P 1 – KOMBINATORIKA
1/2
1) Určete počet všech dvojciferných čísel, v jejichž zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.
2) Je dán čtverec ABCD a na jeho každé straně n vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků,
jejichž vrcholy leží v daných bodech a na různých stranách čtverce ABCD.
3) Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete, kolika způsoby lze vybrat
trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cestě je právě jedna použita dvakrát.
4) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 × 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela
v jedné řadě ani v témže sloupci.
5) K sestavení vlajky, která má být složena ze 3 různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici
látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Kolik různých vlajek lze z barev sestavit? b) Kolik
z nich má modrý pruh? c) Kolik z nich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik z nich nemá uprostřed
červený pruh?
6) Určete počet všech nejvýše pěticiferných přirozených čísel, v jejichž zápisu se každá číslice
vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z nich je menších než 50 000?
7) Výbor sportovního klubu tvoří 6 mužů a 4 ženy. Určete: a) kolika způsoby z nich lze vybrat
předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře; b) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře
podle a) tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena a naopak; c) kolika
způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby právě jedním z nich byla žena.
8) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den (6 hodin) pro jednu třídu, v níž se vyučuje 12
předmětů a každý den se vyučuje každý předmět nejvýše jednou.
9) Určete počet prvků, z nichž lze utvořit: a) 240 variací 2. třídy, b) dvakrát více variací 4. třídy než
variací 3. třídy.
10) O telefonním čísle své spolužačky si Vašek zapamatoval je to, že je šestimístné, začíná sedmičkou,
neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné 25. Kolik čísel přichází v úvahu?
11) Určete počet všech pěticiferných čísel z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto čísel je větších 70 137?
12) Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit 6 osob, jestliže a) dvě chtějí sedět vedle
sebe, b) dvě chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji.
13) Určete, kolika způsoby může m chlapců a n dívek nastoupit do zástupu tak, aby a) nejdříve stály
všechny dívky a pak všichni chlapci, b) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka a mezi
žádnými dvěma dívkami nebyl žádný chlapec, c) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka.
14) Kolika různým telefonních stanicím můžeme přidělit čísla, jsou-li všechna telefonní čísla osmiciferná
a ani jedno nezačíná nulou?
15) Kolik různých sedmiciferných čísel je možné vytvořit z číslic 1, 4, 7, jestliže se v nich číslice 1, 4
mají vyskytovat dvakrát a číslice 7 třikrát?
16) Kolika způsoby lze ubytovat 10 hostů a) v jednom čtyřlůžkovém a dvou třílůžkových pokojích, b) ve
dvou třílůžkových a dvou dvoulůžkových pokojích?
17) Určete počet poznávacích značek aut, které jsou tvořeny ze tří písmen anglické abecedy (26 písmen),
po nichž následují čtyři číslice (nepočítejte možnost se samými nulami).
18) Kolik různých umístění může být na prvních třech místech MS v hokeji, účastní-li se ho 8 týmů?
19) Jestliže se zvětší počet prvků o 2, zvětší se počet permutací dvanáctkrát. Kolik je prvků?
20) Test přijímací zkoušky se skládá z pěti otázek. Budou to dvě otázky z dějepisu (připraveno je jich
30), dvě z ZSV (připraveno 25) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno 20). Kolik je variant testu?
21) Hra Dáma má 12 bílých a 12 černých kamenů. Kolika způsoby je můžeme umístit do jedné řady?
22) 8 přátel si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednici z dovolené. Kolik pohlednic bylo rozesláno?
23) Z kolika prvků lze vytvořit 5040 variací čtvrté třídy?
24) Kolik různých hodů lze učinit a) dvěma, b) třemi kostkami s čísly 1 až 6?
25) Kolik různých značek lze utvořit v Morseově abecedě, sestavují-li se body a čárky ve skupině po
jedné až pěti?
26) V bance je trezor na šestimístný číselný kód. Lupič ví, že ta správná číselná kombinace nezačíná ani
nekončí nulou a že prostřední číslice jsou všechny sudé? Kolik mu zbývá všech kombinací
k vyzkoušení, pokud ty špatné vyloučí?
27) Kolik různých slov (bez ohledu na smysl) lze vytvořit ze všech písmen slova PARAVAN?
Mgr. Štěpán Pešička  2007
P 1 – KOMBINATORIKA
2/2
28) Uvnitř stran čtverce je umístěno 14 bodů tak, že na jednotlivých stranách leží postupně 2, 3, 4, 5
z těchto bodů. Jaký je počet všech trojúhelníků, které mají vrcholy v těchto bodech?
29) Určete, kolika způsoby je možné ze 7 mužů a 4 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou a) právě
dvě ženy, b) alespoň dvě ženy.
30) V rovině je dáno 20 bodů, z nichž žádné tři neleží na téže přímce a žádné čtyři na kružnici. Určete,
kolik je těmito body určeno přímek a kolik kružnic.
31) V rovině je dáno 20 bodů, z nichž 5 leží na téže přímce. Kolik je těmito body určeno přímek a kolik
trojúhelníků?
32) Petr má 7 knih, o které se zajímá Ivana, Ivana má 10 knih, o které se zajímá Petr. Kolika způsoby si
Petr může vyměnit své dvě knihy za dvě Ivaniny knihy?
33) Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 dívek. Kolika způsoby z nich lze vybrat 4 taneční páry?
34) Kolik úhlopříček má pravidelný n-úhelník?
35) Určete, v kolika bodech se protíná 12 přímek v rovině, z nichž 5 je rovnoběžných a žádné tři
neprocházejí týmž bodem.
36) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli začíná jedním ze 32 písmen.
Dokažte, že alespoň dva obyvatelé mají stejné iniciály.
37) Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je sudý.
38) Určete počet způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA. Určete, v kolika z nich
a) žádná dvojice sousedních písmen není tvořena dvěma písmeny A, b) žádná pětice sousedních
písmen není tvořena pěti písmeny A.
39) V rovině je 10 bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce a žádné čtyři na jedné kružnici. a) Kolik je
jimi určeno kružnic? b) Kolik bude kružnic, pokud 6 bodů bude ležet na jediné kružnici.
40) Hokejové družstvo má 20 hráčů: 13 útočníků, 5 obránců a 2 brankáře. Kolik různých sestav může
trenér vytvořit, jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře?
41) V sadě mariášových karet jsou 4 barvy a 8 hodnot, tj. 32 karet. Kolika způsoby je možné vybrat 4
karty, jestliže se rozlišují pouze a) barvy, b) hodnoty jednotlivých karet?
42) Z osudí se 49 čísly se losuje 6 čísel. Kolik je všech možností?
43) Kolika různými způsoby lze uložit 20 stejných autíček do tří krabic?
44) V košíku je 5 červených, 7 modrých a 6 žlutých velikonočních vajíček. Kolika způsoby lze z nich
vybrat 5 vajíček tak, aby nebyla všechna téže barvy?
VÝSLEDKY
1) 81
2) 4n3
3) 60
4) 768
5) a) 60, b) 36, c) 12, d) 48
6) 32 490; 17370
7) a) 5 040; b) 2 688; c) 1 920
8) 665 280
9) a) 16, b) 5
10) 420
11) 96; 23
12) a) 240, b) 96
13) a) n !m ! , b) 2n !m ! ,
c) ( n + 1) !m !
14) 9 ⋅107
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
210
a) 4 200, b) 25 200
175 742 424
336
2
2 610 000
2 704 156
56
10
a) 36, b) 216
62
50 625
840
349
a) 210, b) 371
190, 1140
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
181, 1130
945
16 216 200
1
2 n ( n − 3)
56
1024
450 000
83 160, a) 3 780, b) 81 900
a) 120, b) 101
5 720
a) 35, b) 330
13 983 816
231
18
Mgr. Štěpán Pešička  2007
Download

P 1 - Kombinatorika