslo.
Dôkaz. Nech a ∈ Z ⊂ Q. Podľa definície 2 platí, že a = a : 1∈ R. Ľubovoľná usporiadaná
dvojica [a, b] ∈ Q je podľa definície 2 zároveň podielom a : b ∈ R. Odtiaľ Q ⊆ R. Nech a : b
je ľubovoľný podiel z R. Potom buď tento podiel je zo Z a vtedy je aj z Q, alebo tento podiel
198
ALTERNATÍVNE ZAVEDENIE OBORU VŠETKÝCH NEZÁPORNÝCH ...
nie je zo Z. V tomto prípade je podľa definície 2 rovný nejakej usporiadanej dvojici z Q.
Následne R ⊆ Q a preto Q = R, q.e.d.
Veta 6. Množina Q spolu s operáciami súčet a súčin tvorí obor.
Dôkaz. Z definície 3 a 4 vyplýva, že operácie súčet a súčin sú na Q definované bez
obmedzenia. Preto Q s týmito operáciami je obor, q.e.d.
Veta 7. Pre operácie súčet a súčin na Q platí, že sú rozšírením príslušných operácií súčet
a súčin na Z.
m.a
n .b
,b=
, kde m, n ∈ N . Preto pre obidve operácie
m
n
vzhľadom na definície 2, 3 a 4 platí
Dôkaz. Podľa lemy 2 platí a =
m . a n . b n . m . a + m . n . b m . n . ( a + b)
+
=
=
= a + b,
m
n
m.n
m.n
m . a n . b m . a . n . b m . n . ( a . b)
⋅
=
=
= a . b,
m
n
m.n
m.n
z čoho bezprostredne vyplýva tvrdenie vety, q.e.d.
Veta 8. Pre operácie súčet a súčin na Q platia asociatívne, komutatívne ako aj distributívny
zákon.
Dôkaz. Pretože pre operácie súčet a súčin na obore Z sú platné asociatívne, komutatívne a
distributívny zákon, platí nasledujúcich päť identít:
⎛ a c ⎞ e a .d + b.c e a . d . f + b .c . f + b.d .e
+ =
=
⎜ + ⎟+ =
b.d
f
b.d . f
⎝b d ⎠ f
a c . f + d .e a ⎛ c e ⎞
= +
= + ⎜⎜ + ⎟⎟,
d. f
b ⎝d f ⎠
b
a . ( c . e) a ⎛ c e ⎞
⎛ a c ⎞ e (a . c) . e
=
= ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟,
⎜ ⋅ ⎟⋅ =
⎝ b d ⎠ f (b . d ). f b . (d . f ) b ⎝ d f ⎠
a c a . d + b .c c .b + d . a c a
+ =
=
= + ,
b d
b.d
d .b
d b
a c a .c c . a c a
⋅ =
=
= ⋅ ,
b d b . d d .b d b
⎛ a c ⎞ e a . d + b . c e (a . d + b . c) . e a . d . e + b . c . e
⋅ =
=
=
⎜ + ⎟⋅ =
b.d
f
b.d . f
b.d . f
⎝b d ⎠ f
a .d .e b.c .e
a .e c .e a e c e
=
+
=
+
= ⋅ + ⋅ ,
b.d . f b.d . f b. f d . f b f d f
pričom pri odvodzovaní poslednej rovnosti sme aplikovali lemu 1. Z platnosti týchto piatich
vzťahov už vyplýva dokazované tvrdenie, q.e.d.
Veta 9. Množina Q s operáciami súčet a súčin, skonštruovaná v tretej časti, má vlastnosti (a),
(b) a (c).
Dôkaz. Vlastnosť (a) vyplýva z vety 5, vlastnosť (b) z viet 6, 7 a vlastnosť (c) z vety 8, q.e.d.
199
OLEG PALUMBÍNY
Veta 9 hovorí, že zostrojený obor Q má vlastnosti, ktorými sme ho definovali v rozbore. Tým
je dôkaz existencie oboru všetkých nezáporných zlomkov vykonaný. Dá sa ukázať, tento
obor je, až na izomorfizmus, určený jednoznačne.
Poznámka 1. Na Q je možné zaviesť pre niektoré zlomky operáciu rozdiel. Pod rozdielom
a c
a .d − b.c
−
budeme rozumieť zlomok
zlomkov
, avšak len za podmienky
b d
b.d
a . d − b . c ≥ 0. Ľahko ukážeme, že takto definovaný rozdiel má základnú vlastnosť rozdielu
a ⎛a c ⎞ c
podľa
definície
3
a
= ⎜ − ⎟ + , lebo
b ⎝b d ⎠ d
⎛ a c ⎞ c a . d − b .c c a .d − b .c + b .c a .d a
+ =
=
= .
⎜ − ⎟+ =
b.d
d
b.d
b.d b
⎝b d ⎠ d
vety
1
platí,
že
Poznámka 2. Na súbore Q sa dá taktiež zaviesť vzťah „menší“; napríklad takto: Hovoríme,
a
c
x
a x c
je menší ako zlomok , ak existuje taký zlomok ≠ 0, že platí + = ,
že zlomok
b
d
y
b y d
a c
čo zapisujeme < .
b d
a c
a c
Veta 10. Pre každé , ∈ Q platí < ⇔ a . d < b . c.
b d
b d
Dôkaz. S využitím operácie rozdiel môžeme rovnosť
tvaru
a x c
+ = , ekvivalentne prepísať do
b y d
x c a c .b − d . a
= − =
, z ktorého ihneď dostávame tvrdenie vety, q.e.d.
y d b
d .b
LITERATÚRA
[1]
Havlík, M. – Pindroch, Š. – Tesař, K.: Počtovnica pre piaty ročník, SPN, Bratislava
1977.
[2]
Novoveský, Š. – Lečko, I. – Križalkovič, K. : Matematika ZDŠ v kocke, SPN,
Bratislava 1972.
[3]
Taišl, J. – Nováček, J. : Aritmetika pre siedmy ročník, SPN, Bratislava 1972.
Doc. RNDr., Oleg Palumbíny, CSc.
Ústav aplikovanej informatiky a matematiky
Materiálovotechnologická fakulta
Slovenská technická univerzita v Bratislave
Hajdóczyho 1
Sk - 917 24 Trnava
e-mail: [email protected]
200
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ŠTVORSTEN – JEHO VLASTNOSTI, APLIKÁCIE
GABRIELA PAVLOVIČOVÁ, LUCIA RUMANOVÁ
ABSTRACT. This article is about tetraeder, its definitions and characteristics in geometry.
For motivation and gaining everlasting knowledge about this geometry shape we present
some illustration of tetraeder in the other parts of science and life.
Úvod
Pravidelný štvorsten patrí v rade platónovských telies na prvé miesto. Študenti sa s ním
oboznamujú ako s trojbokým ihlanom, ktorý nazývame aj tetraéder. Toto geometrické
teleso má veľa zaujímavých vlastností, ktorých skúmanie pomáha k utvrdzovaniu
geometrických vedomostí a zároveň k rozvoju priestorovej predstavivosti. V článku sa
sústredíme na štvorsten nie len ako na geometrické teleso, ale aj ako na útvar nachádzajúci
sa v rôznych oblastiach vedy a života.
Štvorsten v geometrii
V nasledujúcej časti sa budeme venovať štvorstenu z hľadiska matematického, pričom
uvedieme niekoľko jeho definícií a vlastností.
Dané sú štyri rôzne nekomplanárne body A, B, C, D. Štvorstenom ABCD rozumieme
teleso, ktoré je ohraničené trojuholníkmi ABC, ABD, ACD a BCD. Tieto trojuholníky
nazývame steny štvorstena ABCD, úsečky AB, AC, AD, BC, BD, CD nazývame hrany
štvorstena ABCD a body A, B, C, D nazývame vrcholy štvorstena ABCD. Hrany štvorstena,
ktoré sú mimobežné, sa nazývajú protiľahlé strany štvorstena. Sú to nasledujúce dvojice
hrán štvorstena ABCD: AB, CD; AC, BD a AD, BD (obrázok 1). [2]
Obrázok 1: štvorsten ABCD
Ďalšia definícia štvorstena by bola pomocou definovania ihlana. Štvorsten je vlastne
trojboký ihlan. Preto teraz uvedieme definíciu ihlana.
Nech je Pn je ľubovoľný konvexný n-uholník roviny α a V je ľubovoľný bod neležiaci
v rovine α . Množinu bodov všetkých priamok prechádzajúcich bodom V [polpriamok so
začiatkom v bode V], ktoré pretínajú n-uholník Pn, resp. n-uholník Pn s jeho vnútrom,
201
GABRIELA PAVLOVIČOVÁ, LUCIA RUMANOVÁ
nazývame úplná n-boká ihlanová plocha [jednoduchá n-boká ihlanová plocha], resp.
úplný [jednoduchý] n-boký ihlanový priestor. Ihlanom potom nazývame prienik
jednoduchého ihlanového priestoru a polpriestoru αV .
Podstavou ihlana nazývame n-uholník Pn aj s jeho vnútrom, vrcholom ihlana je bod
V –vrchol ihlanovej plochy. Bočnými stenami [hranami] ihlana nazývame časti stien [hrán]
príslušnej ihlanovej plochy patriace ihlanu. Podstavnými hranami ihlana nazývame strany
podstavy ihlana. Stenami ihlana nazývame bočné steny a podstavu ihlana. [1]
V našom prípade štvorstena je podstavou trojuholník P3. Je zrejmé, že bočné steny
jednoduchého ihlana sú trojuholníky. Ihlany tiež rozlišujeme podľa druhu trojuholníkov.
Pravidelný trojboký ihlan ABCD je štvorsten, ktorého jednou stenou (podstavou) je
rovnostranný trojuholník ABC a zvyšné steny sú rovnoramenné trojuholníky so základňami
AB, BC a CA. Pravidelný štvorsten bude mať všetky steny rovnostranné trojuholníky.
Iná definícia štvorstena. Štvorsten je teleso, ktoré vznikne ako prienik štyroch
polpriestorov αD , βA , γB , δC s hraničnými rovinami α, β, γ, δ , z ktorých každé tri majú
spoločný práve jeden z bodov A, B, C, D (body A, B, C, D sú nekomplanárne), pričom
roviny sú určené nasledovne α = ABC , β = BCD , γ = CDA , δ = DAB .
Na záver stručne naznačíme vysvetlenie štvorstena použitím simplexu. Simplex je
konvexná množina v En, ktorá obsahuje práve (n+1) krajných bodov P0, P1, ..., Pn
patriacich En. Nech je daných (r+1) rôznych bodov, pričom r < n a nech P1-P0, P2-P1, ...,
Pr-P0 sú lineárne nezávislé vektory. Potom množinu všetkých konvexných kombinácií
bodov P0, P1, ..., Pr nazývame r-simplex s vrcholmi P0, P1, ..., Pr. Preto 0-simplexom je
bod, 1-simplex je úsečka, 2-simplex je trojuholník, 3-simplex je štvorsten, atď.
Vlastnosti štvorstena
V nasledujúcej časti uvedieme najdôležitejšie vlastnosti štvorstena. Uvedieme tiež jeho
jednu najzaujímavejšiu z vlastností – dualitu. Vety budú uvádzané bez dôkazov.
• Stredy všetkých troch úsečiek spájajúcich vždy stredy dvoch protiľahlých hrán
štvorstena splývajú.
• Ťažnica štvorstena je úsečka spájajúca ľubovoľný vrchol štvorstena s ťažiskom
protiľahlej steny. Všetky štyri ťažnice štvorstena prechádzajú jediným bodom, tzv.
ťažiskom štvorstena, ktorý delí každú ťažnicu štvorstena v pomere 3:1.
• Kolmica z vrcholu štvorstena na protiľahlú stenu sa nazýva výška štvorstena.
Výšky štvorstena ABCD vedené bodmi A, D sú práve vtedy rôznobežné, ak sú
rôznobežné aj výšky štvorstena vedené bodmi B, C, pričom takáto situácia nastane
•
•
202
práve vtedy, keď sú priamky AD, BC navzájem kolmé.
Nech úsečky AK, BL sú pretínajúce sa výšky štvorstena ABCD z vrcholov A, B na
protiľahlé steny. Potom hrany štvorstena AB, CD sú na seba kolmé. Platí aj
obrátená veta.
Vo štvorstene môžu nastať iba nasledujúce tri navzájom sa vylučujúce situácie:
1. Žiadne dve protiľahlé hrany štvorstena nie sú navzájom kolmé a každé dve
výšky štvorstena sú mimobežné.
2. Iba jedna dvojica protiľahlých hrán štvorstena je vytvorená dvojicou navzájom
kolmých priamok. Výšky štvorstena vedené vrcholmi na každej z týchto hrán
sú rôznobežné. Každé dve iné výšky štvorstena sú mimobežné.
ŠTVORSTEN – JEHO VLASTNOSI, APLIKÁCIE
3. Každé dve protiľahlé hrany štvorstena sú navzájom kolmé. Všetky štyri výšky
štvorstena prechádzajú jediným spoločným bodom, tzv. ortocentrum. Potom
takýto štvorsten nazývame ortocentrickým. [2]
Pravidelný štvorsten, nazývaný tiež aj tetraéder, je jeden z pravidelných mnohostenov
(tzv. platónovské telesá). To znamená, že má všetky steny zhodné pravidelné n-uholníky
a každým jeho vrcholom prechádza rovnaký počet m hrán.
Pre konvexné mnohosteny1, medzi ktoré patrí aj štvorsten, platí Eulerova veta: Ak
označíme s počet stien, h počet hrán, v počet vrcholov konvexného mnohostena, tak platí
rovnosť s + v − h = 2 . V tabuľke 1 uvádzame konkrétne hodnoty pre štvorsten.
Mnohosten
štvorsten – tetraéder
počet
počet hrán
stien
vrcholov
hrán
jedného
vrcholu
jednej
steny
s
v
h
m
n
4
4
6
3
3
Tabuľka 1
Každý mnohosten má konečný počet sietí. Sieť mnohostena by sme mohli definovať
ako súvislý rovinný útvar, ktorý vynikne zjednotením mnohouholníkov zhodných so
stenami mnohostena umiestnených v rovine tak, že ich zložením dostaneme povrch hranicu mnohostena. V prípade mnohostena dotýkajúce sa mnohouholníky majú spoločnú
celú stranu. Sieť pravidelného štvorstena je zložená z rovnostranných trojuholníkov
(obrázok 2).
Obrázok 2: sieť štvorstena
Určite medzi najzaujímavejšiu vlastnosť štvorstena patrí jeho dualita. Duálne
pravidelné mnohosteny sú vlastne dvojice pravidelných mnohostenov, z ktorých jednému
pravidelnému mnohostenu možno vpísať iný pravidelný mnohosten tak, že vrcholy
vpísaného mnohostena sú stredmi (resp. ťažiskami) stien druhého mnohostena a naopak.
Pritom oba pravidelné mnohosteny majú rovnaký počet hrán a koľko stien má jeden
mnohosten, toľko vrcholov má druhý a naopak. Duálna dvojica k pravidelnému štvorstenu
je pravidelný štvorsten, t. j. pravidelný štvorsten je duálny sám so sebou (obrázok 3).
Vrcholy štvorstena vpísaného do štvorstena sú ťažiská stien štvorstena.
1
Konvexné mnohosteny v priestore môžeme definovať podobne ako konvexné mnohouholníky v rovine.
203
GABRIELA PAVLOVIČOVÁ, LUCIA RUMANOVÁ
Obrázok 3: duálna dvojica štvorstena
Štvorsten nie len v geometrii
V súčasnosti sa často stretávame s potrebou popularizácie vedy, aktualizácie
matematiky, zvyšovania motivácie vo vyučovaní matematiky so zameraním na jej
aplikácie a využitie v iných vedných disciplínach. Nové matematické pojmy, ktorých
začlenenie do konkrétnej matematickej štruktúry je dôležité pre ich správne pochopenie,
žiaci často nie sú schopní použiť v inom ako matematickom prostredí. Preto sa v ďalšom
budeme venovať štvorstenu ako telesu, s ktorým sa môžeme stretnúť aj mimo geometrie,
čím môžeme žiakov motivovať k ďalšiemu skúmaniu jeho vlastností. Touto cestou sa
môžeme zároveň dozvedieť veľa zaujímavých informácií z iných vedných disciplín
a oblastí života.
Štvorsten v chémii, geológii a mineralógii
Snáď najčastejšie sa môžeme stretnúť so štvorstenom pri skúmaní chemických štruktúr
rôznych chemických prvkov, molekúl a zlúčenín, kde tvar štvorstena alebo pojem
tetraedrická štruktúra nie je žiadnou zvláštnosťou. Uvedieme niekoľko príkladov:
• Biely fosfor je tvorený molekulami P4 tvaru tetraédra, ktoré sú príčinou jeho
vysokej reaktivity. Väzbový uhol atómov fosforu v tetraédri je len 60 °. Biely fosfor je na
vzduchu samovznetlivý, preto sa uchováva pod vodou.
Obrázok 4: štruktúra bieleho fosforu
• Metán je najjednoduchší uhľovodík. Je to pri bežných podmienkach bezfarebný
plyn s chemickým vzorcom CH4. V molekule metánu sú na atóm uhlíka viazané štyri
atómy vodíka vo vrcholoch štvorstena. Metán tvorí podstatnú časť zemného plynu (až
98 %).
204
ŠTVORSTEN – JEHO VLASTNOSI, APLIKÁCIE
Obrázok 5: molekula metánu
• Voda
Každá molekula vody je tetraedricky obklopená štyrmi susedmi, s ktorými je spojená
vodíkovými väzbami. Vďaka tejto otvorenej štruktúre je voda jednou z málo látok, ktoré
pri tuhnutí zväčšuje svoj objem asi o 9,2 % .
Obrázok 6: molekula vody
Obrázok 7: vyparovanie vody
• Sklo je z chemického tuhým roztokom rôznych kremičitanov sodných, draselných,
vápenatých, prípadne olovnatých alebo barnatých, ktoré sú sprevádzané ďalšími
zlúčeninami, najmä oxidmi kovov. Najbezpečnejšie sú sklá kremičité a boritokremičité.
Najrozšírenejším sklom je používaným v stavebníctve je sklo sústavy SiO2 – CaO – Na2O.
Obrázok 8: Tetraedrická štruktúra křemičitého sodnovápenatého skla
• Diamant je priehľadný kryštál čistého uhlíka. Diamanty kryštalizujú v kubickej
kryštalickej mriežke a obsahujú atómové väzby v tvare štvorstenu. Usporiadanie atómov
do štvorstenu je príčinou mnohých vlastností diamantu (najmä mimoriadna tvrdosť
a vysoká disperzia svetla). Je to spôsobené tým, že každý atóm uhlíka ma štyri susedné
atómy, teda práve toľko koľko má elektrónov schopných vytvárať väzby. Výnimočné
fyzikálne vlastnosti diamantu, , umožňujú jeho použitie na rôzne účely a sú základom
väčšiny moderných použití diamantu.
205
GABRIELA PAVLOVIČOVÁ, LUCIA RUMANOVÁ
Obrázok 9: štruktúra diamantu
Obrázok 10: pásy diamantu
• Minerály, čiže nerasty sú rovnorodé látky, ktoré možno vyjadriť chemickým
vzorcom a ktoré vznikli prirodzenými pochodmi v zemskej kôre, nezávisle od
činnosti človeka. Jedným z nich je mastenec Mg6SiO8O2O(OH)4, ktorý patrí medzi
vrstevnaté kremičitany u ktorých dochádza pri usporiadaní tetraedrického SiO4
k vzniku nekonečných dvojdimenzionálnych tetraedrických vrstvičiek, ktoré
zdôvodňujú lupienkovitú štruktúru týchto minerálov.
Obrázok 11: molekula SiO4
Obrázok 12, 13: štruktúra mastenca
Štvorsten v mikroelektronike
Nová generácia tetraedrických polovodičov s kryštálovou štruktúrou podobnou diamantu
umožnila skutočný pokrok v teoretických štúdiách o heteroštruktúrach v polovodičoch
ocenenýh Nobelovou cenou. Štruktúra sfaleritu ZnS je typickou štruktúrou binárnych
polovodičov, ako je napr. GaAs, InP, CdTe. Každý atóm má štyroch rovnako
vzdialených susedov - atómy opačného druhu - umiestených vo vrcholoch
štvorstena. Ak by boli všetky atómy rovnaké, bolo by toto usporiadanie totožné so
štruktúrou diamantu.
206
ŠTVORSTEN – JEHO VLASTNOSI, APLIKÁCIE
Obrázok 14: sfalerit, kubická modifikácia sulfidu zinečnatého, ZnS.
Štvorsten na palube kozmických sond
Aparatúra SLED-2 (SoLar wind Energetic particle Detector), bola vyvinutá pre misiu
MARS-96 v rámci medzinárodnej spolupráce. Úlohou experimentu SLED-2 bol záznam
uhlovej distribúcie iónov, na záznam ktorej bol vyvinutý nepohyblivý senzorový systém
pozostávajúci zo štyroch teleskopov v tetraedrickom usporiadaní, ktoré sú vybavené SmCo
deflekčnými magnetmi.
Obrázok 15: spektrometer SLED-2
Štvorsten v modernej architektúre
Neďaleko mestečka Bottrop v časti Bottro v Nemecku sa nachádza objekt patriaci do
veľkej rodiny industriálnych pozoruhodností - vyhliadková veža tvaru štvorstena.
Tetraéder je v podstate vyhliadkový chodník, ktorý začína na úpätí haldy a špirálovite
stúpa na koniec ku schodom ukotveným v kovovej konštrukcii, chodník pôsobí akoby sa
vznášal. Má tri vyhliadkové platformy pospájané kovovým schodiskom až do výšky asi 60
metrov.
Obrázok 16, 17: Tetraéder v Bottrope
207
GABRIELA PAVLOVIČOVÁ, LUCIA RUMANOVÁ
Štvorsten v dizajnérstve budúcnosti?
Na záver uvádzame dizajnérsky návrh mladého poliaka Krystiana Majewskeho, ktorý sa
stal víťazom Vision Works Award realizovanej spoločnosťou Bayer Material Science
v kategórii „Vision“. Vytvoril hypermodernú predstavu auta budúcnosti „Delto“, ktoré je
schopné chodiť po zvislej stene. Je to schránka tvaru tetraédra, ktorá sa pohybuje po
stenách domov za pomoci špeciálnych držiacich svoriek, ktoré ju zaklapnú do steny
budovy. Tento návrh vedci pokladajú za uskutočniteľný.
Obrázok 18, 19: „Delto“- auto budúcnosti?
Záver
Ak sa nám podarilo trochu „spopularizovať štvorsten“, tak sme splnili jeden z cieľov tohto
príspevku. Námetov na zvyšovanie motivácie pri oboznamovaní sa s novými pojmami
a pri utvrdzovaní nadobudnutých vedomostí z matematiky je všade okolo nás dostatok. Je
potrebné len trochu preniesť matematiku mimo matematiky a priblížiť ju bežnému životu.
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Klenková, Petra: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného
euklidovského priestoru, diplomová práca, Bratislava, UK v Bratislave FMFI, 2006
Pavlovičová Gabriela: Niektoré úlohy na štvorsten riešené na strednej škole, In Acta
mathematica 5. Nitra : FPV UKF, edícia Prírodovedec č. 105, 2002, s. 137-143.
ISBN 80-8050-562-4.
Šedivý, O.– Pavlovičová, G. – Rumanová, L. – Vallo, D: STEREOMETRIA – umenie
vidieť a predstavovať si priestor, Prírodovedec č.271, Nitra 2007.ISBN 978-808094-180-2
http://www.ruhr-guide.de
http://kisd.de/~krystian/
http://space.saske.sk/projects/sled2/
PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 74 Nitra
e-mail: [email protected]
208
PaedDr. Lucia Rumanová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 74 Nitra
e-mail: [email protected]
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
KOMPETENCE STUDENTŮ OU VE STEREOMETRII
MAREK POMP, ZUZANA VÁCLAVÍKOVÁ
ABSTRACT. This paper survey and describe conditions of knowledges and competences of
students on Ostrava University on solid geometry.
Úvod
Na základě nových principů kurikulární politiky zformulovanými v Národním programu
rozvoje vzdělávání v ČR (tzv. Bíle knize) a zakotvenými zákoně č. 561/2004 Sb. se do
vzdělávací soustavy zavádí nový systém kurikulárních dokumentů pro vzdělávání žáků od
3 do 19 let. Tyto dokumenty jsou tvořeny na dvou úrovních, a to úrovni státní (Národní
program vzdělávání a Rámcové vzdělávací programy) a úrovni školní (Školní vzdělávací
programy). Rámcové vzdělávací programy vymezují závazné rámce pro jednotlivé etapy
(předškolní vzdělávání, základní vzdělávání,...) a vycházejí z nových strategií
zdůrazňujících především klíčové kompetence, jejich provázanost na vzdělávací obsah a
uplatnění získaných vědomostí a dovedností v praxi. Klíčovou kompetencí přitom
rozumíme soubor dovedností, vědomostí, schopností postojů a hodnot, které mají vliv na
osobní rozvoj i budoucí uplatnění v životě. (RVP)
Evropský referenční rámec zahrnuje osm klíčových kompetencí, a to komunikace
v mateřském jazyce, komunikace v cizích jazycích, matematická kompetence a základní
kompetence v oblasti vědy a technologií, kompetence k práci s digitálními technologiemi,
kompetence k učení, kompetence sociální a občanské, smysl pro iniciativu a podnikavost,
kulturní povědomí a vyjádření. (Solárová, 2008)
Matematická kompetence je kompetencí rozvíjet a funkčně používat matematické
dovednosti a myšlení v praktických situacích řešení problémů. Tento proces zahrnuje na
různých úrovních schopnost a ochotu používat matematické postupy a způsoby myšlení,
schopnost provádět reálný odhad výsledku řešení dané úlohy, hledat a nacházet vztahy
mezi jevy, objekty a předměty praktických úloh, aplikovat znalosti o základních tvarech,
jejich vzájemné poloze v rovině i prostoru a schopnost využívat prostorovou představivost
k řešení situace a v neposlední řadě dovednost číst a prezentovat grafické znázornění
prostřednictvím vzorců, tabulek, modelů, grafů a diagramů. (částečně Solárová, 2008) Jako
jeden z důležitých prvků matematických kompetencí je schopnost prostorové
představivosti a geometrický názor, protože v sobě funkčně sjednocuje téměř všechny
důležité procesy a postupy myšlení – rozbor situace a grafické znázornění, zapojení
vnímání a diagnostika jevu nebo úlohy, eventuální abstrakce, odhad vztahových
provázaností, aplikace znalostí a odhad řešení a jeho realizace i závěrečná interpretace
výsledků. Pro zvyšování matematických kompetencí je tedy zcela jednoznačně nevyhnutné
rozvíjení geometrické představivosti.
209
MAREK POMP – ZUZANA VÁCLAVÍKOVÁ
Geometrie v kurzech na OU
Na Ostravské Univerzitě probíhá vzdělávání budoucích učitelů na třech částečně se
prolínajících úrovních a připravuje učitele pro první respektive druhý stupeň primárního
vzdělávání a pro sekundární vzdělávání.
Na pedagogické fakultě ve studijním oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ
(magisterský obor, čtyřletý) v předmětech Matematika 5 – geometrie a Matematika 6 –
geometrie s didaktikou, které jsou věnovány elementární geometrii, stereometrii,
axiomatice geometrie a didaktice geometrie.
Dále ve studijním oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání (bakalářský
obor, tříletý) v předmětech Geometrie 1 a 2 které se zabývají geometrií z analytického
hlediska a v předmětu Konstrukční geometrie, který je věnován vybraným partiím z
planimetrie, stereometrii a základům deskriptivní geometrie. V navazujícím magisterském
oboru Učitelství matematiky pro 2. st, ZŠ se vyučuje předmět Geometrie 3, věnovaný
analytické geometrii křivek a ploch a axiomatické výstavbě geometrie.
Na přírodovědecké fakultě se geometrie pro budoucí učitele přednáší ve studijním
oboru Matematika (dvouoborové studium), (bakalářský obor, tříletý) v předmětech
Konstrukční geometrie, ve který je zaměřením podobný stejnojmennému kurzu na PdF .
Analytická geometrie je vyučována v rámci kurzů Lineární algebra a analytická geometrie
1, 2. V navazujícím magisterském dvouletém oboru Učitelství matematiky pro střední
školy jsou zařazeny kurzy Euklidovská a neeuklidovská geometrie 1 a 2, věnované
axiomatice geometrie a projektivní geometrii a dále kurz Diferenciální geometrie křivek a
ploch.
Hodinové dotace těchto povinných kurzů jsou uvedeny v Tabulce 1.
Volitelné kurzy jejichž obsahem je geometrie jsou vypsány pouze pro obor
Učitelství pro 1. stupeň ZŠ a jsou zamýšlené jako rozšiřující kurzy k povinným kurzům
Matematika 5 a 6 – geometrie.
Z tohoto přehledu je zřejmé, že přestože k rozvoji prostorové představivosti
přispívají jistě všechny předměty zaměřené na některou z partií geometrie, je speciálně
stereometrii a rozvíjení prostorové představivosti věnován jediný povinný předmět pro
každý studijní obor a nabídka dalších volitelných kurzů v této oblasti je nedostatečná.
Fak.
Zaměření
absolventů
dotace
př. + cv.
Zaměření
Matematika 5– geom.
PdF
1. st. ZŠ
1+2
Elementární geometrie a stereometrie
Matematika 6– geom.
PdF
1. st. ZŠ
1+1
Geometrická zobrazení a axiomatická
výstavba geometrie
Geometrie 1
PdF
2.st. ZŠ (a SŠ) 2 + 2
Analytická geometrie lineárních útvarů
Geometrie 2
PdF
2.st. ZŠ (a SŠ) 2 + 2
Analytická geometrie kvadratických
útvarů a geometrická zobrazení
Konstrukční geometrie PdF
2.st. ZŠ (a SŠ) 2 + 2
Planimetrie a stereometrie
Geometrie 3
2.st. ZŠ
Analytická geometrie křivek a ploch,
axiomatická výstavba geometrie
PdF
2+1
Lineární algebra a PřF
analytická geometrie 1
SŠ (a 2.st. ZŠ) 2 + 2
Analytická geometrie lineárních útvarů
Lineární algebra a PřF
analytická geometrie 2
SŠ (a 2.st. ZŠ) 2 + 2
Analytická geometrie kvadratických
útvarů a geometrická zobrazení
210
KOMPETENCE STUDENTŮ OU VE STEREOMETRII
Konstrukční geometrie PřF
SŠ (a 2.st. ZŠ) 1 + 2
Planimetrie a stereometrie
Eukl.a neeukl. geom. 1 PřF
SŠ
2+2
Axiomatická výstavba geometrie
Eukl.a neeukl. geom. 2 PřF
SŠ
2+2
Projektivní geometrie
Diferenc. geometrie
SŠ
2+2
Diferenciální geometrie křivek a ploch
PřF
Tabulka 1: Povinné kurzy na OU týkající se geometrie
Prostorová představivost u studentů OU
Testování prostorové představivosti proběhlo v roce 2008 na skupině 28 studentů oboru
Učitelství pro 1. stupeň ZŠ na PdF OU a na skupině 27 studentů učitelského studia na PřF.
Test obsahoval tři skupiny úloh, každou o třech úlohách
P1 – úlohy o objemu těles, (viz obrázek 3)
P2 – úlohy o povrchu a sítích těles, (viz obrázek 4)
P3 – úlohy o průmětech těles (viz obrázek 5)
Všechny úlohy potřebovali k řešení pouze elementární prostorovou představivost a znalosti
na úrovni střední školy. Úlohy byly bodovány jedním kladným bodem při správném řešení,
a jedním záporným bodem při řešení chybném. V případě, že respondent úlohu neřešil
byla úloha hodnocena nula body.Za jednotlivé typu úloh se výsledky sčítaly a výsledky
pak byly zpracovány vzhledem k jednotlivým typům úloh, zvlášť pro každou fakultu, viz
obrázek 1. Celkové skóre z testu je znázorněno na obrázku 2. Výsledky jsou shrnuty v
tabulce 2.
Fakulta
PdF
PřF
Typ úloh
Minimum
Medián
Průměr
Maximum
P1
-3
-1
-0.75
3
P2
-1
1
0.75
3
P3
-2
-0.5
-0.57
2
Celkem
-5
-1
-0.57
6
P1
-3
-1
-0.63
3
P2
-2
-1
-0.67
3
P3
-2
0
-0.29
2
Tabulka 3: Shrnutí výsledů testu.
211
MAREK POMP – ZUZANA VÁCLAVÍKOVÁ
Obrázek 1
Obrázek 2
212
KOMPETENCE STUDENTŮ OU VE STEREOMETRII
Obrázek 3: Ukázka příkladu ze skupiny P1.: Rozhodněte, které z těles má větší objem.
Obrázek 4: Ukázka příkladu ze skupiny P2: Vyznačte počty očí, jak by se otiskly při kutálení kostky
po vyznačené dráze.
Obrázek 5: Ukázka příkladu ze skupiny P3: Rozhodněte, zda je možno těsně prostrčit dané těleso
vyznačeným otvorem, popište jak.
Závěr
Z výsledků testu je vidět velmi nízká úroveň prostorové představivosti i obecných
znalostí základních tvarů těles a jejich vlastností mezi studenty OU. Tato situace je zřejmě
důsledkem dlouhodobého trendu snižování obsahu geometrie a zejména stereometrie
213
MAREK POMP – ZUZANA VÁCLAVÍKOVÁ
v učivu jak základních tak středních škol, který není suplován potřebným navýšením
tohoto učiva na vysoké škole. Vzhledem k tomu, že testovaný vzorek byli studenti
učitelských studijních oborů zdá se, že trend snižování úrovně výuky geometrie bude
jevem trvalejšího charakteru.
Jedním z řešení těchto problémů je začlenit do výuky budoucích učitelů matematiky
na OU nové volitelné kurzy, zaměřené na stereometrii a rozvíjení prostorové
představivosti.
LITERATURA
[1]
Molnár, J., Rozvíjení prostorové představivosti (nejen) ve stereometrii, Univerzita
Palackého, Olomouc, 2004
[2]
Solárová, M.: Rozvíjení klíčových kompetencí žáka ve vzdělávací oblasti Člověk a
příroda, Ostravská univerzita v Ostravě, 2008
[3]
Metodický portál MŠMT, http://www.rvp.cz
RNDr. Marek Pomp, Ph.D.
Katedra matematiky s didaktikou
Pedagogická fakulta
Ostravská Univerzita v Ostravě
Mlýnská 5
CZ – 703 01 Ostrava
e-mail: [email protected]
RNDr. Zuzana Václavíková, Ph.D.
Katedra matematiky
Přírodovědecká fakulta
Ostravská Univerzita
v Ostravě
30. dubna 22
CZ – 701 03 Ostrava
e-mail: [email protected]
214
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
FINDING PROPERTIES OF PRISMS AND PYRAMIDS WHILE SOLVING
STEREOMETRIC PROBLEMS
ZBIGNIEW POWĄZKA, JOANNA MAJOR
ABSTRACT. In this article authors give some examples of stereometric tasks in which
afterthought on gained resolve leads to formulate mathematical theorem. These theorems are
often unknown to students and they exceed teaching curriculum.
1. Introduction
An important part of education in secondary schools is teaching the elements of flat
and spatial geometry with usage trigonometric functions. It creates possibility to practice
computational techniques and develops spatial imagination. There are known various
didactical works relevant to this topic. (vide e.g. [1]).
Taking a look at stereometric task we mostly find tasks of designating area and
volume of the solid, often with usage values of angles between diagonals, edges or walls of
the solid. The solution of these tasks is often adequate formula. However, it turns out that
discussion of conditions which make the task feasible leads to the peculiar conclusions
which describes interesting properties of these solids.
In this article authors give some examples of stereometric tasks in which afterthought
on gained resolve leads to formulate mathematical theorem. These theorems are often
unknown to students and they exceed teaching curriculum.
We deem that solving mentioned type of tasks is very important in mathematical
education because they create opportunity to develop mathematical creativity. The
discussion on gained solutions pursues Polya’s recommendation to “look back” (see [7]).
To start with, it is worth explaining the legitimacy of our using the word “find” in the
title of the paper. In the [8] we can read the following definitions of this term: “find” 1. to
trace or track down somebody or something hidden, 2. to discover somebody or something
by searching, 3. to discover by chance, 4. to state that something exists.
Z. Krygowska mentions four situations in which solving an appropriately selected
problem leads to the formulation of a theorem. In the first situation, the student solves a
problem presented to him or her a priori. The second case involves the student’s solving a
more open-ended problem; one that is clearly geared towards formulating and then proving
a new theorem. In the third situation, it is the student who asks questions and tries to
answer them, either by himself or with the help of the teacher. Finally, it may well be that
the student himself formulates a theorem in the form a hypothesis, based either on his
observations of some regular properties in many cases, or on his intuitive conviction that
such connections exist. The question that the student asks at this point, is about the general
“accuracy” of “what he has noticed” (see [2]).
The term “to discover” a theorem is commonly used to denote a practice opposite to
simply presenting the student with a ready-made one (compare [5]). Throughout our paper,
we will use this term to mean “finding” the properties of a mathematical object, as a result
of a mathematical activity geared towards solving the problem presented, followed by
reflecting on the solution.
215
JOANNA MAJOR, ZBIGNIEW POWĄZKA
Tasks which are presented below do not allow on full realization of situations pointed
by Krygowska. There are formulated theorems in proposed tasks, which are relevant to
some mathematical objects, as the result of reflection on gained solutions. The essential
fact is that mathematical commands contained in tasks are relevant to different object than
objects mentioned in theorems. For example, the task goes for designate volume of cuboid,
while formulated theorem is relevant to dependence between values of angles which are
built by diagonal and edges of cuboid. A student who works with proposed tasks can't
formulate adequate theorem a priori (before the task is resolved). In presented situations
proving of the theorem succeed before formulating it.
This form of mathematical activity requires from student to make advanced usage of
many concepts which could be asociate with discussed topic, in this case with prism or
pyramid. The proposal of this sort of tasks is very important element of mathematical
education because – as it is shown by our researches – operative using of concepts gives a
lot of difficulties to students (see [3] and [4]).
2. The propositions of tasks which lead to discovering theorems
Example 1.
Calculate the volume of the cuboid if there is known that diagonal which length amounts d:
a) builds with edges of this cuboid angles which amount is α, β, γ, (cf fig. 1),
b) builds with faces of this cuboid angles which amount is α, β, γ, (cf fig. 2),
c) builds with the base plane the angle γ and diagonals of spatial faces
outgoing from the same vertex build with the base plane angles α, β (cf fig.
3).
Resolving of part a) of example 1 leads to discover theorem 1 and conclusion 1.
Theorem 1.
Let a, b, c be lengths of cuboid's edges and let d be the length of its diagonal. We designate
as α, β, γ, amounts of angles which are built by this diagonal and, in sequence, edges
which lengths amount a, b, c. Then
a
b
c
=
=
= d.
cos α cos β cos γ
Figure 1
216
FINDING PROPERTIES OF PRISMS AND PYRAMIMIDS…
As for the cuboid with edges a, b, c and diagonal d equation a 2 + b 2 + c 2 = d 2 , is
satisfied, the consequence of theorem 1 is following conclusion.
Corollary 1.
If diagonal of the cuboid builds with edges of this cuboid angles which amounts are α, β, γ,
then
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.
Resolving of the part b) of Example 1 leads to discover of the Theorem 2, Corollary 2 and
Corollary 3.
Theorem 2.
Let a, b, c be length of cuboid's edges, d length of its diagonal and α, β, γ, amounts of
angles which are built by diagonal and faces of cuboid. Then
a
b
c
=
=
= d.
sin α sin β sin γ
Figure 2
In this case there is true the theorem analogous to the Corollary 1.
Corollary 2.
If diagonal of cuboid builds with edges of this cuboid angles which amounts are α, β, γ,
then
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1.
If we assume that the cuboid is inscribed into sphere which radius amounts R, then,
diagonal of this cuboid is the radius of the sphere. As consequence of theorem 2 we can
remark following fact.
Corollary 3.
If cuboid which edges amount a, b and c is inscribed into sphere with radius R, then
a
sin α
−
b
sin β
=
c
sin γ
= 2R
where α, β, γ are amounts of angles which are built by radius of this sphere (connecting
two opposite vertexes of the cuboid) and adequate edges of this cuboid.
Forthcoming formula is analogous to law of sines on plane.
Resolving of part c) of example 1 leads to discover of the Theorem 3.
217
JOANNA MAJOR, ZBIGNIEW POWĄZKA
Theorem 3.
Let a, b, c be lengths of cuboid’s edges, let α, β be amounts of angles which are built by
diagonals of lateral faces and base’s plane and let γ be the amount of the angle created by
diagonal of the cuboid and diagonal of the base. Then
a tg α = b tg β = a 2 + b 2 tg γ = c.
Figure 3
This leads us to notice following relation between angles from the Theorem 3.
Corollary 4.
If in the cuboid α, β are amounts of angles which are built by diagonals of lateral faces and
base’s plane and γ is the amount of the angle created by diagonal of the cuboid and
diagonal of the base, then
ctg 2 α + ctg 2 β = ctg 2 γ .
Example 2.
Calculate the volume of tetragonal right regular prism in which diagonal of the base
amounts d and it builds angle α with lateral face’s diagonal outgoing from the same
vertex.
Figure 4
218
FINDING PROPERTIES OF PRISMS AND PYRAMIMIDS…
We take designations as at fig. 4.
We have
V = a2 ⋅ h =
d 2 d 1 − 2 cos 2 α d 3 1 − 2 cos 2 α
⋅
=
.
2
2 cos α
4 cos α
It follows that 1 − 2 cos 2 α ≥ 0, hence cos 2α ≥ 0 . As the triangle ACH is acute-angled
and isosceles simultaneously, thus
π
2
≤ 2α ≤ 34π . Therefore
π
4
≤α ≤
3π
4
.
Now then we obtain Theorem 4.
Theorem 4.
At every right regular tetragonal prism amount of angle between lateral face’s diagonal and
base’s diagonal which outgoing from the same vertex belongs to bracket ⎛⎜ π4 , π2 ⎞⎟ .
⎝
⎠
Example 3.
At right regular tetragonal prism edge of the base amounts a. Calculate the volume of this
prism if there is known that amount of angle built by lateral edge and base’s edge outgoing
from the same vertex is α.
Figure 5
We take designations as at fig. 5.
The volume of prism amounts
1
1
a
a3
V = ⋅ a2 ⋅ h = ⋅ a2 ⋅
tg 2 α − 1 =
tg 2 α − 1 .
3
3
2
6
⎛
⎞
The angle α is acute angle so we obtain that the task has solution if and only if α ∈ ⎜⎝ π4 ,π2 ⎟⎠ .
The consequesnce of the task solution is the Theorem 5.
Theorem 5.
At every right regular tetragonal prism amount of acute angle at base of lateral face
belongs to bracket ⎛⎜ π4 ,π2 ⎞⎟ .
⎝
⎠
The problems which are presented above could be extended and they should be treated
as patterns of building several sets of tasks. The usage of this kind of examples requires
knowledge and skills relevant to properties of trigonometric functions and creates
219
JOANNA MAJOR, ZBIGNIEW POWĄZKA
opportunity to expand knowledge about amounts of angles in solids. These students who
work with described tasks obtain the chance to self-reliant finding and formulating
theorems. Lastly, it is worth to mark that solving of the task is in fact searching of
undisclosed theorem and its proof.
BIBLIOGRAPHY
[1]
Kartasiński S., Nauczanie trygonometrii, Państwowe Zakłady Wydawnictw
Szkolnych, Warszawa 1960.
[2]
Krygowska Z., Zarys dydaktyki matematyki, cz. 3, WSiP, Warszawa 1977.
[3]
Major, J., Rola zadań i problemów w kształtowaniu pojęć matematycznych na
przykładzie bezwzględnej wartości liczby rzeczywistej, Roczniki PTM, seria V,
Dydaktyka Matematyki 29, 2006, 297 - 310.
[4]
Major, J., Powązka, Z., Pewne problemy dydaktyczne związane z pojęciem
wartości bezwzględnej, Annales Academiae Pedagogice Cracoviensis Studia Ad
Didacticam Mathematicae Pertinentia I, Kraków 2006, 163 - 185.
[5]
Nowak W. , Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989.
[6]
Nowosiłow S., Specjalny wykład trygonometrii, Państwowe Wydawnictwo
Naukowe, Warszawa 1956.
[7]
Polya G., Jak to rozwiązać, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993.
[8]
Mały Słownik Języka Polskiego, red. Skorupka, S., Auderska, H., Łempicka, Z.,
PWN, Warszawa 1969.
Zbigniew Powązka & Joanna Major
Pedagogical University of Cracow
Institute of Mathematics
Podchorążych 2
PL - 30-084 Cracow
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
220
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PUTUJÚCA MINCA
ĽUBOMÍR RYBANSKÝ
ABSTRACT. In this paper we described the game Migratory coin, which can be modeled by
a random walk.
Asi každý človek si rád zahrá alebo sa aspoň pozrie na nejakú hru. Niektorí ľudia majú
v obľube hry, ktoré sú dynamické a nie je v nich núdza o prekvapujúce zvraty. Iní
uprednostňujú skôr také, pri ktorých je potrebné použiť stratégiu. My sa budeme zaoberať
hrou, ktorej pri prvom pohľade možno chýba dynamika, ale rozhodne jej nechýba
napínavý priebeh a zaujímavý záver.
Okolo okrúhleho stola sedí 8 osôb. Jedna z nich, označme ju A drží v ruke mincu a v
každom kroku tejto hry pošle túto mincu svojmu najbližšiemu susedovi (z pohľadu A
doprava alebo doľava), vždy s rovnakou pravdepodobnosťou. Posiela ju však tajne tak, že
vy nikdy nevidíte u koho je okrem začiatku hry, keď je u A. Jediná informácia ktorú
dostanete je, koľko bolo vykonaných posunutí mince. Je tu však ešte jedno pravidlo a to:
Osoba, u ktorej skončí minca po poslednom kroku hry ju dostala prvý krát práve v
poslednom kroku s výnimkou A, u ktorej bola na začiatku. Vašou úlohou je zistiť, s akou
pravdepodobnosťou je minca u jednotlivých hráčov.
Najskôr si "pracovne" povedzme čo je cesta. Je to usporiadaná množina vrcholov
osemuholníka v ktorých sa nachádzala minca.
Označme jednotlivých hráčov písmenami A,B,C,D,E,F,G,H. Na chvíľu bude
výhodnejšie označiť ich číslami 0,1,2,3,4,5,6,7. Minca pri svojej ceste prechádza striedavo
vrcholmi s párnym a nepárnym číslom. Počet posunutí mince má rovnakú paritu ako
vrchol na ktorom skončil. Preto úlohu rozdelíme na dva prípady, a to keď počet posunutí je
párne číslo a keď je nepárne číslo.
a) Ak počet posunutí je párne číslo, tak bude výhodné zistiť, koľko existuje ciest
pozostávajúcich z 2k posunutí mince z A do E. Nech je to a2k, kde k ∈ N . Ale do E sa
možno dostať iba párnym počtom krokov. Preto a2k-1 = 0, rovnako to platí pre vrcholy B,
D, F, H. Označme bk počet všetkých ciest z C do E pozostávajúcich z práve k posunutí.
Počet všetkých ciest pozostávajúcich z práve k posunutí z G do E je takisto bk. Potom
platí
a2 k + 2 = 2a2 k + b2 k ,
∀k ∈ N .
(1)
2ak preto, lebo dvomi posunutiami sa minca posunie z A do C (resp. G), alebo sa vráti
späť do A a to sú dve možnosti.
Ďalej platí:
b2 k + 2 = 2b2 k + 2a2 k .
(2)
Pretože z bodu C (resp. G) je možné dvomi posunutiami sa vrátiť späť do C (resp. G) alebo
do A (do E sa dostať ešte nemôže).
Príspevok je podporovaný projektom KEGA 03/7001/09
221
ĽUBOMÍR RYBANSKÝ
Rovnica (1) je ekvivalentná rovnici
a2k+4 = 2a2k+2+b2k+2 = 2a2k+2+2b2k+2a2k = 2a2k+2+2a2k+2-4a2k+2a2k=4a2k+2-2a2k,
pri úprave sme využili rovnicu (2).
Teda sme dostali diferenčnú rovnicu
a2k+4 = 4a2k+2-2a2k, s podmienkami a2=0, a4=2. (3)
Riešenie tejto rovnice hľadáme v tvare a2k = c1(2+√2)k + c2(2-√2)k, vzhľadom na
počiatočné podmienky dostaneme sústavu
0 = c1 (2 + 2) + c2 (2 − 2) ,
2 = c1 (2 + 2) 2 + c2 (2 − 2) 2 .
Po vyriešení sústavy zistíme, že:
c1 =
−1+ 2
2
, c2 =
−1− 2
2
.
Takže pre a2 k platí
a2 k =
1
1
(2 + 2) k −1 −
(2 − 2) k −1 .
2
2
Teraz musíme zistiť, koľko existuje ciest pozostávajúcich z 2k krokov z A do C (je
zrejmé, že ich počet je rovnaký ako z A do G ). Úlohu rozdelíme na dva prípady.
a1) na cesty, ktoré prechádzajú cez G,
a2) na cesty, ktoré neprechádzajú cez G.
a1) V tomto prípade je to úloha analogická tej, keď sme mali zistiť počet ciest z A do E
na 2k krokov, teraz však máme iba 2k − 2 krokov, pretože dva sme minuli na cestu do G,
takže týchto ciest musí byť
a2 k − 2 =
1
1
(2 + 2) k − 2 −
(2 − 2) k − 2 .
2
2
a2) Minca sa má dostať na 2k krokov z A do C, ale nesmie pritom prejsť cez G. Je
zrejmé, že 2k -ty krok bude do C a tiež, že predposledný ( 2k − 1 ) krok musí byť do B,
predtým však nutne musí byť v A (to je ( 2k − 2 ) krok). Pohyb mince sa však začína z A,
potom každý párny krok bude končiť v A (okrem posledného). Ak zapíšeme sekvenciu
krokov, môžeme vypustiť každý párny krok (to je A) a posledné dva (to sú B a C). Potom
náme k dispozícii 12 (2k − 2) voľných pozícií v sekvencii krokov, pričom na každej z
týchto pozícií môže byť buď B alebo H. Z uvedeného vyplýva, že všetkých ciest
pozostávajúcich z 2k krokov z A do C je rovný počtu usporiadaných ( k − 1 )-tíc z dvoch
prvkov s opakovaním, a tých je 2k −1 .
Preto počet ciest pozostávajúcich z 2k krokov z A do C (aj z A do G) je c2 k
c2 k = a2 k −2 + 2k −1.
b) Počet posunutí mince je nepárne číslo ( 2k − 1 ; k ∈ N ).
Je zrejmé, že počet ciest z A do B je rovnaký ako počet ciest z A do H (prípad b1 )
a počet ciest z A do B je rovnaký ako počet ciest z A do F (prípad b2 ).
222
PUTUJÚCA MINCA
b1 ) Keďže do B sa má minca dostať až ( 2k − 1 )-vým krokom, tak prvý krok musí byť
nutne do H a z H sa potom musí dostať pomocou ( 2k − 2 ) krokov do B. Ľahko vidieť, že
počet takýchto ciest je rovnaký ako v prípade, keď sa mala dostať z A do C na ( 2k )
krokov. Avšak teraz máme k dispozícii iba ( 2k − 2 ) krokov, potom počet takýchto ciest je
d 2 k −1 , pre ktoré platí
1
1
d 2 k −1 ( A → B, A → H ) = c2 k − 2 =
(2 + 2) k −3 −
(2 − 2) k −3 + 2k − 2.
2
2
b2 ) Tento prípad rozdelíme na dva podprípady podľa prvého kroku
prvý krok z A ide do B,
•
•
prvý krok z A ide do H.
Najskôr prvý podprípad. K dispozícii máme už iba ( 2k − 2 ) krokov, aby sa minca dostala
z B do D. Znova však vidieť, že počet takýchto ciest bude ako v prípade b1 t.j. c2 k − 2 .
V druhom podprípade nám zostalo ( 2k − 2 ) krokov na prechod z H do D, ale vidieť, že
počet týchto ciest je rovnaký ako v prípade, keď som sa minca mala dostať z A do E na
2k krokov, teraz však máme iba ( 2k − 2 ) krokov a teda ciest je a2 k − 2 .
Z toho vyplýva, že ciest pozostávajúcich z ( 2k − 1 ) krokov z A do D (A do F) je e2 k −1
e2 k −1 = c2 k − 2 + a2 k − 2 ,
e2 k −1 =
1
1
1
1
(2 + 2) k − 2 −
(2 − 2) k − 2 +
(2 + 2) k −3 −
(2 + 2) k −3 + 2k − 2.
2
2
2
2
c) Táto možnosť je uvažovaná samostatne, pretože v nej potrebujeme výsledky pre
nepárny počet krokov. Máme zistiť počet ciest, ktorými sa minca na 2k krokov vráti späť
do A. Znovu rozdelíme úlohu na dva podprípady podľa prvého kroku, ktorý môže byť do
B alebo do H. Oba prípady však prispievajú rovnakým počtom ciest, preto stačí vypočítať
jeden prípad.
Keďže prvý krok je do B, zostalo nám ( 2k − 1 ) krokov, aby sa minca dostala z B do A a
tento počet je rovnaký ako v prípade b1 (označme počet ciest z A do A f 2 k ). Potom platí
f 2 k = 2c2 k − 2 = 2(
1
1
(2 + 2) k −3 −
(2 − 2) k −3 + 2k − 2 ).
2
2
Záver. Ak je počet posunutí veľký (stačí 10), môžeme určiť pravdepodobnosti výskytu
mince u jednotlivých hráčov pomocou limity.
V prípade, že je počet posunutí párne číslo (pravdepodobnosť toho, že po 2k posunutiach
je minca u hráča X je P2 k ( X ) )
P2 k ( A) = lim
k →∞
2c2 k − 2
7−5 2
=
= 0, 0976,
2c2 k − 2 + 2c2 k + a2 k 12 − 9 2
c2 k
1
= = 0,1666,
k →∞ 2c
6
2 k − 2 + 2c2 k + a2 k
P2 k (C ) = P2 k (G ) = lim
223
ĽUBOMÍR RYBANSKÝ
a2 k
−1 + 2
=
= 0, 5698.
k →∞ 2c
−12 + 9 2
2 k − 2 + 2c2 k + a2 k
P2 k = lim
Samozrejme P2 k ( B ) = P2 k ( H ) = P2 k ( D ) = P2 k ( F ) = 0.
V prípade, že počet posunutí mince je nepárne číslo 2k − 1 ; k ∈ N
c2 k − 2
7−5 2
=
= 0, 0921,
k →∞ 4c
36 − 26 2
2 k − 2 + 2a2 k − 2
P2 k −1 ( B) = P2 k −1 ( H ) = lim
P2 k −1 ( D) = P2 k −1 ( F ) = lim
k →∞
c2 k − 2 + a2 k − 2
11 − 8 2
=
= 0, 4072,
4c2 k − 2 + 2a2 k − 2 36 − 26 2
Samozrejme P2 k −1 ( A) = P2 k −1 (C ) = P2 k −1 (G ) = P2 k −1 ( E ) = 0. Pri výpočte limít sme použili
program Mathematica.
LITERATÚRA
[1]
Anděl, J.: Matematika náhody, MATFYZPRESS Praha, 2003
[2]
Kosmák, J.: Kombinatorická teorie pravdepodobnosti, Alfa Bratislava, 1979
[3]
Prágerová, A.: Diferenční rovnice, SNTL, Praha, 1976
RNDr. Ľubomír Rybanský
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
224
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
VYBRANÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY V PEDAGOGICKOM VÝSKUME
TATIANA SLEZÁKOVÁ,BEÁTA STEHLÍKOVÁ, ANNA TIRPÁKOVÁ, DAGMAR MARKECHOVÁ
ABSTRACT. The contribution describes pedagogical investigation on primary schools from
the west Slovakia. The aim of this investigation was analysis of the children’s adaptation on
the school by using Friedman’s test.
Úvod
Každoročne prekročia stovky prvákov prahy našich základných škôl. Úspešná
adaptácia dieťaťa na školu je determinovaná okrem školskej pripravenosti dieťaťa aj
pripravenosťou rodičov budúcich školákov. Rodičia vytváraním stimulujúceho podnetného
prostredia formujú dôležité predpoklady pre úspešný štart svojho dieťaťa do školy.
Významnými pomocníkmi rodičom v celkovom rozvoji osobnosti ich dieťaťa sú materské
školy. V neposlednom rade k dôležitým faktorom úspešnej adaptácie dieťaťa na školu patrí
i pripravenosť školy, učiteľov v začiatočnom vyučovaní na prijatie každého dieťaťa
a vytvorenie takých podmienok, ktoré budú adekvátne pre každé dieťa v jeho individualite.
V snahe prispieť k riešeniu tejto problematiky bol v rokoch 2000 – 2002 na
základných školách v okresoch Nitra (Alexyho, Bethovenova a Benkova základná škola),
Levice a Hlohovec realizovaný pedagogický výskum. Cieľom tohto výskumu bolo zistiť
nielen celkovú úroveň školskej pripravenosti dieťaťa, ale aj analyzovať proces adaptácie
detí na požiadavky školy. V článku [2] bola analyzovaná úroveň pripravenosti detí na
školu z hľadiska ich predpokladov osvojiť si základy počítania. V tomto príspevku
analyzujeme priebeh adaptácie dieťaťa na nové prostredie školy v závislosti na časovom
faktore. Zaujíma nás, či časový faktor má vplyv na priemerné hodnoty pozorovaných
znakov v dvoch sledovaných kategóriách, a to: v prispôsobivosti školskému poriadku a v
seba presadzovaní sa v novom prostredí. Pri vyhodnotení výsledkov výskumu pomocou
štatistických metód sme použili okrem popisnej štatistiky aj neparametrické testovacie
metódy, a to Friedmanov test a Tukeyho metódu ([3]). Výpočty boli realizované pomocou
programu STATISTICA
Charakteristika sledovaných súborov a použité metódy
Pedagogický výskum bol realizovaný formou nepriameho pozorovania podľa
kategoriálnych systémov. V priebehu školskej dochádzky v mesiacoch september,
november a február bol u každého žiaka 1. ročníka na vybraných ZŠ zaznamenávaný
priebeh adaptácie v nasledujúcich kategóriách:
Kategória I – prispôsobivosť školskému poriadku. V tejto kategórii sme sledovali
u chlapcov a dievčat pripravenosť rešpektovať pravidlá správania sa (školský poriadok)
v jednotlivých mesiacoch, odmietanie pravidiel správania sa (častejšie s tým majú
problémy chlapci- sedieť v lavici, hlásiť sa a pod.), ďalej sme pozorovali, či nastali
pozitívne zmeny v správaní, kvalita emócií pri rešpektovaní pravidiel vzhľadom
k časovému faktoru.
225
T. SLEZÁKOVÁ, B. STEHLÍKOVÁ, A. TIRPÁKOVÁ, D. MARKECHOVÁ
Kategória II – seba presadzovanie sa v novom prostredí. V tejto kategórii ide o to, či je
dieťa smelé pri nadväzovaní kontaktov s učiteľom, spolužiakmi, prípadne odmieta kontakt,
alebo sa predvádza, povyšuje nad ostatnými. Problémy majú na začiatku školskej
dochádzky deti, ktoré nenavštevovali MŠ, prípadne deti s nízkym sebavedomím, deti
bojazlivé, ustráchané (nemajú dostatočne rozvinuté komunikatívne spôsobilosti).
Uvedené kategórie boli pozorované v školskom roku 2001/2002 u žiakov 1. ročníka
zvlášť u dievčat a zvlášť u chlapcov vo vybraných základných školách v okresoch Nitra:
Alexyho (24 dievčat a 29 chlapcov), Bethovenova (32 dievčat a 25 chlapcov) a Benkova
(15 dievčat a 16 chlapcov), ďalej v Leviciach (73 dievčat a 68 chlapcov) a v Hlohovci (24
dievčat a 30 chlapcov). Cieľom pozorovania bolo overiť, či nastali pozitívne zmeny v
úrovni sledovaných znakov v závislosti od časového faktora. Výsledky nepriameho
pozorovania boli spracované najskôr pomocou metód popisnej štatistiky. Pre ilustráciu
uvádzame grafické vyhodnotenie jednotlivých vybraných okruhov výskumu (obr. 1 – 2).
Prispôsobivosť školskému poriadku
15
14
13
dievčatá
12
chlapci
11
10
september
november
február
Obrázok 3: Prispôsobivosť školskému poriadku u žiakov 1. ročníka na ZŠ v Hlohovci
Seba presadzovanie sa v novom prostredí
21
20
19
18
dievčatá
17
chlapci
16
15
14
september
november
február
Obrázok 2: Seba presadzovanie sa v novom prostredí u žiakov 1. ročníka na ZŠ v Hlohovci
226
VYBRANÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY V PEDAGOGICKOM VÝSKUME
Štatistické vyhodnotenie výsledkov výskumu
Na obrázkoch 1 a 2 vidíme, že hodnoty pozorovaných znakov sú v jednotlivých
mesiacoch rozdielne. Použitím štatistických metód overíme, ktoré z uvedených rozdielov
sú štatisticky významné. Chceme teda zistiť, či časový faktor má vplyv na priemernú
hodnotu pozorovaného znaku. Úrovne faktora budú predstavovať jednotlivé časové
obdobia. Ak počet porovnávaných súborov (počet úrovní faktora) je k, potom problém
môže byť sformulovaný v tvare štatistických hypotéz nasledovne. Testovanou hypotézou
je hypotéza H 0 : rozdelenia k základných súborov sú identické. Oproti testovanej hypotéze
kladieme alternatívnu hypotézu H 1 : nie všetkých k rozdelení je identických. Ekvivalentne
môže byť testovaný problém sformulovaný nasledovne.
H 0 : priemerné hodnoty pozorovaného znaku nezávisia od úrovní faktora;
H 1 : priemerné hodnoty pozorovaného znaku závisia od úrovní faktora.
Keďže nie je opodstatnený predpoklad o normálnom rozdelení pozorovaných znakov
a porovnávame niekoľko základných súborov na základe závislých výberových súborov,
na testovanie nulovej hypotézy bol použitý neparametrický Friedmanov test.
Friedmanov test spočíva v tom, že sa pozorovania na každom bloku usporiadajú zvlášť
a určí sa poradie Tij hodnoty xij v rámci i- teho bloku. Ako testovacie kritérium použijeme
štatistiku
Q =
k
n
12
. ( Tij ) 2 - 3n(k + 1) ,
n(n + 1) j =1 i =1
∑∑
ktorá má asymptoticky χ 2 - rozdelenie s k-1 stupňami voľnosti. Testovanú hypotézu H 0
zamietame na hladine významnosti α , ak hodnota testovacieho kritéria Q ≥ χ α2 ( k − 1) ,
kde χ α2 (k − 1) sú kritické hodnoty χ 2 - rozdelenia ([3]). Ak zamietneme testovanú
hypotézu H 0 v prospech alternatívnej hypotézy H 1 , ktorá znamená, že ošetrenia
neprinášajú rovnaký efekt, ostáva nezodpovedaná otázka, ktoré výbery sa od seba
štatisticky významne líšia. Na porovnávanie rozdielov medzi jednotlivými súbormi pri
Friedmanovom teste použijeme Tukeyho metódu. Pri Tukeyho metóde porovnáme i-ty a jty súbor pre každé i, j , kde i, j = 1,2,..., k , i ≠ j , podľa nasledujúceho postupu. Pre
každú dvojicu porovnávaných súborov vypočítame priemerné poradia
nj
ni
Tj
T
Ti = i a T j =
, kde Ti = Tir a T j = T jr .
ni
nj
r =1
r =1
∑
∑
Testovacím kritériom nulovej hypotézy H 0 , že rozdelenia súborov i a j sú
rovnaké, je absolútna hodnota rozdielu ich priemerných poradí: D = Ti −T j .
Testovanú hypotézu H 0 zamietame na hladine významnosti α , ak D > C, kde
k
N ( N + 1) ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟
, N=
ni .
+
⎜ ni n j ⎟
12
i =1
⎝
⎠
Pre ilustráciu uvedieme vyhodnotenie výsledkov pozorovania, ktoré boli získané u
žiakov 1. ročníka ZŠ v Hlohovci v kategórii I, a to v prispôsobivosti školskému prostrediu.
Túto kategóriu sme analyzovali zvlášť u dievčat a zvlášť u chlapcov.
C =
χ α2 (k − 1).
∑
227
T. SLEZÁKOVÁ, B. STEHLÍKOVÁ, A. TIRPÁKOVÁ, D. MARKECHOVÁ
Pozorovaným znakom je teda prispôsobivosť školskému prostrediu. V programe
STATISTICA sme dostali nasledujúce vyhodnotenie Friedmanovho testu pre dievčatá.
Friedmanova ANOVA
N = 24
Premenná
Priemerné poradia
september
39,5
november
45,5
február
59
Test statistic = 13,524
p = 0,0016
Vo výstupnej zostave sú uvedené priemerné poradia pre každú úroveň, hodnota
testovacej štatistiky a hodnota pravdepodobnosti p (p - hodnota je pravdepodobnosť chyby,
ktorej sa dopustíme ak zamietneme testovanú hypotézu). Ak hodnota p je menšia ako 0,05,
na hladine významnosti α = 0,05 zamietame testovanú hypotézu. Keďže v našom prípade
je p = 0,0016, nulovú hypotézu H 0 zamietame. To znamená, že prispôsobivosť dievčat k
školskému prostrediu závisí od časového faktora. Aby sme zistili, v ktorých mesiacoch je
úroveń prispôsobivosti dievčat školskému prostrediu štatisticky významne odlišná,
použijeme Tukeyho test. Keďže n1 = n2 = n3 = 24, pre každú dvojicu súborov je kritická
hodnota C rovnaká, C = 14,79. Hodnotu χ α2 (k − 1) = χ 02,05 (2) = 5,99 sme vyhľadali
v tabuľke č.12.4 ([3]). Vypočítame hodnoty testovacieho kritéria D pre každú dvojicu
súborov:
september – november:
D = 39,5 − 45,5 = 6
november – február:
D = 45,5 − 59 = 13,5
september – február:
D = 59 − 39,5 = 19,5 *
Testom bol potvrdený štatisticky významný rozdiel v úrovni prispôsobivosti dievčat k
školskému prostrediu na ZŠ v Hlohovci medzi mesiacmi september a február.
Rovnako sme postupovali pri analýze výsledkov pozorovania tohto znaku u chlapcov
na ZŠ v Hlohovci. Na základe výsledkov, ktoré sme dostali použitím Friedmanovho testu
(hodnota testovacej štatistiky Q = 5,786 a p = 0,055), nulovú hypotézu H 0 nemôžeme
zamietnuť, t.j. pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné. Výsledky analýzy ukázali,
že na ZŠ v Hlohovci sa dievčatá vedeli lepšie prispôsobiť školskému prostrediu ako
chlapci.
Pomocou Friedmanovho testu boli vyhodnotené výsledky pozorovania získané na
ostatných základných školách. Dostali sme nasledovné výsledky. Na Alexyho a tiež aj na
Bethovenovej základnej škole v Nitre vyšli štatisticky významné rozdiely v úrovni
prispôsobivosti školskému prostrediu medzi mesiacmi september a február tak u dievčat
ako aj u chlapcov. Na ZŠ Benkova sa štatistická významnosť rozdielov v úrovni
pozorovaného znaku nepotvrdila. Na základnej škole v Leviciach boli zistené rovnaké
výsledky ako na základnej škole v Hlohovci.
Ďalšou sledovanou kategóriou bola kategória II - seba presadzovanie sa v novom
prostredí. Štatistickým vyhodnotením výsledkov pozorovania v tejto kategórii pomocou
Friedmanovho testu a Tukeyho metódy sme dostali nasledovné výsledky. Na základnej
škole v Hlohovci a na základnej škole Bethovenova v Nitre sme dostali štatisticky
významné rozdiely v úrovni seba presadzovania sa v novom prostredí medzi mesiacmi
september a február tak u dievčat ako aj u chlapcov. Na základnej škole Alexyho v Nitre
228
VYBRANÉ ŠTATISTICKÉ METÓDY V PEDAGOGICKOM VÝSKUME
sme dostali štatisticky významné rozdiely v úrovni seba presadzovania sa v novom
prostredí medzi mesiacmi september a február iba u dievčat, u chlapcov tieto rozdiely
neboli štatisticky významné. Naproti tomu na základnej škole Benkova v Nitre boli
zistené štatisticky významné rozdiely v úrovni seba presadzovania sa v novom prostredí
u chlapcov, a to medzi mesiacmi september - november a september - február, pričom
u dievčat pozorované rozdiely neboli štatisticky významné. Štatisticky významné rozdiely
v úrovni pozorovaného znaku z hľadiska časového faktoru na základnej škole v Leviciach
neboli pozorované ani u dievčat ani u chlapcov.
Ukázalo sa, že u niektorých detí sa objavili výrazné adaptačné ťažkosti hlavne
v prispôsobovaní sa školskému poriadku a vo vzťahu ostatných detí. Išlo predovšetkým
o deti zo sociálne slabších rodín a deti rómskeho pôvodu. Pre dieťa je veľmi bolestivé, ak
ho ostatné deti odmietajú. Učiteľ musí nájsť vhodný spôsob, ako ostatným deťom priblížiť
hodnotu každého dieťaťa. Je dôležité viesť detí k tolerancii.
V závere môžeme konštatovať, že niekedy nielen učitelia, ale i rodičia nevenujú
dostatočnú pozornosť formovaniu sociálnych kompetencií budúceho školáka.
Nedostatočne posilňujú zdravé sebavedomie dieťaťa, jeho vieru vo vlastné schopnosti pri
zdolávaní prekážok, ktoré sa môžu objavovať v školskom prostredí či už pri dosahovaní
školských výsledkov, pri nadväzovaní kontaktov s dospelými alebo vrstovníkmi.
Záver
Na záver by sme chceli zdôrazniť, že v príprave budúcich školákov je dôležité sa
sústrediť u nich na rozvíjanie schopnosti nadväzovať kontakty, vedieť sa presadiť
v skupine a na rozvíjanie zdravého sebavedomia. Učitelia a vychovávatelia by mali byť
pozorní a vnímaví k svojim žiakom a nežiadať od nich, aby sa správali ako dospelí. Je
dôležité podporovať ich záujem o učenie a o poznávanie nového. V neposlednom rade
zvyšovať u dieťaťa odolnosť voči záťaži. Zastávame však názor, že nielen dieťa má byť
pripravené na školu, ale aj učiteľ a rodič, ktorí mu vytvárajú podmienky na úspešný štart
na jeho dlhej ceste poznávania
LITERATÚRA
[1]
Anděl, J: Statistické metody. MATFYZPRESS, Praha (2003), ISBN 80-86732-08-9
[2]
Tirpáková, A.-Markechová, D.-Slezáková, T.: Použitie niektorých neparametrických
metód matematickej štatistiky pri vyhodnocovaní výsledkov pedagogického výskumu.
Zborník vedeckých prác z medzinár. vedec. konf. Matematika vo výučbe, výskume
a praxi 2003, FEM SPU, 2003, 227 – 231, ISBN 80-8069-203-3
[3]
Tirpáková, A.-Markechová, D.: Štatistika v praxi. FPV UKF v Nitre (2008),
390 strán, ISBN 978-80-8094-283-0
[4]
Vágnerová, M.: Kognitívní a sociální psychologie žáka základní školy. Praha: Portál.
(2001), 304 strán, ISBN 80-246-0181-8
229
T. SLEZÁKOVÁ, B. STEHLÍKOVÁ, A. TIRPÁKOVÁ, D. MARKECHOVÁ
PaedDr. Tatiana Slezáková, PhD.
Katedra pedagogiky
Pedagogická fakulta
Univerzita Konštantína Filozofa
Drážovská 4
SK-949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Beáta Stehlíková, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
230
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
APLIKÁCIE MATEMATIKY A GEOMETRIE V KARTOGRAFII
DARINA STACHOVÁ
ABSTRACT. The aim of this contribution is to acquaint the reader with a branch of
mathematical cartography that is interesting from the mathematical, but also from
constructional and geometrical point of view, and to argue that something as common as a
map can invoke pleasant esthetical experiences such as those associated with beautiful
works of art.
Kľúčové slová: zobrazenie, zobrazovacie rovnice, zemepisné súradnice, referenčná plocha
Úvod
Povrch zemského telesa je nesmierne členitý a zložitý a v modeloch krajinnej sféry je
ťažko zobraziteľný. Napriek mohutnému rozvoju geografických informačných systémov,
ktoré nám umožňujú detailnejší a dokonalejší pohľad na prostredie okolo nás zostáva
najbežnejšou formou zobrazenia krajiny mapa. Patrí medzi základné pomôcky v mnohých
odvetviach ľudskej činnosti a nemôžeme si bez nej predstaviť prácu mnohých odborníkov,
ani chvíle oddychu.
Matematická kartografia
Úlohou kartografie je konštrukcia máp Zeme a jej častí, na ktorých je zobrazený
zemský povrch spolu s reálnymi objektmi a javmi. Úlohou geometrie je dávať reálnym
objektom so spoločnými vlastnosťami spoločné meno, teda abstrahovať. Tým dáva
kartografii nástroje na tvorbu mapy geometrickým spôsobom, čo znamená, že to, čo je
vyjadritelné geometricky, musí byť tiež zobrazené geometrickým spôsobom. Metódami
zobrazovania geodetických systémov do roviny sa zaoberá matematická kartografia.
Matematická kartografia je časť kartografie zaoberajúca sa matematickými
a geometrickými základmi kartografických diel vo všeobecnom zmysle slova.
Matematická kartografia študuje proces transformácie priestorových súradníc objektov na
referenčných plochách a javov do roviny. Matematická kartografia sa zaoberá výpočtami
a konštrukciami slúžiacimi k prevodu zakriveného povrchu Zeme do roviny
prostredníctvom kartografických zobrazení. Matematika a geometria je teda teoretickou
základňou pre matematickú kartografiu.
Klasifikácia kartografických zobrazení
V tomto článku bude ako referenčná plocha Zeme používaná guľová plocha. Na
guľovej ploche budeme používať dva typy súradnicových sústav:
‰
zemepisné súradnice bodu M = [φ, λ], kde φ je zemepisná šírka (severná, južná
počítaná od roviny rovníka) a λ je zemepisná dĺžka (východná, západná počítaná od
roviny danej zemskou osou a nulovým bodom – Greenwich),
Tento príspevok vznikol s podporou projektu KEGA SR číslo 3/7090/09.
231
DARINA STACHOVÁ
‰
priestorové pravouhlé súradnice (O, x, y, z), kde O je stred referenčnej plochy, os z je
zemská os.
Ak nultý poludník leží v rovine (x, z), potom vzťah medzi zemepisnými (sférickými)
[r, φ, λ] a pravouhlými [x, y, z] súradnicami bodu je vyjadrený nasledujúcimi vzťahmi:
x = r ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ , y = r ⋅ cos ϕ ⋅ sin λ ,
z = r ⋅ sin ϕ .
Obrázok 1: Zobrazenie sférických súradníc bodu na referenčnej ploche
Kartografické zobrazenie je sústava metód a výpočtov k prevedeniu zemepisnej siete
do roviny mapy. Kartografické zobrazenie je presne definované svojimi zobrazovacími
rovnicami, ktorých všeobecný tvar je x = f (ϕ , λ ) , y = g (ϕ , λ ) . Celkom je ich asi 300
druhov, z nich je asi 50 jednoduchých, ale prakticky sa používajú iba niektoré. Pretože
existuje také veľké množstvo kartografických zobrazení, je potrebné ich triediť podľa
spoločných hľadísk, akými sú napr. zobrazovacia plocha, poloha zemskej osi, skreslenie.
Obrázok 2: Azimutálne zobrazenie – zobrazovanie referenčnej plochy do roviny
Obrázok 3: Cylindrické zobrazenie – zobrazovanie referenčnej plochy na valec
Obrázok 4: Kónické zobrazenie – zobrazovanie referenčnej plochy na kužeľ
232
APLIKÁCIE MATEMATIKY A GEOMETRIE V KARTOGRAFII
Zobrazovacie rovnice jednoduchých zobrazení sú rovnice len jednej súradnice
referenčnej plochy. Napríklad rovinné súradnice aj skreslenia sú
x = n ⋅ λ,
y = g (ϕ ) .
Ako je známe z historických prameňov za najstaršiu kartografickú pamiatku možno
považovať geografický náčrtok osady lovcov mamutov z oblasti Pavlovských vrchov,
ktorého vek sa odhaduje na 24 000 rokov. Vedecké základy kartografie sa rodili
v klasickom Grécku v období niekoľko storočí pred naším letopočtom. Vtedy boli
položené základy geometrie, fyziky a iných vedných disciplín, spojené s menami
Strabón, Euklides, Pythagoras, Archimedes, Eratosthenes, Ptolemaios, Thales
a s mnohými ďalšími. Ostatne slovo kartografia nemá svoj grécky pôvod náhodne.
Ďalším veľkým impulzom pre rozvoj kartografie bolo obdobie veľkých zámorských
objavov v rokoch 1492-1522. Preto sú mnohé kartogafické zobrazenia pomenované
podľa svojho tvorcu. Napríklad:
o
Azimutálne Lambertovo zobrazenie – Johan Heinrich Lambert (1772) –
v rovníkovej a vo všeobecnej polohe majú obrazy rovnobežiek a poludníkov zložité
krivky – je využívané asi pre 15% všetkých máp v atlase, zachováva plochy.
Zobrazovacie rovnice tohoto zobrazenia sú:
ε =λ,
ρ = 2r ⋅ sin(ϕ / 2) ,
kde ρ a ε sú polárne súradnice na mape.
Obrázok 5: Pólová poloha – Azimutálne Lambertovo zobrazenie
o
Azimutálna ortografická projekcia – Apollonius (3. storočie pred naším letopočtom)
– zachováva dĺžka pozdĺž rovnobežiek, v rovníkovej polohe sú priemety poludníkov
časti elíps a priemety rovnobežiek rovnobežné úsečky. Vo všeobecnej polohe sú
priemety poludníkov aj rovnobežiek elipsy. Zobrazovacie rovnice majú tvar:
ε =λ,
ρ = r ⋅ sin ϕ .
Obrázok 6: Pólová poloha – Azimutálna ortografická projekcia
233
DARINA STACHOVÁ
o
Ptolemaiovo kónické zobrazenie – Klaudios Ptolemaios (2. storočie n. l.) –
zachováva dĺžky poludníkov a dĺžku dotykovej rovnobežky pre ϕ = 45 . Je používané
asi pre 40% všetkých máp v školských atlasoch. Jeho zobrazovacie rovnice sú:
ε = λ ⋅ cos ϕ 0 ,
ρ = r ⋅ [tgϕ 0 − (ϕ − ϕ 0 )] .
Obrázok 7: Ptolemaiovo kónické zobrazenie
o
Delislovo kónické zobrazenie – Jozef Nicholaus de l’Isle (1745) – zachováva dĺžky
dvoch rovnobežiek a dĺžky všetkých poludníkov. Plochy a uhly skresľuje menej než
Ptolemaiovo zobrazenie.
Obrázok 8: Delislovo zobrazenie
o
Marinovo cylindrické zobrazenie – Marinos z Tyrku (3. storočie pred naším
letopočtom) – zachováva dĺžky poludníkov a rovníka, veľké skreslenie na póloch. Jeho
zobrazovacie rovnice pri vyjadrení sférických súradníc v oblúkovej miere sú:
x = r ⋅λ ,
y = r ⋅ϕ .
Obrázok 9: Marinovo zobrazenie
234
APLIKÁCIE MATEMATIKY A GEOMETRIE V KARTOGRAFII
o
Mercatorovo cylindrické zobrazenie – Gerhard Mercator (1569) – zachováva uhly,
využíva sa pre navigačné mapy, nie je možné zobraziť póly, má veľké plošné
skreslenie. Má zobrazovacie rovnice v tvare:
x = r ⋅λ ,
y = r ⋅ ln (cotg(ϕ / 2) ) .
Obrázok 10: Mercatorovo zobrazenie
o
Mercatorovo-Sansonovo zobrazenie – autor Johan Cossin – pseudocylindrické
zobrazenie vychádzajúce z Marinovho zobrazenia – obrazy poludníkov sú polovice
sínusoid, zachováva dĺžky na rovnobežkách a základnom poludníku, ktoré zobrazuje
do úsečiek. Jeho zobrazovacie rovnice sú:
x = r ⋅ λ cos ϕ ,
y = r ⋅ϕ .
Obrázok 11: Mercatorovo-Sansonovo zobrazenie
o
Bonneovo zobrazenie – Rigobert Bonne (1752) – je pseudokónické zobrazenie
vytvorené z Ptolemaiovho, zachováva dĺžky na rovnobežkách a základnom poludníku.
Obrázok 12: Bonneovo zobrazenie
235
DARINA STACHOVÁ
o
Hasslerovo polykónické zobrazenie – Ferdinand Rudolph Hassler (19. storočie) –
rovnobežkové kružnice sa zobrazia do nesústredných kružníc, zachováva dĺžky na
rovnobežkách a na základnom poludníku.
Obrázok 13: Hasslerovo zobrazenie
Záver
Cieľom tohoto článku bolo oboznámiť čitateľa s časťou matematickej kartografie,
ktorá je zaujímavá z hľadiska matematického, aj z hľadiska konštrukčného –
geometrického. Článkom sme chceli poukázať aj na to, že niečo také bežné, ako je mapa,
môže vyvolávať príjemné estetické zážitky ako pri prehliadke galérie.
Úspešné zvládnutie teoretických základov kartografie predpokladá úspešné zvládnutie
učiva predmetov ako je matematika, deskriptívna geometria, fyzika, apod. Kým sa snaží
tretí svet dobiehať Európu a Ameriku prostredníctvom podpory matematizácie
vyučovacieho procesu, čo je zreteľné z umiestnení na matematických a iných súťažiach,
u nás sa matematike na stredných a základných školách zužuje pole pôsobnosti.
V poslednom období sa často skloňuje pojem „kvalita školy“. Kvalitu školy snáď najlepšie
vystihuje úspešnosť jej absolventov a v tomto sa v medzinárodnom merítku bohužiaľ
nemáme s čím pochváliť.
LITERATÚRA
[1]
Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.: Deskriptivní geometrie II, Praha, SNTL, 1979,
ISBN 04-007-79
[2]
Kadeřávek, F.: Geometrie a umění v dobách minulých, Praha, Půdorys, 1997, ISBN
80-90791-5-6
[3]
Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, Bratislava, Alfa,
1978, ISBN 63-552-76
[4]
Vajsáblová, M.: Kartografické zobrazenia z pohľadu konštruktívnej geometrie,
Zborník zo seminára o počítačovej geometrii SCG'99, Kočovce, 1999
RNDr. Darina Stachová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Žilinská univerzita v Žiline
Univerzitná 1
SK – 010 26 Žilina
e-mail: [email protected]
236
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ON WHAT CATEGORY THEORY IS ABOUT
JAROMÍR SUCHÁNEK
ABSTRACT. Categories and functors are a standard discipline of mathematics devoted to
homomorphisms of structures between different branches of mathematics. Provided that
any branch of mathematics is an extract of formal rules governing practical applications
of the branch, category theory is an extract of these extracts of human practical experiences.
We will backward search practical applications of this extract of extracts.
1. Evolutionary limit structures: cones, their limits and celestial mechanics
A category [1, 2, 3] consists of objects (e.g., groups) and arrows or morphisms
between them (e.g., homomorphisms between the groups). Category theory abstracts away
from elements treating objects as black boxes with unexamined internal structure and
focusing attention on the properties of arrows between the objects, which agrees with our
approach from physical surroundings as the whole to parts of living nature. Power of our
approach consists in a combination of elegance and draught of mathematics and physics
with attractiveness of biology and acuteness of politics.
Let I and C be categories. A source in C is a pair (S, {si} i∈Ob(I) ), where S is a Cobject and {si: S → Si} i∈Ob(I) is a collection of arrows in C each with a domain S. Any
dual notion has all arrows opposite to arrows in the original notion. A sink in C is the dual
notion to a source in C and is denoted by ({si} i∈Ob(I) , S). Sinks will usually represent
structures or processes of their formation or maintenance, while sources will usually
indicate movements or forces.
A diagram D in a category C is a collection of vertices and directed edges,
consistently labeled with objects and arrows of C, where "consistently" means that if
an edge in the diagram is labeled with an arrow f and f has domain A and codomain B, then
the endpoints of this edge must be labeled with A and B. For example, sources and sinks
are diagrams.
Definition 1.1. Let C be a category and D a diagram in C. A cone for D is a source
{si: S → D(i)} in C (one arrow si for each object D(i) in D) such that for each arrow f: D(i)
→ D(j) in D it is valid that for each x∈S: f ° si(x) = sj(x), i.e., that the triangle
si
D(i)
f
S
sj
D(j)
commutes.
A complex of mechanical objects D(i) in physics or biology can be described by
a diagram D. Objects of such a complex typically evolves along divergent trajectories
(S, {si}) initially due to a spontaneous increase of entropy or expansion of the complex.
237
JAROMÍR SUCHÁNEK
Naturalness relative to an arrow f guaranteed by Definition 1.1 means that if an object D(i)
is dislocated from its trajectory si to a trajectory sj by the morphism f, it will follow
the trajectory sj in the same way as if it followed this trajectory from the beginning. This
means that both objects D(i) and D(j) are under influence of the same situation or force
with very similar characteristics in both locations in most of the cases. For example,
the arrow f can represent gravity or survival pressure.
Definition 1.2. A limit for a diagram D is a cone {li: lim → D(i)} with the property
that if {si: S → D(i)} is another cone for D then there is a unique arrow h: S → lim such
that the triangle
S
h
!
e.g., gravity
lim
si
li
D(i)
commutes for every D(i) in D. (An exclamation mark indicates the uniqueness of the arrow
h.)
For example, any product is a special case of a limit. Our universe is isotropic and
homogenous at its greatest scale and is expanding as the whole. Gravity is what locally
acts against this expansion and forms solar systems, galaxies, clusters and groups
of galaxies and their superclusters arranged into sheets and filaments surrounding vast
empty voids. Any of these structures is an example of a limit represented by ‘lim’ in
the previous diagram. No celestial body except black holes can contract ad infinitum,
which causes a pressure within the accreted body. Nebulae can have various forms and
composition. However, when some of their matter concentrates in a star, its form and
evolution of its composition becomes determined by a few of its initial parameters such as
its mass. Therefore, stars represent some qualitative unification relative to nebulae in
evolution of our universe as one would expect from limits.
In analogy, animals that did not endeavor to expand have already become extinct.
When they fight against themselves to survive, they chiefly use their mechanical weapons,
i.e., legs, hands, teeth, etc., under gravity within classical mechanics. They eventually meet
at some center, e.g., a river in an arider country, where a survival pressure gets strongest.
The structures that arise and strengthen under this pressure, e.g., skeletons of the animals,
are also limits. In effect, all evolutionary biology with its morphological and physiological
adaptations is about limits.
Mechanical objects typically move along divergent trajectories of some cone initially
due to a spontaneous increase of their entropy or expansion of their complex. Nevertheless,
it usually cannot be performed ad infinitum. For example, when waters are flowing down
hills, their streams form divergent cones. However, a surface of the Earth is finite and
hence brooks and rivers have to converge eventually, e.g., in a valley or on the level of
a sea, which are limits.
There are many cones (S, si) considered in Definition 1.2 and so the dashed arrow h in
its diagram represents a sink that converges to the unique limit ‘lim’. This sink will be
called a limit sink. It often not only concentrates matter but also organizes it into a more
complex evolutionary (limit) structure. (As has already been noticed above, any sink
concerns structure or process of its formation or maintenance in this paper.) Evolutionary
238
ON WHAT CATEGORY THEORY IS ABOUT
limit structures are typically shaped by some kind of pressure, e.g., gravity or survival
pressure.
Movements and forces are usually described by differential equations. Motional
transformations of structures in some space of states are described by a functor Hom(X, Y)
in the most general sense, where X is an initial conformation of such structure, Y is its
final conformation and a functor Hom specifies how much structure of the state X remains
preserved in the state Y and in which way.
Our universe is built of bosons and fermions. The bosons are transmitters of 4 physical
interactions. There are 2 kinds of fermions: protons and neutrons are examples of heavy
hadrons, while electrons are examples of light leptons.
Categories and functors used at a general level of this paper will have a prefix E-.
Proposition 1.1. A stage of motion precedes a stage of structures in a limit E-functor:
Hom
a limit sink,
e.g.,gravity
(1)
{expanding conesb ⎯⎯⎯→ evolutionary limit structuresflim}
where ‘b’ means an area of bosons or adaptation to it and ‘flim’ means limits among
fermions or adaptations to them. 1) This E-functor concerns a complex of mechanical
objects initially expanding or being distributed by entropy along divergent trajectories but
remaining under influence of some common situation or force (indicated by f in a cone
of Definition 1.1). A period of appropriate motional arrangement of these objects is the 1st
stage of this E-functor. 2) Local attractors of this force eventually concentrate parts of such
expanding or distributed cones and organize them into more complex evolutionary limit
structures, interactions and collisions between which are then governed by some kind
of mechanics during the 2nd period of the E-functor.
Motion of included objects is chiefly governed by the principle of the least action.
evolutionary
structures,
e.g., mechanical
systems on a celestial body
Hom(gravity,-)
It could be simplified to a rule: “Divergent motional cones under influence of some
common force are eventually caught by its local attractors organizing them into more
complex evolutionary limit structures, interactions between which are then governed
by some kind of mechanics”.
All classical and most of the relativistic physics and all evolutionary biology are about
limit E-functors (1) and evolutionary limit structures. They are mostly of the biggest sizes
among a given class of systems or at least are nearer to these upper bounds of sizes.
Although limits ‘lim’ are defined among objects of one category in Definition 1.2, it is
clear that they can be extracted from a diagram D into a subcategory or separate category.
Two E-categories participating in any limit E-functor (1) are indicated by lower indices,
while upper indices denote two E-categories of a colimt E-functor (2).
239
JAROMÍR SUCHÁNEK
2. Quantum colimit structures: nucleons and electrons in an ATOM
A cocone is the dual notion to a cone. For example, an atom consists of its nucleus and
electrons, i.e., of some parts D(i) described by a diagram D. A cocone si: D(i) → S of its
parts means that it remains stable and the same essentially under many various
transformations f: D(i) → D(j) from one constellation of its parts to another. For example,
electrons are physically undistinguishable one from another and hence can be interchanged
one with another in an atom or jump to excited states. So are protons, neutrons and other
elementary particles. Our universe is qualitatively homogenous at its most elementary
level. In an atom, the arrow f represents an electrostatic potential that keeps its parts D(i)
together. Variations of a potential cocone are some centripetal analogues to centrifugal
variations of an expanding or scattered cone of some complex of mechanical objects.
A colimit is the dual notion to a limit. For example, any coproduct is a special case
of a colimit. Lighter nuclei can be fused into heavier nuclei and atoms and smaller
compounds can be bound into more complex compounds. Electron orbitals in an atom are
numbered by irreducible representations of a group SO(3)×SO(3), where SO(3) is a group
of all rotations in 3-dimensional space [4]. One SO(3) describes rotational symmetry of
the Hamiltonian of a hydrogen atom, while the second SO(3) fixes a Runge-Lenz vector of
the major axis of orbital ellipse in order not to precess. Because only s and p-orbitals
participate in chemical bounds, these 22 orbitals are sufficient for understanding of
chemical compounds. They form some alphabet of chemistry and are examples of quantum
(colimit) structures represented by ‘colim’ in the previous diagram. Any chemical can be
decomposed into its atoms but not into its elementary particles under typical chemical
circumstances. In analogy, any atomic nucleus can decay into its nucleons but never into
its quarks. Each nucleon consists of 3 quarks and each meson of 2 quarks. A quark
composition of baryons and mesons is sufficient for an explanation of their behavior in
nuclear reactions, i.e., quarks are quantum colimit structures of nuclear reactions.
Analogous colimits appeared in biology. Indeed, there are 20 light amino acids plus
initiating and terminating signals (or plus rare amino acids selenocystein and pyrrolysine)
in the genetic code and any codon is a triplet of heavy nucleotides: coded amino acids are
quantum colimit structures and so are codons of nucleic acids. All such colimits are
typically quantum or at least describable by more or less advanced algebra assumed from
quantum mechanics.
There are many cocones (si, S) considered a colimit and so the dashed arrow h in its
diagram represents a source that springs from the unique colimit ‘colim’. This source will
be called a colimit source. Cocones that are kept together by electromagnetic or strong
interaction or adaptations to them interact between themselves and grow along this colimit
source, e.g., as a homeostasis of a cell, a tree of a plant, a phylogenetic tree of organisms,
etc. Similar processes in physics and quantum chemistry are often described with help of
a tensor product ⊗. For example, let U and V be spaces of quantum states of systems U and
V, respectively. Then a space of quantum states of a combined system UV is a tensor
product U ⊗ V [4]. Although a colimit is the dual notion to a limit, there is no isomorphism
between limits and colimits.
Evolution of quantum structures advances chiefly through excited states. For example,
a transition state in catalysis is the difference between the free energy of reactants and
the highest free energy state that the reactants must reach before being converted to
products. An enzyme lowers the free energy of the transition state, although it does not
change the free energy of a substrate or a product. This principally differs from
the situation of objects concerning evolutionary structures, which chiefly flow down
240
ON WHAT CATEGORY THEORY IS ABOUT
“brooks” according to the principle of the least action. This difference well illustrates why
we need two basic functors, Hom and ⊗, to comprehend complexity of our world.
Proposition 1.2. A stage of structures precedes a stage of motion in a colimit Efunctor:
⊗
e.g., chemical or
biological growrth
e
su nerg
pp y
lie
s
{establishment of quantum colimit structuresfcolim ⎯⎯→ growthb}
(2)
where ‘fcolim’ means colimits among fermions or adaptations to them and ‘b’ means an
area of bosons or adaptation to it. 1) All matter of our universe is built of elementary
particles and atoms. Similar quantum colimit structures also appeared in molecular
biology, e.g., nucleic and amino acids, ATPs, cells, etc. A period of their establishment,
evolution and usage is the 1st stage of this E-functor. 2) Cocones of these elementary
complexes and simpler quantum structures combine among themselves together into more
complex structures, which then grow along a colimit source of divergent trajectories often
being propelled by some energy supplies during the 2nd period of the E-functor.
Evolution of quantum structures advances chiefly through excited states.
It could be simplified to a rule: “Quantum colimit structures and elementary complexes
are firstly established and then combine among themselves together to grow along
a colimit source of divergent trajectories step by step”.
For example, a homeostasis of a cell, a tree of a plant, a phylogenetic tree of
organisms, etc. are based on and grow from nucleic and amino acids, ATPs, cells, etc.,
which were established and improved in the 1st stage of this E-functor. All quantum
physics, chemistry and molecular biology are based on quantum colimit structures.
elementary complexes are mostly the smallest structures among a given class of systems: it
is an ATOM in physics, a CELL in biology and a BRAIN in human societies.
It is again clear that colimits ‘colim’ can be extracted from a diagram D into
a subcategory or separate category and so a colimit E-functor (2) embraces two
E-categories, whose order cannot be interchanged in evolution. So is it with the two
E-categories of a limit E-functor (1). Nevertheless, (1) can precede (2) or follow after it in
evolution. Although Propositions 1.1-2 only reflect an obvious difference between
evolutionary and molecular biology and look quite innocent, they provide powerful
mathematical machinery working behind the scene.
This formal apparatus has turned out very useful in describing of common features in
physical, biological and social evolution [5]. The author was invited to the Santa Fe
Institute, NM, to present his achievements as an international fellow. They will be outlined
on the lecture together with software introduced in our paper [6] devoted to biological
applications.
241
JAROMÍR SUCHÁNEK
BIBLIOGRAPHY
[1]
Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. Springer Verlag, Berlin.
1971.
[2]
Herrlich, H.; Strecker, G.E. Category Theory. Heldermann Verlag, Berlin, 1979.
[3]
Pierce, B.C. Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press, Cambridge,
1991.
[4]
Greiner, W.; Müller, B. Quantum Mechanics: Symmetries. Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, 1994.
[5]
Gell-Mann, M. The Quark and the Jaguar. W.H. Freeman & Co., N.Y., 1995.
[6]
Foltan, J.S. tRNA genes and the genetic code. J. Theor. Biol. 2008, 253, 469-482.
Mgr. Jaromír Suchánek
Katedra informatiky
Fakulta mechatroniky
Trenčianska Univerzita A. Dubčeka
Študentská 1
SK – 911 501 Trenčín
e-mail: [email protected]
242
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
NIEKTORÉ PSYCHOLOGICKÉ PROBLÉMY VYUČOVANIA GEOMETRIE
ONDREJ ŠEDIVÝ, DANA MALÁ
ABSTRACT. The psychological bases and their role in developing imagination in solid
geometry are introduced in the paper. Their role is important in developing geometrical
imagination, too. There are some recommendations for teaching this part of mathematics at
the first classes of elementary education and in study programs of mathematics for future
teachers of elementary schol as the outcomes of the paper.
V praktickom živote často počujeme kritiku na vyučovanie matematiky. Spomína sa
vážny nedostatok, ktorý spočíva v nízkej kvalite matematických vedomostí. V práci žiakov
prevláda imitácia a reprodukcia nad tvorivosťou a špekuláciou pri riešení úloh. Poznatky
žiakov sú najviac uchovávané v pamäti ako viacmenej izolované fakty. Vedomosti sú
formálne, sú nedostatočne štrukturované a ich aplikačná sila je nízka.
Nižšia kvalita matematických poznatkov znepokojuje didaktikov matematiky a títo
hľadajú cesty ako zdokonaliť poznávací proces, ako efektívnejšie dieťaťu otvoriť svet
matematiky, ako vytvoriť podmienky pre lepšie postupné zmocňovanie sa tohto
matematického sveta. Preto sa treba vážne zaoberať otázkami: Ako sa človek zmocňuje
matematického poznatku? Aké faktory sú pre zrod nového poznatku rozhodujúce?
V našom príspevku nemôžeme v plnom rozsahu odpovedať na položené otázky.
Pokúsime sa poukázať aspoň na niektoré skutočnosti, ktoré vyplývajú zo psychologických
základov poznávacieho procesu.
Vzhľadom na to, že najviac sa budeme orientovať na geometriu a zvlášť na priestorovú
geometriu, pripomenieme východiská pre ňu.
Priestorovú predstavivosť budeme chápať ako súbor schopností jednotlivca
rozvíjajúci sa v interakcii s prostredím na základe učenia sa a skúsenosť zaisťujúcu presné
vnímanie vizuálneho sveta. To znamená vybaviť si, vytvárať a uchovávať v mysli
geometrické formy, manipulovať s nimi, predvádzať ich, zoskupovať, transformovať, robiť
grafický záznam priestorovej situácie, modelovať ju, orientovať sa v trojrozmernom svete.
Pozornosť je nástroj, prostredníctvom ktorého aktívne spracovávame ohraničené
množstvo informácií z „obrovského“ množstva údajov v dlhodobej pamäti, ako aj
informácií dopadajúcich na naše zmyslové systémy.
Vedomie je pocit, že si niečo uvedomujeme, tak aj obsah toho, čo si uvedomujeme.
Rad kognitívnych procesov možno triediť podľa toho, či vyžadujú vedomú pozornosť
alebo ju nevyžadujú. Automatické procesy vykonávame takmer bez vedomej pozornosti,
vyžadujú len málo alebo žiadne úsilie, dokonca nevyžadujú ani zámer. Kontrolované
(riadené) procesy sú naproti tomu nielen prístupné vedomej kontrole, dokonca ju
vyžadujú. Činnosti tohto druhu prebiehajú po častiach, časovo viditeľné krok za krokom.
Mnohé automatické procesy v skutočnosti začínajú ako procesy riadené, automatizujú sa
až po nejakej dobe. Riadené procesy vyžadujú cielené úsilie, plnú vedomú pozornosť,
spotrebovávajú mnoho zdrojov pozornosti, prebiehajú krok za krokom, vyžadujú
neprecvičené náročné úlohy s mnoho premennými znakmi.
243
ONDREJ ŠEDIVÝ, DANA MALÁ
Vráťme sa k pozornosti. Vedomá pozornosť má tri hlavné funkcie:
detekuje signály – sem spadá bdelosť a schopnosť vyhľadávať, v rámci ktorej
•
musíme určiť, že sa nejaký podnet objavil,
•
selektívna alebo výberová – zvolíme podnety, ktorým budeme venovať
pozornosť a ktoré budeme ignorovať,
•
delenie pozornosti - uvážlivo rozdeľujeme pozornostný potenciál.
V rámci prvej funkcie je dôležité vyhľadávanie, čo je prehľadávanie prostredia za
účelom zistenia nejakých znakov – aktívne hľadáme niečo, o čom nie sme istí, kde sa to
objaví. Pri vyhľadávaní môžeme odpovedať falošným poplachom, ktorého príčinou bývajú
rozptyľujúce podnety – distraktory. Sú to necieľové podnety, ktoré vzďaľujú pozornosť od
cieľového podnetu.
Pre vyučovanie geometrie (nielen pre vyučovanie geometrie) je dôležité zrakové
vyhľadávanie a hmatové vyhľadávanie. Obr. 1a, b, c, d1)
Miera náročnosti vyhľadávania závisí od početnosti vyobrazení.
Na obr. 1 a, b nájdite T.
Obr. 1a, b
Na obr. 1c nájdite O, na obr. 1d nájdite T.
Obr. 1c, d
1)
Pozri J. Sternberg: Kognitivní psychologie, Portál, 2002, Praha.
244
NIEKTORÉ PSYCHOLOGICKÉ PROBLÉMY VYUČOVANIA GEOMETRIE
Na obr. 1e nájdite čierny krúžok.
Obr. 1e
Aké poučenie z týchto obrázkov môžeme využiť vo vyučovaní matematiky?
Ak chceme, aby žiaci objavili určitú vlastnosť alebo vzťah, treba ho určitým spôsobom
v pojmotvornom procese zvýrazniť, použiť také pracovné metódy s také vyobrazenie, na
ktorých znak, vlastnosť alebo vzťah možno nájsť. Možno použiť medzi separovanými
modelmi aj taký, na ktorom ten znak, vlastnosť alebo vzťah nie je.
Pri pozorovaní a vnímaní je dôležité uvedomiť si stálosť veľkosti a stálosť tvaru. Obe
sú závislé na vnímaní vzdialenosti. Stálosť veľkosti sa týka vzdialenosti predmetu
vnímanej pozorovateľom. Stálosť tvaru sa naproti tomu týka vzdialenosti jednotlivých
častí predmetu vnímaného pozorovateľom.
Na obrázku vidíme dvere aj s rámom. Dvere sú najskôr zavreté, potom málo alebo
značne pootvorené až otvorené. Nezdá sa však, že by dvere na jednotlivých obrázkoch
menili tvar. Vskutku by bolo zvláštne, keby sme v priebehu ich otvárania vnímali, že sa
mení tvar. Napriek tomu sa však tvar dverí dopadajúcich na sietnicu očí v priebehu
otvárania dverí mení.
V ďalšom sa zameriame na rozdielnosť poznatkov reprezentovaných v mentálnych
obrazoch a poznatkov reprezentovaných symbolickou formou ako sú slová alebo iné
symboly. Obrázky dobre reflektujú konkrétne a priestorové informácie tým, že sa podobajú
predmetom, ktoré reprezentujú. Slová dobre reprezentujú abstraktné a kategorizujúce
informácie tým, že symbolizujú javy, ktoré reprezentujú. Obrazová reprezentácia prináša
všetky znaky javu simultánne. Všeobecne povedané, akékoľvek pravidlá pre tvorbu
245
ONDREJ ŠEDIVÝ, DANA MALÁ
a pochopenie obrázku vychádza z analogizujúceho vzťahu medzi obrázkom a javom
(predmetom), ktorý je obrázkom reprezentovaný.
Predstavy sú mentálne reprezentácie tých vecí (predmetov, udalostí, javov), ktoré
v okamžiku reprezentácie nie sú vnímané zmyslovými orgánmi. Predstavy môžu, dokonca
reprezentovať veci, ktoré si človek v mysli vytvoril, mimo mysle však neexistujú.
Dôležitá je reprezentácia poznatkov. Táto reprezentácia môže byť uskutočnená rôznym
spôsobom: napr. slovom, popisom, symbolom, obrázkom alebo výrokom.
Pri výučbe matematiky je zvlášť dôležité o to, aby použitá reprezentácia bola
adekvátnym vyjadrením toho, čo má reprezentovať. Napr. je nakreslený obrázok obrázkom
kocky?
Odpoveď na otázku musí vychádzať z poznatkov zobrazovacej metódy.
Ďalšou dôležitou skutočnosťou je možné rôzne vyjadrenie tej istej skutočnosti.
Všimnime si obrázok.
Výsledok pozorovania je:
1. kružnica vpísaná do štvorca,
2. štvorec opísaný kružnici,
3. štvorec je dotyčnicový štvoruholník.
Všetky tri vety určujú rovnaký vzťah ako vyjadrenie tej istej skutočnosti.
V ďalšom sú uvedené dva obrázky telies vo voľnom rovnobežnom premietaní. Máme
rozhodnúť, či obrázky reprezentujú rovnaké teleso, alebo sú to reprezentácie rôznych telies
a konkrétne akých?
246
NIEKTORÉ PSYCHOLOGICKÉ PROBLÉMY VYUČOVANIA GEOMETRIE
Predstavivosť sa týka mentálnych reprezentácií vo všetkých senzorických modalitách.
Nás budú zaujímať najviac zrakové predstavy, prípadne sluchové a hmatové predstavy.
Často pri predstavách sa dostavuje problém „vzťah celku a častí“. Ak sa pozrieme na
nasledujúci obrázok a potom ho zakryjeme, čo sa nám vybaví? Určite zostane ako celok,
možno si spomenieme na menšie trojuholníky, prípadne bude jeho súčasťou aj
rovnobežník.
Niektoré obrázky môžu pôsobiť dvojznačne. To znamená, že mentálne reprazentácie
obrázkov nie sú totožné vnemami.
a)
b)
c)
S predstavami môžeme mentálne manipulovať. Stretávame sa s hypotézou funkčnej
ekvivalencie. Teda vizuálna predstavivosť so zrakovým vnímaním nie je identická, je však
s ňou ekvivalentná.
Vo vyučovaní sa stretávame s úlohami, v ktorých sú nakreslené dva (resp. viac)
obrázkov a máme rozhodnúť, či útvary uvedené na obrázkoch sú vyobrazeniami toho
istého predmetu.
247
ONDREJ ŠEDIVÝ, DANA MALÁ
Na nasledujúcom obrázku sú dvojice telies vytvorených z jednotkových kociek.
Máme rozhodnúť, v ktorej dvojici je jedno teleso obrazom druhého telesa pri istom
pohybe. Toto riešenie máme vykonať len vo svojich predstavách.
Pri riešení tejto úlohy používame tzv. mentálnu rotáciu. Táto mentálna
transformácia odpovedá obdobným transformáciám objektov a vnemov. Zraková
predstavivosť je funkčným ekvivalentom zrakového vnímania čo do procesov, ktoré pre
obidve funkcie zrakový systém používa. S týmito skutočnosťami môžu vzniknúť možné
otázky, napr.
•
Sú vlastnosti predstáv analogické vlastnostiam vnemov?
•
Konštrukcia zložitejších mentálnych predstáv trvá dlhšiu dobu než konštrukcia
jednoduchších predstáv?
Všeobecne je dokázané, že už v rannom veku dochádza k rozvoju základných
priestorových schopností, ktoré sú základom geometrie. Súčasťou tejto schopnosti je aj
priestorová predstavivosť – schopnosť orientovať sa v okolí a mentálne manipulovať
s predstavami rôznych objektov.
248
NIEKTORÉ PSYCHOLOGICKÉ PROBLÉMY VYUČOVANIA GEOMETRIE
Psychologické výskumy zistili:2)
rýchlosť mentálnej rotácie sa s vekom zvyšuje,
•
•
rotácia známych objektov je omnoho rýchlejšia než neznámych,
•
mladšie a staršie deti rýchlejšie reagujú pri úlohách týkajúcich sa mentálnej
rotácie ak majú príležitosť precvičovať ich,
•
precvičovanie zrýchľuje reakčné časy a vedie k tomu, že mentálna rotácia
môže byť až automatickým procesom,
•
starnutie môže viesť k predĺženiu reakčného času,
•
zraková predstavivosť môže zahŕňať dva vymedzené systémy mentálnej
reprezentácie: jeden systém spracováva nepriestorové zrakové aktivity (napr.
farba a tvar), druhé aktivity výlučne priestorové (napr. umiestnenie, orientácia
v priestore, porovnávanie veľkosti a vzdialenosť),
•
podľa hypotézy dvojakého kódovania existujú dva odlišné kódy reprezentácie
poznatkov – jeden kóduje predstavy, druhý slová a ostatné symboly. Predstavy
sú reprezentované v podobe analógií foriem, ktoré zmyslovo vnímame.
Naproti tomu sú slová a pojmy kódované v symbolickej podobe, ktoré
analógiou nie sú.
•
Používanie zrakových predstáv nemusí vždy ihneď viesť k úspešnému riešeniu
niektorých úloh vyžadujúcich mentálnu manipuláciu abstraktných alebo
dvojznačných obrazcov – pokiaľ riešenie neuľahčí ich kontext.
Čo z týchto teoretických východísk môže ovplyvniť koncepciu vyučovania geometrie.
1.
Výučba geometrie od 1. ročníka by mala vychádzať výlučne zo skúseností dieťaťa.
Za tým účelom je potrebné zrušiť na 1. stupni ZŠ v koncepcii štruktúry geometrie
delenie na planimetriu a stereometriu. Pri výučbe treba vychádzať z geometrických
tvarov a útvarov. Predkladať dieťaťu (žiakovi) rôzne geometrické tvary a hľadať
v prostredí dieťaťa reálne predmety týchto tvarov. Umožniť zoznámenie sa s týmito
tvarmi a útvarmi, nechať ich manipulovať s nimi, objavovať spoločné znaky
a rozdielne znaky, vyhľadávať ich globálne vlastnosti. V tomto sa nechať poučiť
históriou matematiky.
2.
Toto možno uskutočniť len vtedy, ak školy budú mať k dispozícii rôzne modely,
stavebnice a iné. Prípadne ak bude ochota učiteľov zhotovovať niektoré učebné
pomôcky svojpomocne.
3.
Nahrádzať niektoré manuálne činnosti výpočtovou technikou, využívať softvéry
dynamickej geometrie.
4.
Väčšiu pozornosť venovať umiestňovaniu a orientácii v priestore.
5.
Venovať väčšiu pozornosť porovnávaniu geometrických útvarov, skúmať symetriu
útvaru a zhodnosť útvarov (bez nejakých vopred daných kritérií).
6.
Súbežne s modelmi predkladať obrazy geometrických útvarov. Viesť žiakov k tomu,
že existujú rôzne obrazy toho istého geometrického útvaru.
7.
Súbežne s touto činnosťou rozvíjať grafické zručnosti žiakov kreslením čiar
a vytváraním rôznych obrázkov.
8.
Meranie úsečiek zaviesť prostredníctvom praktickej činnosti žiakov.
2)
Sternberg, R.: Kognitivní psychologie, Portál, 2002, Praha, str. 488-489, citované práce: R.
Shepard, R. Kail, Paivia.
249
ONDREJ ŠEDIVÝ, DANA MALÁ
9.
10.
11.
Znovu zaviesť povinnosť ďalšieho vzdelávania aj učiteľov 1. st. ZŠ v metodikách
predmetov učebného plánu 1. st. ZŠ.
Súčasne s tvorbou učebníc vytvoriť „dobré“ metodické príručky.
Vo vyučovaní geometrie viac rešpektovať učebné štýly, t.j. treba si uvedomiť, že
• každá ľudská osobnosť je jedinečná, môže sa učiť a má svoj individuálny štýl,
• učebný štýl vo vzdelávaní zabezpečuje výsledky učiacich sa jednotlivcov, ich
sebadôveru a postoje k učeniu,
• učebný štýl je kombináciou afektívnej, kognitívnej, enviromentálnej
a fyziologickej zložky každej osobnosti a charakterizuje, ako sa človek učí.
LITERATÚRA
[1]
Sternberg, R. J.: Kognitívní psychologie. Portál Praha, 2002.
[2]
Turek, I.: Inovácie v didaktike. Metodicko-pedagogické centrum v Bratislave,
Bratislava 2004. ISBN 80-8052-188-3.
[3]
Kuřina, F.: Deset pohledů na geometrii. Albra Praha. MÚ AV ČR, 1996.
Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied UKF v Nitre
Tr. A. Hlinku 1
949 74 Nitra
e-mail: [email protected]
PaedDr. Dana Malá, PhD.
Katedra pedagogickej a školskej psychológie
Pedagogická fakulta UKF v Nitre
Drážovská 4
949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
250
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PRÍPRAVA ŠTUDENTOV UČITEĽSTVA MATEMATIKY V ANGLICKU
(PRÍPADOVÁ ŠTÚDIA)
JÁN ŠUNDERLÍK
ABSTRACT. In this article we briefly describe the mathematics teacher preparation at
University of Bristol in England. Then we present one case study of mathematics preservice teacher’s student teaching, where we want to stress the important aspects of the
teacher preparation.
Úvod
Príprava na povolanie učiteľa matematiky je stále aktuálnou otázkou v odborných ale i
laických kruhoch. V článku prezentujeme prípadovú štúdiu študenta učiteľstva matematiky
počas prípravy na Bristolskej Univerzite v Anglicku. Anglicko sme si vybrali kvôli tomu,
že tamojšie univerzity patria medzi lídrov v oblasti nových trendov a výskumov v teórii
vyučovania matematiky a príprave učiteľov. Nemalú úlohu zohralo aj osobné stretnutie
s pani Laurindou Brownovou M.A., M.Ed., špecialistkou v teórii vyučovania matematiky,
ktorá je tútorkou postgraduálneho kurzu vo vzdelávaní (PGCE) na Univerzite v Bristole,
Anglicko.
Prípadová štúdia Anglicko
K vyučovaniu matematiky na štátnych školách v Anglicku potrebuje uchádzač získať
štatút kvalifikovaného učiteľa v rámci tréningu pre začínajúcich učiteľov (ITT – initial
teacher training). Možností jeho získania je viacero, my sa budeme venovať iba jednej, tzv.
PGCE – postgraduálnemu certifikátu vo vzdelávaní, v rámci ktorého je pripravovaná
väčšina učiteľov matematiky. PGCE sa prevažne zameriava na učiteľské a pedagogické
zručnosti. Nejedná sa o prípravu v matematických disciplínach, pretože potrebné
vedomosti z matematiky dokladuje študent vysokoškolským diplomom v danej oblasti.
Akceptované sú diplomy štúdia matematiky, alebo štúdia technických programov. Všetci
uchádzači musia byť absolventi „A-level“ z matematiky (najvyššia skúška na strednej
škole - ekvivalent k slovenskej maturite).
Charakteristika kurzu PGCE na Univerzite v Bristole
Kurz má dva ciele: „umožniť študentom dosiahnuť štandardy potrebné na získanie
štatútu kvalifikovaného učiteľa“ a „ponúknuť základ pre kvalitné ďalšie vzdelávanie v
učiteľskej profesii.“ Oba tieto ciele sa navzájom dopĺňajú a vychádzajú jeden z druhého.
Prvý cieľ reflektuje potreby budúceho učiteľa v rámci prípravy počas akreditovaného
programu. Druhý cieľ presahuje tento štatutárny model a tým dotvára silne zdôrazňovanú
podstatu celého kurzu. (Handbook 2008 – 2009)
Príspevok vznikol aj vďaka štipendiu z Národného štipendijného programu SR; letný semester akademického roka
2008/2009 uzávierka 31.10.2008
251
JÁN ŠUNDERLÍK
Ako príklad uvádzame stručné porovnanie kurzu PGCE v Anglicku a magisterského
študijného programu: Učiteľstvo akademických predmetov - Matematika na FPV
Univerzite Konštantína Filozofa v Nitre.
Názov
programu
Teoretická
pedagogická
príprava
Matematické
disciplíny
Pedagogická
prax
Dosiahnutá
kvalifikácia
Slovensko
Učiteľstvo
všeobecnovzdelávacích
predmetov – MATEMATIKA
magisterské štúdium dva roky
Pedagogicko-psychologický
a sociálny základ učiteľstva –
bakalárske štúdium tri roky,
štátna skúška prvý ročník
magisterského štúdia
Absolvovanie matematických
predmetov počas bakalárskeho
aj magisterského štúdia;
didaktika matematiky od 3.
roč. bakalárskeho štúdia
6. semester: 13 hodín (1
týždeň) hospitačná
7. semester: 26 hodín (2
hodiny za týždeň)
výstupová
8 semester: 26 hodín (2
hodiny za týždeň)
výstupová
10 semester: 4 týždne, súvislá
pedagogická prax (30
hodín)
Rovnaký počet hodín má aj
prax druhého aprobačného
predmetu.
Magisterský diplom
Anglicko
Postgraduálny certifikát vo vzdelávaní
Jednoročné štúdium na plný úväzok,
dvojročné štúdium na polovičný úväzok
Súčasťou kurzu pod názvom
“Pedagogické a profesionálne štúdie”
(EPS - Educational and Professional
Studies) jeden deň v týždni
Priložené osvedčenie o ukončení
matematického štúdia
Jesenný trimester:
1-2. týždeň nižší stupeň ZŠ
5. a 6. týždeň – troj dňová prax
7. týždeň a od polovice 9. -12
týždňa(vyučovanie 10–20 hodín)
14. týždeň – trojdňová prax na inej
škole príprava na jarný trimester
Jarný trimester: pedagogická prax počas
celého trimestra 12 týždňov (ku
koncu 2/3 úväzku učiteľa)
Letný trimester:štyri týždne blokovo
(odučených asi 20 hodín)
Štatút kvalifikovaného učiteľa + 60
kreditov v rámci magisterského štúdia
Prehľad ročného kurzu
Študenti učiteľstva na univerzite v Bristole sa počas vyučovania zamýšľajú nad učením
a vyučovaním matematiky. Oboznamujú sa so školskými dokumentami a učia sa
pripravovať na vyučovanie. Na začiatku trimestra študenti učiteľstva navštívia na niekoľko
dní primárny stupeň základných škôl. Neskôr počas trimestra, začínajú učiť na
sekundárnom type škôl. Počas náčuvov používanú študenti učiteľstva techniky:
pozorovanie, reflexiu a praktické príklady, v ktorých sa počas kurzu zdokonaľujú.
Jarný trimester poskytuje možnosť uviesť do praxe myšlienky, ktoré si osvojil počas
prvého trimestra, ako aj možnosť objaviť svoje silné a slabé stránky ako učiteľa
matematiky. Počas celého trimestra sú študenti učiteľstva vedení cvičnými učiteľmi a sú
nimi aj formálne hodnotení spolu s tútorom kurzu PGCE. Hodnotenie prebieha počas celej
pedagogickej praxe vo všetkých trimestroch.
252
PRÍPRAVA ŠTUDENTOV UČITEĽSTVA MATEMATIKY V ANGLICKU (PRÍPADOVÁ ...)
V letnom trimestri si študenti ďalej prehlbujú vedomosti a zručnosti dôležité v ďalšej
kariére učiteľa matematiky. Otvára sa príležitosť uvedomiť si, v ktorej oblasti študenti
potrebujú študovať viac a získať ďalšie skúsenosti. V tomto trimestri prebieha aj hlavné
hodnotenie vyučovania a posudzuje sa dosiahnutie štandardov k získaniu štatútu
kvalifikovaného učiteľa.
Študentom učiteľstva nikto počas celého kurzu nepovie ako majú učiť, to každý učiteľ
musí zistiť sám, aby sa vedel, vzhľadom na rôznorodosť stredných škôl v Anglicku,
adaptovať na jednotlivé prostredia na školách a aktívne formovať svoj ďalší profesionálny
rast.
Prípadová štúdia „Ben“
Študent učiteľstva Ben bol vybraný, pretože dobrovolne súhlasil so spoluprácou.
V čase pozorovania mal 27 rokov. Po získaní vysokoškolského diplomu v matematike
niekoľko rokov pracoval v počítačovej firme. Učiteľstvo matematiky bolo už v minulosti
povolanie, ktoré túžil vykonávať. Na začiatku letnej pedagogickej praxe sme s Benom
urobili interview, aby sme zistili jeho postoje k matematike, samotnému vyučovaniu,
stratégiách, ktoré na vyučovaní používa a celkovej charakteristike štúdia na univerzite.
Potom sme dve vyučovacie hodiny, ktoré Ben odučil zaznamenávali na videozáznam a
stretnutie s cvičným učiteľom, na ktorom bola odučená hodina rozanalyzovaná
zaznamenali na audiozáznam. Stretnutie bolo súčasťou formálneho hodnotenia študenta
učiteľstva cvičným učiteľom.
Počas stretnutia s cvičným učiteľom sme sa zamerali na spôsob, akým študent
učiteľstva reflektuje na odučenú hodinu, ako identifikuje takzvané “kritické momenty” na
hodine.
Ben počas jarného a letného semestra praxoval na Kiengsfieldskej škole. Je to štátna
škola sekundárneho typu, kde žiaci študujú ročníky 7 – 11 príprava na „A – level“
a k získaniu stredoškolských diplomov. Je veľmi dôležité povedať, že každá sekundárna
škola, ktorú sme počas pôsobenia v Anglicku navštívili, bola iná. Či už politikou školy, ale
hlavne inovatívnymi spôsobmi výučby matematiky. Odlišnosti sú spôsobené dlhodobou
orientáciou školy a jej samostatným vývojom. Kiengsfieldská škola je jednou
z inovatívnych škôl na ktorej veľký vplyv vo výučbe matematiky na tejto škole mala práve
Laurinda Brownová a Alf Coles, ktorí tu realizovali viacero výskumov. Pán Coles na
škole učí už desať rokov. Jedným z projektov realizovaných na škole bola aj štúdia, ktorá
sa venovala algebraickému mysleniu a rozvíjaniu „kultúry“ takéhoto myslenia na
hodinách matematiky tak, aby vo veku pätnásť rokov boli žiaci schopný algebraicky
myslieť na úrovni osemnásťročných študentov (Brown & Coles 1999). Výsledky výskumu
sa stali súčasťou banky učebných materiálov, ktoré učitelia používajú na vyučovanie
matematiky. Ben ako cvičný učiteľ sa s týmito materiálmi mohol oboznámiť počas celého
jarného trimestra na stretnutiach v rámci matematického oddelenia školy. Počas svojej
vlastnej školskej dochádzky bol Ben vyučovaný klasickým spôsobom: krieda, tabuľa,
učebnica a zošit. Aj keď sa vyjadril, že mu takéto vyučovanie vyhovovalo a nepovažoval
ho za náročné, matematika, ktorú teraz považuje za „zaujímavú“ je iná, pozostávajúca z
riešenia problémov a bádania.
V nasledujúcich dvoch fragmentoch prepisu dvoch vyučovacích hodín
poukazujeme, ako študent učiteľstva pracuje na matematických zručnostiach žiakov
a zároveň si cibrí vlastné pedagogické majstrovstvo. Oba fragmenty prepisov hodín sú
úvody do hlavných častí hodín. Na prvej hodine Ben prezentoval divergentný problém, kde
študenti mali samostatne prísť na to, že rozdiel dvoch čísiel je vždy rovnaký, prečo tomu
253
JÁN ŠUNDERLÍK
tak je a ako to môžu dokázať. Na riešenie takejto úlohy chcel, aby žiaci mali potrebu
používať základy algebry a vedeli pomocou nej dokázať svoje predpoklady. Počas tejto
hodiny niektorí žiaci vyrušovali, čo v spojitosti s nie veľmi jasnými požiadavkami
spôsobilo, že niektorí žiaci neporozumeli čo mali robiť. Ben preto povedal žiakom na čo sa
majú zamerať, čo majú objaviť a ako to algebraicky dokázať. Na túto skutočnosť reflektuje
počas stretnutia s cvičným učiteľom. Na druhej hodine sa študent učiteľstva rozhodol že
svoje očakávania žiakom ukáže na inom príklade, namiesto toho aby im ich priamo
povedal. Ešte pred začatím skupinovej práce zaradil jednu názornú hru. V tejto hre žiakom
ukázal ako môže byť algebraický dôkaz použitý na potvrdenie predpokladov.
V nasledujúcom prepise fragmentov vyučovacej hodiny a rozhovoru sú použité tieto
značky:
U – študent učiteľstva matematiky (Ben) S – študent SS – viac študentov alebo celá
trieda CU – cvičný učiteľ [ ] poznámky pridané autorom […] každá bodka reprezentuje
pauzu 1 sekundu
Fragment 1
Obrázok 1: Obraz interaktívnej tabule po rozcvičke. Prvá hodina.
[Poukazuje na rozcvičku, ktorá bola zobrazená na interaktívnej tabuli]
U
S
U
S
U
254
Ako by sme mohli znázorniť každé číslo? Ako by sme to mohli tak spraviť, že sa
to bude vždy rovnať štyridsiatim dvom? Čo môžeme doplniť na začiatok? Tom.
“a”.
“a” alebo rôzne iné číslo aké chceme. Áno?
Áno.
…
OK, čo od vás budem chcieť je, aby ste pokračovali v dosadzovaní rôznych čísiel
na papier. Chcem, aby ste si všímali vzťahy medzi číslami ktoré dostanete. Ale čo
je dôležitejšie, chcem aby ste prišli na to, prečo sú tam tieto vzťahy. A či tam stále
budú, ak sa rozhodnete pre tri krát tri,.. či rozdiel bude stále dvadsať. Potom
skúste namiesto číslic dosadiť písmeno a či dostanete opäť dvadsať. Ak by ste
mali problém s výberom čísiel, ktoré by ste mali dosadiť, pre tento raz som vám
pripravil niekoľko pretlačených diagramov. Budem chodiť okolo a rozdávať
PRÍPRAVA ŠTUDENTOV UČITEĽSTVA MATEMATIKY V ANGLICKU (PRÍPADOVÁ ...)
tomu, kto bude potrebovať. Ak niekto nebude vedieť ako použiť algebru, tak
takisto nech zdvihnite ruku a ja vám prídem pomôcť, OK? [postaví sa uprostred
triedy] Pokračujte.
Stretnutie s cvičným učiteľom
U
CU
U
CU
U
CU
U
Áno, práve o tom premýšľam...akonáhle im [žiakom] zadám viacej úloh skončím
pri tom, že im hovorím čo majú robiť, na rozdiel od toho, že by mali sami vedieť,
čo majú robiť. Ako s týmto sme to urobili niekoľko krát, spoločne , dva alebo tri
krát. Mali by v tomto prípade, ... toto je čo sme urobili, jeden dva príklady na
tabuľu, aj keď sme ich robili spoločne. A potom som povedal „urobte niekoľko
ďalších príkladov a hľadajte v nich súvislosti.“ Pripadá mi to ako by som im dával
inštrukcie namiesto toho aby oni pokračovali bez mojej pomoci.
Áno.
Pretože oni ešte neurobili nič. Tak, oni sa dozvedeli iba základné veci, čo si mohli
zapamätať z diskusie, ktorú sme mali.
Áno, áno, myslím si, že to je skutočne dobré uvedomenie si tej situácie. […..] Je to
skutočne dobré uvedomenie si.
Tak, naozaj […] áno […]. Možno by bolo lepšie […] dať im minútu alebo dve
aby spravili jeden, vrátiť sa s celou triedou, potom minútu alebo dve opäť sa vrátiť
k tomu a potom ako vypočítali niekoľko príkladov, nechať ich pracovať
samostatne.
Áno, áno.
Myslím si, že som sa akoby snažil skočiť, skočiť do riešenia príliš otvorených
problémov (jump in the openness)
Na základe analýzy študent učiteľstva hodnotil odučenú hodinu a bol schopný
premýšľať o “kritických momentoch” na hodine a následne formulovať konkrétne kroky
na zlepšenie. Fragment prepisu stretnutia s cvičným učiteľom je zo záverečnej časti
stretnutia, ktorá sa nazýva „Akčné body“. Zaujímavé na celom stretnutí s cvičným
učiteľom bolo, že viac rozprával študent učiteľstva ako cvičný učiteľ. Celé stretnutie trvalo
asi 50 minút.
Fragment 2
U
S
U
S
U
Mohol by niekto navrhnúť ako by sme mohli […] otázkou je ako by sme mohli
zahrnúť všetky čísla, a takisto to, čo sme robili včera? Čo by sme mohli urobiť je
dokázať, že vždy to bude trojka [učiteľ poukazuje na úlohu riešenú na
interaktívnej tabuli obr. 2, stĺpec s premennou „a“ ešte nebol vyplnený] Na to, aby
sme to dokázali potrebujeme vyskúšať každé číslo na svete. Ale jednoduchším
spôsobom by bolo…
Použiť algebru [...] [študent nadšene vykríkol]
Áno. [Učiteľ je nadšený odpoveďou] Môžeme použiť algebru, môžeme to použiť,
že dosadíme písmeno namiesto všetkých tých miliónov a miliárd čísiel, aby nám
to ukázalo, čo sa stane ak celý postup zopakujeme.
[nadšený študent stále opakuje] algebra
Tak ďalej použijeme […], OK v jednom stĺpci budeme mať číslo, ktoré budeme
testovať. [učiteľ používa interaktívnu tabuľu na znázornenie problému, na tabuli
bolo znázornené nasledovné]
255
JÁN ŠUNDERLÍK
Obrázok 2 : Obraz interaktívnej tabule. Druhá hodina.
Záver
Na príklade Bena sme chceli poukázať na dôležitú časť prípravy budúcich učiteľov
matematiky a tou je pedagogická prax. Spomínaný príklad je o to zaujímavejší, že
poukazuje na dôležitú transformáciu Benových predstáv o vyučovaní matematiky ako aj na
ťažkosti spojené pri jej uplatnení. Druhým veľmi významným zistením je úloha reflexie
počas prípravy budúcich učiteľov matematiky. Ako uvádza (Griffin, 2003) reflektovanie
na vlastnú prax pomáha študentom učiteľstva ako aj učiteľom lepšie hodnotiť vlastnú prax,
presnejšie identifikovať potreby vlastného učenia sa a aktívne prevziať zodpovednosť za
ďalšie profesionálne vzdelávanie
LITERATÚRA
[1]
Brown, L., Coles, A. (1999) Needing to use algebra – a case study In Zaslavsky, O.
(ed.), Proceedings of the Twenty-third Annual Conference of the international
Group for the Psychology of Mathematics Education, Haifa, Izrael, 2, s. 153 – 160
[2]
Brown, L., Coles, 2008: Hearing Silence, Black Apollo Press, Cambridge, 132 s.
ISBN 97-8190-0355599
[3]
Griffin, M. 2003: Using critical incidents to promote and assess reflective thinking
in preservice teachers. Reflective Practice, 4 (2), 207-220.
[4]
Postgraduate certification in Education, Handbook 2008 – 2009, Univesity of
Bristol, Graduate School of Education
PaedDr. Ján Šunderlík
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
256
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
FIBONACCI VE SVĚTLE ŠKOLSKÉ MATEMATIKY
KATEŘINA ŠUPÍKOVÁ
ABSTRACT. The thesis gives possibilities to use the information about life and work of
Fibonacci in mathematics. The theoretical part includes basic facts about Fibonacci
sequence, characteristics of its numbers, Golden Ratio and its usage in various areas of
human activity. On its basis the empirical part has been created. It includes the collection of
activities for primary school math lessons.
ÚVOD
,, Geometrie má dva velké poklady. Jedním je věta Pythagorova, druhým je zlatý
řez. První lze přirovnat k žíle zlata, druhý lze označit za drahokam.“
Johannes Kepler (1571-1630)
Zatímco Pythagorova věta je součástí učebních osnov již na základní škole, zlatý
řez se z učebnic pro základní i střední školy vytratil. A přesto by si měl najít své místo
v povědomí alespoň těch, kteří by se chtěli dozvědět, na jakém principu je tato božská
proporce založena, jaké jsou její spojitosti s přírodou, jaké zajímavé souvislosti má zlatý
řez s jevy, se kterými bychom matematiku nikdy jinak nespojovali.
Uvedené teze se staly záměrem pro zpracování diplomové práce. Jejím cílem je
sestavit soubor úloh a aktivit, které souvisí s danou tematikou a mohly by žáky motivovat
k hlubšímu studiu nejen matematiky, ale i těch jevů, které s matematikou jakkoli souvisí.
Cíli práce odpovídá její struktura. V teoretické části je charakterizována osobnost
Leonarda Fibonacci, jeho dílo a přínos na poli matematiky. V dalších kapitolách jsou
shrnuty základní poznatky o Fibonacciho posloupnosti, vlastnostech jejích členů a zlatém
řezu. Část empirická obsahuje soubor aktivit a úloh pro žáky základních škol. Jejich cílem
je motivovat žáky k hlubšímu studiu matematiky, ale také k rozvíjení jejich vlastní
iniciativy na poli hledání souvislostí mezi matematikou a reálným světem okolo nich.
ČÁST TEORETICKÁ
ŽIVOT A DÍLO LEONARDA FIBONACCI
Úvodní část práce nás zavádí do severní Afriky na počátku 13. století, kam
přijížděli italští obchodníci prodávat své zboží. Mezi nimi byl také Gugliamo Bonacci,
který sem přicestoval i se svým synem Leonardem. Ten byl jako malý chlapec vzděláván
Maury, později hodně cestoval po zemích Středomoří a seznámil se s Hindu-arabským
pozičním systémem, založeném na umění devíti symbolů 1-9 (Svršek, 2007).
Po dlouhé době strávené na cestách se vrátil Leonardo do rodné Itálie a roku 1202
napsal svou nejznámější knihu ,,Liber Abbaci“ (v překladu ,,Kniha o abaku“). Ta se
zabývá aritmetikou a algebrou a autor v ní shrnuje své znalosti získané na cestách
(Francová a kol., 1999). Do Evropy přinesla nejen Hindu-arabský poziční dekadický
systém a používání arabských číslic, ale také obsahuje řadu lineárních rovnic, které
Fibonacci čerpal přímo z arabských zdrojů. V poslední kapitole užívá autor posloupnosti
257
KATEŘINA ŠUPÍKOVÁ
čísel, která je výsledkem řešení Fibonacciho nejznámější slovní úlohy, jež se zapsala do
historie matematiky tím, že dala podnět k budování tzv. teorie Fibonacciho čísel.
Úloha zní takto:
Představme si páreček (sameček a samička) právě narozených králíků.
Předpokládejme, že v prvním měsíci svého života se králíci nemůžou rozmnožovat
a dospějí jako dvojměsíční. Po druhém měsíci samička vrhne každý měsíc nový páreček
(vždy samečka a samičku). Kolik párů se takto narodí v průběhu jednoho roku a dvou let,
jestliže v uvedeném období žádný králík nezahyne? (Fulier - Šedivý, 2001)
V této úloze, ke které se dlouho přistupovalo jako ke cvičení bystrosti mysli,
nacházíme poprvé v dějinách posloupnost zadanou rekurentně.
Řešení je následující:
Na začátku prvního měsíce máme 1 nedospělý pár králíků. Tento pár v průběhu
druhého měsíce dospívá a na začátku druhého měsíce se rozmnoží, takže na začátku třetího
měsíce máme celkem 2 páry králíků. Na začátku čtvrtého měsíce samička původního páru
vrhne nový pár králíků, druhý pár dospívá – tedy máme celkem 3 páry králíků. Na začátku
pátého měsíce původní pár produkuje další pár králíků, druhý pár dospěl a produkuje svůj
první pár a třetí pár dospívá. Celkem máme tedy 5 párů králíků.
Z toho vyplývá, že počet králíků Fn na začátku n-tého měsíce (respektive na konci
měsíce předcházejícího) je číslo, které představuje daný členy posloupnosti:
F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89, F12 = 144
F13 = 233, F14 = 377, F15 = 610, F16 = 987, F17 = 1597, F18 = 2584, F19 = 4181, F20 = 6765,
F21 = 10946, F22 = 17711, F23 = 28657, F24 = 46368, F25 = 75025, …
Posloupnost (Fn )n =1 zadaná rekurentně vztahem Fn + 2 = Fn +1 + Fn pro n ∈ N , přičemž
∞
platí F1 = 1, F2 = 1 , se nazývá Fibonacciho posloupnost a její členy Fn nazýváme
Fibonacciho čísla. Ta mají úzkou souvislost s fenoménem zlaté řezu, známého také jako
božská proporce. Matematické vyjádření zlatého řezu zní takto:
Rozdělíme-li libovolnou úsečku na dvě nestejně dlouhé části tak, že poměr délky
celé úsečky ku délce její větší části je stejný jako poměr délky větší části ku délce části
menší, pak můžeme říct, že tato úsečka byla rozdělena zlatým řezem (obr. 1).
Obrázek 1
Jinými slovy, jestliže na dané úsečce AB určíme bod C tak, že při označení
AB = a, AC = x , tedy CB = a − x , kde x〉 a − x , platí
bodem C úsečku AB v poměru zlatého řezu.
a
x
=
, rozdělili jsme
x a−x
Tento poměr se značí řeckým písmenem ϕ (fí), kde ϕ je zlaté číslo.
258
FIBONACCI VE SVĚTLE ŠKOLSKÉ MATEMATIKY
Zvolme za jednotku délku úsečky AB, a=1 a dosadíme do vztahu
x
a
. Po
=
x a−x
1
x
=
, kterou lehce převedeme na kvadratickou rovnici
x 1− x
5 −1
− 5 −1
x 2 + x − 1 = 0 . Vypočítáním kořenů rovnice zjistíme, že x1 =
, x2 =
.
2
2
dosazení dostáváme rovnici
Druhý kořen kvadratické rovnice je záporný, z čehož vyplývá, že nemůže být řešením
délky úsečky. Té vyhovuje kořen první, jehož hodnota je přibližně ϕ1 = 0,61803.
a
−1+ 5
, kde a = 1 a x = x1 =
. Z daného vztahu zjistíme, že zlaté číslo
x
2
se opět rovná číslu iracionálnímu a jeho přibližná hodnota je ϕ 2 = 1,61803.
Víme, že ϕ =
ZLATÝ ŘEZ V GEOMETRII
V planimetrii se zlatý řez uplatňuje například při konstrukci zlatých trojúhelníků.
Zlatým trojúhelníkem nazveme takový rovnoramenný trojúhelník, v němž poměr délky
ramene a základny je roven ϕ . Pokud do zlatého trojúhelníka postupně vepisujeme
rovnoramenné trojúhelníky, které mají jedno rameno základnu předcházejícího
trojúhelníku, bude každý z těchto trojúhelníků zlatý (obr. 2).
Obrázek 2
Obrázek 3
Vrcholy zlatých trojúhelníků leží na logaritmické spirále (obr. 3), kterou objevil
matematik Rene Decartes (1596 – 1650). Obdobným způsobem lze popsat také zlatý
obdélník či pětiúhelník.
Ve stereometrii nachází své uplatnění v pěti platónských tělesech. Tato jsou:
čtyřstěn se čtyřmi stěnami tvaru trojúhelníku
krychle s šesti čtvercovými stěnami
osmistěn s osmi trojúhelníkovými stěnami
dvanáctistěn s dvanácti stěnami tvaru pětiúhelníku
dvacetistěn s dvaceti stěnami ve tvaru trojúhelníku
Jsou to jediná tělesa, jejichž stěny jsou totožné a rovnostranné, kolem každého tělesa je
možné opsat kouli, na které leží všechny vrcholy tohoto tělesa a podobnosti v symetrii
umožňují zobrazování jednoho tělesa ve druhém, které je jeho zdvojením nebo obdobou.
259
KATEŘINA ŠUPÍKOVÁ
ZLATÝ ŘEZ V UMĚNÍ
V kolébce renesance si zlatý řez oblíbili jak malíři, zvláště Leonardo da Vinci,
který do této proporce namaloval dva z nejznámějších obrazů ,,Poslední večeře páně“
a ,,Mona Lisa“, tak také sochaři, kteří se řídili pravidlem, že poměr vzdálenosti temene od
pupku a pupku od podložky stojící postavy je roven poměru vzdáleností pupku od
podložky a temene figury od podložky (obr. 4).
Obrázek 4
Na poli architektury najdeme tuto proporci kromě Egyptských pyramid
v moderních stavbách jako je pyramida v Louvru nebo budova ,,La Géode“ v Paříži.
V dnešní době se využívá zlatý řez tam, kde je kladen důraz na estetiku (plastická
chirurgie, tvorba reklamních letáků či fotografování, kde je zlatý řez známý spíše jako
třetinové pravidlo, podle něhož umisťujeme focené objekty do optického středu).
FIBONACII V PŘÍRODĚ
Listy rostlin, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že
každý list vyrůstá nad předchozím listem posunut o určitý úhel, aby je to co nejvýhodněji
vystavovalo působení slunce, deště a vzduchu. Tento úhel je pro každou rostlinu
charakteristický a botanici jej vyjadřují ve tvaru zlomku, který udává, jakou část obvodu
1
3
2
1
kružnice daný úhel vytíná. U lípy je to úhel , u buku ,u višně , u topolu , u vrby
2
3
5
8
5
, apod. Všechny tyto zlomky jsou poměry jednoho členu Fibonacciho posloupnosti
13
k jinému, který se nachází v řadě o dvě místa dál. Jev, při kterém přechází jeden list
k dalšímu šroubovitým výstupem kolem stonku, se nazývá fylotaxie a je charakteristický
také pro uspořádání šupin borovicové šišky nebo semen slunečnice. Tyto vztahy můžeme
pozorovat u různých jevů a v celé škále velikostí, od mikroskopických částic až po
gigantické galaxie. Velmi často na sebe přitom berou podobu skvostné spirály.
Logaritmická spirála má jednu charakteristickou vlastnost – se vzrůstající velikostí
se mění její tvar. Tento rys se nazývá soběpodobnost a je vlastností mnoha růstových jevů
v přírodě. Tvar spirály lze spatřit nejen v ulitách, ale také vodních vírech, hurikánech
anebo obří spirále galaxie (Livio, 2006).
SOUBOR AKTIVIT
Studium teoreticky zaměřené literatury a jiných pramenů se stalo východiskem pro
pokus o aplikaci uvedených poznatků ve školské matematice. Za tímto účelem byl
vytvořen soubor aktivit, které jsou založeny především na přitažlivosti tématu v nich
obsaženém, mnohé z nich podporují mezipředmětové vztahy a žáky mají motivovat
260
FIBONACCI VE SVĚTLE ŠKOLSKÉ MATEMATIKY
k většímu zájmu o daný předmět. Soubor tvoří 15 aktivit různých obtížností, které mají
společný tematický základ, a to zlatý řez a Fibonacciho dílo. Tyto aktivity jsou určeny
především žákům základních škol a byly zpracovány tak, aby mohly být použity v různých
tematických okruzích i v různých ročnících stupně základní školy. Zahrnuty jsou úlohy
z algebry, geometrie, kombinatoriky, základů statistiky a jiné tipy úloh, jejichž zařazení do
edukační reality závisí na odborných a didaktických kompetencích učitele. Aktivity nejsou
řazeny podle tematických kritérií, jejich pořadí není relevantní.
Každá aktivita se skládá ze dvou listů. List první je určen pro učitele, obsahuje
metodický komentář a informace potřebné ke správné realizaci úkolu. Druhý list je listem
pracovním. Ten je určen žákům a je koncipován tak, aby mohli žáci po zadání
a vysvětlení dané úlohy postupovat i samostatně. Zadání většiny aktivit vyžaduje určitou
úroveň předchozí znalosti vlastností Fibonacciho posloupnosti či zlatého řezu.
Aktivity nemají charakter písemné práce, ale mají přinést do hodin matematiky
příjemnou atmosféru a pocit z něčeho nového. Aktivity na sebe nijak nenavazují a jejich
pořadí je náhodné, proto může soubor stále doplňován o nové příspěvky pro žáky
základních i středních škol.
UKÁZKA ZE SOUBORU AKTIVIT
AKTIVITA č. XY
Téma:
Geometrie, prostorové vidění
Pomůcky:
Kopie pracovního listu č. XY, barevné pastelky
Délka:
20 minut
Úkol:
Žáci mají za úkol najít v diagramu zlaté trojúhelníky podle zadaného
vzoru.
Řešení:
1. 20 – 5 světle šedých
2. 15 - 5 světle šedých
5 tmavě šedých
5 tmavě šedých
10 proužkovaných
5 proužkovaných
Komentář:
3. 85 – 40 tvaru A
45 tvaru B
Tato úloha je založena na prostorové představivosti žáka. Typy takových
příkladů bývají často používány na matematických soutěžích
a olympiádách. Důležitá je zpětná vazba pro žáky. Učitel tedy musí úlohu
vysvětlit, ukázat žákům správné řešení a zjistit, kde dělali žáci chybu
a poukázat na ni. Učitelovým výkladem a názornou ukázkou by se měly
nedostatky při řešení daného typu úloh redukovat až eliminovat.
Aktivita č. XY – pracovní list
Jméno:_______________________
Oba trojúhelníky na obrázcích jsou trojúhelníky zlaté. V obou případech je tedy
poměr kratší a delší strany poměr zlatý, tedy 0,618. Trojúhelník A má dvě delší strany a
jednu kratší, trojúhelník B jednu delší stranu a dvě kratší.
261
KATEŘINA ŠUPÍKOVÁ
1. Najděte ve velkém diagramu, který je na obrázku zakreslen pouze plnými čarami,
všechny trojúhelníky jakékoli velikosti, avšak se stranami délek ve stejném poměru jako
trojúhelník A.
_______________________________________________________________________.
2. Najděte ve velkém diagramu, který je na obrázku zakreslen pouze plnými čarami,
všechny trojúhelníky jakékoli velikosti, avšak se stranami délek ve stejném poměru jako
trojúhelník B.
________________________________________________________________________.
3. Kolik zlatých trojúhelníků jakékoli velikosti a tvaru můžeme najít na diagramu na
obrázku, bereme-li v úvahu také tečkované čáry?
________________________________________________________________________
LITERATÚRA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Francová, L., Kühnová, J., a kol. Fibonacciova čísla. 1. vydání. Hradec Králové,
Gaudeamus, 1999. ISBN 80-7041-626-2
Fulier, J., Šedivý, O. Motivácia a tvorivosť vo vyučování matematiky. Nitra,
Garmond Nitra, 2001. ISBN 80-8050-445-8
Garland, T.G. Fibonacci Fun. New Jersey (USA), Dale Seymour Publications,
1997. ISBN 1-57232-265-9
Livio, M. Zlatý řez. Praha, Argo/Dokořán, 2006. ISBN 80-7363-064-8 (Dokořán).
ISBN 80-7213-808-7 (Argo)
Neff, O. a kol. Cestování s digitálním fotoaparátem. Praha, IDIF, 2003. ISSN
1214-3065
Wahl, M. A mathematical mystery tour: Higher thinking math tasks. Washington,
1988. ISBN 0-913705-26-8
Svršek,
J.
Matematikové
v historii,
2007.
Dostupný
z
http://www.cact.cz/noviny/2004/03/Fibonacci.htm
Mgr. Kateřina Šupíková
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Univerzita Palackého v Olomouci
Žižkovo náměstí 5
ČR– 731 00 Olomouc
e-mail: [email protected]
262
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
INOVÁCIA ŠTUDIJNÝCH PLÁNOV V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV
MATEMATIKY ZA ÚČELOM ROZŠÍRENIA ICH KOMPETENCIÍ
VIERA UHERČÍKOVÁ, PETER VANKÚŠ
ABSTRACT: This article deals with the inovation of future mathematics teachers’ curriculum
in order to prepare students better for their proffesional life and to learn them important
management and social skills. Developed curses will be also part of life-long mathematics
teachers education.
KEY WORDS:
mathematics teachers’ education, life-long learning, innovation of curriculum
Úvod
Matematika má mimoriadny spoločenský význam. Je dôležitá nielen pre technické, ale
aj pre spoločenské vedy, profesionálny a osobnostný rozvoj. S tým súvisí nevyhnutnosť
kvalitného vyučovania matematiky a tiež zodpovedajúca príprava budúcich pedagogických
pracovníkov – učiteľov matematiky. Na fakultách, pripravujúcich budúcich učiteľov
matematiky, však zaznamenávame úbytok študentov.
Vzhľadom na súčastný stav máme preto záujem a z vyššie uvedeného je aj
spoločensky žiadúce, aby bolo štúdium učiteľstva matematiky zatraktívnené. S týmto
zámerom chceme v rámci projektu KEGA č. 3/6484/08 rozšíriť kompetencie našich
budúcich absolventov štúdia učiteľstva matematiky, aby našli lepšie uplatnenie
v učiteľskom ale i neučiteľskom povolaní napr. aby si osvojili základy podnikateľskej
činnosti a mali aj kompetencie potrebné na vykonávanie riadiacich pozícií v školách. Preto
v projekte navrhujeme doplniť študijné plány budúcich učiteľov matematiky
o novovytvorené kurzy s cieľom zatraktívniť ich štúdium a zabezpečiť rozšírenie
kompetencií absolventov. Uvedené kurzy majú študenti možnosť absolvovať vo forme
výberových prednášok.
Uvedomujeme si, že v záujme dosahovania čo najlepších výsledkov výučby je
nevyhnutné celoživotné vzdelávanie učiteľov. Vybrané kurzy by sme preto chceli ponúkať
aj pre učiteľov z praxe v rámci realizácie celoživotného vzdelávania napr. formou elearningu.
Cieľom nášho príspevku je podať informácie o vytvorených kurzoch a spropagovať tak
tieto možnosti rozšírenia kompetencií pre budúcich učiteľov, ako aj učiteľov z praxe.
Inovované kurzy
Kurzy z uvedeným zámerom sme pripravovali na základe štúdia materiálov
z dostupných informačných zdrojov a konferencií zameraných na danú problematiku,
analýzou relevantných informácií a výsledkov výskumov z fakúlt pripravujúcich budúcich
učiteľov na Slovensku a v zahraničí.
Obsahová náplň a forma konkrétnych kurzov na základe inovovaných študijných
plánov bola pripravená na základe vyhodnotenia dotazníkového prieskumu. Uvedený
dotazník sme realizovali v školskom roku 2007/2008 a zúčastnilo sa ho 188 učiteľov ZŠ
Tento príspevok vznikol v rámci grantu MŠSR KEGA č. 3/6484/08
263
VIERA UHERČÍKOVÁ, PETER VANKÚŠ
a SŠ z celého Slovenska. Dotazník bol vytvorený odborníkmi z riešiteľského kolektívu
so zameraním na získanie spätnoväzobných informácií pre tvorbu inovovaných študijných
plánov. Nasledujúce grafy prezentujú výsledky uvedeného dotazníka.
Položka č.1 Rozdelenie výskumnej vzorky podľa pohlavia
Položka č.2 Typ školy a študijná/pracovná pozícia respondentov
Položka č.3 Dĺžka pedagogickej praxe respondentov
Položka č.4 Veľkosť sídla školy, v ktorej respondenti pôsobia
264
INOVÁCIA ŠTUDIJNÝCH PLÁNOV V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV MATEMATIKY...
Položka č.5 Témy, ktoré by respondenti privítali zaradiť resp. posilniť v štúdiu učiteľstva
matematiky vzhľadom na lepšie uplatnenie v praxi
Položka č.6 Pripísaním čísel od 1 do 6 usporiadali respondenti uvedené témy od témy
podľa nich najdôležitejšej (číslo 1) až po tému najmenej dôležitú (číslo 6). V grafe
uvádzame priemernú hodnotu priradenú jednotlivým témam.
265
VIERA UHERČÍKOVÁ, PETER VANKÚŠ
Položka č.7 Respondenti vybrali, akou formou by ste chceli získať doplňujúce vzdelávanie
Položka č.8 Respondenti označili, na ktoré činnosti sú podľa nich začínajúci učitelia
pripravení najslabšie
Na základe zhodnotenia výsledkov dotazníka boli vypracované inovované študijné
plány pre nasledovné kurzy.
Organizácia a riadenie školy
Prednášateľ: doc. RNDr. Vladislav Rosa, CSc.
Cieľ predmetu: Dať študentom do rúk komunikačné nástroje, ktoré im umožnia lepšie
porozumieť komunikácii, lepšie porozumieť vnútornému prežívaniu iných. Naučiť ich
hľadať zdroje na efektívne vyučovanie, učenie sa, motivovanie seba aj iných.
Stručná osnova predmetu: Verbálna (lingvistická a paralingvistická) a neverbálna
komunikácia. Špecifické komunikačné javy: dvojité signály (nekongruentná komunikácia),
dvojitá väzba (nesplniteľná požiadavka), komunikácia obsahu verzus komunikácia vzťahu.
Subjektívne prežívanie človeka a realita. Pozorovateľné parametre subjektívneho
prežívania – pozorovanie reči, svalového tonusu, charakteristické očné polohy. Práca so
266
INOVÁCIA ŠTUDIJNÝCH PLÁNOV V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV MATEMATIKY...
zmyslovými kanálmi. Hranice identity a ich prejav v komunikácii: primárny proces,
s ktorým sa identifikujem, sekundárny proces, ktorý ma vyrušuje a hranice medzi nimi.
Ako ich tvorivo využiť pre oživenie a rozvoj. Aktívne počúvanie a dávanie spätnej väzby.
Osobnosť - životné roly, identita, širší životný kontext. Hľadanie zdrojov na rôznych
úrovniach. Skupinová dynamika: vlastnosti dobrého vedúceho, energia skupiny, riešenie
konfliktov.
E-learning ako špeciálna forma dištančného vzdelávania
Prednášateľ: doc. RNDr. Viera Uherčíková, CSc.; PaedDr. Peter Vankúš, PhD.,
PaedDr. Lilla Koreňová, PhD.
Cieľ predmetu: Oboznámiť študentov s tvorbou a možnosťami prezentácie
vzdelávacích materiálov na internete, konkrétne s e-learningom a s výučbovými www
stránkami. Na záver prednášky sa študenti prezentujú samostatne vytvoreným elearningovým kurzom.
Stručná osnova predmetu: Pojem e-learning a jeho význam vo vzdelávaní. E-learning
a celoživotné vzdelávanie v informačnej spoločnosti. E-learning vo vzdelávaní učiteľov
(v školskej praxi). Kľúčové faktory pre úspešné štúdium e-learningového kurzu.
www stránky a ich význam vo vzdelávaní. Výučbové www stránky ako prostriedok
edukácie. Prezentácia www stránok týkajúcich sa vyučovania matematiky.
Príprava, realizácia a ekonomické dopady projektov v školstve
Prednášateľ: PaedDr. Lilla Koreňová, PhD.
Cieľ predmetu: Rozšírenie kompetencií absolventov štúdia učiteľstva matematiky
v rámci projektového manažmentu, prípravy a realizácie projektov v školstve s podporu
európskych fondov aj iných foriem financovania.
Stručná osnova predmetu: Základy projektového manažmentu. Projekty, granty
a štipendiá v školstve. Možnosti získania grantov (ŠF EU, ESF, atď.). Legislatíva pre
projekty v školstve. Základy ekonomiky a finančné riadenie projektu
Uvedené kurzy boli pilotne realizované vo forme výberových prednášok v školskom
roku 2008/2009. Na základe získaných spätnoväzobných informácií sme upresnili
obsahovú náplň aj rozsah kurzov pre školský rok 2009/2010. Všeobecne študenti uvádzajú,
že sa im forma e-learningového vzdelávania spojená s prezenčným vzdelávaním páči.
Majú záujem o vytvorené kurzy a ich obsah považujú za užitočný pre uplatnenie v praxi.
Záverečná verzia kurzov zameraných na rozšírenie kompetencií budúcich učiteľov
matematiky, ako aj učiteľov z praxe, bude vytvorená na základe analýzy ich priebehu
a výsledkov.
267
VIERA UHERČÍKOVÁ, PETER VANKÚŠ
Záver
Cieľom nášho príspevku bolo podať informácie o kurzoch vytvorených za účelom
rozšírenia kompetencií budúcich učiteľov matematiky ohľadom zlepšenia ich pripravenosti
na povolanie, ako aj učiteľov z praxe v rámci ich celoživotného vzdelávania. Uvedené
kurzy, vytvorené analýzou relevantných informácií a na základe výsledkov dotazníkového
prieskumu, sú dostupné pre túto cieľovú skupinu vo forme výberových prednášok už
v školskom roku 2009/2010 na FMFI UK Bratislava. Veríme, že tieto informácie budú
motiváciou pre absolvovanie uvedeného vzdelávania.
LITERATÚRA
[1]
Šedivý, O.: Učiteľ matematiky – profil a jeho príprava, In O. Šedivý, J. Fulier,
S. Čeretková (eds.), Učiteľ matematiky, jeho profil, príprava, 7-15. Nitra, FPV UKF
Nitra, 2005, ISBN 80-8050-843-7
[2]
Šedivý, O. - Fulier, J.: Nové trendy vo vyučovaní matematiky, Nitra, UKF
Nitra, ISBN 978-80-8094-259-5
doc. RNDr. Viera Uherčíková, CSc.
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského
Mlynská dolina
SK – 842 48 Bratislava
e-mail: [email protected]
PaedDr. Peter Vankúš, PhD.
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského
Mlynská dolina
SK – 842 48 Bratislava
e-mail: [email protected]
268
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
KONŠTRUKCIA NAGELOVHO BODU POMOCOU VPÍSANEJ KRUŽNICE
DUŠAN VALLO
ABSTRACT. In his article we present some properties of the Gergone and Nagel point. These
points are well known in the classical Euclidean geometry and their constructions are
familiar, too. The result which is derived in this article, allow us to describe some new
construction of the Nagel point without using tangent pints of triangle excircles.
Úvod
V tomto článku odvodíme jednu zaujímavú súvislosť medzi Gergonovým G
a Nagelovým N bodom. V celom článku budeme označovať trojuholník ako ABC ;
trojuholníku ABC vpísanú kružnicu označíme k ( O, ρ ) a pripísané kružnice oproti
stranám BC , CA, AB zase ako ka ( Oa , ρ a ) , kb ( Ob , ρb ) , kc ( Oc , ρc ) . Konkrétne
konštrukcie nami skúmaných bodov sú naznačené na obr. 1 a obr. 2 (spolu s popisom
dôležitých dotykových bodov). Uvádzame ich kvôli úplnosti článku, a keďže z obrázkov
sú jasné postupy ich konštrukcie, sú bez komentára.
Gergonov bod
Obr. 1
269
DUŠAN VALLO
Nagelov bod
Obr. 2
Lema 1. Do trojuholníka ABC je vpísaná kružnica k ( O, ρ ) , ktorá sa dotýka strán
AB, BC , AC postupne v bodoch Gc , Ga , Gb . Platí, že AGc = s − a , BGa = s − b ,
CGb = s − c , kde 2s = a + b + c .
Dôkaz čitateľ nájde v [1] , resp. vykoná sám za použitia vlastnosti dotyčníc z bodu ku
kružnici.
Obr. 3
270
KONŠTRUKCIA NAGELOVHO BODU POMOCOU VPÍSANEJ KRUŽNICE
Lema 2. Trojuholníku ABC je pripísaná kružnica ka ( Oa , ρ a ) , ktorá sa dotýka
strany BC v bode N a a priamok AB, AC postupne v bodoch P, Q . Platí, že
AP = AQ = s a BN a = s − c , kde 2s = a + b + c .
Dôkaz čitateľ nájde v [1] , resp. vykoná sám za použitia vlastnosti dotyčníc z bodu ku
kružnici.
Dôsledok. Body dotyku Ga , N a vpísanej a pripísanej kružnice k ( O, ρ ) , ka ( Oa , ρ a ) ležiace
na strane BC trojuholníka ABC sú stredovo súmerné podľa stredu S a strany BC .
Dôkaz priamo vyplýva z lemy 1 a 2.
Veta
Je zrejmé, že ku konštrukcii Gergonovho a Nagelovho bodu musíme nutne zostrojiť osi
vnútorných a vonkajších uhlov trojuholníka ABC a konštrukčne určiť body dotyku
Ga , Gb , Gc vpísanej kružnice k ( O, ρ ) a pripísaných kružníc ka ( Oa , ρ a ) , kb ( Ob , ρb ) ,
kc ( Oc , ρc ) , t.j. body N a , Nb , N c . Nasledujúca veta poskytne možnosť jednoduchšej
konštrukcie Nagelovho bodu.
Veta. Úsečka AN a pretína kružnicu k ( O, ρ ) vpísanú do trojuholníka ABC v dvoch
bodoch, z ktorých jeden je stredovo súmerný s bodom Ga podľa stredu O kružnice
k ( O, ρ ) .
Dôkaz. Označme priesečníky1 kružnice k ( O, ρ ) a úsečky AN a ako K , K1 , pričom
usporiadanie bodov je nasledovné: A, K , K1 , N a . Vzhľadom k tomu, že body Ga , K , K1
ležia na kružnici k ( O, ρ ) , sú trojuholníky Ga K1O , KK1O rovnoramenné so základňami
Ga K1 , KK1 , preto pre veľkosti uhlov platí: ∠OGa K1 = ∠OK1Ga a ∠OKK1 = ∠OK1 K .
Naviac, trojuholník OSa Ga , kde S a je stred strany BC , je pravouhlý s pravým uhlom pri
vrchole Ga , preto tomuto trojuholníku možno opísať Tálesovu kružnicu
⎛
OSa ⎞
kT ⎜ ST , rT =
⎟ s priemerom OSa .
2 ⎠
⎝
Ak označíme priesečník úsečky Ga K1 s úsečkou OS a ako bod P , potom je úsečka Ga K1
je kolmá na OSa (spoločná tetiva Ga K1 kružníc kT , k je kolmá na centrálu OST ). Pre
trojuholníky platí OPGa ≅ OPK1 (trojuholníky sú zhodné podľa vety SsU ). Analogicky
S a PGa ≅ S a PK1 . Z toho vyplýva, že ∠OK1Sa = 90 a bod K1 leží na kT ( ST , rT ) , priamka
S a K1 je tiež dotyčnicou ku kružnici k a naviac Ga Sa = K1S a = N a S a . Bod K1 leží teda
S a PGa ≅ S a PK1 . Z toho vyplýva, že ∠OK1Sa = 90 a bod K1 leží na kT ( ST , rT ) , priamka
1
Priesečníky K , K1 existujú, nakoľko priamka AB je dotyčnicou k ( O, ρ ) a bod N a je bodom strany BC .
271
DUŠAN VALLO
Obr. 4
S a K1 je tiež dotyčnicou ku kružnici k a naviac Ga Sa = K1S a = N a S a . Bod K1 leží teda
na Tálesovej kružnici so stredom S a a priemerom Ga N a , a preto platí ∠Ga K1 N a = 90 .
Odtiaľ zase vyplýva ∠Ga K1 K = 90 . Bod K1 leží teda aj na Tálesovej kružnici
s priemerom Ga K a body K , K1 , Ga patria kružnici k , je táto Tálesova kružnica súčasne aj
kružnicou k . Z čoho jasne vyplýva, že v stredovej súmernosti so stredom v bode O sa
bod Ga zobrazí do bodu K .
Konštrukcia Nagelovho bodu pomocou vpísanej kružnice
Trojuholníku ABC vpíšeme kružnicu k ( O, ρ ) a dotykové body so stranami AB, BC , CA
označíme postupne Gc , Ga , Gb . V stredovej súmernosti so stredom v bode O zobrazíme
body Gc , Ga , Gb postupne do bodov K c , K a , K b . Priamky CK c , AK a , BK b prechádzajú
jedným bodom – Nagelovým.
Obr. 5
272
KONŠTRUKCIA NAGELOVHO BODU POMOCOU VPÍSANEJ KRUŽNICE
Záver
V článku sme dokázali jednu zaujímavú súvislosť medzi Gergonovým a Nagelovým
bodom trojuholníka. Vlastný výsledok - dokázané tvrdenie výrazne zjednodušuje
konštrukciu Nagelovho bodu, ak je zostrojená trojuholníku vpísaná kružnica a sú
vyznačené jej dotykové body so stranami trojuholníka.
LITERATÚRA
[1]
Svrček J., Vanžura J. : Geometrie trojuhelníka. SNTL, Praha 1988
[2]
Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov, FPV UKF v Nitre, Edícia
Prírodovedec č. 164, Nitra 2005, ISBN: 80-8050-825-9, str. 92
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
273
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
AKO OKLAMAŤ L´HOSPITALA
MAREK VARGA
ABSTRACT. In mathematical analysis we met L´Hopital´s rule. It is much important in
limit´s calculus, strictly speaking for solving limits type of „0/0“ or „∞/∞“. In the article we
created such limits, which we can not solve by L´Hopital´s rule.
Úvod
V článku [1] sme sa venovali l´Hospitalovmu pravidlu. Popísali sme rôzne typy limít,
pri ktorých výpočte ho môžeme používať – či už priamo, alebo využitím niekoľkých
šikovných obratov.
V závere uvedeného článku sme sa venovali aj limitám, pri ktorých nám l´Hospitalove
x + sin x
pravidlo nepomohlo. Ako častý príklad sa uvádza limita tvaru lim
. S týmto
x→∞
x
príkladom sme však neboli veľmi spokojní – v tomto prípade totiž nedostaneme výsledok
pomocou l´Hospitalovho pravidla pretože toto pravidlo nemôžeme použiť (nie je splnený
f ′( x) ⎞
predpoklad o existencii lim
⎟.
x → a g′( x) ⎟
⎠
Oveľa viac nás zaujali limity, kde síce l´Hospitalovo pravidlo môžeme použiť, ale napriek
tomu sa k výsledku nedopracujeme. Do tejto kategórie možno zaradiť limitu
e x − e− x
. Pri jej výpočte sa totiž dostávame pomocou l´Hospitalovho pravidla do
lim x
x → ∞ e + e− x
„uzavretého kruhu“:
e x − e− x ∞
e x + e− x ∞
e x − e− x ∞
lim x
lim
lim
=
=
= ...
x → ∞ e + e− x ∞
x → ∞ e x − e− x ∞
x → ∞ e x + e− x ∞
V tomto príspevku sa pokúsime nájsť viacero takých limít, pri ktorých by sme si neporadili
ani pomocou l´Hospitalovým pravidlom.
Ako oklamať l´Hospitala
Prvú trpkú porážku teda utrpelo l´Hospitalovo pravidlo pri predošlej limite. Budú
existovať ďalšie podobné prípady? Ako ich nájsť?
Uvažujme nasledovne: problém v predchádzajúcom výpočte spôsobilo isté „zacyklenie“.
Ak by sme tento problém dokázali vedome zopakovať, výpočet pomocou l´Hospitalovho
pravidla sa opäť musí ocitnúť v slepej uličke (možno presnejšie – v kruhovom objazde).
Tvárme sa teda, že máme počítať limitu
lim
x→a
f ( x)
g ( x)
,
275
MAREK VARGA
pričom táto limita je súca na použitie l´Hospitalovho pravidla. Po jeho aplikovaní
dostaneme lim
x→a
f ′( x)
.
g′( x)
Súčasne žiadame, aby platilo
f ′( x) g ( x)
.
=
g′( x) f ( x)
Dostávame tak diferenciálnu rovnicu
f ( x ) f ′ ( x ) dx = g ( x ) g ′ ( x ) dx .
Ak budeme funkciu f ľubovoľne voliť, pre funkciu g musí potom platiť
g ( x) = ± f 2 ( x) + c ,
pričom reálnu konštantu c zvolíme vždy tak, aby daná limita bola typu „0/0“ alebo
„∞/∞“.
Uveďme niekoľko príkladov.
Príklady
V nasledovnom texte vytvoríme limity typu lim
x→a
f ( x)
g ( x)
, pri výpočte ktorých môžeme
použiť l´Hospitalovo pravidlo, ale žiaľ, k výsledku sa nedostaneme.
A) Položme f ( x ) = x m (m > 1, m∈N), a = ∞.
Potom pre funkciu g dostávame
g ( x ) = x 2m + c ,
kde môžeme zvoliť napríklad c = 10.
Potom použitím l´Hospitalovho pravidla dostávame
lim
x→∞
∞
mx m −1
x 2 m + 10 ∞
= lim
=
lim
=…
2 m −1
x→∞
∞
xm
+ 10 ∞ x → ∞ 2mx
2 x 2 m + 10
xm
x2m
Pomocou elementárnych postupov na riešenie limít by sme však ľahko dostali
276
AKO OKLAMAŤ L´HOSPITALA
lim
x→∞
1
m
1
⋅ x = lim
= 1 .1
1
x→∞
10
+ 10
1 + 2m
xm
x
xm
x2m
B) Analogické problémy s výpočtom limity dostaneme i v ďalších prípadoch, pri ktorých
ex
platí lim f ( x ) = ∞ , tj. napr. lim
x→a
x→∞
e
2x
+c
ln x
, lim
x→∞
ln 2 x + c
... (kde c∈R).
C) Väčšiu variabilitu našich limít dostaneme v prípade goniometrických funkcií využijúc
rôzne vzájomné vzťahy medzi nimi. Zvoľme napríklad f ( x ) = sin x , a = 0.
Potom dostávame f 2 ( x ) = sin 2 x =
1 − cos 2 x
, tj. položíme g ( x ) =
2
1 − cos 2 x
+ c , kde
2
zvolíme c = 0. Použitím l´Hospitalovho pravidla získavame
1 − cos 2 x
2
= lim
x→0
2sin x cos x
2 cos x
sin x
1 − cos 2 x
0
2
=…
sin x
0
0
cos x
= lim
= lim
sin
2x
x
→
0
x→0
0
1 − cos 2 x
1 − cos 2 x
2
2
2
Ak by sme hľadali opäť záchranu v elementárnych úpravách, dostali by sme
1 + cos 2 x
sin x
2 sin x
sin x
sin x
lim
⋅
= 2 lim
= 2 lim
= 2 lim
=1.
x → 0 1 − cos 2 x
x→0
x → 0 sin 2 x
x → 0 2sin x cos x
1 + cos 2 x
1 − cos 2 2 x
2
) Ak chceme limitu ešte trochu „skomplikovať“ využitím ďalších goniometrických identít,
lim
x→0
zvoľme f ( x ) = sin x − cos x , a =
π
.
4
2
Počítajme f 2 ( x ) = ( sin x − cos x ) = sin 2 x − 2sin x cos x + cos 2 x = 1 − sin 2 x .
Pre funkciu g teda platí g ( x ) = 1 − sin 2 x + c , kde položíme c = 0.
Aplikovaním l´Hospitalovho pravidla máme:
lim
π
x→
4
1
( cos x + sin x ) 1 − sin 2 x =
sin x − cos x 0
cos x + sin x
= lim
= − lim
π
π
1 − sin 2 x 0 x → ( −2cos 2 x )
cos 2 x − sin 2 x
x→
4
4
2 1 − sin 2 x
Prípadne by sme
lim f ( x ) = L = lim
x→a
x→a
mohli uvažovať nasledovne: ak
f ( x) > 0 ,
existuje
lim f ( x )
x→a
a
platí
1
1
= , potom zrejme L = 1.
f ( x) L
277
MAREK VARGA
1 − sin 2 x
( cos x + sin x ) 1 − sin 2 x
= lim
π ( cos x − sin x )( cos x + sin x )
π sin x − cos x
x→
x→
= − lim
4
4
0
=…
0
K riešeniu sa možno dopracovať nasledovne:
sin x − cos x 1 + sin 2 x
cos x − sin x
cos x − sin x
lim
⋅
= 2 lim
= 2 lim
=
π
π
π
2
cos 2 x
1 − sin 2 x
1 + sin 2 x
x→
x→
x→
x
1
−
sin
2
4
4
4
= 2 lim
π
x→
4
cos x − sin x
1
= 2 lim
=1.
π
( cos x + sin x )( cos x − sin x )
x → cos x + sin x
4
E) Analogické vzťahy existujú aj medzi hyperbolickými funkciami. Ľahko overíme, že
sinh x
l´Hospitalove pravidlo nám nepomôže pri výpočte limít
,
lim
x→∞
cosh 2 x − c
2
sinh x
... (kde c∈R).
lim
x→−∞
cosh 2 x − c
2
Záver
Silným nástrojom na výpočet mnohých typov limít je l´Hospitalovo pravidlo. V našom
článku sme sa pokúsili ukázať, že existuje mnoho limít, kde toto pravidlo síce môžeme
použiť, no napriek tomu sa k výsledku nedostaneme. Týmto môžeme na seminároch
z matematickej analýzy študentom zdôvodniť nevyhnutnosť ovládania elementárnych
postupov na výpočet najrozmanitejších typov limít – rozklad výrazu na súčin, rozširovanie
výrazov, používanie základných goniometrických vzťahov, vzorcov pre počítanie
s mocninami a logaritmami, atď...
LITERATÚRA
[1]
Varga, M.: Poznámky k l´Hospitalovmu pravidlu, In: DIDZA 6, Žilina, ŽU, 2009,
ISBN 978-80-554-0050-1
PaedDr. Marek Varga, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
278
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
MATEMATIKA V ŠTUDIJNOM PROGRAME DISCI
OČAKÁVANIA, SKÚSENOSTI A NÁZORY ŠTUDENTOV
KITTI VIDERMANOVÁ, JANKA MELUŠOVÁ
ABSTRACT. This contribution deals with Mathematics, as a part of the study programme
Discovery Science (DISCI) designate for secondary students. During seminars there were
presented topics which do not get much place in school mathematics. We present students’
expectations; experiences and opinions obtained by input and output questionnaires.
Úvod
V posledných rokoch je zjavný pokles záujmu o štúdium matematiky a prírodných
vied. Na vzniknutú situáciu sme sa na Fakulte prírodných vied UKF v Nitre pokúsili
reagovať netradičným jednosemestrálnym študijným programom Objavme svet prírodných
vied (DIScovery SCIence). Študijný program bol určený pre žiakov druhého stupňa
základných a študentov stredných škôl nitrianskeho regiónu.
Študenti tohto programu navštevujú univerzitu počas celého prednáškového obdobia
semestra. Vyučovanie prebiehalo v piatich cykloch (1. cyklus február – máj 2007, 2.
cyklus október 2007 – január 2008, 3. cyklus február – máj 2008, 4. cyklus október 2008 –
január 2009, 5. cyklus február – máj 2009). Študijný plán pozostával z piatich predmetov:
matematika, chémia, fyzika, geografia a biológia. V rámci jedného cyklu študenti
absolvovali 9 až 10 hodín priamej výučby (mohli za každú hodinu získať 1 až 6 kreditov,
podľa aktivity), a jednu prednášku (10 kreditov). Každý semester končil promóciou študenti, ktorí získali dostatočný počet kreditov (aspoň 50) boli slávnostne promovaní a bol
im udelený titul Mladý prírodovedec, v skratke JRn – junior rerum naturalis.
Ciele projektu
Ako hlavný cieľ projektu sme si zvolili: Prostredníctvom aktivít projektu umožniť
žiakom ZŠ a študentom SŠ prepojiť teoretické poznatky z prírodných vied získané v škole
s bežnými životnými situáciami – ako konkrétny príklad prepojenia akademickej vedy a
praxe.
Čiastkové ciele:
• prostredníctvom popularizácie vedy zvýšiť vedomostnú úroveň žiakov ZŠ
a študentov SŠ v oblasti prírodných vied,
• zapojiť žiakov ZŠ a študentov SŠ do priamych aktivít, ktoré súvisia s praktickým
využitím vedeckých poznatkov,
• podpora netradičného vnímania prírodných vied v reálnom živote,
• podnietiť zmysluplné trávenie voľného času, kde by žiaci ZŠ a študenti SŠ mohli
zažiť úspech z vlastnej práce a nepoznaného,
• umožniť žiakom ZŠ a študentom SŠ rozvinúť sociálne zručnosti (komunikácia,
presadenie vlastného názoru, práca v skupine), ktoré sú pre nich dôležité v bežnom
živote.
Táto práca bola podporená Agentúrou na podporu výskumu
a vývoja na základe zmluvy č. LPP-0333 –06.
279
KITTI VIDERMANOVÁ, JANKA MELUŠOVÁ
Cieľové skupiny
• Priamymi príjemcami sú žiaci 17-tich základných škôl (ZŠ) a študenti 20-tich
stredných škôl (SŠ) v meste Nitra, vo veku 12 – 19 rokov.
• Nepriamymi príjemcami sú študenti Univerzity Konštantína Filozofa, učitelia ZŠ
a SŠ a široká verejnosť v rámci popularizačných prednášok.
Aktivity projektu
I. etapa projektu (október 2006 - január 2007)
1. aktivita: Monitorovanie cieľových skupín z aspektu poznatkov a záujmu o prírodné
vedy - Vytvorenie dotazníka zameraného na zisťovanie poznatkov a záujmu o prírodné
vedy. Zrealizovanie monitoringu a jeho vyhodnotenie.
2. aktivita: Príprava krúžkovej činnosti - Príprava krúžkovej činnosti po materiálnej aj
obsahovej stránke (napr. príprava pracovných listov, experimentov, modelových
príkladov)
3. aktivita: Propagácia krúžkovej činnosti - Tvorba propagačného materiálu
venovaného popularizácií jednotlivých prírodovedných vied. Tvorba informačného letáku
o krúžkovej činnosti. Propagácia aktivít projektu v masmédiách (TV Z), resp. v printových
a elektronických médiách (http://www.fpv.ukf.sk/)
II. etapa projektu: (február 2007 – jún 2009)
1. aktivita: Krúžková činnosť.
Ako forma vyučovania bolo využívané problémové vyučovanie v malých skupinách
kombinované s odborným výkladom.
V rámci predmetu matematika boli realizované nasledujúce hodiny, pri ktorých
uvádzame aj krátku anotáciu jednotlivých predmetov:
Pre základné školy:
Siete kocky
Cieľom hodiny bude ukázať jeden z možných postupov pri hľadaní sietí kocky.
Úlohou žiakov bude pomocou stavebnice POLYDRON nájsť, čo najviac sieti kocky. Tie si
potom urobia aj z papiera. Na záver si z vlastných sietí kocky vytvoria myšlienkovú mapu.
Šifrovanie
Teória čísel bola dlho považovaná za teoretickú matematickú disciplínu. Až rozvoj
kryptológie priniesol jej významné praktické využitie. Na krúžku sa žiaci oboznámia
s počiatkami šifrovania. Naučia sa používať niektoré známe šifry a vyrobia si vlastné
šifrovacie a dešifrovacie pomôcky (scytale, Ceasarova šifra).
Kreslíme jedným ťahom
Oboznámenie sa s pojmom graf, s príkladmi grafov okolo nás, hravou formou sa nájde
podmienka pre existenciu eulerovského ťahu v grafe (možnosť nakresliť graf jedným
ťahom), výroba posteru s troma druhmi grafom (1. také, ktoré sa jedným ťahom nakresliť
nedajú, 2. také, kde ťah začína v inom vrchole ako končí, 3. ťah začína aj končí v tom
istom vrchole).
Vydláždi si svoju izbu
Cieľom hodiny bude z jednotlivých nastrihaných obrázkov vytvoriť rôzne obrazce –
dlaždičky. Prostredníctvom takejto aktivity žiaci manipulatívne objavia niektoré
zobrazenia, napr. osovú, stredovú súmernosť.
280
MATEMATIKA V ŠTUDIJNOM PROGRAME DISCI – OČAKÁVANIA, SKÚSENOSTI A ...
Záhada čísel
Teória čísel bola dlho považovaná za teoretickú matematickú disciplínu. Až rozvoj
kryptológie priniesol jej významné praktické využitie. Na krúžku sa žiaci oboznámia
s počiatkami šifrovania. Naučia sa používať niektoré známe šifry a vyrobia si vlastné
šifrovacie a dešifrovacie pomôcky (scytale, Ceasarova šifra).
Pre stredné školy:
Pop-up geometria
Anotácia: Pop-up papierové inžinierstvo je súbor techník založených na ohyboch
a rezoch papiera. Vytvárajú 2-rozmerné mechanizmy umiestnené vo vnútri kníh, kariet,
atď., ktoré sa po otvorení stanú trojrozmerné. Pri výslednom efekte sa k 2-rozmernému
objektu pridá tretí rozmer získaný dynamickým pohybom. Podstatný pre pop-up je práve
tento proces transformácie.
Komplexné čísla
Studenti poznaju zo SŠ cisla prirodzene, cele, racionalne, iracionalne a realne.Na ich
VŠ - kurze sa zoznamia s doteraz nepoznanym oborom - komplexnymi cislami.Ziskaju
niektore informacie o ich zapise, vlastnostiach, zobrazeni ci pocitani s nimi.
Matematika v meste
Táto aktivita sa odohrá v rámci dvoch stretnutí. Na prvom dostanú žiaci pokyny,
potom na prechádzke centrom Nitry urobia fotografie zaujímavých budov a častí budov,
ktoré ich zaujmú z geometrického hľadiska. Na druhom stretnutí na základe fotografií
sformulujú niekoľko úloh na výpočet obsahov rovinných útvarov, dĺžok úsečky, prípadne
iných a spoločne ich vyriešia.
Hráme sa s geometriou
Pomocou stavebnice POLYDRON študenti hľadajú všetky siete kocky a štvorstena.
Heuristicky objavovali vlastnosti platónskych a archimedovských telies.
Ako sa vlnia funkcie
Pomocou programu WinPlot študenti objavujú niektoré vlastnosti funkcií. A naopak,
hľadajú rôzne funkcie so zadanými vlastnosťami.
III. etapa projektu: (júl – september 2009)
Overenie dopadu realizovaných aktivít projektu – vyhodnotenie dotazníkov účastníkmi
projektu po absolvovaní každého cyklu krúžkovej činnosti.
Vstupný dotazník
Výstupný dotazník
chlapci
dievčatá
spolu
chlapci
dievčatá spolu
ZŠ
28
16
14 (50,0 %)
14 (50,0 %)
8 (50,0 %)
8 (50,0 %)
LS 2006/07
SŠ
23
15
7 (30,4 %)
16 (69,6 %)
3 (20,0 %)
12 (80,0 %)
ZŠ
25
0
6 (24,0 %)
19 (76,0 %)
0
0
ZS 2007/08
SŠ
4
0
3 (75,0 %)
1 (25,0 %)
0
0
ZŠ
15
13
3 (20,0 %)
12 (80,0 %)
3 (23,1 %)
10 (76,9 %)
LS 2007/08
SŠ
9
6
1 (11,1 %)
8 (88,9 %)
1 (16,7 %)
5 (83,3 %)
ZŠ
13
8
8 (61,5 %)
5 (38,5 %)
4 (50,0 %)
4 (50,0 %)
ZS 2008/09
SŠ
0
0
0
0
0
0
ZŠ
6
15
1 (16,7 %)
5 (83,3 %)
3 (20,0 %)
12 (80,0 %)
LS 2008/09
SŠ
22
20
9 (40,9 %)
13 (59,1 %)
7 (35,0 %)
13 (65,0 %)
Spolu
52 (35,9 %)
93 (64,1 %) 145 29 (31,2 %) 64 (68,8 %)
93
Tabuľka 1 Počet a rozdelenie študentov študijného programu DISCI, ktorí vyplnili dotazní
Skupina
Semester
281
KITTI VIDERMANOVÁ, JANKA MELUŠOVÁ
Vyhodnotenie vstupných dotazníkov
Vstupný dotazník študenti vypĺňali počas zápisu na študijný program. Keďže nie všetci
študenti boli na riadnom termíne zápisu, nepodarilo sa nám získať názory od všetkých
študentov. Odpovede na vybrané otázky dotazníka sú v tabuľkách nižšie.
Skratka ZŠ znamená skupinu žiakov základných škôl, resp. študentov prvého stupňa
osemročných gymnázií, skrátka SŠ skupinu študentov stredných škôl. Označenie letného
semestra je LS a za ním nasleduje akademický rok, analogicky ZS znamená zimný
semester.
Skupina
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
Semester
LS 2006/07
ZS 2007/08
LS 2007/08
ZS 2008/09
LS 2008/09
Spolu
Skupina Semester
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
Spolu
282
LS 2006/07
ZS 2007/08
LS 2007/08
ZS 2008/09
LS 2008/09
Na poznatky z ktorých prírodovedných predmetov sa najviac tešíš?
biológia
fyzika
geografia
chémia
matematika
14 (50,0 %)
7 (25,0 %)
11 (39,3 %)
14 (50,0 %)
8 (28,6 %)
16 (69,6 %)
1 (4,3 %)
5 (21,7 %)
17 (73,9 %)
6 (26,1 %)
6 (24,0 %)
6 (24,0 %)
4 (16,0 %)
9 (36,0 %)
7 (28,0 %)
3 (75,0 %)
1 (25,0 %)
1 (25,0 %)
2 (50,0 %)
1 (25,0 %)
7 (46,7 %)
5 (33,3 %)
3 (20,0 %)
4 (26,7 %)
5 (33,3 %)
8 (88,9 %)
1 (11,1 %)
1 (11,1 %)
4 (44,4 %)
0 (0,0 %)
8 (61,5 %) 13 (100,0 %)
7 (53,8 %)
11 (84,7 %) 13 (100,0 %)
0
0
0
0
0
5 (83,3 %)
1 (16,7 %)
0 (0,0 %)
1 (16,7 %)
0 (0,0 %)
12 (54,6 %)
12 (54,6 %)
5 (22,7 %)
9 (40,9 %)
6 (27,3 %)
82 (56,6 %)
47 (32,4 %) 38 (26,2 %)
Tabuľka 2
73 (50,3 %)
40 (27,6 %)
Zaujímaš sa o prírodovedné predmety aj vo svojom voľnom čase?
Ak áno, ako?
áno
9 (32,1 %)
7 (30,4 %)
16 (64 %)
1 (25,0 %)
4 (26,6 %)
4 (44,4 %)
11 (84,6 %)
x
3 (50,0 %)
7 (31,8 %)
62 (42,7 %)
nie
samoštúdium štúdium, krúžok
súťaže
19 (67,8 %)
4 (14,2 %)
2 (7,1 %) 1 (3,5 %)
16 (69,5 %)
5 (21,7 %)
1 (4,3 %) 2 (8,6 %)
9 (36,0 %)
8 (32 %)
0 (0 %)
2 (8 %)
3 (75,0 %)
3 (75 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
11 (73,3 %)
2 (13,3 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
5 (55,5 %)
3 (33,3 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
2 (15,3 %)
3 (23,0 %)
0 (0 %) 1 (7,6 %)
x
x
x
x
3 (50,0 %)
3 (50,0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
15 (68,1 %)
5 (22,7 %)
1 (4,5 %) 2 (9,0 %)
83 (57,2 %) 36 (24,8 %)
4 (2,7 %) 8 (5,5 %)
Tabuľka 3
MATEMATIKA V ŠTUDIJNOM PROGRAME DISCI – OČAKÁVANIA, SKÚSENOSTI A ...
Z tabuľky 2 vidíme, že záujem žiakov o jednotlivé vyučovacie predmety je rôzny.
Matematika patrila spolu s geografiou medzi predmety, na ktoré sa študenti tešili najmenej.
Najviac študentov sa tešilo na biológiu. Rozdielny je zimný semester akademického roku
2008/09, kedy medzi predmety, na ktoré sa najviac tešia, študenti zaradili na prvé miesto
fyziku a chémiu.
Počet študentov, ktorí uviedli, že sa o prírodovedné predmety zaujímali aj inak ako
navštevovaním študijného programu DISCI je približne rovnaký ako počet tých, ktorí
uviedli, že nie. Otázka „ako“ bola otvorená. Najčastejším prejavom záujmu o prírodovedné
predmety a matematiku je samoštúdium. Do tejto kategórie sme zaradili odpovede
zahŕňajúce rôzne zdroje informácií, ako sú čítanie kníh, encyklopédie, vyhľadávanie na
Internete, sledovanie náučných programov v televízii, ale aj počítanie príkladov, tvorba
projektov a pod.
Skupina
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
Spolu
Semester
LS 2006/07
ZS 2007/08
LS 2007/08
ZS 2008/09
LS 2008/09
O ktoré prírodovedné predmety sa zaujímaš aj vo svojom voľnom
čase?
biológia
fyzika
geografia
chémia
matematika
0 (0 %)
1 (3,5 %)
1 (3,5 %)
0 (0 %)
3 (10,7 %)
5 (21,7 %) 6 (26,0 %)
1 (4,3 %) 1 (4,3 %)
2 (8,6 %)
1 (4,0 %) 3 (12,0 %)
1 (4,0 %) 2 (8,0 %)
2 (8,0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
2 (15,3 %)
1 (7,6 %)
2 (15,3 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
x
x
x
x
x
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
3 (13,6 %)
1 (4,5 %)
3 (13,6 %) 1 (4,5 %)
1 (4,5 %)
11 (7,5 %) 12 (8,2 %)
8 (5,5 %) 4 (2,7 %)
8 (5,5 %)
Tabuľka 4
Čo očakávaš od predmetu matematika?
Sk. Semester
nové
nechám sa
zlepším sa
vedomosti
prekvapiť
zábava
nič
skúmanie
ZŠ
14 (50 %) 7 (25 %)
2 (7,1 %)
0 (0 %) 1 (3,5 %)
2 (7,1 %)
LS 2006/07
SŠ
23 (100 %) 8 (34,7 %) 11 (47,8 %) 12 (52,1 %) 2 (8,6 %) 7 (30,4 %)
ZŠ
7 (28 %) 5 (20 %)
2 (8 %)
7 (28 %)
1 (4 %)
2 (8 %)
ZS 2007/08
SŠ
4 (100 %) 3 (75 %)
1 (25 %)
1 (25 %)
0 (0 %)
3 (75 %)
ZŠ
9 (60 %) 3 (20 %)
1 (6,6 %) 5 (33,3 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
LS 2007/08
SŠ
6 (66,6 %) 3 (33,3 %) 1 (11,1 %) 1 (11,1 %)
0 (0 %) 3 (33,3 %)
ZŠ
13 (100 %)
0 (0 %) 4 (30,7 %)
1 (7,6 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
ZS 2008/09
SŠ
x
x
x
x
x
x
ZŠ
4 (66,6 %)
0 (0 %)
0 (0 %) 1 (16,6 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
LS 2008/09
SŠ
6 (27,2 %)
0 (0 %)
1 (4,5 %)
1 (4,5 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
Spolu
86 (59,3 %) 29 (20 %) 23 (15,8 %) 29 (20 %) 4 (2,7 %) 17 (11,7 %)
Tabuľka 5
nechcem
ten predmet
1 (3,5 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
x
0 (0 %)
0 (0 %)
1 (0,6 %)
283
KITTI VIDERMANOVÁ, JANKA MELUŠOVÁ
Študenti deklarovali, že sa najviac zaujímajú o fyziku a biológiu. Nízky počet
študentov, ktorí sa zaujímali o chémiu mohol byť spôsobený aj zložením študentov
študijného programu DISCI. Žiaci 6. ročníka základnej školy chémiu ešte nemali, žiaci 7.
ročníka ZŠ v zimnom semestri mali za sebou iba mesiac vyučovania tohto predmetu.
Od matematiky najviac študentov očakávalo nové vedomosti, na rovnakej úrovni sa
umiestnilo vlastné zlepšenie (v matematike) a zábava. Zaujímavé je, že 17 študentov
očakáva od matematiky experimentovanie a skúmanie a že iba jediný študent sa vyjadril,
že tento predmet nechce.
Vyhodnotenie výstupných dotazníkov
Výstupný dotazník študenti vypĺňali počas poslednej hodiny v semestri. Označenie
skupín študentov a semestrov je rovnaké ako pri vstupnom dotazníku.
Skupina
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
Spolu
Rozdiel
Semester
LS 2006/07
LS 2007/08
ZS 2008/09
LS 2008/09
Ktorý z predmetov ťa najviac zaujal?
biológia
fyzika
geografia
chémia
6 (37,5 %)
5 (31,2 %)
7 (43,7 %) 13 (81,2 %)
11 (73,3 %)
6 (40,0 %)
2 (13,3 %)
6 (40,0 %)
2 (15,3 %)
9 (69,2 %)
3 (23,0 %)
0 (0 %)
1 (16,6 %)
0 (0 %)
2 (33,3 %)
4 (66,6 %)
5 (62,5 %) 8 (100,0 %)
4 (50,0 %)
3 (37,5 %)
x
x
x
x
3 (20,0 %)
3 (20,0 %)
5 (33,3 %) 13 (86,6 %)
14 (70,0 %)
5 (25,0 %)
8 (40,0 %) 13 (65,0 %)
42 (45,1 %) 36 (38,7 %) 31 (33,3 %) 52 (55,9 %)
-11,5 %
6,3 %
7,1 %
5,6 %
Tabuľka 6
Zmenil sa tvoj postoj k prírodovedným predmetom
po absolvovaní tohto štúdia?
Sk. Semester
áno
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
ZŠ
SŠ
Spolu
matematika
4 (25,0 %)
3 (20,0 %)
4 (30,7 %)
5 (83,3 %)
4 (50,0 %)
x
1 (6,6 %)
6 (30,0 %)
27 (29,0 %)
1,4 %
nie
je ešte lepší
LS
10 (62,5 %)
6 (37,5 %)
4 (25 %)
2006/07
9 (60,, %)
6 (40,0 %)
5 (33,3 %)
LS
13 (100 %)
0 (0 %)
7 (53,8 %)
2007/08 3 (50,0 %)
3 (50,0 %)
1 (16,6 %)
ZS
8 (100 %)
2 (25,0 %)
8 (100 %)
2008/09
x
x
x
LS
13 (86,6 %)
2 (13,3 %)
2 (13,3 %)
2008/09 15 (75,0 %)
5 (25,0 %) 11 (55,0 %)
71 (76,3 %) 24 (25,8 %) 38 (40,8 %)
Tabuľka 7
bol dobrý aj
predtým
viac ma
zaujímajú
mám nové
vedomosti
0 (0 %)
5 (33,3 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
x
0 (0 %)
7 (35,0 %)
12 (12,9 %)
1 (6,2 %)
4 (26,6 %)
0 (0 %)
1 (16,6 %)
1 (12,5 %)
x
1 (6,6 %)
0 (0 %)
8 (8,6 %)
0 (0 %)
1 (6,6 %)
0 (0 %)
2 (33,3 %)
0 (0 %)
x
0 (0 %)
7 (35,0 %)
10 (10,7 %)
V tabuľke 6 je v stĺpci „Rozdiel“ rozdiel počtu percent študentov, ktorí daný predmet
vo vstupnom dotazníku označili, že sa naň tešia a počtu percent študentov, ktorí predmet
284
MATEMATIKA V ŠTUDIJNOM PROGRAME DISCI – OČAKÁVANIA, SKÚSENOSTI A ...
označili, že ich najviac zaujal. Najväčší rozdiel (a jediný záporný) je pri predmete biológia.
Matematiku ako zaujímavú označilo o 1,4 % študentov viac, ako bolo tých, ktorí
deklarovali, že sa na ňu tešia.
Na otázku „Zmenil sa tvoj postoj k prírodovedným predmetom počas štúdia
odpovedalo kladne viac ako tri štvrtiny respondentov a 12,9 % respondentov uviedlo, že
ich vzťah sa nezmenil, pretože bol dobrý aj predtým. Takže iba 11,9 % študentov je
takých, ktorých vzťah k prírodovedným predmetom a matematike zostal nie práve
pozitívny. Z ich komentárom k odpovediam vyberáme: nenechal som sa oklamať; tu to
vyzerá dobre, lebo si vyberiete iba pekné veci, ale skutočnosť je iná.
Myslíš si, že poznatky, ktoré si nadobudol v rámci tohto štúdia využiješ
aj neskôr?
Skupina Semester
áno,
áno, ale
neviem
nie
áno, v škole v bežnom
neviem kde
živote
ZŠ
0
8 (50,0 %)
10 (62,5 %)
0 (0 %)
3 (18,7 %)
LS 2006/07
SŠ
0
4 (26,6 %)
4 (26,6 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
ZŠ
0
6 (46,1 %)
8 (61,5 %)
0 (0 %)
1 (7,6 %)
LS 2007/08
SŠ
0
3 (50,0 %)
4 (66,6 %)
0 (0 %)
0 (0 %)
ZŠ
0
8 (100 %)
8 (100 %)
0 (0 %)
2 (25,0 %)
ZS 2008/09
SŠ
0
x
x
x
x
ZŠ
0 13 (86,6 %)
6 (40,0 %)
0 (0 %)
2 (13,3 %)
LS 2008/09
SŠ
0 11 (55,0 %)
14 (70,0 %) 3 (15,0 %)
0 (0 %)
Spolu
0 53 (56,9 %)
54 (58,0 %)
3 (3,2 %)
8 (8,6 %)
Tabuľka 8
Až 58 % opýtaných študentov vidí možnosti využitia získaných vedomostí v bežnom
živote. Dokonca sa nenašiel nikto, kto by uviedol, že poznatky nadobudnuté počas štúdia
nevyužije, hoci 8,6 % respondentov nevie, či ich využije a 3,2 % respondentov nevie, kde
by ich využila.
Na otázku „Ktoré ďalšie témy by Ťa ešte zaujímali?“ odpovedalo 26 študentov.
Odpovede neviem sme nerátali. Žiaci základných škôl by sa radi venovali algebre,
hlavolamom; vzniku a princípom práce kalkulačky; spôsobom, ako najrýchlejšie vyrátať
príklad, teórii čísel (hlavne prvočísla), chceli by ďalšie informácie o šifrovaní; rovniciach,
grafoch funkcií, zvlášť goniometrických funkcií.
Študenti stredných škôl by radi viacej počítali. Medzi témy, ktoré vymenovali patrili
derivácie, počítanie v minulosti, riešenie zložitých príkladov, rovnice, teória superstrún a
vysoká matematika, komplexné čísla; výpočtové úlohy, úlohy z olympiád; výrazy, rovnice.
Záver
Z výsledkov dotazníka môžeme usúdiť, že nami zvolená forma propagácie vedy je
úspešná. Na poznatky z aktuálneho projektu nadviažeme v rokoch 2010 až 2012, kedy
bude prebiehať voľné pokračovanie tohto projektu – aj keď odlišnou formou. Študenti si
tentoraz vyskúšajú, aké je ťažké napísať záverečnú prácu. Na zvolených témach uvidia
285
KITTI VIDERMANOVÁ, JANKA MELUŠOVÁ
vzájomné prepojenie prírodovedných predmetov. Dúfame, že aj táto nová forma výučby sa
stretne s takým veľkým záujmom a obľubou u študentov.
LITERATÚRA
[1]
Melušová, J. – Švecová, V. – Varga, M. – Vidermanová, K.: Detská univerzita –
nástroj na popularizáciu (nielen) matematiky. In: 40. konferencia slovenských
matematikov, konaná v dňoch 27. – 30- 11. 2008 v Jasnej pod Chopkom. Žilina:
EDIS, 2008. - ISBN 978-80-8070-928-0. - S. 33-34.
[2]
Valovičová, Ľ. – Zelenický, Ľ.: Objavme svet prírodných vied na FPV UKF v Nitre.
In: Vyučovanie fyziky vo svetle nových poznatkov vedy: zborník referátov zo XVI.
medzinárodnej konferencie DIDFYZ 2008. Račkova dolina, 15. - 18. októbra 2008.
Nitra: UKF, 2009. - ISBN 978-80-8094-496-4. - S. 492-497.
[3]
Valovičová, Ľ. – Hasprová, M. – Kramáreková, H. – Melušová, J.: Študijný program
DISCI. In: Nové metódy propagace přirodních věd mezi mladeží aneb věda je
zábava: sborník příspěvků. Olomouc: Univerzita Palackého, 2007. ISBN 978-80244-1808-7. S. 62-63.
[4]
Valovičová, Ľ.: Tvorivosť vo voľnočasových aktivitách. In: Acta didaktica : Teória a
prax vyučovania prírodovedných predmetov. ISSN 1337-0073. Roč. 2, č. 4 (2008),
s. 104-111.
RNDr. Kitti Vidermanová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
286
PaedDr. Janka Melušová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
RIEŠENIE MATEMATICKÝCH (ZÁBAVNÝCH A LOGICKÝCH) ÚLOH
ŽIAKMI 7. ROČNÍKA ZÁKLADNEJ ŠKOLY A ŽIAKOV TERCIÍ
OSEMROČNÉHO GYMNÁZIA
ALENA VIZIOVÁ
ABSTRACT. We present results of research solving entertaining and logical tasks by 13
years old students of mathematics. We compare their knowledge and skills from
mathematics which they can use through solving these tasks. Students would like to solve
these tasks which make education more attractive and entertaining.
ÚVOD
Schopnosť riešiť úlohy je jedným zo základných ukazovateľov úrovne matematických
znalostí a hĺbky osvojenia si učebnej látky z matematiky žiakmi na každom stupni
školského vzdelávania. V školskej praxi matematiku učíme prostredníctvom úloh. Musíme
im venovať pozornosť, pretože sú dôležitým motivačným činiteľom.
Popri úlohách v zbierkach a učebniciach by mal učiteľ využívať úlohy, ktoré robia
vyučovanie matematiky zaujímavejším, zábavnejším a radostnejším. Je vhodné, aby
riešenie takýchto úloh bolo triviálne, ktoré môže rovnako rozvíjať schopnosti učiť sa, riešiť
problémy a odhaľovať stratégie. Vzhľadom na svoj zábavný charakter môžu prinášať vo
vyučovaní lepšie výsledky ako klasické úlohy a môžu byť pre žiakov atraktívnejšie. Do
skupiny zábavných a zaujímavých úloh môžeme zaraďovať úlohy na prvočísla,
Fibonacciho čísla, úlohy o súčtoch čísel, magické štvorce, úlohy na numeráciu, hry
s číslami, úlohy kombinatorického charakteru, úlohy na výrokovú logiku, úlohy na
priestorovú a geometrickú predstavivosť, konštrukčné úlohy, slovné úlohy, hlavolamy so
zápalkami, úlohy „jedným ťahom“, matematické krížovky a osemsmerovky, matematické
rozprávky, tangramy, „pozeraj a počítaj“, atď.
1 Ako riešiť netradičné matematické úlohy
Vo vyučovaní matematiky na základných a stredných školách majú študenti najväčšie
problémy pri riešení "zaujímavých", "netradičných", "hviezdičkových" a inými
prívlastkami označených úloh. Bežné, šablonovité úlohy im spravidla nerobia problémy.
Aby učiteľ vedel naučiť žiakov riešiť úlohy daného typu je potrebné, aby aj on sám
dokázal dané typy úloh riešiť a vedel vysvetliť ich podstatu svojim žiakom. Riešenie úloh
je veľmi kreatívna záležitosť. Tréningom (teda najmä zamýšľaním sa nad úlohami a
štúdiom princípov riešenia úloh) sa dá vybudovať cit (matematická intuícia), ktorý sa
potom javí ako kreativita pri riešení logických hádaniek a matematických problémov.
2 Ciele a organizácia výskumu
Cieľom realizovaného výskumu bolo zistiť schopnosť riešiť zábavných a logických
úloh trinásťročných žiakov (siedmych ročníkov ZŠ a tercií osemročného gymnázia), zistiť
úroveň schopnosti žiakov abstrahovať a porozumieť otázke, prepájať poznatky z
287
ALENA VIZIOVÁ
jednotlivých tematických celkov, ako aj preveriť odhad študentov, systematickosť ich
práce a ich zručnosť v práci s číslami a rôznymi geometrickými útvarmi. Zároveň sme
sledovali najčastejšie sa opakujúce chyby, resp. nedostatky v postupoch riešenia. Testovaní
žiaci sa nachádzajú v období staršieho školského veku (obdobie medzi 11. – 15. rokom
života). V tomto období sa výrazne prejavuje vplyv puberty, ktorá ovplyvňuje celý ich
organizmus a samozrejme aj záujem o vyučovací proces. Výskumu sa zúčastnilo 85
trinásťročných žiakov jednej nitrianskej ZŠ, konkrétne 29 študentov siedmeho ročníka ZŠ
a 56 študentov tercií osemročného gymnázia (OGY) v Nitre. Z toho 28 žiakov
navštevujúcich triedu zameranú na cudzie jazyky (TA – tercia A) a 28 žiakov
navštevujúcich triedu zameranú na programovanie (TB – tercia B).Výskum sa uskutočnil v
mesiaci jún 2009, v každej z tried jednotlivých škôl samostatne počas troch vyučovacích
hodín. Študenti mali k dispozícií 135 minút na písomné vypracovanie úloh. Všetci
vyučujúci dostali rovnaké metodické pokyny pre riešenie matematických úloh vo svojich
triedach.
3 Výsledky výskumu a ich interpretácia
Test pozostával z 2 častí, ktoré žiaci riešili na 3 vyučovacích hodinách (135 minút).
Poradie riešenia jednotlivých úloh si mohli žiaci zvoliť sami. Jednotlivé skupiny
testovaných žiakov riešili úlohy s rôznou úspešnosťou. Keďže každá z výskumných častí
testu je charakterovo iná, rozanalyzujeme ich najskôr jednotlivo.
3.1 Vyhodnotenie 1. časti
Správne riešenie 1. časť testu bolo ohodnotené 13-timi bodmi. Len jedna žiačka ZŠ
získala plný počet bodov. Prvá časť testu začínala tajničkou (Obr.1). Plný počet bodov,
ktorí žiaci mohli získať bol 2, 1 bod získali, ak mali aspoň 5 správne doplnených pojmov
a 0 bodov, ak mali menej správnych odpovedí ako 5 získali 0 bodov. (Tab. 1).
TA
TB
ZŠ
Obr.1: Zadanie tajničky
0b
8
13
9
1b
7
6
17
2b
13
9
3
úspešnosť
46,43%
32,14%
10,34%
Tab. 1: Vyhodnotenie tajničky
Väčšina žiakov správne vyriešila obidve osemsmerovky, ich riešenie aj vypísali (Obr.2),
takže za každú osemsmerovku mohli získať 1 bod (Tab. 2).
Osemsmerovka 1 (Mocniny)
Osemsmerovka 2 (Trojuholníky)
Obr.2: Riešenie osemsmeroviek žiačkou tercie A
288
Mocniny Trojuholníky
TA
100,00%
96, 43 %
TB
85, 71%
89, 29%
ZŠ
89,66%
89,66%
Tab. 2: Vyhodnotenie osemsmeroviek
RIEŠENIE MATEMATICKCH (ZÁBAVNÝCH A LOGICKÝCH) ÚLOH ...
V ďalšej úlohe „počítaj a pozeraj“ žiaci mohli získať plný počet bodov 2 za správny počet
trojuholníkov (13) na obrázku. Jeden bod získali, ak zapísali počet 10 (zarátali aj veľký
trojuholník), resp. 12 (zabudli zarátať veľký trojuholník, zarátali stredné). Ak uviedli počet
trojuholníkov 9 získali 0 bodov, pretože z obrázku je zrejmých 9 malých trojuholníkov
(Obr.3). Nasledujúca tabuľka (Tab.3) poukazuje na vyhodnotenie danej úlohy.
0 b 1 b 2 b úspešnosť
TA
0
5
23
82,14%
TB
0
1
26
92, 86 %
Obr.3: Ukážka riešenia úlohy „pozeraj a počítaj“
ZŠ
1
1
27
93, 10 %
Tab.3: Vyhodnotenie úlohy „pozeraj a počítaj“
Nakoniec prvej časti žiaci riešili 7 zápalkových hlavolamov.
Hlavolam 1
Hlavolam 2
Hlavolam 3
Hlavolam 4
Pri riešení daného hlavolamu
žiaci uvádzali tieto 3 najčastejšie
spôsoby riešenia.
Hlavolam 5
Hlavolam 6
8 testovaných
žiakov uvádzalo
aj nesprávne riešenie.
Hlavolam 7
Obr. 4: Riešenie zápalkového hlavolamu 5 žiakom 7. ročníka ZŠ
Pri riešení hlavolamu žiaci uvádzali nasledovné 3 možné riešenia:
1. riešenie: V + V = X (dané riešenie uviedli žiaci: 2 –TA, 5 – TB, 8 – 7. ročníka ZŠ),
2. riešenie: X + I = XI (dané riešenie uviedli žiaci: 8 – TA, 7 – TA, 8 - 7. ročníka ZŠ),
3.riešenie: I + X = XI (dané riešenie uviedli žiaci: 6 – TA, 0 - TA, 6 - 7. ročníka ZŠ).
Mnohí žiaci uvádzali aj nesprávne riešenie: X +X = X X (pridali 2 zápalky), XI – X = X,
X – X ≠ X (premiestnili len 1zápalku), X = VII +II (daná rovnosť neplatí).
hlavolam
1
hlavolam
2
hlavolam
3
hlavolam
4
hlavolam
5
hlavolam
6
hlavolam
7
TA
85,71%
96,43%
89,29%
71,43%
3,57%
67,86%
57,14%
TB
78,57%
89,29%
96,43%
85,71%
32, 14 %
64,29%
42,86%
ZŠ
89,66%
96,55%
96,55%
89,66%
82,76%
86,21%
Tab. 4: Vyhodnotenie zápalkových hlavolamov
75,86%
289
ALENA VIZIOVÁ
Všetkým trom skupinám najväčšie problémy robili zápalkové hlavolamy 5 a 7 (Tab.4).
Najvyššiu úspešnosť dosiahli žiaci TA v riešení osemsmerovky 1 (100%), žiaci TB pri
riešení zápalkového hlavolamu 3 (96,43 %) a žiaci ZŠ vyriešením zápalkových
hlavolamov 2 a 3 dosiahli najvyššiu úspešnosť 96,55%. Prvá časť testu bola zameraná na
riešenie zábavných úloh, bola uvedená ako prvá v poradí, nakoľko sme predpokladali jej
motivačný účinok u slabšie prospievajúcich žiakov o matematické úlohy. Danú časť testu
najlepšie vypracovali žiaci 7. ročníka ZŠ, ktorí majú najlepšie zručnosti v riešení
zábavných úloh (Tab.5).
body úspešnosť
TA
271
74,45%
TB
264
72,53%
ZŠ
310
82,23%
Tab.5: Vyhodnotenie 1. časti testu
3.2 Vyhodnotenie 2. časti testu
V druhej časti testu žiaci riešili 14 slovných úloh (ďalej len úloh ), ktoré boli zamerané
na logické myslenie a priestorovú predstavivosť). Plný počet správneho riešenia bol 27
bodov. Nikto z testovaných žiakov ho nezískal (2 žiačky z TA získali 26 bodov). Ďalej
uvedieme vyhodnotenie a niekoľko postrehov z vyhodnotenia 2. časti testu, v ktorých
úlohách žiaci dosiahli najvyššiu (najnižšiu) úspešnosť a aké najčastejšie chyby sa
objavovali pri ich riešení.
úloha č.1
úloha č.2
úloha č.3
úloha č.4
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
TA
5
1
22
78,57%
10
0
18
64,29%
9
6
13
46,43%
1
27
úspešnosť
96,43%
TB
0
0
28
100,00%
6
0
22
78,57%
5
9
14
50,00%
1
27
96,43%
ZŠ
15
1
10
34,48%
21
0
8
27,59%
5
19
5
17,24%
1
28
96,55%
Tab.6:Vyhodnotenie slovných úloh č.1, č.2, č.3 a č. 4
Úloha č.4: Piatimi zásahmi do terča získal strelec 28 bodov. Zistite, ktoré kruhy
a koľkokrát zasiahol.
1. riešenie:
2. riešenie: 2 = 1x
3 = 2x
10 = 2x
Traja žiaci TA a dvaja žiaci TB uvázali obidve riešenia. Ostatní žiaci uviedli len jedno
riešenie.
Úloha č.8: Ako rozdeliť ciferník hodín na 3 časti tak, aby súčet vo všetkých častiach bol
rovnaký?
Žiaci, ktorí správne vyriešili danú úlohu uvádzali aj postup
ako dostanú súčet čísel v jednej časti (súčet čísel na
ciferníku vydelili číslom 3) a zároveň vyznačili aj
Obr.5: Riešenie úlohy žiačkou TA
jeho rozdelenie (Obr.5).
úloha č. 5
úloha č.6
úloha č. 7
úloha č.8
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnoť
TA
13
9
6
21,43%
9
7
12
42,86%
0
1
27
96,43%
20
2
6
21,43%
TB
17
2
9
32,14%
8
7
13
46,43%
4
0
24
85,71%
21
3
4
14,29%
ZŠ
24
3
2
6,90%
29
0
0
0,00%
4
1
24
82,76%
24
1
4
13,79%
Tab.7:Vyhodnotenie slovných úloh č.5, č.6, č.7, č.8
290
RIEŠENIE MATEMATICKCH (ZÁBAVNÝCH A LOGICKÝCH) ÚLOH ...
Úloha č.9: Doplňte sieť hracej kocky na obrázku, tak aby súčet bodiek na každých dvoch
protiľahlých stenách kocky bol 7 (Obr.6).
Žiaci všetkých 3 skupín sa dopúšťali rovnakej chyby:
do siete kocky vedľa jednej bodky doplnili šesť
bodiek, vedľa štyroch bodiek doplnili tri bodky a
vedľa dvoch bodiek doplnili päť bodiek.
Obr.6:Správne riešenie úlohy č.9
Úloha č.10: Jedna z piatich kociek označených číslom od 1 do 5
zodpovedá tej, ktorá je rozložená v podobe kríža. Ktorá kocka je to?
úloha č. 9
úloha č.10
úloha č. 11
úloha č. 12
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
úspešnosť
0b
1b
2b
úspešnosť
0b
1b
úspešnosť
TA
23
0
5
17,86%
17
11
39,29%
1
6
21
75,00%
1
27
96,43%
TB
13
0
15
53,57%
21
7
25%
3
3
22
78,57%
5
23
82,14%
ZŠ
26
1
2
6,90%
22
7
24,14%
4
3
22
75,86%
18
11
37,93%
Tab.8: Vyhodnotenie slovných úloh č.9, č.10,č.11, č.12
úloha č. 13
úloha č.14
0b
1b
2b
3b
úspešnosť
0b
1b
2b
3b
úspešnosť
body
úspešnosť
TA
6
9
7
6
21,43
4
8
1
15
53,57%
TA
452
59,79%
TB
13
5
7
3
10,71%
8
4
0
16
57,14%
TB
463
61,24%
ZŠ
24
3
2
0
0,00%
16
5
1
7
24,14%
ZŠ
269
34,36%
Tab.9: Vyhodnotenie slovných úloh č.13,č.14
Tab. 10: Vyhodnotenie 2. časti testu
Druhú časť testu najlepšie vypracovali žiaci TB, potom žiaci TA a nakoniec žiaci ZŠ.
Z uvedeného vyplýva, že žiaci ZŠ majú najslabšie schopnosti v riešení úloh zameraných na
logické myslenie a priestorovú predstavivosť (Tab.10). Najvyššie úspešnosti dosiahli žiaci
(všetkých 3 skupín) v úlohách č. 7 (Myslím si číslo. Ak ho zväčším dvakrát a výsledok
zmenším o 3, dostanem číslo 37. Aké číslo si myslím?) a č. 4. Najnižšie úspešnosti dosiahli
žiaci TA a TB v úlohách č. 8 a č. 10. Žiakom TB a ZŠ robila spoločne problémy úloha č. 5
a žiakom TA a žiakom ZŠ robila spoločne problémy úloha č.9.
3.3 Vyhodnotenie celého testu
Z celého testu mohli žiaci získať 40 bodov. Po vyhodnotení 1. a 2. časti sme zistili aj
percentuálnu úspešnosť každého testovaného žiaka, ktorej sme priradili príslušný
klasifikačný stupeň podľa nasledovnej stupnice:
výborný: 40 (100 %) – 36 (90 %),
chválitebný: 35 (89 %) – 30 (75 %),
dostatočný: 19 (49 %) – 10 (25%),
dobrý: 29 (74 %) – 20 (50 %) ,
nedostatočný: 9 (24 %) - 0 (0%).
Od žiakov TB sa očakávalo, že ako trieda zameraná na programovanie budú dosahovať
lepšie výsledky v riešení úloh ako žiaci TA, ktorí sú zameraní na cudzie jazyky. Žiaci TA
dosiahli len o niekoľko stotín nižšiu percentuálnu úspešnosť v porovnaní s TB. Takže tieto
2 triedy sú porovnateľné nielen v danom teste, ale aj vo výsledkoch, ktoré dosahujú na
hodinách matematiky. Žiaci ŽS získali najnižšiu úspešnosť aj napriek vysokej
percentuálnej úspešnosti v 1. časti testu. Zistili sme aj priemernú známka v každej skupine.
291
ALENA VIZIOVÁ
TA
TB
ZŠ
body
723
727
579
úspešnosť
64,55%
64,91%
49,91%
priemerná známka z testu priemerná známka z matematiky
2,82
1,97
2,75
1,93
3,37
2,03
Tab. 11: Vyhodnotenie testu
Z viacročných pozorovaní vyplýva, že výsledky vyučovacej činnosti žiakov OGY sa
v posledných rokoch zhoršujú, napriek tomu dosahujú lepšie výsledky v riešení daných
úloh ako ich rovesníci na ZŠ. Aj keď priemerná známka z matematiky na konci 7. ročníka
(tercie) je u testovaných skupín porovnateľná (Tab.11). Zaradenie riešenia zábavných úloh
do vyučovania matematiky môže vzbudiť záujem u slabšie prospievajúcich žiakov o daný
predmet, a tým sa matematika stane pre nich atraktívnejšia a zaujímavejšia. Slabšie
prospievajúci žiaci dosiahli lepšie výsledky v riešení týchto úloh ako výborní (lepšie
prospievajúci) žiaci. U týchto žiakov sa prejavil záujem o matematiku, pretože aj oni zažili
pocit úspechu zo správne vyriešených úloh. Naopak pri riešení logických úloh sa prejavili
lepšie schopnosti žiakov, ktorí dosahujú výborné vzdelávacie výsledky.
Záver
V našom experimente sme sa snažili poukázať na to, ako trinásťročný žiaci dokážu
aplikovať nadobudnuté vedomosti v riešení zábavných a logických úloh na hodinách
matematiky. Výsledky výskumu poukazujú, že aj keď všetky tri skupiny žiakov majú
porovnateľné priemery z matematiky na konci 7. ročníka, resp. tercie. Najlepšie daný test
zvládli žiaci TB, potom TA a nakoniec žiaci 7. ročníka ZŠ, ktorý napriek tomu s výrazným
percentuálnym rozdielom lepšie zvládli 1. časť testu. Preto učitelia matematiky okrem úloh
v zbierkach a učebniciach mali by využívať aj úlohy, ktoré zatraktívnia vyučovanie
matematiky. Riešenie zábavných úloh môže u slabšie prospievajúcich žiakov vzbudiť
záujem o matematiku a zaradenie riešenia logických úloh na hodinách matematiky prispeje
k podpore logického myslenia a predstavivosti všetkých žiakov.
Literatúra
[1]
Novomeský,Š. – Križalkovič, K.- Lečko,I.: 777 matematických zábaviek a
hračiek, Bratislava, SPN, 1974, ISBN 67 – 150 -74
[2]
Lengyelfalusy,T. - Horváthová,K.: Metódy riešenia matematických úloh I, Žilina,
EDIS, 2008, ISBN 978-80-8070-882-5
[3]
Ušákova, K. a kol.: Biológia pre gymnáziá 6, Bratislava, EXPOL pedagogika,
2005, ISBN 80-89003-81-8
[4]
http://www.ide.sk
PaedDr. Alena Viziová
Gymnázium
Golianova 68
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
292
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
RIEMANNOV ČI NEWTONOV INTEGRÁL?
PETER VRÁBEL
ABSTRACT. The Riemann integral is preferred before the Newton integral in university
study of mathematics. Some advantages of introduction the Newton integral are discussed
in the paper.
Úvod
Situácia nových osnov výučby matematiky na stredných školách sa javí tak, že
základné pojmy diferenciálneho a integrálneho počtu vypadnú. Zostáva však výučba
infinitezimálneho počtu v základoch matematickej analýzy na vysokých školách. Budeme
sa zaoberať situáciou prvého kontaktu študentov s pojmom integrál. Isté problémy
vznikajú u študentov s dôsledným pochopením Riemannovho integrálu. Je tu pravda aj
Newtonov integrál. Po teoretickej stránke je samozrejme vzťah oboch integrálov a ich
zovšeobecnení dávno jasný. Riemannov integrál je „vylepšený“ Kurzweil-Henstockovým
integrálom (aj Lebesgueovým integrálom) a Newtonov zasa Perronovým integrálom s tým,
že každá funkcia je kurzweilovsky integrovateľná práve vtedy, keď je perronovsky
integrovateľná a oba integrály sa rovnajú. Pokiaľ Kurzweil-Henstockov integrál
z výkladového hľadiska je prístupnejší ako Perronov integrál, o ich predchodcoch to platí
možno naopak. O motivačných a didaktických aspektoch zavedenia Newtonovho resp.
Riemannovho integrálu, prípadne uprednostnenia jedného z uvedených integrálov, možno
diskutovať.
Od obsahu krivočiareho lichobežníka k Newtonovmu integrálu
Teraz podrobnejšie podáme jeden pohľad na pojem obsahu rovinného obrazca
U ( f , a, b) ohraničeného grafom spojitej a nezápornej funkcie f uvažovanej na intervale
[a, b], priamkami x = a, x = b a súradnicovou osou ox , teda
(1)
U ( f , a, b) =
{[x, y]∈ R
2
}
; a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f ( x) .
O uvažovaných funkciách budeme predpokladať, že sú spojité na intervale [0, ∞ )
(množinu všetkých spojitých nezáporných funkcií na intervale [0, ∞ ) označme C[0,∞) ).
Nech U označuje množinu všetkých obrazcov ( „krivočiarych“ lichobežníkov) tvaru (1),
kde 0 ≤ a < b < ∞ a f ∈ C[0,∞). Predpokladajme, že každému krivočiaremu lichobežníku
U ( f , a, b) ∈ U je možné priradiť nejaké reálne číslo (nižšie ukážeme, že nezáporné)
O( f , a, b) , ktoré nazveme jeho obsahom, pričom budeme predpokladať nasledovné
vlastnosti tohto priradenia, ktoré intuitívne prijímame z geometrického názoru:
(a)
pre ľubovoľné a, b, c ∈[0,∞), a < b < c, platí tzv. aditívnosť obsahu:
O( f , a, c) = O( f , a, b) + O( f , b, c) ;
293
PETER VRÁBEL
(b)
pre ľubovoľné a, b, c, d ∈[0,∞), a ≤ b < c ≤ d , U ( f , b, c) ⊆ U ( g , a, d ) (teda pre
každé x∈[b, c] f ( x) ≤ g ( x) ) platí tzv. monotónnosť obsahu:
O ( f , b, c ) ≤ O ( g , a , d ) ;
(c)
ak funkcia f je konštantná a f ( x) = c, c ≥ 0 , tak O( f , a, b) = c(b − a ) .
Uvažujeme teda vlastne isté zobrazenie O : U → R , kde namiesto O(U ( f , a, b)) píšeme
stručnejšie O( f , a, b) . Nech U ( g , a, b) ∈ U a f ( x) = 0 na intervale [a, b]. Potom
U ( f , a, b) ⊆ U ( g , a, b) a z vlastností (b) a (c) vyplýva, že 0 = O( f , a, b) ≤ O ( g , a, b) ,
teda zobrazenie O nadobúda nezáporné hodnoty.
Pomocou uvedeného zobrazenia možno definovať pre ľubovoľnú pevnú funkciu f ∈
C[0,∞) funkciu F : (0, ∞) → [0, ∞) rovnosťou F ( x) = O( f ,0, x) .
Táto funkcia je neklesajúca, pretože ak 0 < x1 < x 2 , potom U ( f ,0, x1 ) ⊆ U ( f ,0, x 2 ) a
z vlastnosti (b) dostávame nerovnosť F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) .
Pre ľubovoľné a, b ∈ (0, ∞) , a < b, O( f ,0, b) = O( f ,0, a ) + O( f , a, b) .
Potom F (b) − F (a ) = O( f ,0, b) − O( f ,0, a ) = O( f , a, b) .
Teraz dokážeme, že funkcia F je primitívnou funkciou k funkcii f na intervale (0, ∞) .
Zvoľme ľubovoľne x ∈ (0, ∞) , ale v ďalšej úvahe s ním pracujeme ako s pevným číslom..
Nech h označuje prírastok argumentu. Predpokladajme najskôr, že h > 0. Potom
O( f , x, x + h) = F ( x + h) − F ( x) , teda F(x + h) - F(x) je obsah krivočiareho
lichobežníka U ( f , x, x + h) .
Nech mh , M h označuje minimum resp. maximum funkcie f na intervale
[ x, x + h] . Uvažujme na intervale [ x, x + h] konštantné funkcie h( x) = mh , g ( x) = M h .
Potom U (h, x, x + h) ⊆ U ( f , x, x + h) ⊆ U ( g , x, x + h) a z vlastností (b), (c) vyplývajú
nerovnosti mh ⋅ h ≤ F ( x + h) − F ( x) ≤ M h ⋅ h . Odtiaľ vyplýva, že
F ( x + h) − F ( x )
mh ≤
≤ M h.
h
K tým istým nerovnostiam dospejeme i v prípade h < 0 a intervalu [x + h, x].
Keďže f je spojitá, tak z medzihodnotovej vlastnosti spojitej funkcie na intervale vyplýva,
že existuje
F ( x + h) − F ( x)
ξ h ∈ [ x, x + h] , resp. ξ h ∈ [ x + h, x] , že f (ξ h ) =
.
h
Potom pre h → 0 platí ξ h → x
a
F ( x + h) − F ( x )
= lim f (ξ h ) = f ( x ) .
h→0
h →0
h
Ak maximum funkcie f na intervale [0, b] označíme c, tak pre každé x ∈ (0, b] a funkciu
h( x) = c platí: F ( x) = O( f , 0, x) ≤ O(h, 0, x) = cx , 0 ≤ lim F ( x) ≤ lim cx = 0 ,
F ′( x) = lim
x →0+
294
x →0+
RIEMANNOV ČI NEWTONOV INTEGRAL
teda
lim F ( x) = 0 . Takto možno funkciu F v bode 0 spojito dodefinovať rovnosťou
x →0 +
F (0) = 0 . Z hore uvedeného postupu pre x = 0 vyplýva, že F+′ (0) = f (0) .
Nech G je ľubovoľná primitívna funkcia k funkcii f na intervale [0, ∞ ) . Potom F, G sú na
intervale [0, ∞ ) primitívne funkcie k tej istej funkcii f. Preto existuje taká konštanta c, že
pre každé x ∈ [0, ∞ ) platí G ( x) = F ( x) + c .
Ak má mať zobrazenie obsahu O vlastnosti (a), (b), (c), tak potom jeho hodnoty
O( f , a, b) pre ľubovoľnú pevnú funkciu f ∈ C[0,∞) sú vlastne určené ľubovoľnou jej
primitívnou funkciou G , pričom platí
(2)
O( f , a, b) = G (b) − G (a) .
Platí aj opačne. Nech zobrazenie O : U → R je dané pre ľubovoľnú pevnú funkciu
f ∈ C[0,∞) rovnosťou O( f , a, b) = F (b) − F (a) , pričom funkcia F je primitívnou
funkciou k funkcii f na intervale [0, ∞ ) a voľme ju tak, aby platilo F (0) = 0 . Keďže na
intervale [0, ∞ ) platí F ′( x) = f ( x) ≥ 0 , tak funkcia F je na [0, ∞ ) neklesajúca. Potom
funkcia F aj zobrazenie O nadobúdajú iba nezáporné hodnoty.
Ľahko teraz nahliadneme, že takto definované zobrazenie O spĺňa vlastnosti (a), (b), (c):
(a´) Pre ľubovoľné a, b, c ∈[0,∞), a < b < c platí
O( f , a, c) = F (c) − F (a) = ( F (c) − F (b)) + ( F (b) − F (a)) = O( f , a, b) + O( f , b, c) ;
(b´) Nech a, b, c, d ∈[0,∞), a ≤ b < c ≤ d , U ( f , b, c) ⊆ U ( g , a, d ) . Potom pre každé
x∈[b, c] platí f ( x) ≤ g ( x) a (G ( x) − F ( x))′ = G ′( x) − F ′( x) = g ( x) − f ( x) ≥ 0 ,
teda funkcia G − F je na intervale [b, c] neklesajúca. Takto dostávame:
G (b) − F (b) ≤ G (c) − F (c) , teda F (c) − F (b) ≤ G (c) − G (b) ,
O( f , b, c) = F (c) − F (b) ≤ G (c) − G (b) = O( g , b, c) ≤
≤ (G (b) − G (a )) + (G (c) − G (b)) + (G (d ) − G (c)) =
O ( g , a , b ) + O ( g , b, c ) + O ( g , c , d ) = O ( g , a , d ) .
Sčítanec G (b) − G (a ), resp. (G (d ) − G (c)) uvažujeme iba vtedy, keď a < b resp. c < d .
(c´) ak funkcia f je konštantná a f ( x) = c, c ≥ 0 , tak F ( x) = cx a
O( f , a, b) = F (b) − F (a ) = cb − ca = c(b − a) .
Tak napríklad funkcia f ( x) = sin x má primitívnu funkciu F ( x) = − cos x .
Potom O( f ,0, π ) = F (π ) − F (0) = − cos π − (− cos 0) = 2 a teda obsah obrazca
ohraničeného grafom funkcie y = sin x uvažovanej na intervale
a osou x-ovou sa
x3
rovná číslu 2. Podobne funkcia g ( x) = x 2 má primitívnu funkciu G ( x) =
3
O( g ,0,1) = G (1) − G (0) =
a
1
.
3
295
PETER VRÁBEL
Je pravda celý rad úloh, napríklad vo fyzike, ktoré vedú k vlastnostiam (a), (b), (c), len
funkcia O je nahradená nejakou fyzikálnou veličinou. Napríklad ak uvažujeme funkciu
(funkcie) rýchlosti v pohybujúceho sa bodu s nezávislou časovou premennou t, tak úlohu
funkcie O by prevzala funkcia dráhy s: hodnota s (v, a, b) by označovala prejdenú drahu
bodu, t ∈ [a, b] , v(t ) je rýchlosť pohybujúceho sa bodu v čase t .
Definícia Newtonovho integrálu by bola teraz naporúdzi:
Definícia. Budeme hovoriť, že funkcia f je na intervale [a, b] newtonovsky integrovateľná,
ak existuje funkcia F, ktorá je spojitá na intervale [a, b] a F ′( x) = f ( x) pre každé
x ∈ (a, b) − K , kde K je konečná podmnožina intervalu (a, b) . Číslo F (b) − F (a)
b
nazveme Newtonovým integrálom funkcie f na intervale [a, b] a označíme (N) ∫ f ( x) dx .
a
Poznámka. Funkciu F z definície budeme nazývať zovšeobecnenou primitívnou funkciou
k funkcii f na intervale [a, b]. Ak F a G sú zovšeobecnené primitívne funkcie k funkcii f
na intervale [a, b] s množinami K1 a K 2 , tak sa líšia iba o konštantu. Skutočne, nech
x1 < x 2 < … < x n je usporiadanie čísel množiny K1 ∪ K 2 . Funkcia F − G je spojitá na
[a, b] a na každom z intervalov ( a, x1 ) , ( x1 , x 2 ) , … , ( x n −1 , x n ) , ( x n , b) sa jej derivácia
rovná 0. Odtiaľ vyplýva, že funkcia F − G je na intervaloch [a, x1 ] , [x1 , x 2 ] , … ,
[xn −1 , xn ] , [xn , b] je konštantná.
Potom
F (a ) − G (a ) = F ( x1 ) − G ( x1 ) = F ( x 2 ) − G ( x 2 ) = = F ( x n ) − G ( x n ) = F (b) − G (b)
To však znamená, že funkcia F − G je konštantná na intervale [a, b].
Z toho už vyplýva, že predchádzajúca definícia je korektná a hodnota Newtonovho
integrálu funkcie f nezávisí od výberu jej zovšeobecnenej primitívnej funkcie.
V predchádzajúcej definícii dostávame častý základný špeciálny prípad, keď K = ∅.
Všeobecnejšie chápanie primitívnej funkcie využijeme pri dôkaze aditívnosti Newtonovho
integrálu.
Základné vlastnosti Newtonovho integrálu
Slovo Newtonov resp. newtonovsky budeme v súvislosti s integrálom vynechávať.
Základne vety pre jeho výpočet dostaneme „okamžite“ (jednoduché dôkazy sú
v zátvorkách):
(1) Ak je funkcia f na intervale [a, b] integrovateľná, tak je integrovateľná i na
ľubovoľnom intervale [c, d ] ⊆ [a, b].
(Ak F je zovšeobecnenou primitívnou funkciou k funkcii f na intervale [a, b], tak zúženie
tejto funkcie na interval [c, d ] je zrejme zovšeobecnenou primitívnou funkciou k funkcii f
na intervale [c, d ] .)
296
RIEMANNOV ČI NEWTONOV INTEGRAL
(2) - aditívnosť. Ak je funkcia f integrovateľná na intervaloch [a, b], [b, c ] , tak je
c
b
c
a
a
b
integrovateľná i na intervale [a, c ] a platí: ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .
( Ak F resp. G je zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii f na intervale [a, b] resp.
[b, c] (funkciu G voľme tak, aby F (b) = G (b) ), tak zrejme funkcia H, kde H ( x) = F ( x)
pre x ∈ [a, b ] a H ( x) = G ( x) pre x ∈ [b, c ], je zovšeobecnenou primitívnou funkciou
k funkcii f na intervale [a, c] a platí
c
∫ f ( x)dx = H (c) − H (a ) = H (c) − H (b) + H (b) − H (a) =
a
b
c
a
b
G (c) − G (b) + F (b) − F (a) = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .)
(3) - lineárnosť. Ak funkcie f, g sú integrovateľné na intervale [a, b] a c1 , c 2 sú konštanty,
tak aj funkcia c1 f + c 2 g je integrovateľná na [a, b] a platí:
b
b
b
a
a
a
∫ (c1 f ( x) + c 2 g ( x))dx = c1 ∫ f ( x)dx + c 2 ∫ g ( x)dx .
(Ak F resp. G je zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii f resp. g na intervale [a, b] s
množinou K1 resp. K 2 , tak c1 F + c 2 G je spojitá na [a, b] a
(c1 F ( x) + c 2 G ( x))′ = c1 f ( x) + c 2 g ( x) pre každé x ∈ (a, b) − ( K1 ∪ K 2 ) . Teda
c1 F + c 2 G je zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii c1 f + c 2 g na [a, b] a
b
∫ (c1 f ( x) + c 2 g ( x))dx = c1 F (b) + c 2 G (b) − (c1 F (a) + c 2 G (a )) =
a
b
b
a
a
c1 ( F (b) − F (a )) + c1 (G (b) − G (a )) = c1 ∫ f ( x)dx + c 2 ∫ g ( x)dx .)
(4) – substitúcia. Nech funkcia f je integrovateľná na intervale [a, b]. Nech funkcia ϕ je
rastúca a spojitá na intervale [α , β ] a má deriváciu v každom bode t ∈ (α , β ) − K , kde
K je konečná podmnožina intervalu (α , β ) . Nech ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b . Potom funkcia
( f ϕ ) ⋅ ϕ ′ je integrovateľná na intervale [α , β ] a platí:
β
b
∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = ∫ f ( x)dx .
α
a
(Ak F je zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii f na [a, b] s množinou K1 , tak F
ϕ
je spojitá na [α , β ] a pre každé t ∈ (α , β ) − ( K ∪ ϕ −1 ( K1 )) platí
( F ϕ )′(t ) = F ′(ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t ) = f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t ) , teda F ϕ je zovšeobecnená primitívna
funkcia k funkcii ( f ϕ ) ⋅ ϕ ′ na [α , β ] .
297
PETER VRÁBEL
Potom platí:
β
b
∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ ( β )) − F (ϕ (α )) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x)dx . )
α
a
Záver
Definícia i dôkazy vlastností Newtonovho integrálu sú jednoduchšie ako Riemannovho
integrálu. Je tu však jeden problém. Známymi metódami výpočtu neurčitého integrálu
možno k mnohým elementárnym spojitým funkciám nájsť primitívnu funkciu. Bez
použitia Riemannovho integrálu však nevieme prostriedkami matematickej analýzy
všeobecne dokázať (nie použitím intuitívnych poznatkov z geometrie, ako to bolo hore
uvedené), že každá funkcia spojitá na nejakom intervale má na tomto intervale primitívnu
funkciu. Pritom uvedená definícia Newtonovho integrálu sa vzťahuje aj na niektoré
neohraničené funkcie a možno ju zovšeobecniť i na neohraničené intervaly.
Zovšeobecnená definícia Newtonovho integrálu:
Nech F je zovšeobecnená primitívna funkcia k funkcii f na intervale I s krajnými bodmi a,
b, − ∞ ≤ a < b ≤ +∞ . Ak existujú vlastné limity lim F ( x) , lim F ( x) , tak funkciu
x →a+
x → b−
f nazveme na intervale I newtonovsky integrovateľnou a číslo lim F ( x) − lim F ( x)
x → b−
nazveme jej Newtonovým integrálom.
x → a+
LITERATÚRA
[1]
Riečan, B.: Čo s Riemannovým integrálom, OMFI 3/2009 (38), JSMF, Nitra,
Protonit, 4-16, ISSN 1335-4981.
[2]
Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele II , MFF Univerzity Karlovej, Praha,
MATFYZPRESS, 1997, ISBN 80-85863-23-5.
[3]
Vrábel, P.: Pán profesor, nemusíte to dokazovať, my vám veríme. In: Učiteľ
matematiky, jeho profil a príprava. Nitra , KM FPV UKF, 2005. s. 23-26. ISBN 808050-843-7.
Doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
298
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
PRIESKUM VYUČOVANIA PRAVDEPODOBNOSTI NA ZŠ, SOŠ
A GYMNÁZIÁCH
MARTA VRÁBELOVÁ, ERIKA KNEJPOVÁ
ABSTRACT. This article obtains the evaluation of a research on teaching probability on
primary and secondary schools. The research is focused on the state of teaching probability,
teacher’s fondness for probability, the using ICT in teaching probability and the teacher’s
interest in creating of a web portal on teaching probability.
Ciele prieskumu
Ako prebieha výučba pravdepodobnosti na školách a aké sú názory učiteľov na ňu sme
zisťovali formou prieskumu stavu vyučovania pravdepodobnosti na základných
a stredných školách. Cieľom prieskumu bolo:
•
•
•
•
preskúmať stav vyučovania pravdepodobnosti na základných a stredných školách
overiť hypotézu, že teória pravdepodobnosti nepatrí medzi obľúbené tematické
celky učiteľov matematiky
preskúmať využitie IKT na vyučovaní matematiky a preskúmať využitie IKT
konkrétne vo výučbe základných pojmov pravdepodobnosti a kombinatoriky
preskúmať záujem resp. potrebu vytvorenia webového portálu venovaného
vyučovaniu základných pojmov pravdepodobnosti
Metóda a organizácia prieskumu
V tomto deskriptívnom výskume sme použili dotazníkovú metódu, konkrétne tri typy
dotazníkov. Každý z nich obsahoval jedenásť otázok týkajúcich sa vyučovania
pravdepodobnosti, využitia IKT pri vyučovaní matematiky a najmä pri vyučovaní
základných pojmov pravdepodobnosti a kombinatoriky, potrieb vytvorenia webového
portálu venovanému vyučovaniu pravdepodobnosti a kombinatoriky. Dotazníky boli
prispôsobené pre základné školy, štvorročné a osemročné gymnáziá a stredné odborné
školy.
Dotazníky boli na školy distribuované elektronickou poštou a školy mohli zaslať
odpovede elektronicky alebo písomne klasickou poštou. Oslovili sme spolu 803 škôl z toho
535 základných škôl, 214 gymnázií a 54 stredných odborných škôl. Vrátilo sa nám 105
dotazníkov zo základných škôl, 40 dotazníkov z gymnázií a 25 dotazníkov z oslovených
stredných škôl. Tieto dotazníky boli vyplnené pred platnosťou nového školského zákona,
pred novou školskou reformou a týkajú sa vyučovania pravdepodobnosti po „starom“. Po
„starom“ sa v školskom roku 2008/2009 vyučujú všetci okrem študentov prvých ročníkov
a prímy gymnázií. V čase písania tohto článku nemôžeme posúdiť, či reforma výučby
pravdepodobnosti prinesie lepšie výsledky vo vzdelávaní našich žiakov, študentov. Bolo
by zaujímavé o niekoľko rokov urobiť podobný prieskum, zistiť názory vyučujúcich na
výučbu pravdepodobnosti pred a po reforme školstva.
V tomto článku vyhodnotíme odpovede len na niektoré otázky dotazníka.
Príspevok je podporovaný projektom KEGA 03/7001/09.
299
MARTA VRÁBELOVÁ, ERIKA KNEJPOVÁ
Vyhodnotenie prieskumu
Stav vyučovania pravdepodobnosti na ZŠ
Z učebných osnov pre 2. stupeň základných škôl vyplýva, že v 8. ročníku v celku
pravdepodobnosť žiak získa skúsenosti v pozorovaní udalostí, rozozná isté, možné, ale aj
neisté a nemožné udalosti, vie odhadnúť pravdepodobnosť udalosti, chápe potrebu použitia
relatívnej početnosti. Obsahom tohto celku sú pravdepodobnostné pokusy, početnosť,
relatívna početnosť a výpočet relatívnej početnosti. S pravdepodobnosťou sa žiak na
základnej škole stretáva ešte v 9. ročníku v celku Kombinatorika, štatistika a
pravdepodobnosť. Tu sa oboznámi s významom termínov početnosť javu, relatívna
početnosť, pravdepodobnosť udalosti a vie riešiť jednoduché úlohy s pravdepodobnostnou
tematikou. Z prieskumu vyplynuli nasledujúce skutočnosti. Na základnej škole sa
preberajú tieto tematické celky: 24% respondentov sa venuje histórii a vzniku
pravdepodobnosti v priemere 1,13 hodiny v 8. ročníku. Základným pojmom ako náhodný
jav, náhodný pokus, istý, neistý, nemožný jav sa priemerne v 8. ročníku venuje 2,22
vyučovacích hodín v 95% prieskumu zúčastnených škôl. Vzťahy medzi náhodnými javmi
preberá už iba 38% respondentov. Venujú im prevažne v 8. ročníku v priemere 2,15
vyučovacích hodín. V 8. a 9. ročníku priemerne 2,6 vyučovacích hodín sa v 93% škôl žiaci
oboznamujú s relatívnou a absolútnou početnosťou. Pojem pravdepodobnosti je zaradený
do učiva u 88% respondentov prevažne v 8. a 9. ročníku s časovou dotáciou 1,63 hodiny.
Vlastnosti pravdepodobnosti preberá už iba 55% škôl a to najmä v 8. ročníku 1,68 hodiny.
Tabuľka náhodných čísel a aj náhodné hry sú spestrením výučby pravdepodobnosti u
31% škôl. Obe témy sa preberajú prevažne v 8. a 9. ročníku s časovým rozsahom náhodné
hry 1,81 a tabuľka náhodných čísel 1,74 hodiny. Geometrická pravdepodobnosť je
súčasťou učiva v 7% zapojených škôl preberaná najmä v 9. ročníku v priemere s časovou
dotáciou 1,7 hodiny. V jednom prípade sa žiaci oboznamujú jednu vyučovaciu hodinu
s metódou Monte Carlo v 8. ročníku. Okrem povinných hodín matematiky 5%
respondentov uvádza, že pojmy z pravdepodobnosti sa u nich preberajú aj ako rozširujúce
učivo v rámci matematických krúžkov a cvičení z matematiky.
Na základných školách pri výučbe pravdepodobnosti učitelia používajú vo veľkej
miere – v 99% učebnicu Šedivý O. a kolektív: Matematika pre ZŠ. Potom sú to v 7,6%
učebnice Repáš a kol.: Matematika pre ZŠ a Bálint: Kombinatorika, pravdepodobnosť,
štatistika - dočasné učebné texty s metodickými poznámkami. V 4,9% prípadov používajú
príklady z Testov Didaktis 2000 – 2008, 3,9% zbierku Bálint, Kuzma: Zbierka úloh z
matematiky pre 8. ročník a vlastné pracovné materiály, v 2,9% učitelia používajú
publikáciu Berová, Bero: Pomocník z matematiky pre 8. ročník. V 1,9% sú to tieto
materiály: Soósová: Zbierka úloh z matematiky pre 9. ročník, Sadloňová: Matematika zbierka príkladov, úlohy z Monitorov predchádzajúcich ročníkov, testy na prijímacie
skúšky, staršie učebnice na cvičenia z matematiky, metodické materiály MPC Prešov,
Fruhafová, Varia: Zbierka cvičení a testov z matematiky pre 8. a 9. ročník. Učitelia
používajú okrem učebníc matematiky pre základné školy v 1% literatúru: Hrdina: Príklady
z matematiky pre 8-ročné gymnáziá, Telepovský: Prázdninová matematika, Tarábek, J.:
Testy z matematiky 2007, Sadloňová: Monitor a prijímacie pohovory, Kováčik, Scholcová:
Zbierka úloh z matematiky, Kolbaská, V.: Kombinatorika pre ZŠ a osemročné gymnáziá,
Schvartzová, E.: Pracovné listy, ktoré zostavilo MPC Prešov.
Učitelia základných škôl pri výučbe pravdepodobnosti, pri oboznamovaní žiakov
s novými pravdepodobnostnými poznatkami využívajú rôzne vyučovacie metódy. V 93%
výklad, 74% didaktickú hru, 71% experiment, 50% problémové vyučovanie, 33% metódu
300
PRIESKUM VYUČOVANIA PRAVDEPODOBNOSTI NA ZŠ, SOŠ A GYMNÁZIÁCH
analýzy a syntézy, 25% výučbu podporovanú PC, 19% heuristickú metódu a 17%
respondentov brainstorming.
Stav vyučovania pravdepodobnosti na SOŠ
Ciele výučby pravdepodobnosti na SOŠ sú uvedené v učebných osnovách [4].
Z uskutočneného prieskumu sme zistili, že pravdepodobnosť sa na stredných odborných
školách preberá prevažne v 3. a 4. ročníku. Tematický celok resp. učivo, priemerný počet
hodín venovaný tomuto učivu a percento škôl, ktoré tento tematický celok preberajú je
uvedený v tabuľke 1.
Priemerný počet
vyuč. hod.
Učivo
História pravdepodobnosti
Základné pojmy ako náhodný jav, náhodný pokus,
istý, neistý, nemožný jav
Vzťahy medzi náhodnými pokusmi (zjednotenie
javov, prienik javov, ...)
Početnosť – relatívna, absolútna početnosť
Pojem pravdepodobnosti
Vlastnosti pravdepodobnosti
Klasická definícia pravdepodobnosti
Tabuľka náhodných čísel
Bernoulliho schéma
Náhodné hry – spravodlivé a hazardné hry
Koľko škôl
preberá učivo
1
36%
1,46
96%
2,04
92%
1,30
1,35
1,55
1,39
1,00
2,05
1,67
88%
92%
92%
92%
12%
76%
24%
Tabuľka 1. Vyučovanie tematického celku pravdepodobnosť na SOŠ
Geometrická pravdepodobnosť, Galtonova doska a Metóda Monte Carlo sa nepreberá
na hodinách matematiky v ani jednej zo zapojených škôl. Na hodinách cvičení
z matematiky sa študenti SOŠ zdokonaľujú vo svojich vedomostiach a zručnostiach,
pripravujú na maturitu z matematiky a 12% respondentov sa zdokonaľuje v poznatkoch
z teórie pravdepodobnosti.
Najčastejšie učitelia stredných škôl pri výučbe matematiky využívajú výklad, na
druhom mieste je didaktická hra, potom experiment a najmenej používajú učitelia
brainstorming. Výučba podporovaná PC je až na šiestom mieste rebríčka využívania
vyučovacích metód.
Stav vyučovania pravdepodobnosti na gymnáziách
V prípade štvorročného štúdia sa pravdepodobnosť „po starom“ začleňuje do štvrtého
ročníku gymnázia, do tematického celku Štatistika a pravdepodobnosť s odporúčaným
počtom hodín 20. Pravdepodobnosť sa vyučuje aj v rámci voliteľného predmetu Seminár
z matematiky pre 3. a 4. ročník. Jeho obsah sa vyberá podľa záujmu študentov alebo podľa
zamerania učiteľa. V prípade osemročných gymnázií je pravdepodobnosť uvádzaná iba v
návrhu tematických celkov rozširujúceho učiva. Štandardy pre matematiku osemročného
gymnázia nie sú.
Z nášho prieskumu vyučovania pravdepodobnosti na gymnáziách vyplynuli priemerné
počty vyučovacích hodín a ročník, v ktorom sa učivo z teórie pravdepodobnosti prevažne
preberá na školách našich respondentov. Tieto údaje sú prehľadne zapísané v tabuľke 2.
301
MARTA VRÁBELOVÁ, ERIKA KNEJPOVÁ
Učivo
História pravdepodobnosti
Základné pojmy ako náhodný jav, náhodný pokus,
istý, neistý, nemožný jav
Vzťahy medzi náhodnými pokusmi (zjednotenie
javov, prienik javov, ...)
Početnosť– relatívna, absolútna početnosť
Pojem pravdepodobnosti
Vlastnosti pravdepodobnosti
Klasická definícia pravdepodobnosti
Tabuľka náhodných čísel
Geometrická pravdepodobnosť
Bernoulliho schéma
Náhodné hry – spravodlivé a hazardné hry
Priemerný
počet
vyuč. hod.
0,97
3. a septima
Koľko škôl
preberá
učivo
72%
1,80
4. a oktáva
90%
1,81
4. a oktáva
87%
1,32
1,30
1,57
1,35
1,33
1,68
2,03
1,50
4. a oktáva
4. a oktáva
4. a oktáva
4. a oktáva
4. a oktáva
4. a oktáva
3. a septima
4. a oktáva
3., septima,
4. a oktáva
4. a oktáva
97%
100%
97%
95%
8%
90%
90%
30%
Metóda Monte Carlo
1,00
Podmienená pravdepodobnosť
1,67
Ročník
8%
15%
Tabuľka 2. Vyučovanie tematických celkov pravdepodobnosti na gymnáziách
Z výsledkov prieskumu vyplýva, že iba v 13% sa pravdepodobnosť vyučuje ako
rozširujúce učivo v rámci krúžku – najčastejšie v rámci matematického krúžku alebo
cvičení z matematiky. Respondenti uviedli, že sa na nich preberá základné a prehlbujúce
učivo z osnov. V dotazníku uvádzajú: náhodný jav, náhodný pokus, náhodné hry, klasická
pravdepodobnosť, Bernoulliho schéma, závislé a nezávislé javy, teória hier a chaosu. Pri
vyučovaní základných pojmov z teórie pravdepodobnosti v 80% používajú učebnicu B.
Riečana, Matematika pre 3. ročník gymnázia – Pravdepodobnosť, v 55% Kombinatoriku
pre 2. ročník gymnázia od J. Smidu, 50% T. Hecht a kol.: Matematika pre 4. ročník
gymnázií a SOŠ – Pravdepodobnosť a štatistika a zbierka úloh, 47,5% T. Hecht a kol.:
Matematika pre 1. ročník – Kombinatorika a zbierka úloh. Z ostatnej literatúry to sú
učebnice a zbierky úloh: Ľ. Burjanová, I. Viskupová: Matematika SŠ v testoch, 2. časť
(12,5%), J. Petáková: Príprava k maturite a k prijímacím pohovorom na VŠ (12,5%), J.
Kováčik a kol.: Riešenie príkladov z matematiky (7,5%), M. Vlach: Seminár a cvičenia
z matematiky – Teória hier pre 4. ročník gymnázia (5,0%), J. Polák: Stredoškolská
matematika v úlohách II (5,0%), E. Calda, V. Dupač: Matematika pro gymnáziá Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika (5,0%), A. Plocki: Pravdepodobnosť okolo nás
(5,0%), Z. Opava: Matematika kolem nás (2,5%), Partiková, Reiterová: Nová maturita 2
(2,5%), I. Bušek a kol.: Zbierka úloh z matematiky pre 3. ročník gymnázia (2,5%), Černek,
Kubáček: Nová maturita z matematiky (2,5%).
Učitelia gymnázií takisto najčastejšie využívajú pri vyučovaní teórie pravdepodobnosti
výklad a to 88% respondentov, problémové vyučovanie a metódu analýzy a syntézy
zhodne 55%, experiment 45%, heuristickú metódu 25%, didaktickú hru 23%, výučba
podporovaná počítačom 20%, brainstorming 13% a najmenej využívanými metódami sú
v prípade 3% respondentov diskusia a samostatná práca.
Obľúbenosť pravdepodobnosti
Z prieskumu vyplynulo, že u 55% učiteľov – respondentov nepatrí pravdepodobnosť
medzi obľúbené tematické celky. Pri skúmaní stavu u jednotlivých stupňov škôl sme
302
PRIESKUM VYUČOVANIA PRAVDEPODOBNOSTI NA ZŠ, SOŠ A GYMNÁZIÁCH
zistili, že učitelia na základných školách v 63% nemajú radi toto učivo. U gymnázií je to
o niečo lepšie, tu 52% učiteľov pravdepodobnosť obľubuje. Stredné odborné školy
a obchodné akadémie z tohto zisťovania vyšli najlepšie – v 64% učitelia obľubujú tento
tematický celok.
IKT vo vyučovaní pravdepodobnosti
Počítačovú učebňu, kde by podľa potreby mohla prebiehať výučba matematiky má
k dispozícii 93% našich respondentov zo ZŠ avšak iba 77% učiteľov využíva na hodinách
matematiky IKT. Ako najčastejšie dôvody prečo tomu tak je uvádzajú vysoké počty žiakov
v triedach (28,6% respondentov) a nedostatočný počet počítačov v učebni (31,4%
respondentov). 20% učiteľov nie je spokojných so softvérom na výučbu matematiky alebo
tvrdia, že chýba. 2,9% nepovažuje využitie počítača pri výučbe matematiky za potrebné.
Z odpovedí na otázku o využívaní IKT na hodinách matematiky vyplynulo, že len 17%
učiteľov ZŠ využíva IKT pri výučbe základných pojmov pravdepodobnosti
a kombinatoriky. Učitelia uvádzajú, že využívajú imagine projekty, online hry na
kombinatoriku, vytvorené pracovné listy v grafickom alebo textovom editore, Albert –
demo škola hrou, multimediálne encyklopédie, prezentácie, tabuľkový editor napr. Excel,
Langmaster, Speedmath – program na precvičovanie matematických vedomostí zábavnou
formou.
Zistili sme, že 68% stredných odborných škôl má k dispozícii počítačovú učebňu, ktorú
podľa potreby môžu využiť na vyučovanie matematiky. Avšak iba 48% respondentov
uvádza, že na hodinách matematiky využíva počítače a IKT. Nik z respondentov
nevyužíva možnosti IKT pri výučbe pravdepodobnosti. Pri výučbe kombinatoriky
využívajú 4% učiteľov tabuľkový editor.
V prípade gymnázií z prieskumu vyplynulo, že 82% škôl má počítačovú učebňu, avšak
na hodinách matematiky možnosti IKT využije iba 77,5% respondentov. Tí, čo
nevyužívajú IKT na hodinách matematiky ako dôvody uvádzajú nedostatočné vybavenie
počítačmi na škole (77,8%), vysoké počty žiakov v triede (55,6%), chýba softvér na
výučbu matematiky (44,4%), 33,3% respondentov nepovažuje využitie počítača a IKT na
vyučovacích hodinách matematiky za potrebné. Iné dôvody resp. žiadne dôvody uvádza
77,8% učiteľov. Pri výučbe základných pojmov pravdepodobnosti a kombinatoriky len
13% učiteľov gymnázií využíva informačno-komunikačné technológie. Z odpovedí
respondentov prieskumu vyplýva, že pri výučbe matematiky na gymnáziách a príprave
učiteľa na hodinu matematiky je využívaných pomerne veľa webových stránok. Pri výučbe
kombinatoriky sa využívajú počítačové prezentácie a pri výučbe pravdepodobnosti
tabuľkový editor a počítačové prezentácie.
Záujem o webový portál
Z prieskumu vyplynulo, že 92% respondentov by vytvorenie webového portálu uvítalo,
4,9% respondentov o portál nemá záujem a 3,1% učiteľov sa nevyjadrilo. V 77% prípadov
učitelia chcú, aby portál obsahoval zbierku úloh z pravdepodobnosti a kombinatoriky a
námety na didaktické hry. Žiadané je aj on-line učivo (65%) a on-line testy (62%) z teórie
pravdepodobnosti. 52% učiteľov chce, aby portál obsahoval aj odkazy na webové stránky
(52%) a diskusiu o vyučovaní pravdepodobnosti (34%).
Závery z prieskumu
Záverom možno konštatovať, že prieskum splnil svoj cieľ. Dozvedeli sme sa, aký je
stav vyučovania pravdepodobnosti, potvrdila sa naša hypotéza, že pravdepodobnosť
nepatrí k veľmi obľúbeným tematickým celkom učiteľov matematiky, IKT sa vo
303
MARTA VRÁBELOVÁ, ERIKA KNEJPOVÁ
vyučovaní pravdepodobnosti využíva len veľmi málo a učitelia majú značný záujem
o vytvorenie webového portálu venovaného vyučovaniu pravdepodobnosti.
Z prieskumu vyplynulo, že niektorí učitelia matematiky na základných školách by celé
učivo teórie pravdepodobnosti presunuli na strednú školu, čo zrejme súvisí
s neobľúbenosťou tohto učiva. Neobľúbenosť pravdepodobnosti učiteľmi môže byť
jedným z dôvodov nášho neúspechu v meraniach OECD PISA v oblasti náhodnosť ([2]).
Preto je tu potreba ukázať učiteľom, že pravdepodobnosť možno vyučovať s ľahkosťou,
pútavo a zaujímavo. Učiteľov treba upozorniť na množstvo námetov a úloh, množstvo
simulácií a apletov náhodných pokusov, ktoré sa nachádzajú na našich a zahraničných
webových serveroch a pomôcť im zorientovať sa v tomto veľkom množstve materiálov.
Využívanie IKT by malo byť efektívne a účinné. Všetko závisí od pre učiteľa
dostupného softvéru, od vhodnosti pre danú tému hodiny, skladby a zamerania žiakov
a ďalších okolností. Je preto vhodné ponúknuť učiteľom ľahko dostupný, jednoducho
ovládateľný softvér, ktorý prispeje k lepšiemu pochopeniu problematiky žiakmi, spestrí
vyučovaciu hodinu a ktorý možno využiť aj na testovanie nadobudnutých vedomostí. Je
tiež potrebné vytvoriť webový portál venovaný vyučovaniu teórie pravdepodobnosti.
Portál by mal obsahovať najmä zbierku úloh z teórie pravdepodobnosti a kombinatoriky,
námety na didaktické hry, on-line učivo a on-line testy, odkazy na webové portály
venované výučbe pravdepodobnosti, diskusiu o vyučovaní pravdepodobnosti. Zo záverov
tohoto prieskumu vychádza náplň dizertačnej práce prvej z autoriek.
LITERATÚRA
[1]
Gavora, P.: Úvod do pedagogického výskumu, Bratislava, Univerzita Komenského,
2001, 236 s., ISBN 80-223-1628-8
[2]
Testovanie OECD PISA – národná správa z testovania Slovenska 2006. Prístupné na:
http://www.vyskummladeze.sk/images/stories/iuventa/DAVM_016/publikacie/pisa
2006nsprava.pdf (2.9.2009)
[3]
Učebné osnovy gymnázia, schválilo Ministerstvo školstva Slovenskej republiky 24.
2. 1997 pod číslom 1252/96-15 s platnosťou od 1. 9. 1997. Prístupné na:
http://www.infovek.sk/predmety/matem/pedd/o-g4p.pdf (2.9.2009)
[4]
Učebné osnovy pre stredné odborné školy, schválilo Ministerstvo školstva
Slovenskej republiky dňa 10.11.2004 pod číslom CD-2004-16970/33680-1:092
s platnosťou
od
1.
septembra
2005.
Prístupné
na:
http://www2.statpedu.sk/Pedagogicke_dokumenty/SOS/Osnovy/Matematika_SOS.d
oc (2.9.2009)
Doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
304
PaedDr. Erika Knejpová
Gymnázium Ladislava Novomeského
Dlhá 1037/12
SK –905 40 Senica
e-mail: [email protected]
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
METÓDY HODNOTENIA VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
JÚLIA ZÁHORSKÁ - DUŠAN VALLO
ABSTRACT. In this article we present the results of the questionnaire submitted to secondary
school mathematics teachers of Nitra region. We surveyed which methods of assessment
are preferred by respondents. We compared our findings with findings of Turek [2] and the
findings of a similar questionnaire carried out in 2007 with primary school mathematics
teachers of Nitra region.
Úvod
Hodnotenie výkonov, činnosti a správania sa žiakov je jedným zo základných a veľmi
účinných prostriedkov, ktoré používa učiteľ k riadeniu a usmerňovaniu učebnej činnosti
žiakov. Hodnotenie je neoddeliteľnou súčasťou činnosti učiteľa a činnosti žiakov
vo vyučovaní, môže byť zámerné, plánované, alebo aj neuvedomelé (napr. gesto,
úsmev,...). Hodnotenie vo vyučovaní svojou pravidelnosťou a systematickosťou intenzívne
vplýva na charakter vyučovania, učebnú činnosť žiakov a na kvalitu a schopnosť
sebahodnotenia žiakov. V hodnotení práce žiakov je dôležité hodnotiť nielen výsledky
učebnej činnosti žiakov, ale posudzovať i kvalitu priebehu učenia sa žiakov. Základným
pravidlom školského hodnotenia je, že žiaci by mali vždy vedieť, z čoho budú hodnotení
(čo je štandard, čo nadštandard a čo nedostatočný výkon). Základným kritériom každého
hodnotenia je cieľová norma, cieľová kategória. [1]
Prostredníctvom anonymného dotazníka sme v roku 2008 zisťovali, aké metódy
hodnotenia výsledkov učebnej činnosti v predmete matematika používajú a preferujú
učitelia matematiky stredných škôl nitrianskeho kraja. Dotazník vyplnilo 24 respondentov.
Ich odpovede sme porovnali s názormi I. Tureka [2] a s výsledkami podobného dotazníka,
ktorý bol realizovaný v roku 2007. V tomto dotazníku bolo 30 respondentov - učiteľov
matematiky 2. stupňa ZŠ v Nitre. [3] V ďalšom texte ho budeme označovať ako Dotazník
2007. Názory I. Tureka sme spracovali kvôli porovnaniu zmien v posledných približne
desiatich rokoch. Ďalej uvádzame jednotlivé otázky, uvedené v dotazníku, a vyhodnotenie
odpovedí. V tabuľkách sú uvedené počty respondentov v percentách, uprednostňujúcich
príslušné metódy hodnotenia výsledkov učebnej činnosti žiakov vo vyučovaní matematiky.
1 Hodnotenie podľa toho, s čím sa výkon žiaka porovnáva
¾ rozlišujúce hodnotenie - hodnotenie relatívneho výkonu. Výkon žiaka je
porovnávaný s výkonom iných žiakov. Umožňuje určiť poradie žiakov
v hodnotenej skupine podľa dosiahnutých výkonov. V inej skupine by mohlo byť
jeho hodnotenie iné,
¾ overujúce hodnotenie - hodnotenie absolútneho výkonu. Výkon žiaka je
porovnávaný s určitou dopredu stanovenou normou, kritériom, štandardom. Učiteľ
zisťuje napríklad, či žiaci zvládli predpísané učivo. Žiaci sú potom rozdelení len
na tých, ktorí splnili kritérium, a na tých, ktorí ho nesplnili. Žiaci sú porovnávaní
305
JÚLIA ZÁHORSKÁ, DUŠAN VALLO
s učivom (nie medzi sebou). Ak by žiak bol hodnotený v inej skupine, jeho
hodnotenie by bolo rovnaké,
¾ individualizované hodnotenie - žiak je porovnávaný s úrovňou vlastných
možností a schopností alebo s vlastným predchádzajúcim výkonom alebo
správaním.
Rozlišujúce
18,54 %
Overujúce
62,29 %
Individualizované
19,17 %
Tabuľka 9
I. Turek [2] uvádza, že v SR prevláda rozlišujúce hodnotenie. Z výsledkov
Dotazníka 2007 vyplynulo, že rozlišujúce a overujúce hodnotenie sa používa vo vyučovaní
matematiky v rovnakej miere. Používanie overujúceho hodnotenia vo väčšej miere
považujeme za dôležité predovšetkým z hľadiska zabezpečenia jeho platnosti (aby bol žiak
rovnako hodnotený bez ohľadu na to, v akej skupine je pracovne zaradený). Takisto je
dôležitý vnútorný postoj žiaka. Jeho porovnávanie s výsledkami ostatných je často
stresujúcim faktorom.
2 Hodnotenie podľa časového zaradenia
¾ priebežné hodnotenie - žiak je hodnotený a klasifikovaný viackrát, a to
v priebehu celého vyučovacieho obdobia,
¾ záverečné hodnotenie - žiak je hodnotený a klasifikovaný jednorazovo, na konci
vyučovacieho obdobia.
Priebežné
Záverečné
76,25 %
23,75 %
Tabuľka 10
V SR prevláda priebežné hodnotenie [2]. Z výsledkov Dotazníka 2007 vyplýva, že aj
učitelia matematiky na druhom stupni ZŠ používajú priebežné hodnotenie častejšie ako
záverečné. Pre zabezpečenie pravidelnej, systematickej prípravy žiakov na vyučovanie
matematiky je časté priebežné hodnotenie veľmi dôležité. Môže to byť hodnotenie,
v ktorom učiteľ využije rôzne formy a metódy tak, aby žiakov motivoval k ďalšej práci.
Motivovať by to malo žiakov tiež k tomu, aby pracovali podľa vlastných schopností. Žiak
často nevie odhadnúť úroveň svojich vedomostí a podcení svoje nedostatky, čo potom
vedie k sklamaniam, ktorým sa dá častým priebežným hodnotením predísť.
306
METÓDY HODNOTENIA VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
3 Hodnotenie podľa cieľa
¾ formatívne hodnotenie – cieľom je spätná väzba. Získavame ním informácie
o práci a učebnej činnosti žiakov, napomáha odhaleniu a diagnostikovaniu
nedostatkov, chýb, problémov a ich príčin v procese učenia sa žiaka. Jeho cieľom
je ich odstránenie a zefektívnenie učebnej činnosti žiaka. Na základe zistených
informácií môže učiteľ vybrať optimálne vyučovacie postupy. Formatívne
hodnotenie nebýva spravidla spojené s klasifikáciou žiakov,
¾ sumatívne hodnotenie – cieľom je určenie výsledkov procesu učenia sa žiaka.
Zisťujeme ním úroveň vedomostí, zručností a postojov žiakov. Spravidla je
spojené s klasifikáciou žiakov. Priebežné i záverečné skúšanie a hodnotenie žiakov
je spojené so sumatívnym hodnotením.
Formatívne
45,42 %
Sumatívne
54,58 %
Tabuľka 11
Na Slovensku prevláda podľa I. Tureka [2] sumatívne hodnotenie. Podľa výsledkov
Dotazníka 2007 prevláda vo vyučovaní matematiky formatívne hodnotenie. Z údajov,
ktoré sme získali dotazníkom, možno usúdiť, že jeho používanie je častejšie, ale nie je
na takej úrovni, ako by sme považovali za potrebné. To znamená, aby výrazne prevažovalo
nad sumatívnym hodnotením. Žiakovi je formatívnym hodnotením poskytnutá informácia,
kde má nedostatky a čo má urobiť, aby ich odstránil. Učiteľ získava informácie o tom, na
aké oblasti a problémy sa má zamerať v precvičovaní a upevňovaní učiva. Vo vyučovaní
matematiky je táto informácia veľmi cenná, lebo viac ako v iných oblastiach je
problematické odstránenie nahromadených nevedomostí. V matematike je dôležitým
predpokladom úspechu práve systematická práca a dostatočné precvičenie problémových
oblastí. „Jediným problémom“ je, že u nás je potrebná aj častá klasifikácia známkami,
na ktorú sú žiaci aj ich rodičia zvyknutí, aby vedeli, „čo im vychádza“. Známka má u nás
silnú pozíciu.
4 Hodnotenie podľa toho, či žiaci vedia alebo nevedia, že sú hodnotení
¾ formálne hodnotenie - žiaci sú naň dopredu upozornení a majú možnosť pripraviť
sa (napr. zopakovaním učiva),
¾ neformálne hodnotenie - založené na pozorovaní bežnej činnosti žiakov
vo vyučovacom procese.
Formálne
62,50%
Neformálne
37,50%
Tabuľka 12
307
JÚLIA ZÁHORSKÁ, DUŠAN VALLO
Podľa I. Tureka [2] prevláda v SR formálne hodnotenie a rovnaký výsledok vyplynul
aj z Dotazníka 2007. Žiaci teda väčšinou vedia, že budú hodnotení, kontrolu tak môžu
vnímať ako prirodzenú súčasť svojej pracovnej činnosti. Vo vyučovaní matematiky to
samotné ešte neznamená, že ich práca je uvoľnená a bez stresu. Na tom, aká je atmosféra
počas preverovania vedomostí, sa podieľa mnoho ďalších významných faktorov.
5 Hodnotenie podľa toho, či sa hodnotí priebeh alebo výsledok činnosti žiaka
¾ hodnotenie priebehu činnosti žiakov, napr. činnosti pri tvorbe a realizácii
projektu,
¾ hodnotenie výsledku činnosti, napr. vyriešený didaktický test, vyhotovený
model, nakreslený výkres.
Hodnotenie priebehu činnosti žiaka
26,74 %
Hodnotenie výsledku činnosti žiaka
73,26 %
Tabuľka 13
Na Slovensku prevláda hodnotenie výsledku učebnej činnosti žiaka [2]. Analogický
výsledok sa zistil aj v hodnotení v matematike podľa Dotazníka 2007. Vo vyučovaní
matematiky považujeme za významné hodnotenie priebehu činnosti, dôležité je poznať
a hodnotiť, ako žiak postupoval v riešení úloh. Samotný výsledok nepostačuje k tomu, aby
učiteľ matematiky dokázal posúdiť, či je uvažovanie žiaka správne. Pomôcť žiakovi
pri odstraňovaní problémov v jeho práci môže učiteľ iba vtedy, ak pozná ako žiak
postupoval, ako rozmýšľal.
6 Hodnotenie podľa toho, kto hodnotí
¾ interné hodnotenie, vykonáva ho učiteľ, ktorý žiakov vyučuje,
¾ externé hodnotenie, vykonáva ho niekto cudzí (učiteľ z inej školy, inšpektor,
odborník z praxe a pod.).
Interné
93,54 %
Externé
6,46 %
Tabuľka 14
I. Turek [2] uvádza, že v SR prevláda interné hodnotenie. Podľa výsledkov
Dotazníka 2007 sa vo vyučovaní matematiky používa iba interné hodnotenie. Vzhľadom
na to, že prebieha testovanie deviatakov, tento údaj neodráža realitu, vyučujúci si
pravdepodobne neuvedomili, že je to forma externého hodnotenia. Externé hodnotenie má
význam najmä z toho dôvodu, že môže prispieť k zvýšeniu objektívnosti v hodnotení.
308
METÓDY HODNOTENIA VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
Záver
Na základe takéhoto porovnania používaných metód hodnotenia respondentmi možno
usúdiť, že v hodnotení učebnej činnosti žiakov v matematike nastali v posledných desiatich
rokoch pozitívne zmeny. Ich hĺbku a význam však z takéhoto malého prieskumu možno
len predpokladať, na prijatie platných záverov by bol potrebný väčší počet respondentov.
Výsledky naznačujú približovanie sa trendom v hodnotení v iných krajinách EÚ, USA
a v ďalších hospodársky vyspelých, demokratických krajinách, kde sa viac využíva
formatívne hodnotenie, hodnotenie absolútneho výkonu a externé hodnotenie ([2], s. 260).
LITERATÚRA
[1]
KOLÁŘ, Z., ŠIKULOVÁ, R.: Hodnocení žáků, Praha, Grada, 2005, ISBN 80–247–
0885-X
[2]
TUREK, I.: Zvyšovanie efektívnosti vyučovania, Bratislava, EDUKÁCIA, 1998,
ISBN 80-88796-89-X
[3]
ZÁHORSKÁ, J.: Tvorba didaktických testov a hodnotenie vo vyučovaní matematiky,
dizertačná práca, KM FPV UKF v Nitre, 2009
PaedDr. Júlia Záhorská, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
309
POSTEROVÁ SEKCIA
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ PŘÍSTUPY VE VÝUCE MATEMATIKY NA SŠ
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ
induktivní a deduktivní metody výkladu, výkladové prostředky a jejich charakteristika,
kategorizace procvičovacích úloh
Výkladová část učebnic
Prezentace výsledků výzkumu výkladové a procvičovací části učebnic z hlediska
používání induktivních a deuktivních přístupů při výkladu a zadávání opakovacích úloh.
Výzkum se zabýval kategorizací používaných výkladových prostředků a procvičovacích
úloh, určením četnosti výskytu jednotlivých kategorií a provnáním dvou ucelených řad
učebnic pro SŠ, jakožto i srovnáním jednotlivých učebnic z těchto řad.
Induktivní a deduktivní metody v praxi
Prezentace dílčích výsledků výzkumu, který se zabývá možností použití induktivních
a deduktivních metod při praktické výuce na střední škole. Výzkum je zaměřen na
porovnání výsledků výuky při tradičně používaných metodách a metodách využívajících
induktivní a deduktivní přístupy. Vlastní výzkum probíhá tak, že vždy dvě srovnatelné
skupiny žáků jsou vyučovány jednomu danému tématu a u každé skupiny je použitá jiná
metoda výuky. Výzkum probíhá na všech typech středních škol a gymnázií.
Mgr. Jiří Břehovský
Katedra aplikovaných disciplín
Fakulta výrobních technologií a managementu
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně
Na Okraji 1001
ČR – 400 01 Ústí nad Labem
e-mail: [email protected]
313
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
ANALÝZA UČEBNIC MATEMATIKY URČENÝCH PRO ŽÁKY S LEHKÝM
MENTÁLNÍM POSTIŽENÍM
EVA HOTOVÁ, KVĚTOSLAV BÁRTEK
Klíčová slova
Učebnice, matematické vzdělávání, speciální
vybavenost učebnic.
vzdělávací
potřeby, didaktická
Didaktická vybavenost učebnic
Didaktickou vybavenost učebnice je možno určit pomocí analytického nástroje – míry
didaktické vybavenosti učebnice. Ta je založena na vyhodnocování rozsahu využití
verbálních a obrazových komponentů v učebnici. Zjišťuje se, zda určité komponenty jsou
nebo nejsou v učebnici využity, bez ohledu na četnost využití. Průcha tyto komponenty
rozděluje do tří skupin: aparát prezentace učiva, aparát řízení učiva a aparát orientační
v učebnici.
V České republice vydává učebnice pro školy vzdělávající žáky s LMP nakladatelství
Septima. K analýze jsme zvolili učebnicovou řadu Septima, učebnice pro 7 – 9. ročník.
Pro každý ročník je určena učebnice ve formátu A5 a jeden pracovní sešit. Učebnice
i pracovní sešity jsou psány černým písmem, učebnice je navíc značně bohatě barevně
ilustrovaná. Samotný výklad učiva je přehledně strukturován, učebnice obsahuje řadu
cvičení určených k upevnění učiva. Každou učebnici zpracovával jiný kolektiv autorů,
proto bude zajímavé sledovat, zda se budou či nebudou koeficienty určující didaktickou
vybavenost učebnic výrazně lišit.
Literatura
PRŮCHA, J. Učebnice: teorie a analýzy edukačního média. Příručka pro studenty,
učitele, autory učebnic a výzkumné pracovníky. Brno : Paido, 1998. 148 s. ISBN 8085931-49-4.
Mgr. Eva Hotová, Ph.D.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta
Univerzita Palackého v Olomouci
Žižkovo nám. 5
CZ – 771 40 Olomouc
e-mail: [email protected]
Mgr. Květoslav Bártek, Ph.D.
Ústav informatiky
Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s.
Jeremenkova 42
CZ – 772 00 Olomouc
e-mail: [email protected]
Poster byl zpracován za podpory grantu FRVŠ č. 1515/2009 „Matematické vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími
potřebami.“
315
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
NEDOSTATKY PRI RIEŠENÍ SLOVNÝCH ÚLOH O POHYBE
EVA MOKRÁŇOVÁ, ZUZANA KUREKOVÁ
Kľúčové slová
slovné úlohy o pohybe
Slovné úlohy na pohyb
S úlohami o pohybe sa stretávajú žiaci na základnej škole vo fyzike, ale i
v matematike, kde patria medzi slovné úlohy so zvláštnym obratom.
Podľa učebných osnov platných od 1. 9. 1997 sú tieto úlohy zaradené v predmete
fyzika v 7.ročníku avšak v predmete matematika až v 8.ročníku.
Úlohy o pohybe sú spravidla slovné úlohy, kde je potrebné, aby žiaci vedeli využívať
rôzne algoritmy- počítanie rovníc, funkcií,... . Tiež je veľmi dôležité, aby si uvedomili
základné pojmy.
Pri zostavovaní úloh je dobré, vychádzať z reálnych situácii. Autor sa môže inšpirovať
a využívať cestovné poriadky autobusov, vlakov poprípade lietadiel.
Pre žiakov bude potom daná situácia ľahšie predstaviteľná, to ich môže motivovať
a v riešení úloh môžu vidieť zmysel – využitie v reálnom živote.
Ponúkame dve riešenia toho istého príkladu. Prvý zápis vytvoril žiak 7. ročníka, ktorý
daný príklad počítal pomocou vedomostí nadobudnutých na hodine fyziky a neznámu
označil ako príslušnú fyzikálnu veličinu. Na rozdiel od žiaka 8. ročníka, ktorý tento príklad
poňal ako rovnicu s neznámou x.
Mgr. Eva Mokráňová
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
Ing. Zuzana Kureková
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
317
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 12
WEBMATIKA.SK – ŠKOLSKÁ MATEMATIKA V PROSTREDÍ IKT
KATARÍNA ŽILKOVÁ
WebMatika.sk – vznik, obsah, forma
K najčastejšie preferovaným znakom vzdelávacích výučbových materiálov určených
pre vyučovanie matematiky v prostredí informačných a komunikačných technológií patria
vizualizácia, modelovanie, interaktivita a dynamika. Webová stránka www.webmatika.sk
vznikla najmä z dôvodu popularizácie a podpory využívania prostriedkov IKT vo
vyučovaní školskej matematiky. Cieľom je vytvárať a zverejňovať výučbové materiály
s obsahom zameraným na učivo matematiky primárneho a sekundárneho vzdelávania.
Z dôvodu zachovania vyššie uvedených znakov sú na stránke publikované materiály
zväčša vo forme animácií a interaktívnych geometrických cvičení. Kým vopred
pripravené animácie dešifrujú základné matematické pojmy a používané postupy, v
zadaniach si ich má riešiteľ vyskúšať v praxi použitím virtuálneho pravítka a kružidla a
aplikovaním známych konštrukčných metód.
Cieľom je vytvoriť pre učiteľa a žiaka ľahko ovládateľné menšie aplikácie (prehľadne
usporiadané do jednoduchej štruktúry), ktoré je možné zaradiť ako doplnkový materiál aj
do tradičného vyučovania.
DGS - nástroj na tvorbu webového interaktívneho obsahu
Základnú „výrobnú platformu“ vytvorených modelov tvoria dynamické geometrické
systémy (DGS). V súčasnosti je z nich na www.webmatika.sk majoritne zastúpený
Compass and Ruler. Hlavným dôvodom je možnosť tvorby a publikovania webových
interaktívnych geometrických úloh pre študentov. V pripravených zadaniach umožňuje
systém C.a.R. diagnostiku riešiteľovho cieľového konštrukčného riešenia a v prípade
korektnosti informuje užívateľa krátkym oznamom.
Ďalšiu skupinu C.a.R. modelov tvoria animované aplety. Animácie sú tvorené
plynulým cyklickým striedaním vybraných záberov z procesu tvorby geometrickej
konštrukcie. Avšak niektoré matematické postupy (najmä ručné manipulácie) sa modelujú
prostredníctvom DGS ťažšie, a preto na tvorbu vybraných animácií bol použitý
profesionálny grafický editor.
PaedDr. Katarína Žilková, PhD.
Katedra matematiky a informatiky
Pedagogická Fakulta
Univerzita Komenského v Bratislave
Račianska 59
SK – 813 34 Bratislava
e-mail: [email protected]
Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu s názvom „Školská matematika v prostredí IKT“
(MŠ SR KEGA 3/6021/08).
319
PRÍLOHY
PRÍLOHA 1
50 ROKOV KATEDRY MATEMATIKY NA UKF
História katedry matematiky UKF je spätá s 50. ročnou existenciou školy a jej
vývojových etáp.
V rokoch 1959 – 1963 bola súčasťou Pedagogického inštitútu, v rokoch 1964 – 1992
bola katedrou samostatnej Pedagogickej fakulty, od 1.7. do 11. 12. 1992 jej existencia je
viazaná na krátke trvanie Nitrianskej univerzity, od 12. 12. 1992 do 23. 10. 1996 je
katedrou Vysokej školy pedagogickej a od 23.10.1996 doteraz je katedrou Fakulty
prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre.
Súčasná katedra prešla niektorými zmenami, ktoré uvedieme.
Katedra prírodných vied bola založená v septembri 1959. Zahŕňala matematiku
a všetky prírodovedné odbory a telesnú výchovu. V lete roku 1960 boli odčlenení
pracovníci telesnej výchovy na novovzniknutú katedru. 1. februára 1961 vznikla katedra
matematiky, fyziky a zemepisu, ostatné prírodovedné odbory vytvorili novú katedru. Od
roku 1963 vznikla samostatná Katedra matematiky, ktorá mala 16 pracovníkov. Katedra
matematiky bola do 9. júla 1997 umiestnená v budove na Farskej ulici, 9. júla 1997 sa
presťahovala do hlavnej budovy na Tr. A. Hlinku č.1., kde sídli doteraz.
V máji roku 1991 sa od katedry matematiky odčlenila sekcia výpočtovej techniky
a vznikla katedra informatiky.
1. marca 1999 z pôvodnej katedry vznikli 2 katedry: Katedra matematickej analýzy,
geometrie a didaktiky matematiky a katedra algebry a teórie čísel. V decembri 2002 boli
opäť katedry zlúčené a vznikla katedra matematiky, ktorá je doteraz.
Katedra matematiky zabezpečuje výučbu všetkých matematických disciplín
v bakalárskom a magisterskom štúdiu Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov –
MATEMATIKA , v bakalárskom štúdiu študijného programu Matematické a informačné
metódy v ekonómii, v bakalárskom študijnom programe Štatistika, v rozširujúcom štúdiu
Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov MATEMATIKA. Zabezpečovala výučbu aj
v študijných odboroch: Finančná matematika a matematická štatistika, Aplikovaná
matematika (so zameraním na ekonomiku).
Ďalej zabezpečuje výučbu matematiky a didaktiky matematiky v študijnom programe
Predškolská a elementárna pedagogika na Pedagogickej fakulte. Ďalej zabezpečuje výučbu
matematiky na katedrách informatiky, biológie a chémie FPV a výučbu štatistiky na
Filozofickej fakulte, na Fakulte sociálnych vied a zdravotníctva.
Od roku 1979 bola katedra matematiky školiacim pracoviskom vedeckých ašpirantov
v odbore teória vyučovania matematiky, súčasne v tomto roku bola zriadená komisia pre
rigorózne skúšky taktiež z teórie vyučovania matematiky.
V súčasnosti katedra zabezpečuje doktorandské štúdium vo vednom odbore 11 – 17 –
9 Teória vyučovania matematiky a v študijnom programe 9.1.8 Teória vyučovania
matematiky. Katedra je sídlom Spoločnej odborovej komisie doktorandského štúdia
a v odbore Teória vyučovania matematiky. Katedra má dve komisie pre rigorózne skúšky
a to pre udeľovanie akademického titulu „doktor pedagogiky“ (PaedDr.) a akademického
titulu „doktor prírodných vied“ (RNDR.). Na FPV bolo možné konať habilitačné
a inauguračné pokračovanie v odbore Teória vyučovania matematiky.
Vedecký výskum na katedre je orientovaný v dvoch smeroch:
Základný výskum v matematike a výskum v teórii vyučovania matematiky. Základný
výskum katedry je zameraný na teóriu čísel, teóriu grafov, teóriu miery a integrálu, teóriu
ortogonálnych polynómov a riešenie diferenciálnych rovníc, algebraickú geometriu, teóriu
pravdepodobnosti a jej fuzzy zovšeobecnení, teóriu reálnych funkcií, štatistiku
a aplikovanú štatistiku. V teórii vyučovania matematiky sú skúmané problémy sústredené
na zdokonaľovanie metód, foriem a inováciu obsahu vo vyučovaní matematiky na ZŠ,
problémy výchovy matematických talentov na ZŠ a SŠ, didaktické otázky súvisiace
s pojmom čísla na ZŠ, didaktické otázky spojené s počítačom podporovanej výučby
matematiky, projektovanie učiva matematiky prostredníctvom učebníc a tvorba učebníc
pre ZŠ, zdokonaľovanie výučby stereometrie, rozvíjanie a zdokonaľovanie matematických
predstáv v predškolskom a mladšom školskom veku.
Každoročne katedra organizuje Nitriansku matematickú konferenciu.
Na katedre sa riešia projekty KEGA a VEGA. Katedra je zapojená do riešenia
medzinárodných grantových projektov.
Významné úspechy pracovníci katedry dosiahli v organizovaní študentskej vedeckej
a odbornej činnosti. Katedra bola aj organizátorom Medzinárodnej konferencie ŠVOČ
v odbore Teória vyučovania matematiky. Naši študenti v súťažiach ŠVOČ dosiahli veľmi
dobré umiestnenia a získali ocenenia aj v celoštátnych kolách ŠVOČ.
Od roku 1972 na katedre sídli Krajský výbor matematickej olympiády, ktorý úspešne
organizuje krajské kolá matematickej olympiády kategórie A. Viacerí pracovníci katedry
sú aj členmi Ústrednej komisie MO.
Pri katedre pracuje Klub učiteľov matematiky dr. P. Bartoša.
Od vzniku katedry matematiky vedúcimi katedry boli:
Doc. PhDr. Štefan Novoveský, CSc. (1.9. 1959 – 31. 8. 1077), prof. RNDr. Ondrej
Šedivý, CSc. (1.9.1977 – 31. 8. 1981), Doc. RNDr. Daniel Palumbíny, CSc. (1. 9. 1981 –
31. 7. 1994), prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. (1. 8. 1994 – 31. 12. 1994), prof. RNDr.
Ondrej Šedivý, CSc. (1.1. 1995 – 31. 8. 1999), Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. (1. 9. 1997 –
31. 7. 2002), prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. (1.8.2002 – doteraz).
Na katedre v súčasnosti pracuje 5 profesorov, 5 docentov, 10 odborných asistentov
s PhD. a 1 odborný asistent.
Na katedre v doktorandskom štúdiu v dennej forme je 10 doktorandov a v externej
forme 7 doktorandov.
Súčasné personálne zloženie katedry je nasledovné:
Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc., Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc., Prof. RNDr. Anna
Tirpáková, CSc., Prof. RNDr. Beáta Stehlíková, CSc., Prof. RNDr. András Gyula Frank,
CSc., Doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD., Doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD., Doc.
RNDr. Dagmar Markechová, CSc., Doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc., Doc. RNDr. Peter
Vrábel, CSc., RNDr. Dušan Vallo, PhD., PaedDr. Marek Varga, PhD., RNDr. Kitti
Vidermanová, PhD., PaedDr. Janka Melušová, PhD., PaedDr. Lucia Rumanová, PhD.,
PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD., PhDr. Et PaedDr. Valéria Švecová, PhD., PaedDr.
Júlia Záhorská, PhD., RNDr. Viliam Ďuriš, PhD., PaedDr. Katarína Žilková, PhD., RNDr.
Oliver Ralík, Júlia Civáňová (administratívna pracovníčka).
Prof. RNDr- Ondrej Šedivý, CSc.
PRÍLOHA 2: PROGRAM VII. NITRIANSKEJ MATEMATICKEJ KONFERENCIE
VII. nitrianska matematická konferencia
24. – 25. september 2009
konanej pri príležitostiach
50. výročia založenia UKF v Nitre
a
50. výročia pedagogického pôsobenia prof. RNDr. Ondreja Šedivého , CSc.
Organizuje KM FPV UKF v Nitre v spolupráci s Akademickým klubom FPV UKF v Nitre
24. september 2009 (štvrtok)
miestnosť C 212
800 – 900 hod. prezentácia účastníkov
900 hod.
otvorenie konferencie – prof. RNDr. O. Šedivý, CSc.
príhovor dekana Fakulty prírodných vied UKF v Nitre
prof. RNDr. Ľubomíra Zelenického, CSc.
príhovor - prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.
Plenárne prednášky (24. 9. 2009)
miestnosť C 212
čas : 930 hod. – 1200 hod.
930 hod.
dr hab. Ewa Swoboda, PhD. (Poľsko)
MOTIVATION VIA NATURAL DIFFERENTIATION IN MATHEMATICAL
EDUCATION.
1015 hod.
prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. (Slovensko)
VYUČOVANIE MATEMATIKY AKO INTELEKTUÁLNA VÝZVA
1100 hod. - 1115 hod. Coffee break - miestnosť C 204
1115 hod.
doc. RNDr. Jaroslav Perný, CSc. (Česká republika)
HRANÍ SI S KOSTKAMI JAKO PROPEDEUTIKA MATEMATIKY
1200 hod. – 1230 hod. Obed
Rokovania v sekciách
Sekcia 1
Rokovanie vedie :
Miestnosť C 212
doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc.
1230 hod. – 1245 hod.
Chvalina, J. – Beránek, J.:
ALGEBRAICKÉ STRUKTURY A MULTISTRUKTURY VYTVÁŘENÉ
PROSTORY ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH HOMOGENNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH
ROVNIC N-TÉHO ŘÁDU
1245 hod. – 1300 hod.
Major, M.:
CONTINUOUS RANDOM VARIABLES AND GEOMETRICAL PROBABILITY
SPACE
1300 hod. – 1315 hod.
Bukor, J.:
REMARKS ON DISTRIBUTION FUNCTIONS OF CERTAIN BLOCK
SEQUENCES
1315 hod. – 1330 hod.
Vrábel, P.:
RIEMANNOV ČI NEWTONOV INTEGRÁL?
1330 hod. – 1345 hod.
Suchánek, J.:
ON WHAT CATEGORY THEORY IS ABOUT
1345 hod. – 1400 hod.
Varga, M.:
AKO OKLAMAŤ L´HOSPITALA
30
45
1400 hod. – 1430 hod. Coffee break - miestnosť C 204
14 hod. – 14 hod.
Major, J. – Powazka, Z.:
FINDING PROPERTIES OF PRISMS AND PYRAMIDS WHILE SOLVING
STEREOMETRIC PROBLEM
1445hod. – 1500 hod.
Major, J. – Major, M.:
PROBLEMS GENERATED BY PICK’S THEOREM
1500hod. – 1515 hod.
Rybanský, L.:
PUTUJÚCA MINCA
1515hod. – 1530 hod.
Knejpová, E. – Vrábelová, M.:
PRIESKUM VYUČOVANIA PRAVDEPODOBNOSTI NA ZŠ, SOŠ A
GYMNÁZIÁCH
1530hod. – 1545 hod.
Mendelová, T. A.:
LOGICKÉ HRY V MATEMATIKE
1545hod. – 1600 hod.
Novotná, J.:
MATHEMATICS AND HEALTH AS A MOTIVATION FACTOR
Sekcia 2
Rokovanie vedie:
Miestnosť C 217
Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.
1230 hod. – 1245 hod.
Uherčíková, V. – Vankúš, P.:
INOVÁCIA ŠTUDIJNÝCH PLÁNOV V PRÍPRAVE BUDÚCICH UČITEĽOV
MATEMATIKY ZA ÚČELOM ROZŠÍRENIA ICH KOMPETENCIÍ
1245 hod. – 1300 hod.
Šunderlík, J.:
PRÍPRAVA ŠTUDENTOV UČITEĽSTVA MATEMATIKY V ANGLICKU
(PRÍPADOVÁ ŠTÚDIA)
1300 hod. – 1315 hod.
Břehovský, J. – Emanovský, P.:
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ ZPŮSOB VÝKLADU V UČEBNICÍCH
MATEMATIKY NA SŠ
1315 hod. – 1330 hod.
Blažková, R.:
PROČ MAJÍ DĚTI PROBLÉMY V MATEMATICE
1330 hod. – 1345 hod.
Stachová, D.:
APLIKÁCIE MATEMATIKY A GEOMETRIE V KARTOGRAFII
1345 hod. – 1400 hod.
Ralík, O.:
INFORMÁCIE O 50.MEDZINÁRODNEJ MATEMATICKEJ OLYMPIÁDE V
BRÉMACH
1400 hod. – 1430 hod. Coffee break - miestnosť C 204
1430hod. – 1445 hod.
Pomp, M. – Václavíková, Z.:
KOMPETENCE STUDENTŮ OU VE STEREOMETRII
1445hod. – 1500 hod.
Drábeková, J.:
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
1500hod. – 1515 hod.
Demová, A. :
APLIKÁCIE VEKTOROV V EKONÓMII
1515hod. – 1530 hod.
Stacho, M. – Branická, M.:
ZVYŠOVANIE AKTIVITY PRI VÝUČBE MATEMATIKY
1530hod. – 1545 hod.
Viziová, A.:
RIEŠENIE MATEMATICKÝCH (ZÁBAVNÝCH A LOGICKÝCH) ÚLOH
ŽIAKMI 7. ROČNÍKA ZÁKLADNEJ ŠKOLY A ŽIAKOV TERCIÍ
OSEMROČNÉHO GYMNÁZIA
1545hod. – 1600 hod.
Čižmár, J. – Czanner, L.:
ŠTATISTICKÉ ANALÝZY VYHODNOCOVANIA TESTOV Z MATEMATIKY
NAPÍSANÝCH ŽIAKMI UKONČUJÚCIMI PRIMÁRNY STUPEŇ
VZDELÁVANIA VO VEĽKEJ BRITÁNII, V NEMECKU A NA SLOVENSKU
1615 hod. miestnosť C 118: Krátke spoločenské stretnutie účastníkov konferencie
miestnosť C 212
Plenárne prednášky (25. 9. 2009)
čas: 900 hod. – 945 hod.
900 hod.
Prof. Dr. Frank (Maďarsko), CSc.
CLAR NUMBERS: AN APPLICATION OF GRAPH THEORY IN CHEMISTRY
Rokovania v sekciách
Sekcia 1
Rokovanie vedie:
Miestnosť C 212
PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
945 hod. – 1000 hod.
Čeretková, S.:
PROJEKT COMENIUS MOTIVATE ME
1000 hod. – 1015 hod.
Šedivý, O. – Malá, D.:
NIEKTORÉ PSYCHOLOGICKÉ PROBLÉMY VYUČOVANIA GEOMETRIE
1015 hod. – 1030 hod.
Záhorská, J. – Vallo, D.:
METÓDY HODNOTENIA VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
1030 hod. – 1045 hod.
Budínová, I.:
THE MAIN PROBLEMS OF THE SUBJECT MATTER OF FUNCTIONS IN
MATHEMATICS
1045 hod. – 1100 hod.
Melušová, J. – Vidermanová, K.:
MATEMATIKA V ŠTUDIJNOM PROGRAME DISCI - OČAKÁVANIA,
SKÚSENOSTI A NÁZORY ŠTUDENTOV
15
30
1100 hod. – 1115 hod. Coffee break - miestnosť C 204
11 hod. – 11 hod.
Komzsík, A. - László, B. - Nagyová –Lehocká, Z.
MATEMATIKA AKO JU NEPOZNÁTE
1130 hod. – 1145 hod.
Csiba, P.:
NOVÉ NÁSTROJE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY
1145 hod. – 1200 hod.
Čerňanová, V.:
MATEMATIKA – NIEKTORÉ POHĽADY NA ČINNOSŤ MOZGU PRI UČENÍ
1200 hod. – 1215 hod.
Pavlovičová, G. – Rumanová, L.:
ŠTVORSTEN – JEHO VLASTNOSTI A APLIKÁCIE
Sekcia 2
Rokovanie vedie:
Miestnosť C 217
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
945 hod. – 1000 hod.
Palumbíny, O.:
ALTERNATÍVNE ZAVEDENIE OBORU VŠETKÝCH NEZÁPORNÝCH
ZLOMKOV
1000 hod. – 1015 hod.
Krpec, R.:
ZKUŠENOSTI S VÝUKOU PRAVDĚPODOBNOSTI STUDENTŮ UČITELSTVÍ
MATEMATIKY NA PEDAGOGICKÉ FAKULTĚ OU
1015 hod. – 1030 hod.
Fehér, Z.:
POZNÁMKY O ÚROVNI MATEMATICKÝCH KOMPETENCIÍ ŠTUDENTOV
EKONOMICKEJ FAKULTY UJS
1030 hod. – 1045 hod.
Kostková, K.:
NETRADIČNÍ MATEMATICKÉ HRY
1045 hod. – 1100 hod.
Hasajová, L.
MANAŽMENT E-VZDELÁVANIA, APLIKÁCIA IKT V MATEMATIKE
S DÔRAZOM E-LEARNING
1100 hod. – 1115 hod. Coffee break - miestnosť C 204
1115 hod. – 1130 hod.
Országhová, D.:
POZNÁMKY K TVORBE A POUŽITIU E − VZDELÁVACÍCH MATERIÁLOV
Z MATEMATIKY
1130 hod. – 1145 hod.
Šupíková, K.:
FIBONACCI VE SVĚTLE ŠKOLSKÉ MATEMATIKY
1145 hod. – 1200 hod.
Fándlyová, S.:
VYUŽITIE MATEMATICKÝCH VEDOMOSTÍ V PRÍRODOVEDNÝCH
PREDMETOCH
1200 hod. – 1215 hod.
Vallo, D.:
KONŠTRUKCIA NAGELOVHO BODU POMOCOU VPÍSANEJ KRUŽNICE
Posterová sekcia
v priestoroch Katedry matematiky FPV UKF v Nitre
KATARÍNA ŽILKOVÁ
WEBMATIKA.SK – ŠKOLSKÁ MATEMATIKA V PROSTREDÍ IKT
EVA MOKRÁŇOVÁ, ZUZANA KUREKOVÁ
NEDOSTATKY PRI RIEŠENÍ SLOVNÝCH ÚLOH O POHYBE
EVA HOTOVÁ, KVĚTOSLAV BÁRTEK
ANALÝZA UČEBNIC MATEMATIKY URČENÝCH PRO ŽÁKY S LEHKÝM
MENTÁLNÍM POSTIŽENÍM
JIŘÍ BŘEHOVSKÝ
INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ PŘÍSTUPY VE VÝUCE MATEMATIKY NA SŠ
ŠTUDENTSKÉ PRÁCE
ORGANIZAČNÝ VÝBOR KONFERENCIE
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
RNDr. Viliam Ďuriš, PhD.
PaedDr. Janka Melušová, PhD.
PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
PaedDr. Marek Varga, PhD.
RNDr. Kitti Vidermanová, PhD:
PaedDr. Júlia Záhorská, PhD.
Júlia Civáňová
PaedDr. Soňa Fándlyová
PaedDr. Ján Šunderlík
Ing. Zuzana Kureková
RNDr. PaedDr. Peter Lenčéš
Mgr. Eva Mokráňová
Mgr. Patrícia Benická
Mgr. Filip Halama
Mgr. Štefan Havrlent
Mgr. Michaela Klepancová
RNDr. Ľubomír Rybanský
OBSAH
DOBOŠ, JOZEF: Vyučovanie matematiky ako intelektuálna výzva……………….........
3
PERNÝ, JAROSLAV: Hraní si s kostkami jako propedeutika matematiky………………
9
SWOBODA, EWA: Motivation via natural differentiation in mathematical education…. 17
BERÁNEK, JAROSLAV - CHVALINA, JÁN: Algebraické struktury a multistruktury
vytvářené prostory řešení lineárních homogenních diferenciálních rovnic n-tého
řádu.…………………………………………………………………………………..... 25
BLAŽKOVÁ, RŮŽENA: Proč mají děti prolémy v matematice………………………..... 33
BOCCUTO, ANTONIO – SKVORTSOV, VALENTIN A.: Addendum to: “Some
applications of the Maeda Ogasawara Vulikh representation theorem to differential
calculus in Riesz spaces“…………………………………………………………..…... 39
BRANICKÁ, MÁRIA - STACHO, MILAN: Zvyšovanie aktivity pri výučbe matematiky… 47
BŘEHOVSKÝ,JIŘÍ - EMANOVSKÝ, PETR: Induktivní a deduktivní způsob výkladu
v učebnicích matematiky na SŠ……………………….….……………………………. 51
BUDÍNOVÁ, IRENA: The main problems of the subject matter of functions in
mathematics………………………………………………..…………………………... 59
BUKOR, JÓZSEF: Remarks on distribution functions of certain block sequences…….... 65
CSIBA, PETER: Nové nástroje vo vyučovaní matematiky................................................ 71
CZANNER, ĽUBOMÍR – ČIŽMÁR, JÁN: Štatistické analýzy vyhodnocovania testov
z matematiky napísaných žiakmi ukončujúcimi primárny stupeň vzdelávania vo
Veľkej Británii, v Nemecku a na Slovensku................................................................... 77
ČERŇANOVÁ, VIERA: Matematika – niektoré pohľady na činnosť mozgu pri učení...... 85
ČIŽMÁR, JÁN: Does the philosophy be necessary for the teacher of mathematics?......
91
DEMOVÁ, ADRIANA: Aplikácie vektorov v ekonómii..................................................... 99
DRÁBEKOVÁ, JANKA: Niekoľko poznámok k využitiu logaritmov................................ 103
FÁNDLYOVÁ, SOŇA: Využitie matematických vedomostí v prírodovedných
predmetoch...................................................................................................................... 109
FEHÉR, ZOLTÁN: Poznámky o úrovni matematických kompetencií študentov
ekonomickej fakulty UJS................................................................................................ 115
331
HASAJOVÁ, LÍVIA: Manažment e-vzdelávania, aplikácia IKT v matematike s dôrazom
na e-learning.................................................................................................................... 121
HOŠKOVÁ, ŠÁRKA – RAČKOVÁ, PAVLÍNA: Problematické příklady při přijímacích
zkouškách z matematiky na Univerzitě obrany............................................................... 127
HRKOTA, KLEMENT (ML): Differential equations with symmetrical solutions............... 133
KMEŤOVÁ, MÁRIA: O zložkách geometrických kompetencií......................................... 139
KOMZSÍK, ATTILA - LÁSZLÓ, BÉLA - NAGYOVÁ-LEHOCKÁ, ZUZANA: Matematika ako
ju nepoznáte..................................................................................................................... 143
KOSTKOVÁ, KATEŘINA: Netradiční matematické hry..................................................... 149
KRPEC, RADEK: Zkušenosti s výukou pravděpodobnosti studentů učitelství
matematiky na Pedagogické fakultě OU......................................................................... 153
MAJOR, JOANNA – MAJOR, MACIEJ: Problems generated by Pick´s theorem................ 159
MAJOR, MACIEJ: Continuous random variables and geometrical probability space....... 165
MALÁ, DANA - ŠEDIVÝ, ONDREJ - STEHLÍKOVÁ, BEÁTA – TIRPÁKOVÁ, ANNA:
Creative commons - ako prostriedok ochrany autorských práv študijných materiálov.. 171
MENDELOVÁ - ŤAHÚN, ANTÓNIA: Logické hry v matematike....................................... 177
NOVOTNÁ, JIŘINA: Mathematics and health as a motivation factor................................ 183
ORSZÁGHOVÁ, DANA: Poznámky k tvorbe a použitiu e − vzdelávacích materiálov
z matematiky................................................................................................................... 189
PALUMBÍNY, OLEG: Alternatívne zavedenie oboru všetkých nezáporných zlomkov... 195
PAVLOVIČOVÁ, GABRIELA – RUMANOVÁ, LUCIA: Štvorsten – jeho vlastnosti,
aplikácie.......................................................................................................................... 201
POMP, MAREK – VÁCLAVÍKOVÁ, ZUZANA: Kompetence studentů OU ve stereometrii 209
POWĄZKA, ZBIGNIEW – MAJOR, JOANNA: Finding properties of prisms and pyramids
while solving stereometric problems............................................................................... 215
RYBANSKÝ, ĽUBOMÍR: Putujúca minca.......................................................................... 221
SLEZÁKOVÁ, TATIANA - STEHLÍKOVÁ, BEÁTA – TIRPÁKOVÁ, ANNA - MARKECHOVÁ,
DAGMAR: Vybrané štatistické metódy v pedagogickom výskume................................. 225
STACHOVÁ, DARINA: Aplikácie matematiky a geometrie v kartografii.......................... 231
SUCHÁNEK, JAROMÍR: On what category theory is about............................................... 237
ŠEDIVÝ, ONDREJ - MALÁ, DANA: Niektoré psychologické problémy vyučovania
geometrie......................................................................................................................... 243
ŠUNDERLÍK, JÁN: Príprava študentov učiteľstva matematiky v Anglicku (Prípadová
štúdia).............................................................................................................................. 251
ŠUPÍKOVÁ, KATEŘINA: Fibonacci ve světle školské matematiky................................... 257
UHERČÍKOVÁ, VIERA - VANKÚŠ, PETER: Inovácia študijných plánov v príprave
budúcich učiteľov matematiky za účelom rozšírenia ich kompetencií........................... 263
VALLO, DUŠAN: Konštrukcia Nagelovho bodu pomocou vpísanej kružnice.................. 269
VARGA, MAREK: Ako oklamať l´Hospitala.................................................................... 275
VIDERMANOVÁ, KITTI – MELUŠOVÁ, JANKA: Matematika v študijnom programe
DiSci – Očakávania, skúsenosti a názory študentov....................................................... 279
VIZIOVÁ, ALENA: Riešenie matematických (zábavných a logických) úloh žiakmi
7. ročníka základnej školy a žiakov tercií semročného gymnázia.................................. 287
VRÁBEL, PETER: Riemannov či Newtonov integrál?...................................................... 293
VRÁBELOVÁ, MARTA - KNEJPOVÁ, ERIKA: Prieskum vyučovania pravdepodobnosti
na ZŠ, SOŠ a gymnáziách............................................................................................... 299
ZÁHORSKÁ, JÚLIA – VALLO, DUŠAN: Metódy hodnotenia vo vyučovaní matematiky... 305
POSTEROVÁ SEKCIA
BŘEHOVSKÝ, JIŘÍ: Induktivní a deduktivní Přístupy ve výuce matematiky na SŠ......... 313
HOTOVÁ, EVA - BÁRTEK, KVĚTOSLAV: Analýza učebnic matematiky určených pro
žáky s lehkým mentálním postižením............................................................................. 315
MOKRÁŇOVÁ, EVA - KUREKOVÁ, ZUZANA: Nedostatky pri riešení slovných úloh
o pohybe.......................................................................................................................... 317
ŽILKOVÁ, KATARÍNA: WebMatika.sk – Školská matematika v prostredí IKT............... 319
PRÍLOHY
Príloha 1
ŠEDIVÝ, ONDREJ: 50 rokov Katedry matematiky na UKF…………………………….. 323
Príloha 2
Program VII. nitrianskej matematickej konferencie…………………………………... 325
Názov:
Vydavateľ:
Zostavovatelia:
ACTA MATHEMATICA 12
Fakulta prírodných vied UKF v Nitre
prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc.
prof. RNDr. Anna Tirpáková, CSc.
doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD.
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová, PhD.
RNDr. Kitti Vidermanová, PhD.
Rok vydania:
2009
Poradie vydania:
prvé
Počet strán:
334
Počet výtlačkov:
120 ks
Tlač:
Štatistické a evidenčné vydavateľstvo tlačív, a.s. (ŠEVT a.s.),
Plynárenská 6, 821 09 Bratislava
©UKF v Nitre 2009
ISBN
EAN
978-80-8094-614-2
9788080946142
Download

n - Katedra matematiky FPV UKF v Nitre