ITO
Semestr´
aln´ı projekt
Autor:
Vojtˇech Pˇrikryl, xprikr28
Fakulta Informaˇcn´ıch Technologi´ı
Vysok´e Uˇcen´ı Technick´e v Brnˇe
Pˇr´ıklad 1
Stanovte napˇet´ı UR5 a proud IR5 . Pouˇzijte metodu postupn´eho zjednoduˇsov´an´ı
obvodu.
sk.
H
U [V ]
135
R1 [Ω]
680
R2 [Ω]
600
R3 [Ω]
260
R4 [Ω]
310
R5 [Ω]
575
R6 [Ω]
870
R7 [Ω]
355
R8 [Ω]
265
Obr´azek 1: Poˇc´ateˇcn´ı stav.
Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıt´ame celkov´
y odpor obvodu, ze kter´eho n´aslednˇe budeme moci
zjistit celkov´
y proud.
Obvod zjednoduˇsujeme postupnou transfigurac´ı troj´
uheln´ık → hvˇezda.
R5 · R8
R7 · R8
R5 · R7
, RB =
, RC =
R5 + R7 + R8
R5 + R7 + R8
R5 + R7 + R8
Po t´eto u
´pravˇe m˚
uˇzeme nahradit s´eriovˇe zapojen´e dvojice rezistor˚
u R2 , RA a
R4 , RB . Pot´e m˚
uˇzeme jednoduˇse prov´est druhou potˇrebnou transfiguraci.
RA =
R2A = R2 + RA
R4B = R4 + RB
RX =
R3 · R4B
R2A · R4B
R3 · R2A
, RY =
, RZ =
R3 + R2A + R4B
R3 + R2A + R4B
R3 + R2A + R4B
Obr´azek 2: Stav po prvn´ı transfiguraci.
Obr´azek 3: Stav po druh´e transfiguraci.
Zjednoduˇs´ıme postupnˇe s´eriovˇe a n´aslednˇe paralelnˇe zapojen´e rezistory.
R6Y = R6 + RY
RCZ = RC + RZ
R6Y · RCZ
R6CY Z =
R6Y + RCZ
Nyn´ı m˚
uˇzeme spoˇc´ıtat celkov´
y odpor a n´aslednˇe celkov´
y proud.
R = R1 + RX + R6CY Z = 1049, 1576Ω
I=
U
= 0, 1287A
R
Nyn´ı je potˇreba se dostat zpˇet“ k hodnotˇe IR5 . Postupnˇe tedy za pomoc´ı
”
Kirchhoffov´
ych z´akon˚
u, Ohmova z´akonu a znalosti paraleln´ıho a s´eriov´eho zapojen´ı
zjiˇst’ujeme dalˇs´ı hodnoty proud˚
u v obvodu, kter´e pouˇzijeme ke koneˇcn´emu v´
ypoˇctu:
IR1 = I
RZC
RZC + R6Y
U − IR6 · R6 − IR1 · R1
=
R3
IR2 = IR1 − IR3
IR6 = I ·
IR3
IR4 = IR3 − IR6
IR5 =
IR3 · R3 + IR4 · R4 − IR2 · R2
R5
V´
ysledek:
IR5 = 5, 3013mA
UR5 = 3, 0482V
Pˇr´ıklad 2
Stanovte napˇet´ı UR3 a proud IR3 . Pouˇzijte metodu Theveninovy vˇety.
sk.
D
U [V ]
150
R1 [Ω]
200
R2 [Ω]
660
R3 [Ω]
200
R4 [Ω]
220
R5 [Ω]
330
Obr´azek 4: Zadan´
y obvod.
Rezistor R3 , jehoˇz napˇet´ı a proud chceme vypoˇc´ıtat, si ohraniˇc´ıme body A, B
a dle Theveninovy vˇety ho nahrad´ıme napˇet´ım napr´azdno Ui a zavedeme n´ahradn´ı
obvod.
Obr´azek 5: Nahrazen´ı rezistoru R3 napˇet´ım napr´azdno.
Obr´azek 6: N´ahradn´ı obvod.
D´ale je tˇreba vypoˇc´ıtat celkov´
y odpor Ri . To je odpor mezi body A a B,
samozˇrejmˇe bez odporu R3 . Napˇet´ı jsou pˇritom zkratov´ana“. Obvod s odpory lze
”
pˇrekreslit n´asleduj´ıc´ım zp˚
usobem:
Obr´azek 7: Pˇrekreslen´
y obvod pro v´
ypoˇcet Ri .
Ri =
R1 · R4
R2 · R5
+
R1 + R4 R2 + R5
Napˇet´ı Ui vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze si uvˇedom´ıme, ˇze (dle obr´azku 5) je Ui napˇet´ı
napr´azdno, a tak mezi body A a B neproch´az´ı ˇz´adn´
y proud. Dost´av´ame tedy
obvod, kde rezistory R1 a R4 jsou zapojeny v s´erii, rezistory R2 a R5 jsou tak´e
zapojeny v s´erii a to cel´e je zapojeno paralelnˇe. T´ım vypoˇc´ıt´ame proudy I1 a I2 a
pomoc´ı zn´azornˇen´e smyˇcky pak i Ui .
I1 + I2 =
U
(R1 +R4 )·(R2 +R5 )
(R1 +R4 )+(R2 +R5 )
R2 + R5
R1 + R2 + R4 + R5
R1 + R4
I2 = (I1 + I2 ) ·
R1 + R2 + R4 + R5
I1 = (I1 + I2 ) ·
Ve smyˇcce plat´ı:
I1 · R1 + Ui − I2 · R2 = 0
Ui = I2 · R2 − I1 · R1
Nyn´ı jiˇz m˚
uˇzu vypoˇc´ıtat IR3 a UR3 :
IR3 =
Ui
Ri + R3
UR3 = IR3 · R3
V´
ysledek:
IR3 = 0, 05444 A
UR3 = 10, 8892 V
Pˇr´ıklad 3
Stanovte napˇet´ı UR2 a proud IR2 . Pouˇzijte metodu uzlov´
ych napˇet´ı (UA , UB , UC ).
sk.
A
U [V ]
120
I1 [A]
0.35
I2 [A]
0.7
R1 [Ω]
530
R2 [Ω]
490
R3 [Ω]
650
R4 [Ω]
390
R5 [Ω]
320
R6 [Ω]
250
Obr´azek 8: Zadan´
y obvod.
Nejdˇr´ıve mohu zjednoduˇsit obvod spojen´ım paralelnˇe zapojen´
ych rezistor˚
u R3
a R4 .
R3 · R4
R34 =
R3 + R4
Rovnice pro jednotliv´e uzly:
A : IR1 − IR2 − IR34 − I1 = 0
B : IR34 + I1 − IR6 − I2 = 0
C : IR6 + I2 − IR5 = 0
Rovnice pro jednotliv´e proudy:
IR1 : UA + R1 · IR1 − U = 0 −→ IR1 =
U − UA
R1
UA − UB
R34
UA
=
R2
UB − UC
=
R6
UC
=
R5
IR34 : IR34 · R34 + UB − UA = 0 −→ IR34 =
IR2 : IR2 · R2 − UA = 0 −→ IR2
IR6 : IR6 · R6 + UC − UB = 0 −→ IR6
IR5 : IR5 · R5 − UC = 0 −→ IR5
Obr´azek 9: Zjednoduˇsen´
y obvod s vyznaˇcen´ım smˇer˚
u proud˚
u.
Dosazen´ım jednotliv´
ych proud˚
u do rovnic pro uzlov´a napˇet´ı z´ısk´ame soustavu
rovnic, ze kter´e vypoˇc´ıt´ame potˇrebnou hodnotu UA . Toto napˇet´ı je stejn´e, jako
napˇet´ı UR2 , kter´e m´ame vypoˇc´ıtat. Hodnotu proudu pak vypoˇc´ıt´ame na z´akladˇe
Ohmova z´akonu.
V´
ysledky:
UR2 = UA = −18.1281 V
IR2 =
UA
= −36, 9961 mA
R2
Pˇr´ıklad 4
Pro nap´ajec´ı napˇet´ı plat´ı: u = U · sin(2πf t). Ve vztahu pro napˇet´ı na kondenz´atoru: uC1 = UC1 · sin(2πf t + ϕc1 ) urˇcete |UC1 | a ϕc1 . Pouˇzijte metodu zjednoduˇsov´an´ı obvodu.
Pozn: Pomocn´
y smˇer ˇsipky nap´ajec´ıho zdroje plat´ı pro speci´aln´ı ˇcasov´
y okamˇzik
π
(t = 2ω ).
sk.
H
U [V ]
65
R1 [Ω]
150
R2 [Ω]
130
L1 [mH]
350
L2 [mH]
490
C1 [µF ]
215
Obr´azek 10: Zadan´
y obvod.
Nejdˇr´ıve spoˇc´ıt´am celkovou impedanci obvodu.
Z1 = XL1 + XC1
Z2 = R1 + XC2
Z3 = R2 + XL2
Z = Z1 +
Z2 · Z3
Z2 + Z3
C2 [µF ]
270
f [Hz]
60
Nyn´ı vypoˇc´ıt´am celkov´
y proud. Tento proud proch´az´ı tak´e kondenz´atorem C1 .
Tud´ıˇz mohu hned vypoˇc´ıtat i UC1 .
I=
U
Z
UC1 = I · XC1 = −3.7308 − j2.3651
Z komplexn´ıho tvaru nyn´ı vypoˇc´ıt´am absolutn´ı hodnotu a tak´e hodnotu u
´hlu ϕ.
√
|UC1 | = Re2 + Im2 = 4.4173 V
Im
◦
−1
ϕ = 180 + tan
= 212◦ 220 19, 900
Re
Pozn.: K u
´hlu ϕ pˇriˇc´ıt´am 180◦ , protoˇze komplexn´ı hodnota Uc1 leˇz´ı ve tˇret´ım
kvadrantu.
V´
ysledek:
|UC1 | = 4.4173 V
ϕ = 212◦ 220 19, 900
Pˇr´ıklad 6
Sestavte diferenci´aln´ı rovnici popisuj´ıc´ı chov´an´ı obvodu na obr´azku, d´ale ji
upravte dosazen´ım hodnot parametr˚
u. Vypoˇc´ıtejte analytick´e ˇreˇsen´ı iL = f (t).
’
Proved te kontrolu v´
ypoˇctu dosazen´ım do sestaven´e diferenci´aln´ı rovnice.
sk.
A
U [V ]
4
L [H]
40
R [Ω]
10
iL (0) [A]
2
Obr´azek 11: Zadan´
y obvod.
Nejdˇr´ıve sestav´ıme diferenci´aln´ı rovnici, plat´ı:
uL + uR = U
uR = R · iL
uL = U − uR
i0L =
i0L =
i0L =
1
· uL
L
1
· (U − uR )
L
1
· (U − R · iL )
L
Z toho dostaneme diferenci´aln´ı rovnici:
L · i0L + R · iL = U
Po dosazen´ı:
40i0L + 10iL = 4,
iL (0) = 2 A
Oˇcek´avan´
y tvar ˇreˇsen´ı:
iL = C(t) · eλt
V´
ypoˇcet λ:
40λ + 10 = 0
1
λ=−
4
Derivace oˇcek´avan´eho tvaru ˇreˇsen´ı:
1
1
1
i0L = C 0 (t) · e− 4 t − · C(t) · e− 4 t
4
Tuto derivaci dosad´ım do diferenci´aln´ı rovnice:
1
1
− 14 t
0
− 14 t
− · C(t) · e
40 C (t) · e
+ 10C(t) · e− 4 t = 4
4
1
40C 0 (t) · e− 4 t = 4
1
1
C 0 (t) =
· e4t
10
Nyn´ı v´
ysledek zintegruji:
Z
C(t) =
1
1
2 1
· e4t = · e4t + k
10
5
Dosad´ım do oˇcek´avan´eho tvaru:
1
2 1
iL = ( · e 4 t + k) · e− 4 t
5
1
2
i L = + k · e− 4 t
5
Dosad´ıme poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku iL (0) = 2 A:
1
2
+ k · e− 4 ·0
5
2
2= +k
5
8
k=
5
2=
V´
ysledek:
iL =
2 8 −1t
+ ·e 4
5 5
V´ysledky
Pˇr´ıklad 1H
IR5 = 5, 3013mA
UR5 = 3, 0482V
Pˇr´ıklad 2D
IR3 = 0, 05444 A
UR3 = 10, 8892 V
Pˇr´ıklad 3A
UR2 = −18.1281 V
IR2 = −36, 9961 mA
Pˇr´ıklad 4H
|UC1 | = 4.4173 V
ϕ = 212◦ 220 19, 900
Pˇr´ıklad 6A
iL =
2 8 −1t
+ ·e 4
5 5
Download

ITO Semestráln´ı projekt